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28-1 Campos Magnéticos e a Definição de B
A Definição de B
O Campo. Definimos o campo magnético B como sendo um vetor que existe quando
exerce uma força FB numa partícula carregada movendo-se com velocidade v.
Podemos então medir o módulo de FB quando v é direcionada perpendicularmente à
força e então definimos o módulo de B em termos do módulo da força como:
onde q é a carga da partícula. Podemos sintetizar todos estes resultados com a
seguinte equação vetorial:
isto é, a força FB na partícula pelo campo B é igual à carga q vezes o produto vetorial
de sua velocidade v pelo campo B (tudo medido no mesmo referencial). Podemos
escrever o módulo de FB como
onde ϕ é o ângulo entre as direções da velocidade v e campo magnético B.
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28-1 Campos Magnéticos e a Definição de B
Determinação da Força Magnética
Esta equação nos diz a direção de F. Sabemos que o produto vetorial de v e B é
um vetor que é perpendicular a estes dois vetores. A regra da mão direita (Figs. a-c) nos diz que o polegar da mão direita aponta na direção de v × B quando os dedos
fecham de v para B. Se q é positivo, então (pela eq. acima) a força FB tem o mesmo sinal que v × B e deve ser no mesmo sentido; isto é, para q positivo, FB é ao longo
do polegar (Fig. d). Se q é negativo, então a força FB e o produto vetorial v × B têm
sinais opostos e então devem estar em sentidos opostos. Para q negativo, F está
no sentido oposto ao do polegar (Fig. e).
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28-1 Campos Magnéticos e a Definição de B
Determinação da Força Magnética
Answer:
(a) towards the
positive z-axis
(b) towards the
negative x-axis
(c) none (cross
product is zero)© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
A força FB agindo sobre uma partícula movendo-se com velocidade v
através de um campo magnético B é sempre perpendicular a v e B.
28-1 Campos Magnéticos e a Definição de B
Linhas de Campo MagnéticasPodemos representar campos magnéticos com linhas de campo, como para
campos elétricos. Regras similares se aplicam:
(1) A direção da tangente à linha de campo magnético em um ponto qualquer
fornece a direção de B naquele ponto
(2) O espaçamento entre as linhas representa o intensidade de B —o campo
magnético é mais intenso onde as linhas estão próximas.
Dois Polos. As linhas de campo (fechadas) entram numa extremidade
de um magneto e saem do outro extremo. O lado do magneto a partir
do qual as linhas de campo emergem é chamado de polo norte do
magneto; o outro lado, onde as linhas de campo entram, é chamado de
polo sul. Por conta disto é chamado de dipolo magnético.
(a) Linhas de campo de uma barra magnética.
(b) Um “ímã de vaca” — ímã em forma de barra introduzido no rúmen das vacas
para evitar que pedaços de ferro ingeridos acidentalmente cheguem ao intestino
do animal. A limalha de ferro revela as linhas de campo magnético..
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28-2 Campos Cruzados: Descoberta do Elétron
Uma versão moderna do aparelho
de J.J. Thomson para medir a
razão carga-massa do elétron. Um
campo elétrico E é estabelecido
ao conectar a fonte entre os
terminais da placa defletora. O
campo magnético B é formado por
meio de uma corrente num
sistema de bobinas (não
mostrado). O campo magnético
mostrado está no plano da fig.,
como representado pelo conjunto
de Xs (os quais lembram partes
traseiras de flechas).
Se uma carga se move por uma região contendo ambos um campo elétrico e um
campo magnético, pode ser afetada por ambas uma força elétrica e uma força
magnética. Quando os dois campos são perpendiculares entre si, são ditos serem
campos cruzados.
Se as forças estão em sentidos opostos, para uma determinada velocidade não
haverá nenhuma deflexão da partícula.
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28-3 Campos Cruzados: O Efeito Hall
Como discutido, um feixe de elétrons no vácuo podem ser
defletidos por um campo magnético. Os elétrons num fio de
cobre serão também afetados por um campo magnético?
Em 1879, Edwin H. Hall, então um estudante de 24 anos na
Universidade Johns Hopkins, mostrou que sim, podem.
Este Efeito Hall permite descobrir se os portadores de carga
num condutor são positivos ou negativos. Além disso podemos
medir o número destes portadores por unidade de volume do
condutor.
