caminhosmaislongosemgrafos - ime-uspsusanna/mestrado/dissertacao... · em especial à ana lucia,...

Caminhos mais longos em grafos

Susanna Figueiredo de Rezende

Dissertação apresentadaao

Instituto de Matemática e Estatísticada

Universidade de São Paulopara

obtenção do títulode

Mestre em Ciências

Área de Concentração: Ciência da ComputaçãoOrientadora: Profa. Dra. Yoshiko Wakabayashi

Durante o desenvolvimento deste trabalho a autora recebeu auxílio financeiro daFAPESP (Proc. 2011/16348-0)

São Paulo, 15 de agosto de 2014

Caminhos mais longos em grafos

Esta versão da dissertação contém as correções e alterações sugeridaspela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho,realizada em 30/5/2014. Uma cópia da versão original está disponível no

Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.

Comissão Julgadora:

• Profa. Dra. Yoshiko Wakabayashi (orientadora) - IME-USP

• Profa. Dra. Christiane Neme Campos - UNICAMP

• Prof. Dr. Daniel Morgato Martin - UFABC

Agradecimentos

Agradeço, em primeiro lugar, a Deus por me proporcionar a vida e seu sentido, por estar semprecomigo e por colocar tantas pessoas boas ao meu lado.

Aos meus pais, Pedro e Ketty, por tudo o que me ensinam, pelo exemplo que são, pelo apoioconstante, pelos bons conselhos e principalmente por seu amor incondicional. Aos meus irmãos,Daniel, Adriana, Diana, Joel, Beatriz, Djenane e Denise, aos meus avós, Papito e Mamita, Haroldoe Djenane (in memoriam) e a toda minha família, pelo carinho, incentivo e alegria que sempreencontro em vocês.

Um agradecimento especial à minha orientadora, Professora Yoshiko, que me acompanha desdeo primeiro ano da graduação e que frequentemente foi além do que eu poderia esperar, para meorientar e para me oferecer as melhores oportunidades acadêmicas. Muito obrigada pela dedicação,paciência, apoio, inestimáveis conselhos e constante preocupação pelo meu bem.

Agradeço à Professora Cristina e ao Professor Daniel que, juntamente com a Professora Yoshiko,me proporcionaram a primeira oportunidade de fazer pesquisa. Apesar da minha inexperiência,sempre me escutaram com atenção e, com extrema paciência, me esclareciam quaisquer que fossemas minhas dúvidas. Agradeço também à Professora Christiane, como membro da banca, pela leituracuidadosa da dissertação e pelas sugestões para melhorar a apresentação.

Às minhas amigas e colegas de mestrado, Andressa e Ana, pelo apoio, pelas muitas conversas,pelos almoços e cafés, e por me ajudar com problemas de estatística. Enfim, obrigada pela amizade!

À minha querida amiga Suzana, que sempre teve tempo para conversarmos, sempre alegre eotimista, e sempre se interessava pelo que eu fazia, muito obrigada pela amizade e por todo carinho!

Aos colegas de laboratório, Phablo, Schouery, Tássio, Giulia, Letícia, Rafael, Fábio, Álvaro,Márcio, Henrique, Eric, Guilherme, Schultz, Alexandre, Josefran, Neuton e todos os demais, pelasconversas, discussões de problemas, grupo de estudos e cafés. À Karla, pelas horas de conversa; aoChandu, por sempre ter um problema novo para apresentar; à Tina, pelas conversas divertidas; e àAndrea, pela atenção, por participar da minha qualificação e pelo interesse pelo meu trabalho.

Aos meus colegas do BCC, em particular à Ana Luiza, à Renata e ao Thiago. Às minhas amigas,em especial à Ana Lucia, Ana Luiza, Mari, Mônica, Stella, Isabel, Júlia e todas do Butantã, etambém à Ludi e à Amanda, cuja amizade não quero perder nunca.

Às queridas amigas do Butantã, agradeço o imenso apoio que sempre me deram, o carinho, aamizade, o interesse e a força a cada etapa; tudo isso foi essencial para realizar esse trabalho. Nãotenho palavras para dizer o quanto sou grata a cada uma.

Não poderia deixar de agradecer, particularmente, à minha querida irmã e amiga Diana pelasua ajuda concreta no meu planejamento, pelo seu acompanhamento incansável e pela sua disponi-bilidade.

À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (Fapesp), pela concessão da bolsa de

i

ii

mestrado, processo 2011/16348-0. Aos professores que me deram aulas, aos funcionários do NUMECe a todos que contribuíram direta ou indiretamente para esse trabalho.

Resumo

DE REZENDE, S. F. Caminhos mais longos em grafos. 2014. 94 f. Dissertação (Mestrado) -Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2014.

O tema central deste trabalho é o estudo de problemas sobre caminhos mais longos em grafos,de pontos de vista tanto estrutural como algorítmico. A primeira parte tem como foco o estudode problemas motivados pela seguinte questão levantada por T. Gallai em 1966: é verdade que emtodo grafo conexo existe um vértice comum a todos os seus caminhos mais longos? Hoje, já seconhecem diversos grafos conexos cuja intersecção de todos os seus caminhos mais longos é vazia.Entretanto, existem classes de grafos para as quais a resposta à pergunta de Gallai é afirmativa.Nessa linha, apresentamos alguns resultados da literatura e duas novas classes que obtivemos: osgrafos exoplanares e as 2-árvores. Motivado por esse problema, nos anos 80, T. Zamfirescu formuloua seguinte pergunta que permanece em aberto: é verdade que em todo grafo conexo existe um vérticecomum a quaisquer três de seus caminhos mais longos? Apresentamos, além de alguns resultadosconhecidos, uma prova de que a resposta é afirmativa para grafos em que todo bloco não trivial éhamiltoniano. Notamos que esse último resultado e o acima mencionado para grafos exoplanaresgeneralizam um teorema de M. Axenovich (2009) que afirma que quaisquer três caminhos maislongos em um grafo exoplanar têm um vértice em comum. Finalmente, mencionamos alguns outrosresultados da literatura relacionados com o tema. Na segunda parte, investigamos o problema deencontrar um caminho mais longo em um grafo. Este problema é NP-difícil para grafos arbitrários.Isto motiva investigações em duas linhas a respeito da busca de tais caminhos. Pode-se procurarclasses especiais de grafos para as quais existem algoritmos polinomiais, ou pode-se abrir mão dabusca de um caminho mais longo, e projetar um algoritmo eficiente que encontra um caminho cujocomprimento esteja próximo do comprimento de um mais longo. Nesse trabalho estudamos ambasas abordagens e apresentamos alguns resultados da literatura.Palavras-chave: caminhos mais longos, intersecção, grafos exoplanares, 2-árvores, algoritmos deaproximação.

iii

Abstract

DE REZENDE, S. F. Longest paths in graphs. 2014. 94 f. Dissertação (Mestrado) - Institutode Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2014.

The central theme of this thesis is the study of problems related to longest paths in graphs,both from a structural and an algorithmic point of view. The first part focuses on the study ofproblems motivated by the following question raised by T. Gallai in 1966: is it true that everyconnected graph has a vertex common to all its longest paths? Today, many connected graphs inwhich all longest paths have empty intersection are known. However, there are classes of graphsfor which Gallai’s question has a positive answer. In this direction, we present some results fromthe literature, as well as two new classes we obtained: outerplanar graphs and 2-trees. Motivatedby this problem, T. Zamfirescu, in the 80s, proposed the following question which remains open:is it true that every connected graph has a vertex common to any three of its longest paths? Wepresent, in addition to some known results, a proof that the answer to this question is positivefor graphs in which all non-trivial blocks are Hamiltonian. We note that this result and the onementioned above for outerplanar graphs generalize a theorem of M. Axenovich (2009) that statesthat any three longest paths in an outerplanar graph have a common vertex. Finally, we mentionsome other related results from the literature. In the second part, we investigate the problem offinding a longest path in a graph. This problem is NP-hard for arbitrary graphs. This motivatesinvestigations in two directions with respect to the search for such paths. We can look for specialclasses of graphs for which the problem is polynomially solvable, or we can relinquish the search fora longest path and design an efficient algorithm that finds a path whose length is close to that of alongest path. In this thesis we study both approaches and present some results from the literature.Keywords: longest paths, intersection, outerplanar graphs, 2-trees, approximation algorithms.

v

Sumário

Lista de Figuras ix

Lista de Tabelas xi

1 Introdução 11.1 A pergunta de Gallai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Busca de caminhos mais longos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Organização do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Preliminares 72.1 Teoria dos grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Classes de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Algoritmos de aproximação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

I Resultados estruturais 13

3 Classes de grafos em que todos os caminhos mais longos se intersectam 153.1 Resultados conhecidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.1 Árvores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.1.2 Grafos divididos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.1.3 Grafos de intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.4 Uma condição necessária e suficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Resultados que obtivemos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.1 Grafos exoplanares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.2 2-árvores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Classes de grafos em que quaisquer três caminhos mais longos se intersectam 274.1 Resultados conhecidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Resultados que obtivemos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Outros resultados relacionados 335.1 Vértices comuns a dois caminhos mais longos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2 Vértices evitados por caminhos mais longos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

vii

viii SUMÁRIO

II Resultados algorítmicos 43

6 Busca de um caminho mais longo 456.1 Árvores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.2 Grafos de intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.3 Outros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7 Algoritmos de aproximação 557.1 Representantes de famílias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.2 Método de codificação por cores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.3 Árvore de decomposição em circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8 Resultados de inaproximabilidade 698.1 Fator constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.2 Conjectura sobre a dificuldade de aproximação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9 Considerações Finais 759.1 Problemas correlatos em aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.2 Trabalhos publicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Referências Bibliográficas 79

Lista de Figuras

1.1 Grafo cujos circuitos mais longos são dois a dois disjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Grafo de Petersen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 O grafo de Walther com 25 vértices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 O grafo menor de Walther e Voss, e Zamfirescu com 12 vértices. . . . . . . . . . . . . 31.5 O grafo planar menor de Schmitz com 17 vértices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1 Relação entre classes de grafos perfeitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Relação entre classes de grafos não necessariamente perfeitos (as elipses em negrito

indicam classes de grafos perfeitos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1 Caminho mais longo em G e respectiva cadeia mais longa em F . . . . . . . . . . . . 173.2 Suporte de C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Um exemplo de um grafo G (lado esquerdo) e sua árvore de blocos T (G) (lado

direito). Os vértices de corte em G correspondem aos vértices menores em T (G), e osblocos correspondem aos vértices maiores (os não triviais correspondem aos vérticesde borda dupla). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4 Circuito Pxy ·Ryz ·Qzx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.5 Caso y = z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.6 Caso y 6= z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.7 O caminho Q contém x, mas não y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.8 Caminhos Qe, Qf , e Qg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.9 Triângulo ∆ com um sorvedouro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1 Configuração de Qx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 qx + qy + qz = 2c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Configuração de Q1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4 q1 + q2 + q3 + q4 = 3c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.1 Grafo em que dois circuitos mais longos se intersectam em um conjunto W de 5vértices e W não é um conjunto separador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2 Dois caminhos mais longos em um K5,12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3 Menor grafo 2-conexo que mostra que Γ1[2-conexo] <∞. . . . . . . . . . . . . . . . . 395.4 Menor grafo 2-conexo planar que mostra que Γ1[2-conexo, planar] <∞. . . . . . . . 405.5 Primeiro grafo 3-conexo que provou que Γ1[3-conexo] <∞. . . . . . . . . . . . . . . 405.6 Menor grafo 3-conexo que mostra que Γ1[3-conexo] <∞. . . . . . . . . . . . . . . . . 40

ix

x LISTA DE FIGURAS

6.1 (a) Um grafo de intervalos G; (b) o modelo de intersecção de G; (c) a r-ordenaçãoπ = (v1, v2, v3, v4, v5) de G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.2 Modelo de intersecção do grafo H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.3 O subgrafo H(4, 15), sendo σ = (u1, u2, . . . u15). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.4 O caminho P (u8; 4, 15) = (u4, u6, u5, u15, u7, u9, u8) é um caminho binormal mais

longo em H(4, 15) com término em u8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.1 Grafo G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.2 (3, F 2

uv)-árvore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.3 Afirmação 1 do Lema 53. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.4 Afirmação 2 do Lema 53. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Lista de Tabelas

5.1 Tabela com os valores atualizados de Γj [k-conexo]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Tabela com os valores atualizados de Γj [k-conexo, planar]. . . . . . . . . . . . . . . . 39

xi

xii LISTA DE TABELAS

Capítulo 1

Introdução

Alguns turistas, planejando a próxima viagem pelo Brasil, se reuniram para decidir quais cidadesdo país visitariam. Todos estavam de acordo que queriam visitar o maior número possível de cidades,com a única condição de não ter que repetir nenhuma. Coletaram todos os dados que necessitavam:quais eram as cidades e quais pares delas tinham ligação (aérea, terrestre ou fluvial) entre si.

Após dias de árduo estudo, fizeram pouco progresso para encontrar um tal trajeto. Alguns obser-varam que era impossível percorrer todas as cidades do país sem repetir nenhuma e outros notaramque provavelmente havia diversos percursos diferentes que passavam pelo maior número possível decidades. Com isso surgiram novas perguntas. Se cada um deles escolhesse um tal percurso distinto,será que haveria alguma cidade que todos eles visitariam? E como parecia tão difícil encontrar umtrajeto que passasse pelo maior número possível de cidades, será que ao menos poderiam encontrarum caminho longo o suficiente para garantir que visitariam ao menos uma fração do maior númeropossível de cidades?

Matematicamente, essas últimas questões podem ser reformuladas da seguinte forma. Em umgrafo conexo, todos os caminhos mais longos têm um vértice em comum? É possível aproximar oproblema de encontrar um caminho mais longo por alguma razão constante? A primeira perguntafoi feita por Gallai [35] em 1966 e respondida por Walther [96] em 1969. A segunda foi respondidaem 1997 por Karger, Motwani e Ramkumar [66]. Outras perguntas relacionadas, porém, continuamem aberto.

Em particular, se houvesse apenas três turistas no grupo e se cada um tivesse escolhido umcaminho dentre todos os caminhos mais longos e se não houvesse nenhuma cidade pela qual os trêstivessem passado, teriam resolvido um antigo problema em teoria dos grafos. Até hoje não se sabese existe necessariamente um vértice comum a quaisquer três desses caminhos.

Mais surpreendente ainda seria se tivessem desenvolvido um algoritmo polinomial que encon-trasse, para qualquer grafo, um caminho cujo comprimento fosse garantidamente uma fração docomprimento de um caminho mais longo. Nesse caso, teriam resolvido um dos mais importantesdilemas da teoria da computação: “P = NP”?

O problema dos turistas acima mencionado foi inspirado num exemplo dado por Kensell [67].

1.1 A pergunta de Gallai

Em 1966, num colóquio em Tihany na área de grafos, Gallai [35] perguntou se todo grafo conexotem um vértice que aparece em todos os caminhos mais longos. A pergunta de Gallai é natural, pois

1

2 INTRODUÇÃO 1.1

é bem conhecido o fato de que, em um grafo conexo, quaisquer dois caminhos mais longos sempretêm um vértice em comum (a prova desse resultado será apresentada mais adiante). Também éconhecido o fato de que, em um grafo 2-conexo, quaisquer dois circuitos mais longos têm um vérticeem comum. (Para entender a razão da exigência da 2-conexidade do grafo quando tratamos decircuitos, basta observar o grafo da Figura 1.1, no qual todos seus circuitos mais longos são dois adois disjuntos.)

Figura 1.1: Grafo cujos circuitos mais longos são dois a dois disjuntos.

No entanto, quando Gallai formulou essa pergunta, já se conhecia um exemplo de um grafo2-conexo que não possui um vértice comum a todos os seus circuitos mais longos. Esse exemploé o bem conhecido grafo de Petersen (veja Figura 1.2), que é sabidamente hipo-hamiltoniano, ouseja, não possui um circuito hamiltoniano, mas o grafo obtido pela remoção de qualquer um deseus vértices é hamiltoniano. Portanto, o grafo de Petersen tem um circuito mais longo que evitaqualquer vértice dado. Porém, até então, ninguém conhecia um exemplo equivalente para caminhosmais longos.

Figura 1.2: Grafo de Petersen.

Pouco tempo depois, Walther [96] pôde dar uma resposta a essa questão. Ele construiu umgrafo (veja Figura 1.3) provando que não é sempre verdade que existe um vértice comum a todos oscaminhos mais longos. Este grafo possui 25 vértices e seus caminhos mais longos têm comprimento21. É possível encontrar 13 caminhos mais longos no grafo com intersecção vazia.

Então, Walther [96] formulou outras perguntas a esse respeito: Este exemplo é o menor possível?Qual o menor valor para n tal que existe um grafo com n vértices em que todos os caminhos maislongos têm intersecção vazia? Existe um número j tal que, para todo grafo G, existe um conjuntode j vértices cuja intersecção com qualquer caminho mais longo é não vazia? Se existe tal j, qual omenor valor para j?

No começo dos anos 70, Walther e Voss [94], e Zamfirescu [103], independentemente, encontraramum grafo menor, com 12 vértices, que responde negativamente à pergunta de Gallai (veja Figura 1.4).

Observe que, nesse grafo, se identificarmos os vértices de grau 1, obtemos o grafo de Petersen.Assim, usando a simetria do grafo, podemos ver que não existe um vértice comum a todos os

1.1 A PERGUNTA DE GALLAI 3

Figura 1.3: O grafo de Walther com 25 vértices.

Figura 1.4: O grafo menor de Walther e Voss, e Zamfirescu com 12 vértices.

caminhos mais longos. Primeiramente, observe que qualquer caminho mais longo necessariamentenão passa por um dos vértices de grau 1 e que, se ele passasse por todos os demais vértices, então essecaminho corresponderia a um circuito hamiltoniano no grafo de Petersen. Portanto, um caminhomais longo tem no máximo 10 vértices. Agora, para cada um dos 9 vértices de grau maior que 1,construa o caminho correspondente a um circuito mais longo do grafo Petersen, que não passa poresse vértice. Esses caminhos têm 10 vértices e, portanto, são caminhos mais longos. Além disso,observe que quando um caminho não passa pelo vizinho de um vértice de grau 1, então tambémnão passa pelo vértice de grau 1. Logo, esses 9 caminhos não possuem um vértice em comum.

Em 1972, Zamfirescu [100] formulou diversas perguntas, inclusive generalizando as de Walther:Se impusermos restrições nos grafos (maior conexidade, planaridade), será que ainda assim existemexemplos (e se existir, qual a menor ordem deles) em que a intersecção de todos os caminhos maislongos é vazia? E entre esses grafos, existem exemplos em que quaisquer j vértices (j ≥ 2) sãoevitados por algum caminho mais longo? No Capítulo 5 apresentamos os progressos obtidos atéhoje para obter respostas a essas perguntas.

Em particular, note que o primeiro grafo encontrado que responde negativamente à perguntade Gallai é planar, mas o grafo da Figura 1.4 não o é. Até hoje, o menor grafo planar conhecido noqual todos os seus caminhos mais longos têm intersecção vazia é o da Figura 1.5, que foi obtido em1975 por Schmitz [78] e possui 17 vértices. Neste grafo os caminhos mais longos têm comprimento13 e é possível encontrar 7 tais caminhos com intersecção vazia.

4 INTRODUÇÃO 1.1

Figura 1.5: O grafo planar menor de Schmitz com 17 vértices.

Zamfirescu [102, 103] conjecturou que o grafo da Figura 1.4 e o grafo da Figura 1.5 são osmenores grafos nos quais todos os caminhos mais longos têm intersecção vazia para o caso gerale para o caso planar, respectivamente. Recentemente, Brinkmann e Van Cleemput [79] provaram(usando computadores) que, no caso geral, 12 é de fato a menor ordem possível. Para o caso planar,porém, a questão permanece em aberto.

Observe que uma classe grande de grafos que respondem negativamente à pergunta de Gallaisão os grafos hipotraçáveis. (Um grafo G é hipotraçável se G não tem um caminho hamiltonianomas qualquer subgrafo de G obtido pela remoção de um vértice tem um caminho hamiltoniano.)Thomassen [85] provou a existência de um número infinito de grafos planares hipotraçáveis.

Como intersecção não vazia de todos os caminhos mais longos não é uma propriedade comum atodos os grafos, é natural investigar duas vertentes desse problema. Por um lado, pode-se estudarclasses de grafos para as quais a pergunta de Gallai tem resposta positiva; por outro pode-seconsiderar a intersecção de um número menor de caminhos mais longos.

Em 1990, Klavžar e Petkovšek [68] apresentaram algumas classes de grafos cujos caminhosmais longos possuem intersecção não vazia. Nos últimos 10 anos, houveram outros progressos nessalinha [10, 32, 34, 62, 77]. Tratamos mais dessa questão no Capítulo 3.

Por outro lado, é possível considerar a intersecção de um número pequeno de caminhos maislongos. Apresentamos a demonstração do resultado mencionado anteriormente que diz respeito aintersecção de dois caminhos mais longos.

Asserção 1 Se G é um grafo conexo, então quaisquer dois caminhos mais longos de G têm umvértice em comum.

Prova. Seja G um grafo conexo e suponha, por contradição, que P1 e P2 sejam dois caminhos maislongos de comprimento L cuja intersecção é vazia. Como G é conexo, existe um caminho de P1 a P2.Escolha um caminho minimal M que liga P1 a P2, ou seja, escolha M tal que sua origem, x, estejaem P1, o seu término, y, em P2 e nenhum vértice interno de M pertença a P1 ou a P2.

O vértice x divide P1 em dois caminhos. Seja P ′1 o maior desses caminhos (com término x).Analogamente, y divide P2 em dois caminhos. Seja P ′2 o maior desses caminhos (com origem y).Agora, seja P o caminho obtido pela concatenação de P ′1, M e P ′2. Como o comprimento de M(denotado por ‖M‖) é não nulo, ‖P ′1‖ ≥ 1

2L e ‖P ′2‖ ≥ 12L, então ‖P‖ ≥ L + 1, o que contradiz o

fato de P1 e P2 serem caminhos mais longos.

Enquanto é fácil provar que quaisquer dois caminhos mais longos têm um vértice comum, nãoé sabido se quaisquer três caminhos mais longos também compartilham um vértice. Em 2009,

1.2 BUSCA DE CAMINHOS MAIS LONGOS 5

Axenovich [9] apresentou uma classe de grafos que satisfazem a propriedade de que quaisquer trêsde seus caminhos mais longos têm intersecção não vazia. Voltamos a tratar desse problema noCapítulo 4.

A esse respeito, podemos formular a seguinte pergunta mais geral: “Qual o maior valor de p talque quaisquer p caminhos mais longos, em um grafo conexo, têm um vértice em comum?” O grafoda Figura 1.5 mostra que não é sempre verdade que quaisquer 7 caminhos mais longos têm umvértice em comum. Além disso, Skupień [81] obteve, para n ≥ 7, um grafo conexo no qual existem n

caminhos mais longos cuja intersecção é vazia, mas quaisquer n− 1 caminhos mais longos têm umvértice em comum. Portanto, sabe-se que 2 ≤ p ≤ 6.

1.2 Busca de caminhos mais longos

Em outra direção, temos o problema clássico conhecido como o problema do caminho maislongo: encontrar um caminho de comprimento máximo em um grafo. Sabe-se que esse problema éNP-difícil [42] mesmo quando restrito a certas classes de grafos, como grafos planares [43], grafosgrade [59], grafos círculo (circle graphs) [28], grafos cordais bipartidos, grafos divididos fortementecordais (strongly chordal split graphs) [70], grafos de caminhos dirigidos (directed path graphs) [72]e grafos divididos (split graphs) [45].

Esse fato motiva investigações em duas linhas a respeito da busca de tais caminhos. Pode-seinvestigar classes especiais de grafos para as quais existem algoritmos polinomiais, ou pode-se abrirmão da busca de um caminho mais longo e projetar um algoritmo eficiente que encontra um caminhocujo comprimento esteja próximo do comprimento de um mais longo.

Existem classes de grafos para as quais já se conhece algoritmo polinomial para resolver o pro-blema de encontrar um caminho mais longo. Em 1960, Dijkstra propôs um algoritmo linear bemsimples para resolver o problema em árvores. Uma prova formal foi dada por Bulterman, Feijen, vander Sommen, van Gasteren, Verhoeff e Zwaan [19]. Nos anos 90, Bodlaender [15, 16] apresentou umalgoritmo linear para k-árvores parciais, considerando k fixo. Em 2005, Uehara e Uno [88] apresen-taram algoritmos polinomiais para árvores com custos nos vértices/arestas, grafos blocos, cactos,entre outros. Em anos subsequentes, diversos autores [3, 23, 44, 49, 83, 89, 90] obtiveram novos re-sultados nessa linha. Em 2009, Ioannidou, Mertzios e Nikolopoulos [57] provaram que para os grafosde intervalos existe um algoritmo polinomial que encontra um caminho mais longo. Posteriormente,esse resultado foi provado para classes ainda mais gerais: os grafos de cocomparabilidade [27, 58] eos grafos arco-circulares [13]. Discutimos esses resultados no Capítulo 6.

Com relação a algoritmos de aproximação para o problema de encontrar um caminho mais longo,sabe-se que não existe algoritmo de aproximação com razão constante, a menos que P = NP [66].Em 1985, surgiu o primeiro resultado de aproximação para esse problema. Monien [69] mostra ummodo mais eficiente (embora ainda exponencial) de encontrar um caminho mais longo, o que tornoupossível encontrar, em tempo polinomial, caminhos de comprimento Ω(log n/ log logn), se tais ca-minhos existirem. Dez anos depois, Alon, Yuster e Zwick [2] desenvolveram o método de codificaçãopor cor (color-coding) que permite encontrar, em tempo polinomial, um caminho de comprimento lo-garítmico no número de vértices do grafo, se tal caminho existir. Em 2003, Björklund e Husfeldt [14]exibiram um algoritmo polinomial que encontra um caminho de comprimento Ω(log2 L/ log logL),onde L é o comprimento de um caminho mais longo. Diversos outros autores [25, 37, 38, 39, 92]

6 INTRODUÇÃO 1.3

trabalharam para conseguir algoritmos que fornecessem uma melhor razão de aproximação, mesmoque restrito a algumas classes especiais. Para o caso geral, a melhor razão de aproximação conhe-cida até hoje foi obtida por Gabow e Nie [41] em 2008. Eles mostram que é possível encontrar umcaminho de comprimento 2Ω(

√logL). Tratamos da questão de encontrar soluções aproximadas para

o problema do caminho mais longo nos Capítulos 7 e 8.

1.3 Organização do trabalho

No Capítulo 2, apresentamos algumas definições básicas e estabelecemos a notação que adotamosneste texto. Também definimos várias classes de grafos que mencionamos neste trabalho.

A primeira parte da dissertação trata de questões estruturais relacionadas com a intersecção decaminhos mais longos. No Capítulo 3, encontram-se os principais resultados conhecidos de classes degrafos para os quais se sabe que todos seus caminhos mais longos têm intersecção não vazia. Tambémapresentamos dois novos resultados que obtivemos recentemente. Exibimos no Capítulo 4 resultadosanálogos para o problema restrito a três caminhos mais longos e o resultado que obtivemos para esseproblema. O Capítulo 5 contém outros problemas relacionados à questão central da dissertação queachamos de especial relevância e que, não só podem ser úteis para ajudar a solucionar o problemaoriginal, mas também são interessantes em si mesmos.

