cambiamento di variabili in integrali doppi e tripli
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CAMBIAMENTO DIVARIABILI IN INTEGRALI
DOPPI E TRIPLI.
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Argomenti della lezioneArgomenti della lezione
Cambiamento di Cambiamento di variabili per integrali variabili per integrali doppi e tripli doppi e tripli
Applicazioni al calcolo Applicazioni al calcolo di aree, volumi, di aree, volumi, baricentri, momentibaricentri, momenti
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CAMBIAMENTO DIVARIABILI IN INTEGRALI
DOPPI E TRIPLI.
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Il teorema sul cambiamento di Il teorema sul cambiamento di variabili negli integrali multipli,variabili negli integrali multipli,in particolare doppi e tripli, è unoin particolare doppi e tripli, è unodei teoremi più sofisticati del dei teoremi più sofisticati del Calcolo. Noi ci limiteremo ad Calcolo. Noi ci limiteremo ad enunciarlo e a mostrarne enunciarlo e a mostrarne l’applicazione nei casi più comunil’applicazione nei casi più comuni
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Abbiamo già introdotto la nozioneAbbiamo già introdotto la nozionedi funzione localmente invertibile.di funzione localmente invertibile.Ripetiamo e precisiamo meglio Ripetiamo e precisiamo meglio questa nozionequesta nozione
Abbiamo affermato che se Abbiamo affermato che se
tra i quali f è biiettiva; dunque f(U) = V
f : A Rm Rm, A aperto, è di classeC1(A), e se det J(f)(x0) ≠ 0 allora f è localmente invertibile; cioè esistonointorni aperti U di x0 e V di y0 = f(x0)
x
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Sappiamo che se una trasformazione è regolare, essa ha il determinatejacobiano non nullo in ogni punto deldominio e quindi f(A) è aperto anche se f non è necessariamente iniettivasu A. Una siffatta f è adatta a definireun cambiamento di variabili. Si puòdimostrare poi che i punti singolarinon costituiscono un insieme molto“pesante” (ha misura nulla secondoLebesgue: Teorema di Sard)
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Inoltre l’inversa locale tra gli intorniaperti V e U è di classe C1(V), e la sua matrice jacobiana è l’inversa dellamatrice jacobiana di f.
Con queste precisazioni, possiamoenunciare il teorema sul cambiamentodi variabili negli integrali multipli
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Teorema(cambiamento di variabili )
Sia h : U Rm V Rm, U, V aperti,
regolare e di classe C1(U), sia E U
un compatto PJ-misurabile e f:h(E)Rintegrabile. Allora è integrabile f•h
su E e si ha
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f (y)dy f (h(x)) | det h (x)E
h(E) | dx
Per brevità di notazione abbiamo indicato y=h(x), e scritto h’(x) alposto della matrice jacobiana.È chiaro che questa trasformazione di coordinate è conveniente se l’integrazione su E è più agevole diquella su h(E); per esempio E èun rettangolo e la nuova funzioneda integrare non è troppo complicata
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Esempio:
Si voglia calcolare
(x y)dxdyE
con E = {(x,y): 0<x≤y≤2x, 1≤xy≤2}
Posto u= x y e v = y/x , la Trasformazione h così individuata manda l’insieme E del piano xy
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nel rettangolo J= [1,2][1,2] delpiano uv. La trasformazione inversa di h è
g(u,v) : x uv
y uv
che ha determinate jacobiano
det g’(u,v) = 1/2v > 0
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Dunque
(x y)dxdyE
( u
v uvJ
) 12v
dudv
A conti fatti si trova 1/3 (4 - 2).Il dominio è divenuto un rettangolo e la funzione non si è troppo complicata
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A parte i cambiamenti di variabiliche possono essere suggeriti dallanatura del problema (tipo di dominioo particolarità della funzione), come abbiamo visto nell’esempio precedente, i tipi di trasformazionidi coordinate più comuni, sonoquelli che già abbiamo introdottoin una lezione precedente:il cambiamento di coordinate polario (polari ellittiche) nel piano; il
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cambiamento di coordinate cilindriche(o cilindrico ellittiche) e il cambiamento di coordinate sferiche(o ellissoidali) nello spazio.Precisamente
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COORDINATE POLARI
Sono le coordinate così individuate
x cosy sen
0, 0 2
Sappiamo che questa trasformazione ha un solo puntosingolare: l’origine (0,0)T
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Infatti il determinante jacobiano è
det J(x y) =
La trasformazione è biiettiva traR2\(0,0)T, e {(,): >0, 0 < < 2π}
