cap tulo 2. c alculo diferencial en varias...

Capıtulo 2. Calculo diferencial en varias variables

2.1. Lımites en Rn. Nocion de continuidad.

2.2. Derivacion. Derivadas parciales y gradiente.

2.3. Cambios de coordenadas. Regla de la cadena.

2.4. Derivadas de orden superior.

2.5. Formula de Taylor.

2.6. Maximos y mınimos. Extremos condicionales.

Capıtulo 2. Calculo diferencial en varias variables 1 / 57

2.1. Lımites y continuidad

Para definir las nociones de lımite y de continuidad en Rn, debemosprimero definir el concepto de conjunto abierto. Para ello, utilizaremos lanocion de bola. Recordamos la notacion d para la distancia euclıdea en Rn.

Definicion. (Bolas abiertas y cerradas)

Sea un punto x0 ∈ Rn, y un numero r ≥ 0. La bola abierta (euclıdea)centrada en x0 y de radio r es el conjunto denotado por Br (x0) y definidocomo sigue: Br (x0) = {x ∈ Rn : d(x , x0) < r}.(Recordemos que d(x , x0) = ‖x − x0‖.)La bola cerrada centrada en x0 y de radio r , denotada Br (x0), se definede modo similar pero con “d(x , x0) ≤ r” en vez de “d(x , x0) < r”.

Normalmente usaremos el termino “bola” para referirnos a “bola abierta”.

Definicion. (Frontera de una bola)

La frontera (o borde) de la bola Br (x0) es el conjunto{x ∈ Rn : d(x , x0) = r}, denotado por ∂Br (x0).

Capıtulo 2. Calculo diferencial en varias variables 2.1. Lımites y continuidad 2 / 57


Representaciones geometricas:

Ahora podemos definir el concepto importante siguiente:

Definicion. (Conjunto abierto)

Un conjunto U ⊂ Rn es un conjunto abierto si para todo x ∈ U existeuna bola abierta Br (x) de radio positivo tal que Br (x) ⊂ U.

(Una abreviacion habitual de “un conjunto abierto” es “un abierto”.)

Visualizacion:Para cualquier punto x ∈ U, existealgun r > 0 suficientemente pequenopara que la bola Br (x) este incluida enU.



Ejemplos:

i) Toda bola euclıdea en Rn es un abierto.Prueba. Sea Br (x0) una bola cualquiera, y sea x un punto cualquiera enBr (x0). Sea d = r − ‖x − x0‖ > 0. Vamos a usar la desigualdad triangularpara demostrar que Bd/2(x) ⊂ Br (x0). Para todo y ∈ Bd/2(x), tenemos‖y−x0‖ ≤ ‖y−x‖+‖x−x0‖ < d/2+‖x−x0‖ ≤ r/2−‖x−x0‖/2+‖x−x0‖,luego ‖y − x0‖ < r/2 + ‖x − x0‖/2 ≤ r , luego y ∈ Br (x0).

Un argumento similar demuestra que, mas generalmente, una bola a la cualse retira un conjunto finito de puntos tambien es un abierto. (ejercicio)

ii) El conjunto A = {(x , y) ∈ R2 : x > 0} es abierto. En efecto, para todox = (x1, x2) ∈ A, notese que la bola Bx1/2(x) esta incluida en A.

iii) Sea D = {(x , y) ∈ R2 : x = y}. Este conjunto no es abierto. Dehecho, cualquier bola de radio positivo centrada en un punto de Dcontiene puntos del complemento de D.



Con el concepto de conjunto abierto podemos definir varios otrosconceptos importantes.

Definicion. (Conjunto cerrado)

Un conjunto V ⊂ Rn es un conjunto cerrado si su complemento Rn \ Ves un abierto.

Definicion. (Interior)

Sea U ⊂ Rn. El interior de U, denotado por U, es el mas grande de losconjuntos abiertos incluidos en U. Mas precisamente, el conjunto U sedefine por la propiedad de maximalidad siguiente: si V es abierto yV ⊂ U, entonces V ⊂ U.

En particular, si U es abierto entonces U = U.



Definicion. (Clausura topologica)

Sea U ⊂ Rn. La clausura (o adherencia) de U es el conjunto mınimoentre los conjuntos cerrados que incluyen a U, y se denota por U.Mas precisamente, el conjunto U se define por la propiedad deminimalidad siguiente: si V es cerrado y V ⊃ U, entonces V ⊃ U.

En particular, si U es cerrado entonces U = U. Podemos ahora generalizarla nocion de frontera.

Definicion. (Frontera)

Sea U ⊂ Rn. La frontera de U, denotada por ∂U, es el conjuntoU ∩ (Rn \ U).

Ejemplo: para una bola Br (x0), el complemento Rn \ Br (x0)= {x ∈ Rn : d(x , x0) ≥ r} es un cerrado, luego este complemento es iguala su adherencia. Por otro lado, se puede ver que el complemento de la bolacerrada Br (x0) es un abierto. Por tanto, la bola cerrada es efectivamenteun conjunto cerrado (y por ello tambien es igual a su adherencia).



Tenemos por lo tanto ∂Br (x0) = {x ∈ Rn : d(x , x0) ≤ r} ∩ {x ∈ Rn :d(x , x0) ≥ r} = {x ∈ Rn : d(x , x0) = r}. De modo que la frontera de labola es efectivamente su borde (¡habıa que asegurarse de esto!).

Vamos a definir dos conceptos mas.

Definicion. (Conjunto acotado)

Un conjunto U ⊂ Rn se dice acotado si existe una bola Br (x0) tal queU ⊂ Br (x0).

Con esto podemos definir la importante nocion de compacidad en Rn.

Definicion. (Conjunto compacto)

Un conjunto U ⊂ Rn se dice compacto si es cerrado y acotado.

(Hay una definicion mas general de la compacidad, que dice lo siguiente:un conjunto U es compacto si, para toda coleccion de abiertos cuya unionincluye a U, existe una subcoleccion finita que tambien incluye a U. En Rn

las dos definiciones son equivalentes (Teorema de Heine-Borel).)Capıtulo 2. Calculo diferencial en varias variables 2.1. Lımites y continuidad 7 / 57


La nocion de compacidad, y la de conjunto cerrado mas generalmente, sonmuy importantes, en particular por su relacion con el concepto de lımite deuna sucesion, que vamos a ver a continuacion.

Definicion. (Sucesion)

Una sucesion en Rn es un conjunto ordenado de puntos {xi : i ∈ N} ⊂ Rn.

Se suele denotar una sucesion por (xi ) o por {xi}i .

Definicion. (Sucesion convergente y lımite)

Una sucesion (xi ) en Rn es convergente hacia ` ∈ Rn si se verifica losiguiente: ∀ δ > 0 existe N ∈ N tal que si i > N entonces xi ∈ Bδ(`).El enunciado “(xi ) converge hacia `” se suele escribir tambien “xi → `cuando i →∞”. El elemento ` se llama el lımite de la sucesion (xi ).

Notese: esta nocion generaliza la nocion de convergencia ya vista parasucesiones en R; lo hace remplazando el valor absoluto | · | sobre R por ladistancia euclıdea sobre Rn.



Acerca de los lımites, tenemos a continuacion dos teoremas importantes.

Teorema. (Caracterizacion de cerrados por sucesiones)

Un conjunto U ⊂ Rn es cerrado si y solo si se da lo siguiente: para todasucesion (xi ) incluida en U (es decir que xi ∈ U para todo i) yconvergente, su lımite tambien esta en U.

Para el teorema siguiente, necesitamos la nocion de subsucesion. Unasubsucesion de una sucesion (xi ) es una sucesion (ym) tal que para cadam ∈ N tenemos ym = xim , donde la sucesion de enteros positivos im escreciente. (Por ejemplo, si xi = i , la subsucesion ym con im = 2m es lasucesion de los enteros positivos pares.)

