cap confiabilidad (1)

Capıtulo 11

La confiabilidad

11.1. Confiabilidad

Interesa relacionar el tiempo de uso de una instalacion y la fre-cuencia con que aparecen fallas. Para su evaluacion numerica seutiliza conceptos de variables aleatorias y probabilidad asociada.

Una de las distribuciones continuas mas simples en Estadıstica esla Distribucion Uniforme Continua. Esta se caracteriza por unafuncion de densidad que es plana, y por esto la probabilidad esuniforme en un intervalo cerrado [A,B].

La funcion de densidad de la variable X en el intervalo [A,B] escero o:

f(x;A,B) =1

B −A; A ≤ x ≤ B (11.1)

Esta densidad forma un rectangulo con base B − A y altura1/(B − A). A esta distribucion a menudo se llama distribucionrectangular.

11.1.1. Distribucion normal

La distribucion continua de probabilidad mas importante en todoel campo de la estadıstica es la distribucion normal. Su grafica,

135

136 CAPITULO 11. LA CONFIABILIDAD

que se denomina curva normal, es la curva con forma de cam-pana, la cual describe aproximadamente muchos fenomenos queocurren en la naturaleza, la industria y la investigacion.

Las mediciones fısicas en areas como los experimentos meteo-rologicos, estudios de la lluvia y mediciones de partes fabricadasa menudo se explican mas adecuadamente con la distribucion nor-mal. Ademas, los errores en las mediciones cientıficas se aproxi-man extremadamente bien mediante una distribucion normal.

Proporciona una base sobre la cual se fundamenta gran parte dela teorıa de la estadıstica inductiva.

En 1733, Abraham DeMoivre desarrollo la ecuacion matematicade la curva normal.

La distribucion normal, a veces se denomina distribucion gaus-siana, en honor de Karl Friedrich Gauss (1777-1855), quien tam-bien derivo su ecuacion a partir de un estudio de errores de medi-ciones repetidas de la misma cantidad.

Figura 11.1: Distribucion normal

Una v.a. c. X que tiene la distribucion en forma de campana co-mo en la figura anterior se llama variable aleatoria normal. La

11.1. CONFIABILIDAD 137

ecuacion matematica para la distribucion de probabilidad de lavariable normal depende de dos parametros µ y σ, su media ydesviacion estandar, respectivamente. Se anota X ≈ N(µ, σ).

La funcion de densidad de la v.a. normal X, con media µ y desvia-cion estandar σ es,

n(x;µ, σ) =1

σ√

2πe

12(x−µσ

)2 (11.2)

Una vez que se especifican µ y σ, la curva normal queda deter-minada por completo.

Figura 11.2: Medias. Area bajo ambas curvas es 1

En la figura 11.2.a se ve que las dos curvas estan centradas exacta-mente en la misma posicion sobre el eje horizontal, pero la curvaazul es mas baja y se extiende mas lejos. El area bajo la curvade probabilidad debe ser igual a 1, y entre mas variable sea elconjunto de observaciones mas baja y ancha sera la curva corre-spondiente.


En la figura 11.2.b se trazan dos normales que tienen la mis-ma desviacion estandar, pero diferentes medias. Las curvas sonidenticas en forma pero estan centradas en diferentes posicionesa lo largo del eje horizontal.

La figura 11.2.c muestra el resultado de trazar dos curvas nor-males que tienen deferentes medias y distintas desviaciones estandar.Claramente, estan centradas en posiciones diferentes sobre el ejehorizontal y sus formas reflejan los dos valores distintos de σ.

De una inspeccion de las figuras anteriores y al examinar laprimera y segunda derivada de n(x;µ, σ) se cumple:

1. La moda (punto sobre el eje horizontal donde la curva es unmaximo) ocurre en x = µ.

2. La curva es simetrica alrededor de un eje vertical a traves dela media µ.

3. La curva tiene sus puntos de inflexion en x = µ±σ, es concavahacia abajo si µ− σ < X < µ+ σ, y es concava hacia arribaen cualquier otro punto.

4. La curva normal se aproxima al eje horizontal de maneraasintotica conforme nos alejamos de la media en cualquierdireccion.

5. El area total bajo la curva y sobre el eje horizontal es iguala 1.

6. Los parametros µ y σ son realmente la media y la desviacionestandar de la distribucion normal.

Muchas v.a. tienen distribuciones de probabilidad que se puedendescribir de manera adecuada mediante la curva normal una vezque se especifiquen µ y σ. Por ahora se supone que se conocenestos dos parametros, quizas de investigaciones previas.

