calculo - volume 2 - mauricio vilches

8/20/2019 Calculo - Volume 2 - Mauricio Vilches

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CÁLCULO: VOLUME II

MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA

Departamento de Análise - IMEUERJ



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Copyright by Mauricio A. VilchesTodos os direitos reservados

Proibida a reprodução parcial ou total



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PREFÁCIO

"Por favor, poderia me dizer que caminho devo seguir agora?Isso depende bastante de até onde você quer chegar."Lewis Carrol - Alice no País das Maravilhas

Esta notas são a continuação natural do livro CÁLCULO: VOLUME I, queé pré-requisito para este livro. Da mesma forma que o Cálculo Diferenciale Integral de uma variável, os conceitos centrais do Cálculo Diferencial eIntegral de várias variáveis são relativamente profundos e não se espera

que possam ser assimilados de uma só vez. Neste nível, o importante éque o leitor desenvolva a habilidade de calcular e adquira a compreensãogeométrica dos problemas. Esperamos que o livro permita ao leitor umacesso rápido e agradável ao Cálculo Diferencial e Integral de uma variável.Não podemos deixar de recomendar aos alunos a utilização, criteriosa, dossoftwares de Cálculo existente no mercado, pois eles são um complementoútil ao aprendizado da disciplina. IntroduDesejamos agradecer aos nossos colegas do Departamento de Análise e doIME-UERJ que, de algum modo, nos motivaram e deram condições paraescrever estas notas e à Sra. Sonia Maria Alves pela digitação. Certamente,todos os erros são exclusivamente de responsabilidade dos autores. central

Mauricio A. Vilches - Maria Luiza CorrêaRio de Janeiro



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Conteúdo

1 GEOMETRIA ANALÍTICA 111.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Espaços Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 O Espaço Euclidiano Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Sistema de Coordenadas Ortogonais no Espaço . . . . . . . . 131.5 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Norma Euclidiana de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Ângulos Diretores e Co-senos Diretores . . . . . . . . . . . . . 171.7.1 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.8.1 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.9 Distância em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.10 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.10.1 Paralelismo e Perpendicularismo . . . . . . . . . . . . . 251.10.2 Forma Simétrica da Equação da Reta . . . . . . . . . . . 261.10.3 Distância de um Ponto a uma Reta . . . . . . . . . . . 27

1.11 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.11.1 Ângulo entre Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.11.2 Paralelismo e Perpendicularismo entre Planos . . . . . 301.11.3 Distância de um Ponto a um Plano . . . . . . . . . . . 32

1.12 Generalizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.12.1 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.13 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 SUPERFÍCIES QUÁDRICAS 412.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2 Superfícies Quádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3 Elipsóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3.1 Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4 Hiperbolóide de uma folha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.5 Hiperbolóide de duas folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

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6 CONTEÚDO

2.6 Parabolóide Elítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.7 Parabolóide Hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.8 Cone Elítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.9 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 653.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2 Domínio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3 Gráfico de Funções de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . 753.4 Conjuntos de nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4 CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA 954.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2 Bolas Abertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3 Conjuntos Abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.4 Conjunto Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.5 Conjuntos Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5 LIMITES E CONTINUIDADE 1015.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.2 A não existência de um limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.3 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6 DERIVADAS PARCIAIS 1176.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.2 Generalizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.3 Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais . . . . . . . . 1236.4 Derivadas Parciais como Taxa de Variação . . . . . . . . . . . 1266.5 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.6 Aproximação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.7 Derivadas Parciais de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . 1436.8 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

7 DERIVADA DIRECIONAL 165

7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1657.2 Derivada Direcional como Taxa de Variação . . . . . . . . . . . 1697.3 Gradiente de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170



CONTEÚDO 7

7.4 Observações Geométricas sobre Gradientes . . . . . . . . . . . 1757.5 Funções Implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.6 Gradiente e Conjuntos de Nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1867.7 Gradiente e Curvas de Nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1877.8 Ângulo entre Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1907.9 Gradiente e Superfícies de Nível . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

7.10 Ângulo entre Superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

8 MÁXIMOS E MÍNIMOS 2098.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2098.2 Determinação dos Extremos Locais . . . . . . . . . . . . . . . . 215

8.2.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2218.3 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

8.3.1 Mínimos Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2318.4 Máximos e Mínimos Absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

8.5 Método dos Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . 2408.6 Determinação dos Extremos Condicionados . . . . . . . . . . 2428.7 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

8.7.1 Generalização do Método . . . . . . . . . . . . . . . . . 2578.8 Método de Lagrange e Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . 2588.9 Eliminação do Parâmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2608.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

9 INTEGRAÇÃO DUPLA 2719.1 Integração Dupla sobre Retângulos . . . . . . . . . . . . . . . . 271

9.2 Significado Geométrico da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . 2729.3 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2759.4 Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2779.5 Extensão do Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2829.6 Integração Dupla sobre Regiões mais Gerais . . . . . . . . . . 2849.7 Regiões Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

9.7.1 Regiões de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2849.7.2 Regiões de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2859.7.3 Regiões de tipo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

9.8 Extensão da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

9.9 Integral Dupla e Volume de Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . 2899.9.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2909.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300



8 CONTEÚDO

10 MUDANÇA DE COORDENADAS 30310.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30310.2 Jacobiano da Mudança de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . 30510.3 Mudança de Coordenadas e Integrais Duplas . . . . . . . . . . 30710.4 Mudança Linear de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 30810.5 Mudança Polar de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

10.6 Regiões Limitadas por Círculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31610.7 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32410.8 Exercícios de Mudança de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . 32710.9 Outras Aplicações da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . 33910.10 Massa Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34010.11Momento de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

10.11.1 Centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34110.12Momento de Inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34310.13Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

11 INTEGRAÇÃO TRIPLA 349

11.1 Integração Tripla sobre Paralelepípedos . . . . . . . . . . . . . 34911.2 Integrais Triplas sobre Regiões mais Gerais . . . . . . . . . . . 353

11.2.1 7.2.1 Regiões Elementares no Espaço . . . . . . . . . . . 35311.2.2 Regiões de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35411.2.3 Regiões de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35411.2.4 Regiões de tipo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35511.2.5 Região de tipo IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

11.3 Extensão da Integral Tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35711.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

12 MUDANÇA DE COORDENADAS 36512.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36512.2 Coordenadas Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36712.3 Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37512.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

13 APÊNDICE 38713.1 Limite e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38713.2 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38713.3 Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

14 RESPOSTAS 39914.1 Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39914.2 Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400



CONTEÚDO 9

14.3 Capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40114.4 Capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40114.5 Capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40114.6 Capítulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40214.7 Capítulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40314.8 Capítulo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

14.9 Capítulo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40314.10 Capítulo 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

Bibliografia 405



10 CONTEÚDO



Capítulo 1

GEOMETRIA ANALÍTICA

1.1 Introdução

Neste capítulo estabeleceremos os conceitos básicos para o estudo do Cál-culo em várias variáveis. Não pretendemos fazer um estudo detalhado devetores ou de Geometria Analítica, mas recomendamos aos leitores, consul-tar a bibliografia como complemento necessário deste capítulo.

1.2 Espaços Euclidianos

O espaço euclidiano n-dimensional (n ∈ N) é o produto cartesiano de nfatores iguais a R:

Rn = R× R× . . . . . . × R.

1. Se n = 1, R1 = R é a reta coordenada.

2. Se n = 2, R2 é o plano ccordenado.

3. Se n = 3, R3 é o espaço coordenado tridimensional.

1.3 O Espaço Euclidiano Tridimensional

O espaço euclidiano tridimensional é definido pelo conjunto:

R3 = {(x,y,z ) / x, y, z ∈ R}.

11



12 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA ANALÍTICA

Logo, os elementos de R3 são ternos ordenados. Dados (x,y,z ) ∈ R3 e(x1, y1, z 1) ∈ R3, tem-se (x,y,z ) = (x1, y1, z 1) se, e somente se, x = x1, y = y1

e z = z 1.

Em R3 podem ser definidas duas operações.

Definição 1.1. Dados (x,y,z ), (x1, y1, z 1) ∈ R3 e β ∈ R, definimos:

1. Adição de elementos de R3:

(x,y,z ) + (x1, y1, z 1) = (x + x1, y + y1, z + z 1).

2. Multiplicação de elementos de R3 por escalares de R:

β (x,y,z ) = (β x, β y, β z ).

Estas duas operações satisfazem às seguintes propriedades:

Proposição 1.1. Dados x, y, z e 0 = (0, 0, 0) elementos de R3 e α, β ∈ R;

então:

1. x + y = y + x

2. (x + y) + z = x + (y + z)

3. x + 0 = 0 + x = x.

4. α (β x) = (α β )x

5. β (x + y) = β x + β y

6. (α + β )x = α x + β x

7. 1 · x = x · 1 = x

8. ∃ − x ∈ R3 tal que x + (−x) = (−x) + x = 0.

9. Se x = (x,y,z ), então −x = (−x, −y, −z )

Observação 1.1. Em geral, um conjunto onde são definidas as operaçõesde adição e multiplicação por um número real (escalar), como na definiçãoanterior, satisfazendo às propriedades anteriores é chamado espaço vetorialsobre R e seus elementos são chamados vetores. Logo, R3 é um espaçovetorial (de dimensão 3) sobre R.

De forma analoga, R2 é um espaço vetorial de dimensão 2 sobre R.



1.4. SISTEMA DE COORDENADAS ORTOGONAIS NO ESPAÇO 13

1.4 Sistema de Coordenadas Ortogonais no Es-paço

Escolhamos três retas mutuamente perpendiculares e denotemos por 0 oponto de interseção das retas, chamado origem. Estas retas, ditas eixos co-ordenados, são designadas como o eixo dos x, eixo dos y e eixo dos z , res-pectivamente.Os eixos dos x e dos y formam um plano horizontal e o eixo dos z é orto-gonal a este plano. Os planos que contem os eixos coordenados, chamadosplanos coordenados, são: plano xy se contem os eixos dos x e dos y ; planoxz se contem os eixos dos x e dos z e plano yz se contem os eixos dos y e dosz .

Os planos coordenados dividem o espaço em oito partes chamadas octantes.Um terno ordenado de números reais (x,y,z ) está associado a um únicoponto P do sistema de coordenadas.

A distância do ponto P ao plano yz é a coordenada x de P , a distância doponto P ao plano xz é a coordenada y de P e a distância do ponto P aoplano xy é a coordenada z de P . Estas três coordenadas são as coordenadasretangulares do ponto P e determinam uma correspondência um a um entreternos ordenados e pontos do sistema de coordenadas. Ao 0 está associadoo terno (0, 0, 0).

P

x

y

z

0

(x,y)

Figura 1.1:

Observações 1.1.

1. Os elementos de R3 são denominados pontos ou vetores, com o se-guinte cuidado: (x,y,z ) ∈ R3 é um vetor que tem a origem em (0, 0, 0)e extremidade em (x,y,z ).




2. (x,y,z ) e é também chamado vetor posição de (x,y,z ).

3. Para ter uma melhor distinção denotaremos os vetores de forma dife-rente da dos pontos. Por exemplo 0 = (0, 0, 0) é o vetor nulo.

(x,y,0)

(x,y,z)

z

x

0 y

Figura 1.2:

Dados P 1 = (x1, y1, z 1) e P 2 = (x2, y2, z 2), o vetor v determinado por−−→P 1P 2 é:

v = P 2 − P 1 = (x2 − x1, y2 − y1, z 2 − z 1)

O vetor v =−→OP é o vetor posição do ponto P .

Exemplos 1.1.

[1] Se P 1 = (3, 2, 1) e P 2 = (−2, 1, −5), determine−−→P 1P 2.

Da definição:

−−→P 1P 2 = (−2, 1, −5) − (3, 2, 1) = (−5, −1, −6).

[2] Se P 1 = (√

2, 1, π) e P 2 = (2, 1, 2 π), determine−−→P 1P 2.

Da definição:

−−→P 1P 2 = (2, 1, 2 π) − (

√ 2, 1, π) = (2 −

√ 2, 0, π).



1.5. PRODUTO ESCALAR 15

1.5 Produto Escalar

Definição 1.2. Sejam u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) vetores em R3. Oproduto escalar de u e v, denotado por u · v (ou < u, v >) é definido por:

u · v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3

Analogamente se define o produto escalar de vetores em R2.

Proposição 1.2. Sejam v, u, w ∈ R3 e β ∈ R, então:

1. v · v ≥ 0

2. v · v = 0 se e somente se, v = 0.

3. v · u = u · v.

4. v

· 0 = 0.

5. (β u) · v = u · (β v) = β ( u · v).

6. w · ( u + v) = ( w · u) + ( w · v).

As propriedades podem ser provadas diretamente da definição.

Definição 1.3. O vetor v é ortogonal a w se e somente se

v· w = 0

O vetor 0 é o único vetor ortogonal a todos os vetores de R3. Se w ∈ R2 e w = (x, y), então os vetores (−y, x) e (y, −x) são ortogonais a w.

1.6 Norma Euclidiana de um Vetor

Definição 1.4. Seja v = (v1, v2, v3) ∈ R3. A norma euclidiana de v é denotadapor v e definida por:

v = √ v · v =

v21 + v

22 + v

23

O vetor v é dito unitário se v = 1.




Proposição 1.3.

1. Se w = 0 não é unitário, então o vetor definido por:

v = w

w

,

é unitário e tem a mesma direção de w.

2. Se θ é o ângulo formado pelos vetores v e u, então:

v · u = v u cos(θ).

A propriedade 1, pode ser provada diretamente da definição. A segunda,aplicamos a lei dos co-senos ao triângulo da figura, temos:

u− v2 = u2 + v2 − 2 u v cos(θ).

v

u-v

O

u

θ

Figura 1.3:

u2 = u · u; temos:

u− v · u− v

= u · u+ v · v− 2 u v cos(θ); logo,

u · u− u · v− v · u + v · v = u · u + v · v− 2 u v cos(θ);

então, u · v = u v cos(θ).

Três vetores de R3

tem um destaque especial, a saber:

i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1).



1.7. ÂNGULOS DIRETORES E CO-SENOS DIRETORES 17

0

k

j

i

Figura 1.4: Os vetores i, j e k.

Os vetores i, j e k são unitários e mutuamente ortogonais. O conjunto{ i, j, k} é dito a base canônica do R3. Para todo v = (v1, v2, v3) ∈ R3 te-mos:

v = v1

i + v2

j + v3

k

1.7 Ângulos Diretores e Co-senos Diretores

Os ângulos diretores de um vetor não nulo v = (v1, v2, v3) são os ângulos α,β e γ , no intervalo [0, π] que v forma com os eixos coordenados.

γ

α

β

y

z

x

Figura 1.5:

Os co-senos desses ângulos diretores, cos(α), cos(β ) e cos(γ ) são chamadosco-senos diretores do vetor v. Pelas propriedades do produto escalar, temos:




cos(α) = v · i

v i = v1 v =

v1 v21 + v2

2 + v23

,

cos(β ) = v · j

v j=

v2 v =

v2

v21 + v2

2 + v23

e

cos(γ ) = v · k

v k=

v3 v =

v3 v21 + v2

2 + v23

.

O vetor v fica univocamente determinado conhecendo seu comprimento eseus ângulos diretores. De fato:

v1 = v cos(α), v2 = v cos(β ) e v3 = v cos(γ ).

Note que cos2(α) + cos2(β ) + cos2(γ ) = 1.

Exemplos 1.2.

[1] Sejam v = (1, 2, 3) e w = (−2, 1, 3). Determine v · w e os vetores unitáriosnas direções de v e w, respectivamente.

Primeiramente calculamos v · w = −2 + 2 + 9 = 9. Agora devemos determi-nar:

v

v e

w

w.

v =√

1 + 4 + 9 =√

14 e w =√

4 + 1 + 9 =√

14; logo,

1√ 14

, 2√

14,

3√ 14

e − 2√

14,

1√ 14

, 3√

14

,

são os vetores unitários nas direções de v e w, respectivamente.

[2] Sejam v = (x, −2, 3) e u = (x,x, −5). Determine o valor de x para que ve u sejam ortogonais.

Da definição v e u são ortogonais se v · u = 0; então, v · u = x2−2 x−15 = 0,equação que tem soluções x = 5 e x = −3; logo: v = (5, −2, 3) e u =(5, 5, −5) são ortogonais e v = (−3, −2, 3) e u = (−3, −3, −5) são ortogonais.



1.8. PRODUTO VETORIAL 19

[3] Sejam P 1 = (3, −2, −1), P 2 = (1, 4, 1), P 3 = (0, 0, 1) e P 4 = (−1, 1, −1).Determine o ângulo formado pelos vetores

−−→P 1P 2 e

−−→P 3P 4.

Sejam v =−−→P 1P 2 = (1 − 3, 4 + 2, 1 + 1) = (−2, 6, 2) e w =

−−→P 3P 4 = (−1, 1, −2).

O ângulo formado por v e w é:

cos(θ) =

v

· w

v w = 2

33 .

[4] Calcule os co-senos diretores de u = (−2, 1, 2).

Como u = 3, cos(α) = −2

3, cos(β ) =

1

3 e cos(γ ) =

2

3.

1.7.1 Trabalho

Suponha que uma força constante F move uma partícula de um ponto P atéum ponto Q. O trabalho realizado pela partícula é dado por:

W = F · −→P Q

Se a unidade de comprimento é dada em metros e a força é dada em New-tons, o trabalho é dado em Joules (J ).

Exemplos 1.1.

Uma força dada por F = (1, 2, 3) move uma partícula do ponto (1, 1, 1) aoponto (4, 2, 3); logo: W = (1, 2, 3) · (3, 1, 2) = 3 + 2 + 6 = 11 J .

1.8 Produto VetorialDefinição 1.5. Dados v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) vetores em R3, oproduto vetorial de v e w, denotado por v× w é definido por:

v × w =

v2 v3w2 w3

i−v1 v3w1 w3

j +

v1 v2w1 w2

k

Logo, da definição segue:

v × w =

v2 w3 − v3 w2

i +

v3 w1 − v1 w3

j +

v1 w2 − v2 w1

k.

Proposição 1.4. Sejam v, w e u vetores do R3 e β ∈ R. Então:




1. v× v = 0.

2. 0 × v = v× 0 = 0.

3. v× w = − w × v.

4. v× ( w + u) = v × w + v× u.

5. β v× w = v × β w = β ( v× w).

6.

v

× w

=

v

w

sen(θ), onde θ é o ângulo formado por v e w.

7. Os vetores v e w são paralelos se e somente se v× w = 0.

8. O vetor v × w é ortogonal aos vetores v e w.

9. A área do paralelogramo determinado por v e w é v× w.

v

w

θ

Figura 1.6:

10. Identidade de Lagrange: v× w2 = v2 w2 − ( v · w)2.

11.

u · ( v× w) =

u1 u2 u3

v1 v2 v3w1 w2 w3

12. O volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u, v e w édado por

V = | u · ( v× w)|.

Prova: As provas seguem diretamente das definições.

De fato, vejamos por exemplo:

7. Se v× w = 0 o ângulo formado pelos vetores é zero ou π; logo, os vetores

são paralelos.9. A base do paralelogramo é v e sua altura é w sen(θ), onde θ é oângulo entre v e w.



1.8. PRODUTO VETORIAL 21

10. v × w2 = v2 w2 sen2(θ) = v2 w2 (1 − cos2(θ)) = | v2 w2 −( v · w)2.

12. A área da base é A = v × w; seja θ o ângulo formado por u e v × w;logo, a altura do paralelepípedo é h = u |cos(θ)|; então, V = | u · ( v× w)|.

Exemplos 1.2.

[1] Sejam v = (−3, −2, 2) e w = (−1, 1, 2). Calcule v × w, ( w × v) × v e( w × v) × u.

Da definição e das propriedades temos:

v× w = (−6, 4, −5) e ( w× v)× v = (2, −27, −24) e ( w× v)× w = (−13, −18, 2).

[2] Calcule i× j, i× k, j × k e ( i× j) × ( j× k).

Da definição temos: i × j = (0, 0, 1) = k, i × k = (0, −1, 0) = − j, j × k =

(1, 0, 0) = ie ( i× j) × ( j × k) = k× i = j.

[3] Calcule a área do triângulo determinado por P = (2, 2, 0), Q = (−1, 0, 2)e R = (0, 4, 3).

A área do triângulo é a metade da área do paralelogramo determinado por u =

−→P Q e v =

−→P R; logo:

A = u× v

2 =

(−10, 5, −10)2

= 15

2 .

[4] Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u =(2, −3, 4), v = (1, 2, −1) e w = (3, −1, 2).

Como v× w = (3, −5, −7), temos V = | u · ( v × w)| = | − 7| = 7.

[5] Determine o valor de k tal que u = (2, −1, 1), v = (1, 2, −3) e w = (3, k, 5)sejam coplanares.

Se u, v e w são coplanares, então, u · ( v × w) = 0; caso contrário, determi-nariam um paralelepípedo e, portanto, os vetores não poderiam ser copla-nares.

v× w = (10 + 3 k, −14, k − 6);

logo, u · ( v × w) = 7 k + 28; resolvendo 7 k + 28 = 0, temos k = −4.




1.8.1 Torque

Se uma força F age num ponto de um corpo rígido, de vetor posição r,então essa força tende a girar o corpo em torno de um eixo que passa pelaorigem do vetor posição e é perpendicular ao plano de r e F . O vetor torque(relativo à origem) é dado por:

τ = r × F .

O torque fornece uma medida do efeito de um corpo rígido ao rodar emtorno de um eixo. A direção de τ indica o eixo de rotação.

Exemplos 1.3.

[1] Uma força F = (2, 5, 8) age num ponto de um corpo rígido, de coorde-nadas (1, 1, 2). Calcule o torque.

Da definição r = (1, 1, 2); logo, τ = r×

F = (1, 1, 2)×

(2, 5, 8) = (−

2,−

4, 3).A direção de (−2, −4, 3) indica o eixo de rotação.

[2] Um parafuso é apertado aplicando uma força de 300 N com uma chavede 0.45 m de comprimento fazendo um ângulo de

π

4 como na figura. Deter-

mine o módulo do torque em torno do centro do parafuso.

Figura 1.7:

Comos τ = r × F = r F sen(α); temos que r = 0.45, F = 300 e

senπ

4

=

√ 2

2 , temos, τ = 67.5

√ 2 J .

1.9 Distância emR3

Definição 1.6. Sejam P 1 = (x1, y1, z 1) e P 2 = (x2, y2, z 2) pontos do R3. Adistância entre P 1 e P 2 é denotada e definida por:



1.10. RETAS 23

d0(P 1, P 2) =

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z 1 − z 2)2

Em particular, se P = (x,y,z ):

d0(0, P ) = −→0P =

x2 + y2 + z 2

Proposição 1.5. Sejam P 1, P 2 e P 3 pontos do R3, então:

1. d0(P 1, P 2) > 0

2. d0(P 1, P 2) = 0 ⇐⇒ P 1 = P 2.

3. d0(P 1, P 2) = d0(P 2, P 1)

4. Desiguladade triangular:

d0(P 1, P 3) ≤ d0(P 1, P 2) + d0(P 2, P 3).

1.10 Retas

Sejam P = (x1, y1, z 1) um ponto e v = (v1, v2, v3) um vetor em R3. A reta quepassa pelo ponto P e tem direção v é dada, parametricamente, por:

P (t) = P + t v, t ∈ R

Em coordenadas:

x(t) = x1 + t v1

y(t) = y1 + t v2

z (t) = z 1 + t v3, t ∈ R.

Dados P 1 = (x1, y1, z 1) e P 2 = (x2, y2, z 2) em R3, vamos obter a equação dareta que passa por P 1 e P 2.




P

1

2

z

O

x

y

P

Figura 1.8: A reta que passa por P 1 e P 2.

A direção da reta é dada por v =−−→P 1P 2; logo, as equações paramétricas são:

x(t) = x1 + t (x2 − x1)

y(t) = y1 + t (y2 − y1)

z (t) = z 1 + t (z 2

−z 1), t

∈R.

Exemplos 1.4.

[1] Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1, −1, 1) e tem a di-reção do vetor (2, 1, 3). Ache outro ponto da reta.