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Sea (xi ) una sucesion en Rn incluida en un conjunto acotado. Entonces,existe una subsucesion de (xi ) que es convergente. En particular, si (xi )esta incluida en un conjunto compacto K , entonces tiene una subsucesion(ym) convergente hacia un lımite ` y ademas ` ∈ K .



Observacion: Usando la definicion misma de convergencia, se puede ver losiguiente: una sucesion (xi ) en Rn converge hacia ` si y solo si la sucesionde reales positivos d(xi , `) converge hacia 0. Por otro lado, dada laformula de la distancia euclıdea en Rn, a saberd(xi , `) =

(|xi (1)− `(1)|2 + · ·+|xi (n)− `(n)|2

)1/2, podemos ver que

d(xi , `)→ 0 si y solo si se tiene convergencia hacia 0 de cada sucesion|xi (j)− `(j)|, j = 1, ..., n. Obtenemos ası la observacion siguiente:

(xi → ` en Rn cuando i →∞) ⇔ (∀ j ∈ [1, n], xi (j)→ `(j) en R, i →∞).

Ejemplo: ¿Converge en R2 la sucesion (xk) con xk =(1 + 1

k , cos(πk))

?Usando la observacion, vemos que la respuesta es negativa, porque lasucesion en la segunda coordenada, (cos(πk)), no es convergente en R.

Ahora bien, la sucesion (xk) esta incluida en el conjunto compacto[1, 2]× [−1, 1], luego, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existe unasubsucesion de (xk) que converge. Por ejemplo, puesto que para todoentero k par tenemos cos(πk) = 1, podemos ver que la subsucesioncorrespondiente a ındices k pares converge, hacia (1, 1).


2.1.1 Lımites de funciones

El siguiente paso consiste en definir la nocion de lımite de una funcionf : U → Rn cuando el argumento (o variable) de la funcion converge haciaun punto. Recordemos como lo hacemos en el caso de R.

En este caso limx→x0 f (x) = b significa esto:∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que si 0 < |x − x0| < δentonces |f (x)−b| < ε. Notese que se puedetener limx→x0 f (x) = b incluso en casos enque f (x0) 6= b, o incluso en casos en que fno este ni definida en x0.

La generalizacion desde R a Rn del concepto de lımite de una funcionconsiste simplemente en generalizar el valor absoluto | · | a la normaeuclıdea ‖ · ‖.


Definicion. (Lımite de una funcion en un punto)

Sea U un conjunto abierto en Rn, sea f : U → Rm una funcion, y seax0 ∈ U. Decimos que f tiene lımite ` en x0, y escribimoslimx→x0 f (x) = `, si se da lo siguiente: ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que para todox ∈ U con 0 < ‖x − x0‖ < δ, tenemos ‖f (x)− `‖ < ε.

Representacion grafica:

¿Por que pedimos que U sea abierto? Esto hace que, para todo δ > 0, lacondicion 0 < ‖x − x0‖ < δ en la definicion se cumpla para al menos unpunto x ∈ U \ {x0}, es decir, que existan puntos de U arbitrariamentecercanos a x0 pero distintos de x0. Esto permite por ejemplo que se de elcaso limx→x0 f (x) = ` incluso cuando f (x0) 6= `.



El concepto de lımite de funciones sobre Rn se puede definir de formaequivalente usando sucesiones: tenemos limx→x0 f (x) = ` si y solo si paratoda sucesion (xi ) que converge hacia x0, la sucesion f (xi ) converge a `.

Esta definicion implica en particular lo siguiente: supongamos que existe ellımite limx→x0 f (x) = `, y sean (xi ), (yi ) dos sucesiones cualesquiera queconvergen hacia x0; si f (xi )→ c y f (yi )→ c ′, i →∞, entonces se debedar c = c ′ = `.

Notese: esto nos da un criterio para reconocer si una funcion tiene lımiteen un punto. Es decir, si encontramos dos sucesiones (xi ), (yi )convergentes hacia x0, y tenemos f (xi )→ c , f (yi )→ c ′, y c 6= c ′,entonces f no tiene lımite definido en x0.

Resumiendo: el lımite de f en un punto, si existe, es unico.



Veamos como se comporta la operacion de lımite respecto a otrasoperaciones habituales con funciones. Sean f , g : U ⊂ Rn → Rm.Entonces tenemos:

i) (limx→x0 f (x) = a, y limx→x0 g(x) = b) ⇒ limx→x0(f +g)(x) = a+b.

ii) (limx→x0 f (x) = a, y λ ∈ R) ⇒ limx→x0(λf )(x) = λ a.

iii) (m = 1, limx→x0 f (x) = a, y limx→x0 g(x) = b)⇒ limx→x0(f g)(x) = a b.

iv) (m = 1, y limx→x0 f (x) = a 6= 0) ⇒ limx→x0 1/f (x) = 1/a.

v) limx→x0 f (x) = ` si y solo limx→x0 fj(x) = `j para cada j ∈ [m].

Anadimos una propiedad destacada, a saber la propiedad de composicion:

Sea una funcion f : U ⊂ Rn → Rm y otra funcion g : f (U) ⊂ Rm → Rs .Si limx→x0 f (x) = b y limy→b g(y) = c , entonces limx→x0 g(f (x)) = c .


2.1.2 Funciones continuas

Definicion (Continuidad en un punto y en un dominio abierto en Rn)

Sea U un abierto en Rn, sea f : U → Rm, y sea x0 ∈ U. Decimos que f escontinua en x0 si limx→x0 f (x) existe y es igual a f (x0). Decimos que f escontinua en U si es continua en todo punto x0 ∈ U.

(Cuando el dominio U esta claro por el contexto, se puede decir “f escontinua” en vez de “f es continua en U”.) Las propiedades de los lımitesimplican propiedades similares para las funciones continuas. Por ejemplo,la suma de dos funciones continuas Rn → Rm es continua, etc..

Ejemplo: sea f : R2 → R2, (x , y) 7→(x2y , (y + x3)/(1 + x2)

). Veamos,

usando las propiedades mencionadas arriba, que f es continua. Basta verque los componentes (x , y) 7→ x2y , (x , y) 7→ (y + x3)/(1 + x2) sonfunciones continuas. El primer componente es producto de funcionescontinuas x , x , y . Para el segundo componente, observar primero que1 + x2 es continua y no nula para todo x , luego 1/(1 + x2) es continua.Finalmente, como y + x3 tambien es continua, obtenemos que el producto(y + x3)/(1 + x2) = (y + x3) · 1/(1 + x2) es una funcion continua.



Ejemplo: sea f : R2 → R, (x , y) 7→ sin(x2+y2)x2+y2 . Hallar, si existe,

lim(x ,y)→(0,0) f (x , y) (notese que f no esta definida en (0, 0)).Recordamos que, usando la regla de l’Hopital, tenemoslimr→0 sin(r)/r = 1. Usemos esto para demostrar que f tiene lımite 1 en(0, 0). Apliquemos la definicion del lımite de f : fijemos cualquier ε > 0.Como limr→0 sin(r)/r = 1, tenemos que existe δ > 0 tal que si |0− r | < δentonces |1− sin(r)/r | < ε. Por lo tanto, si v = (x , y) satisface‖v‖ < δ1/2, entonces |1− f (x , y)| = |1− sin(‖v‖2)/‖v‖2| < ε.Se cumple pues la condicion para tener lim(x ,y)→(0,0) f (x , y) = 1.

