calculo.docx

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATOFACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS,

ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL Período Académico: Abril/2015 – Agosto/2015

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO

Facultad de Ingeniería en Sistemas, Electrónica e Industrial

Proyecto Académico de Fin de Semestre

Título: Aplicación de cálculo diferencial e integral para las

propiedades de figuras geométricas utilizando un software

graficado calculador.

Carrera: Sistemas Computacionales e Informáticos.

Área Académica: Ciencias Aplicadas.

Línea de Investigación: Investigación Científica.

Ciclo Académico

Paralelo:

Abril/2015 – Agosto/2015

Tercero “A” Sistemas.

Estudiante: Christian Quispe.

Eddy López.

Módulo:

Docente:

Calculo II

Ing. Washington Medina.

I. INFORME DEL PROYECTO

1.1 Título

Aplicación de cálculo diferencial e integral para las propiedades de figuras

geométricas utilizando un software graficado calculador Geo Gebra.

1.2 Objetivos

General: Desarrollar mediante Geo Gebra la aplicación del cálculo diferencial e

integral en figuras geométricas.

Específicos:

-Conocer sobre el funcionamiento e interfaz de este software.

-Aplicar los conocimientos adquiridos en el uso de este software para la

demostración a través de un ejercicio matemático de integración.

-Establecer los procesos que se debe llevar acabo antes de la utilización del

software.



Visualizar las características y mecanismos fundamentales de Geo Gebra.

Diseñar en el plano cartesiano el cálculo de figuras geométricas.

Implementar Geo Gebra como un software de aplicación para los estudiantes de la

Universidad Técnica de Ambato.

1.3 Resumen

El proyecto presenta las ventajas del uso de software matemático utilizado en la

solución de problemas de integración, dando énfasis especialmente a ejercicios que

involucran la generación de gráficas en el plano y el espacio.

Dando así un mayor entendimiento sobre la resolución de ejercicios de integración

en el cálculo de las propiedades de las figuras geométricas.

1.4 Palabras clave: Software, graficador, integración.

1.5 Introducción

La solución de ejercicios de aplicación de integral definida requiere habilidades y

destrezas de graficación tanto en el plano como en el espacio, éste tipo de ejercicios

requieren que previa a su solución se genere un gráfico representativo, que su

complejidad no permite una rápida generación ó visión del mismo, por eso la

necesidad de acudir a software gráfico.

Para que a través de este nos de otra perspectiva y una mejor manera de entender la

manera de generación de solidos a partir de una función matemática, con sus

respectivas condiciones.

1.6 Materiales y Metodología

FIGURA GEOMETRICA

Para desarrollar este tema es necesario conocer algunos conceptos básicos sobre las

figuras geométricas y sus características.

Una figura geométrica es la representación de un cuerpo y de un objeto. Geométrico

se refiere a todo lo que está vinculado con la geometría.

Estas figuras geométricas tienen propiedades como son el volumen de cada cuerpo y

su área, están formadas por líneas trazadas en el plano.



La unión de figuras nos da como resultado nuevas formas geométricas para las

cuales el cálculo es diferente.

Para resolver estas nuevas figuras se utiliza el cálculo diferencial y las integrales

pudiendo así encontrar de una manera rápida y sencilla la resolución exacta de

dichas figuras, este proceso es útil para poder encontrar el área, volumen y a demás

características de las figuras geométricas.

Integración.

Así podemos decir que el cálculo integral es la rama de las matemáticas, en el

proceso de integración o anti derivación.

La integral la podemos definir como una suma de infinitos sumandos infinitamente

pequeño.

Dentro de las integrales tenemos lo que son las integrales definidas, las cuales nos

ayudaran al cálculo de áreas, volúmenes, longitudes, de líneas que tengan una

característica especial cuando sean curvas parábolas, entre otras.

Estas integrales nos ayudaran a determinas cuales quiera de estas características

asignando un límite a la integrar es decir con un intervalo definido desde donde a

donde quiero calcular lo que necesito.

