cap1-fin

Cuprins

Prefata 9

1 Olomorfie si Integrabilitate ın Planul Complex. RezultateFundamentale 111.1 Functii olomorfe. Generalitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Notatii si rezultate preliminare . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 Functii elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.3 Siruri si serii de functii olomorfe . . . . . . . . . . . . . 181.1.4 Zerourile functiilor olomorfe . . . . . . . . . . . . . . . . 201.1.5 Teorema maximului modulului pentru functii olomorfe.

Lema lui Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2 Integrala complexa (Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.1 Drumuri ın planul complex . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.2 Generalitati asupra integralei Cauchy . . . . . . . . . . 251.2.3 Serii Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Teoria Indexului. Aplicatii 312.1 Ramuri uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Index. Aplicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.1 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.2 Lanturi ın C. Notiunea de omologie . . . . . . . . . . . 45

2.3 Integrale Cauchy. Teoria reziduurilor . . . . . . . . . . . . . . . 472.3.1 Aplicatii ale notiunii de index . . . . . . . . . . . . . . . 472.3.2 Puncte singulare izolate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4 Zerourile si polii functiilor meromorfe . . . . . . . . . . . . . . 552.5 Aplicatii ale Teoremei lui Rouche . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.6 Aplicatii ale Teoremei reziduurilor la calculul unor integrale

definite reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.6.1 Integrale de tipul

∫ ∞

−∞R(x)dx si

∫ ∞

0R(x)dx . . . . . . 74

5

6 Cuprins

2.6.2 Integrale trigonometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.6.3 Integrale de tip Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.6.4 Integrale de tipul∫ ∞

0R(x) lnxdx si

∫ ∞

0[R(x)/xa]dx . . 85

2.6.5 Alte tipuri de integrale care se pot calcula cu Teoremareziduurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.7 Alte aplicatii ale Teoremei reziduurilor . . . . . . . . . . . . . . 95

3 Normalitate si Compactitate ın Spatiul Functiilor Olomorfe 1013.1 Structura metrica si topologica a spatiului H(Ω) . . . . . . . . 1013.2 Teoremele lui Montel si Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.3 Probleme extremale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.4 Normalitate si compactitate ın spatiul functiilor meromorfe . . 118

4 Functii Univalente 1234.1 Notiuni si rezultate generale privind functiile univalente . . . . 1234.2 Clasa S. Proprietati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.3 Convergenta ın nucleu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.4 Metrica hiperbolica pe discul unitate. Aplicatii . . . . . . . . . 153

5 Reprezentari Conforme 1615.1 Domenii simplu conexe si reprezentari conforme . . . . . . . . . 161

5.1.1 Teorema fundamentala a reprezentarilor conforme . . . 1615.1.2 Automorfisme si reprezentari conforme ale domeniilor

simplu conexe ın C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.2 Automorfisme conforme ale coroanelor circulare si domeniilor

dublu conexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.3 Automorfisme si reprezentari conforme ale domeniilor marginite

din C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6 Functii Armonice si Functii Subarmonice 1876.1 Functii armonice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.1.1 Proprietati elementare ale functiilor armonice . . . . . . 1886.1.2 Formula integrala a lui Poisson si Teorema lui Harnack 1956.1.3 Proprietatea valorii medii pentru functii armonice . . . 2036.1.4 Principiul simetriei lui Schwarz . . . . . . . . . . . . . . 2056.1.5 Formula lui Poisson pentru functii olomorfe cu partea

reala pozitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.2 Functii subarmonice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

6.2.1 Proprietati elementare ale functiilor subarmonice . . . . 2156.2.2 Proprietatea subvalorii medii. Aplicatii . . . . . . . . . 218

Cuprins 7

7 Functii Intregi si Functii Meromorfe 2277.1 Functii meromorfe. Teorema lui Mittag-Leffler . . . . . . . . . 2277.2 Functii ıntregi. Teorema lui Weierstrass . . . . . . . . . . . . . 239

7.2.1 Produse infinite de numere complexe . . . . . . . . . . . 2397.2.2 Functii ıntregi si produse de factori canonici. Teorema

lui Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2467.3 Domenii de olomorfie ın C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

Bibliografie 259

Index 265

8 Cuprins

Prefata

Analiza complexa este o ramura interesanta si atractiva a matematicii.Scopul acestei carti este de a evidentia ıntr-un stil elegant, accesibil si totodatariguros cateva dintre problemele si rezultatele clasice din teoria functiilor de ovariabila complexa. Rezultatele principale sunt adesea motivate prin exemplesi aplicatii, iar numarul mare de exercitii si probleme propuse ajuta cititorul saınteleaga cat mai bine materialul expus precum si fenomenele specifice analizeicomplexe, ce o diferentiaza de analiza reala. Dintre aceste fenomene amintimurmatoarele:

• Functiile olomorfe pe multimi deschise din C sunt nelimitat derivabile.• Functiile ıntregi si marginite pe C sunt constante.• Functiile olomorfe neconstante sunt aplicatii deschise.• Exista functii complexe continue pe multimi deschise din C ce nu admit

primitive.• Daca Ω este un domeniu din C si f este o functie olomorfa si injectiva

pe Ω, atunci f ′(z) 6= 0, z ∈ Ω.• Orice domeniu simplu conex din C, diferit de C, este conform echivalent

cu discul unitate.• Orice domeniu din C este domeniu de olomorfie.Lucrarea se adreseaza ın primul rand studentilor de la facultatile de mate-

matica si informatica ce au parcurs un semestru de rezultate introductive ınteoria functiilor de o variabila complexa. De asemenea, este utila cercetatorilorsi tuturor celor interesati de probleme clasice si moderne din analiza complexa.

Cartea este structurata pe sapte capitole. Primul capitol se refera la rezul-tate clasice privind functiile olomorfe si functiile integrabile Cauchy ın planulcomplex. Capitolul doi cuprinde rezultate generale din teoria indexului. Suntprezentate notiunile de ramura uniforma, index, lanturi ın C si omologie. Suntincluse aplicatii ın teoria reziduurilor, ın studiul zerourilor si polilor functiilormeromorfe. De asemenea, sunt prezentate aplicatii ale Teoremei reziduurilorla calculul unor integrale reale. Capitolul trei contine diverse rezultate pri-vind normalitatea si compactitatea multimilor de functii olomorfe. In acest

9

10 Prefata

sens sunt prezentate structura metrica si topologica a spatiului H(Ω), undeΩ este o multime deschisa din C, Teoremele lui Montel si Vitali, precum siaplicatii ale acestor rezultate ın studiul unor probleme extremale. In finalulacestui capitol sunt incluse rezultate generale privind normalitatea si compac-titatea multimilor de functii meromorfe. Capitolul patru se refera la functiileunivalente pe domenii din C. Sunt prezentate conditii necesare precum siconditii suficiente de univalenta. Am acordat o atentie deosebita clasei S siconvergentei ın nucleu. De asemenea, am prezentat o conditie necesara si sufi-cienta de univalenta pe discul unitate folosind metrica hiperbolica. Capitolulcinci este dedicat unei notiuni importante din teoria functiilor de o variabilacomplexa, anume cea de reprezentare conforma. In acest sens se demonstreazaTeorema lui Riemann si se prezinta automorfismele si reprezentarile conformeale unor domenii simplu conexe ın C. Sunt studiate automorfismele conformeale coroanelor circulare precum si ale unor domenii marginite din C. Capitolulsase prezinta functiile armonice si functiile subarmonice pe multimi deschisedin C. Sunt demonstrate diverse rezultate, printre care amintim proprietateavalorii medii pentru functii armonice, Teorema lui Harnack, principiul simetrieilui Schwarz, proprietatea subvalorii medii pentru functii subarmonice. Capi-tolul sapte se refera la descompunerea functiilor ıntregi si meromorfe precumsi la notiunea de domeniu de olomorfie. Lucrarea se ıncheie cu o bibliografieselectiva.

Aceasta lucrare are la baza o mare parte din lectiile de analiza complexape care le-am predat de-a lungul anilor studentilor de la Facultatea de Mate-matica si Informatica din Universitatea Babes-Bolyai.

Dintre tratatele de referinta, pe care le-am avut ın vedere ın elaborareaacestei carti, amintim [Ha-Mo-Ne], [Gas-Su], [Con1], [Na-Ni], [Pop]. De ase-menea, ne-au fost utile lucrarile [Ah], [Gre-Kra], [Gam], [Ber-Ga], [Ch], [Rem],[Mos], [Rud].

Multumim colegilor de la Catedra de Teoria Functiilor si tuturor celor carene-au sprijinit ın elaborarea acestei lucrari. De asemenea, multumim Prof. IanGraham de la Universitatea din Toronto pentru sugestiile deosebit de utile careau dus la ınbunatatirea formei finale a acestei carti. Figurile au fost realizatede Mircea Voda, caruia ıi multumim pentru sprijinul acordat.

Multumim Editurii Presa Universitara Clujeana care a facut posibilaaparitia acestei lucrari.

Cluj-Napoca, August 2005 Gabriela KohrPetru T. Mocanu

Membru Corespondental Academiei Romane

Capitolul 1

Olomorfie si Integrabilitate ınPlanul Complex. RezultateFundamentale

In acest capitol vom face o scurta prezentare a principalelor notiuni si rezul-tate referitoare la functiile olomorfe precum si la integrala complexa. Acesterezultate vor fi utile pe parcursul elaborarii prezentului curs. Insa nu vominclude demonstratiile acestor rezultate, presupunand ca cititorul este deja fa-miliarizat cu olomorfia si integrala complexa, dupa parcurgerea unui curs deun semestru de analiza complexa. Pe de alta parte, rezultatele ce urmeazasunt clasice si bine cunoscute, putand fi gasite si consultate ın orice tratat defunctii de o variabila complexa.

1.1 Functii olomorfe. Generalitati

In continuare vom reaminti unele rezultate din teoria functiilor olomorfede o variabila complexa, ce ne vor fi utile pe parcursul elaborarii capitolelorurmatoare. Pentru mai multe detalii recomandam cititorului tratatele [Ha-Mo-Ne], [Gas-Su], [Ah], [Con1], [Gre-Kra], [Pop].

1.1.1 Notatii si rezultate preliminare

Fie C planul complex, C∗ = C\0, C∞ = C∪∞ planul complex extinssi P(C) (respectiv P(R)) multimea partilor lui C (respectiv lui R). Reamintimmai ıntai cateva notiuni de topologia planului complex.

11

12 1. Olomorfie si Integrabilitate ın Planul Complex

Vom considera C ınzestrat cu metrica d data de

d(z1, z2) = |z1 − z2|, z1, z2 ∈ C.

Aceasta metrica induce topologia naturala a lui C. Daca A ⊆ C, notamcu A, A′, int(A), aderenta lui A, multimea punctelor de acumulare ale luiA, respectiv interiorul multimii A. De asemenea, vom nota cu ∂A frontieratopologica a multimii A. Deci ∂A = A \ int(A). In plus, fie U(z0; r) discul decentru z0 ∈ C si raza r, adica

U(z0; r) = z ∈ C : |z − z0| < r.

AtunciU(z0; r) = z ∈ C : |z − z0| ≤ r

este discul ınchis de centru z0 si raza r, iar

∂U(z0; r) = z ∈ C : |z − z0| = r

reprezinta cercul de centru z0 si raza r. Pe parcursul acestei carti ne vom referila contururi circulare pozitiv orientate, adica cu sensul de parcurs contrarsensului acelor de ceasornic. In acest caz parametrizarea cercului ∂U(z0; r)este

γ(t) = z0 + re2πit, t ∈ [0, 1].

Parametrizarea cercului ∂U(z0; r) negativ orientat este

z(t) = z0 + re−2πit, t ∈ [0, 1].

Vom nota cu U(z0; r) = U(z0; r)\z0 discul punctat de centru z0 si aceeasiraza r. Pentru simplitate, discul U(0; r) se va nota cu Ur, iar discul unitateU1 cu U . Fie a ∈ C si 0 ≤ r1 < r2 ≤ ∞. Vom nota cu U(a; r1, r2) coroanacirculara de centru a ∈ C si raze r1, r2, adica

U(a; r1, r2) = z ∈ C : r1 < |z − a| < r2.

Observam ca U(a; 0, r2) = U(a; r2) iar U(a; r1,∞) = z ∈ C : |z − a| > r1.O multime Ω ⊆ C este deschisa daca oricare ar fi a ∈ Ω, exista un disc

U(a; r) inclus ın Ω. Multimile vida ∅ si C sunt deschise. O multime A ⊆ Ceste ınchisa daca complementara sa CA = C \A este deschisa.

O multime K ⊂ C este marginita daca exista R > 0 astfel ıncat K ⊆U(0;R). Multimea K este compacta daca din orice acoperire a sa cu multimideschise se poate extrage o subacoperire finita. Este bine cunoscut faptul

1.1. Functii olomorfe. Generalitati 13

ca multimea K ⊂ C este compacta daca si numai daca K este marginita siınchisa.

O multime Ω ⊆ C este conexa daca nu exista doua submultimi A, B ⊆ Ωnevide, disjuncte si deschise ın Ω astfel ıncat Ω = A ∪B.

O multime Ω ⊆ C este conexa daca si numai daca nu exista doua multimideschise G,H ⊆ C astfel ıncat

Ω ⊆ G ∪H, Ω ∩G 6= ∅, Ω ∩H 6= ∅, Ω ∩G ∩H = ∅.Daca Ω este o submultime conexa a lui C iar Ω ⊂ ∆ ⊂ Ω atunci ∆ este

conexa. In particular, aderenta oricarei multimi conexe este conexa.O multime Ω ⊆ C este domeniu daca Ω este deschisa si conexa. Este de

remarcat faptul ca o multime deschisa Ω din C este domeniu daca si numaidaca Ω este poligonal conexa, adica orice doua puncte din Ω pot fi uniteprintr-o linie poligonala continuta ın Ω. Orice disc U(z0; r) este un domeniu,dar reuniunea a doua discuri disjuncte, desi este o multime deschisa, totusi nueste un domeniu.

• Topologizarea spatiului complex extins C∞Multimile

C∞ \ U r = z ∈ C : |z| > r ∪ ∞, r > 0

determina un sistem fundamental de vecinatati ale punctului ∞.O multime Ω ⊆ C∞ este deschisa daca C∩Ω este deschisa si daca ∞ ∈ Ω,

exista r > 0 astfel ca z ∈ C : |z| > r ⊆ Ω.Daca zkk∈N ⊂ C atunci

zk →∞ ⇔ |zk| → +∞ ⇔ 1zk→ 0.

In continuare fie Ω ⊆ C o multime deschisa.

Definitia 1.1.1 Functia f : Ω → C se numeste derivabila ın punctul z0 ∈ Ωdaca exista si este finita limita

limz→z0

f(z)− f(z0)z − z0

.

Atunci cand exista, limita precedenta se noteaza cu f ′(z0) si se numeste deri-vata functiei f ın z0.

Functia f se numeste olomorfa pe Ω daca este derivabila ın orice punct dinΩ. Fie H(Ω) multimea functiilor olomorfe pe Ω. Vom deduce din Teorema1.2.20 ca functiile olomorfe sunt nelimitat derivabile.


Daca f : ∆f → C iar E ⊆ ∆f ⊂ C, atunci f este olomorfa pe E dacaexista o multime deschisa Ω si g ∈ H(Ω) astfel ıncat E ⊆ Ω ⊆ ∆f si g|Ω = f .

Daca z0 ∈ C atunci o functie f se numeste olomorfa ın punctul z0 dacaexista r > 0 astfel ıncat f este olomorfa pe U(z0; r).

Functiile olomorfe pe ıntreg planul complex se numesc ıntregi. Este remar-cabil faptul ca singurele functiile ıntregi si marginite sunt functiile constante,pe baza Teoremei lui Liouville.

Exista functii derivabile ıntr-un punct fara a fi olomorfe ın respectivulpunct. De exemplu, functia f(z) = z|z| este derivabila ın z = 0 dar nu esteolomorfa ın z = 0. De fapt, f nu este derivabila ın nici un punct z 6= 0.

Functia f se numeste R-diferentiabila (real diferentiabila) ın z0 = z0+iy0 ∈Ω daca functiile u = Re f si v = Im f sunt diferentiabile ın (x0, y0).

Functia f se numeste C-diferentiabila (complex diferentiabila) ın z0 ∈ Ωdaca exista un numar complex A si o functie r : Ω \ z0 → C astfel ıncatlim

z→z0

r(z) = 0 si

f(z) = f(z0) + A(z − z0) + r(z)(z − z0), z ∈ Ω \ z0.

Este bine cunoscut faptul ca f este derivabila ın punctul z0 daca si numaidaca f este C-diferentiabila ın z0. Dar exista functii R-diferentiabile care nusunt C-diferentiabile. De exemplu, functia f(z) = z este R-diferentiabila peC, dar nu este nicaieri C-diferentiabila.

Un criteriu util de determinare a derivabilitatii unei functii R-diferentiabileeste prezentat ın Teorema lui Cauchy-Riemann:

Teorema 1.1.2 O functie f : Ω → C este derivabila ın punctul z0 ∈ Ω dacasi numai daca f este R-diferentiabila ın z0 si este satisfacut sistemul Cauchy-Riemann ın z0:

(1.1.1)

∂u

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0)

∂u

∂y(x0, y0) = −∂v

∂x(x0, y0),

unde u = Re f , v = Im f si z0 = x0 + iy0.

Introducand operatorii diferentiali

∂

∂z=

12

(∂

∂x− i

∂

∂y

),

∂

∂z=

12

(∂

∂x+ i

∂

∂y

),


sistemul (1.1.1) este echivalent cu∂f

∂z(z0) = 0.

Pe de alta parte, ın cazul functiei derivabile f ın punctul z0, avem ca

f ′(z0) =∂f

∂z(z0). De asemenea, au loc relatiile

f ′(z0) =∂f

∂x(z0) = −i

∂f

∂y(z0).

Asadar, operatorii∂

∂zsi

∂

∂zse comporta ca doi operatori diferentiali

obisnuiti ın raport cu variabilele z si z.Daca f este o functie derivabila ın z0, iar g este derivabila ın w0 = f(z0),

atunci g f este de asemenea derivabila ın z0 si

(g f)′(z0) = g′(w0)f ′(z0).

Produsul a doua functii f1, f2 derivabile ın z0 este o functie derivabila ınz0 si

(f · g)′(z0) = f ′(z0)g(z0) + g′(z0)f(z0).

Daca g(z0) 6= 0 atunci functia cat f/g este derivabila ın z0 si

(f

g

)′(z0) =

f ′(z0)g(z0)− f(z0)g′(z0)g2(z0)

.

Daca f este de k ori derivabila ın punctul z0, notam cu f (k)(z0) derivatade ordinul k a lui f ın z0.

O proprietate remarcabila a functiilor olomorfe cu derivata diferita de zeroeste cea de conformitate. Astfel, daca f ∈ H(Ω) si f ′(z) 6= 0, z ∈ Ω, atunci feste o transformare conforma care pastreaza “marimea unghiurilor” si “sensulde parcurs”.

Definitia 1.1.3 Functia f : Ω → C se numeste local constanta daca f esteconstanta pe fiecare componenta conexa a lui Ω.

Se observa imediat ca daca f ∈ H(Ω), atunci f este local constanta dacasi numai daca f ′ ≡ 0. Daca, ın plus, Ω este un domeniu, atunci f ∈ H(Ω) estelocal constanta daca si numai daca f este constanta.


1.1.2 Functii elementare

In cele ce urmeaza prezentam unele exemple de functii elementare.• Functia exponentialaFunctia f : C → C∗ data de f(z) = ez se numeste functia exponentiala

complexa. Reaminitim ca ez = ex(cos y + i sin y), z = x + iy ∈ C. Uneori maifolosim si notatia exp pentru functia exponentiala. Deci exp(z) = ez, z ∈ C.Functia exponentiala este ıntreaga si satisface urmatoarele relatii:

(i) f este nelimitat derivabila pe C si f (n)(z) = f(z), z ∈ C, n ∈ N.(ii) f(z1 + z2) = f(z1) · f(z2), z1, z2 ∈ C.(iii) f(z + 2kπi) = f(z), z ∈ C, k ∈ Z.(iv) f(−z) = 1/f(z), z ∈ C.

Observatia 1.1.4 Din relatia (iii) deducem ca functia exponentiala este 2πi-periodica, deci nu este injectiva pe C. Totusi aceasta functie este injectiva peorice domeniu Bα unde

Bα = z ∈ C : α < Im z < α + 2π, α ∈ R.

Fie w ∈ C∗. Ecuatia ez = w are o infinitate de solutii ın planul complex.Astfel ez = w daca si numai daca exista k ∈ Z astfel ıncat

z = ln |w|+ i(arg w + 2kπ),

unde arg w ∈ (−π, π] este argumentul principal al lui w. Se stie ca θ = arg weste unica solutie ın intervalul (−π, π] a ecuatiei cos θ + i sin θ = w/|w|.

Aceste solutii genereaza aplicatia multivoca logaritm Log : C∗ → P(C),

Logz = ln |z|+ iArgz, z ∈ C∗,unde Arg : C∗ → P(R) este aplicatia multivoca argument,

Argz = arg z + 2kπ : k ∈ Z.

FieΩ1 = z ∈ C : −π < Im z < π

siΩ2 = z ∈ C : 0 < Im z < 2π.

Functia exponentiala este injectiva atat pe Ω1 cat si pe Ω2, iar exp(Ω1) =C\(−∞, 0], respectiv exp(Ω2) = C\ [0,∞). Inversa functiei exp pe C\(−∞, 0]este ramura principala log a aplicatiei multivoce Log. Deci

log z = ln |z|+ i arg z, z ∈ C \ (−∞, 0].


Functia log este olomorfa pe C \ (−∞, 0] si (log)′(z) = 1/z, z ∈ C \ (−∞, 0].Pe C \ [0,∞) se defineste o alta ramura uniforma g (a se vedea Capitolul

doi) a aplicatiei multivoce Log cu proprietatea ca

g(z) = ln |z|+ iθ(z),

unde θ(z) ∈ Argz∩(0, 2π), z ∈ C\ [0,∞). Avem ca g′(z) = 1/z, z ∈ C\ [0,∞).• Functia putereFie α ∈ C. Aplicatia multivoca F : C∗ → P(C), data de F (z) = zα, unde

zα = eαLogz, z ∈ C∗,

se numeste aplicatia putere. Functia f : C \ (−∞, 0] → C∗, f(z) = eα log z

este o determinare olomorfa a lui F (f este ramura principala a lui F ) sif ′(z) = αzα−1, z ∈ C \ (−∞, 0].

• Functiile trigonometricePrin intermediul functiei exponentiale se definesc functiile trigonometrice

cos si sin de variabila complexa:

cos z =eiz + e−iz

2si sin z =

eiz − e−iz

2i, z ∈ C.

Ambele functii sunt ıntregi si 2π-periodice. In plus, au loc urmatoarelerelatii

cos2 z + sin2 z = 1, z ∈ C,

(cos)′(z) = − sin z, (sin)′(z) = cos z, z ∈ C,

cos(z1 + z2) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2, z1, z2 ∈ C,

sin(z1 + z2) = sin z1 cos z2 + sin z2 cos z1, z1, z2 ∈ C.

Functia sin este injectiva pe banda B = z ∈ C : |Re z| < π/2 si sin(B) =C \ (−∞,−1] ∪ [1,∞).

• Functiile trigonometrice hiperboliceFunctia exponentiala permite definirea si a functiilor trigonometrice hiper-

bolice ch si sh de variabila complexa:

chz =ez + e−z

2si shz =

ez − e−z

2, z ∈ C.

Aceste functii sunt ıntregi si 2πi-periodice. In plus,

ch2z − sh2z = 1, cos iz = chz, sin iz = ishz, z ∈ C.


1.1.3 Siruri si serii de functii olomorfe

Relativ la un sir fkk∈N de functii complexe definite pe o multime deschisaG ⊆ C apar urmatoarele tipuri de convergenta:

Definitia 1.1.5 Sirul fkk∈N este convergent simplu (punctual) pe G dacasirul numeric fk(z)k∈N este convergent pentru orice z ∈ G.

Sirul fkk∈N este uniform convergent pe compacte ın G (local uniform

convergent) la functia f (notam fk

u.c.⇒ f) daca oricare ar fi un compact K ⊂ G,

sirul restrictiilor fk|Kk∈N este convergent uniform pe K la restrictia functiei

f pe K. Deci fk

u.c.⇒ f daca pentru orice ε > 0 si orice compact K ⊂ G, exista

un numar k0 = k0(ε,K) ∈ N astfel ıncat

|fk(z)− f(z)| < ε, ∀ z ∈ K, k ≥ k0.

Sirul fkk∈N este uniform convergent ın G (notam fk ⇒ f) daca pentruorice ε > 0, exista un numar k0 = k0(ε) ∈ N astfel ıncat

|fk(z)− f(z)| < ε, ∀ z ∈ G, k ≥ k0.

Mentionam ca ın definitia convergentei uniforme pe compacte este suficientsa consideram doar discuri ınchise incluse ın G.

Este evident ca orice sir de functii convergent uniform ın G este convergentuniform pe compacte ın G si convergent simplu pe G. Deci

fk ⇒ f ⇒ fk

u.c.⇒ f ⇒ fk → f.

Insa exista siruri de functii care sunt convergente uniform pe compacte, dar nusunt convergente uniform pe multimea data. Daca sirul fkk∈N este formatnumai din functii olomorfe, are loc

Teorema 1.1.6 (Teorema lui Weierstrass) Fie G ⊆ C o multime deschisa.Daca fkk∈N este un sir de functii olomorfe pe G convergent uniform pe

compacte ın G la functia f , atunci f ∈ H(G) si f(p)k

u.c.⇒ f (p), pentru orice

p ∈ N.

O alta proprietate esentiala a functiilor olomorfe este cea de analiticitate.


Definitia 1.1.7 Fie G ⊆ C o multime deschisa. Functia f : G → C esteanalitica pe G daca pentru orice a ∈ G, exista un disc U(a; r) ⊆ G si o serie

de puteri∞∑

k=0

ck(z − a)k convergenta ın U(a; r), astfel ıncat

f(z) =∞∑

k=0

ck(z − a)k, z ∈ U(a; r).

Coeficientii seriei de puteri precedente sunt unic determinati de relatiile

ck =f (k)(a)

k!, k ∈ N.

Teorema 1.1.8 Fie G ⊆ C o multime deschisa. Functia f : G → C esteolomorfa pe G daca si numai daca f este analitica pe G.

O metoda practica de determinare a razei de convergenta a unei serii deputeri este prezentata ın rezultatul urmator datorat lui Cauchy si Hadamardsi cunoscut sub numele de Teorema razei de convergenta.

Teorema 1.1.9 Fie∞∑

k=0

ck(z − a)k o serie de puteri si ρ numarul pozitiv dat

de relatia

(1.1.2)1ρ

= limk→∞

k√|ck|.

Atunci au loc afirmatiile:(i) Daca ρ > 0 atunci seria precedenta este convergenta uniform pe com-

pacte ın discul U(a; ρ), este absolut convergenta ın U(a; ρ), iar suma sa f esteo functie olomorfa pe U(a; ρ). In plus,

f (m)(z) =∞∑

k=m

k(k − 1) · · · (k −m + 1)ck(z − a)k−m, z ∈ U(a; ρ), m ≥ 1.

(ii) Daca ρ > 0 atunci seria de puteri este divergenta ın C \ U(a; ρ).(iii) Daca ρ = 0 atunci seria de puteri este divergenta ın C \ a.(iv) Daca ρ = +∞ atunci seria de puteri este convergenta ın C.

Observatia 1.1.10 (i) Din Teorema 1.1.9 deducem ca numarul ρ dat derelatia (1.1.2) este cel mai mare numar pozitiv cu proprietatea ca seria


∞∑

k=0

ck(z − a)k converge ın U(a; ρ); ρ se numeste raza de convergenta a seriei

de puteri∞∑

k=0

ck(z− a)k, iar discul U(a; ρ) se numeste discul de convergenta al

acestei serii.(ii) Daca exista limita η = lim

k→∞

∣∣∣ck+1

ck

∣∣∣ atunci ρ = 1/η.

Rezultatul urmator este cunoscut sub numele de Teorema dezvoltarii inserie de puteri.

Teorema 1.1.11 Fie f ∈ H(U(a; r)). Atunci

f(z) =∞∑

k=0

ck(z − a)k, z ∈ U(a; r),

unde ck = f (k)(a)/k!, k ∈ N. Mai mult, raza de convergenta R a serieiprecedente satisface inegalitatea R ≥ r.

1.1.4 Zerourile functiilor olomorfe

Fie Ω ⊆ C o multime deschisa si f ∈ H(Ω). Daca exista z0 ∈ Ω astfel ıncatf(z0) = 0, atunci z0 este un zerou al functiei f . In plus, daca exista k ∈ Nastfel ıncat

f(z0) = f ′(z0) = · · · = f (k−1)(z0) = 0 si f (k)(z0) 6= 0,

atunci z0 se numeste zerou de ordinul k pentru f . Zerourile de ordinul ıntaise mai numesc si simple. Functiile olomorfe neidentic nule pe domenii auproprietatea ca zerourile lor sunt puncte izolate. Mai precis, are loc

Teorema 1.1.12 (Teorema zerourilor unei functii olomorfe) Fie Ω un dome-niu din C si f ∈ H(Ω) astfel ıncat f 6≡ 0. Daca punctul z0 ∈ Ω este unzerou pentru functia f , atunci exista r = r(z0) > 0 astfel ca U(z0; r) ⊂ Ω sif(z) 6= 0, z ∈ U(z0; r).

Observatia 1.1.13 In conditiile teoremei precedente, exista si sunt unic de-terminate o functie olomorfa g pe Ω si k ∈ N astfel ıncat g(z0) 6= 0 si

f(z) = (z − z0)kg(z), z ∈ Ω.

Deci z0 este un zerou de ordin finit pentru functia f .


In teorema urmatoare, cunoscuta sub numele de Teorema identitatiifunctiilor olomorfe, prezentam conditii necesare si suficiente pentru ca douafunctii olomorfe pe un domeniu sa fie identic egale:

Teorema 1.1.14 Fie Ω un domeniu din C si f, g : Ω → C functii olomorfepe Ω. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) f ≡ g.(ii) Exista un punct a ∈ Ω astfel ıncat f (k)(a) = g(k)(a) pentru orice k ∈ N.(iii) Multimea z ∈ Ω : f(z) = g(z) are cel putin un punct de acumulare

ın Ω.

Din acest rezultat se obtin imediat urmatoarele consecinte:

Corolarul 1.1.15 (Principiul prelungirii analitice) Fie Ω un domeniu din Csi f ∈ H(Ω). Daca exista o multime nevida deschisa G ⊆ Ω astfel ıncatf |G ≡ 0 atunci f ≡ 0.

Corolarul 1.1.16 Fie Ω un domeniu din C si f ∈ H(Ω) neidentic nula.Atunci multimea z ∈ Ω : f(z) = 0 este cel mult numarabila si nu are punctede acumulare ın Ω.

Corolarul 1.1.17 Daca Ω este un domeniu din C, iar functiile f, g ∈ H(Ω)satisfac conditia f(z) · g(z) = 0, z ∈ Ω, atunci f ≡ 0, sau g ≡ 0. Deci H(Ω)este domeniu de integritate.

Corolarul 1.1.18 Daca f, g sunt functii ıntregi si f(x) = g(x) pentru oricex ∈ R, atunci f ≡ g.

1.1.5 Teorema maximului modulului pentru functii olomorfe.Lema lui Schwarz

O alta proprietate esentiala a functiilor olomorfe este continuta ın Teoremamaximului modulului:

Teorema 1.1.19 Fie Ω un domeniu din C si f : Ω → C o functie olomorfa.Daca exista un punct z0 ∈ Ω astfel ıncat

|f(z0)| = max|f(z)| : z ∈ Ω,

atunci f este constanta.

De aici rezulta urmatoarele consecinte:


Corolarul 1.1.20 Daca Ω ⊂ C este un domeniu marginit si f : Ω → C esteo functie olomorfa pe Ω si continua pe Ω, atunci

max|f(z)| : z ∈ Ω = max|f(z)| : z ∈ ∂Ω.

Observatia 1.1.21 Rezultatul precedent nu mai este ın general valabil ıncazul domeniilor nemarginite din C. De exemplu, fie Ω = z = x + iy ∈ C :|y| < π/2 si f(z) = eez

. Atunci f ∈ H(Ω) si f este continua pe Ω, |f(z)| = 1,z ∈ ∂Ω. Dar restrictia lui f la axa reala este nemarginita la +∞.

Corolarul 1.1.22 (Lema lui Schwarz) Fie M > 0. Daca f este o functieolomorfa pe discul unitate U astfel ıncat f(0) = 0 si |f(z)| < M , z ∈ U ,atunci |f(z)| ≤ M |z|, z ∈ U , si |f ′(0)| ≤ M .

Daca exista z0 ∈ U astfel ıncat |f(z0)| = M |z0|, sau daca |f ′(0)| = M ,atunci exista α ∈ C astfel ıncat |α| = M si f(z) = αz, z ∈ U .

Observatia 1.1.23 O varianta mai generala a lemei lui Schwarz, cunoscutasub numele de Lema Schwarz-Pick, va fi prezentata ın Capitolul patru.

Din Lema lui Schwarz rezulta imediat urmatoarea aplicatie:

Corolarul 1.1.24 Daca f : U → U este o functie olomorfa iar a ∈ U astfelıncat f(a) = 0, atunci |f(z)| ≤ |(z − a)/(1− az)|, z ∈ U .

1.2 Integrala complexa (Cauchy)

In aceasta sectiune reamintim cateva rezultate clasice referitoare la inte-grala Cauchy. Pentru mai multe detalii se pot consulta lucrarile [Ha-Mo-Ne],[Gas-Su], [Pop]. Inainte vom prezenta unele notiuni si rezultate referitoare ladrumuri ın planul complex.

1.2.1 Drumuri ın planul complex

Definitia 1.2.1 Fie γ : [0, 1] → C o functie continua. Spunem ca γ este undrum. Imaginea segmentului [0, 1] prin γ, notata cu γ, se numeste suportuldrumului γ. Deci γ este o submultime compacta a lui C. Daca γ(0) = γ(1),spunem ca γ este un drum ınchis.

Un drum γ se numeste neted daca functia γ este derivabila cu derivatacontinua pe [0, 1]. Drumul γ este partial neted daca exista o diviziune (0 =t0, t1, . . . , tn = 1) a lui [0, 1] astfel ıncat restrictia lui γ la [tj , tj+1], notata cuγ|[tj ,tj+1], este un drum neted, pentru orice j = 0, . . . , n− 1.

1.2. Integrala complexa (Cauchy) 23

Daca γ este un drum cu variatie marginita pe [0, 1], atunci γ se numestedrum rectificabil. Vom nota cu l(γ) lungimea drumului γ (variatia totala afunctiei γ pe [0, 1]). Un drum rectificabil ınchis se numeste contur. Un conturse numeste simplu daca γ(t1) 6= γ(t2) pentru t1, t2 ∈ (0, 1), t1 6= t2.

Prezentam ın continuare cateva proprietati referitoare la notiunea de drum.

Definitia 1.2.2 Fie Ω ⊆ C si z1, z2 ∈ Ω. Daca γ : [0, 1] → Ω este un drum,spunem ca γ este un drum ın Ω. Notam cu

DΩ(z1, z2) =

γ : [0, 1] → Ω : γ drum ın Ω, γ(0) = z1, γ(1) = z2.

Daca Ω = C, notam DC(z1, z2) cu D(z1, z2).Daca γ ∈ D(z1, z2), fie γ− drumul invers (opus) lui γ definit prin γ−(t) =

γ(1 − t), t ∈ [0, 1]. Se observa ca drumurile γ si γ− au acelasi suport, darsensuri de parcurs diferite.

Daca γ1, γ2 sunt drumuri ın Ω astfel ıncat γ1, γ2 ∈ DΩ(z1, z2), spunemca γ1 este omotop cu γ2 ın Ω (notam γ1∼

Ωγ2) daca exista o functie continua

g : [0, 1] × [0, 1] → Ω astfel ıncat g(0, t) = γ1(t), g(1, t) = γ2(t), pentru oricet ∈ [0, 1], g(s, 0) = γ1(0) = γ2(0) si g(s, 1) = γ1(1) = γ2(1), pentru orices ∈ [0, 1].

In acest caz, pentru fiecare s ∈ [0, 1] se poate defini drumul γs prin γs(t) =g(s, t), t ∈ [0, 1], astfel ca γs(0) = γ1(0) = γ2(0) si γs(1) = γ1(1) = γ2(1).

Functia g ce satisface conditiile de mai sus se numeste deformatie continuaa drumului γ1 ın γ2.

Definitia 1.2.3 Fie aj ∈ C si γj ∈ D(aj , aj+1), j = 1, . . . , n. Drumul γ definitde relatia

γ(t) =

γ1(nt), t ∈ [0, 1/n]γ2(nt− 1), t ∈ [1/n, 2/n]· · · · · · · · ·γk(nt− k), t ∈ [k/n, (k + 1)/n]· · · · · · · · ·γn(nt− (n− 1)), t ∈ [(n− 1)/n, 1]

se numeste compunerea drumurilor γ1, . . . , γn si se noteaza cu γ1 ∪ · · · ∪ γn.


Observam ca daca γ1 ∈ D(a1, a2), γ2 ∈ D(a2, a3), atunci γ1∪γ2 este drumuldefinit de

(γ1 ∪ γ2)(t) =

γ1(2t), t ∈[0,

12

]

γ2(2t− 1), t ∈[12, 1

].

Definitia 1.2.4 Fie ∆ = (0 = t0, t1, . . . , tn = 1) o diviziune a intervalului[0, 1]. Spunem ca un sistem de drumuri (γ0, . . . , γn−1) este o descompunere adrumului γ asociata diviziunii ∆, daca γk = γ hk unde hk : [0, 1] → [tk, tk+1],hk(t) = (1− t)tk + ttk+1, t ∈ [0, 1], k = 0, . . . , n− 1.

Legatura ıntre Definitiile 1.2.2 si 1.2.4 este data ın rezultatul urmator:

Propozitia 1.2.5 Fie Ω ⊆ C, γ un drum ın Ω si ∆ o diviziune a interva-lului [0, 1]. Daca (γ0, . . . , γn−1) este o descompunere a drumului γ asociatadiviziunii ∆ atunci γ∼

Ωγ0 ∪ · · · ∪ γn−1.

Definitia 1.2.6 Fie Ω ⊆ C si z ∈ Ω. Drumul σz ∈ DΩ(z, z) definit prinσz(t) = z, t ∈ [0, 1], se numeste drumul punctual constant. Un drum ınchis γın Ω se numeste omotop cu zero daca exista z ∈ Ω astfel ıncat γ∼

Ωσz. Notam

γ∼Ω

0.

Definitia 1.2.7 Fie Ω un domeniu din C. Spunem ca Ω este simplu conexdaca γ∼

Ω0 pentru orice drum ınchis γ din Ω.

Intuitiv vorbind, un domeniu simplu conex nu are “gauri”. Asa cum seva vedea pe parcursul acestei carti, domeniile simplu conexe vor avea un rolesential ın studiul multor probleme din teoria functiilor de o variabila com-plexa, printre care amintim problema reprezentarii conforme.

Definitia 1.2.8 Fie Ω ⊆ C un domeniu si a ∈ Ω. Spunem ca Ω este stelat ınraport cu punctul a daca segmentul ınchis [a, z] este inclus ın Ω pentru oricez ∈ Ω. Domeniul Ω este stelat daca exista a ∈ Ω astfel ıncat Ω este stelatın raport cu a. Un domeniu ∆ ⊆ C este convex daca este stelat ın raport cuorice punct z ∈ ∆.

Observatia 1.2.9 Orice domeniu stelat din C este simplu conex. Deci siorice domeniu convex din C este simplu conex. De exemplu, orice disc esteun domeniu simplu conex. Dar U(z0; r) nu este simplu conex. De asemenea,coroana circulara U(z0; r1, r2) nu este un domeniu simplu conex.


Observatia 1.2.10 Daca γ este un contur din C, atunci C\γ are o singuracomponenta conexa nemarginita.

1.2.2 Generalitati asupra integralei Cauchy

Definitia 1.2.11 Fie [a, b] un interval ınchis din R, f, g : [a, b] → C douafunctii cu proprietatea ca Re f si Im f sunt integrabile pe [a, b] atat ın raportcu Re g cat si cu Im g. Spunem ın acest caz ca f este integrabila ın raport cug pe [a, b] (ın sens Riemann-Stieltjes).

Fie f = u + iv si g = g1 + ig2. Definim integrala functiei f ın raport cu gpe [a, b] astfel

∫ b

afdg =

∫ b

audg1 −

∫ b

avdg2 + i

∫ b

audg2 + i

∫ b

avdg1.

Rezulta ca proprietati imediate ale integralei complexe ın sens Riemann-Stieltjes se pot obtine din proprietatile corespunzatoare integralei Riemann-Stieltjes reale.

Definitia 1.2.12 Fie γ un drum rectificabil din C si f : γ → C o functiecontinua. Definim integrala complexa (Cauchy) a functiei f de-a lungul dru-mului γ prin relatia ∫

γf =

∫ 1

0(f γ)(t)dγ(t).

Integrala∫

γf se mai noteaza si cu

∫

γf(z)dz. Pe baza continuitatii

functiilor f si γ si a faptului ca γ este drum rectificabil, integrala precedentaeste finita. Mentionam ca daca γ este un drum neted atunci

∫

γf =

∫ 1

0(f γ)(t)γ′(t)dt,

deci ın acest caz integrala complexa se reduce la o integrala Riemann.Au loc urmatoarele proprietati:

Lema 1.2.13 Fie z1, z2 ∈ C, γ ∈ D(z1, z2), f, g functii continue pe γ.Atunci

(i)∫

γaf + bg = a

∫

γf + b

∫

γg, a, b ∈ C.

(ii)∫

γ−f = −

∫

γf .


(iii) Daca z3 ∈ C si λ ∈ D(z2, z3), atunci∫

γ∪λf =

∫

γf +

∫

λf.

(iv) Daca ∆ este o diviziune a intervalului [0, 1] si (γ0, . . . , γn−1) este odescompunere a drumului γ asociata diviziunii ∆ atunci

∫

γf =

n−1∑

k=0

∫

γk

f.

(v) ∣∣∣∣∫

γf(z)dz

∣∣∣∣ ≤ l(γ) supz∈γ

|f(z)|.

Unul din rezultatele principale referitoare la integrala complexa este pre-zentat ın Teorema de legatura ıntre primitiva si integrala. Acest rezultat fur-nizeaza o conditie necesara si suficienta ca functiile continue pe domenii dinplanul complex sa admita primitive.

Reamintim ca daca Ω ⊆ C este o multime deschisa iar f, g : Ω → C, atuncig este o primitiva a functiei f pe Ω daca g ∈ H(Ω) si g′(z) = f(z), z ∈ Ω.

Remarcam faptul ca exista functii continue pe multimi deschise din planulcomplex care nu admit primitive. De exemplu, functia f(z) = 1/z nu admiteprimitive pe C∗. Acest fapt rezulta imediat din Teorema 1.2.14, deoarecealegand conturul circular ∂U(0; 1), obtinem ca

∫

∂U(0;1)

dz

z= 2πi 6= 0.

Totusi functia f(z) = 1/z admite primitive pe domeniile Ω1 = C \ (−∞, 0]respectiv Ω2 = C\[0,∞). De fapt, functiile olomorfe pe domenii simplu conexeadmit primitive, asa dupa cum rezulta din Teorema 1.2.18.

Teorema 1.2.14 Fie Ω un domeniu din C si f : Ω → C o functie continua.Au loc afirmatiile:

(i) Daca∫

γf = 0 pentru orice contur γ din Ω, atunci f admite primitive

pe Ω.(ii) Daca f admite primitiva g pe Ω, iar λ este un drum rectificabil din Ω,

atunci ∫

λf = (g λ)(1)− (g λ)(0).


Observatia 1.2.15 (i) Egalitatea precedenta este cunoscuta sub numele deformula lui Leibniz-Newton.

(ii) Din rezultatul precedent deducem ca o functie continua h pe un dome-niu Ω din C admite primitive pe Ω daca si numai daca

∫

γh = 0, ∀ γ contur din Ω.

Un alt rezultat fundamental ıl constituie Teorema de legatura ıntre olo-morfie si primitiva.

Teorema 1.2.16 Fie Ω ⊆ C un domeniu stelat ın raport cu un punct a ∈ Ωsi a1, . . . , ak ∈ Ω. Daca f : Ω → C este o functie derivabila pe Ω\a1, . . . , aksi continua pe Ω, atunci f admite primitive pe Ω.

Observatia 1.2.17 In conditiile teoremei precedente, rezulta ca functia feste si olomorfa pe Ω, deoarece orice functie ce admite primitive este si olo-morfa, pe baza Teoremei lui Morera.

In continuare prezentam Teorema fundamentala a lui Cauchy.

Teorema 1.2.18 Fie Ω o multime deschisa din C si f : Ω → C o functieolomorfa. Daca γ este un contur ın Ω astfel ıncat γ∼

Ω0, atunci

∫

γf = 0.

In particular, daca z1, z2 ∈ Ω si γ1, γ2 ∈ DΩ(z1, z2) astfel ıncat γ1∼Ω

γ2,atunci ∫

γ1

f =∫

γ2

f.

Observatia 1.2.19 Combinand Teoremele 1.2.18 si 1.2.14 deducem ca dacaΩ ⊆ C este un domeniu simplu conex si f ∈ H(Ω), atunci f admite primitivepe Ω.

Formulele lui Cauchy pentru disc, prezentate ın Teorema 1.2.20, arata cadaca f este o functie olomorfa pe un disc D si continua pe discul ınchis D, sidaca se cunosc valorile acestei functii pe ∂D, atunci sunt complet determinatevalorile acestei functii peste tot ın D. Pe de alta parte, din Teorema 1.2.20deducem ca functiile olomorfe pe o multime deschisa sunt nelimitat derivabilepe aceeasi multime. Este evident ca un astfel de rezultat nu este valabil pentrufunctii de variabile reale si cu valori reale.


Teorema 1.2.20 Fie a ∈ C, r > 0 si f : U(a; r) → C o functie olomorfa peU(a; r) si continua pe U(a; r). Atunci f este nelimitat derivabila pe U(a; r) siau loc relatiile

f(z) =1

2πi

∫

∂U(a;r)

f(ζ)ζ − z

dζ, z ∈ U(a; r),

f (k)(z) =k!2πi

∫

∂U(a;r)

f(ζ)(ζ − z)k+1

dζ, z ∈ U(a; r), k ∈ N.

Corolarul 1.2.21 Fie Ω o multime deschisa din C si f ∈ H(Ω). Atunci feste nelimitat derivabila pe Ω, deci exista f (n) ∈ H(Ω) pentru orice n ∈ N.

Corolarul 1.2.22 Fie Ω o multime deschisa din C, U(z0; r) ⊂ Ω si f ∈ H(Ω).Atunci au loc inegalitatile lui Cauchy: |f (k)(z0)| ≤ k!M/rk, k ∈ N, undeM = max|f(z)| : z ∈ U(z0; r).

In Teorema 1.2.16 s-a obtinut o conditie suficienta pentru ca o functie saadmita primitive pe un domeniu stelat din C. In rezultatul urmator stabilimfaptul ca o functie derivabila pe o multime deschisa exceptand un numar finitde puncte ın care se prelungeste prin continuitate este olomorfa pe ıntreagamultime.

Teorema 1.2.23 Fie Ω o multime deschisa din C si zj ∈ Ω, j = 1, . . . , n.Daca f : Ω → C este o functie derivabila pe Ω \ z1, . . . , zn si continua pe Ω,atunci f este olomorfa pe Ω.

1.2.3 Serii Laurent

In continuare vom prezenta unele din rezultatele principale referitoare lanotiunea de serie Laurent. Aceste rezultate vor fi utile ın Capitolul doi.

Definitia 1.2.24 Fie a ∈ C. O serie de functii de forma

(1.2.1)∞∑

k=−∞ck(z−a)k = · · ·+ c−k

(z − a)k+· · ·+ c−1

z − a+c0+· · ·+ck(z−a)k+· · ·

se numeste serie Laurent. Seria−1∑

k=−∞ck(z − a)k se numeste partea principala

a seriei (1.2.1), iar seria de puteri∞∑

k=0

ck(z − a)k se numeste partea tayloriana

a seriei (1.2.1).


Seria (1.2.1) este convergenta (simplu, uniform pe compacte sau uniform)pe o multime A ⊆ C \ a daca atat partea principala cat si partea taylorianasunt convergente (simplu, uniform pe compacte sau uniform) pe multimea A.

In Teorema 1.1.9 s-a determinat raza de convergenta a unei serii de puteri.In cele ce urmeaza stabilim un rezultat similar ın cazul seriilor Laurent.

Teorema 1.2.25 Considerand seria Laurent (1.2.1), fie

(1.2.2) r = limk→∞

k√|c−k| si

1ρ

= limk→∞

k√|ck|.

Presupunem ca r < ρ. Atunci aceasta serie converge uniform pe compacte,este absolut convergenta ın coroana circulara U(a; r, ρ) si este divergenta peC \ U(a; r, ρ).

Observatia 1.2.26 (i) In conditiile Teoremei 1.2.25, fie f(z) =∞∑

k=−∞ck(z −

a)k, z ∈ U(a; r, ρ). Atunci functia f este olomorfa pe coroana circularaU(a; r, ρ), numita coroana de convergenta a seriei (1.2.1).

(ii) Daca ρ < r, unde ρ si r sunt numerele pozitive date de (1.2.2), atunciU(a; r, ρ) = ∅, deci seria (1.2.1) este divergenta pe C. Pe de alta parte, dacaρ = r atunci seria (1.2.1) poate avea puncte de convergenta numai pe ∂U(a; r).

In rezultatul urmator, cunoscut sub numele de Teorema dezvoltarii ın serieLaurent, deducem ca functiile olomorfe pe coroane circulare se dezvolta ın modunic ın serii Laurent.

Teorema 1.2.27 Fie z0 ∈ C, 0 < r1 < r2, si f : U(z0; r1, r2) → C o functieolomorfa. Atunci exista si sunt unic determinati coeficientii ckk∈Z astfelıncat

f(z) =∞∑

k=−∞ck(z − z0)k, z ∈ U(z0; r1, r2).

Capitolul 2

Teoria Indexului. Aplicatii

In acest capitol vom studia doua notiuni fundamentale din teoria functiilorde o variabila complexa: ramuri uniforme si index. Vom prezenta diverseaplicatii si proprietati ın calculul integralelor Cauchy. Notiunea de index vafi utila ın studiul numarului zerourilor si polilor functiilor meromorfe. In finalvom da diverse aplicatii ale Teoremei reziduurilor la calculul unor integraledefinite reale.

2.1 Ramuri uniforme

Principala notiune din aceasta sectiune este prezentata ın definitia urma-toare.

Definitia 2.1.1 Fie Ω ⊆ C si ∆ o multime deschisa din C astfel ca ∆ ⊆ Ω.Fie F : Ω → P(C) o aplicatie multivoca. Functia f : ∆ → C se numesteramura uniforma a lui F pe ∆ daca f ∈ H(∆) si f(z) ∈ F (z) pentru oricez ∈ ∆.

Exemplul 2.1.2 Consideram aplicatia multivoca logaritm Log : C∗ → P(C),

Logz = ln |z|+ iArgz.

Fie∆1 = C \ z ∈ C : Re z ≤ 0, Im z = 0

respectiv∆2 = C \ z ∈ C : Re z ≥ 0, Im z = 0.

31

32 2. Teoria Indexului. Aplicatii

Multimile ∆1 si ∆2 sunt domenii simplu conexe ın C. Fie

f1 : ∆1 → C, f1(z) = log z = ln |z|+ iθ1(z), z ∈ ∆1,

sif2 : ∆2 → C, f2(z) = log1(z) = ln |z|+ iθ2(z), z ∈ ∆2,

unde θ1(z) = arg z ∈ (−π, π) pentru orice z ∈ ∆1, iar θ2(z) ∈ Argz ∩ (0, 2π)pentru orice z ∈ ∆2. Atunci functia fj este ramura uniforma a aplicatieimultivoce logaritm pe ∆j , pentru j = 1, 2 (a se vedea Figura 2.1).

Figura 2.1: Imaginea benzii Bj prin functia exponentiala

Intr-adevar, functia fj este olomorfa pe ∆j iar fj(z) ∈ Logz, z ∈ ∆j , j =1, 2. Olomorfia functiei fj pe ∆j se deduce din faptul ca functia exponentialag(z) = ez este olomorfa si injectiva pe fiecare banda Bj , j = 1, 2, deci fj

este unic determinata ca inversa functiei exponentiale pe ∆j . Atunci fj esteR-diferentiabila pe ∆j si (g fj)(z) = z, z ∈ ∆j , deci

0 =∂z

∂z=

∂g

∂w(fj(z))

∂fj

∂z(z) +

∂g

∂w(fj(z))

∂fj

∂z(z) = efj(z) ∂fj

∂z(z).

De aici rezulta ca∂fj

∂z(z) = 0 pentru orice z ∈ ∆j , adica fj ∈ H(∆j).

2.1. Ramuri uniforme 33

Un calcul analog ne conduce la egalitatea∂fj

∂z(z) =

1z, adica f ′j(z) =

1z,

z ∈ ∆j , j = 1, 2.Se observa ca aplicatia multivoca Log admite o infinitate de ramuri uni-

forme hk pe domeniul simplu conex ∆1:

hk(z) = ln |z|+ i(arg z + 2kπ) = log z + 2kπi, z ∈ ∆1, k ∈ Z.

Functia log ≡ h0 se numeste ramura principala a lui Log.Daca hm si hn sunt doua ramuri uniforme ale aplicatiei logaritmice pe ∆1,

atuncihm(z)− hn(z) = 2πi(m− n), z ∈ ∆1,

adica1

2πi[hm(z)− hn(z)] ∈ Z, z ∈ ∆1.

Exemplul 2.1.3 Fie F : C∗ → P(C), F (z) = zα, unde α este un numarcomplex. Deoarece

F (z) = eαLogz, z ∈ C∗,deducem ca pe multimile ∆j , j = 1, 2, din Exemplul 2.1.2, aplicatia multivocaputere F admite ramuri uniforme. Ramura uniforma f0(z) = eα log(z) a lui Fpe ∆1 este ramura sa principala.

Remarcam faptul ca daca α = 1/n, n ∈ N, atunci F are exact n ramuriuniforme distincte fk pe ∆1, definite de relatiile

fk(z) = e1n

hk(z) = |z| 1n ei(arg z+2kπ), z ∈ ∆1, k = 0, . . . , n− 1.

In continuare, vom arata ca pe domenii simplu conexe exista si sunt uniceramurile uniforme corespunzatoare aplicatiilor multivoce logaritm si putere, ıncazul ın care fixam o valoare initiala. Mai ıntai prezentam un astfel de rezultatreferitor la aplicatia logaritmica, numit si Teorema ramurilor uniforme pentruLog.

Teorema 2.1.4 Fie Ω un domeniu simplu conex din C, g : Ω → C o functieolomorfa astfel ıncat g(z) 6= 0, z ∈ Ω. Fie z0 ∈ Ω si w0 ∈ Log(g(z0)). Atunciexista o unica ramura uniforma f a lui Log g pe Ω astfel ıncat f(z0) = w0.

Demonstratie. Existenta. Aratam ca exista f ∈ H(Ω) astfel ca ef(z) = g(z),z ∈ Ω (adica f ∈ Log g) si f(z0) = w0.

Deoarece g(z) 6= 0, z ∈ Ω, deducem ca functia h, data de relatia h(z) =g′(z)/g(z), este olomorfa pe Ω. Cum Ω este domeniu simplu conex, rezulta


ca h are primitive pe Ω pe baza Observatiei 1.2.19. Deci exista o functie polomorfa pe Ω astfel ıncat

p′(z) =g′(z)g(z)

, z ∈ Ω.

Pe de alta parte, deoarece(

ep(z)

g(z)

)′=

ep(z)[p′(z)g(z)− g′(z)]g2(z)

= 0, z ∈ Ω,

rezulta ca functia ep/g este constanta pe domeniul Ω. Prin urmare existac1 ∈ C astfel ıncat ep(z) = c1g(z), z ∈ Ω. Deoarece ep(z) 6= 0 si g(z) 6= 0,z ∈ Ω, deducem ca c1 6= 0. Fie f : Ω → C, f(z) = p(z) + c2, z ∈ Ω, undealegem constanta c2 astfel ca f(z0) = w0, adica c2 = w0 − p(z0). Atuncif ∈ H(Ω) si ramane de aratat ca f(z) ∈ Log(g(z)), z ∈ Ω. Intr-adevar, dinfaptul ca ew0 = g(z0) rezulta ca

ef(z) = ep(z) · ec2 =c1g(z) · ew0

ep(z0)=

c1g(z)g(z0)c1g(z0)

= g(z), z ∈ Ω.

Deci f este ramura uniforma a lui Log g pe Ω astfel ıncat f(z0) = w0.Unicitatea. Daca f1 : Ω → C este o alta ramura uniforma a lui Log g pe

Ω, astfel ıncat f1(z0) = w0, atunci

ef1(z) = g(z) = ef(z), z ∈ Ω.

Decief1(z)−f(z) = 1, z ∈ Ω,

si0 = (ef1(z)−f(z))′ = ef1(z)−f(z)(f ′1(z)− f ′(z)), z ∈ Ω.

In concluzie, f ′1(z) = f ′(z), z ∈ Ω, adica f1(z) = f(z)+c, z ∈ Ω, unde c esteo constanta. Cum f1(z0) = f(z0) = w0, rezulta ca c = 0, deci f1(z) = f(z),z ∈ Ω. ¤

Observatia 2.1.5 Existenta si unicitatea ramurilor uniforme pentru aplicatiamultivoca logaritm se poate demonstra ıntr-un context mai general. Astfel,daca Ω este un domeniu simplu conex din C, g : Ω → C∗ este o functiecontinua, z0 ∈ Ω, w0 ∈ Log(g(z0)), atunci exista o unica functie continua f peΩ, astfel ıncat ef(z) = g(z), z ∈ Ω, si f(z0) = w0. In plus, daca functia g estede clasa Ck, atunci f este de clasa Cm, m ≤ k.


Demonstratia acestui rezultat poate fi consultata ın [Ber-Ga, p. 54].

Observatia 2.1.6 Fie Ω un domeniu simplu conex din C si f unica ramurauniforma a lui Log g pe Ω, care ındeplineste conditiile din Teorema 2.1.4.Atunci f ′(z) = g′(z)/g(z), z ∈ Ω. Intr-adevar, din egalitatea

ef(z) = g(z), z ∈ Ω,

rezulta ca

g′(z) = (ef(z))′ = ef(z)f ′(z) = g(z)f ′(z), z ∈ Ω.

Cum g(z) 6= 0, z ∈ Ω, deducem ca f ′(z) = g′(z)/g(z), z ∈ Ω.

Rezultatul urmator este cunoscut sub numele de Teorema ramurilor uni-forme pentru aplicatia multivoca putere.

Teorema 2.1.7 Fie Ω un domeniu simplu conex din C, g : Ω → C o functieolomorfa astfel ıncat g(z) 6= 0, z ∈ Ω. Fie α ∈ R∗, z0 ∈ Ω si w0 ∈ [g(z0)]α.Atunci exista o unica ramura uniforma f a lui gα pe Ω astfel ıncat f(z0) = w0.

Demonstratie. Existenta. Aratam ca exista o functie f ∈ H(Ω), ce satisfaceconditiile

f ∈ H(Ω), f(z) ∈ [g(z)]α = eαLog(g(z)), ∀z ∈ Ω, f(z0) = w0.

Deoarece w0 ∈ [g(z0)]α = eαLog(g(z0)) exista w1 ∈ Log(g(z0)) astfel ıncatw0 = eαw1 . Pe baza Teoremei 2.1.4 exista o unica ramura uniforma h a luiLogg pe Ω astfel ca h(z0) = w1. Fie f : Ω → C, f(z) = eαh(z), z ∈ Ω. Atuncif ∈ H(Ω), f(z) ∈ eαLog(g(z)) = [g(z)]α, z ∈ Ω, si f(z0) = eαw1 = w0. Prinurmare f este o ramura uniforma a lui gα pe Ω.

Unicitatea. Fie f1 o alta ramura uniforma a lui gα pe Ω astfel ıncat f1(z0) =w0.

Deci f1(z) ∈ eαLog(g(z)), z ∈ Ω, adica exista h1 o ramura uniforma a luiLog g pe Ω pentru care avem

f1(z) = eαh1(z), z ∈ Ω.

Fie z ∈ Ω. Atunci f(z) = eαh(z) unde h este ramura uniforma definita laetapa precedenta a demonstratiei. Cum h(z) ∈ Log(g(z)), deducem ca existaθ(z) ∈ Arg g(z) astfel ıncat

h(z) = ln |g(z)|+ iθ(z).


Analog, exista θ1(z) ∈ Arg g(z) astfel ca

h1(z) = ln |g(z)|+ iθ1(z).

Pe de alta parte, deoarece α ∈ R, rezulta ca

|f1(z)| = |f(z)| = eα ln |g(z)| = |g(z)|α.

Cum z a fost ales ın mod arbitrar, urmeaza ca |f1(z)/f(z)| = 1, z ∈ Ω, adicafunctia f1/f este constanta pe domeniul Ω. Dar f1(z0) = f(z0) = w0, decif1 ≡ f . Demonstratia este ıncheiata. ¤

Observatia 2.1.8 (i) Rezultatul precedent ramane valabil daca α este unnumar complex (a se vedea [Ha-Mo-Ne]).

(ii) Fie f unica ramura uniforma a lui gα pe Ω ce satisface conditiile dinTeorema 2.1.7. Atunci f(z) = eαh(z), unde h este ramura uniforma a lui Loggpe Ω, astfel ıncat h(z0) = ω0, f(z0) = eαω0 si eαω0 = w0. Atunci

f ′(z) = αeαh(z) · h′(z) = αeαh(z) g′(z)

g(z)= αf(z)

g′(z)g(z)

, z ∈ Ω.

Decif ′(z)f(z)

= αg′(z)g(z)

, z ∈ Ω.

De aici obtinem ca

f ′(z) ∈ αg′(z)[g(z)]α−1, z ∈ Ω.

Observatia 2.1.9 Este esential ca domeniul Ω ın Teoremele 2.1.4 si 2.1.7 safie simplu conex. De exemplu, daca Ω este coroana circulara U(0; 1, 2) (carenu este un domeniu simplu conex), iar g(z) ≡ z, atunci aplicatia multivocaLogz nu admite ramuri uniforme pe U(0; 1, 2). Intr-adevar, daca ar exista oramura uniforma f a lui Logz pe U(0; 1, 2), atunci f ∈ H(U(0; 1, 2)) si

ef(z) = z, z ∈ U(0; 1, 2).

Rezulta caef(z) · f ′(z) = 1 ⇔ f ′(z) =

1z, z ∈ Ω.

Ultima egalitate implica faptul ca f este o primitiva a functiei 1/z pe U(0; 1, 2).Pe de alta parte, pe baza Observatiei 1.2.15 (ii) si a faptului ca

∫

∂U(0;r)

dζ

ζ= 2πi 6= 0, ∀r > 0,

deducem ca functia 1/z nu admite primitive pe U(0; 1, 2). Am obtinut ocontradictie.


In teoremele ramurilor uniforme pentru Logg si gα functia g nu se anuleazape domeniul simplu conex Ω. Ne punem problema de a stabili un rezultatsimilar ın cazul ın care functia g omite doua valori. In acest sens are locurmatorul rezultat cunoscut sub numele de Lema lui Landau.

Teorema 2.1.10 Fie Ω un domeniu simplu conex din C si g ∈ H(Ω) astfelıncat g(z) 6∈ 0, 1, z ∈ Ω. Fie z0 ∈ Ω. Atunci exista o functie f ∈ H(Ω)astfel ıncat −π < Im f(z0) ≤ π si

(2.1.1) g(z) = e2πich(f(z)), z ∈ Ω.

Demonstratie. Deoarece g(z) 6∈ 0, 1, z ∈ Ω, putem determina ramuraprincipala a lui Log g pe Ω, ın conformitate cu Teorema 2.1.4. Intr-adevar,e suficient sa fixam o valoare w0 ∈ Log(g(z0)) din C \ (−∞, 0]. Atunci existao unica ramura uniforma h a lui Log g pe Ω astfel ca h(z0) = w0. Rotindın mod convenabil pe h(z), z ∈ Ω, putem determina o functie p ∈ H(Ω) ınΩ astfel ıncat −1/2 < Re p(z0) ≤ 1/2 si g(z) = e2πip(z), z ∈ Ω. Functia psatisface conditia

p(z) 6∈ Z, z ∈ Ω,

deoarece, ın caz contrar, daca ar exista z1 ∈ Ω astfel ıncat p(z1) ∈ Z atuncig(z1) = 1, ceea ce ar contrazice ipoteza. In particular,

[p(z)]2 − 1 6= 0, z ∈ Ω,

si aplicand Teorema 2.1.7 (pentru α = 1/2), deducem ca exista o ramurauniforma q a lui [p2 − 1]1/2 pe Ω astfel ca p2(z)− 1 = q2(z), z ∈ Ω, adica

(2.1.2) (p(z)− q(z))(p(z) + q(z)) = 1, z ∈ Ω.

Fie r una din functiile p−q, respectiv p+q, ce satisface conditia |r(z0)| ≥ 1.Fara a restrange generalitatea, presupunem ca r = p−q. Din (2.1.2) deducemca r ∈ H(Ω), r(z) 6= 0, z ∈ Ω, deci putem din nou determina o ramurauniforma f a lui Log r pe Ω astfel ıncat

(2.1.3) ef(z) = r(z), z ∈ Ω, −π < Im f(z0) ≤ π.

Aratam ca p(z) = chf(z), z ∈ Ω. Intr-adevar, din (2.1.2) si (2.1.3) obtinemca

chf(z) =ef(z) + e−f(z)

2=

r(z) +1

r(z)2

=p(z)− q(z) + p(z) + q(z)

2= p(z), z ∈ Ω.


Pe de alta parte, din faptul ca g(z) = e2πip(z), z ∈ Ω, deducem cag(z) = e2πichf(z), z ∈ Ω, adica am obtinut egalitatea (2.1.1). Demonstratiaeste ıncheiata. ¤

Probleme

Problema 2.1.1 Sa se completeze detaliile din demonstratia Teoremei 2.1.10.

Problema 2.1.2 Sa se determine ramura principala a functiei [1− z]1/2.

Problema 2.1.3 (i) Fie zk ∈ C astfel ıncat Re zk > 0, k = 1, . . . , n, siRe (z1 · · · zk) > 0. Sa se arate ca

log(z1 · · · zn) = log z1 + · · ·+ log zn,

unde log z este ramura principala a lui Logz.(ii) Sa se discute valabilitatea egalitatii log(z1z2) = log z1 + log z2, unde

log z este ramura principala a lui Logz.

2.2 Index. Aplicatii

2.2.1 Index

In aceasta sectiune vom prezenta cateva proprietati referitoare la notiuneade index. Aceasta notiune va fi utila ın studiul integralelor Cauchy pe contu-ruri precum si ın teoria reziduurilor.