11.2. La Confiabilidad

Hasta ahora se ha tratado de definir y de clasificar las fallas. Esnecesario establecer relaciones entre el tiempo de uso de una ins-talacion y la frecuencia con que aparecen esas fallas. Para ello se

11.3. VARIABLE ALEATORIA 139

utiliza el concepto matematico de la confiabilidad.

Para poder conocer la confiabilidad de una pieza o instalacion esnecesario definir perfectamente la falla que se esta evaluando ycontrolar las condiciones de trabajo en que se desarrolla el ensayo.Se debe establecer tambien la duracion del intervalo de tiempoque puede ser expresado en numero de ciclos u operaciones queefectua el sistema, y finalmente es conveniente contar con un mo-delo matematico para poder analizarla.

Para poder interpretar la fiabilidad primero se analizan los con-ceptos de variable aleatoria (v.a.) y su probabilidad asociada.

11.3. Variable aleatoria

Los procesos tecnicos productivos estan influidos por una grancantidad de factores, muchos de caracter casual que hacen que elcomportamiento de los indicadores que los describen constituyanvariables aleatorias.

Variable aleatoria es aquella que como resultado de un experi-mento u observacion del comportamiento de una maquina, puedetomar cualquier valor previamente desconocido y que depende defactores fortuitos.

Las variables aleatorias pueden ser discretas y continuas. Lasprimeras solo toman valores enteros, por ejemplo, la cantidad deestudiantes que asisten a clase dia tras dia. Las segundas puedentomar infinitos valores, por ejemplo, el tiempo hasta el fallo deun elemento de maquina.

De acuerdo con la informacion que se posea de la variable aleato-ria objeto de estudio, se estara en el campo de las probabilidadeso en el de la estadıstica.

En la Teoria de Probabilidades se parte del conocimiento de lascaracteristicas de la poblacion para inferir el comportamientode muestras de ella. Es un proceso deductivo en el cual con el


conocimiento de lo general se logra el conocimiento de lo partic-ular.

En la Estadistica es lo inverso, pues a partir del conocimiento yanalisis de los datos de una muestra se infiere acerca de las ca-racterısticas de la poblacion. Los metodos estadisticos son paratratar datos obtenidos mediante un muestreo u observaciones re-iteradas o susceptibles de repeticion.

En mantenimiento, lo general es estar en este segundo caso, osea, frente a fenomenos aleatorios desconocidos que se investigana partir de datos mediante muestreo con el objetivo de establecerlas leyes que pueden describirlos.

Como el objetivo es describir el comportamiento de una variablealeatoria se necesita conocer la probabilidad con que la mismatoma un valor dado. Se define la ley de distribucion de la vari-able como la relacion que existe entre los posibles valores de lavariable y sus probabilidades correspondientes.

Existen dos formas tipicas para expresar una ley de distribucion:

1. la funcion de distribucion

2. la densidad de distribucion

La funcion de distribucion se define como la probabilidad de quela variable tome valores menores que un cierto valor dado:

F (x1) = P (x < x1)

Posee las siguientes propiedades:

1. Es una funcion creciente de su argumento, o sea

si x2 > x1, entonces F (x2) > F (x1)

2. Evaluada para menos infinito toma el valor cero:

F (−∞) = 0

3. Evaluada para mas infinito toma el valor uno:

F (+∞) = 1


4. La probabilidad de que la variable aleatoria tome valores en-tre dos magnitudes cualesquiera equivale a la diferencia de lafuncion de distribucion entre dichos puntos:

P (xi < x < xi + ∆x) = F (xi + ∆x)− F (xi)

La funcion de distribucion se expresa graficamente tal como semuestra en la figura 11.3.