Para comprender mejor diremos que para el cálculo del volumen el área, el

perímetro y el área lateral de la siguiente función y=x2 entre las funciones

siguientes x=5 y y=0.

Para desarrollar este ejercicio debemos aprender como determinar el área plana a

través de integrales para lo cual la fórmula es la siguiente.

El área bajo una curva.

A=∫a

b

y dx

Donde a y b son los límites a será el límite inferior y b el límite superior.

La longitud arco para calcular el perímetro.



s=∫a

b

√(1¿+( y ')2)¿ dx

y’ es la derivada de la función.

Fórmula para el cálculo de áreas laterales o ejes de revolución.

ALX=2π∗∫a

b

y √(1¿+( y ' )2¿)¿¿ dx

ALY=2π∗∫a

b

y√(1¿+ (x' )2¿)¿¿dy

Fórmula para el cálculo del volumen.

vx=π∗∫a

b

¿¿)2 dx

vy=2π∗∫a

b

xy dx

Sabiendo toso esto ya podremos aplicar el principio de integral para el cálculo de las

características de las figuras geométricas.

Para la resolución del ejercicio anterior proseguimos de la siguiente manera.

A:

A=∫0

5

x2dx

A=[ x3

3] Entre 0,5

A=42.76u2

P:



s=( 12 )∗∫

0

5

√(1¿+(2 X )2)dx ¿

s=( 12 )¿

ALX:

ALX=2π∗∫0

5

x2∗√(1¿+(2 X )2)dx¿

ALX=π4

¿

+14

ln ¿

ALX=632.165.

ALY:

ALY=2π∗∫0

5

x∗√(1¿+(2 X )2)dx¿

ALY=π [ (1+4 x2 )32

3 ];0a5

y=168.3 π

VX:

vx=π∫0

5

x4dx

vx=π ( x5

5 )de 0a5

vx=625π



VY:

vy=2π∫0

5

x∗x2dx

vy=2π ( x4

4)

vy=625π2

Después del cálculo de cada una de estas fórmulas con respecto a la función debemos

graficar la figura que se forma entre los límites estimados para lo cual si necesitaremos

lo que es el software Geo Gebra para poder tener una mejor vista de la figura en forma

de sólido, tomando en cuenta una mayor precisión de las mediadas en la gráfica.

Pero antes hablemos un poco sobre lo que es Geo Gebra.

Geo Gebra

Es un software matemático multiplataforma que nos ofrece la oportunidad de

experimentar las extraordinarias percepciones que las matemáticas posibilitan.

Además, es un programa dinámico para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas

para educación en todos sus niveles. Combina dinámicamente, geometría, algebra,

análisis y estadística en un único conjunto tan sencillo a nivel operativo como potente.

Geo Gebra en los estudiantes

• Hace tangible la matemática, Geogebra crea una conexión entre la geometría y la

algebra de un modo completamente nuevo y visual, los estudiantes pueden al fin ver,

tocar y experimentar la matemática.

• Las matemática se hacen dinámicas, interactivas y divertidas, Geogebra muestra

las matemáticas de un modo nuevo y emocionante, que va más allá de la pizarra y que

aprovecha las nuevas tecnologías.

• Hace las matemáticas asequibles y accesibles, Geogebra permite a los

estudiantes conectar con las matemáticas en todo momento y en cualquier lugar: en la

escuela, en casa, sobre la marcha.

• Hace que las matemáticas sean más fáciles de aprender, Geogebra crea las

interacciones que los estudiantes necesitan para captar los conceptos matemáticos.



Geo gebra en los profesores

• Permite a los profesores incorporarlo a sus clases, Geogebra no sustituye a los

profesores, les ayuda con lo que mejor saben hacer enseñar.

• Permite a los profesores diseñar y desarrollar mejores clases, Geo gebra ofrece a

los profesores la libertad de ser ellos mismos, creando lecciones que saben que sus

alumnos considerarán interesantes.

