Partea nti: MECANICA NEWTONIANA

2. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL

I A SISTEMULUI DE PUNCTE MATERIALEMecanica newtonian este o teorie fenomenologic care trateaz micarea relativ a corpurilor atunci cnd vitezele acestora sunt mult mai mici dect viteza luminii n vid (v....

Aceste observaii conduc la enunarea urmtorului principiu, numit principiul fundamental al dinamicii: vectorul for este direct proporional cu produsul dintre mas i vectorul acceleraie, sau (dup Newton): variaia micrii este proporional cu fora motoare imprimat i este dirijat dup linia dreapt n lungul creia este imprimat fora.

Relaia matematic ce rezult pentru principiul fundamental al dinamicii newtoniene este:

(2.3)unde

este vectorul for ce poate s depind ca variabile de timp, poziie i vitez, . Dup cum se tie, unitatea de msur a forei n Sistemul Internaional este newtonul:

n mecanica newtonian noiunea de mas implic dou sensuri.

1)-Masa gravific (grea): ntr-un cmp gravitaional, toate corpurile manifest caracterul gravific al masei prin modul cum reacioneaz la micare" (Issac Newton, Philosophiae Naturalis Principie Mathematica). ntr-un cmp gravitaional creat de un corp de mas M presupus fix, asupra unui corp de mas m aflat la distana r fa de primul se va exercita o for atractiv:

(2.4)unde k este constanta atraciei universale ce a fost determinat pentru prima dat de Cavendish i care are valoarea:

k=6,67

10-11 Nm2/Kg2

Astfel dac un corp se afl pe suprafaa Pmntului asupra lui acioneaz o for de atracie de modul:

F=k

(2.5)

unde g este acceleraia gravitaional la suprafaa Pamntului, adic acceleraia cu care cade liber orice corp spre Pmnt, neglijndu-se frecrile corpului cu aerul. Deoarece se cunoate constanta atraciei universale, k, raza Pmntului,

i masa acestuia, , se poate determina valoarea acceleraiei gravitaionale la suprafaa Pmntului i se obine: g

9,81 m/s2.

Studiile teoretice i experimentale arat c acceleraia gravitaional depinde de altitudine i latitudine; acest fapt fiind exemplificat n tabelul 2.1.Tab. 2.1. Variaia acceleraiei gravitaionale cu latitudinea i altitudinea

Punctul de observaieLatitudine nordicAltitudinea

(m)Acceleraia gravitaional (m/s2)

Zona Canalului Panama9009,78243

Jamaica18009.78581

Bermude32009,79806

Denver40016389,79609

Cambridge42009,80398

Punctul standard9,80665

Groenlanda70009,82534

De asemenea, se poate determina i care este efectul rotaiei Pmntului asupra valorii acceleraiei gravitaionale.

2)-Masa inert(inerial) are la baz proprietatea de inerie a corpurilor adic proprietatea acestora dat de mas n a se opune modificrii brute a strii de micare.

Cele dou proprieti ale masei pot fi puse n eviden cu ajutorul experienei lui Pohl (fig.2.1). Corpul M este suspendat vertical prin intermediul firului AB iar prin intermediul firului CD (identic cu firul AB) se actioneaz asupra corpului aplicnd o for cu originea n D. Dac se trage brusc n jos de firul CD se observ c acest fir se rupe, n acest caz, masa manifestnd caracterul inerial (corpul se opune modificrii strii de micare). Dac se trage lent de firul CD se observ c se rupe firul AB, masa corpului manifestnd acum caracterul gravific (contribuie cu greutatea proprie la ruperea firului).

Se arat (experiena Etvs-Zeemen n care precizia msurtorilor este de 10-14) c masa inert a unui corp este riguros egal cu masa gravific a acestuia. Postulatul egalitii masei gravifice cu masa inert st la baza elaborrii teotiei relativitii generalizate.

Fig. 2.1c). Principiul aciunilor reciproce ("Lex Tertia")

Experienele conduc la observaia c aciunea unui corp asupra altuia poart ntotdeauna caracterul unei interaciuni, adic, o for dat reprezint numai un aspect al interaciunii reciproce dintre dou corpuri. Pe baza aceastei obsevaii se poate da urmtorul enun pentru principiul aciunilor reciproce: dac un corp acioneaz asupra altuia cu o for

numit aciune, atunci cel de-al doilea corp acioneaz asupra primului cu o for

egal n modul i opus ca sens primeia, numit reaciune:

;

(2.6)

n figurile 2.2.a i 2.2.b se exemplific pentru dou cazuri simple, n care un corp este suspendat prin intermediul unui fir i respectiv, pentru un corp aflat pe o suprafa orizontal existena forelor de aciune i reaciune. Dac se consider c aciunile sunt forele de greutate atunci reaciunile sunt tensiunea din fir i respectiv, normala pe suprafa.

