1 111 MOTIVAO Aoinvsdeirdiretostcnicasqueserodescritasnestelivro, optamosporprimeiroapresentaralgunsproblemasdeinteresse,ou pelomenosamodelagemmatemticadosmesmos,levandoento identificaodoproblemaqueserresolvidoempregandomtodos numricos. Nestecaptuloapresentamosalgunsexemplosqueservirode motivao para os assuntos que sero tratados nos captulos seguintes. 1.1 Motivao 1:Soluo de Sistemas de Equaes Algbricas Lineares Oproblemadetransfernciadecalorporconduo,emregime permanente, em um meio unidimensional de espessuraL , na presena de uma fonte trmica de intensidade ( ) x g , com condies de contorno deprimeirotipo(Dirichlet),ouseja,comtemperaturasprescritas, conformerepresentadoesquematicamentenaFig.1.1,modelado matematicamente por ( )( ) , 0122= + x gk dxx T d L x < < 0 (1.1a) ( ) ( ) 0 0 = = L T T (1.1b) ondeT ek representamrespectivamenteatemperaturaea condutividade trmica. ( ) 0 0 = T ( ) 0 = L T

Figura 1.1 Representao esquemtica de um meio unidimensional com fonte trmica interna e condies de contorno de primeiro tipo (Dirichlet). CAPTULO ) ( x g0 = x0 = XL x =1 = XxXMOTIVAO 2 Definindo novas variveis adimensionais RTTu = (1.2a) ,LxX= 1 0 < < X (1.2b) ( ) ( ) x gkTLx fR2= (1.2c) onde RT uma temperatura de referncia, e observando que dX L dx = (1.3) o problema (1.1a b) reescrito como ( ),22X fdXu d= 1 0 < < X (1.4a) ( ) () 0 1 0 = = u u (1.4b) Vamosagoradiscretizarodomnio[ ] 1 , 0 = X usandoumamalhacom sete ns conforme representado na Fig. 1.2. Figura 1.2 Discretizao do domnio espacial. UsandoexpansesdeTaylor,podemosobterumaaproximaoparaa derivadasegundaemx naEq.(1.1a)usandoapenasosnsdamalha discretizada representada na Fig. 1.2. Faamos expanses emX X +0 eX X 0, onde 0X qualquer ponto na malha, a menos dos ns no contorno, ( ) ( )( ) ( ) ( )L ++++ + = +! 4 ! 3 ! 2444 333 2220 00 0 00XdXu d XdXu d XdXu dXdXduX u X X uX X XX (1.5a) ( ) ( )( ) ( ) ( )L +++ = ! 4 ! 3 ! 2444 333 2220 00 0 00XdXu d XdXu d XdXu dXdXduX u X X uX X XX(1.5b) 01 23 45 6 X 0 X = 1 X= MOTIVAO 3 Somando estas equaes resulta ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L + + + = + +4442220 0 00 0! 422 XdXu dXdXu dX u X X u X X uX X (1.6) Logo, ( ) ( ) ( )( )220 0 022) (2XXX X u X u X X udXu d + + += O(1.7) Os termos desprezados, de ordem( )2X , ou seja ( )2X O , constituem o errodetruncamentodevidoimpossibilidadedeseconsiderarumnmero infinito de termos. Serfeitaumamudanadenotaovisandoescreverasequaesda forma mais simples possvel. Observando a Fig. 1.3 escreve-se: ( )1 0 += +iu X X u (1.8a) ( )iu X u =0(1.8b) ( )1 0 = iu X X u (1.8c) Figura 1.3 Mudana de notao para a representao dos ns da malha computacional. Levando as Eqs. (1.8a-c) na Eq. (1.7) resulta ( )21 1222Xu u udXu di i iXi+ = +(1.9) Das Eqs. (1.4a) e (1.9) obtm-se ( )21 12 X f u u ui i i i = + + (1.10) X X +01 + iX0XX X 1 iXiXX X 0MOTIVAO 4 onde ( )i iX f f = (1.11) EscrevendoaEq.(1.10)paraoscinconsinterioresdamalha computacionalrepresentadanaFig.1.2,i.e., 5 , , 3 , 2 , 1 K = i eusandoo conhecimento das condies de contorno (1.4b) reescritas como 06 0= = u u (1.12 a,b) obtm-se ( )( )( )( )( )25 4 524 3 4 523 2 3 422 1 2 321 1 22 52 42 32 22 1X f u u iX f u u u iX f u u u iX f u u u iX f u u i = = = + = = + = = + = = + = (1.13) Em forma matricial, (((((((

