Numero 6, 9 Gennaio 2012. Licenza Creative Commons CC-BY-NC-SA.

Editoriale“Anno nuovo, vita nuova!” si dice spesso, e per CaoStabi-le in effetti questo è parzialmente vero! Con l’anno nuo-vo abbiamo deciso di dare una ristrutturata alla casa diCaoStabile, naturalmente stiamo parlando della nostracasa virtuale... Abbiamo infatti deciso di dare nuova vi-ta al nostro sito internet, una ristrutturazione più chealtro grafica, ma che ci permetterà allo stesso tempo digestire meglio i vari contenuti!Speriamo in breve tempo di completare il progetto cheabbiamo in mente, creando una sezione di contributi ex-tra che comprendano programmi di carattere scientificoche ti permettano di riprodurre alcuni esperimenti nu-merici direttamente sul tuo computer, immagini dallospazio e di alcune strutture matematiche complesse, etutto quel che ci verrà in mente!

Con l’anno nuovo abbiamo anche istituito una new-sletter, iscriviti e sarai sempre informato sulle nuoveuscite, la creazione di nuovi contenuti e su tutto quel chesuccede attorno al progetto CaoStabile!

Buona lettura e vieni a trovarci presto sulla nostrapagina Facebook, il nostro Blog e tieniti informato conla nuova newsletter! Lasciaci un commento, un tuo pa-rere o quel che ti passa per la testa...sapere che ci staileggendo e che apprezzi il nostro sforzo è la ricompensapiù grande!

Il Team CaoStabile

In questo numero:

Previsioni meteo per lospazio

Da nord e da sud

Frazioni continue

In viaggio verso Saturno

Chiedi alla Ga’:Dimostrazioni con icriteri di congruenza

Pausa caffè:Le due micceUna sequenza ordinataLe camere d’albergo

Recensioni:“Lo strano caso del caneucciso a mezzanotte”

PREVISIONI METEO PER LO SPAZIO

Nel marzo del 1989, una serie di blac-kout elettrici, interruzioni nelle comunica-

zioni e problemi a satelliti artificiali atti-rò l’attenzione mondiale su un gruppetto

1

di macchie scure apparse sulla superficiedel Sole. Ciò che fino ad allora aveva in-teressato la sola comunità scientifica uscìdalle porte delle accademie ed assunseuna reale importanza economica e socia-le. Le macchie solari (cosa sono lo sco-priremo a breve) rappresentano, tuttavia,solo uno dei fenomeni che la meteorolo-gia spaziale (space wether) si propone distudiare. Per le attività terresti, nonché perla nostra stessa salute, infatti, oltre i proces-si che avvengono sul Sole, anche il flussodi particelle che da esso ci investe, il ven-to solare, e la sua interazione con la ma-gnetosfera e la ionosfera terrestre risultanoessere assolutamente determinanti.

Abbiamo introdotto fin qui un gran nu-mero di parole e concetti che suonano al-quanto generici e non meglio definiti chein un film, vediamo quindi di approfondirealmeno i principali su cui la meteorologiaspaziale si basa.

Principali concetti cui si concentra la meteorologiaspaziale.

Il Sole è una stella veramente dinami-ca, è molto attiva ed in continuo cambia-mento. E’ composta di gas ionizzato for-mato da ioni ed elettroni e globalmenteneutro (il plasma) intrecciato con potenticampi magnetici. Ha un diametro di cir-ca 109 volte quello della Terra, una mas-sa di 330000 volte e la sua temperaturavaria da 5800 K (superficie) a 15.6 milio-ni K (nucleo)! Chimicamente è compostaper circa tre quarti da idrogeno (che bru-cia ad una velocità di circa 700 milioni ditonnellate al secondo!) ed elio.

L’attività solare è contraddistinta dasvariati fenomeni, ma tra questi il più signi-ficativo ed il primo ad esser stato studia-to (già dai tempi di Galileo) è quello dellemacchie solari. Queste sono alcune zo-

ne, ampie anche migliaia di km, sulla su-perficie del Sole in cui campi magneticimolto intensi impediscono la risalita di ma-teriale caldo per convezione dall’interno,pertanto si creano delle zone più fredde(anche se parliamo comunque di 5000 K!)che assumono una colorazione più scu-ra rispetto all’ambiente circostante. In taliregioni, l’intensificazione del campo ma-gnetico è dovuta all’affioramento di un“cappio” di linee di forza che quando at-traversano la fotosfera (la regione visibi-le del Sole attraverso la quale passa tut-ta l’energia irradiata dalla stella) creanoappunto le macchie solari.

Quando un cappio di linee di campo magneticoattraversa la fotosfera crea le macchie solari.

Il Sole, inoltre, non essendo un corposolido è contraddistinto da differenti velo-cità di rotazione attorno al proprio asse:più veloce all’equatore (con un periododi circa 25.6 giorni) e più lento ai poli (cir-ca 33.5 giorni). Questa cosiddetta rota-zione differenziale causa un avvolgimen-to delle linee di campo magnetico su sestesse creando i cappi che sono all’origi-ne delle macchie solari. Lo stesso fenome-no, inoltre, genera quell’effetto dinamoche creando e distruggendo macchie so-lari dà vita al cosiddetto ciclo solare, Ogni11 anni, infatti, il campo magnetico solaresi inverte e di conseguenza cambia drasti-camente anche la sua influenza sul nostropianeta.

Il ciclo solare ha un profondo effettosul “clima dello spazio” e su quello terre-stre. Nel 17 secolo, ad esempio, il ciclosolare sembrò interrompersi per diversi an-ni (con l’apparizione di pochissime mac-

2

chie solari) e tutta l’Europa registrò tempe-rature inusualmente basse (la cosiddettaLittle Ice Age). In generale i minimi del ci-clo solare tendono a coincidere con tem-perature più basse, ma mancano ancoraprove definitive a rigurado.

In realtà l’intenso campo magneticosolare causa anche un forte riscaldamen-to di tutta la corona (quella parte dell’at-mosfera solare così tenue che è possibilevedere solo durante un’eclissi di Sole) for-mando regioni di particolare attività. Inqueste regioni capita che le strutture ma-gnetiche tendano localmente a romper-si causando sbuffi di massa e brillamenti(solar flares).