Se menioneaz c ntotdeauna forele de aciune i reaciune au puncte de aplicaie diferite.d). Principiul suprapunerii aciunii forelorPrezentat de Newton ca prim corolar, principiul suprapunerii aciunii forelor precizeaz c un corp sub aciunea a dou fore unite descrie diagonala unui paralelogram n acelai timp n care ar descrie laturile sub aciunile separate ale forelor.Observaia experimental c efectele fizice se suprapun permite enunarea principiului n modul urmtor: fora rezultant

pe care o mulime de sisteme fizice o exercit asupra unui punct material este egal cu suma vectorial a forelor

pe care fiecare dintre sistemele fizice ale mulimii le-ar exercita asupra punctului material, dac s-ar gsi singur n prezena lui, n aceeai poziie relativ, adic:

(2.7)

Rezult de aici c fora rezultant pe care o simte punctul material este suma vectorial a forelor singulare cu care fiecare sistem fizic din mulime acioneaz asupra punctului, aceast constatare extinzndu-se i asupra acceleraiilor.

e). Principiul relativitii galileiene. Transformrile lui Galilei.

Dup cum s-a precizat anterior, sistemele de referin n care este valabil principiul ineriei se numesc sisteme de referin ineriale. Principiul relativitii galileiene (sau a relativitii clasice) numit i principiul transformrilor ineriale afirm c: dac legile mecanicii newtoniene sunt valabile ntr-un sistem de referin inerial dat atunci, ele sunt valabile n orice alt sistem de referin care se mic rectiliniu i uniform fa de primul.

Se desprind de aici urmtoarele concluzii: 1(. Toate sistemele de referin aflate n repaus sau n micare rectilinie uniform fa de un sistem de referin inerial sunt i ele sisteme de referin ineriale; 2(. Prin nici o experien mecanic efectuat n interiorul unui sistem de referin inerial, nu se poate pune n eviden starea de repaus sau de micare rectilinie uniform a acestuia;3(. Toate sistemele de referin ineriale sunt echivalente, ceea ce nseamn c nu exist un sistem de referin inerial preferenial; 4(. n mecanica newtonian se admite existena simultaneitii absolute, adic dac dou fenomene fizice sunt simultane ntr-un sistem de referin inerial atunci ele rmn simultane n orice alt sistem de referin inerial.

O important consecin a principiului relativitii galileiene (clasice) o reprezint transformrile lui Galilei. Aceste transformri reprezint relaiile de trecere de la coordonatele spaio-temporale ale unui eveniment fizic n raport cu un sistem de referin inerial, la coordonatele spaio-temporale ale aceluiai eveniment raportat la un alt sistem de referin inerial. Fie un eveniment caracterizat prin coordonatele spaio-temporale fa de un sistem de referin inerial (S) presupus fix i fie () un alt sistem de referin inerial aflat ntr-o micare uniform de translaie cu viteza fa de primul, (fig. 2.3). Coordonatele spaio-temporale ale evenimentului fa de sistemul de referin inerial () sunt .

Relaiile de trecere pentru coordonatele spaio-temporale ale evenimentului n raport cu cele dou sisteme de referin ineriale se obin n ipoteza invariaiei temporale (concluzia 4() i au expresia vectorial:

sau scalar:

unde vx,vy,vz sunt componentele vectorului vitez fa de sistemul de referin inerial (S).

Aceste transformri admit i transformrile inverse ale cror expresii sunt urmtoarele:

i, respectiv:

Pentru a deduce aceste relaii de transformare se consider, pentru simplitate, cazul unidimensional. n acest caz al micrii unidimensionale a sistemului de referin () fa de sistemul de referin (S), (fig.2.4), se alege o geometrie astfel nct: Ox||; Oy||; Oz||; i atunci, relaiile de trecere vor avea urmtoarea form particular ce rezult din relaiile (2.9-2.12):

(2.17)

Fig. 2.4.