• Permite a los profesores conectar con otros profesores, los profesores de Geo

gebra forman parte de una comunidad matemática global.

Características de Geogebra son:

1. Es un recurso para la docencia de las matemáticas basada en las TIC, útil para

toda la educación secundaria.

2. Permite realizar acciones matemáticas como demostraciones, supuestos, análisis,

experimentaciones, deducciones, etc.

3. Combina geometría, álgebra y cálculo. También deriva, integra.

4. Permite construir figuras con puntos, segmentos, rectas, vectores, cónicas y

genera gráficas de funciones que pueden ser modificadas de forma dinámica utilizando

el ratón.

5. Geogebra trabaja con objetos. Cualquier modificación realizada dinámicamente

sobre el objeto afecta a su expresión matemática y viceversa. Cualquier cambio es su

expresión matemática modifica su representación gráfica.

6. Puede ser utilizado tanto online (http://www.geogebra.org/cms/es/download)

como instalado en el ordenador offline desde

(http://www.geogebra.org/cms/es/installers).

Después de haber hablado de lo que es Geo Greba nos centraremos en hablar como

funciona este software:

Geómetra presenta una interfaz muy agradable con el usuario fácil y muy didáctica de

usar.

Para utilizar este programa nos debemos descargar de la página oficial

http://www.geogebra.org lo instalaremos en nuestra computadora importante y bueno de

este software es libre es decir no tiene ningún precio alguno.

Ahora vamos hablar sobre el uso de la interfaz de geo gebra.

Para lo cual diseñaremos un pequeño manual de uso:



MANUAL DE USO GEO GEBRA.

1. Primero Abrimos el programa.

Se nos abrirá una ventana con el menú que nos ofrece este programa.

Como pueden ver Es un diseño agradable donde tenemos la oportunidad de resolver

ecuaciones hacer gráficos en 3D y 2D, y ejercicios de probabilidad.

2. Seleccionamos la opción gráficos 3D.

Y se nos abrirá una ventana con el espacio de trabajo de este software.



Como se puede observar tenemos el espacio de trabajo en 3D, pero para graficar

la función necesitamos guiarnos en el modo 2D así para poder tomar en cuenta

los límites de donde hasta donde va esta:

3. Entrada datos.

Par pode graficar las funciones en este nos dirigimos a la barra donde dice entrada y

perseguimos a ingresar las líneas y funciones.



Para ingresar los limites solo igualamos la variable al valor de limitación.

4. Mientras tanto para ingresar la función con limites debemos escribir “fun...”, y

se nos despegara varias opciones de las cuales tomaremos la segunda que nos

pedirá la función y los limites.

Después de a ver ingresado la función con sus límites tendremos que la función y

los limites se ubicaran a la izquierda de la pantalla.

Y las gráficas se mostraran en los planos.



5. Después de tener graficada la función y la línea de limite procedemos a armar el

sólido para su interpretación con la ayuda de un deslizante el cual nos ayudara a

mover a la función tanto en el eje x como en el eje y. En la barra de herramientas

se ubicara el deslizador.

Después debemos proceder a configurar al deslizador para ponerlo en forma

vertical para poder el moviente en el ejex.



De esa manera debe quedar la configuración como vamos a ser rotar le picamos

en Angulo seleccionamos el sentido. Y pondremos el intervalo de cuanto en

cuanto tiene q ir girado claro que en grados.

Como pueden observar se me creo una línea verde ese es el deslizador.

6. Asignación de las líneas al deslizador.

Para poder rotar la función debemos ingresar el comando rótate el cual nos

desplegara algunas opciones. Nosotros ocuparemos el comando

rotate<Función>,<ángulo>,<Eje de rotación> en este caso será nuestra función y el

ángulo será el deslizante y el eje se el eje x.



Y se me generara un línea con respecto al deslizador así:

La nueva función creada ahí es la q va a girar.