Definitia 2.2.1 Fie γ un contur din C si z ∈ C\γ. Numarul n(γ; z), definitde egalitatea

n(γ; z) =1

2πi

∫

γ

dζ

ζ − z,

se numeste indexul conturului γ ın raport cu z (relativ la z).

Exemplul 2.2.2 Este usor de observat ca daca γ1(t) = z0 + re2πit si γ2(t) =z0 + re4πit, t ∈ [0, 1], atunci n(γ1; z0) = 1 iar n(γ2; z0) = 2. Asadar, intuitiv,indexul unui contur γ ın raport cu un punct z 6∈ γ ne arata “de cate oriocoleste γ punctul z” (a se vedea Figura 2.2).

Au loc urmatoarele rezultate relative la notiunea de index.

2.2. Index. Aplicatii 39

Figura 2.2: Contur ın C

Lema 2.2.3 (i) Fie γ un contur din C. Atunci

n(γ−; z) = −n(γ; z), ∀ z ∈ C \ γ,

unde γ− este opusul (inversul) lui γ.(ii) Daca γ1 si γ2 sunt contururi din C astfel ıncat γ1(1) = γ2(0), atunci

n(γ1 ∪ γ2; z) = n(γ1; z) + n(γ2; z), ∀ z ∈ C \ γj, j = 1, 2.

(iii) Daca z ∈ C, γ si Γ sunt contururi omotope ın C \ z, atunci

n(γ; z) = n(Γ; z).

Demonstratie. Primele doua afirmatii sunt evidente. Ramane sa aratamafirmatia (iii). Fie functia f : C \ z → C, data de f(ζ) = 1/(ζ − z). Cumf ∈ H(C \ z) iar drumurile γ si Γ sunt omotope ın C \ z, rezulta dinTeorema fundamentala a lui Cauchy 1.2.18 ca

∫

γ

f(ζ)dζ =∫

Γ

f(ζ)dζ,

adica n(γ; z) = n(Γ; z). ¤

Teorema 2.2.4 Fie γ un contur din C. Atunci n(γ; z) ∈ Z pentru oricez ∈ C \ γ.

Demonstratie. Fie z0 ∈ C \ γ fixat. Atunci

n(γ; z0) =1

2πi

∫

γ

dζ

ζ − z0.


Cum z0 6∈ γ rezulta ca dist(z0; γ) > 0 unde

dist(z0, γ) = min|z0 − γ(t)| : t ∈ [0, 1].Fie ρ = dist(z0; γ). Deoarece functia γ : [0, 1] → C este continua, deciuniform continua pe compactul [0, 1], deducem ca pentru ρ > 0 exista δ =δ(ρ) > 0 astfel ıncat

|γ(t)− γ(t′)| < ρ, ∀ t, t′ ∈ [0, 1], |t− t′| < δ.

Fie ∆ = (t0 = 0, t1, . . . , tm = 1) o diviziune a intervalului [0, 1] astfel ca‖∆‖ < δ si fie ak = γ(tk), k = 0, 1, . . . , m. Pe baza relatiei precedente obtinemca

(2.2.1) γ([tk, tk+1]) ⊂ U(ak; ρ), k = 0, 1, . . . , m− 1.

Fie (γ0, . . . , γm−1) o descompunere a drumului γ asociata diviziunii ∆.Atunci are loc egalitatea

(2.2.2)∫

γ

dζ

ζ − z0=

m−1∑

k=0

∫

γk

dζ

ζ − z0.

Deoarece γk(t) = γ((1 − t)tk + ttk+1), k = 0, . . . , m − 1, deducem caγk = γ([tk, tk+1]), γk(0) = ak si γk(1) = ak+1. Prin urmare, din (2.2.1)rezulta ca γk ⊂ U(ak; ρ), k = 0, . . . , m − 1. Observam ca punctul z0 nuapartine nici unui disc U(ak; ρ), k = 0, . . . , m− 1, deoarece

|z0 − ak| = |z0 − γ(tk)| ≥ dist(z0; γ) = ρ.

In continuare, vom calcula fiecare integrala din (2.2.2) cu ajutorul Teore-mei ramurilor uniforme pentru aplicatia logaritmica. Fie w0 ∈ Log(a0 − z0).Deoarece U(a0; ρ) este un domeniu simplu conex, iar functia g : U(a0; ρ) → C,g(z) = z− z0, este olomorfa si nu se anuleaza ın U(a0; ρ), rezulta din Teorema2.1.4 ca exista o unica ramura uniforma h0 a lui Logg pe U(a0; ρ) astfel ıncath0(a0) = w0. Din Observatia 2.1.6 rezulta ca

h′0(z) =g′(z)g(z)

=1

z − z0, z ∈ U(a0; ρ).

Deci h0 este o primitiva a functiei 1/(z − z0) pe U(a0; ρ). Aplicand formulalui Leibniz-Newton (a se vedea Observatia 1.2.15), obtinem ca

∫

γ0

dζ

ζ − z0= h0(γ0(1))− h0(γ0(0)) = h0(a1)− h0(a0) = h0(a1)− w0.


Mai departe ne fixam rationamentul la discul U(a1; ρ). Alegem w1 =h0(a1) ∈ Log(a1−z0) si aplicam din nou Teorema 2.1.4. Atunci exista o unicaramura uniforma h1 a lui Log(z − z0) pe U(a1; ρ) astfel ıncat h1(a1) = w1.Atunci h′1(z) = 1/(z − z1), z ∈ U(a1; ρ), si

∫

γ1

dζ

ζ − z0= h1(γ1(1))− h1(γ1(0)) = h1(a2)− h1(a1) = h1(a2)− h0(a1).

Continuand rationamentul precedent, deducem ca daca hk−1 este unicaramura uniforma a lui Log(z − z0) pe discul U(ak−1; ρ) cu hk−1(ak−1) =hk−2(ak−1) ∈ Log(ak−1− z0), iar wk = hk−1(ak), atunci exista o unica ramurauniforma hk a lui Log(z − z0) pe U(ak; ρ) cu proprietatea ca hk(ak) = wk. Inplus, h′k(z) = 1/(z − z0), z ∈ U(ak; ρ), si∫

γk

dζ

ζ − z0= hk(γk(1))−hk(γk(0)) = hk(ak+1)−hk(ak) = hk(ak+1)−hk−1(ak).

Revenind la (2.2.2) si tinand cont de relatiile precedente, obtinem ca

(2.2.3)∫

γ

dζ

ζ − z0=

m−1∑

k=0

[hk(ak+1)− hk(ak)] = hm−1(am)− h0(a0).

Deoarece γ este un contur, am = γ(1) = γ(0) = a0, iar din faptul ca hm−1

si h0 sunt ramuri uniforme ale aplicatiei multivoce Log(z − z0), deducem caexista un numar m ∈ Z, astfel ıncat

hm−1(a0)− h0(0) = 2mπi.

Prin urmare din (2.2.3) si egalitatea precedenta obtinem ca

n(γ; z0) =1

2πi[hm−1(a0)− h0(a0)] = m ∈ Z.

Demonstratia este ıncheiata. ¤O alta demonstratie interesanta a rezultatului precedent, ın cazul ın care

γ este un contur partial neted din C, este prezentata ın [Gas-Su, Propozitia5.1.1] (a se vedea si [Ah, p.115]).

Teorema 2.2.5 Fie γ un contur din C. Atunci indexul lui γ este constant pefiecare componenta conexa a lui C \ γ. Mai mult, n(γ; z) = 0 pentru orice zdin componenta conexa nemarginita A∞ a lui C \ γ.


Demonstratie. Pasul I. Fie f : C \ γ → C, f(z) = n(γ; z). Deoarece

f(z) =1

2πi

∫

γ

dζ

ζ − z, z ∈ C \ γ,

iar functia g(z, ζ) =1

ζ − zsatisface conditiile din Problema 2.2.1, deducem ca

f este olomorfa pe C \ γ si

f ′(z) =1

2πi

∫

γ

∂g

∂z(z, ζ)dζ =

12πi

∫

γ

dζ

(ζ − z)2, z ∈ C \ γ.

Cum functia 1/(ζ − z)2 admite primitive pe C \ z, iar γ este un contur,rezulta ca f ′(z) = 0, z ∈ C\γ. Deci f este constanta pe fiecare componentaconexa a lui C \ γ, adica f este local constanta pe C \ γ.

Acum prezentam o alta demonstratie a rezultatului precedent, bazata peurmatorul argument:

Fie Ω o componenta conexa a lui C \ γ. Deoarece functia f(z) = n(γ; z)este continua pe C\γ, deducem ca f(Ω) este o multime conexa. Dar f(z) ∈Z, z ∈ C \ γ, pe baza Teoremei 2.2.4. Prin urmare f(Ω) se reduce la unpunct, adica f este constanta pe Ω.

Pasul II. In continuare aratam ca n(γ; z) = 0 pentru orice z ∈ A∞.Deoarece A∞ este componenta conexa nemarginita a lui C \ γ, exista ρ > 0astfel ıncat

A∞ ⊇ C \ U(0; ρ) si γ ⊆ U(0; ρ).

Fie l(γ) lungimea conturului γ (variatia totala a drumului γ). Alegandρ0 > ρ + l(γ)/(2π) si z0 ∈ A∞ astfel ıncat |z0| > ρ0, obtinem ca

|ζ − z0| ≥ |z0| − |ζ| > ρ0 − ρ >l(γ)2π

, ζ ∈ γ.

Deci0 ≤ |n(γ; z0)| = 1

2π

∣∣∣∫

γ

dζ

ζ − z0

∣∣∣ ≤ l(γ)2π

supζ∈γ

1|ζ − z0| < 1.

Deoarece n(γ; z0) ∈ Z, conform Teoremei 2.2.4, concludem ca n(γ; z0) = 0.Dar n(γ; z) este constant pe A∞, deci n(γ; z) = 0, ∀ z ∈ A∞. ¤

Observatia 2.2.6 Prezentam o alta demonstratie a pasului al doilea: fie r >0 astfel ca γ ⊂ U(0; r). Daca z0 6∈ U(0; r) atunci este clar ca

∫

γ

dz

z − z0= 0.


Pe de alta parte, A∞∩(C\U(0; r)) 6= ∅ deoarece A∞ este multime nemarginita.Deci

n(γ; z) = 0, ∀z ∈ A∞ ∩ (C \ U(0; r)),

iar din faptul ca n(γ; z) este constant pe A∞, rezulta ca n(γ; z) = 0, z ∈ A∞.

Exemplul 2.2.7 n(∂U(z0; r); z) =

1, z ∈ U(z0; r)0, z ∈ C \ U(z0; r).

Intr-adevar, din Teorema 2.2.5, obtinem ca

n(∂U(z0; r); z) = n(∂U(z0; r); z0) = 1, ∀ z ∈ U(z0; r).

Daca z 6∈ U(z0; r), atunci z apartine componentei conexe nemarginite a luiC \ ∂U(z0; r), deci n(∂U(z0; r); z) = 0 pe baza Teoremei 2.2.5.

In cele ce urmeaza prezentam o alta aplicatie a Teoremei 2.2.5.

Teorema 2.2.8 Fie γ1, γ2 contururi din C si z0 ∈ C astfel ıncat

(2.2.4) |γ1(t)− γ2(t)| < |z0 − γ2(t)|, t ∈ [0, 1].

Atunci n(γ1; z0) = n(γ2; z0).

Demonstratie. Din relatia (2.2.4) rezulta ca z0 6∈ γj, j = 1, 2. Fara arestrange generalitatea, presupunem ca z0 = 0. Atunci γj(t) 6= 0, t ∈ [0, 1],j = 1, 2. Fie γ(t) = γ1(t)/γ2(t), t ∈ [0, 1]. Este clar ca γ e un contur din C,deoarece

γ(0) =γ1(0)γ2(0)

=γ1(1)γ2(1)

= γ(1).

In plus, din (2.2.4) deducem ca

|γ(t)− 1| < 1, t ∈ [0, 1],

adica γ ⊂ U(1; 1) (a se vedea Figura 2.3). Cum 0 ∈ ∂U(1; 1) rezulta ca0 6∈ γ si ın plus, originea apartine componentei conexe nemarginite a luiC \ γ. Din Teorema 2.2.5 rezulta ca n(γ; 0) = 0. Dar

0 = n(γ; 0) =1

2πi

∫

γ

dζ

ζ=

12πi

∫ 1

0

dγ(t)γ(t)

=1

2πi

[∫ 1

0

dγ1(t)γ1(t)

−∫ 1

0

dγ2(t)γ2(t)

]= n(γ1; 0)− n(γ2; 0).

Deci n(γ1; 0) = n(γ2; 0). ¤In finalul acestei sectiuni obtinem un rezultat interesant bazat pe notiunea

de index.


Figura 2.3: Contur ın U(1; 1)

Teorema 2.2.9 Fie D un domeniu din C si z1, z2 ∈ C\D. Daca z1, z2 apartinla acceasi componenta conexa a lui C \D, atunci exista f ∈ H(D) astfel ıncat

ef(z) =z − z1

z − z2, z ∈ D.

Demonstratie. Fie h(z) = (z − z1)/(z − z2), z ∈ D. Aratam ca functia h′/hare primitive pe D. Deoarece h′/h este continua pe D, deducem din Teoremade legatura ıntre primitiva si integrala (a se vedea Teorema 1.2.14) ca h′/h

are primitive daca si numai daca∫γ

h′(z)h(z) dz = 0 pentru orice contur γ din D.

Fie γ un contur astfel ca γ ⊂ D. Cum n(γ; z) este local constant peC \ γ ⊃ C \ D, iar z1, z2 apartin aceleiasi componente conexe a lui C \ D,deducem ca

∫

γ

h′(z)h(z)

dz =∫

γ

[1

z − z1− 1

z − z2

]dz = 2πi[n(γ; z1)− n(γ; z2)] = 0.

Deci functia h′/h admite primitive pe D. Fie g o astfel de primitiva afunctiei h′/h. Atunci g ∈ H(D) si g′(z) = h′(z)/h(z), z ∈ D. In plus,

[e−g(z)h(z)]′ = −e−g(z)g′(z)h(z) + e−g(z)h′(z) = 0, z ∈ D.

Cum D este domeniu, urmeaza ca functia e−gh este constanta, deci existaα ∈ C astfel ıncat e−g(z)h(z) = α, z ∈ D. Deoarece h(z) 6= 0, z ∈ D, rezultaca α 6= 0. Prin urmare, exista β ∈ C astfel ıncat α = eβ. Fie f = g + β.Atunci f ∈ H(D) si ef(z) = h(z), z ∈ D. ¤


Probleme

Problema 2.2.1 Fie Ω o multime deschisa din C, iar γ un drum rectificabil

din C. Daca functia f : Ω × γ → C este continua, iar g(z) =∫

γ

f(z, ζ)dζ,

z ∈ Ω, atunci functia g este continua pe Ω. In plus, daca exista si este continua

functia∂f

∂z(z, ζ) pe Ω× γ, atunci g este olomorfa pe Ω si

g′(z) =∫

γ

∂f

∂z(z, ζ)dζ, z ∈ Ω.

In particular, daca h este o functie continua pe γ si f(z, ζ) = h(ζ)/(ζ−z),

atunci functia g(z) =∫

γ

f(z, ζ)dζ este nelimitat derivabila pe C \ γ si are

loc relatia

(2.2.5) g(k)(z) = k!∫

γ

h(ζ)(ζ − z)k+1

dζ, z ∈ C \ γ, k ∈ N.

Problema 2.2.2 Fie γ conturul definit de relatia γ(t) = eit sin(2t), t ∈ [0, 2π].Sa se determine suportul acestui contur si n(γ; z), z ∈ C \ γ.

Problema 2.2.3 Fie γ(t) = e−2it cos t, t ∈ [0, 2π]. Sa se determine γ sin(γ; z), z ∈ C \ γ.

Problema 2.2.4 Fie z0 = reiθ ∈ C∗ si γ un drum rectificabil din C∗, astfelıncat γ(0) = 1 si γ(1) = z0. Sa se arate ca exista m ∈ Z, astfel ca

∫

γ

dz

z= ln r + iθ + 2mπi.

2.2.2 Lanturi ın C. Notiunea de omologie

Fie γ1, . . . , γk drumuri rectificabile din C si fie γ =k⋃

j=1

γj (aici nu ne

referim la compunerea drumurilor ci la reuniunea formala a celor k multimi).Multimea compacta γ se numeste lant; γ se numeste lant ınchis (ciclu) dacafiecare drum γj este ınchis. Daca Ω este o multime deschisa din C iar γj ⊂ Ω,


j = 1, . . . , k, atunci γ se numeste lant ın Ω. Daca f : Ω → C este o functiecontinua, definim integrala lui f pe lantul γ prin

∫

γf =

k∑

j=1

∫

γj

f.

Indexul ciclului γ relativ la z0 ∈ C \ γ este definit de relatia

n(γ; z0) =1

2πi

∫

γ

dz

z − z0=

k∑

j=1

n(γj ; z0).

Fie γ− inversul (opusul) lantului γ definit prin γ− =k⋃

j=1

γ−j . Atunci

∫

γ−f = −

∫

γf.

Daca γ este un ciclu, atunci

n(γ−; z) = −n(γ; z), z 6∈ γ.Daca γ si λ sunt doua cicluri atunci

n(γ ∪ λ; z) = n(γ; z) + n(λ; z), z 6∈ γ ∪ λ.Definitia 2.2.10 Fie γ un drum ınchis ın Ω. Spunem ca γ este nul omologın Ω (notam γ≈

Ω0) daca n(γ; z) = 0, ∀z ∈ C \ Ω. Mai general, daca γ este un

lant ınchis (ciclu) ın Ω, atunci γ se numeste nul omolog ın Ω (notam γ≈Ω

0)

daca n(γ; z) = 0, ∀z ∈ C \ Ω.

Observatia 2.2.11 (i) Este clar ca daca fiecare drum ınchis γj este nul omo-

log ın Ω, j = 1, . . . , k, atunci lantul ınchis γ =k⋃

j=1

γj este de asemenea nul

omolog ın Ω. Reciproca nu are loc.(ii) Din Teorema fundamentala a lui Cauchy rezulta imediat ca daca γ

este un contur ın Ω astfel ca γ∼Ω

0 atunci γ≈Ω

0. Intr-adevar, daca γ∼Ω

0 atunci

exista z0 ∈ Ω astfel ıncat γ∼Ω

γz0 unde γz0 este drumul punctual constant egal

cu z0. Din Teorema lui Cauchy rezulta ca

n(γ; z) = n(γz0 ; z) = 0, ∀z ∈ C \ Ω,

deci γ≈Ω

0.

Mentionam ca reciproca acestui rezultat nu are loc.

2.3. Integrale Cauchy. Teoria reziduurilor 47

In continuare prezentam fara demonstratie urmatoarea versiune a Teore-mei lui Cauchy, cunoscuta sub numele de versiunea omologica a Teoremei luiCauchy.

Teorema 2.2.12 Fie γ un ciclu ın Ω astfel ıncat γ≈Ω

0. Daca f ∈ H(Ω)

atunci∫

γ

f = 0.

Demonstratia acestui rezultat poate fi consultata ın [Ha-Mo-Ne, p. 87-88]si [Gas-Su].

2.3 Integrale Cauchy. Teoria reziduurilor

2.3.1 Aplicatii ale notiunii de index

In continuare vom aplica notiunea de index la calculul unor integrale com-plexe (Cauchy). De asemenea vom prezenta diverse aplicatii ale acestei notiuniın teoria reziduurilor, precum si ın studiul zerourilor si polilor functiilor me-romorfe.

Observatia 2.3.1 Daca Ω este o multime deschisa din C iar f ∈ H(Ω), atuncif este nelimitat derivabila pe Ω. In plus, f si derivatele sale de orice ordin sereprezinta ca integrale Cauchy pe orice cerc inclus ın Ω, adica daca U(z0; r) ⊂Ω, atunci

f (k)(z) =k!2πi

∫

∂U(z0;r)

f(ζ)(ζ − z)k+1

dζ, ∀ z ∈ U(z0; r), k ∈ N.

Ne punem problema de a stabili o formula analoaga ın cazul ın care cer-cul ∂U(z0; r) este ınlocuit cu un contur omotop cu zero ın Ω. In acest sensare loc urmatorul rezultat. Egalitatile (2.3.1) sunt cunoscute sub numele deformulele lui Cauchy ın versiunea omotopica (sau formulele lui Cauchy pentrucontururi).

Teorema 2.3.2 Fie Ω o multime deschisa din C si f ∈ H(Ω). Daca γ esteun contur omotop cu zero ın Ω atunci

(2.3.1) n(γ; z)f (k)(z) =k!2πi

∫

γ

f(ζ)(ζ − z)k+1

dζ, z ∈ Ω \ γ, k ∈ N.


Demonstratie. Mai ıntai aratam ca are loc egalitatea (2.3.1) ın cazul k = 0.Fie z ∈ Ω \ γ. Atunci

(2.3.2)1

2πi

∫

γ

f(ζ)ζ − z

dζ =1

2πi

∫

γ

f(ζ)− f(z)ζ − z

dζ + f(z)1

2πi

∫

γ

dζ

ζ − z.

Consideram functia g : Ω → C,

g(ζ) =

f(ζ)− f(z)ζ − z

, ζ ∈ Ω \ zf ′(z), ζ = z.

Atunci g este olomorfa pe Ω\z si este continua pe Ω. Deci g este olomorfape Ω pe baza Teoremei 1.2.23. Cum γ∼

Ω0, urmeaza din Teorema 1.2.18 ca

∫

γ

g(ζ)dζ = 0.

Revenind la relatia (2.3.2) si folosind egalitatea precedenta, deducem ca

12πi

∫

γ

f(ζ)ζ − z

dζ = f(z)1

2πi

∫

γ

dζ

ζ − z= n(γ; z)f(z).

Cum z a fost ales ın mod arbitrar, obtinem egalitatea (2.3.1) ın cazul k = 0.In continuare tratam cazul general. Fie k ∈ N si z ∈ Ω \ γ. Deoarece

functia ϕ(z) = n(γ; z) este constanta pe fiecare componenta conexa a luiΩ \ γ, obtinem imediat ca

[ϕ(z)f(z)](k) = n(γ; z)f (k)(z).

Din Problema 2.2.1 rezulta ca

[ϕ(z)f(z)](k) =dk

dzk

∫

γ

f(ζ)ζ − z

dζ =k!2πi

∫

γ

f(ζ)(ζ − z)k+1

dζ.

Combinand relatiile precedente obtinem (2.3.1). Demonstratia este ıncheiata.¤

Observatia 2.3.3 Fie γ un contur simplu ın C, adica restrictia functiei γla intervalul [0, 1) este injectiva. Atunci C \ γ are exact doua componenteconexe: componenta marginita notata cu (γ) (numita si “interiorul” lui γ)


si componenta nemarginita notata cu A∞ (numita si “exteriorul” conturuluiγ), pentru care C \ γ = (γ) ∪ A∞. Mai mult, n(γ; z) = ±1, z ∈ (γ), iarn(γ; z) = 0, z ∈ A∞. Acest rezultat se datoreaza lui Jordan. In particular,(γ) este un domeniu simplu conex din C.

Spunem ca γ este contur Jordan daca γ este un contur simplu astfel can(γ; z) = 1, z ∈ (γ).

Presupunem acum ca γ este un contur Jordan astfel ca (γ) ⊂ Ω unde(γ) = γ ∪ (γ). Din Teorema 2.3.2 obtinem

Corolarul 2.3.4 Fie Ω o multime deschisa din C si γ un contur Jordan dinΩ astfel ıncat (γ) ⊂ Ω. Daca f ∈ H(Ω) atunci

f (k)(z) =k!2πi

∫

γ

f(ζ)(ζ − z)k+1

dζ, z ∈ (γ), k ∈ N.

Mentionam ca daca ın rezultatul precedent γ este un cerc, atunci se obtinformulele lui Cauchy obisnuite.

Valabilitatea Teoremei lui Cauchy ın varianta sa omologica (Teorema2.2.12) precum si demonstratia Teoremei 2.3.2 asigura urmatoarea versiuneomologica a formulelor lui Cauchy:

Teorema 2.3.5 Fie Ω o multime deschisa din C si f ∈ H(Ω). Daca γ esteun drum ınchis ın Ω astfel ca γ≈

Ω0 atunci

n(γ; z)f (k)(z) =k!2πi

∫

γ

f(ζ)(ζ − z)k+1

dζ, z ∈ Ω \ γ, k ∈ N.

2.3.2 Puncte singulare izolate

In aceasta sectiune reamintim cateva rezultate referitoare la notiunea depunct singular izolat. Nu vom prezenta demonstratiile acestor rezultate deoa-rece pot fi gasite ın [Ha-Mo-Ne], [Gas-Su], [Na-Ni], [Pop].

Definitia 2.3.6 Fie Ω o multime deschisa din C si f ∈ H(Ω). Punctul z0 ∈ Cse numeste singular izolat pentru functia f daca z0 6∈ Ω, dar exista ρ > 0 astfelca U(z0; ρ) ⊆ Ω (deci f ∈ H(U(z0; ρ))).

De exemplu, functiile sin z/z, 1/z, e1/z au singularitati izolate ın z = 0.


Daca z0 este un punct singular izolat pentru functia f ∈ H(Ω), iar ρ este unnumar pozitiv astfel ıncat U(z0; ρ) ⊂ Ω, atunci functia f admite o dezvoltareın serie Laurent de forma

f(z) =∞∑

k=−∞ak(z − z0)k, z ∈ U(z0; ρ).

Coeficientul a−1 al termenului (z − z0)−1 se numeste reziduul functiei fın z0 si se noteaza cu a−1 = Rez(f ; z0). Reziduul lui f ın z0 se mai poateexprima si astfel

(2.3.3) a−1 =1

2πi

∫

∂U(z0;r)

f(ζ)dζ, ∀ r ∈ (0, ρ).

Din egalitatea (2.3.3) se observa imediat ca

Rez(

1z; 0

)= 1, Rez

(1

(z − z0)2; z0

)= 0, Rez(e

1z ; 0) = 1.

Definitia 2.3.7 Fie Ω o multime deschisa din C, f ∈ H(Ω), iar z0 un punctsingular izolat al functiei f . Spunem ca

(i) z0 este eliminabil daca f se extinde olomorf la Ω ∪ z0;(ii) z0 este pol daca lim

z→z0

f(z) = ∞;

(iii) z0 este esential izolat daca nu exista limita functiei f ın z0;(iv) Un punct z1 este regular pentru functia f daca z1 este eliminabil pentru

f sau f este derivabila ın z1.

Au loc urmatoarele rezultate referitoare la natura unui punct singular izo-lat. Aceste rezultate sunt utile ın calculul reziduului ıntr-un astfel de punct.

Lema 2.3.8 Daca functia f este olomorfa pe multimea deschisa Ω din C, iarz0 este un punct singular izolat al functiei f , atunci urmatoarele afirmatii suntechivalente:

(i) z0 este eliminabil.(ii) Exista lim

z→z0

f(z) ∈ C.

(iii) Partea principala a seriei Laurent ın punctul z0 nu are nici un termen.

Lema 2.3.9 Fie Ω o multime deschisa din C, f ∈ H(Ω), iar z0 un punctsingular izolat al functiei f . Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) z0 este pol.


(ii) Partea principala a seriei Laurent ın z0 are numai un numar finit determeni, deci exista k ∈ N si ρ > 0 astfel ıncat a−k 6= 0 si

f(z) =a−k

(z − z0)k+ · · ·+ a−1

z − z0+ a0 + a1(z − z0) + . . . , z ∈ U(z0; ρ).

(iii) Exista un unic k ≥ 1 natural si o unica functie g ∈ H(Ω∪z0) astfelca g(z0) 6= 0 si

f(z) = (z − z0)−kg(z), z ∈ Ω.

Observatia 2.3.10 Combinand lemele precedente, deducem ca daca z0 esteun punct esential izolat pentru functia f , atunci exista r > 0 astfel ıncat

f(z) = · · ·+ a−k

(z − z0)k+ · · ·+ a−1

z − z0+ a0 + a1(z − z0) + . . . , z ∈ U(z0; r),

iar seria Laurent precedenta are o infinitate de termeni ın partea principala.Pe de alta parte, daca z0 este pol, atunci exista un unic numar natural k

astfel ıncat

f(z) =a−k

(z − z0)k+ · · ·+ a−1

z − z0+ a0 + a1(z − z0) + . . . , z ∈ U(z0; r),

unde a−k 6= 0 si a−m = 0 pentru m ≥ k + 1. Deci partea principala a serieiprecedente are exact k termeni. Numarul k se numeste ordinul de multiplicitateal polului z0. Daca k = 1 atunci z0 se mai numeste si pol simplu pentru functiaf .

Se observa din dezvoltarea de mai sus ca daca z0 este un pol de ordinul kpentru functia f , atunci

limz→z0

[(z − z0)k−1f(z)] = ∞ si limz→z0

[(z − z0)kf(z)] = a−k 6= 0.

Relativ la comportamentul punctelor singulare izolate, are loc Teorema luiCasorati-Weierstrass:

Teorema 2.3.11 Fie Ω o multime deschisa din C, f ∈ H(Ω) si z0 ∈ C unpunct esential izolat pentru f . De asemenea, fie w0 ∈ C∞. Atunci exista unsir zkk∈N ⊂ Ω astfel ca zk → z0 si f(zk) → w0.

Observatia 2.3.12 Reamintim ca daca Ω este o multime deschisa din C,g ∈ H(Ω) si z0 ∈ Ω este un zerou pentru g, atunci z0 este zerou de ordinul kpentru g daca g(z0) = 0, g′(z0) = · · · = g(k−1)(z0) = 0 si g(k)(z0) 6= 0.

Fie a un punct singular izolat pentru functia g. Atunci a este pol de ordinulk pentru g daca si numai daca a este un zerou de ordinul k pentru functia 1/g.


Observatia 2.3.13 Fie Ω o multime deschisa din C ce contine o vecinatatea punctului de la infinit. Deci exista ρ > 0 astfel ıncat U(0; ρ,∞) ⊆ Ω. Fief ∈ H(Ω). In aceste conditii, spunem ca ∞ este un punct singular izolat pen-tru functia f . Studiul naturii singularitatii punctului ∞ pentru f se reducela studiul naturii singularitatii punctului z = 0 pentru functia g(z) = f(1/z).Intr-adevar, pentru a determina comportarea functiei f pe coroana circularaU(0; ρ,∞) este suficient sa determinam comportarea functiei g pe discul punc-tat U(0; 1/ρ). In acest sens, spunem ca ∞ este eliminabil, pol de ordinul k,respectiv esential izolat pentru functia f , daca 0 este eliminabil, pol, respectivesential izolat pentru functia g (adica 0 are aceeasi natura pentru functia g ca∞ pentru functia f).

Exemplul 2.3.14 Fie f o functie ıntreaga si g(z) = f(1/z). Deoarece f ∈H(C), f se dezvolta ıntr-o serie de puteri de forma

f(z) = a0 + a1z + · · ·+ akzk + . . . , z ∈ C.

Atuncig(z) = a0 +

a1

z+ · · ·+ ak

zk+ . . . , z ∈ C∗.

Deci ∞ este eliminabil pentru f daca si numai daca partea principala adezvoltarii ın serie Laurent a functiei g nu contine nici un termen, adica ak = 0,k ≥ 1. Asadar ∞ este eliminabil pentru f daca si numai daca f se reduce la oconstanta. Analog, ∞ este pol de ordinul k pentru f daca si numai daca f sereduce la un polinom de ordinul k, iar ∞ este esential izolat pentru f daca fnu se reduce la un polinom, caz ın care f este o functie transcendent ıntreaga(seria de puteri precedenta are o infinitate de termeni).

Observatia 2.3.15 Fie z0 ∈ C un pol de ordinul m pentru functia f . Atunciexista ρ > 0 astfel ıncat dezvoltarea ın serie Laurent a functiei f pe U(z0; ρ)este de forma

f(z) =a−m

(z − z0)m+ · · ·+ a−1

z − z0+

∞∑

m=0

am(z − z0)m, z ∈ U(z0; ρ).

Deci

a−1 = Rez(f ; z0) =1

(m− 1)!lim

z→z0

[(z − z0)mf(z)](m−1).

In particular, daca f(z) = g(z)/h(z), unde g, h ∈ H(U(z0; ρ)), g(z0) 6= 0,iar z0 pol de ordinul ıntai (simplu) pentru f , adica h(z0) = 0, h′(z0) 6= 0,


atunci

Rez(g

h; z0

)= lim

z→z0

(z − z0)g(z)h(z)

= limz→z0

g(z)h(z)− h(z0)

z − z0

=g(z0)h′(z0)

.

Exemplul 2.3.16 Fie f(z) = z3/(z2 + 1). Se observa ca punctele singulareizolate ale lui f sunt z0 = i si z1 = −i. Deoarece g(z) = z3 nu se anuleaza ın±i, iar h(z) = z2 +1 are ca zerouri simple pe i si −i, deducem ca ±i sunt polisimpli pentru functia f si

Rez(f ;±i) =g(i)

h′(±i)=

i3

2(±i)=

−i

2(±i)= ∓1

2.

Observatia 2.3.17 Daca z0 este un punct eliminabil pentru functia f , atuncie clar ca Rez(f ; z0) = 0, deoarece dezvoltarea ın serie Laurent a functiei f ınjurul lui z0 nu contine nici un termen ın partea principala. Pe de alta parte,daca z0 este un punct esential izolat pentru f , atunci Rez(f ; z0) se determinanumai daca se dezvolta functia f ın serie Laurent ın jurul lui z0.

Reziduul la ∞. Daca z0 = ∞ este punct singular izolat pentru f , atunciexista r > 0 astfel ıncat f este olomorfa pe coroana circulara U(0; r,∞). Decif admite o dezvoltare ın serie Laurent de forma

f(z) = · · ·+ a−k

zk+ · · ·+ a−1

z+ a0 + a1z + . . . , |z| > r.

Fie g(z) = f(1/z), 0 < |z| < 1/r. Deoarece g ∈ H(U(0; 1/r)) si

g(z) = · · ·+ a−kzk + · · ·+ a−1z + a0 +

a1

z+ . . . , 0 < |z| < 1

r,

am obtinut dezvoltarea ın serie Laurent a functiei g pe U(0; 1/r). Fie ρ > r.Atunci 1/ρ < 1/r si exprimand coeficientul a−1 relativ la g si ∂U(0; 1/ρ),obtinem ca

2πia−1 =∫

∂U(0; 1

ρ

)

g(z)z2

dz =∫

∂U(0; 1

ρ

)

f

(1z

)

z2dz

= 2πi

∫ 1

0f(ρe−2πiθ)ρe−2πiθdθ =

∫ 2π

0f(ρe−ix)ρe−ixdx.

Deoarece ρ a fost ales ın mod arbitrar, obtinem ca

a−1 = − 12πi

∫

γ−ρ

f(z)dz, ρ > r,


unde γρ(x) = ρeix, x ∈ [0, 2π], iar γ−ρ este drumul opus conturului circular γρ.Relatia precedenta ne permite definirea reziduului lui f la ∞:

Rez(f ;∞) = −a−1 =1

2πi

∫

γ−ρ

f(z)dz, ρ > r.

Probleme

Problema 2.3.1 Sa se dezvolte ın serie Laurent, dupa puterile lui z − z0,urmatoarele functii:

a)1

z(z − 3), z0 = 1, pe coroana circulara U(1; 1, 2);

b)e

1z−i

z(z + i), z0 = i, pe coroana circulara U(i; 1, 2);

c)sin 1

z

(z − 1)2, z0 = 0, pe U(0; 2).

Problema 2.3.2 Sa se determine natura punctelor singulare izolate ın cazulurmatoarelor functii:

a) (1 + z)/(z2 + i)2;b) (sin z)/z;c) (cos z)/(z2 − π2/4);d) e1/z/z;e) zez/(z2 − 1);

f)sin(1/z2)z2 + 4

;

g) (log z)/(z − 1)2, unde log z este ramura principala a lui Logz.h) etg z.

Problema 2.3.3 Calculati:a) Rez(f ; i) unde f(z) = 1/(z2 + 1).

b) Rez(f ; 0) unde f(z) =e

1z

z.

c) Rez(f ; 0) unde f(z) = (cos z)/z2.

d) Rez(f ; i) unde f(z) =sin 1

(z−i)2

z2 + 1;

e) Rez(f ; a) unde f(z) =sin 1

z

(z − a)2si a ∈ C.

f) Rez(f ; 0) unde f(z) =cos 1

z

sin z;

2.4. Zerourile si polii functiilor meromorfe 55

g) Rez(f ; 0) unde f(z) =sin z − z

zshz.

Problema 2.3.4 Sa se arate ca daca ∞ este un punct singular izolat pentru

functia f , atunci Rez(f ;∞) = Rez(h; 0) unde h(z) = − 1z2

f

(1z

).

Problema 2.3.5 Folosind Teorema reziduurilor, sa se arate ca daca f esteolomorfa pe Ω = C \ z1, . . . , zm unde zj ∈ C este punct singular izolatpentru f , j = 1, . . . , m, atunci

m∑

j=1

Rez(f ; zj) + Rez(f ;∞) = 0.

Problema 2.3.6 Sa se arate ca daca z0 este punct singular izolat neeliminabilpentru functia f , atunci z0 este un punct esential izolat pentru functia g(z) =ef(z).

Problema 2.3.7 Fie Ω ⊆ C o multime deschisa, a ∈ Ω si f o functie olomorfape Ω \ a. Fie ρ > 0 astfel ıncat U(a; ρ) ⊂ Ω.

Sa se arate ca Rez(f ; a) este unicul numar complex cu proprietatea cafunctia

g : U(a; ρ) → C, g(z) = f(z)− Rez(f ; a)z − a

admite primitive pe U(a; ρ).

Problema 2.3.8 Fie k ∈ N. Sa se calculeze Rez(f ; 0) si Rez(f ;−1) unde

f(z) =zke

1z

z + 1.

2.4 Zerourile si polii functiilor meromorfe

In aceasta sectiune vom studia ın detaliu problema referitoare la numarulzerourilor si polilor functiilor meromorfe. Un rol esential ın stabilirea uneiformule de calcul a numarului zerourilor si polilor unei functii meromorfe ılare Teorema reziduurilor . Mentionam ca Teorema 2.4.1 ramane valabila dacaconturul γ omotop cu zero ın Ω se ınlocuieste cu un lant ınchis omolog cu zeroın Ω (a se vedea [Gas-Su]).

Teorema 2.4.1 Fie Ω o multime deschisa din C si f o functie olomorfa peΩ \ E, unde E este multimea punctelor singulare izolate ale lui f . Fie γ


un contur omotop cu zero ın Ω astfel ıncat E ∩ γ = ∅. Atunci multimeaz ∈ E : n(γ; z) 6= 0 este finita, suma

∑

z∈E

n(γ; z)Rez(f ; z)

este de asemenea finita si are loc relatia

(2.4.1)∫

γ

f(z)dz = 2πi∑

z∈E

n(γ; z)Rez(f ; z).

Demonstratie. Cum E este multimea punctelor singulare izolate ale lui f ,urmeaza ca E nu are puncte de acumulare ın Ω. Deoarece γ∼

Ω0, exista o

deformatie continua ψ a lui γ ıntr-un drum punctual (constant) γ0.

Figura 2.4: Contur inclus ın Ω

Fie K = ψ([0, 1]× [0, 1]). Atunci K este un compact din Ω si E ∩K esteo multime finita (altfel E ∩ K ar avea un punct de acumulare ın K, deci ınΩ, ceea ce ar contrazice faptul ca E este formata numai din puncte singulareizolate ale functiei f). Daca z0 ∈ E \K atunci z0 6∈ γ, deoarece γ∩E = ∅.Din Teorema fundamentala a lui Cauchy (Teorema 1.2.18) si olomorfia functieig(z) = 1/(z − z0) pe Ω, rezulta ca

n(γ; z0) =1

2πi

∫

γ

dζ

ζ − z0= 0.

Prin urmare z ∈ E : n(γ; z) 6= 0 ⊆ E∩K si cum E∩K este finita, deducemca si multimea z ∈ E : n(γ; z) 6= 0 este finita. Fie

E ∩K = z1, . . . , zm


si hj partea principala a seriei Laurent obtinuta din dezvoltarea functiei f ınzj , j = 1, . . . , m. Atunci

(2.4.2) hj(z) =−1∑

k=−∞a

(j)k (z − zj)k, z 6= zj , j = 1, . . . , m.

Seria precedenta converge uniform pe γ. Integrand termen cu termen ın(2.4.2) pe γ, deducem ca

(2.4.3)∫

γ

hj(z)dz =∞∑

k=−∞a

(j)k

∫

γ

(z − zj)kdz, j = 1, . . . ,m.

Deoarece1

2πi

∫

γ

(z − zj)kdz =

0, k ∈ Z \ −1n(γ; zj), k = −1,

obtinem din (2.4.3) ca

(2.4.4)∫

γ

hj(z)dz = 2πia(j)−1n(γ; zj) = 2πiRez(f ; zj)n(γ; zj).

Pe de alta parte, considerand functia

g = f −m∑

j=1

hj ,

observam ca g are numai singularitati eliminabile ın fiecare punct zj , j =1, . . . ,m, deci admite o prelungire olomorfa pe o multime deschisa G, careinclude compactul K, astfel ıncat G ⊂ Ω ∪E. Cum ψ([0, 1]× [0, 1]) = K ⊂ Gsi γ∼

Ωγ0, urmeaza ca γ∼

Gγ0. In continuare, pe baza Teoremei fundamentale a

lui Cauchy, deducem ca∫

γ

g(z)dz = 0, deci

∫

γ

f(z)dz =m∑

j=1

∫

γ

hj(z)dz.

In final din (2.4.4) si din relatia precedenta rezulta ca

(2.4.5)∫

γ

f(z)dz = 2πim∑

j=1

Rez(f ; zj)n(γ; zj) = 2πi∑

z∈E

Rez(f ; z)n(γ; z).

Pentru ultima egalitate, am folosit faptul ca n(γ; z) = 0, z ∈ E \K. ¤


Observatia 2.4.2 Fie γ un contur Jordan. Atunci n(γ; z) = 1, z ∈ (γ),iar din faptul ca n(γ; z) = 0, z ∈ A∞, unde A∞ este componenta conexanemarginita a lui C \ γ, deducem din (2.4.5) ca

∫

γ

f(z)dz = 2πi∑

z∈E∩(γ)

Rez(f ; z).

Din aceasta egalitate rezulta ca ın calculul integralei lui f pe conturul Jordanγ, sunt importante numai punctele singulare izolate situate ın (γ).

In cele ce urmeaza prezentam diverse aplicatii ale Teoremei 2.4.1. Mai ıntaidam o alta demonstratie a Teoremei 2.3.2, bazata pe aplicabilitatea Teoremeireziduurilor.

Teorema 2.4.3 Fie Ω o multime deschisa din C, f ∈ H(Ω), si fie γ un conturdin Ω astfel ıncat γ∼

Ω0. Atunci

n(γ; z)f (k)(z) =k!2πi

∫

γ

f(ζ)(ζ − z)k+1

dζ, z ∈ Ω \ γ, k ∈ N.

Demonstratie. E suficient sa demonstram egalitatea de mai sus ın cazulk = 0. Cazul general este tratat ın demonstratia Teoremei 2.3.2.

Fie z0 ∈ Ω\γ si g(z) = f(z)/(z−z0), z ∈ Ω\z0. Atunci g ∈ H(Ω\z0).Avem de analizat urmatoarele situatii:

(i) f(z0) 6= 0. Atunci este clar ca z0 este pol simplu pentru functia g si

Rez(g; z0) = limz→z0

[(z − z0)g(z)] = f(z0).

(ii) f(z0) = 0. Atunci limz→z0

g(z) = f ′(z0), deci z0 este punct eliminabil

pentru functia g. Prin urmare Rez(g; z0) = 0 = f(z0).Deci am obtinut ca

Rez(g; z0) = f(z0).

Aplicand Teorema 2.4.1, deducem ca

12πi

∫

γ

g(z)dz = n(γ; z0)Rez(g; z0) = n(γ; z0)f(z0).

¤


Observatia 2.4.4 Fie Ω o multime deschisa din C. Reamintim ca o functieh este meromorfa pe Ω (notam h ∈ M(Ω)) daca exista o multime F ⊂ Ω farapuncte de acumulare ın Ω astfel ıncat h ∈ H(Ω\F ), iar F este formata numaidin puncte eliminabile sau poli pentru functia h. Deci ın jurul unui punct dinF , functia h admite o dezvoltare ın serie Laurent, astfel ca partea principalaare numai un numar finit de termeni.

Daca Ω este o multime deschisa din C∞ si ∞ ∈ Ω, atunci f este meromorfape Ω (notam f ∈ M(Ω)) daca f ∈ M(Ω ∩ C) iar ∞ este un punct eliminabilsau pol pentru functia f .

De exemplu, orice functie rationala este meromorfa pe C∞, dar existafunctii meromorfe pe multimi deschise din C ce nu sunt rationale. Intr-adevar,functia h(z) = tg z este meromorfa pe C, avand puncte singulare pe zk =(2k + 1)π/2, k ∈ Z, care sunt poli simpli pentru h, dar nu este rationala. Incapitolul sapte vom studia ın detaliu comportarea functiilor meromorfe pe Cdin punctul de vedere al descompunerii lor ın serii de functii rationale simple.

Definitia 2.4.5 Fie Ω o multime deschisa din C, z0 ∈ Ω si f ∈ M(Ω) astfelca f nu este identic egala cu zero pe nici o componenta conexa a lui Ω. Daca∞∑

k=−∞ak(z − z0)k este dezvoltarea functiei f ın serie Laurent ın z0, atunci

definim ordinul lui f ın z0, si notam ord(f ; z0), prin

(2.4.6) ord(f ; z0) = infk ∈ Z : ak 6= 0.

Daca f ≡ 0, definim ord(f ; z0) = ∞.

Deoarece f ∈ M(Ω), partea principala a seriei Laurent ın z0 are doar unnumar finit de termeni. Prin urmare definitia precedenta este corecta.

Are loc urmatorul rezultat, util ın stabilirea ordinului unei functii mero-morfe ıntr-un punct.

Lema 2.4.6 Fie Ω o multime deschisa din C, f ∈ M(Ω) neidentic nula pe nicio componenta conexa a lui Ω si z0 ∈ Ω. Atunci au loc urmatoarele afirmatii:

(i) z0 este un punct regular pentru f daca si numai daca ord(f ; z0) ≥ 0.(ii) f este derivabila ın z0 si f(z0) = 0 daca si numai daca ord(f ; z0) > 0.

In acest caz, z0 este un zerou de ordinul k pentru f daca si numai daca k =ord(f ; z0).

(iii) f este derivabila ın z0 si f(z0) 6= 0 daca si numai daca ord(f ; z0) = 0.(iv) z0 este un pol pentru f daca si numai daca ord(f ; z0) < 0. In acest

caz z0 este un pol de ordinul p pentru f daca si numai daca p = −ord(f ; z0).


(v) Daca g este o functie meromorfa pe Ω, g 6≡ 0, atunci

ord(f · g; z0) = ord(f ; z0) + ord(g; z0),

ord(

f

g; z0

)= ord(f ; z0)− ord(g; z0),

ord(f + g; z0) ≥ minord(f ; z0), ord(g; z0).In plus, daca ord(f ; z0) 6= ord(g; z0), atunci

ord(f + g; z0) = minord(f ; z0), ord(g; z0).

Demonstratia acestui rezultat fiind imediata, o lasam pe seama cititorului.Din rezultatul precedent obtinem urmatoarea consecinta, care poate fi con-

siderata ca definitie echivalenta a notiunii de ordin a unei functii meromorfeıntr-un punct.

Corolarul 2.4.7 Fie Ω o multime deschisa din C, f ∈ M(Ω) astfel ca f nueste identic nula pe nici o componenta conexa a lui Ω, z0 ∈ Ω si m ∈ Z.Atunci m = ord(f ; z0) daca si numai daca m este cel mai mare numar ıntregcu proprietatea ca exista r = r(z0) > 0 si g ∈ H(U(z0, r)) astfel ca g(z0) 6= 0si f(z) = g(z)(z − z0)m, z ∈ U(z0, r).

Daca Ω este o multime deschisa din C si f ∈ M(Ω), vom nota cu Zf

(respectiv Pf ) multimea zerourilor (respectiv multimea polilor) functiei f dinΩ.

Are loc urmatoarea teorema de caracterizare a numarului zerourilor si apolilor functiilor meromorfe pe multimi deschisa din C. Remarcam faptul caTeorema 2.4.8 ramane valabila daca γ este un drum ınchis nul omolog ın Ω.

Teorema 2.4.8 Fie Ω o multime deschisa din C, f ∈ M(Ω) astfel ca f nueste identic nula pe nici o componenta conexa a lui Ω si fie g ∈ H(Ω). Dacaγ este un contur omotop cu zero ın Ω astfel ıncat γ ∩ [Zf ∪ Pf ] = ∅, atuncisuma ∑

z∈Zf∪Pf

g(z)n(γ; z)ord(f ; z)

este finita si

(2.4.7)1

2πi

∫

γ

f ′(z)f(z)

g(z)dz =∑

z∈Zf∪Pf

g(z)n(γ; z)ord(f ; z).


Demonstratie. Fie E = Zf ∪ Pf si h(z) =f ′(z)f(z)

g(z), z ∈ Ω. Deoarece f

este meromorfa pe Ω, iar g este olomorfa pe Ω, se observa imediat ca h estemeromorfa pe Ω, iar multimea punctelor singulare izolate ale lui h coincide cuE. Pe baza Teoremei reziduurilor (Teorema 2.4.1), deducem ca

∑

z∈E

n(γ; z)Rez(h; z)

este finita si

(2.4.8)∫

γ

h(z)dz = 2πi∑

z∈E

n(γ; z)Rez(h; z).

Ramane sa calculam Rez(h; z), z ∈ E. Fie z0 ∈ Zf un zerou de ordinul mpentru functia f . Atunci m = ord(f ; z0) si exista ρ > 0 astfel ca dezvoltarealui f ın serie Taylor ın z0 este de forma

f(z) = am(z − z0)m + am+1(z − z0)m+1 + . . . , z ∈ U(z0; ρ),

iar am 6= 0. Dar g fiind olomorfa pe Ω, este analitica pe Ω, deci se dezvolta ınserie Taylor ın jurul lui z0. Atunci

h(z) =f ′(z)f(z)

g(z) =mg(z0)z − z0

+ p(z), z ∈ U(z0; r),

unde p este o functie olomorfa ıntr-un disc U(z0; r) cu r ≤ ρ. Prin urmare z0

este un pol simplu pentru h si

Rez(h; z0) = mg(z0) = ord(f ; z0)g(z0).

Daca z1 ∈ Pf este un pol de ordinul n pentru f , atunci ord(f ; z1) = −nsi exista δ > 0 astfel ıncat dezvoltarea ın serie Laurent a lui f ın z1 este deforma

f(z) =b−n

(z − z1)n+ · · ·+ b−1

z − z1+ b0 + b1(z − z1) + . . . , z ∈ U(z0; δ),

iar b−n 6= 0. Rationand ın mod analog ca ın cazul zeroului de ordinul m pentruf , deducem ca z1 este un pol simplu pentru h si

Rez(h; z1) = −ng(z1) = ord(f ; z1)g(z1).


Prin urmare am aratat ca daca z ∈ E atunci

Rez(h; z) = ord(f ; z)g(z).

Revenind la (2.4.8), obtinem ca∫

γ

h(z)dz = 2πi∑

z∈E

n(γ; z)ord(f ; z)g(z).

Demonstratia este ıncheiata. ¤In continuare prezentam cateva cazuri particulare ale Teoremei 2.4.8,

cunoscuta sub numele de Teorema lui Cauchy relativa la zerouri si poli.Mentionam ca ın acest rezultat fiecare zerou, respectiv pol, este numarat deatatea ori cat are ordinul sau de multiplicitate.

Daca g ≡ 1 ın Teorema 2.4.8, obtinem principiul variatiei argumentului:

Corolarul 2.4.9 Fie Ω o multime deschisa din C, f o functie meromorfape Ω neidentic nula pe nici o componenta conexa a lui Ω, si fie γ un conturomotop cu zero ın Ω astfel ca γ ∩ [Zf ∪ Pf ] = ∅. Atunci

(2.4.9) n(f γ; 0) =1

2πi

∫

γ

f ′(z)f(z)

dz =∑

z∈Zf∪Pf

ord(f ; z)n(γ; z).

Demonstratie. Trebuie verificata doar prima egalitate, cea de-a doua seobtine direct din teorema precedenta.

Intr-adevar, deoarece γ ∩ [Zf ∪ Pf ] = ∅, este clar ca 0 6∈ Γ undeΓ = f γ. Atunci Γ este un contur si avem ca

n(Γ; 0) =1

2πi

∫

Γ

dw

w=

12πi

∫ 1

0

dΓ(t)Γ(t)

=1

2πi

∫ 1

0

f ′(γ(t))f(γ(t))

dγ(t) =1

2πi

∫

γ

f ′(z)f(z)

dz.

¤Daca γ este un contur Jordan din Ω, atunci obtinem urmatorul caz par-

ticular al Corolarului 2.4.9, ce justifica denumirea de principiu al variatieiargumentului.


Corolarul 2.4.10 Fie Ω o multime deschisa din C si γ un contur Jordan dinΩ astfel ıncat D ⊂ Ω unde D = (γ). Fie f ∈ M(Ω) astfel ıncat f nu esteidentic nula pe nici o componenta conexa a lui Ω si γ∩[Zf ∪Pf ] = ∅. Atunci

(2.4.10) n(f γ; 0) =1

2πi

∫

γ

f ′(z)f(z)

dz =∑

z∈Zf∪Pf

ord(f ; z)

= N0(f)−Np(f),

unde N0(f) (respectiv Np(f)) reprezinta numarul zerourilor (respectiv numarulpolilor) functiei f situati ın D, fiecare zerou (respectiv pol) fiind numarat deatatea ori cat indica ordinul sau de multiplicitate. In particular, daca f ∈H(Ω) atunci

n(f γ; 0) =1

2πi

∫

γ

f ′(z)f(z)

dz = N0(f).

Observatia 2.4.11 Daca γ este un contur Jordan partial neted, atunci ega-litatea (2.4.10) se poate interpreta astfel:

(2.4.11) N0(f)−Np(f) =12π

∫

γ

d(arg f(z)),

unde integrala de mai sus reprezinta variatia argumentului functiei f pe su-portul lui γ. Intr-adevar,

12πi

∫

γ

f ′(z)f(z)

dz =1

2πi

∫

γ

d(log f(z))

=1

2πi

∫

γ

d(ln |f(z)|) +12π

∫

γ

d(arg f(z)),

unde consideram o determinare continua (totusi multiforma) a functiei Log f pe γ, adica o primitiva a functiei

f ′

fpe γ. Cum d(ln |f(z)|) este o

diferentiala totala exacta, iar γ e un contur Jordan, deducem ca∫

γ

d(ln |f(z)|) = 0.

Deci1

2πi

∫

γ

f ′(z)f(z)

dz =12π

∫

γ

d(arg f(z)).


Fie ∆γ arg f variatia argumentului functiei f pe suportul conturului γ.Atunci relatia precedenta devine

12πi

∫

γ

f ′(z)f(z)

dz =12π

∆γ arg f,

adicaN0(f)−Np(f) =

12π

∆γ arg f.

Egalitatea precedenta arata ca diferenta dintre numarul zerourilor sinumarul polilor functiei meromorfe f din domeniul D = (γ) coincide cuvariatia argumentului functiei f pe γ ımpartita la 2π.

In particular, daca f ∈ H(Ω) atunci

N0(f) =12π

∆γ arg f.

Urmatoarea proprietate, cunoscuta sub numele de Teorema lui Rouche,arata ca numarul zerourilor unei functii olomorfe ramane constant prin efectua-rea unor mici perturbatii asupra functiei. Mentionam ca Teorema lui Roucheramane valabila daca γ este un contur Jordan astfel ca D ⊂ Ω unde D = (γ).

Teorema 2.4.12 Fie Ω o multime deschisa din C, iar γ = ∂D unde D esteun disc astfel ıncat D ⊂ Ω. Daca f si g sunt functii meromorfe pe Ω farazerouri si poli pe γ, astfel ıncat

(2.4.12) |f(z)− g(z)| < |f(z)|+ |g(z)|, z ∈ γ,

atunci n(f γ; 0) = n(g γ; 0), adica

(2.4.13) N0(f)−Np(f) = N0(g)−Np(g),

unde N0(f) si Np(f) (respectiv N0(g) si Np(g)) reprezinta numarul zerourilorsi numarul polilor functiei f (respectiv a functiei g) din D ın concordanta cumultiplicitatile lor.

Demonstratie. Deoarece g(z) 6= 0, z ∈ γ, obtinem din (2.4.12) ca∣∣∣∣f(z)g(z)

− 1∣∣∣∣ <

∣∣∣∣f(z)g(z)

∣∣∣∣ + 1, z ∈ γ.

Daca h(z) = f(z)/g(z), atunci h este meromorfa pe o multime deschisa cecontine pe γ si

(2.4.14) |h(z)− 1| < |h(z)|+ 1, z ∈ γ.


Deci h(z) 6∈ (−∞, 0], z ∈ γ, adica h(γ) ⊆ C \ (−∞, 0]. Pe de alta parte,γ fiind un compact, iar h fiind continua pe γ, deducem ca h(γ) e un compactdin C \ (−∞, 0]. Prin urmare, exista o submultime deschisa G a lui Ω astfelca γ ⊂ G si h(G) ⊆ C \ (−∞, 0]. Cum h nu are poli pe G, iar f, g ∈ M(Ω),rezulta ca h este olomorfa pe G. Deoarece aplicatia multivoca logaritm admiteramuri uniforme pe C \ (−∞, 0], putem alege o astfel de ramura, notata cu l.Atunci functia l h este olomorfa pe G si (l h)′(z) = h′(z)/h(z), z ∈ G, adical h este o primitiva a functiei h′/h pe G. Cum γ ⊂ G, urmeaza din Teorema1.2.18 ca

0 =∫

γ

h′(z)h(z)

dz =∫

γ

[f ′(z)f(z)

− g′(z)g(z)

]dz.

In final, din Corolarul 2.4.10 si din relatia precedenta obtinem egalitatea(2.4.13). ¤

Observatia 2.4.13 Mentionam ca varianta clasica a Teoremei lui Rouchecontine urmatoarea conditie, care este mai tare decat cea din (2.4.12):

|f(z)− g(z)| < |g(z)|, z ∈ γ.

In particular, din Teorema 2.4.12 obtinem

Corolarul 2.4.14 Fie Ω o multime deschisa din C, f, g functii olomorfe peΩ, iar γ = ∂D unde D este un disc astfel ıncat D ⊂ Ω. Daca functiile f si gsatisfac conditia

(2.4.15) |g(z)| < |f(z)|, z ∈ γ,

atunci

(2.4.16) N0(f + g) = N0(f),

unde N0(f) (respectiv N0(f + g)) reprezinta numarul zerourilor functiei f(respectiv f + g) ın D, numarati ın concordanta cu multiplicitatile lor.

Demonstratie. Fie h(z) = f(z) + g(z), z ∈ Ω. Atunci h ∈ H(Ω) iar din(2.4.15) avem ca

|h(z)− f(z)| < |f(z)|, z ∈ γ.

Mai mult, h(z) 6= 0 si f(z) 6= 0, z ∈ γ. Pe baza Teoremei 2.4.12 si Observatiei2.4.13 deducem ca N0(h) = N0(f). ¤


Observatia 2.4.15 (i) In conditiile Corolarului 2.4.14, relatia (2.4.16) esteechivalenta cu faptul ca ecuatiile f(z) = 0 si f(z) + g(z) = 0 au acelasi numarde radacini ın D.

(ii) Fie Ω un domeniu din C. Conditia (2.4.15) din Corolarul 2.4.14 nupoate fi ınlocuita cu conditia mai slaba |g(z)| ≤ |f(z)|, z ∈ γ. De exemplu,daca g ≡ −f in Corolarul 2.4.14, atunci |f(z)| = |g(z)|, z ∈ Ω, dar f + g ≡ 0deci N0(f + g) = ∞. Pe de alta parte, daca f 6≡ 0 atunci N0(f) < ∞.

In finalul acestei sectiuni prezentam doua aplicatii interesante ale Corola-rului 2.4.14. Prima aplicatie este o forma ıntarita a Teoremei fundamentale aalgebrei.

Teorema 2.4.16 Fie Pn(z) = a0 + a1z + · · · + anzn un polinom de graduln > 1. Fie r > maxαn, 1 unde

αn =

n−1∑

k=0

|ak|

|an| .

Atunci toate radacinile polinomului Pn apartin discului U(0; r).

Demonstratie. Daca |z| = r avem ca

|Pn−1(z)||anzn| ≤

n−1∑

k=0

|ak|rn−1

|an|rn=

n−1∑

k=0

|ak|

|an|r < 1.

Deci|Pn−1(z)| < |anzn|, |z| = r.

Aplicand Corolarul 2.4.14, deducem ca ecuatiile Pn(z) = 0 si anzn = 0 auacelasi numar de radacini ın discul U(0; r), adica exact n. ¤

Teorema 2.4.17 Fie Ω un domeniu din C astfel ıncat U(0; 1) ⊂ Ω. Fief ∈ H(Ω). Daca |f(z)| < 1, |z| = 1, atunci functia f are un singur punct fixın U(0; 1).

Demonstratie. Pe baza ipotezei avem ca |f(z)| < 1 = |z|, z ∈ ∂U(0; 1). Fieg(z) = −z, z ∈ Ω. Din Corolarul 2.4.14 deducem ca ecuatiile f(z) − z = 0 sig(z) = 0 au acelasi numar de radacini ın discul unitate, adica exact o radacina.Prin urmare f are un singur punct fix ın U(0; 1). ¤


Probleme

Problema 2.4.1 Sa se calculeze urmatoarele integrale, folosind Teorema re-ziduurilor:

(i)∫

∂U(0;1)

sin z

zdz;

(ii)∫

∂U(0;5)

z

(z + 1)(z + 2i)dz;

(iii)∫

∂U(0;2)

z

cos zdz;

(iv)∫

∂U(0;r)

sin1z

(z − i)2dz, r 6= 1;

(v)∫

∂U(0;r)

eπ

z+i

z2 + 1dz, r 6= 1;

(vi)∫

∂U(0;2)

e1

z−a

zdz, a ∈ C, |a| 6= 2;

(vii)∫

∂U(0;2)

cos1

(z − a)2

zdz, a ∈ C, |a| 6= 2;

(viii)∫

∂U( 12; 32)

tg z

zdz;

(ix)∫

∂U(0;r)

sinm 1zdz, m ∈ N;

(x)∫

∂U(0;r)

dz

z111 + z11 + z + 1, unde r > 0 este suficient de mare astfel ıncat

zerourile polinomului P (z) = z111 + z11 + z + 1 sa fie ın U(0; r).

(xi)∫

∂U(0;r)

dz

(z − a)m(z − b)m, unde r > 0, a, b ∈ C, |a| 6= r, |b| 6= r, m ∈ N;

(xii)∫

∂U(0;1)

z + a

zn(z + b)dz, unde n ∈ N, b ∈ C, |b| 6= 1, a ∈ C.


Problema 2.4.2 Fie integrala I(r) =∫

∂Ωr

eπi(z− 12)2

1− e−2πizdz unde Ωr e paralelo-

gramul cu varfurile (±1/2)± (1 + i)r (a se vedea Figura 2.5).

Figura 2.5:

(i) Folosind Teorema reziduurilor, sa se arate ca I(r) = (1 + i)/√

2, r > 0.(ii) Utilizand rezultatul precedent, sa se arate ca

∫ ∞

−∞e−t2dt =

√π.

Problema 2.4.3 Sa se determine numarul radacinilor urmatoarelor ecuatiiın domeniile Ω indicate ın fiecare caz:

(i) z8 + 5z7 − 20 = 0, Ω = U(0; 6);(ii) z6 + 3z2 + 1 = 0, Ω = U(0; 1, 2);(iii) z9 + 2z5 − 2z4 + z + 3 = 0, Ω = z ∈ C : Re z > 0.

Problema 2.4.4 Sa se arate ca daca λ ∈ C, Re λ > 1, atunci ecuatia ez =z + λ are o singura radacina ın z ∈ C : Re z < 0. In plus, daca λ > 1, sase arate ca radacina este reala (negativa).

Problema 2.4.5 Folosind Teorema lui Rouche, sa se arate ca orice polinomde grad n ∈ N are exact n radacini (Teorema fundamentala a algebrei).

Problema 2.4.6 Sa se arate ca au loc afirmatiile:(i) Daca a ∈ (0, 1), atunci ecuatia z = aez are o singura radacina situata

ın U(0; 1).

2.5. Aplicatii ale Teoremei lui Rouche 69

(ii) Daca a ∈ (0, 1), atunci ecuatia z2 = aez are doua radacini situate ınU(0; 1);

(iii) Ecuatia 1 + z + azn = 0 are cel putin o radacina ın discul U(0; 2),pentru orice n > 1 si a ∈ C.

Problema 2.4.7 Sa se arate ca pentru orice r > 0, exista nr = n(r) ∈ Nastfel ıncat polinomul Pn(z) = 1 + z/1! + · · ·+ zn/n! nu are radacini ın disculU(0; r), pentru orice n ≥ nr.

Problema 2.4.8 Fie m si n numere ıntregi pozitive. Sa se arate ca polinomulP (z) = 1 + z/1! + z2/2! + · · · + zm/m! + 3zn are exact n radacini ın disculunitate.

2.5 Aplicatii ale Teoremei lui Rouche

In aceasta sectiune prezentam cateva aplicatii ale principiului variatiei ar-gumentului si ale Teoremei lui Rouche. Una din ele este continuta ın Teoremade invarianta a domeniului (Corolarul 2.5.2), utila ın studiul comportamen-tului local al functiilor analitice. Acest rezultat arata ca functiile olomorfeneconstante sunt deschise. Mentionam ca un astfel de rezultat nu are loc ıncazul functiilor de clasa C∞ sau chiar al celor real analitice (R-diferentiabile).De exemplu, functia g(z) = |z|2 are proprietatea ca

g(C) = x + i0 : x ≥ 0

care nu este multime deschisa (ca submultime a lui C). De fapt, functia g esteR-diferentiabila, dar nu este olomorfa pe C (g este derivabila numai ın z = 0).

Un alt exemplu este dat de functia g(z) = (1 + iIm z)Re z, z ∈ C. Atuncig este R-diferentiabila pe C, g(0) = 0, dar it 6∈ g(C) pentru t ∈ R∗. Deci g(C)nu poate contine nici o vecinatate a originii. Rezulta ca g nu este o aplicatiedeschisa.

Pe de alta parte, daca h : C→ C, h(z) = z2, atunci h ∈ H(C) si h(C) = C,deci h(C) este o multime deschisa.

Are loc Teorema aplicatiei deschise:

Teorema 2.5.1 Fie Ω o multime deschisa ın C si f : Ω → C o functie olo-morfa care nu este constanta pe nici o componenta conexa a lui Ω. Atuncif(∆) este deschisa ın C pentru orice multime deschisa ∆ ⊆ Ω.

Demonstratie. Fie ∆ ⊆ Ω deschisa si w0 ∈ f(∆). E suficient sa aratam caexista ρ > 0 astfel ıncat U(w0; ρ) ⊆ f(∆).