Na segunda parte do trabalho, apresentamos alguns resultados algorítmicos sobre o problema dabusca de um caminho mais longo. O Capítulo 6 trata da dificuldade desse problema e dos algoritmospolinomiais conhecidos para certas classes de grafos. O Capítulo 7 exibe alguns algoritmos deaproximação para o problema e o Capítulo 8 contém resultados de inaproximabilidade do problema.

Algumas considerações finais e uma seleção de problemas em aberto são apresentados no Capí-tulo 9.

Capítulo 2

Preliminares

Neste capítulo, apresentamos alguns conceitos básicos sobre grafos e algoritmos, principalmentecom a finalidade de estabelecer a notação que será usado nesta dissertação.

2.1 Teoria dos grafos

A maior parte dos conceitos a serem apresentados aqui são básicos e podem ser encontrados emqualquer livro introdutório sobre grafos. Seguimos mais de perto a terminologia usada no livro deBondy e Murty [17].

Um grafo G é um par ordenado (V,E), onde V é um conjunto finito de elementos chamadosvértices e E é um conjunto de elementos chamados arestas, sendo que cada aresta é um par nãoordenado de vértices distintos. Quando conveniente, para nos referir ao conjunto de vértices (resp.arestas) de um grafo usamos a notação V (G) (resp. E(G)).

Observamos que, na maioria dos textos, o objeto que definimos como grafo é chamado de grafossimples. Dizemos que a ordem de um grafo G é o número de seus vértices e denotamos esse valorpor |G|.

Se e = u, v é uma aresta, dizemos que e incide em u e em v, ou que u e v são as extremidadesde e, ou que e liga u e v, ou ainda que u e v são adjacentes ou vizinhos. Também denotamos u, vpor uv. O grau de um vértice v é o número de arestas que incidem em v.

Um caminho num grafo G é uma sequência de vértices distintos P = (v1, v2, . . . , vk), tal quevivi+1 ∈ E(G) para i = 1, . . . , k − 1. Denotamos por P−1 o reverso do caminho P , ou seja, ocaminho (vk, . . . , v2, v1). Por simplicidade, consideramos que P é um grafo e, neste caso, dizemosque V (P ) = v1, . . . , vk e E(P ) = vivi+1 : i = 1, . . . , k−1. Dizemos que v1 é o início ou a origemde P e vk é o término de P , e que ambos v1 e vk são as extremidades de P . Ademais, dizemos queP é um caminho de v1 a vk ou um v1vk-caminho.

Se x é um vértice (resp. uma aresta) em um grafo e P é um caminho nesse grafo tal que x 6∈ V (P )

(resp. x 6∈ E(P )), dizemos que P evita v, e se Q é um caminho tal que x ∈ V (Q) (resp. x ∈ E(Q)),dizemos que Q passa por x. Se P é um caminho com término no vértice v e Q é um caminho cominício em v, então P · Q denota a concatenação de P e Q. Por simplicidade, se u é um vérticeadjacente a v, denotamos P · (v, u) por Pu, e (u, v) ·Q por uQ.

Se P = (v1, v2, . . . , vk) é um caminho em um grafo, k ≥ 3, e vk e v1 são adjacentes, entãoC = (v1, v2, . . . , vk, v1) é um circuito. O comprimento de um caminho ou de um circuito H é|E(H)| e é denotado por ‖H‖. Observe que o comprimento de um caminho é a sua ordem menos 1.

7

8 PRELIMINARES 2.1

A distância entre dois vértice v1 e v2 em um grafo G é o comprimento do menor caminho entreeles e é denotado por dG(v1, v2) (ou apenas d(v1, v2), se G está claro no contexto). Se não existecaminho entre v1 e v2, então estabelecemos que dG(v1, v2) :=∞.

Por simplicidade, em algumas demonstrações, denotamos caminhos por letras maiúsculas (porexemplo, P , Q, R) e denotamos seus comprimentos pela respectiva letra minúscula (p, q, r). Se P éum caminho e x e y são vértices de P , denotamos por Pxy a secção de P de x a y. Analogamente, seC é um circuito, então c denota seu comprimento; e se C está desenhado no plano sem cruzamentode suas arestas e x e y são vértices de C, denotamos por Cxy a secção de C de x a y em sentidohorário.

Se G é um grafo e H é um caminho (resp. um circuito) em G tal que |H| = |G|, dizemos que Hé um caminho hamiltoniano (resp. um circuito hamiltoniano) de G. Um grafo é hamiltoniano secontém um circuito hamiltoniano e é traçável se contém um caminho hamiltoniano. Um grafo G éhipo-hamiltoniano (resp. hipotraçável) se não é hamiltoniano (resp. traçável), mas se removermosqualquer vértice de G, o grafo resultante é hamiltoniano (resp. traçável).

Se dois grafos G = (V,E) e H = (W,F ) são tais que W ⊆ V e F ⊆ G, então H é dito ser umsubgrafo de G e G é dito um supergrafo de H. Se X ⊆ V , então o subgrafo de G induzido por X,denotado por G[X], é o grafo cujo conjunto de vértices é X e cujo conjunto de arestas consiste nasarestas de G com ambos os extremos em X. Se Y é um conjunto de vértices, denotamos por G−Yo subgrafo obtido de G removendo-se Y , definido como sendo o grafo induzido por V \ Y , isto éG[V \ Y ]. Por simplicidade, se y é um vértice, em vez de G − y escrevemos G − y. Se G é umcaminho, então um subgrafo de G que é um caminho é chamado de subcaminho.

Se H é um caminho (resp. circuito) em um grafo G, dizemos que H é um caminho mais longo(resp. circuito mais longo) em G, se H é um caminho (resp. circuito) de comprimento máximo. Acircunferência do grafo G é o comprimento de um circuito mais longo em G.

Dizemos que dois grafos G e H se intersectam se V (G) ∩ V (H) 6= ∅. Também dizemos que umconjunto de vértices W e um grafo G se intersectam se W ∩ V (G) 6= ∅. Nesse caso, se W = w eW ∩ V (G) 6= ∅, dizemos simplesmente que w intersecta G.

Um grafo G é conexo se para quaisquer vértices distintos u e v em G existe um caminho comextremidades u e v. Um grafo G é k-conexo se o grafo resultante após a remoção de qualquerconjunto de k − 1 vértices de G é conexo. Dizemos que um conjunto W de vértices de um grafo Gé um conjunto separador se G −W é desconexo. Em um grafo G, se, para algum vértice v, v éum conjunto separador de G, então dizemos que v é um vértice de corte.

Um grafo G é hamiltoniano-conexo se para todo par de vértices distintos u e v existe em G umcaminho hamiltoniano de u a v.

Um subgrafo H é dito maximal em relação a uma certa propriedade P (por exemplo, ser conexo)se H tem a propriedade P, mas nenhum supergrafo próprio de H tem a propriedade P.

Uma componente de um grafo G é um subgrafo conexo maximal de G. Um bloco de um grafo Gé um subgrafo 2-conexo maximal de G ou um par de vértices ligados por uma aresta que não fazparte de uma componente 2-conexa ou um vértice isolado. Um bloco não trivial é um subgrafo2-conexo maximal.

Um clique em um grafo é um conjunto de vértices dois a dois adjacentes. Um conjunto devértices I em um grafo é independente ou estável se os vértices de I são dois a dois não adjacentes.

Definimos a operação de subdividir uma aresta e = u, v de um grafo da seguinte forma:

2.2 CLASSES DE GRAFOS 9

remove-se a aresta e e acrescenta-se um vértice novo w adjacente a u e v. Dizemos que um grafo Gé uma subdivisão de um grafo H se G pode ser obtido a partir de H através de operações desubdivisão. Dizemos que um grafo G contém um grafo H como menor topológico, se G contém umsubgrafo que é uma subdivisão de H.

Para um bloco não trivial B de um grafo G, dizemos que um caminho P em G de comprimentopelo menos um é um caminho pendente de B se P intersecta B precisamente na sua origem e émaximal na direção do seu término.

2.2 Classes de grafos

Nessa seção, definimos as classes de grafos mais relevantes para essa dissertação e apresentamosdois diagramas que retratam a relação de inclusão entre as classes citadas nesse trabalho. Para maisinformações sobre classes de grafos, sugerimos o livro de Brandstädt, Le e Spinrad [18].

Uma árvore é um grafo conexo sem circuitos. Um cacto é um grafo conexo cujos blocos sãoarestas ou circuitos. Um grafo de blocos é um grafo conexo cujos blocos são arestas ou cliques.

Um grafo completo com n vértices é um grafo em que todo par de vértices distintos é ligado poruma aresta e é denotado por Kn. Um K3 também é chamado de triângulo. Um grafo G é bipartidose existe uma bipartição X,Y dos vértices de G tal que toda aresta de G tem uma extremidadeem X e outra em Y . Um grafo bipartido G com partes de ordem m e n é dito bipartido completo edenotado Km,n, se todo par de vértices de partes distintas é ligado por uma aresta.

Um grafo é um grafo dividido (ou um grafo split) se o conjunto de seus vértices pode serparticionado em dois conjuntos X e Y , tais que X induz um clique e Y um conjunto independente.

Um grafo é planar se pode ser desenhado no plano sem que as curvas que representam arestasse cruzem (dizemos que duas arestas se cruzam se estas se intersectam em algum ponto que nãosuas extremidades). Chamamos um tal desenho de imersão planar do grafo.

Um grafo é exoplanar se possui uma imersão planar na qual todos os vértices pertencem àfronteira da face externa. Um grafo G é k-exoplanar se para k = 1, G é exoplanar e para k > 1, Gpossui uma imersão planar na qual a remoção de todos os vértices pertencentes à fronteira da faceexterna resulta em um grafo (k − 1)-exoplanar.

Uma k-árvore é definida recursivamente da seguinte maneira. O grafo completo com k vérticesé uma k-árvore. O grafo obtido a partir de uma k-árvore G adicionando um vértice adjacente atodos os vértices de um clique de ordem k de G é uma k-árvore. Uma k-árvore parcial é um grafoque é um subgrafo de alguma k-árvore.

Um grafo é um grafo de intervalos se existir um conjunto de intervalos na reta real tal que cadavértice do grafo esteja associado a um intervalo e existe uma aresta entre dois vértices se e somentese os intervalos correspondentes se intersectam.

Os diagramas das Figuras 2.1 e 2.2 retratam a relação de inclusão entre algumas classes de grafos.Uma seta de um conjunto A para um conjunto B indica que B ⊂ A. Explicamos no Capítulo 6 omotivo de algumas elipses estarem hachuradas, outras com fundo branco e outras com fundo maisescuro.

O diagrama da Figura 2.1 retrata a relação de inclusão entre algumas classes de grafos perfeitosque mencionamos ao longo do trabalho.

10 PRELIMINARES 2.3

Figura 2.1: Relação entre classes de grafos perfeitos.

O diagrama da Figura 2.2 retrata a relação de inclusão entre algumas classes de grafos nãonecessariamente perfeitos. As elipses com bordas em negrito são as que se referem a grafos perfeitos.Tais grafos, excetuando-se o grafo de permutação, são subgrafos dos grafos cordais.

2.3 Algoritmos de aproximação

Nesta seção definimos alguns conceitos relacionados com algoritmos de aproximação. Para maisdetalhes, recomendamos consultar o livro Approximation Algorithms de Vazirani [91]. Para termosusuais de complexidade não definidos aqui (por exemplo, P, NP, O(f(n)), Θ(f(n)), Ω(f(n))),sugerimos o livro de Garey e Johnson [42].

Seja A um algoritmo que encontra uma solução viável para qualquer instância de um problemade maximização (resp. minimização) P . Dizemos que A é uma α-aproximação para P se, paraqualquer instância I do problema, o algoritmo A produz, em tempo polinomial no tamanho dainstância I, uma solução A(I) tal que valor(A(I)) ≥ α opt(I) (resp. valor(A(I)) ≤ α opt(I)), ondeα é uma constante ou uma função que depende de I, e opt(I) denota o valor de uma solução ótimapara a instância I. Dizemos que α é a razão de aproximação do algoritmo A. Note que, no caso deum problema de maximização, 0 < α ≤ 1.

2.3 ALGORITMOS DE APROXIMAÇÃO 11

Figura 2.2: Relação entre classes de grafos não necessariamente perfeitos (as elipses em negrito indicamclasses de grafos perfeitos).

Assim, no problema de encontrar um caminho mais longo, para qualquer instância G do pro-blema, um algoritmo A é uma α-aproximação para esse problema se A encontra, em tempo polino-mial, um caminho P em G tal que ‖P‖ ≥ α opt(G), onde opt(G) é o comprimento de um caminhomais longo em G.

Claramente, os algoritmos de aproximação mais desejados são aqueles que obtêm valores maispróximos do ótimo. Os algoritmos que encontram soluções com valor tão próximo quanto se queirade uma solução ótima, em tempo polinomial no tamanho da instância, são chamados de PTAS(Polynomial Time Approximation Scheme). Mais precisamente, para cada constante positiva ε (quepode ser tomada tão pequena quanto se queira) tais algoritmos têm fatores de aproximação (1− ε),no caso de problemas de maximização, e (1 + ε), no caso de problemas de minimização, e sãopolinomiais considerando ε fixo.

Observamos que, conforme a definição que adotamos, algoritmos de aproximação são semprepolinomiais (no tamanho da entrada).

Problemas nos quais algum parâmetro k é fixado, são chamados de problemas parametrizados.Dizemos que um problema P é FPT (Fixed Parameter Tractable) com respeito ao parâmetro k,se existe um algoritmo de complexidade O(f(k)nO(1)) para P , onde f é uma função de k queindepende de n, o tamanho da instância considerada.

12 PRELIMINARES 2.3

Parte I

Resultados estruturais

13

Capítulo 3

Classes de grafos em que todos oscaminhos mais longos se intersectam

Embora tenhamos visto diversos grafos para os quais a pergunta de Gallai tem resposta negativa,existem classes de grafos para as quais a resposta é sempre positiva. Por exemplo, em uma árvore,todos os caminhos mais longos contêm o(s) seu(s) centro(s). Em 1990, Klavžar e Petkovšek [68]provaram que a resposta também é positiva para grafos divididos, cactos e algumas outras classesde grafos. Mais recentemente, Balister, Győri, Lehel e Schelp [10] estabeleceram um resultado seme-lhante para a classe dos grafos de intervalo. Apresentamos alguns desses resultados nas subseçõesa seguir. Para facilitar a compreensão, procuramos detalhar algumas passagens que nos pareceramde maior relevância.

Mais adiante nessa seção, demonstramos os resultados que obtivemos [32] nessa direção. Prova-mos que, para grafos exoplanares e 2-árvores, a resposta à pergunta de Gallai também é positiva.Recentemente, Ehremüller, Fernandes e Heise [34] provaram que o mesmo vale para grafos série-paralelos, uma superclasse dos grafos exoplanares e das 2-árvores. Entretanto, há diversas classesde grafos para as quais o problema continua em aberto.

Para evitar confusão, note que em algumas publicações [11, 65, 71, 80], é dito que a pergunta deGallai foi: Existem grafos conexos tais que todo vértice é evitado por algum caminho mais longo?Embora as duas perguntas sejam equivalentes, pode surgir confusão quanto ao significado de quea pergunta de Gallai tem resposta positiva para um grafo (ou uma classe de grafos). Enquantoque nos artigos citados acima é dito que a pergunta de Gallai tem resposta positiva para um grafo(ou que um grafo tem a propriedade de Gallai) se a intersecção de todos os seus caminhos maislongos é vazia, nessa dissertação decidimos seguir a definição mais usual da pergunta de Gallai, queé também aquela que aparece na ata do colóquio em Tihany [35]. Portanto, dizemos que a perguntade Gallai tem resposta positiva para uma classe de grafos se, para qualquer grafo dessa classe, todosos seus caminhos mais longos têm necessariamente um vértice em comum.

3.1 Resultados conhecidos

3.1.1 Árvores

Um primeiro resultado, fácil de se provar, é que em árvores todos os caminhos mais longos têmum vértice em comum. Isso é um corolário da seguinte proposição, que pode ser demonstrada por

15

16 CLASSES DE GRAFOS EM QUE TODOS OS CAMINHOS MAIS LONGOS SE INTERSECTAM 3.1

indução no número de vértices do grafo.

Proposição 2 Seja G uma árvore e seja P um conjunto de subárvores de G. Se duas a duas todasas árvores de P se intersectam, então todas se intersectam em pelo menos um vértice.

Prova. Vamos provar, por indução no número de vértices de G, que existe um vértice v ∈ V (G)

tal que v ∈ ⋂P∈PP . Suponha que o resultado vale para todas as árvores com no máximo n − 1

vértices e seja G uma árvore com n vértices.Se alguma árvore P ∗ ∈ P está constituída de um único vértice v, então necessariamente⋂

P∈PP = v (pois P ∗ ∩ P 6= ∅ para todo P ∈ P). Então podemos supor que toda árvoreem P tem ao menos dois vértices.

Seja u um vértice de grau 1 em G e seja w o único vizinho de u. Seja G′ = G − u e sejaP ′ = P −u : P ∈P. Precisamos mostrar que duas a duas todas as árvores de P ′ se intersectam.Sejam Q′ e R′ duas árvores quaisquer de P ′ e sejam Q e R as árvores correspondente em P. Seja vum vértice tal que v ∈ Q ∩ R. Se v 6= u, então v ∈ Q′ ∩ R′. Se v = u, como Q e R têm ao menosdois vértices, então w ∈ Q∩R e, portanto, w ∈ Q′ ∩R′. Concluímos, pela hipótese de indução, que⋂P ′∈P′ P

′ 6= ∅, logo ⋂P∈PP 6= ∅.

O resultado acima mostra que conjuntos de subárvores de uma árvore têm a chamada “Propri-edade Helly”.

Dado um grafo G, dizemos que um vértice v ∈ V (G) é um centro do grafo se maxd(v, u) :

u ∈ V (G) é o menor possível. Um resultado bem conhecido, provado em 1869 por Jordan [64],estabelece que toda árvore possui 1 ou 2 centros, sendo que, neste último caso, os centros sãoadjacentes. No caso em que as subárvores na Proposição 2 são caminhos mais longos em G, épossível provar que todos os caminhos mais longos contêm o(s) centro(s) da árvore.

3.1.2 Grafos divididos

Klavžar e Petkovšek [68] provaram que grafos divididos têm pelo menos um vértice na intersecçãode todos os caminhos mais longos.

Teorema 3 Para todo grafo dividido conexo G, existe um vértice comum a todos os caminhos maislongos em G.

Prova. Seja P o conjunto de todos os caminhos mais longos de G. Seja V (G) = K ∪ S, onde K éum clique e S é um conjunto independente com |S| é maximal. Seja x ∈ K (se não existisse tal x,como G é conexo, G possuiria apenas um vértice, e a afirmação seria imediata). Suponha que existaum caminho mais longo P que não passe por x. Como S é um conjunto independente maximal,existe um vértice y ∈ S tal que xy é uma aresta de G.

Suponha que P não passe por y. Observe que ambas as extremidades de P pertencem a S, poiscaso contrário Px ou xP seria um caminho mais longo que P . Portanto, P = P ′uv, onde u ∈ Ke v ∈ S. Nesse caso, P ′uxy seria um caminho maior que P .

Suponha, então, que P passe por y. Seja w ∈ K um vizinho de y em P . Note que é possívelconstruir um caminho maior que P inserindo x entre w e y.

Em ambos os casos, a suposição de que x não está no caminho P levou a uma contradição.Segue que K ⊆ ⋂P, e, portanto, a intersecção dos caminhos mais longos não é vazia.

3.1 RESULTADOS CONHECIDOS 17

3.1.3 Grafos de intervalos

Balister e outros [10] provaram que grafos de intervalos têm pelo menos um vértice na intersecçãode todos os caminhos mais longos.

Teorema 4 Para todo grafo de intervalos conexo G, existe um vértice comum a todos os caminhosmais longos em G.

Prova. Seja F uma coleção de intervalos abertos na reta real associados ao grafo G. Dizemosque C = (I1, I2, . . . , It) é uma t-cadeia em F se, para Ii, Ij ∈ F , temos que Ii 6= Ij , se i 6= j,e Ik ∩ Ik+1 6= ∅ para todo k ∈ 1 . . . t − 1. Uma cadeia que contém o maior número de intervalosé chamada de cadeia mais longa de F . Observe que cadeias em F correspondem a caminhos em G

(veja Figura 3.1).

I1

I2

I3

I4

I5I6

I7

I8

1

2

3

4

5 67

8

Figura 3.1: Caminho mais longo em G e respectiva cadeia mais longa em F .

O suporte de uma cadeia C (veja Figura 3.2) é definido como o conjunto

Sup C = I1 ∪ (I1 ∩ I2) ∪ (I2 ∩ I3) ∪ · · · ∪ (It−2 ∩ It−1) ∪ (It−1 ∩ It) ∪ It.

I1

I2

I3

I4

I5I6

I7

I8

I1 I2 ∩ I3

I3 ∩ I4

I4 ∩ I5

I5 ∩ I6

I6 ∩ I7

I7 ∩ I8

I8

I1 ∩ I2

Sup C

Figura 3.2: Suporte de C.

Observe que para uma cadeia mais longa C e um intervalo J ∈ F , temos que J ∈ C se e somentese J ∩ Sup C 6= ∅. Pela definição de Sup C, não é difícil ver que, se J ∈ C, então J ∩ Sup C 6= ∅. Paraprovar a outra direção do bicondicional, observe que se J /∈ C e J ∩ Sup C 6= ∅, então é possívelaumentar a cadeia C. De fato, se J ∩ (Ik ∩ Ik+1) 6= ∅, para algum k ∈ 1 . . . t − 1, então J pode


ser inserido entre Ik e Ik+1; se J ∩ I1 6= ∅, então J pode ser inserido ao início de C; e se J ∩ It 6= ∅,então J pode ser inserido ao final de C. Isso contradiz o fato de C ser maximal.

Vamos mostrar que existe um intervalo comum a todas as cadeias mais longas de F . Suponhaque t seja o maior número de intervalos de uma cadeia em F , e seja L o número de t-cadeias em F .Vamos provar, por indução no número de t-cadeias, que todo conjunto de ` t-cadeias de F têm umintervalo em comum. Pela correspondência entre cadeias e caminhos, temos, pela Asserção 1, queisso é verdade para ` = 2.

Para ` ≥ 3, sejam C1, C2, . . . , C` ` cadeias mais longas de F , onde Ck = (Ik1 , . . . , Ikt ), 1 ≤ k ≤ `.

Pela hipótese de indução temos que, para cada k ∈ 1 . . . `, existe um intervalo Jk ∈ F tal que

Jk ∈⋂Ci : 1 ≤ i ≤ ` e i 6= k.

Se Jk ∩ Sup Ck 6= ∅, então Jk ∈ Ck, e a prova está completa. Logo, podemos supor queJk ∩ Sup Ck = ∅. Na realidade podemos supor algo mais forte: Jk ∩ Conv(Sup Ck) = ∅, ondeConv(Sup Ck) é o fecho convexo de Sup Ck, ou seja, o menor intervalo contendo Sup Ck. De fato,considerando que Jk ∩ Sup Ck = ∅, suponha que Jk ∩Conv(Sup Ck) 6= ∅ (ou seja, estamos supondoque existam pontos de Sup Ck de ambos os lados de Jk). Logo, existe r ∈ 1 . . . t tal que Jk estáentre os intervalos Ikr−1 ∩ Ikr e Ikr ∩ Ikr+1. Portanto, temos que Ikr ⊇ Jk. Para cada i ∈ 1 . . . `,i 6= k, como Jk ∈ Ci, temos que Ikr ∩ Sup Ci 6= ∅ o que implica que Ikr ∈ Ci. Ademais, Ikr ∈ Ck, logoconcluímos que Ikr ∈

⋂Ci : 1 ≤ i ≤ `.Agora suponha Jk ∩ Conv(Sup Ck) = ∅, para cada k ∈ 1 . . . `. Isso significa que, para cada

k ∈ 1 . . . `, ou Jk < Sup Ck ou Jk > Sup Ck, onde a desigualdade representa a ordenação daesquerda para direita de intervalos disjuntos. Como ` ≥ 3, existem dois índices para os quais adesigualdade vale no mesmo sentido. Sem perda de generalidade, vamos supor que Sup C1 < J1 eSup C2 < J2. Assim, temos que Sup C1 < J2 ou Sup C2 < J1. Em qualquer caso, isso contradiz ahipótese de indução que J2 ∈ C1 e J1 ∈ C2.

Uma classe de grafos que inclui os grafos de intervalos é a dos grafos cordais (veja Figura 2.1), quetambém contém a classe dos grafos divididos, para a qual o resultado já foi provado na Seção 3.1.2.Embora Balister e outros [10] também tenham estudado esse problema para os grafos cordais, nãoconseguiram generalizar a prova apresentada acima, e, portanto, o problema continua aberto paraessa classe.

Outra classe de grafos que inclui os grafos de intervalos são os grafos arco-circulares (vejaFigura 2.2). Esses mesmo autores [10] procuraram generalizar o resultado de grafos de intervalos paraincluir os grafos arco-circulares mas, embora no artigo citado acima afirmem que seja possível fazerisso, existe uma falha na generalização, conforme observa Rautenbach e Sereni [77]. Recentemente,Joos [62] afirma ter conseguido sanar a falha, e, portanto, o resultado vale também para grafosarco-circulares.

3.1.4 Uma condição necessária e suficiente

Klavžar e Petkovšek [68] apresentaram uma caracterização para grafos que têm um vérticecomum a todos os seus caminhos mais longos em termos de uma condição restrita aos seus blocos.

3.1 RESULTADOS CONHECIDOS 19

Teorema 5 Seja G um grafo conexo e seja P o conjunto de todos os seus caminhos mais longos.Existe um vértice comum a todos os caminhos de P se e somente se, para todo bloco B de G, todosos caminhos de P que têm pelo menos uma aresta em B têm um vértice em comum.

Em vista desse resultado, para mostrar que todos os caminhos mais longos têm um vértice emcomum, basta provar que, para cada bloco B de G, todos os caminhos mais longos que usam aomenos uma aresta de B têm um vértice em comum.

Se P é um conjunto de caminhos mais longos, chamamos de PB o subconjunto de P formadopelos caminhos que possuem pelo menos uma aresta de B. O Teorema 5 pode ser escrito como: seP é o conjunto de todos os caminhos mais longos de G, então

⋂P 6= ∅ ⇔ ⋂

PB 6= ∅ para todobloco B de G.

A prova (da suficiência da condição nos blocos) desse teorema de Klavžar e Petkovšek na reali-dade demonstra o seguinte teorema, que é um pouco mais forte do que o resultado que enunciam.Note que o conjunto P do teorema a seguir não é necessariamente o conjunto de todos os caminhosmais longos do grafo, como no enunciado do Teorema 5.

Teorema 6 Seja G um grafo conexo e seja P um conjunto qualquer de caminhos mais longos. Senão existe um vértice comum a todos os caminhos de P, então existe um bloco de G que contém aomenos uma aresta de cada caminho de P.

Prova. Queremos provar que ou todos os caminhos de P se intersectam ou existe um bloco B talque PB = P. Vamos distinguir dois casos.