Lo mismo aremos con un segmento de recta que lo ubicaremos así:

Vale decir que a las líneas las podemos cambiar de color y de tipo como pueden ser

segmentadas para identificar bien en el plano.



Haciendo click encima de la línea se me despegara esas opciones y podremos

cambiar de color y de forma.

Y ahora aremos el segmento.



Y hacemos lo mismo que hicimos con la función para poder rotarla.

La recta vede prima representa el segmento q va a girar.

Después damos click en las rectas creadas para rotar y seleccionamos rastro.



Haciendo esto se podrá notar la forma que tomara la figura.

Lo mismo aremos para rotar en el je y si no q ahora nos crearemos un deslizador en

forma horizontal para hacer girar a la función en el eje y.

Para lo cual cambiaremos el sentido del eje de referencia para que el eje y quede en

forma vertical y tener una mejor apreciación del movimiento en el eje y dando click

derecho en la grafica de 3D escogeremos opciones gráficos y se nos desplegara una

lista de opciones escogeremos el icono de la pirámide en 3D y le picaremos en eje

vertical así:



Y se nos pondrá en vertical y ahora si crearemos el otro deslizador este ira tal y

como está el otro pero sin cambiarle la forma horizontal así:

Eso sí es importante darle un nuevo nombre al ángulo.

Y asi tenemos el otro deslizante.

Y hacemos lo mismo con las funciones en el momento de rotar escribiremos el

comando pero ahora cambiara el ángulo y el sentido después cambiaremos de color

a las nuevas líneas y marcaremos el casillero de rastro.



Y así podemos observar cómo se crearon las nuevas líneas.

Tanto en azul y como en rosa.

7. Rotación de las líneas.

Ahora debemos dar click en el ángulo o deslizador y picar en animación y empezara

a correr la animación y para parar desmarcaremos la casilla.

Primero en el eje x.

Esto obtenemos en el eje x.

Ahora en el eje y.



8. Calculo de volumen y los demás valores pedidos.

Para el cálculo de volumen, área, etc, lo haremos ingresando la integral lista para

resolver en la barrita de entrada del programa con el comando integración y se

desplegara varias opciones nosotros escogeremos integral<ecuación>, <Límite

Inferior>, <Limite suprior > asignaremos con un igual a una variable daremos enter

y se generara la respuesta así.

Se delegara esto y escogeremos la tercera.



De esta manera ingresare la integral, ojo algunas letras están reservadas usar con

mucha precaución.

Ahí podemos ver el área bajo la curva.

Y así podemos ir ingresando las integrales y este programa nos enviaran los

resultados y los podremos comparar con los calculados a mano.



Así se muestran las fórmulas de integración y su respuesta se asigna a la variable.

Estas fórmulas las debemos tener previamente echas para la facilidad de resolución.

Todos los archivos creados se almacena en un carpeta así:

Geo gebra es un programa muy útil para la representación de solidos en 3

dimensiones.

1.7 Resultados y Discusión



Los resultados obtenidos son muy favorables ya que a través de este software hemos

podido visualizara el sólido en revolución y calcular la integral de cada incógnita a

calcular.

Obtenido así una mejor manera de resolver los ejercicios con una mayor apreciación

del grafico o solido a representarse.

1.8 Conclusiones

Se ha desarrollado un proceso matemático fácil y sencillo en el cálculo de figuras

geométricas.

Implementa acciones matemáticas como demostraciones, supuestos, análisis,

experimentaciones, deducciones.

Mediante la combinación de geometría, algebra y cálculo, Geo gebra deriva e

integra y mediante esto se obtiene una gráfica en el plano.

Geo gebra es un software dinámico para la enseñanza y aprendizaje de las

matemáticas para educación en todos sus niveles.

1.9 Referencias bibliográficas

https://www.geogebra.org/http://recursostic.educacion.es/observatorio/web/fr/equipamiento-tecnologico/didactica-de-la-tecnologia/806-monografico-matematicas-y-las-tic?start=2

2.10. Fotografías y gráficos

calculo.docx

Documents