Cioè vi è corrispondenza biunivocatra tutto il piano x y privato dell’origine e una striscia infinitanel piano . Se indichiamo conh-1(x,y) la trasformazione che a ,
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fa corrispondere x,y abbiamo
f (x,y)dxdy
f (cos ,h1(E)
E
sen)dd
Se il dominio E è un’ellisse o partedi essa di semiassi a e b, è conveniente usare le coordinatepolari ellittiche x = a cos , y = b sen . Il determinanteJacobiano è a b
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Mostriamo come ciò sia utile nel calcolo dell’area di un ellisse o delvolume di un ellissoide
Sia E = {(x,y):x2/a2 + y2/b2 = 1}
m(E) dxdy ab
h1(E)
E dd
Si trova facilmente m(E) = πab
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Calcolo del volume di un ellissoide
E = {(x,y):x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1}
Si trova, dopo qualche calcolo nondifficile, m(E) = (4/3)π abc
Ricordiamo che il calcolo in coordinate cartesiane presentavainvece qualche difficoltà
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COORDINATE CILINDRICHE
Sono le coordinate così individuate
x cosy senz u 0, 0 2 , u R
Il determinante jacobiano di questa trasformazione è . L’assez è fatto di punti singolari
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La trasformazione è biunivoca tral’aperto dato da R3\{asse z} dello spazio x y z e l’aperto > 0, 0 < < 2π, u R, dello spazio u. Si può combinare questa trasformazione con quella delle coordinate ellittiche
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COORDINATE SFERICHE
Sono le coordinate così descritte
x sen cosy sen cosz cos
, , 0 0 0 2
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Il determinante jacobiano di questa trasformazione è 2 sen . L’asse z è fatto tutto di punti singolari.
La trasformazione è biunivoca tral’aperto dato da R3\{semipiano x z, con x≤ 0} dello spazio x y z e l’aperto > 0, 0 < < π, 0 < < 2π, dello spazio . Si può combinare que-sta trasformazione con quella delle coordinate ellittiche
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Mostriamo come ciò sia facilissimocon questa trasformazione calcolareil volume dell’ellissoide
E = {(x,y):x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1}
Si trova facilmente, come noto, (4/3)π abc
dxdydz 2d send d0
2
0
0
1
E abc
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APPLICAZIONI ALAPPLICAZIONI ALCALCOLO DI CALCOLO DI
AREE, VOLUMI, AREE, VOLUMI, BARICENTRI,BARICENTRI,
MOMENTIMOMENTI
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Già abbiamo applicato le trasformazioni di coordinate per calcolare alcune aree e volumi notevoli. Vogliamo ora presentarealcuni ulteriori esempi
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Si calcolino i seguenti integralidoppi
1) Calcolare
x 2
y 2
E
dxdy
dove E è la semicorona circolare con y ≥ 0 compresa tra i cerchi di raggi 2 e 3 e centro nell’origine
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2) Calcolare
arctg
yxE
dxdy
dove E è la parte di piano compresafra la spirale d’Archimede d’equazione = 2 , per 0≤ ≤ π,e l’asse x.
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3) Calcolare
(x 2 y 2)dxdy
E
dove E è la parte di piano compresafra l’asse x, la circonferenza di raggio 1 e centro l’origine e la circonferenza di raggio 1 e centroin (1,0)T
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Si calcolino i seguenti volumi
1) Volume della porzione di semisfera per z ≥ 0, che si proiettaSul piano x y sulla circonferenza didiametro r e centro in (r/2,0)T
2) Volume della porzione di cilindrocircolare d’equazione z = √1-x2 , che si proietta sul piano x y sul triangolo rettangolo di vertici (0,0)T,(1,0)T, (0,1)T
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3) Volume della porzione di superficie paraboloidica d’equazione2 p z = x2 + y2 che si proietta sulpiano x y in un cerchio con centronell’origine a raggio r
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BARICENTRI
Il baricentro d’una lamina pianaE è dato dal punto di coordinate
x
xdxdyE
m(E), y
ydxdyE
m(E)
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Si calcolino i seguenti baricentri
1) Di un triangolo rettangolo
2) Di un settore circolare
3) Di una semiellissi
4) Di un segmento di parabola
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MOMENTI D’INERZIA
Il momento d’inerzia di un solidodi densità unitaria rispetto a un asseassunto come asse z, solido che occupa la regione dello spazio E,è dato da
M (x 2
y 2)dxdydzE
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Si calcolino i seguenti momentid’inerzia
1) Di un parallelepipedo rettangolo,rispetto ad uno spigolo
2) Di un cilindro rotondo, rispetto all’asse
3) Di un ellissoide, rispetto ad un asse