2100012100012100012100012

)`54321uuuuu=)` 2524232221) () () () () (X fX fX fX fX f(1.14) Ou ento de forma compacta, b u Arr= (1.15) Ao se resolver o sistema (1.14) obtm-se uma aproximao da soluo do problema (1.1a-b). A obteno de uma soluo analtica para este problema com uma fontetrmicaheterogneagenrica( ) x g podesetornarumatarefadifcil. ComousodadiscretizaododomniofsicoedasexpansesdeTaylor,que constituem a base do mtodo de diferenas finitas, reduz-se o problema original soluodosistemadeequaesalgbricaslineares(1.14).Deve-seressaltar queoscomputadoresdigitaissoequipamentosparticularmentebonsparauso na soluo destes sistemas. Paraasoluodesistemasdeequaesalgbricaslinearespodemser usados os mtodos diretos, que no requerem clculos iterativos, ou os mtodos indiretos ou iterativos. Estes mtodos sero vistos no Captulo 6. Oproblemaaquiapresentadotambmpoderiaserresolvidousandoum softwarecomercialdemanipulaosimblica.Apesardautilidadedetais softwares, este no o objetivo deste curso, no sendo aqui abordado, portanto. MOTIVAO 5 Vamos olhar com um pouco mais de detalhe o erro de truncamento( ) ETdecorrentedaaproximaonumricaapresentadaanteriormente.Aequao diferencial( ED)dadapela Eq.(1.4a) foi substitudaporuma aproximaopor diferenas finitas ( EDF ), ( )( )( )4 4 4 3 4 4 4 2 1L4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 14 43 4 42 1ETEDFii i iEDXdXu dX fXu u uX fdXu d+ + ++ = + +24421 122! 42) (2(1.16) ou seja, ET EDF ED + = (1.17) ondeET de ordem( )2X . A representao usada para aED consistente uma vez que ( ) 0 lim lim0 0= = ET EDF EDX X (1.18) Paraqueumaaproximaopordiferenasfinitasconsistenteconvirja paraasoluodaEDnecessrioquesejaestvel,ouseja,oserrosnoso amplificados de uma iterao para outra. 1.2 Motivao 2: Soluo de Equaes No-Lineares Considereoproblemadedeterminaodesoluesdeequaesno-lineares escritas na forma ( ) 0 = x F(1.19) Conforme mostrado na Fig. 1.4(a), busca-se o ponto*xpara o qual a Eq. (1.19) satisfeita. Numericamente dificuldades podem ocorrer, por exemplo, na situao representada na Fig. 1.4(b). A Eq. (1.19) sempre pode ser reescrita na forma ( ) x f x =(1.20a) como por exemplo, ( ) ( ) x f x x F x = + = (1.20b) MOTIVAO 6 O mtodo de aproximaes sucessivas para a soluo da Eq. (1.20a) pode ser escrito como: Escolhaumaestimativainicial0xefaa( )k kx f x =+1,para0 = k at * Nde forma que para* N k=tenha-se uma boa aproximao para a soluo, i.e.,**x xN . NaFig.1.5sorepresentadasquatrosituaespossveis:(a)( ) 1 0 < < x f ; (b)( ) 0 1 < < x f ;(c) ( ) 1 > x f ;e(d)( ) 1 < x f .Partindo-sedeuma estimativainicial0x somostradasasestimativas kx obtidasacadapassodo procedimentoiterativo,comK , 2 , 1 = k Nosdoisprimeiroscasos,omtodo converge para a soluo* x . Nos casos (c) e (d) o mtodo no converge. Antesdeseempregarummtodonumricopararesolverumproblema, deve-setentarconhec-loosuficienteparaevitarsituaescomoaquelas representadasnasFigs.1.5(c)e(d),oucomoaconteceemalgunscasos,at mesmo a obteno de resultados incorretos. Figura 1.4 Razes de equaes no-lineares. 