Sejam P = (1, −1, 1) e v = (2, 1, 3); logo,

x(t) = 1 + 2 t

y(t) = −1 + t

z (t) = 1 + 3 t,

t ∈ R. Fazendo, por exemplo, t = 1 na equação da reta, temos que (3, 0, 4) éum ponto da reta.

-2.5

0

2.5

5

-20

2

-5

0

5

-2.5

0

2.5

5

-2

Figura 1.9: A reta do exemplo [1].



1.10. RETAS 25

[2] Determine a equação da reta que passa pelos pontos P 1 = (−2, −1, 3) eP 2 = (3, 2, 7).

A direção da reta é v =−−→P 1P 2 = (5, 3, 4); logo a equação é:

x(t) = −2 + 5 t

y(t) = −

1 + 3 t

z (t) = 3 + 4 t, t ∈ R.

-5

0

5

-50

5

-5

0

5

-5

0

5

-5

Figura 1.10: A reta do exemplo [2].

1.10.1 Paralelismo e Perpendicularismo

Sejam l1 e l2 retas de direções v1 e v2, respectivamente; então:

1. l1 é paralela a l2 se, e somente se, v1 × v2 = 0.

2. l1 é perpendicular a l2 se, e somente se, v1

· v2 = 0.

A prova segue diretamente das definições.

Exemplos 1.5.

[1] As retas

x = 1 + 2 t

y = −3 + 6 t

z = 1 + 4 t

e

x = 4 − t

y = −3 t

z = −5 − 2 t

são paralelalas. De fato, v1 = (2, 6, 4), v2 = (−1, −3, −2) e v1 × v2 = 0.

[2] As retas




x = 1 + 2 t

y = −3 + 6 t

z = 1 + 4 t

e

x = 5 − t

y = 3 + t

z = −5 − t

são perpendiculares. De fato, v1 = (2, 6, 4), v2 = (−1, 1, −1) e v1 · v2 = 0.

[3] As retas

x = 1 + 2 t

y = −2 + 3 t

z = 4 + t

e

x = 5 t

y = 3 + 2 t

z = −3 + 3 t

não são paralelas nem perpendiculares e não se intersectam. Tais retas sãoditas reversas.

-5

0

5

10

-50

5

-5

0

5

-5

0

5

10

-50

Figura 1.11: As retas do exemplo [3].

1.10.2 Forma Simétrica da Equação da RetaEliminando o parâmetro t na equação da reta, obtemos a forma simétrica daequação da reta:

x − x1

v1=

y − y1v2

= z − z 1

v3

sendo os vi = 0 (1 ≤ i ≤ 3). Se, por exemplo, v1 = 0, obtemos:

x = x1,

y

−y1

v2 =

z

−z 1

v3 ;

os outros casos são análogos.



1.11. PLANOS 27

1.10.3 Distância de um Ponto a uma Reta

Seja P um ponto que não pertence à reta que passa pelos pontos Q e R. Adistância do ponto P à reta é:

d1 = v× w

v

onde v =−→QR e w =

−→QP . A prova deste fato fica como exercício.

Exemplos 1.6.

[1] Ache a distância do ponto P = (2, 1, −1) à reta que passa pelos pontosQ = (2, 0, 1) e R = (−2, −2, 1).

Como v =−→QR = (−4, −2, 0), w =

−→QP = (0, 1, −2); logo,

d1 = v

× w

v = 24

5 .

1.11 Planos

Definição 1.7. Sejam o vetor n = 0 e o ponto P 0 = (x0, y0, z 0) ∈ R3, fixado.O conjunto de todos os pontos P = (x,y,z ) ∈ R3 tais que:

n · −−→P 0P = 0

é chamado plano passando por P 0 e tendo normal n. Em particular, se n = (a,b,c), o plano passando por P 0 e de normal n, tem a equação emcoordenadas:

a (x − x0) + b (y − y0) + c (z − z 0) = 0

Exemplos 1.7.

[1] Determine a equação do plano que passa pelo ponto (1, −1, 1) e é normalao vetor (−1, 2, 3).

Sejam P 0 = (1, −1, 1) e n = (−1, 2, 3); então:

−1 (x − 1) + 2 (y + 1) + 3 (z − 1) = −x + 2 y + 3 z.




A equação é −x + 2 y + 3 z = 0.

-1

0

1

-1

0

1

-1

0

1

-1

0

1

-1

0

Figura 1.12: Exemplo [1].

[2] Ache a equação do plano que passa pelo ponto (1, −1, −1) e é normal aovetor (3, 2, −3).

Sejam P 0 = (1, −1, −1) e n = (3, 2, −3); então: 3 (x−1)+2(y +1)−3 (z +1) =

3 x + 2 y − 3 z − 4.A equação é 3 x + 2 y − 3 z = 4.

-3

0

3

-3

0

2

-3

0

3

-3

0

2


Considerando a equação do primeiro grau nas variáveis x, y e z :

a x + b y + c z + d = 0,

onde a, b e c ∈ R não são todas nulas, o subconjunto do R3:

P = {(x,y,z ) ∈ R3

/ a x + b y + c z + d = 0}é o plano com vetor normal n = (a,b,c).



1.11. PLANOS 29

Por simplicidade usaremos a expressão plano a x + b y + c z + d = 0 em lugarde, o plano de equação a x + b y + c z + d = 0.

Exemplos 1.8.

Determine a equação do plano que passa pelos pontos P 1 = (1, 1, 1),P 2 = (2, 0, 0) e P 3 = (1, 1, 0).

Qualquer vetor normal ao plano deve ser ortogonal aos vetores v =−−→P 1P 2 e

w =−−→P 2P 3, que são paralelos ao plano.

Logo, o vetor normal ao plano é n = v × w, donde n = (1, 1, 0); logo, aequação do plano é x + y + d = 0; como (2, 0, 0) pertence ao plano, temos:d = −2 e a equação é x + y − 2 = 0.

-10

1

-1

0

1

2

-1

0

1

Figura 1.14:

1.11.1 Ângulo entre Planos

Definição 1.8. O ângulo entre dois planos é o menor ângulo formado pelos

vetores normais aos planos.

Logo, se n1 e n2 são os vetores normais aos planos, então:

cos(θ) = n1 · n2

n1 n2

Exemplos 1.9.

[1] Determine o ângulo entre os planos 5 x−2 y+5 z = 12 e 2 x+y−7 z = −11.

Os vetores normais aos planos são n1 = (5, −2, 5) e n2 = (2, 1, −7), respecti-vamente; logo, cos(θ) =

n1 · n2

n1 n2 = −1

2 e θ =

2 π

3 rad.




-1-0.5

0 0.51

-1

-0.50

0.51

1

1.5

2

-1-0.5

0 0.5

1

-0.50

.

Figura 1.15:

[2] Determine o ângulo entre os planos x + y − z = 0 e x − 2 y + 2 z = 0.

Os vetores normais aos planos são n1 = (1, 1, −1) e n2 = (1, −2, 2), respecti-vamente; logo:

cos(θ) = n1 · n2

n1

n2

= − 1√

3

e θ = arccos(− 1√ 3

) rad.

-1-0.5

0

0.51

-1

-0.50

0.51

-2

-1

0

1

2

-1-0.5

0

0.5

1

-0.50

.

Figura 1.16:

1.11.2 Paralelismo e Perpendicularismo entre Planos

Definição 1.9. Dois planos são paralelos se, e somente se, seus vetores nor-mais, respectivamente n1 e n2, são paralelos, isto é:

n1 × n2 = 0

Dois planos são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais, res-pectivamente n1 e n2, são ortogonais, isto é:



1.11. PLANOS 31

n1 · n2 = 0.

Proposição 1.6. Os planos a x + b y + c z = d e a1 x + b1 y + c1 z = d1 são:

1. paralelos, se existe k ∈ R tal que a = k a1, b = k b1 e c = k c1;

2. perpendiculares, se a a1 + b b1 + c c1 = 0.

A prova segue das definições.

Exemplos 1.10.

Determine a equação do plano paralelo ao plano 3 x + y − 6 z + 8 = 0 e quepassa pelo ponto P = (0, 0, 1).

O vetor normal ao plano é n = (3, 1, −6); logo, a equação do plano é:

3 x + y − 6 z + d = 0;

como o ponto P pertence ao plano temos −6 + d = 0, logo, a equação doplano é

3 x + y − 6 z + 6 = 0.

Observações 1.2.

1. O plano:

a x + b y + d = 0

é perpendicular ao plano xy.

2. O plano:

b y + c z + d = 0

é perpendicular ao plano yz .




3. O plano:

a x + c z + d = 0

é perpendicular ao plano xz .

Figura 1.17: Planos coordenados.

1.11.3 Distância de um Ponto a um Plano

Definição 1.10. A distância do ponto P 0 = (x0, y0z 0) ao plano a x + b y + c z +d = 0 é dada por:

d2 = |a x0 + b y0 + c z 0 + d

|√ a2 + b2 + c2

Exemplos 1.11.

[1] Determine a distância do ponto (1, 1, −5) ao plano:

12 x + 13 y + 5 z + 2 = 0.

Aplicando diretamente a fórmula: d2 =

√ 2

13

.

[2] Determine a distância entre os planos paralelos: x + 2 y − z = 8 e 4 x +8 y − 4 z = 10.



1.12. GENERALIZAÇÕES 33

A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qual-quer do plano x + 2 y − z = 8 ao plano 4 x + 8 y − 4 z = 10.

O ponto (1, 4, 1) pertence ao plano x + 2 y − z = 8. A distância do ponto(1, 4, 1) ao plano 4 x + 8 y − 4 z = 10 é:

d2 = |4 + 32 − 4 − 10|

√ 16 + 64 + 16=

11

2 √ 6.

Em geral, se a x + b y + c z = d e a x + b y + c z = d1 são planos paralelos, adistânciaentre os planos é:

d3 = |d1 − d|√

a2 + b2 + c2

1.12 Generalizações

Podemos fazer as seguintes generalizações para Rn, n ≥ 3.

Os pontos x ∈ Rn são x = (x1, x2, x3,....,xn) onde xi ∈ R.

Dados x,y ∈ Rn, dizemos que:

x = y ⇐⇒ xi = yi,

para todo i = 1,....,n. (0, ......., 0) é a origem do Rn.

Em Rn podem ser definidas duas operações.

Dados x = (x1, x2, x3,....,xn),y = (y1, y2, y3,....,yn) ∈ Rn e β ∈ R:

Adição de elementos de Rn:

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, ........, xn + yn).

Multiplicação de elementos de Rn por escalares de R:

β · x = (β · x1, β · x2, .........., β · xn).

Estas duas operações satisfazem as propriedades análogas às enunciadaspara R3.

Logo, Rn é um espaço vetorial de dimensão n sobre R.




Os elementos do Rn são denominados pontos ou vetores, com o seguintecuidado:

v ∈ Rn

é um vetor que tem a origem em (0, ......., 0) e extremidade em v.

Para ter uma melhor distinção denotaremos os vetores de forma diferenteda utilizada para os pontos. Por exemplo, 0 = (0, ......., 0) é o vetor nulo.

1.12.1 Produto Escalar

Se u = (u1, u2, u3,....,un) e v = (v1, v2, v3,....,vn) são vetores doRn, o produtoescalar de u e v, denotado por u · v é definido por:

u · v = u1 · v1 + u2 · v2 + ......... + un · vn.

O produto escalar tem as seguintes propriedades:

1. (β u) · v = u · (β v) = β ( u · v).

2. w · ( u + v) = ( w · u) + ( w · v).

3. v é ortogonal a w se, e somente se, u · v = 0.

Norma euclidiana: Se v ∈ Rn não é nulo:

v =√

v · v.

Distância: Se x = (x1, x2,....,xn) e y = (y1, y2,....,yn) são pontos do Rn,então:

d(x,y) = x− y =

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + ........ + (xn − yn)2.



1.13. EXERCÍCIOS 35

1.13 Exercícios

1. Determine v =−−→P 1P 2, se:

(a) P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (−5, 3, 1)

(b) P 1 = (

−3, 2,

−1), P 2 = (15, 2, 6)

(c) P 1 = (12, 222, 1), P 2 = (5, 23, 11)

(d) P 1 = (4, 24, 18), P 2 = (−25, 23, 11)

(e) P 1 = (9, 3, 1), P 2 = (9, −3, 2)

(f) P 1 = (0, 12, −11), P 2 = (5, 2, 16)

(g) P 1 = (1, 1, 1), P 2 = (5, 3, 0)

(h) P 1 = (14, −12, 11), P 2 = (−1, 9, −1)

(i) P 1 = (−6, −4, 1), P 2 = (−2, 2, −6)

(j) P 1 = (4,−

2, 20), P 2 = (3, 9, 9)

(k) P 1 = (−16, 14, 1), P 2 = (2, −2, 6)

(l) P 1 = (3, 3, 1), P 2 = (6, −9, 3)

(m) P 1 = (6, −4, 6), P 2 = (4, 2, 6)

(n) P 1 = (11, 23, 2), P 2 = (3, 0, 3)

(o) P 1 = (2, 2, −6), P 2 = (1, −4, −2)

2. Determine v · w e os vetores unitários nas direções de v e w, se:

(a) v = (1, 2, 1), w = (−5, 3, 1)

(b) v = (−3, 2, −1), w = (1, 2, −6)

(c) v = (2, −2, 2), w = (−2, 2, 1)

(d) v = (4, 1, 8), w = (−2, −23, −1)

(e) v = (√

5, −3, 6), w = (−9, −3, 2)

(f) v = (0, 1, −1), w = (3, 2, 6)

(g) v = (1, 1, 1), w = (0, 3, 0)

(h) v = (

−1,

−1,

−1), w = (7,

−3, 2)

(i) v = (4, −2, 11), w = (−1, 0, −1)

(j) v = (−6, −4, 1), w = (−2, 2, −6)




(k) v = (4/3, −1, 1), w = (−2/5, 5, −1)

(l) v = (4/5, 4, 1/6), w = (2/3, −1, 3/4)

3. Determine o ângulo formado pelos vetores v e w, se:

(a) v = (−1, 2, −1), w = (−5, 3, 1)(b) v = (−1, −2, −1), w = (1, −2, −6)

(c) v = (2, −2, −2), w = (−1, 2, 1)

(d) v = (1, 1, −8), w = (−2, −3, −1)

(e) v = (5, −2, −6), w = (−8, 3, −2)

(f) v = (0, 1, −1), w = (3, 2, 6)

(g) v = (1, 1, 1), w = (0, 3, 0)

(h) v = (−1, −1, −1), w = (7, −3, 2)

(i) v = (4, −2, −1), w = (1, 0, 1)(j) v = (−6, −4, 1), w = (−2, 2, 0)

4. Determine o valor k tal que os seguintes vetores sejam ortogonais:

(a) v = (3, −2 k, 4), w = (1, 2, 5)

(b) v = (−1, 1, k), w = (1, −1, 1)

(c) v = (−k, −1, −1), w = (3, 0, 1)

(d) v

= (k, 1, k), w

= (−2, k, −k)

5. Determine v× w, se:

(a) v = (−1, 2, −1), w = (−5, 3, 1)

(b) v = (−1, −2, −1), w = (1, −2, −6)

(c) v = (2, −2, −2), w = (−1, 2, 1)

(d) v = (1, 1, −8), w = (−2, −3, −1)

(e) v = (5,

−2,

−6), w = (

−8, 3,

−2)

(f) v = (0, 1, −1), w = (3, 2, 6)

(g) v = (1, 1, 1), w = (0, 3, 0)




(h) v = (−1, −1, −1), w = (7, −3, 2)

(i) v = (4, −2, −1), w = (1, 0, 1)

(j) v = (−6, −4, 1), w = (−2, 2, 0)

(k) v = (0, 1, −1), w = (2, 0, 1)

(l) v = (1, 0, 1), w = (3, 2, 1)

(m) v = (3, 1, 2), w = (−6, 2, −1)

(n) v = (1, 4, 2), w = (−1, 2, −1)

(o) v = (1/3, 2, 1), w = (4, 2/4, 3)

(p) v = (1/2, 1, 3/5), w = (4/3, 2, −1/5)

6. Determine o valor de k tais que os seguintes vetores sejam coplanares:

(a) u = (1, 2, −3), v = (1, k, 1) e w = (3, 2, 1)

(b) u = (−1, k, 2), v = (3, 2, 5) e w = (−1, 0, 1)

(c) u = (1, k, 0), v = (1, 2, 1) e w = (1, 0, k)

(d) u = (0, 1, −1), v = (k, 0, 1) e w = (1, 1, 2 k)

7. Determine a área do triângulo P QR, se:

(a) P = (1, −1, 2), Q = (0, 3, −1), R = (3, −4, 1)

(b) P = (−3, 0, 5), Q = (2, −1, −3), R = (4, 1, −1)

(c) P = (4, 0, 0), Q = (0, 5, 0), R = (0, 0, 2)(d) P = (−1, 2, 0), Q = (0, 2, −3), R = (5, 0, 1)

8. Determine o volume do paralelepípedo formado por−→P Q,

−→P R e

−→P T :

(a) P = (0, 0, 0), Q = (1, −1, 2), R = (0, 3, −1), T = (3, −4, 1)

(b) P = (2, 1, −1), Q = (3, 0, 2), R = (4, −2, 1), T = (5, −3, 0)

9. Determine d(P 1P 2), se:

(a) P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (−5, 3, 1)




(b) P 1 = (−3, 2, −1), P 2 = (15, 2, 6)

(c) P 1 = (12, 222, 1), P 2 = (5, 23, 11)

(d) P 1 = (4, 24, 18), P 2 = (−25, 23, 11)

(e) P 1 = (9, 3, 1), P 2 = (9, −3, 2)

(f) P 1 = (0, 12,

−11), P 2 = (5, 2, 16)

(g) P 1 = (1, 1, 1), P 2 = (5, 3, 0)

(h) P 1 = (1, 1, −1), P 2 = (7, 3, 1)

(i) P 1 = (14, −12, 11), P 2 = (−1, 9, −1)

(j) P 1 = (−6, −4, 1), P 2 = (−2, 2, −6)

(k) P 1 = (4, −2, −6), P 2 = (4, −9, 4)

(l) P 1 = (2, −4, 5), P 2 = (2, −2, −4)

(m) P 1 = (9, −3, 2), P 2 = (6, 9, 1)

(n) P 1 = (9, 0, 5), P 2 = (−

5, 2, 1)

10. Verifique que para todo v e w ∈ Rn; tem-se:

(a) | v · w| ≤ v w(b) v + w ≤ v + w(c) 2 u2 + 2 v2 = u + v2 + u− v2(d) u + v u− v = u2 + v2

(e) 4 u · v = u + v2 − u− v2

11. Sejam P 1 = (2, 9, 8), P 2 = (6, 4, −2) e P 3 = (7, 15, 7).

Verifique que−−→P 1P 2 e

−−→P 1P 3 são ortogonais e determine um ponto P

tal que P 1, P 2, P e P 3 formem um retângulo.

12. Sejam P 1 = (5, 0, 7) e P 2 = (2, −3, 6). Determine o ponto P sobre

a reta que liga P 1 a P 2 tal que:

−−→P 1P = 3

−−→P P 2.




13. Determine a equação do plano passando pelos pontos P 1, P 2 e

P 3, sendo:

(a) P 1 = (−3, 0, 2), P 2 = (6, 1, 4), P 3 = (−5, 1, 0)

(b) P 1 = (2, 1, 4), P 2 = (1, −1, 2), P 3 = (4, −1, 1)

(c) P 1 = (1, 1, 1), P 2 = (0, −1, 1), P 3 = (2, −1, −1)(d) P 1 = (1, −1, 1), P 2 = (1, −1, −1), P 3 = (3, −1, 1)

(e) P 1 = (3, −4, 2), P 2 = (3, 3, −3), P 3 = (2, −5, 2)

(f) P 1 = (2, 3, 1), P 2 = (−3, 2, 6), P 3 = (−4, 2, 5)

(g) P 1 = (1/2, 1/3, −2), P 2 = (1, 1, 1), P 3 = (1/4, 2, −1/5)

(h) P 1 = (1, 1, 2), P 2 = (1/2, −1, 1/3), P 3 = (4/5, 0, 1/5)

14. Determine a equação do plano passando pelo ponto P = (3, −1, 2),

perpendicular à reta determinada por P 1 = (2, 1, 4) e P 2 = (−3, −1, 7).Ache a distância do ponto P ao plano.

15. Verifique que a interseção dos planos x + y − 2 z = 1 e x + 3 y − x = 4é uma reta. Ache a distância do ponto P = (1, 0, 1) a essa reta.

16. Determine a equação do plano paralelo ao plano 2 x + 3 y − 6 z = 3 eque passa pelo ponto P = (1, 1, 1).

17. Determine o plano perpendicular à reta x

2

= y − 2

2

= z + 1 e que passa

pelo ponto P = (1, 3, −1).

18. Determine a equação do plano perpendicular aos planos

x + 2 y − 7 z = 0 e x − y − z = 5 e que passa pela origem.

19. Determine a equação do plano ortogonal ao vetor (2, 3, 6) e que passapelo ponto (1, 5, 3).



Capítulo 2SUPERFÍCIES QUÁDRICAS

2.1 Introdução

Em R3 temos dois tipos de objetos de nosso interesse: os sólidos e as super-fícies.

De forma intuitiva podemos dizer que os sólidos são os objetos de R3 quepossuem volume e as superfícies são objetos de R3 que possuem área, mastem espessura irrelevante.

Para leitores com conhecimentos mais profundos, podemos dizer que umsólido é um objeto de dimensão 3 em R3 e as superfícies são objetos de di-mensão 2 em R3.

Os sólidos nos permitem modelar, por exemplo, depósitos de combustíveis,

turbinas de aviões ou carros. As superfícies nos permitem modelar, porexemplo, folhas de papel, membranas ou lâminas de metal. As definiçõesmatemáticas destes objetos estão fora do contexto destas notas e, por isso,ficaremos com estas idéias intuitivas.

Do Cálculo de uma variável, conhecemos os sólidos de revolução. Porexemplo, o sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos y aregião limitada pelo gráfico de:

(x − b)2 + y2 = a2, 0 < a < b.

Veja o seguinte desenho:

41



42 CAPÍTULO 2. SUPERFÍCIES QUÁDRICAS

Figura 2.1: Uma superfície em R3.

Os planos são exemplos de superfícies. A seguir definiremos um novo tipode superfície: as superfícies quádricas.

2.2 Superfícies Quádricas

Sabemos que o conjunto de todos os pontos (x, y) ∈ R2 que satisfazem aequação geral do segundo grau nas variáveis x e y é uma seção cônica: pa-rábola, elipse, hipérbole ou alguma forma degenerada dessas curvas, comoum ponto ou um par de retas. Em R3, a equação geral do segundo grau nasvariáveis x, y e z é F (x,y,z ) = 0, onde:

F (x,y,z ) = A x2 + B y2 + C z 2 + D x y + E x z + F y z + G x + H y + I z + J,

onde os coeficientes dos termos de segundo grau não são todos nulos, demodo que o grau da equação é 2. O subconjunto Q ⊂ R3, definido por:

Q = {(x,y,z ) ∈ R3 / F (x,y,z ) = 0}

é chamado superfície quádrica ou quádrica central.

Usando rotações e translações é possível mostrar que existem os seguintestipos de superfícies quádricas não degeneradas:

1) Elipsóides.

2) Hiperbolóide elítico ou de uma folha.



2.3. ELIPSÓIDE 43

3) Hiperbolóide de duas folhas.

4) Parabolóide elítico.

5) Parabolóide hiperbólico.

6) Cones.

7) Cilindros.

Observações 2.1.

1. Apresentaremos as equações que definem as quádricas centradas naorigem. As outras formas mais gerais podem ser determinadas a partirde translações e rotações.

2. Uma forma básica de esboçar uma superfície quádrica é determinaros interseptos com os eixos coordenados e desenhar suas seções retas,ou seja, as interseções da superfície com os planos coordenados, tam-

bém chamadas traços da quádrica. As quádricas centrais apresentamsimetrias em relação a cada um dos planos coordenados.