Caso 1: Para cada par de caminhos, existe um bloco no qual ambos têm uma aresta.Nesse caso, seja T (G) a árvore de blocos associada a G. Considere B o conjunto de blocos de G

e W o conjunto de vértices de corte de G. Nesse caso, o conjunto de vértices de T (G) é B∪W e existeuma aresta com extremidades B ∈ B e w ∈ W se w ∈ B. Se P é um caminho em G, denotamos porf(P ) a imagem de P em T (G), ou seja, f(P ) é o caminho em T (G) tal que um vértice x de T (G)

pertence a f(P ) se e somente se x intersecta P .Sejam f(P1) e f(P2) um par de caminhos em f(P ) : P ∈ P. Pela hipótese, existe um bloco

em G no qual P1 e P2 têm uma aresta, e, portanto, f(P1) e f(P2) se intersectam em T (G). Comoisso vale para qualquer par de caminhos em f(P ) : P ∈ P, então, pela Proposição 2, existev ∈ ⋂f(P ) : P ∈ P. Se v corresponde a um vértice de corte x de G, então x ∈ ⋂P. Se vcorresponde a um bloco B de G, então P = PB.

Figura 3.3: Um exemplo de um grafo G (lado esquerdo) e sua árvore de blocos T (G) (lado direito). Osvértices de corte em G correspondem aos vértices menores em T (G), e os blocos correspondem aos vérticesmaiores (os não triviais correspondem aos vértices de borda dupla).

Caso 2: Existem dois caminhos P,Q ∈ P tais que não existe nenhum bloco no qual ambos têmuma aresta.


Nesse caso, P e Q não têm mais de um vértice em comum, pois se tivessem, ou teriam umaaresta em comum ou existiria um circuito em G formado por arestas de P e Q. Em ambos os casos,existiria um bloco no qual ambos têm uma aresta. Logo, seja x o único vértice em P ∩Q. Afirmamosque x ∈ ⋂P. Suponha, por contradição, que R ∈P não contenha x. Sabemos pela Asserção 1 queR intersecta P e intersecta Q. Seja y ∈ P ∩ R tal que Pxy é mínimo (não existe nenhum vérticeinterno de Pxy que pertence a R) e seja z ∈ Q ∩ R tal que Qxz é mínimo. Como R não contém x,temos que x 6= y e x 6= z. Além disso, como x é o único vértice que pertence a P e Q, então y 6= z

(veja Figura 3.4).

x

yz

R

P Q

Figura 3.4: Circuito Pxy ·Ryz ·Qzx.

Observe que Pxy ·Ryz ·Qzx forma um circuito. Como ‖Pxy‖ ≥ 1 e ‖Qzx‖ ≥ 1, temos que existeum bloco que contém pelo menos uma aresta de P e pelo menos uma aresta de Q, o que é umacontradição. Logo, todo caminho em P necessariamente contém x.

Observe que o Teorema 5 implica que, se G é um cacto, um grafo de blocos ou se todo bloco deG é hamiltoniano-conexo, então todos os caminhos mais longos de G têm um vértice em comum.

3.2 Resultados que obtivemos

Apresentamos, nessa seção, duas classes de grafos para os quais provamos que a intersecção detodos os seus caminhos é não vazia.

3.2.1 Grafos exoplanares

Uma classe de grafos que contém os cactos é a classe dos grafos exoplanares. Como já menciona-mos, Klavžar and Petkovšek [68] provaram que a resposta para a pergunta de Gallai é positiva paracactos, enquanto Axenovich [9] provou que quaisquer três caminhos mais longos se intersectam emgrafos exoplanares. Nessa seção, generalizamos [32] esses dois resultados, provando que a respostaà pergunta de Gallai é positiva para grafos exoplanares.

Lembramos que, para um bloco não trivial B de um grafo G, dizemos que um caminho P em G

de comprimento pelo menos um é um caminho pendente de B se P intersecta B precisamente nasua origem e é maximal na direção do seu término.

Teorema 7 Para todo grafo exoplanar conexo G, existe um vértice comum a todos os caminhosmais longos em G.

Prova. Seja P o conjunto de todos os caminhos mais longos de G, e suponha, por contradição,que

⋂P = ∅. Pelo Teorema 6, existe um bloco B de G tal que cada caminho em P tem ao menos

3.2 RESULTADOS QUE OBTIVEMOS 21

uma aresta em B. Se B é um bloco trivial, segue imediatamente que todos os caminhos em P têmum vértice em comum. Portanto, suponha que B seja um bloco não trivial.

Seja C um circuito hamiltoniano em B (tal circuito existe pois G é exoplanar). Seja R? umcaminho pendente mais longo de B, e denote por v a origem de R?. Vamos provar que todos oscaminhos em P contêm v.

Suponha que exista um caminho P em P que não contém v. Considere uma imersão planardo grafo G em que todos os vértices pertencem à fronteira de sua face externa. (Lembre que cuvdenota o comprimento de Cuv, o caminho no sentido horário em C do vértice u ao vértice v.) Seja xo vértice em V (P ) ∩ V (B) tal que cxv é mínimo e seja y o vértice em V (P ) ∩ V (B) tal que cvy émínimo. Note que x 6= y, caso contrário P intersectaria B somente em x.

Agora seja z o vértice tal que xz ∈ E(P ) ∩ E(B) e cyz é mínimo. Suponha y = z, em outraspalavras, suponha que x seja adjacente a y em P (veja a Figura 3.5). Neste caso, considere ocaminho P ′ obtido de P substituindo a aresta xy pelo caminho Cxy, isto é, P ′ = (P − xy) ∪ Cxy.Observe que P ′ é de fato um caminho, pois Cxy só intersecta P nos vértices x e y. Como v está nointerior de Cxy, então p′ = p − 1 + cxy ≥ p − 1 + 2. Portanto, p′ > p, o que contradiz o fato de Pser um caminho mais longo.

x

y = z

P ′

PR?

v

Figura 3.5: Caso y = z.

Suponha, então, que y 6= z. Sejam P1 e P2 os dois subcaminhos de P tais que V (P1)∩ V (P2) =

z, P = P1 · P2, x ∈ V (P1) e y ∈ V (P2) (veja Figura 3.6). Como G é exoplanar, P2 contémsomente vértices de Cyz e possivelmente um caminho pendente, digamos R. Logo, cyz ≥ p2 − r.Agora, considere o caminho P ′ = P1·C−1

vz ·R?. Temos que p′ = p1+cvy+cyz+r? ≥ p1+cvy+p2−r+r?.

Como r? ≥ r e cvy > 0, concluímos que p′ > p1+p2 = p, o que contradiz o fato de P ser um caminhomais longo em G. Portanto, P contém v, e isso completa a prova.

x

y

zP ′

P

R?

v

R

Figura 3.6: Caso y 6= z.


Como vimos anteriormente, a resposta para a pergunta de Gallai é negativa para grafos planares(como nos mostra o grafo da Figura 1.3, o da Figura 1.5 e os grafos planares hipotraçáveis [85]).De fato, a resposta é negativa até para grafos 2-exoplanares, pois o grafo da Figura 1.3 e o daFigura 1.5 são 2-exoplanares. Portanto, nesse sentido, o resultado anterior é justo.

3.2.2 2-árvores

O resultado principal que mostramos [32] nessa seção é que para 2-árvores (definidas maisadiante), a resposta para a pergunta de Gallai é positiva. Primeiramente, definimos alguns conceitose apresentamos alguns resultados auxiliares que valem para grafos arbitrários.

Dados um caminho P em um grafo G e uma aresta e = xy, dizemos que e confina P se P −x−yestá contido em uma única componente deG−x−y. Se e não confina P , dizemos que P cruza e. Alémdisso, se P denota um conjunto de caminhos mais longos em G, então Pe denota o subconjunto decaminhos de P que cruzam e. Observe que se G− x− y é conexo, Pe é vazio.

Lema 8 Seja G um grafo conexo e seja P o conjunto de todos os caminhos mais longos de G. Paracada aresta e de G, uma de suas extremidades está contida em todos os caminhos de Pe.

Prova. Seja e = xy uma aresta de G. Suponha que existam dois caminhos P e Q em Pe tais que Pcontém x, mas não y, e Q contém y, mas não x. Sejam P = P ′ · P ′′ com x = V (P ′) ∩ V (P ′′)

e Q = Q′ ·Q′′ com y = V (Q′)∩V (Q′′). Como ambos P e Q cruzam e, podemos supor, sem perdade generalidade, que P ′ e Q′′ estejam em componentes distintas de G − x − y e que p′ ≥ q′. Porconseguinte, P ′ · (x, y) ·Q′′ é um caminho e é mais longo que Q, uma contradição.

Dados um caminho P em um grafo G e uma aresta e = xy, defina Ce(P ) como sendo a união dosconjuntos de vértices das componentes de G−x−y que contêm ao menos um vértice de P . Usamosa notação simplificada Ce(v) para nos referir a Ce(P ) quando P consiste apenas no vértice v.

Lema 9 Se um grafo conexo G contém caminhos mais longos P e Q e uma aresta e tais queCe(P ) ∩ Ce(Q) = ∅, então todos os caminhos mais longos em G têm um vértice em comum.

Prova. Suponha que a condição do lema esteja satisfeita, e seja P o conjunto de todos os caminhosmais longos em G. Apresentamos dois casos.

Caso 1: Existe uma escolha para e, P e Q tais que Q intersecta apenas uma extremidade de e.Sejam x e y as extremidades de e, e suponha que Q contenha x, mas não y. Note que P

necessariamente contém x pois Ce(P ) ∩ Ce(Q) = ∅, e, pela Asserção 1, P e Q necessariamentese intersectam. Seja P = P ′ · P ′′ com x = V (P ′) ∩ V (P ′′) e y /∈ V (P ′), e Q = Q′ · Q′′ comx = V (Q′)∩V (Q′′). Como Ce(P )∩Ce(Q) = ∅, segue que P ′ ·Q′ é um caminho em G. Chame essecaminho de R. Na Figura 3.7 mostramos as duas possibilidades para o caminho P : (a) P contém x

mas não y; (b) P contém x e y (possivelmente a secção de P de x a y é simplesmente a aresta e).


(a)y x

e

P ′′ P ′

Q′Q′′

R

(b)y x

e

P ′′ P ′

Q′Q′′

R

Figura 3.7: O caminho Q contém x, mas não y.

Note que R cruza e, pois Ce(P ′) ∩Ce(Q′) = ∅. Como P e Q são caminhos mais longos, P ′, P ′′,Q′, e Q′′ devem ter o mesmo comprimento. Logo, R é também um caminho mais longo. Como Rcontém x e não y, pelo Lema 8, todos os caminhos em Pe contêm x.

Por outro lado, todo caminho mais longo S confinado por e é tal que ou Ce(S) ∩ Ce(P ) = ∅ou Ce(S) ∩ Ce(Q) = ∅, pois Ce(P ) ∩ Ce(Q) = ∅. Vamos mostrar que S contém x. Suponha que não.Portanto, necessariamente Ce(S) ⊆ Ce(Q) (caso contrário S não intersectaria Q) e S necessari-amente intersecta P em y como na Figura 3.7(b). Seja S = S′ · S′′ com y = V (S′) ∩ V (S′′),e suponha que s′′ ≥ s′. Logo, P ′ · (x, y) · S′′ é um caminho mais longo que P , uma contradição.Portanto, S contém x, e concluímos que todos os caminhos mais longos confinados por e contêm x.

Caso 2: Para qualquer escolha de e = xy, P e Q tal que Ce(P ) ∩ Ce(Q) = ∅, vale que ambos Pe Q contêm x e y.

Seja S um caminho mais longo confinado pela aresta e. Nesse caso, ou Ce(S) ∩ Ce(P ) = ∅,ou Ce(S) ∩ Ce(Q) = ∅. Afirmamos que S contém ambos x e y. De fato, se esse não fosse o caso,então e, S e ou P ou Q contradiriam a suposição do caso. Portanto, todos os caminhos mais longosconfinados por e contêm ambos x e y. Esse fato, juntamente com o Lema 8, implica que ou x ou yé comum a todos os caminhos mais longos.

Notamos que, no Lema 9, se G é 2-conexo, então a prova acima se reduz somente ao Caso 2, jáque é sabido (como veremos no Capítulo 5) que quaisquer dois caminhos mais longos em um grafo2-conexo se intersectam em ao menos dois vértices. Na prova do resultado principal, só aplicamoso Lema 9 a grafos 2-conexos, mas preferimos provar um resultado mas geral que se aplica tambéma grafos que não são 2-conexos.

Uma 2-árvore é definida recursivamente da seguinte maneira. Uma aresta é uma 2-árvore. Qual-quer grafo obtido a partir de uma 2-árvore adicionando um vértice novo e fazendo-o adjacente àsextremidades de uma aresta existente é também uma 2-árvore. Dizemos que uma 2-árvore é nãotrivial se contém ao menos três vértices. Note que toda aresta em uma 2-árvore não trivial pertencea um triângulo. É sabido [95] que 2-árvores não contêm K4 como menor topológico.

Seja ∆ um triângulo em um dado grafo. Para cada aresta e em ∆, denotamos por ve o vérticede ∆ no qual e não incide.

Lema 10 Se ∆ é um triângulo em um grafo G, então ou G contém K4 como menor topológico ouCe(ve) ∩ Cf (vf ) ∩ Cg(vg) = ∅, onde E(∆) = e, f, g.

Prova. Suponha que exista u ∈ Ce(ve)∩Cf (vf )∩Cg(vg). Como u ∈ Ce(ve), temos que u 6∈ vf , vg.Semelhantemente, u ∈ Cf (vf ) implica que u 6= ve. Logo, u 6∈ ve, vf , vg. Além disso, existe um


caminho, internamente disjunto de ∆, de u para cada vértice de ∆. Portanto, a união desses trêscaminhos e ∆ gera K4 como menor topológico.

O conceito definido a seguir tem um papel importante na prova do resultado principal. Umtriângulo ∆ em um grafo conexo G é dito forte se, para cada aresta e em ∆, existe um caminhomais longo P em G tal que e confina P , e Ce(P ) = Ce(ve). Tal caminho é chamado de e-confinado,supondo que ∆ esteja claro no contexto.

Lema 11 Se toda aresta de uma 2-árvore não trivial G confina um caminho mais longo então Gcontém um triângulo forte.

Prova. Seja G uma 2-árvore não trivial em que toda aresta confina um caminho mais longo. Seja Dum digrafo construído da seguinte forma. O conjunto de vértice de D é A∪B, onde A = E(G) e Bé o conjunto de todos os triângulos em G. O conjunto de arcos de D é definido a seguir. Temos umarco (e,∆) com e ∈ A e ∆ ∈ B se e é uma aresta de ∆ e existe um caminho mais longo P em G

que é e-confinado.Pela hipótese do lema, toda aresta em A tem grau de saída ao menos um em D. Portanto,

existem ao menos |A| arcos em D. Note que, como G é uma 2-árvore, |A| = 2|B|+ 1. Logo, existeum triângulo ∆ com grau de entrada pelo menos três em D. Pela definição de D, temos que ∆ éum triângulo forte em G.

Teorema 12 Para toda 2-árvore G, existe um vértice comum a todos os caminhos mais longosem G.

Prova. Seja G uma 2-árvore não trivial (caso contrário o resultado é imediato). Se existe umaaresta e em G que não confina um caminho mais longo, então todos os caminhos mais longoscruzam e, e, pelo Lema 8, a intersecção de todos os caminhos mais longos é não vazia. Logo,podemos supor que toda aresta em G confina um caminho mais longo e portanto, pelo Lema 11,existe um triângulo forte ∆ em G.

Se existe um caminho mais longo P confinado por uma aresta e de ∆ tal que Ce(P ) 6= Ce(ve)

então, pelo Lema 9, a prova segue. Caso contrário, para cada aresta e em ∆, todo caminho maislongo P confinado por e é tal que Ce(P ) = Ce(ve), ou seja, é e-confinado.

Se todo caminho mais longo e-confinado contém ambas as extremidades de e, para alguma arestae em ∆, então, pelo Lema 8, a intersecção de todos os caminhos mais longos é não vazia.

Se um caminho mais longo P é confinado simultaneamente por todas as arestas de ∆, en-tão Ce(P ) = Ce(ve) para toda aresta e em ∆. Como G é uma 2-árvore, G não contém um K4 comomenor topológico. Logo, o Lema 10 implica que P tem apenas (e todos os) vértices em ∆, ou seja,G é precisamente o triângulo ∆, e a prova segue. Portanto, podemos supor que cada caminho maislongo é confinado por no máximo duas arestas de ∆.

Sejam e, f e g as arestas de ∆ e seja P um caminho mais longo confinado por e e g. Logo, Pcruza f . Note que qualquer vértice u de P que não está em ∆ pertence a Cg(P ) ∩ Ce(P ) =

Cg(vg)∩Ce(ve). Novamente, pelo Lema 10, temos que u 6∈ Cf (vf ). Logo, o único vértice em Cf (vf )

que P pode conter é vf . Entretanto, como P é um caminho mais longo, se P contém vf , entãonecessariamente contém todos os vértices em ∆. Se P não contém nenhum vértice de Cf (vf ), con-cluímos a prova do teorema aplicando o Lema 9 a f , P e qualquer caminho mais longo f -confinado.


Portanto, daqui em diante supomos que todo caminho mais longo confinado por precisamente duasarestas de ∆ contenha todos os vértices de ∆.

Seja P o conjunto de todos os caminhos mais longos em G. Vamos mostrar que um dos vérticesde ∆ está em todos os caminhos em P.

Pelo Lema 8, sabemos que uma das extremidades de cada aresta h de ∆ está contida em todosos caminhos em Ph. (Mais adiante dizemos porque cada Ph é não vazio.) Oriente h em direção atal extremidade. Assim temos uma orientação de e, f , e g.

Se, com essa orientação, ∆ é um circuito dirigido, sem perda de generalidade, podemos suporque ∆ está orientado como na Figura 3.8.

Para cada aresta h de ∆, seja Qh um caminho mais longo h-confinado que não contém ambas asextremidades de h. O caminho Qh é confinado por apenas uma aresta de ∆, a saber h, e, portanto,cruza as outras duas arestas de ∆. Logo, Ph é não vazio para cada aresta h de ∆. Pela orientaçãode f e g, o caminho Qe contém ambos ve e vf . Analogamente, Qf contém ambos vf e vg, e Qgcontém ambos vg e ve. Veja a Figura 3.8.

ve

vg

vf

f g

e

Qe

Qg

Qf

Figura 3.8: Caminhos Qe, Qf , e Qg.

Seja Qe = Q′e ·Q′′e com ve = Q′e∩Q′′e e vf em Q′′e . Semelhantemente, defina Q′f , Q′′f , Q

′g, e Q′′g .

Seja Q = Q′g · (vg, ve) ·Q′′e . Como esse caminho não pode ser mais longo que Qe, temos que q′e > q′g.Analogamente, podemos concluir que q′g > q′f > q′e, o que leva a uma contradição.

Resta analisar o caso em que ∆ tem um sorvedouro. Sem perda de generalidade, suponha que vfseja o sorvedouro (veja a Figura 3.9).

ve

vg vf

f g

e

Figura 3.9: Triângulo ∆ com um sorvedouro.

Vamos mostrar que vf está em todos os caminhos mais longos. Seja P um caminho mais longo.Como já observamos, se P é confinado por duas arestas de ∆, P contém os três vértices de ∆, logocontém vf . Suponha que P seja confinado por no máximo uma aresta de ∆. Se P cruza e, então Pcontém vf (pela orientação de e). Caso contrário P é confinado por e e, portanto, cruza f e g. Mas,se P cruza g, pela orientação de g, P contém vf , e o teorema segue.

Capítulo 4

Classes de grafos em que quaisquer trêscaminhos mais longos se intersectam

Como vimos anteriormente, não é sabido se quaisquer três caminhos mais longos compartilhamum vértice. Essa pergunta foi levantada por Zamfirescu [93, 104] na década de 80 [105]. A questãofoi mencionada na 15a Conferência Britânica de Combinatória [21], aparece como conjectura nolivro Combinatorics and Graph Theory de Harris, Hirst e Mossinghoff [51] e como um problemaaberto na lista coletada e mantida por West [98].

Conjectura 13 Para todo grafo conexo, quaisquer três caminhos mais longos têm um vértice emcomum.

4.1 Resultados conhecidos

Excluindo os resultados que abrangem a intersecção de todos os caminhos mais longos, um dosprimeiros progressos na Conjectura 13 foi obtido por Axenovich [9], que provou o seguinte resultado.

Teorema 14 Se G é um grafo conexo exoplanar, então quaisquer três caminhos mais longos em G

têm um vértice em comum.

A principal técnica usada para provar o Teorema 14 foi a de estabelecer configurações que nãoocorrem quando se considera a união de três caminhos mais longos, mostrando que, se ocorressem,então seria possível construir um caminho de comprimento maior que o mais longo. A partir dessasconfigurações foi possível obter alguns outros resultados interessantes, por exemplo:

Lema 15 Seja G um grafo conexo que é a união de três caminhos mais longos, digamos P1, P2 eP3. Se P1 ∪ P2 tem no máximo um circuito, então existe um vértice comum a P1, P2 e P3.

Além da técnica citada acima, outro método utilizado foi o de considerar um contraexemplominimal para a Conjectura 13, ou seja, um grafo com menor número possível de arestas no qualtrês caminhos mais longo não têm um vértice em comum. Se for possível chegar a uma contradição,supondo que tal grafo exista, então sabe-se que a Conjectura 13 é válida.

Axenovich [9] considera um contraexemplo minimal dentro da classe dos grafos exoplanares.Observe que não se pode usar essa técnica para qualquer classe de grafos, pois ao contrairmos ou

27

28 CLASSES DE GRAFOS EM QUE QUAISQUER TRÊS CAMINHOS MAIS LONGOS SE INTERSECTAM 4.2

removermos uma aresta, o grafo resultante pode não estar na classe original. Portanto, além docaso em que se considera o problema geral para qualquer grafo, só é possível usar essa técnica paraclasses de grafos que são fechadas para operações de remoção/contração de arestas, como é o casoda classe dos grafos exoplanares ou dos planares.

Axenovich [9] provou que, para qualquer classe de grafos fechada para operações de remoção/con-tração de arestas, um contraexemplo minimal para a Conjectura 13 possui apenas um bloco nãotrivial.

Essa técnica também foi explorada por Kensell [67], que obteve outros resultados, dentre elesalgumas características de um contraexemplo minimal como, por exemplo, cintura pelo menos 4.Kensell obteve uma leve generalização do Teorema 14, provando que o resultado vale para grafosque são subdivisões de grafos exoplanares.

Não reproduzimos aqui a prova de Axenovich [9] para o Teorema 14, pois é muito extensa.Ademais, este segue como corolário do Teorema 7 e, como veremos a seguir, também segue doTeorema 16.

4.2 Resultados que obtivemos

Nessa seção, apresentamos um resultado que obtivemos [32] para grafos conexos cujos blocosnão triviais são hamiltonianos. Essa classe inclui os exoplanares e, portanto, esse teorema tambémgeneraliza o Teorema 14.

Lembramos que, para um bloco não trivial B de G, dizemos que um caminho P de comprimentopelo menos um é um caminho pendente de B se P intersecta B precisamente na sua origem e émaximal na direção do seu término. Além disso, se P é um caminho e B é um bloco que está clarono contexto, denotamos por P a intersecção de P com B, ou seja, P = B ∩ P .

Teorema 16 Se G é um grafo conexo em que todos os blocos não triviais são hamiltonianos, entãoquaisquer três caminhos mais longos em G têm um vértice em comum.

Prova. Seja P um conjunto de três caminhos mais longos de G e suponha, por contradição,que

⋂P = ∅. Pelo Teorema 6, existe um bloco B de G que contém pelo menos uma aresta de cada

caminho em P. Vamos supor que esse bloco seja não trivial, caso contrário o resultado é imediato.Seja C um circuito hamiltoniano de B. Lembramos que p denota o comprimento de P e c o

comprimento de C. Queremos mostrar que

(4.1)∑P∈P

p ≥ 2c.

Note que, se provarmos que a desigualdade (4.1) vale, então, pelo Princípio da Casa dos Pombos,podemos concluir que existe pelo menos um vértice que aparece nos três caminhos de P. Observeque a desigualdade (4.1) não necessita ser estrita, pois estamos considerando o comprimento doscaminhos (ou seja, o número de arestas).

Se um caminho de P contém todos os vértices de B, então o resultado segue pois os outros doiscaminhos necessariamente se intersectam em B. Portanto, podemos supor que todos os caminhos emP contenham dois caminhos pendentes de B. Doravante, consideramos apenas caminhos pendentes


de B que estão contidos em algum caminho de P. Observe que possivelmente existem dois caminhospendentes com a mesma origem (nesse caso eles têm necessariamente o mesmo comprimento).

Se todos os caminhos pendentes intersectam o bloco B em apenas dois vértices, então o resultadoé imediato. Logo, sejam Tx, Ty e Tz três caminhos pendentes de B que são disjuntos e são os trêsmais longos possíveis, onde x, y e z denotam suas origens, respectivamente.

Caso 1: Existe uma função f bijetora de x, y, z para P tal que f(u) não contém um caminhopendente com origem u. Ou seja, existe um mapeamento f entre os vértices x, y, z e os caminhosem P tal que, para cada u, existe um caminho f(u) ∈ P que não contém um caminho pendentecom origem u e, além disso, f(u) 6= f(v), para u 6= v.

Por simplicidade, suponha que x, y e z apareçam em sentido horário em C. Seja Pu = f(u), paracada u em x, y, z. Para provar (4.1), vamos encontrar um limite inferior para cada pu e mostrarque a soma dos três limites inferiores é pelo menos 2c.

Considere os caminhos pendentes R e R′ tais que Px = R−1 · Px ·R′. Observe que ty+ tz ≥ r+r′,pois Tx, Ty, Tz é um conjunto de três caminhos pendentes de B, que são disjuntos e os mais longospossíveis, e Px não contém nenhum caminho pendente com origem x. Considere o caminho

Qx = T−1z · Czx · Cxy · Ty,

como na Figura 4.1. Lembrando que px ≥ qx (ou seja, r+px+r′ ≥ ty+qx+tz) e, como ty+tz ≥ r+r′,temos que px ≥ qx.

Ty

Tz

Tx

xy

z

Qx

Figura 4.1: Configuração de Qx.

Analogamente, considerando

Qy = T−1x · Cxy · Cyz · Tz,

Qz = T−1y · Cyz · Czx · Tx,

temos que py ≥ qy e pz ≥ qz. Logo, concluímos que px+ py+ pz ≥ qx+ qy+ qz. Como qx+ qy+ qz = 2c

(veja Figura 4.2), a desigualdade (4.1) vale.

Caso 2: Não existe tal função f .

Nesse caso, existem dois caminhos em P, digamos P1 e P2, cujos caminhos pendentes compar-tilham as mesmas origens. Podemos considerar que o terceiro caminho em P, digamos P3, possuidois caminhos pendentes com origens distintas das origens dos caminhos pendentes de P1, pois,caso contrário, já teríamos um vértice comum aos três caminhos.

Logo, B tem quatro caminhos pendentes com origens distintas. Suponha que as origens w, x, ye z dos caminhos pendentes de B apareçam em sentido horário em C. Seja Tu um caminho pendente


Qy

x

Qx

Qz

z

y

Figura 4.2: qx + qy + qz = 2c.

com origem u, para u ∈ w, x, y, z. Analogamente ao caso 1, construímos caminhos que forneçamum limitante inferior para p1 + p2 + p3, mas, nesse caso, não para cada pi individualmente.

