MIHAI VRABIE

CALCULUL

PLĂCILOR

EDITURA SOCIETĂŢII ACADEMICE "MATEI-TEIU BOTEZ"

IAŞI, 2011

REFERENŢI ŞTIINŢIFICI

Prof. univ. dr. ing. Mircea IEREMIA

Prof. univ. dr. ing. Cornel Traian BIA

TEHNOREDACTARE

Conf. univ. dr. ing. Mihai Vrabie

Ing. Pânzariu Gabriel

GRAFICĂ

Ing. Gabriel Pânzariu

COPERTA

Informatician Cristian Vrabie

Editura Societăţii Academice “Matei-Teiu Botez”

B-dul Dimitrie Mangeron, nr. 43, Iaşi, România

Director: Prof. univ. dr. ing. Constantin Ionescu

PREFAŢĂ

Plăcile plane şi curbe se utilizează pe scară largă în cele mai diverse domenii

ale ingineriei (civilă, mecanică, navală, chimică şi petrochimică, aeronautică etc.).

În construcţii, plăcile se întâlnesc la planşee, acoperişuri plane sau curbe, radiere,

pereţi, cheiuri, ecluze, rezervoare, castele de apă, conducte, decantoare, baraje etc.

În prezenta lucrare, ca şi în literatura de specialitate internaţională, prin

plăci plane (“plates” în limba engleză) se înţeleg elemente de construcţii

bidimensionale, caracterizate prin suprafaţa mediană, grosime şi mod de rezemare.

Suprafaţa mediană, care este locul geometric al punctelor situate la mijlocul

grosimii (egal depărtate de cele două feţe ale plăcii), poate avea diverse forme

geometrice şi moduri de rezemare. Rezemarea poate fi continuă pe contur sau pe

întreaga suprafaţă (pe un mediu elastic), respectiv discontinuă sau discretă.

Grosimea plăcilor, constantă sau variabilă (continuu sau în trepte), se măsoară

perpendicular pe suprafaţa mediană şi este mică în comparaţie cu dimensiunile din

planul sau suprafaţa mediană (plăci subţiri). Teoria de calcul prezentată în lucrare

se limitează la teoria clasică a plăcilor subţiri (CPT – Classical Plate Theory).

Accepţiunea curentă a termenului de placă plană este aceea de placă plană

încovoiată, acţiunile având direcţia normală pe suprafaţa mediană.

Plăcile curbe (“shells”) diferă de cele plane prin curbura iniţială a suprafaţei

mediane, care poate fi cu simplă sau dublă curbură, lucru care complică întrucâtva

teoria şi modul lor de calcul. La secţiunea consacrată plăcilor curbe, se insistă

asupra teoriei de membrană a plăcilor curbe de rotaţie şi a celor cilindrice, acestea

fiind şi cele mai utilizate în practică. Teoria de încovoiere este prezentată doar

pentru plăci curbe cilindrice axial simetrice.

Materialul este prezentat după concepţia "de la simplu la complex, de la

particular la general", dar uneori şi invers, din rezultate generale se obţin cazuri

particulare. Sunt prezentate fundamentele teoriei, urmărindu-se în mod selectiv

aspectele esenţiale şi explicaţiile fizice ale ipotezelor, noţiunilor şi fenomenelor care

guvernează răspunsul plăcilor la acţiuni statice. Sistemele de referinţă şi notaţiile

adoptate în lucrare urmează esenţial convenţiile acceptate şi standardizate pe plan

naţional şi internaţional.

Scurtele aplicaţii introduse la unele capitole, ca şi problemele propuse

pentru rezolvare, la care se prezintă unele rezultate, facilitează înţelegerea teoriei şi

demonstrează utilitatea ei practică în proiectare.

Volumul de faţă se adresează studenţilor din învăţământul superior tehnic,

cu precădere celor de la ciclul de master, specializarea Inginerie structurală, de la

Facultatea de Construcţii şi Instalaţii, care au prevăzut în planul de învăţământ un

curs mai dezvoltat de plăci. Parte din materialul prezentat este util şi studenţilor din

ciclul de licenţă, de la facultăţile cu profil de inginerie civilă (Construcţii şi

Instalaţii, Hidrotehnică, Geodezie şi Protecţia Mediului) sau cu profil mecanic, care

au în programa analitică disciplina de Teoria Elasticităţii, în continuarea sau

împreună cu un curs dezvoltat de Rezistenţa Materialelor. Lucrarea poate fi utilă,

de asemenea, şi doctoranzilor, cercetătorilor, specialiştilor şi inginerilor care

lucrează în proiectarea, execuţia sau exploatarea construcţiilor sau sistemelor

structurale, ce au în componenţă plăci plane şi curbe.

Lucrarea se constituie şi ca un modest omagiu adus memoriei specialistului,

profesorului şi, mai ales, omului Nicolae Ungureanu, îndrumător şi formator pentru

zeci de generaţii de ingineri constructori. Personal, mă număr printre cei care au

beneficiat în cel mai înalt grad, pe parcursul carierei mele profesionale, de

competenţa, dăruirea şi generozitatea sa intelectuală!

Conf. dr. ing. Mihai Vrabie

5

CUPRINS

PREFAŢĂ 3 CUPRINS 5 PLĂCI PLANE 9 1. PLĂCI PLANE ÎN COORDONATE CARTEZIENE. ECUAŢII GENERALE 11 1.1. Consideraţii introductive şi ipoteze 11 1.2. Aspectul geometric al deformării plăcilor 14 1.3. Tensiuni în plăcile plane 16 1.4. Eforturi în plăcile plane 19 1.5. Exprimarea tensiunilor cu ajutorul eforturilor 21 1.6. Relaţii diferenţiale dintre eforturi şi încărcări. Ecuaţia diferenţială a suprafeţei mediane deformate 23 1.7. Eforturi în secţiuni înclinate faţă de planele paralele cu axele de coordonate 26 1.8. Condiţii pe contur la plăcile plane 28 2. METODE DE DETERMINARE A SOLUŢIILOR LA PLĂCI PLANE DREPTUNGHIULARE 33 2.1. Încovoiere cilindrică 33 2.2. Plăci acţionate de momente pe contur 35 2.3. Soluţii pentru plăci plane dreptunghiulare prin serii Fourier simple 37 2.4. Rezolvarea plăcilor dreptunghiulare cu ajutorul seriilor Fourier duble 43 2.5. Calculul plăcilor plane prin metoda diferenţelor finite 49 3. PLĂCI PLANE ÎN COORDONATE CILINDRICE 55 3.1. Preliminarii 55 3.2. Aspectul geometric 55 3.3. Tensiuni. Eforturi 56 3.4. Relaţii diferenţiale între eforturi şi încărcări la plăci plane în coordonate cilindrice 58 3.5. Ecuaţia diferenţială a suprafeţei mediane deformate 60 3.6. Plăci circulare axial simetrice 61 3.7. Soluţia ecuaţiei diferenţiale 65 3.8. Placa circulară plină 68 4. ENERGIA POTENŢIALĂ A PLĂCILOR. METODE VARIAŢIONALE PENTRU CALCULUL PLĂCILOR 73 4.1. Energia potenţială specifică 73 4.2. Energia potenţială de deformare a plăcilor 73 4.3. Metode variaţionale pentru calculul plăcilor 76

4.3.1. Metoda Ritz 76 4.3.2. Metoda Galerkin 81

6

5. PLĂCI ORTOTROPE 85 5.1. Ecuaţiile plăcilor ortotrope 85 5.2. Soluţii ale ecuaţiei diferenţiale a plăcilor ortotrope 87 5.3. Netezirea plăcilor cu ortotropie geometrică sau de structură 91 6. CALCULUL PLĂCILOR ACŢIONATE DE FORŢE NORMALE PE PLANUL MEDIAN PRIN METODA ELEMENTELOR FINITE 95 6.1. Consideraţii preliminarii 95 6.2. Matricea de rigiditate a elementului finit 95 6.3. Determinarea deplasărilor, eforturilor şi tensiunilor 102 7. PLĂCI PLANE PE MEDIU ELASTIC 105 7.1. Ipoteze. Modele pentru mediul de rezemare 105 7.2. Consideraţii asupra obţinerii soluţiilor 109 8. PLĂCI PLANE CU DEPLASĂRI MARI 113 8.1. Ecuaţii geometrice şi fizice 113 8.2. Eforturi secţionale 115 8.3. Ecuaţii diferenţiale de echilibru 116 8.4. Ecuaţii diferenţiale rezolvente ale plăcilor în calculul de ordinul doi 119 9. STABILITATEA PLĂCILOR PLANE 121 9.1. Ecuaţia de stabilitate 121 9.2. Placa solicitată la compresiune uniaxială 122 9.3. Placa solicitată la compresiune biaxială 126 10. PROBLEME 129 PLĂCI CURBE 143 1. CONSIDERAŢII GENERALE ŞI NOŢIUNI CU PRIVIRE LA GEOMETRIA PLĂCILOR CURBE 145 1.1. Consideraţii asupra plăcilor curbe 145 1.2. Noţiuni de geometria suprafeţelor curbe 146 2. TENSIUNI, EFORTURI, DEFORMAŢII ÎN PLĂCILE CURBE 155 2.1. Definiţii şi ipoteze în calculul plăcilor curbe 155 2.2. Tensiuni şi eforturi în plăcile curbe 156 2.3. Starea de membrană a plăcilor curbe 159 2.4. Ecuaţii de deformaţie 160 2.5. Ecuaţii fizice. Eforturi 162 3. PLĂCI CURBE DE ROTAŢIE ÎN STAREA DE MEMBRANĂ 165 3.1. Ecuaţii de echilibru 165 3.2. Cazuri particulare de plăci curbe 170

3.2.1. Plăci curbe sferice 170 3.2.2. Plăci curbe conice 170

7

3.3. Plăci curbe de rotaţie axial simetrice în teoria de membrană 172 3.3.1. Calculul eforturilor 172 3.3.2. Deformaţii de membrană ale plăcilor curbe de rotaţie axial simetrice 176 3.3.3. Calculul deplasărilor pentru plăcile curbe de rotaţie axial simetrice 177 3.3.4. Aplicaţii la cupole sferice 179 3.3.5. Aplicaţii la cupole conice 184

3.4. Plăci curbe de rotaţie încărcate nesimetric 188 3.4.1. Cupolă sferică acţionată de vânt 188 3.4.2. Cupolă conică acţionată de vânt 192

4. PLĂCI CURBE CILINDRICE 195 4.1. Generalităţi 195 4.2. Ecuaţii diferenţiale de echilibru 196 4.3. Ecuaţiile geometrice şi fizice ale plăcilor curbe cilindrice în starea de membrană 198 4.4. Aplicaţii 199

4.4.1. Învelitoare cilindrică rezemată pe timpane 199 4.4.2. Turn cilindric circular vertical acţionat de vânt 206

5. ÎNCOVOIEREA PLĂCILOR CURBE CILINDRICE 209 5.1. Ecuaţii diferenţiale de echilibru 209 5.2. Aspectul geometric al deformaţiilor 210 5.3. Aspectul fizic şi expresiile eforturilor 211 5.4. Ecuaţia diferenţială de încovoiere a peretelui cilindrului şi soluţii 212 5.5. Rezervoare pentru lichide 216

5.5.1. Rezervoare scurte 216 5.5.2. Rezervoare lungi 218

6. PROBLEME 225 ANEXE 233 BIBLIOGRAFIE 235

8

9

PLĂCI PLANE

10

11

1. PLĂCI PLANE ÎN COORDONATE CARTEZIENE. ECUAŢII GENERALE

1.1. CONSIDERAŢII INTRODUCTIVE ŞI IPOTEZE

Placa plană este un element structural bidimensional, mărginit de două

suprafeţe S1 şi S2 (fig.1.1). Ea se caracterizează prin planul median şi grosime. Locul geometric al punctelor egal depărtate de cele două suprafeţe S1 şi S2

se numeşte planul median al plăcii. Grosimea plăcii este distanţa dintre feţele S1 şi S2, măsurată pe normala la planul median şi se notează cu h (se mai folosesc notaţiile δ, t, g).

Plăcile plane fac parte din clasa corpurilor sau elementelor structurale la care dimensiunile din planul median sunt preponderente în raport cu grosimea. Trebuie menţionat însă că teoriile de calcul ale acestor elemente structurale diferă semnificativ funcţie de direcţia de

Fig. 1.1. Elemente de identificare ale unei plăci plane aplicare a acţiunilor în raport cu planul median. Astfel, dacă planul forţelor (acţiuni şi reacţiuni) coincide cu planul median al elementului structural, atunci acesta se află în stare plană de tensiune şi poartă denumiri specifice: perete structural, grindă perete, diafragmă, şaibă, element planar etc. Analiza stării de tensiune şi de deformaţie din astfel de elemente structurale s-a făcut la Teoria elasticităţii, şi nu face obiectul prezentei lucrări.

În continuare se analizează elementele structurale de tip placă, la care acţiunile sunt perpendiculare pe planul median. Prin urmare, în prezenta lucrare, ca şi în literatura de specialitate a domeniului, cu înţeles mai restrâns se foloseşte denumirea de placă pentru elementele plane solicitate la încovoiere.

Formele de plăci cele mai frecvent întâlnite în practică sunt: dreptunghiulare, circulare, inelare (fig. 1.2 a, b, c), oblice (sub formă de paralelogram), poligonale, triunghiulare etc.

În funcţie de raportul dintre dimensiunea minimă din plan (lmin = min(a,b)) şi grosimea h, plăcile plane se clasifică pentru calcul în două mari clase:

12

- plăci plane subţiri, la care min 5lh

;

- plăci plane groase, la care min 5lh

.

Teoria de calcul are particularităţi specifice pentru fiecare clasă menţionată, dar în prezenta lucrare se tratează numai teoria plăcilor subţiri.

a) b) c) Fig. 1.2. Forme frecvent întâlnite de plăci plane

În construcţii plăcile plane se întâlnesc la planşee, acoperişuri plane, radiere,

pereţi, cheuri, ecluze, rezervoare, decantoare, baraje etc. Sistemul de referinţă se alege astfel încât axele x şi y să fie în planul median

şi să formeze un sistem drept. La plăcile aşezate în poziţie orizontală axa z are direcţia acţiunilor gravitaţionale (fig. 1.3 a).

a) b) Fig. 1.3. a) Sistemul de referinţă; b) Semne convenţionale pentru rezemarea laturilor

13

Modul de rezemare al plăcilor poate fi: - continuu, pe tot conturul sau pe o parte a acestuia; - pe toată suprafaţa, pe un mediu elastic; - discret, pe stâlpi, piloţi, coloane etc. În figura 1.3 b se arată semnele convenţionale pentru marginea încastrată,

simplu rezemată şi liberă. Teoria de calcul a plăcilor plane subţiri este cunoscută sub denumirea de

teoria clasică a plăcilor plane (Classical Plate Theory – CPT), şi bazele ei au fost puse încă de la începutul secolului al 19-lea de Lagrange (1811) şi Germain (1821). Ea utilizează conceptul de încovoiere pură a plăcilor la dezvoltarea ecuaţiilor, în care normalele la suprafaţa mediană dinainte de deformare rămân drepte şi normale la suprafaţa mediană deformată [Qatu 2004]. CPT este o teorie simplificată a plăcilor plane, în care se folosesc următoarele ipoteze:

- materialul constitutiv este continuu, omogen şi izotrop; - pentru încărcări moderate (cum sunt cele de serviciu ale exploatării

normale) placa se comportă elastic şi este valabilă legea lui Hooke; - materialul are acelaşi modul de elasticitate la întindere şi compresiune; -se admite că deformaţiile sunt mici, deci pot fi neglijate în raport cu

unitatea; - se consideră că deplasările sunt mici în raport cu grosimea (raportul dintre

deplasarea maximă normală pe planul median şi grosime este mai mică decât 1/5) şi echilibrul se poate scrie pe forma nedeformată; această ipoteză nu se foloseşte în calculul de ordinul doi şi de stabilitate, pentru care echilibrul se scrie pe forma deformată;

- la deformarea plăcii, nu se produc deformaţii liniare şi de lunecare în planul median: (εx)z=0 = 0, (εy)z=0 = 0, (γxy)z=0 = 0, adică un element diferenţial din planul median al plăcii nedeformate se regăseşte ca formă şi dimensiuni pe suprafaţa mediană a plăcii deformate.

- ipoteza segmentului normal: un segment de dreaptă normal pe planul median al plăcii nedeformate, rămâne rectiliniu, inextensibil şi normal la suprafaţa mediană deformată. Această ipoteză aparţine lui Kirchhoff şi constituie o generalizare a ipotezei lui Bernoulli, admisă la încovoierea barelor [Precupanu 1982]. Consecinţele admiterii ipotezei segmentului normal sunt că deformaţiile specifice în direcţia grosimii, εz, şi lunecările din planele transversale γxz, γyz se pot neglija şi prin urmare εz = 0, γxz = γzx = 0, γyz = γzy = 0.

Ultima ipoteză acceptată conduce la unele contradicţii care vor fi menţionate la locul cuvenit.

14

1.2. ASPECTUL GEOMETRIC AL DEFORMĂRII PLĂCILOR Sub acţiunea încărcărilor normale pe planul median, o placă se deformează

şi punctele sale se deplasează în spaţiu. Conform ipotezei segmentului normal inextensibil rezultă:

0zwz

(1.1)

Urmează că suprafaţa mediană deformată a plăcii nu depinde de z şi deci: w = w(x,y) (1.2)

Aceasta înseamnă că punctele unei plăci de pe un segment normal pe planul median vor avea aceleaşi deplasări w. De asemenea, condiţiile γxz = γzx = 0 şi γyz = γzy = 0 (consecinţe ale ipotezei segmentului normal) se scriu:

0u wz x

, 0v wz y

(1.3)

sau u wz x

, v wz y

(1.4)

Prin integrarea acestora în raport cu z se obţine:

1

2

( , )

( , )

wu z f x yxwv z f x yy

(1.5)

Întrucât în suprafaţa mediană deformaţiile specifice liniare şi lunecările sunt nule, deci:

0 00 0

00

0, 0,

0

x yz zz z

xy zz

u vx y

u vy x

(1.6)

urmează că f1(x,y) şi f2(x,y) sunt constante, adică pentru z = 0, u = u0, v = v0 şi f1 = u0, f2 = v0, iar u şi v au forma:

0wu z ux

, 0

wv z vy

(1.7)

În particular, dacă punctele din planul median se deplasează normal pe acesta u0 = 0 şi v0 = 0, iar deplasările u şi v au expresiile:

15

wu zx

, wv z

y

(1.8)

Rezultatul obţinut arată că deplasările u şi v din planul plăcii sunt determinate de deplasările w, normale pe acest plan. În continuare se pot obţine imediat deformaţiile specifice din planul plăcii:

2

2xu wzx x

(a)

2

2yv wzy y

(b) (1.9)

2

2xyu v wzy x x y

(c)

Aceste deformaţii au o variaţie liniară pe grosime, fiind nule în suprafaţa mediană şi maxime pe suprafeţele S1 şi S2. Relaţiile (1.8) pot fi deduse şi direct, din considerente geometrice, rezultate ca urmare a ipotezelor admise. Printr-o placă, solicitată de forţe normale pe planul median, se face o secţiune normală, paralelă cu planul xOz (fig. 1.4 a). În fig. 1.4 b se arată secţiunea înainte şi după deformarea plăcii.

Fig. 1.4. Secţiune normală printr-o placă plană cu indicarea deplasării u la cota z

Un punct, situat la distanţa z de planul median, se va deplasa în sensul negativ al axei x cu cantitatea u, şi din figura 1.4 rezultă:

tan xwu z zx

(1.10)

Printr-un raţionament similar se obţine:

16

tan ywv z zy

(1.11)

Aceste relaţii (1.10 şi 1.11) sunt o consecinţă directă a ipotezei segmentului normal şi sunt identice cu (1.8). Deformaţiile specifice εx, εy şi γxy, exprimate prin relaţiile (1.9) reprezintă aspectul geometric al deformării plăcilor plane subţiri, arătând că, într-o primă aproximaţie, aceste deformaţii variază liniar pe grosimea plăcii, iar suprafaţa mediană este strat neutru. Deplasările fiind mici, într-un punct al suprafeţei mediane curburile plăcii deformate în direcţiile axelor de coordonate pot fi exprimate aproximativ după cum urmează:

2

2

1x

x

wx

,

2

2

1y

y

wy

(1.12)

în care ,x y sunt razele de curbură ale suprafeţei mediane deformate. S-a luat semnul minus, centrele de curbură fiind în sensul negativ al axei z. De asemenea expresia:

21

xyxy

wx y

(1.13)

se numeşte torsiunea suprafeţei deformate în punctul considerat. Deformaţiile specifice (1.9), ţinând cont de (1.12) şi (1.13) se pot scrie: x xz , y yz , 2xy xyz (1.14)

1.3. TENSIUNI ÎN PLĂCILE PLANE Ţinând cont de ipotezele făcute şi neglijând presiunile dintre straturi ca fiind

nesemnificative ( 0z , consecinţă a lui 0z ), legea lui Hooke se scrie: 1 ( )x x yE

, 1 ( )y y xE , 2(1 )

xy xyE

(1.15)

Exprimând tensiunile în raport cu deformaţiile specifice rezultă:

2 ( )1x x y

E

, 2 ( )1y y x

E

, 2(1 )xy xy

E

(1.16)

Deformaţiile specifice din (1.9) se introduc în (1.16), obţinându-se următoarele expresii pentru tensiunile , , :x y xy

17

2 2

2 2 21xE z w w

x y

(a)

2 2

2 2 21yE z w w

y x

(b) (1.17)

2

1xyE z w

x y

(c)

Dacă în ecuaţiile (1.16) se înlocuiesc deformaţiile specifice , ,x y xy în funcţie de curburile şi torsiunea suprafeţei mediane deformate din (1.14), se obţine:

21x x yE z

21y y xE z

(1.18)

1xy xyE z

Din expresiile (1.17), respectiv (1.18), rezultă că tensiunile normale x , y şi tensiunile tangenţiale xy , se distribuie liniar pe grosime, fiind nule în suprafaţa mediană şi având valori maxime pe suprafeţele S1 şi S2 ale plăcii (fig. 1.6).

Fig. 1.6. Distribuţiile tensiunilor normale şi tangenţiale pe grosimea plăcii

Dacă se examinează ecuaţiile diferenţiale de echilibru din teoria elasticităţii, se constată că pentru a fi satisfăcute trebuie luate în considerare şi tensiunile

xz zx , yz zy şi z , care în raţionamentele precedente au fost neglijate.

18

Aceste tensiuni pot fi determinate din ecuaţiile diferenţiale de echilibru, dar prezenţa lor este în contradicţie cu ipotezele geometrice admise iniţial. Din această cauză teoria clasică a plăcilor plane apare ca fiind contradictorie. Totuşi, la plăcile plane subţiri, erorile care se fac, pot fi neglijate din punct de vedere practic. Întrucât axa z este în direcţia acceleraţiei gravitaţionale, componentele X şi Y ale intensităţii forţelor masice se pot considera nule şi, din primele două ecuaţii diferenţiale de echilibru,

0, 0yx xy y zyx zx

x y z x y z

(1.19)

ţinând cont şi de (1.17), rezultă:

3 3

2 3 2

3 3

2 2 3

1

1

yxzx x

zy xy y

Ez w wz x y x x y

Ez w wz x y x y y

(1.20)

Integrând în raport cu z se obţin , ,zx zy

2 3 3

12 3 2

2 3 3

22 2 3

( , )2(1 )

( , )2(1 )

xz zx

yz zy

Ez w w t x yx x y

Ez w w t x yx y y

(1.21)

Funcţiile 1( , )t x y şi 2 ( , )t x y se determină scriind că pe suprafeţele S1 şi S2, deci pentru / 2z h , tensiunile 0xz yz , din care se obţin:

2 3 3

1 2 3 2

2 3 3

2 2 2 3

( , )8(1 )

( , )8(1 )

Eh w wt x yx x y

Eh w wt x yx y y

(1.22)

Înlocuind 1( , )t x y şi 2 ( , )t x y în (1.21) rezultă expresiile (1.23): 2 2 2 2

2 2 22 2 2 22(1 ) 4 2(1 ) 4xz

E h w w E hz z wx x y x

2 2 2 22 2 2

2 2 2 22(1 ) 4 2(1 ) 4yzE h w w E hz z w

y x y y

19

Relaţiile (1.23) arată că pe grosimea plăcii tensiunile xz şi yz se distribuie după o lege parabolică (fig.1.6) (analog cu distribuţia tensiunilor tangenţiale la grinzile cu secţiune dreptunghiulară solicitate la încovoiere cu forfecare).

În cazul unor acţiuni distribuite pe placă, presiunile dintre straturi nu sunt nule, cum s-a admis, putând fi determinate din a treia ecuaţie diferenţială de echilibru, fără considerarea forţei masice, dar la plăcile subţiri valorile lor sunt în general neglijabile.

Notă: O teorie exactă a plăcilor plane se poate dezvolta, fără simplificările admise, plecând de la ecuaţiile teoriei elasticităţii, dar calea este prea complexă pentru a putea fi folosită în practică.

1.4. EFORTURI ÎN PLĂCILE PLANE Se consideră o secţiune normală la axa x, pe care apar tensiunile , ,x xy xz

şi o secţiune normală la axa y, pe care apar tensiunile , ,y yx yz (fig. 1.7).

Fig. 1.7. Secţiuni ortogonale normale prin placă şi ilustrarea tensiunilor pe un element de arie

Efectele globale ale acestor tensiuni pe unitatea de lungime din secţiune şi pe toată grosimea plăcii, reduse la centrul de greutate al secţiunii 1 h , formează un torsor de reducere (o rezultantă forţă şi un moment rezultant), ale căror componente se numesc eforturi. Sumând tensiunile x pe unitatea de lungime şi pe toată grosimea plăcii se obţine componenta xN :

20

2 2/ 2 / 2

2 2 2/ 2 / 21h h

x xh h

E w wN dz zdzx y

(1.24)

Datorită distribuţiei antisimetrice a tensiunilor x faţă de axa y, rezultanta acestora este nulă ( xN = 0). Acest fapt este confirmat de anularea integralei reprezentând momentul static al suprafeţei 1 h faţă de o axă centrală. Momentul forţei elementare x dz faţă de axa y este ( x dz)z şi prin sumarea pe suprafaţa 1 h se obţine momentul de încovoiere xM ,

2 2/ 2 / 2 22 2 2/ 2 / 21

h h

x xh h

E w wM zdz z dzx y

(1.25)

Integrala are valoarea h3/12, reprezentând momentul de inerţie al suprafeţei 1 h faţă de axa y. Se face notaţia:

3

212(1 )E hD

(1.26)

care se numeşte rigiditatea plăcii la încovoiere sau rigiditatea cilindrică a plăcii. Cu notaţia precedentă, momentul încovoietor xM are expresia:

2 2

2 2xw wM D

x y

(1.27)

Sumând tensiunile tangenţiale xy pe suprafaţa 1 h rezultă:

2/ 2 / 2

/ 2 / 21h h

xy xyh h

E wN dz zdzx y

(1.28)

Evident, forţa de lunecare este nulă ( 0xyN ). Momentul forţei elementare xydz faţă de axa x este ( xydz )z, iar momentul

xyM al tuturor forţelor elementare se obţine prin integrare: 2/2 /2 2

/2 /2

3 2 2

1

(1 )12(1 )

h h

xy xyh h

E wM zdz z dzx y

Eh w wDx y x y

(1.29)

xyM este moment de torsiune pentru secţiunea cu baza unu şi înălţimea h. Prin sumarea tensiunilor tangenţiale xz se obţine forţa tăietoare Vx,

21

2/2 /22 2 22/2 /22(1 ) 4

h h

x xzh h

E hV dz w z dz D wx x

(1.30)

Analog se determină Ny = 0, My, Nyx = 0, Myx, Vy. Dualitatea tensiunilor tangenţiale conduce la egalitatea Mxy = Myx = Mt (notat cu T în Eurocoduri). De notat că în literatura de specialitate mai veche, pentru forţele tăietoare, notate cu Vx, Vy după Eurocoduri, se mai întâlnesc notaţiile Tx, Ty sau Qx, Qy. În consecinţă, eforturile care apar în plăcile plane încărcate cu forţe normale pe planul median sunt: momentele încovoietoare Mx, My, momentele de torsiune Mxy = Myx = Mt, forţele tăietoare Vx, Vy, şi se determină cu relaţiile:

2 2

2 2xw wM D

x y

(a)

2 2

2 2yw wM D

y x

(b)

2

(1 )twM D

x y

(c) (1.31)

xV D wx

(d)

yV D wy

(e)

unde s-a folosit notaţia 2 2

22 2x y

(operatorul lui Laplace).

Momentele, fiind definite pe unitatea de lungime din secţiune, au aceleaşi unităţi de măsură ca şi forţele: N(Nm/m), kN, MN; forţele tăietoare se măsoară în unităţi de forţă pe unitate de lungime: N/m, kN/m, daN/cm etc. 1.5. EXPRIMAREA TENSIUNILOR CU AJUTORUL EFORTURILOR

Comparând relaţiile (1.17 a şi b), care dau tensiunile x şi y , cu relaţiile

(1.31 a şi b), care dau momentele încovoietoare Mx şi My rezultă:

3

3

12

12

x xx

y yy

M Mz zh IM M

z zh I

(1.32)

22

în care 31 /12I h este momentul de inerţie al suprafeţei 1·h, faţă de axa în jurul căreia se produce încovoierea.

Aceste expresii sunt similare cu cele corespunzătoare grinzilor încovoiate de secţiune dreptunghiulară (Navier). Valorile maxime, în modul, ale tensiunilor x şi y se obţin pentru

/ 2z h

max max2 2

66 ); )y yx xx y

M MM M a bh W h W

(1.33)

în care, W = 1·h2/6 este modulul de rezistenţă al suprafeţei 1 h , faţă de axa în jurul căreia se produce încovoierea. Din relaţiile (1.17c) şi (1.31c) se obţine expresia tensiunilor xy , generate de momentul de torsiune tM

3

12 txy

M zh

(1.34)

Tensiunile xy maxime în valoare absolută rezultă pentru / 2z h

max 2

6 txy

Mh

(1.35)

Expresiile tensiunilor xz şi yz în raport cu forţele tăietoare Vx şi respectiv Vy se obţin comparând relaţiile (1.23) şi (1.31d, e):

22

3

22

3

64

64

xxz

yyz

V h zhV h zh

(1.36)

Aceste expresii sunt similare cu cele obţinute folosind formula lui Juravski la grinzi cu secţiune dreptunghiulară. Pentru z = 0 rezultă valorile maxime ale tensiunilor xz , yz :

max

max

3232

xxz

yyz

Vh

Vh

(1.37)

Existenţa tensiunilor tangenţiale în suprafaţa mediană şi deci a deformaţiilor unghiulare nu corespunde cu ipotezele iniţiale, dar la plăcile subţiri efectele lor sunt neglijabile.

23

1.6. RELAŢII DIFERENŢIALE DINTRE EFORTURI ŞI ÎNCĂRCĂRI. ECUAŢIA DIFERENŢIALĂ A SUPRAFEŢEI MEDIANE DEFORMATE

Pentru a determina relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi încărcări, se

detaşează din placă un element diferenţial, având dimensiunile dx, dy în planul median al plăcii şi grosimea h.

Pe feţele laterale ale acestui element se introduc eforturile de conexiune cu placa din care s-a extras, anume: pe feţele obţinute prin secţionare cu planele x = constant şi y = constant se introduc eforturile din punctul (x,y) al planului median, iar pe feţele x+dx = constant şi y+dy = constant, eforturile din punctul (x,y) corectate cu creşterile corespunzătoare aproximate prin diferenţiale (fig.1.8).

Fig. 1.8. Element diferenţial de placă şi eforturi pe feţele sale Folosind regula şurubului se stabilesc sensurile vectorilor moment de

încovoiere şi de torsiune. Sarcina distribuită p(x,y) este normală pe planul median al plăcii

nedeformate, având direcţia axei z. Pentru poziţia orizontală a plăcii, în p(x,y) se

24

poate include şi greutatea proprie. Forţele şi cuplurile, ce acţionează elementul diferenţial de placă, formează

un sistem în echilibru. Forţele sunt paralele cu axa z, iar cuplurile au vectorii corespunzători în planul Oxy (fig. 1.8d) şi deci, din cele şase ecuaţii de echilibru rămân semnificative numai trei: ecuaţia de proiecţie a forţelor pe axa z şi ecuaţiile de momente în raport cu axele x şi y.

Ecuaţia de proiecţie a forţelor pe axa z se scrie:

( , ) 0yxx x y y

VVV dy V dx dy V dx V dy dx p x y dxdyx y

(1.38)

După reducerea termenilor asemenea şi deoarece dxdy este factor comun diferit de zero se obţine:

( , ) 0yx VV p x yx y

(1.39)

Ecuaţia de momente în raport cu o dreaptă paralelă cu axa y, care trece prin centrul elementului infinitezimal de placă are expresia:

02 2

yxxx x yx yx

xx x

MMM dy M dx dy M dx M dy dxx y

Vdx dxV dy V dx dyx

(1.40)

Reducând termenii asemenea şi neglijând infiniţii mici de ordin superior, se obţine:

0yxxx

MM Vx y

(1.41)

Analog, făcând momentul faţă de o dreaptă paralelă cu axa x, care trece prin centrul elementului infinitezimal de placă rezultă:

0xy yy

M MV

x y

(1.42)

Se derivează ecuaţia (1.41) în raport la x şi ecuaţia (1.42) în raport la y,

22

2 0yxx xMM Vx x y x

(a)

2 2

2 0xy y yM M Vx y y y

(b) (1.43)

Se adună (1.43a) şi (1.43b) şi ţinând cont de (1.39) se înlocuieşte

25

yx VVx y

cu p(x,y), obţinându-se:

22 2

2 22 ( , ) 0yx t MM M p x yx x y y

(1.44)

Eforturile Mx, My, Mt se înlocuiesc cu expresiile lor din (1.31a, b, c), exprimate în raport cu derivatele de ordinul doi ale funcţiei deplasărilor w(x,y)

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 (1 )

( , ) 0

w w wD Dx x y x y x y

w wD p x yy y x

(1.45)

sau 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

2 ( , )

w w wD D Dx x x y x y y y

w w wD D D p x yx y x y x y y x

(1.46)

S-a obţinut astfel ecuaţia diferenţială a suprafeţei mediane deformate a plăcilor plane.

Dacă rigiditatea plăcii D este constantă, paranteza dreaptă se anulează şi ecuaţia (1.46) devine:

4 4 4

4 2 2 4

( , )2w w w p x yx x y y D

(1.47)

care reprezintă ecuaţia diferenţială a suprafeţei mediane deformate a plăcilor plane de grosime constantă, fiind cunoscută şi sub denumirea de ecuaţia Sophie-Germain-Lagrange. Folosind operatorul de câmp a lui Laplace( 2 ) ecuaţia (1.47) se poate scrie şi sub una din următoarele forme compacte:

2 2

( , )( , )

( , )( , )

p x yw x yDp x yw x y

D

(1.48)

Ecuaţia diferenţială cu derivate parţiale (1.47), respectiv (1.48), poate fi exprimată echivalent printr-un sistem de două ecuaţii diferenţiale cu derivate

26

parţiale de ordinul II. Astfel, adunând Mx cu My din (1.31a şi b) se obţine: 2 2

2 2(1 )x yw wM M D

x y

(1.49)

Se face notaţia:

1x yM M

M

(1.50)

şi ecuaţia (1.49) devine:

2 Mw wD

(1.51)

Înlocuind 2w din (1.48) cu –M/D rezultă o a doua ecuaţie: 2M M p (1.52) În unele cazuri se pot obţine mai uşor soluţiile, folosind formele (1.51) şi (1.52), numite şi ecuaţiile dedublate ale plăcii.

1.7. EFORTURI ÎN SECŢIUNI ÎNCLINATE FAŢĂ DE PLANELE PARALELE CU AXELE DE COORDONATE Într-un punct de pe suprafaţa mediană a plăcii se consideră cunoscute

eforturile , , , , ,x xy x y yx yM M V M M V pe secţiuni paralele cu planele de coordonate. Momentele încovoietoare şi de torsiune de pe aceste secţiuni formează un tensor simetric de ordinul doi:

x yx x tM

xy y t y

M M M MT

M M M M

(1.53)

Momentele încovoietoare nM şi de torsiune nsM dintr-un punct, situat pe o secţiune înclinată faţă de planele de coordonate, se pot exprima în funcţie de elementele tensorului MT , iar forţa tăietoare nV în raport cu forţele tăietoare xV ,

yV . În acest sens, în vecinătatea punctului se detaşează o prismă elementară cu două feţe laterale paralele la planele de coordonate, având lungimile dx, dy şi o faţă înclinată cu unghiul respectiv / 2, faţă de axa y (fig.1.9). Înălţimea prismei este egală cu grosimea plăcii h. Elementul diferenţial de placă, încărcat cu forţele interioare şi exterioare corespunzătoare, se află în echilibru. Condiţiile de echilibru exprimate prin ecuaţiile de momente în raport cu direcţia secţiunii înclinate şi cu normala la această secţiune conduc la următoarele relaţii:

27

2 2cos sin 2 sin cosn x y xyM M M M

2 2( )sin cos (cos sin )ns x y xyM M M M (1.54)

2 2sin cos 2 sin coss x y xyM M M M sn nsM M

Fig. 1.9. Element diferenţial de placă (prismă elementară) cu eforturi pe feţe

Proiectând forţele tăietoare pe direcţia normală la suprafaţa mediană şi neglijând infiniţii mici de ordin superior (forţele masice şi de suprafaţă) se obţine:

cos sin

sin cosn x y

n x y

V V V

V V V

(1.55)

Se constată că eforturile pe secţiuni înclinate se pot determina în mod univoc cunoscând eforturile pe două secţiuni ortogonale (duse prin acelaşi punct al planului median). Se remarcă o asemănare cu starea plană de tensiune din jurul unui punct al unui corp solicitat. Momentele încovoietoare principale într-un punct al planului median , apar

28

pe două secţiuni ortogonale, normale la planul median, pe care momentele de torsiune sunt nule, şi au valori extreme. Unghiurile 1 şi 2 , care determină secţiunile principale rezultă din relaţiile:

1,2

2tan 2 xy

x y

MM M

(a); 1,21,2tan x

xy

M MM

(b) (1.56)

Momentele încovoietoare principale se calculează cu expresiile:

2 21,2

1 ( ) 42 2

x yx y xy

M MM M M M

(1.57)

Pe secţiuni înclinate la / 4 faţă de cele principale, momentele de torsiune au valori extreme, anume:

2 2 1 2maxmin

1 ( ) 42 2ns x y xy

M MM M M M (1.58)

iar momentele încovoietoare sunt egale cu semisuma momentelor principale. Se remarcă faptul că n s x yM M M M este un invariant.

1.8. CONDIŢII PE CONTUR LA PLĂCILE PLANE

Soluţia reprezentând suprafaţa mediană deformată a unei plăci plane, poate fi precizată (individualizată) numai dacă sunt satisfăcute condiţiile de rezemare şi, eventual, alte constrângeri de natură fizică.

Fie o margine rectilinie de direcţie s şi normală n . Această margine poate fi considerată încastrată, simplu rezemată sau liberă. În particular pot exista rezemări elastice sau de altă natură (vâscoelastice, cu deformări plastice limitate,

elastoplastice etc.). Pe contur pot exista încărcări (forţe şi cupluri).

Margine încastrată. Pe zona încastrată a conturului (fig. 1.10) deplasările (săgeţile) şi rotirile în direcţia normală la margine sunt zero (w = 0, / 0w n ).

În lungul laturii încastrate momentele de torsiune sunt nule.

Fig. 1.10. Latură (margine) încastrată Întrucât rotirea / 0w n , deci nu depinde de s, urmează că

29

/ ( / ) 0s w n şi implicit momentul de torsiune este nul. În concluzie, condiţiile de contur pe o latură încastrată se scriu:

0 ; 0ww a bn

(1.59)

O margine încastrată poate avea o tasare w0 uniformă sau liniară 0w w a s (a fiind o constantă ce poate fi interpretată ca o rotire).

Margine simplu rezemată. Pe marginea simplu rezemată deplasarea w şi momentul încovoietor Mn sunt nule (fig. 1.11).

0 ; 0nw a M b (1.60) Condiţia de moment încovoietor nul conduce la:

2 2

2 2 0w wn s

(1.61)

Întrucât după deformarea plăcii marginea simplu rezemată rămâne rectilinie, are deci curbură nulă

Fig. 1.11. Latură simplu rezemată

şi ( 2 2/ 0w s ), condiţia de mai sus devine 2 2/ 0w n . Curburile nule simultan, fac ca pe marginea simplu rezemată să se poată

scrie condiţiile:

2

220 ; 0 0ww a b sau w w c

n

(1.62)

Momentul de torsiune Mns este în general nenul. Dacă se admite că Mns=0 urmează că /w n nu depinde de s, adică / ( / ) 0s w n , ceea ce în general nu se realizează.

O margine simplu rezemată poate avea o tasare uniformă w0 sau liniară (w0+as).

În cazul unei margini simplu rezemate pe care acţionează un moment distribuit m(s), condiţiile pe contur devin:

2

20 ;m sww a b

n D

(1.63)

Margine liberă. Pe marginea liberă (nerezemată şi neîncărcată – fig. 1.12), condiţiile pe contur sunt:

0 ; 0 ; 0n ns nM a M b V c (1.64)

30

Relaţiile (1.64) sunt în exces, consecinţă a ipotezelor simplifica- toare adoptate.

Dacă pe marginea liberă există încărcări, condiţiile pe contur devin:

Fig. 1.12. Margine liberă (nerezemată şi neîncărcată)

; ;n n ns ns n nM M s a M M s b V V s c (1.65) În baza principiului lui Saint-Venant, ultimele două condiţii se pot înlocui echivalent cu una singură. Momentul de torsiune, de intensitate nsM , sumat pe o distanţă infinitezimală ds, are valoarea ( )nM s ds şi se poate considera ca un cuplu format din două forţe paralele, egale şi opuse, având mărimea nsM şi braţul ds (fig. 1.13). Trecând de la coordonata s la s+ds se modifică intensitatea momentului:

( ) ( ) nsns ns

MM s ds M s dss

(1.66)

Fig. 1.13. Ilustrarea transformării condiţiilor (1.65 b, c) în forţă tăietoare generalizată

Rezultanta momentului pe următorul element diferenţial ds va fi:

( ) nsns

MM s ds dss

(1.67)

care se poate interpreta, de asemenea, ca un cuplu, forţa fiind:

31

( ) nsns

MM s dss

(1.68)

Sumând forţele ce formează cuplurile pe distanţa infinitezimală ds rezultă:

ns nsns ns

M MM M ds dss s

(1.69)

Intensitatea acestei forţe este nsMs

care se sumează cu nV şi se obţine

* nsn n

MV Vs

(1.70)

La extremităţile laturii rămân două forţe concentrate de valoare nsM .

Mărimea nsMs

se mai numeşte forţa adiţională a lui Kirchhoff. În cazul a două

margini simplu rezemate ce se întâlnesc în unghi drept, reacţiunea concentrată din colţ are valoarea nsM şi crează tendinţa de ridicare a acestuia (confirmată experimental). Ţinând cont de relaţiile (1.31), se obţine pentru *

nV expresia:

2* 2

2 3 32

2 3 2

(1 )

(1 ) (2 )

nwV D w

n s n s

w w wD w Dn s n n s

(1.71)

Dacă latura liberă este neîncărcată, condiţiile pe contur devin: 0 ; 0n nM a V b (1.72) sau

2 2 3 3

1 12 2 3 20 ; (2 ) 0w w w wa bn s n n s

(1.73)

În colţul unei plăci format de două laturi adiacente încastrate, momentul de torsiune fiind nul, nu apar reacţiuni concentrate. La o placă cu două laturi adiacente, ortogonale libere şi neîncărcate,

reacţiunea din colţ este nulă, deci 0nsM şi 2

0.nsMn s

În cazul plăcilor dreptunghiulare direcţiile n şi s devin x şi y. Ca exemplu se consideră o placă dreptunghiulară, având o latură încastrată, una liberă şi două laturi paralele simplu rezemate, pe una dintre ele acţionând un moment uniform

32

distribuit de intensitate m0(fig. 1.14).

Condiţiile de contur se exprimă după cum urmează: - latura încastrată (x = 0)

0, 0wwx

- latura liberă (x = a) 2 2

2 2

3 3

3 2

0 0

0 (2 ) 0

x

n

w wMx yw wV

x x y

- laturile simplu rezemate (y = 0 şi y = b)

Fig. 1.14. Exemplificare condiţii pe contur - latura y = 0

2

0 020, yww M m D m

y

- latura y = b

2

20, 0 0yww M

y

.

33

2. METODE DE DETERMINARE A SOLUŢIILOR LA PLĂCI PLANE DREPTUNGHIULARE

2.1. ÎNCOVOIERE CILINDRICĂ Plăcile de lungime mare (teoretic infinită), având condiţii de rezemare şi

încărcare uniforme în lung, au suprafaţa mediană deformată de formă cilindrică. Acţiunile în direcţia scurtă pot avea o variaţie oarecare. Deplasările w depind numai de coordonata normală pe lungime, de exemplu x (fig. 2.1).