3. Se na equação que define a quádrica substituimos x por −x e a equa-ção não se altera, a quádrica é simétrica em relação ao plano yz ; sesubstituimos y por −y e a equação não se altera, a quádrica é simétricaem relação ao plano xz ; se substituimos z por −z e a equação não se

altera, a quádrica é simétrica em relação ao plano xy e se substitui-mos (x,y,z ) por (−x, −y, −z ) e a equação não se altera, a quádrica ésimétrica em relação à origem

2.3 Elipsóide

A equação que representa o elipsóide de centro na origem é:

x2

a2 +

y2

b2 +

z 2

c2 = 1,

onde a, b, c ∈ R não são nulos.




Figura 2.2: O elipsóide.

Interseções com os eixos coordenados:

Não difícil ver que:

(±

a, 0, 0), (0,±

b, 0) e (0, 0,±

c)

são as interseções com os eixos coordenados.

Simetrias:

A equação não se altera se substituimos (x,y,z ) por (−x, −y, −z ); logo, oelipsóide tem simetria em relação à origem.

Traços do elipsóide:No plano xy é a elipse:

x2

a2 +

y2

b2 = 1.

No plano yz é a elipse:

y2

b2 +

z 2

c2 = 1.

No plano xz é a elipse:

x2

a2 +

z 2

c2 = 1.



2.3. ELIPSÓIDE 45

Figura 2.3: O elipsóide e seus traços.

2.3.1 Esferas

Em particular se a = b = c, na equação do elipsóide, temos:

x2 + y2 + z 2 = a2

equação que representa a esfera de centro na origem e raio a.

Figura 2.4: A esfera e seus traços.

Em geral, a equação do elipsóide centrado no ponto (x0, y0, z 0) é:

(x − x0)2

a2 +

(y − y0)2

b2 +

(z − z 0)2

c2 = 1

Em particular, a equação que representa a esfera de centro em (x0, y0, z 0) eraio a é:




(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z 0)2 = a2

2.4 Hiperbolóide de uma folha

A equação que representa o hiperbolóide de uma folha de centro na origemé:

x2

a2 +

y2

b2 − z 2

c2 = 1


Figura 2.5: Hiperbolóide de uma folha.



(±a, 0, 0) e (0, ±b, 0).




2.4. HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA 47

Simetrias:

Na equação não se altera se substituimos (x,y,z ) por (−x, −y, −z ); logo, ohiperbolóide tem simetria em relação à origem.

Traços do hiperbolóide de uma folha:

No plano xy é a elipse:

x2

a2 +

y2

b2 = 1.

No plano yz é a hipérbole:

y2

b2 − z 2

c2 = 1.

No plano xz é a hipérbole:

x2

a2 − z 2

c2 = 1.

Figura 2.6: Hiperbolóide de uma folha e seus traços.

As equações:x2

a2 − y2

b2 +

z 2

c2 = 1 e − x2

a2 +

y2

b2 +

z 2

c2 = 1,




representam também hiperbolóides de uma folha. No primeiro caso o eixodo hiperbolóide é o eixo dos y e no segundo caso o eixo dos x. O termonegativo na equação indica o eixo do hiperbolóide.

Figura 2.7: Outros hiperbolóides de uma folha.

2.5 Hiperbolóide de duas folhasA equação que representa o hiperbolóide de duas folhas de centro na origemé:

−x2

a2 − y2

b2 +

z 2

c2 = 1


Figura 2.8: Hiperbolóide de duas folhas.



2.5. HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS 49



(0, 0, c) e (0.0 − c),


Simetrias:

A equação não se altera se substituimos (x,y,z ) por (−x, −y, −z ); logo, ohiperbolóide de duas folhas tem simetria em relação à origem.

Traços do hiperbolóide de duas folhas:

No plano xy: nenhuma.

No plano yz é a hipérbole:

−y2

b2 +

z 2

c2 = 1.

No plano xz é a hipérbole:

−x2

a2 +

z 2

c2 = 1.

Figura 2.9: Hiperbolóide de duas folhas e seus traços.




As equações:

x2

a2 − y2

b2 − z 2

c2 = 1 e − x2

a2 +

y2

b2 − z 2

c2 = 1,

representam também hiperbolóides de duas folhas. No primeiro caso o eixodo hiperbolóide é o eixo dos x e no segundo caso o eixo dos y. O termopositivo na equação indica o eixo do hiperbolóide.

Figura 2.10: Outros hiperbolóides de duas folhas.

2.6 Parabolóide Elítico

A equação que representa o parabolóide elítico de centro na origem é:

x2

a2 +

y2

b2 − z

c = 0

onde a, b, c ∈ R não são nulos. Para c > 0, as parábolas tem a concavidadevoltada para cima. Para c > 0, o parabolóide "abre"para cima. De formaanáloga, se c < 0, o parabolóide "abre"para baixo.



2.6. PARABOLÓIDE ELÍTICO 51

Figura 2.11: Parabolóides elíticos.


(0, 0, 0) é o único ponto de interseção.

Simetrias:

a equação não se altera se substituimos x e y por −x e −y; logo, o parabo-lóide tem simetria em relação aos planos yz e xz .

Traços do parabolóide elítico:

No plano xy: o ponto (0, 0, 0).

No plano yz é a parábola:

y2

b2 − z

c = 0.

No plano xz é a parábola:

x2

a2 − z

c = 0.




Figura 2.12: Parabolóide elítico e seus traços.

2.7 Parabolóide HiperbólicoA equação que representa o parabolóide hiperbólico de centro na origem é:

x2

a2 − y2

b2 − z

c = 0

onde a, b, c ∈ R não são nulos. Para c < 0, as parábolas (traços no plano yz e xz ) tem a concavidade voltada para baixo.

Figura 2.13: Parabolóide hiperbólico.



2.7. PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO 53



Simetrias:

a equação não se altera se substituimos x e y por −x e −y; logo, o parabo-lóide hiperbólico tem simetria em relação aos planos yz e xz .

Traços do parabolóide hiperbólico:

No plano xy: é um par de retas que se intersectam na origem.

No plano yz é a parábola:

y2

b2 +

z

c = 0.

No plano xz é a parábola:

x2

a2 − z

c = 0.

Figura 2.14: Parabolóide hiperbólico e seus traços.




2.8 Cone Elítico

A equação que representa o cone elítico de centro na origem é:

x2

a2 +

y2

b2 − z 2

c2 = 0


Figura 2.15: Cone elítico.



Simetrias:a equação não se altera se substituimos (x,y,z ) por (−x, −y, −z ); logo, ocone elítico tem simetria em relação à origem.

Traços do cone elítico:

No plano xy é a origem.

No plano yz :

y2

b2 − z 2

c2 = 0,

duas retas que se intersectam na origem.



2.9. CILINDROS 55

No plano xz :

x2

a2 − z 2

c2 = 0,

duas retas que se intersectam na origem.

Figura 2.16: Cone elítico e seus traços.

O traço em um plano z = k paralelo ao plano xy tem a equação:

x2

a2 +

y2

b2 =

k2

c2,

que representa uma elipse.

2.9 CilindrosSe C é uma curva plana e L é uma reta não situada no mesmo plano dacurva, então o conjunto de todas as retas paralelas a L e que intersectam C é chamado cilindro.

A curva C é dita diretriz do cilindro e cada reta que passa por C paralela a Lé chamada geratriz do cilindro. De acordo com a observação, o cilindro degeratrizes paralelas ao eixo dos z e tendo como diretriz uma elipse no planoxy centrada na origem, tem equação:

x2

a2 +

y2

b2 = 1

e é chamado cilindro elítico. ( a, b não são nulos).




Figura 2.17: Cilindro elítico.

Se por exemplo a equação é:

y2

b2 − z

c = 0

obtemos o chamado cilindro parabólico. ( b, c não são nulos). Desenho àesquerda. Se por exemplo a equação é:

y3

b2 − z

c = 0

obtemos o chamado cilindro cúbico. ( a, c não são nulos). Desenho à direita.

Figura 2.18: Cilindro parabólico e cúbico, respectivamente.

Em geral, se na equação que descreve uma quádrica falta uma variável, elarepresenta um cilindro, com geratrizes paralelas à variável que falta.



2.9. CILINDROS 57

Exemplos 2.1.

[1] Ache a natureza da quádrica 9 x2 − 18 x + 9 y2 + 4 z 2 + 16 z − 11 = 0.Completando os quadrados:

9 x2 − 18 x + 9 y2 + 4 z 2 + 16 z − 11 = (x − 1)2

4 +

y2

4 +

(z + 2)2

9 − 1;

a equação representa um elipsóide centrado no ponto (1, 0, −2).

[2] Determine a equação da esfera concêntrica à esfera

x2 + y2 + z 2 + 4x + 2y − 6z + 10 = 0

e que passa pelo ponto (−4, 2, 5).

Como as esferas são concêntricas, completamos os quadrados para determi-nar o centro da esfera dada:

x2 + y2 + z 2 + 4x + 2y − 6z + 10 = (x + 2)2 + (y + 1)2 + (z − 3)2 − 4;

então, o centro é (−2, −1, 3) e a equação é:

(x + 2)2 + (y + 1)2 + (z − 3)2 = a2.

Para determinar a usamos o fato de que o ponto (−4, 2, 5) pertence à esfera;logo a2 = 17. A equação é:

(x + 2)2 + (y + 1)2 + (z

−3)2 = 17.

[3] Verifique que a interseção do parabolóide hiperbólico y2

b2 − x2

a2 =

z

c com

o planoz = b x + a y é formada por duas retas. Para determinar a interseção, deve-mos resolver o sistema de equações :

y2

b2 − x2

a2 = z

c

b x + a y = z.

Igualando as equações por z :

y2

b2 − a y

c

−

x2

a2 + b x

c

= 0; completando os

quadrados:




1

b2

y − ab2

2c

g2 − 1

a2

x +

a2b

2c

2=

1

b2

y − a b2

2 c

2−

b x

a +

a b2

2 c

2 = 0;


logo:

y − a b2

2 c = ±

b x

a +

a b2

2 c

.

[4] Determine a equação da superfície formada pelo conjunto dos pontosP equidistantes do plano x − 2 = 0 e do ponto (−2, 0, 0). Identifique a

superfície.Sejam d2 a distância do ponto P ao plano x − 2 = 0 e d0 a distância do pontoP ao ponto (−2, 0, 0); logo, d2 = |x − 2| e:

d0 =

(x + 2)2 + y2 + z 2.

Como d0 = d2, temos:

x =−

(y2 + z 2)

8 .

A superfície é um parabolóide elítico.



2.9. CILINDROS 59


[5] Determine a equação da superfície formada pelo conjunto dos pontos P equidistantes das retas L1, que passa pela origem na direção (1, 0, 0) e, L2

que passa pelo ponto (0, 1, 0) na direção (0, 0, 1). Identifique a superfície.

Sejam d1(P, Li) as distâncias do ponto P às retas Li (i = 1, 2); como:

d1(P, L1) = d1(P, L2),

temos:

y = (x2 − z 2)

2 .

A superfície é um parabolóide hiperbólico.


[6] Mostre que se o ponto P 0 = (x0, y0, z 0) pertence ao parabolóide hiper- bólico definido por z = y2 − x2, então, as retas L1 que passa pelo ponto




P 0 na direção (1, 1, 2 (y0 − x0)) e L2 que passa pelo ponto P 0 na direção(−1, −1, −2 (y0 − x0)) estão contidas no parabolóide hiperbólico.

Consideremos a reta L1. Temos:

x(t) = x0 + t

y(t) = y0 + t

z (t) = z 0 + 2 t (y0 − x0);

logo,

y(t)2 − x(t)2 = (y20 − x2

0) + 2 t (y0 − x0) = z 0 + 2 t (y0 − x0) = z (t).

Para L2 o procedimento é análogo.

Os objetos sólidos do R3 que utilizaremos neste texto são definidos atravésde inequações.

Exemplos 2.2.

[1] R = {(x,y,z ) ∈ R3/a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, p ≤ z ≤ q } = [a, b]×[c, d]×[ p, q ].O conjunto R representa um paralelepípedo retangular.

[2] B = {(x,y,z ) ∈ R3/ x2 + y2 + z 2 ≤ r2, r > 0}. O conjunto B representauma bola sólida de centro na origem e raio r ou o conjunto de todos osvetores de norma menor ou igual a r.

[3] C = {(x,y,z ) ∈ R3/x2 + y2 ≤ r2, 0 ≤ z ≤ h, h > 0}. O conjunto C é umaporção do cilindro circular reto de altura h e raio r.

[4] F é o sólido obtido pela revolução de uma região do plano fechada elimitada por uma curva:



2.9. CILINDROS 61

Figura 2.22: Sólido em R

3

.

Note que todos estes conjuntos possuem volume.




2.10 Exercícios

1. Determine a natureza das seguintes quádricas:

(a) 4x2 + 9y2 + z 2 = 36

(b) z −

4(x2 + y2) = 0

(c) 4x2 + 9y2 − z 2 = 36

(d) x2 − y2 + z 2 = 0

(e) x2

36 +

z 2

25 − 4y = 0

(f) x2

36 − z 2

25 − 9y = 0

(g) x2 + 16z 2 − 4y2 + 16 = 0

(h) x2 − 2x + y2 + z 2 = 0

(i) x2 + y2 = 2 y

(j) x2 + y2 = 4 x

2. Utilizando a técnica dos traços, esboce o gráfico de cada quádrica doexercício [1].

3. Determine a natureza da curva obtida pela projeção no plano xy dainterseção de :

(a) z + x2 = 1 e z − x2 − y2 = 0.

(b) x = 2 e x = y2 + z 2.

(c) z = 8 − 5x2 − 3y2 e z = 3x2 + 5y2.

4. Determine os valores de k tais que a interseção do plano x + k y = 0com a quádrica y2 − x2 − z 2 = 1 seja uma elipse e uma hipérbole,respectivamente.

5. Verifique que 2x−2z −y = 10 intersecta 2z = x2

9 +y2

4 num único pontoe determine o ponto.




6. Determine a, b, c e d de modo que os pontos dados pertençam à quá-drica:

a x2 + b y2 + c z 2 + d = 0,

onde:

(a) (1, 1, −1), (2, 1, 0), (5, −5, 3).

(b) (2, −1, 1), (−3, 0, 0), (1, −1, −2).

(c) (1, 2, −1), (0, 1, 0), (2, 1, −2).

7. Determine a equação da superfície definida pelo conjunto dos pontosP = (x,y,z ) tais que a distância de P ao eixo dos x é o dobro dadistância de P ao plano yz . Identifique a superfície.

8. Determine a equação da superfície definida pelo conjunto dos pontosP = (x,y,z ) tais que a distância de P ao eixo dos y é 34 da distância de

P ao plano xz . Identifique a superfície.

9. Determine a equação da superfície definida pelo conjunto dos pontosP = (x,y,z ) tais que a distância de P ao ponto (0, 0, 1) é igual à dis-tância de P ao plano y = −1. Identifique a superfície.

10. Verifique que o ponto P = (1, 3, −1) pertence ao parabolóide hiperbó-lico definido por 4 x2 − z 2 = y e determine as equações das duas retasque passam por P e estão contidas no parabolóide.



Capítulo 3

FUNÇÕES DE VÁRIASVARIÁVEIS

3.1 Introdução

Como no Cálculo de uma variável, neste capítulo estudaremos uma dasnoções centrais da Matemática, o conceito de função.

Uma função de várias variáveis reais é uma regra que descreve como umaquantidade é determinada por outras quantidades, de maneira única.

Através das funções de várias variáveis poderemos modelar uma grandequantidade de fenômenos dos mais diversos ramos da Ciência.

Definição 3.1. Seja A ⊂ Rn. Uma função f definida no subconjunto A comvalores em R é uma regra que associa a cada u ∈ A um único número real

f (u

).

Observação 3.1.

1. Os elementos de u ∈ A são chamados variáveis independentes dafunção e os elementos w = f (u) são chamados variáveis dependentesda função.

2. A notação que utilizaremos é:

f : A ⊂ Rn −→ R

u −→ f (u).

65



66 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

3. Se n = 3, denotamos a variável independente por u = (x,y,z ) e afunção por:

w = f (x,y,z ),

4. Se n = 2, denotamos a variável independente por u = (x, y) e a funçãopor:

z = f (x, y),

z é chamada variável dependente da função .

Exemplos 3.1.

[1] O número de indivíduos Q de uma certa colônia de fungos depende

essencialmente da quantidade N de nutrientes (gr), da quantidade H deágua (cm3), da temperatura T (0C ) e da presença de uma certa proteina L(ml). Experimentalmente foi obtida a seguinte tabela:

N H T L Q

10 1 10 0.1 1520 3.5 14 0.4 2030 5.6 16 0.8 2222 8 21 0.1 2125 5.1 12 0.8 1510 1.4 30 1.6 1250 7.3 35 0.9 17

Q possivelmente não tem uma formulação matemática explícita, mas é umafunção bem definida:

Q = Q(N ,H,T ,L).

[2] O volume V de um cilindro é função do raio r de sua base e de sua alturah:

V (r, h) = π r2 h.

Logo, um cilindro de altura h = 10 cm e raio r = 2 cm tem volume:



3.1. INTRODUÇÃO 67

V (2, 10) = π 22 × 10 = 40 π cm3,

aproximadamente, 125.663 cm3

[3] Um tanque para estocagem de oxigênio líquido num hospital deve tera forma de um cilindro circular reto de raio r e de altura l m (m =metros),

com um hemisfério em cada extremidade. O volume do tanque é descritoem função da altura l e do raio r.

r

l

Figura 3.1: O tanque do exemplo [3].

O volume do cilindro é π l r2

m3

e o dos dois hemisférios é 4 π r3

3 m3

; logo, ovolume total é:

V (l, r) = π

4 r3

3 + l r2

m3.

Por exemplo, se a altura for 8 m e o raio r = 1 m, o volume é:

V (8, 1) = 28 π

3 m3.

[4] O índice de massa corporal humano (IMC) é expresso por:

IMC (P, A) = P

A2,

onde P é o peso em quilos e A a altura em m. O IMC indica se uma pes-soa está acima ou abaixo do peso ideal, segundo a seguinte tabela da OMS(Organização Mundial da Saude):

Condição IMC

Abaixo do peso < 18.5

Peso normal 18.5

≤IMC

≤25

Acima do peso 25 ≤ IMC ≤ 30Obeso > 30




Por exemplo, uma pessoa que mede 1.65 m e pesa 98 quilos, tem:

IMC (98, 1.65) = 35.9;

logo segundo a tabela está obeso. Agora uma pessoa que mede 1.80 m epesa 75 kg, tem

IMC (98, 1.75) = 23.1;

logo, segundo a tabela tem peso normal.

[5] Da lei gravitacional universal de Newton segue que dada uma partículade massa m0 na origem de um sistema de coordenadas x y z , o módulo daforça F exercida sobre outra partícula de massa m situada no ponto (x,y,z )é dado por uma função de 5 variáveis independentes:


F (m0,m,x,y,z ) = g m0 m

x2 + y2 + z 2,

onde g é a constante de gravitação universal.

[6] (Lei de Gay - Lussac) A lei de um gás ideal confinado é dada por:

P V = k T,

onde P é a pressão em N/u3 (N =Newton, u=unidades de medida), V é ovolume em u3, T é a temperatura em graus e k > 0 uma constante quedepende do gás.




Podemos expressar o volume do gás em função da pressão e da tempera-tura; a pressão do gás em função do volume e da temperatura ou a tempe-ratura do gás em função da pressão e do volume:

V (P, T ) = k T

P ,

P (V, T ) = k T

V e

T (P, V ) = P V

k .

[7] Quando um poluente é emitido por uma chaminé de h metros de altura,a concentração do poluente, a x quilômetros da origem da emissão e a ymetros do chão pode ser aproximada por:

P (x, y) = a

x2 eh(x,y) + ek(x,y)

,

onde h(x, y) = − b

x2

y − h2 e k(x, y) = − b

x2

y + h2.

O poluente P é medido em µg/m (µg=microgramas), onde a e b são cons-tantes que dependem das condições atmosféricas e da taxa de emissão dopoluente. Sejam a = 200 e b = −0.002. Por exemplo, para uma chaminé de10 m, a contaminação a 1 km de distância e a uma altura de 2 m é:

P (1000, 2) = 0.004 µg/m.

[8] Lei do fluxo laminar de Poiseuille: Fluxo sanguíneo através de um vaso,como artérias ou veias. Como as quantidades envolvidas são pequenas,podemos considerar que vasos tem formato cilíndrico não elástico.

R

Figura 3.3: Fluxo laminar de Poiseuille.

Denotemos por R o raio e l o comprimento, medidos em cm. Devido africção nas paredes do vaso, a velocidade v do sangue é maior ao longo do




eixo central do vaso e decresce se a distância d (cm) do eixo à parede crescee é zero na parede. v é uma função de quatro variáveis:

v(P,R,l,d) = P (R2 − d2)

4 l η ,

onde η é a viscocidade do sangue e P a diferença entre a pressão da entrada

e a da saída do sangue no vaso, medida em dina/cm2. Experimentalmente,para o sangue humano numa veia: η = 0.0027. Por exemplo, se l = 1.675,R = 0.0075, P = 4 × 103 e d = 0.004, tem-se:

v(4 × 103, 1.675, 0.004)) = 8.89994 cm/seg.

[9] Médicos dos desportos desenvolveram empiricamente a seguinte fór-mula para calcular a área da superfície de uma pessoa em função de seupeso e sua altura:

S (P, A) = 0.0072 P 0.425 A0.725,

onde P é o peso em quilogramas, A é a altura em cm e S é medido emm2. Uma pessoa que pesa 50 quilos e mede 160 cm deve ter uma área dasuperfície corporal: S (50, 160) = 1.5044 m2.

[10] Um circuito elétrico simples é constituído de 4 resistores como na figura:

R R R

R

E

1 2 3

4

Figura 3.4: Circuito elétrico.

A intensidade da corrente I neste circuito é função das resistências Ri, onde(i = 1, 2, 3, 4) e da tensão da fonte E ; logo:

I (R1, R2, R3, R4, E ) = E

R1 + R

2 + R

3 + R

4

.

[11] A produção P ( valor monetário dos bens produzido no ano) de umafábrica é determinada pela quantidade de trabalho (expressa em operários



3.2. DOMÍNIO E IMAGEM 71

por horas trabalhadas no ano) e pelo capital investido (dinheiro, comprade maquinarias, matéria prima, etc.). A função que modela a produção échamada de Cobb-Douglas e é dada por:

P (L, K ) = A K α L1−α,

onde L

é a quantidade de trabalho, K

é o capital investido, A

e α

são cons-tantes positivas (0 < α < 1).

A função de produção de Cobb-Douglas tem a seguinte propriedade paratodo n ∈ N:

P (n L , n K ) = A n K α L1−α,

isto é, para acréscimos iguais na quantidade de trabalho e de capital inves-tido obtemos o mesmo acréscimo na produção.

Por exemplo, se o capital investido é de R$600.000 e são empregados 1000

operários/hora, a produção é dada pela seguinte função de Cobb-Douglas:P (L, K ) = 1.01 L

34 K

14 ;

então, P (1000, 600.000) = 4998.72.

3.2 Domínio e Imagem

De forma análoga ao Cálculo de uma variável, os conjuntos Domínio e Ima-gem de uma função são relevantes para o estudo das funções de várias va-

riáveis.Definição 3.2. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função.

1. O conjunto de todas as variáveis independentes u ∈ Rn tais que f (u)existe é chamado domínio de f e é denotado por Dom(f ).

2. O conjunto dos z ∈ R tais que f (u) = z e u ∈ Dom(f ) é chamadoimagem de f e é denotado por Im(f ).

Observação 3.2. Na prática o domínio de uma função é determinado pelocontexto do problema.




Exemplos 3.2.

[1] O volume V de um cilindro é função do raio r de sua base e de sua alturah. Logo,

V (r, h) = π r2 h.

Como o raio e a altura de um cilindro devem ser positivos, temos que:

Dom(f ) = {(r, h) ∈ R2 / r > 0, h > 0} = (0, +∞) × (0, +∞) eIm(f ) = (0, +∞).

No caso de não estar considerando a função como volume, teríamos que:

Dom(f ) = I m(f ) = R2.