0xrepresenta uma estimativa inicial para o procedimento numrico e* xrepresenta o valor que se deseja determinar NoCaptulo3seroapresentadosdiversosmtodosparaasoluode equaesnolineares.TambmserapresentadoomtododeNewton multivarivel para a soluo de sistemas de equaes no-lineares. x) (x F0F0x *xx*x) (b) (x F) (a00 0F0xMOTIVAO 7 Figura 1.5 Representao grfica do mtodo das aproximaes sucessivas. 0x representa uma estimativa inicial para o procedimento numrico e *xrepresenta a soluo que se deseja determinar. (a) e (b) convergem, (c) e (d) divergem. 1x2x0x*xx y=yx) (x f y =1x2x0x*x1x2x0x*xx y= x y=) (x f y=) (x f y=) (x f y=y yx x) (a ) (b) (c1 ) ( < x f1x2x0x*x4x3x5xx y=yx) (d1 ) ( 0 < < x f 0 ) ( 1 < < x f1 ) ( ' > x fMOTIVAO 8 1.3 Motivao 3: Erro de Truncamento Oproblemadetransfernciadecalorporconduo,emregime transiente, em um meio unidimensional de espessuraL , sem fonte trmica, com condiesdecontornodesegundoeterceirotipos,i.e.NeumanneRobin, respectivamente,conformerepresentadoesquematicamentenaFig.1.6, modelado matematicamente por, ( ) ( )tt x Txt x T= , 1 ,22,em0para, 0 > < < t L x (1.21a) ( )0,=xt x T em0 = x ,para 0 > t(Neumann)(1.21b) ( )( ) 0 ,,2= +t x T Hxt x T emL x = ,para 0 > t(Robin)(1.21c) ( ) ( ) x F x T = ,0para 0 = temL x 0 (1.21d) onde,pck=sendoa difusividade trmica do material,ka condutividade trmica, adensidade, pc ocalorespecfico,e 2H estrelacionadocoma condutividade trmicake com o coeficiente de troca trmica por conveco da superfciedomeioparaumfluidonatemperatura0 = T ,fluidoestequese encontra em contato com a superfcie emL x = .

Figura1.6Representaoesquemticadeummeiounidimensionalcomumasuperfcie isolada termicamente,0 = x , e com troca de calor por conveco na superfcieL x = . 0 = xL x =xconveco porcalor de troca Neumann 00== xxT Robin 02= +==L xL xT HxT trmicoisolamentoMOTIVAO 9 A soluo analtica para este problema dada por ( )( ) ( )==+ ++=1 02222222cos ) ( cos 2 ) , (2mLym mmmtdy y y F xHHLHe t x Tm (1.22) onde os autovalores mso calculados resolvendo a equao ( )2tan H Lm m= (1.23) Para o caso particular no qualconstante ) (0= = T x F , obtm-se ( )( )( )( )=+ +=1 222220coscos2 ,2m mmmtLxH H LHe T t x Tm(1.24) Emsituaesprticasassriessotruncadasdevidoimpossibilidade bvia de se utilizar um nmero infinito de termos. Em muitas situaes as solues analticas para problemas em fenmenos de transporte so baseadas em somatrios de um nmero infinito de termos, bem comoexisteanecessidadededeterminaodeautovaloreseautofunes.O clculodeumasoluodestetipousualmenteexigeumtempocomputacional elevado.Porm,estassoluessoextremamenteimportantesparaavalidao de resultados obtidos exclusivamente por mtodos numricos. 