Ejemplo: ¿Existe el lımite lim(x ,y)→(0,0) x2/(x2 + y2)? Si existe, entonces

debe ser unico. Vamos a tomar dos sucesiones particulares que tienden a(0, 0) de forma distinta, y ver que pasa. Sea ak = (1/k , 0), que tiende a(0, 0) por el eje de x . Tenemos limk→∞(1/k2)/(1/k2 + 0) = 1. Seabk = (0, 1/k), que tiende a (0, 0) por el eje de y . Tenemoslimk→∞ 0/(1/k2 + 0) = 0. Los lımites son distintos. Por lo tanto, larespuesta a la pregunta es negativa.


2.1.2 Funciones continuasEjemplo (prolongacion por continuidad) :

La funcion f : R2 \ {(0, 0)} → R, (x , y) 7→ sin(x2+y2)x2+y2 no esta definida en

(0, 0). Pero, como vimos, en (0, 0) tiene un lımite bien definido (= 1).Podemos prolongar el dominio de f para hacerla definida y continua en

(0, 0). Redefinimos pues f (x , y) =

{sin(x2+y2)

x2+y2 , (x , y) 6= (0, 0)

1, (x , y) = (0, 0).

La nocion de continuidad esta ıntimamente relacionada con la deconjuntos abiertos y cerrados.

Teorema (Caracterizacion topologica de la continuidad)

Una funcion f : U ⊂ Rn → Rm es continua si y solo si se verifica una delas condiciones equivalentes siguientes:

i) Si V ⊂ f (U) es un abierto, entonces la preimagen f −1(V ) es un abierto.

ii) Si V ⊂ f (U) es un cerrado, entonces f −1(V ) es un cerrado.

Nota: en un ambito mas general que el de espacios Rn se suele tomar laparte i) de este teorema como la definicion de la continuidad.



Ejemplo: Sea A = {(x , y) ∈ R2 : 2 < x2 + y2 < 4}. Demostrar que A esun conjunto abierto. Utilicemos el ultimo teorema. Sea f : R2 → R,(x , y) 7→ x2 + y2. Esta funcion es continua. Observamos queA = f −1((2, 4)), donde (2, 4) = {x ∈ R : 2 < x < 4} es un intervaloabierto. Por lo tanto A es abierto.

Ejemplo: Sea B = {(x , y) ∈ R2 : x 6= 0, y 6= 0}. Demostrar que B es unconjunto abierto. Tenemos B = (R \ {0})× (R \ {0}). Se puede ver,utilizando la definicon de conjunto abierto (sin utilizar funciones), que Bes abierto. ¿Como?

Ejemplo: Sea C = {(x , y) ∈ R2 : 0 < x2 + sin(xy) ≤ 1}. Determinar si Ces abierto o cerrado. Tenemos C = f −1((0, 1]) dondef (x , y) = x2 + sin(xy) es continua. Notamos que (0, 1] no es ni abierto nicerrado. Esto se puede usar para ver que C no es ni abierto ni cerrado.¿Como?


2.2. Derivacion, derivadas parciales, y gradientes

En esta seccion introducimos los conceptos necesarios para poder derivarfunciones multivariables. Como ya vimos, al tener mas de una variable secomplica el calculo de lımites, y esto influira en lo que sigue.

Empecemos con el ejemplo de una funcion f : R2 → R.

Definicion (Derivadas parciales de funciones de dos variables)

Sea f : U ⊂ R2 → R. Definimos la derivada parcial ∂∂x f (x , y) por la

formula ∂∂x f (x , y) = limh→0

f (x+h,y)−f (x ,y)h . Definimos de modo similar la

derivada parcial ∂∂y f (x , y), respecto de la variable y .

Interpretamos la nocion de derivada parcial geometricamente como sigue:

En este plano calcu-lamos la derivada delmodo usual para fun-ciones de una variable.

Capıtulo 2. Calculo diferencial en varias variables 2.2. Derivacion, derivadas parciales, y gradientes 19 / 57

2.2.1. Derivadas parciales

Ejemplo: sea f (x , y) = x + y . Calculemos las derivadas parciales.

∂∂x f (x , y) = limh→0

x+h+y−(x+y)h = 1. (Igualmente, ∂

∂y f (x , y) = 1.)

Para funciones mas complicadas, se aplica el principio siguiente: derivarrespecto a una variable dada consiste en fijar las demas variables y tomarla derivada habitual respecto de la unica variable dada.

Ejemplo: sea f (x , y) = xy sin(xy). Calculemos la derivada parcial

respecto a x : ∂∂x f (x , y) = y sin(xy) + xy2 cos(xy).

Con estas ideas podemos definir las derivadas parciales para funciones demas de 2 variables.

Definicion (Derivadas parciales de una funcion de n variables)

Sea f : U ⊂ Rn → R, con variables x1, . . . , xn. Definimos la derivadaparcial i-esima (o derivada parcial respecto a xi )

∂∂xi

f (x1, . . . , xn) por la

formula siguiente: ∂∂xi

f (x1, . . . , xn) = limh→0f (x1,...,xi+h,...,xn)−f (x1,...,xn)

h .



Notese: con las derivadas parciales no agotamos todas las posibilidades dederivacion, porque existen otras direcciones en las cuales una sucesionpuede acercarse a un punto considerado (otras que las direcciones rectas yparalelas a algun eje de coordenadas).

Para abarcar todas estas posibilidades, debemos definir una nocion generalllamada diferenciabilidad. Veamos esta nocion primero para funciones dedos variables. Sea una funcion f (x , y), y sea (x ′, y ′) un punto en el cual ftiene derivada en cualquier direccion de aproximacion. Entonces tenemosque poder definir un plano tangente a la grafica de f en (x ′, y ′), queaproxime bien esta grafica cerca de (x ′, y ′). Para ser mas precisos: laecuacion siguiente define un plano en R3 que toca la grafica de f en elpunto

(x ′, y ′, f (x ′, y ′)

):

z = f (x ′, y ′) + ∂f∂x (x ′, y ′)(x − x ′) + ∂f

∂y (x ′, y ′)(y − y ′).

La nocion de diferenciabilidad consiste en una condicion precisa para queeste plano sea una buena aproximacion local de la grafica de f en (x ′, y ′).



Definicion (Diferenciabilidad de funciones de dos variables)

Sea f : U ⊂ R2 → R. Decimos que f es diferenciable en el punto (x ′, y ′)si las derivadas parciales existen en (x ′, y ′), y si tenemos ademas

lim(x ,y)→(x ′,y ′)f (x ,y) −

(f (x ′,y ′) + ∂f

∂x(x ′,y ′)(x−x ′) + ∂f

∂y(x ′,y ′)(y−y ′)

)‖(x ,y)−(x ′,y ′)‖ = 0.

Es decir que f es diferenciable en un punto dado si el plano tangente enese punto es una buena aproximacion local de la grafica de f .



La nocion de diferenciabilidad puede extenderse a funciones Rn → R de lamanera siguiente:

Definicion (Diferenciabilidad de funciones escalares de n variables)

Sea f : U ⊂ Rn → R (U abierto), y sea x ′ ∈ Rn. Decimos que f esdiferenciable en el punto x ′ si las derivadas parciales de f existen en x ′ ysi, definiendo el vector Df (x ′) =

(∂f∂x1

(x ′), . . . , ∂f∂xn (x ′)), tenemos

limx→x ′|f (x) − f (x ′) − Df (x ′) · (x−x ′)|

‖x−x ′‖ = 0. Decimos que f es diferenciable

en U si es diferenciable en todo punto x ′ ∈ U.

Mas adelante veremos que este objeto Df es muy util (se trata delgradiente).



Para funciones F : Rn → Rm, (x1, .., xn) 7→(f1(x1, .., xn), .., fm(x1, .., xn)

),

la definicion de diferenciabilidad es parecida. Para m = 1 tenıamos unvector Df (x ′) ∈ Rn (que se puede ver como una matriz en R1×n). Para mgeneral, tenemos una matriz en Rm×n, que denotamos por DF (x ′), y quedefinimos dando la formula siguiente para su entrada i , j :

DF (x ′)i ,j = ∂fi∂xj

(x ′1, . . . , x′n). (*)

Definicion (Matriz jacobiana de F : Rn → Rm en un punto)

La matriz jacobiana de F en x ′ es la matriz DF (x ′) definida por (*).