Placa se poate asimila cu o serie de fâşii (grinzi) alăturate, având deschiderea egală cu latura scurtă a plăcii şi secţiunea dreptunghiulară. În particular aceste fâşii pot fi identice, de lăţime egală cu unitatea.

a) b) c) d)

Fig 2.1. Plăci plane solicitate la încovoiere cilindrică

O fâşie oarecare, fiind împiedicată să se deformeze în direcţia lăţimii unitare, de către fâşiile învecinate, se află în starea plană de deformaţie. Prin urmare, deformaţiile plăcii în direcţia lungimii sunt împiedicate, deci 0.y Din ecuaţiile geometrice ale elasticităţii spaţiale se obţine:

34

2

2

2 2

2 20 0

x

y

u wz ax xv w wz by y y

(2.1)

Folosind legea lui Hooke, condiţia 0y implică

x y (a); 2(1 )xx E

(b) (2.2)

Din ecuaţia (2.1 b), ţinând cont de (2.1 a) rezultă:

2

2 2 21 1x

xE Ez w

x

(2.3)

Folosind ecuaţiile de echivalenţă sau particularizând (1.9) pentru 2 2/ 0w y şi întrucât w = w(x), simbolul se înlocuieşte cu d şi se obţine:

2

2xd wM Ddx

(a)

2

2y xd wM D Mdx

(b) (2.4)

3

3x

xdMd wV D

dx dx (c)

Relaţia (2.4a) reprezintă ecuaţia diferenţială a suprafeţei mediane deformate şi este analogă celei a grinzilor:

2

2xd wM EIdx

(2.5)

în loc de EI fiind D = 2 3 2/(1 ) /12(1 ).EI Eh Prin urmare, plăcile au rigiditatea mai mare decât a grinzilor formate din aceleaşi fâşii independente, deformaţiile fiind în consecinţă mai mici. În plus, datorită împiedicării deformaţiilor în direcţia axei y, apar momente încovoietoare yM . Din cele de mai sus, rezultă că plăcile solicitate la încovoiere cilindrică, se tratează în mod similar cu grinzile. În practică, plăcile cu raportul (b/a) > 2 şi încărcări de intensitate constantă în direcţia laturii lungi, b, se pot considera ca fiind solicitate la încovoiere cilindrică, influenţa rezemării pe laturile scurte fiind limitată(fig. 2.2a). În cazul plăcilor continue, la care raportul max (b/ai) > 2(fig. 2.2b), iar acţiunile sunt uniforme în direcţia laturii b, calculul se face considerând o grindă continuă de lăţime egală cu unitatea, încărcată cu acţiunile aferente.

35

Fig. 2.2. a) Zonele de influenţă a rezemării pe laturile scurte, b) Placa plană continuă

2.2. PLĂCI ACŢIONATE DE MOMENTE PE CONTUR O placă neîncărcată în câmp, are ecuaţia diferenţială a suprafeţei mediane

deformate de forma: 2 2 ( , ) 0w x y (2.6)

deci w = w(x,y) este o funcţie biarmonică. Folosind metoda inversă, se admite pentru suprafaţa mediană deformată o funcţie w(x,y), care satisface ecuaţia diferenţială (2.6) şi se determină încărcarea pe contur corespunzătoare. În continuare se consideră polinomul de gradul II în x şi y care este funcţie biarmonică: 2 2

1 2 3 4 5 6( , )w x y C x C y C xy C x C y C (2.7) Curburile acestei suprafeţe deformate rezultă constante:

2 2 2

1 2 32 2

1 1 12 , 2 ,x y xy

w w wC C Cx y x y

(2.8)

Eforturile secţionale au expresiile: 1 2(2 2 )xM D C C 2 1(2 2 )yM D C C (2.9) 3(1 )xyM D C 0, 0x yV V Prin urmare, în orice punct momentele încovoietoare şi de torsiune sunt constante, iar forţele tăietoare sunt nule. Aceste valori fiind şi pe contur se precizează astfel:

pentru 1,2 x xy tax M M M M (a)

36

pentru 2 ,2 y yx tby M M M M (b) (2.10)

Condiţiile (2.10 a, b) se introduc în expresiile (2.9), din care se determină constantele C1, C2, C3,

1 21 2 ,

2 (1 )M MCD

2 1

2 2 ,2 (1 )M MCD

3 (1 )

tMCD

(2.11)

Cu aceste valori, suprafaţa mediană deformată devine: 2 21 2 2 1

4 5 62 2( , )2 (1 ) 2 (1 ) (1 )

tMM M M Mw x y x y xy C x C y CD D D

(2.12)

Alegând sistemul de referinţă în centrul plăcii deformate (fig. 2.3), rezultă: w(0,0) = 0, Vx(0,0) = 0, Vy(0,0) = 0 conducând la C4 = C5 = C6 = 0 şi, în consecinţă, ecuaţia suprafeţei mediane deformate este:

21 22

22 12

( , )2 (1 )

2 (1 ) (1 )t

M Mw x y xD

MM M y xyD D

(2.13)

În particular, pentru Mt = 0 se obţine încovoierea simplă, suprafaţa

Fig. 2.3. Placa acţionată de momente pe contur mediană fiind un paraboloid eliptic. Dacă 1 2M M M suprafaţa mediană deformată are ecuaţia:

2 2( , ) ( )2 (1 )

Mw x y x yD

(2.14)

care este un paraboloid de rotaţie. (Notă: Mai riguros condiţia 1 2M M M implică egalitatea curburilor în orice punct şi suprafaţa mediană deformată este sferică). Dacă 1 2 0M M şi 0tM , suprafaţa mediană deformată are ecuaţia:

( , )(1 )

tMw x y xyD

(2.15)

care este un paraboloid hiperbolic cu generatoarele rectilinii, în direcţia axelor. Întrucât încărcarea pe contur tM constant şi ,xy yx tM M M rezultă

/ 0,xyM x / 0.yxM y

37

Prin urmare, placa acţionată cu un moment de torsiune constant pe contur este echivalentă cu placa încărcată cu forţe concentrate la colţuri având valoarea 2 tM (fig. 2.4).

Fig 2.4. Placa acţionată cu forţe concentrate la colţuri 2.3. SOLUŢII PENTRU PLĂCI PLANE DREPTUNGHIULARE PRIN SERII FOURIER SIMPLE Se consideră o placă simplu rezemată pe două laturi paralele, pe celelalte

două condiţiile la limită fiind arbitrare(fig. 2.5). Fig. 2.5. Placa simplu rezemată pe două laturi paralele (în direcţia axei y) Se alege pentru suprafaţa mediană deformată w(x,y) o soluţie sub forma

unei serii Fourier simple cu coeficienţi variabili, astfel încât să fie îndeplinite condiţiile la limită pe cele două laturi simplu rezemate, anume:

-pentru x = 0 şi x = a să rezulte:

38

2

20, 0wwx

(2.16)

Soluţia care satisface aceste cerinţe este de forma:

1

( , ) ( )sinnn

n xw x y Y ya

(2.17)

Expresia (2.17) trebuie să fie soluţie a ecuaţiei diferenţiale a suprafeţei mediane deformate (1.47). Introducând w(x,y) din (2.17) în ecuaţia diferenţială (1.47) se obţine:

2 4

1

( , )2 sinIV IIn n n n n n

n

p x yY Y Y xD

(2.18)

unde s-a făcut notaţia / .nn a Se admite că încărcarea p(x,y), care este relativ arbitrară, se poate dezvolta în serie Fourier

1

( , ) ( )sinn nn

p x y p y x

(2.19)

în care coeficienţii pn(y) (n = 1,2,…,∞) se determină din condiţia de ortogonalitate

0

2( ) ( , ) sina

n np y p x y xdxa

(2.20)

Ţinând cont de (2.19), din ecuaţia (2.18) rezultă că pentru fiecare termen al seriei, trebuie sa fie îndeplinită condiţia:

2 4 ( )2IV II nn n n n n

p yY Y YD

(2.21)

care este o ecuaţie diferenţială ordinară, neomogenă, cu coeficienţi constanţi. Soluţia ecuaţiei diferenţiale (2.21) este de forma: 1 2( ) ( ) ( )n n nY y Y y Y y (2.22) unde 1( )nY y este soluţia ecuaţiei diferenţiale omogene 2 42 0IV II

n n n n nY Y Y (2.23) iar 2 ( )nY y este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (2.21). Urmează deci:

2

( ) cosh coshsinh sinh ( )

n n n n n n

n n n n n n

Y y A y B y yC y D y y Y y

(2.24)

Introducând ( )nY y din (2.24) în expresia (2.17) rezultă soluţia:

39

1

2

, cosh cosh sinh

sinh sin

n n n n n n nn

n n n n n

w x y A y B y y C y

D y y Y y x

(2.25)

Soluţia particulară 2 ( )nY y poate fi determinată cu ajutorul regulii lui Cauchy, folosind exprimarea:

2 0

1( ) ( ) ( )y

nn nY y Y y t p t dtD

(2.26)

unde ( )np t are forma (2.20), în care y se înlocuieşte cu variabila auxiliară t. Funcţia

( )nY y se construieşte din termeni ai soluţiei ecuaţiei omogene (2.23), astfel încât să fie îndeplinite condiţiile:

' '' '''(0) (0) (0) 0, (0) 1nn n nY Y Y Y (2.27)

În continuare se consideră următoarea funcţie ( )nY y , care satisface cerinţele (2.27)

2

1 1cosh sinh2n n n

n n

Y y y y y

(2.28)

Se înlocuieşte segmentul y cu y-t, obţinându-se nY y t , care se introduce în (2.26). Integrarea se face în raport cu t, iar y este parametru şi limita superioară a integralei. Expresia (2.26) va avea forma:

2 2

0

0

1 1cosh sinh

, sinh

y

n n nn n

a

n

Y y y t y t y taD

p x t xdx dt

(2.29)

Pentru determinarea constantelor de integrare , ,n n nA B C şi nD se folosesc condiţiile la limită pe marginile paralele cu axa x. De exemplu, în cazul încastrării rezultă:

-pentru 0

00

wy

wy b

y

(2.30)

implicând următoarele relaţii: ' '(0) 0, ( ) 0, (0) 0, ( ) 0n n n nY Y b Y Y b (2.31)

Dezvoltând (2.31) se obţine un sistem de patru ecuaţii (pentru fiecare

40

valoare n) cu necunoscutele , , ,n n n nA B C D din care, prin rezolvare se obţine: 0,n n nA B C ;

'2 2

2 2 2

(sinh cosh ) ( ) sinh ( )sinh

n n n n n nn

n n

b b b Y b b bY bCb b

(2.32)

'2 2

2 2 2

1( )sinh sinh cosh ( )

sinh

n n n n n nn

nn n

bY b b b b b Y bD

b b

Pentru alte moduri de rezemare a laturilor paralele cu axa x se obţin constantele de integrare în mod analog. În unele cazuri soluţia particulară poate fi obţinută direct prin încercări, fără a mai utiliza dezvoltările în serii Fourier. Un caz particular specific este cel al încărcării de intensitate constantă în direcţia laturilor simplu rezemate, pentru care np din

Fig 2.6. Încărcare constantă în direcţia y dezvoltarea în serie a încărcării (relaţia 2.19) nu depinde de y (fig. 2.6). În acest caz soluţia particulară se determină ca la încovoiere cilindrică. Deplasarea w poate fi reprezentată ca o sumă formată din soluţia generală a plăcii fără încărcare în câmp, 2 2( , ) ( , ) 0w x y w x y (2.33) şi soluţia ecuaţiei diferenţiale a suprafeţei mediane deformate de la încovoierea cilindrică

4

4

( )d w p xdx D

(2.34)

reprezentând soluţia particulară. Deci 1 2( , )w x y w w (2.35)

41

sau

1

2

( , ) cosh cosh sinh

sinh sin

n n n n n n nn

n n n n

w x y A y B y y C y

D y y x w

(2.36)

Deplasarea 2w se poate obţine integrând (2.34)

21w dx dx dx p x dxD

(2.37)

sau se dezvoltă în serie Fourier:

1

( ) sinn nn

p x p x

(2.38)

unde

0

2 ( )sina

n np p x xdxa

(2.39)

În ultima alternativă deplasarea w(x,y) are forma:

1

4

( , ) ( cosh cosh sinh

sinh sin

n n n n n n nn

nn n n n

n

w x y A y B y y C y

pD y y xD

(2.40)

Considerând axa x la mijlocul laturii b, pentru rezemări identice pe laturile paralele cu această axă, suprafaţa mediană este simetrică în raportcu variabila y şi din (2.40) rezultă necesar 0.n nB C Urmează că ecuaţia (2.40) devine:

41

( , ) ( cosh sinh )sinnn n n n n n

n n

pw x y A y D y y xD

(2.41)

Constantele nA şi nD se determină în raport cu modul de rezemare a plăcii pe laturile paralele cu axa x.

a) Margini simplu rezemate Pentru / 2y b condiţiile de rezemare sunt:

2

20, 0wwy

(2.42)

În ecuaţia (2.41) se face / 2y b şi pentru orice n, paranteza care se

înmulţeşte cu sin n x trebuie să se anuleze. Se face derivata 2

2

wy

în expresia

42

căreia se ia / 2y b şi, de asemenea, pentru orice n parantezele de lângă sin n x trebuie să fie nule. Aceste condiţii cu notaţia / 2n nu b conduc la următoarele ecuaţii în nA şi nD ,

4cosh sinh 0

cosh (2cosh sinh ) 0

nn n n n n

n

n n n n n n

pA u D u uD

A u D u u u

(2.43)

din care se obţin:

4 4

tanh 2 1;2cosh 2cosh

n n n nn n

n n n n

u u p pA Du D u D

(2.44)

Introducând nA şi nD din (2.44) în ecuaţia (2.41) aceasta devine:

41

tanh 2( , ) 1 cosh sinh sin2cosh 2cosh

n n n nn n n

n n n n

p u u yw x y y y xD u u

(2.45)

Pentru diferite încărcări de intensitate constantă în direcţia axei y, prin dezvoltare în serie Fourier se calculează np . Folosind relaţiile (1.31) se determină expresiile eforturilor , , , ,x y t x yM M M V V şi, pentru valori precizate ale coordonatelor (x,y), se evaluează mărimile acestora precum şi ale deplasărilor. b) Margini încastrate Pentru / 2y b condiţiile la limită se scriu:

0, 0wwy

(2.46)

Introducând în expresia săgeţii (2.41) şi în derivata acesteia wy

valorile

/ 2y b , se obţin ecuaţiile:

4cosh sinh 0

sinh (sinh cosh ) 0

nn n n n n

n

n n n n n n

pA u D u uD

A u D u u u

(2.47)

Rezolvând sistemul de ecuaţii (2.47) rezultă valorile constantelor nA şi nD :

4

4

sinh coshsinh cosh

sinhsinh cosh

n n n nn

n n n n

n nn

n n n n

u u u pAu u u D

u pDu u u D

(2.48)

43

Cu expresiile (2.48) pentru nA şi nD ecuaţia (2.41) devine:

41

sinh cosh( , ) 1 cosh

sinh cosh

sinh sinh sinsinh cosh

n n n nn

n n n n n

nn n n

n n n

p u u uw x y yD u u u

u y y xu u u

(2.49)

Pentru diferite valori ale coordonatelor (x,y) se determină săgeata w. De asemenea, se pot determina eforturile cu relaţiile (1.31), folosind pentru w(x,y) expresia (2.49). În tabelul 1 din Anexă, pentru diferite rapoarte b/a, sunt date deplasările maxw şi momentele maxime max max max, , .x y tM M M

2.4. REZOLVAREA PLĂCILOR DREPTUNGHIULARE CU AJUTORUL SERIILOR FOURIER DUBLE

Se prezintă soluţia lui Navier pentru placa simplu rezemată pe contur

(fig.2.7). Acţiunea aplicată pe placă, normal

la planul median, poate avea orice distribuţie. Se adoptă pentru w(x,y) o soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale (1.47) a suprafeţei mediane deformate sub forma unei serii Fourier duble (2.50), care satisface condiţiile pe contur:

1 1( , ) sin sinmn

m n

m x n yw x y Aa b

Seria (2.50) reprezintă, pentru un număr infinit de termeni, ecuaţia exactă a suprafeţei mediane deformate a plăcii, dar

Fig. 2.7. Placa simplu rezemată pe contur pentru un număr limitat de termeni este o ecuaţie aproximativă. Scrisă dezvoltat, seria (2.50) are forma:

11 21

12 22

2( , ) sin sin sin sin

2 2 2sin sin sin sin ...

x y x yw x y A Aa b a b

x y x yA Aa b a b

(2.51)

Condiţiile de rezemare pe care trebuie să le satisfacă (2.50) respectiv (2.51) sunt:

44

-pentru x = 0 şi x = a

2

20, 0wwx

(2.52)

-pentru y = 0 şi y = b,

2

20, 0wwy

(2.53)

Orice termen al seriei (2.51) se anulează pentru x = 0 şi respectiv y = 0, deoarece sin 0 0 , iar pentru x = a şi respectiv y = b, se obţine sin 0m , sin 0n . Derivatele de ordinul II au expresiile:

22

2

22

2

sin sin

sin sin

mnm n

mnm n

w m m x n yAx a a b

w n m x n yAy b a b

(2.54)

Derivatele de ordinul II conţin, de asemenea, în fiecare termen produsele

sin sinm x n ya b

, care se anulează pentru x = 0 şi x = a, respectiv y = 0 şi y = b.

Deci, prin modul de alegere a suprafeţei mediane deformate, sunt îndeplinite condiţiile la limită. Încărcările aplicate pe placă se pot înlocui echivalent cu o încărcare obţinută prin dezvoltarea acestora în serii Fourier duble. Astfel p(x,y) dezvoltată în domeniul ( 0 , 0x a y b ) are forma:

1 1( , ) sin sinmn

m n

m x n yp x y aa b

(2.55)

în care:

0 0

4 ( , )sin sina b

mnm x n ya p x y dxdy

ab a b

(2.56)

Pentru a determina coeficienţii mnA se foloseşte condiţia ca w(x,y) din (2.50) să satisfacă ecuaţia diferenţială a suprafeţei mediane deformate. Derivatele

44

4 sin sinmnm n

w m m x n yAx a a b

2 24

2 2 sin sinmnm n

w m n m x n yAx y a b a b

(2.57)

45

44

4 sin sinmnm n

w n m x n yAy b a b

şi p(x,y) din (2.55), introduse în ecuaţia (1.47), conduc la egalitatea următoare: 4 2 2 4

4 2 sin sin

sin sin

mnm n

mnm n

m m n n m x n yD Aa a b b a b

m x n yaa b

(2.58)

Cele două serii sunt egale dacă termenii de acelaşi rang au coeficienţi egali, adică: 22 2

42 2mn mn

m nD A aa b

(2.59)

de unde rezultă:

22 24

2 2

2 0 02 24

2 2

4 ( , )sin sin

mnmn

a b

aAm nDa b

m x n yp x y dxdya bm nD ab

a b

(2.60)

Ecuaţia suprafeţei mediane deformate devine:

22 24

2 2

( , ) sin sinmn

m n

a m x n yw x ya bm nD

a b

(2.61)

în care mna depinde de încărcarea normală pe placă p(x,y). Eforturile din placă (momentele încovoietoare , ,x yM M momentele de torsiune xy yx tM M M şi forţele tăietoare ,x yV V ) rezultă din relaţiile (1.31):

2 2

2 2

22 22

2 2

sin sinmn

xm n

m naa b m x n yM

a bm na b

46

2 2

2 2

22 22

2 2

sin sinmn

ym n

m naa b m x n yM

a bm na b

22 22

2 2

(1 )cos cos

mn

tm n

m na m x n ya bMa bm n

a b

(2.62)

2 2

2 2

cos sinmn

xm n

ma m x n yaVa bm n

a b

2 2

2 2

sin cosmn

ym n

na m x n ybVa bm n

a b

Coeficienţii dezvoltărilor în serie pot fi exprimaţi în funcţie de raportul laturilor plăcii a/b. Convergenţa seriilor trigonometrice duble este foarte bună pentru deplasările w şi bună pentru momentele încovoietoare şi de torsiune, astfel încât pentru calcule practice se pot reţine primii patru termeni ai dezvoltării. Pentru forţele tăietoare convergenţa este ceva mai slabă şi o precizie corespunzătoare se poate realiza cu un număr mai mare de termeni din dezvoltare. În continuare se consideră o placă dreptunghiulară simplu rezemată, încărcată cu o forţă uniform distribuită pe toată suprafaţa (fig. 2.8). Se determină coeficienţii mna cu relaţia (2.56)

0 0

4 sin sina b

mnm x n ya p dxdy

ab a b

0 0

4 sin sina bp m x n ydx dy

ab a b

(2.63)

0 0

4 cos cosa bp a m x b n y

ab m a n b

47

2

4 cos cos0 cos cos 0p m nmn

2

16 , ( , 1,3,5,....)p m nmn

Deplasările w(x,y) au expresia:

26 2 21,3... 1,3...

2 2

sin sin16( , )m n

m x n yp a bw x yD m nmn

a b

(2.64)

Săgeata maximă se produce la mijlocul deschiderii plăcii(x = a/2, y = b/2)

max 26 2 21,3... 1,3...

2 2

sin sin16 2 2m n

m npwD m nmn

a b

(2.65)

Fig. 2.8. Placa simplu rezemată încărcată cu o forţă uniform distribuită

Se pune în evidenţă raportul laturilor a/b şi se înlocuieşte rigiditatea plăcii D cu expresia din (1.26)

42

max 26 3 21,3... 1,3...2 2

sin sin192 2 2(1 )m n

m npaw

Eh amn m nb

(2.66)

care se mai scrie:

48

4

max 3

pawEh

(2.67)

unde: 226 21,3... 1,3...

2 2

sin sin192 2 2(1 )m n

m n

amn m nb

(2.68)

În particular pentru placa pătrată a = b şi pentru 0.2 (placă de beton armat) coeficientul (1) are expresia:

26 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 6

192 1 1 1 ( 1) ( 1) 1(1) (1 0.2 )1 1(1 1 ) 1 3(1 3 ) 3 1(3 1 )

( 1)( 1) 192 0.96... (0.2500 0.0033 0.0033 0.00003) 0.04673 3(3 3 )

Calculul detaliat al coeficientului (1) evidenţiază, în acest caz, convergenţa foarte bună a seriilor trigonometrice duble pentru cazul săgeţilor. Eforturile într-un punct de pe placă se determină după cum urmează:

2 2 2 2 2

4 2 2 2 2 2

16 / sin sin( / )x

m n

pa m n a b m x n yMmn m n a b a b

(a)

2 2 2 2 2

4 2 2 2 2 2

16 / sin sin( / )y

m n

pa n a b m m x n yMmn m n a b a b

(b)

2

4 2 2 2 2 2

cos cos16 (1 )( / )xy

m n

a m x n ypa b a bM

m n a b

(c) (2.69)

3 2 2 2 2

cos sin16( / )x

m n

m x n ypa a bV

n m n a b

(d)

3 2 2 2 2

sin cos16( / )y

m n

a m x n ypa b a bV

m m n a b

(e)

(m,n = 1,3,5,...) Momentele încovoietoare maxime apar în centrul plăcii, pentru x = a/2 şi y = b/2 şi se pot scrie condensat sub forma: 2 2

max max,x yM pa M pa (2.70)

49

unde şi ' rezultă din relaţiile (2.69 a şi b) introducând x = a/2 şi y = b/2. Pentru o placă pătrată a = b şi (1) (1) are expresia:

2 2 2 2 2 2

4 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

16 1 0.2 1 1 0.2 3 3 0.2 1(1) 1 1 1 ( 1) ( 1) 11 1(1 1 ) 1 3(1 3 ) 3 1(3 1 )

3 0.2 3 ( 1) ( 1) 0.04343 3(3 3 )

Valoarea exactă a coeficientului este 0.0443 abaterea fiind de 2.1%. Forţele tăietoare maxime în modul apar în mijloacele laturilor simplu rezemate şi pot fi scrise sub forma: max max,x yV pa V pa (2.71) Coeficienţii şi se calculează funcţie de raportul a/b, din relaţiile (2.69 d şi e). Coeficienţii , , , , se întabulează funcţie de raportul a/b şi de materialul de constituţie al plăcii;.

2.5. CALCULUL PLĂCILOR PLANE PRIN METODA DIFERENŢELOR FINITE

Determinarea deplasărilor şi eforturilor în plăcile plane se poate face cu ajutorul metodei diferenţelor finite. Pe suprafaţa mediană a plăcii se trasează o reţea în nodurile căreia ecuaţia diferenţială a suprafeţei mediane deformate se transpune în diferenţe finite, obţinându-se ecuaţii algebrice. În continuare se analizează plăcile

plane dreptunghiulare, pentru care se folosesc reţele ortogonale paralele cu laturile. Fiecare nod este indexat cu doi indici, unul de coloană i, care marchează diviziunile pe axa x şi unul de linie, j, marcând diviziunile pe axa y (fig 2.9). Distanţele dintre noduri sunt respectiv x şi y . Operatorul de transcriere a derivatelor de ordinul IV ale

Fig. 2.9. Reţea ortogonală de diferenţe finite săgeţii w din ecuaţia diferenţială a suprafeţei mediane deformate a plăcilor plane (1.47), în diferenţe finite în nodul (i,j)

50

are forma:

4 2 2

4

1 2 11 21 4 6 4 1 2 4 2

1 2 1

1 1 4 6 4 1T ij

x x y

pDy

(2.72)

Valorile încadrate se referă la nodul (i,j), iar ultimul vector din membrul întâi este de tipul coloană căruia i s-a aplicat operaţia de transpunere pentru a fi scris ca vector linie. Membrul întâi al ecuaţiei (2.72) reprezintă transcrierea în diferenţe finite a operatorului dublu laplacian. În membrul doi apare densitatea încărcării distribuite din nodul (i,j), ijp . Dacă încărcarea prezintă discontinuităţi se înlocuieşte cu o forţă de intensitate constantă, distribuită pe câmpul aferent.

/ij yp P x /ij xp P y /ijp P x y a) b) c)

Fig. 2.10. a, b) Acţiuni distribuite în lungul unei linii; c) Acţiune concentrată

Ca exemplu se consideră: acţiuni distribuite în lungul unei linii (fig. 2.10a şi b), acţiunea concentrată (fig.2.10c), acţiuni de intensitate constantă distribuite pe zonele haşurate (fig. 2.11a, b, c), pentru fiecare caz specificându-se ijp . Pentru acţiunile din fig. 2.10, dacă ,x y intensităţile ijp devin respectiv

2/ ; / ; /ij y ij x ijp P p P p P .

Ecuaţia (2.72) cu notaţia 2( / )y x poate fi pusă sub forma:

51

, 1, 1, , 1 , 1

1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 2, 2,

4 4, ,

. 2 , 2

1 16( ) 8 4 (1 )( ) (1 )( )

2( ) ( )

( ) ( )1 ( )

i j i j i j i j i j

i j i j i j i j i j i j

i j i ji j i j

w w w w w

w w w w w w

p x p yw w

D D

(2.73)

/ 2ijp p / 4ijp p 3 / 4ijp p

a) b) c) Fig. 2.11. Acţiuni distribuite pe zonele haşurate

Pentru o reţea pătrată x y şi 1 , iar ecuaţia (2.73) devine:

, 1, 1, , 1 , 1 1, 1 1, 1 1, 1

4,

1, 1 2, 2, , 2 , 2

20 8( ) 2(

)

i j i j i j i j i j i j i j i j

i ji j i j i j i j i j

w w w w w w w w

pw w w w w

D

(2.74)

Coeficienţii necunoscutelor w ai operatorului (2.74) sunt daţi în fig. 2.12. Ecuaţia (2.73), respectiv (2.74) se scrie în toate nodurile reţelei în care deplasările w sunt necunoscute. Funcţia w(x,y) se extinde şi în afara domeniului ocupat de placă, iar la scrierea ecuaţiilor cu diferenţe finite apar şi valori ale deplasărilor din noduri în care nu s-au scris ecuaţii de forma (2.73) sau (2.74), ele apărând ca necunoscute suplimentare. Exprimând condiţiile pe contur (în particular de rezemare)

Fig. 2.12. Operatorul de transcriere pentru reţea pătrată se obţin ecuaţiile necesare pentru necunoscutele suplimentare.

52

a. În puncte ale reţelei situate pe o margine simplu rezemată (fig. 2.13a) deplasările sunt nule, 0,cw deci cunoscute. În ecuaţia cu diferenţe finite (2.73) sau (2.74), scrisă într-un nod imediat învecinat conturului, intervine deplasarea w dintr-un punct exterior( extw ).

a) b) c)

Fig. 2.13. a) Margine simplu rezemată; b) Margine încastrată; c) Margine liberă

Pe marginea simplu rezemată, momentul încovoietor nM (n fiind direcţia normală la contur) este nul, deci:

2int

2 2

20 0 0c extn

w w wwMn

(2.75)

Întrucât 0cw rezultă: intextw w (2.76) b. Pe o margine încastrată (fig. 2.13 b) deplasările sunt nule şi, de asemenea, pantele în direcţia normală la contur,

int0, 0 02

extc

c

w wwwn

(2.77)

sau intextw w (2.78) c. Într-un punct de pe o margine liberă, neîncărcată (fig. 2.13c), se scriu condiţiile:

*0, 0nsn n n

MM V Vs

(2.79)

sau

53

2 2 3 3

2 2 3 20; (2 ) 0w w w wn s n n s

(2.80)

Operatorii de exprimare în diferenţe finite a condiţiilor (2.80) sunt daţi în fig. 2.14a, b, pentru x y şi în fig. 2.14c, d pentru .x y

Fig. 2.14. Operatorii de transcriere a condiţiilor de pe o margine liberă

Momentul de torsiune fiind nul pentru două laturi adiacente libere reactiunea din colţ, egală cu 2 xyM , este de asemenea nulă,

2 2

2 2 (1 ) 0 0xyw wM D

x y x y

(2.81)

a cărei reprezentare în diferenţe finite este în fig. 2.14e. Necunoscutele din afara conturului plăcii pot fi eliminate din aproape în aproape, rămânând de rezolvat un număr de ecuaţii egal cu numărul deplasărilor nenule din nodurile reţelei aparţinând plăcii. În cazul utilizării calculatorului se pot considera toate ecuaţiile simultan. Prin rezolvarea ecuaţiilor cu diferenţe finite se află deplasările în nodurile

54

reţelei, iar pentru alte puncte se procedează la interpolare. Având deplasările w, în continuare se determină eforturile. Ca exemplu, acestea se scriu în punctul (i,j) al unei reţele dreptunghiulare.

, 1, 1, . 1 , 12,

2(1 ) ( ) ( )x i j i j i j i j i ji j

DM w w w w wx

, , 1 , 1 1. 1,2,

2(1 ) ( ) ( )y i j i j i j i j i ji j

DM w w w w wy

1, 1 1, 1 1, 1 1, 1,

(1 ) ( )4t i j i j i j i ji j

DM w w w wx y

(2.82)

, 1, , 1, , , 1 , , 1, 2 2

x i j x i j t i j t i jx i j

M M M MV

x y

, 1, , 1, , , 1 , , 1

, 2 2t i j t i j y i j y i j

y i j

M M M MV

x y

Pentru o reţea pătrată, în relaţiile (2.82) se face x y şi 1. Se poate folosi de asemenea exprimarea în diferenţe finite a sistemului de ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale (1.51), (1.52), obţinându-se:

2, 1, 1, , 1 , 1 ,

2

, 1, 1, , 1 , 1 ,

2(1 ) ( ) ( ) ( )

( )2(1 ) ( ) ( )

i j i j i j i j i j i j

i j i j i j i j i j i j

M M M M M p x

xw w w w w MD

(2.83)

Pentru o reţea pătrată ecuaţiile (2.83) devin: 2

1, 1, , 1 , 1 , ,

2,

1, 1, , 1 , 1 ,

4

4

i j i j i j i j i j i j

i ji j i j i j i j i j

M M M M M p

Mw w w w w

D

(2.84)

La plăcile dreptunghiulare simplu rezemate pe toate laturile, condiţia 2 0

conturw (2.85)

conduce la 0contur

M şi primul sistem de ecuaţii din (2.83) sau (2.84) se poate rezolva separat, după care se introduc valorile ,i jM în al doilea sistem.

55

3. PLĂCI PLANE ÎN COORDONATE CILINDRICE

3.1. PRELIMINARII

Analiza unor plăci de formă circulară, inelară, sector de cerc etc., se poate face mai uşor folosind sistemul de coordonate cilindrice. Planul median al plăcii este descris de coordonatele r şi , iar în direcţie normală acestuia este axa z.

În baza ipotezei segmentului normal inextensibil, deplasările w, normale la planul median al placii nedeformate, nu depind de coordonata z şi, prin urmare,

( , ).w w r Elementul infinitezimal de placă, în vecinătatea unui punct din planul

median, se obţine cu ajutorul a două secţiuni radiale normale ce trec prin polul O şi fac între ele un unghi d şi cu două secţiuni cilindrice de rază r şi respectiv r dr .

Tensiunile de pe feţele cilindrice ale elementului infinitezimal, cu normala r, sunt , , ,r r rz iar cele de pe feţele radiale, cu normala , , ,r z (fig. 3.1).

Fig. 3.1. Tensiuni pe feţele elementului infinitezimal de volum

3.2. ASPECTUL GEOMETRIC

La plăcile subţiri conform ipotezelor admise are loc condiţia 0,zwz

iar în stratul neutru lunecările zr şi z se neglijează. Starea de deformaţie dintr-un punct este caracterizată de deformaţiile specifice ,r şi r , care pot fi exprimate in funcţie de deplasările u, v şi derivatele acestora în raport cu r şi (ecuaţiile geometrice ale elasticităţii plane în coordonate polare):

56

1 1, ,r ru u v v v ur r r r r r

(3.1)

Folosind expresiile deplasărilor u şi v determinate în coordonate carteziene:

,w wu z v zx y

(3.2)

şi luând raza vectoare identică cu Ox şi direcţia y după arcul s r ( ds rd ), rezultă:

1,w w w wx r s r

(3.3)

În continuare ţinând cont de (3.2) deplasările u şi v devin:

,w z wu z vr r

(3.4)

Introducând u şi v din (3.4) în ecuaţiile geometrice (3.1) se obţin: 2

2rwz

r

2

2 2

1 1 1z w z w w wzr r r r r r r

(3.5)

2

2

2

1

1 1 12 2

rz w z w wz

r r r r r

w w wz zr r r r r

3.3. TENSIUNI. EFORTURI

Folosind legea generalizată a lui Hooke se pot exprima tensiunile

, ,r r r în raport cu derivatele funcţiei ( , ),w w r

2 2

2 2 2 2 21 1r rE Ez w w w

r r r r

2 2

2 2 2 2 2

1 11 1r

E Ez w w wr r r r

(3.6)

2

2

1 1 12(1 ) 1 1r r

E Ez w w Ez wr r r r r

57

Se remarcă faptul că aceste tensiuni variază liniar pe grosime fiind proporţionale cu distanţa z până la stratul neutru (fig. 3.2).

Eforturile se definesc, de asemenea, pe unitatea de lungime, şi anume: pe secţiuni cilindrice – momentul încovoietor rM , momentul de torsiune ,rM forţa tăietoare

,rV iar momentul încovoietor M , momentul de torsiune rM şi forţa tăietoare V - pe secţiuni radiale. Relaţiile de echivalenţă dintre momente şi tensiunile care le generează au forma:

Fig. 3.2. Variaţia tensiunilor pe grosimea plăcii

/2 /2 /2

/2 /2 /2, ,

h h h

r r r r rh h hM zdz M zdz M M zdz

(3.7)

Introducând expresiile tensiunilor din (3.6) în relaţiile de echivalenţă (3.7) şi integrand se obţine:

2 2

2 2 2rw w wM D

r r r r

2 2

2 2 2

1 1w w wM Dr r r r

(3.8)

1(1 )r r twM M M D

r r

unde 3 2/12(1 )D Eh este rigiditatea plăcii la încovoiere. Comparând relaţiile (3.6) şi (3.8) rezultă:

, , trr r

M MM z z zI I I

(3.9)

unde 31 /12.I h Valorile maxime ale tensiunilor sunt în punctele de pe suprafaţa plăcii,

58

max max max2 2 2

6 66 , , trr r

M MMh h h

(3.10)

3.4. RELAŢII DIFERENŢIALE ÎNTRE EFORTURI ŞI ÎNCĂRCĂRI LA PLĂCI PLANE ÎN COORDONATE CILINDRICE

Se detaşează din placă un element diferenţial cu două plane radiale ce fac

între ele unghiul d şi două secţiuni cilindrice de rază r şi respectiv r+dr. Pe feţele laterale ale elementului se introduc eforturile corespunzătoare reprezentând interacţiunea cu placa (fig. 3.3a). Acest element sub acţiunea încărcărilor aferente

a) b)

Fig. 3.3. a) Element diferenţial de placă cu încărcări şi eforturi b) Vectorii momente încovoietoare şi de torsiune

(inclusiv greutatea proprie) şi a eforturilor de pe feţele sale se află în echilibru. Întrucât forţele sunt normale pe planul median, iar vectorii momente sunt situaţi în acest plan (fig. 3.3b), se scriu trei ecuaţii de echilibru: de momente în raport cu direcţiile radială şi tangenţială ce trec prin centrul elementului şi de proiecţii ale forţelor pe axa z, după cum urmează:

59

a)

( ) cos2

cos sin sin2 2 2

0;2 2

rr r r

rr

rr r

M dM rd M dr r dr d M drr

M Md d dM d dr M dr M d dr

Vdr drV rd V dr rdr

b)

( ) cos2

cos sin2 2

sin 0;2 2 2

rr r

rr r

M dM rd M dr r dr d M drr

M Md dM d dr M dr M d

Vd dr drdr V dr r d V d dr r d

(3.11)

c) ( )

( , ) 0.

rr r

VV rd V dr r dr d V drr

VV d dr p r rd dr

Se neglijează infiniţii mici de ordin superior, se aproximează cos 1,2

d

sin2 2

d d şi după reduceri se obţine:

( , )

r rr

r r

rr

rM M M rVr

MrM M rVr

VVr V rp rr

(3.12)

sau

60

1

21

1 1 ( , )

r rrr

r r

rr

M M MM Vr r r

M M M Vr r r

VV V p rr r r

(3.13)

3.5. ECUAŢIA DIFERENŢIALĂ A SUPRAFEŢEI MEDIANE

DEFORMATE

În primele două relaţii din (3.13) se introduc expresiile momentelor din (3.8), rezultând:

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

1 1

1 1 1

rw w wV D

r r r r r

w w wV Dr r r r r

(3.14)

sau

2

21

rV D wr

V D wr

(3.15)

unde

2 2

22 2 2

1 1r r r r

(3.16)

este laplaceanul în coordonate polare. Introducând rV şi V din (3.15) în ultima ecuaţie din (3.13) se obţine:

2 2 21 1 1 ( , )D w D w D w p rr r r r r r

(3.17)

sau, în cazul plăcilor de grosime constantă 2 2

22 2 2

1 1 ( , )D w p rr r r r

(3.18)

S-a obţinut ecuaţia diferenţială a suprafeţei mediane deformate a plăcilor plane în coordonate polare,

61

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 ( , )w w w p rr r r r r r r r D

(3.19)

sau

2 2 ( , )( , ) p rw rD (3.20)

Sumând rM şi M din (3.8) şi ţinând cont de notaţia (3.16) se obţine:

2

1rM M M D w

(3.21)

Pentru plăci plane de grosime constantă, înlocuind 2w din (3.20) cu /M D (ec. 3.21) rezultă:

2 ( , )M p r (3.22) Sistemul de ecuaţii diferenţiale format din (3.21) şi (3.22) este echivalent cu ecuaţia diferenţială a suprafeţei mediane deformate (3.19), respectiv (3.20). Determinând ( , )w r se pot calcula în continuare eforturile şi tensiunile.

3.6. PLĂCI CIRCULARE AXIAL SIMETRICE Plăcile circulare pline şi cu goluri, având simetrie geometric-elastică, de

rezemare şi încărcare în raport cu centrul, se numesc axial simetrice sau cu simetrie polară. Deplasările, eforturile, tensiunile şi deformaţiile acestor plăci nu depind de unghiul polar, orice diametru fiind axă de simetrie. Este deci suficient să se cunoască aceste mărimi în lungul unei raze. Rezultă că w = w(r), derivatele de orice ordin în raport cu sunt nule, 0,r rM M 0V . Ecuaţia diferenţială a suprafeţei mediane deformate şi expresiile eforturilor se obţin prin particularizare din cele corespunzătoare cazului general.

Din ecuaţia (3.19), anulând derivatele în raport cu , rezultă 2 2

2 2

1 1 ( )d d d w dw p rdr r dr dr r dr D

(3.23)

unde D are expresia cunoscută (rel. 1.26). La fel se particularizează ecuaţiile (3.21) şi (3.22),

2

2

( ) ( ) /( ) ( )

w r M r DM r p r

(3.24)

Momentele încovoietoare rM şi M , care sunt eforturi principale, şi forţa tăietoare Vr se obţin din (3.8) şi (3.14) prin particularizare:

62

2

2rd w dwM Ddr r dr

2

2

1 dw d wM Dr dr dr

(3.25)

2

22

1r

d d w dw dV D D wdr dr r dr dr

În practică, mai frecvent întâlnite sunt plăcile circulare pline şi plăcile circulare cu gol central (inelare). a. Plăcile circulare pline pot fi rezemate pe circumferinţă, încastrate sau cu o rezemare elastică (fig. 3.4).

Contur simplu rezemat (fig. 3.4a)

r = a 2

2

( ) 0

( ) 0 0rr a

w a

d w dwM adr r dr

a)

Contur încastrat (fig. 3.4b)

r = a ( ) 0

( )( ) 0 0r

w adw aa

dr

b)

Contur cu reazeme elastice (fig. 3.4c)

r = a ( ) ( )( ) ( )

r Vw

r M r

V a k w aM a k a

sau mai general

c) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

r Vw V r

r Mw M r

V a k w a k aM a k w a k a

,

unde , , ,Vw V Mw Mk k k k sunt coeficienţi de rigiditate ai Fig. 3.4. Tipuri de rezemare pe contur reazemelor elastice.

63

Dacă rezemarea se realizează continuu pe o faţă sau pe un reazem simplu circular concentric (fig. 3.5), atunci circumferinţa este liberă şi au loc condiţiile:

r = a ( ) 0

( ) 0r

r

M aV a

sau

2

2 0r a

d w dwdr r dr

2

2

1 0r a

d d w dwdr dr r dr

Fig. 3.5. Rezemare pe o faţă, respectiv pe un reazem circular concentric În cazul rezemarii plăcii pe toată suprafaţa, se pun, în orice punct, condiţiile de contact cu mediul de rezemare. Pentru rezemare simplă pe o circumferinţă cu raza b (b < a) se introduce şi condiţia w(b) = 0. Alte combinaţii ale rezemărilor menţionate sunt de asemenea posibile. b. Plăcile inelare pot fi rezemate sau încastrate pe conturul exterior sau pe circumferinţa conturului interior (fig.3.6) sau pe ambele contururi (fig. 3.7); de asemenea, cele două contururi pot avea şi alte moduri de rezemare.

r = a ( ) 0

( ) 0r

w aM a

r = b ( ) 0

( ) 0r

r

M bV b

a)

r = a ( ) 0

( ) 0

w adw a

dr

r = b ( ) 0

( ) 0r

r

M bV b

b)

64

r = a ( ) 0

( ) 0r

r

M aV a

r = b ( ) 0

( ) 0r

w bM b

c)

r = a ( ) 0

( ) 0r

r

M aV a

r = b ( ) 0

( ) 0

w bdw b

dr

d) Fig. 3.6. Plăci inelare rezemate pe conturul exterior (a, b), respectiv interior (c,d)

În practică se întâlnesc frecvent şi plăci inelare rezemate pe toată suprafaţa, pe un mediu deformabil.

r = a ( ) 0

( ) 0r

w aM a

r = b ( ) 0

( ) 0r

w bM b

r = a ( ) 0

( ) 0

w adw a

dr

r = b ( ) 0

( ) 0

w bdw b

dr

Fig. 3.7. Plăci inelare rezemate pe ambele contururi

65

3.7. SOLUŢIA ECUAŢIEI DIFERENŢIALE Ecuaţia diferenţială a suprafeţei mediane deformate (3.23), după dezvoltări,

devine: 4 3 2

4 3 2 2 3

2 1 1 ( )d w d w d w dw p rdr r dr r dr r dr D

(3.26)

Soluţia acestei ecuaţii diferenţiale se constituie ca suma dintre soluţia generală a ecuaţiei omogene(cu membrul doi zero), 0w , şi o soluţie particulară,

pw , a ecuaţiei cu membrul doi, care depinde de încărcarea p(r), 0 pw w w (3.27) Ecuaţia diferenţială omogenă asociată ecuaţiei (3.26)

4 3 2

4 3 2 2 3

2 1 1 0d w d w d w dwdr r dr r dr r dr

(3.28)

este cu coeficienţii variabili (de tip Euler) şi se liniarizează făcând substituţia ( ln )tr e t r obţinându-se:

4 3 2

4 3 24 4 0d w d w d wdt dt dt

(3.29)

Ecuaţia caracteristică 4 3 2 2 24 4 ( 2) 0S S S S S are rădăcini duble

1,2 0S şi 3,4 2S şi corespunzător, integrala generală a ecuaţiei (3.29) este: 0 2 2

1 2 3 4t tw C C t C e C te (3.30)

Revenind la variabila r şi notând 1 1 3 1 2 1 4 1, , , ,C A C B C C C D soluţia 0w se scrie:

0 2 21 1 1 1ln lnw A B r C r D r r (3.31)

Suprafaţa mediană deformată, w = w(r), se obţine introducând (3.31) în (3.27)

2 21 1 1 1ln ln pw A B r C r D r r w (3.32)

Constantele de integrare 1 1 1, ,A B C şi 1D se precizează prin condiţiile de rezemare. Soluţia (3.32) poate fi obţinută pe o cale mai directă, explicitând totodată

pw . Laplacianul în coordonate polare poate fi exprimat după cum urmează:

2

2

1 1d d d drdr r dr r dr dr

(3.33)

66

Ţinând cont de reprezentarea (3.33), ecuaţia diferenţială a suprafeţei mediane deformate (3.23) devine:

1 1 ( )d d d dw p rr rr dr dr r dr dr D

(3.34)

Efectuând integrări succesive ale ecuaţiei (3.34) rezultă:

0 0 0 0

2 21 21 3 4

1 1 1( ) ( )

3ln ln4 4 16

r r r rw r r p r rdr dr dr dr

D r rC Cr r C r C r C

(3.35)

Se fac notaţiile 2 1

1 4 1 1 1 3 13, , ,

4 16 4C CA C B C C C D (3.36)

şi

0 0 0 0

1 1 1 ( )r r r rpw r p r rdr dr dr dr

D r r

(3.37)

care este soluţia particulară. Se regăseşte astfel (3.32), în care pw este explicitată prin expresia (3.37). Un raţionament similar se poate face folosind sistemul de ecuaţii dedublate (3.24), care ţinând cont de (3.33) se scrie:

1 ( )

1

d dMr p rr dr dr

d dw Mrr dr dr D

(3.38)

Integrând sistemul de ecuaţii (3.38) se obţine, de asemenea, soluţia (3.32), în care soluţia particulară rezultă din următoarele integrale:

0 0

0 0

1 ( )

1 1

r r

r rp

M p r rdr drr

w Mrdr drD r

(3.39)

care sunt echivalente cu expresia (3.37). Aplicaţia 1. Se consideră o placă circulară încărcată cu o forţă uniform distribuită pe suprafaţă, pentru care se determină soluţia particulară (fig. 3.8 a).