[2] Seja z = f (x, y) =

1 − x2

− y2

.Note que f é definida se, e somente se:

1 − x2 − y2 ≥ 0,

ou seja x2 + y2 ≤ 1; logo:

Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1}.

Por outro lado 0 ≤ z =

1 − x2 − y2 ≤ 1; logo, Im(f ) = [0, 1].

1

1


[3] Seja z = f (x, y) = x

x − y.



3.2. DOMÍNIO E IMAGEM 73

Note que f é definida se o denominador x − y = 0; então, x = y e,

Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2/x = y} = R2 − {(x, x)/x ∈ R}.

1

1


[4] Seja z = f (x, y) = arcsen(x + y).

Note que arcsen(u) é definido se −1 ≤ u ≤ 1; logo, −1 ≤ x + y ≤ 1 o queacontece, se, e somente se, y ≤ 1 − x e −1 − x ≤ y; então:

Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2/ − 1 − x ≤ y ≤ 1 − x}.

1

1


[5] Seja z = f (x, y) = ln(y − x).

Note que a função logarítmica ln(u) é definida se u > 0; logo, y − x > 0 e f

é definida em todo o semi-plano definido por:

{(x, y) ∈ R2/y > x}.




1

1


[6] Seja z = f (x, y) = y x2 + y2 − 1

.

Note que o quociente é definido se x2 + y2 − 1 > 0; logo, a função é definidaem todo o plano menos a região determinada por x2 + y2 ≤ 1.

1

1


[7] Seja w = f (x,y,z ) = y

x2 + y2 + z 2 − 1.

Note que a raiz quadrada está definida se, e somente se:

x2 + y2 + z 2 − 1 ≥ 0;

logo, a função é definida em todo R3 menos a região determinada por:

x2 + y2 + z 2 < 1.

De outro modo, todo o espaço menos os vetores de R3 de norma menor que1.



3.3. GRÁFICO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 75

Observação 3.3. Da mesma forma que no caso de uma variável, as funçõespolinomiais de grau n , de várias variáveis tem Dom(f ) = Rn e a Im(f )depende do grau do polinômio.

[8] Se f (x,y,z ) = x5 + y3 − 3 x y z 2 − x2 + x2 y z + z 5 − 1, então, Im(f ) = R.

Se g(x, y) = x2

+ y2

− 2 x y, então Im(f ) = [0, +∞).

3.3 Gráfico de Funções de Várias Variáveis

Definição 3.3. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função. O gráfico de f é oseguinte subconjunto de Rn+1:

G(f ) = {(x, f (x)) ∈ Rn+1/x ∈ Dom(f )} ⊂ Rn × R

Observações 3.1.

1. Se n = 2 e x = (x, y); então:

G(f ) = {(x,y,f (x, y))/(x, y) ∈ Dom(f )}.

G(f ) é, em geral, uma superfície em R3.

2. Por exemplo, o gráfico da função :

f (x, y) =

1 se x, y ∈ Q

0 se x, y /∈ Q,

não é uma superfície.

3. Se n = 3, x = (x,y,z ) e G(f ) é uma "hipersuperfície"em R4.

4. Para n = 2, a projeção do gráfico de f sobre o plano xy é exatamenteDom(f ).




Figura 3.10: Esboço do gráfico de uma função , ponto a ponto.

Figura 3.11: Gráfico de uma função.

3.4 Conjuntos de nívelDefinição 3.4. O conjunto de nível de f com valor c ∈ R é definido por:

{x ∈ Dom(f )/f (x) = c}

Em particular:

1. Se n = 2, o conjunto de nível c é dito curva de nível c de f :

C c = {(x, y) ∈ Dom(f )/f (x, y) = c}



3.4. CONJUNTOS DE NÍVEL 77

2. As curvas de nível são obtidas pelas projeções no plano xy, das curvasobtidas pela interseção do plano z = c com a superfície G(f ).

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figura 3.12: Curvas de nível e gráficos, respectivamente.

3. Se n = 3, o conjunto de nível c é dito superfície de nível c de f :

S c = {(x,y,z ) ∈ Dom(f )/f (x,y,z ) = c}

4. No caso n = 3, G(f ) ⊂ R4; portanto, somente poderemos exibir esbo-ços de suas seções.

5. Se z = T (x, y) é a temperatura em cada ponto de uma região do plano,as curvas de nível correspondem a pontos de igual temperatura. Neste

caso, as curvas são chamadas isotermas.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Figura 3.13: Curvas Isotermais.




6. Se z = P (x, y) é o potencial elétrico em cada ponto (x, y) de uma regiãodo plano, as curvas de nível correspondem a pontos de igual potencialelétrico. Neste caso, as curvas são chamadas equipotenciais.

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

x

y

Figura 3.14: Curvas Equipotenciais.

Outra aplicação importante das curvas de nível é o esboço de gráficos defunção de duas variáveis:

A construção do esboço do G(f )

O esboço do grá fico de uma função é feita assim:

1. Uma vez dado o valor da "altura"z = c obtemos uma curva plana.

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Figura 3.15:




2. Elevando cada curva, sem esticá-la ou incliná-la obtemos o contornoaparente de G(f ).

Figura 3.16:

3. Auxiliado pelas seções (como no caso das quádricas), podemos esbo-çar G(f ) de forma bastante fiel.

Figura 3.17:

4. Note que curvas de nível muito espaçadas, significa que o gráficocresce lentamente; duas curvas de nível muito próximas significa queo gráfico cresce abruptamente.




Figura 3.18:

Exemplos 3.1.

[1] Se T (x, y) = x + y2 − 1 representa a temperatura em cada ponto de umaregião do plano, as curvas de nível ou isotermas são T (x, y) = c, isto é:

x + y

2

− 1 = c, c ∈ R.

Temos uma família de parábolas:

c x + y2 − 1 = c

0 x + y2 = 11 x + y2 = 2

-1 x + y2 = 0

2 x + y2 = 3-2 x + y2 = −1




0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

2

1

0

1

2

Figura 3.19: Esboco das curvas de nível de T = T (x, y).

[2] Esboce o gráfico de z = f (x, y) = x2 − y2.

Note que Dom(f ) = R2.

Interseções de G(f ) com os eixos coordenados: somente a origem.

Simetrias: a equação:z = x2 − y2

não se altera se substituimos x e y por −x e −y; logo, tem simetria em relaçãoaos planos yz e xz .

Curvas de nível:

Fazendo z = c, temos: x2 − y2 = c.

Se c < 0, temos x2 − y2 = c, que são hipérboles que intersectam o eixo dos y.

Se c = 0, temos y = ±x, que são duas retas passando pela origem.

Se c > 0, temos x2

− y2

= c, que são hipérboles que intersectam o eixo dos x.

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figura 3.20: Curvas de nível.




Traços:

No plano xy: um par de retas que se intersectam na origem.

No plano yz : a parábola: y2 + z = 0.

No plano xz : a parábola: x2

−z = 0.

Logo z = f (x, y) = x2 − y2 é um parabolóide hiperbólico.

Figura 3.21: Gráfico.

[3] Esboce o gráfico de z = f (x, y) = x + y2.


Interseções de G(f ) com os eixos coordenados: somente a origem.

Simetrias: a equação:

z = x + y2

não se altera se substituimos y por −y; logo, tem simetria em relação aoplano xz .

Curvas de nível:

Fazendo z = c, temos y2 = c − x, que é uma família de parábolas com focono eixo dos y, para todo c ∈ R.




-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


Traços:

No plano yz é a parábola: y2 − z = 0. No plano xz é a reta: x − z = 0.

Logo z = f (x, y) = x + y2 é um cilindro parabólico.


[4] Esboce o gráfico de z = f (x, y) = ln(x2 + y2).

Note que Dom(f ) = R2 − {(0, 0)}.

Interseções com os eixos coordenados: (0, ±1, 0), (±1, 0, 0).

Simetrias: a equação:

z = ln(x2 + y2)




não se altera se substituimos x e y por −x e −y; logo, tem simetria em relaçãoaos planos yz e xz .

Curvas de nível.

Fazendo z = c, temos:

x2 + y2 = ec,

para todo c ∈ R. As curvas de nível são círculos centrados na origem deraios ec/2; se c → −∞, o raio tende para zero e se c → +∞, o raio cresce.

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


A superfície tem o aspecto de um funil.





[5] Esboce o gráfico de z = f (x, y) = sen(x).


Como na equação falta a variável y, o gráfico de f é um cilindro de diretriz

z = sen(x) no plano xz e geratriz paralela ao eixo dos y.


[6] Esboce as superfícies de nível do gráfico de w = f (x,y,z ) = x − y + z + 2.

Note que Dom(f ) = R3

.

Superfícies de nível:

Fazendo w = c, temos:

x − y + z = c − 2,

que representa uma família de planos paralelos de normal (1, −1, 1), paraqualquer c.




Figura 3.27: Superfícies de nível.

[7] Esboce as superfícies de nível do gráfico de w = f (x,y,z ) = z − x2 − y2.



Fazendo w = c, temos:

z = x2 + y2 + c,

que para cada c é a equação de um parabolóide circular com eixo no eixodos z .

Figura 3.28: Superfícies de nível.

[8] Esboce as superfícies de nível do gráfico de w = f (x,y,z ) = x2 − y2 + z 2.





Fazendo w = c temos:

x2 − y2 + z 2 = c.

Se c < 0, é um hiperbolóide de duas folhas: x2

−y2 + z 2 = c.

Figura 3.29: Hiperbolóide de duas folhas.

Se c = 0, é um cone circular: x2 − y2 + z 2 = 0.

Figura 3.30: Cone circular.

Se c > 0, é um hiperbolóide de uma folha: x2 − y2 + z 2 = c; etc.




Figura 3.31: Hiperbolóide de uma folha.

Em alguns casos é mais conveniente esboçar as curvas nível do que o gráficoda função.

[9] Considere a função de Cobb-Douglas:

P (L, K ) = 1.01 L34 K

14 .

As curvas de nível de P para diversas produções são esboçadas, indicandoas possibilidades de L e K para cada produção.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Figura 3.32: Curvas de nível da função de Cobb-Douglas.

[10] Sabemos que o índice de massa corporal é dado por:

IMC (P, A) = P A2

.

As curvas de nível de ICM indicam as possibilidades de:




10 ≤ P ≤ 200 e 0.5 ≤ A ≤ 2.5.

50 100 150 200

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Figura 3.33: Curvas de nível da função da massa corporal.

De forma análoga ao caso de uma variável, nem toda superfície em R3 é o

gráfico de uma função de duas variáveis. A condição necessária e suficientepara que uma superfície em R3 seja o gráfico de uma função z = f (x, y)é que toda reta paralela ao eixo dos z intersecte a superfície em um únicoponto. A esfera x2 + y2 + z 2 = 1 não pode ser gráfico de uma função de duasvariáveis, mas os hemisférios da esfera são gráficos das funções:

z = f 1(x, y) =

1 − x2 − y2 e z = f 2(x, y) = −

1 − x2 − y2.

Em geral, toda equação de tres variáveis que represente uma superfície éuma superfície de nível de alguma função de tres variáveis. As superfíciesquádricas são superfícies de algum nível de funções de três variáveis.

Exemplos 3.2.

[1] Seja x2 + y2 + z 2 = 1; então: x2 + y2 + z 2 = 1 é superfície de nível c = 0para

f (x,y,z ) = x2 + y2 + z 2 − 1,

x2 + y2 + z 2 = 1 é superfície de nível c = 1 para

g(x,y,z ) = x2 + y2 + z 2

e x2+y2+z 2 = 1 é superfície de nível c = 30 para h(x,y,z ) = x2+y2+z 2+29.

[2] Seja z = f (x, y), considere h(x,y,z ) = z − f (x, y); então, G(f ) é umasuperfície de nivel zero de h.




3.5 Exercícios

1. Determine o volume em função de h e r.

(a) Um depósito de grãos tem formato de um cilindro circular reto dealtura h e raio r, com teto cônico.

(b) Um depósito de gás tem formato de um cilindro circular reto dealtura h e raio r, com teto uma semi-esfera.

2. Se f (x, y) = x5 −y5−4 x2 y3−3 x3 y2 + x y2 + x2 −y2−x + y + 1, calcule:

(a) f (0, 0)

(b) f (1, 1)

(c) f (x, x)

(d) f (y, −y)

(e) f (x2, √ x y)(f) f (1, h)

(g) f (h, 0)

(h) f (x + h, y) − f (x, y)

h

(i) f (x, y + h) − f (x, y)

h

3. Se f (x,y,z ) = (x y z )2, calcule:

(a) f (0, 0, 0)

(b) f (1, 1, π)

(c) f (x,x,x)

(d) f (y,z,z )

(e) f (x2,√

x y z , z 3 y)

(f) f (x + h, y,z ) − f (x,y,z )

h

(g)

f (x, y + h, z )

−f (x,y,z )

h

(h) f (x,y,z + h) − f (x,y,z )

h



3.5. EXERCÍCIOS 91

(i) f (x + h, y + h, z + h) − f (x,y,z )

h

4. Determine Dom(f ) se:

(a) f (x, y) =

x − yx + y

(b) f (x, y) = x2 − y2

x − y

(c) f (x, y) = x + y

x y

(d) f (x, y) = 16 − x2 − y2

(e) f (x, y) = |x|e y

x

(f) f (x, y) = |x| − |y|(g) f (x, y) = x − y

sen(x) − sen(y)

(h) f (x, y) =√

y − x +√

1 − y

(i) f (x,y,z ) = x y z − x4 + x5 − z 7

(j) f (x,y,z ) = sen(x2 − y2 + z 2)

(k) f (x,y,x) = y

z x

(l) f (x,y,z ) = x2 sec(y) + z

(m) f (x,y,z ) = ln(x2 + y2 + z 2

−1)

(n) f (x,y,z ) =

1 − x2 − y2 − z 2

(o) f (x,y,z ) = ex2+y2+z2

(p) f (x,y,z ) = 3

1 − x2 − y2 − z 2.

5. Esboce Dom(f ) no plano de cada função do exercício [4].

6. Seja x ∈ Rn. Uma função f (x) é dita homogênea de grau n ∈ Z separa todo t > 0, f (tx) = tn f (x). Verifique que as seguintes funçõessão homogêneas e determine o grau:

(a) f (x, y) = 3 x2 + 5 x y + y2




(b) f (x, y) = 2

x2 + y2

(c) f (x, y) =

x2 + y2 sen(y

x), x = 0

(d) f (x,y,z ) = x

y3 +

y

z 3 +

z

x3

(e) f (x,y,z ) =

1

x + y + z

(f) f (x,y,z ) = x2 e−y

z

7. Esboce as curvas de nível de f , para os seguintes c:

(a) f (x, y) =

100 − x2 − y2, c = 0, 8, 10.

(b) f (x, y) =

x2 + y2, c = 0, 1, 2, 3, 4

(c) f (x, y) = 4 x2 + 9 y2, c = 0, 2, 4, 6

(d) f (x, y) = 3x − 7y, c = 0, ±1, ±2(e) f (x, y) = x2 + xy, c = 0, ±1, ±2, ±3

(f) f (x, y) = x2

y2 + 1, c = 0, ±1, ±2, ±3

(g) f (x, y) = (x − y)2, c = 0, ±1, ±2, ±3

(h) f (x, y) = ln(x2 + y2 − 1), c = 0, ±1

(i) f (x, y) = x

x2 + y2 + 1, c = ±1, ±2

(j) f (x, y) = ex2+y2 , c = 1, 2

8. Esboce as superfícies de nível de f , para os seguintes c:

(a) f (x,y,z ) = −x2 − y2 − z 2, c = 0, ±1, ±2

(b) f (x,y,z ) = 4x2 + y2 + 9z 2, c = 0, ±12 , ±1

(c) f (x,y,z ) = x2 + y2 + z , c = 0, ±1, ±2

(d) f (x,y,z ) = x − y2 + z 2, c = 0, ±1, ±2

(e) f (x,y,z ) = x y z , c = 0, ±1, ±2

(f) f (x,y,z ) = e−(x2+y2+z2), c = 0, ±1, ±2

9. Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nívelde f :



3.5. EXERCÍCIOS 93

(a) f (x, y) = x − y − 2

(b) f (x, y) = x2 + 4 y2

(c) f (x, y) = x y

(d) f (x, y) = 2 x2 − 3 y2

(e) f (x, y) = |y|(f) f (x, y) =

16 − x2 − y2

(g) f (x, y) =

9 x2 + 4 y2

(h) f (x, y) = e−(x2+y2)

(i) f (x, y) = 1 −

x2 + y2

(j) z = 1 + y2 − x2

(k) z = x2

(l) z =

1 + x2 + y2

(m) z = y3

(n) z = sen(x)

(o) z = ey

10. Função de DuBois-DuBois: Em Medicina, às vezes, se utiliza a se-guinte função para determinar a superfície corporal de uma pessoa:

S (P, h) = 0.0072 P 0.425 h0.725,

que estabelece uma relação entre a área da superfície S (m2) de umapessoa, o seu peso P (Kg) e sua altura h (cm).

(a) Se uma criança pesa 15 kg e mede 87 cm, qual é sua superfíciecorporal?

(b) Esboce as curvas de nível da função S .

(c) Esboce o gráfico de S .

11. De forma análoga ao que ocorre no Cálculo de uma variável, dadas f

e g funções definidas em A ⊂ Rn, definimos:

f + g

(u) = f (u) + g(u).

f g

(u) = f (u) g(u);

em particular,

λ f

(u) = λ f (u), para todo λ ∈ R.

f

g

(u) =

f (u)

g(u) ,

se g(u) = 0.




(a) Calcule: f + g, f g, e f

g, se:

i. f (x, y) = x3−x y2−x2 y−y3+x2+y2 e g(x, y) = x2 y+x y2−x3.

ii. f (x, y) = x y2 − x4 y3 e g(x, y) =

x2 + y2 + x y

(b) Calcule: f + g, f g, e f g , se

i. f (x,y,z ) = x y z − x2 z 2 e g(x,y,z ) = x y z − y2 z 2.

ii. f (x,y,z ) =

x y + z − x2 − y2 e g(x,y,z ) = x5 − y2 z 2.



Capítulo 4

CONJUNTOS ABERTOS,FECHADOS E FRONTEIRA

4.1 Introdução

Lembremos que nos conceitos estudados no Cálculo de uma variável, osintervalos, fechados, abertos, tem um papel fundamental nas definições eteoremas.

A continuação apresentaremos alguns conceitos sobre certos tipos de conjuntos em várias variáveis, que tem um papel análogo aos intervalos emuma variável.

4.2 Bolas Abertas

Definição 4.1. Sejam r > 0 e x0 ∈ Rn. A bola aberta de centro x0 e raio r édenotada por B(x0, r) e definida por:

B(x0, r) = {x ∈ Rn/x− x0 < r}.

Observações 4.1.

1. Se n = 2; x0 = (x0, y0) e x = (x, y); logo:

x− x0 =

(x − x0)2 + (y − y0)2

e:

95



96 CAPÍTULO 4. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA

B(x0, r) = {(x, y) ∈ R2/(x − x0)2 + (y − y0)2 < r2}2. O conjunto B(x0, r) é o "interior"de um círculo centrado em (x0, y0) e

raio r , ou equivalentemente, o conjunto dos vetores no plano de ori-gem em (x0, y0) e norma menor que r. Neste caso, o conjunto B(x0, r)é chamado disco aberto de centro (x0, y0) e raio r.

B(x,r)

x0

0y r

(x ,y )00

Figura 4.1: Disco aberto.

3. Analogamente, se n = 3; x0 = (x0, y0, z 0) e x = (x,y,z ):

B(x0, r) = {(x,y,z ) ∈ R3/(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z 0)2 < r2}

4. O conjunto B(x0, r) é o "interior"de uma esfera "sólida"centrada em(x0, y0, z 0) e raio r, ou equivalentemente, o conjunto dos vetores noespaço de origem em (x0, y0, z 0) e norma menor que r.

B(x,r)

r

x

Figura 4.2: Bola aberta.

5. Observe que em ambos os casos a desigualdade é estrita.



4.3. CONJUNTOS ABERTOS 97

4.3 Conjuntos Abertos

Definição 4.2. A ⊂ Rn é dito aberto em Rn se para todo x ∈ A, existe B(x, r)tal que B(x, r) ⊂ A.

A

Figura 4.3: Conjunto aberto.

Estes conjuntos são a generalização natural de intervalos abertos em R. Por

definição, o conjunto vazio e Rn são conjuntos abertos em Rn.

Exemplos 4.1.

[1] Pela definição, {x} não é aberto em Rn, pois toda bola ou disco aberto decentro x não está contido em {x}.Em geral, os conjuntos do tipo {x1, x2, x3, ....., xn / xi ∈ Rn} não são abertos.

[2] R "pensado"como a reta {(x, 0) / x ∈ R} ⊂ R2 não é aberto no plano, poisqualquer disco aberto centrado em (x, 0) não está contido em R.

x


[3] A = (a, b)

×(c, d)

é aberto emR2

.De fato, para todo (x, y) ∈ A, a < x < b e c < y < d, denote por ε omenor número do conjunto {|x − a|, |x − b|, |y − c|, |y − d|}, onde | | é a




distância entre números reais. Então, por exemplo, considerando r = ε

6,

temos, B((x, y), r) ⊂ A. Logo A é um conjunto aberto.

A

c

d

a b


[4] A = R2 ⊂ R3 não é aberto no espaço, pois qualquer bola aberta centradaem (x,y, 0) não está contida em R2.

[5] B(x0, r) é um conjunto aberto. De fato, denotando por d(x,y) a distânciaentre os pontos x, y em Rn, se x ∈ B(x0, r) então d(x,x0) < r; tomandor1 = r − d(x,x0) < r, temos: B(x, r1) ⊂ B(x0, r).

Será útil dar um nome especial para um conjunto aberto que contenha umponto dado x. A tal conjunto chamaremos de vizinhança do ponto x.

4.4 Conjunto Fronteira

Definição 4.3. Seja A ⊂ Rn

. Um ponto x

∈ Rn

é dito ponto da fronteira oudo bordo de A se toda vizinhança de x intersecta A e Rn − A.

A

x

Figura 4.6: Bordo de A.



4.4. CONJUNTO FRONTEIRA 99

Denotamos o conjunto dos pontos da fronteira do conjunto A por ∂A. Umconjunto é aberto se A ∩ ∂A = φ.

Exemplos 4.2.

[1] Se A = B(x, r) então ∂A = {y/d(x,y) = r

}; logo o conjunto C =

{y/d(x,y) ≤ r} não é aberto.

A C


[2] Seja A = {(x, y) ∈ R2/x > 0}; este conjunto corresponde ao primeiro e aoquarto quadrantes sem incluir a reta x = 0 e é aberto no plano; de fato, seja(x, y) ∈ A e escolhamos r = x > 0; se (x1, y1) ∈ B((x, y), r) temos:

|x − x1| =

(x − x1)2 ≤

(x − x1)2 + (y − y1)2 < r = x.

Logo x1 > 0 e B((x, y), r) ⊂ A; note que ∂A = {(0, y)/y ∈ R}.





4.5 Conjuntos Fechados

Definição 4.4. Um conjunto A ⊂ Rn é dito fechado em Rn se ∂A ⊂ A.

Exemplos 4.3.

[1] Rn é também um conjunto fechado.[2] A = {(x, y) ∈ R2/ x2 + y2 < r2, r > 0} não é fechado, pois sua fronteira é:

∂A = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 = r2, r > 0}.

Logo ∂A ⊂ A.

[3] O sólido W = {(x,y,z ) ∈ R3/ x2 + y2 + z 2 ≤ r2, r > 0} é fechado pois suafronteira é:

∂W = {(x,y,z ) ∈ R3

/x2

+ y2

+ z 2

= r2

, r > 0}.Logo ∂W ⊂ W . Em geral, todos os sólidos são fechados.

[4] A = [a, b] × [c, d] é um conjunto fechado, pois ∂A é o retângulo formadopelas retas x = a, x = b, y = c e y = d.

Nos próximos parágrafos apresenteremos uma caracterização mais eficientedos conjuntos abertos e fechados.



