Capıtulo 27

Regras de L’Hopital

27.1 Formas indeterminadas

Suponha que desejamos tracar o grafico da funcao F (x) =2x − 1

x. Embora F nao esteja definida em x = 0, para

tracar o seu grafico precisamos conhecer o comportamento da funcao nas proximidades deste ponto, isto e, precisamoscalcular os limites

limx→0+

2x − 1

xe lim

x→0−

2x − 1

x(*)

Como, nestes dois casos, o limite do denominador e zero, a regra do quociente para limites nao se aplica. Embora oslimites acima existam, o seu valor nao e obvio, pois tanto o numerador quanto o denominador da fracao se aproximamde zero, quando x→ 0.

Quando limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = 0, diz-se que o quocientef(x)

g(x)tem a forma indeterminada

0

0, em x = a.

Formas indetermindas deste tipo apareceram no comeco de nossos estudos de derivada, mais precisamente, a razaoincremental que aparece na definicao de derivada

f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)

x− a

tem a forma indeterminada0

0, em x = a.

Quando f e uma funcao racional, a tecnica para resolver limites deste tipo e cancelar o fator comum, quandopossıvel. Assim, por exemplo,

limx→1

x2 − 1

x− 1= lim

x→1(x+ 1) = 2.

Outro exemplo de um limite do tipo0

0apareceu no estudo das funcoes trigonometricas, quando precisamos calcular

limx→0

sen(x)

x. Na ocasiao, tivemos que utilizar um argumento geometrico para concluir que este limite e igual a 1.

Para os limites que apareceram em (*) nenhuma destas tecnicas funciona.

Uma outra situacao na qual o valor do limite nao e obvio ocorre quando tentamos avaliar limx→∞

ln(x)

x. Este

limite aparece quando precisamos encontrar as assıntotas horizontais ao grafico da funcao y = ln(x)x . Neste caso,

tanto o numerador quanto o denominador tendem a ∞, quando x → ∞. Se o numerador cresce mais rapido que odenominador, o limite e infinito. Se, ao contrario, e o denominador que cresce mais rapido, o limite e zero. Se amboscrescem a mesma taxa, o limite pode ser qualquer numero positivo.

Assim, se limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = ∞, diz-se que limx→a

f(x)

g(x)e uma forma indeterminada do tipo ∞

∞ . Podemos ter

tambem, formas indeterminadas do tipo ∞−∞ , −∞

∞ e −∞−∞ , dependendo dos sinais dos limites de f e de g.

Outra forma indeterminada aparece quando estudamos funcoes da forma h(x) = f(x) − g(x). Neste caso, selimx→a

f(x) = limx→a

g(x) = ∞, diz-se que limx→a

h(x) tem a forma indeterminada ∞−∞.

Alem destas, outras formas indeterminadas podem aparecer no calculo de limites do tipo limx→a

f(x)g(x). Neste caso,

dependendo dos limites de f e de g, quando x→ a podemos ter indeterminacoes do tipo 1∞, 00 e ∞0.Resumindo, sao 7 os tipos de formas indeterminadas, a saber

0

0

∞∞

∞−∞ 1∞ 00 ∞0 e 0∞

381

382 Cap. 27. Regras de L’Hopital

Nesta secao introduziremos um metodo sistematico e facil para calcular certos limites envolvendo formas indeter-minadas. Este metodo, chamado Regra de L’Hopital, apareceu por volta de 1696 e tem esse nome em homenagem aonobre frances, Marques de L’Hopital (1661-1704), a quem foi atribuıda a sua descoberta, mas na verdade, dizem asmas linguas, o trabalho e do matematico suıco John Bernoulli (1667-1748), que o Marques havia contratado como seuprofessor de matematica.

A seguir, veremos as varias formas e as aplicacoes do que se convencionou chamar de Regras de L’Hopital.

27.2 Primeira regra de L’Hopital

Sejam f e g funcoes derivaveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um ponto a de I. Suponha que, paratodo x = a em I, g′(x) = 0. Se

limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = 0

e

limx→a

f ′(x)

g′(x)= L , entao lim

x→a

f(x)

g(x)= L .