Figura 11.3: Funcion de distribucion

La funcion densidad de distribucion f(x) se define como la deriva-da de la funcion de distribucion respecto a la variable aleatoria.

f(x) = limF (x+ ∆x)− F (x)

∆x=dF (x)

dx

F (x) representa un area

f(x) representa un punto

Entre sus propiedades estan:

1. La probabilidad de que la variable tome valores entre dosmagnitudes cualesquiera es su integral entre dichas magni-tudes:

P (x1 < x < x2) =

∫ x2

x1f(x)dx

2. Su integral entre menos infinito y mas infinito vale la unidad:∫ +∞

−∞f(x)dx = 1


3. Su integral desde menos infinito hasta cierta magnitud de lavariable equivale a la funcion de distribucion evaluada en esevalor de la variable:∫ x1

∞f(x)dx = P (x < x1) = F (x1)

4. Su integral desde cierto valor de la variable hasta mas in-finito equivale a la funcion complementaria de la funcion dedistribucion:∫ +∞

x1f(x)dx = P (x > x1) = 1− F (x1) = R(x1)

La expresion grafica de la funcion de densidad de distribucion sepresenta en la siguiente figura. En ella se representan sus difer-entes propiedades como areas debajo de las curvas.

Figura 11.4:

De la ultima ecuacion se concluye sobre una de las expresionesmas sencillas y mas importantes de la Teoria de la Confiabilidad:

F (x) +R(x) = 1

Si la variable aleatoria x fuese el tiempo de trabajo util hasta elfallo, entonces la funcion de distribucion representa la probabil-idad de fallo del artıculo hasta cierto tiempo dado. La funcioncomplementaria expresara la probabilidad de trabajo sin fallohasta ese mismo valor del tiempo. Ambas funciones en cualquierinstante suman la unidad.

Caracteristicas numericas de las variables aleatorias


Existen ciertos parametros conocidos como estadigrafos que ca-racterizan la forma de distribucion de la variable aleatoria.

Una variable importantes a utilizar en la Teorıa de la Confiabili-dad es la esperanza matematica o valor medio, que caracteriza laposicion de la variable aleatoria y es una magnitud alrededor dela cual se agrupan todos los valores posibles de la variable.

Para variable discreta:

E(x) =1

n

n∑i=1

xi =n∑i=1

xiP (xi)

donde:

E(x) =n∑i=1

xF (x)

n = cantidad de valores estudiados u observados

xi = diferentes valores de la variable

P (xi) = probabilidad de que la variable tome cierto valor

Para variable continua la expresion sera:

E(x) =

∫ +∞

−∞xf(x)dx

11.3.1. Confiabilidad - No Confiabilidad

Para crear un modelo matematico para la probabilidad de fallo,consideramos el funcionamiento de un determinado elemento enel medio para el especificado. Definimos la variable aleatoria comoel tiempo durante el que el elemento funciona satisfactoriamenteantes de que se produzca un fallo. La probabilidad de que el ele-mento proporcione unos resultados satisfactorios en el momentot se puede definir como confiabilidad. La designamos R(t).

La confiabilidad R(t) esta relacionada con la funcion inversa lla-mada no-confiabilidad F(t) que tiene una probabilidad opuesta,o sea la probabilidad de que ocurra un fallo antes del instante t.

F (t) = 1−R(t)


Para entender la confiabilidad se analizazan algunas caracterısti-cas.

11.3.2. Caracterısticas de la confiabilidad

A continuacion se desarrollaran las distintas caracteristicas de laconfiabilidad.

Funcion de reparticion

En un dispositivo nuevo puesto en marcha sufrira inevitablementeuna averıa en el instante T , desconocido a priori, entonces se tiene:

F (ti) = Pr(T < ti)

T es una variable aleatoria de la funcion de reparticion F (t)

F (ti) es la probabilidad de que el dispositivo este averiado en elinstante ti

R(ti) es la probabilidad de buen funcionamiento en el instante ti(complemento):

R(ti) = Pr(T > ti)

Probabilidades complementarias:

F (t) +R(t) = 1∫ t

0f(t)dt+

∫ ∞t

f(t)dt = 1

Tasa de falla

La tasa de falla λ(t) es un estimador de la confiabilidad y seexpresa frecuentemente en averia/hora.

λ(t) =n◦fallos

duracion

N(t) el numero de dispositivos funcionando en el instante t


Figura 11.5: 3

N(t+ ∆t) el numero de dispositivos en funcionamiento en el ins-tante (t+ ∆t)

N(t)−N(t+ ∆t) = ∆N > 0

∆N es la cantidad de dispositivos que fallan.

λ(t) =N(t)−N(t+ ∆t)

N(t)∆t

La Tasa de Fallos (Dominio Mecanico)

Figura 11.6: Equipos mecanicos


La Tasa de Fallas (Dominio Electronico)

λ(t) aveces Z(t) o h(t) =Numero de fallos

Duracion de uso

Figura 11.7: Equipos electronicos

Ejemplo

Se han estudiado 70 vehiculos durante el periodo que va de 80,000Km a 90,000 Km Han sido reparadas 41 averias. ¿Cual es la tasade falla relativa a este periodo?.