Ma la storia non finisce qui. La forteattività solare si ripercuote anche a gran-de distanza dalla nostra stella. Studian-do la coda delle comete, a metà del se-colo scorso, gli scienziati di tutto il mondoraccolsero prove sperimentali significativeche il Sole emettesse con continuità unaqualche forma di “radiazione corpuscola-re”. Le comete, infatti, mostrano una dop-pia coda, una neutra ed un’altra compo-sta di gas ionizzato che si orienta non lun-go la velocità dell’orbita, ma con una leg-gera inclinazione rispetto a questa. Taleorientazione è il frutto dell’interazione conun flusso di particelle cariche che ema-na continuamente dal Sole: il vento sola-re. Tale vento è un flusso di particelle ca-riche, globalmente neutro, che evaporadalla corona ad una velocità fra 200 e 900km/s!

Fin qui abbiamo analizzato tutti i feno-meni che avvengono sulla nostra stella eche influiscono anche sul nostro pianeta,ma anche la Terra ci mette del proprio percontribuire al meteo spaziale.

Il campo magnetico terrestre si originanel nucleo esterno del nostro pianeta ed èassimilabile ad un dipolo magnetico (unacalamita, per intenderci) inclinato di cir-ca 11 rispetto all’asse di rotazione terre-stre. Tale campo magnetico, ovviamen-te, si estende ben al di fuori della super-ficie terrestre e genera la nostra magne-

tosfera; quella regione di spazio entro laquale il campo magnetico terrestre gene-ra particelle cariche e ne domina il moto.La forma di questa specie di “bolla” checi avvolge è profondamente influenzatadalla presenza e dall’intensità del ventosolare. La magnetosfera, infatti, è forte-mente schiacciata sul lato diurno e moltoallungata su quello notturno.

La forma della magnetosfera terrestre è determinatadal vento solare: schiacciata sul lato esposto al Sole edallungata nel lato in ombra.

L’ultimo ingrediente che gioca un ruo-lo fondamentale nella determinazione delmeteo dello spazio è la nostra ionosfera.Con questo termine si intende quella par-te dell’atmosfera terrestre (stiamo parlan-do di almeno 50 km dalla superficie) incui la densità di ioni ed elettroni è moltoelevata. Tale regione si comporta comeuna specie di specchio elettromagneticosia per segnali provenienti dalla Terra chedallo spazio. E’ proprio sfruttando la rifles-sione delle onde corte ad opera della io-nosfera che Marconi nel 1901 riuscì a tra-smettere un segnale radio fra Inghilterrae Canada che non si “vedono” a causadella curvatura terrestre.

La ionosfera si compone di tre regioni.La prima, a circa 60-90 km di quota è laprincipale responsabile dell’assorbimentodi radioonde. La seconda, a circa 90-150km riflette le radioonde medie e lunghe;l’ultima, infine, si estenda fra i 150 ed i 400km, riflette le radioonde corte ed è l’unicapresente anche nel lato in ombra.

Sulla base di quanto finora introdotto èevidente che esistono molti fattori in gio-co, energie molto elevate e un altissimo

3

grado di interazione da considerare perfare “previsioni del meteo spaziali”.

Le forti forze magnetiche che regola-no i fenomeni solari possono facilmenterilasciare durante uno degli innumerevo-li brillamenti solari un’energia pari a quel-la di milioni di bombe atomiche. In cor-rispondenza di uno di questi flare, inoltre,vi è una forte emissione di raggi X chepenetrano l’atmosfera terrestre fino a rag-giungere le quote più basse. In partico-lare questi raggi possono arrivare alla zo-na più bassa della ionosfera ed aumentar-ne il grado di ionizzazione con conseguen-te aumento di assorbimento di radioonde.Anche la parte più alta dell’atmosfera ri-sente di una intensa attività solare, infat-ti, questa può aumentare di densità edespandersi fino a raggiungere l’orbita deisatelliti artificiali causando una diminuzio-ne della loro orbita (o il completo rientro)per attrito.

L’interazione di particelle cariche di vento solare conl’atmosfera genera aurore polari (australi o boreali)all’interno dell’ovale aurorale.

Come se non bastasse, inoltre, alcu-ni brillamenti particolarmente intensi pos-sono anche esser accompagnati da unflusso di particelle energetiche, elettroni eprotoni. I protoni, lanciati quasi alla velo-cità della luce, riescono a trapassare loscudo della magnetosfera e colpisconola Terra. Qui vengono accelerati verso leregioni polari (tra 60 e 70 di latitudinemagnetica, l’ovale aurorale, ove il cam-po magnetico è più intenso e “trafigge” lasuperficie terrestre), e qui, collidendo conle molecole neutre della nostra atmosfera,generano le aurore polari. Molto belle da

vedere, ma alla base di forti ritardi nelletrasmissioni a causa di elevati assorbimen-ti nella banda delle frequenze alte e mol-to alte (HF e VHF, le più usate per teleco-municazioni) dovuti alla forte ionizzazionedell’atmosfera.

In alcune occasioni, inoltre, un solarflare può esser anche caratterizzato daemissioni di nubi di plasma o massa coro-nale. Tale massa, trasportata dal vento so-lare, può arrivare a colpire la Terra. Anchein questo caso l’energia in gioco è estre-mamente elevata e all’impatto con lamagnetosfera terrestre si generano le co-siddette tempeste geomagnetiche. Nelcorso di una di queste la magnetosferastessa cambia repentinamente configura-zione (subendo un forte schiacciamentosul lato diurno) e non solo la parte espo-sta al Sole del nostro pianeta è interessa-ta. Il campo magnetico terrestre subiscevariazioni irregolari su scala planetaria so-vraccaricando linee elettriche e sistemi dicomunicazione. Le tempeste geomagne-tiche sono anche accompagnate da di-sturbi alla ionosfera terrestre, con i con-seguenti problemi nelle comunicazioni adalta frequenza.

Eruzioni di massa coronale ad alta energia impattanola magnetosfera terrestre deformandola e dando luogoalle tempeste geomagnetiche.