Considere os caminhos

Q1 = T−1z · Czw · Cwx · Cxy · Ty,

Q2 = T−1w · Cwx · Cxy · Cyz · Tz,

Q3 = T−1x · Cxy · Cyz · Czw · Tw,

Q4 = T−1y · Cyz · Czw · Cwx · Tx.

Figura 4.3 mostra a configuração de Q1.

Ty

Tz

Tx

Tw

xy

zw

Q1

Figura 4.3: Configuração de Q1.

Somando os comprimentos e considerando que q1 + q2 + q3 + q4 = 3c (veja Figura 4.4), temos

(4.2) q1 + q2 + q3 + q4 = 2(tw + tx + ty + tz) + 3c.

Ty

Tz

Tx

Tw

xy

zw

Figura 4.4: q1 + q2 + q3 + q4 = 3c.

Lembre que os caminhos pendentes de P1 e P2 compartilham as mesmas origens e são disjuntos


dos caminhos pendentes de P3. Portanto,

(4.3) p1 + p2 + 2p3 = 2(tw + tx + ty + tz) + p1 + p2 + 2p3.

Como pi ≥ qj para cada i ∈ 1, 2, 3 e j ∈ 1, 2, 3, 4, então

(4.4) p1 + p2 + 2p3 ≥ q1 + q2 + q3 + q4.

Por (4.2), (4.3) e (4.4), concluímos que p1 + p2 + 2p3 ≥ 3c. Como p3 < c, então (4.1) vale. Logo,necessariamente existe um vértice comum a P1, P2 e P3.

A seguinte pergunta, relacionada com o teorema anterior, surge de maneira natural: é possí-vel substituir “três caminhos mais longos” por “todos os caminhos mais longos” e garantir que aafirmação correspondente vale? A resposta é não, como nos mostram os grafos das Figuras 1.4 e 1.5.

Capítulo 5

Outros resultados relacionados

Sabemos que quaisquer dois caminhos mais longos se intersectam. Mas em quantos vértices?Isso depende da conexidade do grafo. Tratamos dessa questão na primeira seção desse capítulo.

Também sabemos que não é verdade que todo grafo possui um vértice que pertence a todos oscaminhos mais longos. Mas será que todo grafo possui dois vértices tais que todo caminho maislongo contém ao menos um dos dois? Se a resposta a essa pergunta for negativa, será que, no lugarde dois, podemos colocar alguma constante para que a resposta seja positiva? Essas questões serãotratadas na segunda seção.

5.1 Vértices comuns a dois caminhos mais longos

É bem conhecido o fato de que, em grafos 2-conexos, quaisquer dois caminhos mais longos têmao menos dois vértices em comum. Também é verdade que, em grafos 2-conexos, quaisquer doiscircuitos mais longos têm ao menos dois vértices em comum. Esses resultados estão relacionados,como mostramos mais a diante. Em 1984, Grötschel [46] apresentou a seguinte conjectura, que dizrespeito a circuitos mais longos.

Conjectura 17 Em todo grafo k-conexo, k ≥ 2, quaisquer dois circuitos mais longos têm ao menosk vértices em comum.

No artigo citado acima, Grötschel afirma que, por comunicação de R. Häggkvist e J. A. Bondy,soube que essa conjectura foi feita por Scott Smith em 1979, quando ainda era aluno de ensino médio,e que a veracidade dessa conjectura provavelmente já foi verificada para k ≤ 10 (até k ≤ 8 seguecomo corolário dos Teoremas 22, 23 e 25 que apresentamos a seguir). Não encontramos nenhumaprova de que o resultado vale para k = 9 ou k = 10, e para o caso geral a conjectura permanece emaberto.

Burr e Zamfirescu [20, 104] provaram que, para k ≥ 2, em todo grafo k-conexo, quaisquer doiscircuitos mais longos têm ao menos

√k vértices em comum. Essa demonstração não foi publicada,

mas Hippchen [54] apresentou uma prova do resultado na sua tese de mestrado. Chen, Faudree eGould [24] obtiveram um resultado assintoticamente melhor. Eles provaram que, para k ≥ 2, emtodo grafo k-conexo, quaisquer dois circuitos mais longos têm ao menos ck3/5 vértices em comum,onde c ≈ 0, 2615.

Com relação a caminhos mais longos, Hippchen [54] conjecturou que a afirmação análoga éverdade.

33

34 OUTROS RESULTADOS RELACIONADOS 5.1

Conjectura 18 Em todo grafo k-conexo, quaisquer dois caminhos mais longos têm ao menos k vér-tices em comum.

Os resultados e as demonstrações que apresentamos a seguir e que não possuem referência,foram inspirados pela demonstração do Teorema 3.11.11 de Voss [93] e, até onde sabemos, não seencontram dessa forma na literatura.

Primeiramente, provamos que a Conjectura 17 implica a Conjectura 18.

Lema 19 Dados inteiros k e `, se em todo grafo k-conexo quaisquer dois circuitos mais longos seintersectam em ao menos ` vértices, então em todo grafo (k − 1)-conexo quaisquer dois caminhosmais longos se intersectam em ao menos `− 1 vértices.

Prova. Seja G = (V,E) um grafo (k − 1)-conexo e sejam P e Q dois caminhos mais longos em G.Adicione um vértice novo, digamos x, e faça-o adjacente a todos os vértices de G. Chame essenovo grafo de H. Observe que xPx e xQx são circuitos mais longos de H. Note também que, se Gé (k − 1)-conexo, então H é k-conexo. Logo, se xPx e xQx se intersectam em ao menos ` vértices,então P e Q se intersectam em ao menos `− 1 vértices.

Não sabemos se a afirmação recíproca é verdadeira, ou seja, se a Conjectura 18 implica a Conjec-tura 17. O que sabemos é que se a seguinte versão mais forte da Conjectura 18 for verdadeira, entãoa Conjectura 17 também é. Nesta conjectura estamos considerando caminhos de extremidades fixas,ou seja, primeiro se fixa as extremidades e depois se encontra o maior caminho dentre os caminhosque ligam essas extremidades. Lembramos que um uv-caminho é um caminho com extremidades ue v.

Conjectura 20 Seja G um grafo k-conexo e sejam u1, u2, v1, v2 vértices quaisquer de G. Seja Pum u1u2-caminho mais longo e Q um v1v2-caminho mais longo. Então, P e Q têm ao menosk vértices em comum.

A prova de que essa conjectura implica a Conjectura 17 é semelhante à prova do Lema 19. Essefato é interessante, pois para alguns problemas, como o da intersecção de três caminhos mais longos(veja [32, Proposição 11]), as versões com e sem extremidades fixas estão intimamente relacionadas.

Lema 21 Dados inteiros k e `, se em todo grafo k-conexo G, para quaisquer vértices u1, u2, v1, v2

de G, qualquer u1u2-caminho mais longo e qualquer v1v2-caminho mais longo se intersectam emao menos ` vértices, então em todo grafo (k + 1)-conexo, quaisquer 2 circuitos mais longos seintersectam em ao menos `+ 1 vértices.

Prova. Seja G = (V,E) um grafo (k + 1)-conexo e sejam C e D dois circuitos mais longos em G.Sabemos que C e D têm ao menos dois vértices em comum. Seja x um desses vértices, sejam u1 eu2 os dois vizinhos de x em C e sejam v1 e v2 os dois vizinhos de x em D. Remova x de G e chameesse novo grafo de H. Observe que C−x é um u1u2-caminho mais longo e D−x é um v1v2-caminhomais longo de H. Note também que, se G é (k + 1)-conexo, então H é k-conexo. Logo, se C − xe D − x se intersectam em ao menos ` vértices, então C e D se intersectam em ao menos ` + 1

vértices.

5.1 VÉRTICES COMUNS A DOIS CAMINHOS MAIS LONGOS 35

É conhecido o fato de que a Conjectura 18 vale para k ≤ 3 (Jain e Sakalle [60] e Hippchen [54]apresentam uma prova desse fato). Os seguintes resultados de Grötschel [46, 47] implicam que aConjectura 17 vale para k ≤ 6, e, portanto, pelo Lema 19, a Conjectura 18 vale para k ≤ 5. Éinteressante notar que Grötschel buscava caracterizações de grafos em que dois circuitos/caminhosmais longos se intersectam em apenas k vértices, e que os resultados que ele obteve podem ser úteisno estudo da intersecção de vários caminhos mais longos.

Lembramos que um conjunto separador de um grafo é um conjunto de vértices do grafo tal quesua remoção resulta em um grafo desconexo.

Teorema 22 Seja G = (V,E) um grafo conexo, e sejam C e D dois circuitos mais longos distintosque se intersectam em exatamente dois vértices, digamos u e v. Sejam C = P1∪P2 e D = Q1∪Q2,onde Pi e Qi, i ∈ 1, 2, são segmentos de u a v de C e D, respectivamente. As seguintes afirmaçõesvalem:

1. u, v é um conjunto separador;

2. ‖P1‖ = ‖P2‖ = ‖Q1‖ = ‖Q2‖, logo o circuito tem comprimento par;

3. os caminhos truncados P 1, P 2, Q1, Q2 obtidos removendo os vértices u e v das extremidadesde P1, P2, Q1, Q2 estão em componentes distintas de G− u, v;

4. todo circuito mais longo de G contém ambos u e v;

5. para todo circuito mais longo B de G, os dois caminhos de B−u, v pertencem a componentesdistintas de G− u, v.

Teorema 23 Seja k ∈ 3, 4, e seja G = (V,E) um grafo conexo com pelo menos k + 1 vértices.Suponha que C e D sejam dois circuitos mais longos distintos que se intersectam em um conjuntoW de k vértices de G. As seguintes afirmações valem:

1. W é um conjunto separador;

2. se k = 3, os caminhos obtidos removendo W de C e D estão em componentes distintasde G−W .

Lembramos que a circunferência de um grafo é o comprimento de um circuito mais longo dografo. Grötschel enunciou esse resultado para k ∈ 3, 4, 5 e conjecturou que, se adicionarmos noTeorema 23 a hipótese de que a circunferência do grafo seja ao menos k + 1, o mesmo vale parak ∈ 6, 7. Na realidade, Grötschel não percebeu que essa hipótese também é necessária para k = 5.De fato, observe o grafo da Figura 5.1. É fácil ver que esse grafo não é hamiltoniano. Portanto,C = v1v2v3v4v5v1 é um circuito mais longo e também o é D = v1v2v4v3v5v1. Portanto C e D seintersectam no conjunto W = v1, v2, v3, v4, v5 e |W | = 5, mas W não é um conjunto separador.

Note que a circunferência desse grafo é k = 5 e os circuitos C e D são sobre um mesmo conjuntode vértices. Se exigirmos que a circunferência do grafo seja ao menos k+ 1 ou que os circuitos maislongos não possam ser sobre o mesmo conjunto de vértices, a prova de Grötschel está correta.


v1

v2

v3v4

v5

v6

Figura 5.1: Grafo em que dois circuitos mais longos se intersectam em um conjunto W de 5 vértices e Wnão é um conjunto separador.

Teorema 24 Se G = (V,E) é um grafo conexo com circunferência pelo menos 6, e C e D são doiscircuitos mais longos distintos que se intersectam em um conjunto W de 5 vértices de G, então Wé um conjunto separador.

Ademais, com a hipótese adicional de que a circunferência do grafo seja ao menos k + 1, oTeorema 23 vale não só para k = 5, mas também para k = 6 e k = 7. Esse fato foi provadopor Stewart [82] em 1987, usando essencialmente a mesma técnica de Grötschel. A abordagem deGrötschel foi a de analisar — na força bruta — os diversos modos em que dois circuitos podem seintersectar em k vértices. Obviamente, quanto maior o k, maior o número de casos que precisamser analisados. Para k = 5, são 4 casos; já para k = 6 são 10 casos e para k = 7 são 25 casos!Assim, para k grande, o método de Grötschel se torna inviável. Stewart utiliza um computador parasistematizar a análise dos casos. Segundo o autor, embora este não seja o método mais elegantee muitos possam ver essa prova com certo ceticismo, o computador é uma ferramenta que podeter um papel muito importante em teoria dos grafos e, quando os programas são simples de serimplementados e verificados, os resultados não devem ser desacreditados.

Teorema 25 Seja k ∈ 6, 7 e seja G um grafo com circunferência ao menos k + 1. Se C e Dsão dois circuitos mais longos que se intersectam em um conjunto W de exatamente k vértices,então W é um conjunto separador.

O mesmo resultado não vale para k = 8, como podemos ver pelo grafo de Petersen. De fato,este grafo tem 10 vértices e é hipo-hamiltoniano, ou seja, ele não é hamiltoniano, e, dado qualquervértice, é possível encontrar um circuito hamiltoniano que não passa por ele. Logo, um circuito maislongo tem comprimento 9. Além disso, dado qualquer aresta uv do grafo de Petersen, é possívelencontrar um circuito mais longo C que não passa por u e um circuito mais longo D que não passapor v. A intersecção de C e D são todos os vértices exceto u e v. Logo, W = C ∩ D não é umconjunto separador, pois existe uma aresta entre u e v. Note, porém, que isso não implica quea Conjectura 17 não vale para k = 9, apenas que não é possível prová-la exatamente da mesmamaneira que provamos para k ≤ 8.

Ao tratar de grafos k-conexos, temos a vantagem de saber que os circuitos mais longos sãonecessariamente longos. Dirac [33] provou o seguinte resultado.

Teorema 26 Seja G um grafo 2-conexo com n vértices e grau mínimo δ. Um circuito mais longoem G tem comprimento ao menos min2δ, n.

5.1 VÉRTICES COMUNS A DOIS CAMINHOS MAIS LONGOS 37

Observe que um grafo k-conexo tem grau mínimo pelo menos k. Logo, podemos dizer que umgrafo k-conexo, k ≥ 2, é hamiltoniano ou tem um circuito de comprimento pelo menos 2k.

Corolário 27 Seja G um grafo k-conexo, k ≥ 2, com n vértices. Um circuito mais longo em G

tem comprimento ao menos min2k, n.

O seguinte resultado relaciona conexidade e cardinalidade de um conjunto independente máximocom a circunferência de um grafo.

Teorema 28 Seja G um grafo, seja α a cardinalidade de um conjunto independente máximo de Ge seja k o maior número inteiro tal que G é um grafo k-conexo.

1. Se k ≥ α, então G é hamiltoniano.

2. Se k ≤ α, então um circuito mais longo em G tem comprimento ao menos k(n+α−k)α .

A primeira parte desse teorema foi obtida por Chvátal e Erdős [26] e a segunda por O, Weste Wu [73]. Observe que α ≤ n − k, pois todo vértice em G tem ao menos k vizinhos. Logo, asegunda parte do teorema está supondo que k ≤ α ≤ n − k, o que implica que n ≥ 2k. Usando adesigualdade α ≤ n− k, é fácil ver que k(n+α−k)

α ≥ 2k. Portanto, o Teorema 28 também implica oCorolário 27.

Como mencionamos anteriormente, o seguinte resultado é um corolário dos Teoremas 22, 23, 24e 25.

Corolário 29 Em todo grafo k-conexo, 2 ≤ k ≤ 8, quaisquer dois circuitos mais longos têm aomenos k vértices em comum.

Prova. Seja G um grafo k-conexo, 2 ≤ k ≤ 8, e sejam C eD dois circuitos mais longos em G. SejaWo conjunto de vértices que estão em ambos os circuitos. Suponha, por contradição, que |W | < k.Pelo Corolário 27, sabemos que G tem circunferência pelo menos min2k, n ≥ k+1, logo podemosaplicar o Teorema 22, 23, 24 ou 25 e concluir que W é um conjunto separador. Mas isso é umacontradição, pois G é k-conexo e |W | < k.

Pelo Corolário 29 e pelo Lema 19, o seguinte resultado é imediato.

Corolário 30 Em todo grafo k-conexo, 1 ≤ k ≤ 7, quaisquer dois caminhos mais longos têm aomenos k vértices em comum.

Usando a mesma ideia da prova do Lema 19, podemos provar um resultado um pouco maisforte que o Corolário 30 a partir dos resultados de Grötschel, como foi observado por Voss [93], ea partir do resultado de Stewart, adicionando a hipótese de que os caminhos mais longos tenhamcomprimento pelo menos k + 1.

Teorema 31 Seja G um grafo conexo, e sejam P e Q dois caminhos mais longos em G, de com-primento pelo menos k + 1, que se intersectam em um conjunto W de k vértices de G, 1 ≤ k ≤ 6.Então


1. W é um conjunto separador;

2. se k = 1, todo caminho mais longos contém o único vértice de W ;

3. se k = 2, todo caminho mais longos contém ao menos um dos vértices de W .

Observe que o grafo bipartido Kk,2k+2 (veja Figura 5.2) mostra que a Conjectura 18 é justa.

Figura 5.2: Dois caminhos mais longos em um K5,12.

5.2 Vértices evitados por caminhos mais longos

A pergunta de Gallai de 1966 deu origem a muitas outras. Algumas das mais estudadas tiveramcomo inspiração uma pergunta de Sachs [36], feita também no colóquio em Tihany de 1966, quediz respeito a circuitos mais longos. Sachs perguntava se, para todo grafo 3-conexo, existem doisvértices tais que todo circuito mais longo contém ao menos um dos dois. Walther [97] mostrou,através de um grafo com 220 vértices, que isso não é sempre verdade.

Perguntas similares que dizem respeito a caminhos mais longos foram levantadas por Walther [96]em 1969 e por Zamfirescu [100] em 1972. Walther perguntou: “Existe um número j tal que todografo conexo possui um conjunto de j vértices que intersecta todo caminho mais longo?” Zamfirescufez essa pergunta para classes específicas de grafos, como os k-conexos e os planares.

Neste trabalho, a fim de facilitar a compreensão, adotamos uma notação distinta da que foiintroduzida por Zamfirescu [100] em 1972 e que inclusive é mais geral. Se existir um grafo noqual, dado um conjunto qualquer de j vértices, algum caminho mais longo evita esses j vértices,então denotamos por Γj o menor número de vértices de um tal grafo. Se tal grafo não existir,dizemos que Γj = ∞. Se quisermos adicionar alguma restrição na classe de grafos que estamosconsiderando, explicitamos essa restrição entre colchetes. Por exemplo, se estamos considerando oproblema restrito a grafos k-conexos planares, dizemos Γj [k-conexo, planar].

Com essa nomenclatura, podemos reescrever a pergunta de Gallai como: Γ1 =∞? E a perguntade Walther como: Γj < ∞ para algum j? Pelo grafo da Figura 1.4, sabemos que Γ1 ≤ 12 (comomencionamos na Seção 1.1, já foi provado que Γ1 = 12) e pelo grafo da Figura 1.5, sabemosque Γ1[planar] ≤ 17.

Várias pessoas, em particular Grünbaum, Hatzel, Schmitz, Thomassen, Walther, C. Zamfirescu eT. Zamfirescu [48, 53, 78, 86, 94, 99, 100, 102, 103], trabalharam para descobrir limitantes superiores

5.2 VÉRTICES EVITADOS POR CAMINHOS MAIS LONGOS 39

para os Γj ’s ou provar que os limitantes são justos. Não houve progressos no estabelecimento delimitantes para os Γj [k-conexo]’s desde os anos 70, mas recentemente foram encontrados limitantesmais justos para os Γj [3-conexo, planar]’s, utilizando grafos hipo-hamiltonianos planares menores [4,63], que não eram conhecidos anteriormente. Zamfirescu [103] traz um resumo dos progressos feitosaté 1976 e Voss [93] exibe duas tabelas com essas informações. Kensell [67] reúne esses resultadose alguns mais recentes. Abaixo reproduzimos as tabelas com os valores atualizados.

j1 2 3

1 = 12 ≤ 93 ?k 2 ≤ 26 ≤ 270 ?

3 ≤ 36 ≤ 270 ?4 ? ? ?

Tabela 5.1: Tabela com os valores atualizados de Γj [k-conexo].

j1 2 3

1 ≤ 17 ≤ 308 ?k 2 ≤ 32 ≤ 914 ?

3 ≤ 156 ≤ 10.350 ?4 ∞ ∞ ∞

Tabela 5.2: Tabela com os valores atualizados de Γj [k-conexo, planar].

Apresentamos aqui os resultados das Tabelas 5.1 e 5.2. Uma primeira pergunta que se procuraresponder é: para que valores de j e k vale que Γj [k-conexo] <∞ (ou Γj [k-conexo, planar] <∞)?Primeiramente, consideramos o caso em que j = 1. Já falamos anteriormente dos grafos que mostramque Γ1 < ∞ e Γ1[planar] < ∞. Já para provar que Γ1[2-conexo], o primeiro exemplo encontradofoi um grafo 2-conexo de 82 vértices, obtido por Zamfirescu [100] em 1972, que, por ser planar,também provava que Γ1[2-conexo, planar] < ∞. Hoje, os menores exemplos 2-conexo e 2-conexoplanar conhecidos têm, respectivamente, 26 e 32 vértices [81, 103] (veja Figuras 5.3 e 5.4).

Figura 5.3: Menor grafo 2-conexo que mostra que Γ1[2-conexo] <∞.

O mesmo problema para grafos 3-conexos tem uma resposta dada por um grafo hipotraçávelcom 40 vértices obtido por Horton [50, 55] (veja Figura 5.5). Um fato interessante é que este foi oprimeiro grafo hipotraçável conhecido [50], embora atualmente se conheça grafos hipotraçáveis me-


Figura 5.4: Menor grafo 2-conexo planar que mostra que Γ1[2-conexo, planar] <∞.

nores [84]. Zamfirescu [103] produziu uma resposta melhor para Γ1[3-conexo] com 36 vértices (vejaFigura 5.6). Esse grafo é obtido através da vértice-substituição do K4 pelo grafo de Petersen. Fala-mos mais sobre essa construção a seguir. Nesse último grafo pode-se verificar que qualquer vérticepode ser evitado por um caminho mais longo através da simetria do grafo e da hipo-hamiltonicidadedo grafo de Petersen.

Figura 5.5: Primeiro grafo 3-conexo que provou que Γ1[3-conexo] <∞.

Figura 5.6: Menor grafo 3-conexo que mostra que Γ1[3-conexo] <∞.

Para grafos 3-conexos planares, Grünbaum [48] foi o primeiro a responder a questão através deum exemplo com 484 vértices. A ideia que utilizou para construir o grafo é a mesma que continuasendo utilizada para produzir exemplos menores. Primeiramente apresentamos o método utilizado

5.2 VÉRTICES EVITADOS POR CAMINHOS MAIS LONGOS 41

para construir o grafo da Figura 5.6 e que pode ser utilizado para obter outros grafos 3-conexos nosquais não existe vértice comum a todos os caminhos mais longos.

Seja H um grafo hipo-hamiltoniano com pelo menos um vértice de grau três. Note que todografo hipo-hamiltoniano é 3-conexo, pois a remoção de qualquer vértice resulta em um grafo quetem um circuito hamiltoniano e, portanto, 2-conexo. Definimos a operação de vértice-substituição dografo K4 pelo grafo H da seguinte forma. Primeiramente, escolhe-se um vértice de grau três de H,digamos v. Sejam x, y e z os vizinhos de v. Para i = 0, 1, 2, 3, seja Hi um grafo isomorfo a H − v, esejam xi, yi e zi os vértices de Hi correspondentes aos vértices x, y e z. Considere que os grafos Hi

são dois a dois disjuntos. Sejam u0, u1, u2 e u3 os vértices do K4. O grafo resultante da vértice-substituição do K4 por H é obtido substituindo sucessivamente cada vértice do K4 por um Hi daseguinte maneira: inserimos Hi no lugar de ui e tornamos cada um dos vértices xi, yi e zi adjacentesa um vizinho distinto de ui. Note que pode haver diferentes modos de fazer tais substituições (quepodem eventualmente dar origem a grafos distintos). Descrevemos passo a passo um desses modos.Primeiramente, substituímos u0 por H0 e adicionamos as arestas u1x0, u2y0 e u3z0. Em seguida,substituímos u1 por H1 e adicionamos as arestas x0x1, u2y1 e u3z1; logo, u2 por H2 e adicionamosas arestas y0x2, y1y2 e u3z2; e, finalmente, u3 por H3 e adicionamos as arestas z0x3, z1y3 e z2z3. Ografo resultante dessa operação é 3-conexo e pela construção é fácil ver que existe um caminho maislongo que evita qualquer dado vértice. Observe que, se H é o grafo de Petersen, o grafo que resultada vértice-substituição do grafo K4 por H é isomorfo ao grafo da Figura 5.6.

Para construir grafos 3-conexos planares em que não existe vértice comum a todos os caminhosmais longos o processo é semelhante. A diferença é que, nesse caso, não se pode tomar qualquergrafo H hipo-hamiltoniano, é necessário que H seja planar. Como atualmente têm sido descobertosgrafos hipo-hamiltonianos planares cada vez menores [85] [53] [99] [5] [63], o limitante superior deΓ1[3-conexo, planar] tem sido atualizado algumas vezes nos últimos anos. Atualmente, os menoresgrafos hipo-hamiltonianos planares conhecidos têm 40 vértices [63] e todos possuem diversos vérticesde grau três. Através da vértice-substituição doK4 por um desses grafos hipo-hamiltonianos planaresde 40 vértices obtém-se um grafo com (40− 1)× 4 = 156 vértices.

Observe que, em vez de se utilizar o K4 como grafo inicial, pode-se utilizar outros grafos cúbicos(grafos em que todos os vértice têm grau três), desde que sejam “bons”. Dizemos que um grafo ébom se, para quaisquer duas arestas, existe um caminho mais longo que as evita. Essa estratégia foiutilizada para obter grafos que deram limitantes para outros Γj ’s, como vemos adiante. (Observamosque a operação de vértice-substituição para esses grafos é definida analogamente.)

Para grafos 4-conexos, não se conhece nenhum exemplo que mostre que Γ1[4-conexo] < ∞.Já para grafos 4-conexos planares, tal exemplo não existe, ou seja, Γ1[4-conexo, planar] =∞. Issoé consequência direta do célebre Teorema de Tutte que afirma que todo grafo 4-conexo planaré hamiltoniano. Na realidade, o Teorema de Tutte implica que Γj [4-conexo, planar] = ∞ paratodo j ≥ 1.

Consideramos, agora, o caso em que j = 2 (buscamos grafos nos quais, para quaisquer doisvértices, existe um caminho mais longo que evita ambos). O primeiro grafo encontrado que provaque Γ2 <∞, foi obtido por Grünbaum [48] em 1974, tem 324 vértices e é 3-conexo (ou seja, tambémdetermina que Γ2[2-conexo] < ∞ e Γ2[3-conexo] < ∞). Esse grafo foi obtido através da vértice-substituição do K4 pelo grafo de Petersen (obtendo o grafo da Figura 5.6, que, por sua vez, é umgrafo cúbico bom) e depois fazendo uma vértice-substituição desse novo grafo pelo grafo de Petersen.


Assim o grafo resultante tem (4×9)×9 = 324 vértices. Zamfirescu [103] observou que é possível con-trair as arestas originais doK4 (que são 6), obtendo um grafo de (4× 9− 6)× 9 = 270 vértices. Essegrafo gerou os menores limitantes superiores que se conhece para Γ2[2-conexo] e para Γ2[3-conexo].