λ(t) =41

70x(90000− 80000)= 0,5x10−4

averias

km

Tasa de fallas instantanea

Si ∆t tiende a cero el estimador tiende a un lımite que es la tasade falla instantanea

λ(t)dt = − dN

N(t)

a) Confiabilidad: Integrando ambos miembros entre 0 y t :

−∫ t

0λ(t)dt = lnN(t) +K

N(t) = Ke−∫ t0λtdt


para t = 0, N(t) es No de donde K = No

N(t) = Noe−∫ t0λtdt

N(t)

No= e−

∫ t0λtdt

R(t) = e−∫ t0λtdt

Esta relacion es fundamental porque cualquiera sea la ley de con-fiabilidad permite un trazado experimental de la confiabilidad enfuncion del tiempo si se conoce la evolucion de la tasa de fallas.

b) MTBF: la duracion media entre dos fallas corresponde a laesperanza matematica de la variable aleatoria T . Su expresionnumerica es:

MTBF = E(T ) =

∫tf(t)dt =

∫ ∞0

R(t)dt

c) Estimadores de confiabilidad: cuando el tamano de lamuestra es grande (N > 50 componentes), es posible estimarR por:

R(t) =N(t)

No= 0, 5x10−4averias

R(t) =N(t)

No=numero supervivientes instante t

No : numero inicial

Por la densidad de probabilidad:

f(t) =ni

No

Por la MTBF empırica:

MTBF =∞∑1

tf(t)

d) Duracion de una mision: la formula para el calculo de laprobabilidad de una mision de duracion ∆t despues de un tiempoT de buen funcionamiento se expresa como:

R(∆t/T ) =R(T + ∆t)

R(T )


11.4. Tipos de ensayos en confiabilidad

Existen varias situaciones caracteristicas de ensayos en confiabil-idad

a) Datos completos o datos no censurados: en este caso todas lasunidades son ensayadas hasta su primera falla

b) Datos censurados: existen dos tipos de datos censurados:

Tipo I: los ensayos detenidos luego de un tiempo prefijado T (in-dependientemente del numero de unidades falladas). Se denominacorrientemente censura por tiempo (time censuring).

Tipo II: los ensayos son detenidos tras la ocurrencia de la r-esimafalla (independientemente del tiempo transcurrido). Se denominacorrientemente censura por numero de fallas (failure censuring),cuando existe un unico punto de censura, se dice que hay censurasimple.

Se dice que hay censura multiple cuando existen multiples pun-tos de censura. Por ejemplo, cuando 5 unidades ensayadas sonsacadas de los ensayos luego de 200 horas, y otras 8 son sacadasluego de 400 horas de funcionamiento.

La censura puede ser por la derecha, en esos casos, pueden faltardatos sobre el tiempo de funcionamiento hasta la primera fallade algunas unidades ensayadas (solo se sabe que su tiempo defuncionamiento es superior a un tiempo t conocido).

Los datos son censurados por la izquierda cuando solo se sabe queel tiempo funcionamiento es inferior a un tiempo conocido.

11.5. Relacion entre f(t), λ(t) y R(t)

En la figura 11.8, se puede ver la representacion grafica de losparametros expuestos para un caso general.

11.6. LA CURVA DAVIES O DE LA BANERA 149

Figura 11.8: 8

11.6. La curva Davies o de la banera

Dado que la tasa de los fallas varia respecto al tiempo, su repre-sentacion tıpica tiene forma de banera, debido a que la vida delos dispositivos tiene un comportamiento que viene reflejado portres etapas claramente diferenciadas:

◦ Fallas iniciales (Tasa decrece)

◦ Fallas normales (Tasa constante)

◦ Fallas de desgaste (Tasa aumenta)

En la figura 11.9 se puede ver la representacion de la curva tipicade la evolucion de la tasa de fallas.

11.7. Distribuciones teoricas usadas en con-fiabilidad

En el ejemplo anterior la distribucion obtenida es el resultadode una experimentacion con un numero limitado de motores. Ladistribucion obtenida es una distribucion experimental.

La muestra y los resultados obtenidos permiten estimar la dis-tribucion que caracteriza el conjunto mucho mas amplio de losmotores fabricados en condiciones similares.