La matriz jacobiana de F es la matriz m × n denotada por DF , conentrada i , j la funcion DFi ,j = ∂fi

∂xj. (Distinguir DF de DF (x ′).)

Ejemplo: Sea F : R2 → R2, (x , y) 7→ (f1(x , y), f2(x , y)) conf1(x , y) = ex+y + y , f2(x , y) = x2y . Entonces tenemos

DF =

( ∂f1∂x

∂f1∂y

∂f2∂x

∂f2∂y

)=

(ex+y ex+y + 12xy x2

).


2.2.1 Derivadas parciales

Definicion (Diferenciabilidad de funciones Rn → Rm)

Sea F : U ⊂ Rn → Rm (U abierto), y sea x ′ ∈ Rn. Decimos que F esdiferenciable en x ′ si esta definida la matriz M = DF (x ′) ∈ Rm×n, y si

tenemos limx→x ′‖F (x) − F (x ′) − M (x−x ′)‖

‖x−x ′‖ = 0. Decimos que F es

diferenciable en U si es diferenciable en todo punto x ′ ∈ U.

La definicion de diferenciabilidad implica la existencia de las derivadasparciales de la funcion en cuestion. Serıa util tener una implicacion en elsentido inverso. En efecto, las derivadas parciales pueden ser mas facilesde manejar que la nocion mas general de diferenciabilidad.

El resultado siguiente nos da una implicacion de este tipo.

Teorema (Condicion suficiente para la diferenciabilidad)

Sea F : U ⊂ Rn → Rm (con U abierto). Sea x ′ ∈ U un punto tal que,para algun abierto V con x ′ ∈ V ⊂ U, todas las derivadas parciales de Fexisten en V y son continuas en x ′. Entonces F es diferenciable en x ′.



En el sentido logico inverso, tenemos otro resultado relacionandocontinuidad y diferenciabilidad:

Teorema (La continuidad es necesaria para la diferenciabilidad)

Sea F : U ⊂ Rn → Rm una funcion diferenciable en x ′ ∈ U.Entonces F es continua en x ′.

Prueba. Recordemos que la condicion de diferenciabilidad en x ′ implica losiguiente: para cada componente fi de F , i ∈ [m], tenemos

limx→x ′|fi (x)− fi (x

′)−Dfi (x′)·(x−x ′)|

‖x−x ′‖ = 0.

Multipliquemos esta fraccion por ‖x − x ′‖ 6= 0, y tomemos el lımitecuando x → x ′. Obtenemos limx→x ′ fi (x) = fi (x

′), luego fi es continua enx ′. Esto se da para cada componente fi . Recordando un resultado vistoanteriormente (relacion entre continuidad de F y continuidad de suscomponentes), deducimos que F es continua en x ′. �


2.2.2. Gradiente

Pasamos a estudiar una herramienta muy util en calculo vectorial. Dadauna funcion escalar f : U ⊂ Rn → R (o “campo escalar”), estaherramienta nos permite calcular derivadas de f en direcciones generales(no solo las derivadas parciales).

Definicion (Gradiente)

Sea f : U ⊂ Rn → R una funcion (o campo) escalar diferenciable en cadapunto de U. El gradiente de f es la funcion vectorial U → Rn denotadapor ∇f , y definida por la formula

∇f (x1, . . . , xn) =(∂f∂x1, . . . , ∂f∂xn

).

Ejemplos:

- Sea f : R2 → R, (x , y) 7→ x2 + 2x + y3 + xy2. Entonces

∇f (x , y) = (2x + 2 + y2, 3y2 + 2xy).

- Sea f : R3 → R, (x , y , z) 7→ 2xy + 3x + cos(z). Entonces

∇f (x , y , z) =(2y + 3, 2x , − sin(z)

).


2.2.2. Gradiente

La utilidad del gradiente ∇f radica en que nos permite expresar la derivadade f en cualquier direccion simplemente como un producto escalar.

Definicion (Derivada direccional de un campo escalar)

Sea f : U ⊂ Rn → R diferenciable en x ′ ∈ U y sea v ∈ Rn un vectorunitario (‖v‖ = 1). La derivada direccional de f en x ′ en direccion de v,denotada por Dvf (x ′), es la derivada en 0 de la siguiente funcion de unavariable t ∈ R: t 7→ f (x ′ + t v). Es decir Dvf (x ′) = d

dt f (x ′ + tv)|t=0.

Teorema

Tenemos ddt f (x ′ + t v)|t=0 = ∇f (x ′) · v = ∂f

∂x1(x ′) v1 + · · ·+ ∂f

∂xn(x ′) vn.

En efecto, recordemos que en la definicion de diferenciabilidad ya aparecıa∇f (x ′), denotado por Df (x ′), y que en esa definicion se tiene que

limx→x ′|f (x)−f (x ′)−Df (x ′)·(x−x ′)|

‖x−x ′‖ = 0. En particular, substituyendo

x = x ′ + t v, y dejando que t tienda hacia 0, deducimos el teorema.


2.2.2. Gradiente

El gradiente tiene una interpretacion geometrica interesante relativa a lascurvas de nivel de funciones escalares.

Teorema

Sea f : U ⊂ Rn → R diferenciable en x ′. Si ∇f (x ′) 6= 0, entonces estevector apunta en la direccion en que la derivada direccional de f tienemaximo valor.

Dicho de otro modo, el vector ∇f (x ′) apunta en la direccion en que fcrece lo mas rapidamente partiendo de x ′.

Este teorema se puede demostrar usando el resultado anterior, a saber,que la derivada en la direccion de v es ∇f (x ′) · v. Recordamos la formula∇f (x ′) · v = ‖∇f (x ′)‖ ‖v‖ cos(θ) = ‖∇f (x ′)‖ cos(θ), donde θ es el anguloentre ∇f (x ′) y el vector unitario v. Por lo tanto, la direccion v en la quehay mayor derivada es la direccion en la que θ = 0, es decir la direccion enla que apunta ∇f (x ′). Notese que en esta direccion la derivada direccionales la norma ‖∇f (x ′)‖. Notese tambien que, claramente, tenemos que∇f (x ′) es ortogonal a cualquier v en cuya direccion la derivada es nula.


2.2.2. GradienteLas propiedades geometricas que acabamos de ver se pueden visualizarpara funciones f : R2 → R usando las curvas de nivel.

Dibujamoslas curvas de

nivel −→

Aplicacion: para funciones R2 → R, el gradiente nos sirve para calcular larecta tangente a una curva de nivel en un punto dado.

Ejemplo: Sea f (x , y) = x2 + 2y2. Calcular la recta tangente en el punto(1, 1) a la curva de nivel de f que pasa por (1, 1).

Tenemos ∇f (x , y) = (2x , 4y). En (1, 1) tenemos pues ∇f = (2, 4).Sabemos que este vector es ortogonal a la recta tangente deseada. Portanto un vector director de esta recta es (−4, 2). La ecuacion de latangente es pues 2x + 4y + c = 0, donde c es la constante para la cualesta recta contiene (1, 1), a saber c = −6.


2.2.2. GradienteUn argumento similar se da para funciones f : Rn → R: el gradiente en x ′

apunta siempre en la direccion de mayor crecimiento de f cerca de x ′, y esperpendicular a la superficie de nivel de f que pasa por x ′.

Aplicacion: para funciones R3 → R, usando ∇f (x ′) podemos expresar elplano tangente a la superficie de nivel de f que pasa por x ′. Este plano sedefine por la ecuacion (x − x ′) · ∇f (x ′) = 0.