67

Fig. 3.8. Diverse încărcări distribuite pe placa circulară plină: a) de intensitate constantă; b) liniară, cu intensitatea maximă pe contur; c) liniară, cu intensitatea maximă în centru; d) trapezoidală

Se utilizează expresia (3.37) 2 2 2

0 0 0

1,2 2 4

r r rpr pr prprdr p rdr drr

2 3 4

0 04 4 16r rpr pr prr dr dr (3.40)

4 3 4

0 0

1 1 116 16 64

r rp pr pr prw dr drD r D D

Soluţia particulară este deci: 4

64p prw

D (3.41)

Aplicaţia 2. Folosind expresiile (3.39), se determină soluţia particulară, pentru o placă circulară, încărcată cu o forţă distribuită având variaţie liniară axial simetrică (fig. 3.8b).

( ) rp r pa

3 32

0 0 0

1 13 9

r r rp pr prM r dr dr drr a r a a

(3.42)

3 5

0 0 0

1 1 1 19 45

r r rp pr prw rdr dr drD r a D r a

şi

5

225p prw

aD (3.43)

Soluţii particulare pentru încărcările din fig. 3.8c şi d se obţin din

68

combinarea soluţiilor (3.41) şi (3.43):

0 4 0 5

5400

64 225

64 225

p

p

p r p rwD aD

p p rp rwD aD

(3.44)

3.8. PLACA CIRCULARĂ PLINĂ În cazul plăcii circulare pline soluţia (3.32) conduce, pentru r = 0, la valori

nedefinite ale deplasării(săgeţii) w în centrul plăcii, deoarece ln 0 . Pentru a corespunde situaţiei fizice reale, rezultă că în ecuaţia (3.32) trebuie ca cele două constante care se înmulţesc cu ln r să fie nule ( 1 1 0C D ), astfel că soluţia devine:

21 1

pw A B r w (3.45) Panta în direcţie radială are expresia:

12p

rdw dwB rdr dr

(3.46)

Eforturile secţionale , ,r rM M V se obţin folosind relaţiile (3.25), în care deplasarea w este dată de ecuaţia (3.45),

2 2

12 22 (1 )p p

rd w dw d w dwM D D Bdr r dr dr r dr

2

1 2

12 (1 )p pdw d wM D B

r dr dr

(3.47)

3 2

3 2 2

1 1p p p

rd w d w dwV Ddr r dr r dr

Forţa tăietoare rV nu depinde de modul de rezemare, ci numai de tipul încărcării şi poate fi determinată, în acest caz al plăcilor axial simetrice, dintr-o ecuaţie de echilibru, reprezentând proiecţia forţelor pe direcţia normală la suprafaţa plăcii, a unei porţiuni de placă obţinută cu o secţiune cilindrică de rază r (fig. 3.9) 2 0r rrV R sau

02 ( ) 0

r

rrV p r dr (3.48)

69

unde rR este rezultanta forţelor normale pe suprafaţa plăcii, aferente zonei centrale de rază r. Rezultă forţa tăietoare rV :

0

1 ( )2 2

rrr

RV p r drr r

(3.49)

Fig. 3.9. Forţa tăietoare la placa circulară plină

Aplicaţia 3. Se consideră o placă circulară simplu rezemată, încărcată cu o forţă uniform distribuită (fig. 3.10). În ecuaţia suprafeţei mediane deformate (3.45) se înlocuieşte pw cu expresia (3.41), iar pentru determinarea constantelor de integrare se pun condiţiile de rezemare corespunzătoare

- pentru r = a ( ) 0

( ) 0r

w aM a

Se obţine un sistem de două ecuaţii cu două necunoscute, anume:

42

1 1

2

1

064

2 (1 ) (3 ) 016

paA B aD

paBD

(3.50)

din care rezultă: Fig. 3.10. Placa simplu rezemată pe contur

4 2

1 15 3,

64 1 32 1pa paA B

D D

(3.51)

Ecuaţia suprafeţei mediane a plăcii deformate devine

70

4 2 2 45 3264 1 1

pw a a r rD

(3.52)

Deplasarea maximă are loc în centrul plăcii, pentru r = 0 şi din (3.52) se obţine:

4

max5

64 1paw

D

(3.53)

Cu ajutorul relaţiilor (3.25) şi ţinând cont de (3.52) sau folosind expresiile (3.47), în care se introduce 1B determinat mai sus şi expresia soluţiei particulare

pw , se determină eforturile

2 2

2 2

(3 )( )16

(3 ) (1 3 )16

2

r

r

pM a r

pM a r

prV

(3.54)

Momentele încovoietoare maxime sunt în centrul plăcii

2

max max (3 )16rpaM M (3.55)

Pe contur (la r = a) se obţin următoarele valori:

2

0, (1 ),8 2r r

pa paM M V (3.56)

În fig. 3.10 sunt date diagramele momentelor încovoietoare rM şi M , considerând 0.2. Aplicaţia 4. Placa inelară liberă pe conturul interior şi încastrată pe conturul exterior (fig. 3.11a). La plăci inelare originea nu aparţine domeniului ocupat de placă şi ecuaţia suprafeţei mediane deformate are formă completă,

2 21 1 1 1ln ln pw A B r C r D r r w (3.57)

Panta la suprafaţa mediană deformată, în direcţia razei polare, rezultă:

11 12 (2 ln 1)

p

rCdw dwB r D r r

dr r dr (3.58)

Se derivează expresia pantei încă o dată

71

2 2

11 12 2 22 (2ln 3)

pCd w d wB D rdr r dr

(3.59)

şi apoi se obţine momentul încovoietor rM

21

12 2

2

1 2

2 (1 ) (1 )

2 1 ln 3

r

p p

Cd w dwM D D Bdr r dr r

d w dwD rdr r dr

(3.60)

Se formează laplacianul funcţiei w(r), după care se scrie expresia forţei tăietoare rV :

2 22

1 12 2

1 1( ) 4 4 (ln 1)p pd w dw d w dww r B D r

dr r dr dr r dr (3.61)

3 22 1

3 2 2

4 1 1( )p p p

rDd d w d w dwV D w r D

dr r dr r dr r dr

(3.62)

Pentru o încărcare uniform distribuită de intensitate p se obţin: 4 3 2 2

2

2 2 3 22

2 3 2 2

, , (3 )64 16 16

1 1 1,4 2

p p pp

p p p p pp

pr dw pr d w dw prwD dr D dr r dr D

d w dw pr d d w d w dw prwdr r dr D dr dr r dr r dr D

(3.63)

Condiţiile de rezemare pentru conturul interior şi exterior sunt: - pentru r = b: ( ) 0, ( ) 0r rV b M b

- pentru r = a: ( )( ) 0, 0rdw aa w a

dr

Aceste condiţii conduc la următorul sistem de ecuaţii:

1

21

1 12

31

1 1

42 2

1 1 1 1

4 02

2 (1 ) (1 ) 2(1 ) ln 3 (3 ) 016

2 (2 ln 1) 016

ln ln 064

D pbb D

C pbB D bb D

C paB a D a aa D

paA B a C a D a aD

(3.64)

Prin rezolvarea acestui sistem de ecuaţii se determină constantele 1 1 1, ,A B C

72

şi 1D . Se fac notaţiile: 2 2

21 2

(1 ) (1 )(1 4 ln ), ,(1 ) (1 )

b r ka a

(3.65)

a) b)

Fig. 3.11. Placa inelară: a) încastrată pe conturul exterior; b) încastrată pe conturul interior Expresiile finale care dau mărimile , , , ,r r rw M M V au forma:

44 2 2 2 2

1 1

33 21

1

22 2 21

1 2

22 2 21

1 2

2(1 2 )(1 ) 4 ln 8 ln 164

(1 ) 4 ln16

(1 )(1 ) 4 (3 ) (1 ) 4(1 ) ln16

(1 )(1 ) 4 (1 3 ) (1 ) 4(1 ) ln16

r

paw k kD

kpa kD

kpaM k

kpaM k

2rpaV

(3.66)

Relaţiile (3.66) sunt valabile pentru ambele cazuri prezentate în fig. 3.11, şi anume: dacă 1 şi 1 , este cazul din fig. 3.11b, iar dacă 1 şi

1, este cazul din fig. 3.11a. Diagramele de eforturi date sunt particulare, întrucât valorile numerice corespund parantezelor mari din expresiile (3.66), pentru

1/ 6 şi 0.5 (fig. 3.11a) respectiv 2.00 (fig. 3.11b).

73

4. ENERGIA POTENŢIALĂ A PLĂCILOR. METODE VARIAŢIONALE PENTRU CALCULUL PLĂCILOR

4.1. ENERGIA POTENŢIALĂ SPECIFICĂ

Evaluarea energiei potenţiale de deformare a plăcilor presupune cunoaşterea expresiei densităţii de energie, sU . Aceasta se mai numeşte energie potenţială specifică de deformare şi reprezintă energia de deformare acumulată într-un volum egal cu unitatea.

Se foloseşte relaţia generală a densităţii de energie din cazul spaţial (3D) , în care, conform ipotezelor admise pentru plăci plane subţiri, 0z şi se pot neglija termenii conţinând deformaţiile xz şi yz şi deci,

12s x x y y xy xyU (4.1)

În această expresie se introduc deformaţiile specifice şi tensiunile date de relaţiile (1.9) şi respectiv (1.17), obţinându-se:

2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 22 2(1 )2(1 )s

Ez w w w w wUx y x y x y

(4.2)

Între parantezele pătrate se adaugă şi se scade termenul

2 2

2 22 w wx y

(4.3)

pentru a pune în evidenţă operatorul laplacian şi densitatea de energie ia forma: 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 22(1 )2(1 )s

Ez w w w w wUx y x y x y

(4.4)

sau

22 2 2 222

2 2 22(1 )2(1 )s

Ez w w wU wx y x y

(4.5)

4.2. ENERGIA POTENŢIALĂ DE DEFORMARE A PLĂCILOR

Energia potenţială de deformare a plăcilor se obţine ca o integrală pe întregul volum a densităţii de energie sU (rel. 4.6):

74

22 2 222 22 2 2

22 2 2 /222 22 2 2 /2

2(1 )2(1 )

2(1 )2(1 )

sV V

h

hS

E w w wU U dV w z dVx y x y

E w w ww dxdy z dzx y x y

Se efectuează integrarea în raport cu z, se înlocuieşte 3 2/12(1 )Eh cu D şi expresia energiei U devine:

22 2 222

2 22(1 )2 S

D w w wU w dxdyx y x y

(4.7)

Făcând anumite transformări arătate în continuare, pentru cazuri particulare de rezemare a plăcilor pe contur, se pot pune în evidenţă unele simplificări. Ultimul termen din relaţia (4.7) se integrează de două ori prin părţi,

22 2 2 2

3 2 3

2 2

S

L S

w w w w wdxdy dx dy dxx y x y x y x y x

w w w w w wdy dx dxdyx x y x y x x x y

(4.8)

Primul termen este o integrală de linie, pe marginile paralele cu axa x. Al doilea termen se poate dezvolta analog după cum urmează:

3 3 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

S

L S

w w w w w w w wdxdy dy dx dy dxx x y x x y x y x y

w w w wdy dxdyy x x y

(4.9)

Primul termen reprezintă o integrală de linie pe marginea plăcii paralelă cu axa y. În final rezultă:

22 2 2 2 2

2 2 2S L L S

w w w w w w wdxdy dx dy dxdyx y x y x y x x y

(4.10)

Introducând în expresia energiei U (rel. 4.7) se obţine:

2 222

2(1 )2 S L L

D w w w wU w dxdy D dy dxy x x y x

(4.11)

Pe un contur oarecare încastrat w = 0 şi / 0,w n ultima condiţie scriindu-se:

75

0 0w w dx w dy w wn x dn y dn x y

(4.12)

La plăcile dreptunghiulare încastrate pe contur, cele două integrale de linie se anulează întrucât sunt multiplicate cu /w x care, conform (4.12), este nul. La placa dreptunghiulară simplu rezemată pe contur w = 0 şi, pe laturile paralele cu axa x, / 0w x , iar pe laturile paralele cu axa y, 2 2/ 0w y , şi cele două integrale de linie se anulează. Expresia energiei potenţiale de deformare a plăcilor, în aceste două cazuri particulare de rezemare, are forma:

22

2 S

DU w dxdy (4.13)

În coordonate cilindrice, energia potenţială de deformaţie pentru plăci plane are expresia:

2 222

2 2 2

22

2

1 12(1 )2

1 1

S

D w w wU wr r r r

w w rdrdr r r

(4.14)

şi s-a obţinut din (4.7) făcând următoarele înlocuiri: 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 1,w w w w wx r y r r r

2 2

2

1 1 1w w w wx y r r r r r

(4.15)

2 22

2 2 2

1 1w w wwr r r r

Energia potenţială U în coordonate polare se mai poate exprima:

22

2

2 2

1(1 )2

1 1

S L

L

D w wU w rdrd D drr r r

w w w rdr r r r

(4.16)

La o placă încastrată, pe contur 0wr

şi U are forma:

22

2 S

DU w rdrd (4.17)

76

Energia potenţială totală a plăcilor are exprimarea: 0 2 e i eU L U U (4.18) Se consideră că pe suprafaţa plăcii acţionează o sarcină distribuită iar pe conturul plăcii momente încovoietoare ( )nM s şi forţe generalizate ( ).nR s În consecinţă 2 eL are expresia:

2 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , )e n nwL q x y w x y dxdy M s R s w x y dsn

(4.19)

În particular momentele încovoietoare ( )nM s şi forţele generalizate ( )nR s , provenite din forţe tăietoare şi momente de torsiune, pot exista numai pe o parte a conturului. De asemenea, sarcina distribuită de intensitate q(x,y) se poate extinde numai pe o parte a suprafeţei plăcii. În cazul unei forţe de intensitate ,LP distribuite de-a lungul unei linii L şi a unor forţe concentrate jP (j = 1,2,...,m), aplicate în m puncte de pe placă, expresia (4.19) se completează cu termenii:

1

( )m

L j jLj

P w L dL P w

(4.20)

Alte tipuri de încărcări pot fi, de asemenea, luate în considerare.

4.3. METODE VARIAŢIONALE PENTRU CALCULUL PLĂCILOR

4.3.1. Metoda Ritz

Este o metodă variaţională, funcţionala care se minimizează fiind energia potenţială totală 0 .

Funcţia deplasărilor w(x,y) se aproximează sub forma:

1

( , ), 1, 2,...,n

n k kk

w C f x y k n

(4.21)

în care: - kC (k = 1,2,...,n) sunt constante ce urmează a fi determinate; - ( , )kf x y (k = 1,2,...,n) sunt funcţii de coordonate continue, construite astfel încât să fie liniar independente şi să satisfacă fiecare cel puţin condiţiile la limită în deplasări (condiţiile geometrice). Deplasările care respectă condiţiile de rezemare se numesc admisibile.

Dacă 1

( , )n

k kk

C f x y aproximează pe w(x,y) cu orice precizie pentru n

77

suficient de mare, funcţiile ( , )kf x y formează un şir complet. Se pot construi şiruri (sisteme) complete de funcţii polinomiale, trigonometrice etc. Dintre toate deplasările admisibile, cele care corespund echilibrului, fac minimă energia potenţială totală 0 , care conform relaţiei (4.18) unde se înlocuieşte (4.7) şi (4.19) (cu 0nM şi 0nR ) şi ţinând cont de (4.21) va avea forma:

22 20

2 21 1

2 2

2 21 1

22

1 1

( , ) ( , )2

2(1 ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

n n

n k k k kSk k

n n

k k k kk k

n n

k k k kk k

D C f x y C f x yx y

C f x y C f x yx y

C f x y dxdy p x y C f x y dxdyx y

(4.22)

Gradul de aproximaţie al energiei potenţiale totale este dat de valoarea lui n, care este şi indice pentru 0 . Energia 0

n rezultă ca funcţie pătratică de .kC Condiţia de minim este 0 0n , care dezvoltat se scrie:

0 0 0

1 2

0, 0, , 0n n n

nC C C

(4.23)

Ecuaţiile (4.23) formează un sistem liniar în kC (k = 1,2,...,n), a cărui soluţie conduce la minimul funcţionalei 0

n şi la o soluţie aproximativă pentru w, anume:

1

( , ) ( , ) ( , )n

n k kk

w x y w x y C f x y

(4.24)

Gradul de precizie a rezultatelor depinde de n şi creşte cu acesta. Pentru valori diferite ale lui n, în general şi parametrii kC corespunzători sunt diferiţi. Precizia depinde totodată şi de tipul funcţiilor de coordonate. În particular, funcţiile de coordonate se pot construi sub forma unor produse de câte două funcţii, fiecare depinzând de câte o singură variabilă. Funcţia deplasării se poate scrie ca o sumă dublă (cu doi indici)

1 1

( ) ( )n n

n hi h ih i

w C f x f y

(4.25)

Exemple reprezentative sunt funcţiile trigonometrice.

78

Aplicaţie. Ca exemplu ilustrativ se consideră o placă dreptunghiulară simplu rezemată pe contur şi încărcată cu o forţă uniform distribuită (fig. 4.1).

Funcţiile de coordonate se iau sub forma unor produse de funcţii sinusoidale,

sin sinhih x i yf

a b

(4.26)

În continuare deplasările w(x,y) se aproximează cu expresia:

1 1

1 1

( ) ( )

sin sin

n n

n hi h ih i

n n

hih i

w C f x f y

h x i yCa b

(4.27)

Placa fiind simplu rezemată energia potenţială totală are forma:

Fig.4.1. Placa dreptunghiulară simplu rezemată pe contur

20 2

0 0 0 0

24 2 2

2 20 01 1

0 01 1

( , ) ( , )2

sin sin2

sin sin

a b a b

n

n na b

hih i

n n a b

hih i

D w dxdy p x y w x y dxdy

D h i h x i yC dxdya b a b

h x i ypC dxdya b

(4.28)

Pătratul seriei duble dintre parantezele drepte se efectuează după cum urmează:

22 2

2 21 1

sin sinn n

hih i

h i h x i yCa b a b

=2 2

2 21 1

sin sinn n

hih i

h i h x i yCa b a b

.

.2 2

2 21 1

sin sinn n

jkj k

j k j x k yCa b a b

= (4.29)

2 2 2 2

2 2 2 21 1 1 1

sin sin sin sinn n n n

hi jkh i j k

h i j k h x i y j x k yC Ca b a b a b a b

79

Ţinând cont de această transformare energia potenţială totală 0n ia forma:

4 2 2 2 20

2 2 2 2 01 1 1 1

0 0 01 1

sin2

sin sin sin sin sin

n n n n a

n hi jkh i j k

n nb a b

hih i

D h i j k h xC Ca b a b a

j x i y k y h x i ydx dy p C dx dya b b a b

(4.30)

Integralele

0 0sin sin , sin sin

a bh x j x i y k ydx dya a b b

(4.31)

sunt nule pentru h j şi respectiv i k şi au valorile a/2, respectiv b/2 pentru h = j şi i = k. După efectuarea integrării, expresia energiei 0

n devine: 24 2 2

02 2 2

1,3,5... 1,3,5...

48

n nhi

n hih i

CDab h i pabCa b h i

(4.32)

Se derivează energia 0n în raport cu coeficienţii hiC şi se anulează:

20 4 2 2

2 2 2

4 12 0,8

, 1,3,5, , 2 1

nhi

hi

Dab h i pabCC a b h i

h i n m

(4.33)

Din aceste ecuaţii se deduc coeficienţii hiC ,

26 2 2

2 2

16 1 , , 1,3,5, , 2 1hipC h i n m

Dhi h ia b

(4.34)

Funcţia deplasărilor plăcii va avea deci următoarea expresie:

4

26 22 2

2

sin sin16 , , 1,3,5, , 2 1nh i

h x i ypa a bw h i n mD ahi h i

b

(4.35)

Dacă n se obţine soluţia exactă pentru w(x,y). În particular, pentru n=1 rezultă prima aproximaţie a deplasărilor 1,w

80

4

1 26 2

sin sin16

1

x ypa a bwD a

b

(4.36)

Deplasarea maximă este în centrul plăcii , :2 2a bx y

4

1max 226

2

16

1

pawaDb

(4.37)

În cazul plăcii pătrate şi pentru 0.3 se obţine:

4 4

1max 6 3

4 0.0455pa pawD Eh

(4.38)

aici h fiind grosimea plăcii. Rezultatul obţinut diferă cu 2.7% de soluţia exactă, care este 4 3

max 0.0443 / .w pa Eh Expresiile momentelor încovoietoare xM şi yM pentru n = 1 sunt:

2 2 2

24 2 2

2 2 2

24 2 2

16 1 / sin sin1 /

16 / sin sin1 /

x

y

pa a b x yMa ba b

pa a b x yMa ba b

(4.39)

Valorile maxime ale momentelor încovoietoare au loc în centrul plăcii.

2 2 2

max 24 2 2

2 2 2

max 24 2 2

16 1 /

1 /

16 /

1 /

x

y

pa a bMa b

pa a bMa b

(4.40)

Pentru placa pătrată se obţine 2 4 2

max max 4 (1 ) / 0.0535x yM M pa pa (4.41)

Diferenţa faţă de valoarea exactă 2max max 0.0479x yM M pa este de

11.7%. Considerând mai mulţi termeni ai seriei se obţin rezultate mai apropiate de cele exacte.

81

4.3.2. Metoda Galerkin Metoda Galerkin derivă din principiul deplasărilor virtuale, aplicat la

exprimarea echilibrului corpurilor deformabile, şi are la bază tehnica ortogonalizării.

Se consideră ecuaţia diferenţială a plăcilor plane 2 2 ( , ) ( , ) 0D w x y p x y (4.42)

cu condiţii pe contur liniare şi omogene. O soluţie aproximativă se poate construi sub forma:

1

( , )n

n i ii

w C x y

(4.43)

unde ( , )i x y sunt funcţii care se aleg astfel încât să satisfacă condiţiile pe contur; iC sunt parametri ce urmează a fi determinaţi. Condiţiile de ortogonalitate au forma:

2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 0

1, 2, ,n kS

D w x y p x y x y dxdy

k n

(4.44)

Integrarea se face pe domeniul ocupat de placă. Se înlocuieşte nw din (4.43) în relaţia (4.44) şi rezultă:

2 2

1

( , ) ( , )

( , ) ( , ) 0, 1,2, ,

n

i i ki

k

C D x y x y dxdy

p x y x y dxdy k n

(4.45)

După efectuarea integralelor se obţine un sistem de ecuaţii algebrice liniare cu necunoscutele iC (i = 1,2,...,n). Funcţiile ( , ),i x y formează primele n funcţii de coordonate dintr-un şir complet de funcţii în domeniul de referinţă şi trebuie să satisfacă toate condiţiile la limită statice şi cinematice. Dacă parte sau toate condiţiile statice nu sunt îndeplinite, atunci relaţiile (4.45) trebuie să includă şi lucrul mecanic virtual al forţelor de pe contur. Soluţia finală apare mai simplă dacă funcţiile ( , )i x y formează un sistem complet şi ortogonal.

82

Aplicaţie. Se consideră o placă dreptunghiulară încastrată pe contur şi acţionată de o sarcină uniform distribuită (fig. 4.2) pentru care se determină deplasările w(x,y) şi eforturile.

Suprafaţa mediană deformată se aproximează cu funcţia: Fig. 4.2. Placa încastrată pe contur

1 1

1 2 2( , ) 1 cos 1 cos4

m n

mn iji j

i x j yw x y Ca b

(4.46)

Această expresie satisface condiţiile de rezemare, anume, pentru x = 0 şi x = a, respectiv y = 0 şi y = b se obţine

0, 0, 0w wwx y

(4.47)

În continuare se reţine numai primul termen al seriei 11

11 11 112 2( , ) ( , ) 1 cos 1 cos

4C x yw x y C x y

a b

(4.48)

care se înlocuieşte în relaţia (4.45), 2 2

11 11 11 10 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0

a b a bC D x y x y dxdy p x y x y dxdy (4.49)

sau 24

11 2 20 0

4

0 0

21 2 2 2 1 2 21 cos cos cos cos16 8

1 2 2 2 2 21 cos cos 1 cos 1 cos16 4

2 21 cos 1 cos 0

a b

a b

y x x yC Da b a a b a b

x y x y dxdya b a b

x yp dxdya b

(4.50)

Se integrează şi se obţine parametrul 11C :

83

4 4 4

11 4 4 2 2 4 4 2 2 4 43 2 3 3 2 / 3 /pa b paC

D b a b a D a b a b

(4.51)

Înlocuind 11C din (4.51) în expresia deplasărilor (4.48) rezultă:

4 4

11 4 2 2 4 4

2 2( , ) 1 cos 1 cos4 3 2 / 3 /

pa b x yw x ya bD a b a b

(4.52)

În centrul plăcii, la x = a/2, y = b/2 se obţine săgeata maximă

4

11max 4 2 2 4 43 2 / 3 /paw

D a b a b

, (4.53)

iar pentru placa pătrată (a = b) rezultă:

4 4

11max 4 0.001288pa paw

D D (4.54)

care este cu 1.6% mai mare decât valoarea exactă ( 4max 0.00126 /w pa D ).

În continuare se fac derivatele de ordinul doi,

24

2

2 4 2 2 4 4

22 2cos 1 cos

4 3 2 / 3 /

paw x ya

x a bD a b a b

24

2

2 4 2 2 4 4

22 21 cos cos

4 3 2 / 3 /

paw x yb

y a bD a b a b

(4.55)

42

4 2 2 4 4

2 22 2sin sin

4 3 2 / 3 /

paw x ya b

x y a bD a b a b

Introducând aceste derivate în expresiile momentelor încovoietoare ,x yM M şi în momentul de torsiune xyM se obţine:

2 2

22 2 2 4 4

2 2cos 1 cos3 2 / 3 /

2 21 cos cos

xpa x y aM

a b ba b a b

x ya b

84

2 2

22 2 2 4 4

2 21 cos cos3 2 / 3 /

2 2cos 1 cos

ypa a x yM

b a ba b a b

x ya b

(4.56)

2

2 2 2 4 4

2 2sin sin3 2 / 3 /xy

pa a x yMb a ba b a b

În centrul plăcii (x = a/2, y = b/2), momentul de torsiune este nul, iar momentele încovoietoare au valorile:

22 2

2 2 2 4 4

22 2

2 2 2 4 4

2 1 /3 2 / 3 /

2 /3 2 / 3 /

x

y

paM a ba b a b

paM a ba b a b

(4.57)

Pentru placa pătrată (a = b) se obţine

2

max max max 2 14x ypaM M M

(4.58)

Valoarea obţinută diferă de cea exactă cu aproximativ 40%, dar considerând mai mulţi termeni pentru w, de exemplu trei, se obţin rezultate bune şi pentru momente.

85

5. PLĂCI ORTOTROPE

5.1. ECUAŢIILE PLĂCILOR ORTOTROPE

Plăcile ortotrope reprezintă un caz particular al plăcilor anizotrope, fiind frecvent întâlnite în practică la planşee şi radiere cu nervuri sau pe reţele de grinzi, pereţi cu rigidizări, tabliere de poduri, construcţii pentru corpul navelor şi avioanelor, elemente structurale în construcţii de maşini etc.

Plăcile ortotrope se împart în două grupe: 1 . Plăci cu ortotropie de material: plăci de beton armat cu armătură pe două direcţii şi procente de armare mult diferite, plăci din lemn (placaj, de tip sandviş), plăci din materiale compozite; 2 . Plăci cu ortotropie geometrică sau de structură: plăci cutate sau ondulate, plăci celulare tip fagure, plăci sandviş, plăci cu elemente de rigidizare echidistante, reţele de grinzi etc. Plăcile cu ortotropie geometrică sunt structuri cu elemente discrete sau cu discontinuităţi ordonate, materialul constitutiv fiind izotrop sau ortotrop. Pentru calcul, ortotropia geometrică se asimilează cu cea de material, realizând netezirea structurii prin distribuirea elementelor discrete pe suprafaţa acesteia, obţinându-se un mediu continuu echivalent. Se consideră că proprietăţile elastice ale plăcilor ortotrope nu variază pe grosime, fiind definite de patru constante elastice independente. Cele două plane de simetrie elastică (de ortotropie) sunt ortogonale şi definesc direcţii principale elastice. Ipotezele admise în studiul plăcilor izotrope se menţin. Conjectura segmentului normal (un segment rectiliniu normal pe planul median al plăcii înainte de încovoiere, rămâne rectiliniu şi normal la suprafaţa mediană deformată a plăcii), conduce la ecuaţii geometrice identice cu (1.9) de la plăcile izotrope:

2 2 2

2 2; ; 2x y xyw w wz z z

x y x y

(5.1)

Considerând axele de coordonate x şi y din planul plăcii dirijate după direcţiile principale elastice şi întrucât s-a admis 0,z ecuaţiile fizice sunt:

, ,xy y yx xy xyxx y y x xy

x y y x xyE E E E G G

(5.2)

unde ,x yE E sunt modulele de elasticitate la întindere (compresiune) pe direcţiile principale elastice x şi y; xyG G - modulul de elasticitate transversal corespunzător lunecării în planul xy; xy şi yx - coeficienţi de tip Poisson, primul

86

indice indicând contracţia, iar al doilea direcţia de lungire provocată de acţiune. Din teorema de reciprocitate a lucrului mecanic (Betti) rezultă

x xy y yxE E (5.3) Tensiunile se pot exprima în raport cu deformaţiile:

' "

' "

x x x y

y y y x

xy xy

E E

E EG

(5.4)

unde ' ' ", , , 1/ (1 )x x y y xy x yx y xy yxE E E E E E E (5.5) Proprietăţile elastice ale materialului ortotrop sunt caracterizate deci de patru constante elastice: ' ' ", , , .x yE E E G Înlocuind deformaţiile specifice din (5.1) în ecuaţiile fizice (5.4) rezultă:

2 2' "

2 2

2 2" '

2 2

2

2

x x

y y

xy

w wz E Ex y

w wz E Ex y

wGzx y

(5.6)

Folosind relaţiile de echivalenţă pentru momentele încovoietoare ,x yM M

şi momentul de torsiune xy yx tM M M se obţine: 2 2 2 2/ 2 / 2 ' " 2

12 2 2 2/ 2 / 2

h h

x x x xh h

w w w wM zdz E E z dz D Dx y x y

2 2 2 2/2 /2 " ' 212 2 2 2/2 /2

h h

y y y yh h

w w w wM zdz E E z dz D Dx y x y

(5.7)

2 2/ 2 / 2 2

/ 2 / 22 2

h h

t xy xyh h

w wM zdz G z dz Dx y x y

unde s-au făcut notaţiile: ' 3' 3 " 3 3

1; ; ;12 12 12 12

yxx y xy

E hE h E h GhD D D D (5.8)

Notând 1 xy x yx yD D D (5.9)

87

rezultă o altă expresie a momentelor xM şi yM . Întrucât ecuaţiile diferenţiale de echilibru (1.39, 1.41, 1.42) nu depind de material, rămân valabile şi în cazul plăcilor anizotrope. Pentru plăci ortotrope de grosime constantă, introducând expresiile (5.7) în relaţia (1.44), se obţine ecuaţia diferenţială a suprafeţei mediane deformate:

4 4 4

4 2 2 42 ( , )x yw w wD H D p x y

x x y y

(5.10)

în care, 12 xyH D D (5.11) În ecuaţiile diferenţiale de echilibru (1.41, 1.42) introducând , ,x y tM M M din (5.7) rezultă, de asemenea, expresiile forţelor tăietoare:

2 2

2 2

2 2

2 2

x x

y y

w wV D Hx x y

w wV D Hy y x

(5.12)

În particular, cazul plăcilor izotrope se obţine pentru

"

' '2 , 2 1

1x yE EE E G E

(5.13)

Condiţiile de rezemare sunt similare cu cele de la plăcile izotrope. Pe o margine liberă neîncărcată forţa tăietoare generalizată este nulă şi are expresia:

3 3

13 2(2 ) 0nsn n

M w wV D H Ds n n s

(5.14)

unde n este direcţia normală la contur, iar s direcţia paralelă cu conturul. 5.2. SOLUŢII ALE ECUAŢIEI DIFERENŢIALE A PLĂCILOR ORTOTROPE 1 . Plăcile dreptunghiulare simplu rezemate pe două laturi paralele se pot

rezolva cu ajutorul seriilor Fourier simple. Se consideră pentru w(x,y) o soluţie sub forma unei serii în sinus, care

satisface condiţiile la limită pe cele două laturi simplu rezemate (fig. 5.1):

88

( , ) ( )sinmm

m xw x y Y ya

(5.15)

Densitatea încărcării se dezvoltă de asemenea în serie de sinus,

( , ) ( )sinmm

m xp x y p ya

(5.16)

Introducând (5.15) şi (5.16) în ecuaţia diferenţială (5.10) rezultă:

Fig.5.1. Placa dreptunghiulară simplu rezemată pe două laturi paralele

2 2 4 4

2 42 ( )IV IIy m m x m m

m mD Y H Y D Y p ya a

(5.17)

Ecuaţia caracteristică asociată ecuaţiei diferenţiale omogene (ec. (5.17) fără membrul doi) este:

2 2 4 4

4 22 4

2 0x

y y

DH m mr rD a D a

(5.18)

şi are rădăcinile 2

1,2,3,4 x yy

mr H H D Da D

(5.19)

Soluţia ecuaţiei diferenţiale neomogene (5.17) este de forma:

( ) expm mpmY y r Ya

(5.20)

mpY fiind soluţie particulară ce depinde de încărcare prin termenul din membrul al doilea al ecuaţiei. Se disting trei cazuri în raport cu semnul expresiei 2 ,x yH D D cazuri care se prezintă în continuare: a. 2 0x yH D D toate rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale. Se fac notaţiile: i ir (i = 1,2,3,4) cu 3 1 4 2, . Deplasările w(x,y) se exprimă după cum urmează:

1 2 1 21 2 3 4( , ) siny y y y

m m m m mpm

m xw x y C e C e C e C e Ya

(5.21)

b. 2 0x yH D D rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt duble,

89

1,2 3,4,y

m Hr ra D

(5.22)

pentru care soluţia finală devine:

1 2 3 4( , ) siny ym m m m mp

m

m xw x y C C y e C C y e Ya

(5.23)

c. 2 0x yH D D rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt complex conjugate. Cu notaţiile:

1,2 2x

y y

Dm HD Da

(5.24)

rădăcinile ecuaţiei se scriu 1,2,3,4 1 2r i (5.25) iar expresia deplasărilor w(x,y) ia forma:

1

1

1 2 2 2

3 2 4 2

( , ) cos sin

cos sin sin

ym m

m

ym m mp

w x y e C y C y

m xe C y C y Ya

(5.26)

Soluţiile obţinute se pot exprima şi cu ajutorul funcţiilor hiperpolice. Soluţia particulară ,mpY pentru încărcări de intensitate constantă în direcţia laturilor simplu rezemate (a axei y), poate fi pusă sub forma:

4

4 4m

mpx

p aYm D

(5.27)

în care ( 1,2,..., )mp m sunt coeficienţii dezvoltării în serie Fourier a încărcării

1 ( )sina

m a

m xp p x dxa a

(5.28)

În cazul în care p = constant, rezultă

4 , 1,3,5,mpp m

m . (5.29)

2 . Plăcile simplu rezemate pe întreg conturul, pentru orice încărcare pot fi soluţionate cu ajutorul seriilor Fourier duble. Utilizând acelaşi sistem de referinţă ca şi la plăcile izotrope (cu axele din planul plăcii dirijate după două dintre marginile simplu rezemate) se adoptă pentru w(x,y) următoarea expresie care satisface condiţiile de rezemare:

90

( , ) sin sinmnm n

m x n yw x y Aa b

(5.30)

Încărcarea se dezvoltă, de asemenea, în serii Fourier duble

( , ) sin sinmnm n

m x n yp x y pa b

(5.31)

Din condiţia ca (5.30) să satisfacă ecuaţia diferenţială (5.10) se obţine mnA şi w(x,y) devine:

4 2 2 44

4 2 2 4

( , ) sin sin2

mn

m nx y

p m x n yw x ya bm m n nD H D

a a b b

(5.32)

3 . Metoda diferenţelor finite poate fi cu uşurinţă extinsă la plăcile

ortotrope. Operatorul de transcriere a ecuaţiei diferenţiale (5.10) în diferenţe finite, pentru o reţea ortogonală cu pasul constant şi egal pe cele două direcţii (fig. 5.2) are forma:

, 1, 1,

, 1 , 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1

42, 2, , 2 , 2 ,

8 6 4( )

4 2

x y i j x i j i j

y i j i j i j i j i j i j

x i j i j y i j i j i j

H D D w H D w w

H D w w H w w w w

D w w D w w p

(5.33)

Condiţiile de rezemare pentru marginea simplu rezemată, respectiv încastrată, sunt identice cu cele de la plăcile izotrope. Condiţiile pe o margine liberă neîncărcată (2.79), sunt similare celor din fig. 2.14 c şi d, în care se fac înlocuirile cu 1 / nD D în fig. 2.14 c şi cu 1(2 ) / nH D D în fig. 2.14 d (n = x respectiv y). Consideraţiile privind membrul al doilea al ecuaţiei (5.33) rămân aceleaşi ca la plăcile izotrope.

Fig. 5.2. Reţea ortogonală de diferenţe finite cu pasul egal pe ambele direcţii

91

5.3. NETEZIREA PLĂCILOR CU ORTOTROPIE GEOMETRICĂ SAU DE STRUCTURĂ Pentru diferite cazuri de plăci cu ortotropie geometrică, netezirea se poate

realiza înlocuind structura reală cu una netedă echivalentă; se obţin astfel rigidităţi echivalente ale plăcilor netede înlocuitoare.

1 . Plăci cu rigidizări identice, simetrice, din material izotrop, având

constantele elastice E şi . a. Rigidizări sub formă de nervuri într-o singură direcţie, de exemplu y-y,

(fig. 5.3).

Fig. 5.3. Placă ortotropă cu nervuri identice simetrice pe o singură direcţie

Rigidităţile la încovoiere ale nervurilor se distribuie uniform pe placă: 3 3

2 2,12(1 ) 12(1 )x y

Eh Eh EID H Db

(5.34)

I – momentul de inerţie al unei nervuri în raport cu planul median al plăcii; b – distanţa dintre axele a două rigidizări consecutive. b. Rigidizări cu nervuri pe două direcţii Analog cu cazul precedent, rigidităţile nervurilor se distribuie uniform pe placă:

3 3 3

2 2 2, ,12(1 ) 12(1 ) 12(1 )

yxx y

x y

EIEIEh Eh EhD D Hb b

(5.35)

unde Ix, Iy - sunt momentele de inerţie ale nervurilor de pe direcţiile x, respectiv

y, în raport cu suprafaţa mediană a plăcii; bx, by - sunt distanţele dintre axele nervurilor în direcţiile x, respectiv y.

2 . Reţele dese de grinzi a. Grinzi dese ortogonale, echidistante, care formează ochiuri de formă dreptunghiulară (fig. 5.4 a)

92

Rigidităţile echivalente corespunzătoare sunt: 1 21 2

1 2 1 2

, , 2 p px y

I IEI EID D H Ge e e e

(5.36)

în care: 1 2,e e - distanţele între axele grinzilor în cele două direcţii; 1 2,I I - momentele de inerţie axiale ale grinzilor; 1 2,p pI I - momentele de inerţie polare. b. Reţele de grinzi identice cu ochiuri sub formă de triunghiuri echilaterale cu latura e (fig. 5.4 b)

a) b) Fig. 5.4. Reţele dese de grinzi cu ochiuri dreptunghiulare (a), respectiv triunghiulare (b)

33

8p

x y

EI GID D H

e

(5.37)

I şi pI fiind momentul de inerţie axial, respectiv polar al secţiunii transversale a unei nervuri.

3 . Plăcile ondulate (fig. 5.5) se pot înlocui echivalent cu plăci ortotrope având următoarele rigidităţi:

3 3

12 , , 0, 212(1 ) 12(1 )x y xy

l Eh s EhD D EI D H Ds l

(5.38)

I – momentul de inerţie al secţiunii ondulate corespunzător unităţii de lungime. Pentru ondule sinusoidale se pot face aproximările:

93

2 2

2

0.811 , 12 2

1 2.52

s f f hIl l f

l

(5.39)

Fig. 5.5. Plăci ondulate

Cazuri mai complexe pot fi găsite în lucrările (Timoshenko şi Woinowsky-

Krieger 1968, Soare 1977, Mazilu ş.a. 1983).

94

95

6. CALCULUL PLĂCILOR ACŢIONATE DE FORŢE NORMALE PE PLANUL MEDIAN PRIN METODA ELEMENTELOR FINITE

6.1. CONSIDERAŢII PRELIMINARII

În metoda elementelor finite (MEF), plăcile plane supuse la încovoiere se

tratează considerând aceleaşi ipoteze ca şi în cazul celorlalte metode folosite. Placa se partiţionează în subdomenii disjuncte numite elemente finite. În

planul median al plăcii, elementele finite pot fi triunghiulare, dreptunghiulare, paralelograme sau patrulatere oarecare. În continuare se vor considera elemente finite de formă dreptunghiulară, frecvent folosite pentru plăcile de aceeaşi formă.

Punctele nodale se iau în colţuri şi eventual pe laturi. Pentru fiecare punct nodal se adoptă un număr convenabil de grade de libertate (GDL). La punctele nodale din colţuri gradele de libertate luate în considerare sunt: deplasările normale pe planul median, w, şi rotirile normalelor la planul median în jurul laturilor, x şi

.y Unui punct nodal i se asociază deci, trei grade de libertate. Numărul gradelor de libertate pe nod poate creşte şi cu alţi parametri luaţi în considerare, ca de exemplu curburile suprafeţei mediane deformate a elementului finit.

6.2. MATRICEA DE RIGIDITATE A ELEMENTULUI FINIT a. Fiecare element finit se raportează la un sistem de referinţă cartezian

propriu (local), fig. 6.1.