1.4 Motivao 4: Erros de Arredondamento 1 (round-off) Na Fig. 1.7 representada a trajetria deum projtil lanado a partirde uma posio( )0 0, y x , no instante0 = te com velocidade 0v .Vamosanalisaratrajetriadesteprojtiltantodopontodevistado problema direto quanto do problema inverso. MOTIVAO 10 Figura 1.7 Representao esquemtica da trajetria de um projtil. Dadasascondiesiniciais{ }0 0, , ,0 0 y xv v y x ,todaatrajetriadoprojtil representado na Fig. 1.7 pode ser calculada em funo do tempo empregando as equaes ()00x t v t xx+ = (1.25a) ()2020tgy t v t yy + = (1.25b) ondeg a acelerao da gravidade. Como as foras de atrito foram desprezadas, nohacelerao,oumelhor,desacelerao,aolongodoeixox ,conforme pode ser visto na Eq. (1.25a). Nestascondies,oproblemamodeladomatematicamentecomasEqs. (1.25 a, b) corresponde ao problema direto. Vamosconsideraragoraasituaoemquemedidasdaposiodo projtil estejam disponveis em dois instantes de tempo, ou seja, so conhecidos ( )1 1, y xe( )2 2, y xpara os instantes de tempo t1 e t2, respectivamente, e deseja-se calcularascondiesiniciais{ }0 0, , ,0 0 y xv v y x .Estaformulaocorresponde, ento,aoproblemainverso.AplicandonasEqs.(1.25a-b)asinformaes conhecidas, escreve-se 1 0 10x x t vx= + (1.26a) 121 0 120y tgy t vy= + (1.26b) 2 0 20x x t vx= + (1.26c) 222 0 220y tgy t vy= + (1.26d) Subtraindo a Eq. (1.26a) da Eq. (1.26c) obtm-se 1 21 20t tx xvx= (1.27) 0v0yv0xv0x1x2xxyg1 1 1) , ( t em y x0y0 ) , (0 0= t em y x2 2 2) , ( t em y xMOTIVAO 11 Tendo calculado 0xvcom a Eq. (1.27), 0x, ento, calculado a partir da Eq. (1.26a), 1 1 00t v x xx = (1.28) Asincgnitasrestantes 0yv e 0y socalculadasdeformasemelhante, usando as Eqs. (1.26b) e (1.26d). VamosolharatentamenteaEq.(1.27).Seoprojtilestiversemovendo rapidamente, 2t e 1t sero muitoprximos.Neste caso, conformeservistono Captulo2,oserrosdearredondamentopoderocomprometeraqualidadedo resultado obtido. Atcnicaanalisadafactvelnateoria,noentanto,quandoosclculos forem efetivamente realizados, os erros podero invalid-los. 1.5 Motivao 5:Erros de Arredondamento 2(round-off) At mesmo para a simples tarefa de obteno das razes de um polinmio de segundo grau 02= + + c bx ax (1.29) dadas por aac b bx242 = (1.30) errossignificativospodemocorrerdevido aritmticafinitadoscomputadores. Esta situao semelhante quela descrita no exemplo anterior (Motivao 4). ObservandoaEq.(1.30),osresultadoscomputacionaispodemficar comprometidos quando 24 b ac + = ,

d I A I (1.37b) ( ) ( ) 0 , 2 ,0102 2 0> + = ,

d I A I (1.37c) MOTIVAO 15 onde o cosseno do ngulo polar, i.e. cosseno do ngulo formado pelo feixe de radiao com o eixopositivo,I a intensidade da radiao, a varivel ptica,Srepresentaumafonteinternadistribudanomeio, oalbedode espalhamentosimples,p afunodefasedeespalhamentoanisotrpico,sendo 1 = ppara o caso particular de espalhamento isotrpico, 0 a espessura pticadomeio,A1eA2representamasintensidadesdaradiaoisotrpica incidente nas superfcies de contorno0 = e 0 = , respectivamente, e 1e 2representam as reflectividades difusas na parte interna destas superfcies. Figura 1.9 Representao esquemtica de um meio participante unidimensional com paredes refletoras difusas. Osfenmenosdeabsoro,espalhamentoeemisso,modeladospelas Eqs.(1.37a-c),encontramaplicaesemdiversasreas,noestandoestas limitadas,portanto,transfernciadecalorporradiaotrmica.Como exemplosdestasoutrasreaspodemsercitadas:astrofsica;transportede nutronsemreatoresnucleares;pticahidrolgica; ensaiosno-destrutivosem engenharia;ediagnsticoeterapiaemmedicina.Devidorelevnciadestas aplicaes,diversospesquisadorestmdesenvolvidodiferentesmtodosparaa soluo da equao de Boltzmann. Omtododasordenadasdiscretas,propostooriginalmenteporWicke Chandrasekhar,hojeumdosmtodosquetemmaisatradoaatenodos pesquisadores.NestemtodootermointegralnoladodireitodaEq.