Figura 2.6:

Fie z0 ∈ ∆ astfel ca f(z0) = w0. Cum Ω este deschisa, iar f nu esteconstanta pe nici o componenta conexa a lui Ω, urmeaza ca f − f(z0) arezerouri izolate. Atunci exista r > 0 astfel ıncat U(z0; r) ⊂ ∆ si f(z) 6= f(z0),z ∈ ∂U(z0; r) (a se vedea Figura 2.6).

Fie γ conturul circular de suport ∂U(z0; r) si Γ imaginea sa prin functia f .Atunci Γ ⊂ f(∆). Deoarece f(z) 6= f(z0), z ∈ γ, deducem ca w0 6∈ Γ,deci ρ > 0 unde

ρ = minz∈γ

|f(z)− w0|.

Aratam ın continuare ca U(w0; ρ) ⊆ f(∆). Fie w1 ∈ U(w0; ρ), ales ın modarbitrar. Atunci

|w1 − w0| < ρ ≤ |f(z)− w0|, z ∈ γ,

deci|w1 − f(z0)| < |f(z)− f(z0)|, z ∈ γ.

Aplicand Corolarul 2.4.14, deducem ca ecuatiile

(2.5.1) f(z)− f(z0) = 0

si

(2.5.2) f(z)− w1 = 0

au acelasi numar de radacini ın U(z0; r). Deoarece z = z0 este o radacina aecuatiei (2.5.1), rezulta ca exista z1 ∈ U(z0; r) astfel ıncat f(z1) = w1. Deciw1 ∈ f(U(z0; r)) ⊂ f(∆). Cum w1 a fost ales ın mod arbitrar ın U(w0; ρ),concludem ca U(w0; ρ) ⊆ f(∆). Deci f(∆) este multime deschisa. ¤

Acum putem demonstra Teorema de invarianta a domeniului, ca o aplicatiedirecta a rezultatului anterior.

2.5. Aplicatii ale Teoremei lui Rouche 71

Corolarul 2.5.2 Fie Ω un domeniu din C si f : Ω → C o functie olomorfaneconstanta. Atunci f(Ω) este domeniu din C.

Demonstratie. Deoarece f nu este constanta, deducem ca f(Ω) este deschisa.Cum f este continua iar Ω este conexa, rezulta ca f(Ω) este de asemeneaconexa, adica un domeniu din C. ¤

Pe baza Corolarului 2.5.2, obtinem o demonstratie simpla a urmatoruluirezultat:

Corolarul 2.5.3 Fie Ω un domeniu din C si f ∈ H(Ω). Atunci urmatoareleafirmatii sunt echivalente:

(i) f este constanta.(ii) Re f este constanta.(iii) Im f este constanta.(iv) |f | este constant.

Demonstratie. Este evident ca daca f este constanta, atunci toate cele-lalte functii sunt de asemenea constante. Admitem ca Re f este constanta.Fara a restrange generalitatea, presupunem ca Re f ≡ 0. Atunci f(C) esteo submultime a axei imaginare, deci nu este deschisa ın C. Din Corolarul2.5.2 rezulta ca f este constanta. Celelalte implicatii se demonstreaza ın modanalog. ¤

In continuare aratam ca principiul argumentului este util ın studiul com-portarii zerourilor unui sir de functii olomorfe convergent uniform pe compacte.Are loc:

Teorema 2.5.4 (Teorema lui Hurwitz) Fie Ω un domeniu din C si fkk∈Nun sir de functii olomorfe pe Ω care converge uniform pe compacte ın Ω lafunctia f . Daca fk(z) 6= 0, z ∈ Ω, k ∈ N, atunci f este identic nula, sauf(z) 6= 0, ∀z ∈ Ω.

Demonstratie. Din Teorema lui Weierstrass (Teorema 1.1.6) rezulta ca f ∈H(Ω). Admitem ca f 6≡ 0. Presupunem prin absurd ca exista z0 ∈ Ω astfelıncat f(z0) = 0. Cum f 6≡ 0 urmeaza ca f este neconstanta, deci exista r > 0astfel ca U(z0; r) ⊂ Ω si f(z) 6= 0, z ∈ U(z0; r) \ z0. Fie γδ(t) = z0 + δe2πit,t ∈ [0, 1], unde δ ∈ (0, r]. Atunci γδ este conturul de suport ∂U(z0; δ). DinCorolarul 2.4.10 avem ca

(2.5.3)1

2πi

∫

γ

f ′(z)f(z)

dz = N0(f),


unde N0(f) reprezinta numarul zerourilor functiei f ın U(z0; δ). Cum f(z0) =0 si f(z) 6= 0, z ∈ U(z0; r), deducem ca N0(f) = ord(f ; 0) ≥ 1.

Pe de alta parte, din faptul ca fk(z) 6= 0, z ∈ Ω, k ∈ N, rezulta caf ′k/fk ∈ H(Ω), k ∈ N, si f ′k/fk → f ′/f uniform pe orice cerc ∂U(z0; δ) cuδ ∈ (0, r]. Din Teorema fundamentala a lui Cauchy avem ca

∫

γδ

f ′k(z)fk(z)

dz = 0, k ∈ N.

Prin trecere la limita ın egalitatea precedenta deducem ca

0 = limk→∞

∫

γδ

f ′k(z)fk(z)

dz =∫

γδ

f ′(z)f(z)

dz.

Din (2.5.3) si relatia precedenta deducem ca N0(f) = 0. Am obtinut astfel ocontradictie cu N0(f) ≥ 1. Prin urmare f(z) 6= 0, z ∈ Ω. ¤

Observatia 2.5.5 (i) Fie fk(z) = (z − a)/k, k ∈ N, z ∈ U(0; 1), unde a ∈ C,|a| ≥ 1. E clar ca fk ∈ H(U(0; 1)) si fk(z) 6= 0, z ∈ U(0; 1), k ∈ N. Dar fk → 0uniform pe compacte ın U(0; 1). Deci, este posibil ca prima alternativa sa aibaloc ın Teorema 2.5.4.

(ii) Un rezultat analog celui prezentat in Teorema 2.5.4 nu are loc ın cazulreal. De exemplu, consideram sirul de functii fkk∈N, fk(x) = x2 + 1/k,k ∈ N. Atunci fk(x) 6= 0, x ∈ R, k ∈ N, dar fk → f uniform pe compacteın R unde f(x) = x2. Aceasta functie nu este identic nula, dar se anuleaza ınorigine.

Corolarul 2.5.6 Fie Ω un domeniu din C si fkk∈N un sir de functii olo-morfe si injective pe Ω, care converge uniform pe compacte ın Ω la functia f .Atunci f este constanta, sau injectiva, pe Ω.

Demonstratie. Admitem ca f nu e constanta pe Ω. Presupunem ca existapunctele z1, z2 ∈ Ω, z1 6= z2, astfel ıncat f(z1) = f(z2). Fie w0 = f(z1) = f(z2)si r > 0 astfel ıncat (a se vedea Figura 2.7)

U(z1; r) ∩ U(z2; r) = ∅, U(z1; r) ∪ U(z2; r) ⊂ Ω.

Cum f nu e constanta, urmeaza din Teorema identitatii functiilor olomorfe(Teorema 1.1.14) ca restrictia functiei f − w0 la discul U(zj ; r), notata cuf−w0|U(zj ;r), nu este identic nula, pentru j = 1, 2. Din Teorema 2.5.4 deducemca exista k suficient de larg astfel ıncat functia fk −w0 are cel putin un zerouın discul U(zj ; r), j = 1, 2. Dar aceasta concluzie contrazice injectivitateafunctiei fk pe Ω, k ∈ N. Deci f este injectiva pe Ω. ¤

2.6. Aplicatii ale Teoremei reziduurilor la calculul unor integrale 73

Figura 2.7: U(z1; r) ∩ U(z2; r) = ∅

Exemplul 2.5.7 Fie fkk∈N un sir de functii olomorfe si injective pe U(0; 1),astfel ıncat fk → f uniform pe compacte ın U(0; 1). Daca f ′k(0) = a, k ∈ N,unde a ∈ C∗, atunci f este olomorfa si injectiva pe U(0; 1).

Intr-adevar, f este olomorfa pe baza Teoremei lui Weierstrass. Pe de altaparte, din faptul ca f ′k(0) → f ′(0) obtinem ca f ′(0) = a. Cum a 6= 0 urmeazaca f nu e constanta. Din Corolarul 2.5.6 deducem ca f este injectiva peU(0; 1).

Probleme

Problema 2.5.1 Sa se demonstreze urmatoarea varianta mai generala a Teo-remei lui Hurwitz: Fie Ω un domeniu din C si fkk∈N un sir de functii olo-morfe pe Ω, care converge uniform pe compacte la functia f . Daca f 6≡ 0,U(z0; r) ⊂ Ω si f(z) 6= 0, z ∈ ∂U(z0; r), atunci exista k0 ∈ N astfel ıncat f sifk au acelasi numar de zerouri ın U(z0; r), pentru orice k ≥ k0.

2.6 Aplicatii ale teoriei reziduurilor la calculul unorintegrale definite reale

In continuare vom prezenta alte aplicatii ale teoriei reziduurilor la evalua-rea unor integrale definite reale. Desi unele din integralele urmatoare pot ficalculate cu tehnici clasice din teoria functiilor de o variabila reala, ın multesituatii este preferabila aplicarea Teoremei reziduurilor unor functii si contu-ruri alese ın mod convenabil.


2.6.1 Integrale de tipul

∫ ∞

−∞R(x)dx si

∫ ∞

0

R(x)dx

Pentru calculul celor doua integrale sunt utile notiunile de convergenta,convergenta ın sens Cauchy si valoare principala, notiuni pe care le presupu-nem cunoscute. Pentru detalii, recomandam [Ma].

Lema 2.6.1 Fie z0 ∈ C, α1 < α2, astfel ıncat α2−α1 ≤ 2π, si fie r > 0. Fief o functie continua pe multimea Sz0 unde

(2.6.1) Sz0 = z ∈ C \ z0 : α1 ≤ arg(z − z0) ≤ α2.Fie γr arcul de cerc centrat ın z0 si de raza r continut ın Sz0. Atunci au locafirmatiile:

(i) Daca limz→∞(z − z0)f(z) = 0 atunci lim

r→∞

∫

γr

f(z)dz = 0.

(ii) Daca limz→z0

(z − z0)f(z) = 0 atunci limr→0+

∫

γr

f(z)dz = 0.

Demonstratie. Fie M(r) = sup|f(z)| : z ∈ γr. Atunci M(r) < ∞ si∣∣∣∣∫

γr

f(z)dz

∣∣∣∣ ≤ M(r)l(γr) = (α2 − α1) supz∈γr

|(z − z0)f(z)|.

Figura 2.8: γr ⊂ Sz0

Concluziile de la (i) si (ii) rezulta imediat. ¤Aplicand Lema 2.6.1, obtinem urmatoarele rezultate:

Teorema 2.6.2 Fie f = P/Q o functie rationala reala astfel ıncat Q(x) 6= 0,x ∈ R, si lim

z→∞ zf(z) = 0. Fie Π = z ∈ C : Im z > 0. Atunci

(2.6.2)∫ ∞

−∞f(x)dx = 2πi

∑

z∈Π

Rez(f ; z).


Demonstratie. Fie k si p gradele polinoamelor P respectiv Q. Deoa-rece lim

z→∞ zf(z) = 0, deducem ca p ≥ k + 2, iar aceasta conditie asigura

convergenta integralei din (2.6.2). Intr-adevar, exista M, r1 > 0 astfel ıncat

|P (x)/Q(x)| ≤ M/|x|2, |x| ≥ r1. Cum integrala∫ ∞

r1

dx/x2 este convergenta,

deducem, folosind criteriul comparatiei, ca si integrala∫ ∞

r1

[P (x)/Q(x)]dx

este convergenta. Similar, putem arata ca integrala∫ −r1

−∞[P (x)/Q(x)]dx

este convergenta. Dar P/Q este o functie continua pe [−r1, r1] si deci in-

tegrala∫ r1

−r1

[P (x)/Q(x)]dx exista. Urmeaza ca integralele∫ 0

−∞[P (x)/Q(x)]dx

si∫ ∞

0[P (x)/Q(x)]dx sunt convergente, ceea ce implica convergenta integralei

∫ ∞

−∞[P (x)/Q(x)]dx.

In continuare alegem r > 0 suficient de mare astfel ıncat toti polii functieif din semiplanul superior sa fie continuti ın domeniul Ωr unde Ωr = z ∈ C :|z| < r, Im z > 0.

Fie γr(t) = reπit, t ∈ [0, 1] si γ = [−r, r]∪ γr. Atunci γ = ∂Ωr iar (γ) = Ωr

(a se vedea Figura 2.9). Din Teorema reziduurilor deducem ca∫

γ

f(z)dz = 2πi∑

z∈Ωr

Rez(f ; z) = 2πi∑

z∈Π

Rez(f ; z).

Figura 2.9: γ = [−r, r] ∪ γr

Pe de alta parte,∫

γ

f(z)dz =∫

γr

f(z)dz +∫ r

−rf(x)dx.


Din cele doua relatii obtinem prin trecere la limita ca

2πi∑

z∈Π

Rez(f ; z) = limr→∞

∫

γr

f(z)dz +∫ ∞

−∞f(x)dx.

Din faptul ca limz→∞ zf(z) = 0 si din Lema 2.6.1 (i) rezulta ca

limr→∞

∫

γr

f(z)dz = 0.

Deci ∫ ∞

−∞f(x)dx = 2πi

∑

z∈Π

Rez(f ; z).

¤

Exemplul 2.6.3 Consideram integrala I =∫ ∞

−∞

dx

1 + x4.

Fie P (z) = 1, Q(z) = 1 + z4 si f(z) = 1/(1 + z4). Atunci limz→∞ zf(z) = 0,

iar Q(x) 6= 0, x ∈ R. Punctele singulare izolate ale functiei f se obtin dinrezolvarea ecuatiei z4 + 1 = 0. Deci zk = cos[(2k + 1)π/4] + i sin[(2k + 1)π/4],k ∈ 0, 1, 2, 3, sunt poli simpli pentru functia f . In plus, Im zk > 0 ⇔ k ∈0, 1. Pe baza relatiei (2.6.2), deducem ca

I = 2πi[Rez(f ; z0) + Rez(f ; z1)].

Cum zk este pol simplu, obtinem ca

Rez(f ; zk) = limz→zk

z − zk

1 + z4=

14z3

k

= −zk

4, k ∈ 0, 1, 2, 3.

Deci

I = −2πi[z0

4+

z1

4

]=

π√

22

.

Teorema 2.6.4 Fie f = P/Q o functie rationala reala, astfel ıncat Q(x) 6= 0,x ∈ [0,∞), si lim

z→∞ zf(z) = 0. Atunci

(2.6.3)∫ ∞

0f(x)dx = −

∑

z∈C∗Rez(g; z),

unde g(z) = f(z) log z, iar log este ramura uniforma a aplicatiei multivoceLog pe C \ [0,∞) astfel ıncat Im log z ∈ (0, 2π), z ∈ C \ [0,∞).


Demonstratie. Fie k si p gradele polinoamelor P respectiv Q. Deoarecelim

z→∞ zf(z) = 0, deducem ca p ≥ k + 2. Se poate arata ca aceasta inegalitate

asigura convergenta integralei din (2.6.3), folosind acelasi rationament ca ındemonstratia Teoremei 2.6.2. Fie r1 > 0 suficient de mic si r2 suficient semare astfel ıncat toate punctele singulare izolate nenule ale lui g sa fie situateın domeniul marginit D cu frontiera Γ unde Γ = [r1, r2] ∪ γr2 ∪ [r2, r1] ∪ γ−r1

(a se vedea Figura 2.10), iar γr1 si γr2 sunt contururile circulare de suporturi∂U(0; r1) si ∂U(0; r2).

Figura 2.10:

Din Teorema reziduurilor obtinem ca∫

Γ

g(z)dz = 2πi∑

z∈D

Rez(g; z) = 2πi∑

z∈C∗Rez(g; z).

Dar∫

Γ

g(z)dz =∫

[r1,r2]

g(z)dz +∫

γr2

g(z)dz +∫

[r2,r1]

g(z)dz −∫

γr1

g(z)dz.


[r2,r1]

g(z)dz = −∫ r2

r1

f(x)[lnx + 2πi]dx,

deci

(2.6.4) 2πi∑

z∈C∗Rez(g; z) =

∫ r2

r1

f(x) ln xdx +∫

γr2

g(z)dz


−∫ r2

r1

f(x)[lnx + 2πi]dx−∫

γr1

g(z)dz.

Deoarecelimz→0

zg(z) = 0 si limz→∞ zg(z) = 0,

deducem din Lema 2.6.1 ca

limr1→0

∫

γr1

g(z)dz = 0 si limr2→∞

∫

γr2

g(z)dz = 0.

Trecand la limita ın (2.6.4) pentru r1 → 0 si r2 →∞, obtinem ca

2πi∑

z∈C∗Rez(g; z) = −2πi

∫ ∞

0f(x)dx,

deci are loc egalitatea (2.6.3). ¤

Exemplul 2.6.5 Fie k si p numere ıntregi astfel ıncat 0 ≤ k ≤ p− 2. Atunci∫ ∞

0

xk

1 + xpdx =

π

p sin(

k + 1p

π

) .

Lasam demonstratia acestui exemplu pe seama cititorului.

Probleme

Problema 2.6.1 Sa se calculeze integralele:

(i)∫ ∞

−∞

x2 − 1(x2 + 1)(x2 + 4)

dx;

(ii)∫ ∞

−∞

x2 + a2

(x2 + b2)2dx, unde a, b > 0;

(iii)∫ ∞

−∞

dx

(x2 + a2)n, unde a > 0, n = 1, 2, . . . .

(iv)∫ ∞

−∞

dx

a4 + x4, unde a > 0.

Problema 2.6.2 Sa se calculeze integralele

(i)∫ ∞

0

dx

(x3 + 1)(x + 2);

(ii)∫ ∞

0

x2 + 4(x + 1)2(x + 2)2

dx;

(iii)∫ ∞

0

dx

x3 + a3, unde a > 0.


2.6.2 Integrale trigonometrice

Fie R(a, b) = P (a, b)/Q(a, b) o functie rationala, unde P si Q sunt poli-noame cu coeficienti reali ın variabilele a si b. Presupunem ca functia R nucontine nici un pol pe cercul unitate a2 + b2 = 1. In acest caz are loc

Teorema 2.6.6∫ 2π

0R(sinx, cosx)dx = 2π

∑

z∈U(0;1)

Rez(f ; z) unde

f(z) =1zR

(z − 1z

2i,z + 1

z

2

).

Demonstratie. Utilizand formulele lui Euler

cosx =eix + e−ix

2, sinx =

eix − e−ix

2i, x ∈ R,

precum si substitutia eix = z, obtinem ca

∫ 2π

0R(sinx, cosx)dx =

∫

∂U(0;1)

R(z − 1

z

2i,z + 1

z

2

)dz

iz.

Prin urmare∫ 2π

0R(sinx, cosx)dx = −i

∫

∂U(0;1)

f(z)dz.

Din Teorema reziduurilor deducem ca∫

∂U(0;1)f(z)dz = 2πi

∑

|z|<1

Rez(f ; z).

Deci ∫ 2π

0R(sinx, cosx)dx = 2π

∑

|z|<1

Rez(f ; z).

¤

Exemplul 2.6.7 Consideram integrala

I =∫ 2π

0

dx

a + cosx, a > 1.


Utilizand substitutia z = eix, obtinem imediat ca

I = −2i

∫

∂U(0;1)

dz

z2 + 2az + 1.

Daca f(z) = 2/(z2 + 2az + 1), observam ca punctele singulare izolate alefunctiei f sunt z1 = −a +

√a2 − 1 si z2 = −a−√a2 − 1.

Deoarece a > 1, rezulta ca |z2| > 1 si |z1| < 1, deci

I = 2πRez(f ; z1).

Cum z1 este pol simplu pentru functia f , deducem ca

Rez(f ; z1) = limz→z1

22z + 2a

=1

z1 + a=

1√a2 − 1

.

In concluzie, I = 2π/√

a2 − 1.

Probleme


(i)∫ 2π

0

cosx

2 + cosxdx;

(ii)∫ 2π

0

dx

a + b sinx, unde a > b > 0;

(iii)∫ 2π

0(cos x)2mdx, unde m ∈ N;

(iv)∫ 2π

0

dx

1− 2a cosx + a2, unde 0 < a < 1;

(v)∫ 2π

0

dx

(2− sinx)2;

(vi)∫ 2π

0

cos4 x

1 + sin2 xdx;

(vii)∫ 2π

0

cos3 x

1− 2a cosx + a2dx, unde 0 < a < 1;

(viii)∫ 2π

0

sin2 x

a + b cosxdx, unde a > |b| > 0.

Problema 2.6.4 Sa se calculeze integrala∫ 2π

0

cosmx

1− 2a cosx + a2dx, unde a > 1, m ∈ N.



I1 =∫ 2π

0f(eix) cos2

x

2dx; I2 =

∫ 2π

0f(eix) sin2 x

2dx,

unde f este o functie olomorfa pe discul U(0; 2).

Problema 2.6.6 Sa se precizeze o formula de calcul ın cazul integralelor

I1 =∫ 2π

0R(sinx, cosx) cos kxdx si I2 =

∫ 2π

0R(sinx, cosx) sin kxdx

unde k ∈ N iar R este o functie rationala, care satisface conditiile din Teorema2.6.6.

Indicatie. Se foloseste aceeasi schimbare de variabila ca ın demonstratiaTeoremei 2.6.6.

2.6.3 Integrale de tip Fourier

In continuare vom discuta integrala de tipul∫ ∞

−∞f(x)eiαx, unde α > 0 iar

f este o functie rationala fara poli pe axa reala. Pentru aceasta avem nevoiede urmatorul rezultat pregatitor, cunoscut sub numele de Lema lui Jordan.

Lema 2.6.8 Fie f o functie continua pe semiplanul S = z ∈ C : Im z ≥ 0si fie γR semicercul cu centrul ın origine si de raza R, care este continut ın S.Daca α > 0 si lim

z→∞z∈S

f(z) = 0 atunci

limR→∞

∫

γR

f(z)eiαzdz = 0.

Demonstratie. Deoarece γR(t) = Reiπt, t ∈ [0, 1], obtinem ca

∫

γR

f(z)eiαzdz =∫ 1

0f(Reiπt)eiαR[cos(πt)+i sin(πt)]iπReiπtdt

=∫ π

0f(Reiθ)eiαR(cos θ+i sin θ)iReiθdθ.


Fie KR = sup|f(z)| : z ∈ γR. Atunci

(2.6.5)∣∣∣∣∫

γR

f(z)eiαzdz

∣∣∣∣ ≤∫ π

0|f(Reiθ)|e−αR sin θRdθ

≤ RKR

∫ π

0e−αR sin θdθ = 2RKR

∫ π2

0e−αR sin θdθ.

Cum functia h(θ) = (sin θ)/θ este descrescatoare pe (0, π/2], urmeaza ca

2π≤ sin θ

θ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π

2.

Revenind la (2.6.5) si folosind relatia precedenta, obtinem ca∣∣∣∣∫

γR

f(z)eiαzdz

∣∣∣∣ ≤ 2RKR

∫ π2

0e−

2αRθπ dθ =

πKR

α[1− e−αR] ≤ π

αKR.

Deoarece limz→∞z∈S

f(z) = 0, deducem ca

limR→∞

∣∣∣∫

γR

f(z)eiαzdz∣∣∣ ≤ π

αlim

R→∞supz∈γR

|f(z)| = 0.

Prin urmare limR→∞

∫

γR

f(z)eiαzdz = 0. ¤

Observatia 2.6.9 Cu un rationament similar se poate arata ca daca k ∈ N iarf este o functie continua pe multimea Sk =

z ∈ C∗ : 0 ≤ arg z ≤ π

k

, astfel

ıncat limz→∞ z1−kf(z) = 0, atunci lim

R→∞

∫

ΓR

f(z)eizkdz = 0 unde ΓR(t) = reitπ/k,

t ∈ [0, 1].

Demonstratia acestui rezultat poate fi gasita ın [Ha-Mo-Ne, p. 123].

Teorema 2.6.10 Fie f = P/Q o functie rationala reala, unde P si Q suntpolinoame avand gradele k respectiv p astfel ıncat p ≥ k + 1, iar Q nu seanuleaza pe axa reala. Daca α > 0 atunci

(2.6.6)∫ ∞

−∞f(x)eiαxdx = 2πi

∑

z∈Π

Rez(g; z),

unde Π = z ∈ C : Im z > 0 iar g(z) = f(z)eiαz.


Demonstratie. Mai ıntai, observam ca integrala∫ ∞

−∞f(x)eiαxdx exista si

este convergenta. Intr-adevar, deoarece p ≥ k + 1, avem ca limz→∞ f(z) = 0. Pe

de alta parte,

f ′(x) =h(x)Q2(x)

,

unde h este un polinom de grad cel mult k + p − 1. Fie x0 zeroul lui h demodul maxim. Atunci f ′(x) are semn constant pentru x > |x0|, deci f(x) estemonotona pentru x ≥ |x0|.

Fie x1 si x2 numere reale, astfel ca x2 > x1 > |x0|. Cum limz→∞ f(z) = 0,

urmeaza ca f este sau pozitiva si limx→∞

x>|x0|f(x) = 0+ sau f este negativa si

limx→∞

x>|x0|f(x) = 0−.

Aplicand teorema a doua de medie din calculul integral, deducem ca existaζ ∈ (x1, x2) astfel ıncat

∫ x2

x1

f(x) cosαxdx = f(x1)∫ ζ

x1

cosαtdt + f(x2)∫ x2

ζcosαtdt,

deci ∣∣∣∣∫ x2

x1

f(x) cos αxdx

∣∣∣∣ ≤2α|f(x1)|+ 2

α|f(x2)|.

Folosind din nou faptul ca limz→∞ f(z) = 0, rezulta ca pentru orice ε > 0,

exista δ0(ε) > 0 astfel ca

|f(x)| < εα

4, x > δ0(ε).

Prin urmare∣∣∣∣∫ x2

x1

f(x) cos αxdx

∣∣∣∣ ≤2α

[|f(x1)|+ |f(x2)|] < ε, x2 > x1 > max|x0|, δ0(ε).

Inegalitatea precedenta asigura convergenta integralei∫ ∞

0f(x) cos αxdx.

In mod analog se poate arata ca exista si este convergenta integrala∫ ∞

0f(x) sinαxdx. Deci integrala

∫ ∞

0f(x)eiαxdx este de asemenea conver-

genta.Pentru a demonstra egalitatea (2.6.6), alegem din nou conturul din Figura

2.9, ın asa fel ıncat ın domeniul Ωr = z ∈ C : |z| < r, Im z > 0 sa


fie continuti toti polii functiei g din semiplanul superior Π. Din Teoremareziduurilor avem ca

∫

∂Ωr

g(z)dz = 2πi∑

z∈Ωr

Rez(g; z) = 2πi∑

z∈Π

Rez(g; z).

Pe de alta parte,

(2.6.7)∫

∂Ωr

g(z)dz =∫ r

−rf(x)eiαxdx +

∫

γr

g(z)dz.

Aplicand Lema 2.6.8, obtinem ca limr→∞

∫

γr

g(z)dz = 0. In final, egalitatea

(2.6.6) rezulta prin trecere la limita pentru r → ∞ ın (2.6.7). Demonstratiaeste ıncheiata. ¤

Exemplul 2.6.11 Consideram integralele

I1 =∫ ∞

−∞

cosx

x2 + a2dx si I2 =

∫ ∞

−∞

sinx

x2 + a2dx,

unde a > 0. Fie I = I1 + iI2 =∫ ∞

−∞

eix

x2 + a2dx.

Aplicand Teorema 2.6.10, deducem ca I = 2πiRez(g; ia), unde g(z) =eiz/(z2 + a2). Cum ia este pol simplu pentru functia g, rezulta ca

Rez(g; ia) = limz→ia

eiz

z + ia=

e−a

2ia.

Deci I = πe−a/a, adica I1 = π/(aea) si I2 = 0.


−∞

cos 2x

x2 + 1dx. Cu un rationa-

ment similar celui de mai sus se obtine ca I = π/e2.

Probleme


(i)∫ ∞

−∞

cos ax

(x2 + b2)2dx, unde a, b > 0;

(ii)∫ ∞

−∞

x3 sinx

x4 + 1dx;


(iii)∫ ∞

−∞

cos ax

x4 + 16dx, unde a > 0;

(iv)∫ ∞

−∞

x3 sin ax

(x2 + b2)2dx, unde a, b > 0.

Problema 2.6.8 (i) Sa se arate ca∫ ∞

−∞

x sin ax

x2 + b2dx = πe−ab, unde a, b > 0.

(ii) Sa se arate ca∫ ∞

0

sinx

xdx =

π

2.

Indicatie. Se considera a = 1 si b → 0 ın (i).

2.6.4 Integrale de tipul

∫ ∞

0

R(x) ln xdx si

∫ ∞

0

[R(x)/xa]dx

Rezultatul principal al acestei sectiuni se bazeaza din nou pe aplicareaTeoremei reziduurilor ın cazul conturului din Figura 2.10. Are loc

Teorema 2.6.13 Fie f = P/Q o functie rationala reala fara poli pe semiaxareala pozitiva. Daca lim

z→∞ zf(z) = 0 atunci

(2.6.8)∫ ∞

0f(x) lnxdx = −1

2Re

[ ∑

z∈C∗Rez(g; z)

],

unde g(z) = f(z)(log z)2, iar log este ramura uniforma a aplicatiei multivoceLog pe C \ [0,∞) astfel ıncat Im log z ∈ (0, 2π), z ∈ C \ [0,∞).

Demonstratie. Alegem r1 > 0 suficient de mic si r2 > 0 suficient de mare,astfel ıncat toate punctele singulare izolate ale functiei g din C∗ sa fie continuteın domeniul marginit de conturul Γ din Figura 2.10. Din Teorema reziduuriloravem ca ∫

Γ

g(z)dz = 2πi∑

z∈C∗Rez(g; z).

Dar∫

Γ

g(z)dz =∫

[r1,r2]

g(z)dz +∫

γr2

g(z)dz +∫

[r2,r1]

g(z)dz −∫

γr1

g(z)dz.


[r2,r1]

g(z)dz = −∫ r2

r1

f(x)[lnx + 2πi]2dx,


deci

(2.6.9) 2πi∑

z∈C∗Rez(g; z) =

∫ r2

r1

f(x)(lnx)2dx +∫

γr2

f(z)(log z)2dz

−∫ r2

r1

f(x)[lnx + 2πi]2dx−∫

γr1

f(z)(log z)2dz.

Deoarecelimz→0

zg(z) = 0 si limz→∞ zg(z) = 0,

deducem din Lema 2.6.1 ca

limr1→0

∫

γr1

f(z)(log z)2dz = 0 si limr2→∞

∫

γr2

f(z)(log z)2dz = 0.

In final, trecand la limita ın (2.6.9) pentru r1 → 0 si r2 →∞ si considerandpartea reala ın (2.6.9), se obtine imediat relatia (2.6.8). ¤


0

lnx

(x2 + 1)2dx.

Fie g(z) = (log z)2/(z2 + 1)2. Se observa ca punctele singulare izolatenenule ale functiei g sunt ±i. Deci

I = −12Re [Rez(g; i) + Rez(g;−i)].

Dar i si −i sunt poli dubli (de ordinul doi), deci

Rez(g; i) = limz→i

[(z − i)2g(z)]′ = −π

4+

iπ2

16

si

Rez(g;−i) = limz→−i

[(z + i)2g(z)]′ =3π

4− 9π2

16i.

Prin urmare

I = −12Re [Rez(g; i) + Rez(g;−i)] = −1

2

[−π

4+

3π

4

]= −π

4.

Cu un rationament similar celui din demonstratia Teoremei 2.6.13 obtinem


Teorema 2.6.15 Fie a ∈ (0, 1) si f = P/Q o functie rationala reala fara polipe intervalul [0,∞) astfel ıncat lim

z→∞ f(z) = 0. Atunci

(2.6.10)∫ ∞

0

f(x)xa

dx =πeaπi

sin(aπ)

∑

z∈C∗Rez(g; z),

unde g(z) = f(z)/za, iar za = ea log z unde log este aceeasi ramura uniformaca ın Teorema 2.6.13.

Demonstratie. Fie Γ acelasi contur ca ın demonstratia Teoremei 2.6.13.Atunci ∫

Γ

g(z)dz = 2πi∑

z∈C∗Rez(g; z)

si∫

Γ

g(z)dz =∫ r2

r1

f(x)xa

dx +∫

γr2

f(z)za

dz −∫ r2

r1

f(x)ea[ln x+2πi]

dx−∫

γr1

f(z)za

dz.

Deci

(2.6.11) 2πi∑

z∈C∗Rez(g; z) =

∫

γr2

f(z)za

dz −∫

γr1

f(z)za

dz

+(1− e−2πia)∫ r2

r1

f(x)xa

dx.

Cum limz→∞ f(z) = 0 urmeaza ca p ≥ k + 1, unde k si p sunt gradele poli-

noamelor P respectiv Q. Deoarece a ∈ (0, 1), obtinem imediat ca

limz→∞ zg(z) = lim

z→∞ z1−a P (z)Q(z)

= 0 si limz→0

zg(z) = limz→0

z1−a P (z)Q(z)

= 0.

Trecand la limita ın (2.6.11) pentru r1 → 0 si r2 → ∞ si aplicand Lema2.6.1, deducem (2.6.10). ¤


0

dx

xa(1 + x)2unde a ∈ (0, 1).

Fie g(z) =1

za(1 + z)2. Se observa ca z0 = −1 este pol dublu pentru g.

Aplicand Teorema 2.6.15, obtinem ca

I =πeaπi

sin(aπ)Rez(g;−1).


DarRez(g;−1) = lim

z→−1[(z + 1)2g(z)]′ = −a lim

z→−1

1zaz

=a

(−1)a=

a

ea log(−1)=

a

eaπi.

Deci I = aπ/ sin(aπ).

Probleme


(i)∫ ∞

0

lnx

(x + a)2 + b2dx, unde a ∈ R, b > 0;

(ii)∫ ∞

0

x2 + 1(x2 + 4)2

lnxdx;

(iii)∫ ∞

0

ln x

(x + a)(x + b)dx, unde a, b > 0;

(iv)∫ ∞

0

x + 2x3 + 1

ln xdx.


(i)∫ ∞

0

1 + x3√

x(x2 + 4)2dx;

(ii)∫ ∞

0

dx4√

x(x + a)(x + b), unde a, b > 0;

(iii)∫ ∞

0

(x + a)dx

(x2 + b2)√

x, unde a, b > 0;

2.6.5 Alte tipuri de integrale care se pot calcula cu Teoremareziduurilor

In aceasta sectiune studiem integrala∫ ∞

0f(x) lnxdx, unde f este o functie

rationala reala cu un pol simplu ın z = 1. Pentru aceasta avem nevoie deurmatorul rezultat pregatitor.

Lema 2.6.17 Fie z0 ∈ C, r > 0, 0 < α ≤ 2π si γr(t) = z0 + rei[(1−t)θ1+tθ2],t ∈ [0, 1], unde θ2 > θ1 ≥ 0 astfel ıncat θ2 − θ1 = α. Daca z0 este un polsimplu pentru functia f atunci

limr→0+

∫

γr

f(z)dz = iαRez(f ; z0).


Demonstratie. Deoarece z0 este pol simplu pentru f , deducem ca dezvolta-rea ın serie Laurent ın z = z0 este de forma

f(z) =a−1

z − z0+ a0 + a1(z − z0) + · · ·+ ak(z − z0)k + . . . .

Figura 2.11: γr(t) = z0 + rei[(1−t)θ1+tθ2], t ∈ [0, 1]

Fie g(z) =∞∑

k=0

ak(z−z0)k. Atunci g este o functie olomorfa pe o vecinatate

a punctului z0, deci exista K > 0 astfel ıncat |g(z)| ≤ K, pentru z suficientde apropiat de z0. Prin urmare

∣∣∣∫

γr

g(z)dz∣∣∣ ≤ Kl(γr) → 0, r → 0+,

unde l(γr) este lungimea lui γr. Deci

limr→0+

∫

γr

f(z)dz = a−1 limr→0+

∫

γr

dz

z − z0+ lim

r→0+

∫

γr

g(z)dz

= a−1i(θ2 − θ1) = i(θ2 − θ1)Rez(f ; z0) = iαRez(f ; z0).

Demonstratia este ıncheiata. ¤

Exemplul 2.6.18 Consideram integrala∫ ∞

0

ln x

x2 − 1dx.


Fie log ramura principala a aplicatiei multivoce Log pe C \ (−∞, 0] si fieg(z) = (log z)2/(z2 − 1). Se observa ca

limz→1

g(z) = limz→1

(log z)2

z2 − 1= lim

z→1

log z

z= 0

si

limz→−1

g(z) = limz→−1

(log z)2

z2 − 1= ∞.

Deci z0 = 1 este punct eliminabil, iar z1 = −1 este pol simplu pentrufunctia g. Fie ε, r > 0 astfel ca ε este suficient de mic si r este suficient demare. De asemenea, fie Γ = [−r,−1− ε] ∪ γ−ε ∪ [−1 + ε,−ε] ∪ Γ−ε ∪ [ε, r] ∪ γr,unde γε si Γε sunt semicercurile din semiplanul superior de raze egale cu ε side centre ın −1 respectiv 0. Notam cu Ω domeniul marginit cu frontiera Γ (ase vedea Figura 2.12).

Se observa ca functia g nu are puncte singulare izolate ın domeniul Ω, deci∫

Γg(z)dz = 0, pe baza Teoremei 1.2.18. Dar

(2.6.12)∫

Γ

g(z)dz =∫ −1−ε

−r

(ln |x|+ iπ)2

x2 − 1dx−

∫

γε

g(z)dz

+∫ −ε

−1+ε

(ln |x|+ iπ)2

x2 − 1dx−

∫

Γε

g(z)dz +∫ r

ε

(lnx)2

x2 − 1dx +

∫

γr

g(z)dz.

Figura 2.12: ∂Ω = Γ

Cum z = −1 este pol simplu pentru g, deducem din Lema 2.6.17 ca

limε→0+

∫

γε

g(z)dz = iπRez(g;−1) =iπ3

2.


Dar limz→0

zg(z) = 0 si limz→∞ zg(z) = 0, iar din Lema 2.6.1 obtinem ca

limε→0+

∫

Γε

g(z)dz = 0 si limr→∞

∫

γr

g(z)dz = 0.

Trecand la limita pentru ε → 0+ si r →∞ ın (2.6.12), deducem ca

0 =∫ −1

−∞

ln2(−x)x2 − 1

dx− π2

∫ −1

−∞

dx

x2 − 1+ 2iπ

∫ −1

−∞

ln(−x)dx

x2 − 1− iπ3

2

+∫ 0

−1

ln2(−x)x2 − 1

dx− π2

∫ 0

−1

dx

x2 − 1+ 2iπ

∫ 0

−1

ln(−x)x2 − 1

dx +∫ ∞

0

ln2 x

x2 − 1dx

=∫ ∞

−∞

ln2 |x|x2 − 1

dx− π2

∫ 0

−∞

dx

x2 − 1+ 2iπ

∫ 0

−∞

ln(−x)x2 − 1

dx− iπ3

2.

Prin urmare, obtinem urmatoarele relatii (integralele urmatoare fiind eva-luate ın valoare principala):

∫ ∞

−∞

ln2 |x|x2 − 1

dx = π2

∫ 0

−∞

dx

x2 − 1

si ∫ 0

−∞

ln(−x)x2 − 1

dx =π2

4.

Dar ∫ 0

−∞

ln(−x)x2 − 1

dx =∫ ∞

0

ln x

x2 − 1dx,

deci ∫ ∞

0

ln x

x2 − 1dx =

π2

4.

Metoda din demonstratia precedenta se poate adapta ıntr-un cadru multmai general, obtinandu-se astfel urmatorul rezultat (vezi [Ber-Ga, p.158]).Lasam demonstratia pe seama cititorului.

Teorema 2.6.19 Fie f o functie rationala reala cu un pol simplu ın z = 1 sifara alti poli pe semiaxa reala pozitiva. Daca lim

z→∞ zf(z) = 0 atunci∫ ∞

0f(x) lnxdx = π2Rez(f ; 1)− 1

2Re

[ ∑

z∈C\1Rez(g; z)

],

unde g(z) = f(z)(log z)2, iar log este ramura uniforma a aplicatiei multivoceLog pe C \ [0,∞) astfel ıncat Im log z ∈ (0, 2π), z ∈ C \ [0,∞).


In continuare prezentam o alta aplicatie a Lemei 2.6.17.


−∞

cosx

x2 − a2dx unde a > 0.

Vom calcula valoarea sa principala.Fie

J =∫ ∞

−∞

sinx

x2 − a2dx (= 0) si T = I + iJ =

∫ ∞

−∞

eix

x2 − a2dx,

unde consideram valorile principale ale integralelor J si T .Alegem functia g(z) = eiz/(z2 − a2) si observam ca g ∈ H(C \ −a, a),

iar punctele a si −a sunt poli simpli pentru g.

Figura 2.13: ∂D = Γ

Fie ε > 0 suficient de mic si r > 0 suficient de mare. Daca

Γ = [−r,−a− ε] ∪ γ−ε ∪ [−a + ε, a− ε] ∪ Γ−ε ∪ [a + ε, r] ∪ γr,

atunci g nu mai are nici un punct singular izolat ın domeniul D marginit deconturul Γ (a se vedea Figura 2.13), deci

(2.6.13)∫

Γ

g(z)dz = 0.

Pe de alta parte,

(2.6.14)∫

Γ

g(z)dz =

−a−ε∫

−r

g(x)dx−∫

γε

g(z)dz +∫ a−ε

−a+εg(x)dx


−∫

Γε

g(z)dz +∫ r

a+εg(x)dx +

∫

γr

g(z)dz.

Din Lema 2.6.17 rezulta ca

limε→0+

∫

γε

g(z)dz = iπRez(g;−a) = − iπe−ia

2a

si

limε→0+

∫

Γε

g(z)dz = iπRez(g; a) =iπeia

2a.

Daca z ∈ γr, atunci exista θ ∈ [0, π] astfel ca z = reiθ, deci∣∣∣∣

eiz

z2 − a2

∣∣∣∣ =e−r sin θ

|z2 − a2| ≤1

a2 − r2→ 0, r →∞.

Aplicand Lema 2.6.1 rezulta ca limr→∞

∫

γr

g(z)dz = 0.

Trecand la limita ın (2.6.14) pentru ε → 0, r → ∞, si folosind egalitatea(2.6.13), obtinem ca

0 =∫ −a

−∞g(x)dx +

iπe−ia

2a+

∫ ∞

−ag(x)dx− iπeia

2a

=∫ ∞

−∞

eix

x2 − a2dx +

π

asin a.

Deci ∫ ∞

−∞

eix

x2 − a2dx = −π sin a

a,

adica I = −π sin a/a si J = 0.

Propunem cititorului sa arate ca are loc egalitatea:

Exemplul 2.6.21∫ ∞

0

sinx

xdx =

π

2.

Indicatie. Fie

I1 =∫ ∞

−∞

cosx

xdx, I2 =

∫ ∞

−∞

sinx

xdx


si I = I1 + iI2 =∫ ∞

−∞(eix/x)dx.

Se considera functia g(z) = eiz/z olomorfa pe C∗, cu un pol simplu ınz = 0, se aplica Lemele 2.6.1 si 2.6.17 si Teorema fundamentala a lui Cauchyın cazul conturului din Figura 2.14.

Figura 2.14:

Probleme

Problema 2.6.11 Sa se calculeze urmatoarele integrale, folosind Teorema2.6.19:

(i)∫ ∞

0

lnx

(x− 1)(x2 + 4)dx;

(ii)∫ ∞

0

(x2 + a2) lnx

(x− 1)(x2 + b2)2dx, unde a, b > 0, b 6= 1.

Problema 2.6.12 Sa se arate ca∫ ∞

0sinx2dx =

∫ ∞

0cosx2dx =

√π/(2

√2)

(integralele lui Fresnel).


0

xa−1

1 + xdx =

π

sin(aπ), unde 0 < a < 1.

Indicatie. Se observa ca

∫ ∞

0

xa−1

1 + xdx =

∫ ∞

−∞

eay

1 + eydy.

2.7. Alte aplicatii ale Teoremei reziduurilor 95

In continuare se alege functia f(z) = eaz/(1 + ez) si conturul γ de suportdreptunghiul cu varfurile ın punctele ±r respectiv ±r+2πi, cu r > 0 suficientde mare.


0

sh(ax)sh(πx)

dx =12tg

(a

2

), unde − π < a < π.

Indicatie. Se considera functia g(z) = eaz/sh(πz) si conturul γ din Figura2.15, unde ε > 0 e suficient de mic, iar r > 0 e suficient de mare.

Figura 2.15:

Problema 2.6.15 Sa se calculeze integrala∫ ∞

0

(sinx

x

)2dx.

2.7 Alte aplicatii ale Teoremei reziduurilor

In continuare aratam ca notiunea de reziduu poate fi aplicata la determi-

narea sumelor unor serii de forma∞∑

n=−∞f(n), ın cazul ın care f este o functie

olomorfa pe C \ A, iar A = z1, . . . , zk, unde zi este un pol pentru functia fcu reziduul wi, i = 1, . . . , k. Presupunem ca f nu se anuleaza ın nici un punctz ∈ Z, zi 6∈ Z, i = 1, . . . , k, si ca f(z) = O(z−2), z →∞, adica exista numerelereale ρ, δ > 0, astfel ıncat

(2.7.1) |f(z)| ≤ δ

|z|2 , |z| ≥ ρ.


Fie functia g(z) = πctg (πz)f(z) si γm conturul de suport patratul cuvarfurile ın punctele ±(m + 1/2)(1± i), unde m este un numar ıntreg pozitivsuficient de mare, astfel ıncat toti polii functiei f sa fie continuti ın (γm) (a sevedea Figura 2.16).

Figura 2.16:

Observam ca functia g este olomorfa pe C\B, unde B = z1, . . . , zk, l : l ∈Z, si deci punctele singulare izolate ale lui g situate ın domeniul Dm, marginitde γm, sunt zj , j = 1, . . . , k, si 0,±1, . . . ,±m. Din Teorema reziduurilordeducem ca

(2.7.2)∫

γm

g(z)dz = 2πi[ k∑

j=1

Rez(g; zj) +m∑

l=−m

Rez(g; l)].

Cum functia h(z) = πctg (πz) are poli simpli ın punctele ±l, l ∈ Z,Rez(h;±l) = 1, iar punctele ±l, l ∈ Z, nu sunt singulare pentru functia fsi f(±l) 6= 0, urmeaza ca ±l este un pol simplu pentru g si

Rez(g;±l) = f(±l)Rez(h;±l) = f(±l).


γm

g(z)dz =∫

E1

g(z)dz +∫

E2

g(z)dz

+∫

E3

g(z)dz +∫

E4

g(z)dz,


In mod analog se poate arata ca inegalitatea precedenta are loc si pe laturapatratului paralela cu Ox din semiplanul inferior, adica pe E4.

Din (2.7.1), (2.7.3) si (2.7.4) rezulta ca

limm→∞

∫

γm

g(z)dz = 0.

Intr-adevar,∣∣∣∣∫

γm

g(z)dz

∣∣∣∣ ≤ supz∈γm

|g(z)|l(γm) = supz∈γm

|g(z)|(8m + 4).

Insa pentru m suficient de mare si z ∈ γm putem presupune ca inegalitatea(2.7.1) este adevarata, iar din (2.7.3) si (2.7.4) obtinem ca

|g(z)| ≤ π max

1, cthπ

2

δ

|z|2 = πcthπ

2· δ

|z|2 , z ∈ γm.

Dar |z| ≥ m + 1/2, z ∈ γm, deci

|g(z)| ≤ πcth(π

2

) δ(m +

12

)2 , z ∈ γm,

pentru m suficient de mare. Prin urmare

∣∣∣∣∫

γm

g(z)dz

∣∣∣∣ ≤πδcth

(π

2

)

(m +

12

)2 (8m + 4) → 0, m →∞,

adicalim

m→∞

∫

γm

g(z)dz = 0.

Revenind la relatia (2.7.2), obtinem pentru m →∞ ca

(2.7.5) 0 = limm→∞

∫

γm

g(z)dz = 2πi[ k∑

j=1

Rez(g; zj)]

+ 2πi limm→∞

m∑

l=−m

f(l).

In final, din (2.7.5) avem ca∞∑

l=−∞f(l) = −

k∑

j=1

πRez(ctg (πz)f(z); zj).

Am obtinut astfel urmatorul rezultat:


Teorema 2.7.1 Fie f o functie meromorfa pe C si fie z1, . . . , zk polii functieif cu reziduurile w1, . . . , wk. Daca f(z) 6= 0, z ∈ Z, zj 6∈ Z, j = 1, . . . , k, iarf(z) = O(|z|−2), z →∞, atunci

(2.7.6)∞∑

l=−∞f(l) = −π

k∑

j=1

Rez(ctg (πz)f(z); zj).

Observatia 2.7.2 In particular, daca f = P/Q, iar P,Q sunt polinoame cucoeficienti reali, astfel ıncat ecuatiile P (z) = 0 si Q(z) = 0 nu au nici o solutiez ∈ Z, iar q ≥ p + 2, unde p si q sunt gradele polinoamelor P respectiv Q,atunci f(z) = O(|z|−2), iar din (2.7.6) obtinem

(2.7.7)∞∑

l=−∞

P (l)Q(l)

= −π∑

z∈A

Rez(h; z),

unde h(z) = f(z)ctg (πz) iar A este multimea polilor functiei rationale f =P/Q.

Exemplul 2.7.3 Consideram seria∞∑

n=1

1/(n2 + a2) unde a > 0. Vom evalua

suma acestei serii cu ajutorul formulei (2.7.7).E clar ca ∞∑

n=−∞

1n2 + a2

=1a2

+ 2∞∑

n=1

1n2 + a2

.

Fie f(z) = 1/(z2 + a2). Atunci f este o functie meromorfa pe C, cu poliisimpli ±ia 6∈ Z. In plus, Rez(f ;±ia) = ∓i/2a.

Din relatia (2.7.7) deducem ca

∞∑n=−∞

1n2 + a2

= −π

[− i

2actg (πia) +

i

2actg (−πia)

]=

πictg (πia)a

.

Prin urmare

1a2

+ 2∞∑

n=1

1n2 + a2

=πictg (πia)

a=

πcth(πa)a

,

deci ∞∑

n=1

1n2 + a2

=12

[π

acth(πa)− 1

a2

]=

12a2

[πacth(πa)− 1].


Observatia 2.7.4 Folosind un rationament similar celui care precede Teo-rema 2.7.1, ın cazul functiei h(z) = πf(z)cosec(πz), unde f satisface conditiile

din Teorema 2.7.1, se poate obtine suma seriei∞∑

n=−∞(−1)nf(n).

Probleme

Problema 2.7.1 Sa se arate ca ın conditiile de mai sus,

∞∑n=−∞

(−1)nf(n) = −π∑

z∈A

Rez(g; z)

unde g(z) = f(z)/sin(πz) iar A este multimea polilor functiei f .

Problema 2.7.2 (i) Sa se calculeze∞∑

n=1

1(n + a)2

, unde a ∈ (0,∞) \ N.

(ii) Folosind (i), sa se arate ca∞∑

n=0

1(2n + 1)2

=π2

8.

Problema 2.7.3 Sa se calculeze∞∑

n=1

(−1)n

n2 + a2, unde a > 0.


n=1

1n4 + 1

, folosind Teorema 2.7.1.


n=1

1(2n− 1)2

, folosind Teorema 2.7.1.

Observatia 2.7.5 Alte detalii referitoare la acest capitol, ın mod special laSectiunile 2.6 si 2.7, se pot consulta ın lucrarile [Ha-Mo-Ne], [Gas-Su] (surseprincipale folosite ın elaborarea acestui capitol), [Ber-Ga], [Con1], [Na-Ni],[Gre-Kra], [Pop].

Capitolul 3

Normalitate si Compactitateın Spatiul Functiilor Olomorfe

In acest capitol vom studia structura topologica a spatiului H(Ω), undeΩ este o multime deschisa din C, si vom caracteriza multimile local uniformmarginite din H(Ω). Vom arata ca H(Ω) este un spatiu Frechet ın raportcu o metrica care genereaza o topologie echivalenta cu topologia naturala alui H(Ω) definita de convergenta uniforma pe compacte. Aceste rezultate vorfi utile ın stabilirea teoremelor principale din prezentul capitol, datorate luiMontel si Vitali. In finalul acestui capitol vom caracteriza familiile normalede functii meromorfe.

3.1 Structura metrica si topologica a spatiului H(Ω)

In aceasta sectiune vom introduce topologia naturala pe spatiul H(Ω),unde Ω este o multime deschisa din C. Vom arata ca aceasta topologie esteechivalenta cu cea definita de o metrica bine cunoscuta. Aceasta echivalentava fi utila ın caracterizarea multimilor compacte din H(Ω). Mai precis, vomarata ca o submultime F a lui H(Ω) este compacta daca si numai daca F esteınchisa si marginita uniform pe compacte ın Ω. In acest sens, vom concepeorice submultime a lui C(Ω) ca o multime de puncte din spatiul C(Ω) unde

C(Ω) = f : Ω → C| f continua pe Ω.

Cu alte cuvinte, functiile complexe continue pe Ω vor fi privite ca puncte aleacestui spatiu.

101

102 3. Normalitate si Compactitate ın Spatiul Functiilor Olomorfe

Definitia 3.1.1 Fie Ω o multime deschisa din C. Numim topologia naturala(topologia uzuala) pe H(Ω) acea topologie pentru care o baza de multimideschise a unui punct f ∈ H(Ω) este formata din multimile VK,η(f) de forma

(3.1.1) VK,η(f) =

g ∈ H(Ω) : |g(z)− f(z)| < η, z ∈ K

,

unde K este submultime compacta a lui Ω iar η > 0.

Observatia 3.1.2 (i) Fie fkk∈N un sir de functii olomorfe pe multimeadeschisa Ω. Atunci fkk∈N converge ın raport cu topologia naturala la functiaf daca si numai daca pentru orice η > 0 si K un compact inclus ın Ω, existak0 = k0(ε,K) ∈ N astfel ıncat

|fk(z)− f(z)| < η, k ≥ k0, z ∈ K.

Deci sirul fkk∈N converge la f ın raport cu topologia naturala a lui H(Ω)daca si numai daca fkk∈N converge uniform pe compacte ın Ω la f .

Mentionam ca exista siruri convergente uniform pe compacte fara a fi con-vergente uniform pe ıntreaga multime. De exemplu, fie fk(z) = zk, k ∈ N,|z| < 1. Atunci sirul fkk∈N este convergent uniform pe compacte la zero ındiscul unitate, dar nu este uniform convergent ın U .

(ii) H(Ω) e un spatiu topologic Hausdorff. Aceasta proprietate rezultadirect din Definitia 3.1.1.

(iii) In raport cu adunarea si ınmultirea obisnuita a functiilor, H(Ω) esteun spatiu vectorial. Deci H(Ω) este un spatiu vectorial topologic. Pe dealta parte, deoarece fiecare vecinatate VK,η(f) a lui f ∈ H(Ω) este convexa,deducem ca H(Ω) este un spatiu topologic local convex.

In continuare vom arata ca putem defini o metrica pe H(Ω), care genereazao topologie echivalenta cu topologia naturala pe H(Ω).

Definitia 3.1.3 Fie Ω o multime deschisa din C si Kjj∈N un sir de multimicompacte din Ω. Spunem ca sirul Kjj∈N formeaza o exhaustiune normala alui Ω daca sunt satisfacute urmatoarele conditii:

i) Kj ⊂ int(Kj+1), j ∈ N;

(ii)∞⋃

j=1

Kj = Ω.

Proprietatea urmatoare demonstreaza existenta exhaustiunilor normale ıncazul multimilor deschise din C.

3.1. Structura metrica si topologica a spatiului H(Ω) 103

Lema 3.1.4 Fie Ω o multime deschisa din C. Atunci exista o exhaustiunenormala Kjj∈N a lui Ω.

Demonstratie. Daca Ω = C este suficient sa consideram Kj = U(0; j), j ∈ N.Atunci Kjj∈N este o exhaustiune normla a lui C. Admitem ın continuare caΩ 6= C. Fie

Ej =

z ∈ Ω : d(z,C \ Ω) ≥ 1j

, j = 1, 2, . . . ,

unde d(z,C \ Ω) = inf|z − w| : w ∈ C \ Ω este distanta de la punctul z lamultimea C\Ω. Deoarece functia f(z) = d(z,C\Ω) este continua pe multimeaΩ, deducem ca Ej este o multime ınchisa, j ≥ 1. In plus,

(3.1.2) Ω =∞⋃

j=1

Ej .

Intr-adevar, daca z0 ∈ Ω atunci d(z0,C \ Ω) > 0, deci exista j ∈ N astfel

ca d(z0,C \ Ω) ≥ 1/j, adica z0 ∈ Ej . Prin urmare, Ω ⊆∞⋃

j=1

Ej si este evident

ca∞⋃

j=1

Ej ⊆ Ω, deci egalitatea (3.1.2) este satisfacuta.

Pe de alta parte, Ej ⊂ int(Ej+1), j ∈ N, pentru ca multimea

Aj =

z ∈ Ω : d(z,C \ Ω) >1

j + 1

este deschisa, include pe Ej si este inclusa ın Ej+1.Fie Kj = Ej ∩U(0; j), j ∈ N. Atunci Kj este ınchisa si marginita, deci Kj

este un compact inclus ın Ω. In plus,∞⋃

j=1

Kj = Ω pe baza egalitatii (3.1.2), iar

Kj ⊂ int(Kj+1), j ∈ N, din constructie si din faptul ca Ej ⊂ int(Ej+1). DeciKjj∈N este o exhaustiune normala a lui Ω. ¤

In continuare aratam ca orice compact din Ω poate fi scufundat ıntr-osubmultime Kj a unei exhaustiuni normale Kjj∈N a lui Ω.

Lema 3.1.5 Fie Ω o multime deschisa din C si Kjj∈N o exhaustiune nor-mala a lui Ω. Fie K ⊂ Ω o multime compacta. Atunci exista j ∈ N astfelıncat K ⊆ Kj.


Demonstratie. Deoarece Kjj∈N este o exhaustiune normala a lui Ω, de-

ducem ca Ω =∞⋃

j=1

Kj . De aici rezulta imediat ca

Ω =∞⋃

j=1

int(Kj) si K ⊂∞⋃

j=1

int(Kj).

Dar K fiind o multime compacta, acoperita de familia de multimi deschiseint(Kj)j∈N, putem extrage o subacoperire finita int(Kjl

)pl=1, unde p ≥ 1,

astfel ıncat

K ⊂p⋃

l=1

int(Kjl).

Din Definitia 3.1.3 (i) obtinem incluziunea K ⊆ Kj , j ≥ maxjl : l =1, . . . , p. Demonstratia este ıncheiata. ¤

Definitia 3.1.6 Fie Ω o multime deschisa din C si K o submultime compactaa lui Ω. Fie ‖ · ‖K : K → [0,∞) functia data de relatia

(3.1.3) ‖f‖K = sup|f(z)| : z ∈ K, f ∈ H(Ω).

Se observa usor ca ‖ · ‖K este o seminorma pe K. Pe de alta parte, dacaΩ este un domeniu, obtinem

Lema 3.1.7 Fie Ω un domeniu din C si K ⊂ Ω o multime infinita compacta.Atunci ‖ · ‖K , data de (3.1.3), este o norma pe K.

Demonstratie. Fie f ∈ H(Ω) astfel ca ‖f‖K = 0. Atunci f |K = 0, iar dinTeorema 1.1.14 deducem ca f ≡ 0. ¤

In continuare consideram o exhaustiune normala Kjj∈N a multimii Ω sifunctia ρΩ : H(Ω)×H(Ω) → [0,∞),

(3.1.4) ρΩ(f, g) =∞∑

j=1

12j· ‖f − g‖Kj

1 + ‖f − g‖Kj

, f, g ∈ H(Ω).

Este trivial faptul ca ρΩ(f, g) < ∞ pentru orice f, g ∈ H(Ω), deoarece

ρΩ(f, g) ≤∞∑

j=1

12j

< ∞.

Are loc

3.1. Structura metrica si topologica a spatiului H(Ω) 105

Lema 3.1.8 ρΩ este o metrica pe H(Ω). In plus, topologia pe H(Ω) definitade ρΩ nu depinde de alegerea exhaustiunii normale Kjj∈N a lui Ω.

Demonstratie. E clar ca ρΩ(f, g) = ρΩ(g, f), f, g ∈ H(Ω). Daca ρΩ(f, g) = 0atunci

0 ≤ ‖f − g‖Kj

1 + ‖f − g‖Kj

≤∞∑

l=1

‖f − g‖Kl

1 + ‖f − g‖Kl

= 0, j ∈ N,

adica ‖f − g‖Kj = 0, j ∈ N. Deci (f − g)|Kj = 0, j ∈ N. Dar Kjj∈N fiind oexhaustiune normala a lui Ω, urmeaza ca f − g ≡ 0.

Acum aratam ca ρΩ satisface inegalitatea triunghiului. Intr-adevar, deoa-rece functia h(x) = x/(1 + x) este crescatoare pe [0,∞) si satisface conditia

h(s + t) ≤ h(s) + h(t), s, t ≥ 0,

iar din faptul ca

‖f − g‖Kj ≤ ‖f − h‖Kj + ‖h− g‖Kj , j ∈ N,

deducem ca

‖f − g‖Kj

1 + ‖f − g‖Kj

≤ ‖f − h‖Kj

1 + ‖f − h‖Kj

+‖h− g‖Kj

1 + ‖h− g‖Kj

, j ∈ N.

Deci

ρΩ(f, g) =∞∑

j=1

12j

‖f − g‖Kj

1 + ‖f − g‖Kj

≤∞∑

j=1

12j

[ ‖f − h‖Kj

1 + ‖f − h‖Kj

+‖h− g‖Kj

1 + ‖h− g‖Kj

]

= ρΩ(f, h) + ρΩ(g, h), f, g, h ∈ H(Ω).

Faptul ca topologia indusa de ρΩ pe H(Ω) nu depinde de exhaustiuneaKjj∈N a lui Ω rezulta din Lema 3.1.5. Demonstratia este ıncheiata. ¤

Echivalenta celor doua topologii introduse ın aceasta sectiune se deducedin rezultatul urmator.

Teorema 3.1.9 Fie Ω o multime deschisa din C si fkk∈N un sir de functiiolomorfe pe Ω. Atunci fkk∈N converge uniform pe compacte ın Ω la functiaf daca si numai daca lim

k→∞ρΩ(fk, f) = 0.

Demonstratie. Alegem Kjj∈N o exhaustiune normala a lui Ω si ε > 0.Admitem ca lim

k→∞ρΩ(fk, f) = 0. Atunci exista k0 ∈ N astfel ıncat ρΩ(fk, f) <

ε, k ≥ k0. Deci‖fk − f‖Kj

1 + ‖fk − f‖Kj

< 2jε, k ≥ k0, j ∈ N.


De aici rezulta ca sirul fkk∈N este convergent uniform pe Kj , j ∈ N. CumKjj∈N este o exhaustiune normala, urmeaza ca fkk∈N este uniform con-vergent pe compacte ın Ω la f .

Lasam implicatia inversa pe seama cititorului. ¤In finalul acestei sectiuni aratam ca spatiul metric (H(Ω), ρΩ) este complet.

Teorema 3.1.10 (H(Ω), ρΩ) este un spatiu metric complet.

Demonstratie. Consideram fkk∈N un sir Cauchy din H(Ω), deci pentruorice η > 0, exista k0 ∈ N astfel ıncat

ρΩ(fk, fm) < η, k,m ≥ k0.

Fie M un compact inclus ın Ω. Atunci restrictia sirului fkk∈N la M , notatacu fk|Mk∈N, este un sir uniform Cauchy pe M . Deci pentru orice ε > 0,exista n0 = n0(ε,M) ∈ N astfel ıncat

(3.1.5) supz∈M

|fn(z)− fm(z)| < ε, m, n ≥ n0.

Rezulta ca fk(z)k∈N este un sir Cauchy ın C, deci exista f(z) =lim

k→∞fk(z) pentru orice z ∈ M . Cum M a fost ales ın mod arbitrar, rezulta ca

exista f(z) = limk→∞

fk(z), z ∈ Ω. In continuare aratam ca functia f : Ω → Ceste olomorfa pe Ω si lim

k→∞ρΩ(fk, f) = 0.

Fie K un compact din Ω si fie ε > 0 fixat. Pe baza relatiei (3.1.5), existan0 = n0(ε,K) ∈ N astfel ıncat

|fn(z)− fm(z)| < ε, m, n ≥ n0, z ∈ K.

Fie z ∈ K fixat, dar ales ın mod arbitrar. Relatia precedenta asigura (printrecere la limita dupa m →∞) ca pentru orice n ≥ n0,

|f(z)− fn(z)| ≤ ε.

Cum n0 nu depinde de z (n0 depinde doar de ε si compactul K), obtinem ca

supz∈K

|f(z)− fn(z)| → 0, n →∞,

adica ‖fn−f‖K → 0, n →∞. Prin urmare sirul fkk∈N converge uniform pecompactul K la restrictia functiei f pe K notata cu f |K . Cum K a fost ales ınmod arbitrar, urmeaza ca fk → f uniform pe compacte ın Ω, iar din Teoremalui Weierstrass rezulta ca f ∈ H(Ω). In final din Teorema 3.1.9 rezulta cafkk∈N converge la f ın raport cu metrica ρΩ. Demonstratia este ıncheiata.¤

3.2. Teoremele lui Montel si Vitali 107

Observatia 3.1.11 Din Teorema 3.1.10 deducem ca H(Ω) este un spatiuFrechet ın raport cu topologia naturala, adica H(Ω) este un spatiu topolo-gic metrizabil complet.

Probleme


3.2 Teoremele lui Montel si Vitali

In aceasta sectiune vom arata ca o submultime F a lui H(Ω) este localuniform marginita (marginita uniform ın raport cu orice compact din Ω) dacasi numai daca orice sir din F contine un subsir convergent uniform pe com-pacte (Teorema lui Montel). Acest rezultat, datorat lui Montel, are consecinteimportante ın teoria functiilor olomorfe de o variabila complexa, fiind utilizatcu succes ın demonstrarea echivalentei domeniilor simplu conexe din C (Teo-rema lui Riemann). Una din aplicatiile Teoremei lui Montel, cunoscuta subnumele de principiul compactitatii, va fi prezentata ın demonstratia Teoremeilui Vitali.

Pe parcursul acestei sectiuni Ω este o multime deschisa din C.

Definitia 3.2.1 Fie F ⊆ H(Ω). Multimea F se numeste local uniformmarginita daca pentru orice compact K ⊂ Ω exista o constanta L = L(K) > 0astfel ıncat

(3.2.1) ‖f‖K ≤ L, ∀f ∈ F ,

unde‖f‖K = sup|f(z)| : z ∈ K.

Observatia 3.2.2 Deoarece orice compact din Ω se poate acoperi cu unnumar finit de discuri ınchise U(zk, εk), k = 1, . . . , p, unde zk ∈ Ω, εk > 0si p ∈ N, deducem ca ın (3.2.1) compactul K se poate ınlocui cu orice discınchis inclus ın Ω. Pe de alta parte, daca Ω este un disc U(z0; r), atunci oricecompact K din Ω poate fi inclus ıntr-un disc ınchis U(z0; ρ), ρ < r. Deci localuniform marginirea multimii F revine la marginirea sa pe orice disc ınchisU(z0; η), η < r.