Para Γ2, Zamfirescu [101] obteve um resultado melhor com 93 vértices. Esse grafo foi obtidoatravés da vértice-substituição do grafo da Figura 1.4 (o menor grafo responde negativamente àpergunta de Gallai, que é um grafo bom) pelo grafo de Petersen e depois contraindo as arestas dografo inicial (que são 15). Assim o grafo resultante tem 12× 9− 15 = 93 vértices.

Ainda para j = 2, considerando apenas grafos planares, um grafo de ordem 308 e um grafo2-conexo de ordem 914, encontrados em 1975 por Zamfirescu [101], continuam sendo os menoresconhecidos. Já no caso dos grafos 3-conexos planares, a descoberta de grafos hipo-hamiltonianosplanares cada vez menores, tem diminuído o limitante superior de Γ2[3-conexo, planar]. A ideiautilizada para obter um grafo que produza tal limitante, é a mesma apresentada anteriormente,mas desta vez é necessário utilizar um grafo hipo-hamiltoniano planar cúbico. O menor tal grafoque conhecemos tem 70 vértices e foi encontrado recentemente por Araya e Wiener [4] (melhorandoo limitante de 94 vértices que fora obtido por Thomassen em 1981 e que era o menor conhecido atéentão). Denote por H este grafo e por G o menor grafo hipo-hamiltoniano planar conhecido (de 40vértices). Para construir o grafo que buscamos, fazemos uma vértice-substituição do K4 por H,depois fazemos uma vértice-substituição desse novo grafo por G e finalmente contrai-se as arestasoriginais do K4 (que são 6) e das 4 cópias de H ′ (onde H ′ é o grafo obtido removendo-se algumvértice de grau três de H). Como H tem 3×70

2 = 105 arestas, cada cópia de H ′ possui 102 aresta.Desta forma, é possível obter um grafo de 4× 69× 39− (6 + 4× 102) = 10.350 vértices, produzindoo menor limitante superior que conhecemos para Γ2[3-conexo, planar].

Interessantemente, não se sabe nada sobre o valor de Γ3. Pode, inclusive, ser verdade que, paraqualquer grafo conexo, existe um conjunto de três vértices que intersecta todos os caminhos maislongos do grafo (ou seja, é possível que Γ3 =∞).

Parte II

Resultados algorítmicos

43

Capítulo 6

Busca de um caminho mais longo

Em teoria dos grafos, “o problema do caminho mais longo” se refere, usualmente, ao problemade encontrar um caminho de comprimento máximo em um dado grafo. Embora esse problema nãoesteja diretamente relacionado à pergunta de Gallai, é possível que resultados de um problemasejam úteis para achar soluções de outro.

Por exemplo, um algoritmo eficiente para encontrar caminhos mais longos em uma determinadaclasse de grafos pode facilitar o estudo da caracterização estrutural desses caminhos, tanto por meioda análise do algoritmo, como da observação de resultados em algumas instâncias.

Também é possível que um resultado estrutural possibilite o desenvolvimento de um algoritmoeficiente. Por exemplo, Grötschel e Nemhauser [47] usam diversas propriedades estruturais de grafos,inclusive algumas das apresentadas na Seção 5.1 relacionadas com intersecção de circuitos maislongos, para obter um algoritmo polinomial que resolve o problema do corte máximo para grafossem circuitos ímpares longos, e sugerem que esses resultados de intersecção de circuitos mais longospossam ser úteis para o desenvolvimento de algoritmos recursivos para problemas de otimizaçãocombinatória.

Portanto, o estudo dessa questão algorítmica pode ser tanto um instrumento quanto uma mo-tivação para o estudo de caracterizações estruturais de intersecção de caminhos mais longos.

Considere o problema de decisão correlato definido a seguir.

Problema 32 Dado um grafo G e um natural k, decidir se existe em G um caminho de compri-mento maior ou igual a k.

Note que o problema do caminho mais longo e o Problema 32 são equivalentes no sentido deque, se houvesse um algoritmo polinomial para resolver este problema de decisão, então haveriaum algoritmo polinomial para resolver o problema do caminho mais longo. De fato, suponha quea função caminho(k,G) receba um inteiro k e um grafo G e devolva sim se existe um caminho decomprimento maior ou igual a k em G e devolva não, caso contrário. Se esta função fosse polinomial,então o algoritmo abaixo, que encontra um caminho de comprimento máximo em um grafo G, seriapolinomial.

Note que as linhas 2 e 3 são executadas no máximo |V (G)| vezes e o bloco de linhas 5-8 nomáximo |E(G)| vezes. Portanto, a função caminho(k,G) é chamada no máximo |V (G)| + |E(G)|vezes.

45

46 BUSCA DE UM CAMINHO MAIS LONGO 6.1

caminho mais longo(G)

1 k ← |V (G)| − 1

2 enquanto (caminho(k,G) = não)

3 k ← k − 1

4 H ← G

5 para i em E(H)

6 remova i de H7 se (caminho(k,H) = não)

8 insira i de volta em H

9 devolva H

Como vemos a seguir, isso implica que, a menos que P = NP, não existe algoritmo polinomialque encontra um caminho mais longo em um grafo qualquer.

Proposição 33 O Problema 32 é NP-completo.

Prova. É trivial ver que o problema está em NP, pois um certificado para a instância sim doproblema é a descrição de um caminho de comprimento maior ou igual a k. A proposição segue dofato de que o problema do caminho hamiltoniano (que é conhecidamente NP-completo [42]) é umcaso especial do Problema 32.

Como vimos na introdução, existem duas possíveis direções de pesquisa para o problema deencontrar caminhos mais longos. Nesta seção, discutimos classes especiais de grafos para as quaisexistem algoritmos polinomiais. Em particular, apresentamos algoritmos polinomiais que resolvemo problema para duas classes: árvores e grafos de intervalos.

Para algumas classes de grafos, sabe-se que o problema de encontrar um caminho hamiltonianoadmite solução polinomial, como grafos de intervalos [6, 22, 29], grafos arco-circulares [29], grafosbiconvexos [8] e grafos de cocomparabilidade [30]. Portanto, é natural que tenha sido investigadose, para essas classes, existem algoritmos polinomiais para o problema do caminho mais longo. Narealidade, esse fato foi provado para todas as classes mencionadas acima.

6.1 Árvores

O primeiro algoritmo polinomial para encontrar caminhos mais longos em uma determinadaclasse de grafos, foi proposto por Dijkstra por volta de 1960 e encontra, em tempo linear, umcaminho mais longo em uma árvore. É interessante notar que uma prova formal só foi apresentadaem 2002 por Bulterman, Feijen, van der Sommen, van Gasteren, Verhoeff e Zwaan [19].

caminho mais longo em árvore (G)

1 Escolha um vértice qualquer da árvore G e nomeie-o x2 Encontre um caminho mais longo em G com início x.3 Chame a outra extremidade deste caminho de y.4 Encontre um caminho mais longo em G com início y.5 Chame a outra extremidade deste caminho de z.6 Devolva o caminho de y a z. Este é um caminho mais longo em G.

6.2 ÁRVORES 47

Para compreender melhor o algoritmo, os autores [19] descreveram-no de uma forma muitotangível. Imagine que nos é dado um modelo físico da árvore em que cada dois vértices adjacentessão ligados por um pedaço de barbante de mesmo comprimento. Agora escolha um vértice x qualquerda árvore física e segure a árvore a partir de x, deixando o restante pendurado. Chame de y o vérticemais distante de x (o que está mais em baixo no modelo físico). Segure a árvore a partir de y echame de z o vértice mais distante de y. O caminho entre y e z é um caminho mais longo na árvore.

É fácil ver que esse algoritmo é polinomial. A prova de que esse algoritmo está correto se baseiaem três propriedades de caminhos em árvores. Note que em uma árvore existe apenas um caminhoentre quaisquer dois vértices, logo a distância entre dois vértices é o comprimento do caminho maislongo entre esses dois vértices. O algoritmo garante que:

d(x,w) ≤ d(x, y),∀w ∈ V (G);(6.1)

d(y, w) ≤ d(y, z),∀w ∈ V (G).(6.2)

Para u e v vértices da árvore, seja P (u, v) o caminho de u a v. Sejam a, b, c e d vértices quaisquerda árvore. As seguintes propriedades valem para árvores.

d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b);(6.3)

c ∈ P (a, b)⇒ d(a, b) = d(a, c) + d(c, b);(6.4)

∃m ∈ P (a, b) ∩ P (c, d) ou ∃m ∈ P (a, c) ∩ P (b, d).(6.5)

Com essas propriedades é possível obter a seguinte prova. Sejam x, y e z conforme o algoritmoe sejam u e v vértices quaisquer da árvore. Queremos provar que d(u, v) ≤ d(y, z).

Por (6.5) temos que ∃m ∈ P (x, v) ∩ P (u, y) ou ∃m ∈ P (x, u) ∩ P (v, y). Vamos supor que oprimeiro ocorre e seja m ∈ P (x, v) ∩ P (u, y).

d(x, v) ≤ d(x, y) (por (6.1))

⇒ d(x,m) + d(m, v) ≤ d(x,m) + d(m, y)(por (6.4), pois m ∈ P (x, v), e por (6.3))

⇒ d(m, v) ≤ d(m, y)

⇒ d(u,m) + d(m, v) ≤ d(u,m) + d(m, y)

⇒ d(u, v) ≤ d(u, y) (por (6.3) e por (6.4), pois m ∈ P (u, y)).

Com um argumento análogo, trocando u e v, temos que a seguinte implicação é verdadeira:∃m ∈ P (x, u) ∩ P (v, y)⇒ d(u, v) ≤ d(v, y). Logo,

∃m ∈ P (x, v) ∩ P (u, y) ou ∃m ∈ P (x, u) ∩ P (v, y) (por (6.5))

⇒ d(u, v) ≤ d(u, y) ou d(u, v) ≤ d(v, y)

⇒∃w | d(u, v) ≤ d(w, y)

⇒ d(u, v) ≤ d(z, y) (por (6.2)).


6.2 Grafos de intervalos

Em 2009, Ioannidou, Mertzios e Nikolopoulos [57] desenvolveram um algoritmo polinomial queencontra um caminho mais longo em grafos de intervalos, uma superclasse dos grafos limiares (paraos quais já se conhecia algoritmo polinomial [88]). Apresentamos aqui a ideia desse algoritmo. Paraisso, enunciamos, mas não provamos, alguns lemas que ajudam a compreender o algoritmo e quesão usados para provar que o mesmo está correto (a prova formal deste fato pode ser encontradano artigo de Ioannidou e outros [57]).

Antes de apresentar o algoritmo precisamos de algumas definições. Seja G um grafo de intervalos.É interessante notar que todo subgrafo induzido de G é também um grafo de intervalos.

Definição 34 Uma r-ordenação (ou “right-end ordering”) dos vértices de G é uma ordenaçãoπ = (v1, v2, . . . vn) tal que se i < j < k e vivk ∈ E(G), então vjvk ∈ E(G). Ademais, se i < j entãodizemos que vi <π vj.

Essa ordenação (veja Figura 6.1) foi proposta por Ramalingam e Rangan [76]. Eles provam quetodo grafo de intervalos possui uma r-ordenação.

v1

v1 v1

v2

v2 v2

v3

v3 v3

v4

v4

v4 v5

v5

v5

(a) (b) (c)

Figura 6.1: (a) Um grafo de intervalos G; (b) o modelo de intersecção de G; (c) a r-ordenaçãoπ = (v1, v2, v3, v4, v5) de G.

Ramalingam e Rangan [76] mostram que é possível conseguir essa ordenação em tempo propor-cional a |V (G)|+ |E(G)|. Essa ordenação tem sido útil para provar diversas propriedades de grafosde intervalos [6, 76].

O algoritmo que chamamos de Algoritmo CML_Intervalos (abreviação para Caminho MaisLongo em Grafos de Intervalos) encontra um caminho mais longo em um dado grafo de intervalos.Esse algoritmo é composto de três fases.

• Fase 1: Recebe um grafo de intervalos G e constrói um grafo de intervalos auxiliar H;

• Fase 2: Encontra um caminho binormal mais longo P de H pelo Algoritmo CML_em_H;

• Fase 3: Encontra um caminho mais longo P de G a partir de P .

Ou seja, o algoritmo produz um grafo auxiliar no qual encontra um caminho binormal (definidomais a diante) mais longo, e a partir desse caminho encontra um caminho mais longo do grafooriginal. Descrevemos, a seguir, cada uma das três etapas em mais detalhes.

6.2 GRAFOS DE INTERVALOS 49

Fase 1: construindo o grafo auxiliar H

Apresentamos aqui a primeira fase do algoritmo: dado um grafo de intervalos G e uma r-orde-nação π de G (que pode ser obtida em tempo polinomial), construímos um grafo de intervalos H euma r-ordenação σ de H.

Construção do grafo auxiliar H e de uma r-ordenação σ de H: Seja n = |V (G)| e sejaπ = (v1, v2, . . . vn) uma r-ordenação de G. Para v ∈ V (G), denotamos por N(v) o conjunto devértices adjacentes a v em G. Inicialmente H é uma cópia de G e σ = π. Ademais, S(H) = ∅,onde S(H) é o conjunto de vértices de H que não são vértices de G. Percorra os vértices de π daesquerda para a direita e, para cada vi, adicione dois vértices ai,1 e ai,2 a V (H) e faça ambos seremadjacentes a vi e a todo vj ∈ N(vi) com j > i. Adicione ai,1 e ai,2 ao conjunto S(H). Atualize σ talque a1,1 <σ a1,2 <σ v1 e vi−1 <σ ai,1 <σ ai,2 <σ vi para todo i ∈ 2, . . . , n. A Figura 6.2 mostra omodelo de intersecção do grafo H construído a partir do grafo G da Figura 6.1.

v1 v2 v3

v4

v5

a1,1 a2,1a1,2 a2,2 a3,1

a4,1

a5,1

a3,2

a4,2

a5,2

Figura 6.2: Modelo de intersecção do grafo H.

Chamamos o grafo construído H de grafo estável-conexo de G. Denotamos por C(H) o conjuntode vértices de H que são também vértices de G, ou seja, C(H) = V (G). Chamamos os vérticesde C(H) de vértices conectores de H e os vértices de S(H) de vértices estáveis de H. Observeque |S(H)| = 2|C(H)|.

Não é difícil ver que, se G é um grafo de intervalos, então o grafo estável-conexo H de G é umgrafo de intervalos e σ é uma r-ordenação para H. Note que os vértices estáveis de H formam umconjunto independente, ou seja, não existe dois vértices estáveis adjacentes. Observe também queos vizinhos de um vértice estável formam um clique em G.

Fase 2: encontrando um caminho binormal mais longo em H

Seja G um grafo de intervalos e seja H o grafo estável-conexo construído na Fase 1. Apresenta-mos, nesta fase, o Algoritmo CML_em_H que computa um caminho binormal mais longo de H.Primeiro definimos caminhos binormais e estabelecemos a notação necessária para a descrição doalgoritmo.

Definição 35 Seja H um grafo estável-conexo e seja σ = (u1, u2, . . . un) uma r-ordenação de H.Para todo vértice conector c ∈ C(H), seja f(c) = mini : ui ∈ N(c). Para cada par de índices (i, j),1 ≤ i ≤ j ≤ n, definimos o grafo H(i, j) como o subgrafo H[S] de H, induzido pelo conjuntoS = ui, ui+1, . . . uj \ uk ∈ C(H) : uf(uk) <σ ui (veja Figura 6.3).


Ou seja, H(i, j) é um subgrafo de H que contém os vértices de ui a uj (na r-ordenação σ),exceto os vértices conectores que são adjacentes a algum vértice u` com ` < i.

u3 u6 u9

u12

u15

u1 u4u2 u5 u7

u10

u13

u8

u11

u14

Figura 6.3: O subgrafo H(4, 15), sendo σ = (u1, u2, . . . u15).

O grafo estável-conexoH da Figura 6.2 está ilustrado na Figura 6.3, com os vértices (os estáveis eos conectores) numerado de acordo com a r-ordenação σ = (u1, u2, . . . u15) deH. O subgrafoH(4, 15)

está ilustrado na Figura 6.3, onde V (H(4, 15)) = u4, u5, u6, u7, u8, u9, u10, u11, u13, u14, u15 estãorepresentados com cor mais escura que os demais para facilitar a visualização.

Definição 36 Seja π uma r-ordenação de G. Um caminho P = (w1, w2, . . . , wk) de G é um cami-nho normal se satisfaz:(a) para todo i ∈ 2, . . . , k, w1 <π wi; e(b) para todo i, j ∈ 2, . . . k, i < j, se wj ∈ N(wi−1), então wi <π wj.Chamamos wk de término de P .

Definição 37 Seja H um grafo estável-conexo e seja P um caminho de H(i, j), 2 ≤ i < j ≤ n. Ocaminho P é binormal se P é um caminho normal de H(i, j), ambas as extremidades de P sãovértices estáveis e não existem dois vértices conectores que aparecem consecutivamente em P .

Notação 38 Seja H um grafo estável-conexo e seja σ = (u1, u2, . . . un) uma r-ordenação de H.Para todo vértice estável uk ∈ S(H(i, j)), denotamos por P (uk; i, j) um caminho binormal maislongo em H(i, j) com término uk, e por l(uk; i, j) o comprimento de P (uk; i, j).

u6 u9

u15

u4 u5 u7

u10 u13

u8

u11 u14

Figura 6.4: O caminho P (u8; 4, 15) = (u4, u6, u5, u15, u7, u9, u8) é um caminho binormal mais longo emH(4, 15) com término em u8.

Usando técnicas de programação dinâmica, o Algoritmo CML_em_H calcula, para cada vérticeestável uk ∈ S(H(i, j)), o comprimento l(uk; i, j) e o caminho correspondente P (uk; i, j). ComoH(1, n) = H, segue que o maior dos valores dentre l(uk; 1, n), onde uk ∈ S(H), é o comprimento

6.2 GRAFOS DE INTERVALOS 51

do maior caminho binormal P (uk; 1, n) de H. Apresentamos o algoritmo e em seguida explicamoscada passo. Também aqui f(c) = mini : ui ∈ N(c).

Algoritmo CML_em_H

Entrada: um grafo estável-conexo H, e uma r-ordenação σ de HSaída: um caminho mais longo binormal de H

1. para j = 1 até n

2. para i = j decrescendo até 1

3. se i = j e ui ∈ S(H) então

4. l(ui; i, i)← 1; P (ui; i, i)← (ui);

5. se i 6= j então

6. para cada vértice uk ∈ S(H), i ≤ k ≤ j − 1

7. l(uk; i, j)← l(uk; i, j − 1); P (uk; i, j)← P (uk; i, j − 1);

8. se uj ∈ S(H) então

9. l(uj ; i, j)← 1; P (uj ; i, j)← (uj);

10. se uj ∈ C(H) e i ≤ f(uj) então

11. execute processa(H(i, j))

12. compute maxl(uk; 1, n) : uk ∈ S(H) e devolva o caminho correspondente P (uk; 1, n);

processa(H(i, j))

1. para y = f(uj) + 1 até j − 1

2. para x = f(uj) até y − 1

3. se ux, uy ∈ S(H) então

4. w1 ← l(ux; i, j − 1); P1 ← P (ux; i, j − 1);

5. w2 ← l(uy;x+ 1, j − 1); P2 ← P (uy;x+ 1, j − 1);

6. se w1 + w2 + 1 > l(uy; i, j) então

7. l(uy; i, j)← w1 + w2 + 1; P (uy; i, j)← (P1, uj , P2);

8. devolva o valor l(uk; i, j) e o caminho P (uk; i, j), ∀uk ∈ S(H(f(uj) + 1, j − 1));

Por simplicidade, quando dizemos que o algoritmo computa P (uk; i, j) ou l(uk; i, j), queremosdizer que o faz para cada vértice estável uk ∈ S(H(i, j)).

A ideia principal por trás do algoritmo é computar P (uk; i, j) a partir de caminhos já compu-tados, ou seja, podemos imaginar que o algoritmo preenche uma tabela com os valores de l(uk; i, j)e com os caminhos P (uk; i, j) usando dados que já foram preenchidos na tabela.

O Algoritmo CML_em_H começa computando P (uk; i, j) para valores pequenos de j. Noteque, se i = j, então o único caminho binormal em H(i, j) é (ui), se ui for um vértice estável(se ui é um vértice conector, não existe caminho binormal em H(i, j)). Já para i < j, o algo-ritmo inicializa P (uk; i, j) e l(uk; i, j) (para k 6= j) com os valores já calculados P (uk; i, j − 1)


e l(uk; i, j − 1), respectivamente, pois um caminho binormal em H(i, j − 1) é também um caminhobinormal em H(i, j). Se uj é um vértice conector, esses valores poderão ser atualizados em umaetapa seguinte. Se uj é um vértice estável, então resta definir que P (uj ; i, j) = (uj) e l(uj ; i, j) = 1.

A sub-rotina processa(H(i, j)) atualiza os valores P (uk; i, j) e l(uk; i, j), no caso de uj ser umvértice conector de H(i, j). Isto é feito calculando todos os possíveis pares de caminhos binormaisque, juntamente com o vértice uj , formam um caminho binormal com término em uk e, finalmente,guardando o maior dentre os caminhos resultantes. Por exemplo, no grafo da Figura 6.4, o caminhoP (u8; 4, 15) = (P1, u15, P2), com P1 = (u4, u6, u5) e P2 = (u7, u9, u8), é formado pela união de doiscaminhos, a saber P1 = P (u5; 4, 14) e P2 = P (u8; 6, 14), com o vértice u15.

Fase 3: encontrando um caminho mais longo em G

Seja P o caminho binormal mais longo em H devolvido pelo Algoritmo CML_em_H. Nestafase, computamos o caminho P , simplesmente removendo os vértices estáveis de P . Para verificarque P é de fato um caminho mais longo precisamos do seguinte lema.

Lema 39 Seja H um grafo estável-conexo de G. Se P é um caminho binormal mais longo em H

e P ′ um caminho mais longo em G, então |P | = 2|P ′|+ 1.

Pela construção de H, todos os vizinhos de um vértice estável v são vértices conectores e formamum clique em G. Logo, os vizinhos de v em P são vértices de G e são adjacentes em G. Portanto, Pé de fato um caminho. Ademais, como P é binormal, P tem k vértices conectores e k + 1 vérticesestáveis. Segue que |P | = 2k + 1 e |P | = k. Pelo Lema 39, P é um caminho mais longo em G.

Apresentamos abaixo o Algoritmo CML_Intevalos, que encontra um caminho mais longo emum grafo de intervalos G.

Algoritmo CML_Intervalos

Entrada: um grafo de intervalos G e uma r-ordenação π de GSaída: um caminho mais longo P de G

1. A partir de G e π, construir H o grafo estável-conexo de G e σ uma r-ordenação de H; sejaV (H) = C ∪ S, onde C = V (G) e S são os conjuntos dos vértices conectores e estáveis de H,respectivamente.

2. Compute P um caminho binormal mais longo em H, usando o Algoritmo CML_em_H; sejaP = (v1, v2, . . . , v2k, v2k+1), onde v2i ∈ C, 1 ≤ i ≤ k, e v2i+1 ∈ S, 0 ≤ i ≤ k.

3. Compute o caminho P = (v2, v4, . . . , v2k), que é um caminho mais longo em G, removendo osvértices v1, v3, . . . , v2k+1 do caminho P .

6.3 OUTROS RESULTADOS 53

Complexidade

Seja G um grafo de intervalos com n vértices e m arestas. A construção de uma r-ordenaçãode G pode ser feita em tempo O(n+m) [6, 76].

A Fase 1 leva tempo O(n2), pois, para cada um dos n vértices conectores, adicionamos doisvizinhos em tempo O(1) e calculamos sua vizinhança em tempo O(n).

Para determinar o tempo gasto na Fase 2, observe que a sub-rotina processa() leva tempo O(n2)

devido aos O(n2) pares de vizinhos do vértice conector uj no grafo H(i, j). Além disso, a sub-rotinaprocessa() é executada no máximo uma vez para cada subgrafo H(i, j), 1 ≤ i ≤ j ≤ n, ou seja éexecutada O(n2) vezes. Portando a Fase 2 leva tempo O(n4).

A Fase 3 pode ser feita em tempo O(n), pois basta percorrer o caminho P construído peloAlgoritmo CML_em_H uma vez, removendo os vértices estáveis. Portanto, a complexidade doalgoritmo inteiro é O(n4).

6.3 Outros resultados

Existem outras classes de grafos para as quais já se conhece algoritmo polinomial para re-solver o problema do caminho mais longo. Bodlaender [15, 16] provou que existe um algoritmolinear que resolve este problema para k-árvore parciais, considerando k-fixo, (que incluem os grafossérie-paralelos). Uehara e Uno [88, 89] apresentaram algoritmos polinomiais para grafos de blocos,cactos, grafos de permutação bipartidos, grafos limiares (threshold graphs) e algumas outras classesde grafos. Andreica, Manev, Markov e Ţăpuş [3] melhoraram o algoritmo para cactos, e Ueharae Valiente [90] para grafos de permutação bipartido. Takahara, Teramoto e Uehara [83] propuse-ram um algoritmo polinomial que encontra um caminho mais longo em grafos ptolomaicos, umasuperclasse dos grafos de blocos; e Guo, Ho e Ko [49] em grafos distância-hereditários, uma su-perclasse dos grafos ptolomaicos. Ghosh, Narayanaswamy e Rangan [44] provaram que para grafosbiconvexos, uma superclasse dos grafos de permutação bipartido, o problema também é polinomial.Recentemente, Chang, Hsu e Peng [23] provaram o mesmo fato para os grafos de permutação, outrasuperclasse dos grafos de permutação bipartido.

Corneil e Mertzios [27], e Ioannidou e Nikolopoulos [58], independentemente, desenvolveramalgoritmos polinomiais que encontram um caminho mais longo em grafos de cocomparabilidade,que é uma superclasse dos grafos de intervalos. Bezáková e Mertzios [13] encontraram algoritmospolinomiais que resolvem o problema para os grafos arco-circulares, outra superclasse dos grafos deintervalos.

Embora existam diversas classes em que o problema admite solução polinomial, conforme men-cionamos na introdução, sabemos que esse problema é NP-difícil [42] mesmo quando restrito aalgumas classes, como grafos planares [43], grafos grade [59], grafos círculo [28], grafos cordaisbipartidos, grafos divididos fortemente cordais [70], grafos de caminhos dirigidos [72] e grafos divi-didos [45].

Uma extensão natural para esse problema é pesquisar se algumas outras classes “intermediárias”admitem solução polinomial, como por exemplo, as classes dos grafos convexos (uma subclasse degrafos cordais bipartidos e uma superclasse de grafos biconvexos) e dos grafos de cointervalos (umasubclasse de grafos de comparabilidade e uma superclasse de grafos limiares).

Nos diagramas das Figuras 2.1 e 2.2, as elipses com fundo branco se referem a classes de grafos


para as quais existe algoritmo polinomial que resolve o problema do caminho mais longo, as elipsesde fundo mais escuro se referem a classes para as quais é sabido que o problema é NP-difícil e,finalmente, as elipses hachuradas se referem a classes para as quais não se sabe se existe algoritmopolinomial.