A figura (a) mostra uma fita de cobre de largura d, com uma
corrente i cujo sentido convencional é do topo da figura à parte
de baixo. Os portadores de carga são elétrons e, como
sabemos, eles derivam (com velocidade de deriva vd) no
sentido oposto, de baixo para cima.
Ao passar o tempo, elétrons movem-se para a direita,
empilhando-se na borda direita da fita, deixando cargas
positivas não compensadas em posições fixas à esquerda
como mostrado na figura (b).© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
28-3 Campos Cruzados: O Efeito Hall
Quando um campo magnético uniforme B é aplicado em uma
fita condutora com uma corrente i, com o campo perpendicular
à direção da corrente, é gerada uma diferença de potencial do
efeito Hall na fita em questão.
A força elétrica FE nos portadores de carga é balanceada pela
força magnética FB sobre eles.
A densidade n ode portadores de carga pode ser determinada
por
onde l (= A/d) é a largura da fita. Com esta equação podemos
determinar n a partir de grandezas mensuráveis.
Quando um condutor se move em um campo magnético
uniforme B com uma velocidade v, a diferença V de potencial
do efeito Hall é
Onde d é a largura perpendicular a ambos a velocidade v e o
campo B.© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
28-4 Uma Partícula Carregada em Mov. Circular
Um feixe de elétrons é injetado numa
câmara por um injetor de elétrons G. Os
elétrons entram no plano da página com
velocidade v e então move-se numa região
de campo magnético uniforme B
direcionado para fora daquele plano.
Como resultado, uma força magnética
FB= q (v×B) desvia os elétrons, e uma vez
que v e B são sempre perpendiculares
entre si, este desvio faz com que os
elétrons sigam uma trajetória circular. A
trajetória é visível na fig. porque os átomos
de gás na câmara emite luz quando alguns
dos elétrons circulantes colidem com eles.
Aplicando a 2ª. lei de Newton para este movimento
Então o raio r da circunferência é
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28-5 Cíclotrons e Sincrotrons
O Cíclotron: A figura é uma visão de cima da região de um
cíclotron no qual as partículas (prótons, digamos) circulam. Os dois
objetos ocos na forma de D (cada um aberto na sua face reta) são
feitos de folhas de cobre. Estes Ds, como são chamados, são parte
de um oscilador que alterna a diferença de potencial elétrico entre o
vão entre os Ds. Os sinais elétricos dos Ds são alternados em
direção, primeiro para um D e então para o outro indefinidamente.
Os Ds estão imersos num campo magnético alto dirigido para fora
do plano da página. A intensidade de B é ajustada via um controle
no magneto produzindo o campo.
A chave para a operação do cíclotron é que a frequência f na qual o próton circula no
campo magnético (e que não depende de sua velocidade) deve ser igual à frequência
fixa fosc do oscilador elétrico, ou
Esta condição de ressonância diz que se a energia do próton circulante aumenta,
deve-se adicionar energia ao sistema numa frequência fosc que é igual à frequência
natural f na qual o próton circula no campo magnético.
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28-5 Cíclotrons e Sincrotrons
Sincrotron com Proton: O campo magnético B e a frequência do oscilador fosc,
ao invés de ter valores fixos como num cíclotron convencional, varia com o
tempo durante um ciclo de aceleração. Quando isto é feito de maneira
adequada, (1) a frequência de circulação dos prótons permanece sincronizado
com o oscilador em qualquer tempo, e (2) os prótons seguem uma trajetória
circular — não uma espiral. Então, o magneto precisa estar apenas naquele
trecho da trajetória circular, não sobre todos os 4 ✕106 m2. A trajetória circular,
entretanto, ainda necessita ser grande se almeja alcançar altas energias.
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28-6 Força Magnética num Fio Percorrido por Corrente
Um fio flexível passa entre os polos
de um magneto (somente o polo
mais distante é mostrado). (a) Sem
corrente no fio, o fio está reto. (b)
Com corrente para cima, o fio está
desviado, para a direita. (c) Com
corrente para baixo, é desviado para
a esquerda.
Um fio reto que conduz uma corrente i num
campo magnético uniforme sofre uma força
lateral
Aqui L é o vetor comprimento que tem módulo L
e está direcionado ao longo do segmento do fio
na direção (convencional) da corrente.