(1.37a) substitudo por uma quadratura gaussiana, ( ) ( ) ( ) ( ) , , ' , ,111n nNnnI p a d I p = (1.38) 1A2A0 = x L x =210 = 0 =0 < 1 = 1 = 0 > 0 = xMOTIVAO 16 ondeNaordemdaquadratura,anopesodaquadraturae n representaos pontosdecolocao.Comoodomnioangular,1 1 ,discretizado conformearepresentaofeitanaFig.1.10,aequaointegral(1.37a) substituda ento por um sistema de equaes diferenciais ordinrias ( )( ) ( ) ( ) ( ) N m I p a S IIn n mNnn m m 2,mm, , 2 , 1 , , , ,1K = + = += (1.39) O uso de aproximaes numricas para o clculo de integrais, como, por exemplo, aquela representada na Eq. (1.38), ser objeto de estudo no Captulo 5, e a soluo de equaes diferenciais ordinrias, conforme visto anteriormente na Motivao 6, ser tratada no Captulo 7. Figura 1.10 Discretizao do domnio angular. 1.8 Motivao 8:Interpolao e Ajuste de Curvas Frequentementeexperimentalistasobtmdadosexperimentaisdiscretos, como, por exemplo, posio de um objeto Nx x x , , ,1 0K , para alguns instantes de tempo Nt t t , , ,1 0K ,ondeN onmerototaldeobservaes.Supondoquedo conhecimentofsicodoprocessosobanlise(movimentodeumobjeto),esteja seprevendoumadependnciaquadrticadaposiodoobjetocomotempo (movimentouniformementeacelerado)como,porexemplo,emumcampo gravitacional constanterepresentadopelaEq.(1.25b)naMotivao4,ouento 1 = 1 = 12+N2N1 N21N0 = 0 < 0 > MOTIVAO 17 linear (movimento uniforme) conforme representado pela Eq. (1.25a) tambm na Motivao 4. Naausnciadeerrosexperimentaispodeserinterpoladaumacurva (parbolaouretanosexemplosaquiconsiderados),permitindoqueseconhea ento a posio do objeto() t xpara qualquer instante de tempot . Comoemmedidasexperimentaisreaisrudosdealtafrequnciaesto semprepresentes,deixadeserinteressante,portanto,interpolarumacurvaque passe por todos os pontos experimentais, porque esta curva refletir diretamente oserrospresentesnosdadosexperimentais.Nestecasomaisinteressanteo ajustedeumacurvaquenopassarportodosospontos,masqueatendera algumcritrio,como,porexemplo,minimizarosomatriodosresduos quadradosrelativosaovalordavariveldependente(grandezamedida)com relao ao valor correspondente obtido com a curva ajustada. Como exemplo, veja a situao representada na Fig. 1.11. A partir de um conjunto de dados experimentais( )( ) ( )N Nx t x t x t , , , , ,2 2 1 1Kdeseja-se traar a reta quemelhorrepresenteatrajetria() t x .Tomandoparesdepontosquaisquer ( ) ( )k k j jx t x t , , e ,comj = 1, 2, , Nej k,diversasretaspodemsertraadas. Qual delas seria a mais adequada ? Ao se deparar com um problema semelhante, onde buscava-se determinar a trajetria de um cometa, Gauss decidiu escolher a curva para a qual o somatrio dos resduos quadrados ( ) [ ]21= =Nii iy t x S (1.40) fossemnima.Estavainventadoentoomtododosmnimosquadrados. Observequeem( )it x naEq.