Pentru a demonstra relaiile de trecere (2.17) se are n vedere c trecerea de la un sistem de referin la altul pentru coordonatele spaiale i timp se face pe baza unor transformri liniare care asigur ca unui eveniment dintr-un punct (x,z,y) la momentul de timp t n sistemul de referin fix (S) s-i corespund acelai eveniment unic n punctul () la momentul de timp n sistemul de referin mobil () i invers, adic:

(2.18)

n scrierea relaiilor (2.18) s-a inut cont de alegerea particular a orientrii axelor de coordonate (S) i () astfel c y= i z=. Coeficienii 1, 1, 1, 1 nu pot depinde de spaiu i timp ntruct nu s-ar pstra liniaritatea relaiilor, dar pot fi funcii de viteza care n cazul unidimensional analizat este o mrime scalar, v.

Difereniind relaiile (2.18) i facnd apoi raportul lor, rezult:

(2.19)

Aceast relaie arat c dac un punct material are viteza constant n sistemul de referin inerial (S), atunci viteza lui n sistemul de referin () este tot constant i n concluzie sistemul de referin () aflat n micare de translaie cu viteza constant fa de sistemul de referin inerial (S), este tot un sistem de referin inerial.

Pe baza principiului relativitii galileiene (clasice) transformrile (2.18) trebuie s admit i transformrile inverse:

(2.20)

unde dac 1=1(v);1=1(v);1=1(v);1=1(v), atunci: =(-v); =(-v); =(-v); =(-v).

nlocuind relaiile (2.20) n (2.18) se obin relaiile ntre coeficienii transformrii liniare directe i ai transformrii inverse:

(2.21)

Deplasarea originii a sistemului () fa de originea O a sistemului (S) poate fi exprimat cu ajutorul relaiilor (2.18) i se obine:

(2.22)

de unde rezult c:

1=1v si =-v

(2.23)

Din invariana intervalelor temporale ce exprim egalitatea duratelor unui eveniment n cele dou sisteme de referin:

(2.24)

se obine:

1==0 i 1==1

(2.25)

astfel c, substituind relaiile (2.23) i (2.25) n (2.21), rezult:

(2.26)

Relaiile de transformare (2.18) i (2.20) vor deveni acum:

i, respectiv:

(2.27)

Revenind la forma general a transformrilor lui Galilei se observ c derivnd de dou ori cu timpul relaiile (2.10), (2.11) i (2.12) se obine:

;;

ceea ce nseamn c acceleraia este aceeai n orice sistem de referin inerial. Cum n mecanica newtonian masa unui corp este constant n orice sistem de referin inerial rezult c principiul fundamental al dinamicii este un invariant al transformrilor lui Galilei.

La prima derivare n raport cu timpul a relaiilor (2.10), (2.11) i (2.12) se obine legea de compunere a vitezelor n mecanica newtonian:

(2.28)

(2.29)

(2.30)

Se precizeaz c dac n locul invarianei temporale se utilizeaz o alt condiie: constanta vitezei luminii n vid n orice sistem de referin inerial se obin transformrile Lorentz.

2.2. Legea condiiilor iniiale (Problema Cauchy)

Conform acestei legi: dac pentru un sistem fizic se cunosc condiiile iniiale (coordonatele i vitezele la un moment dat t0), precum i ecuaiile de evoluie, atunci se poate stabili orice stare ulterioar strii iniiale a sistemului.

Pentru un punct material aceasta nseamn rezolvarea urmtoarei probleme, numit problema Cauchy i dat vectorial prin urmtoarele trei relaii:

(2.31)

(2.32)

(2.33)

Ecuaia diferenial (2.31) reprezint ecuaia de evoluie a punctului material, fiind fora rezultant ce acioneaz asupra acestuia, iar relaiile (2.32) i (2.33) sunt condiiile iniiale care fixeaz pentru un moment de timp iniial poziia i viteza punctului material. Soluiile acestei probleme este de forma:

(2.34)

unde constantele vectoriale i se determin din condiiile iniiale.

Proiectnd problema vectorial pe cele trei axe ale unui sistem cartezian, se obine urmtoarea problem Cauchy scalar:

x(t=t0)=x0;y(t=t0)=y0;z(t=t0)=z0

vx(t=t0)=v0x; vy(t=t0)=v0y; vz(t=t0)=v0z

cu soluia general:

unde constantele scalare C1,...,C6 se determin din condiiile iniiale.

Se observ c fiind date condiiile iniiale (2.32) i (2.33), ecuaia (2.31) descrie o singur micare, iar integrala (2.34) exprim legea evoluiei sistemului fizic n timp.