Fio Curvo. Se um fio não é reto ou o campo não
é uniforme, podemos imaginar o fio quebrado
em pequenos seguimentos retos. A força no fio
como um todo é então o vetor soma de todas as
forças nos segmentos. No limite diferencial,
podemos escrever
e a direção do vetor comprimento L ou dL é na
direção de i.© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
28-7 Torque em uma Espira percorrida por Corrente
Os elementos de um motor elétrico:
Uma espira retangular, conduzindo uma
corrente e livre para girar em torno do
um eixo fixo, é colocada num campo
magnético. Forças magnéticas no fio
produzem um torque que rotaciona. Um
comutador (não mostrado) inverte o
sentido da corrente a cada meia volta
de modos que o torque sempre age na
mesma direção.
Como mostrado na figura
(direita) a força resultante
na espira é um vetor soma
das forças agindo nos
quatro lados e é igual a
zero. O torque resultante
agindo na bobina tem
módulo dado por
onde N é o número de voltas na bobina, A é
a área de cada volta, i é a corrente, B é o
módulo do campo, e θ é o ângulo entre o
campo magnético B e o vetor normal à
bobina n.
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28-8 O Momento Dipolar Magnético
Uma bobina (de área A e N voltas, conduzindo uma corrente i) num campo
magnético uniforme B sofrerá um torque τ dado por
onde μ é o momento de dipolo magnético da bobina, com módulo μ = NiA
e direção e sentido dados pela regra da mão direita.
A energia de orientação de um dipolo magnético num campo magnético é
Se um agente externo rotaciona um dipolo
magnético a partir de uma orientação inicial θi
para alguma outra orientação θf e o dipolo está
estacionário ambos inicialmente e no final, o
trabalho Wa realizado no dipolo pelo agente é
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28 Sumário
O Campo Magnético B• Definido em termos da força FB
agindo numa partícula teste com
carga q movendo-se através do
campo com velocidade v
Eq. 28-2
Eq. 28-15
Força Magnética num Fio com
uma Corrente • Um fio reto com uma corrente i num
campo magnético uniforme sofre
uma força lateral
• A força agindo num elemento de
corrente i dL num campo magnético
é
Eq. 28-26
Eq. 28-16
Torque numa Espira percorrida
por uma Corrente• Uma bobina (de área A e N voltas,
com corrente i) num campo mag.
uniforme B sofre um torque τ dado
por
Eq. 28-37
Uma Partícula Carregada em
Mov. Circular num Campo Mag. • Aplicando a segunda Lei de Newton
para o mov. circular leva à
• A partir daí encontramos o raio da
órbita circular como
Eq. 28-28
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28 Sumário
O Efeito Hall• Quando uma fita com uma corrente
i é colocada num campo magnético
uniforme B, alguns portadores de
carga (com carga e) acumulam-se
num lado do condutor, criando uma
diferença de potencial V na fita. As
polaridades dos lados indicam o
sinal dos portadores de carga.
Energia Orientacional de um
Dipolo Magnético• A energia orientacional de um dipolo
magnético em um campo magnético
é
• Se um agente externo gira o dipolo
magnético de sua orientação original
θi para uma outra θf e o dipolo está
estacionário ambos inicialmente e ao
final, o trabalho Wa realizado no
dipolo pelo agente é
Eq. 28-38
Eq. 28-39
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28 Exercícios
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Halliday 10ª. Edição
Cap. 28:
Problemas 4; 11; 14; 27; 30; 36; 46; 51; 55; 59
28 Problema 28-4
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Uma partícula alfa se move com uma velocidade de módulo 550 m/s em
uma região onde existe um campo magnético de módulo 0,045 T. (Uma
partícula alfa possui uma carga de +3,2 × 10-19 C e uma massa de 6,6 ×10-27 kg.) O ângulo entre a velocidade e o campo magnético é 52o.
Determine (a) o módulo da força que o campo magnético exerce sobre a
partícula e (b) a aceleração da partícula causada por . (c) A velocidade
da partícula aumenta, diminui ou permanece constante?
28 Problema 28-11
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Uma fonte de íons está produzindo íons de 6Li, que possuem carga +e e
massa 9,99 × 10-27 kg. Os íons são acelerados por uma diferença de
potencial de 10 kV e passam horizontalmente em uma região onde existe
um campo magnético uniforme vertical de módulo B = 1,2 T. Calcule a
intensidade do menor campo elétrico que, aplicado na mesma região,
permite que os íons de 6Li atravessem a região sem sofrer um desvio.
28 Problema 28-14
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Uma fita metálica com 6,50 cm de comprimento, 0,850 cm de largura e
0,760 mm de espessura está se movendo com velocidade constante em
uma região onde existe um campo magnético uniforme B = 1,20 mT
perpendicular à fita, como mostra a Fig. 28-34. A diferença de potencial
entre os pontos x e y da fita é 3,90 μV. Determine a velocidade escalar v.