Fig. 6.1. Element finit dreptunghiular (grade de libertate şi eforturi la noduri)

Deplasările nodale, în număr de trei pentru fiecare nod (săgeata w şi rotirile

96

x şi ,y fig. 6.1 a), în total 12, reprezintă componentele vectorului deplasărilor

nodale, Nd sau ed

, ,

, ,

Nii

Nje N Ni xi

Nkyi

Nl

j k l

Nj xj Nk xk Nl xl

yk ylyj

dw

dd d d

dd

w w wd d d

(6.1)

Forţele nodale, reprezentând efectele sumate ale eforturilor de pe marginile elementului finit şi ale încărcărilor concentrate în noduri, NP , precum şi al forţelor distribuite (inclusiv forţelor masice) aferente domeniului ocupat de elementul finit, au componentele dirijate după deplasările nodale şi formează, de asemenea, un vector cu 12 componente, câte trei pe fiecare nod. Vectorul forţelor nodale echivalente se notează cu NF sau eF , componentele sale fiind:

, ,

, ,

NNii

Nj Ne N Ni xi

Nk Nyi

Nl

N N Nj k l

N N NNj xj Nk xk Nl xl

N NNyk ylyj

FV

FF F F M

FM

F

V V VF M F M F M

M MM

(6.2)

Între forţele şi deplasările nodale se stabileşte o relaţie de legătură, în particular liniară pentru plăci din materiale care ascultă de legea lui Hooke. b. Funcţia de deplasare se alege sub forma unui polinom cu 12 parametri, corespunzător numărului gradelor de libertate nodale:

2 2 31 2 3 4 5 6 7

2 2 3 3 38 9 10 11 12

( , )w x y a a x a y a x a xy a y a x

a x y a xy a y a x y a xy

(6.3)

în care ( , ) ex y D ( eD fiind domeniul pe care este definit elementul finit e). Un punct M din planul elementului finit se regăseşte în ,M pe suprafaţa

97

deformată a acestuia, la distanţa w (fig. 6.2). Curbele de pe suprafaţa deformată, obţinute prin intersecţie cu plane paralele la cele de coordonate, au în M pantele

x şi y care au expresiile:

2 2 2 32 4 5 7 8 9 11 122 3 2 3x

w a a x a y a x a xy a y a x y a yx

(6.4)

2 2 3 23 5 6 8 9 10 11 122 2 3 3y

w a a x a y a x a xy a y a x a xyy

(6.5)

Fig. 6.2. Deplasările unui punct curent după deformarea plăcii

Funcţia de deplasare w(x,y) şi pantele x şi y sunt continue în orice punct din interiorul domeniului eD . Se poate verifica continuitatea şi pe frontiera elementului finit. Dacă deplasările pe frontieră, între două noduri consecutive, se pot exprima în mod univoc în raport cu parametrii nodali, satisfac condiţiile de continuitate; în caz contrar continuitatea pe frontieră, între noduri, nu este asigurată. Fie de exemplu latura ij, pentru care expresiile deplasărilor sunt:

2 31 3 6 10

2 32 5 9 12

23 6 102 3

x

y

w a a y a y a ya a y a y a ya a y a y

(6.6)

Se constată că deplasările de pe această latură depind de 8 parametri. Se exprimă deplasările din i şi j pentru y = 0 şi respectiv ey b ,

2 31 1 3 6 10

2 32 2 5 9 12

23 3 6 10

,

,

, 2 3

i j e e e

xi xj e e e

yi yj e e

w a w a a b a b a b

a a a b a b a b

a a a b a b

(6.7)

Se remarcă faptul că w şi y depind de 4 parametri 1 3 6 10, , , ,a a a a care pot

98

fi exprimaţi univoc în raport cu deplasările nodale , , , .i j yi yjw w Urmează că w şi

y sunt continue pe frontiera .ij Panta (rotirea) x în direcţie normală la frontiera

ij depinde de patru parametri 2 5 9 12, , ,a a a a şi condiţiile din nodurile i şi j sunt în număr de două, insuficiente pentru determinarea necunoscutelor. Deci x nu este univoc determinat în raport cu deplasările nodurilor adiacente, prezentând discontinuităţi. Funcţia (6.3) nu asigură continuitatea pentru pantele în direcţia normală la contur. Analizând întreaga frontieră se ajunge la concluzii similare. c. Deplasările w(x,y), ( , ),x x y ( , )y x y formează un vector

( , ) , ,T

x yd x y w , care în raport cu parametrii generalizaţi ga (g = 1,2,...,12) are expresia: ( , ) ,d x y x y a (6.8)

unde ,x y 2 2 3 2 2 3 3 3

2 2 2 3

2 2 3 2

10 1 0 2 0 3 2 0 30 0 1 0 2 0 2 3 3

x y x xy y x x y xy y x y xyx y x xy y x y y

x y x xy y x xy

(6.9)

1 2 12, ,..., Ta a a a (6.10) Deplasările în nodurile elementului finit ( 0, 0),i ii x y

( 0, ),j j ej x y b ( , ), ( , 0)k e k e l e lk x a y b l x a y au forma:

, 0,0

, 0,

, ,

, ,0

Ni i i

Nj j j e

Nk k k e e

Nl l l e

d x y a a

d x y a b a

d x y a a b a

d x y a a a

(6.11)

Particularizarea coordonatelor s-a făcut pentru sistemul de referinţă local utilizat.

Vectorul deplasărilor nodale , , ,T

N Ni Nj Nk Nld d d d d rezultă din (6.11)

Nd A a (6.12)

în care A este matrice pătrată cu dimensiunea 12 12 , nesingulară.

99

( , ) (0,0), (0, )

( , )( , )( ,0)( , )

i i

j j e

e ek k

el l

x y

x y bA

a bx yax y

(6.13)

Din ecuaţia (6.12), prin inversarea matricei A , se obţin parametrii

generalizaţi ,a în funcţie de deplasările nodale Nd

1Na A d

(6.14)

În continuare vectorul variabil ,d x y poate fi exprimat în raport cu deplasările nodale 1( , ) ( , ) ( , )N Nd x y x y A d N x y d

(6.15)

unde s-a notat cu 1, ,N x y x y A - matricea funcţiilor de formă sau de interpolare. d. Deformaţiile specifice ,x y şi xy exprimate în raport cu w(x,y) sunt date de relaţiile (1.9) şi anume:

2 2 2

2 2, , 2x y xyw w wz z z

x y x y

(6.16)

Fie , ,T

x y xy vectorul deformaţiilor specifice, care ţinând cont de w(x,y), (6.4) şi (6.5), ia forma:

yxdyxBzyxyxyxw

xy

y

xz

y

x

xy

y

x

,,,,,

0

00

00

(6.17)

sau , , ,N Nz B x y N x y d z B x y d (6.18) unde 1, , , , ,B x y B x y N x y B x y x y A (6.19)

Matricea ( , )B x y , ca şi A , depinde de forma aleasă pentru w(x,y) şi de

100

sistemul de referinţă adoptat. e. Pentru determinarea tensiunilor se folosesc legile fizice; în particular, se consideră două cazuri de plăci frecvent utilizate: ortotrope şi izotrope. Tensiunile se pot exprima sub forma: E (6.20)

în care matricea de elasticitate ,E depinde de material. În particular pentru materiale ortotrope legea constitutivă (5.4) se poate pune sub forma următoare:

00

0 0

x x x

y y y

xy xy

E EE E E

G

(6.21)

Pentru materiale izotrope legea (1.16) se pune sub forma:

2

1 01 0

110 0

2

x x

y y

xy xy

E E

(6.22)

Din relaţiile (6.21), respectiv (6.22) rezultă expresia matricei de elasticitate a materialelor ortotrope, respectiv izotrope. Dacă se ţine cont de (6.18) se obţine expresia tensiunilor ( , ) Nz E B x y d (6.23) f. În continuare se foloseşte teorema lucrului mecanic virtual, care stabileşte egalitatea dintre variaţia lucrului mecanic al forţelor exterioare şi variaţia energiei interne de deformaţie a elementului finit: L U (6.24) Se consideră deplasări virtuale, Nd , cărora le corespund deformaţii

specifice virtuale . Primul membru al egalităţii (6.24), L , este dat de forţele echivalente de legătură din noduri, NP , şi de acţiunile aplicate pe elementul finit sub formă de forţe şi cupluri distribuite şi/sau concentrate, reprezentate prin vectorii:

, , , , ,TT

e x y j j xj yjq p m m Q P M M (6.25) şi are expresia:

101

TT TN N e jjA

j

T T TN N e jjA

j

L d P d q dA d Q

d P N q dA N Q

(6.26)

Indicele j marchează poziţiile încărcărilor concentrate aplicate pe elementul finit. Termenul al doilea şi al treilea dintre parantezele rotunde se constituie într-

un vector eQ al acţiunilor distribuite şi concentrate pe elementul finit. Membrul al doilea al relaţiei (6.24) se scrie:

Tx x y y xy xyV V

U dV dV (6.27)

Folosind relaţiile (6.18) în care Nd se înlocuieşte cu Nd şi (6.23), rezultă pentru U expresia:

2

/2 2

/2

( , ) ( , )

( , ) ( , )

T TN NV

hT TN NA h

U z d B x y E B x y d dV

d B x y E B x y dA d z dz

(6.28)

Efectuând integrala pe grosimea plăcii, h, în raport cu z se obţine 3 /12.h De asemenea rezultă (rel. 5.8):

3

12h E D (6.29)

Se face notaţia: , ( , )

T

e Ak B x y D B x y dA (6.30)

care constituie matricea de rigiditate a elementului finit de placă încovoiată. Cu notaţiile efectuate, egalitatea (6.24) devine: T T

N N e N e Nd P Q d k d (6.31)

Simplificând relaţia cu TNd care este nenul, se obţine:

N e e NP Q k d (6.32) Suma din membrul stâng reprezintă vectorul forţelor nodale echivalente: N e N eF F P Q (6.33) cu care, relaţia fizică elementală (6.32) se scrie N e NF k d (6.34) sau în forma general cunoscută e e ek d F (6.35)

102

Dacă acţiunile aplicate sunt numai în noduri 0.eQ

6.3. DETERMINAREA DEPLASĂRILOR, EFORTURILOR ŞI TENSIUNILOR Condiţiile de continuitate şi echilibru, exprimate pentru toate nodurile

sistemului discretizat, conduc la sistemul de ecuaţii de forma: K F (6.36)

unde K este matricea de rigiditate a structurii, obţinută prin tehnica de asamblare

a matricelor elementelor finite componente, iar F este vectorul forţelor nodale aplicate structurii. Prin rezolvarea sistemului de ecuaţii (6.36), după impunerea condiţiilor de rezemare, se obţin deplasările nodale ale structurii discretizate. În continuare, folosind relaţiile de echivalenţă dintre eforturi şi tensiuni, se determină eforturile de tip moment (momentele încovoietoare şi de torsiune):

e

h

he

h

hxy

y

x

exy

y

x

dyxBEh

dzzdyxBEzdzMMM

,12

,

3

2/

2/

22/

2/

(6.37)

Comparând (6.16) cu (6.18), rezultă: eedyxB , (6.38) unde, în membrul drept este vectorul curburilor de încovoiere şi torsiune,

e

exy

y

x

e

yxw

yw

xw

2

2

2

2

2

2

(6.39)

Deci:

3 3

,12 12

x

y e e

xy e

Mh hM E B x y d E

M

(6.40)

103

Având în vedere şi notaţia (6.29), relaţia pentru momente se mai scrie: e e

M D (6.41) Dacă alături de momente se determină şi forţele tăietoare, se poate scrie:

1 0 0 01 0 0 0

210 0 0 0

2 ( )0 0 0 1 0

( )0 0 0 0 1

x

xy

y xy

xyx y

x

y x y

MMM D

xVV

y

(6.42)

unde cu scalarul D s-a notat rigiditatea plăcii la încovoiere (vezi rel. 1.26). Relaţia (6.42) se poate scrie într-o formă mai compactă e e

M D (6.43)

unde

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

, , 2 , ( ), ( )

, , 2 , ,

T

x y xy x y x ye x y

w w w w w w wx y x y x x y y x y

(6.44)

În particular, dacă se determină numai momentele , ,Tx y xye

M M M M , expresia (6.43) devine: ( , ) ee e

M D D B x y d (6.45) adică s-a regăsit rel. (6.41), în care, pentru plăcile ortotrope, respectiv izotrope matricea D este:

- plăci ortotrope - plăci izotrope

1

1

00

0 0

x

y

xy

D DD D D

D

3

2

1 01 0

12(1 )10 0

2

EhD

(6.46)

Pentru a determina direct tensiunile se folosesc relaţiile (6.21), (6.22), exprimate sub forma (6.23).

105

7. PLĂCI PLANE PE MEDIU ELASTIC

7.1. IPOTEZE. MODELE PENTRU MEDIUL DE REZEMARE

Se consideră plăci plane care reazemă pe toată suprafaţa pe un mediu (suport) deformabil. Reacţiunea mediului este necunoscută, sistemul placă-suport fiind static nedeterminat. Se admite că pe toată suprafaţa de rezemare se menţine în permanenţă contactul dintre placă şi suport, deci, în orice punct deplasările plăcii şi terenului sunt identice, adică se realizează continuitatea deplasărilor pe suprafaţa de contact. Plăcile care reazemă pe teren: radiere pentru fundaţii la clădiri, pereţi la construcţii îngropate, radiere pentru unele structuri hidrotehnice, dale la îmbracăminţi de drumuri şi aeroporturi etc., se consideră ca fiind pe mediu elastic. Pentru calculul plăcilor pe suport elastic se folosesc modele idealizate. Cel mai simplu model asimilează suportul de rezemare, în particular terenul, cu un câmp de resoarte independente. Conform acestui model, deplasarea dintr-un punct al mediului este dată numai de forţa aplicată în acel punct, cele două mărimi fiind proporţionale ( , ) ( , )mw x y f p x y (7.1) unde w(x,y) este deplasarea suportului în punctul de coordonate (x,y), ( , )p x y este presiunea din acel punct, iar mf coeficientul de flexibilitate al mediului. Dacă mediul elastic este omogen se poate considera mf ca fiind constant. Presiunea ( , )p x y se poate exprima în raport cu w(x,y):

1( , ) ( , ) ( , )m

p x y w x y kw x yf

(7.2)

fiind proporţională cu deplasarea din punctul considerat (ipoteza Winkler). În cazul plăcilor pe mediu elastic, intensitatea reacţiunii mediului de rezemare r(x,y) este de semn opus presiunii ( , )p x y : ( , ) ( , )r x y kw x y (7.3) unde k este coeficientul de rigiditate al mediului sau coeficientul de pat şi are semnificaţia de presiune corespunzătoare unei deplasări unitare. Unitatea de măsură a coeficientului k este 3/F L , aceeaşi cu a greutăţii specifice ( ). Experienţa arată că la terenuri, coeficientul k depinde într-o anumită măsură de dimensiunile plăcii, dar în practică, adesea, acesta se consideră constant. Pentru diferite terenuri, valorile lui k sunt în general, între anumite limite, după cum rezultă din tabelul 7.1:

106

Tabel 7.1. Valorile coeficientului de pat, k, pentru diverse terenuri Nr. crt

Tipul terenului Coeficientul de pat k [N/mm2]

1 Nisip argilos afânat, argilă nisipoasă în stare de curgere 0.01-0.05 2 Pietriş, nisip şi nisip argilos de compactitate mijlocie, argilă

şi argilă nisipoasă în stare plastică 0.05-0.5

3 Pietriş, nisip şi nisip argilos în stare compactată, argilă şi argilă nisipoasă consistentă

0.5-1.0

4 Terenuri stâncoase, stâncă dură cu fisuri, fundaţii pe piloţi, fundaţii având ca suport plăci de beton şi beton armat

1.0-15.0

Un alt model, frecvent utilizat, asimilează

mediul de rezemare, în particular terenul, cu un semispaţiu liniar elastic, omogen şi izotrop. Deplasarea

( , )sw x y a unui punct oarecare de coordonate (x,y) de pe suprafaţa semispaţiului, produsă de o forţă concentrată P, normală la aceasta (fig. 7.1) se determină cu relaţia (Boussinesq):

2(1 )( , ) m

m

Pw x yE r

(7.4)

unde mE şi m sunt modulul de elasticitate şi coeficientul lui Poisson ai mediului, r distanţa de la punctul de aplicaţie al forţei la punctul în care se determină deplasarea. În punctul de aplicaţie al forţei concentrate, deplasarea w tinde la infinit. Pentru o încărcare distribuită, q, pe un domeniu A de pe suprafaţa semispaţiului, deplasarea w(x,y) se determină cu expresia:

2

2 2

,1( , )( )

mA

m

q dAw x y

E x y

(7.5)

Fig. 7.1. Semispaţiul încărcat cu o forţă concentrată P În particular, deplasarea într-un punct de pe suprafaţa semispaţiului dată de o încărcare distribuită pe un domeniu având conturul din linii paralele cu axele de coordonate (fig. 7.2), se poate determina aproximativ după cum urmează. Pe suprafaţa semispaţiului se trasează o reţea dreptunghiulară cu laturile a, b, acoperind domeniul pe care acţionează încărcarea distribuită, iar punctul m, în care

107

se determină deplasarea, se află în centrul unui dreptunghi, în mijlocul unei laturi sau într-un colţ. În interiorul unui dreptunghi intensitatea forţei se consideră constantă, dar variabilă de la un dreptunghi la altul.

a) b)

Fig. 7.2. Încărcare uniform distribuită pe suprafaţa semispaţiului Considerând dreptunghiul cu laturile a şi b (fig. 7.2) încărcat cu forţa uniform distribuită de intensitate p, deplasările (tasările) în centrul (1), în mijlocul laturii a (2), în mijlocul laturii b (3), respectiv într-unul din colţurile (4), se calculează cu relaţia:

2( ) ( ) (1 ) , 1, 2,3, 4h h m

m

p Aw hE

(7.6)

care s-a obţinut prin efectuarea integralei din expresia (7.5). Coeficienţii ( )h depind de raportul laturilor a/b şi sunt daţi în tabelul (7.2). Pentru alte valori ale raportului a/b, se efectuează interpolare. Dacă în loc de intensitatea încărcării p se foloseşte rezultanta R = pA, relaţia (7.6) devine:

2

( ) ( ) (1 ) , 1, 2,3, 4h h m

m

Rw hAE

(7.7)

Deplasarea unui punct k al semispaţiului, situat în exteriorul dreptunghiului încărcat (fig. 7.3), se face prin suprapunere de efecte:

(4) (4) (4) (4)1 1 1 1( ', ') ( ', ) ( , ') ( , )k k k k kw w a b w a b w a b w a b (7.8)

În relaţia (7.8), între paranteze s-au trecut laturile dreptunghiurilor pentru care s-au considerat deplasările colţurilor.

108

Tabelul 7.2. Valorile coeficienţilor h

Fig. 7.3. Deplasarea unui punct k

În cazul unei încărcări oarecare, domeniul respectiv se partiţionează în subdomenii cu laturile , ,i ia b pe care intensitatea încărcării se consideră constantă şi, într-un număr de puncte selectate, se scriu deplasările w folosind suprapunerea de efecte. Se obţine astfel un sistem de relaţii între forţele aplicate şi deplasări, care se scriu:

m m mw f R (7.9)

unde, mw este vectorul deplasărilor considerate, mR vectorul forţelor

rezultante de pe fiecare subdomeniu, ,mf matricea coeficienţilor de influenţă,

determinaţi de relaţia (7.7), respectiv (7.8); mf se mai numeşte şi matricea de flexibilitate a mediului.

Dacă numărul componentelor vectorului mw este egal cu cel al vectorului

mR şi relaţiile dintre ele sunt liniar independente, matricea mf este nesingulară,

deci inversabilă şi vectorul mR se poate exprima în raport cu mw :

1m m m m mR f w K w

(7.10) Se constată o analogie formală între (7.10) şi (7.2). O forţă rezultantă oarecare hR se poate exprima: ,1 1 ,2 2 ,... ...h h h h h h hn nR k w k w k w k w (7.11)

n fiind numărul deplasărilor selectate şi totodată ordinul matricei mK . Dacă nu există influenţe reciproce între deplasări rezultă , ,h h h hR k w adică ipoteza Winkler.

109

7.2. CONSIDERAŢII ASUPRA OBŢINERII SOLUŢIILOR 1 . Se consideră mai întâi cazul plăcilor plane rezemate pe mediu Winkler. Pe faţa superioară a plăcii plane acţionează încărcarea distribuită q(x,y), în

general cunoscută, iar pe cea inferioară reacţiunea r(x,y) necunoscută. Urmează că: ( , ) ( , ) ( , )p x y q x y kw x y (7.12)

Introducând p(x,y) în ecuaţia (1.47), se obţine ecuaţia diferenţială a suprafeţei mediane deformate

2 2 ( , ) ( , ) ( , )( , ) p x y q x y kw x yw x yD D

(7.13)

sau

2 2 ( , )( , ) ( , )k q x yw x y w x yD D

(7.14)

În coordonate polare ecuaţia diferenţială a suprafeţei mediane deformate este analogă, coordonatele (x,y) înlocuindu-se cu ,r şi considerând expresia operatorului dublu laplacian în aceste coordonate. În cazul axial simetric se obţine:

2 2 ( )( ) ( )k q rw r w rD D

(7.15)

Condiţiile de rezemare îşi păstrează forma cunoscută. Soluţii analitice ale ecuaţiei (7.14) se pot obţine în cazuri particulare de rezemare şi încărcare. Pentru placa simplu rezemată cu conturul rigid sau având deplasări care rămân într-un acelaşi plan, se pot obţine soluţii cu ajutorul seriilor Fourier duble. Se pot de asemenea utiliza seriile Fourier simple pentru plăcile dreptunghiulare simplu rezemate pe două laturi paralele şi având încărcarea uniformă în direcţia acestor laturi. Folosind ecuaţia (7.15) pentru placa de întindere infinită acţionată de o forţă concentrată se obţine o soluţie cu ajutorul funcţiilor Bessel. Se mai pot utiliza metode energetice – variaţionale, diferenţe finite, elemente finite etc. 2 . Pentru plăci rezemate pe semispaţiu există puţine soluţii analitice, calculele fiind complexe. În continuare se prezintă succint modul de rezolvare a plăcilor pe mediu elastic prin metoda elementelor finite (Ungureanu 1972 a, 1972 b, Ungureanu ş.a. 1975, Ungureanu ş.a. 1977, Ungureanu şi Strat 1977). Se consideră o placă plană discretizată în elemente finite dreptunghiulare (fig. 7.4).

110

Fig. 7.4. Placa şi suprafaţa de contact discretizate în elemente finite de formă dreptunghiulară

Suprafaţa de contact se discretizează în elemente finite de interfaţă, de

asemenea dreptunghiulare. Punctele nodale interioare ale plăcii coincid cu centrele geometrice ale elementelor de interfaţă de pe mediul elastic. În vecinătatea marginilor, elementele finite de pe suprafaţa de contact au dimensiunile normale la contur egale cu jumătate din cele ale dreptunghiurilor interioare. La colţurile plăcii dreptunghiulare ambele laturi ale aceloraşi elemente finite sunt pe jumătate. Pe elementele finite de interfaţă presiunile de contact se presupun constante, dar diferite de la un element la altul. Rezultantele presiunilor reactive pe fiecare element finit de pe suprafaţa de contact se aplică în nodurile elementelor finite ale plăcii (fig. 7.4). Considerând la început forţele nodale echivalente provenite din presiunile de contact ca forţe exterioare, membrul doi F al ecuaţiei matriceale (6.36) se

modifică, devenind 1 2, ,TmF P R P unde 1P este subvectorul forţelor

nodale pe direcţia deplasărilor w, mR - vectorul forţelor nodale echivalente

provenite din presiunile de contact, 2P - subvectorul forţelor nodale pe direcţia rotirilor x şi y . Ecuaţia (6.36) modificată se partiţionează pentru a pune în

evidenţă subvectorii 1iw şi mR .

1111 12

21 22 2 2

mP RK KK K P

(7.16)

Se înlocuieşte mR cu expresia sa din (7.10) în care, din condiţia de

continuitate deplasările mediului mw sunt egale cu deplasările nodale 1iw

111

ale plăcii şi rezultă

1 1111 12

21 22 2 2

mP KK KK K P

(7.17)

care se mai poate scrie:

1 111 12

21 22 2 2

m PK K KK K P

(7.18)

sau K P (7.19) Deci, matricea de rigiditate a sistemului se obţine din matricea de rigiditate a plăcii şi matricea de rigiditate a mediului pe suprafaţa de contact. Rezolvând sistemul (7.19) se obţine vectorul deplasărilor nodale , din

care se separă 1 1 ,mw w iar din ecuaţia (7.10) se determină vectorul

.mR Componentele acestuia împărţite prin ariile elementelor finite corespunzătoare dau presiunile medii de contact. În continuare se determină eforturile şi tensiunile din placă, ca la paragraful 6.3.

112

113

8. PLĂCI PLANE CU DEPLASĂRI MARI

8.1. ECUAŢII GEOMETRICE ŞI FIZICE

Plăcile plane la care raportul 15

wh se consideră că au deplasări mari şi

efectul acestora asupra eforturilor nu mai poate fi neglijat. Condiţiile de echilibru se exprimă pe forma structurală deformată. Fixarea marginilor la aceste plăci are drept consecinţă apariţia de deplasări în suprafaţa mediană, care nu mai sunt neglijabile şi, în consecinţă, se renunţă la ipoteza suprafeţei mediane inextensibile.

Deplasările 0u şi 0v din suprafaţa mediană fiind nenule, un punct oarecare din placă situat la distanţa z de suprafaţa mediană, va avea deplasările u şi v ale căror expresii sunt:

0 0,w wu u z v v zx y

(8.1)

Deformaţiile specifice , ,x y xy din punctul considerat(generic) au forma: 2 2 2

0 0 02 2, , 2x x y y xy xyw w wz z z

x y x y

(8.2)

Deformaţiile din suprafaţa mediană, considerând şi gradientul deplasărilor, au următoarele expresii:

2 2 20 0 0 0

2 2 20 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

12

12

x

y

xy

u u v wx x x x

v u v wy y y y

u v u u v v w wy x x y x y x y

(8.3)

În relaţiile (8.3) de mai sus, se neglijează termenii 2 2 2 2

0 0 0 0/ , / , / , /u x v x u y v y în raport cu 2/ ,w x respectiv

2/w y şi, de asemenea, 0 0 0 0/ / , / /u x u y v x v y în raport cu

/ / .w x w y Relaţiile (8.3), din care se elimină termenii menţionaţi se introduc în (8.2) şi se obţine:

114

2 20

2

2 20

2

20 0

12

12

2

x

y

xy

u w wzx x x

v w wzy y y

u v w w wzy x x y x y

(8.4)

Deformaţiile specifice din planul median 0 0 0, ,x y xy nu depind de coordonata z şi sunt deci constante pe grosime având expresiile:

20 0

20 0

0 0 0

12

12

x

y

xy

u wx x

v wy yu v w wy x x y

(8.5)

Deformaţiile specifice 0 0 0, ,x y xy satisfac următoarea ecuaţie diferenţială, care se verifică cu uşurinţă,

22 0 2 02 0 2 2 2

2 2 2 2y xyx w w w

y x x y x y x y

(8.6)

Ecuaţia (8.6) este o condiţie de continuitate a deformaţiilor. De asemenea se constată că şi deformaţiile , ,x y xy satisfac aceeaşi condiţie de continuitate

22 22 2 2 2

2 2 2 2y xyx w w w

y x x y x y x y

(8.7)

Aspectul fizic este dat de legea lui Hooke, având forma următoare:

2 2

0 02 2 2 21 1x x y x y

E E w wzx y

2 2

0 02 2 2 21 1y y x y x

E E w wzy x

(8.8)

2

0 22 1 2 1xy xy xy

E E wzx y

115

Ecuaţiile fizice pun în evidenţă faptul că tensiunile se pot separa în două: cele din planul median care corespund stării de membrană şi cele dependente de z, reprezentând efectul încovoierii şi torsiunii

0 0 0, ,i i ix x x y y y xy xy xy (8.9)

8.2. EFORTURI SECŢIONALE Eforturile, aşa cum s-au definit la paragraful 1.4, rezultă din relaţiile de

echivalenţă. Pentru ,x yN N şi xyN acestea sunt: /2 /2 /2

/2 /2 /2, ,

h h h

x x y y xy xyh h hN dz N dz N dz

(8.10)

Se introduc , ,x y xy din (8.8), se integrează în raport cu variabila z şi se obţine:

0 0 02

0 0 02

0 0

( )1

( )1

2 1

x x y x

y y x y

xy xy xy

EhN h

EhN h

EhN h

(8.11)

Prin urmare, eforturile ,x yN N sunt de întindere sau compresiune, iar eforturile xyN de lunecare. Fie relaţiile de echivalenţă care dau momentele încovoietoare şi momentul de torsiune:

/2 /2 /2

/2 /2 /2, ,

h h h

x x y y xy yx xyh h hM zdz M zdz M M zdz

(8.12)

În acestea se introduc ,x y respectiv xy din (8.8) şi se integrează în raport la z; se obţin expresiile cunoscute ale eforturile , , :x y tM M M

2 2

2 2

2 2

2 2

2

1

x

y

t

w wM Dx y

w wM Dy x

wM Dx y

(8.13)

116

8.3. ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ECHILIBRU Un element diferenţial de placă este acţionat de forţele exterioare aferente,

iar pe contur de eforturile reprezentând interacţiunea cu placa din care s-a detaşat. În fig. 8.1a s-au reprezentat, pe elementul diferenţial, eforturile din planul median, corespunzător stării de membrană (întindere sau compresiune şi lunecare), iar în fig. 8.1b eforturile din starea de încovoiere.

a) b) Fig. 8.1. Element diferenţial de placă plană cu eforturi: a) din starea de membrană; b) din starea de

încovoiere

Condiţiile de echilibru se scriu pe elementul diferenţial detaşat din structura deformată, exprimându-se prin ecuaţiile de proiecţii pe axele de coordonate şi ecuaţiile de momente în raport cu axele din planul elementului nedeformat.

În fig. 8.2 sunt puse în evidenţă, pentru elementul diferenţial deformat, deplasările şi pantele la suprafaţa mediană şi implicit poziţia eforturilor de membrană pe placă, după deformarea acesteia.

Deşi echilibrul se scrie pe sistemul deformat, se poate totuşi admite că pantele sunt mici şi unghiurile se pot lua egale cu sinusurile, respectiv cu tangentele lor,

117

Fig. 8.2. Element diferenţial de placă cu deplasările, pantele la suprafaţa mediană şi poziţiile eforturilor de membrană după deformarea plăcii

2

2

2

2

sin tan , sin tan

sin tan

sin tan

sin ta

x x x y y y

x x xx x x

y y yy y y

x xx x

w wx y

w wdx dx dx dxx x x x x

w wdy dy dy dyy y y y y

dy dyy y

2

2

n

sin tan

xx

y y yy y y

w wdy dyy x x y

w wdx dx dx dxx x x y x y

(8.14)

Cosinusurile acestor unghiuri se consideră toate egale cu unu. Proiectând eforturile din starea de membrană (fig. 8.2) pe axele Ox şi Oy se obţine:

118

0

0

yxxx x yx yx

y xyy y xy xy

NNN dy N dx dy N dx N dy dxx y

N NN dx N dy dx N dy N dx dy

y x

(8.15)

După efectuarea reducerilor rezultă următoarele ecuaţii diferenţiale:

0 ); 0 );yx xy yx N N NN a bx y x y

(8.16)

În continuare se proiectează pe axa z eforturile din suprafaţa mediană deformată. a. Eforturile de întindere din direcţia axei x:

sin sinx xx x x x

NN dy N dx dy dxx x

(8.17)

b. Eforturile de întindere din direcţia axei y:

sin siny yy y y y

NN dx N dy dx dy

y y

(8.18)

c. Eforturile de lunecare:

sin sin

sin sin

yx xyx x yx x

xy yxy y xy y

NN dx N dy dx dy

y y

NN dy N dx dy dx

x x

(8.19)

d. Se proiectează pe axa z forţele tăietoare şi încărcarea distribuită normală pe planul median:

( , )yxx x y y

VVV dy V dx dy V dx V dy dx p x y dxdyx y

(8.20)

Sumând proiecţiile de mai sus (a, b, c, d), ţinând cont de (8.14), efectuând reducerile şi neglijând infiniţii mici de ordin superior se obţine:

2 2 2

2 22

( , ) 0

yxx xy y

yx xy yx

VV w w wN N Nx y x x y y

N N NN w w p x y dxdyx y x x y y

(8.21)

Termenii din parantezele rotunde, de pe lângă /w x şi / ,w y sunt zero conform relaţiilor (8.16) şi dxdy fiind nenule, rezultă:

119

2 2 2

2 22 ( , ) 0yxx xy y

VV w w wN N N p x yx y x x y y

(8.22)

Ecuaţiile de momente în raport cu axe trecând prin centrul elementului, paralele cu x şi y, conduc la relaţiile diferenţiale cunoscute:

0, 0yx xy yxx y

M M MM V Vx y x y

(8.23)

Din ecuaţiile diferenţiale (8.23), ţinând cont de expresiile momentelor (8.13) se deduc, de asemenea, expresiile cunoscute ale eforturilor xV şi yV pentru plăci plane de grosime constantă:

2 2,x yV D w V D wx y

(8.24)

8.4. ECUAŢII DIFERENŢIALE REZOLVENTE ALE PLĂCILOR ÎN CALCULUL DE ORDINUL DOI În relaţiile (8.24) se derivează xV în raport la x şi yV în raport la y şi se

introduc în (8.22) care devine: 4 4 4 2 2 2

4 2 2 4 2 22 2 ( , )x xy yw w w w w wD N N N p x y

x x y y x x y y

(8.25)

Ecuaţia (8.25), având necunoscute funcţiile ,w x y , ,xN x y , ,yN x y , ( , )xyN x y , este insuficientă pentru a obţine soluţii. În continuare se utilizează şi

ecuaţia de continuitate (8.6). Deformaţiile 0 0 0, ,x y xy se pot exprima în raport cu tensiunile din suprafaţa mediană, din ecuaţiile (8.11), respectiv în raport cu eforturile de membrană,

0 0 0

0 0 0

0 0

1 1

1 1

2 1 2 1

x x y x y

y y x y x

xy xy xy

N NE Eh

N NE Eh

NE Eh

(8.26)

Deformaţiile 0 0 0, ,x y xy se derivează corespunzător şi se înlocuiesc în (8.6), iar cu ajutorul ecuaţiilor de echilibru se elimină termenii care depind de coeficientul lui Poisson. După efectuarea acestor operaţii se obţine următoarea ecuaţie

120

diferenţială: 22 22 2 2 2

2 2 2 22 xy yx N NN w w wEhy x y x x y x y

(8.27)

Se introduce funcţia de tensiune F(x,y), astfel încât să genereze eforturile , ,x y xyN N N cu ajutorul operaţiilor:

2 2 2

2 2, ,x y xyF F FN h N h N h

y x x y

(8.28)

Se înlocuiesc ,x yN N şi xyN din (8.28) în ecuaţiile diferenţiale (8.25) şi (8.27) şi se obţine un sistem de ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale, având ca funcţii necunoscute w(x,y) şi F(x,y):

4 4 4 2 2 2 2 2 2

4 2 2 4 2 2 2 22 2 ( , )w w w F w F w F wD h p x yx x y y y x x y x y x y

24 4 4 2 2 2

4 2 2 4 2 22F F F w w wEx x y y x y x y

(8.29)

Acest sistem de ecuaţii neliniare, dedus de Kárman, poate fi exprimat mai compact cu ajutorul unor operatori:

2 2

2 2

( , )

( , ) 02

D w hL F w pEF L w w

(8.30)

unde s-a introdus, pe lângă operatorul dublu laplacian 2 2 , aplicat lui w respectiv F, şi operatorul ( , ),L F w care este produsul scalar al vectorului tensiunilor de membrană , tensiuni exprimate prin intermediul funcţiei de tensiune ,F x y

( 2 2 2 2 2/ , / , /T

F y F x F x y ), cu vectorul curburilor suprafeţei

mediane a plăcii deformate, 2 2 2 2 2/ , / , /T

k w x w y w x y . Operatorul ( , )L w w se obţine din ( , )L F w înlocuind F cu w.

Prin integrarea sistemului (8.29) împreună cu condiţiile la limită se obţin w(x,y) şi F(x,y) cu care se determină toate eforturile. Soluţii exacte ale ecuaţiilor (8.29) sunt dificil de obţinut şi de aceea se folosesc metode aproximative (variaţionale, diferenţe finite, elemente finite).

121

9. STABILITATEA PLĂCILOR PLANE 9.1. ECUAŢIA DE STABILITATE

În cazul plăcilor plane subţiri, încărcate în planul lor, este importantă problema determinării mărimii forţelor aplicate pe contur, la care placa îşi pierde forma plană de echilibru şi care se numeşte sarcină sau încărcare critică. Fenomenul de pierdere a formei plane de echilibru, la plăci, datorită forţelor din planul median se mai numeşte şi voalare. Problema poate fi abordată plecând de la sistemul de ecuaţii neliniare ale lui Kárman (8.29). Totuşi la deformaţii mici se poate lineariza considerând că eforturile de membrană nu variază pe suprafaţa plăcii ci rămân egale cu forţele aplicate pe contur. În acest caz, din sistemul (8.29) se reţine numai prima ecuaţie, iar practic se foloseşte (8.25), în care p(x,y) = 0:

2 2 22 2

2 2( , ) 2 0x xy yw w wD w x y N N N

x x y y

(9.1)

Condiţiile la limită sunt cele prezentate în paragraful 1.8. Determinarea sarcinilor critice sau de voalare constituie o problemă de valori proprii. În continuare se consideră cazul plăcii dreptunghiulare simplu rezemată pe toate laturile şi acţionată pe contur la compresiune de forţele .xN const şi

.yN const (fig. 9.1). Corespunzător, ecuaţia (9.1) (schimbând semnele, xN şi

yN fiind negative) devine: 4 4 4 2 2

4 2 2 4 2 22 0x yw w w w wD N N

x x y y x y

(9.2)

Întrucât ecuaţia diferenţială (9.2) conţine numai derivate pare, în cazul plăcii simplu rezemate pe întreg conturul, se poate determina w(x,y) cu ajutorul seriilor Fourier duble.

Expresia deplasărilor w se ia sub forma (9.3):

( , ) sin sinmnm n

m x n yw x y Aa b

care îndeplineşte condiţiile de rezemare Fig. 9.1. Placa simplu rezemată, acţionată pe contur la compresiune

122

(pe frontieră săgeată nulă şi moment încovoietor nul). Se introduce (9.3) în ecuaţia diferenţială (9.2) şi se obţine:

22 2 2 22 2

2 2 2 2 sin sin 0mn x ym n

m n m n m x n yA D N Na b a b a b

(9.4)

Pentru oricare cuplu de valori (m,n), expresia dintre parantezele drepte se anulează (termenii sumei fiind liniar independenţi); urmează deci că:

22 2 2 2

22 2 2 2x y

cr

m n m nN N Da b a b

(9.5)

9.2. PLACA SOLICITATĂ LA COMPRESIUNE UNIAXIALĂ În continuare se analizează placa acţionată de forţe de compresiune pe o singură direcţie. Se consideră xN N şi 0yN , caz în care relaţia (9.5) devine:

22 2 2 2

2 2 2crDa m nN

m a b

(9.6)

Se admite că în direcţie perpendiculară pe cea de compresiune, voalarea se produce cu o semiundă (n = 1) şi notând / ,a b crN ia forma:

22

22

1cr

DN ma m

(9.7)

sau

22 2

2 2crD m DN k

b m b

(9.8)

Factorul 2 2/D a este forţa critică (Euler) a unei fâşii din placă de lăţime unitară şi lungime a, articulată la capete, iar factorul din paranteză al relaţiei (9.7) reprezintă efectul de placă. În relaţia (9.8) factorul din paranteză poate fi numit coeficient de voalare:

2mk

m

(9.9)

Pentru m (numărul de semiunde) dat se determină valoarea raportului , care minimizează expresia coeficientului de voalare k

210 2 0dk m m

d m m

(9.10)

123

A doua paranteză se anulează pentru m . Introducând în relaţiile (9.7), respectiv (9.8), se obţine:

2 2 2

,min 2 2

4 4cr

D DNa b

(9.11)

Valoarea coeficientului k devine minimă întâi când 1, apoi pentru 2; 3... (fig.9.2).

Fig. 9.2. Variaţia factorului k în funcţie de raportul laturilor α şi numărul de semiunde m

Se poate conchide că voalarea unei plăci se produce cu o semiundă pe direcţia normală încărcării (n = 1) şi un număr întreg de semiunde, m = 1, 2, 3... în direcţia de acţiune a forţei. Liniile nodale sunt echidistante şi paralele cu axa y (latura b). Pentru a determina domeniul de valori al raportului / ,a b la un număr de semiunde m, care face minimă expresia:

mm

(9.12)

trebuie ca la limita superioară aceasta să aibă valori egale pentru m şi m+1, iar la limita inferioară pentru m şi m-1

( 1) ( 1)); )( 1) ( 1)

mb a m b a mb a m b aa ba mb a m b a mb a m b

(9.13)

Condiţiile (9.13) conduc respectiv la:

124

( 1), ( 1)a am m m mb b (9.14)

Prin urmare m face minimă expresia (9.12) dacă îndeplineşte condiţiile: ( 1) ( 1)m m m m (9.15)

Rezultă: 2

1, 0 2, b am ka b

222, 2 6,2

b am ka b

(9.16)

233, 6 12,3

b am ka b

etc.

În fig. 9.2 este reprezentat coeficientul de voalare k în funcţie de . Pentru alte moduri de rezemare a laturilor paralele cu axa x se obţin

rezultate care arată că crN se poate pune sub forma (9.8), modificându-se factorul k, deci:

22 2

2 212(1 )crD Eh hN k k

b b

(9.17)

Tensiunea critică de voalare rezultă:

22

212(1 )cr

crN k E hh b

(9.18)

Coeficientul de voalare, k, pentru câteva cazuri de rezemare şi încărcare, este dat în tabelul 9.1. Raportul h/b este similar coeficientului de zvelteţe pentru flambajul barelor comprimate. Relaţiile care dau crN şi respectiv cr sunt determinate pentru domeniul elastic, deci este satisfăcută condiţia ,cr e de unde rezultă domeniul de valabilitate al acestora

212 1 e

b kEh

(9.19)

125

Tabelul 9.1. Cazuri diferite de voalare

Încărcarea şi rezemarea plăcii Coeficientul k funcţie de

126

9.3. PLACA SOLICITATĂ LA COMPRESIUNE BIAXIALĂ Considerând compresiune pe ambele direcţii, înlocuind ,x xN h

y yN h în relaţia (9.5), după unele transformări se obţine:

22 22

2 22x y

m D mn nb h

(9.20)

Făcând notaţia /y x din expresia (9.20) se determină xcr după cum urmează:

222

2 2

22 22

xcr

m nD D k

b h b hm n

(9.21)

în care coeficientul de voalare k are forma:

222

22

, , 1,2,3,

m nk m n

m n

(9.22)

Întrucât tensiunea critică euleriană a unei fâşii de placă de lungime infinită în direcţia x, de grosime h şi deschidere b în direcţia y, articulată la extremităţi şi comprimată numai pe direcţia y are expresia:

2

2ED

b h

(9.23)

rezultă că xcr Ek (9.24) Valorile coeficientului de voalare k sunt date în fig. 9.3 pentru diferite rapoarte şi .

Analizând condiţiile de minim pentru k dat de (9.22) (considerând ecuaţia / 0dk d ) rezultă următoarele concluzii:

2

2

10.5 1; oarecare10 0.5; 1

1 2k

(9.25)

127

0 0.5; 1 ;1 2

4(1 )k

În cazul compresiunii pe două direcţii, tensiunea critică de voalare, la acelaşi coeficient /a b se diminuează mult cu creşterea coeficientului . Pentru 0.5, placa voalează cu câte o semiundă pe ambele direcţii.

Fig. 9.3. Valorile coeficientului de voalare k pentru diferite rapoarte α şi β

128

129

10. PROBLEME

1. Fie o placă dreptunghiulară simplu rezemată pe contur ca în fig.10.1, încărcată cu o forţă uniform distribuită de intensitate p; folosind seriile Fourier

simple, să se determine expresia deplasărilor w(x,y). R:

4

5 51,3..

24 1 12

sin2

n n

n n

nn

u thupa n yw chD n chu a

n yn ya sh x

chu a

Fig. 10.1. Placa simplu rezemată pe contur 2. Folosind rezultatul de la problema

precedentă, să se determine deplasarea maximă. Să se calculeze valoarea maxw pentru placa pătrată (a = b) şi să se compare cu valoarea exactă

2max 0.00406 / .w pa D

Dacă la placa dreptunghiulară latura a este mult mai mare decât b (a >> b), să se arate că maxw este aproximativ egală cu cea a unei fâşii de placă de lăţime unitară simplu rezemată, având deschiderea a şi rigiditatea D. La placa pătrată, să se arate că suma reacţiunilor depăşeşte cu aproximativ 25% forţa totală 2.pa

1

4 2

max 51,3,5...

1 24: ,0 1 ;2 2

n

n n

n n

u thua paR w wD n chu

1

4 4 42

max max 5 51,3,5...

14 5, 0.0041 ; ,384

n

n

pa pa paa b w a b wD D n D

Să se determine reacţiunile concentrate din colţuri şi să se arate că suma lor compensează depăşirea de 25%.

4 4 0.065R 3. La o placă simplu rezemată pe două laturi paralele şi încastrată pe

celelalte două (fig.10.2), folosind seriile Fourier simple să se determine expresiile deplasărilor, momentelor încovoietoare şi de torsiune pentru o sarcină uniform distribuită de intensitate p.

130

R:

4

5 51,3,5..