Capítulo 5

LIMITES E CONTINUIDADE

5.1 Limites

Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função e x0 ∈ A ∪ ∂A.

Observação 5.1. Intuitivamente, x0 ∈ A∪∂A significa que se x0 não pertencea A deve estar arbitrariamente "próximo"de A.

Definição 5.1. O limite de f quando x aproxima-se de x0 é L quando paratodo ε > 0, existe δ > 0 tal que x ∈ B(x0, δ ) ∩ A implica |f (x) − L| < ε.

Notação:

limx

→x0

f (x) = L

Equivalentemente, limx→x0

f (x) = L quando para todo ε > 0, existe δ > 0 talque:

0 < x− x0 < δ, implica em |f (x) − L| < ε.

Observações 5.1.

1. Se n = 2: Consideramos x = (x, y), x0 = (x0, y0) e o vetor x − x0 =(x − x0, y − y0) a norma do vetor x − x0 é:

x− x0 =

(x − x0)2 + (y − y0)2.

Usamos a seguinte notação:

101



102 CAPÍTULO 5. LIMITES E CONTINUIDADE

lim(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) = L

2. Se n = 3: Consideramos x = (x,y,z ), x0 = (x0, y0, z 0) a norma do vetorx− x0 é:

x− x0 =

(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z 0)2.

Usamos a seguinte notação:

lim(x,y,z)→(x0,y0,z0)

f (x,y,z ) = L

Exemplos 5.1.

Verifique que lim(x,y)→(1,2)

(x + 2 y) = 5. De fato:

|x + 2 y − 5| = |x − 1 + 2 (y − 2)| ≤ |x − 1| + 2 |y − 2|≤

(x − 1)2 + (y − 2)2 + 2

(x − 1)2 + (y − 2)2

≤ 3 (x, y) − (1, 2).

Dado ε > 0, seja δ = ε

3; (x, y) − (1, 2) < δ implica em |x + 2 y − 5| < 3 δ = ε.

Logo:

lim(x,y)→(1,2)

(x + 2 y) = 5.

As propriedades dos limites são análogas às dos limites de funções de umavariável e suas provas seguem diretamente da definição.

Teorema 5.1. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função. Se o limite de f quando xaproxima-se de x0 existe, então ele é único.

Este teorema permite fazer simplificações no cálculo de limites.

Proposição 5.1. Sejam f, g : A ⊂ Rn −→ R, x0 ∈ A ∪ ∂A e c ∈ R, tal que

limx→x0f (x

) = L e limx→x0g(x

) = M , então:

1. limx→x0

c f (x) = c · L,



5.1. LIMITES 103

2. limx→x0

(f (x) + g(x)) = L + M,

3. limx→x0

(f (x) · g(x)) = L · M,

4. limx→x0

f (x)

g(x) =

L

M se M = 0.

5. Em particular, se P = P (x) é um polinômio de várias variáveis:

limx→x0

P (x) = P (x0).

6. Se f (x) = P (x)Q(x)

é uma função racional:

limx→x0

P (x)

Q(x) =

P (x0)

Q(x0),

se x0 ∈ Dom(f ).

Observação 5.2. Do teorema, podemos concluir que se duas curvas passampelo ponto de abcissa x0 e originam valores diferentes para o limite de umafunção quando restrita às curvas, então o limite da função quando x se apro-xima de x0 não existe. Veja o exemplo [2].

Exemplos 5.1.

[1] Calcule lim(x,y)→(0,0)

x3

+ 2 x2

+ x y2

+ 2 y2

x2 + y2 .

Analogamente ao procedimento adotado no cálculo de limites de funçõesde uma variável, temos: x3 + 2 x2 + x y2 + 2 y2 = (x + 2)(x2 + y2), logo:

lim(x,y)→(0,0)

x3 + 2 x2 + x y2 + 2 y2

x2 + y2 = lim

(x,y)→(0,0)(x + 2) = 2.


2 x y

x2 + y2.

Observemos que f é definida em R2

− {(0, 0)

}. Consideremos o seguinte

família de retas que passam pela origem: y = k x; f calculada para y = k x é

f (x,kx) = 2k

1 + k2 e:




lim(x,kx)→(0,0)

f (x , k x) = 2 k

1 + k2.


Logo, sobre cada reta que passa pela origem, f tem um valor constante,mas que depende do coeficiente angular k, de cada reta. O limite da funçãof depende do percurso do ponto (x, y) quando ele tende à origem. Porexemplo, considere k = 0 e k = 1. Como o limite de f , se existe, é único,podemos afirmar que o limite de f no ponto (0, 0) não existe.

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

Figura 5.2: Curvas de nível e o gráfico de f .


x2 y

x4 + y2.

Sejam a reta y = 0 e a parabóla y = x2. Então, f (x, 0) = 0 e:

lim(x,0)−→(0,0)

x2y

x4 + y2 = 0.



5.1. LIMITES 105

Por outro lado, f (x, x2) = 12 e:

lim(x,x2)−→(0,0)

x2y

x4 + y2 =

1

2.

Logo, o limite não existe. Veja as curvas de nível do G(f ):

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Figura 5.3: Curvas de nível e o gráfico de f .


sen(x2 + y2)

x2 + y2 .

Do cálculo em uma variável sabemos que limx−→0

sen(x)

x = 1. Logo, para todo

ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < |x| < δ < 1, implicasen(x)

x − 1 < ε. Por outro

lado se v = (x, y), então v2 = x2 + y2 e:

lim(x,y)→(0,0)

sen(x2

+ y2

)x2 + y2 = lim

v→0sen(v

2

)v2 ;

se 0 < v < δ , então 0 < v2 < δ 2 < δ pois 0 < δ < 1, e

|f (v) − 1| =sen(v2)

v2 − 1 < ε.

Logo,

lim(x,y)

→(0,0)

sen(x2 + y2)

x2 + y2 = 1.

Observemos que as curvas de nível e o gráfico de f são bem "comporta-dos"numa vizinhança de (0.0).




-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Figura 5.4: Curvas de nível e gráfico, respectivamente.


x2 y

x2 + y2.

A função f é definida em R2 − {(0, 0)}. Consideremos a família de retasy = k x; f calculada em y = k x é f (x , k x) = k x

1+k2. Logo:

lim(x,y)→(0,0)

x2 y

x2 + y2 = lim

(x,kx)→(0,0)

k x

k2 + 1 = 0.

Mas, isto não nos garante que o limite:

lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) = 0.

Temos que utilizar a definição de limite. De fato, como x2 ≤ x2 + y2 e |y| ≤ x2 + y2, temos: x2y

x2 + y2

= x2 |y|x2 + y2

≤ (x2 + y2)

x2 + y2

x2 + y2 =

x2 + y2,

Tomando δ = ε, concluimos que x2 y

x2+y2

< ε, se 0 <

x2 + y2 < δ . Portanto,

lim(x,y)→(0,0)

x2 y

x2 + y2 = 0.

5.2 A não existência de um limite

A seguir, apresentaremos uma observação e um algoritmo para verificar anão existência de um limite, gentilmente cedidos pela Professora Patrícia



5.2. A NÃO EXISTÊNCIA DE UM LIMITE 107

Nunes da Silva do Departamento de Análise do IME-UERJ.

Consideremos o seguinte exemplo:

lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) = lim(x,y)→(0,0)

x3

x2 + y.

É fácil verificar que:x3

x2 + y

tende a zero, se nos aproximamos da origem ao longo de retas ou curvas dotipo y = xk. No entanto, o limite acima não existe. Para determinar umacurva segundo a qual o valor do limite de f quando (x, y) se aproxima daorigem seja diferente de zero, devemos proceder do seguinte modo:

i) Procuramos uma curva da forma y(x) = α(x) − x2 com α(x) = 0. Temos:

f (x, y(x)) = f (x, α(x) − x2) = x3

α(x).

Como queremos nos aproximar da origem, a escolha de α(x) deve ser talque:

limx→0

y(x) = limx→0

(α(x) − x2) = 0.

Por outro lado, desejamos que x3

α(x) não se aproxime de zero. Por exemplo,

se α(x) = x3, temos:

lim(x,y)→(0,0) f (x, x3 − x2) = lim(x,y)→(0,0)

x3

x3 = 1.

ii) Agora, vamos generalizar esta idéia.

Devemos calcular o limite de uma função f quando (x, y) se aproxima deum ponto (x0, y0) e encontramos várias curvas ao longo das quais a funçãotende a zero. Sabemos que a função é dada pelo quociente de duas funçõesque se anulam em (x0, y0), isto é:

lim(x,y)

→(x0,y0)

f (x, y) = lim(x,y)

→(x0,y0)

p(x, y)

q (x, y), tal que

p(x0, y0) = q (x0, y0) = 0.




Além disso, a função q = q (x, y) se anula ao longo de uma curva γ (x) quepassa pelo ponto (x0, y0) e, nesta curva, p = p(x, y) só se anula no ponto(x0, y0). Isto é:

γ (x0) = y0, q (x, γ (x)) = 0 e p(x, γ (x)) = 0,

para todo x = x0. Para encontrar uma curva ao longo da qual a função f não tende a zero devemos proceder do seguinte modo:

i) Procuramos uma curva da forma y(x) = γ (x) + α(x) com α(x) = 0.

ii) Avaliamos a função f (x, γ (x) + α(x)).

iii) Analisamos a função f (x, γ (x)+α(x)) a fim de determinar uma expressãoconveniente para α(x).

Exemplos 5.2.

Verifique que lim(x,y)→(0,0)

x3 + y3

x − y não existe.

Considere p(x, y) = x3 + y3, q (x, y) = x − y e p(0, 0) = q (0, 0) = 0.

i) Seja γ (x) = x, γ (0) = 0, q (x, γ (x)) = 0, p(x, γ (x)) = 2 x3 = 0 se x = 0. Sejay(x) = x + α(x) com α(x) = 0.

ii) Por outro lado:

f (x, x+α(x)) = x3 + (x + α(x))3

x − x − α(x) =

x3 + (x + α(x))3

−α(x) = − x3

α(x)− (x + α(x))3

α(x) .

Seja α(x) = x3; logo:

f (x, x + x3) = −1 − (1 + x2)3

e:

lim(x,y)→(0,0)

f (x, x + x3) = −1 − 1 = −2.



5.3. CONTINUIDADE 109

Figura 5.5: Projeção do G(f ), no plano xy.

5.3 Continuidade

Seja A ⊂ Rn e f : A ⊂ Rn −→ R uma função.

Definição 5.2. f é contínua em x0 ∈ A quando:

1. limx→x0

f (x) existe

2. limx→x0

f (x) = f (x0)

Equivalentemente, f contínua em x0, quando para todo ε > 0 existe δ > 0

tal que se:

x− x0 < δ, então |f (x) − f (x0)| < ε.

Definição 5.3. Dizemos que f é contínua em A se f é contínua em cadax0 ∈ A.

Exemplos 5.2.

[1] Se P = P (x

) é uma função polinomial de várias variáveis, então P écontínua em qualquer ponto do Rn.

[2] A seguinte função não é contínua na origem:




f (x, y) =

2 x y

x2 + y2 se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

De fato:

lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) = lim(x,kx)→(0,0)

2 k

k2 + 1 =

2 k

k2 + 1

isto é, o limite não existe pois depende de k; logo, f não é contínua.

[3] A seguinte função é contínua na origem:

f (x, y) =

x2y

x2 + y2 se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

De fato:

lim(x,y)→(0,0)

x2y

x2 + y2 = f (0, 0) = 0.

Veja os desenhos da curvas de nível e gráfico de f , respectivamente:

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1


[4] Considere a função f (x, y) = arctgy

x

, f não é contínua no conjunto

A = {(0, y)/ y ∈ R}. Veja o gráfico e as curvas de nível de f :




-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2


Observação 5.3. As propriedades das funções contínuas são análogas às dasfunções contínuas de uma variável. Suas provas seguem diretamente dadefinição.

Proposição 5.2. Sejam f, g : A ⊂ Rn −→ R funções contínuas no ponto x0.

Então:1. f + g e f · g são contínuas em x0.

2. Se f (x0) = 0 então 1

f é contínua em x0.

As provas seguem da definição.

Exemplos 5.3.

[1] As função elementares são contínuas nos pontos onde estão definidas.[2] As funções racionais nos pontos onde os polinômios do denominadornão se anulam, são contínuas.

[3] A função f (x, y) = x3 + y

x2 + 1 é contínua em R2.

Proposição 5.3. Sejam f : A ⊂ Rn −→ R uma função contínua no pontox0 ∈ A e g : I ⊂ R −→ R uma função tal que f (A) ⊂ I de modo que g ◦ f esteja bem definida. Se g é contínua em f (x0), então g ◦ f é contínua em x0.

Prova: Segue da definição.




Exemplos 5.4.

[1] A função f (x,y,z ) = (x2 + z 2 + y4)4 + sen(z 2) é contínua em R3.

A função f é a soma de duas funções contínuas:

f 1(x,y,z ) = (x2 + z 2 + y2)4 e f 2(x,y,z ) = sen(z 2).

f 1 é a composta da função h(x,y,z ) = x2 + z 2 + y2 e g(u) = u4, ambascontínuas e f 2 é a composta de h(x,y,z ) = z 2 e g(u) = sen(u), tambémcontínuas.

[2] A função:

h(x,y,z ) = (x2 + z 2 + y4)4 + sen(z 2)

x2 + y2 + z 2

é contínua em R3 − {(0, 0, 0)}.

De fato, escrevendo:

h(x,y,z ) = f (x,y,z )

g(x,y,z ),

onde f é a função do exemplo anterior e g(x,y,z ) = x2 + y2 + z 2 que écontínua e não nula, exceto na origem. Pela propriedade ii) temos que h écontínua em A = R3 − {(0, 0, 0)}.

[3] A função:

f (x) =

x

= x2

1 + x22 + ....... + x2

n

é contínua para todo x ∈ Rn. Em particular:

f (x1, x2, x3,.....,xn) ≥

x2i = |xi|,

para todo x ∈ Rn.

[4] Seja v = (x, y), então: x2 y

x2+y2

≤ v2 v v2 = v. Como lim

v→ 0 v = 0

temos

lim(x,y)→(0,0)

x2 y

x2 + y2 = 0 e lim(x,y)→(0,0)

x2 y

x2 + y2 = 0.

[5] Determine o valor de A para que a seguinte função seja contínua:




f (x, y) =

sen(

x2 + y2) x2 + y2

se (x, y) = (0, 0)

A se (x, y) = (0, 0).

Seja v = (x, y); então,

lim(x,y)→(0,0)

sen(

x2 + y2) x2 + y2

= lim v→ 0

sen( v) v = 1;

logo, A = 1.

A seguinte proposição não será provada, pois ela decorre de um teorema,que fica fora do contexto destas notas.

Proposição 5.4. Seja h : Rn −→ R uma função contínua; então:

1. A = {x ∈ Rn / 0 < h(x)} é aberto em Rn.

2. F = {x ∈ Rn / 0 ≤ h(x)} é fechado em Rn.

3. ∂A = {x ∈ Rn / h(x) = 0}.

Exemplos 5.5.

[1] Os planos em R3 são conjuntos fechados. De fato, considere:

h(x,y,z ) = a x + b y + c z − d.

A função h é contínua em R

3

.[2] O sólido W = {(x,y,z ) ∈ R3/ x2 + y2 + z 2 ≤ r2, r > 0} é um conjuntofechado. De fato, considere:

h(x,y,z ) = x2 + y2 + z 2 − r2.

A função h é contínua em R3 e pela proposição W é fechado.

[3] A parábola A = {(x, y) ∈ R2/y = x2} é um conjunto fechado. De fato,considere:

h(x, y) = y−

x2.

A função é contínua em R2 e pela proposição A é fechado.




5.4 Exercícios

1. Utilizando as propriedades de limite, calcule:

(a) lim(x,y)→(0,1)

x3y

(b) lim(x,y)→(0,1)

exy

(c) lim(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2 + 2

(d) lim(x,y)→(0,0)

sen(xy)

xy

(e) lim(x,y)→(1,1)

x3y + y3 + 3

(f) lim(x,y)→(0,0)

sen2(xy)

(xy)2

(g) lim(x,y)→(1,1)

ln(|1 + x2 y3|)

(h) lim(x,y,z)→(1,2,6)

1x

+ 1

y +

1

z

2. Verifique se os limites das seguintes funções dadas existem no ponto(0, 0):

(a) f (x, y) = x2

x2 + y2

(b) f (x, y) = x3 + y3

x2 + y

(c) f (x, y) = 6x2y2 + 2xy3

(x2 + y2)2

(d) f (x, y) = x2

y2

x3 + y3

(e) f (x, y) = x3 + y3

(x2 + y)2

(f) f (x, y) = x4 + 3 x y2

x2 + y2

3. Verifique que os limites das seguintes funções existem se(x, y) → (0, 0):

(a) f (x, y) = x3 + y3

x2 + y2(b) f (x, y) =

xy x2 + y2

4. Verifique que:

(a) lim(x,y)→(0,0)

1 − cos√

x y

x = 0

(b) lim(x,y)→(0,0)

sen(x2 + y2)

1 − cos

x2 + y2

= 2




5. Verifique que: limx→0

limy→0

x2

x2 + y2

= limy→0

limx→0

x2

x2 + y2

.

6. Seja: f (x, y) =

xsen1

y

se y = 0

0 se y = 0.. Verifique que:

(a) lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) = 0

(b) limx→0

limy→0

f (x, y) = lim

y→0

limx→0

f (x, y).

7. Discuta a continuidade das seguintes funções:

(a) f (x, y) = xy

x2 + y2se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

(b) f (x, y) =

x2y

x4 + y2 se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

(c) f (x, y) =

x + y

x2 + y2 se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

(d) f (x, y) = x3 + y3

x2 + y2 se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

(e) f (x, y) =

x3 y3

x2 + y2 se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

(f) f (x, y) =

sen(x + y)

x + y se (x, y) = (0, 0)

2 se (x, y) = (0, 0).

(g) f (x,y,z ) = x z − y2

x2 + y2 + z 2 se (x,y,z ) = (0, 0, 0)

0 se (x,y,z ) = (0, 0, 0).




8. Usando a composição de funções, verifique que as seguintes funçõessão contínuas:

(a) f (x, y) =

x2 + y2

(b) f (x, y) = xy

x2 + y2 + 1

(c) f (x, y) =

x4 + y4 + 1

(d) f (x, y) = sen(x2y + y2x)

(e) f (x, y) = sen(xy)

x2 + y2 ; x, y = 0

(f) f (x, y) = cos3(xy3)

(g) f (x, y) = 1 3 − sen(xy)

; x, y = 0

(h) f (x, y) = sech3(xy3)

(i) f (x,y,z ) = ln(

x2 + y2 + z 2 − 1)

(j) f (x,y,z ) = 1

x2 − y2 − z + 1

9. Calcule o valor de a para que a função

f (x, y) =

x2 y2 y2 + 1 − 1

se (x, y) = (0, 0)

a − 4 se (x, y) = (0, 0),

seja contínua.



Capítulo 6

DERIVADAS PARCIAIS

6.1 Definições

Neste capítulo, apresentamos um dos conceitos centrais do Cálculo em Vá-rias Variáveis, as derivadas parciais e a diferenciação de funções.

Definição 6.1. Sejam A ⊂ R3 um conjunto aberto e f : A −→ R uma função.

1. A derivada parcial de f em relação à variável x , no ponto

(x,y,z ) ∈ A é denotada por ∂f

∂x(x,y,z ) e definida por:

∂f

∂x(x,y,z ) = lim

t−→0

f (x + t, y,z ) − f (x,y,z )

t

se o limite existe.

2. A derivada parcial de f em relação à variável y , no ponto


∂y(x,y,z ) e definida por:

∂f

∂y(x,y,z ) = lim

t−→0

f (x, y + t, z ) − f (x,y,z )

t

se o limite existe.

3. A derivada parcial de f em relação à variável z , no ponto


∂z (x,y,z ) e definida por:

117



118 CAPÍTULO 6. DERIVADAS PARCIAIS

∂f

∂z (x,y,z ) = lim

t−→0

f (x,y,z + t) − f (x,y,z )

t

se o limite existe.

Observações 6.1.

1. De forma análoga são definidas as derivadas parciais para funções deduas variáveis.

2. Observe que o conjunto A deve ser aberto, pois para todo x ∈ A énecessário que x + t ei ∈ A, onde i = 1, 2, 3; o que é verdadeiro se|t| < η (η > 0 pequeno). Veja a bibliografia.

Exemplos 6.1.

[1] Se z = f (x, y) = x y, calcule suas derivadas parciais.

Estamos no caso n = 2:

∂f

∂x(x, y) = lim

t−→0

f (x + t, y) − f (x, y)

t = lim

t−→0

(x + t) y − x y

t = lim

t−→0

t y

t = y,

∂f

∂y(x, y) = lim

t−→0

f (x, t + y) − f (x, y)

t = lim

t−→0

x (t + y) − x y

t = lim

t−→0

t x

t = x.

[2] Se w = f (x,y,z ) = x2 y z 2, calcule suas derivadas parciais.

Estamos no caso n = 3:



6.1. DEFINIÇÕES 119

∂f

∂x(x,y,z ) = lim

t−→0

f (x + t, y,z ) − f (x,y,z )

t = lim

t−→0

(x + t)2 y z 2 − x2 y z 2

t

= limt−→0

2 x y z 2 t + t2yz 2

t = 2 x y z 2,

∂f

∂y(x,y,z ) = lim

t−→0

f (x, t + y, z ) − f (x,y,z )

t = lim

t−→0

x2 (t + y) z 2 − x2 y z 2

t

= limt−→0

t x2 z 2

t = x2 z 2,

∂f

∂z (x,y,z ) = lim

t−→0

f (x,y,t + z ) − f (x,y,z )

t = lim

t−→0

x2 y (t + z )2 − x2 y z 2

t

= limt−→0

t2 x2 y + 2 t x2 y z

t = 2 x2 y z.

Observação 6.1.

1. Seja y = c, fixado e consideremos g(x) = f (x, c); logo:

g′(x) = limt−→0

g(x + t) − g(x)

t = lim

t−→0

f (x + t, c) − f (x, c)

t =

∂f

∂x(x, c).

2. Se h(y) = f (c, y), então:

h′(y) = limt−→0

h(y + t) − h(y)

t = lim

t−→0

f (c, y + t) − f (c, y)

t =

∂f

∂y(c, y).

Analogamente para mais variáveis.

3. Consequentemente, para derivar parcialmente uma função em relaçãoa x, as demais variáveis são consideradas como constantes e a deriva-ção é feita como em R.

4. Em relação às outras variáveis o procedimento é análogo. Assim, to-das as regras de derivação estudadas para funções em R podem seraplicadas.




Exemplos 6.1.

[1] Se z = f (x, y) =

x2 + y2, calcule suas derivadas parciais.

Calculemos, primeiramente, a derivada parcial de f em relação a x. Pelaobservação anterior consideramos z =

√ x2 + c, onde c = y2; derivando

como em R:

∂f

∂x(x, y) =

x√ x2 + c

= x

x2 + y2;

analogamente para y: fazemos c = x2:

∂f

∂y(x, y) =

y c + y2

= y

x2 + y2.

[2] Se z = f (x, y) = (x2 + y2) cos(x y), calcule suas derivadas parciais noponto (1, π).

Calculemos, primeiramente, a derivada parcial de f em relação a x. Pela ob-servação anterior consideramos z = (x2 + c2) cos(c x), onde y = c; derivandocomo em R:

∂f

∂x(x, y) =

(x2 + c2) cos(c x))′ = 2 xcos(c x) − c (x2 + c2) sen(c x)

= 2 xcos(x y) − y (x2 + y2) sen(x y);

analogamente para y: fazemos z = (c2 + y2) cos(c y):

∂f ∂y (x, y) =

(c2 + y2) cos(c y)′ = 2 y cos(c y) − c (c2 + y2) sen(c y)

= 2 ycos(x y) − x (x2 + y2) sen(x y));

∂f

∂x(1, π) = −2,

∂f

∂y(1, π) = −2 π.

[3] Se w = f (x,y,z ) = ln(x2 + y2 + z 2), calcule suas derivadas parciais.