Prezentam cateva exemple de multimi local uniform marginite de functiiolomorfe.


Exemplul 3.2.3 (i) Fie ∆ o multime deschisa si marginita din C. Consideram

F = f ∈ H(Ω) : f(Ω) ⊆ ∆.

Atunci F este local uniform marginita.(ii) Fie M > 0 si

FM =

f(z) =∞∑

k=0

akzk ∈ H(U) : |ak| ≤ M

.

In acest caz, daca r ∈ (0, 1) si f ∈ FM atunci |f(z)| ≤ M(1 − r)−1, |z| ≤ r,adica FM este local uniform marginita.

Definitia 3.2.4 Fie F ⊆ H(Ω). Multimea F se numeste relativ compacta(normala) daca orice sir fkk∈N ⊆ F contine un subsir convergent uniformpe compacte ın Ω.

Observatia 3.2.5 Din Teorema lui Weierstrass rezulta ca limita subsiruluiconvergent este o functie olomorfa pe Ω.

Rezultatul urmator arata ca Definitiile 3.2.1 si 3.2.4 sunt echivalente. Re-marcam faptul ca Teorema lui Montel nu are loc ın cazul functiilor real-analitice. Intr-adevar, sirul de functii sin kxk∈N este marginit uniform peorice interval compact din R, dar nu contine subsiruri convergente uniformpe intervale compacte din R. De fapt, acest sir nu contine nici subsiruri con-vergente punctual pe axa reala. Mentionam ca pentru fiecare sir crescatorkpp∈N de numere naturale, multimea x ∈ R : ∃ lim

p→∞ sin kpx este de

masura Lebesgue nula.

Teorema 3.2.6 (Teorema lui Montel) Fie F ⊆ H(Ω). Atunci F este relativcompacta daca si numai daca F este local uniform marginita.

Pentru demontratia Teoremei lui Montel avem nevoie de urmatoarele re-zultate pregatitoare.

Lema 3.2.7 Fie F ⊆ H(Ω) o multime local uniform marginita. Atuncimultimea Fk = f (k) : f ∈ F este local uniform marginita pentru oricek ∈ N.


Figura 3.1: U(z0; r) ⊂ Ω

Demonstratie. E suficient sa demonstram ca Fk este marginita pe orice discınchis din Ω. Fie z0 ∈ Ω si r > 0 astfel ıncat U(z0; r) ⊂ Ω. Deoarece F estelocal uniform marginita, exista L = L(z0; r) > 0 astfel ıncat

(3.2.2) ‖f‖U(z0;r) ≤ L, ∀ f ∈ F .

Deoarece U(z0; r) ⊂ Ω, putem alege ρ > r astfel ıncat U(z0; ρ) ⊂ Ω, iardin formulele lui Cauchy avem ca

f (k)(z) =k!2πi

∫

γ

f(ζ)(ζ − z)k+1

dζ, k ∈ N, f ∈ F , z ∈ U(z0, ρ),

unde γ = ∂U(z0; ρ). In particular, daca z ∈ U(z0; r), atunci din (3.2.2) sirelatia precedenta rezulta ca

|f (k)(z)| ≤ k!2π

· L

(ρ− r)k+1· 2πρ =

Lρk!(ρ− r)k+1

.

Deci multimea Fk este local uniform marginita, k ∈ N. ¤

Definitia 3.2.8 Fie F ⊆ H(Ω). Multimea F se numeste local echicontinuadaca pentru orice ε > 0 si orice compact K ⊂ Ω, exista δ = δ(ε,K) > 0 astfelıncat

|f(z1)− f(z2)| < ε,

pentru orice f ∈ F si z1, z2 ∈ K cu |z1 − z2| < δ.

Se observa imediat ca daca F = f, atunci F este local echicontinua dacasi numai daca functia f este uniform continua pe orice compact K din Ω.

Mentionam ca Observatia 3.2.2 se poate aplica si ın cazul definitiei prece-dente.


Lema 3.2.9 Fie F ⊆ H(Ω). Daca multimea F este local uniform marginita,atunci F este local echicontinua.

Demonstratie. E suficient sa demonstram echicontinuitatea pe un disc ınchisU(z0; r) din Ω, ales ın mod arbitrar.

Deoarece F este local uniform marginita, deducem din Lema 3.2.7 camultimea G = f ′ : f ∈ F este de asemenea local uniform marginita. Deciexista L = L(z0; r) > 0 astfel ca

(3.2.3) |f ′(z)| ≤ L, z ∈ U(z0; r), f ∈ F .

Fie z1, z2 ∈ U(z0; r) si γ drumul liniar de suport segmentul ınchis [z1, z2].Atunci [z1, z2] ⊂ U(z0; r), iar din formula lui Leibniz-Newton obtinem ca

f(z2)− f(z1) =∫

γ

f ′(ζ)dζ.

Din (3.2.3) si relatia precedenta deducem ca

|f(z1)− f(z2)| ≤ L|z1 − z2|, f ∈ F .

In final, pentru ε > 0, alegem δ > 0 astfel ca δ ≤ ε/L. Atunci

|f(z1)− f(z2)| < ε, ∀ f ∈ F , z1, z2 ∈ U(z0; r), |z1 − z2| < δ.

Deci F este echicontinua pe U(z0; r). ¤Avand toate pregatirile necesare, putem trece la demonstratia Teoremei

lui Montel.Demonstratia Teoremei 3.2.6. Suficienta. Presupunem ca F este localuniform marginita. Vom arata ca F este relativ compacta. Fie fkk∈N unsir din F si A ⊂ Ω o multime numarabila densa ın Ω. (De exemplu, putemconsidera multimea punctelor z ∈ Ω astfel ca Re z, Im z ∈ Q.) Notam cuA = z1, . . . , zk, . . . . Deoarece z1 este o multime compacta din Ω, iar Feste local uniform marginita, rezulta ca sirul de numere complexe fk(z1)k∈Neste marginit. Deci exista un sir crescator de numere naturale k1(i)i∈N astfelıncat subsirul fk1(i)(z1)i∈N al lui fk(z1)k∈N sa fie convergent ın C. Fie I1 =k1(i) : i ∈ N. Deoarece sirul numeric fk1(i)(z2)i∈N este marginit, exista unsir crescator de numere naturale k2(i)i∈N astfel ıncat k2(i)i∈N ⊆ k1(i)i∈Niar sirul fk2(i)(z2)i∈N este convergent ın C. In plus, sirul fk2(i)i∈N esteconvergent ın punctele z1 si z2, deoarece este un subsir al sirului fk1(i)i∈N.Avem ca I2 = k2(i)i∈N ⊂ I1 si

fk2(i)i∈N ⊆ fk1(i)i∈N ⊆ fkk∈N.


Continuand inductiv acest rationament, obtinem sirul fkp(i)i∈N cu pro-prietatea ca fkp(i)i∈N ⊆ fkp−1(i)i∈N ⊆ · · · ⊆ fk1(i)i∈N ⊆ fkk∈N sifkp(i)i∈N este convergent ın punctele z1, . . . , zp, p ∈ N. Prin urmare, siruldiagonal ki(i)i∈N este extras din oricare din subsirurile Ip = kp(i)i∈N,p ∈ N, deci fki(i)i∈N converge ın orice punct din multimea A la o functie f .Pentru simplitate notam sirul ki(i)i∈N cu kii∈N.

In continuare aratam ca fkii∈N converge uniform pe compacte ın Ω. Maiıntai aratam ca acest sir este convergent simplu pe Ω. Fie z0 ∈ Ω si ε > 0.Deoarece F este o multime local uniform marginita, deducem din Lema 3.2.9ca F este local echicontinua. Cum fkii∈N ⊂ F , urmeaza ca exista r > 0astfel ca U(z0; r) ⊂ Ω si

(3.2.4) |fki(z)− fki(z0)| < ε

3, i ∈ N, z ∈ U(z0; r).

Dar multimea A fiind densa ın Ω, rezulta ca exista w0 ∈ U(z0; r)∩A. Cumfki

(w0)i∈N este un sir convergent, deducem din criteriul lui Cauchy ca existai0 ∈ N astfel ıncat

(3.2.5) |fki(w0)− fkj (w0)| < ε

3, i, j ≥ i0.

Prin urmare, din inegalitatile (3.2.4) si (3.2.5) obtinem ca

|fki(z0)− fkj (z0)| ≤ |fki(z0)− fki(w0)|+ |fki(w0)− fkj (w0)|

+|fkj (w0)− fkj (z0)| < ε, i, j ≥ i0.

In concluzie, sirul fki(z0)i∈N este convergent. Dar z0 a fost ales ın modarbitrar, deci sirul fkii∈N converge simplu pe Ω.

Fie acum η > 0 si z′0 ∈ Ω. Folosind din nou faptul ca multimea F este localechicontinua, precum si un rationament similar celui de mai sus, deducem caexista ρ > 0 si i′0 ∈ N astfel ca U(z′0; ρ) ⊂ Ω si

|fki(z)− fkj (z)| < η, i, j ≥ i′0, z ∈ U(z′0; ρ).

Deci sirul fkii∈N converge uniform pe discul ınchis U(z′0; ρ).

Pe de alta parte, daca K este un compact din Ω si z ∈ K, existaρz = ρz(K) > 0 astfel ıncat U(z; ρz) ⊂ Ω, iar sirul fki

i∈N converge uniformpe U(z; ρz). Cum K se poate acoperi cu un numar finit de discuri ınchiseU(wl, ρwl

) ⊂ Ω, unde wl ∈ K, rezulta ca sirul fkii∈N converge uniform pe

compactul K.


Necesitatea. Admitem ca multimea F este relativ compacta. Daca pre-supunem prin absurd ca F nu e local uniform marginita, atunci exista uncompact M din Ω astfel ıncat pentru orice k ∈ N, exista gk ∈ F astfel ca

(3.2.6) ‖gk‖M > k.

Dar gkk∈N este un sir din multimea relativ compacta F , deci contine unsubsir gkpp∈N convergent uniform pe compacte ın Ω. In particular, restrictiasirului gkpp∈N la M , notata cu gkp |Mp∈N, converge uniform pe M . De aicideducem ca sirul gkp |Mp∈N este marginit, ceea ce reprezinta o contradictiecu (3.2.6). Prin urmare F este local uniform marginita. ¤

In continuare prezentam un alt rezultat referitor la convergenta uniformape compacte a sirurilor de functii olomorfe local uniform marginite.

Teorema 3.2.10 (Teorema lui Vitali) Fie Ω un domeniu din C si fie F ⊂ Ω omultime care are cel putin un punct de acumulare ın Ω. Daca fkk∈N este unsir local uniform marginit de functii olomorfe pe Ω, astfel ıncat fk(z)k∈N esteconvergent pentru orice z ∈ F , atunci fkk∈N converge uniform pe compacteın Ω.

Demonstratie. Presupunem prin absurd ca sirul fkk∈N nu este uniformconvergent pe compacte ın Ω. Atunci exista un compact M ⊂ Ω, ε > 0,sirurile kpp∈N ⊂ N, lpp∈N ⊂ N si wpp∈N ⊂ M , astfel ıncat

(3.2.7) |fkp(wp)− flp(wp)| ≥ ε, p ∈ N.

Deoarece sirul fkk∈N este local uniform marginit, deducem din Teoremalui Montel ca exista subsirurile kp(m)m∈N si lp(m)m∈N ale lui kpp∈Nrespectiv lpp∈N, cu proprietatea ca sirurile fkp(m)m∈N si flp(m)m∈N suntconvergente uniform pe compacte ın Ω la functiile f respectiv g. E clar caf |F = g|F , deoarece sirul fkk∈N converge simplu pe multimea F . Deoarecemultimea F are puncte de acumulare ın domeniul Ω, deducem din Teorema1.1.14 ca f ≡ g.

Pe de alta parte, sirul wpp∈N fiind marginit, contine un subsir wpmm∈Nconvergent la un punct z0 ∈ M . Trecand la limita ın (3.2.7) pe subsirurileconstruite mai sus, obtinem ca

|f(z0)− g(z0)| ≥ ε > 0.

Deci f(z0) 6= g(z0). Dar aceasta relatie contrazice faptul ca f ≡ g.Demonstratia e ıncheiata. ¤

O consecinta interesanta a Teoremei lui Vitali este continuta ın rezultatulurmator. Are loc


Teorema 3.2.11 Fie Ω un domeniu din C si fkk∈N un sir local uniformmarginit de functii olomorfe pe Ω. Atunci fkk∈N este convergent uniformpe compacte ın Ω daca si numai daca exista un punct a ∈ Ω astfel ca sirulf (p)

k (a)k∈N este convergent pentru orice p ∈ N.

Demonstratie. Daca fkk∈N este convergent uniform pe compacte, atuncieste clar ca sirul f (p)

k (a)k∈N este convergent pentru orice p ∈ N si a ∈ Ω.Admitem acum ca exista a ∈ Ω astfel ıncat sirul f (p)

k (a)k∈N este conver-gent pentru orice p ∈ N. Fie r > 0 astfel ıncat U(a; r) ⊂ Ω. Fara a restrangedin generalitate, presupunem ca a = 0 ∈ Ω. Cum sirul fkk∈N este localuniform marginit, exista M > 0 astfel ca |fk(z)| ≤ M pentru orice k ∈ N siz ∈ U(0; r). Pe de alta parte, fiecare functie fk se dezvolta ın serie de puteri

fk(z) =∞∑

p=0

akpzp, |z| < r,

unde akp = f(p)k (0)/p!. Din ipoteza deducem ca exista limita ap = lim

k→∞akp,

p ∈ N. Pe de alta parte, deoarece |fk(z)| ≤ M , z ∈ U(0; r), k ∈ N, rezultape baza inegalitatilor lui Cauchy ca |ap| ≤ M/rp, p ∈ N. Din Teorema luiCauchy-Hadamard rezulta ca R ≥ r, unde R este raza de convergenta a seriei

de puteri∞∑

p=0

apzp, deci f(z) =

∞∑

p=0

apzp ∈ H(U(0; r)). In continuare, dupa

efectuarea unor calcule elementare se obtine ca fk → f uniform ın U(0; r). Infinal, din Teorema lui Vitali rezulta ca fk → f uniform pe compacte ın Ω. ¤

Combinand Teoremele 3.1.9, 3.1.10 si 3.2.6, obtinem urmatoarea caracte-rizare a multimilor compacte din H(Ω):

Teorema 3.2.12 Fie Ω o multime deschisa din C si F ⊆ H(Ω). Atunci Feste compacta daca si numai daca F este local uniform marginita si ınchisa.

Demonstratie. Deoarece H(Ω) este un spatiu metric ın raport cu metricaρΩ definita de relatia (3.1.4), deducem (ın conformitate cu Teorema lui Haus-dorff de caracterizare a compactitatii ın spatii metrice (vezi [An])) ca F estecompacta daca si numai daca F este secvential compacta, adica din orice sirfkk∈N continut ın F se poate extrage un subsir fkpp∈N convergent ın ra-port cu metrica ρΩ la o functie f ∈ F . Pe de alta parte, din Teorema 3.1.9avem ca

limp→∞ ρΩ(fkp , f) = 0 ⇔ fkp → f, p →∞,


ultima limita avand loc uniform pe compacte ın Ω. Deci F este multimecompacta daca si numai daca F este relativ compacta si ınchisa. In final,aplicand Teorema lui Montel, deducem echivalenta ceruta. ¤

In continuare prezentam un exemplu de submultime compacta a lui H(U).

Exemplul 3.2.13 Fie

P =

p : U → C : p ∈ H(U), p(0) = 1, Re p(z) > 0, z ∈ U

.

Atunci P este o submultime compacta a lui H(U).

Demonstratie. Este evident ca P 6= ∅, deoarece functia pλ(z) = (1+λz)(1−λz) apartine multimii P pentru orice λ ∈ C, |λ| = 1. Aratam ca P estecompacta pe baza Teoremei 3.2.12. Mai ıntai demonstram ca P este ınchisa.Intr-adevar, fie pkk∈N un sir din P astfel ıncat pk → p uniform pe compacteın U . Din Teorema lui Weierstrass deducem ca p ∈ H(U) si

p(0) = limk→∞

pk(0) = 1.

Cum Re pk(z) > 0, k ∈ N, z ∈ U , urmeaza ca

Re p(z) = limk→∞

Re pk(z) ≥ 0, z ∈ U.

Deci Re p(z) ≥ 0, z ∈ U si p(0) = 1 > 0. De aici obtinem imediatca Re p(z) > 0, z ∈ U . Daca prin absurd ar exista z0 ∈ U astfel ıncatRe p(z0) = 0 atunci

0 = Re p(z0) = minRe p(z) : z ∈ U.

Rezulta ca functia olomorfa q = e−p satisface conditia

1 = |q(z0)| = e−Re p(z0) = maxz∈U

e−Re p(z) = maxz∈U

|q(z)|.

Prin urmare q este constanta pe baza Teoremei maximului modulului pen-tru functii olomorfe (Teorema 1.1.19). Deci q(z) ≡ 1 si

0 = q′(z) = e−p(z)p′(z), z ∈ U.

Egalitatea precedenta are loc daca si numai daca

p′ ≡ 0 ⇔ p ≡ 1.


Am obtinut o contradictie cu Re p(z0) = 0. Deci Re p(z) > 0, z ∈ U , adicap ∈ P. Prin urmare P este o multime ınchisa ın H(Ω).

Aratam acum ca P este local uniform marginita. Fie

V =

ϕ ∈ H(U) : ϕ(0) = 0, |ϕ(z)| < 1, z ∈ U

,

multimea functiilor de tip Schwarz. Atunci

p ∈ P ⇔ ϕ ∈ V unde p(z) =1 + ϕ(z)1− ϕ(z)

, z ∈ U.

Lasam demonstratia echivalentei precedente pe seama cititorului.Fie p ∈ P si ϕ ∈ V astfel ıncat p(z) = (1 + ϕ(z))/(1 − ϕ(z)). Deoarece

functia ϕ satisface conditiile din Lema lui Schwarz, rezulta ca |ϕ(z)| ≤ |z|,z ∈ U . Cum ϕ(z) = (p(z)− 1)/(p(z) + 1), urmeaza ca

(3.2.8)1− |z|1 + |z| ≤ |p(z)| ≤ 1 + |z|

1− |z| , z ∈ U.

Notand cu M(r) = (1 + r)/(1 − r), r ∈ [0, 1), obtinem ca |p(z)| ≤ M(r),|z| = r, p ∈ P. In final, din Teorema 1.1.19 obtinem ca |p(z)| ≤ M(r), |z| ≤ r,iar din Observatia 3.2.2 concludem ca P este o submultime local uniformmarginita a lui H(U). Deci P este compacta. ¤

Observatia 3.2.14 Un spatiu topologic X se numeste spatiu Montel daca Xeste spatiu Frechet si are proprietatea ca multimile marginite si ınchise din Xsunt compacte.

Din Teorema 3.2.12 si Observatia 3.1.11 deducem ca daca Ω este o multimedeschisa din C, atunci H(Ω) este spatiu Montel.

In finalul acestei sectiuni prezentam un alt rezultat clasic din teo-ria functiilor de o variabila complexa, cunoscut sub numele de Teoremaconvergentei lui Blaschke. Are loc

Teorema 3.2.15 Fie fkk∈N un sir uniform marginit de functii olomorfe pediscul unitate U . Daca exista o multime numarabila E = zk : k ∈ N ⊂ U

astfel ıncat∞∑

k=1

(1− |zk|) = ∞ si exista limk→∞

fk(zj) pentru orice punct zj ∈ E,

j ∈ N, atunci sirul fkk∈N este convergent uniform pe compacte ın U .


Demonstratie. Deoarece sirul fkk∈N este uniform marginit, exista M > 0astfel ıncat |fk(z)| < M , z ∈ U , k ∈ N. Pe baza Teoremei lui Montel, existaun subsir fkpp∈N convergent uniform pe compacte la o functie olomorfa fpe U . Presupunem prin absurd ca fkk∈N nu converge uniform pe compacte.Deoarece fk(z)k∈N este marginit ın C, rezulta ca exista doua functii distincteg1 si g2 si doua subsiruri fmpp∈N, respectiv flpp∈N, cu proprietatea cafmp → g1 si flp → g2 local uniform pe compacte ın U . Deoarece restrictiasirului fkk∈N la multimea E converge, rezulta ca g1|E = g2|E . E clar ca|gj(z)| ≤ M , j = 1, 2, z ∈ U , deci functiile g1 si g2 sunt uniform marginite pe

U . Deoarece∞∑

k=1

(1− |zk|) = ∞ rezulta ca g1 ≡ g2 (a se vedea Problema 3.2.3;

[Rem, p. 100], [Gre-Kra, Teorema 9.1.4]). Dar aceasta relatie contrazice faptulca functiile g1 si g2 sunt distincte. Prin urmare sirul fkk∈N este convergentuniform pe compacte ın U . ¤

Probleme

Problema 3.2.1 Fie Ω un domeniu din C, z0 ∈ Ω si fkk∈N un sir localuniform marginit de functii olomorfe pe Ω. Daca lim

k→∞f

(p)k (z0) = 0 pentru

orice p = 0, 1, . . . , sa se arate ca fk → 0 uniform pe compacte ın Ω.

Problema 3.2.2 Fie M > 0 si

F =

f(z) =∞∑

j=0

ajzj ∈ H(U) : |aj | ≤ M, j ∈ N

.

Sa se arate ca F este o submultime relativ compacta a lui H(U).

Problema 3.2.3 Fie f ∈ H(U) o functie olomorfa neconstanta si marginitaın U . Daca z1, z2, . . . sunt zerourile functiei f (fiecare zerou fiind numarat cat

indica ordinul sau de multiplicitate) atunci∞∑

k=1

(1− |zk|) < ∞.

3.3 Probleme extremale

In aceasta sectiune vom arata ca functionalele reale si continue pe multimicompacte F din H(Ω) sunt marginite si ısi ating marginea superioara pe F .

Definitia 3.3.1 Fie Ω o multime deschisa din C si F o submultime a luiH(Ω). Spunem ca J este o functionala pe F daca J : F → C este o aplicatie

3.3. Probleme extremale 117

(deci J(f) ∈ C, ∀ f ∈ F). In plus, functionala J se numeste continua pe Fdaca pentru orice sir fkk∈N din F , care converge uniform pe compacte ın Ωla functia f , are loc

limk→∞

J(fk) = J(f).

Exemplul 3.3.2 Fie Ω o multime deschisa din C, k ∈ N, z0 ∈ Ω si f ∈ H(Ω).

Fie ak =1k!

f (k)(z0) (deci ak este al k-lea coeficient obtinut din dezvoltarea

ın serie Taylor ın z0 a functiei f) si functionala J : H(Ω) → C data deJ(f) = ak. Aratam ca J e continua pe H(Ω). Intr-adevar, daca fnn∈N esteun sir din H(Ω), care converge uniform pe compacte ın Ω la functia g, atunci

din Teorema lui Weierstrass obtinem ca g ∈ H(Ω) si1k!

f (k)n (z0) → 1

k!g(k)(z0),

adica J(fn) → J(g), n →∞.

Observatia 3.3.3 Fiind data o functionala J pe o submultime F a luiH(Ω), se pune ın mod firesc problema de a determina max

f∈F|J(f)| (respec-

tiv maxf∈F

Re J(f)). O astfel de problema se numeste extremala. Mentionam ca

problemele extremale au un rol fundamental ın teoria geometrica a functiilorde o variabila complexa, deseori conducand la obtinerea unor estimari exacte.

Teorema 3.3.4 Fie Ω o multime deschisa din C si F o submultime compactaa lui H(Ω). Daca J : F → C este o functionala continua pe F , atunci J estemarginita si ısi atinge marginea superioara pe F , adica exista o functie f0 ∈ Fastfel ıncat

(3.3.1) |J(f)| ≤ |J(f0)|, f ∈ F .

Demonstratie. Fie M = sup|J(f)| : f ∈ F. Atunci exista un sir fkk∈Ndin F astfel ca |J(fk)| → M , k → ∞. Cum F este o submultime compactaa lui H(Ω), deducem din Teorema 3.2.12 ca F este local uniform marginita siınchisa. Deci sirul fkk∈N contine un subsir fkpp∈N convergent uniform pecompacte la o functie f0 ∈ F . Deoarece J este o functionala continua pe F ,deducem ca

J(fkp) → J(f0), p →∞,

deci |J(f0)| = M . Prin urmare M < +∞ si

|J(f)| ≤ M = |J(f0)|, ∀f ∈ F ,

adica|J(f0)| = max|J(f)| : f ∈ F.

¤


Observatia 3.3.5 (i) Folosind acelasi rationament ca ın demonstratia Teore-mei 3.3.4, deducem ca daca J este o functionala continua pe multimea com-pacta F ⊂ H(Ω), astfel ca J(f) 6= 0, ∀ f ∈ F , atunci exista o functie f1 ∈ Fcu proprietatea ca

(3.3.2) |J(f1)| = minf∈F

|J(f)|.

Diverese aplicatii ale relatiilor (3.3.1) si (3.3.2) pot fi consultate ın [Ha-MG].

(ii) Aceeasi demonstratie arata ca ın conditiile Teoremei 3.3.4, existafunctia g ∈ F astfel ıncat

Re J(g) = maxf∈F

Re J(f).

3.4 Normalitate si compactitate ın spatiul functiilormeromorfe

In continuare aratam ca daca Ω este un domeniu ın C si M(Ω) estemultimea functiilor meromorfe pe Ω, atunci M(Ω)∪∞ este un spatiu metriccomplet. De asemenea, vom caracteriza familiile normale din M(Ω). Pentruaceasta reamintim cateva rezultate referitoare la metrica cordala pe C∞. De-talii suplimentare pot fi gasite ın lucrarile [Con1], [Gam]. Aceasta metrica,notata cu dc, este definita pe C∞ astfel:

dc(z1, z2) =

2|z1−z2|(1+|z1|2)1/2(1+|z2|2)1/2 , z1, z2 ∈ C

2(1+|z1|2)1/2 , z1 ∈ C, z2 = ∞

0, z1 = z2 = ∞.

(3.4.1)

Se verifica imediat ca au loc urmatoarele relatii:

(3.4.2) dc(z1, z2) = dc(1/z1, 1/z2), z1, z2 ∈ C,

(3.4.3) dc(z, 0) = dc(1/z,∞), z ∈ C.

De asemenea, daca zkk∈N este un sir de numere complexe iar z ∈ C,astfel ca dc(z, zk) → 0, atunci zk → z, k → ∞. In plus, (C∞, dc) este unspatiu metric compact. In rezultatul urmator prezentam alte proprietati ale

3.4. Normalitate si compactitate ın spatiul functiilor meromorfe 119

metricii cordale. Pentru a evita orice confuzie, notam cu B∞(z0; r) bila ın C∞de centru z0 si raza r ın raport cu metrica dc, adica

B∞(z0; r) = z ∈ C∞ : dc(z; z0) < r.

Are loc

Lema 3.4.1 (a) Fie A o multime marginita din C si δ > 0 astfel ca A ⊆U(0; δ). Atunci

2|z1 − z2|1 + δ2

≤ dc(z1, z2) ≤ 2|z1 − z2|, z1, z2 ∈ A.

(b) Daca z0 ∈ C si r > 0 atunci exista ρ > 0 astfel ca B∞(z0; ρ) ⊂ U(z0; r).(c) Daca z0 ∈ C si ρ > 0 atunci exista r > 0 astfel ca U(z0; r) ⊂ B∞(z0; ρ).(d) Pentru orice ρ > 0, exista un compact K ⊂ C astfel ıncat C∞ \K ⊆

B∞(∞; ρ).(e) Daca E ⊂ C este o multime compacta, atunci exista η > 0 astfel ca

B∞(∞; η) ⊆ C∞ \E.

Lasam demonstratia acestui rezultat pe seama cititorului.Fie

C(Ω,C∞) = f : Ω → C∞|f continua pe Ω.

Definitia 3.4.2 Fie Ω un domeniu din C si fkk∈N un sir de functii mero-morfe pe Ω. Spunem ca fkk∈N converge ın C(Ω,C∞) (converge normal) lafunctia f daca fkk∈N converge uniform pe compacte ın Ω la f ın raport cumetrica cordala, adica dc(fk(z), f(z)) → 0 uniform pe compacte ın Ω.

Definitia 3.4.3 Daca g ∈ C(Ω,C∞), definim functia 1/g ∈ C(Ω,C∞) astfel:

1g(z)

=

1g(z) , g(z) 6= 0 sau g(z) 6= ∞

0, g(z) = ∞

∞, g(z) = 0.

(3.4.4)

Observatia 3.4.4 Folosind relatiile (3.4.2) si (3.4.3), rezulta imediat ca sirulfkk∈N ⊂ M(Ω) converge ın C(Ω,C∞) la functia f daca si numai daca sirul1/fkk∈N converge ın C(Ω,C∞) la functia 1/f .


Teorema 3.4.5 Fie Ω un domeniu din C si fkk∈N un sir de functii mero-morfe pe Ω astfel ıncat fkk∈N converge in C(Ω,C∞) la functia f . Atunci feste meromorfa pe Ω, sau f ≡ ∞. In plus, daca fk ∈ H(Ω), k ∈ N, atunci feste olomorfa pe Ω, sau f ≡ ∞.

Demonstratie. Cazul I. Presupunem ca exista z0 ∈ Ω astfel ıncat f(z0) 6=∞. Fie L = |f(z0)| + 1. Pe baza Lemei 3.4.1(b), exista ρ > 0 astfel ıncatB∞(f(z0); ρ) ⊂ U(f(z0);L). Deoarece fk → f ın C(Ω,C∞), rezulta ca existak0 ∈ N astfel ca dc(fk(z0), f(z0)) < ρ/2, k ≥ k0. Pe de alta parte, multimeaf, f1, f2, . . . fiind compacta ın C(Ω,C∞) este si echicontinua, pe baza Teo-remei lui Arzela-Ascoli (a se vedea Problema 3.4.2; [Con1, p. 148]; [Gam,p. 307]), deci exista r > 0 astfel ıncat pentru z ∈ C cu |z − z0| ≤ r are locdc(fk(z), fk(z0)) < ρ/2. Atunci

dc(fk(z), f(z0)) ≤ dc(fk(z), fk(z0)) + dc(fk(z0), f(z0)) < ρ,

pentru orice z ∈ C cu |z − z0| ≤ r si pentru orice k ≥ k0. DeoareceB∞(f(z0); ρ) ⊂ U(f(z0);L), rezulta ca

(3.4.5) |fk(z)| ≤ |fk(z)− f(z0)|+ |f(z0)| ≤ 2L, z ∈ U(z0; r), k ≥ k0.

Pe de alta parte, din relatiile (3.4.1) si (3.4.5) deducem ca

dc(fk(z), f(z)) ≥ 21 + 4L2

|fk(z)− f(z)|, z ∈ U(z0; r), k ≥ k0.

Cum dc(fk(z), f(z)) → 0 uniform ın U(z0; r), urmeaza din inegalitateaprecedenta ca fk → f uniform ın U(z0; r). Functia fk fiind marginita peU(z0; r) pentru k ≥ k0, pe baza relatiei (3.4.5), nu poate avea poli ın disculU(z0; r), deci fk este olomorfa ın punctul z0 pentru orice k ≥ k0. Deoarecefk → f uniform ın discul U(z0; r), rezulta, pe baza Teoremei lui Weierstrass,ca functia f este olomorfa pe un disc cu centrul ın z0.

Cazul II. Presupunem ca exista z1 ∈ Ω astfel ca f(z1) = ∞. Deoa-rece fk → f ın C(Ω,C∞), deducem din (3.4.2) si (3.4.3) ca 1/fk → 1/fın C(Ω,C∞). Dar fk ∈ M(Ω), deci 1/fk ∈ M(Ω), k ∈ N. Aplicandrationamentul de la cazul precedent, rezulta ca exista r > 0 si k0 ∈ N ast-fel ıncat functiile 1/f si 1/fk, k ≥ k0, sunt olomorfe pe discul U(z1; r). Inplus, 1/fk → 1/f uniform pe U(z1; r). Folosind Problema 2.5.1, rezulta cafunctia 1/f este sau identic nula sau are zerouri izolate ın U(z1; r). Prin ur-mare daca f 6≡ ∞ atunci 1/f 6≡ 0 si f este meromorfa pe U(z1; r). Combinandacest rezultat cu prima parte a demonstratiei, deducem ca daca f 6≡ ∞ atuncif este meromorfa pe Ω.

3.4. Normalitate si compactitate ın spatiul functiilor meromorfe 121

Cazul fkk∈N ⊂ H(Ω) ıl lasam pe seama cititorului. ¤In continuare, utilizand Teorema 3.4.5, introducem notiunea de familie nor-

mala de functii meromorfe, ın analogie cu aceeasi notiune din cazul functiilorolomorfe.

Definitia 3.4.6 Fie Ω un domeniu din C si F o familie de functii meromorfepe Ω. Spunem ca F este normala ın C(Ω,C∞) (relativ compacta) daca oricesir din F contine un subsir care converge ın C(Ω,C∞) la o functie meromorfasau la ∞.

Definitia 3.4.7 Fie Ω un domeniu din C si f ∈ M(Ω). Fie ν(f) : Ω → Rderivata sferica a functiei f data de relatia

(3.4.6) ν(f)(z) =

2|f ′(z)|1+|f(z)|2 , z nu este pol pentru f

limζ→z

2|f ′(ζ)|1 + |f(ζ)|2 , z este pol pentru f.

Observatia 3.4.8 (i) Se verifica printr-un calcul elementar ca daca z0 esteun pol simplu pentru functia f , atunci ν(f)(z0) = 1/Rez(f ; z0). Daca z0 estepol de ordinul k ≥ 2 pentru f , atunci ν(f)(z0) = 0.

(ii) ν(f) este o functie continua pe Ω.(iii) Daca fkk∈N ⊂ M(Ω) si fk → f ın C(Ω,C∞) atunci ν(fk) → ν(f)

uniform pe compacte ın Ω.

Demonstratie. Afirmatiile (i) si (ii) fiind imediate, le lasam pe seama citito-rului. Aratam ca are loc (ii). Daca f este olomorfa ın z0 ∈ Ω atunci f ′k → f ′,k → ∞, uniform pe un disc U(z0; r) ⊂ Ω, iar de aici rezulta ca ν(fk) → ν(f)uniform pe U(z0; r).

Daca f nu este olomorfa ın z0, atunci 1/f este olomorfa ın acelasi punct,deoarece f ∈ M(Ω). Atunci 1/fk → 1/f uniform pe un disc U(z0; ρ) ⊂ Ω, decisi ν(1/fk) → ν(1/f) uniform pe U(z0; ρ). In final, din faptul ca ν(f) = ν(1/f),ν(fk) = ν(1/fk), k ∈ N, deducem ca ν(fk) → ν(f) uniform pe U(z0; ρ). ¤

Daca F ⊂ M(G), fie

ν(F) = ν(f) : f ∈ F.

Rezultatul urmator este analogul Teoremei lui Montel pentru familii defunctii meromorfe. Demonstratia acestui rezultat poate fi gasita ın [Con1, p.158-159].


Teorema 3.4.9 (Teorema lui Marty) Familia F ⊂ M(Ω) este normala ınC(Ω,C∞) daca si numai daca familia ν(F) este local uniform marginita.

Observatia 3.4.10 (i) Fie F = fk : k ∈ N unde fk(z) = kz, z ∈ Ω. Atunciν(fk)(z) = 2k/(1+k2|z|2), deci familia F este normala ın C(Ω,C∞), deoareceν(F) este local uniform marginita. Totusi F nu este normala ın M(Ω) deoarecefk →∞ uniform pe compacte ın Ω.

(ii) Daca Ω ⊆ C este un domeniu, exista o exhaustiune normala Kjj∈Na lui Ω. Prin intermediul acestei exhaustiuni vom introduce o metrica peC(Ω,C∞). Consideram

δj(f, g) = supdc(f(z), g(z)) : z ∈ Kj, ∀f, g ∈ C(Ω,C∞), j ∈ N.

Fie δΩ : C(Ω,C∞)× C(Ω,C∞) → [0,∞),

δΩ(f, g) =∞∑

j=1

12j

δj(f, g)1 + δj(f, g)

, ∀f, g ∈ C(Ω,C∞).

Ca ın Sectiunea 3.1 se poate arata ca (C(Ω,C∞), δΩ) este un spatiu metriccomplet (a se vedea [Con1]).

(iii) Considerand M(Ω) ∪ ∞ ⊂ C(Ω,C∞) ınzestrat cu aceeasi metricaδΩ si folosind Teorema 3.4.5, rezulta imediat ca M(Ω) ∪ ∞ este un spatiumetric complet. In plus, multimea H(Ω) ∪ ∞ este ınchisa ın C(Ω,C∞).

Probleme

Problema 3.4.1 Sa se demonstreze Lema 3.4.1.

Problema 3.4.2 (Teorema Arzela-Ascoli) Fie Ω un domeniu din C si M ⊂C(Ω,C∞). Atunci familia M este normala ın C(Ω,C∞) daca si numai dacaau loc urmatoarele conditii:

(i) Inchiderea multimii f(z) : f ∈ M este compacta ın C∞ pentru oricez ∈ Ω.

(ii) M este echicontinua pe Ω.

Problema 3.4.3 Fie Ω un domeniu din C. Sa se arate ca M(Ω) ∪ ∞ esteun spatiu metric complet, dar M(Ω) nu este complet ın raport cu metrica δΩ.

Observatia 3.4.11 Alte detalii referitoare la acest capitol se pot consulta ınlucrarile [Con1], [Gas-Su], [Ha-Mo-Ne], [Gam], [Na-Ni].

Capitolul 4

Functii Univalente

In acest capitol prezentam diverse proprietati ale functiilor olomorfe siinjective (univalente). Vom obtine teoreme de acoperire si deformare pentruo clasa speciala de functii univalente pe discul unitate. De asemenea, vomstudia legatura dintre convergenta uniforma pe compacte a unui sir de functiiunivalente si convergenta ın nucleu a domeniilor corespunzatoare. In final vomprezenta o conditie necesara si suficienta de univalenta pentru functii olomorfepe discul unitate, folosind metrica hiperbolica.

4.1 Notiuni si rezultate generale privind functiileunivalente

Pentru ınceput prezentam doua notiuni fundamentale din teoria reprezen-tarilor conforme ale domeniilor simplu conexe din C.

Definitia 4.1.1 (i) Fie Ω un domeniu din C si f : Ω → C. Functia f senumeste univalenta pe Ω (simplu univalenta) daca f este olomorfa si injectivape Ω. Notam cu Hu(Ω) multimea functiilor univalente pe Ω.

(ii) Fie Ω1 si Ω2 domenii din C. Functia g : Ω1 → Ω2 se numeste biolomorfadaca g este bijectiva si olomorfa pe Ω1, Ω2 = g(Ω1), iar functia g−1 esteolomorfa pe Ω2.

Observatia 4.1.2 E clar ca daca f este o functie biolomorfa pe domeniulΩ, atunci f este si univalenta. Vom arata ca are loc si reciproca, adica oricefunctie univalenta este aplicatie biolomorfa, deci cele doua notiuni sunt echiva-lente. Atragem atentia ca notiunile de univalenta si biolomorfie se pot extinde

123

124 4. Functii Univalente

ın cazul aplicatiilor olomorfe pe domenii din spatii Banach, dar ın infinit di-mensional cele doua notiuni nu mai sunt echivalente (a se vedea de exemplu[Gr-Ko]).

In continuare prezentam cateva exemple de functii univalente.

Exemplul 4.1.3 Fie U = U(0; 1) discul unitate si f(z) = z/(1− z)2, z ∈ U .Functia f se numeste functia lui Koebe. Aceasta functie este univalenta pe Usi transforma discul unitate ın C \ w ∈ C : Re w ≤ −1/4, Im w = 0 (a sevedea Figura 4.1).

Figura 4.1: Functia lui Koebe

Notand cu fθ(z) =z

(1− eiθz)2, pentru θ ∈ R, se observa ca fθ este o

rotatie de unghi −θ a functiei f , deoarece fθ(z) = e−iθf(eiθz), z ∈ U . Decifθ este univalenta si transforma discul unitate ın planul complex cu o taieturaspre ∞ ce porneste din punctul (−1/4)e−iθ (a se vedea Figura 4.2).

Figura 4.2: Imaginea discului unitate prin functia fθ

4.1. Notiuni si rezultate generale privind functiile univalente 125

Prin urmare obtinem ca

(4.1.1)⋂

θ∈Rfθ(U) = U(0; 1/4).

Vom vedea ca aceasta egalitate are un rol important ın studiul unei clasespeciale de functii univalente pe discul unitate.

Exemplul 4.1.4 Functia exponentiala f(z) = ez este univalenta pe bandaB = z ∈ C : −π < Im z < π si transforma pe B ın C \ (−∞, 0]. Desif ′(z) 6= 0, z ∈ C, totusi functia exponentiala nu este univalenta pe C (estedoar local univalenta pe C).

Exemplul 4.1.5 Fie B = z ∈ C : −π/2 < Re z < π/2 si f : B → C,f(z) = sin z, z ∈ D. Atunci functia f este univalenta pe banda D si f(B) =C \A (a se vedea Figura 4.3) unde

A = w ∈ C : Re w ≤ −1, Im w = 0 ∪ w ∈ C : Re w ≥ 1, Im w = 0.

Figura 4.3: sin(B) = C \ (−∞,−1] ∪ [1,∞)

Exemplul 4.1.6 Functia f(z) = z/(1 − z) este univalenta pe U (de fapt, feste univalenta pe C \ 1) si transforma discul unitate pe semiplanul w ∈C : Re w > −1/2.

Exemplul 4.1.7 Fie f : U → C, f(z) = z/(1 − z)3. Se verifica imediat cafunctia f este univalenta pe discul U(0; 1/2), dar nu este univalenta pe ıntregdiscul unitate. De fapt, U(0; 1/2) este discul cu centrul ın origine si de razamaxima pe care functia f este univalenta, deoarece f ′(−1/2) = 0 (a se vedeaTeorema 4.1.14).


Figura 4.4: Imaginea discului unitate prin functia f(z) = z/(1− z)

Exemplul 4.1.8 Functia f : U → C, f(z) = z/(1 − z2) este univalenta pediscul unitate si transforma discul unitate ın C \ E (a se vedea Figura 4.5)unde

E =

w ∈ C : Re w = 0, Im w ≤ −12

∪

w ∈ C : Re w = 0, Im w ≥ 1

2

.

Figura 4.5: Imaginea discului unitate prin functia f(z) = z/(1− z2)

Observatia 4.1.9 Suma, respectiv diferenta, a doua functii univalente nueste ın general o functie univalenta. De exemplu, daca f1(z) = z/(1 − z) sif2(z) = z/(1 + z), z ∈ U , atunci functia f1 − f2 nu este univalenta pe disculunitate U , desi f1 si f2 sunt univalente pe acelasi disc. Un alt exemplu simplueste dat the functiile f1(z) = z respectiv f2(z) = −z.

Pe de alta parte, compunerea a doua functii univalente este o functie univa-lenta. Intr-adevar, daca Ω si ∆ sunt domenii din C, h1 : Ω → ∆ si h2 : ∆ → C


sunt functii univalente, atunci h2 h1 e olomorfa si injectiva pe Ω, deci univa-lenta pe Ω.

Definitia 4.1.10 Fie Ω o multime deschisa din C si f : Ω → C o functieolomorfa. Spunem ca f este local biolomorfa (local univalenta) pe Ω dacapentru orice z ∈ Ω, exista r > 0 astfel ıncat U(z; r) ⊆ Ω si restrictia functieif la U(z; r) este biolomorfa. Pe de alta parte, spunem ca f este nesingularape Ω (simplu nesingulara) daca f ′(z) 6= 0, z ∈ Ω. Daca f ′(z0) = 0, spunem caf este singulara ın z0.

Exemplul 4.1.11 (i) Functia f(z) = ez este local univalenta pe C, dar nueste univalenta pe C.

(ii) Fie a ∈ C si f(z) = z + az2, z ∈ C. Daca a = 0 atunci f(z) ≡ z,deci f este univalenta pe C. Daca a 6= 0 atunci f ′(−1/(2a)) = 0, deci f estesingulara ın punctul z0 = −1/(2a). Rezulta ca discul cu centrul ın originesi de raza maxima pe care functia f este univalenta este U(0; 1/(2|a|)) (a sevedea Teorema 4.1.14).

Cele doua notiuni de local biolomorfie si nesingularitate sunt echivalente,dupa cum arata urmatorul rezultat.

Teorema 4.1.12 Fie Ω o multime deschisa din C si f : Ω → C o functieolomorfa. Atunci f este local biolomorfa pe Ω daca si numai daca f estenesingulara.

Observatia 4.1.13 Fie f = u + iv, u = u(x, y), v = v(x, y). Conditiaf ′(z) 6= 0 este echivalenta cu Jr(f)(z) > 0, unde Jr(f)(z) = detDrf(z) estedeterminantul Jacobianului real Drf(z) al functiei f ın punctul z, iar

Drf(z) =∂(u, v)∂(x, y)

=

∂u

∂x

∂u

∂y

∂v

∂x

∂v

∂y

.

Intr-adevar, din conditiile lui Cauchy-Riemann rezulta imediat ca

(4.1.2) Jrf(z) = |f ′(z)|2, z ∈ Ω.

Deci functiile local biolomorfe sunt transformari conforme care pastreazaorientarea. Mai mult, o astfel de functie este o aplicatie deschisa pe bazaTeoremei 2.5.1.


Vom arata ca functiile univalente sunt local biolomorfe, de unde va rezultaca sunt biolomorfe. Deci notiunile de univalenta si biolomorfie sunt echivalente.Demonstratia Teoremei 4.1.12. Presupunem ca f este local biolomorfa.Fie z0 ∈ Ω si r = r(z0) > 0 astfel ca U(z0; r) ⊆ Ω iar restrictia functieif la U(z0; r) este biolomorfa. Atunci f(U(z0; r)) este un domeniu pe bazaTeoremei 2.5.1. Fie g = f−1 inversa olomorfa a functiei f pe f(U(z0; r)).Atunci (g f)(z) = z, z ∈ U(z0; r), deci

g′(f(z))f ′(z) = 1, z ∈ U(z0; r).

Aceasta egalitate implica faptul ca f ′(z) 6= 0, z ∈ U(z0; r). In particular,f este nesingulara ın z0. Cum z0 a fost ales ın mod arbitrar, deducem ca feste nesingulara.

Invers, presupunem ca f este nesingulara, adica f ′(z) 6= 0, z ∈ Ω. Dinrelatia (4.1.2) deducem ca Jrf(z) > 0, z ∈ Ω. Fie ın continuare a ∈ Ωfixat. Cum f este olomorfa, urmeaza ca f este o aplicatie de clasa C∞ peΩ. Pe baza Teoremei functiilor implicite, deducem ca exista o vecinatateU(a; ρ) a punctului a, astfel ıncat restrictia functiei f la U(a; ρ) sa fie undifeomorfism de clasa C1 (chiar de clasa C∞) ıntre U(a; ρ) si f(U(a; ρ)). Inplus, f(U(a; ρ)) este un domeniu din C. Fie g inversa functiei f pe f(U(a; ρ)).Atunci (f g)(w) = w, w ∈ f(U(a; ρ)), iar din olomorfia functiei f si dinregula de derivare a functiilor compuse avem ca

0 =∂

∂w(f g)(w) =

∂f

∂z(g(w))

∂g

∂w(w) +

∂f

∂z(g(w))

∂g

∂z(w)

=∂f

∂z(g(w))

∂g

∂w(w) = f ′(g(w))

∂g

∂w(w), w ∈ f(U(a; ρ)).

Deci∂g

∂w(w) = 0, w ∈ f(U(a; ρ)). Cum g este de clasa C1 pe domeniul

f(U(a; ρ)), urmeaza din Teorema lui Cauchy-Riemann ca g este olomorfa pef(U(a; ρ)).

Prin urmare am aratat ca restrictia functiei f la U(a; ρ) este biolomorfa.Cum a este ales ın mod arbitrar, rezulta ca f este local biolomorfa pe Ω.Demonstratia este ıncheiata. ¤

In continuare aratam ca functiile univalente sunt biolomorfe. Pentruaceasta avem nevoie de urmatorul rezultat pregatitor, care asigura o conditienecesara de univalenta.

Teorema 4.1.14 Fie Ω un domeniu din C si f o functie univalenta pe Ω.Atunci f ′(z) 6= 0, z ∈ Ω (adica f este nesingulara).


Demonstratie. Presupunem prin absurd ca exista a ∈ Ω astfel ca f ′(a) =0. Dar f fiind injectiva, deducem ca f ′ 6≡ 0 si f este neconstanta. Cumzerourile unei functii olomorfe sunt izolate, deducem ca exista ρ > 0 astfelıncat U(a; ρ) ⊂ Ω iar functiile f si f ′ satisfac conditiile

f(z) 6= f(a), z ∈ ∂U(a; ρ) si f ′(z) 6= 0, z ∈ U(a; ρ).

Fie ε = min|f(z)− f(a)| : z ∈ ∂U(a; ρ). Atunci ε > 0 si

(4.1.3) |f(z)− f(a)| ≥ ε, z ∈ ∂U(a; ρ).

Dar f fiind continua pe Ω, deci si ın a, deducem ca exista η = η(ε) ∈ (0, ρ]astfel ıncat

|f(z)− f(a)| < ε, z ∈ U(a; η).

Fie b ∈ U(a; η) astfel ıncat b 6= a. Atunci

|f(b)− f(a)| < ε.

Din (4.1.3) si din inegalitatea precedenta obtinem ca

|f(b)− f(a)| < |f(z)− f(a)|, z ∈ ∂U(a; ρ).

Aplicand Teorema lui Rouche, rezulta ca ecuatiile

f(z)− f(a) = 0 si f(z)− f(b) = 0

au acelasi numar de radacini ın U(a; ρ). Cum f ′(a) = 0, urmeaza ca z = aeste radacina de ordin mai mare sau egal cu 2 pentru prima ecuatie. Deoarecef ′(b) 6= 0, rezulta ca exista un punct c ∈ U(a; ρ), c 6= b, astfel ca f(b) =f(c). Insa aceasta relatie contrazice univalenta functiei f . Prin urmare f estenesingulara pe Ω. ¤

Combinand Teoremele 4.1.12 si 4.1.14, deducem ca notiunile de univalentasi biolomorfie sunt echivalente.

Teorema 4.1.15 Fie Ω un domeniu din C si f : Ω → C o functie olomorfa.Atunci f este univalenta daca si numai daca f este biolomorfa.

Observatia 4.1.16 (i) Mentionam ca neanularea derivatei unei functii olo-morfe pe un domeniu este o conditie necesara dar ın general nu si suficientade univalenta. Intr-adevar, functia exponentiala f(z) = ez admite derivatanenula pe C, dar nu este univalenta pe C. Insa aceasta functie este univalentape orice banda

Bα = z ∈ C : α < Im z < α + 2π, α ∈ R.


(In cazul functiilor reale derivabile, neanularea derivatei pe un interval repre-zinta o conditie suficienta pentru injectivitate, dar nu si necesara.)

(ii) Pe de alta parte, este foarte simplu de aratat ca ın cazul domeniilorconvexe din C, neanularea partii reale a derivatei unei functii olomorfe, implicaunivalenta functiei pe astfel de domenii (a se vedea Problema 4.1.1).

(iii) Desi conditia f ′(z) 6= 0, z ∈ Ω, este necesara dar ın general nu sisuficienta pentru univalenta functiei f pe domeniul Ω, totusi aceasta conditieeste necesara si suficienta pentru local univalenta functiei f pe Ω, pe bazaTeoremei 4.1.12.

Rezultatul urmator este o reformulare echivalenta a Corolarului 2.5.6.

Teorema 4.1.17 Fie Ω un domeniu din C si fkk∈N un sir de functii uni-valente pe Ω convergent uniform pe compacte ın Ω la functia f . Atunci f esteconstanta, sau univalenta, pe Ω.

Un alt rezultat important din teoria functiilor univalente se refera la con-servarea simplu conexitatii prin univalenta.

Teorema 4.1.18 Fie Ω un domeniu simplu conex din C, f ∈ Hu(Ω) si ∆ =f(Ω). Atunci ∆ este domeniu simplu conex.

Demonstratie. Deoarece f nu este constanta, rezulta ca ∆ este domeniu, pebaza Teoremei de invarianta a domeniului.

Figura 4.6: ∆ = f(Ω)

Aratam acum ca ∆ este simplu conex. Fie Γ un contur al carui suport econtinut ın ∆ si fie γ = f−1(Γ) (a se vedea Figura 4.6). Este clar ca γ estede asemenea un contur, avand suportul continut ın domeniul simplu conex Ω.Deci γ∼

Ω0. Atunci exista a ∈ Ω si ϕ o deformatie continua a lui γ ın drumul


punctual constant γa unde γa(t) = a, t ∈ [0, 1]. Se observa imediat ca f ϕeste o deformatie continua a conturului Γ ın drumul punctual constant Γf(a),unde Γf(a)(t) = f(a), t ∈ [0, 1]. Prin urmare Γ∼

∆0. ¤

Incheiem aceasta sectiune cu un alt rezultat din teoria functiilor univalente,cunoscut sub numele de Principiul univalentei pe frontiera.

Teorema 4.1.19 Fie γ un contur Jordan din C si fie Ω = (γ). Daca functiaf : Ω → C este olomorfa pe Ω si este injectiva pe ∂Ω, atunci f este univalentape Ω.

Demonstratie. Din faptul ca f ∈ H(Ω) rezulta ca exista o multime deschisaG ⊂ C astfel ca Ω ⊂ G si f ∈ H(G).

Figura 4.7:

Fie w ∈ f(Ω). Aratam ca exista un unic punct z ∈ Ω astfel ıncat f(z) = w.Fie g(ζ) = f(ζ)−w, ζ ∈ G. Atunci g ∈ H(G). Deoarece w 6∈ f(γ), pe bazaTeoremei de invarianta a domeniului, deducem ca g(ζ) 6= 0, ζ ∈ γ. Fie N0(g)numarul zerourilor functiei g din Ω (fiecare zerou fiind considerat de atateaori cat indica ordinul sau de multiplicitate). Din Corolarul 2.4.10 obtinem ca

N0(g) =1

2πi

∫

γ

g′(z)g(z)

dz = n(g γ; 0).

Cum γ este un contur Jordan, iar functia g este injectiva pe γ, urmeazaca g γ este de asemenea un contur Jordan. Folosind faptul ca 0 ∈ g(Ω),deoarece w ∈ f(Ω), deducem ca N0(g) ≥ 1, adica n(g γ; 0) ≥ 1. Prin urmareoriginea apartine componentei conexe marginite a conturului g γ. Cum g γeste un contur Jordan, rezulta ca n(gγ; 0) = 1, adica N0(g) = 1. In concluzie,f este univalenta pe Ω. Demonstratia e ıncheiata. ¤


Probleme

Problema 4.1.1 Fie Ω un domeniu convex din C si f ∈ H(Ω). DacaRe f ′(z) > 0, z ∈ Ω, sa se arate ca f ∈ Hu(Ω).

Indicatie. Fie z1, z2 ∈ Ω, z1 6= z2. Atunci

f(z2)− f(z1) =∫ 1

0f ′((1− t)z1 + tz2)(z2 − z1)dt.

Problema 4.1.2 Fie Ω un domeniu din C, f, g ∈ H(Ω), astfel ıncat g ∈Hu(Ω) si g(Ω) este domeniu convex. Daca Re [f ′(z)/g′(z)] > 0, z ∈ Ω, sa searate ca f ∈ Hu(Ω).

Indicatie. Se aplica Problema 4.1.1 ın cazul functiei h = f g−1.

Problema 4.1.3 Fie f(z) = z+az2, z ∈ C. Sa se determine discul cu centrulın origine si de raza maxima ın care functia f este univalenta.

Problema 4.1.4 Fie f(z) = z + az2, z ∈ U . Sa se determine valorile luia ∈ C astfel ıncat f sa fie univalenta pe U .

Problema 4.1.5 Fie g o functie olomorfa pe discul unitate U astfel ıncatRe g′(z) > −1, z ∈ U , si f(z) = z + g(z), z ∈ U . Sa se arate ca f ∈ Hu(U).Daca, ın plus, g(0) = g′(0) = 1, sa se calculeze

I(r) =∫

∂U(0;r)

f(z) + 1f(z)− 1

dz, r ∈ (0, 1).

Problema 4.1.6 Fie f ∈ H(U) astfel ıncat Re [(1− z2)f ′(z)] > 0, z ∈ U . Sase arate ca f ∈ Hu(U).

Problema 4.1.7 Sa se arate ca discul cu centrul ın origine si de raza maximape care functia f(z) = z/(1− z)3 este univalenta este U(0; 1/2).

Problema 4.1.8 Sa se dea un exemplu de functie univalenta pe discul uni-tate, care nu e univalenta pe U(0; 2). Justificati raspunsul.

Problema 4.1.9 (i) Fie a > 0 si Ja(z) =12

(z +

a2

z

), z ∈ C∞. Sa se arate

ca functia Ja (functia lui Jukowski) este injectiva ın interiorul (respectiv ex-teriorul) oricarui cerc cu centrul pe axa imaginara si care trece prin punctelea,−a.

4.2. Clasa S. Proprietati 133

(ii) In cazul a = 1, sa se determine imaginile dreptelor paralele cu axele decoordonate, precum si imaginile cercului unitate, respectiv discului unitate,prin functia J1.

Problema 4.1.10 Sa se arate ca functia lui Koebe f(z) = z/(1 − z)2 esteunivalenta pe U si f(U) = C \ (−∞;−1/4].

Problema 4.1.11 Sa se arate ca functia f(z) = sin z este univalenta pe bandaD din Exemplul 4.1.5 si ca f(D) = C \A unde

A = w ∈ C : Re w ≤ −1, Im w = 0 ∪ w ∈ C : Re w ≥ 1, Im w = 0.

Problema 4.1.12 Fie f(z) = z + ez si D = z ∈ C : |Im z| < π/2. Sa searate ca f este univalenta pe D. Este f univalenta pe domeniul Ω = z ∈ C :|Im z| < π?

4.2 Clasa S. Proprietati

In continuare vom considera o clasa speciala de functii univalente pe disculunitate. Importanta clasei S consta ın faptul ca orice functie univalenta pe Use poate scufunda ın aceasta clasa printr-o normare convenabila. Intr-adevar,daca f ∈ Hu(U) atunci g ∈ S unde g(z) = (f(z)− f(0))/f ′(0), z ∈ U . Pe dealta parte, alegerea discului unitate pe parcursul acestei sectiuni este justificatade Teorema lui Riemann (Teorema 5.1.5), pe baza careia orice domeniu simpluconex din C, diferit de C, se poate reprezenta conform pe discul unitate. Dinacest punct de vedere, studiul functiilor univalente pe astfel de domenii simpluconexe din C poate fi redus la discul unitate.

Definitia 4.2.1 Fie S clasa functiilor univalente pe discul unitate U , normatecu conditiile f(0) = 0 si f ′(0) = 1, ∀ f ∈ S. Deci

(4.2.1) S =

f ∈ Hu(U) : f(0) = f ′(0)− 1 = 0

.

Functiile ın Exemplele 4.1.3, 4.1.6 si 4.1.8 apartin clasei S.Orice functie f ∈ S admite dezvoltarea ın serie de puteri de forma

f(z) = z +∞∑

k=2

akzk, z ∈ U.

Vom arata ca |a2| ≤ 2 si ca aceasta inegalitate este exacta, ın sensul rezul-tatului prezentat ın Teorema 3.3.4. Demonstratia se va baza pe o consecinta


a “Teoremei ariei”, care se refera la comportarea coeficientilor functiilor dinΣ, o alta clasa importanta de functii univalente pe exteriorul discului unitate.

Pe parcursul acestei sectiuni notam cu

∆ = z ∈ C∞ : |z| > 1

exteriorul discului unitate. De asemenea, notam cu Σ clasa functiilor g : ∆ →C∞ meromorfe si injective pe ∆ cu unicul pol (simplu) z = ∞ si care admitdezvoltarea in serie Laurent la ∞ de forma

(4.2.2) g(z) = z +∞∑

k=0

bk

zk, 1 < |z| < ∞.

Intre clasele S si Σ exista urmatoarea legatura:

Propozitia 4.2.2 (i) Fie f ∈ S si g(ζ) = 1/f(1/ζ), ζ ∈ ∆. Atunci g ∈ Σ sig(ζ) 6= 0, ζ ∈ ∆.

(ii) Daca g ∈ Σ si g(ζ) 6= 0, ζ ∈ ∆, atunci f ∈ S unde f(z) = 1/g(1/z),z ∈ U .

Lasam demonstratia acestui rezultat pe seama cititorului.Unul din rezultatele centrale din aceasta sectiune este continut ın Teorema

4.2.3, cunoscuta sub numele de Teorema ariei. Are loc

Teorema 4.2.3 Fie g ∈ Σ, g(z) = z +∞∑

k=0

bk

zk, 1 < |z| < ∞. Atunci

(4.2.3)∞∑

k=1

k|bk|2 ≤ 1.

In particular, |b1| ≤ 1 iar egalitatea |b1| = 1 are loc daca si numai daca g estede forma

g(z) = z + b0 +λ

z, 1 < |z| < ∞,

unde |λ| = 1.

Demonstratie. Fie r > 1 fixat si Γr = g(∂Ur). Deoarece g este univalenta peU(0; 1,∞), iar γr = ∂Ur este un contur Jordan continut ın U(0; 1,∞), rezultaca Γr este de asemenea un contur Jordan. In plus, Γr este pozitiv orientatdeoarece g este transformare conforma.


Figura 4.8: E = C \ g(∆)

Fie Er domeniul marginit cu frontiera Γr si E = C \ g(∆) (a se vedeaFigura 4.8). Atunci E ⊂ Er, iar din faptul ca g(∞) = ∞ ∈ g(∆) rezulta ca Eeste o submultime compacta a lui C. Fie λ masura Lebesgue pe R2. Atunci

(4.2.4) 0 ≤ λ(E) ≤ λ(Er).

Pe de alta parte, se observa ca conturul Γr este definit de relatia

Γr : w = g(reiθ) = w(θ) = u(θ) + iv(θ), 0 ≤ θ ≤ 2π.

Pe baza formulei lui Green, obtinem ca masura Lebesgue a multimii Er

(aria multimii Er) este data de:

(4.2.5) λ(Er) =12

∫

Γr

(udv − vdu) =∫

Γr

udv =∫ 2π

0u(θ)v′(θ)dθ

=∫ 2π

0

w(θ) + w(θ)2

· w′(θ)− w′(θ)2i

dθ.

Deoarece

w(θ) = g(reiθ) = reiθ +∞∑

k=0

bk

rke−ikθ, θ ∈ [0, 2π],

un calcul elementar ın (4.2.5), bazat pe faptul ca

∫ 2π

0eikθdθ =

0, k 6= 02π, k = 0,


conduce la egalitatea

λ(Er) = π

[r2 −

∞∑

k=1

k|bk|2r2k

].

Deci∞∑

k=1

k|bk|2r2k

≤ r2 ⇒N∑

k=1

k|bk|2r2k

≤ r2, ∀ N ≥ 1.

Deoarece r a fost ales arbitrar, obtinem din ultima inegalitate ca

1 ≥ limr1

N∑

k=1

k|bk|2r2k

=N∑

k=1

k|bk|2, ∀ N ≥ 1,

de unde rezulta relatia (4.2.3).Inegalitatea |b1| ≤ 1 este evidenta din (4.2.3). Pe de alta parte, daca

|b1| = 1 atunci bk = 0, k ≥ 2, iar

g(z) = z + b0 +λ

z, 1 < |z| < ∞,

unde |λ| = 1. Demonstratia este ıncheiata. ¤In continuare obtinem o inegalitate exacta pentru |f ′′(0)/2| unde f ∈ S.

Teorema 4.2.4 Daca f(z) = z +∞∑

k=2

akzk ∈ S atunci |a2| ≤ 2. Egalitatea

|a2| = 2 are loc daca si numai daca f este o rotatie a functiei lui Koebe.

Observatia 4.2.5 Fie J functionala continua pe clasa S, definita de relatiaJ(g) = a2 unde a2 = g′′(0)/2. Pe baza rezultatului precedent, deducem ca

|J(fθ)| = maxf∈S

|J(f)|

unde fθ(z) =z

(1− eiθz)2, θ ∈ R.

Demonstratia Teoremei 4.2.4. Deoarece f ∈ S, deducem ca f(0) = 0 sif(z) 6= 0, z ∈ U , adica z = 0 este unicul zerou (simplu) al functiei f . Fieg : U → C data de g(0) = 1 si g(z) = f(z)/z, z ∈ U . Atunci g ∈ H(U) sig(z) 6= 0, z ∈ U .

Pe baza Teoremei ramurilor uniforme pentru aplicatia putere (Teorema2.1.7 pentru α = 1/2), exista o unica ramura uniforma h pe U a aplicatiei


multivoce [g(z2)]1/2, astfel ıncat h(0) = 1. Fie q(z) = zh(z), z ∈ U . Atunciq ∈ H(U), q(0) = q′(0) − 1 = 0. In plus, q este injectiva pe U . Intr-adevar,daca z1, z2 ∈ U si q(z1) = q(z2) atunci

(4.2.6) q2(z1) = q2(z2) ⇔ z21h

2(z1) = z22h

2(z2).

Cum h este ramura uniforma a functiei multivoce [g(z2)]1/2, urmeaza ca

(4.2.7) h2(z) = g(z2) =f(z2)

z2, z ∈ U .

Observam acum ca (4.2.6) devine

q2(z1) = q2(z2) ⇔ f(z21) = f(z2

2),

iar din univalenta functiei f rezulta ca z21 = z2

2 , adica z1 = ±z2.Daca z1 = −z2, obtinem ca q(z1) = q(z2) = 0. Intr-adevar,

q(z1) = z1h(z1) = −z2h(−z2) = −z2h(z2) = −q(z2).

Insa q(z1) = q(z2) din presupunerea initiala, deci are loc concluzia prece-denta. Cum h(z) 6= 0, z ∈ U , urmeaza ca

q(z1) = q(z2) = 0 ⇔ z1 = z2 = 0.

Prin urmare, ın ambele situatii deducem ca z1 = z2, adica q este univalenta.In plus, din faptul ca q(0) = q′(0)− 1 = 0, rezulta ca q ∈ S.

Revenind la relatia (4.2.7) si tinand cont de faptul ca q(z) = zh(z), dedu-cem ca coeficientul b2 = q′′(0)/2, obtinut din dezvoltarea ın serie de puteri afunctiei q ın origine, satisface egalitatea b2 = a2/2. Deci

q(z) = z +a2

2z3 + . . . , z ∈ U.

In continuare, consideram functia p(ζ) = 1/q(1/ζ), ζ ∈ ∆. Deoarece q ∈ Srezulta ca p ∈ Σ, pe baza Propozitiei 4.2.2. De asemenea,

p(ζ) =ζ

1 +a2

2· 1ζ2

+ . . .= ζ − a2

21ζ

+ . . . , 1 < |ζ| < ∞.

Din Teorema 4.2.3 deducem ca |a2/2| ≤ 1, iar egalitatea |a2| = 2 are locdaca si numai daca

p(ζ) = ζ − a2

2· 1ζ, 1 < |ζ| < ∞.