Un ulteriore effetto di brillamenti solaried eruzioni coronali, è, inoltre, riscontra-bile su piccola scala nella ionosfera. Du-rante i periodi di forte attività solare, infat-ti, la ionosfera presenta molte irregolarità(soprattutto a basse latitudini) con dimen-sioni che vanno dal metro al centimetro.

4

Tali fluttuazioni si ripercuotono, ovviamen-te, sui segnali che si trasmettono proprioattraverso la ionosfera. Queste scintillazio-ni ionosferiche causano fluttuazioni in am-piezza e fase di segnali sia terrestri chesatellitari (come il GPS) che sono tantopiù intense quanto maggiore è l’ampiezzadella fluttuazione stessa.

Ok, ma cosa possiamo fare per pro-teggerci da tutti questi fenomeni? Sicura-mente la prima cosa è monitorare conti-nuamente la nostra stella. I telescopi terre-stri possono osservare la nostra stella solosu alcune lunghezze d’onda (visibile e ra-dio), ma per osservarlo nella finestra di tut-to lo spettro elettromagnetico è necessa-rio porci al di sopra dell’atmosfera. Lo Sky-lab (1973) fu il primo osservatorio solare,seguito parecchi anni più tardi (1996) daSOHO. Dal 2006, infine, la missione STEREOè in orbita attorno al Sole per raccogliereimmagini (3D!) e dati con una precisionemai raggiunta prima.

La missione NASA STEREO è composta da due satelliti,uno che anticipa ed uno che segue la posizione del-la Terra attorno al Sole, che raccolgono e trasmetto-no continuatamente dati ed immagini sull’attività dellanostra stella.

Ma evidentemente il solo monitorag-gio del Sole non è sufficiente a prevede-re tutti i fenomeni alla base della meteo-rologia spaziale. Il sondaggio ionosfericorichiede delle “ionosonde” che non sonoaltro che sistemi radar ad alta frequenza.Il trasmettitore emette onde radio e misurail ritardo temporale dopo il quale raggiun-gono un ricevitore. Variando la frequen-za di trasmissione, il tempo di ritardo vieneregistrato e riportato in un grafico (lo iono-gramma) per ottenere informazioni circail contenuto di particelle cariche a variealtezze.

Ogni giorno tutti gli osservatori sola-ri, magnetici e ionosferici sono continua-mente attivi ed anche i modelli di pre-visione, sviluppati sui dati da questi rac-colti, sono in continua evoluzione, esatta-mente come accade per la meteorologiaterrestre. Vi sono organi specifici, comeil National Oceanic Atmospheric Admini-stration (NOAA) che sono continuamenteall’erta e pronti a segnalare ogni evento“meteo” che possa avere conseguenzesignificative sullo spazio circumterrestre.

L’idea è quella di sviluppare procedu-re capaci di segnalare un allarme con al-meno qualche ora di anticipo rispetto alverificarsi dell’evento stesso e con una si-curezza prossima al 90%. Tutto ciò al finedi mitigare l’impatto di tali fenomeni dalpunto di vista tecnologico, economico esociale e far sì che si sappia con sufficien-te preavviso quando prendere l’ombrello,o il suo equivalente spaziale.

Pierpaolo Pergola

DA NORD E DA SUD

Convenzionalmente la sfera terrestresi divide in due emisferi, quello borea-le situato a nord dell’equatore e quelloaustrale posto a sud.

Ogni punto sulla superficie del nostro

pianeta può essere individuato mediantele due coordinate geografiche chiamatelatitudine e longitudine. Supponiamo ditrovarci a Roma e di poter tracciare unalinea che vada da dove siamo al centro

5

della Terra. L’angolo tra questa linea e ilpiano equatoriale è la latitudine (circa 41

Nord per Roma), mentre la distanza ango-lare in senso Est o Ovest tra il meridianofondamentale di Greenwich e noi vienedetta longitudine (circa 12 Est per Roma).

L’angolo φ è la latitudine, λ la longitudine.

Quello che ci proponiamo è capire co-sa cambia nella nostra vita al variare dellalatitudine in cui ci troviamo.

I due fenomeni più conosciuti e rilevan-ti sono l’alternarsi delle stagioni e la du-rata del giorno e della notte. Abbiamovisto precedentemente (CaoStabile n.3 e4) che la Terra, come tutti gli altri pianeti,si muove lungo un’orbita ellittica tale cheil Sole occupa uno dei fuochi. L’equatoreterrestre non giace però sul piano di que-st’orbita, chiamato eclittica, ma è bensìinclinato di 23 27’ rispetto ad esso. A cau-sa di questo fatto i raggi solari toccano lasuperficie del nostro pianeta con un an-golo d’incidenza diverso a seconda dellalatitudine e del momento dell’anno.

Se guardiamo la figura ci accorgiamoche esistono dei momenti particolari nelmoto di rivoluzione della Terra intorno alSole.

Gli equinozi sono i due istanti in cui ilpiano equatoriale e l’eclittica si incontra-no. Nell’emisfero settentrionale, l’equino-zio di marzo (che cade il 21 Marzo) è l’e-quinozio di primavera, anche chiamato

Il piano dell’orbita della Terra si chiama eclittica e conquesto nome si indica anche l’apparente giro del Solenel periodo di un anno. L’equatore terrestre e l’eclitticanon giacciono sullo stesso piano.

punto vernale, punto dell’Ariete o pun-to gamma γ. L ’equinozio di settembre(che cade il 23 settembre) è l’equinoziod’autunno, anche detto punto della Bi-lancia o punto Omega Ω. Nell’emisferomeridionale, questi nomi sono invertiti.

A seconda di dove si trova la Terra lungo la sua orbita,l’angolo d’incidenza tra i raggi solari e un dato puntosulla superficie cambia.

Durante gli equinozi, l’asse terrestre èperfettamente perpendicolare al pianodell’orbita e dunque la durata del giornoe della notte è la stessa in tutti i punti del-la Terra. Superato l’equinozio di primave-ra, le notti diventano sempre più corte nel-l’emisfero boreale e sempre più lunghe inquello australe.

D’altra parte, il solstizio è ciascunodei due punti due punti dell’orbita terre-stre in cui il Sole è alla massima distanzaangolare rispetto al piano dell’equatoreterrestre.