2( )4 1 12 2

2 sin2

n n nn

n n n

n nn n

n n

shu u chupaw ch yD n u sh u

shu y sh y xu shu

Fig.10.2. Placa având două laturi simplu rezemate şi două laturi încastrate

4. Fie o placă simplu rezemată pe două laturi paralele şi liberă pe celelalte două (fig.10.3); folosind seriile Fourier simple să se determine expresiile deplasărilor şi eforturilor, pentru o încărcare p uniform distribuită pe toată suprafaţa plăcii. R:

4

5 51,3,5..

124 1 11

3 2 2 1

23 2 2 1

sin

n n n

n n n

nn n

n n

n n

shu u chupaw

D n sh u u

shuch y ysh u shu

sh y x

Fig. 10.3. Placa simplu rezemată pe două laturi paralele şi liberă pe celelalte două

5. Se consideră o placă

dreptunghiulară simplu rezemată pe contur, acţionată de o forţă distribuită triunghiular (presiune hidrostatică) (fig.10.4). Se cere să se determine: - coeficienţii dezvoltării în serie a încărcării; - expresia deplasării w(x,y); - expresiile eforturilor (se notează /a b ).

Fig. 10.4. Placa simplu rezemată acţionată de presiunea hidrostatică

131

R: 02

4 cos cos 1mnpa m n

mn

102

8 1 , 1, 2,3, , 1,3,5,nmn

pa m nmn

1

026 2 2

2 2

18 sin sinm

m n

p m nw x yD a bm nmn

a b

1 2 2 220

24 2 2 2

18 sin sinm

xm n

m np a m nM x ya bmn m n

1 2 2 220

24 2 2 2

18 sin sinm

ym n

m np a m nM x ya bmn m n

120

24 2 2 2

8 1 1cos cos

m

xym n

p a m nM x ya bm n

1 2 2 20

23 2 2 2

18 cos sinm

xm n

m np a m nV x ya bn m n

1 2 2 20

23 2 2 2

18 sin cosm

ym n

m np a m nV x ya bm m n

6. Considerând placa de la problema precedentă, să se determine deplasarea

şi momentele încovoietoare în centrul plăcii şi momentele de torsiune în colţurile plăcii. Să se determine valorile acestora pentru o placă de beton armat având

3 ,a b m h = 7 cm, E = 30000 2/ ,N mm 0.2, pentru (m,n = 1 şi m,n = 1,3) şi să se compare.

R:

14 2

0max 26 2 2 2

18 , , 1,3,5,

m n

m n

p aw m nD mn m n

1 2 2 220

24 2 2 2

18,2 2

m

xm n

m np aa bMmn m n

132

120

24 2 2 2

8 1 1(0,0)

m

xym n

p aM

m n

7. O placă dreptunghiulară simplu rezemată, cu laturile a şi b, este încărcată

cu o sarcină distribuită parţial pe o suprafaţă dreptunghiulară cu laturile 2c şi 2d inclusă în suprafaţa ab şi având centrul geometric în punctul 0 0,x y (fig. 10.5). Să se determine, cu ajutorul metodei seriilor Fourier duble, expresiile deplasărilor w(x,y) şi ale eforturilor.

Fig. 10.5. Placă simplu rezemată încărcată parţial

0 022 2

62 2

16 sin sin sin sin , , 1,3,mnm x n yp m c n dA m n

a a b bm nDmna b

0 0

26 2 21 1

2 2

sin sin sin sin16( , ) sin sinm n

m x n ym c n dp m x n ya a b bw x yD a bm nmn

a b

2 22

2 2 sin sinx mnm n

m n m x n yM D Aa b a b

2 22

2 2 sin siny mnm n

n m m x n yM D Ab a a b

133

2

1 cos cosxy mnm n

mn m x n yM D Aab a b

2 23

2 2 cos sinx mnm n

m m n m x n yV D Aa a b a b

2 23

2 2 sin cosy mnm n

n m n m x n yV D Ab a b a b

8. Folosind rezultatele de la problema precedentă să se determine expresiile

deplasărilor şi eforturilor pentru o încărcare concentrată P aplicată în punctul de coordonate 0 0, .x y

Indicaţie: Se determină mnA folosind expresia de la problema precedentă şi se trece la limită 0,c 0d şi 4 ,pcd P

0 020 2 2

0 62 2

16 sin sinlim sin sinmn cd

m c n d m c n dp m x n ya b a bA m c n da bm nDmn a ba b

R: 0 0

24 2 2

2 2

sin sin4( , ) sin sinm n

m x n yP m x n ya bw x y

Dab a bm na b

9. Se consideră o placă dreptunghiulară având două laturi paralele de lungime a încastrate, iar celelalte două de lungime b = 1.5a, simplu rezemate. În centru, placa reazemă pe un stâlp (asimilându-se cu un reazem simplu). Se admit trei cazuri de încărcare:

1 . Patru forţe concentrate de mărime P, aplicate la a/4 şi b/4 de colţurile plăcii (respectiv de centrul plăcii);

2 . O acţiune uniform distribuită, p, pe toată suprafaţa plăcii; 3 . O acţiune liniar distribuită în direcţia laturii a, cu intensitatea maximă

0p la mijlocul acesteia (fig. 10.6). Se cere să se determine deplasările, w, în nodurile reţelei de diferenţe finite

din fig. 10.6. Rezolvare:

134

Placa prezintă două axe de simetrie pentru rezemare şi încărcare şi, pentru rezolvare, se poate considera un sfert de placă.

În dreptul stâlpului deplasarea w = 0 şi pentru reţeaua considerată sunt 23 noduri interioare. Deplasările de pe contur sunt nule, cele din exterior simetrice faţă de latura simplu rezemată sunt egale ca valoare cu cele din interior, dar de semn contrar, iar cele simetrice faţă de latura încastrată sunt egale cu cele din interior.

Fig. 10.6. Cazuri de încărcare şi numerotarea reţelei de diferenţe finite

Ecuaţiile cu diferenţe finite scrise în cele 23 de puncte interioare, conform operatorului de transcriere (2.74) a ecuaţiei diferenţiale a suprafeţei mediane deformate a plăcii, ţinând cont de condiţiile de rezemare, sunt prezentate în tabelul 10.1. În ultimele trei coloane sunt termenii liberi pentru cele trei cazuri de încărcare considerate.

135

Tabel 10.1. Ecuaţii cu diferenţe finite pentru placa din figura 10.6

136

Rezolvând sistemele de ecuaţii s-au obţinut următoarele soluţii: Cazul 1 de încărcare Cazul 2 de încărcare Cazul 3 de încărcare

2

.PaD

4

.paD

4

0 .p aD

1 0.13261423 02w E 1 0.42471517 03w E 1 0.25263795 03w E

2 0.21256215 02w E 2 0.65507158 03w E 2 0.35970091 03w E

3 0.15326513 02w E 3 0.48451894 03w E 3 0.24761804 03w E

4 0.18550770 02w E 4 0.50327880 03w E 4 0.33550712 03w E

5 0.25103793 02w E 5 0.68398891 03w E 5 0.42649228 03w E

6 0.28897445 02w E 6 0.76239166 03w E 6 0.43283662 03w E

7 0.18974391 02w E 7 0.52021997 03w E 7 0.27262949 03w E

8 0.40614097 02w E 8 0.94977411 03w E 8 0.63652213 03w E

9 0.44050589 02w E 9 0.98115951 03w E 9 0.62909978 03w E

10 0.44812788 02w E 10 0.89900539 03w E 10 0.52949938 03w E

11 0.26792558 02w E 11 0.56404620 03w E 11 0.30599380 03w E

12 0.49964455 02w E 12 0.10690211 03w E 12 0.72192028 03w E

13 0.53457716 02w E 13 0.10408207 03w E 13 0.67685283 03w E

14 0.56918249 02w E 14 0.88804710 03w E 14 0.53287152 03w E

15 0.31402400 02w E 15 0.53525070 03w E 15 0.29513982 03w E

16 0.36777637 02w E 16 0.82835736 03w E 16 0.56633627 03w E

17 0.38129124 02w E 17 0.79427194 03w E 17 0.52204088 03w E

18 0.37268048 02w E 18 0.66378032 03w E 18 0.40004516 03w E

19 0.21449614 02w E 19 0.39651649 03w E 19 0.21716842 03w E

20 0.14061992 02w E 20 0.36080155 03w E 20 0.25243274 03w E

21 0.14435971 02w E 21 0.34582807 03w E 21 0.23021811 03w E

22 0.13706932 02w E 22 0.29065367 03w E 22 0.17357455 03w E

23 0.80438954 03w E 23 0.17664312 03w E 23 0.93076538 04w E 0 0w pentru toate cazurile de încărcare.

137

11. Fie o placă pătrată de latură a, simplu rezemată pe două margini consecutive, încastrată pe celelalte două şi încărcată în trei ipoteze:

1 . o forţă uniform distribuită de intensitate p, pe toată suprafaţa; 2 . o forţă concentrată, P, în centrul plăcii; 3 . o forţă distribuită în lungul diagonalei care uneşte colţul de intersecţie al

marginilor simplu rezemate şi colţul de intersecţie al marginilor încastrate, având intensitatea constantă Q (fig. 10.7).

Să se determine deplasările şi eforturile pentru reţeaua din fig. 10.7 şi să se traseze deformatele şi diagramele de eforturi pe liniile centrale şi diagonale.

Fig. 10.7. Placă pătrată cu simetrie faţă de o diagonală şi reţeaua de diferenţe finite

R: 4 /pa D 2 /Pa D 3 /Qa D

1w 0.810618E-03 0.161517E-03 0.199359E-02

2w 0.207950E-02 0.546626E-03 0.442584E-02

3w 0.233650E-02 0.885817E-03 0.479254E-02

4w 0.139080E-02 0.389455E-03 0.304344E-02

5w 0.297128E-03 0.498868E-04 0.873877E-03

6w 0.129554E-02 0.292372E-03 0.269189E-02

7w 0.137510E-02 0.338693E-03 0.244058E-02

8w 0.106959E-02 0.242428E-03 0.160433E-02

9w 0.497706E-03 0.934312E-04 0.605247E-03

138

10w 0.220578E-02 0.664153E-03 0.424868E-02

11w 0.170405E-02 0.461213E-03 0.287257E-02

12w 0.778347E-03 0.174840E-03 0.110597E-02

13w 0.180052E-02 0.570208E-03 0.346363E-02

14w 0.817787E-03 0.208406E-03 0.139178E-02

15w 0.636395E-03 0.143327E-03 0.134677E-02 12. Fie o placă circulară simplu rezemată încărcată cu o forţă distribuită

liniar (fig. 10.8). Raza plăcii este a, iar intensitatea maximă a forţei în reazem mq . Să se determine expresiile mărimilor ( ), ( ), ( ), ( ).r rw r M r M r V r Să se traseze diagramele , , , ,r rw M M V calculându-se valorile în punctele caracteristice.

Fig. 10.8. Placă circulară simplu rezemată pe contur

4 2 5

2 5

2 3

3

4 11 145 2 1 5

4 145

m

mr

q a r rwD a a

q a rMa

2 3

3

2

1 44 145 4

13

m

r m

q a rMa

rV qa

13. La placa circulară încastrată, încărcată cu o forţă distribuită liniar, cu intensitatea zero în centru şi maximă la margine (fig. 10.9), se cere să se determine

( ),w r ( ), ( ), ( ),r rM r M r V r să se traseze diagramele acestor mărimi determinându-se şi valorile în punctele caracteristice. Fig. 10.9. Placa circulară încastrată pe contur

139

4 2 5

2 5

2 3

3

2 3

3

2

3 5 245

41 145 1

1 41 145 1

13

m

mr

m

r m

q a r rwD a a

q a rMa

q a rMa

rV qa

14. Fie o placă circulară de rază a, încastrată pe contur, acţionată de o forţă

parţial uniform distribuită pe suprafaţa de rază b (fig. 10.10). Să se determine expresiile deplasărilor w(r) şi eforturile

, ,r rM M V şi să se reprezinte grafic. Indicaţii: Se consideră expresii ale deplasării w(r) pe cele două subdomenii distincte.

Fig. 10.10. Placa circulară încărcată parţial

1 . 0 < r < b 4

21 2 64

prw C C rD

2 . b < r < a ' ' 2 ' ' 21 2 3 4ln lnw C C r C r C r r

Se pun condiţiile de rezemare şi condiţiile de continuitate la graniţa dintre cele două subdomenii.

Subdomeniul 1 2 2 2 2 2 2 2 4

2 2 2 2 2 2 24 3 4 ln 2 4ln64pa b b b b b b r rw

D a a a a a a a b

2 2

22 2

31 4 ln16rpb b bM r

a a b

2 2

22 2

1 31 4ln16pb b bM r

a a b

2rprV

140

Subdomeniul 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 22 1 2 2 ln32pa b b r b r rw

D a a a a a

2 2 2

2 24 1 1 4ln16rpb b b rM

r a a

2 2 2

2 24 1 1 4 ln16pb b b rM

r a a

2

.2rpbV

r

15. Pentru placa circulară încastrată pe contur, folosind rezultatele de la

problema precedentă, să se determine expresiile deplasărilor şi eforturilor în cazul încărcării cu o forţă concentrată aplicată în centru (fig. 10.11). Să se construiască diagramele mărimilor , , ,r rw M M V şi să se calculeze valorile în centru şi pe contur.

Fig. 10.11. Placa circulară încărcată cu o forţă concentrată în centru R:

2 2

21 1 2 ln16

Pa r rwD a a

1 1 ln4rP rM

a

1 ln4P rM

a

2r

PVr

Notă: Pentru a determina momentele încovoietoare şi forţele tăietoare în centrul plăcii, forţa se consideră distribuită pe o suprafaţă mică, de rază b

141

(expresiile acestora fiind valabile pentru r b ). 16. Se consideră o placă inelară simplu rezemată pe conturul exterior şi

liberă pe cel interior, care este acţionat de un moment uniform distribuit în lungul circumferinţei (fig. 10.12). Să se determine expresiile deplasărilor şi eforturilor şi să se reprezinte grafic.

Fig. 10.12. Placa inelară acţionată pe conturul interior de un moment M0

R:

22 2 20

2 2

1 1 ln1 ( ) 2 1

M b aw a r aa b D r

2 2

02 2 2 1 ;r

M b aMa b r

2 2

02 2 2 1M b aM

a b r

142

143

PLĂCI CURBE

144

145

1. CONSIDERAŢII GENERALE ŞI NOŢIUNI CU PRIVIRE LA GEOMETRIA PLĂCILOR CURBE 1.1. CONSIDERAŢII ASUPRA PLĂCILOR CURBE

Plăcile curbe sunt corpuri ce se caracterizează geometric prin suprafaţa mediană curbă (ca formă şi contur) şi prin grosimea lor în orice punct, măsurată normal la suprafaţa mediană. Ele sunt, în general, subţiri şi au curbura mică, suprafaţa mediană putând fi cu simplă sau dublă curbură. Grosimea este, în mod obişnuit, constantă sau monoton variabilă, dar ea poate varia şi brusc (în trepte).

Clasificarea plăcilor curbe se poate face având în vedere mai multe criterii, dintre care, cel mai utilizat este forma suprafeţei mediane. Din acest criteriu decurg o serie de criterii secundare, cum ar fi: curbura totală, modul de generare al suprafeţei, existenţa unor generatoare rectilinii etc.

După forma suprafeţei mediane, plăcile curbe subţiri pot fi: de rotaţie (sferice, conice, parabolice, eliptice etc.); de translaţie (paraboloidul circular, hiperbolic etc.); riglate (cilindrice, conice, conoizii etc.); de revoluţie (elipsoidul eliptic, paraboloidul eliptic etc.); de formă oarecare.

Un criteriu important de clasificare a plăcilor curbe este modul de transmitere a încărcărilor la reazeme, criteriu după care deosebim:

plăci curbe care transmit încărcările la reazeme mijlocit, prin intermediul grinzilor, arcelor sau altor elemente marginale;

plăci curbe care transmit nemijlocit încărcările la reazeme. Cele din prima categorie sunt considerate elemente structurale sub formă de

plăci curbe. Cu acest rol de elemente structurale, plăcile curbe pot fi întâlnite în componenţa a numeroase construcţii sau structuri complexe din variate domenii tehnice. Plăcile curbe care transmit nemijlocit încărcările la reazeme sunt ele însele structuri complete sau integral autoportante.

Un alt criteriu de clasificare distinge plăci curbe deschise, respectiv închise. În literatura de specialitate (Soare 1968, Beleş şi Soare 1969, Mihăilescu

1977, Ungureanu 1988) se întâlnesc şi alte criterii de clasificare. Analizând aceste criterii, se poate constata că unele suprafeţe curbe pot fi încadrate în mai multe categorii, astfel încât clasificarea plăcilor curbe nu trebuie considerată restrictiv sau în mod rigid. Ea este importantă din punct de vedere al teoriei de calcul, în măsura în care, pentru fiecare categorie de suprafaţă se poate adopta un sistem de referinţă şi un set de necunoscute, care să conducă la simplificări ale calculului.

146

Dintre sistemele de coordonate, cel mai des folosit este sistemul cartezian triortogonal Oxyz, dar în numeroase cazuri rezultatele pot fi obţinute mai simplu dacă poziţia unui punct este definită de o pereche de valori (1, 2) sau (, ), denumite coordonate curbilinii ale suprafeţei considerate. Ca particularizări frecvent utilizate sunt sistemele de referinţă sferic şi cilindric. De remarcat că, atât în vorbirea curentă cât şi în literatura de specialitate, plăcile curbe subţiri sunt întâlnite sub diverse denumiri, legate implicit de o serie de caracteristici ale acestora. Astfel, ca denumiri generice întâlnim: învelitori sau învelişuri, pânze sau suprafeţe subţiri, membrane, suprafeţe autoportante. Ca denumiri specializate, întâlnim: cupole sau bolţi subţiri, vase sau rezervoare cu pereţi subţiri, recipiente de presiune etc.

Plăcile curbe sunt folosite în domeniul ingineriei civile (construcţii civile, industriale, hidrotehnice etc.) la acoperişuri, rezervoare, castele de apă, baraje, diferiţi recipienţi, conducte etc., precum şi în construcţii mecanice, aviaţie, nave, submersibile, vehicule aerospaţiale etc.

Ca elemente structurale sau structuri integral autoportante, destinate să preia diverse acţiuni, plăcile curbe sunt deosebit de eficiente.

1.2. NOŢIUNI DE GEOMETRIA SUPRAFEŢELOR CURBE O suprafaţă poate fi generată cinematic prin mişcarea continuă în spaţiu a

unei curbe constante sau variabile. În continuare se menţionează suprafeţele mai frecvent întâlnite în tehnică.

1 . Suprafeţele de rotaţie se obţin prin rotirea unui segment de curbă plană în jurul unei axe fixe (ex.: cupole circulare, parabolice, eliptice, torul, hiperboloidul circular etc.).

2 . Suprafeţele de translaţie sunt generate de o curbă de formă constantă, ce lunecă în lungul unei curbe directoare şi rămâne paralelă cu ea însăşi (ex.: paraboloidul circular, hiperbolic etc.).

3 . Suprafeţele riglate sunt generate prin mişcarea unei drepte şi dintre cele mai cunoscute se menţionează:

a. Suprafeţele cu plan director şi curbă directoare se obţin prin alunecarea unei drepte pe o curbă (directoare), care rămâne paralelă cu un plan fix (plan director), generatoarea sprijinindu-se pe o curbă dată.

b. Conoizii sunt generaţi de o dreaptă, care se deplasează paralel cu un plan director, se sprijină pe o altă dreaptă şi pe o curbă, ambele fixe.

c. Suprafeţele cu trei directoare se obţin prin lunecarea unei drepte variabile pe trei curbe oarecare în spaţiu.

147

d. Suprafeţele conice sunt generate de o dreaptă variabilă, care trece printr-un punct fix şi se mişcă pe o curbă oarecare.

e. Suprafeţele cilindrice se obţin prin alunecarea unei drepte în lungul unei curbe, generatoarea rămânând paralelă cu o direcţie dată.

4 . Suprafeţele de revoluţie se construiesc periodic în jurul unei axe (elipsoidul eliptic, paraboloidul eliptic etc.).

O suprafaţă este definită de mulţimea punctelor M din spaţiu ale căror coordonate satisfac una dintre ecuaţiile:

( , , ) 0F x y z (1.1) ( , )z f x y (1.2)

1 2 3( , ), ( , ), ( , )x f y f z f (1.3) în care (1.1) este ecuaţia implicită a suprafeţei, (1.2) ecuaţia explicită şi (1.3) ecuaţiile parametrice. Funcţiile care definesc suprafaţa sunt reale, uniforme şi continue şi admit derivate de ordinul I continue; funcţiile 1 2 3, ,f f f stabilesc o corespondenţă biunivocă şi bicontinuă între punctele M şi perechile ordonate ( , ), care sunt parametri reali. Ecuaţia unei suprafeţe poate fi exprimată şi vectorial:

( , ) ( , ) ( , ) ( , )r r r x i y j z k (1.4) unde , ,i j k sunt versorii axelor de coordonate.

Liniile de pe suprafaţă pentru care succesiv .const şi respectiv

.const se numesc curbe coordonate (coordonate curbilinii). O suprafaţă este complet determinată de două familii de curbe coordonate. Dacă se elimină şi din ecuaţiile (1.3) se obţine ecuaţia suprafeţei sub forma implicită (1.1) sau explicită (1.2). Pentru exemplificare se consideră suprafaţa sferică (fig. 1.1), ale cărei ecuaţii sunt:

- ecuaţia implicită, Fig. 1.1. Suprafaţa sferică

2 2 2 2 0x y z a (1.5) - ecuaţia explicită,

148

2 2 2z a x y (1.6)

- ecuaţiile parametrice, cos sin , sin sin , cosx a y a z a (1.7)

unde este longitudinea şi latitudinea; - ecuaţia vectorială,

cos sin sin sin cosr a i j k (1.8)

- curbe coordonate 0 rezultă - linie i 0 rezultă - linie; - linie,

0 0 0cos sin , sin sin , cosx a y a z a (1.9) - linie,

0 0 0cos sin , sin sin , cosx a y a z a (1.10) Două puncte învecinate, C şi D, de pe suprafaţă sunt specificate de razele vectoare r şi r dr sau de coordonatele curbilinii corespunzătoare , şi

,d d (fig. 1.2).

Fig. 1.2. Raze vectoare şi coordonate curbilinii La limită, lungimea elementului de arc, care conectează punctele C şi D, devine element diferenţial ds, având ca măsură valoarea absolută a vectorului ,dr

149

ds dr r d r d (1.11)

unde / ,r r /r r sunt vectori tangenţi la curbele de coordonate în punctul C. Se face pătratul elementului de arc ds,

22ds dr dr dr (1.12)

Din ecuaţia vectorială (1.4) a suprafeţei se deduce: x y z x y zdr i j k d i j k d

(1.13)

Se substituie (1.13) în (1.12) şi, ţinând cont de forma produsului scalar, se obţine:

2 2 21 2ds Ed Fd d Gd (1.14)

în care coeficienţii E, F, G (se folosesc şi notaţiile 2 ,E A 2G B ) sunt:

2 2 2 2

2 2 2 2

E A r r x y z

F r r x x y y z z

G B r r x y z

(1.15)

S-a folosit, de asemenea, pentru derivatele coordonatelor în raport cu parametrii, notaţia indicială (ex. /x x ). Expresia (1.14) este prima formă fundamentală a unei suprafeţe (Lamé). Aceasta caracterizează geometria internă a suprafeţelor: lungimile liniilor trasate pe ele, unghiurile dintre aceste linii, porţiunile de arie de pe suprafaţă delimitate de curbele coordonate. Prima formă fundamentală a unei suprafeţe este un polinom omogen de gradul II în diferenţialele coordonatelor curbilinii. Din relaţiile (1.15) urmează că: , , cosA r B r F r r (1.16)

şi rezultă cos

cos F FA Br r

(1.17)

Având în vedere definiţia produsului vectorial şi interpretarea sa geometrică, se determină măsura ariei elementare ,d

150

2

2 2 2 2

sin sin

1 cos

d r r d d r r d d r r d d

r r d d EG F d d

(1.18)

În lungul curbei (liniei) coordonate .const rezultă 0d şi lungimea elementului de arc 1CC este: 1ds Ad (1.19) şi similar în lungul curbei coordonate .,const 0,d lungimea arcului 1CD fiind: 2ds Bd (1.20) Dacă liniile de coordonate reprezintă o reţea ortogonală pe suprafaţă, atunci F = 0 cos 0 şi prima formă fundamentală devine:

2 2 2 2 2 2 21 2ds ds ds A d B d (1.21)

În cazul că ecuaţia suprafeţei este dată sub forma explicită rezultatele obţinute se particularizează:

, , 1, 0, 0, 1

, , ,

x y x x y yz p z q d dx d dy

(1.22)

unde p, q sunt notaţiile lui Monge. Substituind (1.22) în (1.15) se obţine: 2 2 2 21 ; ; 1E A p F p q G B q (1.23)

Prima formă pătratică fundamentală a suprafeţei devine: 2 2 2 2 2(1 ) 2 (1 )ds p dx pqdxdy q dy (1.24)

De asemenea, pentru cos şi d se obţin următoarele expresii:

2 2

2 2cos ; 1

1 1

p q a d p q dxdy bp q

(1.25)

Aplicaţie. Să se determine elementul diferenţial de arc ds şi elementul diferenţial de arie d pentru sferă. Se folosesc de exemplu ecuaţiile parametrice (1.7) (a este raza sferei R = a).

2 22 2 2 2 2sin sin cos sin sinE x y z a a a

sin sin cos cos

cos sin sin cos 0 sin 0

F x x y y z z a a

a a a

151

2 2 2 2cos cos sin cos sinG a a a a 2 2 2 2 2 2

1 sinds a d a d 2 2 2sinds a d d

2 2 2sin sind EG F d d a d d a d d .

În continuare, pentru o suprafaţă regulată , într-un punct M de pe suprafaţă M , cu vectorul de poziţie r şi n versorul normalei la suprafaţă în acelaşi punct, se defineşte a doua formă pătratică fundamentală, 2 , ca produsul

scalar dintre n şi 2d r 2

2 n d r (1.26)

Vectorii r şi r fiind în planul tangent, produsul lor vectorial conduce la un vector ,N normal pe planul tangent în M, dirijat după normala la suprafaţa în acelaşi punct (fig. 1.3): N r r (1.27)

Fig. 1.3. Definirea celei de-a doua forme patratice a suprafeţei

Versorul acestei normale n se deduce după cum urmează:

2

N r r r rnN r r EG F

(1.28)

152

Vectorul dr r d r d se diferenţiază încă o dată: 2 2 2 2 22d r r d r d d r d r d r d (1.29)

Înmulţind scalar n şi 2d r şi ţinând cont că ,n r n r deci 0,n r n r rezultă:

2 2 22 2n d r n r d n r d d n r d (1.30)

sau: 2 2

2 2Ld Md d Nd (1.31)

2 este a doua formă fundamentală (Gauss) a unei suprafeţe.

Având în vedere expresia versorului n , relaţia (1.28) şi 2d r din relaţia (1.29), se deduce că L, M şi N, coeficienţii celei de a doua forme fundamentale a suprafeţei sunt daţi de produsele mixte formate din cuplul de vectori ,r r şi

respectiv vectorii , , ,r r r amplificate cu acelaşi factor 1/ 221/ EG F

2

1x y z

L x y zEG F x y z

2

1x y z

M x y zEG F x y z

(1.32)

2

1x y z

N x y zEG F x y z

Dacă ecuaţia suprafeţei este dată sub forma explicită (1.2) atunci: 1, 0, 0, 0, 0x x x x x 0, 1, 0, 0, 0y y y y y (1.33)

, , , ,z p z q z r z s z t Coeficienţii L, M, N şi forma a doua fundamentală 2 se exprimă prin

relaţiile:

2 2 2 2 2 2; ;

1 1 1r s tL M Np q p q p q

(1.34)

153

2 22 2 2

1 21

rdx sdxdy tdyp q

(1.35)

Pe o suprafaţă regulată , într-un punct M M , având vectorul de

poziţie r se duce o curbă , având versorul normalei principale al acesteia în punctul M. Versorul face unghiul cu versorul n al normalei la suprafaţa în M, iar R este raza de curbură a liniei în M. Se demonstrează că există relaţia:

2 2

22 2

1

cos 22

Ld Md d NdR Ed Fd d Gd

(1.36)

Pe suprafaţa se trasează o curbă şi, de asemenea, cu o secţiune normală se obţine curba .n Acestor curbe li se asociază versorii normalelor şi

n şi razele de curbură R respectiv nR în punctul de intersecţie al celor două

curbe; ştiind că , n se obţine (Meusnier):

2

1

cos 1

n

kR R

(1.37)

k fiind curbura normală. Funcţia curburii k se mai poate reprezenta prin relaţia:

2

2

22

Lm Mm NkEm Fm G

(1.38)

obţinută din (1.36) prin împărţirea numărătorului şi numitorului cu 2d şi cu notaţia / .m d d Se numesc curburi principale pe suprafaţa în punctul ,M valorile extreme (maximum absolut şi minimum absolut) ale funcţiei k(m) şi se notează

1 2, .k k Curburile principale 1 2,k k ale suprafeţei în punctul M sunt rădăcinile următoarei ecuaţii în k:

0Ek L Fk MFk M Gk N

(1.39)

Direcţiile unei suprafeţe regulate într-un punct ,M sunt determinate de ecuaţia

Lm M Mm NEm F Fm G

(1.40)

Curbele de pe suprafaţă, 1 2, , care au curburile normale în M egale cu 1k şi 2k sunt obţinute cu secţiuni normale principale. Direcţiile tangentelor la aceste curbe în punctul M se numesc direcţii principale şi sunt determinate de

154

1/d d m şi 2/ ,d d m valori obţinute din (1.40). Direcţiile principale sunt ortogonale. O curbură oarecare k a unei curbe se poate exprima în funcţie de curburile principale 1k şi 2k ale curbelor 1 şi 2 cu ajutorul relaţiei lui Euler: 2 2

1 2cos sink k k (1.41)

unde 1,n .

Curbura totală (curbura lui Gauss), K, la suprafaţa în punctul M se exprimă prin produsul curburilor principale:

2

1 2 2

LN MK k kEG F

(1.42)

Se defineşte, de asemenea, curbura medie (H):

1 212

H k k (1.43)

Punctele unei suprafeţe se separă în trei clase, determinate cu ajutorul curburii totale K: 1 . K > 0 puncte eliptice 2 . K < 0 puncte hiperbolice 3 . K = 0 puncte parabolice

a) suprafaţă eliptică b) suprafaţă hiperbolică c) suprafaţă parabolică

Fig. 1.4. Clasificarea suprafeţelor după curbura totală

Suprafeţele care au toate punctele eliptice se numesc suprafeţe de tip eliptic (fig.1.4 a). Exemple: elipsoidul, sfera, paraboloidul eliptic, hiperboloidul cu două pânze etc. Suprafeţele care au toate punctele hiperbolice se numesc suprafeţe de tip hiperbolic (fig.1.4 b). Exemple: paraboloidul hiperbolic, hiperboloidul cu o pânză. Suprafeţele care au toate punctele parabolice se numesc suprafeţe de tip parabolic (fig.1.4 c). Exemple: suprafeţele cilindrice, conice.

155

2. TENSIUNI, EFORTURI, DEFORMAŢII ÎN PLĂCILE CURBE 2.1. DEFINIŢII ŞI IPOTEZE ÎN CALCULUL PLĂCILOR CURBE Pe suprafeţele descrise din punct de vedere geometric în capitolul 1, se

construiesc plăci curbe care se mai numesc şi învelitori sau învelişuri în sensul de a închide, a acoperi, a delimita prin suprafeţe curbe sau poliedrale.

Plăcile curbe (învelitorile sau învelişurile), folosite la structuri pentru construcţii diferite, sunt în general subţiri; raportul dintre grosimea h şi oricare din distanţele între reazeme 1,2L este mic

1,2

1 1100 800

hL

(2.1)

De asemenea, aceste suprafeţe au curbură mică (rază de curbură mare); raportul dintre grosimea plăcii h şi razele de curbură normale 1,2r este mic,

1,2

1 120 600

hr

(2.2)

Plăcile curbe au grosime constantă sau monoton variabilă. La deschideri mari plăcile pot fi nervurate pe o direcţie obţinându-se învelitori ortotrope, sau pe mai multe direcţii – învelitori politrope.

Plăcile curbe la care 1,2/h L şi 1,2/h r satisfac inegalităţile (2.1) şi (2.2) sunt subţiri, au curbură mică şi acestea se vor analiza în continuare.

Plăcile curbe (învelitorile sau învelişurile) se pot clasifica în: a) – închise; b) – deschise.

Exemple din natură de învelitori: coaja de ou este învelitoare continuă închisă; coaja de nucă este învelitoare ortotropă închisă; bolta craniană este învelitoare continuă deschisă; coaja de scoică este învelitoare ortotropă deschisă. Plăcile curbe se împart în două clase în raport cu modul de transmitere a acţiunilor la reazeme: 1 . Plăci curbe sau învelitori, care transmit acţiunile la reazeme în mod mijlocit, prin intermediul grinzilor, arcelor sau altor elemente marginale, fiind considerate elemente structurale sub formă de plăci curbe. 2 . Plăci curbe (învelitori sau învelişuri) care transmit acţiunile la reazeme în mod nemijlocit, fiind considerate structuri complete sau integral autoportante. Ipotezele de bază în calculul plăcilor curbe sunt: 1 . Materialul constitutiv al plăcilor curbe se consideră omogen şi izotrop.

156

2 . La valori moderate ale acţiunilor, ca cele curente, materialul se comportă liniar elastic, iar modulul de elasticitate este acelaşi la întindere şi compresiune. 3 . În starea neîncărcată eforturile, respectiv tensiunile, din placa curbă sunt nule (ipoteza stării naturale). 4 . Tensiunile normale la suprafaţa mediană z sunt mici şi pot fi neglijate. 5 . Deformaţiile specifice sunt mici în raport cu unitatea. 6 . Deplasările sunt mici în raport cu grosimea şi echilibrul se poate exprima pe structura nedeformată. În calculul de ordinul doi şi de stabilitate echilibrul trebuie considerat pe structura deformată. 7 . Se admite conjectura independenţei acţiunilor şi, faţă de ipotezele de mai sus, rezultă că se poate folosi suprapunerea efectelor. 8 . Un segment rectiliniu, normal la suprafaţa mediană nedeformată, rămâne rectiliniu şi normal la suprafaţa mediană după deformarea plăcii curbe (ipoteza Kirkhhoff-Love). 9 . Se admite principiul efectului local, al lui Saint-Venant, conform căruia un sistem de forţe, ce acţionează pe o zonă restrânsă a plăcii curbe, poate fi înlocuit cu un alt sistem de forţe static echivalent, care produce în zona de aplicare o stare de tensiune diferită faţă de primul sistem, dar are o influenţă neglijabilă la distanţe mai mari de locul aplicării forţelor.

2.2. TENSIUNI ŞI EFORTURI ÎN PLĂCILE CURBE Se consideră o placă curbă raportată la un sistem de referinţă cartezian.

Grosimea plăcii, măsurată normal la suprafaţa mediană este h. În vecinătatea unui punct oarecare de pe suprafaţa mediană se detaşează, cu

perechi de plane ortogonale, normale pe suprafaţă, un element diferenţial având laturile dx şi dy (fig. 2.1 a), şi razele de curbură ale liniilor de secţionare de pe suprafaţă xr şi yr , acestea fiind totodată raze de curbură principale (fig. 2.1 b).

Adesea, ca şi în continuare, se admite că lunecările din suprafaţa mediană sunt nule şi tensiunile z se neglijează (consecinţă a ipotezei segmentului normal).

Pe cele două secţiuni, în punctele situate la distanţa z de suprafaţa mediană, tensiunile au câte trei componente, x şi y tensiuni normale, xy şi yx , tensiuni tangenţiale paralele cu suprafaţa mediană, xz şi yz , tensiuni tangenţiale paralele cu normala la suprafaţa mediană, în punctul considerat.

157

Se precizează că planele ortogonale, normale la suprafaţa mediană într-un punct, care determină liniile principale de curbură pe suprafaţă (axele x şi y fiind tangente la acestea) şi planul tangent formează sistemul de referinţă (z are direcţia normalei la suprafaţa mediană).

Fig. 2.1. Element diferenţial de învelitoare (a); tensiuni pe feţele elementului (b)

Pe unitatea de lungime din suprafaţa mediană se definesc eforturi globale sau secţionale. Eforturile rezultante pe unitatea de lungime sunt (fig. 2.2):

- eforturi normale / 2

/ 21

h

x xhy

zN dzr

(a)

/ 2

/ 21

h

y yhx

zN dzr

(b)

- eforturi de lunecare

158

/ 2

/ 21

h

xy xyhy

zN dzr

(c)

/ 2

/ 21

h

yx yxhx

zN dzr

(d)

- eforturi de forfecare / 2

/ 21

h

x xzhy

zV dzr

(e)

/ 2

/ 21

h

y yzhx

zV dzr

(f)

Fig. 2.2. Definirea eforturilor - eforturi momente încovoietoare (2.3)

/ 2

/ 21

h

x xhy

zM z dzr

(g)

/ 2

/ 21

h

y yhx

zM z dzr

(h)

- eforturi momente de torsiune / 2

/ 21

h

xy xyhy

zM z dzr

(i)

/ 2

/ 21

h

yx yxhx

zM z dzr

(j)

Lungimile fibrelor situate la distanţa z de suprafaţa mediană a plăcii, în comparaţie cu unitatea din suprafaţa mediană se modifică cu / yz r respectiv

/ xz r (rezultă din asemănarea triunghiurilor curbilinii). Observaţie: Întrucât / / ,x yz r z r urmează că, în general, xy yxN N şi

,xy yxM M dar xy yx (dualitatea tensiunilor tangenţiale). Pentru plăcile curbe la care h/r < 1/80 se pot neglija rapoartele / xz r şi

/ yz r în raport cu unitatea. Eforturile exprimate prin relaţiile de echivalenţă de mai sus (rel. 2.3) devin:

159

/2 /2 /2

/2 /2 /2, ,

h h h

x x y y xy yx xyh h hN dz N dz N N dz

(a)

/2 /2

/2 /2,

h h

x xz y yzh hV dz V dz

(b) (2.4)

/2 /2 /2

/2 /2 /2, ,

h h h

x x y y xy yx xyh h hM zdz M zdz M M zdz

(c)

Semnele sunt similare celor de la plăci plane. Unităţile de măsură sunt: pentru , , , , ,x y xy x yN N N V V forţă/lungime (N/m); pentru , ,x y xyM M M forţă (N).

2.3. STAREA DE MEMBRANĂ A PLĂCILOR CURBE În unele cazuri, depinzând de geometrie, rezemare şi încărcare, tensiunile

, ,x y xy yx sunt uniforme pe grosime şi 0,xz zx 0.yz zy Aceasta înseamnă că momentele de încovoiere şi de torsiune şi, de asemenea, eforturile de forfecare sunt nule. O astfel de stare de eforturi se numeşte de membrană.

Starea de membrană se realizează teoretic în două situaţii: 1) dacă placa curbă are o rigiditate mică la încovoiere şi deci nu poate

prelua momente încovoietoare; 2) placa are rigiditate la încovoiere, dar încărcarea şi modul de rezemare nu

introduc momente încovoietoare. În realitate se realizează starea de membrană la plăcile curbe cu grosime

relativ mică, având rezemarea pe contur în planul tangent, plăcile curbe nu prezintă goluri sau discontinuităţi (sunt netede), iar acţiunile sunt distribuite pe suprafaţă.

Forţele concentrate introduc efecte de încovoiere în domenii situate în vecinătatea aplicării acestora, dar care se diminuează repede, pe măsura îndepărtării de ele, mai ales că forţele concentrate sunt de fapt distribuite pe zone mici.

Dacă rezemarea este în planul tangent la suprafaţa mediană, reacţiunile sunt similare unor eforturi corespunzătoare stării de membrană, aplicate pe contur. Condiţiile de rezemare cerute nu se pot realiza în mod ideal, îndeosebi şi datorită deformării plăcii curbe sub efectul greutăţii proprii. Experienţa arată că momentele de încovoiere scad repede către interior, deci rezemările introduc un efect de încovoiere, relativ localizat, numit efect de contur.

Eforturile care apar în starea de membrană sunt , , ,x y xyN N N cărora le corespund tensiunile , ,x y xy

/2 /2 /2

/2 /2 /2, ,

h h h

x x x y y y xy xy xyh h hN dz h N dz h N dz h

(2.5)

160

,x yN N produc întindere-compresiune şi xy yxN N lunecare. Din punct de vedere al eforturilor, deci şi al tensiunilor, starea de membrană este static determinată interior şi eforturile rezultă din ecuaţiile de echilibru. Întrucât eforturile se obţin prin integrarea ecuaţiilor diferenţiale de echilibru este necesar să se poată pune condiţiile la limită în eforturi. Condiţiile de constrângere în exces introduc nedeterminări statice exterioare.

2.4. ECUAŢII DE DEFORMAŢIE Fie elementul diferenţial de placă curbă ABCD (fig. 2.3).

Fig. 2.3. Element diferenţial de placă curbă înainte de deformare (a); după deformare (b)

Segmentele rectilinii EG, FH, după deformarea plăcii curbe rămân rectilinii, iar curburile suprafeţei mediane după deformare sunt '1/ xr şi '1/ .yr

Deformaţiile specifice în suprafaţa mediană sunt 0x şi 0 ,y iar stratul situat

la distanţa z de suprafaţa mediană are deformaţiile specifice x şi respectiv .y Deformaţia ,x de exemplu, se defineşte:

' 'x

M N MNMN

(2.6)

unde

161

0'1 , ' ' 1 1x x x

x x

z zMN ds M N dsr r

(2.7)

care se înlocuiesc în expresia deformaţiei ,x obţinându-se:

00

' 0 '1 11 1 1

1 1 1

xx

x x x x xx

x x x

z zr r r rzz z zr r r

(2.8)

Se neglijează 0x în raport cu unu şi de asemenea '/ xz r , astfel încât rezultă:

0'

1 1x x

x x

zr r

(2.9)

Analog se obţine y :

0'

1 1y y

y y

zr r

(2.10)

Se notează variaţia curburii cu (hi):

' '

1 1 1 1,x yx x y yr r r r

(2.11)

unde ,x y sunt variaţii ale curburilor normale. Astfel, în continuare, deformaţiile specifice ,x y devin:

0

0x x x

y y y

zz

(2.12)

Într-un caz mai general apar şi deformaţii specifice unghiulare, xy , care se pot exprima prin relaţia: 0 2xy xy xyz (2.13)

în care 0xy sunt deformaţiile specifice unghiulare din suprafaţa mediană, iar xydx

este rotirea marginii EH faţă de axa Ox, mărimea xy fiind numită torsiunea suprafeţei mediane. Relaţiile (2.12) şi (2.13) reprezintă ecuaţiile de deformaţie sau geometrice ale plăcilor curbe.

162

2.5. ECUAŢII FIZICE. EFORTURI Se foloseşte legea lui Hooke, în care, conform ipotezelor făcute 0,z

considerând forma inversă, în care tensiunile sunt exprimate în raport cu deformaţiile specifice:

2

2

1

1

2 1

x x y

y y x

xy yx xy

E

E

E

(2.14)

Pentru plăcile curbe, în (2.14) se înlocuiesc deformaţiile , ,x y xy cu expresiile lor din (2.12) şi (2.13) şi se obţin:

0 02

0 02

0

1

1

22 1

x x y x y

y y x y x

xy xy xy

E z

E z

E z

(2.15)

Tensiunile , ,x y xy din (2.15) se introduc în relaţiile de echivalenţă (2.4 a), se integrează în raport cu z şi rezultă:

0 0 0 02 2

0

,1 1

2 1

x x y y y x

xy yx xy

Eh EhN N

EhN N

(2.16)

De asemenea, aceleaşi tensiuni din (2.15) se introduc în relaţiile de echivalenţă (2.4 c), se integrează în raport cu z şi se obţin:

,

1x x y y y x

xy yx t xy

M D M D

M M M D

(2.17)

în care

3

212 1EhD

(2.18)

este rigiditatea la încovoiere a plăcii curbe.

163

Relaţiile (2.17) şi (2.18) sunt similare cu cele de la plăcile plane, dar variaţiile curburilor pot avea diferite forme în raport cu tipul de placă curbă. În unele cazuri, deformaţiile specifice datorită variaţiei curburilor şi a torsiunii prin deformarea suprafeţei plăcii curbe, pot fi neglijate în raport cu deformaţiile specifice din suprafaţa mediană. Urmează că deformaţiile specifice se pot considera constante pe grosime şi egale cu 0 0,x y şi 0 .xy Aceasta revine la a neglija efectele eforturilor ,x yM M şi tM faţă de , , ,x y xyN N N obţinându-se astfel starea de membrană.

164

165

3. PLĂCI CURBE DE ROTAŢIE ÎN STAREA DE MEMBRANĂ 3.1. ECUAŢII DE ECHILIBRU Plăcile curbe (învelişurile sau învelitorile) de rotaţie au suprafaţa mediană

generată de un segment de curbă plană, care se roteşte în jurul unei drepte (axa de rotaţie). Curba generatoare se numeşte meridian. Orice plan ce conţine axa de rotaţie se numeşte plan meridian. Un punct de pe planul meridian generează o curbă numită cerc paralel. Planele perpendiculare pe axa de rotaţie, conţinând cercuri paralele se numesc plane paralele.