Ejemplo: sea f (x , y , z) = 3xy + z2. Calcular la ecuacion del planotangente a la superficie de nivel 4 de f que pasa por x ′ = (1, 1, 1).Tenemos ∇f = (3y , 3x , 2z), luego ∇f (1, 1, 1) = (3, 3, 2). El plano es pues3x + 3y + 2z + c = 0, donde c es la constante para la cual el planocontiene (1, 1, 1). Calculamos que c = −8.


2.3. Regla de la cadena

Recordemos las propiedades de las derivadas de funciones de una variable,a saber, como se comportan respecto de la suma de funciones, delproducto de funciones, y combinaciones de tales operaciones. De estaspropiedades se deducen propiedades similares de la diferenciabilidad defunciones multivariables. En concreto tenemos por ejemplo lo siguiente.

Teorema

Sean F ,G : U ⊂ Rn → Rm funciones diferenciables. Entonces F + G yF · G tambien son diferenciables.

(¿Como expresar las jacobianas D(F + G ), D(F ·G ) con D(F ),D(G ),F ,G ?)

En el caso de la composicion de funciones, el comportamiento de lapropiedad de diferenciabilidad es mas delicado.

Recordemos que en el caso de funciones de una variable, estecomportamiento lo describe la regla de la cadena.

Ejemplo: Sean f (x) = x2, g(x) = sin(x). Entonces f ◦ g(x) = (sin(x))2.

Tenemos ddx (f ◦ g)(x) = g ′(x) f ′(g(x)) = cos(x) 2 sin(x).

Capıtulo 2. Calculo diferencial en varias variables 2.3. Regla de la cadena (cambios de coordenadas) 32 / 57


Vamos a estudiar como se puede generalizar la regla de la cadena parafunciones multivariables. La complejidad mayor del problema se debe aque ahora hay varios componentes y coordenadas que tomar en cuenta.

Ejemplo: Sean las funciones f (x , y) = x2 + 2xy + sin(y), g(x , y) = xy .Queremos calcular la derivada ∂

∂x f (x , g(x , y)).

Tenemos f (x , g(x , y)) = x2 + 2x(xy) + sin(xy). La derivada deseada espues 2x + 4xy + y cos(xy). Se puede calcular de otra manera:

Sean u(x , y) = x , v(x , y) = g(x , y). Sea G (x , y) =(u(x , y), v(x , y)

),

una funcion R2 → R2. Sea f : R2 → R, (u, v) 7→ u2 + 2uv + sin(v).

Tenemos f (x , g(x , y)) = f ◦ G . Calculemos las jacobianas de f y G .

Df = ( ∂f∂u ,∂f∂v ) = (2u + 2v , 2u + cos(v)), DG =

(1 0y x

).

Notese: Df · (1, y) = 2u + 2v + 2uy + cos(v)y = 2x + 4xy + y cos(xy),¡la derivada deseada! De modo similar ∂

∂y f (x , g(x , y)) = Df · (0, x).

Ası que D(f ◦ G )(x , y) = Df (u, v) DG (x , y) (multiplicacion de matrices).

Capıtulo 2. Calculo diferencial en varias variables 2.3. Regla de la cadena (cambios de coordenadas) 33 / 57


Recordamos: dada F : Rn → Rm, x = (x1, . . . , xn) 7→ (f1(x), . . . , fm(x))una funcion diferenciable, definimos la jacobiana DF por la formulaDFi j = ∂fi

∂xj. Podemos ahora enunciar la regla de la cadena en general.

Teorema (Regla de la cadena)

Sean F : Rm → Rs , G : Rn → Rm funciones diferenciables. Entonces F ◦G esdiferenciable Rn → Rs , y para todo x ∈ Rn, D

(F ◦ G

)(x) = DF

(G (x)

)DG (x).

Ejemplo: Sea f (u, v ,w) = u2 + v2 + w3, R3 → R, yG (x , y , z , t) = (xyzt, y , xy + z sin(t)), R4 → R3. Calcular ∂

∂y (f ◦ G ).

Tenemos f ◦ G = (xyzt)2 + y2 + (xy + z sin(t))3. (parece complicado)∂∂y (f ◦ G ) es la segunda entrada de D(f ◦ G ). Regla de la cadena ⇒D(f ◦ G )2 = (Df (u, v ,w)DG (x , y , z , t))2 = ( ∂

∂u f ,∂∂v f ,

∂∂w f ) · (xzt, 1, x).

Esto es igual a 2uxzt + 2v + 3w2x . Substituyendo(u, v ,w) = (xyzt, y , xy + z sin(t)), obtenemos la derivada deseada, asaber 2(xyzt)xzt + 2y + 3x(xy + z sin(t))2.(ejercicio: verificar esto calculando ∂

∂y (f ◦ G ) directamente.)Capıtulo 2. Calculo diferencial en varias variables 2.3. Regla de la cadena (cambios de coordenadas) 34 / 57

2.4. Derivadas de orden superior

Para una funcion f de una variable, sabemos que podemos calcularderivadas iteradas de f , a saber d

dx f , d2

dx2 f , etc. Vamos a estudiar lasoperaciones analogas para funciones multivariables.

Empezamos con el caso particular de las derivadas de orden 2 para f (x , y),R2 → R diferenciable. Se pueden tomar las derivadas siguientes:

∂∂x ( ∂

∂x f ) = ∂2

∂x2 f , ∂∂y ( ∂

∂y f ) = ∂2

∂y2 f ,

∂∂x ( ∂

∂y f ) = ∂2

∂x∂y f , ∂∂y ( ∂

∂x f ) = ∂2

∂y∂x f .

Si todas estas derivadas existen en cada punto de R2 y son funcionescontinuas, se dice que f es una funcion de clase C2, o se escribe f ∈ C2.

Para estas funciones tenemos el resultado siguiente.

Teorema

Si f : R2 → R es de clase C2, entonces ∂2

∂y∂x f = ∂2

∂x∂y f .

Capıtulo 2. Calculo diferencial en varias variables 2.4. Derivacion de orden superior 35 / 57


Ejemplo: Sea f (x , y) = xy + (x + 2y)2. Entonces∂2

∂x2 f = ∂∂x (y + 2(x + 2y)) = 2, ∂2

∂y2 f = ∂∂y (x + 4(x + 2y)) = 8.

Encontramos tambien que ∂2

∂y∂x f = ∂2

∂x∂y f = 5.

Mas generalmente, si la funcion es de mas de 2 variables, podemos tomarde modo similar las derivadas parciales de orden 2, fijando i , j ∈ [1, n] y

tomando la derivada ∂2

∂xi∂xjf = ∂

∂xi( ∂∂xj

f ).

Definicion

Sea U ⊂ Rn abierto y sea f : U → R. Decimos que f es de clase C2 en Usi para todo i , j ∈ [n] la derivada ∂2

∂xi∂xjf existe y es continua en U.

Como en el caso n = 2, tenemos en general lo siguiente.

Teorema

Si f : U ⊂ Rn → R es de clase C2 en U, entonces para todo i , j ∈ [n], para

todo punto x ′ ∈ U, tenemos ∂2

∂xi∂xjf (x ′) = ∂2

∂xj∂xif (x ′).



Ejemplo: Sea f (x , y , z) = exy + z cos(x). Las derivadas de orden 2 (oderivadas segundas) de f son las siguientes:

∂2

∂x2 f = ∂∂x (yexy − z sin(x)) = y2exy − z cos(x).

∂2

∂y2 f = ∂∂y (xexy ) = x2exy . ∂2

∂z2 f = ∂∂z cos(x) = 0.