6

L’inclinazione dei raggi solari in corrispondenza deisolstizi a seconda della latitudine.

Al solstizio d’estate (21 giugno), i rag-gi solari sono perpendicolari al Tropico delCancro che si trova a latitudine 23 27’Nord: la Terra volge al Sole il polo Norde nell’emisfero boreale comincia l’estate,mentre in quello australe l’inverno. Al po-lo Nord il Sole rimane sopra l’orizzonte persei mesi, mentre al polo Sud rimane sottoper un periodo altrettanto lungo. A parti-re dal 22 giugno le ore di luce diminuisco-no gradualmente per l’emisfero settentrio-nale, fino a raggiungere il minimo duran-te il solstizio d’inverno del 21 dicembre. Aquesto punto i raggi del Sole sono per-pendicolari al Tropico del Capricorno si-tuato a latitudine 23 27’ Sud: per noi ladurata dell’illuminamento solare è mino-re, le notti sono più lunghe e comincia l’in-verno. Il contrario succede nell’emisferomeridionale.

Alternarsi delle stagioni e durata delgiorno e della notte non dipendono dun-que dalla distanza tra il Sole e la Ter-ra durante l’anno, ma dall’angolo d’inci-denza con cui i raggi solari arrivano allasuperficie terrestre.

Dalla posizione in cui ci troviamo sul-la Terra dipende anche come vedia-mo il cielo, in particolare la Luna e lecostellazioni.

La Luna orbita intorno alla Terra su unpiano molto vicino al piano dell’eclitticae quello che riusciamo a vedere è la par-te illuminata dal Sole. Di conseguenza,dall’emisfero boreale si vede la Luna ver-so sud, mentre il contrario succede dall’e-misfero australe. E questo significa che sial’aspetto che l’orientazione della superfi-cie lunare si vedono invertite a secondache ci troviamo da una parte o dall’altra

dell’equatore.Dall’Italia, per esempio, il primo quarto

di Luna crescente appare come una D,mentre dall’Argentina come una C. Vice-versa succede per l’ultimo quarto decre-scente. Vicino all’equatore il primo quar-to sembra una N quando la Luna sorge,ma una U quando la Luna tramonta. Perl’ultimo quarto il contrario.

Se ci riferiamo alle figure, notiamo inol-tre che dall’emisfero meridionale la super-ficie lunare appare a ‘faccia in giù’ (pro-vate a confrontare la posizione di mari ecrateri).

Le fasi lunari come vengono viste dall’emisfero boreale.

Le fasi lunari come vengono viste dall’emisfero australe.

In generale, la visione del cielo di-pende dalla latitudine e dal periododell’anno in cui ci troviamo.

La porzione del cielo visibile varia a seconda dellalatitudine.

Possiamo vedere le stelle se si trovanosopra il nostro orizzonte, a patto che la lu-ce del Sole non le celi alla nostra vista. Alpolo Nord e al polo Sud possiamo osserva-re solo metà della volta celeste, più ci av-viciniamo all’equatore più siamo in gradodi ampliare la nostra prospettiva.

Inoltre, man mano che la Terra gira in-torno al Sole, cambia anche la porzione dicielo visibile e di conseguenza le mappe

7

celesti sono suddivise per stagioni o, più indettaglio, per mesi. Dal nostro punto di vi-sta, sembra che le stelle ruotino da Est ver-so Ovest, spostandosi di circa un grado algiorno (360 in 365 giorni).

Le stelle che non tramontano mai edunque sono visibili per tutta la notte pertutto l’anno sono dette circumpolari. Aipoli, tutto l’emisfero celeste visibile è cir-cumpolare, ma avvicinandoci all’equato-re il cerchio che delimita la zona delle co-stellazioni circumpolari diventa sempre piùpiccolo. In un anno un abitante della zo-na equatoriale può vedere tutte le 88 co-stellazioni, ma tutte sorgono e tramontanoe dunque nessuna risulta essere circumpo-lare. Un italiano ammira tutte le costella-zioni boreali e una parte di quelle austra-li, per lui le costellazioni circumpolari sonoOrsa Maggiore, Orsa Minore, Cassiopea,

Cefeo, Dragone e Giraffa.

Movimento delle costellazioni circumpolari in circa 10ore.

Elisa Maria Alessi

FRAZIONI CONTINUE

Un sistema di numerazione è un me-todo che ci permette di rappresentarei numeri attraverso un insieme di simbo-li. I sistemi di numerazione più diffusi so-no quelli posizionali e in particolare quellodecimale.

In un sistema posizionale, per rappre-sentare i numeri, si scelgono dei simbo-li (cifre) che assumono valori diversi a se-conda della posizione che occupano nel-la notazione. Nella rappresentazione de-cimale abbiamo scelto come simboli i nu-meri da zero a nove (0, 1, . . ., 9) ed attri-buito un significato alla posizione dei sim-boli: alla cifra che occupa la prima po-sizione a sinistra della virgola (o del pun-to decimale) dobbiamo sommare quellaimmediatamente alla sinistra moltiplicataper 10, poi quella ancora a sinistra molti-plicandola per 100 = 102 e così via sinoad esaurire le cifre. Per le cifre alla de-stra della virgola la convenzione è molto

simile, ma dobbiamo sostituire l’operazio-ne di moltiplicazione con quella di divisio-ne. Complicato starai pensando, ma forseun esempio servirà a farti capire che quelche sto cercando di spiegarti lo conosciperfettamente sin dalle scuole elementari,

183.32 = 1 · 102 + 8 · 101 + 3 + 3 · 1

10+ 2 · 1

102.

Se ci pensi un momento, ti accorgeraiche la scelta del numero 10 (la base die-ci) è del tutto arbitraria, puoi scegliere unqualsiasi numero maggiore di 1 (prova apensare perchè 1 non va bene!) e, utiliz-zando le stesse regole, definire le rappre-sentazioni in base 2, 3, etc., naturalmentese decidi di scegliere una base superiorea 10 dovrai inventarti dei nuovi simboli, lascelta comune (e di grande fantasia!) èquella di utilizzare le lettere dell’alfabetocome “nuovi” simboli (a, b, . . .).