Se admite că aceste plăci curbe au grosimea constantă sau variabilă continuu, nu au elemente de rigidizare, nu prezintă discontinuităţi în încărcare (ex.: forţe şi cupluri concentrate) şi, de asemenea, deplasările din punctele de rezemare nu sunt constrânse. În aceste condiţii, pentru calcul se poate folosi teoria fără momente. Starea de tensiune este de membrană, tensiunile fiind uniforme pe grosime. Suprafaţa mediană a plăcii curbe este tensionată chiar în cazul unor deplasări mici.

La o placă curbă de rotaţie (fig. 3.1 a,b), curba meridian este principală, iar raza de curbură într-un punct A, 1 1r O A este rază de curbură principală normală

Fig. 3.1. Placa curbă de rotaţie

maximă a suprafeţei în punctul considerat. Secţiunile conice normale la planele meridiane sunt, de asemenea, principale. Raza de curbură în acelaşi punct A,

166

2 2 ,r O A este minimă şi este determinată de segmentul de normală dintre suprafaţa mediană şi axa de rotaţie.

Într-un punct al suprafeţei, intensitatea acţiunii se descompune după direcţiile tangentelor la cercul paralel şi la curba meridian şi după direcţia normalei la suprafaţă, componentele corespunzătoare notându-se respectiv cu , ,x y zp p p (fig. 3.2 a).

Fig. 3.2. Elementul diferenţial de placă cu acţiuni şi eforturi

Elementul diferenţial de placă curbă se obţine prin secţionarea cu două plane meridian având unghiul dintre ele d şi respectiv două conuri cu unghiul d

167

între generatoare (fig. 3.2 a,b). Urma intersecţiei unui con cu suprafaţa mediană a plăcii curbe este un cerc paralel.

Elementul diferenţial de placă curbă are suprafaţa 1 ,d rd r d iar componentele încărcării rezultante ca forţe de suprafaţă sunt:

1 1 1, ,x y zp rd r d p rd r d p rd r d (3.1) Direcţiile x, y, z sunt ale sistemului de referinţă ataşat elementului

infinitezimal în centrul său şi indică, în ordine, direcţia tangentei la cercul paralel, a tangentei la meridian şi a normalei la suprafaţă.

Rezultantele eforturilor (fig. 3.2) pe faţa AB sunt ,N rd ,N rd iar pe faţa CD se consideră că la cele de pe AB se adaugă creşterile diferenţiale corespunzătoare modificării unghiului cu d

,N rd N rd d N rd N rd d

(3.2)

Rezultantele eforturilor pe faţa AC sunt 1 ,N r d 1 ,N r d iar pe faţa BD modificându-se cu d devin:

1 1 1 1,N r d N r d d N r d N r d d

(3.3)

La trecerea de la faţa AB la faţa CD, unghiul elementar d rămâne constant şi poate ieşi în afara operatorului de derivare în raport cu . La trecerea de la faţa AC la BD, unghiul d rămâne constant şi poate ieşi dintre parantezele asupra cărora acţionează operatorul de derivare în raport cu . Placa curbă aflându-se în echilibru şi elementul diferenţial detaşat se află în echilibru sub acţiunea forţelor de suprafaţă, de volum şi de pe contur. Practic forţele ce acţionează un element diferenţial de placă curbă nu dau momente în raport cu axele x şi y din planul tangent.Ecuaţia de momente în raport cu axa z, neglijând termenii infinitezimali de ordin superior, conduce la expresia: 1 1 0N rd r d N r d rd (3.4) care se reduce la egalitatea: N N (3.5) În continuare se scriu ecuaţiile de proiecţie pe axele x, y, z:

- proiecţii pe tangenta la cercul paralel (axa x)

1 1 1

1 1 0x

N r d N r d N r d d N rd N rd

N rd d N r d d p r d rd

(3.6)

168

Se reduc termenii asemenea, unghiurile infinitezimale d şi d se scot în afara parantezelor şi rezultă:

1 1 1 0xN r d d N r d d N r d d p r rd d

(3.7)

Din fig. 3.2 se obţine:

22

2 2

sintan , (cos )tan tan

rrdr d rd d d dr r

(3.8)

În ultima ecuaţie se înlocuieşte ,d se scoate în factor produsul d d care este nenul şi se obţine:

1 1 1cos 0xN r N r N r p r r

(3.9)

- proiecţii pe tangenta la meridian (axa y)

1 1

1 1 1cos 0y

N rd N rd N rd d N r d N r d

N r d d N r d d p rd r d

(3.10)

Termenul 1 cosN r d d se obţine după cum urmează: - se compun forţele 1N r d şi se obţine 1N r d d (fig. 3.3 a) care are

direcţie orizontală şi care se proiectează pe direcţia tangentei la meridian 1 cosN r d d (fig. 3.3 b). Se reduc termenii asemenea şi după ce se dă factor comun 0d d se obţine:

1 1 1cos 0yN r N r N r p rr

(3.11)

- proiecţii pe normala la suprafaţă (axa z):

1 1

sin sin2 2

sin 0z

d dN rd N rd N rd d

N r d d p r d rd

(3.12)

169

Fig. 3.3. Componente ale eforturilor după paralel şi după meridian

Primul şi al doilea termen al ecuaţiei rezultă din fig. 3.4, prin proiecţia

forţelor N rd şi N rd N rd

pe direcţia normalei la suprafaţă 1 .OO Termenul al treilea se poate obţine din fig. 3.3 b, proiectând 1N r d d pe direcţia normalei. Considerând sin / 2 / 2,d d neglijând infiniţii mici de ordin superior se obţine:

Fig. 3.4. Proiecţii ale eforturilor pe normala la suprafaţă 1 1sin 0zN rd d N r d d p r rd d (3.13) sau 1 1sin 0zN r N r p r r (3.14) Ecuaţiile (3.9), (3.11) şi (3.14) formează un sistem ale cărui soluţii permit să se determine eforturile de membrană, ,N N şi .N N Ecuaţiile de echilibru mai pot fi prelucrate astfel: primele două ecuaţii se

170

împart cu 1,r în ultima ecuaţie se înlocuieşte 2 sin ,r r se împarte la

1 2 sin , ( 0)r r , şi rezultă:

1

1

1 2

1 cos 0

1 cos 0

0

x

y

z

N rN N rpr

NrN N rp

rN N pr r

(3.15)

Se remarcă faptul că una dintre ecuaţii fiind algebrică, se poate elimina unul dintre eforturile N sau ,N rămânând de integrat un sistem de două ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale. Problema fiind static determinată, condiţiile de margine, care permit determinarea constantelor de integrare, se pun în eforturi. Starea de deformaţii, derivă din starea de eforturi şi poate fi uneori incompatibilă cu legăturile sau pot să apară incompatibilităţi de natură statică. Acestea sunt consecinţe ale ipotezelor admise.

3.2. CAZURI PARTICULARE DE PLĂCI CURBE DE ROŢATIE 3.2.1. Plăci curbe sferice La suprafeţele sferice cele două raze principale de curbură sunt egale

1 2 .,r r R const iar raza unui cerc paralel este sin .r R Ecuaţiile (3.15) devin:

sin 2 cos sin 0

sin cos sin 0

0

x

y

z

NN N p R

N NN N p R

N N p R

(3.16)

3.2.2. Plăci curbe conice La suprafeţele conice raza de curbură a generatoarei (meridianului) este

infinită 1 ,r iar unghiul pentru orice punct de pe suprafaţă este constant. Adesea, în locul variabilei se utilizează distanţa y în lungul generatoarei,

171

măsurată de la vârful conului, şi unghiul , dintre generatoare şi axa de rotaţie, complementar unghiului (fig. 3.5 a).

Fig. 3.5. a) Variabila y la suprafaţa conică; b) Variabila s1 pe curba meridian

Mai întâi se introduce variabila 1s (arcul măsurat pe curba meridian (fig. 3.5 b)) în locul variabilei . Întrucât 1 1ds r d urmează că:

11

rs

(3.17)

Efectuând această schimbare de variabile ecuaţiile (3.15) devin:

1 1

cos 0x

NN r N r N rps s

1 1

cos 0y

N Nr N r N rps s

(3.18)

1 2

0z

N N pr r

În cazul suprafeţelor conice 1 ,s y sin ,r y cos sin ,

1/ / sin ,r s r y 2 tanr y şi 1/ 0N r obţinându-se:

sin 2 sin sin 0x

NN y N p yy

172

sin sin sin 0y

N Ny N N p y

y

(3.19)

tan 0zN p y 3.3. PLĂCI CURBE DE ROTAŢIE AXIAL SIMETRICE ÎN TEORIA DE MEMBRANĂ 3.3.1. Calculul eforturilor Se consideră plăci curbe de rotaţie având geometria, proprietăţile

materialelor constitutive, rezemarea şi încărcarea simetrice faţă de axa de rotaţie (simetrie totală); simetria încărcării implică 0xp şi independenţa de unghiul a intensităţilor încărcării yp şi .zp De asemenea, datorită simetriei totale, eforturile normale N şi N nu depind de unghiul , iar efortul tangenţial 0N N , întrucât în oricare punct al învelişului direcţiile tangente la paralel şi meridian sunt principale. În consecinţă, prima ecuaţie din sistemul (3.15) este identic nulă, iar următoarele două devin:

1

1 2

1 cos 0

0

y

z

rN N rprN N pr r

(3.20)

Din a doua ecuaţie se scoate N şi se introduce în prima şi, după unele calcule, se obţine:

1sin cos sin cos 0y zrN rN rr p p

(3.21)

Primii doi termeni se pot exprima sub forma:

sinN r

(3.22)

iar sin cosy zp p q reprezintă proiecţia intensităţii încărcării pe direcţia axei de rotaţie (fig. 3.6 a).

Prin urmare se ajunge la ecuaţia:

1sind N r r rqd

(3.23)

173

Fig. 3.6. a) Componentele încărcării; b) Cupolă de rotaţie deschisă

Se integrează această ecuaţie diferenţială, considerând o cupolă deschisă (fig. 3.6 b):

01sinN r r rqd C

(3.24)

Constanta C se poate exprima în raport cu efortul 0

N de pe cercul paralel superior, la deschidere, de rază 0r respectiv, 0.

0 0 0sinC N r (3.25) Înlocuind în relaţia (3.24) se obţine:

00

0 0 1sin sinN r N r r rqd

(3.26)

Efortul ,N astfel calculate, se introduce în a doua ecuaţie din (3.20), după care se determină N

22

1z

rN N r pr (3.27)

În cazul cupolei sferice 1 2r r R , rezultă: zN N Rp (3.28) Dacă se utilizează o condiţie de echilibru global pentru partea de cupolă situată deasupra cercului paralel determinat de unghiul , exprimată prin proiecţia forţelor pe axa de rotaţie, rezultă: 2 sin 0rN R (3.29) sau

174

2 sin

RN

r

(3.30)

unde R este rezultanta încărcărilor gravitaţionale aferente; indicele arată că suportul rezultantei încărcărilor se află pe dreapta de rotaţie, iar indicele , arată că această rezultantă depinde de unghiul , deci de poziţia cercului paralel. În

,R în cazul plăcilor curbe deschise, se includ şi eforturile 0,N având rezultanta

00 02 sinr N şi, din comparaţia cu relaţia (3.26), se obţine:

0

00 1/ 2 sinR N r r rqd

(3.31)

În cazul unor încărcări particulare frecvent întâlnite (greutatea proprie, încărcarea din zăpadă, constantă în plan orizontal, presiunea hidrostatică), R se determină după cum urmează: ) Greutate proprie. Rezultanta R se determină cu relaţia: R gS (3.32) unde S este suprafaţa mediană a plăcii curbe delimitată de conul cu unghiul la vârf şi se calculează prin integrare

2 2

0 0S EG F d d

(3.33)

La plăci curbe deschise se obţine: 0

R g S S (3.34)

unde 0

0

2 22 2

0 0 0 0S S EG F d d EG F d d

(3.35)

) Încărcarea cu zăpadă având intensitatea q în plan orizontal. Rezultanta R are expresia:

2R r q (3.36) Dacă plăcile curbe sunt deschise rezultă:

2 20R r r q (3.37)

Componentele intensităţii încărcării, yp şi zp , depind de asemenea de tipul acţiunii distribuite. ) Greutate proprie. Se proiectează greutatea pe unitatea de suprafaţă, g, pe tangenta şi pe normala la meridian (fig. 3.7)

175

sin

cosy

z

p gp g

(3.38)

Intensitatea greutăţii proprii este dată de componenta 1g din greutatea plăcii şi componenta 2g dată de termoizolaţie, hidroizolaţie, stratul de protecţie etc., care se pot determina cunoscând greutăţile specifice şi grosimea fiecărui strat,

Fig. 3.7. Componentele acţiunii din greutatea proprie 1 2, j j

jg h g h (3.39)

Intensitatea g rezultă prin sumare 1 2.g g g ) Încărcarea din zăpadă de intensitate constantă în plan orizontal.

O unitate din suprafaţa mediană se proiectează în plan orizontal având mărimea 1 cos (fig. 3.8), iar pe unitatea de suprafaţă înclinată încărcarea va fi cosq şi componentele ,y zp p rezultă:

2

cos sin

cosy

z

p q

p q

(3.40)

Fig. 3.8. Componentele încărcării din zăpadă

) Presiune hidrostatică. Adâncimea H , măsurată de la suprafaţa lichidului până în punctul de pe suprafaţa plăcii curbe în care se determină zp , depinde de unghiul , şi anume:

0H H H (3.41) Fig. 3.9. Acţiunea presiunii hidrostatice

unde H se determină în raport cu coordonatele punctului de pe suprafaţa mediană

176

(fig. 3.9). Presiunea hidrostatică este normală la suprafaţă, deci: zp H (3.42) unde este greutatea specifică a lichidului.

3.3.2. Deformaţii de membrană ale plăcilor curbe de rotaţie axial simetrice Deplasările u după tangenta la cercul paralel sunt nule datorită simetriei faţă

de dreapta . Deplasările v după tangenta la curba meridian şi w după normala la suprafaţă depind numai de unghiul .

Elementul de arc AB de pe curba meridian, având măsura 1 ,ds r d după deformarea plăcii curbe ajunge în noua poziţie A B (fig. 3.10), având măsura

*1

vds r w d v d v

(3.43)

Deformaţia specifică a arcului de meridian este:

*

1 1

1

A B AB ds dsAB ds

dvr w d v d v r dd

r d

1 1

1 dv wr d r

(3.44)

Deformaţia specifică după cercul paralel rezultă:

Fig. 3.10. Deplasările elementului de arc

2 2

2 sin cos 2cos sin cot

2r w v r v w v w

r r r r r

(3.45)

Prin urmare aspectul geometric este dat de relaţiile:

1 1 2 2

1 ; cotdv w v wa br d r r r

(3.46)

Ecuaţiile fizice pentru plăcile curbe de rotaţie axial simetrice se pot exprima în raport cu deplasările. Se foloseşte legea lui Hooke, forma directă, în care se

177

înlocuiesc tensiunile în funcţie de eforturi ( / ,N h /N h )

1 1

1 1

N NE Eh

N NE Eh

(3.47)

Din relaţiile precedente se exprimă eforturile în raport cu deformaţiile specifice, respectiv cu deplasările:

2 21 1 2 2

2 22 2 1

1 cot1 1

cot1 1

Eh Eh dv w v wNr d r r r

Eh Eh v w dvN wr r r d

(3.48)

3.3.3. Calculul deplasărilor pentru plăcile curbe de rotaţie axial simetrice Din ecuaţiile geometrice (3.46) se elimină deplasarea w şi înlocuind ,

din (3.47) se obţine:

1 2 1 2 2 11cotdv v r r N r r N r r

d Eh

(3.49)

sau

cotdv v fd

(3.50)

Se face notaţia:

1 2 2 11f N r r N r r

Eh (3.51)

Pentru cupole sferice 1 2r r R şi f devine:

1Rf N N

Eh

(3.52)

Înmulţind ambii membri ai ecuaţiei (3.50) cu 1/ sin 0 , aceasta se poate pune sub forma:

2 2

1 cossin sin sin sin

fdv d vvd d

(3.53)

Integrând această ecuaţie diferenţială rezultă:

178

sin sinfv d C

(3.54)

Cu ajutorul condiţiilor de rezemare pe cercul paralel de bază se determină constanta de integrare C. În cazul realizării unei rezemări cu penduli după tangente la curba meridian, se poate aprecia că pentru valoarea maximă a unghiului , deplasarea v este nulă, 0m v (3.55) Dacă cupola eate prevăzută cu inel de rezemare la bază, se poate introduce condiţia de deplasare nulă în direcţia axei de rotaţie. În mod frecvent această deplasare v este verticală şi se obţine din proiecţiile componentelor v şi w: sin cosv v w (3.56)

Prin urmare condiţia se scrie: sin cos 0m v m mv w (3.57)

Inelul de rezemare limitează componenta deplasării H din planul său, care are expresia: 2cos sin sinH v w r r (3.58)

În continuare se determină w din ecuaţia (3.46 a):

11

rdv dvw r N Nd d Eh

(3.59)

Deplasarea w dedusă cu (3.59), trebuie să îndeplinească şi condiţia:

22cot cot rw v r v N N

Eh (3.60)

care poate fi folosită pentru verificare. Dacă w se determină cu (3.60), atunci (3.59) se poate utiliza pentru verificare. Deplasarea w astfel determinată, adesea nu corespunde cu cea reală, dar abaterile ca valoare, numai uneori sunt mari.

Prin deformarea plăcii, tangenta la curba meridian se roteşte. Această rotire, , este pozitivă în sensul crescător al unghiului şi are expresia:

1

1 dw vr d

(3.61)

Deplasările în starea de membrană sunt îndeosebi utile în analiza efectelor de încovoiere.

179

3.3.4. Aplicaţii la cupole sferice 1 . Cupola sferică acţionată de greutatea proprie (fig. 3.11). Componentele intensităţii acţiunii sunt date de relaţiile (3.38).

Fig. 3.11. Cupola sferică acţionată de greutatea proprie – geometrie şi eforturi

Se determină ,R gS unde g este greutatea proprie pe unitatea de suprafaţă şi S suprafaţa calotei sferice corespunzătoare unghiului , care se poate determina cu relaţia:

2 2 sinS EG F d d a d d (3.62) unde a = R, sau

2 22 2 2

0 0 0 0sin sin 2 1 cosS R d d R d d R

(3.63)

2S Rf (3.64) Coordonatele curbilinii şi în notaţiile adoptate sunt şi respectiv , iar 1 cosf R (fig. 3.11). Efortul N se determină cu expresia:

2

2 2

2 1 cos2 sin 2 sin 2 sin

R R R gN

r R R

(3.65)

care, după unele transformări şi simplificări, devine

1 cosgRN

(3.66)

Pentru 0 rezultă / 2N gR şi pentru ,m .1 cos m

gRN

În

cazul cupolei emisferice / 2m se obţine .N gR Din relaţia zN N Rp se determină efortul după tangenta la cercul

180

paralel: 21 cos cos

cos1 cos 1 cos

gRgRN gR

(3.67)

Efortul N este negativ la cheie, având valoarea gR/2 şi este crescător, anulându-se pentru ' "51 4938 , după care devine pozitiv, producând întindere.

În cazul cupolei emisferice, .2

N gR

Modul de variaţie al eforturilor N şi N este arătat în fig. 3.11. În continuare se determină deplasările. Eforturile N din (3.66) şi N din

(3.67) se introduc în (3.52) şi se obţine:

2 2cos cos 21

1 cosgRfEh

(3.68)

Se introduce f în (3.54) şi se integrează:

2 1 1ln 1 cos

sin 1 cosgRv C

Eh

(3.69)

Din condiţia de rezemare pentru 0,m v rezultă valoarea constantei C,

2 1 1ln 1 cos

1 cosmm

gRC

Eh

(3.70)

Cu ajutorul ecuaţiei (3.59), în care 1r R şi înlocuind în funcţie de N şi N se poate determina deplasarea w,

dv Rw N Nd Eh

(3.71)

Din ecuaţia (3.69), prin derivare, rezultă ,dvd

care se introduce în relaţia

(3.71) şi, de asemenea, în aceeaşi relaţie se înlocuiesc N din (3.66) şi N din (3.67), obţinându-se:

2

1 cos ln 1 cos cos 1 cosgRw CEh

(3.72)

Pentru rotirea tangentei la curba meridian se foloseşte ecuaţia (3.61)

181

1 2 sindw gRvR d Eh

(3.73)

În fig. 3.12 sunt reprezentate diagramele de variaţie ale deplasărilor v, w, şi pe meridian la o cupolă emisferică.

Se poate calcula şi deplasarea orizontală :H

Fig. 3.12. Variaţia deplasărilor pe meridian la o cupolă emisferică

2 1sin cos1 cosH

gREh

(3.74)

2 . Cupola sferică acţionată de încărcarea cu zăpadă (fig. 3.13). Componentele intensităţii acţiunii sunt date de relaţiile (3.40).

Fig. 3.13. Cupola sferică acţionată de încărcarea cu zăpadă – geometrie şi eforturi

Se determină R corespunzător unghiului cu relaţia (3.36) 2R q r (3.75)

Cu relaţia (3.30) se calculează efortul meridian :N 2

2 sin 2 sin 2sin 2R q r qr qRNr r

(3.76)

În continuare se determină efortul paralel ,N

182

2cos cos 22 2z

qR qRN N Rp qR (3.77)

Efortul N se anulează la 4 rezultând: pentru 0, / 4 , 0N

(compresiune), pentru / 4, / 2 , 0N (întindere). În figura 3.13 sunt date diagramele de variaţie ale eforturilor N şi .N

Pentru calculul deplasărilor se determină ,f

2

2(1 )1 sinR qRf N NEh Eh

(3.78)

Se introduce f din (3.78) în expresia (3.54), se integrează şi se obţine:

2 1sin cos sin

qRv C

Eh

(3.79)

Constanta C se determină din condiţii de rezemare; în particular, pentru 0m v şi rezultă:

2 1cos m

qRC

Eh

(3.80)

Dacă se introduce constanta C din (3.80) în expresia deplasării v, (3.79), aceasta ia forma:

2 1sin cos cos m

qRv

Eh

(3.81)

Folosind relaţia (3.59), în care se introduc dvd

obţinută din (3.79) şi

eforturile ,N N determinate cu (3.76) şi (3.77) rezultă deplasarea w,

2

1 2 cos 2 cos2qRw CEh

(3.82)

Cu ajutorul relaţiei (3.61) se determină rotirea tangentei la cercul meridian

31 sin 22

qRdw vR d Eh

(3.83)

Deplasarea radială, ,H determinată cu relaţia (3.58), are expresia:

2

cos 2 sin2HqREh

(3.84)

Valorile deplasărilor depind de m prin intermediul constantei C.

183

3 . Cupolă sferică deschisă încărcată pe conturul superior (fig. 3.14). O astfel de cupolă se obţine înlăturând o calotă superioară de rază 0 ,r respectiv având unghiul meridian 0 , golul fiind destinat realizării unui luminator sau sistem de ventilare, capac în care se montează conducte la acoperişuri pentru rezervoare etc.

Acţiunea transmisă este uniform distribuită pe conturul golului având intensitatea P (fig. 3.14). Considerând numai această încărcare rezultă:

0

0 )

2 )x y zp p p a

R r P b

(3.85)

Pentru acest tip de încărcare R are valoarea constantă. Folosind relaţiile generale (3.30) şi (3.28), se determină expresiile eforturilor N şi :N

Fig. 3.14. Cupolă sferică deschisă încărcată pe conturul exterior

0 0 02

02

sin sin )2 sin sin sin sin sin

sin )sinz

R r P R PPN ar r R

PN N Rp N b

(3.86)

Introducând N şi N în expresia (3.52) se obţine ,f

02

2 1 sinsin

P Rf

Eh

(3.87)

Se introduce f în (3.54) şi după integrare rezultă:

02

(1 )sin cos ln tansin sin 2

P Rv CEh

(3.88)

Pentru 0,m v condiţie din care se obţine constanta C,

02

1 sin cos ln tansin 2

m m

m

P RC

Eh

(3.89)

Deplasarea w se determină cu relaţia (3.59) sau (3.60),

184

01 sin

1 cos ln tan cos2

P Rw C

Eh

(3.90)

Folosind relaţia (3.61) rezultă, în cazul realizării ideale a stării de membrană, că rotirea tangentei la curba meridian este nulă. În realitate există perturbări marginale. În orice punct al cupolei tensiunile , deci starea de tensiune este de întindere după tangenta la cercul paralel şi compresiune egală după tangenta la meridian. Această stare este echivalentă cu forfecare pură, adică pe direcţiile care bisectează unghiurile dintre paralel şi meridian apar numai tensiuni tangenţiale,

02

sinsin

Ph

(3.91)

În particular pentru cos 0, ln tan 0 ,2 2 4m

rezultă C = 0.

Interesează adesea deplasările la margini, care sunt utilizate şi în calculul la încovoiere al plăcilor curbe.

3.3.5. Aplicaţii la cupole conice Se analizează plăcile curbe conice de rotaţie, care constituie un caz

particular al plăcilor conice, curba directoare fiind cerc şi totodată un caz particular al plăcilor de rotaţie, curba meridian fiind un segment de dreaptă (generatoarea suprafeţei). Suprafeţele conice sunt cu simplă curbură (fig. 3.15 a), având:

1 2cos, cot tan

sin sinr yr r y y

(3.92)

Un element diferenţial din suprafaţa mediană se obţine prin intersecţia a două generatoare şi două secţiuni cu plane normale la axa de rotaţie, care interesectate cu suprafaţa mediană dau două cercuri paralele (fig. 3.15 b).

La încărcare axial simetrică eforturile în starea de membrană sunt: ,yN N h N h (3.93)

185

a) b) Fig. 3.15. a) Geometria suprafeţei conice; b) Element diferenţial de suprafaţă şi eforturi

Pentru determinarea efortului N se utilizează relaţia (3.30), în care R se

notează rR sau yR întrucât .const şi rezultanta încărcărilor depinde de r respectiv 2r sau y, deci:

2 sin 2 sin cos sin 2y yr R RRN

r y y (3.94)

în care s-au făcut înlocuirile

sin cos , sin2

r y

(3.95)

Din ecuaţia (3.27), respectiv din sistemul (3.19) se obţine :N

2 tanz zN p r p y (3.96) Componentele intensităţii acţiunii distribuite sunt similare celor determinate

în paragraful 3.3.1: - greutatea proprie de intensitate g

0, sin cos , cos sin ;x y zp p g g p g g (3.97) - încărcarea cu zăpadă de intensitate q

2 20, sin cos cos sin , cos sin ;x y zp p q q p q q (3.98) - presiunea hidrostatică

0, 0,x y z yp p p H . (3.99) Ecuaţiile geometrice rezultă din (3.46), în care 1 ,r 1 ,r d dy iar se

186

poate nota şi :y

2

1; cotdv v wdy r (3.100)

Ecuaţia (3.49), după împărţirea cu 1r şi trecerea la limită, devine:

1( )dv f y N Ndy Eh (3.101)

Prin integrare în raport cu y se obţine deplasarea v,

1( )v f y dy C N N dy CEh (3.102)

Cu ajutorul relaţiei (3.60) în care se înlocuieşte cot tan , se poate determina deplasarea w:

2tan rw v N NEh (3.103)

Din expresia (3.61), în care se înlocuieşte 1r d dy şi se trece la limită

1( )r , rezultă rotirea ,

dwdy

(3.104)

Pentru diferite acţiuni se pot determina eforturile şi deplasările.

1 . Cupolă conică închisă acţionată de greutatea proprie Se consideră o cupolă conică simplu rezemată în lungul generatoarelor (fig. 3.16), acţionată de greutatea proprie.

Se determină :yR 2 sinyR ryg gy (3.105)

Cu relaţia (3.94) se determină N 2 sin

2sin cos 2cosgy gyN

y

(3.106) Din relaţia (3.96), înlocuind

cos sinzp g g , rezultă ,N

Fig. 3.16. Cupolă conică închisă acţionată de g

2sintan

coszN p y gy

(3.107)

187

Eforturile N şi N sunt negative (de compresiune), variază liniar în lungul generatoarei, având valori nule în vârf; iar în reazem au următoarele expresii:

2sin,

2cos cosgl glN l N l

(3.108)

În continuare se determină deplasările. Se calculează f(y),

21 1 sincos 2gyf y N N

Eh Eh

(3.109)

Prin integrare în raport cu y se obţine v,

2

21 sin2 cos 2

gyv f y dy C CEh

(3.110)

Constanta C rezultă din condiţia ( ) 0v l , care conduce la:

2

21 sin2 cos 2

glCEh

(3.111)

Expresia deplasării v devine:

2 2 21 sin2 cos 2

gv y lEh

(3.112)

Cu relaţia (3.103) se deduce deplasarea w

2 2 2 21 12 sin tan sin tan2 cos 2 2

gw y lEh

(3.113)

În continuare, ţinând cont de (3.104), rezultă rotirea

21 2 sin tancos 2gy

Eh

(3.114)

2 . Cupolă conică deschisă încărcată uniform pe marginea superioară Astfel de cupole se întâlnesc la acoperişuri având luminator, sisteme de ventilare, goluri tehnologice etc. Se admite că pe marginea inferioară, placa conică este simplu rezemată în direcţia generatoarei (fig. 3.17). Se determină yR

02yR r P (3.115) Folosind expresia (3.94) se obţine ,N

0 02 2Prsin 2 sin 2

r PNy y

(3.116)

Întrucât 0zp rezultă 0.N

188

Funcţia f(y) va avea forma:

02Pr1 1sin 2

f yEh y

(3.117)

Integrând f(y) în raport cu y se obţine v,

02Pr lnsin 2

v y CEh

(3.118)

Din condiţia 0v y L , rezultă constanta C,

Fig. 3.17. Cupolă conică deschisă încărcată uniform pe marginea superioară

02Pr lnsin 2

LCEh

(3.119)

În final, deplasarea v se poate scrie

02Pr lnsin 2

LvEh y

(3.120)

Folosind relaţia (3.103) se calculează deplasarea w,

2

0 02

tan tan

2Pr Prln tan lnsin 2 cos

Nrw v N vEh Eh

L LEh y Eh y

(3.121)

Deplasarea w se anulează pentru ln /L y . Rotirea generatoarei conului, , rezultă:

02

Prcos

dw ydy Eh L

(3.122)

3.4. PLĂCI CURBE DE ROTAŢIE ÎNCĂRCATE NESIMETRIC 3.4.1. Cupolă sferică acţionată de vânt Se consideră că presiunea vântului se exercită normal pe suprafaţa mediană.

Unghiul se măsoară de la direcţia de acţiune a vântului. Componentele intensităţii acţiunii sunt:

189

0, 0, sin cosx y zp p p p (3.123) Încărcarea este simetrică faţă de planul 0 şi antisimetrică în raport cu planul

/ 2. Distribuţiile de presiuni din vânt sunt date în fig. 3.18, şi anume, în fig. 3.18 a, după curba meridian şi în fig. 3.18 b pe un cerc paralel. Pe o jumătate din suprafaţa cupolei forţele sunt de presiune, iar pe cealaltă jumătate de sucţiune.

Fig. 3.18. Distribuţiile de presiuni din vânt: a) după curba meridian; b) după cercul paralel

Din condiţiile de echilibru (3.16) se elimină N şi se obţin următoarele două ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale:

sin 2 cos sin cos cos 0

sin 2 cos sin sin 0

N NN pR

N NN pR

(3.124)

Legea de distribuţie a acţiunii sugerează modul de variaţie a eforturilor. Pentru eforturile N şi N se admit, pe un cerc paralel, variaţii în cos , iar pentru eforturile de lunecare în sin ,

cos , cos , sinN n N n N n (3.125) Se înlocuiesc expresiile eforturilor din (3.125) în ecuaţiile (3.124), se dă factorul comun cos în prima şi sin în a doua ecuaţie, care sunt diferite de zero şi rezultă, între paranteze, ca sume nule două ecuaţii diferenţiale ordinare de variabilă ,

190

sin 2 cos sin cos 0

sin 2 cos sin 0

dnn n pR

ddn

n n pRd

(3.126)

Adunând şi scăzând ecuaţiile obţinute, se obţine un nou sistem echivalent, funcţiile necunoscute fiind n n şi ,n n

sin 1 2cos sin 1 cos

sin 1 2cos sin 1 cos

d n n n n pRdd n n n n pR

d

(3.127)

Aceste ecuaţii, cu necunoscutele suma şi respectiv diferenţa funcţiilor n şi n sunt decuplate şi au forma generală

dN a N Ld

(3.128)

unde , 1 2cos , sin 1 cosN n n a L pR (3.129)

Soluţia ecuaţiei (3.128) este de forma:

a d a dN e C L e d

(3.130)

Efectuând operaţiile specificate de (3.130) rezultă:

313

323

1 cos 1cos cossin 3

1 cos 1cos cossin 3

n n C pR

n n C pR

(3.131)

Prin adunarea şi scăderea relaţiilor (3.131) şi renotând constantele de integrare

1 2 1 2', "C C C C C C (3.132) se obţine:

2 43 3

33 3

1 1' "cos cos cos2sin sin 3

1 1" 'cos cos cos2sin sin 3

pRn C C

pRn C C

(3.133)

191

Introducând n şi n în prima şi a treia expresie din (3.125) se obţin N şi ,N iar ultima ecuaţie din (3.16) permite să se determine ,N

2 43 3

2 4 43 3

33 3

cos cos 1' "cos cos cos2sin sin 3

cos cos 1' "cos cos cos sinsin sin 3sin sin 1" 'cos cos cos

2sin sin 3

pRN C C

pRN C C

pRN C C

(3.134)

În continuare se consideră o cupolă având deschiderea la cheie dată de 0 şi rezemarea la partea inferioară pe un cerc paralel definit de unghiul ,r în plane tangente la curbele meridiane. La partea superioară nu există eforturi, deci pentru

0 0, 0N N (3.135) Din aceste condiţii rezultă:

20 0

1' 0, " 2 cos 1 cos3

C C pR

(3.136)

Înlocuind C şi C în (3.134) se obţin expresiile finale ale eforturilor:

3 30 03

3 2 40 03

3 30 03

cos cos 1cos cos cos cossin 3

cos cos 3cos cos 3sin 2cos3sin

sin 1cos cos cos cossin 3

N pR

pRN

N pR

(3.137)

Pentru cupola plină în relaţiile (3.137) se face 0 0 şi se obţine:

33

2 43

33

cos cos 2 3cos cos3sin

cos 2cos 3sin 2cos3sin

sin 2 3cos cos3sin

N pR

pRN

pRN

(3.138)

Relaţiile (3.138) dau valori nedeterminate pentru 0 (la creştetul cupolei). Înlăturând nedeterminarea, rezultă valori nule.

192

3.4.2. Cupolă conică acţionată de vânt Presiunea vântului se exercită normal pe suprafaţă şi componentele acţiunii

după meridian şi după tangenta la paralel sunt nule ( 0,xp 0yp ). Unghiul se măsoară de la direcţia de acţiune a vântului şi componenta normală este:

sin cos cos coszp p p (3.139) Se folosesc ecuaţiile (3.19), în care se introduc 0,xp 0,yp iar zp se

înlocuieşte cu expresia (3.139), apoi se elimină N şi se obţine: 1 sin cos 0

sin

2 sin 0

N N Np

y y yN N

py y

(3.140)

Pentru N şi N se admit expresii sub forma unor produse de funcţii de variabila şi respectiv . Legile de variaţie sunt similare cu cele ale acţiunii şi, în raport cu termenii liberi ai ecuaţiilor (3.140) se iau de forma: cos , sinN n N n (3.141)

Aceste expresii se introduc în ecuaţiile (3.140) şi după simplificări rezultă:

sin 0

sin2

0

dn n np

dy y ydn n

pdy y

(3.142)

A doua ecuaţie diferenţială, cu o singură funcţie necunoscută, n , are următoarea soluţie:

12 3

C pn yy (3.143)

Se înlocuieşte n din (3.143) în prima ecuaţie din (3.142), care devine:

13

1 1 0sin sin 3 sin

dn n C pdy y y

(3.144)

Integrând această ecuaţie diferenţială se obţine: 1 2

21 1

2sin 3 sin sinC Cpn y

y y

(3.145)

Se consideră în continuare cupola conică deschisă la partea superioară, cu

193

conturul liber şi lipsit de acţiuni (fig. 3.19), pentru care rezultă condiţiile: 0 0, 0, 0r r y y N N (3.146) şi constantele de integrare 1C şi 2 ,C

3 3 20 0

1 2cos,

3 2siny pyC p C

(3.147)

Având constantele de integrare determinate, se introduc în (3.143) şi (3.145). În continuare, rezultă eforturile , , ,N N N

3 3

2 200

cos 2 36 sin

y ypN y yy y

sin cosN py (3.148)

3 30

2 sin3

p y yN

y

Fig. 3.19. Cupola conică deschisă

În cazul cupolei conice pline 0 0y , expresiile eforturilor devin:

22 3cos cos6sin

sin cos

sin3

pyN

N pyyN p

(3.149)

La cupola plină, eforturile variază liniar în lungul generatoarei.

194

195

4. PLĂCI CURBE CILINDRICE 4.1. GENERALITĂŢI Plăcile curbe cilindrice se întâlnesc la acoperişuri pentru construcţii

industriale, rezervoare, castele de apă, castele de echilibru în sistemele hidrotehnice, baraje cilindrice, decantoare radiale, gazometre, conducte, diferiţi recipienţi industriali etc.

Plăcile curbe cilindrice fac parte din clasa suprafeţelor care au curbură Gauss nulă. La aceste plăci este indicat să se folosească coordonatele cilindrice. În planul normal la axa cilindrului coordonatele sunt r şi , iar pe direcţia generatoarei este coordonata x. Un element diferenţial de arc se scrie .ds rd

Un element diferenţial de placă din suprafaţa mediană se obţine cu două generatoare situate la distanţa ds, măsurată pe arc şi două curbe directoare situate la distanţa dx măsurată pe generatoare (fig. 4.1).

Fig. 4.1. a) Element diferenţial de placă cilindrică; b) Tensiuni de membrană

Tensiunile corespunzătoare stării de membrană sunt arătate în fig. 4.1 b. Acestea, sumate pe grosimea plăcii şi pe unitatea de lungime de arc, respectiv de generatoare, dau eforturile ,xN N şi x xN N

, , ,x x x x x xN h N h N h N h (4.1)

196

4.2. ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ECHILIBRU Din placa curbă aflată în echilibru se detaşează un element diferenţial

încărcat cu forţele de suprafaţă aferente având intensităţile xp după generatoare,

yp în direcţia tangentei şi respectiv zp după normala la curba directoare. Acest element este acţionat pe contur de forţele de interacţiune cu placa, având ca intensităţi eforturile , , ,x x xN N N N şi respectiv creşterile lor (fig. 4.2). Atât forţele de suprafaţă cât şi cele de pe contur s-au luat pozitive, creşterile fiind în sensul pozitiv al axelor.

Elementul diferenţial generic considerat se află în echilibru. Dintre cele şase ecuaţii de echilibru, două, anume ecuaţiile de momente în raport cu axele x şi y sunt identic satisfăcute, deoarece forţele sunt paralele sau întâlnesc axele respective. Ecuaţia de moment în raport cu axa z, neglijând infiniţii mici de ordin superior este:

Fig. 4.2. Eforturi pe feţele elementului diferenţial

0x xN rd dx N dxrd (4.2) şi conduce la egalitatea .x xN N Ecuaţiile de proiecţii pe axele sistemului de referinţă considerat sunt:

- proiecţii pe axa x

0xxx x x x x

NNN rd N dx rd N dx N d dx p dxrdx d

(4.3)

- proiecţii pe axa y

0xx x y

N NN dx N d dx N rd N dx rd p rd dx

dx

(4.4)

- proiecţii pe axa z

02 2 z

Nd dN dx N d dx p rd dx

(4.5)

197

În ecuaţia a doua la primii doi termeni s-a considerat cos 1,2

d iar în

ecuaţia a treia, de asemenea la primii doi termeni s-a luat sin .2 2

d d

După reduceri, neglijând infiniţii mici de ordin superior şi dând factor 0dxd , ecuaţiile de proiecţie devin:

1 0

1 0

0

xxx

xy

z

NN px r

N Np

x rN

pr

(4.6)

S-a obţinut un sistem de trei ecuaţii cu trei funcţii necunoscute , , .x x xN N N N

Ultima ecuaţie din (4.6) este o ecuaţie algebrică şi arată că N se poate determina direct, depinzând de componenta zp a încărcării şi de raza de curbură, zN rp (4.7) Eforturile xN şi xN se obţin prin integrări succesive ale celorlalte două ecuaţii din sistemul (4.6):

1

2

1 ( ) )

1 ( ) )

x y

xx x

NN dx p dx f a

rN

N dx p dx f br

(4.8)

Funcţiile 1( )f şi 2 ( )f se pot determina din condiţii la limită. În cazul în care aceste condiţii permit determinarea în mod univoc a funcţiilor 1( )f şi 2 ( )f , placa curbă este static determinată exterior. În unele situaţii, pentru determinarea funcţiilor 1( )f şi 2 ( )f sunt necesare şi condiţii de deformaţii, învelitoarea fiind static nedeterminată exterior.

198

4.3. ECUAŢIILE GEOMETRICE ŞI FIZICE ALE PLĂCILOR CURBE CILINDRICE ÎN STAREA DE MEMBRANĂ Un element diferenţial ABCD, după deformarea plăcii curbe ajunge în

poziţia A′B′C′D′ (fig. 4.3).

Fig. 4.3. Element diferenţial ABCD înainte şi după deformare

Din analiza geometrică a deformaţiilor rezultă: - deformaţia specifică în lungul generatoarei, ,x

' ' ' "x

udx u dx u dxA C AC A C AC uxAC AC dx x

(4.9)

- deformaţia specifică în lungul curbei directoare, ,

' ' 1v w

vr w d v d v rdA B AB w v

AB rd r r

(4.10)

- lunecarea specifică în suprafaţa mediană, ,x 1 1 1' "x

u v u vd dxrd x dx r x

(4.11)

Deci, ecuaţiile geometrice ale plăcilor curbe cilindrice în starea de membrană sunt:

1 1, ,x xu w v u vx r r r x

(4.12)

Ecuaţiile fizice rezultă din legea lui Hooke pentru problema plană 0 ,z

199

în care se înlocuiesc: / , / , /x x x xN h N h N h (4.13)

obţinându-se

2 11 1, ,x x x x xN N N N NEh Eh Eh

(4.14)

Din ecuaţiile geometrice, prin integrare, se obţin deplasările; astfel, din prima ecuaţie se deduce u, din a treia v şi apoi din a doua w,

1 21( ), ,x x

u vu dx v dx dx w rr

(4.15)

Se introduc deformaţiile specifice din (4.14) şi se obţine:

1 2

2 11 1,x x

x

uu N N dx v N dx dxEh Eh rv rw N N

Eh

(4.16)

Se menţionează, fără a efectua o analiză în acest sens, că numărul condiţiilor la limită fiind în exces, apar incompatibilităţi între deplasările w calculate şi cele reale. De asemenea, pot să apară nepotriviri între calcul şi realitate în starea de eforturi de pe marginile situate pe generatoare. 4.4. APLICAŢII 4.4.1. Învelitoare cilindrică rezemată pe timpane Se consideră o învelitoare sub forma unei plăci curbe cilindrice, curba directoare fiind cerc, generatoarele orizontale, iar rezemarea la capete pe două timpane rigide în planul lor şi de rigiditate neglijabilă în sens transversal. Distanţa dintre timpane este L, iar raza curbei directoare r. Ca încărcare se consideră, succesiv, greutatea proprie, zăpada şi presiunea vântului.

a. Eforturi din greutatea proprie Fie g greutatea plăcii pe unitatea de suprafaţă mediană. Proiecţiile

intensităţii acţiunii au expresiile (fig. 4.4): 0, sin , cosx y zp p g p g (4.17) Folosind ecuaţiile diferenţiale de echilibru se deduc eforturile. Din ecuaţia (4.7) rezultă efortul N coszN rp gr (4.18)

200

Fig. 4.4. Componentele intensităţii acţiunii din greutatea proprie

Din ecuaţiile (4.8) se obţin eforturile , ,x xN N

1

1

1 sin sin

2 sin

x

x

N gr dx g dx fr

N gx f

(4.19)

Datorită simetriei, pentru x = 0, 0xN şi rezultă 1 0f . Prin urmare efortul de lunecare are expresia: 2 sinxN gx (4.20) În continuare se calculează efortul ,xN

2

2

2 2

1

2 cos cos

xx x

NN dx p dx f

rg gxx dx f fr r

(4.21)

Funcţia 2f se determină din condiţii la limită. Timpanele, fiind de rigiditate neglijabilă în direcţie transversală, nu preiau eforturi ,xN deci pentru

02 xLx N , ceea ce înseamnă că

2

2cos 04gL f

r (4.22)

de unde rezultă

2

2 cos4gLf

r (4.23)

Expresia finală pentru efortul xN are forma:

201

2

2 cos4x

g LN xr

(4.24)

Variaţiile eforturilor, în direcţia cercului director, ca şi în direcţia generatoarei cilindrului, sunt redate în fig. 4.5.