Verifiquemos que las derivadas cruzadas son iguales:

∂2

∂x∂y f = ∂∂x (xexy )=exy +xyexy , ∂2

∂y∂x f = ∂∂y (yexy−z sin(x))=exy +xyexy

∂2

∂x∂z f = − sin(x), ∂2

∂z∂x f = − sin(x)

∂2

∂y∂z f = 0, ∂2

∂z∂y f = 0.

En general, si todas las derivadas de orden k existen y son continuas en U,decimos que la funcion es de clase Ck en U. En este caso, las derivadasde orden ≤ k conmutan, es decir que no importa el orden de las variablesen que tomemos las derivadas, la funcion obtenida al final sera la misma.


2.5. Formula de Taylor

Para una funcion real f de una variable, recordemos que la formula deTaylor nos permite aproximar f (x) por un polinomio, con mayor precisioncuantas mas derivadas de orden superior sucesivas de f conozcamos en x .El polinomio pk(x) que aproxima f (x) cerca de un punto x ′ es

pk(x) = f (x ′) + df (x ′)dx (x − x ′) + 1

2d2f (x ′)dx2 (x − x ′)2 + · · ·+ 1

k!dk f (x ′)dxk

(x − x ′)k .

Teorema (Formula de Taylor para funciones Rn → R)

Sea f : U ⊂ Rn → R y sea x ′ ∈ U tal que, para una bola B = Bδ(x′) ⊂ U,

f es de clase Ck sobre B. Entonces para cualquier x ∈ B tenemos

f (x) = f (x ′) +n∑

i=1

∂f (x ′)

∂xi(xi − x ′i ) +

1

2

n∑i ,j=1

∂2f (x ′)

∂xi∂xj(xi − x ′i )(xj − x ′j )

+ · · ·+ 1

k!

n∑i1,...ik=1

∂k f (x ′)

∂xi1 · · · ∂xik(xi1 − x ′i1) · · · (xik − x ′ik ) + R(x),

R(x) =∑n

i1,..,ik+1=1 hi1,..,ik+1(x)∏k+1

j=1 (xij − x ′ij ), limx→x ′ hi1,...,ik+1(x) = 0.

Capıtulo 2. Calculo diferencial en varias variables 2.5. Formula de Taylor 38 / 57


Para el caso particular de funciones de 2 variables cerca de (x ′, y ′),tenemos las aproximaciones siguientes:

• Grado 0: p0(x , y) = f (x ′, y ′).

• Grado 1: p1(x , y) = f (x ′, y ′) + ∂f (x ′,y ′)∂x (x − x ′) + ∂f (x ′,y ′)

∂y (y − y ′).

• Grado 2: p2(x , y) = f (x ′, y ′) + ∂f (x ′,y ′)∂x (x − x ′) + ∂f (x ′,y ′)

∂y (y − y ′)

+ 12

(∂2f (x ′,y ′)

∂x2 (x − x ′)2 + 2∂2f (x ′,y ′)∂x∂y (x − x ′)(y − y ′) + ∂2f (x ′,y ′)

∂y2 (y − y ′)2)

.

Notese que en grado 1 el polinomio describe la tangente a la curva denivel en (x ′, y ′). De modo similar, para funciones de 3 variables, elpolinomio de Taylor de grado 1 describe el plano tangente en (x ′, y ′, z ′).

Tenemos un hecho similar para n variables en general: el polinomio degrado 1 siempre describe el espacio lineal x ′ + V tangente a la superficiede nivel en el punto x ′ ∈ Rn.



Ejemplo: calcular las series de Taylor de grados 1 y 2 de la funcionf (x , y) = sin(x y) alrededor de (1, π/2).

Calcular estas series consiste en calcular las derivadas parciales.Tenemos primero f (1, π/2) = sin(π/2) = 1.

Las derivadas parciales de orden 1 son las siguientes:∂f∂x (1, π/2) = y cos(xy)|(1,π/2) = 0, ∂f

∂y (1, π/2) = x cos(xy)|(1,π/2) = 0.

Las derivadas parciales de orden 2 son las siguientes:

∂2f∂x2 (1, π/2) = −y2 sin(xy)|(1,π/2) = −π2/4.

∂2f∂y2 (1, π/2) = −x2 sin(xy)|(1,π/2) = −1.

∂2f∂x∂y (1, π/2) = −xy sin(xy)|(1,π/2) = −π/2.

El polinomio de Taylor de grado 1 es constante: p1(x , y) = f (1, π/2) = 1.

El polinomio de Taylor de grado 2 es

p2(x , y) = 1− 12

(π2

4 (x − 1)2 + π(x − 1)(y − π2 ) + (y − π

2 )2)

.


2.6.1. Maximos y mınimos locales

En esta seccion estudiamos como calcular maximos y mınimos defunciones multivariables. Empecemos recordando estas nociones parafunciones f : R→ R.

x0 = maximo local: f toma unvalor maximo en un entorno de x0.

x1 = mınimo local: f toma unvalor mınimo en un entorno de x1.

Estas nociones se generalizan facilmente a funciones Rn → R.

Definicion (Maximo local)

Sea f : U ⊂ Rn → R. Decimos que x0 ∈ U es un maximo local de f siexiste un abierto V con x0 ∈ V ⊂ U tal que ∀ x ∈ V , f (x) ≤ f (x0).

Definicion (Mınimo local)

Sea f : U ⊂ Rn → R. Decimos que x1 ∈ U es un mınimo local de f siexiste un abierto V con x1 ∈ V ⊂ U tal que ∀ x ∈ V , f (x) ≥ f (x1).

Capıtulo 2. Calculo diferencial en varias variables 2.6. Maximos y mınimos. Extremos condicionales 41 / 57

2.6.1. Maximos y mınimos

Decimos que x ′ ∈ U es un extremo local si es un maximo local o unmınimo local.

Un problema natural que surge en relacion con los extremos es comoencontrarlos dada una funcion. En el caso de funciones de una variable seusa la derivada (buscando los valores de x donde esta se anula).

Para funciones Rn → R usamos el gradiente.

Teorema

Sea f : U ⊂ Rn → R diferenciable en x ′ ∈ U. Si x ′ es un extremo local,entonces ∇f (x ′) = 0.

Este teorema se puede demostrar usando el resultado analogo endimension 1, para obtener que para todo i ∈ [n] se tiene ∂f

∂xi(x ′) = 0.

Un punto x ′ donde ∇f (x ′) = 0 se llama un punto crıtico de f .

El teorema implica que para encontrar un extremo local en un subconjuntoabierto V del dominio de f , hay que mirar entre los puntos crıticos en V .¿Como averiguar si un punto crıtico dado es un maximo o un mınimo?



Ejemplo: Sea f (x , y) = x2 + y2. Tenemos Df =(∂f∂x ,

∂f∂y

)= (2x , 2y), que

se anula en x ′ = (0, 0). En este caso esta claro que se trata de un mınimo.

Ejemplo: Sea f (x , y) = x2 − y2. Tenemos Df =(∂f∂x ,

∂f∂y

)= (2x ,−2y),

que de nuevo se anula en x ′ = (0, 0). No obstante, aquı observamos que sinos acercamos de (0, 0) por el eje de y , tenemos un maximo en y = 0,mientras que si nos acercamos de (0, 0) por el eje de x , tenemos unmınimo en x = 0. Un tal punto crıtico se llama un punto de silla.



Dado x ′ tal que ∇f (x ′) = 0, para decidir si x ′ es un maximo o un mınimolocal (o ninguno de los dos), debemos usar las derivadas de orden 2.

Recordemos que en el caso de f : R→ R la segunda derivada f ′′ nos da elcriterio deseado, a saber, que x ′ es un maximo local si f ′′(x ′) < 0 y es unmınimo local si f ′′(x ′) > 0.

Para funciones f : Rn → R, la herramienta analoga debe tomar en cuentatodas las derivadas parciales de orden 2. La herramienta en cuestion esuna matriz llamada la hessiana de f (en honor al matematico L. O. Hesse).