Queste rappresentazioni sono del tut-to equivalenti ed è possibile passare da

8

una base all’altra in modo estremamen-te semplice, consideriamo dunque comeriferimento la rappresentazione più comu-ne per tutti noi: la rappresentazione deci-male posizionale! Come nota a margineprova a pensare a quanto sia semplice ef-fettuare la divisione utilizzando la rappre-sentazione in base due, ci sono solo duepossibilità: o il numero ci sta oppure nonci sta... ricordi come era difficile decide-re quante volete il divisore era contenu-to nel dividendo quando hai imparato ladivisione?

Ma siamo sicuri che queste rappresen-tazioni posizionali siano le più efficaci? Ecosa intendiamo per “più efficaci”?

Dal punto di vista matematico, uno deiproblemi è che la rappresentazione di al-cuni numeri “semplici”, come ad esem-pio 1/3, richiede un numero infinito di cifre(1/3 = 0.333 . . .). Questo fatto ci fa pensareche una rappresentazione simile a quel-la che utilizzavamo per i numeri razionali,le care vecchie frazioni, potrebbe presen-tare alcuni vantaggi rispetto alla classicanotazione decimale posizionale, ma dob-biamo trovare un modo per poter rappre-sentare anche i numeri irrazionali, comead esempio la radice quadrata di 2 (

√2).

Da un punto di vista più fisico (o pra-tico) sappiamo che ogni quantità misu-rabile è spesso rappresentata da un nu-mero che può solamente approssimareil dato reale. Dunque, in alcuni ambiti,è importante avere una rappresentazio-ne che permetta di approssimare nel mi-glior modo possibile un determinato nu-mero reale, naturalmente utilizzando unanotazione che sia al tempo stesso la piùcompatta possibile.

Supponiamo ora di voler costruire unmodellino in scala di un sistema planeta-rio, possiamo pensare di mimare il movi-mento dei pianeti utilizzando delle ruotedentate... ma come? Semplice, se vo-gliamo che il pianeta A compia due ri-voluzioni mentre il pianeta B ne compietre, basterà prendere una ruota dentatacon 3 denti collegata al pianeta A ed una

con 2 denti per il pianeta B (prova a pen-sare al perché!). Naturalmente possiamoanche moltiplicare il numero dei denti diogni ruota per lo stesso numero ed otte-nere il medesimo risultato. Ma se il rap-porto tra le frequenze di rotazione fossepari a 0.5157411, quale rapporto tra nu-meri razionali dovremmo considerare percostruire un modello che sia il più vero-simile possibile? In prima approssimazio-ne naturalmente 5/10 = 1/2 potrebbe an-che andar bene, ma per essere più pre-cisi dovremmo considerare anche le ap-prossimazioni successive: 51/100, 515/1000,etc.. Probabilmente dovremmo anchefermarci all’approssimazione 51/100, co-struire una ruota dentata con 1000 dentisarebbe un po’ troppo complicato! Masiamo sicuri che, limitando ad esempio ilnumero di denti per ogni ruota a 100, lanostra approssimazione 51/100 sia la mi-gliore possibile? L’errore che commettia-mo considerando questa approssimazio-ne è superiore a 5/1000 = 5 · 10−3, possia-mo fare di meglio? Certamente, se pren-diamo 16/31, l’errore che commettiamo èinferiore a 4 · 10−4, e il rapporto 49/95 ci daun’approssimazione con un errore inferio-re a 5 ·10−5! Ottimo, ma come facciamo atrovare queste approssimazioni?

La risposta è data dalla rappresen-tazione in frazioni continue di un nume-ro reale. Una frazione continua è unaespressione del tipo

x = a0 +1

a1 +1

a2 +1

a3 + · · ·

dove a0 è un numero intero e tutti gli ansono interi positivi detti quozienti parziali.Questo tipo di frazioni continue, dove tut-ti i numeratori sono pari ad 1, sono anchedette frazioni continue semplici.

La scrittura estesa delle frazioni conti-nue è poco pratica e sono state introdottediverse notazioni per semplificarla. Se adesempio i termini della frazione continua

9

sono a0, a1, a2, . . . scriveremo

[a0; a1, a2, . . .] .

La rappresentazione dei numeri reali infrazioni continue ha alcune utili proprietà:

• è finita se e solo se il numero èrazionale;

• i numeri irrazionali hanno una rappre-sentazione unica;

• i numeri razionali hanno una rappre-sentazione quasi unica: ogni nume-ro razionale ne ha esattamente dueche si differenziano solo dal fatto cheuna termina con [...an, 1] e l’altra con[...an + 1];

• troncando la frazione continua di unnumero x si ottiene un’approssima-zione razionale di x che, in un certosenso, è la migliore approssimazionepossibile.

Il calcolo della frazione continua diun numero reale è estremamente sem-plice, si tratta di ripetere due operazioni:considerare la parte intera di un nume-ro e calcolare il reciproco della sua partefrazionaria.

Dato un numero reale x, chiamiamoxint la sua parte intera e xfraz la sua partefrazionaria, possiamo dunque scrivere

x = xint + xfraz = xint +1

1/xfraz.

Naturalmente 1/xfraz è un numeromaggiore di 1 e possiamo quindi conside-rare la sua parte intera, e ripetere nuova-mente il procedimento calcolando gli altricoefficienti. L’algoritmo termina solamen-te quando xfraz è uguale a zero, ovvero see solo se x è un numero razionale.

Forse un esempio vale più di milleparole, consideriamo il numero 4.12:

• 4.12 = 4 + 0.12 = 4 + 12/100 ;

• 1/(12/100) = 8 + 4/12 ;

• 1/(4/12) = 3 + 0 .

Abbiamo quindi ottenuto la rappresenta-zione

4.12 = 4 +1

8 +1

3

.

Lo sviluppo in frazioni continue puòanche essere utilizzato per definire delleapprossimazioni successive di un numeroreale. Infatti, dato un numero

α = [a0; a1, a2, . . . , an] ,

abbiamo a disposizione n+ 1 differenti ap-prossimazioni, a0 è l’approssimazione piùrozza, quella di ordine 0 (la parte intera delnumero α), [a0; a1] è l’approssimazione diordine 1 e così via sino all’approssimazionedi ordine n costituita da [a0; a1, . . . , an].