Capítulo 7

Algoritmos de aproximação

Uma abordagem que tem sido investigada no tratamento do problema do caminho mais longo éa de encontrar algoritmos de aproximação para esse problema. Ou seja, projetar algoritmos polino-miais que recebem como entrada um grafo com n vértices e encontram caminhos de comprimentoao menos f(n) vezes o comprimento de um caminho mais longo, para alguma função f . Nesse caso,dizemos que um tal algoritmo tem razão de aproximação f(n).

Nesta seção descrevemos três desses algoritmos que utilizam técnicas distintas e que fornecemrazões de aproximação sucessivamente melhores. A melhor razão de aproximação para esse problemaconhecida hoje é de Gabow e Nie [41]. Eles apresentam um algoritmo que encontra um caminho decomprimento exp(Ω(

√logL)), onde L é o comprimento de um caminho mais longo. Não provamos

aqui esse resultado, mas a ideia por trás desse algoritmo tem semelhanças com o algoritmo queapresentamos na Seção 7.3.

Observamos que, para facilitar o entendimento e para corrigir pequenos erros nas provas, fizemosalgumas modificações, com relação às demonstrações dos autores, e detalhamos algumas passagensmais relevantes.

7.1 Representantes de famílias

Em 1985, Monien [69] desenvolveu um algoritmo para encontrar caminhos de comprimento kem um grafo com n vértices, de forma mais eficiente que o algoritmo ingênuo de enumerar to-das as sequências de k + 1 vértices. O algoritmo ingênuo resolve o problema em tempo O(nk+1).Obviamente, esse algoritmo só é polinomial em n para k constante.

O algoritmo de Monien encontra um caminho de comprimento k (se tal caminho existir) emtempo exponencial em k, a saber O(k!nm), o que permite encontrar, em tempo polinomial em n, ca-minhos de comprimento log n/ log log n. Esse algoritmo calcula a matriz D(k) = (d

(k)ij ), 1 ≤ i, j ≤ n,

onde d(k)ij é igual a algum caminho de i a j de comprimento k, se tal caminho existir, e d(k)

ij é iguala um símbolo especial λ, caso contrário. O resultado principal de Monien é o seguinte.

Teorema 40 Seja G um grafo com n vértices e m arestas e seja k um número natural. A ma-triz D(k)(G) pode ser calculada em tempo O(k!nm).

Seja G = (V,E) conforme o enunciado. Denotamos por 1, . . . , n o conjunto dos vértices de G.Observe que, para quaisquer vértices i e j, se tivermos todos os caminhos de comprimento p − 1

55

56 ALGORITMOS DE APROXIMAÇÃO 7.1

que terminam em j, podemos facilmente computar todos caminhos de comprimento p que começamem i e terminam em j. Esse método consome muito tempo, pois o número de caminhos de compri-mento p pode ser muito grande. Para melhorar o consumo de tempo, em vez de considerar todos oscaminhos de comprimento p de i a j, o algoritmo considera apenas uma subfamília desses caminhos,desconsiderando aqueles que não são necessários para computar caminhos de comprimento k.

Por simplicidade, em vez de considerar caminhos (sequências de vértices), consideramos con-juntos de vértices, ou seja, não fazemos distinção entre caminhos que têm o mesmo conjunto devértices. Em uma implementação desse algoritmo, seria necessário manter a sequência dos vértices.Uma vez que temos um conjunto de k + 1 vértices que formam um caminho, também é possívelusar o método ingênuo de enumerar todas as permutações desses k + 1 vértices para encontrar umcaminho sobre esses vértices. Esse processo consome tempo O(kk), que, para k = O(log n/ log logn),é polinomial em n.

Dados um conjunto C e um inteiro p, denotamos por(Cp

)a coleção de todos os conjuntos

de p elementos distintos de C. Se i, j são vértices do grafo e p ∈ 0, . . . , n−2, definimos a seguintefamília de conjuntos de p vértices:

F pij =U ∈

(Vp

)| U é o conjunto de vértices internos a um caminho com p+ 2 vértices de i a j

.

u

1

2

3

4

5

6

7

8

v

Figura 7.1: Grafo G.

Considere o grafo da Figura 7.1. Observe que os conjuntos de vértices da família F 2uv são aqueles

que são internos a algum caminho de u a v com 4 vértices. Ou seja,

F 2uv = 1, 5, 1, 6, 1, 7, 2, 4, 3, 6, 3, 8, 4, 7, 4, 8.

Definimos, a seguir, a noção de representantes de família. Seja q um número natural, 0 ≤ q < n

e seja F uma família de conjuntos de vértices. Um q-representante F de F é um subconjunto de Ftal que, se consideramos um conjunto qualquer W de q vértices, F contém um conjunto U disjuntode W se e somente se F contém um conjunto U disjunto de W . Note que, como F ⊆ F , se F nãocontém um conjunto disjunto de algum W , F também não conterá. Logo, para verificar que umsubconjunto F de F é de fato um q-representante de F , basta verificar se, para todo conjunto Wde cardinalidade q que é disjunto de algum conjunto de F , existe um conjunto em F que tambémé disjunto de W .

Considere novamente o grafo da Figura 7.1. Observe que F1 = 1, 5, 2, 4 é um 1-represen-tante de F 2

uv, De fato, note que, como F 2uv contém 2 conjuntos disjuntos, então qualquer vértice

é disjunto de um desses dois conjuntos. O mesmo vale para F1. Analogamente, podemos ver quecomo F 2

uv contém 3 conjuntos dois-a-dois disjuntos, então qualquer conjunto de 2 vértices é disjunto

7.1 REPRESENTANTES DE FAMÍLIAS 57

a algum deles. Logo, F2 = 1, 5, 2, 4, 3, 6 é um 2-representante de F 2uv. Com um pouco

mais esforço podemos ver que F3 = 1, 5, 1, 7, 2, 4, 3, 6, 3, 8, 4, 8 é um 3-representantede F 2

uv.Como mencionamos anteriormente, usamos essa ideia de representantes para calcular a ma-

triz D(k), ou seja, para calcular d(k)ij para todo i, j ∈ 1, . . . , n. Para isso, precisamos decidir se

existe um caminho de comprimento k de i a j e, se existir, saber quais os vértices internos dessecaminho, o que é equivalente a decidir se a família F k−1

ij é vazia e, se não for, encontrar algumconjunto que está em F k−1

ij .Sejam u e v dois vértices. Um caminho de u a v consiste em uma aresta ui ∈ E e um caminho

de i a v de comprimento k − 1 que não contenha u. Note que F k−2iv é justamente a família de

conjuntos de vértices que são internos a algum caminho de comprimento k− 1 de i a v. Logo, bastasabermos se, para algum i ∈ V tal que ui ∈ E, existe um conjunto em F k−2

iv que não contém u

(ou seja, existe um caminho de i a v de comprimento k − 1 que não contenha u). Note que essainformação pode ser extraída do 1-representante de F k−2

iv .Podemos reformular essa observação da seguinte maneira, suponha que conheçamos um 1-repre-

sentante para F k−2ij , para i, j ∈ 1, . . . , n. Então é possível calcular 0-representantes de F k−1

ij ,para i, j ∈ 1, . . . , n. Note que um 0-representante de uma família F é vazio se F é vazio, e casocontrário, ou seja se F não é vazio, contém um elemento qualquer de F .

Podemos facilmente generalizar a observação acima e obter o seguinte lema.

Lema 41 Sejam p, q ∈ N tais que 0 ≤ p ≤ n − 2 e 1 ≤ q < n. Se conhecemos um q-represen-tante para F pij, para i, j ∈ 1, . . . , n, mas não necessariamente a família F pij, é possível calcular(q − 1)-representantes para todas as famílias F p+1

ij , para i, j ∈ 1, . . . , n.

Assim, se calcularmos um (k − 1)-representante para F 0ij , para todo i, j ∈ 1, . . . , n, podemos,

então, calcular um (k − 2)-representante para F 1ij , para i, j ∈ 1, . . . , n, e assim por diante, até

chegarmos a um 0-representante para F k−1ij , para todo i, j ∈ 1, . . . , n, que é o que precisamos

para calcular a matriz D(k).Resta mostrar como fazer isso de modo eficiente. Para isso, definimos um tipo de árvore que

permitirá fazer as computações descritas no Lema 41 de forma rápida.

Definição 42 Seja F uma família de conjuntos de p elementos de V e seja q um número natu-ral. Uma (q, F )-árvore é uma árvore p-nária, com rótulos nos vértices e nas arestas, de altura nomáximo q e que satisfaz as seguintes condições:

1. Os vértices são rotulados com conjuntos de F ou com o símbolo especial λ. As arestas sãorotuladas com elementos de V .

2. Se um vértice u da árvore tem um rótulo U ∈ F e tem profundidade menor que q, então utem p filhos e cada um dos p elementos de U ocorre como rótulo de uma aresta entre u e umde seus filhos.

3. Um vértice cujo rótulo é λ ou cuja profundidade é igual a q não tem filhos.

4. Para todo vértice u da árvore, seja P (u) o conjunto de elementos que rotula as arestas docaminho da raiz até u. Se o rótulo de u é U ∈ F , então vale que U ∩ P (u) = ∅ e, se o rótulode u é λ, então não existe W ∈ F tal que W ∩ P (u) = ∅.


Como exemplo (veja Figura 7.2), descrevemos uma (3, F 2uv)-árvore para o grafo da Figura 7.1.

Note que, para 0 ≤ q ≤ 2, os primeiros q níveis dessa árvore formam uma (q, F 2uv)-árvore.

1,6

4,7

1,7 1,5

1,5 3,8 2,4 3,8

6

4

7 1

7

1 5

3,8

2,44,8

3,64,72,4λ

1

8

42

3

84

Figura 7.2: (3, F 2uv)-árvore.

Para as próximas demonstrações, denotamos por P (u) o conjunto de elementos que rotula asarestas do caminho da raiz até o vértice u da árvore. Observe que, dados q ∈ N e uma família F deconjuntos de tamanho p, é possível construir uma (q, F )-árvore recursivamente da seguinte forma.Primeiro comece com uma árvore que tem apenas um vértice (a raiz) e rotule esse vértice com umelemento qualquer de F . Enquanto existe uma folha (um vértice com grau no máximo 1), digamos v,na árvore que não esteja rotulada com o símbolo λ e que esteja a uma profundidade menor que q,adicione p vértices, digamos v1, v2, . . . , vp, adjacentes unicamente a v e rotule cada aresta nova(entre v e um vértice vi) com um elemento distinto do rótulo de v. Rotule cada vi com um conjuntode F que não contém nenhum dos elementos de P (vi), se tal conjunto existir. Se não existir talconjunto, rotule vi com λ.

Obviamente esse algoritmo para, pois p e q são números finitos e essa árvore tem no máximo(p+1)q

q vértices. Além do mais, a árvore gerada por esse algoritmo obedece as propriedades dadefinição de uma (q, F )-árvore. Como mostra o Lema 43, estas árvores permitem fazer buscasde forma eficiente. O Lema 44 afirma que é possível calcular cada árvore de modo mais rápido,utilizando outras árvores já encontradas previamente no processo.

Lema 43 Sejam F ⊆(Vp

)uma família de conjuntos, q um número natural e B uma (q, F )-árvore. A

família F , que consiste de todos os conjuntos que ocorrem como rótulos de B, forma um q-represen-tante de F . Além disso, podemos decidir em tempo O(pq2) se, para um dado W ∈

(Vq

), existe U ∈ F

tal que W ∩ U = ∅ e, se existir, calcular um tal U .

Prova. Sejam F , q e B conforme o enunciado de lema. Se b é um vértice de B, denotamos por r(b)o seu rótulo. Dado W ∈

(Vq

), para decidir se existe U ∈ F tal que W ∩ U = ∅ e, se existir, calcular

um tal U , basta realizar uma busca na árvore B como descrevemos a seguir. Seja b0 a raiz de B.Se r(b0) = λ, então o algoritmo responde que não existe conjunto U ∈ F que satisfaz a proprie-

dade. Caso contrário, r(b0) ∈ F é um subconjunto de V . Se W ∩ r(b0) = ∅, então U = r(b0) satisfaz

7.1 REPRESENTANTES DE FAMÍLIAS 59

a propriedade desejada. Se W ∩ r(b0) 6= ∅, seja v ∈ W ∩ r(b0) e seja b1 o filho de b0 na árvore talque r(b1b0) = v. Repita o procedimento para a subárvore enraizada em b1.

Observe que o algoritmo necessariamente chega ao fim encontrando um vértice b de B tal que,ou r(b) = λ, ou r(b) ∈ F é um subconjunto de V e W ∩ r(b) = ∅. Para isso, observe que seo algoritmo chega em um vértice b com profundidade menor que q, ou b satisfaz uma das duasafirmações acima, ou o algoritmo continua para algum filho de b. Se o algoritmo chega em umvértice b de profundidade q, então, como P (b) ⊆W e |P (b)| = q, concluímos que P (b) = W . Logo,se r(b) 6= λ, então W ∩ r(b) = ∅.

Agora note que, se o algoritmo encontra um vértice da árvore b tal que W ∩ r(b) = ∅, en-tão, como r(b) ∈ F , r(b) satisfaz a propriedade desejada. Se r(b) = λ, então, pela definição de(q, F )-árvores, não existe U ∈ F tal que W ∩ U = ∅.

Como a busca na árvore decide corretamente se existe U ∈ F tal que W ∩ U = ∅ e, se exis-tir, calcula um tal U , e como esse U calculado é o rótulo de algum vértice da árvore, concluí-mos que a família F , que consiste de todos os conjuntos que ocorrem como rótulos de B, formaum q-representante de F .

Agora basta verificar que essa busca pode ser realizada em tempo O(pq2). Não é difícil perceberisso, pois o caminho percorrido na busca é limitado pela altura da árvore, que por definição é nomáximo q, e para cada vértice do caminho percorrido na busca, o algoritmo compara dois conjuntosum com p e outro com q elementos, o que leva no máximo pq passos.

Mostramos agora que é possível calcular (q − 1, F p+1ij )-árvores a partir de (q, F pij)-árvores, ana-

logamente ao Lema 41. Além disso, provamos um limitante superior no tempo de execução desseprocedimento.

Lema 44 Sejam p, q ∈ N tais que 0 ≤ p ≤ n−2 e 1 ≤ q ≤ n. Suponha que (q, F pij)-árvores já tenhamsido calculadas, para i, j ∈ 1, . . . , n. Dados u, v ∈ V é possível calcular uma (q − 1, F p+1

uv )-árvoreem tempo O(q2(p+ 1)qd(u)), onde d(u) é o grau do vértice u no grafo G.

Prova. Calculamos uma (q−1, F p+1uv )-árvore recursivamente, começando pela raiz. Primeiramente,

criamos a raiz da árvore sem nenhum rótulo. Em seguida, repetimos o seguinte procedimento en-quanto existir um vértice sem rótulo.

Se existe um vértice sem rótulo, digamos b, precisamos encontrar um conjunto U ∈ F p+1uv tal

que U ∩ P (b) = ∅ (se existir). Mostramos a seguir como fazer isso. Se tal conjunto U existir,rotulamos o vértice b com esse conjunto U e criamos p+ 1 vértices adjacentes a b e rotulamos cadauma das novas arestas (arestas que ligam b com um dos vértices novos) com um elemento de U . Senão existir tal conjunto, então rotulamos b com λ.

Agora mostramos como encontrar tal conjunto U (se existir). Note que um caminho de compri-mento p + 2 de u a v em G consiste em uma aresta uw ∈ E e um caminho de comprimento p + 1

de w a v que não contém u. Logo, existe um conjunto U ∈ F p+1uv que satisfaz U ∩ P (b) = ∅ se e

somente se existir uma aresta uw ∈ E e um conjunto U ∈ F pwv com U ∩ (P (b) ∪ u) = ∅.Para cada w ∈ V adjacente a u, pelo Lema 43, podemos decidir em O(pq2) passos se existe um

conjunto U ∈ F pwv com U ∩ (P (b)∪u) = ∅. Como essa computação é feita no máximo d(u) vezes,então computamos o rótulo de um vértice em tempo O(pq2d(u)). Como uma (q − 1, F p+1

uv )-árvoretem no máximo (p+1)q−1

p vértices (pois é uma árvore (p + 1)-nária de altura no máximo q − 1) e


como o cálculo dos rótulos das arestas leva tempo constante, concluímos que é possível calcularuma (q − 1, F p+1

uv )-árvore em tempo O(q2(p+ 1)qd(u)).

Prova do Teorema 40. Observe que, se ij ∈ E, F 0ij contém exatamente o conjunto vazio e,

se ij 6∈ E, F 0ij é a família vazia. Logo, a (k− 1, F 0

ij)-árvore tem apenas um vértice que está rotuladocom ∅, se ij ∈ E, ou com λ se ij 6∈ E.

Pelo Lema 44, o tempo total de execução para calcular todas as (q − 1, F p+1ij )-árvores, para

i, j ∈ 1, . . . , n é proporcional a

n∑i=1

n∑j=1

q2(p+ 1)qd(i) = nq2(p+ 1)qn∑i=1

d(i) = 2mnq2(p+ 1)q.

Logo, podemos calcular a matriz D(k) a partir das (k − 1, F 0ij)-árvores (que não precisamos

computar, pois essas ‘árvores’ são dadas pelo conjunto de arestas E), primeiramente calculando as(k − 2, F 1

ij)-árvores, e depois as (k− 3, F 2ij)-árvores, e assim por diante até calcular as (0, F k−1

ij )-ár-vores. Isso levará tempo proporcional a:

tempo para calcular todas as (q − 1, F p+1ij )-árvores

=k−2∑p=0

tempo para calcular a (k − 2− p, F p+1ij )-árvore

≤k−2∑p=0

2mn(k − 1− p)2(p+ 1)k−1−p

≤ 2mn(k − 1)2k−1∑p=1

pk−p

Por indução em k, podemos ver que∑k−1

p=1 pk−p ≤ (k − 2)!, para k ≥ 9. De fato, note que, para

k = 9, temos que∑k−1

p=1 pk−p = 2780 < 5040 = (k − 2)!. Suponha agora que k > 9.

k−1∑p=1

pk−p = k − 1 + 1k−1−1 + 2 · 2k−2−1 +k−2∑p=3

p · pk−p−1

≤ (k − 2) · 1 + (k − 2) · 2k−3 + (k − 2)

k−2∑p=3

pk−p−1 considerando k ≥ 5

= (k − 2)k−2∑p=1

pk−p−1

≤ (k − 2)(k − 3)! pela hipótese de indução.

Portanto, é possível calcular a matriz D(k) em tempo O(k!mn).

Observando que k! ≤ kk, e que ( lognlog logn)

lognlog logn = n

1− log log lognlog logn ≤ n, o seguinte corolário segue

imediatamente.

Corolário 45 Seja G um grafo com n vértices e m arestas. É possível encontrar um caminho decomprimento log n/ log logn, se tal caminho existir, em tempo O(n2m).

7.2 MÉTODO DE CODIFICAÇÃO POR CORES 61

7.2 Método de codificação por cores

Em 1995, Alon, Yuster e Zwick [2] desenvolveram um método que chamaram de “color-coding”(codificação por cores) para resolver alguns problemas de isomorfismo de subgrafos em tempo poli-nomial. Em particular, esse método permite encontrar em tempo polinomial um caminho de com-primento log n em um grafo com n vértices, se tal caminho existir. Isso resolve afirmativamente aconjectura de Papadimitriou e Yannakakis [75] de que é possível decidir em tempo polinomial seum grafo de ordem n tem um caminho de comprimento log n.

O método de codificação por cores é mais geral do que o que descrevemos aqui, podendo serusado para encontrar subgrafos homeomorfos a outros grafos de largura arbórea limitada (grafosque são k-árvores parciais para k limitado), como os próprios autores demonstram [2], entre outrasaplicações, inclusive em bioinformática, que outros [1, 56] desenvolveram mais recentemente. Oresultado que apresentamos aqui é o seguinte.

Teorema 46 Em um grafo G com m arestas, é possível encontrar um caminho de comprimento k,se tal caminho existir, em tempo esperado 2O(k)m.

Embora o algoritmo que produz esse resultado seja aleatorizado, é possível desaleatorizá-lousando funções de hashing, como fazem os autores no artigo citado, com uma perda de ape-nas log |V (G)| na eficiência. Aqui apresentamos apenas a versão aleatorizada.

Seja G = (V,E) um grafo e seja c : V → 1, . . . , k uma coloração aleatória dos vérticesde G com k cores (cada vértice tem probabilidade 1/k de receber a cor i, para i ∈ 1, . . . , k).Chamamos um caminho de multicolorido se o caminho não contém dois vértices de mesma cor.Suponha que exista um caminho de comprimento k−1 em G. A probabilidade de que esse caminhoseja multicolorido é k!/kk > e−k. Supondo que esse caminho seja multicolorido, quanto tempolevaria para encontrá-lo? O seguinte lema responde a essa pergunta.

Lema 47 Seja G um grafo com m arestas e seja c : V → 1, . . . , k uma coloração dos seusvértices com k cores. Um caminho multicolorido de comprimento k− 1, se tal caminho existir, podeser encontrado em tempo 2O(k)m.

Prova. Seja G = (V,E) um grafo com n vértices e m arestas. Apresentamos o algoritmo (deter-minístico) que encontra um caminho multicolorido, se tal caminho existir, no grafo. Primeiramenteadicionamos um vértice universal s (um vértice que é vizinho de todos os vértices de G) e colori-mos s com a nova cor 0. Em seguida, procuramos um caminho multicolorido de comprimento k quecomeça em s usando programação dinâmica.

Suponha que já tenhamos encontrado para cada v ∈ V os possíveis conjuntos de cores decaminhos multicoloridos de ordem i de s a v. Note que não necessitamos manter todos os caminhoscoloridos de s a v, apenas guardamos os conjuntos de cores que aparecem em tais caminhos. Logo,para cada v, temos uma coleção associada de no máximo

(ki

)conjuntos de cores. Para cada conjunto

de cor C que pertence a coleção associada a um vértice v, e para cada aresta vu ∈ E, se c(u) 6∈ C,então acrescentamos C ∪c(u) a coleção de u correspondente a caminhos multicoloridos de ordemi+1. O grafo G contém um caminho multicolorido de comprimento k que começa em s se e somentese a coleção final, correspondente a caminhos multicoloridos de comprimento k, de algum vértice é


não vazia. Em cada fase esse algoritmo realiza no máximo O(mi(ki

)) operações. Portanto, o número

total de operações realizadas é no máximo O(m∑k

i=0 i(ki

)) que é claramente 2O(k)m.

Prova do Teorema 46. Seja G um grafo com m arestas. Como mencionamos anteriormente,em cada coloração do grafo, um caminho de comprimento k tem probabilidade k!/kk > e−k de sermulticolorido. Logo, o número esperado de colorações aleatórias que devemos produzir até obter umaem que um dado caminho é multicolorido é menor que ek = 2O(k). Pelo Lema 47, para cada coloração,pode-se decidir se existe e, se existir, encontrar um caminho multicolorido de comprimento k−1 emtempo 2O(k)m. Logo, o tempo esperado para encontrar um caminho de comprimento k − 1 em G

é 2O(k) · 2O(k)m = 2O(k)m. Portanto, o Teorema 46 segue.

Como consequência direta desse teorema temos o seguinte resultado.

Corolário 48 Seja grafo G um grafo com n vértices. É possível encontrar um caminho de compri-mento log n, se um tal caminho existir, em tempo esperado polinomial em n.

Observe que essa ideia de manter apenas o conjunto das cores que aparecem em um caminhode s a v (ou equivalentemente apenas um caminho para cada conjunto de cor) é similar a ideia doMonien de manter apenas representantes de famílias. Ademais, ambos esses resultados mostram queo problema do caminho mais longo é FPT quando parametrizado pelo comprimento do caminho.

7.3 Árvore de decomposição em circuitos

Nesta subseção apresentamos um algoritmo polinomial que encontra um caminho de compri-mento Ω( log2 L

log logL) em um grafo cujos caminhos mais longos têm comprimento L.

Teorema 49 Seja G um grafo com n vértices que contém um caminho de comprimento L. Podemosencontrar um caminho de comprimento Ω( log2 L

log logL) em tempo polinomial em n.

A ideia principal do algoritmo é a de decompor o grafo em circuito disjuntos “longos” e depoisjuntá-los formando um caminho longo. Para isso, necessitamos do seguinte lema, fácil de ser provado.

Lema 50 Se um grafo conexo G tem um caminho de comprimento L, então todo vértice de G é aextremidade de algum caminho de comprimento pelo menos 1

2L.

Prova. Sejam P = p0 · · · pr um caminho e v um vértice de G. Encontre i que minimiza d(v, pi).Pela minimalidade, existe um caminho Q de v a pi que não contém nenhum outro vértice de P .Agora QP [pi, pr] ou QP [pi, p0] tem comprimento pelo menos 1

2r.

Apresentamos a ideia geral do algoritmo e depois detalhamos cada passo. Dado um grafo co-nexo G com n vértices e dado um vértice v ∈ V , para todo inteiro k ≤ n, podemos construir umaárvore Tk(G, v) com pesos nos vértices, que descreve uma decomposição recursiva do grafo G emcircuitos de comprimento pelo menos k e em caminhos (explicado mais a diante).

Seja L o comprimento de um caminho mais longo em G. O Lema 50 garante que v é a extremi-dade de um caminho de comprimento pelo menos L

2 . Para k = d14 log L

2 e, podemos garantir (comoveremos mais a diante) que um caminho de maior peso em Tk(G, v) descreve um caminho em G que

7.3 ÁRVORE DE DECOMPOSIÇÃO EM CIRCUITOS 63

tem o comprimento desejado. Como não temos o valor de L, repetimos o processo de encontrar aárvore Tk(G, v) para k = 3, . . . , d1

4 log n2 e e dentre os caminhos encontrados, devolvemos o de maior

comprimento.Resumidamente, o algoritmo procede da seguinte maneira.

1 Escolha um vértice qualquer v ∈ G2 Para cada k = 3, . . . , d1

4 log n2 e

3 Construa Tk(G, v)

4 Encontre um caminho de maior peso em Tk(G, v)

5 Encontre o caminho correspondente em G

6 Devolva o maior caminho encontrado

Os passos 3, 4 e 5 levam tempo polinomial (conforme provamos mais a diante), logo o algoritmointeiro leva tempo polinomial.

Fase 1: Construindo a árvore de decomposição em circuitos

Dado um vértice v em G, o algoritmo constrói uma árvore com peso nos vértices Tk(G, v),enraizada em v, chamada de árvore de decomposição em circuitos. Para construir essa árvore, preci-samos encontrar circuitos longos no grafo G. O seguinte resultado de Gabow e Nie [40, Corolário 4.4]garante que isso é possível.

Teorema 51 Dado um grafo G com n vértices e m arestas, um de seus vértices s e um inteiro k, épossível encontrar em G um k+-circuito que passa por s (se existir) em tempo O(m) + 2O(k)n log n.

Definimos agora a árvore Tk = Tk(G, v). Um vértice de Tk, ou é um vértice-singular, ou é umvértice-circuito. Um vértice-singular corresponde a um único vértice u ∈ G, é denotado por 〈u〉e tem peso unitário, enquanto um vértice-circuito corresponde a um circuito C com um vérticeespecificado u ∈ C, é denotado por 〈C, u〉 e tem peso 1

2 |C|.Inicialmente, Tk contém o vértice-singular 〈v〉, e uma chamada é feita para o seguinte procedi-

mento com parâmetros de entrada G e v.