Calculemos, primeiramente, a derivada parcial de f em relação a x.Seja w = ln(x2 + c), onde c = y2 + z 2; derivando como em R, temos:

∂f

∂x (x,y,z ) = 2 x

x2 + c = 2 x

x2 + y2 + z 2 ;

analogamente para y: fazemos c = x2 + z 2 e para z : c = x2 + y2:



6.1. DEFINIÇÕES 121

∂f

∂y(x,y,z ) =

2 y

y2 + c =

2 y

x2 + y2 + z 2

e:

∂f

∂z (x,y,z ) = 2 z

c + z 2 = 2 z

x2 + y2 + z 2 .

[4] Se w = f (x,y,z ) = senx y

z

, calcule suas derivadas parciais.

Calculemos, primeiramente, a derivada parcial de f em relação a x:

Seja w = sen(c x), onde c = y

z ; derivando:

∂f

∂x(x,y,z ) = c cos(c x) =

y

z cosx y

z

;

analogamente para y; fazemos c = xz e para z ; fazemos c = x y:

∂f

∂y(x,y,z ) = c cos(c y) =

x

z cosx y

z

e

∂f

∂z (x,y,z ) = −c z −2cos(

c

z ) = −x y

z 2 cosx y

z

.

De forma análoga ao Cálculo de uma variável, as derivadas parciais de umafunção são funções e, portanto, podemos calcula-lás em pontos de seus do-mínios.

[5] Seja f (x, y) = ln (x2 + y2 + 1); então:

∂f

∂x(x, y) =

2 x

x2 + y2 + 1 e

∂f

∂y(x, y) =

2 y

x2 + y2 + 1.

Temos duas novas funções:

g(x, y) = 2 x

x2 + y2 + 1 e h(x, y) =

2 y

x2 + y2 + 1.

Logo,:

g(1, 1) = h(1, 1) = 2

3, g(3, −2) =

3

7 e h(1, −2) = −2

7.




2

0

2

2

0

2

0

1

2

3

Figura 6.1: Gráfico de f .

Figura 6.2: Gráficos de g e h, respectivamente.

Observações 6.2.

1. A não existência das derivadas parciais de uma função contínua deduas variáveis num ponto indica que o gráfico da função apresenta"arestas"nesse ponto.

2. De fato, seja z = f (x, y) =

x2 + y2; então, as derivadas parciais exis-tem, exceto na origem.

Figura 6.3: Gráfico de f (x, y) =

x2 + y2.



6.2. GENERALIZAÇÕES 123

6.2 Generalizações

Definição 6.2. Seja A ⊂ Rn um conjunto aberto, x = (x1, x2,...,xn) ∈ A ef : A −→ R uma função. A derivada parcial de f em relação à j-ésimavariável no ponto x ∈ A é denotada por ∂f

∂xj(x) e definida por:

∂f

∂x j(x) = limt−→0

f (x1,...,x j + t, .., xn)−

f (x1,....,xn)

t ,

se o limite existe.

Fazendo j = 1,...,n, temos as derivadas parciais de f em relação à primeira,à segunda, à terceira, ......., à n-ésima variáveis, respectivamente. Denotandopor e j = (0, ...., 1, ....0) o vetor que tem todas as componentes zero exceto a

j-ésima, que é igual a 1, temos:

∂f

∂x j

(x) = limt−→

0

f (x + te j) − f (x)

t

.

6.3 Interpretação Geométrica das Derivadas Par-ciais

O gráfico de uma função de duas variáveis z = f (x, y) é, em geral, umasuperfície em R3. A interseção desta superfície com um plano paralelo aoplano xz , que passa pelo ponto (0, y0, 0) é uma curva plana (ou um ponto)que satisfaz às condições:

z = f (x, y)y = y0.

Como a curva é plana, podemos considerá-la como o gráfico de uma funçãode uma variável, a saber: g(x) = f (x, y0). Logo, o coeficiente angular da retatangente à curva no ponto x0, relativa ao plano, é:

g′(x0) = ∂f

∂x(x0, y0)

Analogamente, a curva plana definida pela interseção do gráfico de f com

o plano que passa por (x0, 0, 0) paralelo ao plano yz pode ser definida porh(y) = f (x0, y). Logo, o coeficiente angular da reta tangente à curva noponto y0, relativa ao plano, é:




h′(y0) = ∂f

∂y(x0, y0)

Desenhos à esquerda e à direita, respectivamente:

Figura 6.4:

Figura 6.5:

Exemplos 6.2.

[1] Seja z = f (x, y) = x2 + y2. Determine a equação da reta tangente àinterseção do gráfico de f com o plano de equação y = 2, no ponto (2, 2, 8).

Pela observação anterior: z = x2 + 4; logo, z = g(x) = x2 + 4 e a equação dareta tangente é: z − g(x0) = g ′(x0)(x − x0), onde x0 = 2, ou seja: z − 4x = 0.



6.3. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS 125

-2

0

2

-2

0

2

0

2

4

6

-2

0

2

4


[2] Seja z = f (x, y) = y2. Determine a equação da reta tangente à interseçãodo gráfico de f com o plano de equação x = x0, no ponto (x0, 1, 1).

Pela observação anterior: z = y2; logo z = h(y) = y2 e a equação da retatangente é: z − h(y0) = h′(y0) (y − y0), onde y0 = 1, ou seja: z − 2y + 1 = 0.

1


Dos parágrafos anteriores temos:Proposição 6.1. Seja f : A ⊂ R2 −→ R uma função tal que as derivadas parciaisexistam no conjunto aberto A, então:

∂f

∂x(a, b) = g ′(a) se g(x) = f (x, b)

∂f

∂y(a, b) = h′(b) se h(y) = f (a, y)

A prova segue das definições e observações anteriores. Esta proposição seestende naturalmente para n ≥ 2.




Exemplos 6.3.

[1] Se f (x, y) = 4

x4 + y4, calcule ∂f

∂x(0, 0) e

∂f

∂y(0, 0).

Seja g(x) = f (x, 0) = x e h(y) = f (0, y) = y ; logo g ′(x) = 1 e h′(y) = 1; então:

∂f

∂x (0, 0) =

∂f

∂y (0, 0) = 1.

[2] Se f (x, y) = x2

(x2 + y2 ln(y2 + 1))−5 etg(x2 y+y3 x2), calcule ∂f

∂x(1, 0).

Seja g(x) = f (x, 0) = x−3 e g ′(x) = −3 x−4; logo:

∂f

∂x(1, 0) = g ′(1) = −3.

[3] Se f (x,y,z ) = cos(x + y + z )

ln(x2 + y2 + z 2), calcule

∂f

∂x(π, 0, 0).

Seja g(x) = f (x, 0, 0) = cos(x)

2 ln(x) e g ′(x) = −x ln(x) sen(x) + cos(x)

2 ln2(x) ; logo:∂f

∂x(π, 0, 0) = g ′(π) =

1

2 π ln2(π).

6.4 Derivadas Parciais como Taxa de Variação

As derivadas parciais também podem ser interpretadas como taxa de vari-ação ou razão instantânea.

De fato, sejam A ⊂ R2 aberto e f : A −→ R uma função tal que as derivadas

parciais existem no ponto (x0, y0).

Definição 6.3. A derivada parcial ∂f

∂x(x0, y0) é a taxa de variação de f ao

longo da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e1 = (1, 0).

Observações 6.3.

1. Isto é, a taxa de variação de f ao longo d a reta:

c(t) = (x0, y0) + t (1, 0) = (x0 + t, y0),

tal que (|t| pequeno).



6.4. DERIVADAS PARCIAIS COMO TAXA DE VARIAÇÃO 127

2. De forma análoga interpretamos a outra derivada parcial: ∂f

∂y(x0, y0) é

a taxa de variação de f ao longo da reta que passa pelo ponto (x0, y0)e na direção e2 = (0, 1), isto é, d(t) = (x0, y0) + t (0, 1) = (x0, y0 + t), (|t|pequeno).

0

0+t

0 0+t

e

e

2

1

Ay

y

x x

d(t) d(t)

c(t)

c(t)

Figura 6.8:

3. Isto é, as derivadas parciais medem a velocidade da variação parcialda função em relação a cada variável, quando as outras estão fixadas.

Exemplos 6.4.

[1] A lei de um gás ideal confinado é P V = 8 T , onde P é a pressão emN/cm2, V é o volume em cm3 e T é a temperatura em graus. Se o volume

do gás é de 150 cm3

e a temperatura é de 100o

, pede-se:(a) Determine a taxa de variação da pressão em relação à temperatura parao volume fixo de 150 cm3.

(b) Determine a taxa de variação do volume em relação à pressão para atemperatura fixa de 100o.

(a) Escrevamos a pressão em função do volume e da temperatura:

P (V, T ) = 8 T

V ; então,

∂P

∂T (V, T ) =

8

V ;

logo,∂P

∂T (150, T ) ∼= 0.0533 N/cm2/kal.




A variação da pressão em relação à temperatura cresce a uma razão de

0.0533 N/cm2/kal. Note que ∂P

∂T não depende de T .

(b) Escrevemos o volume em função da pressão e da temperatura:

V (P, T ) = 8 T

P ; então,

∂V

∂P (P, T ) =

−8

T

P 2.

Por outro lado, P = 8 T

V e para T = 100 e V = 150, obtemos P =

16

3 ; logo:

∂V

∂P (

16

3 , 100) = −28.13 cm3/N.

A variação do volume em relação à pressão diminui a uma razão de:

28.13 cm3/N.

[2] O potencial elétrico no ponto (x,y,z ) é dado por:

V (x,y,z ) = x x2 + y2 + z 2

,

onde V é dado em volts e x, y e z em cm. Determine a taxa de variaçãoinstantânea de V em relação à distância em (1, 2, 3) na direção do:

(a) eixo dos x;

(b) eixo dos y;

(c) eixo dos z .

(a) Devemos calcular ∂V

∂x(1, 2, 3). Seja g(x) = f (x, 2, 3) =

x√ x2 + 13

; então:

∂V ∂x

(x, 2, 3) = g ′(x) = 13(x + 13)3/2

,

logo; ∂V

∂x(1, 2, 3) =

13

14√

14volts/cm.

(b) Devemos calcular ∂V

∂y (1, 2, 3): Seja h(y) = f (1, y, 3) =

1 y2 + 10

; então:

∂V

∂y = h′(y) = − y

(y2 + 10)3/2,

logo; ∂V

∂y

(1, 2, 3) =

− 1

7 √ 14

volts/cm.

(c) Devemos calcular ∂V

∂z (1, 2, 3): Seja k(z ) = f (1, 2, z ) =

1√ z 2 + 5

; então:



6.4. DERIVADAS PARCIAIS COMO TAXA DE VARIAÇÃO 129

∂V

∂z = k ′(z ) = − z

(z 2 + 5)3/2,

logo; ∂V

∂z (1, 2, 3) = − 3

14√

14volts/cm.

[3] Quando materiais tóxicos são despejados ou manipulados num aterropodem ser liberadas partículas contaminadas para a atmosfera circundante.Experimentalmente, a emissão destas partículas pode ser modelada pelafunção:

E (V, M ) = K × 0.00032 V 1.3 M −1.4,

onde E é a emissão (quantidade de partículas liberadas na atmosfera por to-nelada de solo manipulado), V é a velocidade média do vento (mph=metrospor hora), M é a umidade contida no material (dada em porcentagem) e K é uma constante que depende do tamanho das partículas. Calcule a taxa devariação da emissão para uma partícula tal que K = 0.2, V = 10 e M = 13

em relação:

(a) ao vento;

(b) à umidade.

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

Figura 6.9: Curvas de nível de E .

(a) Calculamos ∂E

∂V (10, 13): Então,

∂E

∂V (V, M ) = 0.000122 V 0.3 M −1.4; logo,

∂E

∂V (10, 13) = 0.00001496.

(b) Calculamos ∂E

∂M (10, 13): Então,

∂E

∂M (V, M ) = −0.000291 V 1.3 M −2.4; logo,




∂E

∂M (10, 13) = −0.00001234.

Interprete os resultados obtidos no último exemplo.

6.5 DiferenciabilidadeNo caso de uma variável sabemos que se uma função é derivável numponto, ela é contínua no ponto. Gostaríamos de ter um comportamento aná-logo para funções de várias variáveis; no entanto, a existência das derivadasparciais não garante a continuidade da função.

De fato, a existência de ∂f

∂x depende do comportamento da função f so-

mente na direção do eixo dos x e a existência de ∂f

∂y depende do comporta-

mento da função f somente na direção do eixo dos y. Por exemplo, sabemosque a função:

f (x, y) =

2 x y

x2 + y2 se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0),

não é contínua na origem. No entanto, as derivadas parciais existem emtodos os pontos, inclusive na origem. De fato, sejam g(x) = f (x, 0) = 0 eh(y) = f (0, y) = 0; logo:

∂f

∂x(0, 0) = g ′(0) = 0 e

∂f

∂y(0, 0) = h′(0) = 0.

As derivadas parciais para (x, y) = (0, 0) são:

∂f

∂x =

2 y3 − 2 x2 y

(x2 + y2)2 e

∂f

∂y =

2 x3 − 2 x y2

(x2 + y2)2 .

Em uma variável, a existência da derivada de uma função num ponto, ga-rante que nas proximidades desse ponto o gráfico da função fica bastantepróximo da reta tangente a esse gráfico no ponto considerado. Seguiremosesta idéia para estender o conceito de diferenciabilidade para funções devárias variáveis. Correspondendo à reta tangente num ponto do gráfico deuma função em R temos o "plano tangente"num ponto do G(f ) e este planodeve ser uma "boa"aproximação para o G(f ) numa vizinhança do ponto.



6.5. DIFERENCIABILIDADE 131

Definição 6.4. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função definida no conjuntoaberto A. Dizemos que f é diferenciável no ponto x0 ∈ A se existem asderivadas parciais de f em x0 e:

limh→0f (x) − f (x0) −

n

j=1

∂f ∂xj

(x0)h j

h = 0,

onde h = x − x0, h j é a componente j-ésima de h e x ∈ A.

Para n = 2, este limite expressa o que pensamos ao dizer que:

f (x0, y0) + ∂f

∂x(x0, y0) (x − x0) +

∂ f

∂y(x0, y0) (y − y0),

é uma boa aproximação para f numa vizinhança de x0 = (x0, y0).

Definição 6.5. f é diferenciável em A

⊂Rn, se é diferenciável em cada ponto

de A.

Exemplos 6.2.

Considere a função:

f (x, y) =

x2y

x2 + y2 se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0),

f é contínua em (0, 0); suas derivadas parciais são:

∂f

∂x(0, 0) =

∂f

∂y(0, 0) = 0,

∂f

∂x(x, y) =

2 x y3

(x2 + y2)2

e:

∂f

∂y(x, y) =

x2 (x2 − y2)

(x2 + y2)2 .

Agora, apliquemos a definição de diferenciabilidade para f no ponto (0, 0):

lim(x,y)−→(0,0) |f (x, y)

|(x, y) = lim(x,y)−→(0,0) |x2y

|(x2 + y2)

x2 + y2 ;

considere y = k x, k > 0:




lim(x,k x)→(0,0)

|x2y|(x2 + y2)

32

= lim(x,kx)→(0,0)

|kx3|(x2 + k2x2)

32

= lim(x,kx)→(0,0)

±k

(1 + k2)32

= ± k

(1 + k2)32

;

o limite depende de k; logo f não é diferenciável em (0, 0).


Observação 6.2. Aplicar diretamente a definição de função diferenciávelpode ser, em muitos casos, bastante complicado. Por isso, apresentamoso seguinte teorema:

Teorema 6.1. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função definida no conjuntoaberto A tal que existem todas as derivadas parciais em cada ponto de A ecada uma delas é contínua no ponto x0 ∈ A. Então f é diferenciável em x0.

Observação 6.3. O teorema estabelece apenas uma condição suficiente, ouseja, nem todas as funções diferenciáveis num pontox0 devem ter derivadasparciais contínuas numa vizinhança de x0. Para a prova do teorema, veja oapêndice.

Exemplos 6.5.




[1] Considere a seguinte função

f (x, y) =

x2y2

x2 + y2 se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

As derivadas parciais são:

∂f

∂x(0, 0) =

∂f

∂y(0, 0) = 0,

∂f

∂x(x, y) =

2xy4

(x2 + y2)2 e

∂f

∂y(x, y) =

2x4y

(x2 + y2)2.

As derivadas parciais existem em todo ponto. Aplicaremos o teorema paraprovar a diferenciabilidade de f no ponto (0, 0). Para isto provaremos queas derivadas parciais são contínuas no ponto (0, 0).

lim(x,y)

→(0,0)

∂f

∂x(x, y) = lim

(x,y)

→(0,0)

2xy4

(x2 + y2)2 =

∂f

∂x(0, 0) = 0.

De fato, |x| ≤

x2 + y2 e y4 ≤ (x2+y2)2; logo, |2x y4|(x2+y2)2

≤ 2

x2 + y2; se δ = ε2,

teremos 2 x y4

(x2 + y2)2 < ε se 0 <

x2 + y2 < δ . Analogamente para a outra

derivada parcial.


[2] Os polinômios em várias variáveis são claramente diferenciáveis emtodo ponto de Rn.

[3] A função z = f (x, y) =

x2 + y2 é diferenciável em R2 − {(0, 0)}. Defato:




∂f

∂x =

x x2 + y2

e ∂f

∂y =

y x2 + y2

e ambas são funções contínuas em R2 − {(0, 0)}.

Definição 6.6. Uma função é dita de classe C 1 em A quando existem asderivadas parciais em cada ponto de A e estas são contínuas. Logo f declasse C 1 implica em f diferenciável.

Proposição 6.2. Se f e g são funções de classe C 1 no ponto x0, então:

1. f + g é de classe C 1 em x0.

2. f g é de classe C 1 em x0.

3. Se g(x0) = 0,

f

g é de classe C

1

em x

0.

As provas seguem da aplicação direta da definição.

Exemplos 6.6.

[1] As função definidas por polinômios de várias variáveis são de classe C 1.

[2] A função f (x, y) = xy2 + y

x2 + y2 + 1 é diferenciável em todo R2. De fato,

escrevendo:

f (x, y) = f 1(x, y) + f 2(x, y)

f 3(x, y),

onde f 1(x, y) = xy2, f 2(x, y) = y e f 3(x, y) = x2 + y2 + 1, vemos que as trêsfunções são diferenciáveis em todo o plano, pois são polinômios e f 3 nãose anula em nenhum ponto do plano. Pelas propriedades anteriores, f édiferenciável em R2.

Teorema 6.2. Se f é diferenciável no ponto x0, então f é contínua em x0.

Para a prova, veja o apêndice. Se f é de classe C 1, então f é diferenciável eportanto f é contínua.




Observações 6.4.

1. O plano tangente ao gráfico de uma função f num ponto é o planoque contem todas as retas tangentes ao gráfico de f que passam peloponto.

2. Se todas as retas tangente a esse ponto não são co-planares, então di-zemos que o plano tangente não existe.

3. Nos próximos parágrafos daremos uma justificativa para a seguintedefinição:

Definição 6.7. Seja f : A ⊂ R2 −→ R uma função diferenciável no ponto(x0, y0). A equação do plano tangente ao G(f ) no ponto (x0, y0, f (x0, y0)) é:

z = f (x0, y0) +

∂f

∂x (x0, y0) (x − x0) +

∂ f

∂y (x0, y0) (y − y0)

Figura 6.12: Plano tangente ao G(f ).

Segue, de imediato, que os vetores normais ao plano tangente no ponto(x0, y0, z 0), onde z 0 = f (x0, y0), são:

n(x0, y0, z 0) = ±

∂f

∂x(x0, y0),

∂f

∂y(x0, y0), −1




Exemplos 6.7.

[1] Determine a equação do plano tangente ao gráfico de:

z = (x2 + y2 + 1) e−(x2+y2)

no ponto (0, 0, 1).

Observemos que f (x, y) = (x2 + y2 + 1) e−(x2+y2) é uma função diferenciávelem R2. Sejam g(x) = f (x, 0) = (1 + x2) e−x2 e h(y) = f (0, y) = (1 + y2) e−y2;logo, g ′(x) = −2 x3 e−x2 e h′(y) = −2 y3 e−y2 e:

∂f

∂x(0, 0) = g ′(0) = 0;

∂f

∂y(0, 0) = h′(0) = 0

e f (0, 0) = 1. A equação do plano tangente no ponto (0, 0, 1) é:

z = 1.

Figura 6.13: Plano tangente do exemplo [1].

[2] Determine a equação do plano tangente ao gráfico de z = x − 6 y2 nospontos (1, 1, f (1, 1)) e (−1, −1, f (−1, −1)).

Como f é diferenciável em R2: f (1, 1) = −5 e f (−1, −1) = −7. Por outrolado:

∂f

∂x(x, y) = 1,

∂f

∂y(x, y) = −12 y.

As equações dos planos tangente ao G(f ) nos pontos (1, 1, −5) e(−1, −1, −7) são:



6.6. APROXIMAÇÃO LINEAR 137

z = x − 12 y + 6 e z = x + 12 y + 6,

respectivamente.

Figura 6.14: Plano tangente do exemplo [2].

[3] Determine a equação do plano tangente ao gráfico de z = ex−y + x y2 noponto (1, 1, 2).

Note que f é diferenciável em R2:

f (1, 1) = 2, ∂f

∂x(x, y) = ex−y + y2 e

∂f

∂y(x, y) = −ex−y + 2 x y.

A equação do plano tangente ao G(f ) no ponto (1, 1, 2) é:

z = 2 x + y − 1.

Os vetores normais no ponto (1, 1, 2) são n = (2, 1, −1) e n = (−2, −1, 1).

6.6 Aproximação Linear

Como em Cálculo I, podemos usar a "boa"aproximação do plano tangenteao gráfico numa vizinhança de um ponto para efetuar cálculos numéricosaproximados.

Definição 6.8. Seja f diferenciável no ponto x0. A aproximação linear de f ao redor de x0 é denotada por l e definida como:




1. se n = 2 e z 0 = f (x0, y0):

l(x, y) = z 0 + ∂ f

∂x(x0, y0)(x − x0) +

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0)

2. se n = 3, x0 = (x0, y0, z 0) e w0 = f (x0):

l(x,y,z ) = w0 + ∂f

∂x(x0) (x − x0) +

∂f

∂y(x0) (y − y0) +

∂ f

∂z (x0) (z − z 0)

Seja ε > 0 pequeno. Para todo x ∈ B(x0, ε), o erro da aproximação é:

E (x) = |f (x) − l(x)|e satisfaz:

limx−→x0

E (x)x− x0 = 0.

Em outras palavras l(x) aproxima f (x) numa vizinhança de x0. A funçãol(x) também é chamada linearização de f numa vizinhança de x0.

Exemplos 6.8.

[1] Suponha que não dispomos de calculadora ou de outro instrumento decálculo e precisamos resolver os seguintes problemas:

(a) Se:

T (x, y) = x ex y

representa a temperatura num ponto (x, y) numa certa região do plano, cal-cular as seguintes temperaturas T (1.0023, 0.00012) e T (0.00012, 1.0023).

(b) Se:

ρ(x,y,z ) = ln(

x2 + y2 + z 2)

representa a densidade de um ponto (x,y,z ) numa certa região do espaçoque não contem a origem, determine ρ(1.005, 0.007, 1.01).

(c) Calcule, aproximadamente, o valor de

√ 1.01

2

+ 4.01

2

+ 8.002

2

.(a) Como (1.0023, 0.00012) está perto de (1, 0) acharemos a linearização de T numa vizinhança de (1, 0). Isto é:




l(x, y) = T (1, 0) + ∂ T

∂x(1, 0) (x − 1) +

∂ T

∂y (1, 0) y

= 1 + ∂T

∂x(1, 0) x +

∂ T

∂y (1, 0) y − ∂ T

∂x(1, 0).

∂T ∂x

(x, y) = ex y (1 + x y) e ∂T ∂y

(x, y) = ex y x2; então, numa vizinhança do

ponto (1, 0), temos:

x ex y ≃ x + y.

O ponto (1.0023, 0.00012) está perto do ponto (1, 0), logo:

1.0023 × e1.0023×0.00012 ≃ 1.0023 + 0.00012 = 1.00242.