È naturale attendersi che, aumentan-do l’ordine dell’approssimazione, miglio-ri anche l’accuratezza della rappresenta-zione del numero α. La dimostrazione diquesta affermazione, che è naturalmentevera, va oltre lo scopo di questo breve ar-ticolo, ma se sei interessato all’argomentonon ti sarà difficile farla da solo!

Ad ogni approssimazione possiamo na-turalmente associare una frazione, An/Bn

e vale la comoda relazione ricorsiva

AnBn

=anAn−1 + An−2

anBn−1 +Bn−2

.

Questa relazione è estremamente como-da per calcolare le migliori approssimazio-ni successive di un numero reale e posso-no essere facilmente implementate su uncalcolatore! Se sei interessato potrai tro-vare il codice del programma per farlo di-rettamente sul sito di CaoStabile...vieni atrovarci!

Con questo breve articolo abbiamosolamente intravisto alcune delle sorpren-denti proprietà che nascondono le frazio-ni continue. L’idea era di farti capire chespesso anche argomenti semplici comela rappresentazione di un numero reale,che conosci sin dalle scuole elementari epotresti pensare non abbiano più nulla diinteressante da rivelarti, possono ancorariservare sorprese!

10

Come ti ho detto all’inizio dell’artico-lo, per semplicità ho deciso di considera-re solamente le frazioni continue sempli-ci, dove tutti i numeratori sono uguali aduno. Prima di concludere però proviamoad eliminare la restrizione sui numeratori,permettendo ad essi di assumere un valo-re diverso da uno. Non voglio dilungarmiora su quali caratteristiche debbano ave-re, ma solo presentarti un esempio chespero possa essere interessante...ancorauna volta, per maggiori approfondimenti,passa a trovarci sul nostro sito Internet!

Se ti dicessi di estrarre la radice qua-drata di un numero naturale con carta epenna, sapresti come fare? Siamo cosìabituati all’uso della calcolatrice che or-mai abbiamo quasi dimenticato come fa-re semplici operazioni con carta e penna,e sicuramente l’estrazione di una radicequadrata non è l’operazione più sempli-ce da fare con carta e penna! Vedia-mo come questa operazione sia effettiva-mente semplice da effettuare utilizzandole frazioni continue.

Preso un numero naturale, n, calcolia-mo il più grande quadrato perfetto (il qua-drato di un numero intero, e.g. 4, 9, . . .)più piccolo di n, che indichiamo con q2, escriviamo

n = q2 + r .

Come prima approssimazione di√n,

per costruzione, possiamo considerarel’intero q, e scrivere

√n =

√q2 + r = q + α ,

dove α è una quantità incognita che (perla scelta di q) è un numero minore di 1.

Vediamo ora come sia possibile scrive-re α come frazione continua generalizza-ta,

α =√q2 + r−q =

(√q2 + r − q)(

√q2 + r + q)√

q2 + r + q

e con un semplice calcolo otteniamo

α =r

2q + α.

L’espressione precedente è una frazionecontinua generalizzata ed è immediatoottenere

√n =

√q2 + r = q +

r

2q +r

2q +r

2q + · · ·

Per ottenere il valore approssimato dellaradice quadrata di un numero naturalequindi dobbiamo semplicemente prende-re carta e penna e, armati di un po’ di pa-zienza, effettuare una serie di semplici cal-coli che coinvolgono solamente le carevecchie frazioni, facile no?

Marco Sansottera

IN VIAGGIO VERSO SATURNO — CAPITOLO 1

Inizieremo ora un tour che ci accom-pagnerà per diversi numeri. Vogliamoripercorrere l’importante viaggio svoltoda una navicella (la missione spaziale“Cassini-Huygens”), partita 15 anni fa dal-la Terra per andare su Saturno, che anco-ra oggi gira intorno al pianeta e lo osser-va insieme ai suoi anelli e ai suoi satelliti.Vogliamo scoprire come la navicella si siapotuta spingere così lontano dalla Terra,

come possa tuttora orbitare intorno a Sa-turno vagando tra i suoi satelliti, quali so-no le grandi scoperte che ci ha permes-so di fare e quali sono gli esperimenti cheha compiuto in tutti questi anni; ripercor-reremo l’importante discesa della sondaHuygens sulla superficie di Titano (il satelli-te naturale più grande di Saturno); scopri-remo infine quale sarà il termine di questamissione e se essa sia destinata ad ave-

11

re successori che ripercorreranno le sueimprese.

In questo primo capitolo introdurremola missione, mentre nei prossimi numeriracconteremo nel dettaglio i diversi temi.

Saturno (immagine NASA).

L’uomo è da sempre affascinato dall’i-dea di viaggiare nello spazio. Negli ulti-mi decenni sono stati fatti importanti passiavanti in questa direzione e, benché l’uo-mo ancora non si sia spinto oltre la Luna,diverse navicelle senza uomini a bordo so-no arrivate fino ai confini del nostro siste-ma solare mostrandoci spettacolari imma-gini che ci hanno permesso di vedere sce-nari che difficilmente potremo osservaread occhio nudo. Nel particolare, Satur-no è un pianeta che ha sempre desta-to un grande interesse tra gli osservatoridel cielo grazie ai suoi affascinanti anel-li e al gran numero di satelliti che vi orbi-tano intorno. La missione Cassini-Huygensè una delle più importanti e ben riuscitemissioni spaziali che hanno intrapreso unviaggio interplanetario. La spettacolaritàdi tale missione è data dai molteplici suc-cessi che essa ha avuto dal momento delsuo lancio ad oggi. La navicella, partitanel 1997, ancora oggi orbita con estremaprecisione intorno a Saturno; tale precisio-ne, unita all’accuratezza con cui essa ègiunta nel sistema planetario di Saturno, èfrutto di difficili studi da parte di mecca-nici celesti e studiosi di dinamica del vo-lo, i quali hanno determinato in anticipol’orbita che la navicella avrebbe dovutoseguire. I successi di Cassini-Huygens so-no dovuti anche ai risultati ottenuti dagli

esperimenti che sono stati svolti durante ilviaggio e agli strumenti che sono stati in-stallati sulla navicella che hanno fornito econtinuano a fornire informazioni prezioseper lo studio del sistema solare, dalla suaformazione alla sua evoluzione, dai mate-riali da cui è composto fino alla possibilitàdi capire se esistono altri ambienti adattialla nascita della vita oltre la Terra.