Fie λ = a2/2. Atunci |λ| = 1 si

q(z) =1

p(1

z

) =1

1z− λz

=z

1− λz2, z ∈ U,

iar din (4.2.7) obtinem ca

f(z2) = z2h2(z) = q2(z) =z2

(1− λz2)2,

deci f(z) = z/(1 − λz)2, z ∈ U . Prin urmare, daca |a2| = 2 atunci f este orotatie a functiei Koebe. Invers, se observa imediat ca daca f(z) = z/(1 −eiθz)2, unde θ ∈ R, atunci

f(z) = z + 2eiθz2 + . . . , z ∈ U.

Deci |a2| = |2eiθ| = 2. Demonstratia este ıncheiata. ¤Rezultatul din Teorema 4.2.4 este datorat lui L. Bieberbach. Pornind de la

inegalitatea |a2| ≤ 2 pentru functiile f ∈ S, Bieberbach a propus urmatoareaconjectura:

Conjectura 4.2.6 (Conjectura lui Bieberbach) Daca f ∈ S admite dezvolta-

rea ın serie de puteri f(z) = z +∞∑

k=2

akzk, atunci |ak| ≤ k, k ≥ 2. Egalitatea

|ak| = k, k ≥ 2, are loc daca si numai daca f este o rotatie a functiei luiKoebe.

Mentionam ca ın anul 1984, matematicianul L. de Branges a demonstratvalabilitatea conjecturii lui Bieberbach. Insa pana atunci s-au depus eforturiconsiderabile care au condus la directii noi de cercetare ın analiza complexa,dar care nu au concluzionat valabilitatea acestei conjecturi.

Una din aplicatiile Teoremei 4.2.4 este continuta ın urmatoarea teorema,cunoscuta sub numele de Teorema de acoperire a lui Koebe-Bieberbach.

Teorema 4.2.7 Fie f ∈ S. Atunci f(U) ⊇ U1/4.

Observatia 4.2.8 Din rezultatul precedent se obtine ca

(4.2.8)⋂

f∈S

f(U) = U1/4.


Intr-adevar, deoarece f(U) ⊇ U1/4, ∀ f ∈ S, deducem ca

⋂

f∈S

f(U) ⊇ U1/4,

iar din egalitatea (4.1.1) si din faptul ca orice functie fθ (rotatia functieiKoebe) apartine clasei S, obtinem egalitatea (4.2.8).

Egalitatea (4.2.8) admite urmatoarea interpretare geometrica: U1/4 estediscul cu centrul ın origine si de raza maxima acoperit de imaginea disculuiunitate prin orice functie din clasa S.

Demonstratia Teoremei 4.2.7. Fie c ∈ C astfel ıncat c 6∈ f(U). Atuncif(z)/c 6= 1, z ∈ U . Consideram functia h : U → C data de

h(z) =f(z)

1− f(z)c

, z ∈ U.

Din faptul ca f ∈ S, rezulta imediat ca h este functie univalenta pe U sih(0) = h′(0)− 1 = 0, deci h ∈ S.

Fie f(z) = z +∞∑

k=2

akzk, z ∈ U . Atunci h admite urmatoarea dezvoltare ın

serie de puteri

h(z) = z +(

a2 +1c

)z2 + . . . , z ∈ U,

iar din Teorema 4.2.4 rezulta ca |a2 + 1/c| ≤ 2. Pe de alta parte, deoarecef ∈ S, deducem ca |a2| ≤ 2. Atunci

∣∣∣∣1c

∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣a2 +

1c

∣∣∣∣ + |a2| ≤ 4,

deci |c| ≥ 1/4.Cum c a fost ales ın mod arbitrar, urmeaza ca f(U) ⊇ U1/4. ¤In continuare demonstram teorema de distorsiune si deformare pentru clasa

S. Pentru aceasta avem nevoie de rezultatul pregatitor din Lemma 4.2.9.

Lema 4.2.9 Daca f ∈ S atunci

(4.2.9)∣∣∣∣zf ′′(z)f ′(z)

− 2|z|21− |z|2

∣∣∣∣ ≤4|z|

1− |z|2 , z ∈ U.


Demonstratie. Fie z0 ∈ U fixat si g(z) =z + z0

1 + z0z, z ∈ U . Atunci g este

univalenta pe U si g(U) = U . Consideram functia h : U → C,

h(z) =(f g)(z)− (f g)(0)

(f g)′(0), z ∈ U.

Din univalenta functiilor f si g rezulta ca h este de asemenea univalenta.In plus, observam ca h(0) = h′(0)− 1 = 0, adica h ∈ S.

Fie f(z) = z + a2z2 + . . . si h(z) = z + b2z

2 + . . . , z ∈ U . Din regula dederivare a functiilor compuse, obtinem ca

b2 =h′′(0)

2=

12

[(1− |z0|2)f

′′(z0)f ′(z0)

− 2z0

].

Din Teorema 4.2.4 avem ca |b2| ≤ 2, deci∣∣∣∣(1− |z0|2)f

′′(z0)f ′(z0)

− 2z0

∣∣∣∣ ≤ 4.

Multiplicand ambii membri ai inegalitatii precedente cu |z0| si folosind faptulca z0 a fost ales ın mod arbitrar, deducem inegalitatea (4.2.9). ¤

Teorema urmatoare este cunoscuta sub numele de Teorema de deformaresi distorsiune pentru clasa S.

Teorema 4.2.10 Daca f ∈ S atunci au loc relatiile

(4.2.10)|z|

(1 + |z|)2 ≤ |f(z)| ≤ |z|(1− |z|)2 , z ∈ U,

si

(4.2.11)1− |z|

(1 + |z|)3 ≤ |f ′(z)| ≤ 1 + |z|(1− |z|)3 , z ∈ U.

Demonstratie. Mai ıntai aratam ca au loc inegalitatile (4.2.11). Pe bazaLemei 4.2.9 avem ca

∣∣∣∣zf ′′(z)f ′(z)

− 2|z|21− |z|2

∣∣∣∣ ≤4|z|

1− |z|2 , z ∈ U.

In particular, din inegalitatea precedenta obtinem ca

(4.2.12)2r2 − 4r

1− r2≤ Re

[zf ′′(z)f ′(z)

]≤ 2r2 + 4r

1− r2, |z| = r < 1.


Pe de alta parte, deoarece f este o functie univalenta pe U , urmeaza dinTeorema 4.1.14 ca f ′(z) 6= 0, z ∈ U , iar din Teorema ramurilor uniformepentru aplicatia logaritmica (Teorema 2.1.4) deducem ca putem alege o unicaramura uniforma p a lui Logf ′ pe U astfel ıncat p(0) = 0. Pentru simplitate,notam p(z) cu log f ′(z), z ∈ U .

Observam ca daca z = reiθ, atunci ∂z∂r = eiθ = z

r si

∂

∂rln |f ′(z)| = ∂

∂rRe [log f ′(z)] = Re

[zf ′′(z)rf ′(z)

].

Combinand inegalitatea precedenta cu (4.2.12), obtinem ca

2r − 41− r2

≤ ∂

∂rln |f ′(reiθ)| ≤ 2r + 4

1− r2, r ∈ (0, 1), θ ∈ R.

Fixand pe θ si integrand inegalitatile precedente ıntre 0 si ρ unde ρ < 1,deducem, dupa efectuarea unor calcule elementare, ca

1− ρ

(1 + ρ)3≤ |f ′(ρeiθ)| ≤ 1 + ρ

(1− ρ)3, ρ ∈ (0, 1).

Cum ρ si θ sunt arbitrare, obtinem relatia (4.2.11).In continuare demonstram inegalitatile (4.2.10). Fie z = reiθ ∈ U fixat.

Deoarece segmentul ınchis [0, z] este inclus ın U , obtinem din formula luiLeibniz-Newton ca

f(z) =∫

[0,z]

f ′(ζ)dζ =∫ 1

0f ′(tz)zdt.

Deci

|f(z)| ≤ |z|∫ 1

0|f ′(tz)|dt,

iar din (4.2.11) si inegalitatea precedenta deducem ca

|f(z)| ≤ |z|∫ 1

0

1 + t|z|(1− t|z|)3 dt =

|z|(1− |z|)2 .

Acum demonstram delimitarea din stanga ın (4.2.10). Observam ca daca|f(z)| ≥ 1/4, atunci |f(z)| ≥ r/(1 + r)2, deoarece 1/4 ≥ r/(1 + r)2. Prinurmare, e suficient sa presupunem ca |f(z)| < 1/4, adica f(z) ∈ U1/4. CumU1/4 ⊆ f(U), pe baza Teoremei 4.2.7, rezulta ca segmentul ınchis [0, f(z)] esteinclus ın f(U) (a se vedea Figura 4.9).


Figura 4.9:

Fie Γ = [0, f(z)]. Atunci Γ ⊂ f(U), iar daca notam cu γ = f−1(Γ), atunciγ este un arc simplu (Jordan) continut ın discul unitate, astfel ıncat γ(0) = 0si γ(1) = z. Fie α unghiul determinat de segmentul Γ cu sensul pozitiv al axeireale. Daca f(z) = δeiα iar w ∈ Γ atunci w = seiα, 0 ≤ s ≤ δ, si

(4.2.13) δ = |f(z)| =∫

Γ

|dw| =∫

γ

|df(ζ)| =∫

γ

|f ′(ζ)||dζ|.

Pe de alta parte, |dζ| ≥ d|ζ|, ζ ∈ γ, deoarece daca ζ = ηeiϕ atunci

|dζ| = |d(ηeiϕ)| = |dη + iηdϕ| ≥ dη = d|ζ|.

In final, aplicand delimitarea inferioara din (4.2.11) si revenind la (4.2.13),obtinem ca

δ = |f(z)| ≥∫

γ

1− |ζ|(1 + |ζ|)3 d|ζ| ≥

∫ r

0

1− η

(1 + η)3dη =

r

(1 + r)2.

Demonstratia este ıncheiata. ¤Am aratat ın Exemplul 3.2.13 ca clasa P, a functiilor olomorfe cu parte

reala pozitiva ın discul unitate U astfel ca p(0) = 1, ∀p ∈ P, este o submultimecompacta a lui H(U). Demonstratia acestui rezultat s-a bazat pe o teorema decaracterizare a multimilor compacte din H(Ω), unde Ω este o multime deschisadin C. O demonstratie similara, bazata si pe Teorema lui Hurwitz, conducela compactitatea clasei S.

Corolarul 4.2.11 S este o submultime compacta a lui H(U).

Demonstratie. Pe baza Teoremei 3.2.12, avem de aratat ca S este localuniform marginita si ınchisa.


Din (4.2.10) si Teorema maximului modulului pentru functii olomorfe de-ducem ca daca M(r) = r/(1− r)2, r ∈ (0, 1), atunci

|f(z)| ≤ M(r), |z| ≤ r, ∀ f ∈ S,

iar din Observatia 3.2.2 si inegalitatea precedenta urmeaza ca S estesubmultime local uniform marginita a lui H(U).

In continuare aratam ca S este ınchisa. Fie fkk∈N un sir din S convergentuniform pe compacte ın U la functia f . Din Teorema lui Weierstrass obtinemca f(0) = 0 si f ′(0) = lim

k→∞f ′k(0) = 1, deci f nu este constanta. Pe baza

Teoremei 4.1.17 deducem ca f este univalenta pe U . In concluzie, f ∈ S.Demonstratia este ıncheiata. ¤

Revenim acum la studiul coeficientilor functiilor din clasa S si prezentamo alta aplicatie a Teoremei 4.2.4.

Are loc urmatoarea delimitare a coeficientului a2 pentru functii marginitedin clasa S.


k=2

akzk ∈ S si |f(z)| < A, z ∈ U , atunci

|a2| ≤ 2(

1− 1A

).

Demonstratie. Din faptul ca |f(z)| < A, z ∈ U , deducem imediat ca A ≥ 1.Daca, prin absurd, presupunem ca A < 1, atunci |f(z)| < 1, z ∈ U , iar dinLema lui Schwarz si din faptul ca |f ′(0)| = 1, ar rezulta ca f(z) ≡ z. Insaaceasta relatie contrazice faptul ca |f(z)| < A, z ∈ U . Prin urmare A ≥ 1.Daca A = 1, atunci, repetand rationamentul precedent, obtinem ca f(z) ≡ z.Deci a2 = 0 si inegalitatea este evidenta.

In continuare admitem ca A > 1. Fie θ ∈ R fixat. Consideram functiagθ : U → C data de relatia

gθ(z) =f(z)

(1 +

eiθ

Af(z)

)2 , z ∈ U.

Se arata relativ usor ca gθ este o functie din clasa S, deci |b2| ≤ 2 undeb2 = g′′(0)/2. Deoarece b2 = a2 − 2eiθ/A, deducem ca

∣∣∣∣a2 − 2eiθ

A

∣∣∣∣ ≤ 2.


Considerand a2 = |a2|eiϕ, unde ϕ ∈ R, rezulta ca∣∣∣∣|a2|eiϕ − 2

Aeiθ

∣∣∣∣ ≤ 2.

Dar θ a fost ales arbitrar. Deci pentru θ = π+ϕ ın inegalitatea precedenta,obtinem ca

|a2|+ 2A≤ 2 ⇔ |a2| ≤ 2

(1− 1

A

).

¤In cazul coeficientului ak pentru f ∈ S, putem demonstra urmatoarea

delimitare, dar care nu este exacta. Delimitarea exacta este cea din Teoremalui L. de Branges (|ak| ≤ k, k ≥ 2).


k=2

akzk ∈ S, atunci |ak| <

[e(k+1)

2

]2,

k ≥ 2.

Demonstratie. Fie k ≥ 2 fixat. Deoarece

ak =f (k)(0)

k!=

12πi

∫

|ζ|=r

f(ζ)ζk+1

dζ =1

2πrk

∫ 2π

0f(reiθ)e−ikθdθ, r ∈ (0, 1),

obtinem ca

|ak| ≤ 12πrk

∫ 2π

0|f(reiθ)|dθ, r ∈ (0, 1).

Folosind delimitarea superioara din (4.2.10), deducem ca

|ak| ≤ 12πrk

∫ 2π

0

r

(1− r)2dθ =

1rk−1(1− r)2

, r ∈ (0, 1).

Deci

|ak| ≤ minr∈(0,1)

[1

rk−1(1− r)2

]=

[k + 1

2

]2 [k + 1k − 1

]k−1

=[k + 1

2

]2 [1 +

2k − 1

]k−1

<

[e(k + 1)

2

]2

, k ≥ 2.

¤

4.3. Convergenta ın nucleu 145

Probleme

Problema 4.2.1 Fie f ∈ S, f(z) = z +∞∑

k=2

akzk, z ∈ U . Sa se arate ca

|a3 − a22| ≤ 1.

Problema 4.2.2 Fie g ∈ Σ, g(z) = z + b0 + b1/z + . . . , 1 < |z| < ∞. Sa searate ca |b0| ≤ 2.

Problema 4.2.3 Sa se completeze detaliile ın demonstratia Teoremei 4.2.12.

Problema 4.2.4 Fie f ∈ S. Sa se arate ca | arg f ′(z)| ≤ 2 ln[(1 + r)/(1− r)],|z| = r < 1.

Indicatie. Se foloseste inegalitatea (4.2.9) din care se obtine o dublainegalitate pentru Im [zf ′′(z)/f ′(z)].

Problema 4.2.5 Fie f(z) = z/(1 − z)α, z ∈ U , unde α ∈ R. Sa se arate caf ∈ S daca si numai daca α ∈ [0, 2].

Problema 4.2.6 Fie f ∈ S si r ∈ [0, 1). Sa se arate ca(

1− r

1 + r

)4

≤∣∣∣∣f ′(z1)f ′(z2)

∣∣∣∣ ≤(

1 + r

1− r

)4

, |z1| = r, |z2| = r.

4.3 Convergenta ın nucleu

In aceasta sectiune aratam ca daca fkk∈N este un sir de functii univalentecare converge uniform pe compacte ın discul unitate, atunci sirul domeniilorfk(U)k∈N converge ın nucleu (ın sensul lui Caratheodory). Acest rezultatare multiple aplicatii ıntr-o ramura moderna a analizei complexe bazata peteoria lanturilor de subordonare diferentiala. De asemenea, acest rezultatevidentiaza o interpretare geometrica importanta a notiunii de convergentauniforma pe compacte ın cazul functiilor univalente.

Prezentam mai ıntai urmatoarele notiuni datorate lui C. Caratheodory.

Definitia 4.3.1 Fie Ωkk∈N un sir de domenii din C astfel ıncat 0 ∈ Ωk,k ∈ N.

(i) Presupunem ca 0 ∈ int( ⋂

k∈NΩk

). In acest caz un domeniu Ω din C este

nucleul sirului Ωkk∈N daca Ω este cel mai larg domeniu din C cu proprietateaca pentru orice compact K ⊂ Ω, exista k0 ∈ N astfel ıncat K ⊂ Ωk, k ≥ k0.


(ii) Presupunem ca 0 6∈ int( ⋂

k∈NΩk

). In acest caz 0 este nucleul sirului

Ωkk∈N.

Mentionam ca prin cel mai larg domeniu Ω din C, care satisface conditia (i),ıntelegem acel domeniu din C cu proprietatea ca oricare ar fi un alt domeniu∆ ⊆ C ce satisface (i), avem ca ∆ ⊆ Ω.

Observam ca nucleul unui sir de domenii exista si este bine definit, pe bazaTeoremei lui Heine-Borel. Intr-adevar, fie F familia tuturor domeniilor G dinC cu proprietatea ca 0 ∈ G si orice submultime compacta F a lui G este inclusaın domeniul Ωk pentru k suficient de larg. De asemenea, fie G =

⋃

G∈FG. Daca

0 ∈ int( ⋂

k∈NΩk

)atunci G coincide cu nucleul Ω definit la (i).

Definitia 4.3.2 Fie Ωkk∈N un sir de domenii din C si fie Ω nucleul siruluiΩkk∈N. Spunem ca sirul Ωkk∈N converge ın nucleu la Ω (notam Ωk → Ω)daca orice subsir al sirului Ωkk∈N are acelasi nucleu Ω.

Exemplul 4.3.3 Fie Ωkk∈N un sir crescator de domenii din C, adica Ωk ⊆Ωk+1, k ∈ N, astfel ıncat 0 ∈ Ωk, k ∈ N. Atunci Ω =

⋃

k∈NΩk este nucleul

sirului Ωkk∈N si Ωk → Ω.

Rezultatul principal al acestei sectiuni este continut ın Teorema lui Ca-ratheodory . In acest rezultat aratam ca exista o echivalenta ıntre notiunilede convergenta uniforma pe compacte a unui sir de functii univalente fkk∈Npe discul unitate si convergenta ın nucleu a sirului de domenii simplu conexefk(U)k∈N.

Teorema 4.3.4 Fie fkk∈N un sir de functii univalente pe U astfel ıncatfk(0) = 0 si f ′k(0) = αk, unde αk > 0, k ∈ N. Fie Ωk = fk(U), k ∈ N, sifie Ω nucleul sirului Ωkk∈N. Presupunem ca Ω 6= C. Atunci sirul fkk∈Nconverge uniform pe compacte ın U la o functie f daca si numai daca Ωk → Ω.Au loc urmatoarele situatii:

(i) Ω = 0 daca si numai daca f ≡ 0.(ii) Daca Ω 6= 0 atunci Ω = f(U) iar f este o functie univalenta pe U .

In plus, sirul f−1k k∈N converge uniform pe compacte ın Ω la f−1.

Demonstratie. Necesitatea. Presupunem ca fkk∈N converge uniform pecompacte ın U la functia f . Deoarece fkk∈N este un sir de functii univalentepe U , rezulta ca f este constanta sau univalenta, pe baza Teoremei 4.1.17.


Cazul I. Admitem ca f este constanta. Cum fk(0) = 0, k ∈ N, rezulta caf ≡ 0. In acest caz aratam ca Ω = 0 si Ωk → 0. Presupunem prin absurdca Ω 6= 0. Atunci 0 ∈ int

( ⋂

k∈NΩk

), deci exista ε > 0 astfel ıncat Uε ⊆ Ωk,

k ∈ N. Fie gk = f−1k : Ωk → U inversa functiei fk. Atunci gk este olomorfa pe

Uε, gk(Uε) ⊆ U si gk(0) = 0. Aplicand Lema lui Schwarz, deducem ca

|gk(w)| ≤ 1ε|w|, w ∈ Uε, |g′k(0)| ≤ 1

ε, k ∈ N.

Cum g′k(0) = 1/f ′k(0) = 1/αk, rezulta din inegalitatea precedenta ca αk ≥ε, k ∈ N. Dar aceasta relatie contrazice faptul ca αk → 0.

Deci Ω = 0. Din acest rationament observam ca orice subsir Ωkpp∈Nare acelasi nucleu, care coincide cu 0, prin urmare Ωk → 0.

Cazul II. Presupunem ca f 6≡ 0. Atunci f este univalenta pe U . FieG = f(U). Din Teorema 4.1.18 deducem ca G este domeniu simplu conex.Fie α = f ′(0). Atunci α 6= 0. Dar αk > 0, k ∈ N, iar din faptul ca

α = limk→∞

f ′k(0) = limk→∞

αk,

deducem ca α > 0.In continuare aratam ca G = Ω si Ωk → Ω ın sensul convergentei ın nucleu.Pasul 1. Aratam ca G ⊆ Ω. Pentru aceasta e suficient sa demonstram

ca daca K este un compact inclus ın G, atunci K ⊂ Ωk pentru k suficient delarg.

Fie K un compact inclus ın G. Atunci f−1(K) este un compact din U ,deci exista r ∈ (0, 1) astfel ıncat f−1(K) ⊆ Ur (a se vedea Figura 4.10).

Figura 4.10: f−1(K) ⊂ U

Fie γ = ∂Ur si Γ = f(γ). Atunci Γ este un contur Jordan din G, deoarecef este univalenta pe U . In plus K ∩ Γ = ∅. Fie

η = min|f(z)− w| : z ∈ γ, w ∈ K.


Este clar ca η > 0. Fie v0 ∈ K. Atunci

(4.3.1) |f(z)− v0| ≥ η, z ∈ γ.

Dar fk → f uniform pe compacte ın U , deci exista k0 = k0(r) ∈ N astfelıncat

|fk(z)− f(z)| < η, z ∈ γ, k ≥ k0.

Combinand aceasta inegalitate cu (4.3.1), obtinem ca

|fk(z)− f(z)| < |f(z)− v0|, z ∈ γ, k ≥ k0.

Din Corolarul 2.4.14 deducem ca ecuatiile

f(z)− v0 = 0 si fk(z)− v0 = 0

au acelasi numar de radacini ın discul Ur pentru orice k ≥ k0. Dar ecuatiaf(z) − v0 = 0 are o singura radacina ın Ur, deoarece f este univalenta peU . Deci pentru fiecare k ≥ k0, exista zk ∈ Ur astfel ıncat v0 = fk(zk). Prinurmare, v0 ∈ fk(U), k ≥ k0. Cum k0 nu depinde de v0 ci doar de r (adica deconturul γ), urmeaza ca multimea compacta K este inclusa ın fk(U) = Ωk,k ≥ k0. Deci G ⊆ Ω.

Pasul 2. Aratam ca exista un subsir fkpp∈N al sirului fkk∈N astfelıncat f−1

kp→ f−1, p → ∞, uniform pe compacte ın G. Intr-adevar, deoarece

functia gk = f−1k este olomorfa pe Ωk, deducem ca gk este bine definita pe

orice submultime compacta din G, pentru k suficient de larg (G ⊆ Ω dinpasul precedent). In plus, |gk(w)| < 1, k suficient de larg. Din Teorema luiMontel (Teorema 3.2.6) rezulta ca putem extrage un subsir gkpp∈N al siruluigkk∈N, care converge uniform pe compacte ın G la o functie olomorfa g peG. Functia g se anuleaza ın origine si

g′(0) = limp→∞ g′kp

(0) = limp→∞

1αkp

=1α

> 0.

Prin urmare g 6≡ constanta, deci g este univalenta pe G, pe baza Teoremeilui Hurwitz.

Pasul 3. Aratam ca g ≡ f−1. Fie w ∈ G, ales ın mod arbitrar, siz0 = f−1(w). De asemenea, consideram δ > 0 suficient de mic astfel ıncatU(z0; δ) ⊂ U . Notam cu γ′ = ∂U(z0; δ) si Γ′ = f(γ′).

Deoarece f este univalenta, deducem ca Γ′ este un contur Jordan si Γ′ ⊂ G.E clar ca w = f(z0) 6∈ Γ′, deci ρ > 0, unde

ρ = dist(w; Γ′) = min|w − f(z)| : z ∈ γ′.


Faptul ca f−1k → f−1 uniform pe compacte ın G rezulta imediat din

convergenta oricarui subsir al sirului f−1k k∈N la f−1 (argumentul de la pasul

precedent se poate aplica oricarui subsir al lui f−1k k∈N) si din local uni-

form marginirea sirului f−1k k∈N pe G. Pe de alta parte, deoarece familia

f−1k k≥k′′0 (k′′0 suficient de larg) este local uniform marginita pe Ω, deducem

din Teorema lui Montel ca exista un subsir al sirului f−1k k∈N ce converge

uniform pe compacte ın Ω la o functie h cu proprietatea ca h|G = f−1, deci hnu este constanta. Pe baza Teoremei lui Hurwitz rezulta ca h este univalentape Ω. De aici se obtine imediat ca h(Ω) = U . Cum G este un domeniu dinC si G ⊂ Ω, deducem din Teorema identitatii functiilor olomorfe ca h ≡ f−1.Insa aceasta egalitate atrage faptul ca Ω = G. Prin urmare nucleul siruluiΩkk∈N coincide cu f(U).

Pe de alta parte, deoarece orice subsir fkpp∈N al sirului fkk∈N con-verge uniform pe compacte ın U la functia f , deducem din argumentele prece-dente ca subsirul corespunzator Ωkpp∈N are acelasi nucleu Ω. Deci Ωk → Ω.Demonstratia necesitatii este ıncheiata.

Suficienta. Presupunem acum ca Ωk → Ω 6= C. Aratam mai ıntai ca sirulfkk∈N este uniform convergent pe compacte ın U . Pentru aceasta analizamurmatoarele situatii:

Cazul 1. Ω = 0. In acest caz aratam ca fk → 0 uniform pe compacte ınU . Observam mai ıntai ca αk → 0, k →∞. In caz contrar, ar exista µ > 0 siun subsir αkpp∈N al sirului αkk∈N astfel ıncat αkp ≥ µ, p ∈ N. Dar fkp/αkp

fiind o functie din clasa S, rezulta din Teorema 4.2.7 ca fkp(U) ⊇ Uµ/4, p ∈ N.Deci sirul Ωkpp∈N nu poate converge ın nucleu la 0. Aceasta contradictieimplica faptul ca fk → 0 uniform pe compacte ın U .

Cazul 2. Presupunem ca Ω 6= 0. Din ipoteza avem ca Ω 6= C. Aratamca sirul αkk∈N este marginit. In caz contrar, exista un subsir αkpp∈Nastfel ıncat αkp ≥ p, p ∈ N. Rationand ca ın cazul precedent, obtinem caΩkp = fkp(U) ⊇ Up/4, p ∈ N. Deci Ωkp → C. Cum Ω 6= C, am obtinut ocontradictie. Prin urmare αkk∈N este marginit, deci exista L > 0 astfel caαk ≤ L, k ∈ N. Din Teorema 4.2.10 si faptul ca fk/αk ∈ S, deducem ca

|fk(z)| ≤ αk|z|

(1− |z|)2 ≤ L|z|

(1− |z|)2 , z ∈ U, k ∈ N.

Prin urmare, sirul fkk∈N este local uniform marginit ın U , iar din Teo-rema lui Montel, exista un subsir fkmm∈N al sirului fkk∈N convergentuniform pe compacte la o functie f olomorfa pe U . Cum fkmm∈N este unsir de functii univalente, limita f este constanta sau univalenta pe U . Dacaf ≡ 0, atunci acelasi rationament din Cazul I al necesitatii implica faptul


ca Ω = 0, ceea ce este imposibil. Deci f este univalenta pe U . Deoarecefkm → f uniform pe compacte ın U , deducem din demonstratia necesitatii(aplicata sirului fkmm∈N) ca f(U) coincide cu nucleul sirului Ωkmm∈N,adica cu Ω, deoarece orice subsir al sirului Ωkk∈N are acelasi nucleu Ω. Pebaza demonstratiei necesitatii, f−1

km→ f−1 uniform pe compacte ın Ω.

Aratam acum ca fk → f uniform pe compacte ın U . Pentru aceasta esuficient sa demonstram ca sirul fkk∈N converge punctual la f ın disculunitate, ın conformitate cu Teorema lui Vitali (Teorema 3.2.10) si cu faptulca fkk∈N este local uniform marginit.

Presupunem prin absurd ca exista z0 ∈ U astfel ıncat fk(z0)k∈N esteun sir divergent. Deoarece acest sir este marginit, deducem ca exista douasubsiruri fk′p(z0)p∈N si fk′′p (z0)p∈N ale sirului fk(z0)k∈N, astfel ıncatfk′p(z0) → w′0, fk′′p (z0) → w′′0 si w′0 6= w′′0 . Din fiecare sir local uniform marginitfk′pp∈N si fk′′p p∈N putem extrage cate un subsir, notat pentru simplitatetot cu fk′pp∈N si fk′′p p∈N, astfel ıncat fk′p → g si fk′′p → h uniform pecompacte ın U , unde g si h sunt functii univalente pe U , cu proprietatea cag(0) = h(0) = 0 si g′(0) = lim

p→∞αk′p > 0, h′(0) = limp→∞αk′′p > 0. Cum Ωk′p → Ω

si Ωk′′p → Ω, deducem cu aceleasi argumente ca mai sus ca g(U) = Ω = h(U).Atunci functia univalenta s = g h−1 satisface conditiile din Lema lui Sch-warz, deci |s(w)| ≤ |w|, w ∈ U . Cum si functia inversa s−1 satisface aceleasiconditii, deducem ca |s−1(z)| ≤ |z|, z ∈ U , adica

|s(w)| = |w|, w ∈ U.

Aplicand din nou Lema lui Schwarz, deducem ca exista λ ∈ C, |λ| = 1,astfel ıncat s(w) = λw, w ∈ U . Pe de alta parte, deoarece s′(0) = g′(0)/h′(0) >0, rezulta ca λ = 1, deci g(z) = h(z), z ∈ U . Insa g(z0) = w′0 6= w′′0 = h(z0).Aceasta contradictie implica faptul ca sirul fkk∈N converge punctual pe U .Demonstratia suficientei este ıncheiata. ¤

In finalul acestei sectiuni mentionam urmatoarele exemple:

Exemplul 4.3.5 Fie functia fk : U → C data de fk(z) =4z

k(1− z)2, z ∈ U ,

k ∈ N. Din Exemplul 4.1.3 deducem ca fk este univalenta pe U si fk(U) = Ωk,unde Ωk = C \ w ∈ C : Re w ≤ −1/k, Im w = 0, k ∈ N (a se vedea Figura4.12). In plus, fk(0) = 0 si f ′k(0) = 4/k > 0, k ∈ N.

Atunci limk→∞

fk(z) = 0 uniform pe compacte ın U iar Ωk → 0 ın sensul

convergentei ın nucleu.


Figura 4.12: Imaginea discului unitate prin functia fk

Exemplul 4.3.6 Fie Fk(z) =2z

k(1− z2), z ∈ U , k ∈ N. Se observa imediat

ca Fk este univalenta pe U , Fk(0) = 0, F ′k(0) = 2/k > 0 si Fk(U) = Ωk unde

Ωk = C\Ak, iar Ak = w ∈ C : Re w = 0, Im w ≤ −1/k∪w ∈ C : Re w =0, Im w ≥ 1/k, k ∈ N (a se vedea Figura 4.13). In acest caz, lim

k→∞Fk(z) = 0

uniform pe compacte ın U si Ωk → 0.

Figura 4.13: Imaginea discului unitate prin functia Fk(z) =2z

k(1− z2)

Observatia 4.3.7 Teorema lui Caratheodory are diverse aplicatii ın teoriafunctiilor univalente. Astfel, se poate arata ca orice functie f din clasa S sepoate aproxima cu un sir fkk∈N de functii univalente cu o taietura, ın sensulca fk → f uniform pe compacte ın U , iar fiecare functie fk satisface conditiile:fk ∈ S si fk(U) = C \ Γk, unde Γk este un arc Jordan care tinde la ∞. Acestrezultat de aproximare este extrem de util ın studiul lanturilor de subordonare

4.4. Metrica hiperbolica pe discul unitate. Aplicatii 153

diferentiala (lanturi Loewner). Pentru detalii se pot consulta lucrarile [Gol],[Dur1], [Pom], [Gr-Ko], [Mo-Bu-Sa].

Probleme

Problema 4.3.1 Sa se demonstreze afirmatiile din Exemplul 4.3.3.

Problema 4.3.2 Completati detaliile din demonstratia Teoremei 4.3.4.

Problema 4.3.3 Sa se dea exemplu de un sir de domenii din C care nu con-verge ın nucleu.

4.4 Metrica hiperbolica pe discul unitate. Aplicatii

In continuare vom prezenta o conditie necesara si suficienta de univalentape discul unitate. Pentru aceasta avem nevoie de cateva rezultate referitoarela metrica hiperbolica pe U . Mai ıntai prezentam o versiune mai generala aLemei lui Schwarz, cunoscuta sub numele de Lema Schwarz-Pick.

Lema 4.4.1 Daca f : U → U este o functie olomorfa atunci

(4.4.1)

∣∣∣∣∣f(z1)− f(z2)1− f(z1)f(z2)

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣

z1 − z2

1− z1z2

∣∣∣∣ , z1, z2 ∈ U,

si

(4.4.2) |f ′(z)| ≤ 1− |f(z)|21− |z|2 , z ∈ U.

Daca f ∈ Hu(U) si f(U) = U atunci are loc egalitate ın (4.4.1) pentru oricez1, z2 ∈ U si ın (4.4.2) pentru orice z ∈ U . In plus, daca are loc egalitatea ın(4.4.1) pentru o pereche (z1, z2) ∈ U × U cu z1 6= z2, sau are loc egalitatea ın(4.4.2) pentru un punct z ∈ U , atunci f este univalenta pe U si f(U) = U .

Demonstratie. Consideram z1 ∈ U fixat si functiile g, h : U → U date de

g(z) =z + z1

1 + z1z, z ∈ U,

si

h(w) =w − w1

1− w1w, w ∈ U,


unde w1 = f(z1). Atunci g si h sunt functii univalente pe U , g(U) = h(U) = U .Fie λ : U → C, λ = hfg. Atunci λ este o functie univalenta pe U , λ(0) = 0 siλ(U) ⊆ U . Din Lema lui Schwarz rezulta ca |λ(z)| ≤ |z|, z ∈ U , si |λ′(0)| ≤ 1.Conditia |λ(z)| ≤ |z| este echivalenta cu

∣∣∣∣∣(f g)(z)− (f g)(0)1− (f g)(0)(f g)(z)

∣∣∣∣∣ ≤ |z|, z ∈ U.

Cum g(U) = U si g este univalenta pe U , inegalitatea precedenta conduceimediat la (4.4.1). Pe de alta parte, relatia |λ′(0)| ≤ 1 este echivalenta cu(4.4.2).

Sa presupunem acum ca f ∈ Hu(U) si f(U) = U . Pe baza relatiilor (4.4.1)si (4.4.2) aplicate functiilor f si f−1, obtinem ca

∣∣∣∣z1 − z2

1− z1z2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣f−1(f(z1))− f−1(f(z2))

1− f−1(f(z1))f−1(f(z2))

∣∣∣∣∣

≤∣∣∣∣∣

f(z1)− f(z2)1− f(z1)f(z2)

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣

z1 − z2

1− z1z2

∣∣∣∣ , z1, z2 ∈ U,

si1

1− |z|2 =|(f−1 f)′(z)|

1− |f−1(f(z))|2 =|(f−1)′(f(z))f ′(z)|1− |f−1(f(z))|2

≤ 1− |f−1(f(z))|21− |f(z)|2 · 1− |f(z)|2

1− |z|2 · 11− |z|2 =

11− |z|2 , z ∈ U.

Deci am obtinut egalitate ın (4.4.1) pentru orice pereche (z1, z2) ∈ U × U ,respectiv ın (4.4.2) pentru orice z ∈ U .

Invers, daca are loc egalitatea ın (4.4.1) pentru o pereche (z1, z2) ∈ U ×Ucu z1 6= z2, sau daca are loc egalitatea ın (4.4.2) pentru un punct z ∈ U ,atunci un calcul elementar, bazat pe aceleasi argumente ca mai sus, conducela concluzia ca |λ(ζ)| = |ζ| pentru un punct ζ ∈ U , sau |λ′(0)| = 1. DinLema lui Schwarz rezulta ca exista c ∈ C astfel ıncat λ(z) = cz, z ∈ U . Deci(h f g)(z) = cz, z ∈ U , iar din univalenta functiilor g si h si din faptul cag si h transforma discul unitate tot ın discul unitate, deducem ca f ∈ Hu(U)si f(U) = U . Demonstratia este ıncheiata. ¤

Introducem acum functia dh : U × U → [0,∞),

(4.4.3) dh(a, b) = arctanh∣∣∣∣

a− b

1− ab

∣∣∣∣ , a, b ∈ U.


Se verifica imediat ca

(4.4.4) dh(a, b) =12

ln

1 +∣∣∣ a− b

1− ab

∣∣∣

1−∣∣∣ a− b

1− ab

∣∣∣

, a, b ∈ U.

Functia dh se numeste metrica hiperbolica sau metrica Poincare a disculuiunitate. De fapt, dh este o metrica veritabila, asa dupa cum arata

Lema 4.4.2 Functia dh este o metrica pe U , care genereaza o topologie echi-valenta cu topologia naturala.

Demonstratie. Este evident ca dh(a, b) ≥ 0 si dh(a, b) = dh(b, a). De aseme-nea, se observa ca dh(a, b) < ∞, deoarece

∣∣∣∣a− b

1− ab

∣∣∣∣ < 1, a, b ∈ U.

Aratam acum ca dh satisface inegalitatea triunghiului. In acest sens demon-stram mai ıntai ca daca

ρ(z, w) =|z − w||1− zw| , z, w ∈ U,

atunci au loc relatiile:

(4.4.5) ρ(z1, z2) ≤ |z1|+ |z2|1 + |z1||z2| , z1, z2 ∈ U,

si

(4.4.6) |f(z)| ≤ ρ(z, w) + |f(w)|1 + ρ(z, w)|f(w)| , z, w ∈ U,

pentru orice f ∈ H(U) cu f(U) ⊆ U .Lasam inegalitatea (4.4.5) pe seama cititorului. Pentru a arata inegalitatea

(4.4.6), fie f ∈ H(U) cu f(U) ⊆ U , si fie z, w ∈ U . Notam cu w1 = f(w) siw2 = (w1 − f(z))/(1 − w1f(z)). Cum f(U) ⊆ U avem ca w1, w2 ∈ U . Din(4.4.5) rezulta ca

(4.4.7) |f(z)| =∣∣∣∣

w1 − w2

1− w1w2

∣∣∣∣ = ρ(w1, w2) ≤ |w1|+ |w2|1 + |w1||w2| .


Pe de alta parte, din (4.4.1) obtinem ca

|w2| ≤∣∣∣∣

z − w

1− zw

∣∣∣∣ = ρ(z, w).

Combinand relatia precedenta cu (4.4.7), deducem pe (4.4.6).In continuare, alegem c ∈ U , z = a ∈ U , w = b ∈ U , si f(ζ) = (ζ − c)/(1−

cζ), |ζ| < 1, ın inegalitatea (4.4.6). Deoarece |f(ζ)| = ρ(ζ, c), ζ ∈ U , deducemdin (4.4.6) ca

ρ(a, c) ≤ ρ(a, b) + ρ(b, c)1 + ρ(a, b)ρ(b, c)

.

Pe baza inegalitatii precedente obtinem ca

1 + ρ(a, c)1− ρ(a, c)

≤[1 +

ρ(a, b) + ρ(b, c)1 + ρ(a, b)ρ(b, c)

]:[1− ρ(a, b) + ρ(b, c)

1 + ρ(a, b)ρ(b, c)

]

=1 + ρ(a, b)1− ρ(a, b)

· 1 + ρ(b, c)1− ρ(b, c)

.

De aici rezulta ca

12

ln[1 + ρ(a, c)1− ρ(a, c)

]≤ 1

2ln

[1 + ρ(a, b)1− ρ(a, b)

]+

12

ln[1 + ρ(b, c)1− ρ(b, c)

],

decidh(a, c) ≤ dh(a, b) + dh(b, c), a, b, c ∈ U.

Prin urmare dh este o metrica pe U .Aratam ın final ca metricile dh si d genereaza topologii echivalente pe

U , unde d(z, w) = |z − w| este metrica euclidiana pe C. Intr-adevar, dacazkk∈N ⊂ U si z ∈ U astfel ıncat d(zk, z) → 0, atunci

ρ(zk, z) =∣∣∣ zk − z

1− zzk

∣∣∣ ≤ |zk − z|1− |z| → 0.

De aici rezulta imediat ca dh(zk, z) → 0, k →∞.Pe de alta parte, daca wkk∈N ⊂ U si w ∈ U astfel ca dh(wk, w) → 0,

atunci este evident ca ρ(wk, w) → 0. Dar

|wk − w| = |1− wkw|ρ(wk, w) ≤ 2ρ(wk, w) → 0,

deci d(wk, w) → 0, k →∞.In concluzie, metricile d si dh sunt echivalente. ¤


Observatia 4.4.3 (i) Pe baza Lemei 4.4.1 rezulta ca

dh(f(a), f(b)) ≤ dh(a, b), a, b ∈ U, ∀f ∈ H(U) cu f(U) ⊆ U.

De asemenea, are loc egalitatea ın inegalitatea precedenta daca si numai daca feste un automorfism conform al discului unitate, adica f ∈ Hu(U) si f(U) = U .Cu alte cuvine, metrica hiperbolica pe U este invarianta fata de automorfismeleconforme ale discului unitate.

(ii) Lasam pe seama cititorului sa arate ca spatiul metric (U, dh) este com-plet.

Mentionam ca acest spatiu se numeste planul hiperbolic.Pentru mai multe detalii referitoare la metrica hiperbolica pe discul unitate

se pot consulta lucrarile [Din] si [Gas-Su].

In continuare prezentam o versiune a Teoremei 4.2.10, obtinuta de Kim siMinda [Ki-Mi]. Acest rezultat stabileste o conditie necesara si suficienta deunivalenta pentru functii olomorfe pe discul unitate U . In acest scop, dacaf ∈ H(U) notam cu

Df(z) = (1− |z|2)f ′(z), z ∈ U.

Teorema 4.4.4 Daca f : U → C este o functie univalenta si a, b ∈ U , atunci

(4.4.8) |f(a)− f(b)| ≥ sinh(2dh(a, b))2e2dh(a,b)

max|Df(a)|, |Df(b)|.

Reciproc, daca f este o functie olomorfa neconstanta pe U , care satisface in-egalitatea (4.4.8), atunci f este univalanta pe U .

Demonstratie. (i) Presupunem ca f este univalenta pe U . Fie g(z) = (z +a)/(1 + az), z ∈ U . Functia g este univalenta pe U si g(U) = U . Consideramfunctia λ : U → C data de

λ(z) =(f g)(z)− (f g)(0)

(f g)′(0)=

f( z + a

1 + az

)− f(a)

(1− |a|2)f ′(a), z ∈ U.

Atunci λ ∈ S iar din Teorema 4.2.10 deducem ca

|λ(z)| ≥ |z|(1 + |z|)2 , z ∈ U.

Un calcul elementar conduce la egalitatea

|z|(1 + |z|)2 =

sinh(2dh(0, z))2e2dh(0,z)

, z ∈ U.


Deci

(4.4.9) |λ(z)| ≥ sinh(2dh(0, z))2e2dh(0,z)

, z ∈ U.

Cum metrica hiperbolica este invarianta fata de automorfismele discului uni-tate, urmeaza ca

dh(0, z) = dh(g(0), g(z)), z ∈ U.

Alegem z ∈ U astfel ıncat g(z) = b, adica z = (b − a)/(1 − ab). Atuncidh(0, z) = dh(a, b) iar din (4.4.9) obtinem ca

∣∣∣λ( b− a

1− ab

)∣∣∣ ≥ sinh(2dh(a, b))2e2dh(a,b)

.

Deci

|f(b)− f(a)| ≥ sinh(2dh(a, b))2e2dh(a,b)

(1− |a|2)|f ′(a)|.

Schimband pe a cu b ın inegalitatea precedenta, deducem relatia (4.4.8).(ii) Admitem acum ca f este o functie olomorfa neconstanta pe U , care

satisface (4.4.8). Aratam ca f este injectiva pe U . Presupunem ca exista douapuncte distincte a, b ∈ U astfel ıncat f(a) = f(b). Din inegalitatea (4.4.8)deducem ca f ′(a) = f ′(b) = 0, deci f nu este univalenta pe nici o vecinatatea punctului a, respectiv b (a se vedea Teorema 4.1.14). Atunci exista douasiruri ckk∈N si dkk∈N de puncte distincte ın U astfel ıncat lim

k→∞ck = a,

limk→∞

dk = a si f(ck) = f(dk), k ∈ N. Pe baza inegalitatii (4.4.8) obtinem ca

|f(ck)− f(dk)| ≥ sinh(2dh(ck, dk))2e2dh(ck,dk)

max|Df(ck)|, |Df(dk)|, k ∈ N.

Deci f ′(ck) = f ′(dk) = 0, k ∈ N, iar din Teorema zerourilor functiilor olomorferezulta ca f este constanta. Am obtinut o contradictie cu ipoteza. ¤

Probleme

Problema 4.4.1 Sa se completeze detaliile din demonstratiile Lemelor 4.4.1si 4.4.2.


Problema 4.4.3 Fie Π = z ∈ C : Im z > 0 si f : Π → Π o functieolomorfa. Sa se arate ca au loc relatiile:


∣∣∣∣∣f(z1)− f(z2)f(z1)− f(z2)

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣z1 − z2

z1 − z2

∣∣∣∣ , z1, z2 ∈ Π,

|f ′(z)| ≤ Im f(z)Im z

, z ∈ Π.

In plus, are loc egalitatea ın cea de-a doua inegalitate daca si numai daca feste restrictia la Π a unei transformari omografice.

Problema 4.4.4 Fie f : U(0; r) → U(0; ρ) o functie olomorfa si z1, z2 ∈U(0; r). Sa se arate ca

∣∣∣∣∣ρ(f(z1)− f(z2))ρ2 − f(z1)f(z2)

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣r(z1 − z2)r2 − z1z2

∣∣∣∣ .

Observatia 4.4.5 Pentru detalii suplimentare referitoare la acest capitol re-comandam lucrarile [Ha-Mo-Ne], [Dur1], [Pom], [Mo-Bu-Sa], [Gas-Su], [Gr-Ko], [Ber-Ga].

Capitolul 5

Reprezentari Conforme

In acest capitol vom demonstra ca orice domeniu simplu conex din planulcomplex, care nu coincide cu C, se poate reprezenta conform pe discul unitate.Acest rezultat fundamental, datorat lui B. Riemann, implica faptul ca oricaredoua domenii simplu conexe din C, diferite de C, sunt conform echivalente. Pede alta parte, ıntreg planul complex C, desi este omeomorf cu discul unitate,nu se poate reprezenta conform pe acest disc. Prin urmare multimea tuturordomeniilor simplu conexe din C, se ımparte ın exact doua clase distincte deechivalenta (C si clasa tuturor domeniilor simplu conexe diferite de C). Deasemenea, vom studia comportamentul automorfismelor conforme ın cazul co-roanelor circulare. Vom arata ca sirul iteratiilor asociat unei functii olomorfepe un domeniu marginit are un rol esential ın stabilirea unor proprietati pri-vind structura automorfismelor conforme ale respectivului domeniu.

5.1 Domenii simplu conexe si reprezentariconforme

In aceasta sectiune vom prezenta un rezultat fundamental din teoria repre-zentarilor conforme, anume Teorema lui Riemann, si vom determina structuraautomorfismelor conforme ale unor domenii simplu conexe clasice (disc, semi-plan, ıntreg planul complex).

5.1.1 Teorema fundamentala a reprezentarilor conforme

Reamintim ca un domeniu Ω din C este simplu conex daca orice drumınchis γ din Ω este omotop cu zero ın Ω. Pe domeniile simplu conexe din Cfunctiile olomorfe admit primitive, iar daca g este o functie olomorfa pe un

161

162 5. Reprezentari Conforme

astfel de domeniu Ω, g(z) 6= 0, z ∈ Ω, atunci exista f ∈ H(Ω) cu proprietateaca ef ≡ g, pe baza Teoremei ramurilor uniforme pentru aplicatia logaritmica.Aceste idei vor fi utile ın demonstrarea Teoremei lui Riemann de conformechivalenta a domeniilor simplu conexe.

Definitia 5.1.1 Fie Ω1 si Ω2 doua domenii ın C si f : Ω1 → Ω2. Functia f senumeste reprezentare conforma daca f este univalenta pe Ω1 si f(Ω1) = Ω2.In acest caz domeniile Ω1 si Ω2 se numesc conform echivalente.

Notiunea de reprezentare conforma se poate extinde si ın cazul domeniilordin C∞. Astfel, daca Ω si ∆ sunt domenii din C∞, atunci functia f : Ω → ∆este o reprezentare conforma a domeniului Ω pe ∆ daca f este o bijectie de laΩ pe ∆, este olomorfa pe Ω \ ∞, f−1(∞) si este continua ın ∞ si f−1(∞),daca punctele (unul din ele) ∞ si f−1(∞) apartin domeniului Ω. In acest caz,spunem ca Ω si ∆ sunt conform echivalente.

Daca Ω1 = Ω2 iar f este o reprezentare conforma a domeniului Ω1 pe elınsusi, atunci functia f se numeste automorfism conform al domeniului Ω1. FieAut(Ω1) multimea automorfismelor conforme ale domeniului Ω1. Se observaimediat ca ın raport cu operatia obisnuita de compunere a functiilor, Aut(Ω)este un grup, numit si grupul conform al domeniului Ω.

Vom determina structurile grupurilor conforme Aut(U), Aut(Π), unde Πeste semiplanul superior, respectiv Aut(C).

Observatia 5.1.2 (i) Daca Ω1 ⊂ C este un domeniu simplu conex conformechivalent cu un domeniu Ω2 ⊂ C, atunci Ω2 este tot un domeniu simpluconex.

Intr-adevar, daca f este o reprezentare conforma a lui Ω1 pe Ω2, atuncif ∈ Hu(Ω1) si Ω2 = f(Ω1). Din Teorema 4.1.18 rezulta ca Ω2 este domeniusimplu conex.

Asadar, un domeniu simplu conex ın C nu poate fi conform echivalent cuun domeniu multiplu conex ın C.

(ii) C si discul unitate U sunt omeomorfe, dar nu sunt conform echivalente.Intr-adevar, functia g : C → U , g(z) = z/

√1 + |z|2 este un omeomorfism

al lui C pe discul unitate U . Inversa sa este functia h(w) = w/√

1− |w|2,w ∈ U . Daca ar exista o reprezentare conforma f a lui C pe U , atunci, pe deo parte, f ar fi univalenta pe C, si, pe de alta parte, f ar fi marginita, deciconstanta, pe baza Teoremei lui Liouville. Aceasta contradictie arata faptulca C si U nu sunt conform echivalente.

(iii) Daca f este o reprezentare conforma a domeniului Ω1 pe domeniul Ω2,atunci f−1 este o reprezentare conforma a domeniului Ω2 pe Ω1.

5.1. Domenii simplu conexe si reprezentari conforme 163

(iv) Daca Ω si ∆ sunt domenii conform echivalente, iar f este o reprezentareconforma a lui Ω pe ∆, atunci orice alta reprezentare conforma g a domeniuluiΩ pe ∆ este data de g = h f unde h ∈ Aut(∆).

Prezentam cateva exemple de reprezentari conforme.

Exemplul 5.1.3 (i) Fie Ω1 = z ∈ C : |Im z| < π si Ω2 = C \ w ∈ C :Re w ≤ 0, Im w = 0. Functia f(z) = ez este univalenta pe Ω1 si f(Ω1) = Ω2,deci f este o reprezentare conforma a domeniului Ω1 pe Ω2.

(ii) Domeniile Ω = z ∈ C : 0 < Im z < 2π si ∆ = C \ w ∈ C :Re w ≥ 0, Im w = 0 sunt conform echivalente, functia exponentiala fiind oreprezentare conforma a domeniului Ω pe ∆.

(iii) Fie Ω1 = C\(−∞, 0] si Ω2 = w ∈ C : Re w > 0. Daca f este ramuraprincipala a aplicatiei multivoce radical (deci f(z) = e

12

log z, z ∈ Ω1, unde logeste ramura principala a aplicatiei multivoce Log), atunci f este univalenta peΩ1 si f(Ω1) = Ω2 (a se vedea Figura 5.1). Deci domeniile simplu conexe Ω1 siΩ2 sunt conform echivalente, iar functia f−1(w) = w2 reprezinta conform peΩ2 ın Ω1.

Figura 5.1: Imaginea domeniului Ω1 prin functia f(z) =√

z

(iv) Fie Ω = z ∈ C : |Re z| < π/2 si ∆ = C \ ((−∞,−1] ∪ [1,∞)).Functia f(z) = sin z este univalenta pe Ω si f(Ω) = ∆, deci Ω si ∆ suntdomenii conform echivalente.

(v) Discul unitate U si semiplanul drept ∆ = w ∈ C : Re w > 0 sunt

domenii conform echivalente, deoarece functia f(z) =1 + z

1− zeste o reprezentare

conforma a lui U pe ∆ (a se vedea Figura 5.2).

(vi) Functia omografica f(z) = eiθ z − z0

1− z0z, unde θ ∈ R, |z0| < 1, este un

automorfism conform al discului unitate U . De fapt, vom arata ca grupul


Figura 5.2: Imaginea discului unitate prin functia f(z) = 1+z1−z .

conform Aut(U) este format exact din transformarile omografice de acest tip(a se vedea Teorema 5.1.8).

In cele ce urmeaza vom demonstra existenta reprezentarilor conforme aledomeniilor simplu conexe din C, diferite de C, pe discul unitate. Pentruaceasta avem nevoie de urmatorul rezultat pregatitor:

Lema 5.1.4 Daca Ω este un domeniu simplu conex din C, Ω 6= C, si a ∈ Ω,atunci exista o functie f astfel ıncat f ∈ Hu(Ω), f(a) = 0 si f(Ω) ⊆ U .

Demonstratie. Deoarece Ω 6= C exista b ∈ C \ Ω. Pe de alta parte, Ω esteun domeniu simplu conex iar functia g : Ω → C, data de g(z) = z − b, esteolomorfa pe Ω si g(z) 6= 0, z ∈ Ω. Din Teorema ramurilor uniforme pentruaplicatia putere de exponent 1/2 (Teorema 2.1.7) deducem ca exista o functieh olomorfa pe Ω astfel ıncat [h(z)]2 = g(z), z ∈ Ω. Se observa imediat ca heste functie univalenta pe Ω. Intr-adevar, daca z1, z2 ∈ Ω si h(z1) = h(z2),implica g(z1) = g(z2), deci z1 = z2. Cum h este univalenta, urmeaza cah 6≡ constanta, deci h(Ω) este un domeniu, pe baza Teoremei de invarianta adomeniului (Teorema 2.5.1). In particular, h(Ω) este deschisa si exista ρ > 0astfel ıncat U(h(a); ρ) ⊆ h(Ω). Aratam ca

U(−h(a); ρ) ∩ h(Ω) = ∅.

In caz contrar, exista z0 ∈ Ω astfel ıncat h(z0) ∈ U(−h(a); ρ). Rezultaca −h(z0) ∈ U(h(a); ρ) ⊆ h(Ω), deci exista z1 ∈ Ω astfel ca −h(z0) = h(z1).Atunci

[h(z0)]2 = [h(z1)]2 ⇔ g(z0) = g(z1) ⇔ z0 = z1.


Deci h(z0) = 0, adica z0 = b. Cum b 6∈ Ω, am obtinut o contradictie.Asadar U(−h(a); ρ) si h(Ω) sunt multimi disjuncte, deci

(5.1.1) |h(z) + h(a)| ≥ ρ, z ∈ Ω.

Fie acum functia p : Ω → C data de

p(z) =ρ

h(z) + h(a), z ∈ Ω.

Atunci p este olomorfa pe Ω, iar din (5.1.1) rezulta ca |p(z)| ≤ 1, z ∈ Ω.Din univalenta functiei h pe Ω obtinem ca p este de asemenea univalentape Ω, deci neconstanta, iar din Teorema maximului modulului pentru functiiolomorfe rezulta ca |p(z)| < 1, z ∈ Ω.

Fie q(w) =w − p(a)1− p(a)w

, w ∈ U . Atunci q este un automorfism conform al

discului unitate, iar daca consideram functia f = q p, deducem ca f esteunivalenta pe Ω, f(a) = 0 si f(Ω) = q(p(Ω)) ⊆ q(U) = U . Demonstratia esteıncheiata. ¤

Acum putem demonstra rezultatul fundamental al aceastei sectiuni:

Teorema 5.1.5 (Teorema lui Riemann) Fie Ω un domeniu simplu conex dinC astfel ıncat Ω 6= C. Atunci Ω si discul unitate U sunt conform echivalente.

Demonstratie. Fie a ∈ Ω fixat. Consideram multimea

(5.1.2) M = f : Ω → C : f ∈ Hu(Ω), f(a) = 0, f(Ω) ⊆ U.Pe baza Lemei 5.1.4 deducem ca M 6= ∅. Aratam ca

• Exista o functie g ∈M astfel ıncat

|g′(a)| = max|f ′(a)| : f ∈M.• Functia g reprezinta conform domeniul Ω pe discul unitate U .Etapa I. Fie

(5.1.3) A = sup|f ′(a)| : f ∈M.Deoarece M este o submultime a lui Hu(Ω), deducem ca f ′(a) 6= 0 pentru

orice f ∈ M, deci A > 0. Cum f(Ω) ⊆ U , pentru orice f ∈ M, urmeazaca M este o submultime (local) uniform marginita a lui H(Ω), deci relativcompacta, pe baza Teoremei lui Montel. Pe de alta parte, din Lema 3.2.7rezulta ca si multimea

N = f ′ : f ∈M


este local uniform marginita. Prin urmare A < +∞. Mai mult, din relatia(5.1.3), deducem ca exista un sir fkk∈N ⊂ M astfel ıncat lim

k→∞|f ′k(a)| = A.

Deoarece M este compacta si fkk∈N ⊂ M, deducem ca exista un subsirfkpp∈N al sirului fkk∈N convergent uniform pe compacte ın Ω la o functieg. Pe baza Teoremei lui Weierstrass rezulta ca g ∈ H(Ω) si

f ′kp(a) → g′(a), p →∞,

deci |g′(a)| = A. Deoarece fkp(a) = 0 rezulta ca g(a) = 0. Cum A > 0,urmeaza ca g 6≡ 0, iar din Teorema lui Hurwitz si din faptul ca fkpp∈N esteun sir de functii univalente pe Ω, obtinem ca g ∈ Hu(Ω).

Pe de alta parte, g(Ω) ⊆ U . Intr-adevar, din inegalitatea |fkp(z)| < 1, z ∈Ω, deducem ca |g(z)| = lim

p→∞ |fkp(z)| ≤ 1, z ∈ Ω, iar din Teorema maximului

modulului pentru functii olomorfe si din faptul ca g nu este constanta, deducemca |g(z)| < 1, z ∈ Ω.

Asadar, am aratat ca g ∈M si ca |g′(a)| = A, deci

(5.1.4) |g′(a)| = max|f ′(a)| : f ∈M.Etapa II. In continuare demonstram ca functia g este o reprezentare con-

forma a domeniului Ω pe discul unitate. Pentru aceasta e suficient sa aratamca g(Ω) = U .

Din etapa precedenta stim ca g ∈ Hu(Ω) si g(Ω) ⊆ U . Daca g(Ω) 6= Uatunci exista w0 ∈ U \ g(Ω). Fie functia omografica h data de

h(w) =w − w0

1− w0w, w ∈ U.

Avem ca h ∈ Aut(U), iar daca consideram functia p = h g, deducemca p ∈ Hu(Ω) si p(Ω) ⊆ U . Pe de alta parte, deoarece w0 6∈ g(Ω), rezultaca p(z) 6= 0, z ∈ Ω, iar din Teorema ramurilor uniforme pentru aplicatiaputere de exponent 1/2, deducem ca exista o functie q ∈ H(Ω) astfel ıncat[q(z)]2 = p(z), z ∈ Ω. Se observa imediat ca q este univalenta pe Ω. Intr-adevar, daca z1, z2 ∈ Ω astfel ıncat q(z1) = q(z2), atunci p(z1) = p(z2), adicaz1 = z2 ın conformitate cu injectivitatea functiei p. Pe de alta parte, |q(z)| < 1,z ∈ Ω, iar un calcul elementar conduce la relatia

(5.1.5) |q′(a)| = 1− |w0|22√|w0|

A.

Consideram acum functia r : U → U data de relatia

r(w) =w − q(a)1− q(a)w

, w ∈ U.


Atunci r ∈ Aut(U) si r(q(a)) = 0. Fie s = r q. Atunci s ∈ Hu(Ω),s(a) = 0 si s(Ω) ⊆ r(U) = U , deci q ∈M. Din (5.1.4) rezulta ca

(5.1.6) |s′(a)| ≤ |g′(a)| = A.

Pe de alta parte, |q(a)|2 = |p(a)| = |w0| si

s′(a) = r′(q(a))q′(a) =q′(a)

1− |q(a)|2 .

Din (5.1.5) si relatiile precedente obtinem ca

|s′(a)| = 1− |w0|22√|w0|

· A

1− |w0| =1 + |w0|2√|w0|

A > A.

Am obtinut o contradictie cu (5.1.6). In concluzie, g(Ω) = U . Demonstratiaeste completa. ¤

Din Teorema lui Riemann obtinem urmatoarea proprietate remarcabila adomeniilor simplu conexe din C:

Corolarul 5.1.6 Orice doua domenii simplu conexe din C, diferite de C, suntconform echivalente.

Demonstratie. Fie Ω1 si Ω2 domenii simplu conexe, Ωj 6= C, j = 1, 2.Atunci exista o reprezentare conforma fj a domeniului Ωj pe U , j = 1, 2, decif = f−1

2 f1 este o reprezentare conforma a lui Ω1 pe Ω2. ¤

Observatia 5.1.7 (i) Se deduce imediat ca relatia de conformitate este orelatie de echivalenta, iar din Corolarul 5.1.6 rezulta ca multimea tuturordomeniilor simplu conexe din planul complex poate fi ımpartita, ın raport cuaceasta relatie de echivalenta, ın doua clase: o clasa este formata numai dinC, iar cealalta clasa este formata din toate domeniile simplu conexe din C,diferite de C.

(ii) Fie Ω un domeniu simplu conex marginit ın C cu frontiera un con-tur Jordan. Daca f este o reprezentare conforma a lui Ω pe U , atunci sepoate arata ca exista un omeomorfism F a lui Ω pe U astfel ca F |Ω = f .Demonstratia acestui rezultat fundamental poate fi consultata ın [Rud] si[Wen].


5.1.2 Automorfisme si reprezentari conforme ale domeniilorsimplu conexe ın C

In cele ce urmeaza vom determina grupul conform al discului unitate.

Teorema 5.1.8 Functia f : U → C este un automorfism conform al disculuiunitate daca si numai daca exista a ∈ U si θ ∈ R astfel ıncat

(5.1.7) f(z) = eiθ z − a

1− az, z ∈ U.

Demonstratie. Aratam mai ıntai ca daca f este o functie omografica, definitade egalitatea (5.1.7), atunci f ∈ Aut(U). Daca a = 0 atunci f(z) = eiθz, decif ∈ Aut(U). Admitem ca a 6= 0. Atunci functia ga(z) = (z − a)/(1 − az)este univalenta pe U , deci neconstanta, este olomorfa pe discul U1/|a|, iar dinTeorema maximului modulului rezulta ca

|ga(z)| < max|w|=1

|ga(w)| = max|w|=1

∣∣∣∣w − a

1− aw

∣∣∣∣ = max|w|=1|

∣∣∣∣w − a

w(1− aw)

∣∣∣∣ = 1, ∀z ∈ U.

Deci ga(U) ⊆ U . Analog, g−a(U) ⊆ U . Dar

(ga g−a)(z) = z = (g−a ga)(z), z ∈ U.

De aici rezulta ca g−1a = g−a si ga(U) = U . Prin urmare ga ∈ Aut(U).

Deoarece f = eiθga, deducem ca f ∈ Aut(U).Reciproc, presupunem ca f ∈ Aut(U). Fie α = f(0) si h = gα f ,

unde gα(w) = (w − α)/(1 − αw), w ∈ U . Cum gα, f ∈ Aut(U), rezultaca h ∈ Aut(U). Mai mult, h(0) = 0, iar din Lema lui Schwarz, obtinem ca

(5.1.8) |h(z)| ≤ |z|, z ∈ U.

Pe de alta parte, functia h−1 = f−1g−1α este de asemenea un automorfism

conform al lui U si h−1(0) = 0. Aplicand din nou Lema lui Schwarz, deducemca |h−1(w)| ≤ |w|, w ∈ U . Din (5.1.8) si inegalitatea precedenta obtinem ca|h(z)| = |z|, z ∈ U . De aici deducem ca exista un numar real θ astfel ıncath(z) = eiθz, z ∈ U . Fie β = eiθ. Atunci

f(z) = g−1α (h(z)) = g−α(h(z)) =

h(z) + α

1 + αh(z)=

βz + α

1 + αβz

= βz + αβ

1 + αβz, z ∈ U.


Fie a = −αβ. Atunci |a| < 1 si

f(z) = βz − a

1− az, z ∈ U.

Prin urmare f satisface (5.1.7). Demonstratia este ıncheiata. ¤Lasam pe seama cititorului sa arate ca grupul conform Aut(Ur) este format

din functiile omografice

(5.1.9) ϕr(z) = eiθ r2(z − b)r2 − bz

, |z| < r,

unde |b| < r si θ ∈ R.Din Teorema 5.1.8 si Observatia 5.1.2 (iv) obtinem

Corolarul 5.1.9 Daca Ω este un domeniu simplu conex din C cu Ω 6= C,iar f este o reprezentare conforma a lui Ω pe discul unitate, atunci orice altareprezentare conforma g a lui Ω pe U este de forma

g(z) = βf(z)− α

1− αf(z), z ∈ Ω,

unde |α| < 1 si |β| = 1.

Corolarul 5.1.10 Singurele automorfisme conforme ale discului unitate cupunct fix ın origine sunt rotatiile.

Observatia 5.1.11 Fie Ω un domeniu simplu conex din C, Ω 6= C, si fie a ∈Ω. Din demonstratia Teoremei lui Riemann deducem ca exista o reprezentareconforma f a lui Ω pe discul unitate U astfel ca f(a) = 0. Dar aceastareprezentare nu este unica, pe baza Corolarului 5.1.9. Insa unicitatea se poaterealiza cerand, de exemplu, ca pentru un punct b ∈ Ω fixat sa avem f(b) = 0si f ′(b) > 0.

In cele ce urmeaza notam cu Π semiplanul superior. Deci

Π = z ∈ C : Im z > 0.