Pentru un sistem finit de n puncte materiale, problema Cauchy pe baza creia se poate stabili configuraia sistemului la orice moment de timp ulterior momentului iniial t0 este:

unde primele dou relaii precizeaz condiiile iniiale (configuraia iniial a sistemului i respectiv, vitezele iniiale ale particulelor) iar ultima relaie este ecuaia de evoluie pentru fiecare particul din sistem. Soluia problemei este de forma:

Existena i unicitatea integralei (2.34), verificnd condiiile iniiale, include principiul cauzalitii: cunoscnd legea care guverneaz un fenomen i starea asestuia la un moment dat, se poate stabili evoluia fenomenului la orice alt moment.

2.3. Teoremele mecanicii newtoniene

Teoremele mecanicii newtoniene sunt legi generale deduse din principii sau din alte legi ce ofer o modalitate comod de rezolvare a unor probleme de micare. Gradul de valabilitate al acestor teoreme este mai mic dect al principiilor, ale cror consecine sunt, dar se dovedesc foarte utile deoarece simplific studiul micrii corpurilor.

Fie un corp, asimilat unui punct material de mas m aflat sub aciunea unei fore n raport cu un sistem de referin inerial.

a). Teorema variaiei impulsului. Conservarea impulsului.

Se definete impulsul mecanic al unui corp ca produsul dintre masa i viteza acestuia, adic:

(2.35)

Din aceast relaie de definiie rezult c unitatea de msur n Sistemul Internaional (SI) pentru impuls este: [p]SI=[m]SI[v]SI=kg.

n cinematic, ntruct nu intereseaz cauza micrii corpurilor, mrimea fizic ce caracterizeaz micarea este viteza. n dinamic trebuie s se stabileasc i cauza care produce micarea i din acest motiv micarea este caracterizat prin impuls.

Avnd n vedere expresia matematic a principiului fundamental al dinamicii:

EMBED Equation.3

(2.36)

i cum pentru viteze mici n raport cu viteza luminii n vid, masa corpului este presupus constant, se poate scrie:

EMBED Equation.3

(2.37)

sau, avnd n vedere relaia de definiie a impulsului (2.35), rezult:

EMBED Equation.3

(2.38)

Ecuaia (2.38) exprim teorema variaiei impulsului mecanic: derivata impulsului mecanic al punctului material n raport cu timpul este egal cu fora rezultant ce acioneaz asupra acestuia. Expresiei difereniale (2.38) i se poate stabili o form echivalent pentru cazul unei deplasri finite pe traiectorie a punctului material. Astfel, integrnd relaia pentru dou poziii ale punctului material ce corespund momentelor de timp t1 i t2(t1, se obine:

(2.39)

unde integrala: se numete impulsul forei sau percuia.

n aceste condiii, conform relaiei (2.39), teorema variaiei impulsului mecanic poate fi enunat astfel: impulsul forei rezultante aplicat punctului material este egal cu variaia impulsului mecanic al acestuia.

Dac punctul material este izolat, atunci rezultanta forelor ce acioneaz asupra sa se anuleaz, =0, i din relaia (2.38) se obine:

de unde rezult: =const. adic, impulsul punctului material izolat se conserv (legea conservrii impulsului mecanic).

b). Teorema variaiei momentului cinetic. Conservarea momentului cinetic.

Pentru studiul micrilor curbilinii se definesc dou mrimi vectoriale care caracterizeaz efectul de rotaie: momentul forei i momentul cinetic.

n cazul unui corp solid-rigid prevzut cu o articulaie (numit i pol) n jurul creia corpul se poate roti sub aciunea unei fore al crui punct de aplicaie nu coincide cu articulaia, se definete momentul forei prin relaia:

(2.40)

cu , unde este vectorul de poziie al punctului de aplicaie al forei n raport cu polul considerat (fig.2.5).

Pentru un punct material se definete momentul cinetic, numit i moment al impulsului, prin relaia:

sau

(2.41)

cu . este raza vectoare a punctului material n raport cu polul considerat, iar este impulsul mecanic al punctului material. Derivnd n raport cu timpul relaia (2.41) se obine:

(2.42)

masa fiind considerat connstant. Cum: iar , rezult:

(2.43)

Fig. 2.5

Relaia (2.43) exprim teorema variaiei momentului cinetic pentru punctul material: derivata n raport cu timpul a momentului cinetic al unui punct material este egal cu momentul forei rezultante ce acioneaz asupra punctului material. Se observ c n obinerea relaiei (2.43) momentul forei i momentul cinetic se consider n raport cu acelai pol.