Figura 11.9: Curva de la Banera o de Davis

Las distribuciones que mas frecuentemente se usan en el terrenode la confiabilidad y que caracterizan estos conjuntos mucho masamplios, es decir poblaciones enteras de unidades fabricadas encondiciones similares son:

1. Distribucion Exponencial

2. Distribucion de Weibull

3. Distribucion de Poisson

Tambien pueden mencionarse como complemento la distribucionnormal, la distribucion gamma, la distribucion binomial.

Todas estas distribuciones permiten modelar (segun los casos) laconfiabilidad de los productos en todos los perıodos considerados(Weibull) o en alguno de los tres (Exponencial, Weibull, Poisson).

11.7.1. La distribucion exponencial

Para el caso de que λ(t) sea constante nos encontramos ante unadistribucion de fallas de tipo exponencial. Matematicamente po-dremos escribir la funcion densidad de probabilidad de falla:

f(t) = λe−λt

11.7. DISTRIBUCIONES TEORICAS USADAS EN CONFIABILIDAD151

Figura 11.10: Efeto de parametro β de Weibull

integrando f(t):F (t) = 1− e−λt

y la confiabilidad tendra la expresion siguiente:

R(t) = 1− F (t)

R(t) = e−λt

La confiabilidad R(t) representa en este caso la probabilidad deque el dispositivo, caracterizado por una tasa de fallas constante,no se averie durante el tiempo de funcionamiento t.

Esta formula de confiabilidad se aplica correctamente a todos losdispositivos que han sufrido un rodaje apropiado que permitaexcluir los fallos infantiles, y que no esten afectados aun por eldesgaste.

Tiempo medio hasta un fallo MTTF

La calidad de funcionamiento de un cierto elemento vendra da-da generalmente por el tiempo que se espera que dicho elemen-to funcione de manera satisfactoria. Estadısticamente se puedeobtener una expectativa de este tiempo hasta que se produzca un


fallo, que se llama tiempo medio hasta un fallo MTTF. Alterna-tivamente, en sistemas que son reparados continuamente despuesque se produzcan fallos y continuan funcionando, la expectativase llama tiempo medio entre fallos MTBF, en cualquiera de loscasos el tiempo puede ser tiempo real o tiempo de operacion.

Dado que la densidad de fallos es f(t), el tiempo T que se esperaque transcurra hasta un fallo viene dado por:

E(t) = MTTF =

∫ ∞0

tf(t)dt =

∫ ∞0

λte−λtdf

MTTF =1

λ

Se aprecia que el MTTF y la tasa de fallos λ son reciprocos.

Tiempo medio entre fallos MTBF

Se demuestra que para la distribucion exponencial el MTBF esigual a la inversa de la tasa de fallas y por lo tanto igual al MTTFo sea:

MTBF = m =1

λ= MTTF

m = probabilidad de supervivencia (esperanza de vida)

Al igual que λ, el parametro m describe completamente la fiabil-idad de un dispositivo sujeto a fallos de tipo aleatorio, esto es, laconfiabilidad exponencial. La funcion de confiabilidad, llamadatambien probabilidad de supervivencia se puede escribir:

R(t) = e−1m

Si se lleva a un grafico esta funcion, con los valores de R(t) en or-denadas y los valores correspondientes de t en abcisas, se obtienela curva de supervivencia, representada en la figura 11.11

La formula anterior proporciona la probabilidad de supervivenciadel dispositivo para cualquier intervalo de tiempo comprendidodentro del ambito de la vida util del mismo, o sea desde el mo-mento 0 al momento t. Se supone que el dispositivo ha superadolas misiones precedentes y que no se encuentra al final de su vidautil durante el curso de la mision considerada.


Figura 11.11: 10

La primera hipotesis se representa graficamente por la condicion:

R(t) = 1 para t = 0

La segunda esta contenida en la condicion fundamental λ = cte.

Una interpretacion bastante extendida del MTBF es su asimi-lacion al tiempo asignado a la mision Tm, a partir del hecho quese cumplira:

R(t) = eλt = e1

MTBF

Al identificar el tiempo medio entre fallas con la duracion de lamision se deduce que la confiabilidad de la mision es:

R(t) = e−1 = 0,368 (36,8 %)

El equipo tiene una probabilidad de sobrevivir del 36, 8 %. En lapractica esto significa que poniendo en funcionamiento 100 dis-positivos del mismo tipo, cuando hayan pasado un numero dehoras t = m = MTBF , funcionaran aproximadamente 37, habi-endo fallado los 63 restantes.