Teorema 5.1.12 Fie BΠ multimea reprezentarilor conforme ale semiplanuluiΠ pe discul unitate U . Atunci

BΠ =

ϕa,θ : ϕa,θ(z) = eiθ z − a

z − a, z ∈ Π, unde θ ∈ R, a ∈ C, Im a > 0

.


Demonstratie. Notam cu

A =

ϕa,θ : ϕa,θ(z) = eiθ z − a

z − a, z ∈ Π, unde θ ∈ R, a ∈ C, Im a > 0

.

Mai ıntai aratam ca A ⊆ BΠ.

Fie a ∈ C cu Im a > 0, θ ∈ R si ϕa,θ(z) = eiθ z − a

z − a, z ∈ Π.

Figura 5.3: ϕa,θ(Π) = U

Cum |ϕa,θ(x)| = 1, x ∈ R, urmeaza ca axa reala se transforma ın cerculunitate prin functia omografica ϕa,θ, iar din faptul ca ϕa,θ(a) = 0 rezulta caϕa,θ(Π) = U . Dar ϕa,θ ∈ Hu(Π), deci ϕa,θ reprezinta conform semiplanulsuperior pe discul unitate. Prin urmare A ⊆ BΠ.

Reciproc, fie f ∈ BΠ. Notam cu b = f−1(0). Cum functia ϕi,0(z) =z − i

z + ieste tot o reprezentare conforma a lui Π pe U , deducem din Observatia 5.1.2(iv) ca exista o functie h ∈ Aut(U) astfel ıncat f = h ϕi,0. Pe baza Teoremei5.1.8, exista λ ∈ R si w0 ∈ U astfel ca

h(w) = eiλ w − w0

1− w0w, w ∈ U,

deci

f(z) = eiλ ϕi,0(z)− w0

1− w0ϕi,0(z)= eiλ z(1− w0)− i(1 + w0)

z(1− w0) + i(1 + w0)

= eiλ 1− w0

1− w0· z − γ

z − γ, z ∈ Π,


unde γ = i1 + w0

1− w0. Deoarece |w0| < 1 rezulta ca Im γ = Re

[1 + w0

1− w0

]> 0 si

daca notam cu eiα =1− w0

1− w0, obtinem ca

f(z) = ei(α+λ) z − γ

z − γ, z ∈ Π.

Prin urmare f = ϕγ,θ unde θ = α + λ, adica f ∈ A. ¤In continuare determinam grupul conform al semiplanului superior Π.

Teorema 5.1.13

Aut(Π) =

f : f(z) =az + b

cz + d, z ∈ Π, unde a, b, c, d ∈ R, ad− bc > 0

.

Demonstratie. Se observa imediat ca daca f este o functie omografica deforma

f(z) =az + b

cz + d

unde a, b, c, d ∈ R, ad − bc > 0, atunci f este univalenta pe semiplanul Π sif(Π) = Π, deci f ∈ Aut(Π). Lasam demonstratia acestei afirmatii pe seamacititorului.

Fie acum f ∈ Aut(Π).

Figura 5.4: f(Π) = Π

Fie f(i) = α + iβ unde β > 0, deoarece Im f(i) > 0. Consideram functiag(z) = βz +α, z ∈ Π. Atunci g ∈ Aut(Π) si g(i) = f(i). Deci h = g−1 f esteun automorfism conform al semiplanului superior cu h(i) = i. In continuarefie p : Π → C, p(z) = (h(z)− i)/(h(z) + i), z ∈ Π. Cum h ∈ Aut(Π), deducem


ca p este o reprezentare conforma a lui Π pe discul unitate U , iar din Teorema

5.1.12, exista θ ∈ R si a ∈ C cu Im a > 0, astfel ıncat p(z) = eiθ z − a

z − a, z ∈ Π.

Decih(z)− i

h(z) + i= eiθ z − a

z − a, z ∈ Π.

Deoarece h(i) = i, deducem ca a = i. Deci

h(z)− i

h(z) + i= eiθ z − i

z + i, z ∈ Π,

adica

h(z) =iz

(e−i θ

2 + ei θ2

)−

(e−i θ

2 − ei θ2

)

z(e−i θ

2 − ei θ2

)+ i

(e−i θ

2 + ei θ2

)

=z cos

θ

2+ sin

θ

2

−z sinθ

2+ cos

θ

2

, z ∈ Π.

Revenind la functia f , obtinem ca

f(z) = (g h)(z) = βh(z) + α

=z

(β cos

θ

2− α sin

θ

2

)+ β sin

θ

2+ α cos

θ

2

−z sinθ

2+ cos

θ

2

, z ∈ Π

Fiea = β cos

θ

2− α sin

θ

2, b = β sin

θ

2+ α cos

θ

2,

c = − sinθ

2si d = cos

θ

2.

Atunci ad − bc = β > 0 si f(z) =az + b

cz + d, z ∈ Π. Demonstratia este

ıncheiata. ¤In continuare prezentam structura grupului conform Aut(C). O alta

demonstratie interesanta a Teoremei 5.1.14 poate fi gasita ın [Gas-Su].

Teorema 5.1.14

Aut(C) =

f : C→ C : f(z) = az + b, z ∈ C, unde a, b ∈ C, a 6= 0

.


Demonstratie. E clar ca daca f(z) = az + b, unde a, b ∈ C, a 6= 0, atunci feste un automorfism conform al lui C.

Reciproc, fie f ∈ Aut(C). Aratam ca limz→∞ f(z) = ∞. Pentru aceasta sa

observam ca ∞ este un punct singular izolat al functiei f . Dar ∞ nu esteeliminabil (ın caz contrar, f ar fi marginita pe C, deci constanta pe bazaTeoremei lui Liouville, ceea ce nu este posibil). Mai mult, ∞ nu este esentializolat (ın caz contrar, din Teorema lui Casorati-Weierstrass (Teorema 2.3.11)ar rezulta ca multimea f(U(0; 1,∞)) ar fi densa ın C. Insa multimile f(U)si f(U(0; 1,∞)) sunt disjuncte, deci obtinem din nou o contradictie). Prinurmare ∞ este pol pentru functia ıntreaga f , iar din Exemplul 2.3.14 rezultaca f este un polinom. Dar f fiind injectiva pe C, gradul acestui polinom este1. Prin urmare, exista a, b ∈ C, a 6= 0, astfel ıncat f(z) = az + b, z ∈ C. ¤

Observatia 5.1.15 Am vazut ca ın cazul unor domenii simplu conexe din Cputem determina forma automorfismelor lor conforme. De asemenea, putemdetermina forma reprezentarilor conforme de la semiplanul superior la disculunitate, precum si de la alte domenii simplu conexe din C, diferite de C, ladiscul unitate, daca se cunoaste o reprezentare conforma ıntre aceste dome-nii. Urmatoarele precizari sunt utile ın studiul reprezentarilor conforme aledomeniilor de tipul: sector unghiular, banda, semi-banda.

(a) Orice sector unghiular de forma

Ωα =

z ∈ C∗ : | arg z| < α ≤ π

se reprezinta conform pe semiplanul drept prin intermediul functiei f(z) =zπ/(2α). Aceasta functie este univalenta pe Ωα si f(Ωα) = w ∈ C : Re w > 0.Mentionam ca daca α = π, atunci Ωπ = C \ (−∞, 0], iar functia f(z) = z1/2

(ramura principala a aplicatiei multivoce radical) este univalenta pe Ωπ sireprezinta conform pe acest domeniu ın semiplanul drept.

(b) Orice sector unghiular

Ωz0,α,β =

z ∈ C \ z0 : α < arg(z − z0) < β

,

unde β − α ≤ 2π, se poate transforma, printr-o rotatie si translatie, ıntr-unsector unghiular de forma celui de la (a).

(c) Partea comuna dintre doua cercuri secante se poate reprezenta conformpe un sector unghiular printr-o transformare omografica de forma f(z) =(z−α)/(z−β) unde α si β sunt punctele de intersectie ale celor doua cercuri.

(d) Benzile se pot transforma prin rotatii si translatii ın benzi orizontale,de exemplu ın banda z ∈ C : |Im z| < π/2, iar functia exponentiala aplicaaceasta banda pe semiplanul drept.


(e) Semi-benzile se pot transforma prin rotatii si translatii ın semi-benziorizontale, de exemplu ın semi-banda z ∈ C : |Im z| < π/2, Re z < 0.Aceasta semi-banda se reprezinta conform prin functia exponentiala pe semi-discul unitate din semiplanul drept Ω = w ∈ C : |w| < 1, Re w > 0.

In privinta automorfismelor conforme ale planului complex extins C∞, areloc

Teorema 5.1.16

Aut(C∞) =

f : f(z) =az + b

cz + d, z ∈ C∞, unde a, b, c, d ∈ C, ad− bc 6= 0

.

Demonstratie. Este evident ca orice transformare omografica f(z) = (az +b)/(cz + d), cu ad− bc 6= 0, este o reprezentare conforma a lui C∞ pe C∞.

Reciproc, fie f ∈ Aut(C∞). Analizam urmatoarele situatii: f(∞) 6= ∞,respectiv f(∞) = ∞.

(i) f(∞) = α 6= ∞. Consideram functia g : C∞ → C∞, g(z) = α +1z.

Atunci g(∞) = α = f(∞). Rezulta ca functia h = g−1f este un automorfismconform al lui C∞ cu h(∞) = ∞. In particular, h este si o reprezentareconforma a lui C pe C. Din Teorema 5.1.14 deducem ca exista β, γ ∈ C,β 6= 0, astfel ıncat h(z) = βz + γ, z ∈ C. Avem ca

f(z) = (g h)(z) = α +1

βz + γ=

αβz + αγ + 1βz + γ

.

Notam cu a = αβ, b = αγ + 1, c = β si d = γ. Atunci ad− bc = −β 6= 0.(ii) f(∞) = ∞. Din Teorema 5.1.14 deducem ca exista a, b ∈ C, a 6= 0,

astfel ca f(z) ≡ az + b. ¤

Observatia 5.1.17 Pentru mai multe detalii referitoare la reprezentarea con-forma a domeniilor simplu conexe ın C, recomandam lucrarile [Ha-Mo-Ne],[Gas-Su], [Pop], [Na-Ni], [Con1,2], [Gam], [Gre-Kra], [Hen], [Neh], [Wen].

Probleme

Problema 5.1.1 Fie r > 0. Sa se arate ca grupul conform al discului Ur esteformat din transformarile omografice fa,r de forma

fa,r(z) = αr2(z − a)r2 − az

, z ∈ Ur,

unde |a| < r si α ∈ C, |α| = 1.

5.2. Automorfisme conforme ale coroanelor circulare 175

Indicatie. Se foloseste Teorema 5.1.8.

Problema 5.1.2 Sa se reprezinte conform domeniul D = z ∈ C : 0 <Im z < π \ z ∈ C : Im z = π/2, Re z ≥ 0 pe semiplanul drept.

Problema 5.1.3 Sa se reprezinte conform domeniul D = z ∈ C : |z| <R, Im z > 0, |z + R/2| > R/2, R > 0, pe domeniul Ω = w ∈ C : Re z >0, Im z > 0.

Problema 5.1.4 Sa se reprezinte conform domeniul D = U \ [0, 1) pe disculunitate.

Problema 5.1.5 Fie α ∈ (0, π]. Sa se reprezinte conform domeniul D = z ∈C∗ : |z| < 1, | arg z| < α pe semiplanul superior.

Problema 5.1.6 Fie a > 0. Sa se reprezinte conform domeniul D = z ∈ C :|Im z| < a pe discul U(0; 2).

Problema 5.1.7 Sa se arate ca domeniile C∗ si U nu sunt conform echiva-lente.

Problema 5.1.8 Sa se reprezinte conform domeniul D = z ∈ C∗ : 0 <arg z < π/6 pe domeniul z ∈ C∗ : π/2 < arg z < π.

Problema 5.1.9 Fie functia f(z) = cos z, z ∈ C. Sa se determine imaginiledreptelor paralele cu axele de coordonate, ale domeniilor z ∈ C : 0 < Re z <π/2, Im z > 0, respectiv z ∈ C : 0 < Re z < π/2, Im z < 0, prin functiaf .

Problema 5.1.10 Sa se determine Aut(Ω) unde Ω = z ∈ C : |z| <1, Im z > 0, Re z > 0.

Problema 5.1.11 Sa se determine imaginile dreptelor paralele cu axele decoordonate si ale domeniului D = z ∈ C : 0 < Im z < π prin functiaf(z) = chz, z ∈ C.

5.2 Automorfisme conforme ale coroanelorcirculare si domeniilor dublu conexe

In aceasta sectiune ne vom referi la conform echivalenta coroanelor circu-lare din C. In acest sens vom arata ca nu orice doua coroane circulare sunt


conform echivalente. Conditia necesara si suficienta de conform echivalenta acoroanelor U(0; r1, r2) si U(0;R1, R2) este proportionalitatea razelor. De aiciva rezulta imediat forma automorfismelor conforme ale coroanelor circulareU(0; r1, r2).

Pe parcursul acestei sectiuni notam cu

∆(r1, r2) = U(0; r1, r2) = z ∈ C : r1 < |z| < r2

coroana circulara centrata ın origine si de raze r1, r2, unde 0 < r1 < r2 < ∞.Sa observam ca daca a > 0 si f(z) = az, atunci f este o reprezentare conformaa coroanei circulare ∆(r1, r2) pe ∆(ar1, ar2). In consecinta, daca ∆(R1, R2)este o alta coroana circulara centrata ın origine si de raze R1, R2, astfel ıncatr1/R1 = r2/R2, atunci ∆(r1, r2) si ∆(R1, R2) sunt conform echivalente. Deciproportionalitatea razelor este o conditie suficienta de conform echivalenta acelor doua coroane circulare. Vom arata ca aceasta conditie este si necesara.

Inainte de a prezenta rezultatul central al acestei sectiuni, avem nevoie decateva rezultate pregatitoare referitoare la functiile armonice. Vom reveni laaceste rezultate si la demonstratiile lor ın capitolul urmator.

Definitia 5.2.1 Fie G o multime deschisa din C. Functia u : G → R senumeste armonica pe G (armonica) daca u ∈ C2(G) si ∆u ≡ 0, unde ∆u estelaplacianul functiei u,

∆u =∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2.

Se verifica imediat ca ∆u = 4∂2u

∂z∂z.

Orice functie olomorfa f pe G are proprietatea ca Re f si Im f sunt armo-nice. Vom arata ca functiile armonice determina functii olomorfe pe domeniisimplu conexe din C.

Are loc urmatorul rezultat, cunoscut sub numele de principiul maximuluipentru functii armonice .

Teorema 5.2.2 Fie G o multime deschisa din C si u o functie armonica peG. Fie ∆ o multime deschisa si marginita din C astfel ıncat ∆ ⊂ G. Atunci

u(z) ≤ supζ∈∂∆

u(ζ), z ∈ ∆.

Teorema 5.2.3 Fie 0 < rj < Rj < ∞, j = 1, 2. Atunci coroanele circulare∆(r1, R1) si ∆(r2, R2) sunt conform echivalente daca si numai daca r1/r2 =R1/R2.


Demonstratie. Daca r1/r2 = R1/R2 atunci functia f(z) = zr2

r1este o repre-

zentare conforma a coroanei circulare ∆(r1, R1) pe coroana ∆(r2, R2). Deciaceste coroane circulare sunt conform echivalente.

Reciproc, presupunem ca ∆(r1, R1) si ∆(r2, R2) sunt conform echivalente.Deoarece coroanele circulare ∆(rj , Rj) si ∆(1, Rj/rj) sunt conform echiva-lente, j = 1, 2, pe baza rationamentului precedent, deducem ca ∆(1, R1/r1)si ∆(1, R2/r2) sunt de asemenea conform echivalente. Notam cu ∆j =∆(1, Rj/rj), j = 1, 2. Fie f o reprezentare conforma a coroanei circulare∆1 pe ∆2 (a se vedea Figura 5.5). Fara a restrange generalitatea problemei,presupunem ca r1 = r2 = 1. Mai ıntai aratam ca

(5.2.1) lim|z|→1

|f(z)| = 1 si lim|z|→R1

|f(z)| = R2

sau

(5.2.2) lim|z|→1

|f(z)| = R2 si lim|z|→R1

|f(z)| = 1.

Figura 5.5: f(∆1) = ∆2

Fie ρ =√

R2. Atunci ∂Uρ este un compact din ∆2. Dar f fiind o re-prezentare conforma a lui ∆1 pe ∆2, deducem ca f−1 este olomorfa, deciK = f−1(∂Uρ) este un compact inclus ın ∆1. Fie η > 0 astfel ıncat∆(1, 1 + η)∩K = ∅. Cum f este univalenta pe ∆1, urmeaza ca f(∆(1, 1 + η))este un domeniu, f(∆(1, 1 + η)) ⊂ ∆2 si

f(∆(1, 1 + η)) ∩ ∂Uρ = ∅.Notam cu D = f(∆(1, 1 + η)). Din relatia precedenta deducem ca D ⊂

∆(1, ρ) sau D ⊂ ∆(ρ,R2).


(i) Presupunem ca D ⊂ ∆(1, ρ). Fie zkk∈N un sir de numere complexe,astfel ıncat zk ∈ ∆(1, 1 + η), k ∈ N, si |zk| → 1, k → ∞. Atunci f(zk) ∈ D,k ∈ N, iar sirul f(zk)k∈N nu are nici un punct limita ın coroana circulara ∆2.(In caz contrar, daca w0 ∈ ∆2 ar fi un punct limita al sirului f(zk)k∈N, atuncif−1(w0) ∈ ∆1 ar fi un punct limita al sirului zkk∈N, ceea ce ar contrazicefaptul ca |zk| → 1, k → ∞.) Cum f(zk) ∈ D, k ∈ N, iar D ⊂ ∆(1, ρ),deducem ca |f(zk)| → 1, k → ∞. Deci lim

|z|→1|f(z)| = 1. Cu un rationament

similar rezulta ca lim|z|→R1

|f(z)| = R2. Prin urmare are loc (5.2.1).

(ii) Presupunem ca D ⊂ ∆(ρ,R2). Fie q = R2/f . Atunci q este o repre-zentare conforma a domeniului ∆1 pe ∆2, si aplicand rationamentul precedentdeducem ca

lim|z|→1

|q(z)| = 1 si lim|z|→R1

|q(z)| = R2,

adica are loc (5.2.2).

In continuare admitem ca are loc loc relatia (5.2.1). Notam cu a =ln R2

ln R1>

0 si consideram functia h : ∆1 → R, definita de relatia

h(z) = 2 ln |f(z)| − 2a ln |z|, z ∈ ∆1.

Deoarece f ∈ H(∆1) si f(z) 6= 0, z ∈ ∆1, rezulta ca h ∈ C∞(∆1). Din(5.2.1), respectiv (5.2.2), deducem ca |h(z)| → 0 daca z → z0, ∀z0 ∈ ∂∆1.

Pe de alta parte, h este o functie armonica pe ∆1. Intr-adevar, din faptul

ca∂f

∂z(z) = 0, z ∈ ∆1, rezulta imediat ca

∂h

∂z(z) =

f ′(z)f(z)

− a

z, z ∈ ∆1.

Deci∂2h

∂z∂z(z) = 0, z ∈ ∆1, iar aceasta relatie este echivalenta cu ∆h ≡ 0.

Cum limz→z0

h(z) = 0, ∀z0 ∈ ∂∆1, pe baza relatiei (5.2.1), urmeaza ca h se

poate prelungi prin continuitate la ∆1. Fie h1 o prelungire a lui h la ∆1 cuh1|∂∆1 = 0. Aplicand Teorema 5.2.2 functiilor armonice h1 si −h1 pe ∆1,obtinem ca

h1(z) = 0, z ∈ ∆1.

Prin urmare ln |f(z)| = a ln |z|, z ∈ ∆1, adica

(5.2.3) |f(z)| = |z|a, z ∈ ∆1.


Fie U(z0; r0) ⊂ ∆1 un disc ales ın mod arbitrar. Aplicand Teorema ramuri-lor uniforme pentru aplicatia multivoca putere za = eaLogz, deducem ca existao ramura uniforma g a acestei aplicatii pe U(z0; r0), iar din relatia (5.2.3) sidin faptul ca |g(z)| = |z|a, obtinem ca

|f(z)| = |g(z)|, z ∈ U(z0; r0).

Cum f/g ∈ H(U(z0; r0)), urmeaza ca exista θ ∈ R astfel ıncat

(5.2.4) f(z) = eiθg(z), z ∈ U(z0; r0).

Prin urmare,f ′(z)f(z)

=g′(z)g(z)

, z ∈ U(z0; r0),

iar din faptul ca g este ramura uniforma pentru aplicatia multivoca za peU(z0; r0), deducem ca g′(z)/g(z) = a/z, z ∈ U(z0; r0). Deci

f ′(z)f(z)

=a

z, z ∈ U(z0; r0).

Deoarece U(z0; r0) a fost ales arbitrar ın ∆1, deducem ca

(5.2.5)f ′(z)f(z)

=a

z, z ∈ ∆1.

Fie r ∈ (1, R1). Integrand ambii membri ai egalitatii precedente pe cercul∂U(0; r) ⊂ ∆1, obtinem ca

(5.2.6)1

2πi

∫

|z|=r

f ′(z)f(z)

dz =1

2πi

∫

|z|=r

a

zdz = a.

Fie γr conturul de suport ∂U(0; r). Atunci f γr este de asemenea uncontur si (f γr)(t) 6= 0, t ∈ [0, 1]. Deci n(f γr; 0) ∈ Z. Pe de alta parte,

12πi

∫

|z|=r

f ′(z)f(z)

dz = n(f γr; 0),

iar din (5.2.6) si egalitatea precedenta rezulta ca a = n(f γr; 0). Deci a ∈Z ∩ (0,∞) = N. Din (5.2.5) deducem ca (f(z)/za)′ = 0, z ∈ ∆1, deci existaλ ∈ C, astfel ıncat f(z) = λza, z ∈ ∆1. Din (5.2.3) rezulta ca |λ| = 1. Cum feste univalenta pe ∆1, urmeaza ca a = 1. Prin urmare f(z) = λz, z ∈ ∆1, siR1 = R2.


Daca are loc relatia (5.2.2), atunci functia f se ınlocuieste cu R2/f si seobtine acceasi concluzie ca ın demonstratia anterioara. ¤

Mentionam ca o alta demonstratie, bazata pe principiul reflectiei lui Sch-warz, poate fi utilizata pentru a obtine aceeasi concluzie ca mai sus (a se vedea[Wen]).

Observatia 5.2.4 (i) In Teorema 5.2.3 am obtinut o conditie necesara si su-ficienta pentru ca doua coroane circulare ∆(rj , Rj) = U(0; rj , Rj), j = 1, 2, safie conform echivalente, unde 0 < rj < Rj < ∞, j = 1, 2. Sa observam ca dacar1 = r2 = 0, atunci U(0; R1) si U(0;R2) sunt conform echivalente, pentru caorice transformare omografica h cu h(U(0;R1)) = U(0;R2) este o reprezentareconforma a lui U(0;R1) pe U(0;R2).

(ii) Se poate arata ca o coroana circulara U(0; r,R), 0 < r < R < ∞, nueste conform echivalenta cu nici un disc punctat U(0; ρ), ρ > 0 (a se vedea[Gas-Su], [Wen]).

(iii) Daca r ∈ (0,∞) si R = ∞, atunci domeniul U(0; r,∞) = z ∈ C :|z| > r este conform echivalent cu U(0; 1/r) prin transformarea omograficaf(z) = 1/z, |z| > r. Astfel domeniile U(0; r1,∞) si U(0; r2,∞), rj < ∞,j = 1, 2, sunt conform echivalente (fiecare domeniu U(0; rj ,∞) este conformechivalent cu U(0; 1/rj), j = 1, 2, iar U(0; 1/r1) si U(0; 1/r2) sunt conformechivalente prin transformari omografice).

(iv) Automorfismele conforme ale coroanei circulare U(0; 1, r) suntaplicatiile

z 7→ reiθ

z, θ ∈ R, si z 7→ eiθz, θ ∈ R.

Demonstratie. (iv) Fie f un automorfism conform al coroanei circulareU(0; 1, r). Din relatiile (5.2.1)-(5.2.2) avem ca

lim|z|→1

|f(z)| = 1 si lim|z|→r

|f(z)| = r

sau

lim|z|→1

|f(z)| = r si lim|z|→r

|f(z)| = 1.

In prima situatie avem ca |f(z)/z| → 1 daca |z| → 1 si |z| → r. FolosindTeorema maximului modulului pentru functii olomorfe si faptul ca f−1 ∈Aut(U(0; 1, r)), deducem ca

∣∣∣f(z)z

∣∣∣ ≤ 1 si∣∣∣f−1(z)z

∣∣∣ ≤ 1, z ∈ U(0; 1, r).

5.3. Automorfisme si reprezentari conforme ale domeniilor marginite 181

Deci |f(z)/z| = 1, z ∈ U(0; 1, r), si exista λ ∈ C, |λ| = 1, astfel ca f(z) = λz.In cea de-a doua situatie avem ca |zf(z)| → r daca |z| → 1 si |z| → r.

Folosind un rationament similar celui precedent, obtinem ca |zf(z)| = r, z ∈U(0; 1, r). Deci exista γ ∈ C, |γ| = 1, astfel ıncat zf(z) = γr. ¤

(v) Lasam pe seama cititorului sa arate ca

Aut(U(0; r,∞)) = f : f(z) = λz, |λ| = 1.

De asemenea,Aut(U(0; r)) = f : f(z) = λz, |λ| = 1.

Observatia 5.2.5 (i) Un domeniu Ω ⊂ C se numeste multiplu conex dacaΩ nu este simplu conex. Domeniul Ω este k-conex daca frontiera sa ın C∞contine exact k-componente (C∞ \Ω are k componente). Un domeniu Ω ⊂ C1-conex este simplu conex.

(ii) Am vazut ca un domeniu simplu conex Ω ⊂ C nu poate fi conformechivalent decat tot cu un domeniu simplu conex ın C. Cu un efort suplimentarse poate arata ca daca D este un domeniu k-conex si f este o reprezentareconforma a lui D pe un domeniu ∆, atunci ∆ este de asemenea k-conex (a sevedea [Wen, p. 96-97]).

Urmatorul rezultat poate fi considerat analogul Teoremei lui Riemann ıncazul domeniilor dublu conexe (2-conexe). Demonstratia Teoremei 5.2.6 poatefi consultata ın [Wen, p. 97-99].

Teorema 5.2.6 Fie Ω ⊂ C un domeniu dublu conex. Atunci exista o coroanacirculara U(a; r1, r2), astfel ıncat Ω si U(a; r1, r2) sa fie conform echivalente.

Observatia 5.2.7 Alte detalii privind reprezentarile conforme ale coroanelorcirculare si ale domeniilor dublu conexe pot fi consultate ın lucrarile [Gas-Su],[Rud], [Na-Ni], [Neh], [Wen].

5.3 Automorfisme si reprezentari conforme aledomeniilor marginite din C

Am vazut ca Teorema lui Riemann demonstreaza existenta reprezentarilorconforme ıntre orice domenii simplu conexe din C, diferite de C, ınsa, ın ge-neral, nu putem preciza cum arata concret respectivele reprezentari conforme.In continuare vom studia automorfismele conforme ale unor domenii din C,folosind proprietati ale iteratiilor acestor aplicatii.


Fie Ω un domeniu din C si f : Ω → Ω o functie olomorfa. Definim iteratiilefunctiei f astfel:

(5.3.1) f [0] = idΩ, f [1] = f, f [2] = f f, f [j] = f f [j−1], j ≥ 2,

unde idΩ(z) ≡ z. Este clar ca aceste iteratii sunt bine definite deoarece f(Ω) ⊆Ω. Mai mult, f [j] ∈ H(Ω).

In continuare prezentam urmatoarele rezultate care arata ca aceste iteratiiau un rol esential ın stabilirea unor proprietati ale functiei f .

Teorema 5.3.1 Fie Ω un domeniu din C si f : Ω → Ω o functie olomorfa.Daca exista un subsir f [kp]p∈N al sirului iteratiilor f [k]k∈N convergent uni-form pe compacte ın Ω la o functie g, atunci au loc urmatoarele afirmatii:

(i) Daca g ∈ Aut(Ω) atunci f ∈ Aut(Ω).(ii) Daca g nu este constanta, atunci orice subsir convergent al sirului

f [kp+1−kp]p∈N are limita egala cu restrictia functiei identice la Ω.

Demonstratie. Este evident ca g este olomorfa pe Ω, pe baza Teoremei luiWeierstrass.

Aratam mai ıntai ca daca g ∈ Aut(Ω) atunci f ∈ Aut(Ω) Functia f esteinjectiva. Intr-adevar, daca z1, z2 ∈ Ω astfel ıncat f(z1) = f(z2), atuncif [k](z1) = f [k](z2), k ∈ N. Cum sirul f [kp]p∈N converge uniform pe compacteın Ω la functia g, urmeaza ca

g(z1) = limp→∞ f [kp](z1) = lim

p→∞ f [kp](z2) = g(z2),

iar din injectivitatea functiei g rezulta ca z1 = z2.Aratam acum ca f este surjectiva.Deoarece f(Ω) ⊆ Ω, obtinem ca f [k](Ω) ⊆ f(Ω) ⊆ Ω, k ∈ N. Atunci

g(Ω) ⊆ f(Ω). Intr-adevar, fie w ∈ C \ f(Ω). Cum f [kp](Ω) ⊆ f(Ω), urmeazaca f [kp](z) − w 6= 0, p ∈ N, iar din faptul ca sirul f [kp] − wp∈N convergeuniform pe compacte la functia neidentic nula g − w, deducem din Teoremalui Hurwitz (Teorema 2.5.4) ca g(z) − w 6= 0, z ∈ Ω. Deci w 6∈ g(Ω). Inconcluzie, g(Ω) ⊆ f(Ω) ⊆ Ω. Dar g(Ω) = Ω pentru ca g ∈ Aut(Ω), decif(Ω) = Ω si f ∈ Aut(Ω).

(ii) Deoarece f [kp](Ω) ⊆ Ω, p ∈ N, deducem ca g(Ω) ⊆ Ω. Dar g nefiindfunctie constanta, rezulta ca g este o aplicatie deschisa, pe baza Teoremei 2.5.1.Deci g(Ω) ⊆ Ω. Consideram un subsir convergent al sirului f [kp+1−kp]p∈N,ales ın mod arbitrar, si fie h limita sa. Pentru simplitate notam acest subsirtot cu f [kp+1−kp]p∈N. Deoarece f [kp+1] = f [kp+1−kp] f [kp], p ∈ N, rezulta ca

g(z) = limp→∞ f [kp+1](z) = lim

p→∞(f [kp+1−kp] f [kp])(z) = (h g)(z), z ∈ Ω,


deci g(z) = (h g)(z), z ∈ Ω. Cum g nu este constanta, urmeaza ca h(z) = z,z ∈ g(Ω). Pe de alta parte, din faptul ca g(Ω) este o submultime deschisa alui Ω, obtinem din Teorema identitatii functiilor olomorfe ca h(z) = z, z ∈ Ω.Demonstratia este ıncheiata. ¤

In cele ce urmeaza prezentam cateva aplicatii interesante ale Teoremei5.3.1.

Corolarul 5.3.2 Daca Ω este un domeniu din C, f : Ω → Ω este o functieolomorfa, iar sirul iteratiilor f [k]k∈N este convergent uniform pe compacteın Ω la o functie neconstanta, atunci f(z) = z, z ∈ Ω.

Demonstratie. Este suficient sa consideram kp = p ın Teorema 5.3.1. ¤

Exemplul 5.3.3 Fie a ∈ (0, 1) si f(z) = (a − z)/(az − 1), z ∈ U . Atuncif ∈ Aut(U) si f [k](z) = (ak − z)/(akz − 1) ∈ Aut(U) unde a1 = a, ak =(a+ak−1)/(1+ak−1a), k ≥ 2. Deoarece akk∈N este un sir crescator ın (0, 1),rezulta ca lim

k→∞ak = 1. De aici rezulta ca

limk→∞

f [k](z) = limk→∞

ak − z

akz − 1= −1, ∀z ∈ U.

Deci sirul iteratiilor f [k]k∈N converge simplu pe U la functia constanta −1.Cum f [k]k∈N este un sir local uniform marginit, deducem din Teorema luiVitali ca lim

k→∞f [k](z) = −1 uniform pe compacte ın U .

Urmatorul rezultat este datorat lui H. Cartan.

Teorema 5.3.4 Fie Ω ⊂ C un domeniu marginit si f : Ω → Ω o functieolomorfa. Daca exista un subsir f [kp]p∈N al sirului iteratiilor f [k]k∈Ncare converge uniform pe compacte ın Ω la o functie neconstanta, atuncif ∈ Aut(Ω).

Demonstratie. Deoarece Ω este un domeniu marginit, rezulta ca sirulf [kp+1−kp]p∈N este local uniform marginit, deci contine un subsir conver-gent uniform pe compacte ın Ω la o functie h. Pentru simplitate, notamacest subsir tot cu f [kp+1−kp]p∈N. Fie g limita sirului f [kp]p∈N. Cum g nueste constanta, urmeaza din Teorema 5.3.1 (ii) ca h(z) ≡ z. Din faptul caidΩ ∈ Aut(Ω) si lim

p→∞ f [kp+1−kp](z) = z uniform pe compacte ın Ω, deducem

din Teorema 5.3.1 (i) ca f ∈ Aut(Ω). Demonstratia este ıncheiata. ¤


Corolarul 5.3.5 Fie Ω un domeniu marginit din C si f : Ω → Ω o functieolomorfa. Daca exista punctele distincte z1, z2 ∈ Ω astfel ıncat f(z1) = z1 sif(z2) = z2, atunci f ∈ Aut(Ω).

Demonstratie. Fie f [k]k∈N sirul iteratiilor functiei f . Deoarece Ω estedomeniu marginit, deducem din Teorema lui Montel ca exista un subsirf [kp]p∈N al sirului f [k]k∈N convergent uniform pe compacte ın Ω la o functieg. Deoarece f [k](z1) = z1 si f [k](z2) = z2, k ∈ N, iar z1 6= z2, obtinem ca

g(z1) = limp→∞ f [kp](z1) = z1 si g(z2) = lim

p→∞ f [kp](z2) = z2,

deci g(z1) 6= g(z2). Prin urmare g nu este constanta, iar din Teorema 5.3.4rezulta ca f este un automorfism al domeniului Ω. ¤

Observatia 5.3.6 Pentru mai multe detalii privind rezultatele referitoare laautomorfismele si reprezentarile conforme ale domeniilor marginite din C sepot consulta lucrarile [Rem] si [Na-Ni].

In final prezentam urmatoarea caracterizare a domeniilor simplu conexeın C. Conditiile de mai jos pot fi considerate drept definitii echivalente alenotiunii de simplu conexitate ın C, notiune ce a jucat un rol esential pe par-cursul acestui capitol. Pentru o demonstratie completa, recomandam lucrarile[Gas-Su] si [Na-Ni].

Teorema 5.3.7 Fie Ω un domeniu ın C. Urmatoarele afirmatii sunt echiva-lente:

(i) Ω este simplu conex;(ii) C \ Ω nu are componente conexe compacte;(iii) C∞ \ Ω este o multime conexa ın C∞;(iv) Ω este omeomorf cu U ;(v) Daca f ∈ H(Ω) si γ este un contur din Ω atunci

∫

γf(z)dz = 0;

(vi) Daca f ∈ H(Ω) atunci f are primitive pe Ω.(vii) Daca f ∈ H(Ω) cu f(z) 6= 0, z ∈ Ω, atunci exista g ∈ H(Ω) astfel ca

f ≡ eg.


Probleme

Problema 5.3.1 Fie Ω un domeniu marginit din C, f ∈ H(Ω), iar fkk∈Nun sir de automorfisme conforme ale domeniului Ω, care converge uniformpe compacte ın Ω la functia f . Sa se arate ca urmatoarele afirmatii suntechivalente:

(i) f ∈ Aut(Ω),(ii) f(Ω) 6⊂ ∂Ω,(iii) Exista z0 ∈ Ω astfel ıncat f ′(z0) 6= 0.

Indicatie. Se observa imediat ca (i) ⇒ (ii) si (i) ⇒ (iii).Daca are loc conditia (ii) atunci f(Ω) ∩ Ω 6= ∅. Fie z0 ∈ Ω astfel ıncat

v0 = f(z0) ∈ Ω si fie gk = f−1k , k ∈ N. Pe baza Teoremei lui Montel, exista

un subsir gkpp∈N si o functie g ∈ H(Ω) astfel ıncat gkp → g uniform pecompacte ın Ω, p → ∞. Dar fkp → f uniform pe compacte ın Ω, p → ∞.De aici rezulta ca g(v0) = z0 si (f g)(z) = z, pentru orice z apartinand uneivecinatati a punctului v0. Cum f ′(g(v0))g′(v0) = 1, urmeaza ca f ′(z0) 6= 0,adica are loc conditia (iii).

Conditia (iii) ⇒ (i). Intr-adevar, din Teorema lui Hurwitz si din faptulca f ′(z0) 6= 0 (deci f e neconstanta) se obtine ca f este univalenta pe Ω. Darf(Ω) ⊆ Ω si f este aplicatie deschisa, iar cu un rationament similar celui dela implicatia (ii) ⇒ (iii) rezulta ca f(Ω) = Ω, adica f ∈ Aut(Ω).

Problema 5.3.2 Fie Ω un domeniu marginit din C. Daca fkk∈N este unsir de automorfisme conforme ale domeniului Ω, care converge uniform pecompacte ın Ω la functia f ∈ Aut(Ω), atunci sa se arate ca sirul f−1

k k∈Nconverge uniform pe compacte ın Ω la functia f−1.

Problema 5.3.3 Fie Ω un domeniu marginit si z0 ∈ Ω. Sa se arate ca dacaf : Ω → Ω este o functie olomorfa astfel ıncat f(z0) = z0 atunci |f ′(z0)| ≤ 1.Sa se deduca de aici ca daca Autz0(Ω) reprezinta multimea automorfismelorconforme ale domeniului Ω cu un punct fix ın z0 atunci

Autz0(Ω) = f : Ω → Ω| f ∈ H(Ω), |f ′(z0)| = 1.

Capitolul 6

Functii Armonice si FunctiiSubarmonice

In acest capitol vom prezenta notiunile de armonicitate si subarmonici-tate ın planul complex. Vom studia diverse proprietati ale functiilor armonice(subarmonice) si vom arata ca ıntre notiunile de olomorfie si armonicitate (su-barmonicitate) exista o legatura stransa. De fapt, partile reale si imaginareale oricarei functii olomorfe sunt functii armonice, iar orice functie armonicape un domeniu simplu conex din C este partea reala (imaginara) a unei functiiolomorfe pe respectivul domeniu. De asemenea, vom prezenta o formula dereprezentare integrala a functiilor armonice pe discuri, precum si Teoremaconvergentei lui Harnack. Un studiu similar va fi consacrat functiilor subar-monice. In acest sens vom arata ca functiile subarmonice satisfac principiulmaximului (minimului) si proprietatea subvalorii medii. Vom prezenta diverseexemple si aplicatii ale acestor notiuni. Pentru detalii suplimentare referi-toare la acest capitol propunem cititorului sa consulte lucrarile [Con1], [Cu],[Gas-Su], [Gre-Kra], [Na-Ni], [Rud].

6.1 Functii armonice

In cele ce urmeaza vom prezenta unele din cele mai cunoscute rezultate re-feritoare la functiile armonice ın planul complex. Pe parcursul ıntregii sectiuni,fie G o multime deschisa din C.

187

188 6. Functii Armonice si Functii Subarmonice

6.1.1 Proprietati elementare ale functiilor armonice

Definitia 6.1.1 Fie u : G → R o functie de clasa C2 pe G. Functia u senumeste armonica pe G (armonica) daca ∆u ≡ 0 unde

(6.1.1) ∆u =∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2.

∆u se numeste laplaceianul functiei u, iar ecuatia ∆u = 0 se numesteecuatia lui Laplace.

Considerand operatorii diferentiali

∂

∂z=

12

(∂

∂x− i

∂

∂y

),

∂

∂z=

12

(∂

∂x+ i

∂

∂y

),

se obtine urmatoarea expresie echivalenta a lui ∆u:

(6.1.2) ∆u = 4∂2u

∂z∂z.

Prin urmare functia u ∈ C2(G) este armonica pe G daca∂2u

∂z∂z≡ 0.

Daca F este o submultime a lui C, atunci spunem ca o functie u estearmonica pe F daca exista o multime deschisa G si o functie v armonica pe Gastfel ıncat G ⊇ F si u = v|F .

Deoarece orice functie afina f : J ⊆ R → R satisface relatiad2f

dx2≡ 0,

rezulta ca functiile armonice pot fi considerate ca analoagele ın planul complexale functiilor afine.

Propozitia 6.1.2 Fie f : G → C o functie olomorfa. Atunci Re f si Im fsunt functii armonice pe G.

Demonstratie. Fie u = Re f si v = Im f . Deoarece f ∈ H(G), deducemca u, v ∈ C2(G) (de fapt, u, v ∈ C∞(G)). Din Teorema lui Cauchy-Riemann

rezulta ca∂f

∂z= 0 pe G. Deci

∂2u

∂z∂z=

12

∂2

∂z∂z(f + f) =

12

[∂

∂z

(∂f

∂z

)+

∂

∂z

(∂f

∂z

)]≡ 0.

In mod analog deducem ca∂2v

∂z∂z≡ 0. Din (6.1.2) rezulta ca ∆u = ∆v ≡ 0.

¤

6.1. Functii armonice 189

Exemplul 6.1.3 (i) Functia u : C→ R, u(z) = ex cos y, z = x + iy ∈ C, estearmonica pe C, fiind partea reala a functiei ıntregi f(z) = ez, z ∈ C.

(ii) Functia v : C→ R, v(z) = 2xy, z = x+ iy ∈ C, este armonica deoarecev(z) = Im z2, z ∈ C.

(iii) Fie f : C\ (−∞, 0] → C, f(z) = log z, unde log este ramura principalaa lui Log. Atunci f este olomorfa pe C \ (−∞, 0]. Deci u : C \ (−∞, 0] → R,u(z) = ln |z|, este armonica deoarece u(z) = Re f(z), z ∈ C \ (−∞, 0].

Observatia 6.1.4 (i) Pe baza Teoremei lui Cauchy-Riemann de caracterizarea derivabilitatii si a Propozitiei 6.1.2, deducem ca o functie f : G → C esteolomorfa pe G daca si numai daca Re f si Im f sunt functii armonice cesatisfac sistemul Cauchy-Riemann pe G.

(ii) Daca Ω este o multime deschisa din C, f : G → Ω este olomorfa iaru : Ω → R este o functie armonica, atunci w = uf este de asemenea armonicape multimea G. Deci armonicitatea este invarianta fata de olomorfie.

Intr-adevar, cum f ∈ H(G) urmeaza ca f ∈ C2(G), deci w ∈ C2(G). Inplus, un calcul elementar, bazat pe faptul ca f este olomorfa pe G, conducela relatia

∂2w

∂z∂z(z) = |f ′(z)|2 ∂2u

∂w∂w(f(z)), z ∈ G.

Din faptul ca u este armonica pe Ω, rezulta ca ∆u = 4∂2u

∂w∂w≡ 0, deci

∆w ≡ 0.

Definitia 6.1.5 Fie u : G → R o functie armonica. Functia armonica v :G → R se numeste conjugat armonic al functiei u daca u + iv este o functieolomorfa pe G.

In continuare aratam ca functiile armonice pe domenii simplu conexe admitconjugate armonice. Deci fiind data o functie armonica u pe un domeniusimplu conex G din C, exista f ∈ H(G) astfel ıncat u = Re f (respectivu = Im f) pe G.

Teorema 6.1.6 Fie G un domeniu simplu conex din C si u : G → R o functiearmonica. Atunci exista un conjugat armonic v al functiei u pe G.

Demonstratie. Vom determina o functie v cu urmatoarele proprietati: v safie armonica pe G, iar u + iv sa fie olomorfa pe G. Deci u si v trebuie saverifice sistemul Cauchy-Riemann pe G:

(6.1.3)∂v

∂x= −∂u

∂y,

∂v

∂y=

∂u

∂x.


Fie ω = dv diferentiala functiei v,

ω =∂v

∂xdx +

∂v

∂ydy.

Din (6.1.3) obtinem ca

ω = −∂u

∂ydx +

∂u

∂xdy.

Fie P = −∂u

∂ysi Q =

∂u

∂x. Cum u este armonica, urmeaza ca P si Q sunt

functii de clasa C1 pe G si satisfac conditia

∂Q

∂x=

∂P

∂y.

Deoarece G este domeniu simplu conex, deducem ca ω este o diferentialatotala exacta pe G. Considerand doua puncte arbitrare z0, z ∈ G, rezulta ca

integrala∫

γω este independenta de drumul rectificabil γ cu extremitatile z0 si

z. Fie v(z) =∫

γz

ω unde γz este un drum arbitrar din G astfel ıncat γz(0) = z0

si γz(1) = z. Atunci

v(z) =∫

γz

−∂u

∂ydx +

∂u

∂xdy, z ∈ G.

Din aceasta constructie rezulta ca functia v : G → R, definita de relatiaprecedenta, este de clasa C2 pe G si satisface (6.1.3). In plus,

∆v =∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2=

∂

∂x

(−∂u

∂y

)+

∂

∂y

(∂u

∂x

)=

∂2u

∂x∂y− ∂2u

∂y∂x≡ 0,

deci v este armonica pe G. Prin urmare v este conjugat armonic al functiei upe G. ¤

Observatia 6.1.7 (i) In demonstratia precedenta am construit o functie olo-morfa a carei parte reala este functia armonica u pe G. Daca dorim sa con-struim o functie olomorfa g pe G astfel ıncat Im g = v unde v este o functiearmonica pe G, se poate rationa astfel: determinam mai ıntai functia olomorfah pe G astfel ca Re h = v. Fie w = Im h. Atunci

ih = −w + iv,


deci v = Im (ih). Functia cautata g satisface conditia

Im (g − ih) = 0,

adica g = a + ih unde a ∈ R.(ii) Daca v este solutia obtinuta ın demonstratia Teoremei 6.1.6, atunci

orice functie vc : G → R, vc = v + c, unde c ∈ C, este conjugat armonic afunctiei u pe G.

(iii) Daca G este o multime deschisa (nu neaparat domeniu simplu conex),atunci concluzia din Teorema 6.1.6 ramane adevarata local pe G.

Are loc urmatoarea reciproca a Teoremei 6.1.6.

Teorema 6.1.8 Fie Ω un domeniu din C. Daca orice functie armonica pe Ωadmite un conjugat armonic, atunci Ω este un domeniu simplu conex.

Demonstratie. Fie f : Ω → C o functie olomorfa neconstanta astfel ıncatf(z) 6= 0, z ∈ Ω. Atunci functia u(z) = ln |f(z)| este armonica pe Ω, deciadmite un conjugat armonic v. Daca h = u + iv atunci h ∈ H(Ω), iar dacap = eh atunci este clar ca p ∈ H(Ω) si

|p(z)| = eRe h(z) = eu(z) = |f(z)|, z ∈ Ω.

Cum Ω este un domeniu, deducem ca exista α ∈ C, |α| = 1, astfel ca f ≡ αp,adica f(z) = αeh(z), z ∈ Ω. Fie α = eiγ . Atunci f(z) = eq(z), z ∈ Ω, undeq(z) = h(z) + iγ ∈ H(Ω). In final, din Teorema 5.3.7 rezulta ca Ω este simpluconex. ¤

Aratam ın continuare ca functiile armonice sunt de clasa C∞.

Propozitia 6.1.9 Fie G o multime deschisa din C si u : G → R o functiearmonica. Atunci u este de clasa C∞ pe G.

Demonstratie. Fie z0 ∈ G si δ > 0 astfel ıncat U(z0; δ) ⊂ G. Cum U(z0; δ)este domeniu simplu conex, urmeaza ca exista o functie v : U(z0; δ) → R astfelıncat u si v sunt armonic conjugate pe U(z0; δ). Atunci functia f = u+ iv esteolomorfa pe U(z0; δ), deci de clasa C∞ pe U(z0; δ). Rezulta ca u = Re f ∈C∞(U(z0; δ)). Dar z0 a fost ales ın mod arbitrar, deci u este de clasa C∞ peG. ¤

In continuare demonstram ca functiile armonice admit o reprezentare in-tegrala, cunoscuta sub numele de formula de medie pentru functii armonice.


Teorema 6.1.10 Fie G o multime deschisa din C, u : G → R o functiearmonica si U(z0; r) ⊂ G. Atunci

(6.1.4) u(z0) =12π

∫ 2π

0u(z0 + reiθ)dθ.

Demonstratie. Fie ρ > r astfel ıncat U(z0; ρ) ⊂ G. Deoarece u este functiearmonica pe G, deci si pe U(z0; ρ), deducem din Teorema 6.1.6 ca exista ofunctie f ∈ H(U(z0; ρ)) astfel ıncat u = Re f pe U(z0; ρ). Pe baza formuleilui Cauchy pentru functii olomorfe rezulta ca

f(z0) =1

2πi

∫

∂U(z0;r)

f(ζ)ζ − z0

dζ =12π

∫ 2π

0f(z0 + reiθ)dθ.

Deci

Re f(z0) =12π

∫ 2π

0Re f(z0 + reiθ)dθ,

adica obtinem (6.1.4). ¤Vom arata ıntr-un rezultat ulterior ca functiile continue cu valori reale ce

satisfac o formula de medie similara celei din (6.1.4) sunt armonice.Se stie ca functiile olomorfe neconstante pe domenii marginite din C si

continue pe frontiera ısi ating maximul modulului pe frontierele respectivelordomenii. Un rezultat similar are loc ın cazul functiilor armonice.

Teorema 6.1.11 (Principiul extremului pentru functii armonice) Fie u :G → R o functie armonica. Daca z0 ∈ G este un punct de maxim (respectivminim) al functiei u pe G, atunci u este constanta pe componenta conexa alui G ce contine punctul z0.

Demonstratie. Fie D ⊂ G componenta conexa a lui G care contine punctulz0. Presupunem ca z0 este un punct de maxim pentru functia u. Fie

E = z ∈ D : u(z) = u(z0).

Deoarece z0 ∈ E rezulta ca E 6= ∅. Se observa imediat ca E este ınchisa ınD, deoarece u este continua. Pe de alta parte, E este o multime deschisa ınD. Intr-adevar, fie a ∈ E si ρ > 0 astfel ıncat U(a; ρ) ⊂ D. Presupunem prinabsurd ca exista un punct b ∈ U(a; ρ) astfel ıncat u(b) 6= u(z0). Cum z0 estepunct de maxim pentru functia u, urmeaza ca u(b) < u(z0). Dar a ∈ E, deci


u(a) = u(z0) si u(b) < u(a). Pe de alta parte, utilizand din nou continuitateafunctiei u, deducem ca exista o vecinatate V ⊂ D a lui b astfel ıncat

u(z) < u(a), z ∈ V.

In particular, alegand δ < ρ astfel ıncat b ∈ ∂U(a; δ) si t0 ∈ [0, 2π] cuproprietatea ca b = a + δeit0 , rezulta ca exista ε > 0 si un interval J ⊂ [0, 2π]astfel ıncat t0 ∈ J si

(6.1.5) u(a + δeit) ≤ u(a)− ε, t ∈ J.

Pe de alta parte, folosind formula de medie pentru functii armonice, avemca

(6.1.6) u(a) =12π

∫ 2π

0u(a + δeit)dt.

Deoarece a + δeit ∈ D obtinem ca u(a + δeit) ≤ u(z0) = u(a), t ∈ [0, 2π],iar din (6.1.5), (6.1.6) si inegalitatea precedenta deducem ca

u(a) =12π

[∫

Ju(a + δeit)dt +

∫

[0,2π]\Ju(a + δeit)dt

]

≤ 12π

[(u(a)− ε)l(J) + u(a)(2π − l(J))] =2πu(a)− εl(J)

2π< u(a).

Contradictia obtinuta implica faptul ca u(z) = u(z0), z ∈ U(a; ρ), deciU(a; ρ) ⊂ E. Cum punctul a este ales ın mod arbitrar, urmeaza ca E estedeschisa ın D.

Prin urmare am aratat ca E este o submultime nevida, deschisa si ınchisa ınD, iar din conexitatea multimii D, deducem ca E = D. Deci u este constantape D.

Daca z0 este un punct de minim pentru functia u, atunci z0 este punctde maxim pentru functia armonica −u si aplicam concluzia precedenta.Demonstratia este ıncheiata. ¤

Precizam ca daca G este un domeniu, iar u satisface conditiile din Teorema6.1.11, atunci u este constanta pe G.

Corolarul 6.1.12 Fie G un domeniu marginit din C si u : G → R o functiecontinua pe G si armonica pe G. Atunci

(6.1.7) maxz∈G

u(z) = maxz∈∂G

u(z)


si

(6.1.8) minz∈G

u(z) = minz∈∂G

u(z).

In particular, daca u|∂G = 0 atunci u ≡ 0.

Demonstratie. Functia u fiind continua pe G ısi atinge maximul (respectivminumul) pe G. Fie z0 ∈ G astfel ıncat u(z0) = max

z∈Gu(z). Daca u este

constanta, atunci u(z) = u(z0), z ∈ G. Daca u nu este constanta atunciz0 ∈ ∂G, pe baza Teoremei 6.1.11. In ambele situatii are loc relatia (6.1.7).

Daca z1 este un punct de minim pentru functia u, atunci z1 este punct demaxim pentru −u. Deci (6.1.8) se obtine imediat din (6.1.7).

Daca u|∂G = 0 atunci u(z) ≤ 0, z ∈ G, pe baza relatiei (6.1.7), iar din(6.1.8) deducem ca u(z) ≥ 0, z ∈ G. Deci u ≡ 0. ¤

Observatia 6.1.13 Ultima parte a rezultatului precedent nu mai este ın gene-ral valabila pe domenii nemarginite. De exemplu, fie Π = z ∈ C : Im z > 0si u(z) = Im z. Este evident ca u este functie armonica pe semiplanul Π sicontinua pe Π, u(z) = 0, z ∈ ∂Π, dar u 6≡ 0.

Rezultatul urmator este cunoscut sub numele de Teorema lui Liouvillepentru functii armonice.

Teorema 6.1.14 Daca u este o functie armonica pe C si exista M ∈ R astfelıncat u(z) ≤ M , z ∈ C, atunci u este constanta.

Demonstratie. Deoarece C este domeniu simplu conex, iar u este armonicape C, deducem din Teorema 6.1.6 ca exista o functie f ∈ H(C) astfel ıncatu ≡ Re f . Fie g = ef . Atunci g ∈ H(C) si |g| = eu. Deci

|g(z)| ≤ eM , z ∈ C,

iar din Teorema lui Liouville pentru functii ıntregi deducem ca g este con-stanta. Prin urmare g′ ≡ 0, adica f ′ ≡ 0. In concluzie, f este constanta, deciu = Re f este de asemenea o functie constanta. ¤

Mentionam ca concluzia Teoremei 6.1.14 ramane valabila daca inegalitateadin ipoteza acestui rezultat este ınlocuita cu u(z) ≥ N , z ∈ C, unde N ∈ R.

In continuare aratam ca studiul functiilor armonice pe domenii simpluconexe din C diferite de C se poate reduce la studiul functiilor armonice pediscul unitate, datorita invariantei notiunii de armonicitate prin reprezentarileconforme. Acest fapt rezulta direct din Observatia 6.1.4.


Teorema 6.1.15 Fie G1, G2 domenii simplu conexe din C diferite de C sif : G1 → G2 o reprezentare conforma a lui G1 pe G2. Daca u : G2 → R esteo functie armonica, atunci u f este armonica pe G1.

6.1.2 Formula integrala a lui Poisson si Teorema lui Harnack

Reamintim ca formula integrala a lui Cauchy pe cercul ∂U(z0; r) ne permitedeterminarea completa a valorilor unei functii olomorfe pe U(z0; r) si continuepe U(z0; r), daca se cunosc valorile functiei pe ∂U(z0; r). In continuare vomstabili un rezultat analog ın cazul functiilor armonice.

Teorema 6.1.16 (Formula lui Poisson) Fie r > 0 si u : U(0; r) → R o functiearmonica pe U(0; r) si continua pe U(0; r). Atunci

(6.1.9) u(ρeiϕ) =12π

∫ 2π

0

r2 − ρ2

r2 − 2ρr cos(θ − ϕ) + ρ2u(reiθ)dθ,

pentru orice ρ ∈ [0, r) si ϕ ∈ R.

Demonstratie. Presupunem mai ıntai ca u este functie armonica pe disculınchis U(0; r), adica exista ε > 0 astfel ıncat u este bine definita si armonicape discul U(0; r + ε). Pe baza Teoremei 6.1.6, exista o functie olomorfa f peU(0; r + ε) astfel ıncat u = Re f pe U(0; r + ε). Aplicand formula lui Cauchypentru functii olomorfe, avem ca

f(z) =1

2πi

∫

∂U(0;r)

f(ζ)ζ − z

dζ =1

2πi

∫ 1

0

f(γ(t))γ(t)− z

dγ(t), z ∈ U(0; r),

unde γ(t) = re2πit, t ∈ [0, 1]. Deci

f(z) =∫ 1

0

f(re2πit)re2πit − z

re2πitdt =12π

∫ 2π

0

f(reiθ)reiθ

reiθ − zdθ, z ∈ U(0; r).

Fie z = ρeiϕ 6= 0 unde ρ < r. Atunci

(6.1.10) f(ρeiϕ) =12π

∫ 2π

0

f(reiθ)reiθ

reiθ − ρeiϕdθ.

Consideram acum z∗ = r2/z. Punctul z∗ este inversul lui z fata de cercul

∂U(0; r) si |z∗| = r2

|z| > r. Prin urmare functia g : U(0; r) → C,

g(ζ) =f(ζ)

ζ − z∗, ζ ∈ U(0; r),


este olomorfa pe U(0; r) si este continua pe U(0; r), deci

(6.1.11)∫

∂U(0;r)

g(ζ)dζ = 0,

pe baza Teoremei fundamentale a lui Cauchy. Avem ca∫

∂U(0;r)

f(ζ)ζ − z∗

dζ =∫ 1

0

f(γ(t))γ(t)− z∗

dγ(t)

= 2πi

∫ 1

0

f(re2πit)re2πit

re2πit − r2

ρeiϕ

dt = i

∫ 2π

0

f(reiθ)reiθ

reiθ − r2

ρeiϕ

dθ.

Din (6.1.11) si egalitatea precedenta obtinem ca

12π

∫ 2π

0

f(reiθ)reiθ

reiθ − r2

ρeiϕ

dθ = 0.

Scazand aceasta egalitate din (6.1.10), deducem ca

f(ρeiϕ) =12π

∫ 2π

0f(reiθ)reiθ

[ 1reiθ − ρeiϕ

− 1reiθ − r2

ρ eiϕ

]dθ

=12π

∫ 2π

0f(reiθ)

r2 − ρ2

r2 − 2ρr cos(θ − ϕ) + ρ2dθ.

Prin egalarea partilor reale ın relatia precedenta, obtinem (6.1.9) pentruρ ∈ (0, r).

Daca ρ = 0 atunci egalitatea (6.1.9) ramane valabila, deoarece este echi-valenta cu formula de medie

u(0) =12π

∫ 2π

0u(reiθ)dθ.

Asadar, am aratat ca (6.1.9) are loc daca functia u este armonica pe disculınchis U(0; r). Insa aceasta egalitate ramane valabila daca u este armonicanumai pe discul U(0; r), dar e continua pe U(0; r). Intr-adevar, fie 0 < δ < 1si w(z) = u(δz), |z| ≤ r. Atunci w este o functie de clasa C2 pe discul ınchisU(0; r), iar din faptul ca ∆u(z) = 0, z ∈ U(0; r), rezulta ca

∆w(z) = 0, |z| ≤ r,


adica w este o functie armonica pe U(0; r). Deci

w(ρeiϕ) = u(δρeiϕ) =12π

∫ 2π

0

(r2 − ρ2)r2 − 2rρ cos(θ − ϕ) + ρ2

u(δreiθ)dθ,

pentru orice ρ ∈ [0, r) si ϕ ∈ R. Cum δ a fost ales ın mod arbitrar ın (0, 1),iar u este continua pe ∂U(0; r), obtinem pentru δ → 1 ca

u(ρeiϕ) =12π

∫ 2π

0

r2 − ρ2

r2 − 2rρ cos(θ − ϕ) + ρ2u(reiθ)dθ.

Demonstratia este ıncheiata. ¤Mentionam ca formula lui Poisson se poate obtine ıntr-un cadru mai ge-

neral, prin ınlocuirea discului U(0; r) cu un disc U(z0; R). Are loc

Corolarul 6.1.17 Fie u : U(z0; R) → R o functie armonica pe U(z0; R) sicontinua pe U(z0; R). Atunci

(6.1.12) u(z0 + reiϕ) =12π

∫ 2π

0

R2 − r2

R2 − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2u(z0 + Reiθ)dθ,

pentru orice r ∈ [0, R) si ϕ ∈ R.

Demonstratie. Fie v : U → R, v(ζ) = u(z0 + Rζ). Deoarece functia f(ζ) =z0 + Rζ este olomorfa pe discul unitate ınchis U si reprezinta conform disculunitate U pe discul U(z0;R), deducem din Teorema 6.1.15 ca functia v = ufeste armonica pe discul unitate U . Mai mult, din continuitatea functiilor u sif pe U(z0;R) respectiv U , rezulta ca v este continua pe U . Aplicand formula(6.1.9), obtinem ca

v(δeiϕ) =12π

∫ 2π

0

1− δ2

1− 2δ cos(θ − ϕ) + δ2v(eiθ)dθ, 0 ≤ δ < 1, ϕ ∈ R.

Fie r ∈ [0, R) si δ = r/R. In acest caz relatia precedenta devine

u(z0 + reiϕ) =12π

∫ 2π

0

1−( r

R

)2

1− 2r

Rcos(θ − ϕ) +

( r

R

)2 u(z0 + Reiθ)dθ

=12π

∫ 2π

0

R2 − r2

R2 − 2rR cos(θ − ϕ) + r2u(z0 + Reiθ)dθ.



Observatia 6.1.18 Fie

(6.1.13) Pr(θ − ϕ,R) =R2 − r2

R2 − 2rR cos(θ − ϕ) + r2

unde r ∈ [0, R), θ, ϕ ∈ R. Daca R = 1 si r ∈ [0, 1), notam Pr(θ − ϕ, 1)cu Pr(θ − ϕ). Observam ca functia Pr(θ) (nucleul lui Poisson), definita deegalitatea

(6.1.14) Pr(θ) =1− r2

1− 2r cos θ + r2, θ ∈ [0, 2π],

satisface relatiile: Pr(θ) > 0, Pr(θ) = Pr(−θ), Pr(θ + 2π) = Pr(θ), θ ∈ [0, 2π],si

(6.1.15)12π

∫ 2π

0Pr(θ)dθ = 1, ∀r ∈ [0, 1).

Intr-adevar, (6.1.15) se obtine din (6.1.9) pentru functia u ≡ 1.Pe de alta parte, deoarece

1 + z

1− z= 1 + 2

∞∑

n=1

zn, |z| < 1,

iar seria precedenta converge uniform pe compacte ın discul unitate, deducempentru z = reiθ, 0 ≤ r < 1, ca

1 + reiθ

1− reiθ= 1 + 2

∞∑

n=1

rneinθ,

deci seria∞∑

n=1

rneinθ este uniform convergenta ın raport cu θ ∈ [0, 2π] pentru

fiecare r ∈ [0, 1) fixat. Prin urmare

Re[1 + reiθ

1− reiθ

]= 1 + 2

∞∑

n=1

rn cosnθ

= 1 +∞∑

n=1

rn(einθ + e−inθ) =∞∑

n=−∞r|n|einθ.

Deoarece

Re[1 + reiθ

1− reiθ

]=

1− r2

1− 2r cos θ + r2,


deducem ca nucleul lui Poisson admite urmatoarea dezvoltare:

(6.1.16) Pr(θ) =∞∑

n=−∞r|n|einθ, θ ∈ [0, 2π], r ∈ [0, 1).

Seria precedenta este uniform convergenta ın raport cu θ ∈ [0, 2π] pentruorice r ∈ [0, 1) fixat.

Folosind o estimare a nucleului Poisson, obtinem inegalitatea lui Harnack:

Teorema 6.1.19 Daca u : U(z0; r) → [0,∞) este o functie armonica peU(z0; r) si continua pe U(z0; r) atunci

(6.1.17)r − |z − z0|r + |z − z0|u(z0) ≤ u(z) ≤ r + |z − z0|

r − |z − z0|u(z0), z ∈ U(z0; r).

Demonstratie. Fie z ∈ U(z0; r) si ρ = |z − z0|. Alegem δ > 0 astfel ıncatρ < δ < r. Atunci

δ − ρ ≤ |δeiθ − ρeiϕ| ≤ δ + ρ, θ, ϕ ∈ R.

Cumδ2 − ρ2

δ2 − 2δρ cos(θ − ϕ) + ρ2=

δ2 − ρ2

|δeiθ − ρeiϕ|2 ,

rezulta din cele doua relatii ca

δ − ρ

δ + ρ≤ δ2 − ρ2

δ2 − 2δρ cos(θ − ϕ) + ρ2≤ δ + ρ

δ − ρ, θ, ϕ ∈ R.

Deoarece u ≥ 0, obtinem din relatia precedenta ca

δ − ρ

δ + ρu(z0 + δeiθ) ≤ δ2 − ρ2

δ2 − 2δρ cos(θ − ϕ) + ρ2u(z0 + δeiθ)

≤ δ + ρ

δ − ρu(z0 + δeiθ).

Prin integrare pe intervalul [0, 2π], obtinem ca

δ − ρ

δ + ρ· 12π

∫ 2π

0u(z0 + δeiθ)dθ

≤ 12π

∫ 2π

0

δ2 − ρ2

δ2 − 2δρ cos(θ − ϕ) + ρ2u(z0 + δeiθ)dθ


≤ δ + ρ

δ − ρ· 12π

∫ 2π

0u(z0 + δeiθ)dθ, ϕ ∈ R.

Dar12π

∫ 2π

0u(z0 + δeiθ)dθ = u(z0)

pe baza relatiei (6.1.4), deci

δ − ρ

δ + ρu(z0) ≤ 1

2π

∫ 2π

0

δ2 − ρ2

δ2 − 2δρ cos(θ − ϕ) + ρ2u(z0 + δeiθ)dθ

≤ δ + ρ

δ − ρu(z0), ϕ ∈ R.

Din formula lui Poisson (6.1.12) rezulta ca valoarea integralei precedente esteegala cu u(z0 + ρeiϕ). Prin urmare

δ − ρ

δ + ρu(z0) ≤ u(z0 + ρeiϕ) ≤ δ + ρ

δ − ρu(z0), ϕ ∈ R.

Deoarece δ a fost ales ın mod arbitrar ın intervalul (ρ, r), deducem pentruδ → r ın inegalitatile precedente ca

r − ρ

r + ρu(z0) ≤ u(z0 + ρeiϕ) ≤ r + ρ

r − ρu(z0), ϕ ∈ R.

Demonstratia este ıncheiata. ¤Vom aplica Teorema 6.1.19 ın demonstratia unui alt rezultat datorat tot

lui Harnack. Acest rezultat furnizeaza informatii referitoare la convergentauniforma pe compacte a unui sir de functii armonice.