Questa missione nasce dalla collabo-razione di NASA (Agenzia spaziale ame-ricana), ESA (Agenzia spaziale europea),ASI (agenzia spaziale italiana) e la par-tecipazione di altri enti e industrie di va-ri Paesi. La NASA ha realizzato la navi-cella principale che tuttora orbita intornoa Saturno e l’ha chiamata Cassini in me-moria dell’astronomo italiano Gian Dome-nico Cassini (1625-1712) che scoprì 4 sa-telliti di Saturno e la divisione negli anelliche porta il suo nome. L’ASI ha gestito laprogettazione e la costruzione di parti im-portanti della navicella Cassini, come lagrande antenna di 4 m di diametro chepermette le comunicazioni con la Terra, einoltre si è occupata della realizzazione diimportanti strumenti ed esperimenti scien-tifici. L’ESA si è occupata della proget-tazione e della realizzazione di un’impor-tante componente della missione, la son-da Huygens, il cui nome è stato dato inonore dell’astronomo olandese ChristiaanHuygens (1629-1695) che ipotizzò l’esisten-za degli anelli di Saturno e che scoprì ilsuo satellite Titano. Questa sonda giocanella missione un ruolo fondamentale: es-sa è stata pensata per viaggiare unita aCassini per tutto il tragitto da Terra a Satur-no per poi separarsi da Cassini dopo averraggiunto il sistema di Saturno; il suo sco-po era quello di avvicinarsi al satellite Tita-no, entrare nella sua atmosfera e scende-re fino a toccare il suolo del grande satel-lite per fotografarlo e inviare immagini allaTerra. Tale sonda è stata progettata peravere una vita breve sul satellite saturnia-no (15 minuti), ma il tempo era sufficien-te per ottenere le informazioni per cui lasonda è stata realizzata; la sonda è vissuta

12

anche di più di quanto si pensasse (3 ore),e poche ore dopo l’atterraggio le batte-rie non le hanno più fornito energia, così siè spenta e ha smesso di comunicare conla Terra

Il lancio di Cassini (immagine NASA).

Il viaggio verso Saturno è iniziato nel1997 dopo 15 anni di progettazione del-la missione; la navicella Cassini (unita al-la sonda Huygens) è stata lanciata il 15ottobre 1997 dalla Florida e ha iniziato ilsuo tour attraverso i pianeti; ha avuto dueincontri ravvicinati con Venere (uno nel1998 e uno nel 1999), uno con la Terra (an-cora nel 1999), uno con Giove (fine del2000), per arrivare nelle prossimità di Sa-turno nel 2004. Ovviamente questi incon-tri non sono stati casuali, anzi, sono sta-ti studiati affinché avvenissero con estre-

ma precisione e sono stati necessari perpermettere alla navicella di giungere finoa Saturno grazie all’“assistenza gravitazio-nale”che questi pianeti hanno fornito allanavicella. Finalmente, il primo luglio 2004la Cassini-Huygens entra nell’orbita di Sa-turno per iniziare il suo tour attraverso i nu-merosi satelliti del pianeta. Il 25 dicembre2004, la sonda Huygens si separa da Cas-sini e inizia il suo avvicinamento al satelli-te Titano per arrivare sulla sua superficie il14 gennaio 2005. Nella frattempo Cassi-ni continua ad orbitare intorno a Saturnocompiendo ripetuti avvicinamenti ai tan-ti satelliti (pensate che Saturno ha più di50 satelliti naturali). In particolare, la na-vicella avrà moltissimi incontri ravvicinaticon Titano che rappresenta un vero e pro-prio motore per il continuo moto di Cas-sini (gli incontri ravvicinati li chiameremoflyby, ma vedremo questo argomento neldettaglio in uno dei prossimi numeri!)

Cassini giunge fino a Saturno (immagine NASA).

Credo che sia incredibile pensare chel’uomo si sia spinto così lontano dalla Ter-ra e che riesca a controllare una pic-cola navicella distante milioni di km dasé. Per questo motivo, nei prossimi nume-ri scopriremo insieme i segreti di questamissione.

Sara Di Ruzza

13

CHIEDI ALLA GA’RUBRICA DI AIUTO AGLI STUDENTI

- DIMOSTRAZIONI CON I CRITERI DICONGRUENZA -

Quando un insegnante di scuola secon-daria di secondo grado entra in primadicendo “Oggi cominciamo geometria”,di solito si alza un coro di disapprovazio-ne, perchè molti ricordano le difficoltà giàavute durante la scuola secondaria di pri-mo grado. Questi ragazzi ancora non san-no cosa li aspetta: non saranno più i pro-blemi con perimetri e aree a farli impaz-zire, la geometria viene affrontata in ma-niera diversa. Ci saranno ancora triangoli,rette parallele e perpendicolari, quadrila-teri... ma gli esercizi consisteranno nel di-mostrare teoremi. Recentemente, dopoaver svolto una di queste dimostrazioni al-la lavagna, una mia alunna mi ha chiesto“Possiamo fare qualche esercizio in mo-do che possa comprendere meglio la teo-ria?”. Ho dovuto risponderle che quelloche avevamo appena fatto era a tutti glieffetti un esercizio.

Di solito il primo argomento riguardai triangoli, qui di seguito riporterò alcuniconsigli per chi affronta una dimostrazionedi geometria che richieda l’utilizzo di unodei criteri di congruenza:

1. DISEGNO. Leggere più volte il testodella dimostrazione in modo da poter di-segnare la figura nel modo più precisopossibile. È consigliabile non disegnare fi-

gure “particolari” se non viene esplicita-mente richiesto: se si parla di un trian-golo qualsiasi, conviene non disegnaretriangoli equilateri, isosceli o rettangoli.