Fig. 4.5. Variaţiile eforturilor din acţiunea greutăţii proprii

b. Încărcarea cu zăpadă Se admite că zăpada este de intensitate constantă q în plan orizontal. Componentele intensităţii acţiunii vor fi:

20, cos sin , cosx y zp p q p q (4.25) Se determină efortul N

2coszN rp qr (4.26) Se efectuează derivata efortului N în raport cu ,

2 cos sinN

qr

(4.27)

În continuare se determină efortul de lunecare, xN

202

1

1 1

1

2 cos sin cos sin 3 cos sin

x y

NN dx p dx f

rqx qx f qx f

(4.28)

Datorită simetriei, la mijlocul deschiderii, pentru x = 0, efortul xN trebuie

să fie zero. Din această condiţie rezultă 1 0f şi deci

33 cos sin sin 22xN qx qx (4.29)

Se efectuează derivata /xN

3 cos 2xNqx

(4.30)

Se determină efortul xN

2 2

2

2

1 3 cos 2

3 cos 22

xx x

N qN dx p dx f xdx fr r

qx fr

(4.31)

Întrucât timpanele nu pot prelua xN , rezultă că pentru ,2Lx 0,xN

de unde se obţine 2f

2

23 cos 28qLfr

(4.32)

Urmează că efortul Nx are expresia

2

23 cos 22 4x

q LN xr

(4.33)

Diagramele de variaţie ale eforturilor , , ,x xN N N într-o secţiune transversală sunt date în fig. 4.6.

În lungul generatoarei învelitorii cilindrice, eforturile de membrană , xN N şi xN au legi de variaţie similare cu cele datorate greutăţii proprii şi numai cu valori diferite.

203

Fig. 4.6. Variaţiile eforturilor cauzate de încărcarea cu zăpadă

c. Presiunea vântului Se admite că presiunea vântului este normală la suprafaţa mediană a plăcii

curbe şi variază sinusoidal pe circumferinţă (fig. 4.7): sinvp p (4.34)

Prin urmare, componentele intensităţii acţiunii sunt: 0, 0, sinx y z vp p p p (4.35) Direcţia vântului fiind de la stânga la dreapta produce presiuni pentru

0, m şi sucţiuni pentru 0, m şi de aceea zp este negativă. Fig. 4.7. Presiunea vântului

Rezultă imediat efortul ,N sinz vN rp p r (4.36)

Având N se poate determina efortul ,xN

1 1

1

1 cos

cos

x v

v

NN dx f p dx f

rp x f

(4.37)

La mijlocul deschiderii, pentru x = 0, datorită simetriei rezultă 0.xN

204

Această condiţie conduce la 1 0.f Deci cosx vN p x (4.38)

În continuare se determină ,xN

2 2

2

2

1 sin

sin2

x vx

v

N p xN dx f dx fr r

p x fr

(4.39)

Neglijând rigiditatea timpanelor , pentru 2Lx rezultă 0xN şi deci:

2

2 sin8vp Lfr

(4.40)

Expresia efortului xN are în final forma:

2

2 sin2 4

vx

p LN xr

(4.41)

Variaţiile eforturilor , ,x xN N N în raport cu sunt prezentate în fig. 4.8.

Fig. 4.8. Variaţiile în raport cu φ ale eforturilor date de presiunea vântului

În direcţia generatoarei variaţiile eforturilor , xN N şi xN sunt similare

celor date de greutatea proprie.

În continuare se determină deplasările u, v şi w la placa curbă cilindrică acţionată de greutatea proprie. Se folosesc relaţiile (4.16), cu care se află succesiv u, v, w. Deplasarea u rezultă:

205

1

22

1

2 2

1

1

1 cos4

cos4 3

xu N N dxEhg L x r dx

Eh r

g x L x rxEh r

(4.42)

Se determină funcţia 1 ; datorită simetriei, la mijloc, pentru x = 0,

deplasarea u = 0, de unde rezultă 1 0. Deci:

2 21 cos

4 3gx L xu rEh r

(4.43)

În continuare se determină deplasarea v, 2

2 1 1x

uv N dx dxEh r

2 2

22

4 1 sinsin4 3

g g x L xxdx x dxEh Eh r

(4.44)

2 2 2

22

3 12 sin2 4 2 3

gx L xEh r

Întrucât rezemarea simplă pe timpane împiedică deplasarea v în planul tangent al plăcii, lăsând libere celelalte deplasări rezultă condiţia

02Lx v (4.45)

din care se obţine funcţia 2

2 2

2 2

3 51 sin2 4 96gL LEh r

(4.46)

Rezultă următoarea relaţie pentru v: 2 2 2 2 2

2 2 2

3 5 11 4 3 sin2 4 96 2 2 3gx L L L xvEh x r r

(4.47)

Folosind ultima relaţie din (4.16) se deduce deplasarea w 2 2 2 2 2

2 22 2

51 2 cos2 4 96 4 2 3 2

g L L x L xw x rEh r r

(4.48)

206

Pe timpane, pentru / 2x L se obţine deplasarea w nenulă

2

cos2L grw

Eh

(4.49)

ceea ce nu corespunde cu realitatea, w fiind nulă. Se introduc astfel momente încovoietoare de care nu se poate ţine cont în teoria de membrană, teorie care cere legături numai în planul tangent (penduli tangenţiali la curba directoare care împiedică numai deplasarea v, ce nu sunt realizabili în practică).

4.4.2. Turn cilindric circular vertical acţionat de vânt

Se întâlneşte la rezervoare, turnuri pentru castele de apă, recipienţi industriali etc.

Se presupune că presiunea vântului acţionează normal la suprafaţa mediană a plăcii curbe, pe circumferinţă având variaţie cosinusoidală, iar pe înălţime fiind constantă (fig. 4.9). Alte acţiuni nu se iau în considerare. Deci:

0, 0, cosx y zp p p q (4.50)

Fig. 4.9. Variaţiile eforturilor la turnul cilindric circular acţionat de vânt

Folosind ecuaţia (4.7) se deduce N şi apoi din (4.8), prin integrare în raport cu x, rezultă xN şi ,xN obţinându-se:

cosN qr a)

207

1sinxN qx f b) (4.51)

2

12cos

2xdfqx xN f

r r d

c)

Pentru determinarea funcţiilor 1f şi 2f se pun condiţii la partea superioară a turnului, adică la

0, 0x xx l N N (4.52) din care rezultă:

2

1 2sin , cos2qlf ql f

r (4.53)

Introducând 1f şi 2f în (4.51) se obţin expresiile finale ale eforturilor cosN qr a)

1 sinxxN qll

b) (4.54)

22

1 cos2xql xN

r l

c)

În continuare se determină tensiunile într-un punct oarecare din peretele turnului:

22

cos , 1 sin , 1 cos2x x

qr ql x ql xh h l rh l

(4.55)

Se poate considera turnul ca o consolă încărcată cu o forţă uniformă, având intensitatea dată de rezultanta densităţii pz pe direcţia de acţiune a vântului

2 2

2

0 0

cos cos cosp q rd qr d rq

(4.56)

Se determină tensiunile x şi xy pentru o bară solicitată la încovoiere cu forfecare, folosind relaţiile lui Navier şi Juravski şi se obţin aceleaşi expresii din (4.55). Prin urmare, turnul considerat ca placă curbă în starea de membrană, pune în evidenţă, în plus faţă de calculul efectuat prin metodele elementare ale rezistenţei materialelor, tensiunile . Folosind primele două ecuaţii din (4.16), în care se introduc expresiile eforturilor xN şi respectiv xN şi integrând se obţine:

33

11 cos6ql xuEh qrx

r l

(4.57)

208

44 2

2

12

2 1 1 sin 1 sin2 24 2x ql x xvEh qlx ql r l

dxr d

(4.58)

Se pun condiţii de rezemare la bază, anume pentru 0 0, 0,x u v care conduc la următoarele expresii pentru 1 şi 2 :

3 4

1 2 2cos , sin6ql ql

r r (4.59)

Introducând 1 şi 2 în (4.57) şi (4.58) şi folosind şi a treia ecuaţie din (4.16), se obţin în final funcţiile deplasărilor,

33 2

3

61 1 cos6ql x r xuEhr l l

(4.60)

43 2

2 3

11 2 1 1 sin24 2 2 6 4

ql l x rx x rx lv xEhr r l l l l r

(4.61)

4 23

2

22

3

1 2 1 1 124 2 2

1 cos2 6 4

ql l x rx x r xwEhr r l l l l l

r x lr xl r

(4.62)

Având în vedere condiţiile introduse pentru determinarea funcţiilor 1

şi 2 , deplasarea w la baza turnului (în încastrare) este nenulă, depinzând de raportul /r l şi coeficientul lui Poisson . Pentru rapoarte / 1/ 5,r l w în încastrare este neglijabil, iar deplasarea la vârf, w l , este foarte apropiată de cea calculată ca la o grindă în consolă, considerând atât efectul momentului încovoietor, cât şi efectul forţei tăietoare.

209

5. ÎNCOVOIEREA PLĂCILOR CURBE CILINDRICE 5.1. ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ECHILIBRU Se consideră plăci curbe cilindrice complete, simetrice faţă de o axă şi

simetric încărcate (axial simetrice). Eforturile care apar sunt figurate pe un element diferenţial (fig. 5.1).

Fig. 5.1. Acţiuni şi eforturi pe elementul diferenţial

Condiţiile de echilibru conduc la următoarele ecuaţii: - proiecţii pe axa x: 0x x x xN N dN rd p rd dx (5.1) - proiecţii pe direcţia razei r (axei z):

2 sin 02x x x z

dV V dV rd N dx p rd dx (5.2)

- moment în raport cu direcţia y (a tangentei la cercul director):

02x x x x zdxM M dM rd V rd dx p rd dx (5.3)

Considerând sin / 2 / 2d d şi neglijând mărimile infinitezimale de ordin superior, după reduceri se obţine:

xx

dN pdx

0xz

NdV pdx r

(5.4)

210

0xx

dM Vdx

Din prima ecuaţie de echilibru rezultă ,xN

x xN p dx C (5.5)

Prin urmare, xN nu depinde de componenta zp a intensităţii încărcării, ci numai de forţele dirijate după generatoarea cilindrului (forţele aplicate la extremităţi, greutatea proprie, forţele de precomprimare longitudinală). În particular se consideră greutatea proprie la un cilindru vertical (fig. 5.2): x pp q h (5.6) unde q este greutatea pe unitatea de suprafaţă, p fiind greutatea specifică a materialului din peretele cilindrului, cu care efortul după generatoare se scrie

xN qx C (5.7) Încărcarea longitudinală la partea superioară, provenind din acoperiş, este xN (fig. 5.2). Se admite că originea sistemului de referinţă este la bază, astfel că pentru ,x l

,xxN N pentru constanta C rezultând:

xC ql N (5.8) Expresia efortului xN devine

xxN N q l x (5.9) ea putând fi obţinută şi direct, făcând echilibrul fâşiei de deasupra nivelului x.

Fig. 5.2. Acţiuni şi eforturi pe direcţia generatoarei 5.2. ASPECTUL GEOMETRIC AL DEFORMAŢIILOR Datorită simetriei axiale a structurii, deplasările v, după direcţia tangentei la cerc, sunt nule. Deplasările u, în lungul generatoarei, provin din starea de membrană, care sunt şi deplasările din suprafaţa mediană, peste care se suprapun deplasările din încovoiere, similare celor de la plăci plane. Panta din încovoiere a generatoarei este

.xdwdx

Expresia deplasării u are forma:

211

0 0xdwu u z u zdx

(5.10)

Folosind prima ecuaţie din (2.12), se obţine deformaţia :x

2

0 02x x x

du d wz zdx dx

(5.11)

Această expresie rezultă şi direct din (5.10) unde / .x du dx Deplasarea v fiind nulă, deformaţia specifică provine numai din deplasarea w şi este simetrică faţă de axa cilindrului.

wr (5.12)

5.3. ASPECTUL FIZIC ŞI EXPRESIILE EFORTURILOR Ecuaţiile constitutive sunt date de legea lui Hooke pentru starea plană de tensiune ( z s-a admis zero), deformaţiile specifice având expresiile (5.11) şi (5.12):

20

2 2 2

20

2 2 2

1 1

1 1

x x

x

duE E d w wzdx dx r

duE E w d wzr dx dx

(5.13)

Eforturile corespunzătoare stării de membrană, xN şi N , se obţin din condiţii de echivalenţă:

2/ 2 / 2 02 2/ 2 / 2

2/ 2 / 2 02 2/ 2 / 2

1

1

h h

x xh h

h h

h h

duE d w wN dz z dzdx dx r

duE w d wN dz z dzr dx dx

(5.14)

După efectuarea integrării rezultă:

02

02

1

1

xduEh wNdx r

duEh wNr dx

(5.15)

Momentele încovoietoare, xM şi M , se determină de asemenea din

212

condiţii de echivalenţă,

2/ 2 / 2 02 2/ 2 / 2

2/ 2 / 2 02 2/ 2 / 2

1

1

h h

x xh h

h h

h h

duE d w wM zdz z zdzdx dx r

duE w d wM zdz z zdzr dx dx

(5.16)

Se efectuează integrarea şi se obţine

3 2 2

2 22

3 2 2

2 22

12 1

12 1

x

x

Eh d w d wM Ddx dx

Eh d w d wM D Mdx dx

(5.17)

5.4. ECUAŢIA DIFERENŢIALĂ DE ÎNCOVOIERE

A PERETELUI CILINDRULUI ŞI SOLUŢII Din ecuaţiile (5.15) se elimină 0 / :du dx din prima se separă 0 /du dx

2

0 1x

du wNdx Eh r

(5.18)

Se introduce 0 /du dx în expresia efortului N

22

2

22

2

11

111

x

x x

Eh w wN Nr r Eh

Eh w EhN w Nr Eh r

(5.19)

Se înlocuieşte N în a doua ecuaţie diferenţială de echilibru din (5.4),

2 0x xz

N dVEh w pr r dx

(5.20)

A treia ecuaţie de echilibru din (5.4) se derivează în raport la x şi, ţinând cont de expresia (5.17) a momentului încovoietor Mx, rezultă:

2 2 2

2 2 2x xdV d M d d wD

dx dx dx dx

(5.21)

Introducând (5.21) în ecuaţia (5.20) se obţine următoarea ecuaţie diferenţială:

213

2 2

2 2 2 z xd d w EhD w p x Ndx dx r r

(5.22)

Dacă grosimea peretelui rezervorului este constantă ecuaţia (5.22) devine:

4

4 2z

x

p xd w Eh w Ndx r D D rD

(5.23)

Se face notaţia:

2

42 2 2

3 14

EhDr h r

(5.24)

numindu-se coeficient de amortizare şi având dimensiunea inversul unei lungimi. Cu notaţia precedentă, (5.24), ecuaţia diferenţială (5.23) se mai scrie:

4

44 4 z

xpd w w N

dx D rD

(5.25)

Soluţiile acestei ecuaţii diferenţiale se pot determina separat pentru fiecare termen din membrul al doilea. Pentru cazuri frecvent întâlnite în practică, efectul celui de al doilea termen din membrul doi este mic şi se neglijează. În continuare se consideră ca încărcare presiunea normală ,zp ecuaţia diferenţială fiind:

4

44 4 zpd w w

dx D (5.26)

Această ecuaţie a fost întâlnită la capitolul ”Grinzi pe mediu elastic” şi soluţia ei poate fi pusă sub forma:

1 2

3 4

cosh cos cosh sin

sinh sin sinh cos

w C x x C x x

C x x C x x w

(5.27)

sau în forma 1 1 1 1cos sin cos sinx xw e A x B x e C x D x w (5.28)

unde w este soluţia particulară a ecuaţiei diferenţiale (5.26). Cele două expresii (5.27) şi (5.28) sunt echivalente. Astfel dacă se înlocuiesc:

cosh sinh , cosh sinhx xe x x e x x (5.29) în (5.28) se obţine (5.27), constantele fiind

1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1, , ,C A C C B D C D B C C A (5.30) Având w x se pot determina:

214

2 3

2 3, , ,x xdw d w d w EhM D V D N wdx dx dx r (5.31)

Se fac notaţiile max,x x (5.32)

unde maxx este lungimea plăcii curbe, măsurată pe generatoare, şi se notează cu L sau H (coordonatele şi sunt adimensionale). În expresia (5.27) se introduc următoarele constante de integrare:

1 1 2 4 2 2 4 4, , / 2C C C C C C C C (5.33) deci

2 2 4 4 2 4 3 3/ 2 / 4, / 2 / 4, / 2C C C C C C C C (5.34) şi soluţia (5.27) se scrie

1 2

3 4

1cosh cos cosh sin sinh cos2

1 1sinh sin cosh sin sinh cos2 4

w C C

C C w

(5.35)

S-au pus astfel în evidenţă funcţiile (Krîlov):

1

2

3

4

cosh cos1 cosh sin sinh cos21 sinh sin21 cosh sin sinh cos4

f

f

f

f

(5.36)

Aceste funcţii sunt soluţii particulare ale ecuaţiei diferenţiale omogene asociată ecuaţiei (5.26) şi au proprietăţile:

1 2 3 40 1, 0 0, 0 0, 0 0f f f f (5.37) iar derivatele lor sunt

1 4 2 1

3 2 4 3

4 ,

,

f f f f

f f f f

(5.38)

În continuare ,w , ,xM ,xV N au forma:

1 1 2 2 3 3 4 4w C f C f C f C f w

215

1 4 2 1 3 2 4 34C f C f C f C f w

21 3 2 4 3 1 4 24 4xM D C f C f C f C f w

(5.39)

31 2 2 3 3 4 4 14 4 4xV D C f C f C f C f w

1 1 2 2 3 3 4 4EhN C f C f C f C f wr

Soluţia particulară w depinde de legea de variaţie a încărcării, zp , şi poate fi pusă sub forma:

44 0

1zw f t p t dt

D

(5.40)

Funcţia 4f satisface condiţiile (Cauchy):

4 4 4 40 0, 0 0, 0 0, 0 1f f f f (5.41)

Pentru 0x 0 se notează:

0 0 0 00 , 0 , 0 , 0x xw w M M V V (5.42) Cu aceste condiţii rezultă constantele 1 2 3 4, , ,C C C C

0 0 01 0 2 3 42 3, , ,M VC w C C C

D D

(5.43)

Presiunea hidrostatică zp x într-o secţiune are expresia:

); )z zp x H x a p b

(5.44)

Se înlocuieşte variabila cu t în expresia presiunii zp (rel. 5.44 b) şi se introduce în (5.40):

4 1 25 50 4w f t t dt f f

D D

(5.45)

Relaţiile (5.39), după înlocuirea constantelor de integrare din rel. (5.43) şi a soluţiei particulare w dată de (5.45), devin:

0 0 00 1 2 3 4 1 22 3 54

M Vw w f f f f f fD D D

0 00 4 0 1 2 3 4 12 44 1 4

4M Vw f f f f f f

D D D

216

2 00 3 0 4 0 1 2 3 434 4x

VM Dw f D f M f f f f

(5.46)

3 20 2 0 3 0 4 0 1 2 324 4 4xV Dw f D f M f V f f f

0 0 00 1 2 3 4 1 22 3 54

M VEhN w f f f f f fr D D D

Parametrii 0 0 0 0, , ,w M V se determină din condiţii de rezemare la extremităţi. Soluţia prezentată este indicată pentru plăcile curbe cilindrice având 5 - de lungime finită – la care influenţele reciproce între eforturile, respectiv forţele de legătură de la extremităţi, sunt importante. Dacă 5 influenţele reciproce ale eforturilor, respectiv forţelor de legătură de la extremităţi, devin nesemnificative din punct de vedere practic. Este cazul plăcilor curbe cilindrice de lungime infinită. 5.5. REZERVOARE PENTRU LICHIDE Se analizează rezervoarele cilindrice circulare în care se înmagazinează fluide, îndeosebi lichide: apă, hidrocarburi, diferite substanţe chimice etc. În raport cu factorul H rezervoarele se clasifică în două categorii, cum s-a arătat mai sus: a) rezervoare scurte - 5H b) rezervoare lungi - 5.H 5.5.1. Rezervoare scurte Se consideră ca exemplu un rezervor încastrat la bază şi liber la partea superioară. Urmează că pentru 0,x deci 0, deplasarea 0 0w şi panta

0 0. Relaţiile (5.46) devin:

0 03 4 1 22 3 54

M Vw f f f fD D D

0 02 3 4 12 4 1 4

4M Vf f f f

D D D

00 1 2 3 43x

VM M f f f f

(5.47)

217

0 4 0 1 2 324xV M f V f f f

0 03 4 1 22 3 54

M VEhN f f f fr D D D

La partea superioară, pentru ,x H H condiţiile de margine liberă sunt:

0, 0x xM V (5.48) sau

00 1 2 3 43

0 4 0 1 2 32

0

4 0

VM f f f f

M f V f f f

(5.49)

Rezolvând sistemul (5.49) se obţin 0M şi 0 ,V

21 4 2 3 2 1 3

0 3 21 2 4

21 3 4 1 2 3 4

0 2 21 2 4

4

4 44

f f f f f f fM

f f f

f f f f f f fV

f f f

(5.50)

Aplicaţie. Fie un rezervor de beton armat cu dimensiunile: 12 ,D m 3 ,H m 16 .h cm Să se determine expresiile mărimilor , , , ,x xw M V N şi

diagramele , ,x xM V N considerând peretele încastrat în radier. Coeficientul lui Poisson este 0,2. Se calculează ,

2 2

4 42 2 2 2

3 1 3 1 0.2 11.32956 0.16r h m

Rezultă 1.3295 3 3.9888 5H (rezervor scurt). Folosind tabele se determină funcţiile 1, 2,3,4if i :

1 3.9888 17.8597,f 2 3.9888 19.0517,f

3 3.9888 10.1210,f 4 3.9888 0.6021.f Aceste valori se introduc în relaţiile (5.50), din care se obţin 0M şi 0 ,V

0 31.493 ,M

0 23.487V

218

Expresiile mărimilor , , , ,x xw M V N devin:

3 4 1 25 1.493 3.487 0.9972 0.25 0.25 0.9972w f f f fD

2 3 4 14 1.493 3.487 3.9888 0.25 0.25f f f fD

1 2 3 43 1.493 3.487 3.9888xM f f f f

4 1 2 32 5.972 3.487 3.9888xV f f f f

3 4 1 25 1.493 3.487 0.9972 0.25 0.25 0.9972EhN f f f fr D

În fig. 5.3 se prezintă diagramele de eforturi din perete, cu valori calculate

la bază şi pentru 1,x (x = 0.752) şi 2

x (x = 1.181), 2,x (x

= 1.504 m).

Fig. 5.3. Diagramele de eforturi din peretele rezervorului

5.5.2. Rezervoare lungi Rezervoarele de lungime (înălţime) mare se pot asimila cu un cilindru semiinfinit. Pentru x efectele de încovoiere de la margine se amortizează tinzând la zero. Deoarece xe e creşte nelimitat, soluţia reală impune valori nule pentru constantele 1C şi 1.D În relaţia (5.28), făcând 1 1 0C D şi considerând soluţia particulară sub forma

219

2 ( )r H xwEh

(5.51)

rezultă:

2

1 1cos sinx r H xw e A x B x

Eh

(5.52)

Cu notaţiile introduse, expresiile deplasărilor şi eforturilor se scriu:

2

1 1cos sin rw e A BEh

2

1 1 1 1cos sindw dw re B A A Bdx d Eh

2 2

2 21 12 2 2 cos sinx

d w d wM D D D e B Adx d

(5.53)

3 3

3 31 1 1 13 3 2 cos sinx

d w d wV D D D e A B A Bdx d

1 1cos sinEh Eh rN w e A Br r

Constantele 1A şi 1B se determină cu ajutorul condiţiilor de rezemare în origine, care se ia, după caz, la bază sau la partea superioară. 1 . Rezervor având peretele încastrat la bază În cazul radierelor rigide se poate considera că peretele rezervorului este încastrat în radier, implicând condiţiile:

0 0 0, 0dw dwx wdx d

(5.54)

din care se obţin:

2 2

1 11,r H rA B H

Eh Eh

(5.55)

Expresiile (5.53), pentru aceste rezervoare devin:

2 21cos 1 sinr H rw e

Eh Eh

2 2

cos 2 1 sinr reEh Eh

220

2

11 cos sin2x

HM e

(5.56)

1 12 cos sin2xHV e

1cos 1 sin rN rHe

Pentru uşurinţa calculelor se pot introduce funcţiile: 1 2cos , sine e (5.57) care sunt tabulate; relaţiile (5.56), iau forma:

2 2

1 211r H rw

Eh Eh

2 2

1 22 1r rEh Eh

1 22

112x

HM

(5.58)

1 21 12

2xHV

1 211 rN rH

Anulând expresia pantei se obţine o ecuaţie transcendentă 1 22 1 1 (5.59) Soluţiile acesteia conduc la valori ale abscisei x pentru care w ia valori extreme. Din condiţia 0xV rezultă valorile x pentru care momentul încovoietor are valori extreme, anume

1 21 12 0

(5.60)

21

1

0 0

1tan 2 , 0 )

tan 2 1 arctan 2 1 )

a

x H x H k b

(5.61)

Maximele absolute ale momentului încovoietor şi forţei tăietoare se produc în încastrare

221

max max21 11 , 2

2 2x xH HM V

(5.62)

2 . Rezervor având peretele articulat la bază Peretele având rotirea liberă faţă de radier se consideră articulat, condiţiile de margine fiind: 0 0 0 0, 0 0xx w M (5.63)

Din aceste condiţii se obţin constantele de integrare,

2

1 1, 0r HA BEh

(5.64)

Expresiile deplasărilor şi eforturilor devin:

2 2 2 2

1cosr H r r H rw eEh Eh Eh Eh

2 2 2 2

1 2cos sinr r r reEh Eh Eh Eh

22 2sin2 2x

H HM e

(5.65)

1 2cos sin2 2xH HV e

1rN rH

Deplasările w, care sunt nule la bază, cresc relativ repede apropiindu-se de valorile date de teoria de membrană. Valoarea 0x pentru care w ia valoarea maximă şi deci şi ,N se poate obţine din anularea pantei 0 0 0,x

1 2 1 0 (5.66) deci o ecuaţie transcendentă de forma: 0

0 0cos sin 1 0xHe x x (5.67) care se rezolvă folosind tabelele; pentru 1 2 1/ H se determină 0.x Momentul încovoietor se anulează simultan cu sin x şi ia valori extreme în secţiunile în care se anulează forţa tăietoare ;xV deci:

1 2 20 tan 1, 0x (5.68) Abscisele corespunzătoare sunt / 4 , 5 / 4 , 9 / 4 ... Raportul dintre prima valoare a momentului încovoietor maxim şi a doua

222

valoare este:

4

54

sin14 4 23.14

5 5sin4 4

x

x

M e

eM e

(5.69)

Momentul încovoietor prezintă o descreştere accentuată, maximul absolut fiind

4,max 2 2sin 0.1612

2 4xH HM e

(5.70)

Forţa tăietoare maximă se produce la bază şi are valoarea:

,max 2xHV

(5.71)

Aplicaţie: Se consideră un rezervor de beton armat articulat în radier, având 20 ,D m 8 ,H m 20 ,h cm 0.2. Greutatea specifică a apei este

310 / .kN m Se cere să se determine diagramele de eforturi în peretele rezervorului.

2 24 4

13 1 3 1 0.2

0.92115510 0.2

mrh

0.921155 8 7.36924 5H rezervor lung. Abscisele la care se anulează momentul încovoietor sunt:

23.4104929 ; 6.820.921155

m m .

Forţa tăietoare se anulează pentru următoarele valori ale abscisei :x 5 50.85262 ; 4.26311

4 4 0.921155 4 4 0.921155m m

.

În secţiunile în care forţa tăietoare se anulează, momentele încovoietoare au valori extreme:

,max 2 2

10 80.1612 0.1612 15.19811 /0.921155x

HM kNm m

,max 2

10 80.00695 0.00695 0.65525 /0.8485265x

HM kNm m

Forţa tăietoare maximă este la bază, ,max

10 8 43.423745 /2 2 0.921155xHV kN m

223

Secţiunea în care N ia valoarea maximă rezultă:

01 2 0 0

1 1cos sin 0.1357xe x xH

Se obţin:

0 01.7641.764 1.91498

0.921155x x m

max 1 0 0 1 0 01

1.76410 10 8 0.0329 1 634.82 /7.36924

rN rH x x rH x xH

kN m

Diagramele de eforturi sunt prezentate în fig. 5.4.

Fig. 5.4. Diagramele de eforturi în peretele rezervorului

224

225

6. PROBLEME 1. La o cupolă sferică de rază R, încărcată cu presiune normală uniformă p,

să se determine eforturile şi deplasările de membrană. Se consideră dată grosimea h, constantă, modulul de elasticitate E şi coeficientul lui Poisson .

R: 2

, 0, 1 , 02 2

pR pRN N v wEh .

2. Să se determine eforturile într-o cupolă sferică acţionată de presiune hidrostatică (fig. 6.1).

R: 2 2

03 2cos 16 1 cos

HRNR

2 2

03 4cos 6 16 1 cos

HRNR

Fig. 6.1. Cupolă sferică acţionată de presiune hidrostatică

3. La o cupolă sferică deschisă ca în figura 6.2, se cere să se determine eforturile de membrană sub acţiunea greutăţii proprii şi a încărcării din zăpadă, considerată uniform distribuită pe suprafaţa orizontală. R: Greutatea proprie

02 cos cossin

gRN

02

1cos cos cossin

N gR

Zăpadă 2

02

sin12 sin

gRN

22 0

2

sin2cos 12 sin

gRN

Fig. 6.2. Cupolă sferică deschisă

226

4. Se consideră un rezervor sferic acţionat de presiunea interioară p, produsă de un gaz comprimat. Se cere: să se determine eforturile în înveliş; să se determine deplasările în două ipoteze (fig. 6.3):

a) rezervorul este rezemat în lungul circumferinţei maxime;

b) rezervorul este rezemat pe planul tangent orizontal inferior.

a) b) Fig. 6.3. Rezervor sferic rezemat: a) în lungul circumferinţei maxime; b) pe planul tangent orizontal Notă: Pentru cazul b) se deduce mai întâi w, determinându-se şi constantele de integrare.

R: Eforturi: 2pRN N ; Deplasări: a) 0,v

2

12pRwEh

b) 2

1 sin ,2pRvEh

2

1 1 cos2pRwEh

5. Fie o cupolă de rotaţie parabolică având ecuaţia 2 2z ay (fig. 6.4). Să se determine eforturile datorită greutăţii proprii, de intensitate g pe unitatea de suprafaţă. Indicaţie: Sistemul de referinţă se ia cu z axa de rotaţie şi x, y în planul tangent în punctul de intersecţie cu axa de rotaţie.

R: 3

2 2

1 cos ;3 sin cosaN g

2 3

2

2 3cos cos ;3 sinaN g

Fig. 6.4. Cupolă parabolică 6. În cupola de la problema precedentă să se determine eforturile pentru o încărcare uniformă în plan orizontal, de intensitate q (zăpadă).

; coscos 2

qa qaN N

.

7. O cupolă conică (fig. 6.5) este acţionată de o încărcare uniformă de

227

intensitate p, normală pe suprafaţa mediană. Se cunosc , , ,E h lungimea generatoarei l, unghiul . Să se determine eforturile şi deplasările.

R: cot ,2pyN cotN py

2 21 cot2 2

pv l yEh

2 2 21 cot 1 cot2 2 2

p prw l yEh Eh

21 cot 1 cot2 2

p pryEh Eh

Fig. 6.5. Cupolă conică 8. Un rezervor conic, articulat în lungul generatoarei, este plin cu lichid (fig. 6.6). Se cunosc: , , , ,E h lungimea generatoarei l şi unghiul . Să se determine eforturile şi deplasările din starea de membrană.

Fig. 6.6. Rezervor conic articulat în lungul generatoarei

R: 3 2 cos ; cos6

N l y y N l y y

2 3cos 9 1 2 4 1 3 6 536 tan

v ly y lEh

2 2cos 32 27 6 536 tan

w y ly l yEh

228

9. Se consideră o cupolă conică deschisă (fig. 6.7). Se cere să se determine eforturile datorită greutăţii proprii g şi respectiv încărcării cu zăpadă q, considerată de intensitate constantă pe un plan normal la axa de rotaţie. Se cunosc l şi .

R: a) greutate proprie:

2121

2sinyyN gy

costan

N gy

b) zăpadă:

2121 cot

2yyN qy

Fig. 6.7. Cupolă conică deschisă 2cos

tanN qy

10. Fie o placă cilindrică în consolă, de rază r şi lungime L, supusă acţiunii zăpezii de intensitate constantă q în plan orizontal (fig. 6.8). Încastrarea este realizată astfel încât împiedică deplasările u şi v. Să se determine expresiile eforturilor. R: 2cosN qr

3 1 sin 22xqL xN

L

223 1 cos 2x

qL xNr L

Fig. 6.8. Placă cilindrică în consolă

11. Se consideră o placă cilindrică de lungime L având curba directoare arc

de parabolă, rezemată la capete pe două timpane rigide în planele lor şi de rigiditate neglijabilă în direcţia normală la planele acestora. Să se determine eforturile de membrană pentru încărcarea cu greutatea proprie (g). Ecuaţia parabolei (fig. 6.9) este 2z ay şi raza de curbură 3/ cosr a în care ”a” este raza de curbură în vârful parabolei.

229

R: 2 ; sincos x

gaN N gx

2

2 4cos2 4xg LN xa

Fig. 6.9. Placă cilindrică cu directoarea arc de parabolă

12. La placa curbă cilindrică de la problema precedentă să se determine

eforturile de membrană şi deplasările pentru încărcarea din zăpadă, având intensitatea q în plan orizontal.

R: , 0, 0cos x x

aN q N N

2

2; sin 2cos 4 4qax q Lu v x

Eh Eh

2

2 2cos 22 4 cos

q L raw xEh

13. O placă cilindrică, având curba directoare arc de lănţişor, este rezemată

la extremităţi pe două timpane rigide în plan vertical şi fără rigiditate în direcţia normală pe planul lor, situate la distanţa L. Să se determine eforturile şi deplasările de membrană din greutatea proprie (g). Ecuaţia lănţişorului este cosh / ,z a y a ”a” fiind ordonata vârfului (fig. 6.10). Raza de curbură rezultă:

2 2cosh / / cos .r a x a a

R: , 0, 0cos x x

aN g N N

22, sin

cos 2 4gax g Lu v x

Eh Eh

22 2cos

4 cosg L raw x

Eh

Fig. 6.10. Placă cilindrică având directoarea arc de lănţişor 14. Se consideră o placă cilindrică circulară de lungime L, încastrată la extremităţi (fig. 6.11). Să se determine eforturile de membrană produse de greutatea proprie (g) şi de zăpadă având intensitatea q în plan orizontal. Să se

230

reprezinte grafic xN şi să se discute în raport cu coeficientul lui Poisson .

Fig. 6.11. Placă cilindrică circulară încastrată la extremităţi

Indicaţie. Se pune condiţia invariabilităţii lungimii generatoarelor

/ 2

/ 20

L

xLdx

R: greutatea proprie: cos , 2 sinxN gr N gx

2 2

2 2 cos12x

L xN grr r

zăpadă:

2 3cos , sin 22xN qr N qx

2

2 23 cos 2 cos2 4xq LN x qrr

15. La un rezervor scurt, articulat în radier şi liber la partea superioară, să se determine parametrii 0 0 0 0, , , .w M V Se cunosc greutatea specifică a apei, , înălţimea H, raza r şi grosimea h a rezervorului, modulul de elasticitate E şi coeficientul lui Poisson . R: 0 0,w

21 4 2 3 2 1 3

0 22 3 1 44

f f f f f f fD f f f f

0 0,M

23 2 4

0 22 3 1 4

f f fV

f f f f

231

16. Se consideră un rezervor cilindric de beton armat, încastrat în radier, având diametrul 18 ,D m înălţimea 6 ,H m grosimea peretelui 16 ,h cm coeficientul lui Poisson a betonului 0.20, greutatea specifică a apei

310 / .kN m Să se determine eforturile maxime şi să se traseze diagramele de eforturi. R: ,max 23.45207 /xM kNm m ,max 51.02683 / .xV kN m

232

ANEXE Calculul deplasărilor şi eforturilor pentru plăci dreptunghiulare cu un singur câmp se poate face cu relaţii compacte, în care intră coeficienţi numerici întabulaţi. Relaţiile de calcul au forma:

42 2 2

3 ; ; ;x x y y y x xy yx tpaw M m m pa M m m pa M M M paEh

; ; ; ;x y x yV pa V pa V pa V pa R pa Pentru plăci dreptunghiulare simplu rezemate pe contur, încărcate cu o forţă uniform distribuită p, având

latura scurtă a, coeficienţii din relaţiile de mai sus se exprimă cu: 2 2 2

0 1 2 1 2 2 1 31 ; ; ; ; ; 1 ;x yk m k pa m k pa k k k k k

4 5 6 7 81 ; ; ; ;k k k k k

unde coeficienţii 1, 2, ,8ik i se dau în ANEXA 1, funcţie de raportul laturilor plăcii b/a. Valorile lui , ,x yw m m se referă la centrul plăcii, R la colţuri, iar V şi V* la mijlocul laturilor (pentru V şi V* s-a considerat ν = 0). În lucrarea „Manual pentru calculul construcţiilor” (coordonator Caracostea A.), secţiunea VI Plăci plane (autor Soare V.M.), capitolul 3 Plăci dreptunghiulare, se dau tabele pentru plăci dreptunghiulare cu un singur câmp, în care structura formulelor folosite este următoarea:

42 2 2

0 31 2

21,2

3 3 4 5

1 11 ; ; ; ; ;

1 2 1 11 ; 1 ; , ; ,

x x y y y x x y

xy yx x x y y

paw k M m m M m m m pa m paEh k k

M M pa R pa V V pa V V pak k k k

Coeficienţii numerici se citesc în tabele în funcţie de raportul laturilor / 1,00 2,00b a (a – latura scurtă); coeficienţii 0 1 2 3, , ,k k k k sunt independenţi de , iar pentru 4 5,k k s-a considerat 0 . Punctele în care sunt calculate mărimile statice sunt indicate în figurile care însoţesc fiecare tabel. În ANEXA 2 se dau coeficienţii ki pentru placa încărcată uniform, având laturile scurte a încastrate perfect şi celelalte două laturi simplu rezemate.

ANEXA 1. Plăci dreptunghiulare simplu rezemate pe contur, încărcate cu forţa uniform distribuită, p

2 40

3

1k paw

Eh

2

1xm k pa 22ym k pa

4

1R k

pab

5xV k pa 6yV k pa 7xV k pa 8yV k pa b

a

0k 1k 2k 4k 5k 6k 7k 8k 1,0 0,0476 0,0369 0,0369 0,0927 0,338 0,338 0,455 0,350 1,1 0,0582 0,0445 0,0361 0,0914 0,360 0,347 0,474 0,360 1,2 0,0678 0,0523 0,0344 0,0897 0,380 0,353 0,487 0,367 1,3 0,0766 0,0595 0,0324 0,0871 0,397 0,357 0,498 0,372 1,4 0,0846 0,0660 0,0308 0,0843 0,411 0,361 0,507 0,377 1,5 0,0926 0,0728 0,0281 0,0815 0,424 0,363 0,512 0,380 1,6 0,0996 0,0785 0,0258 0,0772 0,435 0,365 0,515 0,382 1,7 0,1059 0,0838 0,0235 0,0743 0,444 0,367 0,517 0,384 1,8 0,1118 0,0884 0,0214 0,0714 0,452 0,368 0,519 0,386 1,9 0,1169 0,0927 0,0193 0,0685 0,459 0,369 0,520 0,387 2,0 0,1215 0,0965 0,0175 0,0657 0,465 0,370 0,519 0,388 3,0 0,1468 0,1173 0,0052 0,0443 0,493 0,372 0,510 0,390 4,0 0,1538 0,1231 0,0015 0,0343 0,498 0,372 0,504 0,390 5,0 0,1556 0,1246 0,0001 0,0272 0,500 0,372 0,501 0,390 0,1563 0,1250 0 0 0,500 0,372 0,500 0,390

ANEXA 2. Placă încărcată uniform, având laturile scurte a încastrate perfect şi celelalte două laturi simplu rezemate

4

20 31 paw k

Eh 2

1

1xm pa

k 2

2

1ym pa

k 2

2

1ym pa

k

4

1xV pa

k

5

1yV pa

k b

a

0k (la centru) 1k (la centru) 2k (la centru) 2k (la mijlocul laturilor încastrate)

4k (la mijlocul laturilor s. rezemate

5k (la mijl. lat. încastrate

1,00 0,0230 63,3 35,1 14,3 2,95 1,94 1,05 0,0266 52,2 33,7 13,4 2,82 1,86 1,10 0,0303 46,1 32,9 12,7 2,71 1,80 1,15 0,0343 39,8 32,2 12,0 2,60 1,74 1,20 0,0383 35,5 31,7 11,5 2,52 1,69 1,25 0,0425 31,5 31,3 11,1 2,44 1,65 1,30 0,0467 28,5 31,2 10,7 2,38 1,61 1,35 0,0510 25,8 31,2 10,3 2,32 1,58 1,40 0,0553 23,7 31,4 10,0 2,27 1,55 1,45 0,0596 22,0 31,7 9,75 2,22 1,52 1,50 0,0639 20,1 32,1 9,50 2,18 1,50 1,55 0,0681 19,0 32,7 9,30 2,14 1,47 1,60 0,0722 17,9 33,3 9,20 2,11 1,46 1,65 0,0762 16,9 34,0 9,05 2,09 1,44 1,70 0,0802 16,0 34,9 8,90 2,07 1,43 1,75 0,0840 15,2 35,9 8,80 2,05 1,42 1,80 0,0878 14,6 37,1 8,70 2,03 1,41 1,85 0,0914 13,9 38,3 8,60 2,01 1,40 1,90 0,0949 13,4 39,7 8,50 2,00 1,40 1,95 0,0982 12,9 41,1 8,40 1,99 1,39 2,00 0,1013 12,5 42,4 8,40 1,98 1,39

237

BIBLIOGRAFIE

A Alămoreanu Elena, Buzdugan Gh., Iliescu N., Mincă I., Sandu M. (1996)

Îndrumar de calcul în ingineria mecanică, Ed. Tehnică, Bucureşti. Alămoreanu Elena, Chiriţă R. (1997) Bare şi plăci din materiale compozite,

Ed. Tehnică, Bucureşti. Aliperin V.I. ş.a. (1979) Konstrucţionnîe stekloplastiki, Izd. Himia, Moskva. Ambartsumian S. A. (1990) Series in Theoretical and Applied Mechanics, vol.

10, Fragments of Theory of Anisotropic Shells, World Scientific Publishing Co., Pte. Ltd. Singapore.

Amenzade, A. Yu. (1979) Theory of Elasticity, Mir Publishers, Moscow. Andreev L.V. (1986) V mire obolocek, Izd. Znanie, Moskva. Avram C., Bob C., Friedrich R., Stoian V. (1984) Structuri din beton armat.

Metoda elementelor finite. Teoria echivalenţelor, Ed. Academiei, Bucureşti.

B

Baker, E.H., Kovalevsky, L., Rish, L. F. (1972) Structural Analysis of Shells, Mc. Graw Hill Book Company Inc., New York, London, Sydney, Toronto.

Beleş A., Soare M. (1969) Calculul plăcilor curbe subţiri, Ed. Tehnică, Bucureşti.

Bezuhov, I.N. (1960) Culegere de probleme din teoria elasticităţii şi plasticităţii (trad. din limba rusă), Ed. Tehnică, Bucureşti.

Bia C., Ille V., Soare M. (1983) Rezistenţa materialelor şi teoria elasticităţii, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti.

Brebbia, A.C., Connor, J.J. (1973) Fundamentals of Finite Element Techniques, Butterworths & Co Ltd, London.

Buzdugan, Gh. (1980) Rezistenţa materialelor, Ediţia a XI-a, Ed. Tehnică, Bucureşti.

Buzdugan Gh. (1986) Rezistenţa materialelor, Ed. Academiei RSR, Bucureşti. Buzdugan Gh. ş.a. (1991) Rezistenţa materialelor – Aplicaţii, Ed. Academiei

Române, Bucureşti. C

Caracostea, A. (1977) Manual pentru calculul construcţiilor, Secţiunea III Rezistenţa materialelor şi Teoria Elasticităţii (autor Caracostea A), Secţiunea VI Plăci plane (autor Soare V.M.), Secţiunea VII Învelitori subţiri (autor Mihăilescu M.), Ed. Tehnică, Bucureşti.

238

Chernych K. F. (1998) An Introduction to Modern Anisotropic Elasticity, Begell House Inc. Publishers, New York.

Cioclov D. (1983) Recipiente sub presiune, Ed. Academiei, Bucureşti. Ciomocoş F.D., Ciomocoş T. (1994) Teoria elasticităţii în probleme şi

aplicaţii, Ed. Facla, Timişoara. Ciomocoş F.D. (2002) Rezistenţa materialelor în ingineria structurilor, partea

a III-a, Teoria elasticităţii, ediţia a II-a, Univ. „Politehnica” Timişoara. Constantinescu I.N., Dăneţ G.V. (1989) Metode noi pentru calcule de

rezistenţă, Ed. Tehnică, Bucureşti.