Teorema 6.1.20 Fie G un domeniu din C si ukk∈N un sir de functii ar-monice pe G. Daca ukk∈N converge uniform pe compacte ın G la functia u,atunci u este o functie armonica pe G.

Demonstratie. Deoarece uk → u uniform pe compacte ın G si ukk∈N esteun sir de functii continue pe G, rezulta ca u este functie continua pe G. Pe dealta parte, daca U(z0; R) ⊂ G, atunci

uk(z0 + reiϕ) =12π

∫ 2π

0

R2 − r2

R2 − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2uk(z0 + Reiθ)dθ, k ∈ N,

pentru 0 ≤ r < R si ϕ ∈ R, pe baza relatiei (6.1.12). Trecand la limita ınegalitatea precedenta, obtinem ca

u(z0 + reiϕ) =12π

∫ 2π

0

R2 − r2

R2 − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2u(z0 + Reiθ)dθ.


Deci functia u satisface formula lui Poisson pe U(z0; R). Cum

R2 − r2

R2 − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2= Re

[Reiθ + reiϕ

Reiθ − reiϕ

],

urmeaza ca

u(z0 + reiϕ) =12π

∫ 2π

0Re

[Reiθ + reiϕ

Reiθ − reiϕ

]u(z0 + Reiθ)dθ, 0 ≤ r < R, ϕ ∈ R.

Fie z = z0 + reiϕ pentru r ∈ [0, R) si ϕ ∈ R. Atunci

u(z) =12π

∫ 2π

0Re

[Reiθ + (z − z0)Reiθ − (z − z0)

]u(z0 + Reiθ)dθ

= Re[

12π

∫ 2π

0

Reiθ + (z − z0)Reiθ − (z − z0)

u(z0 + Reiθ)dθ

].

Deci u(z) = Re f(z), z ∈ U(z0;R), unde

f(z) =12π

∫ 2π

0


u(z0 + Reiθ)dθ, z ∈ U(z0; R).

Se observa imediat ca f este olomorfa pe U(z0;R), deci u|u(z0;R) = Re feste o functie armonica. Deoarece discul U(z0; R) a fost ales ın mod arbitrar,deducem ca u este armonica pe G. ¤

Fie G un domeniu din C si Har(G) spatiul functiilor armonice pe G. Deci

Har(G) = u : G → R|u armonica pe G.

Consideram o exhaustiune normala Kjj∈N a lui G si C(G,R) spatiulfunctiilor continue pe G cu valori reale, ınzestrat cu metrica ρG data de (ase vedea Sectiunea 3.1)

ρG(f, g) =∞∑

j=1

‖f − g‖Kj

1 + ‖f − g‖Kj

, f, g ∈ C(G,R).

Deoarece Har(G) ⊂ C(G,R), obtinem

Corolarul 6.1.21 Fie G un domeniu din C. Atunci Har(G) este un spatiumetric complet.


Demonstratie. Deoarece C(G,R) este un spatiu metric complet, este sufi-cient sa aratam Har(G) este un subspatiu ınchis al lui C(G,R). Fie ukk∈Nun sir de functii armonice pe G astfel ıncat lim

k→∞ρG(uk, u) = 0. Atunci uk → u

uniform pe compacte ın G (a se vedea Teorema 3.1.9), iar din Teorema 6.1.20rezulta ca u este armonica pe G. ¤

Teorema 6.1.22 (Principiul lui Harnack) Fie G un domeniu din C siukk∈N un sir de functii armonice pe G. Daca uk(z) ≤ uk+1(z), z ∈ G,k ∈ N, atunci uk → ∞ uniform pe compacte ın G sau ukk∈N convergeuniform pe compacte ın G la o functie armonica pe G.

Demonstratie. Fara a restrange generalitatea, presupunem ca u1(z) ≥ 0,z ∈ G (altfel, ınlocuim sirul ukk∈N cu uk − u1k∈N). Fie

u(z) = supuk(z) : k ∈ N, z ∈ G.

Deoarece ukk∈N este un sir crescator, deducem ca uk(z) → u(z), k → ∞,pentru orice z ∈ G. Pentru fiecare z ∈ G are loc una din situatiile: u(z) = +∞sau u(z) ∈ R. Fie

M = z ∈ G : u(z) = +∞ si N = z ∈ G : u(z) < +∞.Atunci M ∪N = G si M ∩N = ∅. Vom demonstra ca multimile M si N

sunt deschise ın G.Fie z0 ∈ G si U(z0;R) un disc ınchis continut ın G. Aplicand inegalitatea

lui Harnack fiecarei functii armonice uk pe discul U(z0;R), avem

(6.1.18)R− |z − z0|R + |z − z0|uk(z0) ≤ uk(z) ≤ R + |z − z0|

R− |z − z0|uk(z0),

pentru orice z ∈ U(z0; R) si k ∈ N.Daca z0 ∈ M atunci uk(z0) → u(z0) = +∞, iar din membrul stang al

inegalitatii precedente rezulta ca uk(z) → +∞, z ∈ U(z0; R). Prin urmare,U(z0; R) ⊆ M , iar din faptul ca z0 a fost ales ın mod arbitrar, rezulta ca Meste o multime deschisa.

Daca z0 ∈ N atunci uk(z0) → u(z0) < +∞, iar din membrul drept alinegalitatii (6.1.18) deducem ca u(z) < +∞, z ∈ U(z0;R). Deci U(z0; R) ⊆ N ,adica N este multime deschisa.

Asadar, am aratat ca ambele multimi M si N sunt deschise ın G. Cum Geste conexa, rezulta ca M = ∅ sau M = G.

(i) Daca M = G atunci N = ∅. Deci u(z) = +∞, z ∈ G. Alegem

z1 ∈ G si r > 0 astfel ıncat U(z1; r) ⊂ G. Fie 0 < ρ < r si A =r − ρ

r + ρ> 0.


Din inegalitatea lui Harnack, aplicata fiecarei functii armonice uk pe disculU(z1; r), avem ca

r − |z − z1|r + |z − z1|uk(z1) ≤ uk(z) ≤ r + |z − z1|

r − |z − z1|uk(z1), z ∈ U(z1; r), k ∈ N.

In particular, daca z ∈ U(z1; ρ), atunci din membrul stang al inegalitatiiprecedente obtinem

Auk(z1) ≤ uk(z), k ∈ N.

Deoarece uk(z1) → +∞, deducem ca uk(z) → +∞, ∀z ∈ U(z1; ρ), adicauk → ∞ uniform pe U(z1; ρ). Cum ρ a fost ales ın mod arbitrar ın (0, r),rezulta ca uk →∞ uniform pe compacte ın G.

(ii) Daca M = ∅ atunci N = G, adica u(z) < +∞, z ∈ G. Fie z0 ∈ Gsi R > 0 astfel ca U(z0; R) ⊂ G. Aplicand inegalitatea lui Harnack functieiarmonice pozitive uk − up, k ≥ p, pe discul U(z0; R), obtinem ca

0 ≤ uk(z)− up(z) ≤ R + r

R− r[uk(z0)− up(z0)], z ∈ U(z0; r), r < R,

iar din faptul ca sirul uk(z0)k∈N este convergent, deducem ca uk(z)k∈Neste un sir uniform Cauchy pe U(z0; r), deci uniform convergent pe U(z0; r),r < R. Cum U(z0; r) a fost ales ın mod arbitrar, deducem ca ukk∈N este unsir convergent uniform pe compacte ın Ω, iar limita sa este o functie armonicape Ω, pe baza Teoremei 6.1.20. ¤

6.1.3 Proprietatea valorii medii pentru functii armonice

Fie G o multime deschisa din C. Am aratat ın Teorema 6.1.10 ca oricefunctie armonica pe multimea G satisface formula de medie (6.1.4). In con-tinuare, demonstram ca are loc reciproca acestui rezultat, adica aratam cafunctiile continue cu valori reale ce satisfac formula de medie sunt functii ar-monice.

Definitia 6.1.23 Fie u : G → R o functie continua. Spunem ca functia usatisface formula de medie (proprietatea valorii medii) daca pentru orice discınchis U(z0; r) ⊂ G are loc relatia

u(z0) =12π

∫ 2π

0u(z0 + reiθ)dθ.

Teorema 6.1.24 Fie u : G → R o functie continua ce satisface proprietateavalorii medii pe G. Atunci u este armonica pe G.


Demonstratie. Fara a restrange generalitatea, admitem ca functia u nueste constanta pe nici o componenta conexa a lui G (functia constanta estearmonica). Fie U(z0;R) un disc ınchis inclus ın G. Aratam ca u este armonicape U(z0; R). Deoarece u este o functie continua pe U(z0; R), rezulta ca existaz1 ∈ U(z0; R) astfel ıncat u(z1) = m unde

m = supu(z) : z ∈ U(z0; R).Pasul I. Mai ıntai aratam ca z1 ∈ ∂U(z0; R). In caz contrar, daca z1 ∈

U(z0; R) atunci u este functie constanta pe U(z0; R). Intr-adevar, fie

E = z ∈ U(z0; R) : u(z) = m.Multimea E este nevida deoarece z1 ∈ E. Pe de alta parte, deoarece u

este o functie continua, rezulta ca E este o multime ınchisa ın U(z0; R). Deasemenea, E este deschisa ın U(z0; R). Intr-adevar, daca a ∈ E, atunci dinproprietatea valorii medii obtinem ca

u(a) =12π

∫ 2π

0u(a + ρeiθ)dθ,

pentru orice ρ ∈ (0, R) astfel ca ∂U(a; ρ) ⊂ U(z0; R). Atunci

m = u(a) =12π

∫ 2π

0u(a + ρeiθ)dθ ≤ 1

2π

∫ 2π

0mdθ = m,

deci ∫ 2π

0[u(a + ρeiθ)− u(a)]dθ = 0, ρ ∈ (0, R).

Cum integrandul precedent este o functie continua negativa, deducem cau(a + ρeiθ) = u(a), θ ∈ [0, 2π]. Deci pentru orice ρ ∈ (0, R), cu proprietateaca ∂U(a; ρ) ⊂ U(z0; R), avem ca ∂U(a; ρ) ⊂ E. De aici rezulta ca a este unpunct interior multimii E. In concluzie E este deschisa ın U(z0; R).

Prin urmare E = U(z0; R) adica u(z) = u(z1), z ∈ U(z0;R). Dar aceastarelatie contrazice presupunerea ca functia u nu este local constanta pe G.

Deci z1 ∈ ∂U(z0; R).Pasul II. Consideram functia v : U(z0; R) → G,

v(z) =

12π

∫ 2π

0

R2 − r2

R2 − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2u(z0 + Reiθ)dθ, z = z0 + reiϕ,

0 ≤ r < R,0 ≤ ϕ ≤ 2π,

u(z), z ∈ ∂U(z0; R).


Din demonstratia Teoremei 6.1.20 deducem ca v este o functie armonicape U(z0; R), iar din Corolarul 6.1.17 rezulta ca v este continua pe U(z0; R).Fie w = u− v. Daca w este constanta pe U(z0; R), atunci u este armonica peU(z0; R), deoarece v este armonica.

Admitem acum ca w nu este constanta pe U(z0; R). Aplicand reprezen-tarea integrala Poisson pentru functia v pe U(z0;R) precum si proprietateavalorii medii, satisfacuta de functia u, deducem ca si functia w satisface pro-prietatea valorii medii pe U(z0; R). Cum w nu este constanta, urmeaza dindemonstratia pasului I (aplicata functiei continue w) ca

w(z) ≤ supw(ζ) : ζ ∈ ∂U(z0; R) = 0, z ∈ U(z0;R),

deci w(z) ≤ 0, z ∈ U(z0; R). Rationand ın mod analog cu functia −w, rezultaca −w(z) ≤ 0, z ∈ U(z0; R). Prin urmare u(z) = v(z), z ∈ U(z0;R), deci ueste armonica pe U(z0; R).

In ambele situatii am aratat ca u este functie armonica pe discul U(z0; R).Cum U(z0; R) a fost ales ın mod arbitrar, rezulta ca u este armonica pe G.Demonstratia este ıncheiata. ¤

Observatia 6.1.25 Folosind un rationament apropiat celui din demonstratiaprecedenta, se poate arata ca daca G este o multime deschisa din C si u :G → R este o functie continua ce satisface conditia: pentru orice z ∈ G, existar0 = r0(z) > 0 astfel ıncat U(z; r0) ⊂ G si

u(z) =12π

∫ 2π

0u(z + reiθ)dθ, ∀r ∈ (0, r0],

atunci u este armonica pe G. O demonstratie completa a acestui rezultatpoate fi consultata ın [Gre-Kra, p. 220-222].

6.1.4 Principiul simetriei lui Schwarz

Aplicam acum proprietatea valorii medii la deducerea principiului simetriei(reflectiei) lui Schwarz pentru functii armonice.

Teorema 6.1.26 Fie G ⊆ C un domeniu simetric ın raport cu axa reala,G+ = z ∈ G : Im z > 0 si G− = z ∈ G : Im z < 0. Presupunem caG ∩ R = x ∈ R : a < x < b si v : G+ → R este o functie armonica astfelıncat lim

z→ζz∈G+

v(z) = 0, ζ ∈ G ∩ R. Atunci exista o functie w armonica pe G

astfel ıncat w|G+ = v si w(z) = −v(z), z ∈ G−.


Demonstratie. Consideram functia w : G → R, definita de relatia

w(z) =

v(z), z ∈ G+

0, z ∈ G ∩ R−v(z), z ∈ G−.

Atunci w|G+ = v. Vom arata ca w este armonica pe G. Pentru aceasta,aplicam proprietatea valorii medii si Observatia 6.1.25.

Deoarece v este continua pe G+ si limz→ζ

z∈G+

v(z) = 0, ζ ∈ G ∩ R, deducem

imediat ca functia w este continua pe G. Demonstram ın continuare ca functiaw satisface proprietatea valorii medii pe G. Pentru aceasta, fie z0 ∈ G. Pebaza Observatiei 6.1.25, aratam ca exista r0 > 0 astfel ıncat U(z0; r) ⊂ G si

w(z0) =12π

∫ 2π

0w(z0 + reiθ)dθ, ∀r ∈ (0, r0].

Intr-adevar, daca U(z0; r0) ⊂ G+ atunci pe baza Teoremei 6.1.10 rezultaca

v(z0) =12π

∫ 2π

0v(z0 + reiθ)dθ, ∀r ∈ (0, r0].

Cum z0 + r0eiθ ∈ ∂U(z0; r) ⊂ G+ pentru orice θ ∈ [0, 2π], urmeaza ca v(z0 +

reiθ) = w(z0 + reiθ), deci

w(z0) = v(z0) =12π

∫ 2π

0w(z0 + reiθ)dθ, ∀r ∈ (0, r0].

Daca U(z0; r0) ⊂ G−, atunci U(z0; r0) ⊂ G+, si folosind din nou Teorema6.1.10 precum si faptul ca functia v(z) este armonica pe G−, obtinem ca

v(z0) =12π

∫ 2π

0v(z0 + reiθ)dθ, ∀r ∈ (0, r0],

deci

w(z0) =12π

∫ 2π

0w(z0 + re−iθ)dθ =

12π

∫ 2π

0w(z0 + reit)dt, ∀r ∈ (0, r0].

Ramane sa aratam ca w satisface conditia din Observatia 6.1.25 pe G∩R.Fie x0 ∈ G ∩ R si ρ > 0 astfel ıncat U(x0; ρ) ⊂ G. Atunci w(x0) = 0 si

∫ 2π

0w(x0 + ρeiθ)dθ =

∫ π

0w(x0 + ρeiθ)dθ +

∫ 2π

πw(x0 + ρeiθ)dθ

=∫ π

0w(x0 + ρeiθ)dθ +

∫ π

0w(x0 + ρei(θ+π))dθ.


Deoarece w(x + iy) = −w(x− iy), x + iy ∈ G, rezulta ca∫ π

0w(x0 + ρei(θ+π))dθ = −

∫ π

0w(x0 + ρei(π−θ))dθ = −

∫ π

0w(x0 + ρeit)dt.

Asadar, am obtinut ca

∫ 2π

0w(x0 + ρeiθ)dθ =

∫ π

0w(x0 + ρeiθ)dθ −

∫ π

0w(x0 + ρeit)dt = 0.

Deci

0 = w(x0) =12π

∫ 2π

0w(x0 + ρeiθ)dθ.

Din Teorema 6.1.24 si Observatia 6.1.25 rezulta ca w este armonica pe G.Demonstratia este ıncheiata. ¤

In continuare aplicam Teorema 6.1.26 la obtinerea principiului simetriei(reflectiei) pentru functii olomorfe. Acest rezultat este util ın multe problemedin teoria functiilor de o variabila complexa. De asemenea, Teorema 6.1.27are aplicatii practice ın mecanica fluidelor, de exemplu la demonstrarea para-doxului lui Stokes (a se vedea [Ko2]).

Teorema 6.1.27 Fie G ⊂ C un domeniu simetric ın raport cu axa reala sif : G+ → C o functie olomorfa astfel ıncat

(6.1.19) limz→ζ

z∈G+

Im f(z) = 0, ζ ∈ G ∩ R.

Atunci exista o functie F olomorfa pe G astfel ıncat F |G+ = f si

(6.1.20) F (z) = F (z), z ∈ G.

Demonstratie. Fie f(z) = u(z) + iv(z), z ∈ G+. Atunci u si v sunt functiiarmonice pe G+. Din (6.1.19) rezulta ca v satisface conditiile din Teorema6.1.26, deci exista o functie w armonica pe G astfel ıncat w|G+ = v si w(z) =−v(z), z ∈ G−.

Fie x0 ∈ G∩R un punct fixat si ρ > 0 astfel ıncat U(x0; ρ) ⊂ G. Notam cuU+(x0; ρ) = z ∈ U(x0; ρ) : Im z > 0 si U−(x0; ρ) = z ∈ U(x0; ρ) : Im z <0. Cum restrictia w a functiei w la U(x0; ρ) este armonica, iar U(x0; ρ)este un domeniu simplu conex din C, urmeaza din Teorema 6.1.6 ca exista ofunctie u armonica pe U(x0; ρ) astfel ıncat u + iw sa fie olomorfa pe U(x0; ρ).Fie F = u + iw. Atunci Im F (z) = 0, z ∈ U(x0; ρ) ∩ R. Pe de alta parte,


Im f(z) = Im F (z), z ∈ U+(x0; ρ), deoarece w = w|U+(x0;ρ) = v|U+(x0;ρ).Rezulta deci ca exista o constanta λ ∈ R, astfel ıncat

f(z) = F (z) + λ, z ∈ U+(x0; ρ).

Consideram acum functia H = F + λ, z ∈ U(x0; ρ). Atunci H este olo-morfa pe U(x0; ρ) si H|U+(x0;ρ) = f . Prin urmare functia f admite prelungireolomorfa la U(x0; ρ).

Pe de alta parte, se verifica imediat, folosind sistemul Cauchy-Riemann, cafunctia h(z) = H(z) este de asemenea olomorfa pe discul U(x0; ρ). DeoareceIm F (x) = 0, x ∈ U(x0; ρ) ∩ R, deducem ca

h(x) = H(x) = F (x) + λ = F (x) + λ = H(x), x ∈ U(x0; ρ) ∩ R.

Decih(x)− H(x) = 0, x ∈ U(x0; ρ) ∩ R,

iar din Teorema identitatii functiilor olomorfe rezulta ca h ≡ H pe U(x0; ρ),adica

(6.1.21) H(z) = H(z), z ∈ U(x0; ρ).

Asadar, am aratat ca functia f admite o prelungire olomorfa H la U(x0; ρ),care verifica relatia (6.1.21).

Daca x1 ∈ R, x1 6= x0 si r > 0 astfel ıncat U(x1; r) ⊂ G, atunci functia fadmite din nou o prelungire olomorfa H la U(x1; r), astfel ıncat

H(z) = H(z), z ∈ U(x1; ρ).

Presupunem ca U(x0; ρ) ∩ U(x1; r) 6= ∅. Atunci H = H = f pe domeniulz ∈ U(x0; ρ) ∩ U(x1; r) : Im z > 0, iar din Teorema identitatii functiilorolomorfe deducem ca

H(z) = H(z), z ∈ U(x0; ρ) ∩ U(x1; r).

Deci functia f se prelungeste olomorf pe orice disc U(x; ρx) unde x ∈ G∩R,iar prelungirea sa olomorfa H∗ pe U(x; ρx) satisface conditia

H∗(z) = H∗(z), z ∈ U(x; ρx).

Mai mult, din aceasta egalitate deducem ca exista limz→x

z∈G+

f(z) pentru orice x ∈

G ∩ R.


Pe baza rationamentului precedent este justificat sa definim functia F :G → C,

F (z) =

f(z), z ∈ G+

limζ→z

ζ∈G+

f(z), z ∈ G ∩ R

f(z), z ∈ G−,

si ramane sa aratam ca F este olomorfa pe G. Pentru aceasta este suficient saaratam ca are loc olomorfia pe G−. Fie U(a; η) un disc arbitrar inclus ın G−.Atunci U(a; η) ⊂ G+ si cum f este olomorfa pe U(a; η), rezulta ca

f(z) =∞∑

k=0

ck(z − a)k, z ∈ U(a; η),

unde ck =1k!

f (k)(0), k ∈ N. Atunci

F (z) = f(z) =∞∑

k=0

ck(z − a)k, z ∈ U(a; η),

adica F este analitica si deci olomorfa pe U(a; η).Demonstratia este ıncheiata. ¤

Exemplul 6.1.28 Fie f : U → C o functie continua pe discul unitate ınchisU si olomorfa pe U . Presupunem ca exista un arc J ⊆ ∂U astfel ca f |J = 0.Atunci f ≡ 0.

Demonstratie. Daca J = ∂U atunci concluzia este clara pe baza Teoremeimaximului modulului pentru functii olomorfe. Este deci suficient sa presupu-nem ca J 6= ∂U . Atunci exisa z0 ∈ ∂U \ J . Efectuand o rotatie convenabila,putem presupune ca z0 = −1. Fie ψ : U → Π, ψ(z) = i(1 − z)/(1 + z), undeΠ este semiplanul superior. Atunci functia g = f ψ−1 este olomorfa pe Π,continua pe Π si g|ψ(J) = 0. Notam cu I = ψ(J). Atunci I este un segmentde pe axa reala. Fie D un disc astfel ıncat D+ ⊂ Π si ∂D+ ∩ R ⊆ I undeD+ = z ∈ D : Im z > 0. Pe baza principiului reflectiei lui Schwarz pentrufunctii olomorfe, deducem ca functia g admite o prelungire olomorfa G la D.Dar G|I = 0, iar din Teorema identitatii functiilor olomorfe rezulta ca G ≡ 0.Prin urmare f ≡ 0. ¤


Observatia 6.1.29 Principiul reflectiei pentru functii olomorfe (Teorema6.1.27) se poate generaliza ıntr-un cadru mult mai larg si anume ınlocuindsimetria ın raport cu axa reala cu cea ın raport cu arce de cerc. Aceasta esteposibil, deoarece axa reala (mai general, orice dreapta din C) se transformaprintr-o functie omografica convenabila ıntr-un cerc. Pentru detalii se pot con-sulta lucrarile [Gre-Kra], [Gam], [Rud], surse principale folosite ın alcatuireaacestei sectiuni.

6.1.5 Formula lui Poisson pentru functii olomorfe cu parteareala pozitiva

Vom prezenta in continuare o reprezentare integrala pentru functii olomorfepe discul unitate U si continue pe U . Demonstatia acestui rezultat se va bazape Teorema 6.1.16.

Teorema 6.1.30 Fie f : U → C o functie olomorfa pe U si continua pe U .Atunci

(6.1.22) f(z) =12π

∫ 2π

0

[eiθ + z

eiθ − z

]Re f(eiθ)dθ + iIm f(0), z ∈ U.

Demonstratie. Fie u = Re f si v = Im f . Cum u si v sunt functii armonicepe U si continue pe U , deducem din Teorema 6.1.16 ca

u(z) =12π

∫ 2π

0

1− r2

1− 2r cos(θ − ϕ) + r2u(eiθ)dθ

si

v(z) =12π

∫ 2π

0

1− r2

1− 2r cos(θ − ϕ) + r2v(eiθ)dθ,

pentru orice z = reiϕ ∈ U . Deci

f(z) = u(z) + iv(z) =12π

∫ 2π

0

1− r2

1− 2r cos(θ − ϕ) + r2f(eiθ)dθ,

iar din faptul ca

Re[eiθ + reiϕ

eiθ − reiϕ

]=

1− r2

1− 2r cos(θ − ϕ) + r2,

obtinem ca

(6.1.23) f(z) =12π

∫ 2π

0f(eiθ)Re

[eiθ + z

eiθ − z

]dθ, z = reiϕ ∈ U.


Consideram acum functia g : U → C,

g(z) =12π

∫ 2π

0

eiθ + z

eiθ − zRe f(eiθ)dθ, z ∈ U.

Atunci g ∈ H(U) iar din (6.1.23) rezulta ca

Re g(z) =12π

∫ 2π

0Re f(eiθ)Re

[eiθ + z

eiθ − z

]dθ = Re f(z),

pentru orice z ∈ U . Deci Re (g − f) ≡ 0. Deducem ca g − f este constanta,deci exista a ∈ R astfel ıncat

f(z) = g(z) + ia, z ∈ U,

adica

(6.1.24) f(z) =12π

∫ 2π

0

eiθ + z

eiθ − zRe f(eiθ)dθ + ia, z ∈ U.

In particular, daca z = 0 ın egalitatea precedenta atunci

(6.1.25) f(0) =12π

∫ 2π

0Re f(eiθ)dθ + ia.

Pe de alta parte, aplicand formula de medie (6.1.4) pentru functii armonice,avem ca

Re f(0) =12π

∫ 2π

0Re f(eiθ)dθ.

Combinand egalitatea precedenta cu (6.1.25) deducem ca a = Im f(0), iardin (6.1.25) obtinem relatia (6.1.22). Demonstratia este ıncheiata. ¤

Un rationament similar celui precedent, bazat pe Corolarul 6.1.17, arataca formula (6.1.22) se poate extinde si ın cazul functiilor olomorfe pe disculU(z0; R) unde z0 ∈ C. Are loc

Corolarul 6.1.31 Fie f : U(z0; R) → C o functie olomorfa pe U(z0; R) sicontinua pe U(z0; R). Atunci

f(z) =12π

∫ 2π

0


Re f(z0 + Reiθ)dθ + iIm f(z0),

pentru orice z ∈ U(z0; R).

Lasam demonstratia acestui rezultat pe seama cititorului.


Probleme

Problema 6.1.1 Fie G o multime deschisa din C si u, v : G → R functiiarmonice. In ce conditii produsul u · v este o functie armonica pe G?

Problema 6.1.2 Fie G un domeniu din C si u : G → R o functie armonica.Sa se arate ca u2 este armonica pe G daca si numai daca u este constanta.Daca u(z) 6= 0, z ∈ G, si functia 1/u este armonica, sa se arate ca u esteconstanta.

Problema 6.1.3 Sa se determine functia f ∈ H(C) astfel ıncat Re f(z) =ex cos y, z = x + iy ∈ C si f(0) = 1. Aceeasi problema ın conditiile Re f(z) =ex(x cos y − y sin y), z = x + iy ∈ C, f(0) = 0.

Problema 6.1.4 Sa se determine functia f ∈ H(C) astfel ıncat Im f(z) =2xy, z = x + iy ∈ C si f(0) = 0. Aceeasi problema ın conditiile Im f(z) =3x2y − y3, z = x + iy ∈ C, f(0) = 0.

Problema 6.1.5 Sa se determine ın ce conditii functia u(z) = xϕ(x2 + y2),z = x + iy, este armonica pe C∗. Aceeasi problema ın cazul functiilor u(z) =φ(x), u(z) = exψ(y), respectiv u(z) = ψ(y), z = x + iy ∈ C.

Problema 6.1.6 Fie G o multime deschisa din C si f : G → C o functieolomorfa astfel ıncat f(z) 6= 0, z ∈ G. Sa se arate ca ln |f | este functiearmonica pe G.

Problema 6.1.7 Fie u : U → [0,∞) o functie armonica astfel ıncat u(0) = 1.Sa se arate ca u(1/2) ∈ [1/3, 3].

Problema 6.1.8 Sa se determine o functie f ∈ H(U) astfel ıncat Re f(z) =

ln∣∣∣∣1− z

1 + z

∣∣∣∣, z ∈ U .

Problema 6.1.9 Sa se arate ca nu exista f ∈ H(C∗) astfel ıncat Re f(z) =ln(x2 + y2), z = x + iy ∈ C∗.Problema 6.1.10 Fie D = C \ z ∈ C : Re z ≤ 0, Im z = 0. Sa sedetermine functia olomorfa f : D → C astfel ıncat Re f(z) = ln(x2 + y2),z = x + iy ∈ D si f(1) = 0.

Problema 6.1.11 Fie f : U → C o functie olomorfa pe discul unitate U sicontinua pe U . Sa se arate ca

Im f(z) =12π

∫ 2π

0Im

(eiθ + z

eiθ − z

)Re f(eiθ)dθ + Im f(0), z ∈ U.

6.2. Functii subarmonice 213

Indicatie. Se folosesc formulele (6.1.22) si (6.1.9), ultima aplicandu-se ıncazul functiei u = Re f .

6.2 Functii subarmonice

In cele ce urmeaza prezentam diverse proprietati ale functiilor subarmonice.In acest sens reamintim mai ıntai notiunea de functie superior semicontinuape un spatiu metric. Pentru detalii se poate consulta [Na-Ni].

Definitia 6.2.1 Fie X un spatiu metric si v : X → [−∞,∞) o functie.Functia v se numeste superior semicontinua pe X (superior semicontinua)daca

(6.2.1) lim supz→ζ

v(z) ≤ v(ζ), ζ ∈ X.

Conditia (6.2.1) este echivalenta cu faptul ca pentru orice ε > 0 si oriceζ ∈ X, exista o vecinatate V a lui ζ astfel ıncat

(6.2.2) v(x) ≤ v(ζ) + ε, x ∈ V,

daca v(ζ) > −∞. Daca v(ζ) = −∞, conditia (6.2.1) este echivalenta cu faptulca pentru orice ε > 0 si orice ζ ∈ X, exista o vecinatate V a lui ζ astfel ıncat

(6.2.3) v(x) < −ε, x ∈ V.

Se observa imediat ca daca v : X → R este continua, atunci v este superiorsemicontinua. Insa nu orice functie superior semicontinua este continua.

Prezentam cateva proprietati importante ale functiilor semicontinue supe-rior. Demonstratiile acestor proprietati pot fi gasite ın [Na-Ni].

Lema 6.2.2 Fie X un spatiu metric si v : X → [−∞,∞) o functie. Atunciurmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) v este superior semicontinua.(ii) Multimea x ∈ X : v(x) < a este deschisa pentru orice a ∈ R.(iii) Multimea x ∈ X : v(x) ≥ b este ınchisa pentru orice b ∈ R.

Lema 6.2.3 Fie X un spatiu metric si v : X → [−∞,∞) o functie superiorsemicontinua. Atunci au loc urmatoarele afirmatii:

(i) v este marginita superior pe orice submultime compacta a lui X.(ii) Daca v este marginita superior pe X si A = supv(ζ) : ζ ∈ X, atunci

multimea x ∈ X : v(x) = A este ınchisa.


(iii) Daca v(x) ≥ 0, x ∈ X, atunci functia u(x) = ln v(x) este superiorsemicontinua pe X.

(iv) Daca X este spatiu metric compact, atunci exista ζ ∈ X astfel ıncatv(ζ) = supv(x) : x ∈ X.

Observatia 6.2.4 Daca v1 si v2 sunt functii superior semicontinue pe X, iara, b ≥ 0, atunci functiile

av1 + bv2 si f(x) = maxv1(x), v2(x)sunt superior semicontinue pe X.

Acum putem defini notiunea de subarmonicitate. In cele ce urmeaza fie Go multime deschisa din C.

Definitia 6.2.5 O functie v : G → [−∞,∞) se numeste subarmonica pe G(subarmonica) daca sunt satisfacute urmatoarele conditii:

(i) v este superior semicontinua.(ii) Pentru orice disc ınchis U(z; r) continut ın G si pentru orice functie

u : U(z; r) → R continua pe U(z; r) si armonica pe U(z; r) cu v ≤ u pe∂U(z; r), rezulta ca v ≤ u pe U(z; r).

(iii) v nu este identic egala cu −∞ pe nici o componenta conexa a lui G.

Conditia (ii) exprima faptul ca functia v−u satisface principiul maximuluipe U(z; r). Pe de alta parte, ın conditia (ii) discul U(z; r) se poate ınlocui cuorice domeniu marginit D cu D ⊂ G.

Exemplul 6.2.6 Orice functie armonica pe G este subarmonica.

Demonstratie. Intr-adevar, daca u : G → R este armonica atunci u estede clasa C2 pe G, deci u este si superior semicontinua pe G. Mai mult, dacaU(z; r) este un disc ınchis continut ın G, iar h : U(z; r) → R este continua peU(z; r) si armonica pe U(z; r) astfel ıncat u−h ≤ 0 pe ∂U(z; r), atunci functiaarmonica u−h satisface aceeasi inegalitate pe U(z; r), pe baza principiului ex-tremului pentru functii armonice (Teorema 6.1.11). Deci u este subarmonica.¤

Se stie ca daca J este un interval deschis din R, iar f : J → R este o functiede clasa C2 pe J astfel ıncat f ′′(x) ≥ 0, x ∈ J , atunci f este convexa pe J .

Vom arata ca daca v este de clasa C2 pe G si 4v ≥ 0 pe G, atunci veste subarmonica pe G. Asadar, functiile subarmonice pot fi considerate caanaloagele ın C ale functiilor convexe. Mai mult, orice functie convexa pe Gcu valori reale (G fiind considerata ca submultime a lui R2) este subarmonica.


6.2.1 Proprietati elementare ale functiilor subarmonice

Vom prezenta ın continuare cateva proprietati ale functiilor subarmonice.In cele ce urmeaza, fie G o multime deschisa din C.

Teorema 6.2.7 (Principiul maximului pentru functii subarmonice) Fie v :G → [−∞,∞) o functie subarmonica. Daca exista z0 ∈ G astfel ıncat v(z) ≤v(z0), z ∈ G, atunci v este constanta pe componenta conexa a lui G ce continepunctul z0.

Demonstratie. Daca v(z0) = −∞ atunci v(z) = −∞, z ∈ G. Prin urmareputem admite ca v(z0) > −∞. Fie D ⊂ G componenta conexa a lui G cecontine punctul z0. Presupunem prin absurd ca v|D nu este constanta. Atunciexista ρ > 0 astfel ıncat U(z0; ρ) ⊂ D si v|U(z0;ρ) 6≡ v(z0). De aici deducem caexista r ∈ (0, ρ) si a ∈ ∂U(z0; r) astfel ıncat v(a) < v(z0). Fie θ0 ∈ [0, 2π] astfelıncat a = z0+reiθ0 . Din faptul ca v este superior semicontinua si v(a) < v(z0),rezulta ca exista ε > 0 si un interval J ⊂ [0, 2π] astfel ıncat

v(z0 + reiθ) ≤ v(z0)− ε, θ ∈ J.

Pe de alta parte, din proprietatea subvalorii medii pentru functii subarmo-nice (Teorema 6.2.12), obtinem ca

v(z0) ≤ 12π

∫ 2π

0v(z0 + reiθ)dθ.

Cum v(z0+reiθ) ≤ v(z0), θ ∈ [0, 2π], pe baza ipotezei, urmeaza din relatiileprecedente ca

v(z0) ≤ 12π

∫ 2π

0v(z0 + reiθ)dθ

=12π

[ ∫

J

v(z0 + reiθ)dθ +∫

[0,2π]\J

v(z0 + reiθ)dθ

]

≤ 12π

[(v(z0)− ε)l(J) + v(z0)(2π − l(J))]

=2πv(z0)− εl(J)

2π< v(z0),

unde l(J) este lungimea intervalului J . Contradictia obtinuta arata ca v esteconstanta pe D. Demonstratia este ıncheiata. ¤


Corolarul 6.2.8 Fie v : G → [−∞,∞) o functie subarmonica, iar D este undomeniu marginit astfel ıncat D ⊂ G. Daca v|D nu este constanta, atunci

v(z) < supv(ζ) : ζ ∈ ∂D, z ∈ D.

Referitor la sirurile de functii subarmonice au loc urmatoarele rezultate:

Teorema 6.2.9 Fie vkk∈N un sir de functii subarmonice pe G astfel ıncatsupk∈N

vk(z) < +∞, z ∈ G. Daca functia v(z) = supk∈N

vk(z) este superior semi-

continua pe G atunci v este subarmonica.

Demonstratie. Mai ıntai, pe baza definitiei functiei v, observam ca aceastanu este identic egala cu −∞ pe nici o componenta conexa a lui G. De aseme-nea, deoarece vkk∈N este un sir de functii superior semicontinue, rezulta casi functia v este superior semicontinua. Ramane sa verificam conditia (ii) dinDefinitia 6.2.5. Fie z0 ∈ G si r > 0 astfel ıncat U(z0; r) ⊂ G. De asemenea,fie u : U(z0; r) → R o functie continua pe U(z0; r) si armonica pe U(z0; r).Presupunem ca v(z) ≤ u(z), z ∈ ∂U(z0; r). Din definitia functiei v rezulta ca

vk(z) ≤ u(z), z ∈ ∂U(z0; r), k ∈ N,

iar din faptul ca vk este subarmonica, deducem ca

vk(z) ≤ u(z), z ∈ U(z0; r), k ∈ N.

Deciv(z) = sup

k∈Nvk(z) ≤ u(z), z ∈ U(z0; r).

¤Daca sirul de functii subarmonice este descrescator si converge punctual

pe G, atunci are loc

Teorema 6.2.10 Fie vkk∈N un sir de functii subarmonice pe G astfel ıncatvk+1(z) ≤ vk(z), pentru orice k ∈ N si z ∈ Ω. Daca functia v(z) = lim

k→∞vk(z)

nu este identic egala cu −∞ pe nici o componenta conexa a lui G, atunci veste subarmonica.

Demonstratie. Mai ıntai aratam ca functia v este superior semicontinua peG. Intr-adevar, se observa imediat ca

z ∈ G : v(z) < α =⋃

j∈Nz ∈ G : vj(z) < α, α ∈ R,


iar din faptul ca multimea z ∈ G : vj(z) < α este deschisa, j ∈ N, pe bazaLemei 6.2.2, deducem ca multimea z ∈ G : v(z) < α este de asemeneadeschisa. Rezulta ca v este superior semicontinua.

In continuare demonstram ca v satisface conditia (ii) din Definitia 6.2.5.Fie z0 ∈ G si r > 0 astfel ıncat U(z0; r) ⊂ G. Consideram o functie u :U(z0; r) → R continua pe U(z0; r) si armonica pe U(z0; r). Aratam ca daca

v(z) ≤ u(z), z ∈ ∂U(z0; r),

atunci v(z) ≤ u(z), z ∈ U(z0; r). Avem ca

limk→∞

vk(z) ≤ u(z), z ∈ ∂U(z0; r).

Fie ε > 0 fixat si

Ek = z ∈ ∂U(z0; r) : vk(z) ≥ u(z) + ε, k ∈ N.

Deoarece vk este superior semicontinua pe G, iar u este continua pe G,rezulta ca Ek este o multime ınchisa. Intr-adevar, daca w0 ∈ Ek, atunci existaun sir zjj∈N ⊂ Ek astfel ca zj → w0, j →∞. Deci zj ∈ ∂U(z0; r) si

vk(zj) ≥ u(zj) + ε, j ∈ N.

Prin trecere la limita ın inegalitatea precedenta, obtinem ca

(6.2.4) lim supj→∞

vk(zj) ≥ lim supj→∞

u(zj) + ε = u(w0) + ε,

iar din (6.2.1) deducem ca

(6.2.5) vk(w0) ≥ lim supj→∞

vk(zj).

Pe baza relatiilor (6.2.4) si (6.2.5) rezulta ca

vk(w0) ≥ u(w0) + ε, k ∈ N,

deci w0 ∈ Ek.Prin urmare fiecare multime Ek este ınchisa, iar din faptul ca Ek este

marginita, deducem ca Ek este compacta.Pe de alta parte, deoarece vkk∈N este un sir descrescator, avem ca

Ek+1 ⊆ Ek ⊆ · · · ⊆ E1, k ∈ N.


Mai mult,⋂

k∈NEk = ∅ deoarece u(z) ≥ v(z), z ∈ ∂U(z0; r). Cum Ek este o

multime compacta pentru orice k ∈ N, urmeaza ca exista k0 ∈ N astfel ıncatEk0 = ∅, adica

vk0(z) < u(z) + ε, z ∈ ∂U(z0; r).

Pe baza principiului maximului pentru functii subarmonice obtinem ca

(6.2.6) vk0(z) ≤ u(z) + ε, z ∈ U(z0; r).

Deoarece sirul vjj∈N este descrescator si convergent punctual pe G, de-ducem ca

v(z) = limj→∞

vj(z) ≤ vk0(z), z ∈ U(z0; r).

Din (6.2.6) si relatia precedenta obtinem

v(z) < u(z) + ε, z ∈ U(z0; r).

Cum ε a fost ales ın mod arbitrar, urmeaza ca v(z) ≤ u(z), z ∈ U(z0; r).Demonstratia este ıncheiata. ¤

Observatia 6.2.11 Demonstratia Teoremei 6.2.10 se poate mult simplificadaca ın ipoteza acestui rezultat admitem ca vk este o functie continua si su-barmonica pe G pentru orice k ∈ N. Pe baza Teoremei 6.2.12 deducem cafunctiile vk satisfac inegalitatea (6.2.7) local pentru orice k, iar prin trecere lalimita, obtinem ca si functia v satisface (6.2.7). Deci v este subarmonica.

6.2.2 Proprietatea subvalorii medii. Aplicatii

In continuare prezentam o conditie necesara si suficienta pentru ca o functiecontinua pe o multime deschisa G ⊆ C sa fie subarmonica. Aceasta conditieeste cunoscuta sub numele de Proprietatea subvalorii medii. Mentionam caTeorema 6.2.12 ramane valabila daca conditia de continuitate a functiei v dinipoteza se ınlocuieste cu faptul ca v este superior semicontinua pe G si nu esteidentic egala cu −∞ pe nici o componenta conexa a lui G.

Teorema 6.2.12 Fie v : G → R o functie continua. Atunci v este subarmo-nica daca si numai daca pentru orice z0 ∈ G, exista r = r(z0) > 0 astfel ıncatU(z0; r) ⊆ G si

(6.2.7) v(z0) ≤ 12π

∫ 2π

0v(z0 + ρeiθ)dθ, ρ ∈ [0, r).


Demonstratie. Necesitatea. Fie z0 ∈ G si r > 0 astfel ıncat U(z0; r) ⊆ G.De asemenea, fie ρ ∈ [0, r). Atunci exista o functie u : U(z0; ρ) → R continuape U(z0; ρ) si armonica pe U(z0; ρ) astfel ıncat u(z) = v(z), z ∈ ∂U(z0; ρ). Deexemplu, putem alege functia u astfel:

u(z0 + δeiθ) =12π

∫ 2π

0

ρ2 − δ2

ρ2 − 2ρδ cos(θ − ϕ) + δ2v(z0 + ρeiϕ)dϕ,

pentru 0 ≤ δ < ρ, si u(z0 + ρeiθ) = v(z0 + ρeiθ), θ ∈ [0, 2π] (a se vedeaProblema 6.2.7).

Deoarece functia v este subarmonica pe G si v(z) = u(z), z ∈ pU(z0; ρ),deducem ca v(z) ≤ u(z), z ∈ U(z0; ρ). Pe de alta parte, aplicand proprietateavalorii medii pentru functii armonice, avem ca

u(z0) =12π

∫ 2π

0u(z0 + ρeiθ)dθ =

12π

∫ 2π

0v(z0 + ρeiθ)dθ.

Deci

v(z0) ≤ u(z0) =12π

∫ 2π

0v(z0 + ρeiθ)dθ.

Suficienta. Admitem ca v satisface conditia (6.2.7). Fie U(z1; r1) ⊂ Gsi w : U(z1; r1) → R o functie armonica pe U(z1; r1) si continua pe U(z1; r1),astfel ıncat v(z) ≤ w(z), z ∈ ∂U(z1; r1). Aratam ca v(z) ≤ w(z), z ∈ U(z1; r1).

Presupunem prin absurd ca exista un punct a ∈ U(z1; r1) astfel ca v(a) >w(a). Fie f(z) = v(z)−w(z), z ∈ U(z1; r1) si η = max

z∈U(z1;r1)f(z). Atunci η > 0

deoarece η ≥ f(a) > 0. In plus, η < ∞ datorita continuitatii functiei f pecompactul U(z1; r1).

Consideram multimea

A = z ∈ U(z1; r1) : f(z) = η.Atunci A este o multime ınchisa si nevida. Deoarece f(z) ≤ 0, z ∈ ∂U(z1; r1),iar η > 0, rezulta ca A ⊂ U(z1; r1). Fie b ∈ ∂A. Atunci b nu este punctinterior multimii A, deci exista un sir sir rkk∈N de numere pozitive, astfelıncat rk → 0 si U(b; rk) ⊂ U(z1; r1)\A, k ∈ N. Atunci f(z) ≤ η, z ∈ ∂U(b; rk),dar, pe baza continuitatii functiei f , exista un arc γ ⊂ ∂U(b; rk) de lungimepozitiva astfel ıncat γ 6⊂ A, adica f(z) < η, z ∈ γ.

Aplicand proprietatea valorii medii pentru functii armonice si relatia pre-cedenta, rezulta ca

12π

∫ 2π

0v(b + rke

iθ)dθ − w(b) =12π

∫ 2π

0[v(b + rke

iθ)− w(b + rkeiθ)]dθ


=12π

∫ 2π

0f(b + rke

iθ)dθ < η = f(b) = v(b)− w(b), k ∈ N.

Deci12π

∫ 2π

0v(b + rke

iθ)dθ < v(b), k ∈ N,

ceea ce reprezinta o contradictie cu (6.2.7).Prin urmare conditia (ii) din Definitia 6.2.5 este satisfacuta. Demonstratia

e ıncheiata. ¤In rezultatul urmator prezentam o conditie necesara si suficienta pentru

ca o functie de clasa C2 pe multimea deschisa G sa fie subarmonica. Pe bazaTeoremei 6.2.13, deducem din nou ca orice functie armonica este si subarmo-nica.

Teorema 6.2.13 Daca v : G → R este o functie de clasa C2, atunci v estesubarmonica daca si numai daca ∆v ≥ 0 pe G.

Demonstratie. Suficienta. Admitem mai ıntai ca ∆v > 0 pe G si aratamca v este subarmonica. Intr-adevar, fie U(a; r) ⊂ G si u : U(a; r) → R ofunctie continua pe U(a; r) si armonica pe U(a; r), astfel ıncat v(z) ≤ u(z),z ∈ ∂U(a; r). Aratam ca v(z) ≤ u(z), z ∈ U(a; r). Fie w = v − u. Atunci weste o functie continua pe U(a; r) si w(z) ≤ 0, z ∈ ∂U(a; r). Presupunem prinabsurd ca exista un punct b ∈ U(a; r) astfel ıncat w(b) > 0. Fie c ∈ U(a; r)astfel ıncat

w(c) = maxz∈U(a;r)

w(z).

Cum w(b) > 0 iar w ≤ 0 pe ∂U(a; r), urmeaza ca c ∈ U(a; r). Deoarecefunctia w depinde de variabilele x = Re z si y = Im z, iar c este un punct demaxim pentru w pe U(a; r), rezulta ca matricea hessiana a lui w ın punctul ceste negativ semidefinita. Deci

∂2w

∂x2(c1, c2) ≤ 0 si

∂2w

∂y2(c1, c2) ≤ 0,

unde c = c1 + ic2, adica ∆w(c) ≤ 0. Cum

∆w(c) = ∆v(c)−∆u(c),

iar ∆u(c) = 0, deducem ca

0 ≥ ∆w(c) = ∆v(c),

ceea ce constitue o contradictie cu ∆v > 0 pe G.


Deci w(z) ≤ 0, z ∈ U(a; r).Daca ∆v ≥ 0 pe G, atunci putem reduce discutia la cazul anterior. Intr-

adevar, consideram functiile vk : G → R,

vk(z) = v(z) +1k|z|2, z ∈ G, k ∈ N.

Atunci vk ∈ C2(G) si

∆vk(z) = ∆v(z) +4k

> 0, z ∈ G.

Din rationamentul precedent deducem ca vk este o functie subarmonica peG pentru orice k ∈ N. Cum sirul vkk∈N este descrescator si vk(z) → v(z),∀z ∈ G, urmeaza din Teorema 6.2.10 ca v este subarmonica pe G.

Necesitatea. Admitem acum ca v este subarmonica si aratam ca ∆v ≥ 0pe G. Presupunem prin absurd ca exista z0 ∈ G astfel ıncat ∆v(z0) < 0.Deoarece ∆v este o functie continua pe G, rezulta ca exista δ > 0 astfel ıncatU(z0; δ) ⊂ G si ∆v(z) < 0, z ∈ U(z0; δ). Aplicand rationamentul din parteade suficienta, rezulta ca functia −v este subarmonica pe U(z0; δ). Cum ambelefunctii v si −v sunt subarmonice pe U(z0; δ), obtinem din Teorema 6.2.12 capentru orice z ∈ U(z0; δ) exista η > 0 astfel ca U(z; η) ⊂ U(z0; δ) si

v(z) ≤ 12π

∫ 2π

0v(z + ηeiθ)dθ

si

−v(z) ≤ 12π

∫ 2π

0−v(z + ηeiθ)dθ.

Deci pentru orice z ∈ U(z0; δ) exista η > 0 astfel ıncat

v(z) =12π

∫ 2π

0v(z + ηeiθ)dθ.

Din Teorema 6.1.24 deducem ca v este functie armonica pe U(z0; δ), adica∆v = 0 pe U(z0; δ), ceea ce constitue o contradictie cu presupunerea ca∆v(z0) < 0. ¤

Aplicand Teorema 6.2.12, putem obtine exemple concrete de functii subar-monice. Lasam demonstratia Propozitiei 6.2.14 pe seama cititorului.

Propozitia 6.2.14 Fie G o multime deschisa din C, v1, . . . , vn functii sub-armonice pe G si αj ≥ 0, j = 1, . . . , n. Atunci functiile maxv1, . . . , vn si

n∑

j=1

αjvj sunt subarmonice pe G.


In continuare prezentam alte rezultate referitoare la functiile subarmonice,bazate pe aplicabilitatea Teoremei 6.2.12. Are loc

Propozitia 6.2.15 Fie G o multime deschisa din C, v : G → [a, b) o functiesubarmonica, unde [a, b) ⊆ [−∞,∞), u : (a, b) → R o functie convexacrescatoare si fie u(a) = lim

tau(t). Atunci u v este subarmonica pe G.

Demonstratie. Mentionam ca exista limita u(a) = limta

u(t) deoarece u este

crescatoare. Din faptul ca v este superior semicontinua iar u este continua(u fiind convexa), rezulta ca functia u v este superior semicontinua. Deasemenea, deoarece v este subarmonica rezulta ca u v nu este identic egalacu −∞ pe nici o componenta conexa a lui G.

Fie z0 ∈ G. Din faptul ca v este subarmonica, deducem ca exista r > 0astfel ıncat U(z0; r) ⊂ G si

v(z0) ≤ 12π

∫ 2π

0v(z0 + ρeiθ)dθ, ρ ∈ [0, r).

Deoarece u este crescatoare, obtinem ca

(6.2.8) u(v(z0)) ≤ u

(12π

∫ 2π

0v(z0 + ρeiθ)dθ

), ρ ∈ [0, r).

Pe de alta parte, folosind faptul ca u este convexa, obtinem din inegalitatealui Jensen (a se vedea de exemplu [Rud]) ca

u

(12π

∫ 2π

0v(z0 + ρeiθ)dθ

)≤ 1

2π

∫ 2π

0u(v(z0 + ρeiθ))dθ,

pentru ρ ∈ [0, r). Din (6.2.8) si inegalitatea precedenta rezulta ca

(u v)(z0) ≤ 12π

∫ 2π

0(u v)(z0 + ρeiθ)dθ, ρ ∈ [0, r).

Deoarece z0 a fost ales ın mod arbitrar, deducem din Teorema 6.2.12 cafunctia u v este subarmonica pe G. ¤

Din rezultatul precedent obtinem imediat urmatoarele exemple de functiisubarmonice:

Exemplul 6.2.16 (i) Daca v : G → [−∞,∞) este o functie subarmonica siα > 0, atunci functia eαv este subarmonica pe G. In plus, daca v(z) ≥ 0,z ∈ G, atunci v2 este subarmonica pe G.

(ii) Fie g : R → R o functie convexa crescatoare. Atunci functia v(z) =g(|z|) este subarmonica pe C.


In sectiunea precedenta am aratat ca partile reale si imaginare ale uneifunctii olomorfe sunt armonice. Referitor la modulul unei functii olomorfeavem

Exemplul 6.2.17 Fie G o multime deschisa din C, α > 0 si f : G → C ofunctie olomorfa astfel ca f nu este identic egala cu zero pe nici o componentaconexa a lui G. Atunci functiile ln |f | si |f |α sunt subarmonice pe G.

Demonstratie. Aratam mai ıntai ca ln |f | este subarmonica pe G. Fie v =ln |f |. Atunci functia v este superior semicontinua pe G si este continua ınorice z ∈ G cu f(z) 6= 0. De asemenea, v 6≡ −∞ pe nici o componenta conexaa lui G.

Fie a ∈ G. Daca f(a) = 0 atunci v(a) = −∞, deci inegalitatea (6.2.7)este adevarata. Daca f(a) 6= 0 atunci exista r > 0 astfel ıncat U(a; r) ⊂ Gsi f(z) 6= 0, z ∈ U(a; r). Cum U(a; r) este un domeniu simplu conex, putemalege o ramura uniforma pentru aplicatia multivoca Log f pe acest disc.Notam cu h o astfel de ramura uniforma. Atunci ln |f | = Re h este o functiearmonica pe U(a; r), deci si subarmonica. Deoarece punctul a a fost ales ınmod arbitrar, rezulta ca ln |f | este subarmonica pe G.

Cum |f |α = eα ln |f |, urmeaza din Exemplul 6.2.16 (i) ca |f |α este o functiesubarmonica pe G. ¤

Exemplul 6.2.18 Fie α ≥ 1, G o multime deschisa din C si u : G → R ofunctie armonica. Atunci functia v = |u|α este subarmonica pe G.

Demonstratie. Deoarece u este armonica, rezulta ca functia v este continuape G. Aratam ca v este subarmonica pe baza Teoremei 6.2.12. Fie z0 ∈ G sir > 0 astfel ıncat U(z0; r) ⊂ G.

Daca α = 1 atunci v = |u| este subarmonica. Intr-adevar, u fiind armonicape G, obtinem din Teorema 6.1.10 ca

u(z0) =12π

∫ 2π

0u(z0 + ρeiθ)dθ, ρ ∈ [0, r),

deci

|u(z0)| ≤ 12π

∫ 2π

0|u(z0 + ρeiθ)|dθ, ρ ∈ [0, r).

Cum z0 si r sunt arbitrare, concluzia are loc ın cazul α = 1.Admitem ın continuare ca α > 1. Fie β > 1 astfel ıncat 1

α + 1β = 1.

Consideram din nou discul U(z0; r) ⊂ G. Aplicand inegalitatea lui Holder,


obtinem ca

|u(z0)| ≤ 12π

∫ 2π

0|u(z0 + ρeiθ)|dθ

≤ 12π

[∫ 2π

0dθ

]1/β

·[∫ 2π

0|u(z0 + ρeiθ)|αdθ

]1/α

=[

12π

∫ 2π

0|u(z0 + ρeiθ)|αdθ

]1/α

, ρ ∈ [0, r).

Deci

|u(z0)|α ≤ 12π

∫ 2π

0|u(z0 + ρeiθ)|αdθ, ρ ∈ [0, r).

Pe baza Teoremei 6.2.12, deducem ca functia v = |u|α este subarmonicape G. ¤

Observatia 6.2.19 In [Na-Ni] se arata ca daca G este o multime deschisa dinC si v este o functie subarmonica pe G, atunci v nu poate fi identic egala cu−∞ pe nici o submultime nevida deschisa a lui G.

Probleme

Problema 6.2.1 Fie a ∈ C si v : U(a; r) → R o functie subarmonica. Sa searate ca daca

A(ρ) =12π

∫ 2π

0v(a + ρeiθ)dθ, ρ ∈ [0, r),

atunci functia A : [0, r) → R este crescatoare.

Problema 6.2.2 Fie G o multime deschisa din C si f ∈ H(G). Sa se arateca functia v = ln(1 + |f |2) este subarmonica pe G.

Problema 6.2.3 Sa se dea un exemplu de functie subarmonica pe discul uni-tate, care nu e armonica pe acelasi disc.

Problema 6.2.4 Fie G1, G2 multimi deschise din C si f : G1 → G2 o functieolomorfa neconstanta pe nici o componenta conexa a lui G1. Sa se arate cadaca v : G2 → R este o functie subarmonica, atunci v f este de asemeneasubarmonica pe G1.

Problema 6.2.5 Sa se dea exemplu de o functie v : U(0; 1) → R continuaastfel ıncat v2 sa fie subarmonica, dar v sa nu fie subarmonica.


Problema 6.2.6 Fie G o multime deschisa din C si u : G → R o functiecontinua. Sa se arate ca daca functiile u si −u sunt subarmonice, atunci ueste armonica.

Problema 6.2.7 Sa se arate ca daca v : U(z0; ρ) → R este o functie continuape U(z0; ρ) si subarmonica pe U(z0; ρ), atunci functia u : U(z0; ρ) → R,

u(z0 + δeiθ) =12π

∫ 2π

0

ρ2 − δ2

ρ2 − 2ρδ cos(θ − ϕ) + δ2v(z0 + ρeiϕ)dϕ, δ ∈ [0, ρ),

si u(z0 + ρeiθ) = v(z0 + ρeiθ), θ ∈ [0, 2π], satisface conditiile: u este continuape U(z0; ρ) si este armonica pe U(z0; ρ).

Capitolul 7

Functii Intregi si FunctiiMeromorfe

In acest capitol prezentam doua teoreme fundamentale privind reprezen-tarea functiilor meromorfe (respectiv ıntregi) ın serie Mittag-Leffler (respectivın produse de factori canonici) si vom da diverse aplicatii ale acestor rezultate.In particular, vom arata ca orice domeniu din planul complex este un domeniude olomorfie, iar orice functie meromorfa pe C este catul a doua functii ıntregi.Pe de alta parte, vom arata ca functiile meromorfe pe C∞ coincid cu functiilerationale.

7.1 Functii meromorfe. Teorema lui Mittag-Leffler

In cele ce urmeaza consideram urmatoarea problema:

Problema 7.1.1 Fie Ω o multime deschisa din C si zkk∈N un sir de punctedistincte din Ω astfel ca zkk∈N nu are puncte limita ın Ω. Pentru fiecarek ≥ 1 consideram functia rationala Rk, data de relatia

Rk(z) =mk∑

j=1

a(k)j

(z − zk)j,

unde mk este un numar natural iar a(k)1 , . . . , a

(k)mk sunt numere complexe, alese

ın mod arbitrar. In aceste conditii exista o functie meromorfa f pe Ω avandpolii exact punctele zkk∈N si astfel ıncat partea principala a lui f ın z = zk

sa coincida cu Rk, k ∈ N?

227

228 7. Functii Intregi si Functii Meromorfe

Raspunsul la aceasta problema este afirmativ si constitue obiectul prezen-tei sectiuni. Inainte de a prezenta demonstratia vom face cateva observatiielementare.

• Fie R o functie rationala reala. Atunci R se poate descompune ınfunctii rationale cu un singur pol (functii rationale simple). Intr-adevar, dacaz1, . . . , zk sunt polii functiei R, iar Rj este partea principala a functiei R ınz = zj , j = 1, . . . , k, atunci

Rj(z) =mj∑

l=1

b(j)l

(z − zj)l,

unde b(j)l ∈ C, l = 1, . . . , mj , j = 1, . . . , k.

Mai mult, daca

P (z) = R(z)−k∑

j=1

Rj(z),

deducem ca P este un polinom, iar functia rationala R admite descompunerea

(7.1.1) R(z) = P (z) +k∑

j=1

Rj(z).

• Fie acum f o functie meromorfa pe C cu un numar finit de poli z1, . . . , zk,astfel ıncat zi 6= zj , i 6= j, si fie Rj partea principala a functiei f ın punctul

z = zj , j = 1, . . . , k. In aceste conditii functiak∑

j=1

Rj este meromorfa, iar

partea sa principala ın punctul z = zj coincide cu Rj pentru orice j = 1, . . . , k.Prin urmare functia

g = f −k∑

j=1

Rj

este ıntreaga, iar f admite descompunerea

f(z) = g(z) +k∑

j=1

Rj(z), z ∈ C \ z1, . . . , zk.

Pe de alta parte, Rj fiind partea principala a functiei meromorfe f ın z =zj , rezulta ca exista o vecinatate a lui zj astfel ıncat Rj sa admita urmatoareadezvoltare pe aceasta vecinatate:

(7.1.2) Rj(z) =a

(j)1

z − zj+

a(j)2

(z − zj)2+ · · ·+

a(j)lj

(z − zj)lj.

7.1. Functii meromorfe. Teorema lui Mittag-Leffler 229

Deci

f(z) = g(z) +k∑

j=1

a

(j)1

z − zj+

a(j)2

(z − zj)2+ · · ·+

a(j)lj

(z − zj)lj

.

• In continuare presupunem ca f este o functie meromorfa pe C cu oinfinitate (numarabila) de poli zkk∈N. Este clar ca zk →∞, k →∞, ın cazcontrar functia f ar avea un punct de acumulare de poli ın C (deci un punctsingular neizolat ın C), ceea ce ar contrazice faptul ca f este meromorfa pe C.Fie Rk partea principala a functiei f ın z = zk, k ∈ N. In aceste conditii este

posibil ca seria∞∑

k=1

Rk sa nu fie convergenta, caz ın care nu mai putem aplica

o descompunere de tipul celei de la (7.1.2). De aceea vom ıncerca sa adaugam

ın mod convenabil cate un polinom Pk, astfel ıncat seria∞∑

k=1

[Rk + Pk] sa fie

convergenta. Acest lucru este posibil pe baza rezultatului urmator datorat luiMittag-Leffler:

Teorema 7.1.1 (Teorema lui Mittag-Leffler-prima versiune) Fie zkk∈N unsir de numere complexe distincte astfel ıncat lim

k→∞zk = ∞ si fie Rkk∈N un

sir de functii rationale de forma (7.1.2). Atunci exista o functie meromorfa gpe C avand polii exact punctele zkk∈N, iar partea principala a lui g ın z = zk

coincide cu Rk, k ∈ N.

Demonstratie. Fara a restrange generalitatea problemei, admitem ca |zk| ≤|zk+1|, k ∈ N.

Cazul I. Presupunem ca zk 6= 0, k ∈ N. Fie δ ∈ (0, 1) fixat si Mk =U(0; δ|zk|). Deoarece zk este unicul punct singular izolat (pol) al functiei Rk,rezulta ca Rk este olomorfa pe discul U(0; |zk|), deci admite o dezvoltare ınserie de puteri de forma

Rk(z) =∞∑

j=0

1j!

R(j)k (0)zj , z ∈ U(0; |zk|).

Cum Mk este un compact inclus ın U(0; |zk|), iar seria precedenta convergeuniform pe compacte ın U(0; |zk|), deducem ca pentru fiecare k ∈ N, existamk ∈ N astfel ıncat

(7.1.3) |Rk(z)− Pk(z)| ≤ 12k

, z ∈ Mk,


unde

Pk(z) =mk∑

j=0

1j!

R(j)k (0)zj .

Fie Ω = C \ zk : k ∈ N si

g(z) =∞∑

k=1

[Rk(z)− Pk(z)].

Aratam ca seria precedenta este convergenta uniform pe compacte ın Ω.Intr-adevar, fie K un compact inclus ın Ω. Cum lim

k→∞δ|zk| = +∞, iar sirul

|zk|k∈N este crescator, urmeaza ca exista k0 ∈ N astfel ıncat

K ⊆ Mk0 ⊆ Mk, k ≥ k0.

Din (7.1.3) si relatia precedenta deducem ca

|Rk(z)− Pk(z)| ≤ 12k

, z ∈ K, k ≥ k0.

Aplicand criteriul comparatiei si faptul ca seria geometrica∞∑

k=0

12k

este con-

vergenta, deducem ca seria∞∑

k=k0

[Rk − Pk] este convergenta uniform pe com-

pactul K. Deoarece suma finitak0∑

k=1

[Rk − Pk] nu altereaza convergenta seriei

precedente, rezulta ca si seria

(7.1.4)∞∑

k=1

[Rk − Pk]

este convergenta uniform pe compactul K. Cum K a fost ales ın mod arbitrar,deducem ca seria (7.1.4) este convergenta uniform pe compacte ın Ω, iar sumasa g este o functie olomorfa pe Ω, pe baza Teoremei lui Weierstrass (fiecaretermen Rk − Pk fiind o functie olomorfa pe Ω). In plus, g este meromorfa peC, deoarece polii sai coincid cu termenii sirului zkk∈N. De asemenea, parteaprincipala a functiei g ın z = zk coincide cu Rk, k ∈ N.

Cazul II. Presupunem ca z0 = 0 este un pol. Fie R0 partea principalacorespunzatoare punctului z0 = 0. Atunci funtia g este de forma

(7.1.5) g = R0 +∞∑

k=1

[Rk − Pk],


unde Pk este polinomul construit la cazul ıntai. Mai mult, seria precedentaeste convergenta pe orice compact din C care nu contine nici un punct zk,k ∈ N. Demonstratia este ıncheiata. ¤

Mentionam ca functia g, construita ın demonstratia precedenta, se numestefunctia Mittag-Leffler.

Corolarul 7.1.2 Fie f o functie meromorfa pe C cu o infinitate (numarabila)de poli distincti zkk∈N si fie Rkk∈N un sir de functii rationale de forma(7.1.2), astfel ıncat Rk este partea principala a lui f ın punctul zk, k ∈ N.Atunci f admite o descompunere de forma

f = h + R0 +∞∑

k=1

[Rk − Pk],

unde h este o functie ıntreaga iar Pkk∈N un sir de polinoame alese ın modconvenabil astfel ıncat seria precedenta este convergenta uniform pe compacteın C \ zk : k ∈ N.Demonstratie. Mai ıntai mentionam ca zk → ∞, k → ∞, deoarece f estemeromorfa pe C. Fie g functia Mittag-Leffler data de (7.1.5) si h = f − g.Atunci h ∈ H(C) si f = g + h. ¤

In continuare vom prezenta cateva cazuri particulare precum si uneleaplicatii interesante ale Teoremei lui Mittag-Leffler.

• Admitem ca fiecare pol zk al functiei rationale Rk este simplu si zk 6= 0,k ∈ N. Fie Bkk∈N un sir marginit de numere complexe. Mai presupunem caRez(Rk; zk) = Bk, k ∈ N. Fie M > 0 astfel ıncat |Bk| ≤ M , k ∈ N. Avem ca

Rk(z) =Bk

z − zk= −Bk

zk· 1

1− z

zk

.