As figuras a seguir ajudam a visualizar o porque de esta regra ser verdadeira. A primeira figura mostra os graficosde duas funcoes derivaveis f e g que se aproximam de zero quando x → a. Na figura da direita, temos um zoom nasproximidades do ponto (a, 0) dos graficos destas funcoes. Como as funcoes sao localmente lineares, pois sao derivaveis(veja Cap. 20 ), nas proximidades deste ponto seus graficos sao quase retas. Se os graficos destas funcoes fossemrealmente retas, entao a razao entre as funcoes seria dada por

m1 (x− a)

m2 (x− a)=m1

m2,

que e a razao entre suas derivadas. Esta interpretacao geometrica sugere que

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)

–14

–12

–10

–8

–6

–4

–20

2

4

6

a

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

a

Demonstracao Na demonstracao da regra de L’Hopital utilizaremos o teorema do valor medio de Cauchy. Comoas hipoteses nao garantem que f e g sejam definidas em x = a, consideraremos duas novas funcoes F e G que estendemas funcoes f e g e sao contınuas em x = a, a saber

F(x) ={f(x) x = a0 x = a

G(x) ={g(x) x = a0 x = a

Vamos demonstrar a regra quando x→ 0+. Para isso, considere x > a em I. Assim, as funcoes F e G sao contınuasno intervalo fechado [a, x] e derivaveis em (a, x]. Logo, aplicando o teorema do valor medio de Cauchy no intervalo[a, x], tem-se

F (x)− F (a)

G(x)−G(a)=F ′(c)

G′(c),

onde c e algum numero tal que a < c < x. Pelas definicoes dadas acima para F e G, temos

f(x)

g(x)=f ′(c)

g′(c).

W.Bianchini, A.R.Santos 383

Como a < c < x, entao, quando x→ a, tambem c→ a. Como por hipotese limc→a

f ′(c)

g′(c)= L, entao

limx→a+

f(x)

g(x)= lim

x→a+

f ′(c)

g′(c)= lim

c→a+

f ′(c)

g′(c)= L.

A demonstracao para o caso em que x→ a− e analoga e e deixada como exercıcio.

Observacao A regra tambem e valida se a ou L forem substituıdos por +∞ ou por −∞. Deixamos como exercıciosua demonstracao.

Exemplo 1 Calcule limx→0

sen(x2)

x.

Solucao Neste caso, aparece a forma indeterminada 00 . Como

limx→0

(sen(x2))′

x′= lim

x→0cos(x2) 2x = 0,

a primeira regra de L’Hopital garante que limx→0

sen(x2)

x= 0 .

Exemplo 2 Calcule limx→0

ex − e−x

sen(x).

Solucao Novamente, aparece a forma indeterminada 00 e, como

limx→0

(ex − e−x)′

(sen(x))′= lim

x→0

ex + e−x

cos(x)= 2,

a primeira regra de L’Hopital garante que limx→0

ex − e−x

sen(x)= 2.

27.3 Segunda regra de L’Hopital

Sejam f e g funcoes derivaveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um ponto a de I. Suponha que, paratodo x = a em I, g′(x) = 0. Se lim

x→af(x) = ±∞, lim

x→ag(x) = ±∞ e

limx→a

f ′(x)

g′(x)= L , entao lim

x→a

f(x)

g(x)= L .

Observacao Os numeros a e L podem ser ∞ ou −∞.

A demonstracao desta regra nao sera apresentada neste texto, mas pode ser encontrada em livros de Calculoavancado.

Exemplo 1 Calcule limx→0+

x ln(x).

Solucao Neste exemplo aparece uma indeterminacao do tipo 0× (−∞). Para podermos aplicar uma das regrasde L’Hopital, devemos transforma-la em uma das indeterminacoes

(00

)ou(∞∞).

Para isso, observe que

limx→0+

x ln(x) = limx→0+

ln(x)1x

=−∞∞

.

Podemos agora aplicar a segunda regra de L’Hopital e obter

limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1

x (− 1x2 )

= limx→0+

(−x) = 0

Exemplo 2 Calcule

(a) limx→∞

ex

x(b) lim

x→∞

x

ex

384 Cap. 27. Regras de L’Hopital

Solucao (a) limx→∞

ex

x=(∞∞

). Assim, pela segunda regra de L’Hopital,

limx→∞

(ex)′

(x)′= lim

x→∞ex = ∞ ⇒ lim

x→∞

ex

x= ∞ .