1

1

Figura 6.15: Vista de x ex y e x + y ao redor de (1, 0).

Analogamente, como (0.00012, 1.0023) está perto de (0, 1) acharemos a line-arização de T numa vizinhança de (0, 1). Isto é:

l(x, y) = T (0, 1) + ∂ T

∂x(0, 1) x +

∂ T

∂y (0, 1) (y − 1)

= ∂T

∂x(0, 1) x +

∂ T

∂y (0, 1) y − ∂ T

∂y (0, 1)

= x.

Então, numa vizinhança do ponto (0, 1), temos:




x ex y ≃ x.

Logo: T (0.00012, 1.0023) ≃ 0.00012.

(b) Devemos determinar a linearização de ρ numa vizinhança de (1, 0, 1).Isto é:

l(x,y,z ) = ρ(1, 0, 1) + ∂ρ

∂x(1, 0, 1) (x − 1) +

∂ ρ

∂y(1, 0, 1) y +

∂ρ

∂z (1, 0, 1) (z − 1).

Temos:

∂ρ

∂x(x,y,z ) =

x

x2 + y2 + z 2,

∂ρ

∂y(x,y,z ) =

y

x2 + y2 + z 2 e

∂ρ

∂z (x,y,z ) =

z

x2 + y2 + z 2.

Então, numa vizinhança do ponto (1, 0, 1), temos:

ln(

x2 + y2 + z 2) ≃ x + z + ln(2)

2 − 1.

Logo: ρ(1.005, 0.007, 1.01) ≃ 0.354.

(c) Seja a função f (x,y,z ) =

x2 + y2 + z 2.Consideremos o ponto (x0, y0, z 0) = (1, 4, 8) e determinemos a linearizaçãode f numa vizinhança do ponto (1, 4, 8):

l(x,y,z ) = f (1, 4, 8)+

∂f

∂x (1, 4, 8) (x−1)+

∂f

∂y (1, 4, 8) (y−4)+

∂f

∂z (1, 4, 8) (z −8).

Temos:

∂f

∂x(x,y,z ) =

x

f (x,y,z ),

∂f

∂y(x,y,z ) =

y

f (x,y,z )e

∂f

∂z (x,y,z ) =

z

f (x,y,z ).

Logo, f (1, 4, 8) = 9, ∂f ∂x

(1, 4, 8) = 19

, ∂f ∂y

(1, 4, 8) = 49

e ∂f ∂z

(1, 4, 8) = 89

; então,

numa vizinhança do ponto (1, 4, 8), temos:




x2 + y2 + z 2 ≃ 1

9 (x + 4 y + 8 z ),

Em particular, no ponto (1.01, 4.01, 8.002):

1.012 + 4.012 + 8.0022 ≃ 1

9 (1.01 + 4 × (4.01) + 8 × (8.002)) ≃ 9.0073.

[2] Lei de gravitação de Newton. A força de atração entre dois corpos demassa m e M , respectivamente, situados a uma distância r é dada por:

F (m,M,r) = G m M

r2 ,

onde G é a constante de gravitação. Determinemos a linearização da função

F ao redor do ponto (m0, M 0, r0).∂F

∂m(m,M,r) =

G M

r2 ,

∂F

∂M (m,M,r) =

G m

r2

e:

∂F

∂r (m,M,r) = −2 G m M

r3 ;

logo, no ponto (m0, M 0, r0), temos:

l(m,M,r) = G

r30(M 0 r0 m + m0 r0 M − 2 m0 M 0 r + m0 M 0 r0).

Por exemplo, se m0 = 1, M 0 = 2 e r0 = 1, temos que:

F (m,M,r) ≃ G (2 m + M − 4 r + 2),

para todo (m,M,r) numa vizinhança de (1, 2, 1).

[3] Um depósito de material radioativo tem o formato de um cilindro circu-

lar reto e deve possuir altura no lado interno igual a 6 cm, raio interno com2 cm e espessura de 0.1 cm. Se o custo de fabricação do depósito é de 10 cvpor cm3. (cv= centavos), determine o custo aproximado do material usado.




Figura 6.16: Depósito de material radioativo.

O volume exato do depósito é a diferença entre os volumes dos cilindrosC 1 e C , onde C 1 tem raio r1 = 2.1 e altura h1 = 6.2 e C tem raio r = 2 ealtura h = 6. Determinemos a aproximação linear do volume do cilindro:V (r, h) = π r2 h. Como V (2, 6)) = 24 π,

∂V

∂r (r, h) = 2 π r h e

∂V

∂h(r, h) = π r2;

então, numa vizinhança do ponto (2, 6), temos: l(r, h) = 4 π(6 r + h − 12). Ovolume de C 1 é V C 1

∼= l(2.1, 6.2) = 27.2 π e o volume total é V =

27.2 π −24 π

cm3 = 3.2 π cm3. Logo o custo aproximado é de 10 × 3.2 π ∼= 100.58 cv.

O argumento desenvolvido neste parágrafo se generaliza facilmente paramais de 3 variáveis:

[4] Suponha que 4 resistores num circuito são conectados em paralelo; aresistência R do circuito é dada por:

R(r1, r2, r3, r4) =

1

r1+

1

r2+

1

r3+

1

r4

−1.

Determine a linearização de R numa vizinhança do ponto (10, 20, 40, 10),onde os ri são medidos em Ohms. Seja x = (r1, r2, r3, r4):

∂R

∂r1(x) =

(R(r1, r2, r3, r4))2

r21,

∂R

∂r2(x) =

(R(r1, r2, r3, r4))2

r22,

∂R

∂r3(x) =

(R(r1, r2, r3, r4))2

r23,

∂R

∂r4(x) =

(R(r1, r2, r3, r4))2

r24.



6.7. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 143

Logo, numa vizinhança do ponto (10, 20, 40, 10), temos:

R(r1, r2, r3, r4) ≃ 1

121 (16 r1 + 4 r2 + r3 + 16 r4).

6.7 Derivadas Parciais de Ordem Superior

Seja f : A ⊂ R2 −→ R uma função tal que suas derivadas parciais existemem todos os pontos (x, y) ∈ A. As derivadas parciais são, em geral, fun-ções de x e y e podemos perguntar se as derivadas parciais destas funçõesexistem:

∂f

∂x, ∂f

∂y : A ⊂ R2 −→ R.

Definição 6.9. As derivadas parciais de segunda ordem de f são definidase denotadas por:

∂

∂x

∂f

∂x

(x, y) = lim

t→0S

∂f ∂x (x + t, y) − ∂f

∂x (x, y)

t

∂

∂x

∂f

∂y

(x, y) = lim

t→0

∂f ∂y

(x + t, y) − ∂f ∂y

(x, y)

t

∂

∂y ∂f

∂x (x, y) = lim

t→0

∂f ∂x (x, y + t) − ∂f

∂x (x, y)

t

∂

∂y

∂f

∂y

(x, y) = lim

t→0

∂f ∂y

(x, y + t) − ∂f ∂y

(x, y)

t ,

se os limites existem.

As notações usuais são:

∂

∂x ∂f

∂x (x, y) =

∂ 2f

∂x2(x, y)

∂

∂x ∂f

∂y (x, y) =

∂ 2f

∂x∂y(x, y)

∂

∂y

∂f

∂x

(x, y) =

∂ 2f

∂y∂x(x, y)

∂

∂y

∂f

∂y

(x, y) =

∂ 2f

∂y2(x, y)




Exemplos 6.9.

[1] Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de:

f (x, y) = x2 y3.

Primeiramente, calculamos as de primeira ordem:∂f

∂x = 2 x y3 e

∂f

∂y = 3 x2 y2; logo:

∂ 2f

∂x2 =

∂

∂x

∂f

∂x

=

∂

∂x

2 x y3

= 2 y3,

∂ 2f

∂y2 =

∂

∂y

∂f

∂y

=

∂

∂y

3 x2 y2

= 6 x2 y,

∂ 2f

∂x∂y

= ∂

∂x

∂f

∂y =

∂

∂x3 x2 y2 = 6 x y2,

∂ 2f

∂y∂x =

∂

∂y

∂f

∂x

=

∂

∂y

2 x y3

= 6 x y2.


= f (x, y) = ln(x2 + y2).

Primeiramente, calculamos as de primeira ordem:

∂f

∂x = 2x

x2 + y2 e ∂f

∂y = 2y

x2 + y2 ; logo:

∂ 2f

∂x2 =

∂

∂x

2x

x2 + y2

=

2 (y2 − x2)

(x2 + y2)2 ,

∂ 2f

∂y2 =

∂

∂y

2y

x2 + y2

=

2(x2 − y2)

(x2 + y2)2,

∂ 2f

∂x∂y =

∂

∂x 2 y

x2 + y2 = −4xy

(x2 + y2)2,

∂ 2f

∂y∂x =

∂

∂y

2 x

x2 + y2

=

−4 x y

(x2 + y2)2.




Em geral, se f : A ⊂ Rn −→ R é uma função tal que suas derivadas parci-ais existem em todos os pontos x ∈ A, definimos as derivadas parciais desegunda ordem de f da seguinte forma:

∂

∂x j ∂f

∂xi (x) = lim

t→0

∂f ∂xi

(x + te j ) − ∂f ∂xi

(x)

t ,

se os limites existem. A notação é ∂

∂x j

∂f

∂xi

(x) =

∂ 2f

∂x j ∂xi(x). Logo, defini-

mos n2 funções:

∂

∂x j

∂f

∂xi

: A ⊂ Rn −→ R.

Se n = 2 temos 4 derivadas parciais de segunda ordem e se n = 3 temos 9derivadas parciais de segunda ordem. Se i = j :

∂

∂xi

∂f

∂xi

(x) =

∂ 2f

∂x2i

(x).

Analogamente, definimos as derivadas de ordem 3, 4, etc. Por exemplo,para i, j, k = 1....n:

∂ 3f

∂x j ∂xi∂xk(x) =

∂

∂x j

∂ 2f

∂xi∂xk

(x).

Primeiramente, calculamos as de primeira ordem:

Exemplos 6.10.


f (x,y,z ) = x y z.

Calculemos as de primeira ordem:

∂f

∂x = y z ,

∂f

∂y = x z e

∂f

∂z = x y, logo:

∂ 2f

∂x2 =

∂

∂x(y z ) = 0,

∂ 2f

∂y2 =

∂

∂y(x z ) = 0,

∂ 2f

∂z 2 =

∂

∂z (x y) = 0,

∂ 2f

∂x∂y =

∂

∂x(x z ) = z,




∂ 2f

∂x∂z =

∂

∂x(x y) = y,

∂ 2f

∂y∂x =

∂

∂y(y z ) = z,

∂ 2f

∂y∂z =

∂

∂y(x y) = x,

∂ 2f

∂z∂x =

∂

∂z (y z ) = y,

∂ 2f ∂z∂y

= ∂ ∂z

(x z ) = x.


f (x,y,z ) = sen(x y z ).

Calculemos as de primeira ordem:

∂f

∂x = y z cos(x y z ),

∂f

∂y = x z cos(x y z ) e

∂f

∂z = x y cos(x y z ); logo:

∂ 2f ∂x2

== −y2 z 2 sen(x y z ),

∂ 2f

∂y2 = −x2 z 2 sen(x y z ),

∂ 2f

∂z 2 = −x2 y2 sen(x y z ),

∂ 2f

∂x∂y = z cos(x y z )−x y z 2 sen(x y z ),

∂ 2f

∂x∂z = y cos(x y z )−x y2 z sen(x y z ),

∂ 2f ∂y∂x

= z cos(x y z )−x y z 2 sen(x y z ),

∂ 2f

∂y∂z = x cos(x y z )−x2 yzs en(x y z ),

∂ 2f

∂z∂x = y cos(x y z )−x y2 z sen(x y z ),

∂ 2f

∂z∂y = x cos(x y z )−x2 yzs en(x y z ).

[3] Equação de Laplace: Seja u = u(x, y) uma função duas vezes diferenciá-vel num conjunto aberto do plano. A equação de Laplace é:

∂ 2u

∂x2 +

∂ 2u

∂y2 = 0.

A equação de Laplace está associada a fenômenos estacionários, isto é, in-dependentes do tempo, como por exemplo potenciais eletrostáticos. As so-luções desta equação são chamadas funções harmônicas. A função u(x, y) =sen(x) ey é harmônica. De fato:

∂ 2u

∂x2 = −sen(x) ey e

∂ 2u

∂y2 = sen(x) ey.




0 2 4 6 8

1

2

3

4

5

6

Figura 6.17: Curvas de nível da função u(x, y) = sen(x) ey.

[4] Equação da onda: Seja u = u(x, t) uma função duas vezes diferenciávelnum conjunto aberto do plano. A equação homogênea da onda é:

∂ 2u

∂t2

= c2 ∂ 2u

∂x2

,

onde c > 0 (c é chamada a velocidade de propagação da onda). u(x, t)descreve o deslocamento vertical de uma corda vibrante. A função :

u(x, t) = (x + c t)n + (x − c t)m, n, m ∈ N

satisfaz à equação da onda. De fato.

∂ 2u

∂x2 = m (m − 1) (x − c t)m−2 + n (n − 1) (x + c t)n−2,

∂ 2u

∂t2 = c

2

(m (m − 1) (x − c t)

m

−2

+ n (n − 1) (x + c t)

n

−2

).

Figura 6.18: Gráfico de z = u(x, t) para c = 16, n = m = 3.




Analogamente, a função:

u(x, t) = sen(x + c t) + cos(x − c t)

2 satisfaz à equação da onda. De fato.

∂ 2u

∂x2 = −1

2 (sen(x + c t) + cos(x − c t)),

∂ 2

u∂t2

= −c2

2 (sen(x + c t) + cos(x − c t)).

Figura 6.19: Gráfico de z = u(x, t) para c = 2.

Definição 6.10. A função f : A −→ R é de classe C 2 quando existem as de-rivadas parciais até a segunda ordem em todos os pontos de A e as funções

∂

∂x j

∂f

∂xi

: A ⊂ Rn → R

são contínuas, para todo i, j.

Notamos que nos exemplos estudados sempre verificamos que:

∂

∂x j

∂f

∂xi

=

∂

∂xi

∂f

∂x j

.

Isto é consequencia do seguinte teorema.

Teorema 6.3. (Schwarz) Se f : A ⊂ Rn −→ R é uma função de classe C 2 noponto x0 ∈ A, então para todo i, j = 1.....n tem-se:

∂

∂x j

∂f

∂xi(x0)

= ∂

∂xi

∂f

∂x j(x0)




Para a prova veja o apêndice.

Exemplos 6.3.

Consideremos a função: f (x, y) =

x y (x2 − y2)

x2 + y2 se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).


Se (x, y) = (0, 0), f (x, y) possui derivadas parciais de todas as ordens; em(0, 0) as derivadas parciais de f (x, y) existem e são todas nulas:

∂f

∂x =

y (x4 − y4 + 4x2y2)

(x2 + y2)2 e

∂f

∂y =

x (x4 − y4 − 4x2y2)

(x2 + y2)2 .

Para todo y

= 0, f (0, y) = 0, ∂f

∂x (0, y) =

−y, ∂f

∂y (0, y) = 0 e:

∂ 2f

∂x∂y(0, y) = −1,

∂ 2f

∂y∂x(0, y) = 0.

Logo, a função não é de classe C 2.

Observações 6.5.

1. Em geral, as funções "bem comportadas", como as polinomiais, expo-nenciais e a maioria das funções utilizadas neste livro são de classeC 2.

2. A seguir apresentamos os gráficos e as curvas de nível da função declasse C 2:




f (x, y) = (x2 − y2) e−(x2+y2)

2

e de suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem mistas, res-pectivamente:

Figura 6.21: Gráficos de f e ∂f ∂x

, respectivamente.

Figura 6.22: Gráficos de ∂f ∂y

e ∂ 2f ∂x∂y

, respectivamente.




2 1 0 1 2

2

1

0

1

2

2 1 0 1 2

2

1

0

1

2

Figura 6.23: Curvas de diversos níveis de f e ∂f ∂x

, respectivamente.

2 1 0 1 2

2

1

0

1

2

2 1 0 1 2

2

1

0

1

2

Figura 6.24: Curvas de diversos níveis de ∂f ∂y

e ∂ 2f ∂x∂y

, respectivamente.

O teorema de Schwarz também é valido para derivadas mistas de ordemsuperior a dois. De fato, se as terceiras derivadas de f são contínuas (f declasse C 3), temos:

∂ 3f

∂x∂x∂y =

∂

∂x

∂ 2f

∂x∂y

=

∂

∂x

∂ 2f

∂y∂x

=

∂ 3f

∂x∂y∂x.

Por outro lado, fazendo g = ∂f ∂x

:

∂ 3f

∂x∂y∂x =

∂ 2g

∂x∂y =

∂ 2g

∂y∂x =

∂ 3f

∂y∂x∂x.

Fica como exercício determinar as outras igualdades. Em geral, f é de classe

C k (k ≥ 1), no conjunto aberto A se as derivadas parciais até ordem k exis-tem e são contínuas em A. f e de classe C ∞ se é de classe C k para todok ≥ 1.




6.8 Regra da Cadeia

Teorema 6.4. Se n = 2, z = f (x, y) é uma função de classe C 1, x = x(r, s) ey = y(r, s) são funções tais que suas derivadas parciais existem, então:

∂z

∂r

= ∂z

∂x

∂x

∂r

+ ∂ z

∂y

∂y

∂r

e ∂z

∂s

= ∂z

∂x

∂x

∂s

+ ∂ z

∂y

∂y

∂s

r

x

z

y

rs s

Figura 6.25: A regra da cadeia para n = 2.

Em particular, se x = x(t) e y = y(t) são deriváveis, então:

dz

dt =

∂z

∂x

dx

dt +

∂z

∂y

dy

dt

x

z

y

t

Figura 6.26: Caso particular da regra da cadeia para n = 2.

Se n = 3, w = f (x,y,z ) é uma função de classe C 1, x = x(r,s,t), y = y(r,s,t)e z = z (r,s,t) são tais que as derivadas parciais existem, então:

∂w

∂r =

∂w

∂x

∂x

∂r +

∂w

∂y

∂y

∂r +

∂w

∂z

∂z

∂r,

∂w

∂s =

∂w

∂x

∂x

∂s +

∂w

∂y

∂y

∂s +

∂w

∂z

∂z

∂s

e

∂w

∂t =

∂w

∂x

∂x

∂t +

∂ w

∂y

∂y

∂t +

∂ w

∂z

∂z

∂t



6.8. REGRA DA CADEIA 153

x

w

y z

r r s t r s tts

Figura 6.27: A regra da cadeia para n = 3.

Em particular, se x = x(t), y = y(t) e z = z (t) são deriváveis, então:

x y

t

z

w

Figura 6.28: Caso particular da regra da cadeia para n = 3.

dw

dt =

∂w

∂x

dx

dt +

∂ w

∂y

dy

dt +

∂ w

∂z

dz

dt

Exemplos 6.11.

[1] Calcule dw

dt se w = f (x,y,z ) = x y z onde x = x(t) = t2, y = y(t) = t e

z = z (t) = t4.

dw

dt =

∂w

∂x

dx

dt +

∂ w

∂y

dy

dt +

∂w

∂z

dz

dt,

∂w

∂x = y z = t × t4 = t5,

∂w

∂y = x z = t2 × t4 = t6 e

∂w

∂z = x y = t2 × t = t3. Por

outro lado, temos que dx

dt = 2 t,

dy

dt = 1 e S

dz

dt = 4 t3; então;

dw

dt = 2 t6 + t6 + 4 t6 = 7 t6.

Observe que podemos obter o mesmo resultado fazendo a composição das

funções:

w = f (t2, t , t4) = t2 × t × t4 = t7, então dw

dt = 7 t6.




Pode explicar por que isto ocorre?

[2] Seja w = f (x,y,z ) = x2 + y2 + 2 z 2, se:

x(ρ,α,θ) = ρsen(α) cos(θ),

y(ρ,α,θ) = ρsen(α) sen(θ) e

z (ρ,α,θ) = ρ cos(α).

Calcule ∂w

∂ρ, ∂w

∂α e

∂w

∂θ .

∂w

∂ρ =

∂w

∂x

∂x

∂ρ +

∂w

∂y

∂y

∂ρ +

∂w

∂z

∂z

∂ρ =

= 2 xsen(α) cos(θ) + 2 ysen(α) sen(θ) + 4 z cos(α);

logo, utilizando a definição das funções x, y e z temos:

∂w

∂ρ = 2 ρsen2(α)

cos2(θ) + sen2(θ)

+ 4 ρcos2(α) = 2 ρ + 2 ρcos2(α).

Como antes, se fazemos w = f (ρ,α,θ) = ρ2 + ρ2cos2(α), obtemos:

∂w

∂ρ = 2 ρ + 2 ρcos2(α),

∂w

∂α = −2 ρ2cos(α) sen(α) e

∂w

∂θ = 0.

[3] Em um instante dado, o comprimento de um lado de um triângulo re-tângulo é 10 cm e cresce à razão de 1 cm/seg; o comprimento do outro lado é

12 cm e decresce à razão de 2 cm/seg. Calcule a razão de variação da medidado ângulo agudo oposto ao lado de 12 cm, medido em radianos, no instantedado.

x

y

θ





Sejam x = x(t) e y = y(t) os lados no instante t e θ = arctg

yx

o ângulo em

questão; pela regra da cadeia:

dθ

dt =

∂θ

∂x

dx

dt +

∂θ

∂y

dy

dt = − y

x2 + y2

dx

dt +

x

x2 + y2

dy

dt;

temos x = 10,

dx

dt = 1; y = 12,

dy

dt = −2, pois y decresce. Substituindoestes valores na expressão anterior

dθ

dt = − 8

61; logo, decresce à razão de

8

61 rad/seg.

[4] A resistência R, em Ohms, de um circuito é dada por R = E

I , onde I é

a corrente em ampères e E é a força eletromotriz, em volts. Num certo ins-tante, quando E = 120 volts e I = 15 ampères, E aumenta numa velocidadede 0.1 volts/seg e I diminui à velocidade de 0.05 ampères/seg. Determinea taxa de variação instantânea de R.

Como R = R(E, I ) = E I . Sejam E = E (t) a força eletromotriz no instante t

e I = I (t) a corrente no instante t. Pela regra da cadeia:

dR

dt =

∂R

∂E

dE

dt +

∂ R

∂I

dI

dt =

1

I

dE

dt +− E

I 2 dI

dt.

Temos E = 120, dE

dt = 0.1, I = 15,

dI

dt = −0.05, pois I decresce. Substituindo

estes valores na expressão anterior:

dR

dt =

1

30 Ohm/seg.

[5] A lei de um gás ideal confinado é P V = k T , onde P é a pressão, V éo volume, T é a temperatura e k > 0 constante. O gás está sendo aquecidoà razão de 2 graus/min e a pressão aumenta à razão de 0.5 kg/min. Se emcerto instante, a temperatura é de 200 graus e a pressão é de 10 kg/cm2, achea razão com que varia o volume para k = 8.

Escrevemos o volume do gás em função da pressão e da temperatura:

V (P, T ) = 8 T

P = 8 T P −1.

Sejam P = P (t) a pressão do gás no instante t e T = T (t) a temperatura do

gás no instante t. Pela regra da cadeia e usando que dT

dt = 2 e

dP

dt = 0.5:




dV

dt =

∂V

∂T

dT

dt +

∂ V

∂P

dP

dt =

4

P (4 − T

P ).

Como T = 200 e P = 10, substituindo estes valores na expressão anterior:

dV

dt

=

−

32

5

cm3/min.

O volume decresce à razão de 32

5 cm3/min.

[6] De um funil cônico escoa água à razão de 18 πcm3/seg. Se a geratrizfaz com o eixo do cone um ângulo α = π

3, determine a velocidade com que

baixa o nível de água no funil, no momento em que o raio da base do volumelíquido é igual a 6 cm.

r

h

α

Figura 6.30: Funil.