28 Problema 28-27
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Um espectrômetro de massa (Fig. 28-12) é usado para separar íons de
urânio de massa 3,92 × 10-25 kg e carga 3,20 × 10-19 C de íons
semelhantes. Os íons são submetidos a uma diferença de potencial
de 100 kV e depois a um campo magnético uniforme que os faz
descreverem um arco de circunferência com 1,00 m de raio. Após
sofrerem um desvio de 180o e passarem por uma fenda com 1,00 mm de
largura e 1,00 cm de altura, os íons são recolhidos em um recipiente. (a)
Qual é o módulo do campo magnético (perpendicular) do separador? Se
o aparelho é usado para separar 100 mg de material por hora, calcule (b)
a corrente dos íons selecionados pelo aparelho e (c) a energia térmica
produzida no recipiente em 1,00 h.
28 Problema 28-30
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Na Fig. 28-40, um elétron com uma energia cinética inicial de 4,0 keV penetra
na região 1 no instante t = 0. Nessa região existe um campo magnético
uniforme, de módulo 0,010 T, que aponta para dentro do papel. O elétron
descreve uma semicircunferência e deixa a região 1, dirigindo-se para a
região 2, situada a 25,0 cm de distância da região 1. Existe uma diferença de
potencial ΔV = 2000 V entre as duas regiões, com uma polaridade tal que a
velocidade do elétron aumenta no percurso entre a região 1 e a região 2. Na
região 2 existe um campo magnético uniforme, de módulo 0,020 T, que
aponta para fora do papel. O elétron descreve uma semicircunferência e
deixa a região 2. Determine o instante t em que isso acontece.
28 Problema 28-36
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Um cíclotron, no qual o raio dos dês é 53,0 cm, é operado a uma
frequência de 12,0 MHz para acelerar prótons. (a) Qual deve ser o
módulo B do campo magnético para que haja ressonância? (b) Para
esse valor do campo, qual é a energia cinética dos prótons que saem do
cíclotron? Suponha que o campo seja mudado para 1,57 T. (c) Qual deve
ser a nova frequência do oscilador para que haja ressonância? (d) Para
esse valor da frequência, qual é a energia cinética dos prótons que saem
do cíclotron?
28 Problema 28-46
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Na Fig. 28-44, um fio metálico de massa m = 24,1 mg pode deslizar com
atrito desprezível em dois trilhos paralelos horizontais separados por
uma distância d = 2,56 cm. O conjunto está em uma região onde existe
um campo magnético uniforme de módulo 56,3 mT. No instante t = 0, um
gerador G é ligado aos trilhos e produz uma corrente constante i = 9,13
mA no fio e nos trilhos (mesmo quando o fio está se movendo). No
instante t = 61,1 ms, determine (a) a velocidade escalar do fio e (b) o
sentido do movimento do fio (para a esquerda ou para a direita).
28 Problema 28-51
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A Fig. 28-46 mostra um cilindro de madeira de massa m = 0,250 kg e
comprimento L = 0,100 m, com N = 10,0 espiras de fio enroladas
longitudinalmente para formar uma bobina; o plano da bobina
passa pelo eixo do cilindro. O cilindro é liberado a partir do repouso em
um plano inclinado que faz um ângulo θ com a horizontal, com o plano
da bobina paralelo ao plano inclinado. Se o conjunto é submetido
a um campo magnético uniforme de módulo 0,500 T, qual é a menor
corrente i na bobina que impede que o cilindro entre em movimento?
28 Problema 28-55
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Duas espiras circulares concêntricas, de raios r1 = 20,0 cm e r2 = 30,0
cm, estão situadas no plano xy; ambas são percorridas por uma corrente
de 7,00 A no sentido horário (Fig. 28-48). (a) Determine o módulo do
momento dipolar magnético do sistema. (b) Repita o cálculo supondo
que a corrente da espira menor mudou de sentido.
28 Problema 28-59
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Uma espira que conduz uma corrente de 5,0 A tem a forma de um
triângulo retângulo cujos lados medem 30, 40 e 50 cm. A espira é
submetida a um campo magnético uniforme de módulo 80 mT paralelo
à corrente no lado de 50 cm da bobina. Determine o módulo (a) do
momento dipolar magnético da bobina e (b) do torque sobre a bobina.