(b) limx→∞

x

ex=(∞∞

). Logo, pela segunda regra de L’Hopital,

limx→∞

(x)′

(ex)′= lim

x→∞

1

ex= 0 ⇒ lim

x→∞

x

ex= 0 .

Exemplo 3 Calcule limx→0+

xx.

Solucao limx→0+

xx = [00]. No caso de formas indeterminadas envolvendo potencias, utilizamos a definicao destas

funcoes para obter a igualdade xx = e(x ln(x)). Observando, agora, que a exponencial e uma funcao contınua, podemosescrever

limx→0+

xx = e

(lim

x→0+x ln(x)

)= e0 = 1 .

Exemplo 4 Calcule limx→0

(1

x2− 1

x2 cos(x)

)

Solucao: limx→0

1

x2− 1

x2 cos(x)= (∞−∞). Para aplicar uma das regras de L’Hopital precisamos transformar a

indeterminacao (∞−∞) em uma das duas formas 00 ou ∞

∞ . Em geral, isto e feito efetuando-se a operacao algebricaindicada. Assim,

1

x2− 1

x2 cos(x)=

cos(x)− 1

x2 cos(x).

Como o limite do lado direito da ultima expressao recai numa indeterminacao do tipo 00 , podemos aplicar a primeira

regra de L’Hopital e obter

limx→0

(cos(x)− 1)′

(x2 cos(x))′= lim

x→0

−sen(x)

2x cos(x)− x2 sen(x)=

(0

0

).

Neste caso, podemos aplicar novamente a primeira regra de L’Hopital. Assim,

limx→0

−sen(x)

2x cos(x)− x2 sen(x)= lim

x→0

(−sen(x))′

(2x cos(x) + x2 sen(x))′= lim

x→0

−cos(x)

2 cos(x) + 2x sen(x) + x2 cos(x)= −1

2.

Portanto,

limx→0

(1

x2− 1

x2 cos(x)

)= −1

2.

27.4 Exercıcios

1. Calcule os limites abaixo:

(a) limx→a

x− a

x3 − a3

(b) limx→n

ln( xn )

n− x

(c) limx→3

x2 − 6x+ 9

x2 − 5x+ 6

(d) limx→0

arcsen(x)

x

(e) limx→0

2x − 3x

x

(f) limx→∞

arctg( 2x )1x

(g) limx→0

ln(x)

cotg(x)

(h) limx→∞

x3

ex

(i) limx→0

1

sen(x)− 1

x

(j) limx→(π

2 )tg(x)cotg(x)

(k) limx→0

(x+ 1)cotg(x)

(l) limx→0

arcsen(x) cossec(x)

(m) limx→0

1

x− 1

ln(1 + x)

(n) limx→∞

x(1x )

(o) limx→0

sen(x)(1

ln(x))

W.Bianchini, A.R.Santos 385

2. Calcule limx→∞

√x2 − 1

x. Voce pode verificar que, neste caso, as regras de L’Hopital de pouco adianta.

3. Seja f(x) =

{sen(x)

x , se x = 01 , se x = 0

. Calcule f ′(0) e f ′′(0).

4. Sejam f(x) = x2 sen(1

x) e g(x) = x. Verifique que

(a) limx→0

f(x) = limx→0

g(x) = 0. (b) limx→0

f(x)

g(x)= 0.

(c) limx→0

f ′(x)

g′(x)nao existe. (Releia novamente a primeira regra de L’Hopital e mostre o que este exercıcio

esclarece naquela regra!)

5. Suponha que a temperatura de uma longa e fina barra de metal, colocada ao longo do eixo x, seja dada ini-

cialmente, por

{C2 a , se |x | ≤ a0 , se |x | > a

. Pode-se mostrar que se a difusividade termica da barra e k, entao a

temperatura da barra num ponto x dela mesma, em qualquer instante de tempo t posterior, e dada por

T (x, t) =C

a√4π kt

∫ a

0

e−(x−u)2

4 kt du

Para encontrar a distribuicao de temperatura na barra resultante de uma fonte de calor inicial concentrada naorigem, e preciso calcular lim

a→0T (x, t). Use L’Hopital para calcular este limite.