Definicion (Matriz hessiana)

Sea f : U ⊂ Rn → R de clase C2. La hessiana de f en x ′ ∈ U es la matrizHf (x ′) ∈ Rn×n definida por la formula siguiente que describe sus entradas:

Hf (x ′)i ,j = ∂2

∂xi∂xjf (x ′).

Calcular esta matriz nos da la informacion necesaria para averiguar laestructura de un punto crıtico. Veamos esto en detalle.



Recordatorio de algebra lineal: dada una matriz M ∈ Rn×n, para cadai ∈ [n] el menor principal i-esimo de M es el determinante de la submatrizMi ∈ Ri×i cuyas filas y columnas son las primeras i filas y columnas de M.

Clasificacion de puntos crıticos (usando el criterio de Sylvester)

Sea f : U ⊂ Rn → R de clase C2 en U. Sea x ′ ∈ U un punto crıtico de f ,y supongamos que cada menor de Hf (x ′) es no nulo.

1) x ′ es un mınimo local si todos los menores principales de Hf (x ′) sonpositivos, es decir si Hf (x ′) es definida positiva.

2) x ′ es un maximo local si los menores principales i-esimos son negativospara i impar y positivos para i par, es decir si Hf (x ′) es definida negativa.

3) Si los menores principales son todos no nulos y no se da ni 1) ni 2),entonces x ′ es un punto de silla (en algunas direcciones es un mınimo yen otras un maximo).

(Si algun menor de Hf (x ′) es nulo, no podemos decir nada en general.)



En el caso de f : R2 → R se puede mejorar (precisar) el criterio: incluso si

el menor principal ∂2f∂x2 (x ′) = 0, se puede decir algo si det(Hf (x ′)) < 0, a

saber, que x ′ es un punto de silla.

Ejemplo: Sea f : R2 → R, f (x , y) = x2 − 2xy + 2y2. Calculemos lospuntos crıticos de f .

∂f∂x = 2x − 2y , ∂f

∂y = −2x + 4y . Resolvemos el sistema

{2x − 2y = 02x − 4y = 0

.

Encontramos el punto crıtico (x ′, y ′) = (0, 0).

Calculamos la hessiana:

(∂2f∂x2

∂2f∂x∂y

∂2f∂y∂x

∂2f∂y2

)|(0,0) =

(2 −2−2 4

).

Los menores principales son ∂2f∂x2 = 2, det

(2 −2−2 4

)= 4.

El criterio de Sylvester nos dice pues que (0, 0) es un mınimo local.



Ejemplo: encontrar los puntos de la grafica de f (x , y) = 1/(xy) queminimizan la distancia al origen (0, 0, 0). Esta distancia se da por laformula siguiente:∥∥(x , y , f (x , y))− (0, 0, 0)

∥∥ =(x2 + y2 + 1/(x2y2)

)1/2.

Por lo tanto, el problema consiste en encontrar los mınimos de la funciong(x , y) = x2 + y2 + 1/(x2y2). Calculemos los puntos crıticos.

∂g∂x = 2x − 2y2x

x4y4 = 2x − 2x3y2 , ∂g

∂y = 2y − 2x2y3 .

Esta claro que los puntos crıticos tienen x , y ambos no nulos.

Tenemos pues que resolver el sistema

{2x4y2 = 22x2y4 = 2

. Encontramos cuatro

puntos crıticos, a saber x ′ = (±1,±1). Confirmemos que son mınimos:

∂2g∂x2 = 2 + 6y2x2

x6y4 = 2 + 6x4y2 , ∂2g

∂y2 = 2 + 6x2y4 , ∂2g

∂x∂y = 4yx3

x6y4 = 4x3y3 .

Tenemos Hg

(± (1, 1)

)=

(8 44 8

), Hg

(± (1,−1)

)=

(8 −4−4 8

),

luego (±1,±1) son mınimos, por el criterio de Sylvester.Capıtulo 2. Calculo diferencial en varias variables 2.6. Maximos y mınimos. Extremos condicionales 47 / 57

2.6.2. Maximos y mınimos globales

Definicion (Maximo y mınimo global)

Sea f : U ⊂ Rn → R. Un punto x ′ ∈ U es un maximo global (resp. mıni-mo global) de f en U si ∀ x ∈ U, f (x) ≤ f (x ′) (resp. f (x) ≥ f (x ′)).

Recordemos lo que ocurre para funciones f : R→ R.

En x0, tenemos un mınimo local de f .En x1, tenemos un mınimo global. Conlos metodos vistos, detectamos que x1 esun mınimo local, pero no que es global.

Para funciones Rn → R mas generalmente, se da el mismo problema dedeteccion. El resultado siguiente nos da por lo menos la existencia deextremos globales bajo ciertas condiciones.

Teorema

Sea D ⊂ Rn un conjunto compacto (i.e. cerrado y acotado), y seaf : D → R una funcion continua. Entonces existe al menos un mınimoglobal de f en D y al menos un maximo global de f en D.



En otras palabras, existen puntos de D en los cuales f alcanza susextremos globales en D.

Ejemplo: encontrar los mınimos y maximos globales de la funcionf (x , y) = xy en el rectangulo D = {(x , y) : −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1}.Calculamos primero los puntos crıticos x ′ ∈ D◦: tenemos ∂f

∂x = y , ∂f∂y = x ,

luego x ′ = (0, 0). Tenemos Hf (x ′) = ( 0 11 0 ), luego x ′ es un punto de silla.

Tenemos que estudiar f mas particularmente para encontrar los extremosglobales en D (el teorema anterior nos dice que existen). Como |xy | ≤ 1en D, los extremos ocurren en ∂D, mas precisamente en (x , y) = (±1,±1).

A: f (1, y) = y , y ∈ [−1, 1] ⇒ mınimo −1 en (1,−1).

B: f (x , 1) = x , x ∈ [−1, 1]⇒ mınimo −1 en (−1, 1).

C: f (−1, y) = −y , y ∈ [−1, 1]⇒ mın. −1 en (−1, 1).

D: f (x ,−1) = −x , x ∈ [−1, 1]⇒ mın. −1 en (1,−1).

Los mınimos globales se alcanzan pues en (1,−1) y (−1, 1). De modosimilar se ve que los maximos globales se alcanzan en (1, 1) y (−1,−1).



Ejemplo: encontrar los mınimos y maximos globales de la funcionf (x , y) = sin(x) + cos(y) en D = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 2π, 0 ≤ y ≤ 2π}.Como antes, calculamos primero los puntos crıticos en el interior D◦.Tenemos ∂f

∂x = cos(x), ∂f∂y = − sin(y). En D◦, estas derivadas se anulan

respectivamente en x = π2 ,

3π2 , y = π. Tenemos por otro lado

Hf =(− sin(x) 0

0 − cos(y)

), luego

{(π/2, π) : det(Hf ) = −1, punto de silla(3π/2, π) : det(Hf ) = 1, mınimo loc.− 2.

Cuidado: tambien hay que estudiar lo que pasa en la frontera ∂D, dondepuede haber extremos globales en D que no son puntos crıticos de f .

A: f (2π, y) = cos(y) ⇒{

max 1 en y = 0, 2πmın -1 en y = π

B: f (x , 2π) = sin(x) + 1 ⇒{

max 2 en x = π/2mın 0 en x = 3π/2

C: f (0, y) = cos(y) ⇒{

max 1 en y = 0, 2πmın -1 en y = π

D: f (x , 0) = sin(x) + 1 ⇒{

max 2 en x = π/2mın 0 en x = 3π/2



Conclusion del estudio: en D = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 2π, 0 ≤ y ≤ 2π}, lafuncion f (x , y) = sin(x) + cos(y) alcanza su maximo global 2 en lospuntos (π2 , 0), (π2 , 2π), y alcanza su mınimo global −2 en el punto ( 3π

2 , π).