Algoritmo Tk(G, v)

1 para cada componente G[W ] de G− v2 busque um k+-circuito passando por v em G[W + v]

3 se tal circuito C for encontrado4 então insira o vértice 〈C, v〉 e a aresta 〈v〉〈C, v〉5 para cada componente H de G[W − C]

6 escolha um vizinho u ∈ H de C − v7 insira o vértice 〈u〉 e a aresta 〈u〉〈C, v〉8 se V (H) \ u 6= ∅, compute Tk(H,u)

9 senão escolha um vizinho u ∈ G[W + v] de v10 insira o vértice 〈u〉 e a aresta 〈v〉〈u〉11 se W \ u 6= ∅, compute Tk(G[W ], u)


Note que cada passo recursivo constrói uma árvore que está conectada a outra árvore por umaúnica aresta, logo Tk é de fato uma árvore. Dizemos que a raiz dessa árvore é 〈v〉. Observe tambémque o antecessor de um vértice-circuito é necessariamente um vértice-singular.

Para vermos que esse procedimento leva tempo polinomial, primeiramente note que a linha 2 épolinomial pelo Teorema 51. Além disso, o número de passos recursivos é linear, pois a cada passoum vértice é acrescentado a árvore Tk, que claramente tem tamanho linear após a conclusão doalgoritmo.

Fase 2: Caminhos na árvore de decomposição em circuitos

O próximo passo do algoritmo é encontrar um caminho mais pesado em Tk. Isso pode ser feitoem tempo linear, usando o algoritmo de Dijkstra apresentado na Seção 6.1. O caminho encontradoem Tk representa um caminho em G, conforme explicamos a seguir.

Lema 52 Seja G um grafo. Se x é um vértice de G e Q é um caminho em Tk(G, x) de peso p,então Q representa um caminho P em G de comprimento pelo menos p.

Prova. SejamG eQ conforme o enunciado do lemma. Construímos o caminho P emG interpretandosubcaminhos de Q, a partir do início de Q. Para cada vértice-singular 〈v〉 de Q, acrescentamos ovértice v a P .

Suponha que Q contenha um vértice-circuito 〈C, u〉 no seu interior. Ambos os vizinhos dessevértice são vértices-singulares, então considere o subcaminho 〈u〉〈C, u〉〈v〉. Por construção, v é vizi-nho de algum vértice w ∈ C com w 6= u. Um dos dois caminhos de u a w em C tem comprimentopelo menos metade do comprimento de C, chame-o de C ′. Interpretamos o caminho 〈u〉〈C, u〉〈v〉como o caminho uC ′v em G e, portanto, acrescentamos o caminho C ′ a P .

Por outro lado, se Q contém um vértice-circuito 〈C, u〉 em uma extremidade, podemos associá-loao caminho C \ uw, onde w é um dos dois vizinhos de u no circuito C. Nesse caso, acrescentamosC \ uw a P . Esse caminho tem comprimento |C| − 1.

Portanto, um caminho de peso p em Tk, está associado a um caminho de comprimento pelomenos p em G.

O próximo lema é central para garantir que a árvore de decomposição em circuitos tem umcaminho pesado.

Lema 53 Seja G um grafo conexo e v um vértice de G. Suponha que G contenha um caminho quecomeça em v de comprimento `G(v) > 1. Então existe uma componente G[W ] de G− v tal que asseguintes afirmações valem.

1. Se G[W + v] não contém um circuito que passa por v de comprimento pelo menos k, entãotodo vizinho u ∈W de v é a extremidade de um caminho de comprimento

`G[W ](u) ≥ `G(v)− k.

2. Se C é um circuito em G[W + v] que passa por v tal que |C| < `G[W+v](v), então existe umacomponente H de G[W −C] que tem um caminho de comprimento ao menos `G(v)

|C| − 1. Além


disso, H contém ao menos um vizinho u de C − v em G[W + v], e todo tal vizinho u é aextremidade de algum caminho em H de comprimento

`H(u) ≥ `G(v)

2|C| − 1.

Prova. Seja r = `G(v) e P = p0 · · · pr, onde p0 = v. Note que P [p1, pr] está inteiramente em umadas componentes G[W ] de G[V − v].

v

p1 u

pi pr

W

P

Q

Figura 7.3: Afirmação 1 do Lema 53.

Primeiramente, provamos a primeira afirmação (veja Figura 7.3). Seja u ∈ W um vizinhode v. Como G[W ] é conexo, existe um caminho Q de u para algum vértice de P . Considere talcaminho. O primeiro vértice pi de P que aparece em Q deve ser tal que i < k, pois senão oscaminhos vu, Q[u, pi] e P [p0, pi] formariam um circuito de comprimento maior ou igual a k. Logo,o caminho Q[u, pi]P [pi, pr] tem comprimento pelo menos r − k + 1 > r − k.

Agora prosseguimos para a segunda afirmação. Considere qualquer circuito C em G[W + v] quepassa por v tal que |C| < `G[W+v](v).

v

p1

u

prN

P

W

CH

v

p1

pijupij+1

pr

NP

W

CH

(a) (b)

Figura 7.4: Afirmação 2 do Lema 53.

Caso 1. Suponha que P ∩ C = v (veja Figura 7.4(a)). Então uma das componentes Hde G[W − C] contém todos os vértices de P , exceto v. Seja N o conjunto de vizinhos de C − vem H. Primeiro note que N é não vazio, pois G[W ] é conexo. Além disso, existe um caminho em H

de comprimento r− 1, a saber, P − v. Portanto, pelo Lema 50, todo u ∈ N é a extremidade de umcaminho em H de comprimento pelo menos (r − 1)/2.


Caso 2. Suponha, pelo contrário, que |P ∩ C| = s > 1 (veja Figura 7.4(b)). Sejam i1, . . . , is osíndices dos vértices de P que pertencem a P ∩C em ordem crescente. Seja is+1 = r. Por um argu-mento de média e notando que os índices são inteiros, sabemos que existe j tal que ij+1 − ij ≥ dr/se.Portanto, existe uma componente H de G[W − C] que contém um caminho de comprimento aomenos dr/se − 2. Como esse caminho em H tem pelo menos 1 vértice (pois, como s ≤ |C| < r,vale que dr/se ≥ 2) e como pelo menos um dos vértices pij ou pij+1 pertence a C − v, então o con-junto N de vizinhos de C−v em H é não vazio. Finalmente, o Lema 50 garante que todo u ∈ N é aextremidade de um caminho em H de comprimento pelo menos r/2s− 1, o que implica o limitantese notamos que s ≤ |C|.

Precisamos mostrar que um caminho mais pesado em Tk tem peso ao menos O(log2 L/ log logL).Para isso provamos o seguinte lema.

Lema 54 Se G contém um caminho de comprimento r > 28 que começa em v, então Tk = Tk(G, v)

para k = d14 log re contém um caminho de peso pelo menos 1

12k2/ log log r.

Prova. Precisamos de alguma notação adicional. Definimos uma função L : V (Tk)→ N. Dado umvértice x = 〈w〉 ou x = 〈C,w〉 em Tk, seja Tk(x) a subárvore enraizada em x. Seja X ⊆ V (G) oconjunto de vértices deG correspondentes aos vértices de Tk(x). Denotamos por L(x) o comprimentode um caminho mais longo que começa em w na componente G[X].

Ademais, denote por S(x) os filhos do vértice x ∈ Tk que são vértices-singulares e por C(x) osque são vértices-circuitos. Considere 〈u〉 um vértice-singular qualquer de Tk. O Lema 53 afirma que:

L(〈u〉) ≤ maxf1(u), f2(u),(7.1)

onde f1(u) = maxw∈S(〈u〉) L(w) + k e f2(u) = max〈C,u〉∈C(〈u〉)w∈S(〈C,u〉)

(2L(w) + 2)|C|.

Seja 〈x0〉, 〈x1〉, . . . , 〈xt′〉 onde x0 = v, uma sequência maximal de vértices de Tk tal que 〈xi+1〉maximiza o lado direito da desigualdade (7.1) para u = xi. Seja Q o caminho em Tk formado pelosvértices 〈x0〉, 〈x1〉, . . . , 〈xt′〉 e possivelmente vértices-circuitos. Mais precisamente, Q = b0b1 · · · bt éum caminho de comprimento t em Tk tal que b0 = 〈x0〉 e bi, para 0 < i ≤ t, é definido da seguintemaneira. Se bi−1 é um vértice-singular, digamos 〈xj〉, então se 〈xj+1〉 maximiza a função f1(xj),então bi = 〈xj+1〉; caso contrário, se 〈xj+1〉 (e 〈C, xj〉) maximiza a função f2(xj), então bi = 〈C, xj〉.Por outro lado, se bi−1 é um vértice-circuito, digamos 〈C, xj〉, então bi = 〈xj+1〉.

Provamos a seguir que o peso de Q é pelo menos 112k

2/ log log r. Para isso, precisamos mostrarque a diferença entre L(bi) e L(bi+1) na sequência

L(b0) ≥ L(b1) ≥ · · · ≥ L(bt)

não pode ser muito grande. De fato, como L(bt) ≤ 1 (explicamos o porquê mais a diante) eL(b0) = r, se a diferença entre dois valores consecutivos L(bi) e L(bi+1) é pequena, então a sequênciab0, b1, . . . , bt deve ser longa.

Os valores escolhidos para os cálculos têm em vista simplicidade e não a otimalidade da análise.Como k = d1

4 log re, frequentemente usamos desigualdades como k3 ≤ r, para simplificar os cálculos.Note que bt é um vértice-singular e L(bt) ≤ 1 (caso contrário, bt = 〈xt′〉 não seria uma folha

da árvore, pois poderíamos encontrar 〈xt′+1〉 que maximiza a desigualdade (7.1) para u = xt′).


Seja s = t−t′ o número de vértices-circuitos emQ. Como cada vértice-circuito tem peso ao menos 12k,

então o peso de Q é pelo menos 12sk + t′. Seja ci o i-ésimo vértice-circuito de Q, 1 ≤ i ≤ s. Denote

por a(ci) o vértice que antecede ci em Q e por s(ci) o vértice que sucede ci em Q.Suponha que L(s(cs)) ≥ k3. Considere o subcaminho de Q a partir de s(cs), digamos Q∗, e seja t∗

o seu comprimento. Note que Q∗ só tem vértices-singulares, pois cs é o último vértice-circuito de Q.Logo, pela primeira parte do Lema 53, para todo vértice bi de Q∗ vale que L(bi) ≤ L(bi+1) + k.Considerando que L(bt) ≤ 1, temos que k3 ≤ L(s(cs)) ≤ kt∗, e, portanto, t∗ ≥ k2. Assim, Q∗ é umcaminho em Tk do peso desejado.

Daqui em diante, consideramos que L(s(cs)) < k3. Seja j o maior índice tal que todos osvértices bi, com 1 ≤ i ≤ j, são vértices-singulares. Note que, pela primeira parte do Lema 53, essesvértices satisfazem a relação L(bi) ≥ L(bi−1)− k. Logo, L(bj) ≥ L(b0)− jk = r − jk.

Se j = t (só existem vértices-singulares em Q), temos que 1 ≥ L(bt) ≥ r− tk, logo t ≥ r−1k ≥ k2,

pois r − 1 ≥ k3, e, portanto, Q tem o peso desejado.Caso contrário (ou seja j < t), podemos supor que t ≤ 1

12k2, se não Q já teria o peso desejado.

Assim temos que L(bj) ≥ r − jk > r − 112k

3 ≥ 1112r >

56r, pois k

3 ≤ r.Pela segunda parte do Lema 53 temos que

L(bj+2) ≥ L(bj)

2|C| − 1 ≥5r6

216k

2− 1 =

5r2 − k2

k2≥ 2r

k2,

considerando que |C| ≤ 16k

2 (pois se não, bj+1 já seria um caminho de peso suficiente em Tk)e r ≥ k2.

Podemos repetir esse raciocínio para ci se L(s(ci−1)) ≥ k3, conforme vemos a seguir. Indutiva-mente, mostramos que L(s(ci)) ≥ 2ir

k2i, se L(s(ci−1)) ≥ k3.

Note que para i = 1 (ci = bj+1), a desigualdade é válida. Dado i > 1, suponha que a desigualdadevalha para i−1. Observe que L(a(ci)) ≥ L(s(ci−1))−pik, onde pi é o número de vértices-singularesentre ci−1 e ci. Como vimos anteriormente, pi ≤ k2

12 (se não já teríamos o peso desejado). Portanto,L(a(ci)) ≥ L(s(ci−1))− k3

12 ≥ 2i−1rk2(i−1) − k3

12 .Logo, temos que

L(s(ci)) ≥L(a(ci))

2|C| − 1 ≥2i−1rk2(i−1) − k3

12

216k

2− 1 =

2ir + 2i−1r − k2i+1

4 − k2i

k2i≥ 2ir

k2i,

onde a última desigualdade segue do fato de estarmos supondo que L(s(ci−1)) ≥ k3, ou seja2i−1rk2(i−1) ≥ k3, e, portanto, 2i−1r ≥ k2i+1 ≥ k2i+1

4 + k2i.Seja s′ o menor índice tal que L(s(cs′)) < k3 (sabemos que existe tal índice, pois L(s(cs)) < k3),

ou seja, 2s′r

k2s′< k3. Aplicando a função logarítmica em ambos os lados dessa desigualdade, temos

que s′ + log r − 2s′ log k < 3 log k, e, portanto,

s′ >log r − 3 log k

2 log k − 1≥ 4k − 3 log k

2 log k≥ k

log k≥ k

log log r,

considerando que 14 log r ≤ k < 1

4 log r − 1.Como s ≥ s′, o peso de Q é ao menos


1

2sk + t′ ≥ k2

2 log log r.

Concluímos que, para o valor correto de k, a saber k = d14 log re, existe em Tk um caminho de

pesok2

12 log log r= Ω

(log2 r

log log r

)= Ω

(log2 L

log logL

),

pois r ≥ 12L, pelo Lema 50. O Teorema 49 segue do fato de que, pelo Lema 52, Q representa um

caminho em G de comprimento pelo menos igual ao peso de Q.

Conforme mencionamos anteriormente, esse algoritmo não é o melhor algoritmo de aproxi-mação conhecido hoje. O algoritmo de Gabow e Nie [41] encontra caminhos de comprimentoexp Ω(

√logL)), onde L é o comprimento de um caminho mais longo no grafo. Para entender melhor

a relação entre esses resultados, observe que, para garantir que o algoritmo de Björklund e Husfeldtdevolva um caminho de comprimento Ω(k), é necessário que um caminho mais longo tenha ao menos2√k vértices (pois a garantia é de encontrar um caminho de comprimento log2 L/ log logL < log2 L),

enquanto que, para o algoritmo de Gabow e Nie, bastam klog k = 2log2 k vértices em um caminhomais longo.

Capítulo 8

Resultados de inaproximabilidade

Como vimos no Capítulo 7, para o problema do caminho mais longo, a melhor razão de apro-ximação que se conhece hoje é bastante fraca. É natural perguntar se é possível melhorar esseresultado ou se uma razão melhor implicaria que P = NP. Na realidade, para esse problema faltaainda compreender melhor aspectos da sua inaproximabilidade [38]. Sabemos que o problema nãopode ser aproximado por uma razão constante em tempo polinomial a menos que P = NP, nem poruma razão 2O(log1−ε n) para qualquer constante ε > 0 a menos que NP ∈ DTIME(2log1/ε n) [66].Ambos os resultados valem também para o caso especial de grafos hamiltonianos cúbicos [12].

Entretanto, os resultados de aproximação conhecidos estão bem distantes dos resultados de ina-proximabilidade. Com isso, fica em aberto se o problema é de fato tão difícil como aparenta ser, e,portanto, seria possível provar resultados mais fortes de inaproximabilidade, ou se existiriam algo-ritmos de aproximação muito melhores do que os que conhecemos hoje. Nessa linha, apresentamosuma conjectura de Karger, Motwani e Ramkumar [66], que afirma que esse problema é tão difícil deaproximar quanto outros problemas conhecidamente difíceis, como o problema de determinar umclique máximo [52] ou o número cromático [106] de um grafo.

8.1 Fator constante

Nesta seção, apresentamos o resultado de Karger e outros [66] de que, se existir um algoritmo deaproximação com razão constante para o problema do caminho mais longo, então P = NP. Repro-duzimos a prova deste autores com pequenas alterações para facilitar a compreensão e detalhandoalguns passos que nos pareceram mais relevantes.

Primeiramente mostramos que, se o problema do caminho mais longo puder ser aproximadocom alguma razão constante k em tempo polinomial, então pode ser aproximado com qualquerrazão constante k′ em tempo polinomial. Definimos um novo conceito de potência de grafos queserá essencial para essa demonstração.

Definição 55 Seja G = (V,E) um grafo. O quadrado-aresta de G, denotado por G2, é obtidoda seguinte forma. Substituímos cada aresta e = uv ∈ E em G por uma cópia de G, digamos Ge,e conectamos u e v a todos os vértices de Ge. Os vértices u e v são chamados de vértices decontato de Ge.

Se o grafo G tem n vértices, então G2 tem no máximo n3 vértices. Observe que o quadrado-arestade um grafo hamiltoniano não é necessariamente hamiltoniano. Por essa razão, a seguinte prova

69

70 RESULTADOS DE INAPROXIMABILIDADE 8.1

só se aplica para o problema de aproximar um caminho mais longo em grafos quaisquer, e não aoproblema, talvez mais fácil, de aproximar um caminho mais longo em grafos que são sabidamentehamiltonianos. O lema a seguir relaciona o comprimento de um caminho mais longo em G e em G2.

Lema 56 Seja G um grafo. Se L é o comprimento de um caminho mais longo em G, então ocomprimento de um caminho mais longo em G2 é ao menos L2.

Prova. Seja P um caminho mais longo em G e sejam s e t os vértices das extremidades de P .Vamos exibir em G2 um caminho P ′ de comprimento L2. O caminho P ′ começa em s, passa pelosgrafos Ge na mesma ordem que P passa pelas arestas e e termina em t. Além disso, em cada Gepelo qual P ′ passa, P ′ percorre exatamente o mesmo caminho que P . Logo, é fácil ver que P ′ temcomprimento L(L+ 2).

Lema 57 Seja G um grafo. Dado um caminho em G2 de comprimento L′, podemos obter em tempopolinomial um caminho de comprimento

√L′ − 2 em G.

Prova. Seja P ′ um caminho de comprimento L′ em G2. O caminho P ′ pode entrar e sair de umacópia Ge de G apenas através dos vértices de contato de Ge. Portanto, podemos supor que P ′

começa visitando vértices de alguma cópia, digamos Ge∗ , e depois visita uma sequência de cópiasGe distintas, a menos da última cópia que possivelmente é igual a primeira. A sequência de vérticesvisitados em uma cópia Ge forma um caminho em G, a menos dos vértices visitados de Ge∗ , quepossivelmente formam dois caminhos.

Seja s o maior número de vértices percorridos por P ′ consecutivamente dentro de alguma cópiaGe e r o número de vértices de contato que o caminho P ′ visita. Note que P ′ pode ser particionadoem vértices de contato e no máximo r + 1 caminhos com no máximo s vértices. Logo, P ′ tem nomáximo r + (r + 1)s vértices. Afirmamos que s ≥

√L′ − 1 ou r ≥

√L′. Se supormos que ambas as

afirmações acima são violadas, ou seja s <√L′ − 1 e r <

√L′ − 1, concluímos que

L′ + 1 ≤ r + (r + 1)s < (√L′ − 1) +

√L′(√L′ − 1) = L′ − 1.

Uma contradição.

Usando estes lemas, podemos obter o seguinte resultado.

Teorema 58 Se existir um algoritmo de aproximação com razão constante para o problema docaminho mais longo, então este problema possui um PTAS.

Prova. Seja Ak um algoritmo de aproximação com razão k, ou seja, Ak encontra um caminho decomprimento pelo menos L/k em um grafo cujos caminhos mais longos têm comprimento L. Vamosmostrar que, para qualquer ε > 0 fixo, existe um algoritmo de aproximação com razão 1/(1 + ε).Note que isso implica que existe, para qualquer ε′ > 0 fixo, um algoritmo de aproximação comrazão (1− ε′). De fato, basta definir ε = 1/(1− ε′)− 1.

Seja

p =

⌈log

2 log k

log(1 + ε)

⌉.

8.1 FATOR CONSTANTE 71

Dado um grafo G com um caminho mais longo de comprimento L, se executamos o algoritmoAk no grafo G2p obtido elevando G ao quadrado p vezes, então, pelo Lema 56, encontramos umcaminho de comprimento pelo menos L2p/k em G2p . Usando o Lema 57, mostramos a seguir, porindução em p, que podemos encontrar em G um caminho de comprimento pelo menos

(L2p

k

)2−p

− 2p.

De fato, para p = 1, o resultado segue direto do Lema 57. Para p > 1, pela hipótese de indução,

podemos encontrar um caminho de comprimento(L2p

k

)2−(p−1)

−2(p−1) no grafo G2. Pelo Lema 57,

e considerando que 1 < p ≤√L e k ≤ L, podemos encontrar em G um caminho de comprimento

((L2p

k

)2−(p−1)

− 2(p− 1)

)2−1

− 2 ≥(L2p

k

)2−p

− 2p.

Finalmente, observe que (L2p

k

)2−p

− 2p ≥ L√1 + ε

− p ≥ L

1 + ε.

De fato, a primeira desigualdade segue da definição de p e a segunda vale desde que L ≥ p(1 + ε)/ε.Observe que para valores pequenos de L (L < p2 ou L < p(1 + ε)/ε), é possível calcular a soluçãoótima usando um algoritmo de força bruta.

Além disso, o tempo de execução do algoritmo é polinomial para ε fixo, pois o grafo G2p temno máximo n3p vértices.

Mostramos a seguir que não existe um PTAS para o problema do caminho mais longo a menosque P = NP. A demonstração original de Karger e outros [66] continha um erro: consideram que,para ε > 0 fixo, um PTAS para o problema do caminho mais longo encontraria um caminho decomprimento (1 − ε)n, quando na realidade seria de (1 − ε)(n − 1). Utilizando o mesmo resultadode Arora, Lund, Motwani, Sudan e Szegedy [7] que serviu de base para a demonstração original,produzimos uma prova correta do teorema.

Teorema 59 Não existe PTAS para o problema do caminho mais longo a menos que P = NP.

Prova. Provamos a seguir um resultado um pouco mais forte do que o enunciado. Mostramos queesse teorema vale mesmo no caso restrito em que as instâncias contêm um circuito hamiltoniano.

Seja TSP(1,2) o problema de encontrar uma solução ótima para o problema do caixeiro viajante(traveling salesman problem) em um grafo completo com n vértices, onde todas as arestas têmpeso 1 ou 2. Papadimitriou e Yannakakis [74] mostraram que este problema restrito é MAX SNP-difícil. A redução é a partir de uma versão do MAX 3SAT que também é MAX SNP-difícil. Aseguinte afirmação pode ser obtida como consequência desse resultado. Se para todo δ > 0 existe umalgoritmo polinomial que, para qualquer instância do TSP(1,2) de valor ótimo n (ou seja, contendoum circuito hamiltoniano formado apenas por arestas de peso 1), devolve um circuito de peso nomáximo (1 + δ)n, então MAX 3SAT tem um PTAS (o que implica que P = NP, como demonstrouArora e outros [7]).

Suponha agora que exista um PTAS para o problema do caminho mais longo em grafos quecontêm um circuito hamiltoniano. Isso implica que podemos achar, em tempo polinomial, caminhos


de comprimento pelo menos (1 − ε)(n − 1) em grafos hamiltonianos, para qualquer ε > 0 fixo.Queremos mostrar que isso implica que existe um PTAS para as instâncias do TSP(1,2) que possuemvalor ótimo n, ou seja, que para qualquer δ > 0 fixo existe um algoritmo polinomial que, paraqualquer instância do TSP(1,2) de valor ótimo n, devolve um circuito de peso no máximo (1 + δ)n.

Seja G uma instância do TSP(1,2) com valor ótimo n e seja δ > 0 fixo. Seja H o subgrafode G formado apenas pelas arestas de peso 1. Note que H é hamiltoniano. Definimos ε = δ

2 . Vamosdistinguir dois casos.

Caso 1: δ ≥ 1n .

Usando o PTAS para o problema do caminho mais longo, podemos encontrar em H um caminhode comprimento no mínimo (1− δ

2)(n−1) = n−1− δ2(n−1). Um tal caminho pode ser estendido a

um circuito hamiltoniano em G, digamos C, acrescentando-se no máximo 1+ δ2(n−1) arestas de peso

no máximo 2. Assim, C tem peso no máximo c = n−1− δ2(n−1)+2(1+ δ

2(n−1)) = n+1+ δ2(n−1).

Se δ ≥ 2n+1 , temos c = n+ 1 + δn− δ

2(n+ 1) ≤ n+ 1 + δn− 2/(n+1)2 (n+ 1) = (1 + δ)n.

Se δ < 2n+1 , temos que c = n+ 1 + δ

2(n− 1) < n+ 1 + n−1n+1 < n+ 2. Como o peso do circuito é

um número inteiro, concluímos que é no máximo n+ 1 e, para δ ≥ 1n , n+ 1 ≤ (1 + δ)n.

Caso 2: δ < 1n .

Nesse caso, para cada aresta e = uv do grafo H, definimos um novo grafo He, com V (He) =

V (H)∪u′, v′ e E(He) = uu′, vv′∪E(H) \ uv. Note que, para qualquer aresta e que pertencea um circuito hamiltoniano de H, o grafo He possui um caminho hamiltoniano. Para uma tal arestae, usando o PTAS para o problema do caminho mais longo, podemos encontrar em He um caminho,digamos P , de comprimento no mínimo (1− δ

2)(n+ 1) > (1− 12n)(n+ 1) = n+ 1

2 − 12n > n. Como o

comprimento de P é um número inteiro, concluímos que é no mínimo n+1, ou seja, P é um caminhohamiltoniano em He cujas extremidades são u′ e v′. Considere em H o circuito hamiltoniano obtidoa partir de P removendo-se as suas extremidades u′ e v′, e acrescentando-se a aresta e. Assim, se eé uma aresta que pertence a um circuito hamiltoniano de H, sabemos que existe em G um circuitohamiltoniano de peso n e n ≤ (1 + δ)n, para δ > 0.

Como não sabemos quais arestas pertencem a algum circuito hamiltoniano de H, podemosutilizar o algoritmo PTAS para o problema do caminho mais longo para cada grafo He, e ∈ E(H),até que obtenhamos um caminho de comprimento n + 1. Isto implica que usando-se o algoritmoPTAS para o problema do caminho mais longo no máximo |E(H)| ≤ n2 vezes, podemos encontrarum circuito hamiltoniano em G de peso n. O tempo gasto nesse processo permanece polinomial emn (para ε fixo).

Concluímos que um PTAS para o problema do caminho mais longo pode ser transformado emum PTAS para as instâncias do TSP(1,2) que possuem valor ótimo n.

O seguinte corolário segue dos Teoremas 58 e 59.

Corolário 60 Se existir um algoritmo de aproximação com razão constante para o problema docaminho mais longo, então P = NP.