O alt expresie a acestei teoreme, pentru cazul unei micri finite pe traiectorie, se obine prin integrarea relaia (2.43) pentru dou momente de timp i rezult:

(2.44)

adic: variaia momentului cinetic a punctului material este egal cu impulsul momentului forei rezultante aplicate acestuia.

Dac momentul forei rezultante ce acioneaz asupra punctului material este nul, atunci, din relaia (2.43), urmeaz c:

,

adic: ceea ce nseamn c momentul cinetic al punctului material se conserv (legea conservrii momentului cinetic). Se amintete c unitile de msur n Sistemul Internaional pentru momentul forei i momentul cinetic sunt: [M]SI=N(m, respectiv [J]SI=J(s.

c). Teorema variaiei energiei mecanice. Conservarea energiei mecanice.

Lucrul mecanic elementar efectuat pentru o deplasare pe distana d a unui corp sub aciunea unei fore este, prin definiie:

(L =

(2.45)

Notaia , care matematic semnific faptul c expresia (L nu este o diferenial total exact, arat c lucrul mecanic depinde de traiectoria punctului material, adic de drumul urmat de corp ntre dou puncte fixate. Lucrul mecanic nu este o mrime de stare pentru un sistem fizic, reprezentnd numai una din formele prin care sistemul poate schimba energie cu exteriorul.

Din relaia de definiie (2.45) se observ c lucrul mecanic poate fi pozitiv sau negativ n primul caz numindu-se motor, iar n cel de-al doilea caz rezistiv.

Pentru o deplasare elementar d= i din relaia (2.45) urmeaz c:

L

(2.46)

de unde se poate scrie:

(2.47)

Mrimea fizic P se numete putere mecanic i reprezint lucrul mecanic efectuat n unitatea de timp. Dac unitatea de msur a lucrului mecanic n Sistemul Internaional este: [L]SI=[F]SI[d]SI=Nm=J (Joule) atunci, unitatea de masur a puterii va fi: [P]SI=(Watt)

Integrnd relaia (2.45) se obine expresia lucrului mecanic pentru o deplasare finit pe traiectorie:

L=

(2.48)

Se observ din aceast relaie c lucrul mecanic poate fi interpretat geometric ca o arie. ntradevr, scriind relaia (2.48) sub forma:

unde: Fx, Fy i Fz sunt componentele carteziene ale forei , iar dx, dy i dz sunt proieciile deplasrii elementare , fiecare integral din sum este aria unei suprafee delimitat de curba ce definete variaia componentei forei n funcie de coordonata corespunztoare i valorile acestei coordonate pentru poziia iniial i final.

Pornind de la principiul fundamental al dinamicii: i nmulind scalar aceast relaie cu rezult:

(2.49)

de unde se obine:

(2.50)

Definind energia cinetic a unui corp ca semiprodusul dintre masa i patratul vitezei acestuia,, relaia (2.50) se scrie:

d.

(2.51)

Aceast relaie exprim teorema variaiei energiei cinetice: lucrul mecanic elementar efectuat de fora rezultant este egal cu variaia energiei cinetice a punctului material asupra cruia acioneaz fora.

Integrnd relaia (2.51) rezult:

(2.52)

unde prin indicii (i) i (f) s-a particularizat poziia iniial i, respectiv, poziia final a punctului material.

Exist cmpuri de fore cu o astfel de structur nct lucrul mecanic efectuat de fore este independent de traiectoria urmat ntre dou puncte i de vitez, depinznd numai de poziiile iniiale i finale. Un astfel de exemplu este cmpul forelor de greutate; lucrul mcanic efectuat de aceste fore pentru depalsarea unui corp ntre dou puncte de altitudini diferite fiind acelai pe orice traiectorie s-ar deplasa corpul: L=mg(h2-h1). Pentru astfel de cmpuri exist o funcie scalar de coordonate numit energie potenial sau funcie for cu proprietatea:

(2.53)

unde: este operatorul diferenial vactorial nabla.

Din relaia (2.53) se observ c energia potenial, U(), intervine numai prin derivatele ei pariale n expresia forei, ceea ce implic determinarea energiei poteniale numai pn la o constant aditiv arbitrar.

nmulind scalar relaia (2.53) cu d rezult:

adic:

(2.54)

sau, integrnd:

(2.55)

unde s-a specificat din nou prin indicii (i) i (f) poziiile extreme ale micrii.