D Decher E., Secu Al. (1991) Soluţii de acoperiş din poliesteri armaţi cu fibre de

sticlă pentru rezervoare, Lucr. Sesiunii „Modernizarea Construcţiilor”, secţia Structuri, Iaşi.

Decolon Ch. (2004) Analysis of Composite Structures, Butterworth Heineman. Diaconu, M. (1978) Rezistenţa materialelor, vol. I şi II, I. P. Iaşi. Diaconu, M. (1985) Rezistenţa materialelor şi Teoria elasticităţii, I. P. Iaşi. Diaconu, M. (1987) Rezistenţa materialelor şi Teoria elasticităţii, partea I şi a

II-a, I. P. Iaşi. Diaconu, M. (1999) Teoria aplicată a elasticităţii liniare, vol. 1, 2, 3, Editura

Cermi, Iaşi. Domnişoru C. (1994) Turbo Basic, Ed. Gh. Asachi, Iaşi.

E Evseev E. G., Morozov E. V. (2000) Dynamic analysis of orthotropic shells by

the grid - characteristic method, Composite Structures 48, Elsevier, 91 – 94.

F Fan J., Zhang J. (1992) Analytical Solutions for Thick, Doubly Curved,

Laminated Shells, Journal of Engineering Mechanics, Vol. 118, No. 7. Filin A.P. (1987) Elementî teorii obolocek, Stroizdat, Leningrad-skoe

otdelenie. Filonenko-Borodici, M.M. (1968) Theory of Elasticity, Mir Publishers,

Moscow. Fleşeriu I.P. (1972) Contribuţii la calculul static al cupolelor metalice cu

nervuri şi inele, rezumat teză de doctorat, Timişoara. Fulton R.E. (1971) Numerical Analysis of Shells of Revolution, High Speed

Computing of Elastic Structures, Tome 1, Proc. Symp. UTAM, Université de Liège.

239

G Gaev A. I., Şciugorev V.D., Butolin A.P. (1986) Podzemnîie rezervuarî, Izd.

Nedra, Leningrad. Gallagher H.R. (1975) Finite Element Analysis – Fundamentals, Prentice-Hall,

Inc., Englewood Cliffs, New Jersey. Gere M. J. (2003) Mechanics of Materials, 6nd ed., Thomson – Engineering. Gioncu V. (1979) Plăci curbe subţiri de beton armat, Ed. Academiei, Bucureşti. Gioncu V., Ivan M. (1978) Instabilitatea structurilor din plăci curbe subţiri,

Ed. Academiei, Bucureşti. Guzi A.N., Babici I.I. (1980) Trehmernaia teoria ustoicivosti sterjnei, plastin i

obolocek, Visşaia Şkola, Kiev. Guzi A.N., Zaruţkii V.A. ş.a. (1984) Experimentalinîe issledovania

tonkostennîh konstrukţii, Izd. Naukova Dumka, Kiev.

H Haroun M.A., Abou-Szzeddine W. (1992) Parametric Study of Seismic Soil-

Tank Interaction, I. Horizontal Excitation, II. Vertical Excitation, Journal of Structural Engineering, Vol. 118, No. 3.

Horbaniuc, D. (1973) Rezistenţa materialelor, vol. I, II. I. P. Iaşi. Hua Li, Lam K.Y., Ng T. Y. (2005) Rotating Shell Dynamics, Studies in

Applied Mechanics 50, Elsevier.

I Ibănescu I. (1995) Teoria plăcilor elastice, Ed. Gh. Asachi, Iaşi. Ibănescu M., Ungureanu N., Vrabie M. (2003) Plates on Dense Elastic

Supports, Proc. of the Intern. Conference “Constructions 2003”, Vol. 2 Structural Mechanics & Steel Structures, pp. 147-156, Cluj-Napoca.

Ibanescu M., Vrabie M., Diaconu-Sotropa D. (2009), Model for flexible plates supported on piles, Bul. I.P. Iasi, Tomul LV (LIX), Fasc. 1, pag. 29-38.

Ieremia M. (1998) Elasticitate, plasticitate, neliniaritate, Ed. Printech, Bucureşti.

Ille, V. (1981) Rezistenţa materialelor, vol. II, ediţia a II-a, I. P.Cluj-Napoca. Ivan M. (1985) Bazele calculului liniar al structurilor, Ed. Facla, Timişoara.

J Jerca Şt., Vrabie M., Ibănescu M. (1995) On the Use of Finite Element Method

to the Design of the Cylindrical Shells (Tanks), Proc. of the 3-th Int. Conf. on Boundary and Finite Element „ELFIN 3”, Section 2.2, Constanţa.

240

Ji – Fan He (1995) Static Analyses of Laminated Shells Using a Refined Shear Deformation Theory, Journal of Reinforced Plastics and Composites, vol. 14, No. 7, Sage Publications, 652 – 674.

Jianping P., Harik I.E. (1992) Axisymmetric General Shell and Jointed Shell of Revolution, Journal of Structural Engineering, Vol. 118, No. 11.

Jones R. (1999) Mechanics of Composite Materials, 2nd edition, Taylor and Francis.

Juncu Gh., Popa C. (1991) Introducere în metoda multigrid, Ed. Tehnică, Bucureşti.

K

Kalandia, A.I. (1975) Mathematical Methode of Two Dimensional Elasticity, Nauka, Moskva.

Key S.W., Beisinger Z.E. (1971) The Analysis of Thin Shells by the Finite Element Method, High Speed Computing of Elastic Structures, Tome 1, Proc. Symp. UTAM, Université de Liège.

Kizima G.A. (1964) Issledovanie napriajennovo sostoiania rebristîh obolocek nulevoi gaussovoi kriviznî, „Teoria obolocek i plastin”, Izd. Akademii Nauk Armianskoi SSR, Erevan.

Kolesnik I.A., Plehanov A.A. (1988) Neklasiceskii variant teorii anizotropnîh plastin, Stroitelistvo i Arhitectura, No. 9.

Kolkunov N.V. (1987) Osnovî rasceta uprughih obolocek, Vîsşaia Şkola, Moskva.

Kollar P.L., Springer S.G. (2003) Mechanics of Composite Structures, Cambridge University Press.

Korobov L.A., Nazariev O.K., Pavilainen V.I. (1981) Jelezobetonnîie prostranstvennîie konstrucţii atomnîh i teplovîh electrostanţii, Energoizdat, Moskva.

Kriz D. R. (1997/2001) Micrustructure Lectures, www.jwave.vt.edu. Kulikov G. M. (1990) Non axisymmetric stress-strain state of multilayer

anisotropic shells of revolution, Prikladnaya Mekhanika, vol. 26, No.11, 66 – 70.

Kulikov G. M. (2001) Non-linear analysis of multilayered shells under initial stress, International Journal of Non-linear Mechanics 36, 323 – 334.

Kuzneţov N.D., Kartaşov G.G., Rasskazov A.O., Şuliga N.A. (1981) Sobstvennîie kolebania sloistîh anizotropnîh plastin i pologhih obolocek, Prikladnaia Mehanika, Tom XVII, 4.

241

L Lakis A.A., Sinno M. (1992) Free Vibration of Axisymmetric and Beam-Like

Cylindrical Shells, Partially Filled with Liquid, Int. J. Numer. Methods Eng., vol 33.

Lamatic C., Ungureanu N., Vrabie M. (2008) The Analysis of Liquid-Filled Cylindrical Tank's Wall Flexibility, Proceedings of the Sixth International Symposium “Computational Civil Engineering 2008”, Iasi, May 30, pp. 287-297, ISBN 978-973-8955-41-7.

Lekhnitskii S.G. (1981) Theory of Elasticity of an Anisotropic Body, Mir Publishers, Moskow.

Levy M., Salvadori M. (1998) De ce cad construcţiile, Ed. Tehnică, Bucureşti. Lin C.-H., Jen M.-H.R. (2003) Analysis of Laminated Anisotropic Cylindrical

Shell by Chebyshev Collocation Method, Journal of Applied Mechanics, Volume 70, Issue 3, 391-403.

Lindblom O., Naslund R., Persson L.E., Fallstrom K.E. (1977) A study of bending wawes in infinite and anisotropic plates, Aplications of Mathematics, No. 3, 213 – 232, 42.

Lobkova N.A. (1988) K rascetu napriajenno-deformirovannovo sostoiania trubî s vintovîm gofrom, Prikladnaia Mehanika, Tom 24, nr. 2.

Lopez-Anido R., GangaRao H.V.S. (1995) Macroapproach Closed-Form Series Solution for Orthotropic Plates, Journal of Structural Engineering, Vol. 121, No. 3.

M

Martin J. W. (2007) Concise Enciclopedia of the Mechanical Properties of Materials, Elsevier.

Massonnet, Ch. (vol. I 1977, vol. II 1979) Résistance des Materiaux, Deuxième edition, Science et Lettres, Liège.

Massonet Ch., Deprez G., Maquoi R., Muller R., Fonder G. (1974) Calculul structurilor la calculatoare electronice, Ed. Tehnică, Bucureşti.

Mazilu, P. (1974) Rezistenţa materialelor, I. C. Bucureşti. Mazilu P., Ţopa N., Ieremia M. (1983) Teoria şi calculul plăcilor ortotrope,

Ed. Tehnică, Bucureşti. Mazilu P., Ţopa N., Ieremia M. (1986) Aplicarea teoriei elasticităţii şi a

plăcilor în calculul construcţiilor, Ed. Tehnică, Bucureşti. Mazilu, P., Posea, N., Iordăchescu, E. (vol. I 1969, vol. II 1975) Probleme de

rezistenţa materialelor, Ed. Tehnică, Bucureşti. Mârşu O., Friedrich R. (1975) Construcţii industriale speciale din beton armat,

Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti.

242

Melerski E.S. (1991) Simple Elastic Analysis of Axisymmetric Cylindrical Storage Tanks, Journal of Structural Engineering, Vol. 117, No. 11.

Melerski E.S. (1992) An Efficient Computer Analysis of Cylindrical Liquid Storage Tanks under Conditions of Axial Symmetry, Computer and Structures, Vol. 45, 2.

Mihalache N. (2003) Metode numerice în Elasticitate şi Plasticitate, Ed. Societăţii Academice „Matei-Teiu Botez”, Iaşi.

Mihăilescu M. (1977) Învelitori subţiri, Secţiunea VII din „Manual pentru calculul construcţiilor”, Ed. Tehnică, Bucureşti.

Mileikovskii I.E., Kupar A.K. (1978) Ghiparî – rascet i proectirovanie pologhih pokrîtii v forme ghiperboliceskih paraboloidov, Stroizdat, Moskva.

Mocanu, R.D. (1980) Rezistenţa materialelor, Ed. Tehnică, Bucureşti. Mocanu D.R. (coordonator) ş.a. (vol. 1 1976, vol. 2 1977) Analiza

experimentală a tensiunilor, Ed. Tehnică, Bucureşti. Mocanu D.R., Safta V. (coordonatori) ş.a. (vol. 1, 2 - 1982, vol. 3 - 1986)

Încercarea materialelor, Ed. Tehnică, Bucureşti. Momanu Gh. (1980) Plăci curbe subţiri rezemate pe medii elastice având

aplicaţii la fundaţiile construcţiilor, teză de doctorat, I.P. Iaşi.

N Neamţu L. (1995) Finite Elements Analysis of Laminated Composites Plates,

Based on an Equivalent Single Layer Theory, Proc. ELFIN 3, Section 1, Constanţa.

Negoiţă Al. ş.a. (1985) Inginerie seismică, EDP, Bucureşti. Negoiţă Al., Ungureanu N. ş.a. (vol. 1 - 1988, vol. 2 - 1990) Aplicaţii ale

ingineriei seismice, Ed. Tehnică, Bucureşti. Nemcinov I.I. (1981) K teorii anizotropnîh obolocek i plastin, Prikladnaia

Mehanika, Tom XVII, No. 12. Noor A. K., Jeanne M. Peters (1987) Analysis of Laminated Anisotropic Shell

of Revolution, Journal of Engineering Mechanics, vol. 113, No. 1, 49 – 65.

O Oprea Vasiliu C., Constantinescu Al., Bârsănescu P. (1992) Ruperea

polimerilor. Teorie şi aplicaţii, Ed. Tehnică, Bucureşti. Ottosen N. S., Ristinmaa M. (2005) The Mechanics of Constitutive Modeling,

Elsevier Science Ltd.

243

P Palaninathan R., Montague P. (1981) Studies of Dome-Ended, Composite

Construction, Cylindrical Vessels Subjected to External Pressure, Proc. Instn. Civ. Engrs., Part 2, 71, 83-105.

Panasiuk V.V., Savciuk M.P., Daţîşin A.P. (1976) Raspredelenie napriajenii okolo treşcin v plastinah i obolocikah, Izd. Naukova Dumka, Kiev.

Pankratova N.D. (1979) K issledovaniiu napriajennovo sostoiania dvuhsloinîh ţilindriceskih obolocek, Prikladnaia Mehanika, Tom XV, No. 4.

Parton, Z.V., Perlin, I.P. (1981) Méthodes de la théorie mathématique de l’élasticité, Edition Mir, Moskow.

Pavel A. (1985) Stabilitatea recipientelor, Ed. Academiei, Bucureşti. Posea, N. (1979) Rezistenţa materialelor, E. D. P., Bucureşti. Posea, N., Anghel, Al., Manea, C., Hotea, Gh., (1986) Rezistenţa materialelor. Probleme Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti. Precupanu D. (1981) Plăci subţiri, I.P. Iaşi. Precupanu D. (1982) Teoria elasticităţii, I.P. Iaşi. Preda N., Missir Ioana (1973) Calculul plăcilor curbe subţiri. Suprafeţe de

revoluţie, I.P. Iaşi. Prişcu R. (1974) Construcţii hidrotehnice, vol. 1, 2, EDP, Bucureşti. Prişcu R., Popovici A., Stematiu D., Stere C. (1980) Ingineria seismică a

construcţiilor hidrotehnice, EDP, Bucureşti. Prusov I.A. (1978) Termouprughie anizotropnîh plastinki, Izd. V.I. Lenin,

Minsk.

Q Qatu M. (2004) Vibration of Laminated Shells and Plates, Academic Press.

R Rasskazov A.O., Bondari A.G., Babkov A.V., Işcenko I.V. (1992) K rascetu

napriajenno-deformirovannovo sostoiania i ustoicivosti sloistîh obolocek s ucetom realinîh svoistv materialov sloev, Prikladnaia Mehanika, Tom 28, No. 2.

Reddy J. N. (1981) Finit-Element Modeling of Layered, Anisotropic Composite Plates and Shells: a Review of Recent Research, The Shock and Vibration Digest, vol. 13, No. 12, 3 – 12.

Reddy J. N. (1982) Bending of Laminated Anisotropic Shells by a Shear Deformable Finite Element, Virginia Polytechnic Inst. Blacksburg Storming Media Pentagon Reports, 35 pag.

Rékatch, V. (1980) Problèmes de la théorie de l’élasticité, Editions Mir, Moscow.

244

Rigo P. (1992) Stiffened Sheatings of Orthotropic Cylindrical Shells, Journal of Structural Engineering, Vol. 118, No. 4.

Rychter Z. (1992) Family of Iterative Shear-Deformation Theories for Shallow Shells, Journal of Engineering Mechanics, Vol. 118, No. 11.

S

Salvadori M. (1983) Construcţii. Lupta împotriva gravitaţiei, Ed. Albatros, Bucureşti.

Salvadori M. (1991) Mesajul construcţiilor, Ed. Tehnică, Bucureşti. Samuli, I.V. (1982) Osnovî teorii uprogosti i plasticinosti, Vîsşaia Şkola,

Moskva. Sandi H. (1975) Metode matriceale în mecanica structurilor, Ed. Tehnică,

Bucureşti. Savcenko V.I. ş.a. (1988) Ispolizovanie maşinîh analiticeskih preobrazovanii v

mehanika obolocek, Paketî prikladnîh program, Sbornik naucinîh trudov, Izd. Nauka, Moskva.

Secu Al., Decher E., Isopescu D. (1991) Acoperiş cupolă din PAS pentru castel de apă de 300 mc, Lucrările Sesiunii „Modernizarea Construcţiilor”, secţia Structuri, pag. 302-307, Iaşi.

Secu Al. (1997) Structures en matériaux composites, Ed. Document, Iaşi. Shimizu N. (1988) Simplified Seismic Analysis Method of Cylindrical Tanks on

Rigid Foundation with Soil-Structure Interaction Subjected to Horizontal Ground Motions, Proc. of 9-th WCEE, vol. VI, Tokio-Kyoto.

Slitskouhov I., Budanov V. ş.a. (1989) Wooden and Plastic Structures, Mir Publishers, Moskow.

Soare V.M. (1968) Aplicarea ecuaţiilor cu diferenţe finite la calculul plăcilor curbe subţiri, Ed. Academiei, Bucureşti.

Soare, V.M. (1977) Plăci plane. Manual pentru calculul construcţiilor, Secţiunea VI, Ed. Tehnică, Bucureşti.

Soare, V.M. (1978) Rezistenţa materialelor, vol. I şi II, I. C. Bucureşti. Soare, V.M. (1979) Elemente de teoria elasticităţii, teoria plăcilor plane şi

teoria plăcilor curbe. Curs şi aplicaţii, I. C. Bucureşti. Soare M.V. (1985) Interacţiunea dintre plăci şi nervuri, Revista Construcţii,

nr. 4-5. Soare M., Teodorescu P.P., Toma Ileana (1999) Ecuaţii diferenţiale cu

aplicaţii în mecanica construcţiilor, Ed. Tehnică, Bucureşti. Spunt L. (1971) Optimum Structural Design, Prentice-Hall, Inc., Englewood

Cliffs, New Jersey. Srinagesh K. (2006) The Principles of Experimentals Research, Butterworth –

Heineman.

245

Stematiu D. (1991) Calculul structurilor hidrotehnice prin metoda elementelor finite, Ed. Tehnică, Bucureşti.

Strătescu I. (1984) Executarea construcţiilor cu placă ortotropă, Ed. Tehnică, Bucureşti.

Stricklin J.A. (1971) Geometrically Non-Linear Static and Dynamic Analysis Shells of Revolution, High Speed Computing of Elastic Structures, Tome 1, Proc. Symp. UTAM, Université de Liège.

T

Tamuj V.P., Protasov V.D. ş.a. (1986) Razruşenie konstrucţii iz kompozitnîh materialov, Izd. Zinatne, Riga.

Tang Yu (1993) Dynamic Response of Tank Containing Two Liquids, Journal of Engineering Mechanics, Vol. 119, No. 3.

Tănăsescu F.T., Stanciu V., Niţu Smaranda, Niţu C. (1990) Agenda Tehnică, Ed. Tehnică, Bucureşti.

Tenek L. T., Argyris J. (1997) Finite Element Analysis for Composite Structures, Kluver Academic Publishers.

Teodorescu, P.P., Ille, V. (vol. I 1976, vol. II 1978, vol. III 1980) Teoria elasticităţii şi introducere în mecanica solidelor deformabile, Ed. Dacia, Cluj. Thevendran V., Thambiratnam D.P. (1986) Minimum Weight Design of

Cylindrical Water Tanks, Int. J. Numer. Methods Eng., Vol. 23, 1679-1691. Timoshenko St., Woinowski-Krieger S. (1968) Teoria plăcilor plane şi curbe,

Ed. Tehnică, Bucureşti. Timoshenko, P. St., Goodier, N. J. (1970) Theory of Elasticity, 3rd Ed. Mc

Graw-Hill Book Comp., New York. Tin-Loi F., Pulmano V. (1991) Limit Loads of Cylindrical Shells under

Hydrostatic Pressure, Journal of Structural Engineering, Vol. 117, No. 3. Toorani M.H. (2003) Dynamics of the geometrically non-linear analisys of

anisotropic laminated cylindrical shells, International Journal of Non-linear Mechanics 38, 1315 – 1335.

Toorani M.H., Lakis A.A. (2001) Shear deformation in dynamic analysis of anisotropic laminated open cylindrical shells filled with or subjected to a flowing fluid, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Volume 190, Issues 37-38, 4929-4966.

Toorani M.H., Lakis A.A. (2002) Non-linear vibrations of anisotropic cylindrical shells, Proc. of the 6-th Conference on Computational Structures Technology, 191 - 192.

Toorani M.H., Lakis A.A. (2003) Dynamics behavior of axisymmetric and beam-like anisotropic cylindrical shells conveying fluid, Journal of Sound and Vibration, Volume 259, Issue 2, 265-298.

246

Toorani M.H., Lakis A.A. (2004) Large amplitude vibrations of anisotropic cylindrical shells, Computers and Structures, vol. 82, Issues 23 - 26, 2015 - 2025.

Toorani M.H., Lakis A.A. (2006) Vibrations of non-uniform composite cylindrical shells, Nuclear Engineering and Design, Volume 236, Issue 17, 1748-1758.

Tripathy B., Rao K.P. (1993) Stiffened Composite Axisymmetric Shells – Optimum Lay-up for Buckling by Ranking, Computers and Structures, Vol. 46, No. 2.

Tsai C.T., Palazotto A.N. (1990) A Modified Risk Approach to Composite Shell Snaping Using a High-Order Shear Deformation Theory, Computers and Structures, Vol. 35, No. 3.

Tung A., Kiremidjian A. (1991) Seismic Reliability Analysis of Elevated Liquid-Storage Vessels, Journal of Structural Engineering, Vol. 117, No. 5.

Ţ

Ţăranu N., Hapurne T., Isopescu A. (1991) Aplicarea teoriilor de rupere la studiul lamelelor compozite ortotrope, Lucrările Sesiunii „Modernizarea Construcţiilor”, secţia Structuri, pag. 261-271, Iaşi.

Ţăranu N., Isopescu D. (1991) Forme structurale eficiente pentru elemente de construcţii din materiale plastice, Lucrările Sesiunii „Modernizarea Construcţiilor”, secţia Structuri, pag. 272-279, Iaşi.

Ţăranu N., Isopescu D. (1996) Structures Made of Composite Materials, Ed. Vesper, Iaşi.

Ţăranu N., Roşca V., Isopescu D. (1996) Criterii şi posibilităţi de optimizare a elementelor din materiale compozite, Lucr. Conf. „Priorităţi actuale şi de perspectivă în concepţia, proiectarea şi consolidarea construcţiilor”, vol. 1, pag. 383-390, Iaşi.

Ţăranu N., Secu Al., Decher E. (1991) Structuri de luminator de mare suprafaţă, Lucrările Sesiunii „Modernizarea Construcţiilor”, secţia Structuri, pag. 308-316, Iaşi.

Ţăranu N., Secu Al., Decher E., Isopescu D. (1992) Structuri din materiale compozite şi asociate, U.T. „Gh. Asachi” Iaşi.

Ţăranu N., Secu Al., Isopescu D., Decher E. (1991) Procedură de proiectare şi realizare a elementelor de construcţii din materiale plastice, Lucrările Sesiunii „Modernizarea Construcţiilor”, secţia Structuri, pag. 255-260, Iaşi.

Ţopa, N. (vol. I 1982, vol. II 1983) Teoria elasticităţii. Culegere de probleme, I.C. Bucureşti.

247

U Ungureanu, N. (1972 a) Calculul unor plăci rezemate pe piloţi, Studii şi

cercetări de mecanică aplicată, tom. 31. Ungureanu, N. (1972 b) Analiza prin elemente finite a efectului interacţiunii cu

terenul la structurile în cadre fundate pe radier general, Lucrările Simp. Naţional ”Interacţiunea construcţiilor cu mediul înconjurător”, vol. II.

Ungureanu, N. (1977) Rezistenţa materialelor şi statica construcţiilor, I.P. Iaşi. Ungureanu, N. (1979) Rezistenţa materialelor şi teoria elasticităţii, vol. I, I. P.

Iaşi. Ungureanu N. (1988) Rezistenţa materialelor şi teoria elasticităţii, I.P. Iaşi. Ungureanu, N., Ciongradi, I., Missir, Ioana (1975) Conlucrarea spaţială

structură-substructură-teren la clădiri înalte de beton armat, Conferinţa de betoane. Construcţii înalte, vol. I, Iaşi.

Ungureanu, N., Ciongradi, I., Strat, L. (1977) Framed structure-fondation beams-soil interaction, Int. Symp. on Soil-Structure Interaction, University of Roorkee, India, Published by Sarita Prakashan, Meerut, India.

Ungureanu, N., Strat, L. (1977) Analysis of Elastic Plates on Piles by Means of Finite Elements Method, Bul. I. P. Iaşi, tom. XXIII(XXVII), fasc.1-2, sec. V. Construcţii şi Arhitectură.

Ungureanu N., Strat L., Vrabie M. (1985) Efectul de încovoiere în rezervoarele metalice cu grosimea pereţilor variabilă în trepte, Lucr. celei de-a IV-a Conferinţe de Construcţii Metalice, Timişoara.

Ungureanu N., Vrabie M. (1985) Asupra proiectării pereţilor cu ortotropie de material sau structurală, Simp. „Elemente de închidere şi compartimentare la clădiri civile, industriale şi agricole”, Cluj-Napoca.

Ungureanu N., Strat L., Vrabie M. (1986) Bending Effects in Liquid Storage Tanks with Stepwise Variable Wall Thickness, Proc. of the 17-th Congress Committee Yugoslav Society of Mechanics, Belgrad.

Ungureanu N., Negoiţă Al., Vrabie M. (1986) Modele de calcul antiseismic ale rezervoarelor de apă considerând efectele de interacţiune, Lucr. Simp. "Modelarea construcţiilor rezistente la acţiunea seismică", Târgu-Mureş.

Ungureanu N., Moroianu A., Breabăn V., Vrabie M. (1987) Interacţiunea construcţie-lichid, Lucr. Simp. „Metode actuale de analiză a structurilor în regiuni seismice”, vol. 3, Iaşi.

Ungureanu N., Vrabie M. (1987) Interacţiunea structură-lichid la acţiunea seismică asupra rezervoarelor şi castelelor de apă, Lucr. Simp. „Metode actuale de analiză a structurilor în regiuni seismice”, vol. 1, Iaşi.

Ungureanu N., Negoiţă Al., Ciornei R., Vrabie M. (1988) Principii de consolidare a turnurilor pentru castelele de apă, Lucr. celei de-a XIV-a Conferinţe de Betoane, Cluj-Napoca, 11-13 oct.

248

Ungureanu N., Vrabie M., Gorbănescu D. (1993) The Finite Element for Rotation Shells with Axisymmetrical Anisotropy and Nonlinearities, Proc. of „ELFIN 2”, Sibiu.

Ungureanu N., Vrabie M., Ibănescu M. (1993) The Finite Element Method for Axisymmetrical Layered Rotation Shells, Proc. of Int. Symp. „Constructions 2000”, Cluj-Napoca.

Ungureanu N., Vrabie M., Vlad I. (1993) On the Use of Finite Element Model to the Analysis of Cylindrical Orthotropic Tanks, Proc. of „ELFIN 2”, Sibiu.

Ungureanu N., Vrabie M., Vlad-Missir Ioana, Răileanu P. (1994) Studies Concerning the Analysis of Flexible Pier on Pile Foundation, Bul. I.P. Iaşi, Tomul XL (XLIV), Fasc. 1-4, Secţia VI Construcţii. Arhitectură, pp. 59-66.

Ungureanu N., Marinescu Şt., Vrabie M. (1995) Specific Aspects of the Seismic Interaction among Liquid Tanks and Soil, Lucr. Simp. Int. „Prevenirea şi apărarea împotriva efectelor provocate de cutremurele de pământ în România”, Iaşi, 28-31.

Ungureanu N., Ibănescu M., Vrabie M. (1996) On the Seismic Response of the Flexible Cylindrical Storage Tanks, Bul. U.T. Iaşi, Tomul XLII (XLVI), Fasc. 1-2, Secţia VI, pag. 29-38.

Ungureanu N., Vrabie M. (1996) Determinarea eforturilor şi tensiunilor în unele rezervoare cilindrice anizotrope la acţiuni antisimetrice, Lucr. Conf. „Priorităţi actuale şi de perspectivă în concepţia, proiectarea şi consolidarea construcţiilor”, vol. 1, pag. 399-405, Iaşi.

Ungureanu N., Vrabie M. (1999) Rezistenţa materialelor, vol. I, Ed. Gh. Asachi, Iaşi.

Ungureanu N., Vrabie M. (2001) Dezvoltări ale teoriei de încovoiere la cupole cu ortotropie structurală, Simp. „Realizări şi perspective în activitatea de construcţii şi în învăţământul de specialitate”, vol. II, pp. 243-248, Ed. Societăţii “Matei-Teiu Botez”, ISBN 973-85050-5-4, Iaşi.

Ungureanu N., Vrabie M. (2004) Rezistenţa materialelor, Probleme avansate, Ed. Societăţii Academice „Matei-Teiu Botez”, Iaşi.

Ungureanu N., Marţincu C., Vrabie M. (2006) Isoparametric Finite Element for Moderately Thick Shalow Shells, Proc. International Conference VSU 2006, 22-23 May, Sofia, Bulgaria, vol. I, pp. 102-108.

Ungureanu N., Vrabie M., Lamatic C. (2008) About Analysis with Finite Elements of Some Tanks Made of Anisotropic Materials, Proc. Int. Conf. VSU 2008, 29-30 May, Sofia, Bulgaria, vol. I, pp. IX-77 – IX-82.

Ungureanu N., Vrabie M., Teodoru I.B. (2008) The Seismic Soil-Structure Interaction Effect for Pile-Raft Systems, „Intersections” International Journal/Revista „Intersecţii”, ISSN 1582-3024, Vol. 5, Issue 3, pp. 83-93.

249

Ungureanu N., Căciulă S.D., Vrabie M. (2010) About Some Suspension Roofs Made of the Orthogonal Cable Networks, Bul. I.P. Iaşi, Tomul LVI (LX), Fasc. 4, Secţia Construcţii. Arhitectură, pp. 111-119.

V

Vasilenko A.T. (1977) K rascetu po utocinenoi modeli ortotropnîh sloistîh obolocek peremenoi tolşcinî, Prikladnaia Mehanika, Tom XIII, No. 7.

Vasilenko A.T., Golub G.P. (1983) Opredelenie napriajenno sostoiania anizotropnîh obolocek vraşcenia s ucetom poperecinîh sdvigov, Prikladnaia Mehanika, Tom XIX, No. 9.

Vasiliev V.V. (2007) Advanced Mechanics of Composite Materials, Elsevier. Veletsos A.S., Tang Y., Tang H.T. (1992) Dynamic Response of Flexibly

Supported Liquid-Storage Tanks, Journal of Structural Engineering, Vol. 118, No. 1.

Velicikin A.V., Fedii P.S. (1982) Oţenka dinamiceskih usilii pri poperecinîh kolebaniah podkreplennoi obolociki, zapolnennoi jidkostiu, Procinosti i nadejnosti elementov konstrucţii, Izd. Naukova Dumka, Kiev.

Vinson R. J., Sierakowski L. R. (2002) The Behavior of Structures Composed of Composite Materials, Kluwer Academic Publishers.

Vlachoutsis St. (1992) Shear Correction Factors for Plates and Shells, Int. J. Numer. Methods Eng., Vol. 33, 1537-1552.

Vlad I., Ungureanu N., Negoiţă Al. (1992) Influenţa interacţiunii structură-lichid-teren asupra răspunsului dinamic al rezervoarelor cilindrice, Conf. Geotehnică şi Fundaţii, Timişoara.

Vlasenko I.N. (1982) Issledovanie deformirovannovo sostoiania ortotropnoi ţilindriceskoi obolociki s uprughih zapolnitelem pri localinîh nagruzkah, Procinosti i nadejnosti elementov konstrucţii, Izd. Naukova Dumka, Kiev.

Voinea, P.R., Voiculescu, D., Ceauşu, D. (1976) Elasticitate şi plasticitate, I. P. Bucureşti.

Volmir A.S., Kuranov B.A., Turbaivskii A.T. (1989) Statika i dinamika slojnîh structur, Maşinostroenie, Moskva.

Vrabie M. (1991) Plăci curbe ortotrope în stare de membrană şi în stare de încovoiere, referat 1 doctorat, I.P. Iaşi.

Vrabie M. (1992) Soluţii analitice şi numerice pentru plăci curbe ortotrope, referat 2 doctorat, I.P. Iaşi.

Vrabie M. (1994) Rezervoare cu structură ortotropă – soluţii şi dezvoltări, referat 3 doctorat, I.P. Iaşi.

Vrabie M. (1998) Dezvoltarea teoriei de calcul a plăcilor curbe ortotrope cu aplicaţii la proiectarea unor rezervoare, teză de doctorat, U.T. „Gh. Asachi” Iaşi.

250

Vrabie M. (1999) Dezvoltări privind evaluarea deplasărilor de membrană la plăci curbe anizotrope de rotaţie, Revista "Construcţii", nr. 4, pp. 49-57.

Vrabie M. (2000) One-Dimensional Finite Elements for Structural Analysis of Orthotropic Cylindrical Tanks, Proc. of the 5-th Int. Conf. on Boundary and Finite Element (ELFIN 5), Section 1, pp. 1-9, University of Oradea.

Vrabie M. (2001) Dezvoltări şi sistematizări în calculul plăcilor curbe cilindrice anizotrope în teoria de membrană, Simp. „Realizări şi perspective în activitatea de construcţii şi în învăţământul de specialitate”, vol. II, pp. 243-248, Ed. Societăţii “ Matei-Teiu Botez”, Iaşi.

Vrabie M. (2002) The effect of material anisotropy on the membrane displacements of rotation shells, Ovidius University Annals of Constructions, ISSN-12223-7221, Vol. 1, No. 3, 4, pp. 183-188.

Vrabie M. (2004) Plăci curbe ortotrope cu aplicaţii la rezervoare. Teorie şi calcul, Ed. Societăţii Academice „Matei-Teiu Botez”, Iaşi.

Vrabie M. (2004) Calculus Model in Displacements for Layered Cylindrical Shells in the Membrane Theory, Proc. International Conference VSU 2004, Sofia, Bulgaria, vol. I, pp. 84-89.

Vrabie M. (2004) Static Analysis of the Cylindrical Tanks with Variable Anisotropy by Finite Differences Method, Proc. International Conference VSU 2004, Sofia, Bulgaria, vol. I, pp. 73-78.

Vrabie M. (2004) Asupra teoriei de calcul a plăcilor curbe pleoştite cu anizotropie geometrică, A II-a Conferinţă Tehnico-Ştiinţifică Internaţională „Probleme actuale ale urbanismului şi amenajării teritoriului”, vol. I, pp. 220-225, Chişinău.

Vrabie M. (2005) Some Aspects about Symmetrical Bending of the Orthotropic Cylindrical Shells, Proc. International Conference VSU 2005, 26-27 May, 2005, Sofia, Bulgaria, vol. I, pp. 188-193.

Vrabie M. (2006) Some Aspects Regarding the Variable Anisotropy of Cylindrical Shells, Proc. International Conference VSU 2006, 22-23 May, Sofia, Bulgaria, vol. I, pp. 95-101.

Vrabie M., Ungureanu N. (1991) Asupra calculului rezervoarelor cilindrice cu pereţi ortotropi, Lucrările Sesiunii „Modernizarea Construcţiilor”, secţia Structuri, pag. 73-80, Iaşi.

Vrabie M., Ungureanu N., Ibănescu M. (1993) About Design of Cylindrical Tanks with Layered Walls, Proc. of Int. Symp. „Constructions 2000”, pp. 405-409, Cluj-Napoca.

Vrabie M., Vlad I., Gorbănescu D., Ungureanu N. (1993) Cylindrical Tanks of Variable Geometry and Loading Conditions, Bul. U.T. Iaşi, Tomul XXXIX (XLIII), Fasc. 1-4, Secţia VI.

251

Vrabie M., Ibănescu M., Jerca Şt. (1996) Linear Finite Element Applied to the Design of Axial-Symmetric Cylindrical Shells, Bul. U.T. Iaşi, Tomul XLII (XLVI), Fasc. 1-2, Secţia VI, pag. 13-22.

Vrabie M., Ungureanu N. (1996) Modele echivalente pentru plăci curbe cilindrice anizotrope cu nervuri, Lucr. Conf. „Priorităţi actuale şi de perspectivă în concepţia, proiectarea şi consolidarea construcţiilor”, vol. 1, pag. 432-439, Iaşi.

Vrabie M., Ibănescu M., Ungureanu N. (1997) Plane Finite Element for Anisotropic Shells, Bul. U.T. Iaşi, Tomul XLIII (XLVII), Fasc. 1-2, Secţia VI.

Vrabie M., Ungureanu N., Ibănescu M. (1997) About Finite Element Method in the Design of Cylindrical Tanks with Structural Orthotropy, Proc. of the 4-th Int. Conf. On Boundary and Finite Element „ELFIN 4”, Section 2.2, pp. 148-157, Iaşi.

Vrabie M., Ungureanu N., Marţincu C. (2000) Finite Elements for Orthotropic Shallow Shells, Proc. of the 5-th Int. Conf. on Boundary and Finite Element (ELFIN 5), Section 2, pp. 126-133, Oradea.

Vrabie M., Ungureanu N., Ibănescu Mihaela, Ciornei R. (2002) About Rehabilitation of Cylindrical Reinforced Concrete Towers with Applications to Water Towers, Bul. I.P. Iaşi, Tomul XLVIII (LII), Fasc. 3-4, Construcţii. Arhitectură, pp. 63-69.

Vrabie M., Ungureanu N. (2002) About the using of the transfer matrix at the calculus of the orthotropic cylindrical tanks, Ovidius University Annals of Constructions, ISSN-12223-7221, Vol. 1, No. 3, 4, pp. 605-610.

Vrabie M., Ungureanu N., Marţincu C. (2005) About Some Finite Elements Used in the Analysis of Orthotropic Plates with Moderate Thickness, Proc. International Conference VSU 2005, Sofia, Bulgaria, vol. I, pp. 151-156.

Vrabie M, Marţincu C., Ungureanu N., Ibănescu Mihaela (2005) Effect of Thickness Variation upon Plates Subjected to Bending, Revista „Intersections/Intersecţii”, ISSN 1582-3024, vol. 2, nr. 1 „Structural Mechanics”, pp. 25-35.

Vrabie M., Ungureanu N. (2008) About Analysis of Multilayred Plates by Using the Finite Element Method, Acta Technica Napocensis, Section: Civil Engineering – Architecture, 51, Vol. I, pp. 299-304, (Proc. of the International Conference „Construction 2008”, Cluj-Napoca).

Vrabie M., Ungureanu N., Diaconu-Şotropa D. (2010) Transfer matrix method for orthotropic cylindrical shells with variable wall thickness, Proceedings of the Romanian Academy, Series A, Volume 11, No. 2/2010, pp. 171-178.

252

W Walker A.C., Sridharan S. (1980) Analysis of the Behaviour of Axially

Compressed Stringer-Stiffened Cylindrical Shells, Proc. Instn. Civ. Engrs., Part 2, 69, 447-472.

Wang C.M., Reddy J.N., Lee K.H. (2000) Shear Deformable Beams and Plates: Relationships with Classical Solutions, Elsevier Science Ltd.

Wang X., Lu G., Guillow S.R. (2002) Stress wave propagation in orthotropic laminated thick-walled spherical shells, International Journal of Solids and Structures, Volume 39, Issue 15, 4027-4037.

Washizu, Kyaichiro (1975) Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Fress, Oxford, New York, Toronto, Paris, Sydney.

Weaver P.M., Driesen J.R., Roberts P. (2002) Anisotropic effects in the compression buckling of laminated composite cylindrical shells, Composites Science and Technology, Volume 62, Issue 1, 91-105.

Widera G.E.O., Logan D.L. (1980) Refined Theories for Nonhomogeneus Anisotropic Cylindrical Shells, Part I-II, Journal of the Engineering Mechanics Division, EM 6.

Williamson B. (1991) Design of Polymeric Composite Structures, University of California, Berkeley.

Woo K.S., Hong C.H., Basu P.K. (2003) Materially and geometrically nonlinear analysis of laminated anisotropic plates by p-version of FEM, Computers & Structures, Volume 81, Issue 16, 1653-1662.

X Xi W., Kui Z., Wei Z., Bing C. J. (2000), Theoretical solution and finite

element solution for an orthotropic thick cylindrical shell under impact load, Journal of Sound and Vibration, Volume 236, Issue 1, 129-140.

Y

Yang B. (2005) Stress, Strain and Structural Dynamics: an Interactive Handbook of Formulas, Solutions, and Matlab Toolboxes, Academic Press.

Yeh K.Y., Sun B.H., Rimrott F.P.J. (1995) Buckling of Imperfect Sandwich Cones under Axial Compression – Equivalent Cylinder Approach, Tehchnische Mechanik, Band 14, Heft ¾, 239-248, Part I (1994), Band 15, Heft 1, 1-12, Part II.

Yu W., Hodges D.H., Volovo V.V. (2002) Asymptotic generalization of Reissner–Mindlin theory: accurate three-dimensional recovery for composite shells, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Volume 191, Issue 44, 5087-5109.

253

Yuan F. G. (1992) Exact Solutions for Laminated Composite Cylindrical Shells in Cylindrical Bending, Journal of Reinforced Plastics and Composites, vol. 11, No. 3, 340 – 371.

Yuan F.G. (1993) Bending of Filament Wound Composite Laminated Cylindrical Shells, Composites Engineering, Vol. 3, No. 9.

Yuan F.G. (1995) Cross-Plied Cylindrical Composite Shells under Transverse End Load, Journal of Composite Materials, Vol. 29, No. 7.

Yuan F.G., Yang S. (2002) Crack-tip fields in anisotropic shells, International Journal of Fracture, vol. 113, Nr. 4, Springer, 309 – 326.

Z

Zahari R., El-Zafrany A. (2008) Progressive failure analysis of composite laminated stiffened plates using the finite strip method, Composite Structures.

Zaruţkii V.A. (1992) Volnî, beguşie vdoli mnogosloinîh ortotropnîh ţilindriceskih obolocek, usilennîh prodolinîmi rebrami, Prikladnaia Mehanika, Tom 28, No. 6.

Zaruţkii V.A., Pocitman I.M. (1978) Issledovanie vliania znaka eksţentrisiteta reber na optimalinîi po sobstvennoi ciastote kolebanii proekt ţilindriceskoi obolociki, Prikladnaia Mehanika, Tom 6, No. 4.

Zhou M., Zheng S., Zhang W. (1992) Study on Elephant-Foot Buckling of Broad Liquid Storage Tanks by Nonlinear Theory of Shells, Computers and Structures, Vol. 44, No. 4.

Zhou R.G., Hu Y.X., Duan L., Chen W.F. (1993) Approximate Solution of Creep of Ortogonal Anisotropic Concrete Thin Plates, Eng. Struct., Vol. 15, No. 1, 61-66.

Zorin I.S., Romaşev I.A. (1988) O napriajenno-deformirovannom sostoianii sloistîh plit nesimetricinovo stroenia, Prikladnaia Matematika i Mehanika, Tom 52, 1.

***

*** Teoria obolocek i plastin (1964), Izd. Akademii Nauk Armianskoi SSR, Erevan.

*** Manualul inginerului hidrotehnician (1970), vol. 2, Ed. Tehnică, Bucureşti.

*** Issledovania po teorii plastin i obolocek (1973), Izd. Kazanskovo Universiteta.

*** Procinosti i nadejnosti elementov konstrucţii (1982), Naukova Dumka, Kiev.

254

*** Manual de utilizare a programului SAP 05(1983), Bucureşti. *** Modeli deformirovania i razruşenia kompoziţionnîh materialov (1988),

Akademia Nauk SSSR, Urali-skoe Otdelenie, Sverdlovsk. *** Prikladnaia mehanika kompozitov (1989), Sbornik statei, Izd. Mir,

Moskva. *** Cercetări teoretice şi experimentale privind comportarea la acţiuni

seismice a rezervoarelor cu pereţi flexibili, Contract nr. 1333/92 elaborat de Cat. Mec. Constr., Fac. Constr. şi Arh., U.T. Iaşi cu ICCPDC Fil. Iaşi, Faza 2/1993, Fazele 3, 4, 5, 6/1994, resp. temă N. Ungureanu.

*** Dezvoltarea unor metode de proiectare la acţiuni statice, dinamice şi seismice pentru sisteme structurale realizate din plăci plane şi curbe anizotrope sau stratificate, grant cu CNCSU elaborat de Cat. Mec. Constr., Fac. Constr. şi Arh., U.T. Iaşi, Fazele 1/1994, 1, 2/1995, 1/1996, director grant N. Ungureanu.

*** Studii cu privire la răspunsul plăcilor curbe anizotrope (din materiale compozite stratificate, asociate, sisteme echivalente pe cabluri) la acţiuni statice şi dinamice (vânt, seism, incendiu), proiect de cercetare exploratorie tip „IDEI”, cod CNCSIS ID-619, contract 60/2007 (fazele 2007, 2008, 2009, 2010), elaborat la Cat. Mec. Constr., director proiect Vrabie M.

*** Manuale de utilizare ALGOR, ANSYS, COSMOS/M, NASTRAN, NISA/DISPLAY, ROBOT 97, SAP 90, SAP 2000.