2.6.3. Extremos condicionales

El problema que trataremos aquı es el de hallar extremos de una funcionbajo ciertas condiciones o restricciones, llamados extremos condicionales.

El metodo principal que estudiaremos para hacer esto es el llamadometodo de los multiplicadores de Lagrange.

Vamos a describir el problema mas precisamente.

Sean f , g : U ⊂ Rn → R funciones de clase C1 en U. Denotemos por Sc elconjunto de nivel c de g , a saber Sc = {x : g(x) = c}. Denotemos porf |Sc la restriccion de f a Sc , es decir la funcion Sc → R, x 7→ f (x).

¿Como estudiar los extremos de f |Sc ?

Usando el metodo demultiplicadores de Lagrange.


2.6.3. Extremos condicionalesEl metodo se basa en el resultado central siguiente.

Teorema (Multiplicadores de Lagrange)

Sean f , g : U ⊂ Rn → R, y denotemos por Sc el conjunto de nivel c de g .Supongamos que x ′ ∈ Sc es tal que ∇g(x ′) 6= 0. Si f |Sc tiene un extremoen x ′, entonces existe un numero real λ0 tal que ∇f (x ′) = λ0∇g(x ′).

La intuicion tras este teorema se puede ver del modo siguiente, porejemplo con n = 2: sea x ′ ∈ Sc un extremo de f en Sc ; entonces la rectatangente a la curva de nivel de f que pasa por x ′ tiene que ser la mismaque la recta tangente a Sc en x ′ (si no, acercandonos a x ′ por Sc , lafuncion f pasarıa de ser < c a ser > c , o al reves). Recordando que elgradiente de una funcion en x ′ es ortogonal a su conjunto de nivel quepasa por x ′, deducimos que ∇f (x ′), ∇g(x ′) tienen que ser colineales.

Como aplicar el metodo: se calcula los puntos crıticos de la funcion auxiliarF : Rn+1 → R, (x , λ) 7→ f (x)− λ(g(x)− c) . De este modo, hallamos puntos(x ′, λ0) tales que se da, al mismo tiempo, que g(x ′) = c (esto viene de laecuacion ∂F

∂λ = 0) y que ∇f (x ′) = λ0∇g(x ′) (esto porque ∂F∂xi

= 0 ∀ i).



Ejemplo: encontrar el maximo de f (x , y , z) = x + z con la condicion quex2 + y2 + z2 = 1. Para un parametro real λ, utilizamos la funcion auxiliarF = f (x , y , z)− λ(g(x , y , z)− 1), con g(x , y , z) = x2 + y2 + z2.

F (x , y , z , λ) = f (x , y , z)− λ(x2 + y2 + z2 − 1).

Consideramos λ como una nueva variable, y buscamos los puntos crıticosde la funcion de cuatro variables F (x , y , z , λ).

Tenemos ∂F∂x = 1− 2λx , ∂F

∂y = −2λy , ∂F∂z = 1− 2λz , ∂F

∂λ = −x2 − y2 − z2 + 1.

Para que se anulen las tres primeras derivadas parciales, se necesita λ 6= 0,y = 0, x = z = 1/(2λ). Por lo tanto la cuarta se anula tambien si

14λ2 + 1

4λ2 = 1, i.e. si λ = ±1/√

2.

Substituimos λ en x = z = 1/(2λ), obteniendo los puntos crıticoscondicionales ( 1√

2, 0, 1√

2) (maximo), y (−1√

2, 0, −1√

2) (mınimo).



Ejemplo: hallar los extremos de f (x , y) = xy en D : x2 + y2 ≤ 1.

Aquı haremos como en la clase anterior, a saber, estudiar primero losextremos en el interior D

o, y luego mirar si hay extremos en la frontera ∂D.

1) Estudio en Do: aquı aplicamos el analisis de extremos visto

anteriormente. Tenemos ∂f∂x = y , ∂f

∂y = x , ∂2f∂x2 = ∂2f

∂y2 = 0, ∂2f∂x∂y = 1.

Tenemos pues (0, 0) como punto crıtico en Do, y Hf (0, 0) = ( 0 1

1 0 ) tienedeterminante negativo, luego (0, 0) es un punto de silla.

2) Estudio en ∂D = {(x , y) : x2 + y2 = 1}: aquı, podemos usar el metodode los multiplicadores. Ponemos F (x , y , λ) = xy − λ(x2 + y2 − 1).

∂F∂x = y − 2λx = 0

∂F∂y = x − 2λy = 0

∂F∂λ = x2 + y2 − 1 = 0

⇒

y = 2λx

x(1− (2λ)2) = 0

x2 + y2 = 1

⇒

{2λ = ±1

x2 + y2 = 1

λ = 1/2 ⇒ x = y ⇒ (x , y) = ±(1/√

2, 1/√

2), maximos.

λ = −1/2 ⇒ x = −y ⇒ (x , y) = ±(1/√

2, −1/√

2), mınimos.Capıtulo 2. Calculo diferencial en varias variables 2.6. Maximos y mınimos. Extremos condicionales 55 / 57

2.6.3. Extremos condicionalesEjemplo: hallar los extremos de f (x , y) = x2

2 + y2

2 en D : x2

2 + y2 ≤ 1.

De nuevo, dividimos el analisis en dos partes.

1) Estudio en Do: calculamos los extremos locales. Tenemos

∂f∂x = x , ∂f

∂y = y , ∂2f∂x2 = 1, ∂2f

∂y2 = 1, ∂2f∂x∂y = 0.

Tenemos pues (0, 0) como punto crıtico en Do, y Hf (0, 0) = ( 1 0

0 1 ) tienedeterminante positivo, luego (0, 0) es un mınimo local.

2) Estudio en ∂D = {(x , y) : x2 + 2y2 = 2}: de nuevo usamos

multiplicadores. Sea F (x , y , λ) = 12 (x2 + y2)− λ( x

2

2 + y2 − 1).∂F∂x = x − λx = 0

∂F∂y = y − 2λy = 0

∂F∂λ = x2

2 + y2 − 1 = 0

⇒x = 0⇒ y = ±1, λ = 1/2, o bien

y = 0⇒ x = ±√

2, λ = 1

Obtenemos cuatro puntos crıticos, a saber (0,±1), (±√

2, 0).

Conclusion: f (0,±1) = 12 , f (±

√2, 0) = 1, f (0, 0) = 0. Por tanto, en D

tenemos maximos globales en (±√

2, 0), y un mınimo global en (0, 0).Capıtulo 2. Calculo diferencial en varias variables 2.6. Maximos y mınimos. Extremos condicionales 56 / 57


En el ejemplo siguiente veremos que el metodo de multiplicadores se puedeaplicar tambien en casos en que hay mas de una condicion.

Ejemplo: hallar los extremos de f (x , y , z) = x + y + z bajo lasdos condiciones x2 + y2 = 2, x + z = 1.

Sea F (x , y , z , λ1, λ2) = (x + y + z)− λ1(x2 + y2 − 2)− λ2(x + z − 1).

∂F∂x = 1− 2λ1x − λ2 = 0

∂F∂y = 1− 2λ1y = 0

∂F∂z = 1− λ2 = 0

∂F∂λ1

= 2− x2 − y2 = 0

∂F∂λ2

= 1− x − z = 0

⇒

λ2 = 1 ⇒ 2λ1x + 1 = 2λ1y = 1

⇒ λ1 6= 0, x = 0, y = 1/(2λ1)

⇒ x = 0, y = ±√

2, z = 1.

Obtenemos pues dos puntos crıticos, a saber

(0,√

2, 1) (maximo), (0,−√

2, 1) (mınimo).


cap tulo 2. c alculo diferencial en varias...

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