Relaiile (2.54) i (2.55) exprim diferenial i respectiv integral teorema variaiei energiei poteniale: lucrul mecanic efectuat de cmpul de fore conservative asupra punctului material este egal cu variaia energiei poteniale luat cu semn schimbat.

Scaznd relaiile (2.51) i (2.54) rezult:

adic:=0

sau:

(2.56)

unde: reprezint energia mecanic a punctului material. Deci, ntr-un cmp conservativ de fore energia mecanic a punctului material nu variaz n timp, adic se conserv (teorema conservrii energiei mecanice).

n cazul n care exist i fore neconservative, notnd cu rezultanta acestora i cu rezultanta forelor conservative, principiul fundamental capt forma:

.

Lucrul mecanic elementar total efectuat asupra punctului material este:

L=(+) d

Cum iar relaia anterioar devine:

d

(2.57)

unde prin = s-a notat lucrul mecanic elementar efectuat de forele neconservative. Relaia (2.57) exprim teorema variaiei energiei mecanice: variaia energiei mecanice a punctului material este egal cu lucrul mecanic efectuat de forele neconservative asupra acestuia.

d). Cazul sistemului de puncte materiale

Fie un sistem de n puncte materiale de mase mk,, k= aflate n interaciune, pozitia acestora fa de un referenial cartezian fiind dat de vectorii de pozitie:

(2.58)

unde sunt versorii axelor Ox, Oy i respectiv Oz. Forele care acioneaz asupra sistemului pot fi clasificate n fore externe (dac caracterizeaz interaciunea sistemului cu mediul extern) i fore interne (dac sunt datorate interaciunilor dintre punctele materiale ce alctuiesc sistemul). Se noteaz cu rezultanta forelor externe ce acioneaz asupra punctului material de mas mk i cu rezultanta forelor externe ce acioneaz asupra ntregului sistem, adic:

(2.59)

Analog, se noteaz cu rezultanta forelor interne ce acioneaz asupra punctului material de mas mk,

=

(2.60)

unde este fora de interaciune dintre particulele k i j. Rezultanta forelor este i, n acord cu principiul aciunilor reciproce:

=0

(2.61)

deoarece:

(2.62)

Rezult, de asemenea, c i momentul rezultant al forelor interne al sistemului fa de un punct (pol) arbitrar ales este nul:

(2.63)

Relaiile (2.61) i (2.63) conduc la enunarea urmtoarei teoreme: rezultanta forelor interne i momentul rezultant al forelor interne fa de orice punct (pol) pentru un sistem finit de puncte materiale sunt nule.

Pentru orice particul k a sistemului finit de puncte materiale, ntr-un sistem de referin inerial se poate scrie urmtoarea ecuaie de micare:

(2.64)

unde reprezint viteza particulei respective. Cum este impulsul mecanic al particulei k, impulsul mecanic total al sistemului considerat este:

.

(2.65)

nsumnd ecuaia de micare pentru toate particulele din sistem rezult:

adic:

(2.66)

deoarece , dup cum s-a demonstrat anterior. Relaia (2.66) exprim teorema impulsului mecanic total pentru sistemul de puncte materiale: derivata n raport cu timpul a impulsului total al unui sistem de puncte materiale este egal cu rezultanta forelor externe aplicate sistemului.

Dac sistemul de puncte materiale este izolat, atunci rezultanta foreloe externe este nul, i impulsul mecani total al sistemului de puncte materiale, conform relaiei (2.66), se conserv:

;.

Pentru sistemul finit de puncte materiale, n sistemul de referin inerial considerat, se definete un punct geometric numit centrul de mas (CM) caracterizat prin vectorul de poziie (al centrului de mas):

(2.67)

unde: m=reprezint masa total a sistemului.

n acest caz din teorema impulsului mecanic total rezult:

(2.68)

sau, innd cont de relaia (2.67):

m

(2.69)

Relaia (2.69) reprezint ecuaia de micare a centrului de mas. Pe baza ei, se poate enuna teorema micrii centrului de mas: micarea centrului de mas al unui sistem de puncte materiale este acceai cu a unui punct material a crui mas este egal cu masa sistemului i asupra cruia acioneaz o for egal cu rezultanta forelor externe ce acioneaz asupra sistemului.

Derivnd n raport cu timpul, relaia de definiie a centrului de mas se obine:

de unde:

,

(2.70)

fiind viteza centrului de mas. Se observ din relaia (2.70) c impulsul centrului de mas este egal cu impulsul total al sistemului.