2. IPOTESI E TESI. Rileggere di nuovo iltesto in modo da separare i dati (le ipo-tesi) dalla tesi (ciò che dobbiamo dimo-strare). Scrivere entrambe utilizzando i sim-boli: ad esempio se nel testo ci informanoche il triangolo ABC è isoscele di base BCdovremo scrivere che AB ∼= AC.

3. SCELTA DEI TRIANGOLI. Se nelle te-si non compaiono triangoli ma solo latio angoli, conviene andare a considerareper la dimostrazione triangoli che possie-dano questi elementi: spesso risulta inuti-le andare a considerare i triangoli ABC eDEF se nella tesi compaiono i lati CD e AF.Questo è un suggerimento valido soprat-tutto per le dimostrazioni più semplici, inquelle più complesse può essere necessa-rio considerare prima triangoli ausiliari perpoi andare a fare la dimostrazione vera epropria.

4. DIMOSTRAZIONE. È il momento di an-dare a elencare gli elementi rispettiva-mente congruenti dei vari triangoli.

5. CONCLUSIONE. I due triangoli de-vono risultare congruenti grazie a unodei tre criteri, se la tesi riguarda so-lo alcuni elementi bisogna specificareche risultano congruenti perchè elementicorrispondenti di triangoli congruenti.

Gabriella Pina

PAUSA CAFFÈRUBRICA DI ENIGMI E GIOCHI MATEMATICI

- LE DUE MICCE -

Avete a disposizione due micce che, seincendiate ad una estremità, impieganoun’ora ciascuna per bruciare completa-

mente. Queste però non bruciano in mo-do regolare, in particolare la lunghezzadella miccia bruciata non è proporzionaleal tempo impiegato! Come fare dunqueper cronometrare 45 minuti esatti?

Marco Sansottera

14

- UNA SEQUENZA ORDINATA -La sequenza di numeri 5 2 9 8 4 6 7 3

1 0 sembra apparentemente in disordine.

Sapresti dire con quale criterio sono statiordinati i numeri?

Marco Sansottera

- LE CAMERE D’ALBERGO -

Cinque signore hanno sistemato le ca-mere d’albergo. Durante le pulizie, ogni si-gnora ha guardato la televisione nella ca-mera in cui si trovava e in ogni camerac’era qualcosa da sostituire a causa del-l’utilizzo da parte degli ospiti precedenti!Dagli indizi, determina il nome completodi ogni signora, quale programma televisi-vo ha guardato, quali oggetti ha dovutosostituire ed il numero della stanza che hasistemato.

1. Beatrice, che non ha sistemato lastanza 607, non ama le telenovele eha sostituito il sapone. La signora acui piace guardare il canale religio-so, ha sostituito i bicchieri, ma nonera né la signora Rossi né Patrizia.

2. Luisa, che non è la signora Bianchi,ha pulito la stanza 622.

3. La signora che ha sostituito i bicchie-ri, quella che ha guardato il giocoin tv e Anna non hanno sistemato alsesto piano.

4. Ogni numero di stanza, dal più bas-so al più alto, è rappresentato dalseguente elenco: la signora che haguardato il talk show, la signora Ver-di, Giulia, la signora che ha guarda-to il film e quella che ha sostituito gliasciugamani.

5. La signora Rossi, il cui nome nonè Luisa, non ha sostituito la cartaigienica.

6. Patrizia è la signora Colombo.

Infine, ecco la lista con le possibiliscelte da ordinare:

• Anna, Beatrice, Giulia, Luisa, Patrizia;

• Bianchi, Colombo, Ferrari, Rossi, Ver-di;

• film, gioco, religioso, talk show,telenovela;

• asciugamani, bicchieri, carta igieni-ca, cuscini, sapone;

• 504, 512, 531, 607, 622;

Marco Sansottera

RECENSIONISCELTI DA NOI

- “LO STRANO CASO DEL CANEUCCISO A MEZZANOTTE” -

Niente libri riguardanti la scuola né sag-gi scientifici, cominciamo l’anno con il ro-manzo di Mark Haddon “Lo strano casodel cane ucciso a mezzanotte”. Il prota-gonista è Christopher, un ragazzo di quin-

dici anni affetto dalla sindrome di Asper-ger (come si può capire dal retrocoper-tina, perchè nel testo non viene specifi-cato), e il romanzo racconta il modo incui riesce a scoprire come è stato uccisoil cane della vicina. In realtà Christopherriuscirà a scoprire molto di più: suo padre

15

gli nasconde un importante segreto.Il protagonista soffre di vari disturbi del

comportamento e dell’apprendimento,ma ha una grande passione per la scien-za e in particolare per la matematica: perquesto motivo all’interno della narrazio-ne vengono citati molti quesiti e curiosi-tà riguardanti questa materia. Niente dinuovo per chi la matematica la “frequen-ta” abitualmente, ma questo libro puòrappresentare un buon modo per scopri-re che matematica non è, come moltipensano, sinonimo di noiosi esercizi.

Un esempio di curiosità citate nel libroè rappresentato da questa “barzelletta”,la cui intenzione non è solo far sorridere,ma anche spiegare in modo semplice co-sa significa essere un matematico: Ci sono

tre uomini su un treno. Uno è un economi-sta, il secondo è un logico e il terzo è unmatematico. Hanno appena oltrepassa-to il confine per la Scozia, quando dal fi-nestrino del treno vedono una mucca inun campo, posta in posizione parallela ri-spetto al treno. L’economista dice: “Lemucche in Scozia sono marroni”. Il logicocommenta: “No. In Scozia ci sono le muc-che e almeno una è marrone”. Il mate-matico conclude: “No. C’è almeno unamucca in Scozia e uno dei suoi fianchi èvisibilmente marrone”. Haddon a questopunto fa dire a Christopher che gli eco-nomisti non sono dei veri scienziati, i logicihanno una visione più chiara delle cose,ma i matematici sono i migliori di tutti.

Gabriella Pina

Continua a seguirci tramite i vari canali disponibili:

• il nostro sito internet: http://caostabile.altervista.org ;• il nostro blog: http://caostabile.blogspot.com ;• la nostra pagina Facebook: http://www.facebook.com/pages/CaoStabile/107200479359132 ;• la nostra pagina su Issuu: http://issuu.com/caostabile .

16