Consideram din nou δ ∈ (0, 1) fixat si Mk = U(0; δ|zk|), k ∈ N. Daca z ∈ Mk

atunci∣∣∣∣z

zk

∣∣∣∣ ≤ δ < 1, deci functia1

1− z

zk

se dezvolta ın serie geometrica

1

1− z

zk

= 1 +z

zk+

(z

zk

)2

+ · · · .

Atunci Rk admite dezvoltarea

(7.1.6) Rk(z) = −Bk

[1zk

+z

z2k

+ · · ·+ zlk−1

zlkk

+ · · ·]

, z ∈ Mk, k ∈ N.


Fie K un compact astfel ıncat K ⊂ Ω. Deoarece Mk ⊆ Mk+1 si δ|zk| → ∞,deducem ca exista k0 ∈ N astfel ıncat K ⊆ Mk0 ⊆ Mk, k ≥ k0. Prin urmarepentru orice k ≥ k0, dezvoltarea din (7.1.6) ramane valabila pe K, iar seriaobtinuta este uniform convergenta pe K. Consideram acum polinomul

Pk(z) = −Bk

[1zk

+z

z2k

+ · · ·+ zlk−1

zlkk

], k ∈ N,

unde lkk∈N este ales astfel ıncat seria∞∑

k=1

δlk sa fie convergenta. Atunci

|Rk(z)− Pk(z)| =∣∣∣∣∣∣Bk

∞∑

j=lk

zj

zj+1k

∣∣∣∣∣∣

≤ M∞∑

j=lk

∣∣∣∣z

zk

∣∣∣∣j

· 1|zk|

≤ M

|zk|∞∑

j=lk

δj =Mδlk

(1− δ)|zk| , z ∈ K, k ≥ k0.

Pe de alta parte, tinand cont de faptul ca |zk| → ∞, exista k1 ∈ N astfelıncat |zk| > 1, k ≥ k1. Fie k∗ = maxk0, k1. Atunci

|Rk(z)− Pk(z)| ≤ Mδlk

1− δ, z ∈ K, k ≥ k∗.

Cum seria∞∑

k=1

δlk este convergenta, deducem din criteriul comparatiei ca

seria ∞∑

k=k∗[Rk − Pk]

converge uniform pe compactul K. De aici deducem ca si seria∞∑

k=1

[Rk − Pk]

este uniform convergenta pe K. Dar compactul K a fost ales ın mod arbitrar,deci functia g data de

g(z) =∞∑

k=1

[Rk(z)− Pk(z)] =∞∑

k=1

Bk

[1

z − zk+

1zk

+z

z2k

+ · · ·+ zlk−1

zlkk

]


este olomorfa pe Ω, iar punctul zk este un pol simplu pentru g cu reziduul Bk,k ∈ N. In concluzie, g este functia Mittag-Leffler.

Daca z0 = 0 este un pol simplu cu reziduul B0, atunci functia Mittag-Leffler este data de

(7.1.7) g(z) =B0

z+

∞∑

k=1

Bk

[1

z − zk+

1zk

+ · · ·+ zlk−1

zlkk

].

Corolarul 7.1.3 Fie δ ∈ (0, 1), zkk∈N un sir de numere complexe distinctesi nenule astfel ıncat zk →∞, k →∞, iar f o functie meromorfa pe C avandnumai poli simpli ce coincid cu punctele zkk∈N. Fie Bk = Rez(f ; zk), k ∈ N.Presupunem ca z = 0 este pol simplu pentru f si B0 = Rez(f ; 0). Daca sirulBkk∈N este marginit, atunci exista o functie ıntreaga h astfel ıncat

(7.1.8) f(z) = h(z) +B0

z+

∞∑

k=1

Bk

[1

z − zk+

1zk

+ · · ·+ zlk−1

zlkk

],

pentru orice z ∈ C \ zk : k = 0, 1, . . . , unde lk ∈ N cu∞∑

k=1

δlk < +∞.

• In continuare admitem, pe langa conditiile impuse la cazul anterior, caexista m ∈ Z+ astfel ıncat

∞∑

k=1

1|zk|m+1

< +∞.

Notam cu

n = min

m ∈ Z+ :

∞∑

k=1

1|zk|m+1

< +∞

.

In aceste conditii aratam ca seria lui Mittag-Leffler (7.1.7) devine

g(z) =B0

z+

∞∑

k=1

Bk

[1

z − zk+

1zk

+ · · ·+ zn−1

znk

],

adica putem alege lk = n, k ∈ N. Intr-adevar, deoarece∣∣∣∣Bk

[1

z − zk+

1zk

+z

z2k

+ · · ·+ zn−1

znk

]∣∣∣∣ ≤M

|zk|∞∑

j=n

∣∣∣∣z

zj

∣∣∣∣j


≤ M

|zk|∞∑

j=n

δn =Mδn

(1− δ)|zk| =Mηn

k

1− δ· 1|zk|n+1

,

unde ηk = δ|zk|, k ∈ N, deducem cu un rationament similar celui din Cazul I,

bazat pe convergenta seriei∞∑

k=1

1|zk|n+1

, ca functia lui Mittag-Leffler devine

g(z) =B0

z+

∞∑

k=1

Bk

[1

z − zk+

1zk

+z

z2k

+ · · ·+ zn−1

znk

],

iar din (7.1.8), obtinem urmatoarea descompunere a functiei f ın serie Mittag-Leffler:

(7.1.9) f(z) = h(z) +B0

z+

∞∑

k=1

Bk

[1

z − zk+

1zk

+ · · ·+ zn−1

znk

],

pentru orice z ∈ C \ zk : k = 0, 1 . . . .Seria precedenta este uniform convergenta pe orice compact ce nu contine

nici un pol al functiei f .In continuare prezentam o versiune a Teoremei lui Mittag-Leffler (Teorema

7.1.1) pe multimi deschise din C. Problema care se pune este similara celeistudiate la ınceputul acestui capitol: determinarea unei functii meromorfepe o multime deschisa G, avand polii si partile principale date. DemonstratiaTeoremei 7.1.4 este ın esenta aceeasi cu cea din cazul Teoremei 7.1.1, bazandu-se pe Teorema lui Runge de aproximare a functiilor olomorfe printr-un sir defunctii rationale (a se vedea [Con1], [Gas-Su], [Ch]). Vom prezenta aceastademonstratie ın cazul ın care G ⊆ C∞ si ∞ ∈ G. (Ultima conditie se poateusor realiza prin intermediul transformarilor omografice.)

Teorema 7.1.4 (Teorema lui Mittag-Leffler-versiunea a doua) Fie G omultime deschisa din C, zkk∈N un sir de puncte distincte din G ce nu seacumuleaza ın G si fie Rkk∈N un sir de functii rationale de forma

Rk(z) =mk∑

j=1

ajk

(z − zk)j,

unde mk ∈ N iar a1k, . . . , amk sunt numere complexe, alese ın mod arbitrar.Atunci exista o functie meromorfa pe G avand polii exact punctele zkk∈Niar partea sa principala ın z = zk coincide cu Rk, k ∈ N.


Demonstratie. Presupunem ca ∞ ∈ G (deci G ⊆ C∞) si ∂G 6= ∅, deciG 6= C∞. Deoarece functia ρk(z) = |z − zk| este continua pe C, deducem capentru fiecare punct zk, exista αk ∈ ∂G astfel ıncat

|zk − αk| = minρk(z) : z ∈ ∂G, k ∈ N.

Fie rk = |zk − αk|. Deoarece sirul zkk∈N nu are puncte limita ın G,rezulta ca rk → 0, k →∞.

Daca z ∈ G satisface inegalitatea |z−αk| > rk, atunci |zk−αk| < |z−αk|,deci are loc dezvoltarea

1z − zk

=1

(z − αk)− (zk − αk)

=1

z − αk· 1

1− zk − αk

z − αk

=∞∑

n=0

(zk − αk)n

(z − αk)n+1.

Prin urmare pentru z ∈ G cu |z−αk| ≥ 2rk, deducem ca putem aproxima

functia1

z − zk(deci si partea principala Rk corespunzatoare lui zk) printr-un

polinom Pk ın 1z−zk

, ales ın mod convenabil astfel ıncat

|Rk(z)− Pk(z)| < 12k

, |z − αk| ≥ 2rk, k = 1, 2, . . . .

Notand cu

g =∞∑

k=1

[Rk − Pk],

obtinem, folosind un rationament similar celui din demonstratia Teoremei7.1.1, ca seria precedenta converge uniform pe compacte ın G \ zk : k ∈ N,functia g fiind deci olomorfa pe G \ zk : k ∈ N. In plus, g este meromorfape G, avand polii exact zkk∈N iar partile principale corespunzatoare egalecu Rkk∈N. ¤

Exemplul 7.1.5 Consideram functia f(z) = ctg z. Aceasta functie este me-romorfa pe C si are polii simpli zk = kπ, k ∈ Z. Mai mult,

Rez(f ; zk) = limz→zk

(z − zk)ctg z = 1, k ∈ Z.

Aratam ca are loc dezvoltarea ın serie Mittag-Leffler

f(z) =1z

+∞∑

k=−∞k 6=0

[1

z − kπ+

1kπ

], z ∈ C \ kπ : k ∈ Z.


Intr-adevar, observam ca seria

∞∑

k=1

1kπ

este divergenta,

iar seria ∞∑

k=1

1(kπ)2

este convergenta.

Asadar,

min

m ∈ Z+ :∞∑

k=1

1(kπ)m+1

< ∞

= 1.

Din (7.1.9) obtinem ca

(7.1.10) f(z) = h(z) +1z

+∞∑

k=−∞k 6=0

[1

z − kπ+

1kπ

], z ∈ C \ kπ : k ∈ Z,

unde h este o functie ıntreaga.In cele ce urmeaza demonstram ca h ≡ 0. Pentru aceasta, derivam ambii

membri ai egalitatii (7.1.10) si obtinem ca

− 1sin2 z

= h′(z)−∞∑

k=−∞

1(z − kπ)2

,

deci

(7.1.11) −h′(z) =1

sin2 z−

∞∑

k=−∞

1(z − kπ)2

, z ∈ C \ kπ : k ∈ Z.

Notam cu g(z) = −h′(z), z ∈ C. Atunci g ∈ H(C) si

g(z + π) =1

sin2(z + π)−

∞∑

k=−∞

1(z − (k − 1)π)2

=1

sin2 z−

∞∑n=−∞

1(z − nπ)2

= g(z).

Prin urmare functia g este periodica de perioada egala cu π. Fie

E = z ∈ C : 0 < Re z ≤ π.


Folosind periodicitatea functiei g, e suficient sa-i studiem proprietatile pebanda E. In acest sens, aratam ca g este marginita pe E. De aici vom deduceca g este marginita pe C, deci este constanta, pe baza Teoremei lui Liouville.

Fie z ∈ E. Atunci

(7.1.12)

∣∣∣∣∣∞∑

k=−∞

1(z − kπ)2

∣∣∣∣∣ ≤∞∑

k=−∞

1|z − kπ|2

≤ 1|z|2 +

n∑k=−nk 6=0

1|z − kπ|2 + 2

∞∑

k=n+1

1(k − 1)2π2

,

unde am folosit faptul ca

1|z ± kπ|2 ≤

1(k − 1)2π2

, z ∈ E, k ∈ N, k ≥ 2.

Alegand pe n suficient de mare si utilizand convergenta seriei∞∑

k=1

1(kπ)2

,

deducem prin trecere la limita ın (7.1.12) ca

(7.1.13) limz→∞z∈E

∞∑

k=−∞

1(z − kπ)2

= 0.

Pe de alta parte,

(7.1.14) limz→∞z∈E

1sin2 z

= 0.

Intr-adevar, cum

| sin z|2 = sin2 x + sh2y, z = x + iy,

urmeaza ca1

| sin2 z| → 0, |y| → ∞, x ∈ (0, π],

adica rezulta (7.1.14). Combinand relatiile (7.1.14), (7.1.13) si (7.1.11),obtinem ca

(7.1.15) limz→∞z∈E

g(z) = 0.


De aici rezulta ca g este marginita pe banda E. Prin urmare g este marginitape C. Din (7.1.15) deducem ca g ≡ 0, adica h′(z) = 0, z ∈ C. Deci h esteconstanta. Fie c ∈ C astfel ıncat h(z) = c, z ∈ C. Din (7.1.10) rezulta ca

c = ctg z − 1z−

∞∑k=−∞

k 6=0

[1

z − kπ+

1kπ

],

iar din faptul ca

limz→0

[ctg z − 1

z

]= 0

si

limz→0

∞∑k=−∞

k 6=0

[1

z − kπ+

1kπ

]= 0,

deducem ca c = 0. In concluzie, functia f(z) = ctg z admite descompunereaın serie Mittag-Leffler:

(7.1.16) ctg z =1z

+∞∑

k=−∞k 6=0

[1

z − kπ+

1kπ

]

=1z

+ 2z∞∑

k=1

1z2 − k2π2

.

Seria (7.1.16) este convergenta uniform pe compacte ın C \ kπ : k ∈ Z.Pe de alta parte, derivand ambii membri ın (7.1.16), deducem dezvoltarea

ın serie Mittag-Leffler a functiei meromorfe1

sin2 z:

1sin2 z

=∞∑

k=−∞

1(z − kπ)2

, z ∈ C \ kπ : k ∈ Z.

Urmand acelasi rationament ca ın Exemplul 7.1.5, propunem cititorului saarate ca au loc urmatoarele dezvoltari ın serie Mittag-Leffler:

Exemplul 7.1.6π

sinπz=

∞∑

k=−∞

(−1)k

z − k.

1ez − 1

=1z− 1

2+ 2z

∞∑

k=1

1z2 + 4k2π2

.

7.2. Functii ıntregi. Teorema lui Weierstrass 239

sin z

sinπz=

2π

∞∑

k=1

(−1)k sin k

z2 − k2.

Probleme

Problema 7.1.1. Sa se arate ca au loc dezvoltarile ın serie Mittag-Leffler dinExemplul 7.1.6.

Problema 7.1.2. Sa se arate ca au loc dezvoltarile ın serie Mittag-Leffler:

(i) tg z = 2z∞∑

k=0

1(k +

12

)2

π2 − z2

.

(ii) cthz =1z

+∞∑

k=1

2z

z2 + k2π2.

7.2 Functii ıntregi. Teorema lui Weierstrass

In continuare vom studia problema descompunerii functiilor ıntregi ın pro-duse de factori canonici, daca se cunosc zerourile acestora. Aceasta pro-blema este analoaga celei din cazul descompunerii functiilor meromorfe ınserie Mittag-Leffler.

7.2.1 Produse infinite de numere complexe

Mai ıntai ne referim la cateva rezultate generale privind produsele infinitede numere complexe.

Definitia 7.2.1 Fie pkk∈N un sir de numere complexe nenule si Pn =n∏

k=1

pk.

Spunem ca produsul∞∏

k=1

pk este convergent la limita P (notam P =∞∏

k=1

pk)

daca sirul Pnn∈N este convergent la P ∈ C si P 6= 0. Daca P = 0, spunem

ca produsul infinit∞∏

k=1

pk este divergent la zero.

Deoarece ın cazul unui produs convergent, limn→∞ pn = lim

n→∞Pn/Pn−1 = 1,

adesea este preferabil sa scriem produsul∞∏

k=1

pk sub forma∞∏

k=1

(1 + ak).


Putem extinde Definitia 7.2.1, admitand ca ın produsul∞∏

k=1

(1 + ak) exista

un numar finit de termeni ak = −1. Are loc

Definitia 7.2.2 Produsul infinit de numere complexe∞∏

k=1

(1 + ak) se numeste

convergent daca au loc urmatoarele conditii:(i) Exista numai un numar finit de termeni ak1 , . . . , akj

egali cu −1.(ii) Daca k0 ∈ N este suficient de mare astfel ıncat ak 6= −1, k > k0, atunci

limita

l = limn→∞

n∏

k=k0+1

(1 + ak)

exista ın C si este nenula.

In acest caz, definim valoarea produsului infinit∞∏

k=1

(1 + ak) prin

∞∏

k=1

(1 + ak) =k0∏

k=1

(1 + ak) · limn→∞

n∏

k=k0+1

(1 + ak).

Observatia 7.2.3 (i) Fie

Pn =n∏

k=1

(1 + ak), n ∈ N.

Deoarece pentru n suficient de mare avem ca an 6= −1 si 1+an = Pn/Pn−1,

rezulta ca conditia an → 0 este necesara pentru convergenta produsului∞∏

n=1

Pn.

Pe de alta parte, aceasta conditie nu este suficienta. De exemplu, fie ak = 1/k,

k ∈ N. Atunci produsul infinit∞∏

k=1

(1 +

1k

)este divergent, desi ak → 0. Intr-

adevar, se observa imediat ca

Pn =n∏

k=1

(1 +

1k

)=

21· 32· · · n + 1

n= n + 1,

deci limn→∞Pn = ∞.


(ii) Fie∞∏

k=1

(1− 1

k + 1

). Considerand Pn =

n∏

k=1

(1− 1

k + 1

), obtinem ca

Pn =1

n + 1, deci lim

n→∞Pn = 0, adica produsul∞∏

k=1

(1− 1

k + 1

)este divergent

la zero.(iii) Mentionam ca ın Definitia 7.2.2 limita l este independenta de alegerea

lui k0.

In continuare ne vom referi la cateva criterii de convergenta pentru produseinfinite de numere complexe.

Teorema 7.2.4 Fie akk∈N un sir de numere pozitive. Atunci produsul in-

finit∞∏

k=1

(1 + ak) este convergent daca si numai daca∞∑

k=1

ak este convergenta.

Demonstratie. Fie Pn =n∏

k=1

(1 + ak) si sn = a1 + · · ·+ an, n ∈ N. Deoarece

ak ≥ 0, k ∈ N, rezulta ca Pnn∈N este un sir crescator, deci convergent saudivergent la +∞. Pe de alta parte, avem ca

(7.2.1) sn ≤ Pn ≤ esn , n ∈ N,

unde pentru cea de-a doua inegalitate s-a folosit faptul ca ex ≥ 1 + x, x ∈ R.Prin urmare daca exista si este finita limita lim

n→∞Pn, atunci Pnn∈N este

marginit, iar din (7.2.1) rezulta ca sirul snn∈N este de asemenea marginit.Cum sirul snn∈N este monoton crescator, deducem ca este convergent, adica

seria∞∑

k=1

ak este convergenta.

Invers, daca seria precedenta este convergenta, atunci snn∈N estemarginit, iar din (7.2.1) obtinem ca sirul produselor partiale Pnn∈N estemarginit, deci convergent. Deoarece Pn ≥ 1, n ∈ N, rezulta ca produsul∞∏

k=1

(1 + ak) este convergent. ¤

Exemplul urmator poate fi demonstrat prin aplicarea Teoremei 7.2.4.

Exemplul 7.2.5 Produsul infinit∞∏

k=1

(1+

1kα

)este convergent pentru α > 1

si divergent pentru α ≤ 1.


Teorema 7.2.6 Daca ak ∈ [0, 1), k ∈ N, iar seria∞∑

k=1

ak este divergenta,

atunci produsul∞∏

k=1

(1− ak) este divergent la zero.


k=1

(1− ak). Deoarece

e−x ≥ 1− x, x ≥ 0,

deducem ca0 ≤ Pn ≤ e−a1−···−an , n ∈ N.

Din faptul ca seria cu termeni pozitivi∞∑

k=1

ak este divergenta rezulta imediat

ca limn→∞ e−a1−···−an = 0. Deci lim

n→∞Pn = 0. ¤In cazul produselor infinite putem defini notiunea de absolut convergenta

astfel:

Definitia 7.2.7 Produsul infinit∞∏

k=1

(1 + ak) se numeste absolut convergent

daca produsul∞∏

k=1

(1 + |ak|) este convergent.

Observatia 7.2.8 Din Teorema 7.2.4 rezulta ca produsul∞∏

k=1

(1 + ak) este

absolut convergent daca si numai daca seria∞∑

k=1

ak este absolut convergenta.

Deoarece absolut convergenta unei serii implica convergenta respectiveiserii, ne asteptam la un rezultat similar ın cazul produselor infinite. Intr-adevar, are loc

Lema 7.2.9 Orice produs infinit absolut convergent este si convergent.


k=1

(1 + ak) si Qn =n∏

k=1

(1 + |ak|). Atunci

Pn − Pn−1 = Pn−1an, Qn −Qn−1 = Qn−1|an|,


deci

(7.2.2) |Pn − Pn−1| ≤ |Qn −Qn−1|, n ≥ 2.

Cum produsul∞∏

k=1

(1 + |ak|) este convergent, urmeaza ca exista limn→∞Qn.

In plus, exista

limn→∞

n∑

k=2

(Qk −Qk−1) = limn→∞Qn − (1 + |a1|),

deci seria∞∑

k=2

(Qk − Qk−1) este convergenta. Din (7.2.2) deducem ca si seria

∞∑

k=2

(Pk − Pk−1) este convergenta, deci exista

limn→∞

n∑

k=2

(Pk − Pk−1) = limn→∞Pn − (1 + a1).

In concluzie,∞∏

k=1

(1 + ak) converge. ¤

Observatia 7.2.10 Nu orice produs infinit convergent este si absolut conver-

gent. Intr-adevar,∞∏

k=1

(1+(−1)k+1/k) este convergent la 1, dar nu este absolut

convergent deoarece seria∞∑

k=1

1/k este divergenta.

In cele ce urmeaza vom compara convergenta unui produs infinit∞∏

k=1

(1+ak)

cu convergenta seriei∞∑

k=1

log(1 + ak). Are loc

Teorema 7.2.11 Fie akk∈N un sir de numere complexe astfel ca ak 6= −1,

k ∈ N. Atunci produsul infinit∞∏

k=1

(1+ak) este convergent daca si numai daca

seria∞∑

k=1

log(1 + ak) este convergenta, unde log reprezinta ramura principala

a lui Log.


Demonstratie. Fie

sn =n∑

k=1

log(1 + ak) si Pn =n∏

k=1

(1 + ak), n ∈ N.

Atunci

(7.2.3) Pn = esn , n ∈ N.

Daca seria∞∑

k=1

log(1 + ak) este convergenta, atunci sirul snn∈N este con-

vergent, deci exista limn→∞ sn = s. De aici rezulta ca exista lim

n→∞ esn = es 6= 0,

adica produsul∞∏

k=1

(1 + ak) este convergent.

Invers, admitem ca∞∏

k=1

(1+ak) este convergent, deci exista limn→∞Pn = P 6=

0. Din (7.2.3) rezulta ca pentru fiecare n ∈ N, exista qn ∈ Z astfel ıncat

(7.2.4) sn = log Pn + 2qnπi.

Prin ınmultirea produsului infinit∞∏

k=1

(1 + ak) cu un factor (1 + a0) con-

venabil ales, putem presupune ca P nu este un numar negativ. In acest cazaratam ca qn = q (constant) pentru n suficient de mare. De aici, folosind sifaptul ca P 6= 0, va rezulta ca sirul snn∈N este convergent si

limn→∞ sn = lim

n→∞ log Pn + 2qπi = log P + 2qπi,

adica seria∞∑

k=1

log(1 + ak) este convergenta.

Fie αn = arg(1 + an) si βn = arg Pn, considerand valorile principale aleargumentilor. Deoarece 1 + an = Pn/Pn−1 → 1, rezulta ca αn → 0, n → ∞,iar din faptul ca sirul Pnn∈N este convergent, deducem ca exista lim

n→∞βn.Cum

log Pn = ln |Pn|+ iβn, n ∈ N,

obtinem din (7.2.4) can∑

k=1

αk = βn + 2πqn.


Deci

2π(qn+1 − qn) = αn+1 − (βn+1 − βn) → 0, n →∞.

In concluzie, pentru n suficient de mare, avem ca

|qn+1 − qn| < 1.

Din faptul ca qn ∈ Z, n ∈ N, deducem ca exista n0 ∈ N astfel ıncat qn+1 = qn,n ≥ n0. Deci exista q ∈ Z astfel ıncat qn = q, n ≥ n0. Demonstratia esteıncheiata. ¤

Observatia 7.2.12 Daca fkk∈N este un sir de functii, atunci se poate defini

produsul∞∏

k=1

(1+fk) ın mod analog cu cel din cazul produsului infinit de numere

complexe.Fie

Fn =n∏

k=1

(1 + fk), n ∈ N.

Atunci produsul∞∏

k=1

(1 + fk) este convergent uniform (convergent uniform pe

compacte) la functia F daca sirul produselor partiale Fnn∈N este convergentuniform (convergent uniform pe compacte) la F . Pe baza Teoremei lui Weier-strass, rezulta ca daca fkk∈N este un sir de functii olomorfe pe o multime

deschisa G ⊆ C, iar produsul∞∏

k=1

(1+fk) este convergent uniform pe compacte

ın G, atunci functia F (z) =∞∏

k=1

(1 + fk(z)) este olomorfa pe G.

In finalul acestei sectiuni prezentam o conditie suficienta de convergentauniforma pe compacte a unui produs infinit de functii olomorfe. Are loc

Teorema 7.2.13 Fie G ⊆ C o multime deschisa si fkk∈N un sir de functii

olomorfe pe G. Daca seria∞∑

k=1

|fk| converge uniform pe compacte ın G, atunci

si produsul∞∏

k=1

(1+fk) converge uniform pe compacte ın G la o functie olomorfa

pe G.


Demonstratie. Fie

σn = |f1|+ · · ·+ |fn| si Fn =n∏

k=1

(1 + |fk|), n ∈ N.

Fie K un compact inclus ın G. Deoarece∞∑

k=1

|fk| converge uniform pe com-

pacte, exista A = A(K) > 0 astfel ıncat σn(z) ≤ A, z ∈ K, n ∈ N. Atunci

Fn(z) ≤ eσn(z) ≤ eA, z ∈ K, n ∈ N,

deci

Fn(z)− Fn−1(z) = Fn−1(z)|fn(z)| ≤ eA|fn(z)|, z ∈ K, n ≥ 2.

Din criteriul comparatiei si convergenta uniforma pe compacte a seriei∞∑

k=1

|fk|, deducem ca seria∞∑

n=2

[Fn(z) − Fn−1(z)] este de asemenea conver-

genta uniform pe compacte ın G. In continuare este suficient sa aplicamun rationament similar celui din demonstratia Lemei 7.2.9. Faptul ca functia

F (z) =∞∏

k=1

(1+fk(z)) este olomorfa pe G rezulta din Teorema lui Weierstrass.

¤

7.2.2 Functii ıntregi si produse de factori canonici. Teoremalui Weierstrass

In aceasta sectiune vom analiza comportarea functiilor ıntregi cu o infi-nitate de zerouri. Pentru aceasta vom prezenta o formula generala de des-compunere ın produse de factori a functiilor ıntregi, similara celei din cazulpolinoamelor.

Daca P este un polinom de gradul n, iar a1, . . . , ak sunt radacinile salenenule, fiecare radacina fiind numarata de atatea ori cat indica ordinul sau demultiplicitate, si presupunem ca z = 0 este o radacina a sa de ordinul m, undek + m = n, atunci exista A ∈ C astfel ıncat

P (z) = Azmk∏

j=1

(1− z

aj

), z ∈ C.


I. Fie acum f o functie ıntreaga. Daca f(z) 6= 0, z ∈ C, atunci functiaf ′/f este de asemenea ıntreaga, deci admite primitive pe C. Considerand oprimitiva g a functiei f ′/f , obtinem ca

g′(z) =f ′(z)f(z)

, z ∈ C,

de unde rezulta ca exista C ∈ C astfel ıncat

f(z) = Ceg(z), z ∈ C.

II. Admitem ın continuare ca f este o functie ıntreaga cu un numar finit dezerouri z1, . . . , zn, fiecare zerou fiind considerat de atatea ori cat indica ordinulsau de multiplicitate. In plus, admitem ca z = 0 este un zerou de ordinul mpentru f . Fie

h(z) =f(z)

zm

n∏

k=1

(1− z

zk

) , z ∈ C.

Atunci h este o functie ıntreaga cu proprietatea ca h(z) 6= 0, z ∈ C. Dinrationamentul anterior deducem ca exista o functie ıntreaga g astfel ıncath(z) = eg(z), z ∈ C, deci functia f admite descompunerea

(7.2.5) f(z) = eg(z)zmn∏

k=1

(1− z

zk

), z ∈ C.

III. Admitem acum ca f este o functie ıntreaga cu o infinitate (numarabila)de zerouri z1, . . . , zn, . . . , fiecare zerou fiind considerat cat indica ordinul sau demultiplicitate. Deoarece zerourile unei functii olomorfe pe o multime deschisadin C sunt puncte izolate, deducem ca zn → ∞. Vom arata ca are loc odescompunere analoaga celei din formula (7.2.5), dar ın locul produsului finitde factori de la (7.2.5) va apare un produs infinit convergent pe C \ zk : k ∈N. Mai ıntai demonstram urmatoarele rezultate pregatitoare:

Lema 7.2.14 Fie

E0(z) = 1− z si En(z) = (1− z)ez+ z2

2+···+ zn

n , z ∈ C, n ∈ N.

Atunci En este o functie ıntreaga si En(z) = 0 daca si numai daca z = 1. Inplus,

|En(z)− 1| ≤ |z|n+1, z ∈ U.


Demonstratie. Prima parte a demonstratiei o lasam pe seama cititorului. Deasemenea, observam ca inegalitatea de mai sus este adevarata pentru n = 0,de aceea admitem ca n ≥ 1. Dezvoltand functia ıntreaga En ın serie de puteri,avem ca

En(z) = 1 +∞∑

j=1

ejzj , z ∈ C,

iar seria precedenta este convergenta uniform pe compacte ın C. Aratam caej = 0 pentru j = 1, . . . , n si ej ≤ 0 pentru j ≥ n + 1. Intr-adevar, prinderivare termen cu termen, deducem ca

E′n(z) = −znez+ z2

2+···+ zn

n =∞∑

j=1

jejzj−1,

iar prin identificarea coeficientilor obtinem ca ej = 0, j = 1, . . . , n. Mai mult,ej ≤ 0, j ≥ n + 1, deoarece dezvoltand functia ez+···+zn/n ın serie de puteri,obtinem ca

e

n∑

k=1

zk

k= 1 +

∞∑

j=1

αjzj ,

iar coeficientii αj sunt pozitivi.Deoarece

0 = En(1) = 1 +∞∑

j=n+1

ej ,

si |ej | = −ej , j ≥ n + 1, rezulta ca

∞∑

j=n+1

|ej | = −∞∑

j=n+1

ej = 1.

In final, daca |z| ≤ 1, deducem ca

|En(z)− 1| =∣∣∣

∞∑

j=n+1

ejzj∣∣∣ = |z|n+1

∣∣∣∞∑

j=n+1

ejzj−n−1

∣∣∣

≤ |z|n+1∞∑

j=n+1

|ej | = |z|n+1.



Lema 7.2.15 Fie zkk∈N un sir de numere complexe nenule astfel ıncatlim

k→∞zk = ∞. Daca lkk∈N ⊂ Z+ astfel ca

(7.2.6)∞∑

k=1

( r

|zk|)lk+1

< ∞, ∀r > 0,

atunci produsul infinit∞∏

k=1

Elk(z/zk) este uniform convergent pe compacte ın C

la o functie ıntreaga f ce are ca zerouri exact punctele zkk∈N, fiecare zeroufiind considerat cat indica multiplicitatea sa.

Demonstratie. Fie r > 0. Deoarece zk → ∞, exista k0 ∈ N cu proprietateaca |zk| > r, k ≥ k0. Daca |z| ≤ r atunci |z/zk| ≤ 1, k ≥ k0, iar din Lemma7.2.14 rezulta ca

|Elk(z/zk)− 1| ≤ |z/zk|lk+1 ≤ |r/zk|lk+1.

Deoarece∞∑

k=1

|r/zk|lk+1 < ∞, deducem ca

∞∑

k=k0

|Elk(z/zk)− 1| < ∞, |z| ≤ r,

deci seria∞∑

k=1

[Elk(z/zk)−1] este absolut convergenta pentru |z| ≤ r. Din crite-

riul comparatiei rezulta ca seria∞∑

k=1

[Elk(z/zk)−1] este si convergenta uniform

pe U(0; r). Cum r a fost ales ın mod arbitrar, rezulta ca seria precedentaconverge uniform pe compacte ın C.

In final, din Teorema 7.2.13 deducem ca produsul infinit

∞∏

k=1

(1 + (Elk(z/zk)− 1)) =∞∏

k=1

Elk(z/zk)

este convergent uniform pe compacte ın C la o functie ıntreaga f . ¤

Observatia 7.2.16 (i) Inegalitatea (7.2.6) este totdeauna satisfacuta pentrulk = k − 1, k ∈ N (a se vedea demonstratia Teoremei 7.2.17).


(ii) Presupunem ca exista m ∈ N astfel ıncat seria∞∑

k=1

1/|zk|m+1 < ∞. Fie

p = min

m ∈ N :

∞∑

k=1

1|zk|m+1

< ∞

.

Atunci conditia (7.2.6) este satisfacuta pentru lk = p, k ∈ N. In aceastasituatie avem ca

∞∏

k=1

Elk

( z

zk

)=

∞∏

k=1

(1− z

zk

)e

zzk

+···+ zp

zpk .

Teorema 7.2.17 Daca zkk∈N este un sir de numere complexe astfel ıncatlim

k→∞zk = ∞, atunci exista o functie ıntreaga f avand zerouri exact punctele

zkk∈N, fiecare zerou fiind considerat ımpreuna cu ordinul sau de multiplici-tate.

Demonstratie. Fara a restrange generalitatea, presupunem ca z1 = . . . =zm = 0 si zk 6= 0, k ≥ m + 1. Fie r > 0. Deoarece zk → ∞, exista k0 ≥ mastfel ıncat |zk| > 2r, k ≥ k0. Atunci

∞∑

k=k0

( r

|zk|)k≤

∞∑

k=k0

12k

< ∞.

Prin urmare putem considera lk = k− 1 ın (7.2.6). Din Lemma 7.2.15 rezulta

ca produsul infinit zm∞∏

k=m+1

Ek−1(z/zk) converge uniform pe compacte la o

functie ıntreaga f . Este evident ca f(z) = 0 daca si numai daca z = zk, k ∈ N.Demonstratia este ıncheiata. ¤

Observatia 7.2.18 Functia f(z) =∞∏

k=1

Ek−1(z/zk) se numeste produsul ca-

nonic al lui Weierstrass.

Acum putem demonstra rezultatul fundamental al acestei sectiuni, cunos-cut sub numele de Teorema lui Weierstrass de factorizare canonica.


Teorema 7.2.19 Fie f o functie ıntreaga avand o infinitate de zerourizkk∈N ⊂ C∗, fiecare zerou fiind considerat cat indica ordinul sau de mul-tiplicitate. Presupunem ca z = 0 este un zerou de ordinul m al functiei f .Atunci exista o functie ıntreaga g astfel ıncat

f(z) = zmeg(z)∞∏

k=1

Ek−1

( z

zk

).

Demonstratie. Pe baza Teoremei 7.2.17 deducem ca functia

h(z) = zm∞∏

k=1

Ek−1

( z

zk

)

este ıntreaga avand aceleasi zerouri ca si f ımpreuna cu ordinele lor de multi-plicitate. Atunci functia q = f/h este ıntreaga si q(z) 6= 0, z ∈ C. Deci existag ∈ H(C) astfel ıncat q(z) = eg(z), z ∈ C. ¤

Rezultatul precedent are urmatoarea consecinta importanta ın studiulfunctiilor meromorfe pe C.

Corolarul 7.2.20 Fie f o functie meromorfa pe C. Atunci f este catul adoua functii ıntregi.

Demonstratie. Fie A multimea polilor functiei f . Atunci A contine sau unnumar finit de poli sau o infinitate numarabila de poli ce se acumuleaza la∞. Fie g produsul canonic al lui Weierstrass, avand zerouri exact punctelemultimii A, astfel ca ordinul fiecarui zerou a ∈ A al lui g este egal cu ordinulpolului a pentru f . Atunci functia h = f · g este ıntreaga, deoarece fiecare polal lui f este punct regular pentru functia h, pe baza criteriului lui Riemannde eliminabilitate. Intr-adevar, un astfel de pol al functiei f este compensatde zeroul corespunzator functiei g. Deci f = h/g pe C \A. ¤

Exemplul 7.2.21 Functia ıntreaga f(z) = sin z admite descompunerea

sin z = z∞∏

k=1

(1− z2

k2π2

), z ∈ C.

Demonstratie. Intr-adevar, observam ca zk = kπ este un zerou simplupentru functia f , pentru orice k ∈ Z, iar sin z 6= 0, z ∈ C \ kπ : k ∈ Z.Deoarece

min

m ∈ N :

∞∑

k=1

1(kπ)m+1

< ∞

= 1,


deducem din Observatia 7.2.16 si Teorema 7.2.19 ca exista o functie ıntreagag astfel ıncat

(7.2.7) sin z = zeg(z)∞∏

k=−∞k 6=0

(1− z

kπ

)e

zkπ .

Logaritmand formal ın ambii membri si apoi derivand, obtinem ca

ctg z =1z

+ g′(z) +∞∑

k=−∞k 6=0

[1

z − kπ+

1kπ

].

Pe de alta parte, din (7.1.16) si egalitatea precedenta rezulta ca g′ ≡ 0,deci g este constanta. Dar

limz→0

sin z

z= 1,

iar din (7.2.7) obtinem prin trecere la limita pentru z → 0 ca eg(0) = 1. Deci

sin z = z∞∏

k=−∞k 6=0

(1− z

kπ

)e

zkπ = z

∞∏

k=1

(1− z2

k2π2

).

¤

Observatia 7.2.22 In demonstratia anterioara se poate aplica urmatorul re-zultat: Fie gkk∈N un sir de functii olomorfe pe o multime deschisa Ω din

C, astfel ıncatm∏

k=1

gk(z) → G(z) =∞∏

k=1

gk(z), m → ∞, convergenta avand loc

uniform pe compacte ın Ω. Fie K un compact din Ω. Daca G(z) 6= 0, z ∈ K,atunci

(7.2.8)G′(z)G(z)

=∞∑

k=1

g′k(z)gk(z)

uniform pe K.

Lasam demonstratia egalitatii (7.2.8) pe seama cititorului.

7.3. Domenii de olomorfie ın C 253

Probleme

Problema 7.2.1 Sa se arate ca au loc urmatoarele descompuneri ın produsede factori canonici:

(i) shz = z

∞∏

k=1

(1 +

z2

k2π2

);

(ii) ez − 1 = zez2

∞∏

k=1

(1 +

z2

4π2k2

);

Problema 7.2.2 Folosind descompunerea functiei f(z) = sinπz ın produsede factori canonici, sa se deduca formula lui Wallis:

√π

2= lim

k→∞2 · 4 · 6 · · · 2k

1 · 3 · 5 · · · (2k − 1)· 1√

2k + 1.

Problema 7.2.3 Fie zkk∈N un sir de numere complexe astfel ıncat |zk| < 1,k ∈ N, si |zk| → 1, k →∞. Consideram produsul Blaschke

∞∏

k=1

zk

|zk| ·zk − z

1− zkz,

unde factorii corespunzatori lui zk = 0 sunt z.

(i) Presupunem ca∞∑

k=1

(1− |zk|) < ∞. Fie E ⊆ ∂U multimea punctelor de

acumulare pentru sirul zkk∈N. Sa se arate ca produsul Blaschke convergeuniform pe compacte ın C∞\E la o functie meromorfa B pe C∞\E ce satisfaceconditiile: |B(z)| < 1, z ∈ U , |B(z)| = 1, z ∈ ∂U \ E, si B are zerouri exactpunctele zk, k ∈ N.

(ii) Sa se arate ca daca∞∑

k=1

(1 − |zk|) = ∞, atunci produsul Blaschke con-

verge uniform pe compacte ın U la functia constanta zero.(iii) Fie f : U → C o functie olomorfa marginita si neidentic nula. Sa se

arate ca f admite o descompunere de forma f(z) = B(z)h(z), z ∈ U , unde Beste produsul Blaschke iar h este o functie olomorfa pe U astfel ıncat h(z) 6= 0,z ∈ U .

7.3 Domenii de olomorfie ın C

In rezultatul principal al acestei sectiuni aratam orice domeniu D ⊆ Ceste un domeniu de olomorfie, ın sensul ca exista o functie olomorfa pe D care


nu admite prelungire analitica ın exteriorul acestui domeniu. (Mentionam caun astfel de rezultat nu are loc ın spatiul n-dimensional complex Cn, n ≥ 2.)Demonstratia acestui rezultat se va baza pe o generalizare a Teoremei defactorizare a lui Weierstrass ın cazul domeniilor din C.

In Teorema 7.2.17 am determinat o functie ıntreaga avand zerourile pres-crise. In cele ce urmeaza vom prezenta generalizarea acestui rezultat ın cazuldomeniilor din C.

Teorema 7.3.1 Fie Ω un domeniu din C si akk∈N un sir de puncte din Ω,care nu se acumuleaza ın Ω. Atunci exista o functie olomorfa pe Ω care arezerouri exact punctele ak, k ∈ N.

Demonstratie. Fara a restrange generalitatea, admitem ca ∞ ∈ Ω (aceastaconditie se poate realiza prin intermediul transformarilor omografice). Deasemenea, presupunem ca ∂Ω 6= ∅, adica Ω 6= C∞.

Procedand analog ca ın demonstratia Teoremei 7.1.4, consideram

rn = min|z − an| : z ∈ ∂Ω = dist(an, ∂Ω) = dist(an,C∞ \ Ω).

Deoarece C \ Ω este o multime compacta, exista bn ∈ C \ Ω astfel ıncat |bn −an| = rn, n ∈ N. Cum sirul ann∈N nu are puncte de acumulare ın Ω, urmeazaca rn → 0, n →∞.

Alegem z ∈ C astfel ıncat |z − bn| > rn. Atunci

z − an

z − bn= 1− an − bn

z − bn,

iar din faptul ca |an − bn| < |z − bn|, deducem ca are loc dezvoltarea

(7.3.1) log(

z − an

z − bn

)= log

(1− an − bn

z − bn

)= −

∞∑

k=1

(an − bn)k

k(z − bn)k,

unde log(

z − an

z − bn

)este ramura principala a lui Log

(z − an

z − bn

). (Mentionam

ca egalitatea precedenta se obtine imediat din dezvoltarea ın serie de puteri afunctiei log(1 − ζ) pe discul unitate.) Seria (7.3.1) este convergenta uniformpe compacte ın z ∈ C : |z − bn| ≥ 2rn. Intr-adevar, cum

log(1− ζ) = −ζ − ζ2

2− · · · − ζk

k− · · · , |ζ| < 1,

iar aceasta serie este uniform convergenta pe compacte ın discul unitate U ,deducem ca daca ∣∣∣∣

an − bn

z − bn

∣∣∣∣ ≤12⇔ |z − bn| ≥ 2rn,


atunci are loc concluzia ın cazul seriei de la (7.3.1).Prin urmare pentru fiecare n ∈ N, exista mn ∈ N astfel ıncat

(7.3.2) |z − bn| ≥ 2rn =⇒∣∣∣∣∣log

(z − an

z − bn

)+

mn∑

k=1

(an − bn)k

k(z − bn)k

∣∣∣∣∣ <12n

.

In aceste conditii produsul infinit

(7.3.3) f(z) =∞∏

n=1

(z − an

z − bn

)e

mn∑

k=1

(an − bn)k

k(z − bn)k

este convergent uniform pe compacte ın Ω. Intr-adevar, daca K este un disccompact din Ω, atunci exista n∗ = n∗(K) ∈ N astfel ıncat |z − bn| ≥ 2rn,pentru orice z ∈ K si n ≥ n∗, adica K ⊂ z : |z − bn| ≥ 2rn. Fie

gn∗(z) =∞∑

n=n∗

[log

(z − an

z − bn

)+

mn∑

k=1

(an − bn)k

k(z − bn)k

].

Din (7.3.2) rezulta ca seria precedenta de functii olomorfe pe K convergeuniform pe compactul K, deci gn∗ va fi o functie olomorfa pe K. In acesteconditii, daca notam cu fn∗(z) = egn∗ (z), atunci fn∗ este de asemenea o functieolomorfa pe K, iar produsul infinit

∞∏

n=n∗

(z − an

z − bn

)e

mn∑

k=1

(an − bn)k

k(z − bn)k

converge uniform pe K la fn∗ . In plus, este clar ca fn∗(z) 6= 0, z ∈ K. Deaici deducem ca functia f , definita de (7.3.3), este olomorfa pe K. Cum disculcompact K a fost ales ın mod arbitrar, urmeaza ca f este olomorfa pe Ω. Estede asemenea evident ca f se anuleaza exact ın punctele akk∈N. Demonstratiaeste ıncheiata. ¤

In continuare prezentam doua consecinte importante ale Teoremei 7.3.1 ınstudiul functiilor de o variabila complexa. Prima consecinta arata ca are locun rezultat similar celui din Corolarul 7.2.20 ın cazul oricarui domeniu din C.

Corolarul 7.3.2 Fie Ω un domeniu din C si f o functie meromorfa pe Ω.Atunci exista functiile g si h olomorfe pe Ω astfel ıncat f(z) = h(z)/g(z),z ∈ Ω \A, unde A este multimea polilor lui f .


Demonstratie. Deoarece f este o functie meromorfa pe Ω, deducem ca fare sau un numar finit de poli sau o infinitate numarabila de poli ın Ω cenu se acumuleaza ın Ω. Pe baza Teoremei 7.3.1, exista o functie g ∈ H(Ω)ce se anuleaza numai ın punctele multimii A, astfel ca ordinul fiecarui zeroua ∈ A al lui g este egal cu ordinul polului a pentru f . Atunci functia h = f · geste olomorfa pe Ω, deoarece fiecare pol al functiei f este anhilat de zeroulcorespunzator functiei g. Deci f = h/g. ¤

Observatia 7.3.3 E clar ca are loc si reciproca Corolarului 7.3.2: daca h, g ∈H(Ω), atunci f = h/g este o functie meromorfa pe Ω. In acest fel putem dao definitie echivalenta notiunii de meromorfie pe domenii din C: o functie feste meromorfa pe domeniul Ω ⊆ C daca si numai daca f este catul a douafunctii olomorfe pe Ω.

In cazul ın care domeniile din C sunt ınlocuite cu planul complex extinsC∞, atunci functiile meromorfe pe C∞ coincid cu functiile rationale, asa dupacum arata

Teorema 7.3.4 Fie f : C∞ → C∞ o functie. Atunci f este meromorfa peC∞ daca si numai daca f este rationala.

Demonstratie. E clar ca daca f este functie rationala, atunci f este mero-morfa pe C∞.

Admitem ın continuare ca f este meromorfa pe C∞, deci are sau un numarfinit de poli sau o infinitate numarabila de poli ce se acumuleaza la ∞. Ceade-a doua situatie nefiind posibila (ın acest caz punctul de la ∞ ar fi un punctde acumulare de poli, ceea ce ar contrazice faptul ca f este meromorfa pe C∞),deducem ca f are un numar finit de poli pe care ıi notam cu z1, . . . , zm.

Cazul I. Presupunem ca ∞ este un punct regular pentru functia f . FiePk(z) si Tk(z) partea principala si partea tayloriana a functiei f , obtinute dindezvoltarea ın seria Laurent a lui f ın punctul zk. Deci exista rk > 0 astfelıncat

f(z) = Pk(z) + Tk(z), z ∈ U(zk, rk).

Atunci functia g = f −m∑

k=1

Pk este olomorfa pe C∞ \ zk : k = 1, . . . , miar punctele zk, k = 1, . . . , m, sunt regulare pentru g. Prin urmare functia gadmite o prelungire la C∞, notata tot cu g, care este olomorfa pe C. Cum∞ este un punct regular pentru g, urmeaza din Exemplul 2.3.14 ca g este

constanta. Atunci f = g +m∑

k=1

Pk este o functie rationala.


Cazul II. Admitem ca ∞ este un pol pentru functia f . Fie z0 ∈ C unpunct regular pentru f si p(z) = f

(1z + z0

). Atunci p este meromorfa pe C∞

sip(∞) = f(z0) ∈ C,

deci ∞ este un punct regular pentru functia p. Din demonstratia cazuluianterior rezulta ca p este rationala, iar din egalitatea f(z) = p(1/(z − z0))deducem ca si f este rationala, fiind compunerea a doua functii rationale. ¤

Urmatoarea consecinta a Teoremei 7.3.1 se bazeaza pe notiunea de domeniude olomorfie.

Definitia 7.3.5 Fie Ω ⊆ C un domeniu. Spunem ca Ω este un domeniude olomorfie daca exista o functie f olomorfa pe Ω ce nu admite prelungireanalitica ın afara domeniului Ω, ın sensul ca nu exista un domeniu ∆ ⊆ C siF ∈ H(∆) astfel ıncat Ω $ ∆ si F |Ω = f .

Observam imediat ca Ω este un domeniu de olomorfie daca si numai dacaexista o functie olomorfa pe Ω ce nu se poate prelungi analitic (olomorf) penici un disc U(z; r) cu z ∈ ∂Ω.

Cum C nu are frontiera, este evident ca ıntreg planul complex este dome-niu de olomorfie. Mai mult, aratam ca orice domeniu din C este domeniu deolomorfie. Acest rezultat este foarte important ın teoria functiilor de o va-riabila complexa (a se vedea [Ber-Ga]), dar nu se poate generaliza ın spatiuln-dimensional complex Cn. Cu alte cuvinte, daca n ≥ 2 exista domenii ın Cn

ce nu sunt domenii de olomorfie (a se vedea [Na], [Ko1]).

Teorema 7.3.6 Fie Ω un domeniu din C, Ω 6= C. Atunci Ω este un domeniude olomorfie.

Demonstratie. Construim o functie f ce satisface conditiile din Definitia7.3.5, astfel ca f sa nu fie identic nula dar orice punct z ∈ ∂Ω sa fie un punctde acumulare pentru multimea E unde E = z ∈ Ω : f(z) = 0. Pentruaceasta este suficient sa construim un sir akk∈N de puncte din Ω fara punctede acumulare ın Ω, dar care se acumuleaza ın orice punct din ∂Ω. In acest cazexista o functie f olomorfa pe Ω, avand zerouri exact punctele akk∈N, pe bazaTeoremei 7.3.1. Atunci f nu este identic nula si ın plus, f nu poate fi prelungitaolomorf pe nici un disc U(z; r) cu z ∈ ∂Ω. In caz contrar, presupunem prinabsurd ca exista z0 ∈ ∂Ω si r > 0 astfel ıncat f admite o prelungire olomorfag pe U(z0; r), deci g|Ω∩U(z0;r) = f . Dar z0 este un punct de acumulare alsirului akk∈N, iar g(ak) = 0, pentru orice k ∈ N cu ak ∈ U(z0; r) ∩ Ω. DinTeorema zerourilor functiilor olomorfe rezulta ca g ≡ 0, deci f |U(z0;r)∩Ω = 0.


Dar aceasta egalitate contrazice faptul ca f se anuleaza numai ın punctele ak,k ∈ N. De fapt, egalitatea precedenta si Teorema identitatii functiilor olomorfeimplica f ≡ 0.

Ramane sa demonstram existenta sirului akk∈N. In acest sens nume-rotam toate punctele din Ω cu ambele coordonate (partea reala si partea ima-ginara) numere rationale ıntr-un sir wkk∈N, astfel ca fiecare punct apare deo infinitate de ori. Atunci orice punct din ∂Ω este punct de acumulare pentruacest sir. Fie

rk = dist(wk, ∂Ω) = minz∈∂Ω

|wk − z|

si fie Kkk∈N o exhaustiune normala formata din submultimi compacte alelui Ω. Pentru fiecare k ∈ N, alegem ak ∈ Ω \Kk astfel ıncat |ak − wk| < rk siın plus, aj 6= ak pentru k > j. Atunci akk∈N este un sir de puncte distinctedin Ω, care nu se acumuleaza ın Ω (deoarece ın fiecare compact din Ω se aflanumai un numar finit de termeni ai sirului akk∈N) si se acumuleaza ın oricepunct din ∂Ω. Intr-adevar, daca a ∈ ∂Ω si ε > 0, exista k ∈ N astfel ıncat|a− wk| ≤ ε/2, deoarece a este un punct de acumulare pentru sirul wkk∈N.Atunci rk ≤ ε/2 si

|a− ak| ≤ |a− wk|+ |wk − ak| ≤ ε

2+ rk ≤ ε.

Prin urmare akk∈N se acumuleaza ın punctul a. Demonstratia este ıncheiata.¤

Observatia 7.3.7 Pentru detalii suplimentare referitoare la acest capitol pro-punem cititorului lucrarile [Ah], [MoP], [Gas-Su], [Con1], [Gre-Kra], [Pop].

Bibliografie

[Ah] L.V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill Book Co.,New York, 1979.

[An] V. Anisiu, Topologie si Teoria Masurii, Lito. Univ. Babes-Bolyai,Cluj-Napoca, 1993.

[Bea] A. Beardon, Complex Analysis: The Argument Principle in Ana-lysis and Topology, John Wiley & Sons, New York, 1979.

[Ber-Ga] C.A. Berenstein, R. Gay, Complex Variables: An Introduction,Springer-Verlag New York Inc., 1991.

[Bo] R.P. Boas, An Invitation to Complex Analysis, Random House,New York, 1987.

[Bob] N. Boboc, Functii Complexe, Editura Didactica si Pedagogica, Bu-curesti, 1969.

[Bu-Ne] T. Bulboaca, S. Nemeth, Komplex Analizis, Editura Abel, Cluj-Napoca, 2001.

[Ca] C. Caratheodory, Conformal Representation, Cambridge Univer-sity Press, 1958.

[Car] H. Cartan, Elementary Theory of Analytic Functions of One orSeveral Complex Variables, New York: Addison & Wesley, 1963.

[Ca] G. Calugareanu, Elemente de Teoria Functiilor de o Variabila Com-plexa, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1963.

[Ce-Su] T. Ceausu, N. Suciu, Functii Complexe. Probleme si Exercitii, Edi-tura Mirton, Timisoara, 2001.

259

260 Bibliografie

[Cer] I. Cerny, Foundations of Complex Analysis in the Complex Do-main, Academia, Praha, 1992.

[Ch] B. Chabat, Introduction a l’Analyse Complexe, I, Edition MIR,Moscou, 1990.

[Ca] G. Calugareanu, Elemente de Teoria Functiilor de o Variabila Com-plexa, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1963.

[Cob] S. Cobzas, Analiza Matematica (Calcul Diferential), Presa Univer-sitara Clujeana, 2001.

[Col] I. Colojoara, Analiza Matematica, Editura Didactica si Pedago-gica, Bucuresti, 1963.

[Con1] J.B. Conway, Functions of One Complex Variable I, Springer-Verlag, New York, 1995.

[Con2] J.B. Conway, Functions of One Complex Variable II, Springer-Verlag, New York, 1995.

[Cu] P. Curt, Spatii Hardy si Functii Univalente, Editura Albastra,Cluj-Napoca, 2002.

[Der] W.R. Derrick, Complex Analysis and Applications, WadsworthInternational Group, 1984.

[Die] J. Dieudonne, Foundations of Modern Analysis, Academic Press,New York and London, 1960.

[Din] S. Dineen, The Schwarz Lemma, Clarendon Press, Oxford, 1989.

[Dug] J. Dugundji, Topology, Allyn and Bacon, Inc., Boston, 1966.

[Dur1] P.L. Duren, Univalent Functions, Springer-Verlag, New York,1983.

[Dur2] P.L. Duren, Harmonic Mappings in the Plane, Cambridge Univer-sity Press, 2004.

[Ef-Be-Si] M. Evgrafov, K. Bejanov, Y. Sidorov, M. Fedoruk, M. Chabounine,Recueil de Problemes sur la theorie des fonctions analytiques, Edi-tions MIR Moscou, 1974.

Bibliografie 261

[Fis] S.D. Fischer, Complex Variables, Second Edition, Wadsworth &Brooks/Cole Math. Series, 1990.

[Gam] T.W. Gamelin, Complex Analysis, Springer-Verlag Berlin, NewYork, 2001.

[Gas-Su] D. Gaspar, N. Suciu, Analiza Complexa, Editura AcademieiRomane, Bucuresti, 1999.

[Gol] G.M. Goluzin, Geometric Theory of Functions of a Complex Varia-ble, Moscow, 1952; English Transl., Amer. Math. Soc., Providence,R.I., 1969.

[Gon] S. Gong, Concise Complex Analysis, World Scientific PublishingCo., Singapore, 2001.

[Goo] A.W. Goodman, Univalent Functions, I-II, Mariner Publ. Co.,Tampa Florida, 1983.

[Gr-Ko] I. Graham, G. Kohr, Geometric Function Theory in One and Hi-gher Dimensions, Marcel Dekker Inc., New York, 2003.

[Gre-Kra] R.E. Greene, S.G. Krantz, Function Theory of One Complex Varia-ble, Second Edition, American Mathematical Society, Providence,RI, 2002.

[Ha-MG] D.J. Hallenbeck, T.H. MacGregor, Linear Problems and ConvexityTechniques in Geometric Function Theory, Pitman, Boston, 1984.

[Ha-Mo-Ne] P. Hamburg, P. Mocanu, N. Negoescu, Analiza Matematica(Functii Complexe), Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti,1982.

[Hen] P. Henrici, Applied and Computational Complex Analysis, I-III,Wiley Classical Library, J. Wiley & Sons, New York, 1993.

[Hew-St] E. Hewitt, K. Stromberg, Real and Abstract Analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1965.

[Hil] E. Hille, Analytic Function Theory, I-II, Ginn and Company, Bos-ton, 1962.

[Ho] A.S.B. Holland, Complex Function Theory, North Holland, 1980.

[Ke] J. Kelley, General Topology, Springer, 1955.

262 Bibliografie

[Ki-Mi] S.A.Kim, D. Minda, Two point distortion theorems for univalentfunctions, Pacif. J. Math., 163(1994), 137-157.

[Ko1] G. Kohr, Basic Topics in Holomorphic Functions of Several Com-plex Variables, Cluj University Press, Cluj-Napoca, 2003.

[Ko2] M. Kohr, Capitole Speciale de Mecanica, Presa Universitara Clu-jeana, Cluj-Napoca, 2005.

[Kr1] S.G. Krantz, Complex Analysis: The Geometric Viewpoint, Mat-hematical Association of America, Washington, 1990.

[Kr2] S.G. Krantz, Handbook of Complex Variables, Birkhauser, 1999.

[La] S. Lang, Complex Analysis, 2nd ed., Springer, Berlin, 1985.

[Ma] I. Marusciac, Analiza Matematica, Partea II, Lito. Univ. Babes-Bolyai, Cluj-Napoca, 1983.

[May] O. Mayer, Teoria Functiilor de o Variabila Complexa, Editura Aca-demiei Romane, Bucuresti, 1981.

[MoG] G. Mocanu, Introducere ın Teoria Functiilor Complexe, vol. I-II,Editura Universitatii Bucuresti, 1996.

[MoP] P.T. Mocanu, Functii Complexe, Lito. Univ. Babes-Bolyai, Cluj-Napoca, 1972.

[Mo-Bu-Sa] P.T. Mocanu, T. Bulboaca, G.St. Salagean, Teoria Geometrica aFunctiilor Univalente, Casa Cartii de Stiinta, Cluj-Napoca, 1999.

[Mo-St-Vi] G. Mocanu, G. Stoian, E. Visinescu, Teoria Functiilor de o Varia-bila Complexa. Culegere de Probleme, Editura Didactica si Peda-gogica, Bucuresti, 1970.

[Mos] M.A. Moskowitz, A Course in Complex Analysis in One Variable,World Scientific Publishing Co., Singapore, 2002.

[Na] R. Narasimhan, Several Complex Variables, The University of Chi-cago Press, 1971.

[Na-Ni] R. Narasimhan, Y. Nievergelt, Complex Analysis in One Variable,Second Edition, Birkhauser, 1985.

[Neh] Z. Nehari, Conformal Mapping, McGraw-Hill, New York, 1952.

Bibliografie 263

[Nev] R. Nevanlinna, Analytic Functions, Springer-Verlag, 1970.

[Ni] C.P. Niculescu, Fundamentele Analizei Matematice, Editura Aca-demiei Romane, Bucuresti, 1996.

[Pom] C. Pommerenke, Univalent Functions, Vandenhoeck & Ruprecht,Gottingen, 1975.

[Pop] E. Popa, Introducere ın Teoria Functiilor de o Variabila Complexa.Exercitii si Probleme, Editura Univ. Alexandru Ioan Cuza, Iasi,2001.

[Pr] A. Precupanu, Analiza Matematica. Functii Reale, Editura Didac-tica si Pedagogica, Bucuresti, 1975.

[Rem] R. Remmert, Theory of Complex Functions, Springer-Verlag, NewYork, 1991.

[Roy] H.L. Royden, Real Analysis, (Third Edition), MacMillan, N.Y.,1988.

[Rud] W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3nd ed., Mc. Graw-Hill,1987.

[Sa] G.St. Salagean, Geometria Planului Complex, Editura PromediaPlus, Cluj-Napoca, 1999.

[Si] C.L. Siegel, Topics in Complex Function Theory, John Wiley &Sons, 1969.

[Sta] O. Stanasila, Analiza Matematica, Editura Didactica si Pedago-gica, Bucuresti, 1981.

[Sto] S. Stoilow, Teoria Functiilor de o Variabila Complexa, EdituraAcademiei Romane, Bucuresti, 1954.

[St-Sh] E.M. Stein, R. Shakarchi, Complex Analysis, Princeton UniversityPress, 2003.

[Vo-Lu-Ar] L. Volkovysky, G. Lunts, I. Aramanovich, Problems in the Theoryof Functions of a Complex Variable, MIR Publishers, Moscow,1972.

[Wen] G.C. Wen, Conformal Mappings and Boundary Value Problems,American Math. Soc., 1992.

264 Bibliografie

[Wu] A.D. Wunsch, Complex Variables with Applications, Addison-Wesley, 2005.

[Zo] V.A. Zorich, Mathematical Analysis, I-II, Springer, 2004.

Index

aplicatia multivoca argument, 16aplicatia multivoca logaritm, 16aplicatie biolomorfa, 123aplicatie nesingulara, 127automorfism conform, 162

ciclu, 45Clasa S, 133conjectura lui Bieberbach, 138conjugat armonic, 189contur, 23contur Jordan, 49contur simplu, 48convergenta ın nucleu, 146coroana de convergenta, 29

deformatie continua, 23derivata sferica, 121discul de convergenta, 20domenii conform echivalente, 162domeniu, 13domeniu convex, 24domeniu de olomorfie, 257domeniu multiplu conex, 181domeniu simplu conex, 24drum, 22drum ınchis, 22drum neted, 22drum nul omolog, 46drum omotop cu zero, 24drum partial neted, 22drum punctual constant, 24

drum rectificabil, 23drumul invers, 23

ecuatia lui Laplace, 188exhaustiune normala, 102

familie normala, 108, 121formula de medie pentru functii ar-

monice, 191formula lui Leibniz-Newton, 27formula lui Poisson, 195formula lui Wallis, 253formulele lui Cauchy pentru contu-

ruri, 47formulele lui Cauchy pentru disc,

27functia exponentiala, 16functia lui Jukowski, 132functia lui Koebe, 124functia Mittag-Leffler, 231functie C-diferentiabila, 14functie R-diferentiabila, 14functie analitica, 19functie armonica, 176, 188functie derivabila, 13functie local biolomorfa, 127functie local constanta, 15functie local univalenta, 127functie meromorfa, 59functie normata, 133functie olomorfa, 13functie subarmonica, 214

265

266 Index

functie superior semicontinua, 213functie univalenta, 123functionala, 116functionala continua, 117

grupul conform al unui domeniu,162

index, 38inegalitatile lui Cauchy, 28inegalitatea lui Holder, 223inegalitatea lui Harnack, 199inegalitatea lui Jensen, 222integrala complexa, 25integrala de tip Fourier, 81

L. de Branges, 138lant, 45lant nul omolog, 46laplacian, 176lema lui Jordan, 81lema lui Landau, 37lema lui Schwarz, 22lema Schwarz-Pick, 153

metrica hiperbolica, 155metrica Poincare, 155multime ınchisa, 12multime compacta, 12multime conexa, 13multime local echicontinua, 109multime local uniform marginita,

107multime marginita, 12multime relativ compacta, 108

nucleu, 145nucleul lui Poisson, 198

omotopie, 23operatorul lui Laplace, 188

ordinul unei functii ıntr-un punct,59

ordinul unui pol, 51ordinul unui zerou, 51

partea principala a unei serii Lau-rent, 28

partea tayloriana a unei serii Lau-rent, 28

planul hiperbolic, 157pol, 50pol simplu, 51principiul extremului pentru functii

armonice, 192principiul lui Harnack, 202principiul maximului pentru functii

armonice, 176principiul maximului pentru functii

subarmonice, 215principiul prelungirii analitice, 21principiul simetriei lui Schwarz

pentru functii armonice,205

principiul simetriei pentru functiiolomorfe, 207

principiul univalentei pe frontiera,131

principiul variatiei argumentului,62

produsul canonic al lui Weierstrass,250

proprietatea subvalorii medii, 218proprietatea valorii medii, 203punct eliminabil, 50punct esential izolat, 50punct regular, 50

ramura principala, 33raza de convergenta, 20reprezentare conforma, 162

Index 267

reziduu, 50

serie Laurent, 28sistemul Cauchy-Riemann, 14spatiu Frechet, 107spatiu Montel, 115suportul unui drum, 22

teorema aplicatiei deschise, 69teorema ariei, 134teorema convergentei lui Blaschke,

115teorema de acoperire, 138teorema de deformare si distor-

siune, 140teorema de invarianta a domeniu-

lui, 70teorema de legatura ıntre olomorfie

si primitiva, 27teorema de legatura ıntre primitiva

si integrala, 26teorema dezvoltarii ın serie Lau-

rent, 29teorema dezvoltarii in serie de pu-

teri, 20teorema fudamentala a lui Cauchy,

27teorema identitatii functiilor olo-

morfe, 21teorema lui Caratheodory, 146teorema lui Casorati-Weierstrass,

51teorema lui Cauchy relativa la ze-

rouri si poli, 62teorema lui Cauchy-Riemann, 14teorema lui Heine-Borel, 146teorema lui Hurwitz, 71teorema lui Jordan, 49teorema lui Liouville, 14

teorema lui Liouville pentru functiiarmonice, 194

teorema lui Marty, 121teorema lui Mittag-Leffler, 229, 234teorema lui Montel, 108teorema lui Morera, 27teorema lui Riemann, 165teorema lui Rouche, 64teorema lui Runge, 234teorema lui Vitali, 112teorema lui Weierstrass, 18teorema lui Weierstrass de factori-

zare canonica, 250teorema maximului modulului, 21teorema ramurilor uniforme pentru

Log, 33teorema ramurilor uniforme pentru

aplicatia multivoca putere,35

teorema razei de convergenta, 19teorema reziduurilor, 55teorema zerourilor unei functii olo-

morfe, 20topologia naturala a lui H(Ω), 102

versiunea omologica a teoremei luiCauchy, 47

zerou, 20zerou de ordinul k, 20

cap1-fin

Documents

iile olomorfe si

si rezultate preliminare111

ntregi si produse

normalitate si compactitate

zerourile si polii

siruri si serii

olomorfa si injectivape

lant uri n c si omologie