8.2 Conjectura sobre a dificuldade de aproximação

Karger e outros [66] também conjecturam que o problema do caminho mais longo é tão difícilde aproximar quanto outros problemas que são conhecidamente difíceis, como o problema do clique

8.2 CONJECTURA SOBRE A DIFICULDADE DE APROXIMAÇÃO 73

máximo [52] e o de determinar o número cromático de um grafo [106].

Conjectura 61 Para alguma contante δ > 0, se existir um algoritmo de aproximação para oproblema do caminho mais longo com razão n−δ, onde n é a ordem do grafo, então P = NP.

Como evidência de que essa conjectura deve valer, os mesmos autores também provam outrosresultados que enunciamos a seguir.

Teorema 62 Se existir um algoritmo de aproximação para o problema do caminho mais longo comrazão 2−O(log1−ε n), onde n é a ordem do grafo, então NP ⊆ DTIME

(2O(log1/ε n)

). Esse resultado

também vale para o caso especial onde o grafo tem grau limitado.

Teorema 63 Para qualquer δ > 0, se existir um algoritmo de aproximação para o problema do cami-nho mais longo com razão 2

−O( lognlog logn

), onde n é a ordem do grafo, então NP ⊆ DTIME(

2O(nδ)).

Capítulo 9

Considerações Finais

Como mencionado ao longo do trabalho, existem muitas questões que poderiam ser investiga-das em trabalhos futuros. Reunimos aqui alguns dos problemas em aberto mencionados ao longoda dissertação e outros de especial interesse. Ao final desse capítulo, apresentamos os trabalhospublicados que resultaram desse estudo.

9.1 Problemas correlatos em aberto

É realmente muito intrigante o fato de existirem tantos problemas elementares que ainda nãoforam resolvidos. Embora tenhamos mencionado apenas de passagem o problema da intersecção decircuitos mais longos, o problema é tão difícil quanto o de caminhos mais longos e a maior parte dasperguntas citadas a seguir podem ser feitas trocando “caminhos” por “circuitos” e exigindo que ografo seja 2-conexo. Alguns dos problemas que citamos aqui foram levantados por Zamfirescu [100,104] e Voss [93].

Um primeira questão natural, é determinar para que classes de grafos a pergunta de Gallaitem resposta positiva. Vimos anteriormente que foi provado que todos os caminhos mais longos degrafos divididos [68] e de grafos de intervalos [10] necessariamente têm um vértice em comum. Nóstambém provamos que o mesmo vale para grafos exoplanares e 2-árvores. Observamos que grafosdivididos, grafos de intervalos e 2-árvores são subclasses de grafos cordais para os quais o problemacontinua em aberto.

Pergunta 64 Todos os caminhos mais longos de um grafo cordal têm um vértice em comum?

Outra subclasse dos grafos cordais são as k-árvores. Também seria interessante investigar se aPergunta 65 tem resposta positiva, para k ≥ 3.

Pergunta 65 Todos os caminhos mais longos de uma k-árvore têm um vértice em comum?

Vale notar que 2-árvore são grafos série-paralelos maximais. Assim, é natural investigar a questãopara grafos série-paralelos. Conforme mencionamos, Ehremüller e outros [34] obtiveram um novoresultado nessa linha, ainda não publicado em periódico. Esse resultado generaliza os resultadospara grafos exoplanares e 2-árvores.

Mencionamos anteriormente que existem exemplos que mostram que para grafos 2-conexos e3-conexos nem sempre todos os caminhos mais longos têm um vértice em comum. Porém, paragrafos 4-conexos, o problema está em aberto.

75

76 CONSIDERAÇÕES FINAIS 9.2

Pergunta 66 Todos os caminhos mais longos de um grafo 4-conexo têm um vértice em comum?

Como mencionamos anteriormente sabe-se apenas que isso é verdade quando se trata de grafos 4-conexos planares (já que, pelo Teorema de Tutte [87], tais grafos são hamiltonianos). Podemostambém fazer a seguinte pergunta, mais geral:

Pergunta 67 Existe um inteiro k tal que todo grafo k-conexo possui um vértice comum a todos osseus caminhos mais longos? Se existe, qual é o menor k que satisfaz essa propriedade?

Outra variante do problema explorada por Walther [96] e por Zamfirescu [100], é a seguinte:

Pergunta 68 Existe um inteiro j tal que, para todo grafo conexo G, algum conjunto de j vérticesde G tem intersecção não vazia com qualquer caminho mais longo? Se existe, qual o menor j quesatisfaz essa propriedade?

O fato da pergunta de Gallai ter resposta negativa, exclui o caso j = 1. O caso j = 2 também estáexcluído [48], mas de resto o problema continua em aberto. Em particular não se sabe a respostapara a seguinte pergunta:

Pergunta 69 Para qualquer grafo conexo, existe um conjunto de três vértices que intersecta todocaminho mais longo do grafo?

Aludimos anteriormente ao fato de que 2 caminhos mais longos sempre têm um vértice emcomum, e que o mesmo não vale para 7 caminhos mais longos. Portanto, as seguintes perguntascontinuam sem respostas.

Pergunta 70 Quaisquer três caminhos mais longos sempre têm um vértice em comum?

Pergunta 71 Existe um grafo no qual seis caminhos mais longos não têm um vértice em comum?

Pergunta 72 Qual é o menor inteiro p tal que quaisquer p caminhos mais longos sempre têmum vértice em comum? (Sabemos que 2 ≤ p ≤ 6.)

Outra abordagem, sugerida por Jimenez [61], para o problema da intersecção de caminhos maislongos seria uma combinação da variante que considera um conjunto de j vértices e da que consideraa intersecção de um número fixo de caminhos mais longos.

Pergunta 73 Para todo grafo conexo G e um inteiro p, qual o menor inteiro j tal que algumconjunto de j vértices intersecta cada caminho de qualquer conjunto com p caminhos mais longos?

Como quaisquer 2 caminhos mais longos se intersectam, obviamente j ≤ p/2. Em particular,parece interessante investigar se é verdade que para quaisquer 5 caminhos mais longos existe umconjunto de 2 vértices que intersecta cada um dos 5 caminhos.

Também vimos que o número de vértices na intersecção de dois caminhos mais longos dependeda conexidade do grafo. A seguinte pergunta está em aberto:

Pergunta 74 Em um grafo k-conexo, quaisquer dois caminhos mais longos têm ao menos k vérticesem comum?

Vimos que a resposta para a Pergunta 74 é afirmativa para k ≤ 7. Hippchen [54] conjecturouque a resposta é afirmativa para qualquer k.

9.2 TRABALHOS PUBLICADOS 77

9.2 Trabalhos publicados

Esse trabalho se divide em duas partes: a primeira trata de problemas estruturais relativos àintersecção de caminhos mais longos; e a segunda trata do problema de encontrar um caminho maislongo.

A primeira parte desse trabalho teve início em 2010, quando ainda estava cursando o bachare-lado, e começamos a estudar o problema da intersecção de caminhos mais longos. Obtivemos umprimeiro resultado que, juntamente com o estudo prévio, deu origem a uma monografia que foipremiada com medalha de ouro no V Simpósio Nacional / Jornadas de Iniciação Científica orga-nizado pelo IMPA. Em seguida, Profa. Cristina Fernandes, Prof. Daniel Martin, Profa. YoshikoWakabayashi e eu continuamos trabalhando no problema e obtivemos um novo resultado. Apresen-tamos o trabalho realizado até então na Sexta Conferência de Combinatória, Teoria dos Grafos eAplicações (EuroComb 2011), e um resumo estendido foi publicado na revista da conferência [31].

Durante meu mestrado, continuamos investigando o problema e pudemos obter um outro re-sultado que, juntamente com os anteriores, foram publicados na revista Discrete Mathematics [32].Além disso, realizamos uma ampla pesquisa bibliográfica e estudamos com profundidade resultadosrelacionados já existentes. Procuramos apresentar aqui, de forma clara e didática, todos os que nospareceram mais relevantes.

A segunda parte desse trabalho consistiu principalmente em estudar a fundo resultados daliteratura relativos a busca de caminhos mais longos. Procuramos apresentá-los nessa dissertaçãoem mais detalhe, o que exigiu, em alguns momentos, que se desenvolvessem trechos de provas quenão estavam explicados ou que continham erros.

78 CONSIDERAÇÕES FINAIS 9.2

Referências Bibliográficas

[1] N. Alon, P. Dao, I. Hajirasouliha, F. Hormozdiari, and S. C. Sahinalp. Biomolecular networkmotif counting and discovery by color coding. Bioinformatics, 24(13):i241–i249, 2008. 61

[2] N. Alon, R. Yuster, and U. Zwick. Color-coding. J. ACM, 42(4):844–856, 1995. 5, 61

[3] M. I. Andreica, K. Manev, M. Markov, and N. Ţăpuş. A linear time algorithm for computinglongest paths in cactus graphs. Serdica J. Comput., 6(3):287–298, 2012. 5, 53

[4] M. Araya and G. Wiener. On cubic planar hypohamiltonian and hypotraceable graphs.Electron. J. Combin., 18(1):#P85, 2011. 39, 42

[5] M. Araya and G. Wiener. On planar hypohamiltonian graphs. J. Graph Theory, 67(1):55–68,2011. 41

[6] S. R. Arikati and C. P. Rangan. Linear algorithm for optimal path cover problem on intervalgraphs. Inform. Process. Lett., 35(3):149–153, 1990. 46, 48, 53

[7] S. Arora, C. Lund, R. Motwani, M. Sudan, and M. Szegedy. Proof verification and thehardness of approximation problems. J. ACM, 45(3):501–555, 1998. 71

[8] K. Asdre and S. D. Nikolopoulos. The 1-fixed-endpoint path cover problem is polynomial oninterval graphs. Algorithmica, 58(3):679–710, 2010. 46

[9] M. Axenovich. When do three longest paths have a common vertex? Discrete Math. Algo-rithms Appl., 1:115–120, 2009. 5, 20, 27, 28

[10] P. N. Balister, E. Győri, J. Lehel, and R. H. Schelp. Longest paths in circular arc graphs.Combin. Probab. Comput., 13(3):311–317, 2004. 4, 15, 17, 18, 75

[11] Y. Bashir and T. Zamfirescu. Lattice graphs with Gallai’s property. Bull. Math. Soc. Sci.Math. Roumanie, 56(1):65–71, 2013. 15

[12] C. Bazgan, M. Santha, and Z. Tuza. On the approximation of finding a(nother) Hamiltoniancycle in cubic Hamiltonian graphs. Lecture Notes in Comput. Sci., 1373:276–286, 1998. 69

[13] I. Bezáková and G. B. Mertzios. Computing and counting longest paths on circular-arc graphsin polynomial time. Electron. Notes Discrete Math., 37:219–224, 2011. 5, 53

[14] A. Björklund and T. Husfeldt. Finding a path of superlogarithmic length. SIAM J. Comput.,32(6):1395–1402 (electronic), 2003. 5

[15] H. L. Bodlaender. On linear time minor tests with depth-first search. J. Algorithms, 14(1):1–23, 1993. 5, 53

[16] H. L. Bodlaender. A linear-time algorithm for finding tree-decompositions of small treewidth.SIAM J. Comput., 25(6):1305–1317, 1996. 5, 53

[17] J. A. Bondy and U. S. R. Murty. Graph theory, volume 244 of Grad. Texts in Math. Springer,New York, 2008. 7

79

80 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 9.2

[18] A. Brandstädt, V. B. Le, and J. P. Spinrad. Graph Classes: A Survey. Society for Industrialand Applied Mathematics, Philadelphia, PA, USA, 1999. 9

[19] R. W. Bulterman, W. H. J. Feijen, F. W. van der Sommen, A. J. M. van Gasteren, T. Verhoeff,and G. Zwaan. On computing a longest path in a tree. Inform. Process. Lett., 81(2):93–96,2002. 5, 46, 47

[20] S. A Burr and T. Zamfirescu. Unpublished manuscript. 33

[21] P. Cameron (Ed.). Research problems. Discrete Math., 167/168:605–615, 1997. Problem 276,from the Fifteenth British Combinatorial Conference. 27

[22] M.-S. Chang, S.-L. Peng, and J.-L. Liaw. Deferred-query—an efficient approach for problemson interval and circular-arc graphs. In Algorithms and Data Structures, volume 709 of LectureNotes in Comput. Sci., pages 222–233. 1993. 46

[23] R.-Y. Chang, C.-H. Hsu, and S.-L. Peng. The longest path problem on permutation graphs. InThe 29th Workshop on Combinatorial Mathematics and Computation Theory, pages 294–297,2012. 5, 53

[24] G. Chen, R. J. Faudree, and R. J. Gould. Intersections of longest cycles in k-connected graphs.J. Combin. Theory Ser. B, 72(1):143 – 149, 1998. 33

[25] G. Chen, J. Xu, and X. Yu. Circumference of graphs with bounded degree. SIAM J. Comput.,33(5):1136–1170, 2004. 5

[26] V. Chvátal and P. Erdös. A note on Hamilton circuits. Discrete Math., 2:111–113, 1972. 37

[27] D. G. Corneil and G. B. Mertzios. A simple polynomial algorithm for the longest path problemon cocomparability graphs. SIAM J. Discrete Math., 26(3):940–963, 2012. 5, 53

[28] P. Damaschke. The Hamiltonian circuit problem for circle graphs is NP-complete. Inform.Process. Lett., 32(1):1 – 2, 1989. 5, 53

[29] P. Damaschke. Paths in interval graphs and circular arc graphs. Discrete Math., 112(1–3):49– 64, 1993. 46

[30] P. Damaschke, J. S. Deogun, D. Kratsch, and G. Steiner. Finding Hamiltonian paths incocomparability graphs using the bump number algorithm. Order, 8(4):383–391, 1992. 46

[31] S. F. de Rezende, C. G. Fernandes, D. M. Martin, and Y. Wakabayashi. Intersection of longestpaths in a graph. Electron. Notes Discrete Math., 38(0):743 – 748, 2011. The Sixth EuropeanConference on Combinatorics, Graph Theory and Applications, EuroComb 2011. 77

[32] S. F. de Rezende, C. G. Fernandes, D. M. Martin, and Y. Wakabayashi. Intersecting longestpaths. Discrete Math., 313(12):1401 – 1408, 2013. 4, 15, 20, 22, 28, 34, 77

[33] G. A. Dirac. Some theorems on abstract graphs. Proc. Lond. Math. Soc. (3), 2(1):69–81,1952. 36

[34] J. Ehrenmüller, C. G. Fernandes, and C. G. Heise. Nonempty intersection of longest paths inseries-parallel graphs. arXiv:1310.1376, submitted, 2013. 4, 15, 75

[35] P. Erdős and G. Katona, editors. Theory of Graphs. Proceedings of the Colloquium held atTihany, Hungary, September 1966. Academic Press, New York, 1968. Problem 4 (T. Gallai),p. 362. 1, 15

[36] P. Erdős and G. Katona, editors. Theory of Graphs. Proceedings of the Colloquium held atTihany, Hungary, September 1966. Academic Press, New York, 1968. Problem 50 (H. Sachs),p. 368. 38

9.2 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 81

[37] T. Feder and R. Motwani. Finding large cycles in Hamiltonian graphs. Discrete Appl. Math.,158(8):882–893, 2010. 5

[38] T. Feder, R. Motwani, and C. Subi. Approximating the longest cycle problem in sparse graphs.SIAM J. Comput., 31(5):1596–1607, 2002. 5, 69

[39] H. N. Gabow. Finding paths and cycles of superpolylogarithmic length. SIAM J. Com-put., 36(6):1648–1671, 2007. Also appeared in Proceedings of the Thirty-sixth Annual ACMSymposium on Theory of Computing, STOC ’04, pages 407-416, 2004. 5

[40] H. N. Gabow and S. Nie. Finding a long directed cycle. ACM Trans. Algorithms, 4(1):7:1–7:21, 2008. Also appeared in Proceedings of the Fifteenth Annual ACM-SIAM Symposium onDiscrete Algorithms, SODA ’04, pages 49-58, 2004. 63

[41] H. N. Gabow and S. Nie. Finding long paths, cycles and circuits. In Algorithms and Compu-tation, volume 5369 of Lecture Notes in Comput. Sci., pages 752–763. 2008. 6, 55, 68

[42] M. R. Garey and D. S. Johnson. Computers and intractability. W. H. Freeman and Co., SanFrancisco, Calif., 1979. A guide to the theory of NP-completeness, A Series of Books in theMathematical Sciences. 5, 10, 46, 53

[43] M. R. Garey, D. S. Johnson, and R. E. Tarjan. The planar Hamiltonian circuit problem isNP-complete. SIAM J. Comput., 5(4):704–714, 1976. 5, 53

[44] E. Ghosh, N. S. Narayanaswamy, and C. P. Rangan. A polynomial time algorithm for longestpaths in biconvex graphs. In Proceedings of the 5th international conference on WALCOM:algorithms and computation, WALCOM’11, pages 191–201, Berlin, Heidelberg, 2011. 5, 53

[45] M. C. Golumbic. Algorithmic Graph Theory and Perfect Graphs, volume 57 of Ann. DiscreteMath. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, The Netherlands, 2004. 5, 53

[46] M. Grötschel. On Intersections of Longest Cycles. In Graph Theory and Combinatorics, pages171–189. Academic Press, 1984. 33, 35

[47] M. Grötschel and G. L. Nemhauser. A polynomial algorithm for the max-cut problem ongraphs without long odd cycles. Math. Program., 29(1):28–40, 1984. 35, 45

[48] B. Grünbaum. Vertices missed by longest paths or circuits. J. Combin. Theory Ser. A,17(1):31–38, 1974. 38, 40, 41, 76

[49] Y.-L. Guo, C.-W. Ho, and M.-T. Ko. The longest path problem on distance-hereditary graphs.In Advances in Intelligent Systems and Applications - Volume 1, volume 20 of Smart Innova-tion, Systems and Technologies, pages 69–77. 2013. 5, 53

[50] R. K. Guy. Monthly research problems 1969-73. Amer. Math. Monthly, 80:1120 – 1128, 1973.39

[51] J. Harris, J.L. Hirst, and M. Mossinghoff. Combinatorics and Graph Theory. Undergrad.Texts Math. Springer, 2008. 27

[52] J. Hastad. Clique is hard to approximate within 1-ε. Acta Math., 182(1):105–142, 1999. 69,73

[53] W. Hatzel. Ein planarer hypohamiltonscher Graph mit 57 Knoten. Math. Ann., 243(3):213–216, 1979. 38, 41

[54] T. Hippchen. Intersections of longest paths and cycles. Mathematics Theses, 80(Paper 53),2008. 33, 35, 76


[55] J. D. Horton. A hypotraceable graph. Technical Report Research Report CORR 73-4, Dept.of Combinatorics and Optimization, University of Waterloo, 1973. 39

[56] F. Hüffner, S. Wernicke, and T. Zichner. Algorithm engineering for color-coding with appli-cations to signaling pathway detection. Algorithmica, 52(2):114–132, 2008. 61

[57] K. Ioannidou, G. B. Mertzios, and S. D. Nikolopoulos. The longest path problem has apolynomial solution on interval graphs. Algorithmica, 61(2):320–341, 2011. Also appeared inProceedings of the 34th International Symposium on Mathematical Foundations of ComputerScience, pages 403-414, 2009. 5, 48

[58] K. Ioannidou and S. D. Nikolopoulos. The longest path problem is polynomial on cocompa-rability graphs. Algorithmica, 65(1):177–205, 2013. Also appeared in WG, pages 27-38, 2010.5, 53

[59] A. Itai, C. H. Papadimitriou, and J. L. Szwarcfiter. Hamiltonian paths in grid graphs. SIAMJ. Comput., 11(4):676—-686, 1982. 5, 53

[60] R. Jain and M. Sakalle. Survey on intersection of two maximum length paths in connectedgraph. Res. J. Math. Stat. Sci., 2(3):1–3, 2014. 35

[61] A. Jiménez. Private communication. 2013. 76

[62] F. Joos. Longest paths in circular arc graphs. arXiv:1312.3075, 2013. 4, 18

[63] M. Jooyandeh, B. D. McKay, P. R. J. Östergård, V. H. Pettersson, and C. T. Zamfirescu.Planar hypohamiltonian graphs on 40 vertices. arXiv:1302.2698, submitted, 2013. 39, 41

[64] C. Jordan. Sur les assembalges des lignes. J. Reine Angew. Math., 70:185–190, 1869. 16

[65] A. D. Jumani and T. Zamfirescu. On longest paths in triangular lattice graphs. Util. Math.,89:269–273, 2012. 15

[66] D. Karger, R. Motwani, and G. D. S. Ramkumar. On approximating the longest path in agraph. Algorithmica, 18(1):82–98, 1997. 1, 5, 69, 71, 72

[67] S. Kensell. Intersection of longest paths. Master’s thesis, Central European University, 2011.1, 28, 39

[68] S. Klavžar and M. Petkovšek. Graphs with nonempty intersection of longest paths. ArsCombin., 29:43–52, 1990. 4, 15, 16, 18, 20, 75

[69] B. Monien. How to find long paths efficiently. Ann. Discrete Math., 25:239–254, 1985. 5, 55

[70] H. Müller. Hamiltonian circuits in chordal bipartite graphs. Discrete Math., 156(1–3):291 –298, 1996. 5, 53

[71] F. Nadeem, A. Shabbir, and T. Zamfirescu. Planar lattice graphs with Gallai’s property.Graphs Combin., 29(5):1523–1529, 2013. 15

[72] G. Narasimhan. A note on the hamiltonian circuit problem on directed path graphs. Inform.Process. Lett., 32(4):167 – 170, 1989. 5, 53

[73] S. O, D. B. West, and H. Wu. Longest cycles in k-connected graphs with given independencenumber. J. Combin. Theory, Ser. B, 101(6):480–485, 2011. 37

[74] C. H. Papadimitriou and M. Yannakakis. The traveling salesman problem with distances oneand two. Math. Oper. Res., 18(1):1–11, 1993. 71

9.2 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 83

[75] C. H. Papadimitriou and M. Yannakakis. On limited nondeterminism and the complexity ofthe V-C dimension. J. Comput. System Sci., 53(2):161–170, 1996. 61

[76] G. Ramalingam and C. P. Rangan. A unified approach to domination problems on intervalgraphs. Inform. Process. Lett., 27(5):271–274, 1988. 48, 53

[77] D. Rautenbach and J.-S. Sereni. Transversals of longest paths and cycles. SIAM J. DiscreteMath., 28(1):335–341, 2014. 4, 18

[78] W. Schmitz. Über längste Wege und Kreise in Graphen. Rend. Semin. Mat. Univ. Padova,53:97–103, 1975. 3, 38

[79] A. Shabbir, C. Zamfirescu, and T. Zamfirescu. Intersecting longest paths and longest cycles:A survey. Electron. J. Graph Theory Appl., 1(1):56–76, 2013. 4

[80] A. Shabbir and T. Zamfirescu. Gallai’s property for graphs in lattices on the torus and möbiusstrip. submitted, 2013. 15

[81] Z. Skupień. Smallest sets of longest paths with empty intersection. Combin. Probab. Comput.,5(4):429–436, 1996. 5, 39

[82] I. A. Stewart. On the intersections of longest cycles in a graph. Technical Report Series,(241), 1987. 36

[83] Y. Takahara, S. Teramoto, and R. Uehara. Longest path problems on ptolemaic graphs.IEICE - Trans. Inf. Syst., E91-D:170–177, 2008. 5, 53

[84] C. Thomassen. Hypohamiltonian and hypotraceable graphs. Discrete Math., 9:91–96, 1974.40

[85] C. Thomassen. Planar and infinite hypohamiltonian and hypotraceable graphs. DiscreteMath., 14(4):377–389, 1976. 4, 22, 41

[86] C. Thomassen. Planar cubic hypo-Hamiltonian and hypotraceable graphs. J. Combin. TheorySer. B, 30(1):36–44, 1981. 38

[87] W. T. Tutte. A theorem on planar graphs. Trans. Amer. Math. Soc., 82:99–116, 1956. 76

[88] R. Uehara and Y. Uno. Efficient algorithms for the longest path problem. In Algorithms andComputation, volume 3341 of Lecture Notes in Comput. Sci., pages 1547–1553. 2005. 5, 48,53

[89] R. Uehara and Y. Uno. On computing longest paths in small graph classes. Internat. J.Found. Comput. Sci., 18(5):911–930, 2007. 5, 53

[90] R. Uehara and G. Valiente. Linear structure of bipartite permutation graphs and the longestpath problem. Inform. Process. Lett., 103:71–77, 2007. 5, 53

[91] V. V. Vazirani. Approximation Algorithms. Springer-Verlag New York, Inc., New York, NY,USA, 2001. 10

[92] S. Vishwanathan. An approximation algorithm for finding long paths in Hamiltonian graphs.J. Algorithms, 50(2):246–256, 2004. Also appeared in Proceedings of the Eleventh AnnualACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms, SODA ’00, pages 680-685, 2000. 5

[93] H.-J. Voss. Cycles and Bridges in Graphs, volume 49 of Mathematics and its Applications(East European Series). Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1991. 27, 34, 37, 39,75


[94] H.-J. Voss and H. Walther. Über Kreise in Graphen. VEB Dt. Verlag der Wissenschaften,1974. 2, 38

[95] J. A. Wald and C. J. Colbourn. Steiner trees, partial 2-trees, and minimum IFI networks.Networks, 13:159––167, 1983. 23

[96] H. Walther. Über die Nichtexistenz eines Knotenpunktes, durch den alle längsten Wege einesGraphen gehen. J. Combin. Theory, 6:1–6, 1969. 1, 2, 38, 76

[97] H. Walther. Über die Nichtexistenz zweier Knotenpunkte eines Graphen, die alle längstenKreise fassen. J. Combin. Theory, 8:330–333, 1970. 38

[98] D. B. West. Open Problems – Graph Theory and Combinatorics, Hitting all longest paths.www.math.uiuc.edu/∼west/openp/pathtran.html, accessed on April 2014. 27

[99] C. T. Zamfirescu and T. Zamfirescu. A planar hypohamiltonian graph with 48 vertices. J.Graph Theory, 55(4):338–342, 2007. 38, 41

[100] T. Zamfirescu. A two-connected planar graph without concurrent longest paths. J. Combin.Theory Ser. B, 13:116–121, 1972. 3, 38, 39, 75, 76

[101] T. Zamfirescu. Graphen, in welchen je zwei Eckpunkte von einem längsten Weg vermiedenwerden. Ann. Univ. Ferrara Sez. VII Sci. Mat., 21:17–24, 1975. 42

[102] T. Zamfirescu. L’histoire et l’état présent des bornes connues pour P jk , C

jk , P

jk et Cjk. Cahiers

CERO, 7:427–439, 1975. 4, 38

[103] T. Zamfirescu. On longest paths and circuits in graphs. Math. Scand., 38(2):211–239, 1976.2, 4, 38, 39, 40, 42

[104] T. Zamfirescu. Intersecting longest paths or cycles: a short survey. An. Univ. Craiova Ser.Mat. Inform., 28:1–9, 2001. 27, 33, 75

[105] T. Zamfirescu. Private communication to S. Kensell. 2011. 27

[106] D. Zuckerman. Linear degree extractors and the inapproximability of max clique and chro-matic number. Theory Comput., 3(6):103–128, 2007. 69, 73

caminhosmaislongosemgrafos - ime-uspsusanna/mestrado/dissertacao... · em especial à ana lucia,...

Documents