Pe lng sistemul de referin inerial ales iniial, considerat fix i care se va numi sistemul laboratorului, SL, se alege un al doilea sistem de referin tot inerial cu axele de orinetare fix fa de (SL) i cu originea n centrul de mas la sistemului finit de puncte materiale. Acest sistem se numete sistemul centrului de mas SCM iar micarea particulelor se poate analiza i n raport cu acest sistem. Sistemul (SCM) se deplaseaz fa de (SL) cu viteza . Se arat c:

1( impulsul total al sistemului de puncte materiale n (SCM) este permanent nul;

2( derivata n raport cu timpul a momentului cinetic total al unui sistem de puncte materiale, n raport cu un pol fix, fa de (SL) este egal cu momentul rezultant fa de acelai pol, al tuturor forelor externe ce acioneaz asupra sistemului:

unde este momentul cinetic total al sistemului, iar este momentul rezultant al forelor externe ce acioneaz asupra sistemului.3( momentul cinetic total al unui sistem de puncte materiale n raport cu un pol al (SL) este egal cu suma dintre momentul cinetic relativ, , al acestui sistem fa de centrul de mas i momentul cinetic, , fa de un pol al unui punct material care ar avea masa egal cu masa total a sistemului i s-ar afla n centrul de mas al sistemului (teorema lui Knig):

unde este momentul cinetic al unui punct material situat n centrul de mas i avnd masa egal cu masa total a sistemului de puncte materiale. se numete momentul cinetic orbital (exterior) i este momentul corespunztor micrii centrului de mas. Termenul este momentul cinetic al sistemului calculat n (SCM) i caracterizeaz micarea intern a sistemului.

4( difereniala energiei cinetice totale a unui sistem de puncte materiale este egal cu lucrul mecanic efectuat de toate forele care se exercit asupra sistemului:

sau:

unde, prin definiie:

este energia cinetic total a sistemului de puncte materiale.

Dac forele interne sunt conservative, atunci exist o funcie U() numit funcie for sau energie potenial ce depinde numai de poziiile punctelor materiale ale sistemului i pentru care exist relaia:

(2.71)

sau pe componente:

;

(2.72)

fiind componentele forei pe axele Ox, Oy i respectiv Oz. nmulind cu deplasarea elementar: relaia (2.71) i nsumnd pentru toate particulele sistemului, lucrul mecanic elementar al forelor interne este:

(2.73)

Integrnd relaia (2.73) pentru un interval de timp (t1,t2) rezult:

astfel c teorema variaiei energiei cinetice totale devine acum :

sau:

(2.74)

Mrimea reprezint energia mecanic a sistemului considerat i din relaia (2.74) se observ c variaia energiei mecanice ntr-un interval de timp oarecare este egal cu lucrul mecanic efectuat de forele externe n intervalul de timp considerat.

5( energia cinetic total, , n (SL) a sistemului de puncte materiale este egal cu suma dintre energia cinetic a unui punct material a crui mas total ar fi egal cu masa total a sistemului i care s-ar deplasa cu viteza centrului de mas i energia cinetic, , a sistemului raportat la (SCM):

adic:

.

D

A

B

M

C

EMBED Equation.3

z(

Fig.2.2.a

EMBED Equation.3

Fig 2.2.b

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

x(

y(

O(

(S()

y

x

z

(S)

O

EMBED Equation.3

O

(S)

z

x

y

(S()

O(

y(

x(

z(

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

E

Fig. 2.3

z

(S)

z(

(S()