Para el caso de t = m/10, la curva senala una confiabilidadR = 0, 905 (90, 5 %) y para el caso de t = m/100, la fiabilidad esR = 0, 99 (99 %).


El modelo de Weibull

El modelo probabilistico de Weibull es muy flexible, pues la leytiene tres parametros que permiten ajustar correctamente todaclase de resultados experimentales y operacionales. Contraria-mente al modelo exponencial, la ley de Weibull cubre los casosen que la tasa de fallo λ es variable y permite por tanto ajustarsea los periodos de juventud y a las diferentes formas de envejec-imiento Recordemos la curva banera de λ(t).

Para su utilizacion se precisan los resultados de ensayo de mues-tras o la toma de datos de funcionamiento (TBF = intervalo entredos fechas de averias).

Estos resultados permiten estimar la funcion de reparticion F(t)que corresponde a cada instante t.

La determinacion de los tres parametros permite, utilizando tablas,evaluar la MTBF y la desviacion tipica. Por otra parte, el cono-cimiento del parametro de forma β es un util diagnostico del tipode falla cuando el quipo en estudio es una caja negra.

Los graficos muestran en la figura 11.12 el polimorfismo de laley de Weibull bajo influencia del parametro de forma β. Ambosgraficos estan dados para η = 2 y γ = 0.

Expresiones matematicas

Sea la variable aleatoria contınua t, distribuıda de acuerdo con laley de Weibull

a. Densidad de probabilidad f(t)

f(t) =β

η

[t− γη

]β−1e−( t−γ

η)β

con t ≥ γ, donde:

β: se llama parametro de forma β > 0

η: se llama parametro de escala η > 0

γ: se llama parametro de posicion −∞ < γ < +∞


Figura 11.12: Densidad de fallas f(t) y tasa de fallas λ


b. Funcion de reparticion F (t)

F (t) = 1− e−(t−γη

)β

La confiabilidad correspondiente es por lo tanto R(t) = 1−F (t):

R(t) = e−( t−γ

η)β

Observacion para γ = 0 y β = 1, se vuelve a encontrar la dis-tribucion exponencial, caso particular de la ley de Weibull.

En este caso,

λ =1

η=

1

MTBF

c. Tasa instantanea de fallo λ(t)

λ =f(t)

1− F (t)=β

η

[t− γη

]siendo: t ≥ γ, β > 0 y η > 0.

Observaciones:

Si β < 1, λ(t) decrece: periodo de juventud (rodaje, desarrollo).

Si β = 1, λ(t) es constante: independencia del proceso y del tiem-po.

Si β > 1, λ(t)) crece: fase de obsolescencia que se puede analizardetalladamente para orientar el diagnostico.

1, 5 < β < 2, 5; fenomeno de fatiga.

3 < β < 4 fenomeno de desgaste, de corrosion (iniciado en eltiempo t = γ), de sobrepasar un umbral (campo de deformacionplastica).

β = 3, 5f(t) es simetrica, la distribucion es normal.

Mientras que el material electronico demuestra una larga fase devida a λ(t) constante, el material electromecanico, a causa de los


fenomenos de desgaste, no muestra aplanamientos en la curvabanera y debe, por tanto ser modelada por la ley de Weibull.

d. Duracion de vida t asociada a un nivel de confiabilidadR(t)

Como se ha visto anteriormente es posible asociar a cada instantet una probabilidad R(t). Recıprocamente a menudo es interesantesi se parte de un nivel de confiabilidad R(t), encontrar el instante tcorrespondiente. En particular, se llama L10 a la duracion de vidanominal asociada al nivel R(L10) = 0, 90 (notacion generalizadaen las duraciones de vida nominales de los rodamientos). Ası:

R(t) = e−( t−γ

η)β

Si se toma el logaritmo neperiano en los dos miembros se obtiene:

LnR(t) = −(t− γη

)β

Ln

[1

R(t)

] 1β

= −(t− γη

)β

de donde se despeja:

t = γ + ηLn

[1

R(t)

] 1β

y en particular, para el nivel R(t) = 0, 90:

L10 = γLn(1

0,9)1β

La duracion de la vida se puede estimar despues de haber deter-minado los tres parametros de la Ley de Weibull.

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