(1.40)estoincludasasincgnitasqueno exemploapresentadonaFig.1.11correspondemaoscoeficientesangulare linear da reta,aeb , respectivamente. Aobtenodecurvasqueinterpolemouqueajustemcurvasaum conjunto de pontos dados a priori ser objeto de estudo no Captulo 4. Figura 1.11 Ajuste de uma reta a dados experimentais reais. ) (t xt0x) , (1 1x t) , (2 2x t) , (3 3x t) , (4 4x t) , (N Nx tb at t x + = ) (ento oudados experimentais00) ( x t v t xx+ =MOTIVAO 18 1.9 Exerccios 1.9.1Escreverumarotinacomputacionalparaaobtenodasoluode equaes no-lineares,( ) x f x = , pelo Mtodo das Aproximaes Sucessivas: ( )( )( )( )( )*1111 20 1, , 2 , 1 , 0, ., .* *N k x f x e ix f xx f xx f xx f xk kN Nk kKMM= =)`====+

Apresentarresultadosparafunes ( ) x f comderivadasnosseguintes intervalos: ( )( )( )( ) 11 00 11> < < < < < t b y a x 0 0 em ( ) 0 para 0, em , 0 ,1> = = t y T t x T(1.41b) ( ) 0 para , em , ,2> = = t a x T t y a T(1.41c) ( ) 0 para , y em , ,3> = = t b T t b x T(1.41d) ( ) 0 para , 0 em , , 04> = = t x T t y T(1.41e) ( ) 0 para , 0 , 0 em , ,0= = t b y a x T t y x T(1.41f)

onde( ) t y x T , ,representa a temperatura,( ) t y x g , , o termo fonte,t o tempo e kerepresentam, respectivamente, a condutividade e a difusividade trmica. Realize agora as seguintes tarefas: 1.9.7a Escreva uma aproximao por diferenas finitas para o problema (1.41) comerrodetruncamento ) , , (2 2t y x O .Mostretodosospassosdo desenvolvimento. 1T3T: ( , , ) Termo fonte gxy ty b =4T0 = x0 = yx a x =y2TMOTIVAO 22 1.9.7bSuponhaqueascondiesdecontorno(1.41b)e(1.41c)sejam substitudas por condies de contorno de segundo tipo (Neumann): ( ) 0 para , 0 em 0 , 0 , > = =t y t xyT(1.41b) ( ) 0 para , em 0 , , > = =t a x t y axT(1.41c) Quaisseroasalteraesqueocorreronaaproximaopordiferenas finitas desenvolvidas no item anterior? 1.9.8Oproblemadetransfernciadecaloremregimepermanenteem superfcies estendidas (aletas) unidimensionais com rea transversal constante modelado matematicamente pela seguinte equao diferencial ordinria (EDO) ( )( ) 0222= ambT T mdxx T d(1.42) onde kAhPm =2(1.43) sendo( ) x T atemperaturaaolongodaaleta, ambT atemperaturadoambiente comoqualaaletaesttrocandocalor,h ocoeficientedetrocadecalorpor conveco,k acondutividadetrmicadomaterialdaaleta,P oseu permetro eA a rea transversal da mesma. Para uma aleta com seo reta transversal circular, 42DA= (1.44a) D P = (1.44b) ondeD o dimetro (vide Fig. 1.14). Figura 1.14 Representao esquemtica de uma aleta com seo transversal circular. L x = 0 = xTransversalSeo ambTDMOTIVAO 23 Considerando condies de contorno de primeiro tipo (Dirichlet), ( )00T x Tx==(1.45a) ( )NL xT x T == (1.45b) 1.9.8a Escreva uma aproximao por diferenas finitas para o problemadado pela EDO (1.42) com as condies de contorno (1.45), para uma malha espacial comNns (veja a Motivao 1). Mostre todos os passos da deduo; 1.9.8b Qual a ordem do erro de truncamento de sua aproximao? 1.9.8c Represente esquematicamente o sistema de equaes algbricas lineares para10 = N ; 1.9.8d Empregando os seguintes valores mKWkm Lm DK mWhC TC TC TambN2001 , 010 550 20 25 100220== ===== use um software comercial, como por exemplo, o MAPLE ou MATLAB, para a soluodosistemadeequaes.Sevocpreferirusearotinatridagdolivro NumericalRecipes(Seo2.4TridiagonalandBandDiagonalSystemsof Equations).