x

y

y(

x(

O(

O

EMBED Equation.3

O

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

(

EMBED Equation.3

PAGE 30

_1017682473.unknown

_1033989931.unknown

_1038993946.unknown

_1039185444.unknown

_1039332525.unknown

_1039334913.unknown

_1041366803.unknown

_1173251031.unknown

_1173249021.unknown

_1039336211.unknown

_1039336435.unknown

_1039332819.unknown

_1039334024.unknown

_1039332597.unknown

_1039186903.unknown

_1039331521.unknown

_1039331535.unknown

_1039187405.unknown

_1039186498.unknown

_1039186827.unknown

_1039185986.unknown

_1039007422.unknown

_1039007635.unknown

_1039184685.unknown

_1039007512.unknown

_1038999126.unknown

_1039000369.unknown

_1038998517.unknown

_1034145491.unknown

_1034151288.unknown

_1034154211.unknown

_1034155373.unknown

_1034155444.unknown

_1034155719.unknown

_1034155796.unknown

_1034155680.unknown

_1034155410.unknown

_1034155098.unknown

_1034155287.unknown

_1034154615.unknown

_1034154138.unknown

_1034154164.unknown

_1034151627.unknown

_1034151079.unknown

_1034151112.unknown

_1034151135.unknown

_1034151094.unknown

_1034150858.unknown

_1034151005.unknown

_1034150435.unknown

_1034145569.unknown

_1033991005.unknown

_1034143504.unknown

_1034144498.unknown

_1034145478.unknown

_1034144134.unknown

_1034143425.unknown

_1033989992.unknown

_1033990978.unknown

_1033990519.unknown

_1033989962.unknown

_1017693305.unknown

_1033989713.unknown

_1033989793.unknown

_1033989901.unknown

_1033989768.unknown

_1033987246.unknown

_1033989431.unknown

_1033989499.unknown

_1033989537.unknown

_1033989481.unknown

_1033987332.unknown

_1017693708.unknown

_1017694221.unknown

_1017690512.unknown

_1017690922.unknown

_1017691077.unknown

_1017690769.unknown

_1017682948.unknown

_1017683541.unknown

_1017682819.unknown

_999256604.unknown

_999269704.unknown

_999273204.unknown

_999317599.unknown

_1017677608.unknown

_1017681841.unknown

_1017682104.unknown

_1017677814.unknown

_999328199.unknown

_999330303.unknown

_999331018.unknown

_1017676443.unknown

_1017676806.unknown

_1017675561.unknown

_999338448.unknown

_999330577.unknown

_999330649.unknown

_999330513.unknown

_999329198.unknown

_999330156.unknown

_999328244.unknown

_999320629.unknown

_999324032.unknown

_999327608.unknown

_999328099.unknown

_999327717.unknown

_999327582.unknown

_999323674.unknown

_999318123.unknown

_999318330.unknown

_999318618.unknown

_999318820.unknown

_999318524.unknown

_999318221.unknown

_999317765.unknown

_999315429.unknown

_999315981.unknown

_999317312.unknown

_999317460.unknown

_999316704.unknown

_999315702.unknown

_999315832.unknown

_999315558.unknown

_999274442.unknown

_999315232.unknown

_999315318.unknown

_999315118.unknown

_999273354.unknown

_999273435.unknown

_999273285.unknown

_999272212.unknown

_999272936.unknown

_999273114.unknown

_999273191.unknown

_999273005.unknown

_999272427.unknown

_999272850.unknown

_999272301.unknown

_999271297.unknown

_999271795.unknown

_999271859.unknown

_999271650.unknown

_999269970.unknown

_999271102.unknown

_999271205.unknown

_999270116.unknown

_999269803.unknown

_999258134.unknown

_999258950.unknown

_999259108.unknown

_999259129.unknown

_999259040.unknown

_999258220.unknown

_999258796.unknown

_999258150.unknown

_999257453.unknown

_999257781.unknown

_999257938.unknown

_999257808.unknown

_999257746.unknown

_999256764.unknown

_999257423.unknown

_999256738.unknown

_999235162.unknown

_999240730.unknown

_999242045.unknown

_999242231.unknown

_999242302.unknown

_999242198.unknown

_999241509.unknown

_999241995.unknown

_999241461.unknown

_999240329.unknown

_999240538.unknown

_999240604.unknown

_999238272.unknown

_999239983.unknown

_999240170.unknown

_999239401.unknown

_999239110.unknown

_999235324.unknown

_999238270.unknown

_999235566.unknown

_999235183.unknown

_999225624.unknown

_999228667.unknown

_999234014.unknown

_999234836.unknown

_999235059.unknown

_999234766.unknown

_999233469.unknown

_999233945.unknown

_999233362.unknown

_999227269.unknown

_999227771.unknown

_999228200.unknown

_999228444.unknown

_999227998.unknown

_999227626.unknown

_999226124.unknown

_999226539.unknown

_999226081.unknown

_999223855.unknown

_999224958.unknown

_999225320.unknown

_999225348.unknown

_999224988.unknown

_999224125.unknown

_999224924.unknown

_999223888.unknown

_999221934.unknown

_999223756.unknown

_999223817.unknown

_999222617.unknown

_999174787.unknown

_999177699.unknown

_999174466.unknown

_999174665.unknown

_999173206.unknown

_999173290.unknown

_999173174.unknown