Sejam r = r(t) o raio do cone no instante t, h = h(t) a altura do cone no

instante t. O volume do cone é V (r, h) = r2hπ

3 . Devemos calcular

dh

dt.

dV dt

= ∂V ∂r

drdt

+ ∂V ∂h

dhdt

= π3

2rh dr

dt + r2 dh

dt

;

sabemos que:dV

dt = 18π e tg(α) = r/h, logo r = h tg(π/3) =

√ 3 h e

dr

dt =

√ 3

dh

dt e:

18 π = π

3

2rh

dr

dt + r2

dh

dt

= π r2

dh

dt.

Logo, temos dh

dt =

18

r2 =

1

2 cm/seg.

[7] Suponha que z = f b x2

2 − a y3

3

é diferenciável, a, b ∈ R. Então, f satis-

faz à equação:




a y2 ∂z

∂x + b x

∂z

∂y = 0.

De fato, seja u = b x2

2 − a y3

3 ; então, z = f (u). Pela regra da cadeia:

∂z

∂x = dz

du

∂u

∂x = f ′(u) b x e ∂z

∂y = dz

du

∂u

∂y = −f ′(u) a y2;

logo, a y2 ∂z

∂x + b x

∂z

∂y = f ′(u) (a b x y2 − a b x y2) = 0.

[8] Equação da onda: Seja u = u(x, t) de classe C 2. A equação homogêneada onda é dada por:

∂ 2u

∂t2 = c2

∂ 2u

∂x2,

A solução (chamada de d’Alambert) desta equação é dada por:

u(x, t) = f (x + c t) + g(x − c t),

onde f e g são funções reais de uma variável duas vezes diferenciáveis. Defato, pela regra da cadeia:

∂ 2u

∂x2 = f ′′(x + c t) + g′′(x − c t) e

∂ 2u

∂t2 = c2 (f ′′(x + c t) + g′′(x − c t)),

ou seja:

∂ 2u

∂t2 = c2

∂ 2u

∂x2.




6.9 Exercícios

1. Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:

(a) z = x2 y − x y2

(b) z = x3 y3

(c) z = x2 y3 − 3 x4 y4

(d) z = arctg(x2 + y)

(e) z = sec(x2 y)

(f) z = senh(√

x y)

(g) z = x y

x + y

(h) z = x − y

x + y

(i) z =

1 x2 + y2

(j) z = tg( 4

y

x)

(k) z = arcsec( x

y3)

(l) z = cos(x y4)

(m) w = x y z + z sen(x y z )

(n) w = exyz2

(o) w = x + y + z x2 + y2 + z 2

(p) w = arctg(x + y + z )

(q) w = arcsec(x y z )

(r) w = argsenh(x y z )

(s) w = x2 y3 z 4

(t) w = cos(x y + z x)

(u) w = 6√

x y z

(v) w = ln(x2

y3

z 4

)

(w) w = x y + z x

1 + x2 + y3 z 4

(x) w = sen(ln(x y z 2))

(y) w = ex2 y3 z4

(z) w = cos(ln(x y z 2))

2. Seja ∂w

∂x +

∂ w

∂y +

∂ w

∂z = 0. Verifique se as seguintes funções satisfazem

à equação:(a) w = ex−y +cos(y−z )+

√ z − x

(b) w = sen(ex + ey + ez)

(c) w = ln(ex + ey + ez)

(d) w = cos(x2 + y2 + z 2)

3. Ligando-se em paralelo n resitências R1, R2, ........, Rn a resistência to-tal R é dada por

1

R =

n

i=1

1

Ri.

Verifique que: ∂R

∂Ri= R

Ri

2.




4. Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função f noponto P se:

(a) z = x2 + y, P = (1, 1, f (1, 1)).

(b) z = x2 − y2, P = (0, 0, 0).

(c) z = x2

+ 4 y2

, P = (2, 1, f (2, 1)).(d) z = x2 y + y3, P = (−1, 2, f (−1, 2)). .

(e) z = x

x2 + y2, P = (3, −4, f (3, −4)).

(f) z = sen(x y), P = (1, π, 0).

(g) z = x2 + 4 y2

5 , P = (3, −2, 5).

(h) z = 4 − x y

x + y , P = (2, 2, f (2, 2)).

(i) z = x ex2

−y2

, P = (2, 2, f (2, 2)).(j) z = 3 x3 y − x y, P = (1, −1, f (1, −1)).

(k) z = 1

x y, P = (1, 1, f (1, 1)).

(l) z = cos(x) sen(y), P = (0, π

2, f (0,

π

2)).

5. Determine o plano tangente ao gráfico de z = x y que passa pelospontos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1).

6. Determine o plano tangente ao gráfico de z = x2 + y2 que seja paraleloao plano z − 2 x − y = 0.

7. Verifique que o plano tangente ao gráfico de z = x2 − y2 na origemintersecta o gráfico segundo duas retas.

8. Determine a linearização das seguintes funções, ao redor dos pontosdados:

(a) f (x, y) = sen(x y), (0, 1).

(b) f (x,y,z ) = 4

x2 + y2 + z 2, (1, 0, 0).

(c) f (x,y,z ) = x y z , (1, 1, 1).




(d) f (x,y,z ) = (x y)z, (12, 10, 1).

(e) f (x,y,z ) = x y3 + cos(π z ), (1, 3, 1)

(f) f (x,y,z ) = x2 − y2 − z 2 + x y z , (1, 1, 0)

9. Calcule, aproximadamente:

(a) 4√ 1.00222 + 0.00232 + 0.000982.

(b) 0.98 × 0.99 × 1.02.

(c) 3.001 × (2.0023)3 × cos((1.002) π).

(d) (12.03 × 10.04)1.08.

(e) 8.99 × √ 9.99 − 1.013

(f) 1.0023 × 2.99313 + cos(1.00012π).

10. Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:

(a) z = x3 y − 2 x2 y2 + 5 x y − 2 x

(b) z = x cos(x y) − y sen(x y)

(c) z = cos(x3 + x y)

(d) z = arctg(x2 − 2 x y)

(e) z = ex2+y2

(f) w = x2y3 z 4

(g) w = cos(x + y + z )

(h) w = x3 y2 z + 2 (x + y + z )

(i) w = x3 − y3

x2 + y3

(j) w = exyz

(k) w = log4(x2 + y z + x y z )

(l) w = exy2z3

11. Verifique que as funções dadas satisfazem à equação de Laplace:

∂ 2f

∂x2 +

∂ 2f

∂y2 = 0.

(a) f (x, y) = e−x cos(y).

(b) f (x, y) = ln(

x2 + y2).(c) f (x, y) = arctgy

x

, x > 0.

12. Verifique que as funções dadas satisfazem à equação de Laplace emdimensão 3:

∂ 2f

∂x2 +

∂ 2f

∂y2 +

∂ 2f

∂z 2 = 0.




(a) f (x,y,z ) = x2 + y2 − 2 z 2. (b) f (x,y,z ) = e3x+4ycos(5z ).

13. Usando a regra da cadeia para z = f (x, y) e w = f (x,y,z ), calcule dz

dt

e dw

dt :

(a) z = x2 + 2y2, x = sen(t), , y = cos(t)

(b) z = arctg(y

x), x = ln(t), y = et

(c) z = tg(x

y), x = t, y = et

(d) z = exy , x = 3t + 1, y = t2

(e) z = x2cos(y) − x, x = t2, y = 1t

(f) z = ln(x) + ln(y) + xy, x = et, y = e−t

(g) w = xyz , x = t2, y = t3, z = t4

(h) w = e−xy2sen(z ), x = t, y = 2t, z = 3t

(i) w = x2 + y2 + z 2, x = et, y = etcos(t), z = etsen(t)

(j) w = x2 + y2

1 + x2 + y2 + z 2, x = cos(t), y = sen(t), z = et

(k) w = x + y + z

x2 + y2 + z 2, x = cos(t), y = sen(t), z = et

(l) w = (x2 − y2) ln(

z 3

x2

−y2

), x = cosh(t), y = senh(t), z = t

14. Usando a regra da cadeia para z = f (x, y) e w = f (x,y,z ), calcule:

∂z

∂t, ∂z

∂s e

∂w

∂t ,

∂w

∂s e

∂w

∂r .

(a) z = x2 − y2, x = 3t − s, y = t + 2s

(b) z = ey

x , x = 2scos(t), y = 4ssen(t)

(c) z = x2 + y2, x = cosh(s) cos(t), y = senh(s) sen(t)

(d) z = x2y−2, x = s2 − t, y = 2st

(e) z = cosh(y

x), x = 3t2s, y = 6tes




(f) ) z =

1 + x2 + y2, x = set, y = se−t

(g) z = arcsen(3x + y), x = s2, y = sen(st)

(h) w = xey, x = arctg(rst), y = ln(3rs + 5st)

(i) w = x2 + y2 + z 2, x = rcos(s), y = rsen(t)sen(s), z = rcos(t)

(j) w = x2 + y2 + z 2, x = tg(t), y = cos(r), z = sen(s)

(k) w = xy + yz + zx, x = tr, y = st, z = ts

(l) w = log5(xy + yz + zx), x = t2r, y = st2, z = t2s

15. Se o raio r e a altura h de um tanque cônico decrescem à razão de0.3 cm/h e 0.5 cm/h respectivamente, determine a razão de decresci-mento do volume do tanque quando r = 6 cm e h = 30 cm.

16. Num certo instante, a altura de um cone é 30 cm eoraiodabaseé 20 cm

e cresce à razão de 1 cm/seg. Qual é a velocidade com que a altura au-menta no instante em que o volume cresce à razão de 20003 π cm3/seg?

17. Considere a lei de um gás ideal confinado, para k = 10. Determinea taxa de variação da temperatura no instante em que o volume dogás é de 120 cm3 e o gás está sob pressão de 8 din/cm2, sabendo queo volume cresce à razão de 2 cm3/seg e a pressão decresce à razão de0.1 din/cm2.

18. Se z = f (x, y) é diferenciável, x = rcos(θ) e y = rsen(θ), verifique:

∂z

∂x =

∂z

∂rcos(θ) − ∂z

∂θ

sen(θ)

r e

∂z

∂y =

∂z

∂rsen(θ) +

∂ z

∂θ

cos(θ)

r .

19. Sejam f (x, y) e g(x, y) funções diferenciáveis tais que:

∂f

∂x =

∂g

∂y e

∂f

∂y = −∂g

∂x.

Se x = rcos(θ), y = rsen(θ) verifique que:

∂f

∂r =

1

r

∂g

∂θ e

∂g

∂r = −1

r

∂f

∂θ.




20. Verifique que se w = f (x,y,z ) é diferenciável e homogênea de grau n,então:

x ∂f

∂x + y

∂f

∂y + z

∂f

∂z = nf (x,y,z ).



Capítulo 7

DERIVADA DIRECIONAL

7.1 Introdução

Suponha que estamos numa ladeira de uma montanha e desejamos deter-minar a inclinação da montanha na direção do eixo dos z . Se a montanhafosse representada pelo gráfico da função z = f (x, y), então, já saberíamosdeterminar a inclinação em duas direções diferentes, a saber, na direção do

eixo dos x utilizando ∂f

∂x(x, y) e na direção do eixo dos y utilizando

∂f

∂y(x, y).

Neste parágrafo veremos como utilizar derivada para determinar a incli-nação em qualquer direção; para isto definimos um novo tipo de derivadachamada direcional. Este conceito generaliza o de derivada parcial, isto é,as derivadas parciais de uma função podem ser obtidas como casos particu-lares das derivadas direcionais.

Definição 7.1. Sejam A ⊂ Rn aberto, f : A ⊂ Rn −→ R uma função, x ∈ Ae v um vetor unitário em Rn. A derivada direcional de f no ponto x e nadireção v é denotada por:

∂f

∂ v(x)

e definida por:

∂f

∂ v(x) = lim

t−→0

f (x + t v) − f (x)

t ,

se o limite existe.

165



166 CAPÍTULO 7. DERIVADA DIRECIONAL

Observações 7.1.

1. Se n = 3, A ⊂ R3 aberto, f : A ⊂ R3 −→ R uma função, x = (x,y,z ) ∈A e v = (v1, v2, v3) um vetor unitário em R3.

2. A derivada direcional de f no ponto (x,y,z ) e na direção v é denotada

por: ∂f ∂ v

(x,y,z ) e definida por:

∂f

∂ v(x,y,z ) = lim

t−→0

f (x + t v1, y + t v2, z + t v3) − f (x,y,z )

t

se o limite existe.

3. Analogamente para n = 2:

∂f

∂ v(x, y) = lim

t−→0

f (x + t v1, y + t v2) − f (x, y)

t

se o limite existe.

Exemplos 7.1.

[1] A função:

f (x, y) =

x2 y

x4 + y2 se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0),

não é contínua na origem. No entanto, as derivadas direcionais no ponto(0, 0) e em qualquer direção v = (v1, v2) existem.

De fato:

f

(0, 0) + t (v1, v2)− f (0, 0) = f

t v1, t v2

=

t v21 v2

t2 v41 + v2

2 ;

então:




A derivada direcional é a generalização natural das derivadas parciais. Defato, se v = e1 = (1, 0, 0), então, a derivada direcional de f na direção v é aderivada parcial de f em relação a x:

∂f

∂ e1(x,y,z ) = lim

t→0

f (x + t, y,z ) − f (x,y,z )

t =

∂f

∂x(x,y,z ).

Analogamente se v = e2 = (0, 1, 0) e v = e3 = (0, 0, 1):∂f

∂ e2(x,y,z ) =

∂f

∂y(x,y,z ) e

∂f

∂ e3(x,y,z ) =

∂f

∂z (x,y,z ).

A definição para n = 2 é análoga.

Observações 7.2.

1. Notemos que na definição de derivada direcional o vetor v deve serunitário. A razão disto é a seguinte: se o vetor não fosse unitário, aderivada direcional não dependeria somente do ponto e da direção,mas também do comprimento do vetor.

2. Para n = 2, v determina a direção do plano secante que intersecta ográfico de f .

Figura 7.1:

3. Pode acontecer que a derivada direcional de uma função num pontonuma certa direção exista e a derivada direcional da mesma função nomesmo ponto em outra direção não exista.



7.2. DERIVADA DIRECIONAL COMO TAXA DE VARIAÇÃO 169

7.2 Derivada Direcional como Taxa de Variação

De forma análoga ao que ocorre com as derivadas parciais, a derivada dire-cional de f no ponto x ∈ A na direção v exprime a taxa de variação de f aolongo da reta:

c(t) = x + t vou, equivalentemente, a taxa de variação de f em relação à distância, noplano xy, na direção v.

y0

y0 +t

x0 x

0+t

Ae

e

2

1

v

c(t)

Figura 7.2:

Novamente, a existência de todas as derivadas direcionais de uma funçãonum ponto não garante a continuidade da função no ponto, pois, equivalea aproximar-se do ponto por retas.

Exemplos 7.1.O potencial elétrico numa região do espaço é dado por:

V (x,y,z ) = x2 + 4 y2 + 9 z 2.

Ache a taxa de variação de V no ponto (2, −1, 3) e na direção de (2, −1, 3)para a origem.

O vetor (2, −1, 3) não é unitário; logo, v = (2, −1, 3)

(2, −1, 3) = 1√

14

2, −1, 3.

Então:

f

x + 2 t√

14, y − t√

14, z +

3 t√ 14

=

x + 2 t√

14

2+ 4

y − t√ 14

2+ 9

z + 3 t√

14

2;




e,

f

x+ 2 t√

14, y− t√

14, z +

3 t√ 14

−f (x,y,z ) = 1

14 t

89 t+2√

14(2 x−4 y+27 z )

.

Logo, ∂f

∂ v = limt−→0

1

14

89 t + 2 √ 14(2 x − 4 y + 27 z )

=

√ 14

7 (2 x − 4 y + 27 z ).Então:

∂f

∂ v(2, −1, 3) =

89√

14

7 .

Se f é diferenciável no ponto x0, então, f possui todas as derivadas direcio-nais em x0. A recíproca é falsa. Procure exemplos.

7.3 Gradiente de uma FunçãoDefinição 7.2. Sejam A ⊂ Rn aberto, x ∈ A e f : A ⊂ Rn −→ R uma funçãotal que as derivadas parciais existem em x. O gradiente de f no ponto x éo vetor do Rn denotado por ∇f (x) e definido por:

∇f (x) = ∂f

∂x1

(x), ∂f

∂x2

(x), . . . , ∂f

∂xn

(x)

.

Observações 7.3.

1. Equivalentemente:

∇f (x) = ∂f

∂x1(x) e1 +

∂f

∂x2(x) e2 + ............ +

∂f

∂xn(x) en.

2. Se n = 3, A ⊂ R3 aberto, f : A ⊂ R3 −→ R uma função, o pontox = (x,y,z ) ∈ A o gradiente de f no ponto (x,y,z ) é definido por:

∇f (x,y,z ) =∂f

∂x(x,y,z ),

∂f

∂y(x,y,z )

∂f

∂z (x,y,z )



7.3. GRADIENTE DE UMA FUNÇÃO 171

3. Analogamente para n = 2:

∇f (x, y) =∂f

∂x(x, y),

∂f

∂y(x, y)

.

4. A rigor ∇f é uma função que associa a cada ponto x ∈ A ⊂ Rn umúnico vetor ∇f (x) ∈ Rn. Este tipo de função é chamado campo devetores. O nome se justifica se expressarmos graficamente ∇f do se-guinte modo: em cada ponto x ∈ A desenhamos um vetor com origemem x e com o comprimento e direção de ∇f (x).

A

Figura 7.3: O gradiente como campo de vetores.

Exemplos 7.2.

[1] Se f (x, y) = x2 + y2; então, ∇f (x, y) = (2 x, 2 y).

(x, y) ∇f (x, y) ∇f (x, y)(0, 0) (0, 0) 0(1, 0) (2, 0) 2(x, 0) (2x, 0) 2x(0, y) (0, 2y) 2y

(1, 1) (2, 2) 2√ 2(x, y) (2x, 2y) 2 (x, y)




À medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do gradientecresce e fica igual a duas vezes a distância do ponto à origem.

Figura 7.4: Esboço de ∇f e das curvas de nível de f .

[2] Se f (x, y) = x2

−y2; então,

∇f (x, y) = (2 x,

−2 y).

(x, y) ∇f (x, y) ∇f (x, y)(0, 0) (0, 0) 0(1, 0) (2, 0) 2(x, 0) (2x, 0) 2x(0, y) (0, −2y) 2y

(1, 1) (2, −2) 2√

2(x, y) (2x, −2y) 2 (x, y)

À medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do gradiente

cresce ficando igual a duas vezes a distância do ponto à origem.




7.3. GRADIENTE DE UMA FUNÇÃO 173

[3] Se f (x, y) = sen(x) sen(y); então:

∇f (x, y) = (cos(x) sen(y),sen(x) cos(y)).


[4] Se f (x,y,z ) = x2 − y2 + z 2, então:

∇f (x,y,z ) = (2 x, −2 y, 2 z )

e:

∇f (x,y,z ) = 2

x2 + y2 + z 2.

Figura 7.7: Esboço de ∇f .




Proposição 7.1. Se f é uma função de classe C 1, então:

∂f

∂ v(x) = ∇f (x) · v

Para a prova, veja o apêndice.

Se n = 2, qualquer vetor unitário v pode ser escrito na forma:

v =

cos(θ),sen(θ)

,

onde θ é o ângulo diretor de v. Logo:

∂f

∂ v(x, y) = cos(θ)

∂f

∂x(x, y) + sen(θ)

∂f

∂y(x, y)

Exemplos 7.3.

[1] Calcule as derivadas direcionais de z = f (x, y) = ln(

x2 + y2) na dire-ção do vetor (1, 1).

O ângulo formado por (1, 1) e o eixo positivo dos x é θ = π4

, logo:

∂f

∂ v(x, y) = cos(

π

4)

x

x2 + y2 + sen(

π

4)

y

x2 + y2 =

√ 2

2

x + y

x2 + y2

.

[2] Calcule as derivadas direcionais de w = f (x,y,z ) = x y z na direção dovetor (1, 2, 2).

Consideremos o vetor unitário v = (1, 2, 2)

(1, 2, 2) =1

3, 2

3, 2

3

; logo:

∂f

∂ v(x,y,z ) =

y z , x z , x y · 1

3, 2

3, 2

3

=

y z + 2 x z + 2 x y

3 .

[3] Calcule as derivadas direcionais de w = f (x,y,z ) = ex + y z na direçãodo vetor (−1, 5, −2).

O vetor (−1, 5, −2) não é unitário; logo v = 1√

30

(−1, 5, −2).

∂f

∂ v(x,y,z ) =

1√ 30

(ex, z , y) · (−1, 5, −2) = −ex + 5 z − 2 y√

30.



7.4. OBSERVAÇÕES GEOMÉTRICAS SOBRE GRADIENTES 175

7.4 Observações Geométricas sobre Gradientes

Sejam f : A ⊂ Rn −→ R uma função diferenciável tal que ∇f = 0, v umvetor unitário e α o ângulo formado por v e ∇f . Então:

∇f

· v =

∇f

v

cos(α) =

∇f

cos(α);

como cos(α) atinge o máximo em α = 0, então:

∂f

∂ v ≤ ∇f .

Note que, se α = 0, então, ∇f e v são paralelos com a mesma direção.

Se consideramos o vetor unitário v = ∇f

∇f , então,

∂f ∂ v

= ∇f · ∇f ∇f = ∇f 2

∇f = ∇f .

Logo, temos a igualdade quando derivamos na direção de ∇f .

Proposição 7.2. Se ∇f = 0, então:

1. A taxa máxima de crescimento de f no ponto x0 ocorre na direção e nosentido do gradiente. Analogamente, a taxa mínima de crescimento de

f no ponto x0 ocorre na direção contrária a do gradiente.

2. O valor máximo de ∂f

∂ v no ponto x0 é ∇f (x0).

3. Se ∇f (x) = 0, então, ∂f

∂ v = 0 para todo v.

O gradiente de f no ponto x0 indica a direção, no plano xy (Dom(f )), demaior crescimento de f numa vizinhança do ponto x0.




Figura 7.8:

Exemplos 7.4.

[1] Se:

T (x, y) = 100 x y

x2 + 4 y2 + 4

é a temperatura em graus Celsius, sobre uma lâmina metálica, x e y medidosem cm, determine a direção de crescimento máximo de T a partir do ponto(1, 1) e a taxa máxima de crescimento de T , nesse ponto.

Pela proposição anterior, no ponto (1, 1), a função cresce mais rapidamente

na direção de ∇T (1, 1) e a taxa máxima de crescimento nesta direção é∇T (1, 1).

∇T (x, y) = 100

(4 + x2 + 4 y2)2

y (4 − x2 + 4 y2), x (4 + x2 − 4 y2)

;

∇T (1, 1) = 100

92

7, 1

e ∇T (1, 1) = 500

√ 2

92∼= 8.729o por centímetro.

A solução apresentada pode ser enganosa, pois, apesar de o gradiente apon-

tar na direção de maior crescimento da temperatura, não necessariamenteindica o lugar mais quente da lâmina, isto é, o gradiente nos dá uma solu-ção num pequeno aberto ao redor do ponto (1, 1); se mudamos este ponto




a direção de maior crescimento muda. Desenhos do gradiente ao redor doponto (1, 1) numa região do plano, respectivamente:

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

Figura 7.9:

[2] Suponha que o potencial numa lâmina plana é dado por:

V (x, y) = 80 − 20 x e−x2+y2

20

em volts, x e y em cm.

(a) Determine a taxa de variação do potencial em qualquer direção paralelaao eixo dos x.

(b) Determine a taxa de variação do potencial em qualquer direção paralelaao eixo dos y.

(c) Determine a taxa de variação do potencial na direção do vetor (1, 1).

(d) Qual é a taxa máxima de variação do potencial no ponto (1, 2)?(e) Em que direção, a partir da origem, o potencial aumenta e diminui?

(a) Qualquer direção paralela ao eixo dos x é dada pelo vetor v = (1, 0);logo:

∂V

∂ v(x, y) =

∂V

∂ x(x, y) = 2 (x2 − 10) e−

x2+y2

20 .

(b) Analogamente, qualquer direção paralela ao eixo dos y é dada pelo vetorv = (0, 1); logo:

∂V ∂ v (x, y) = ∂V ∂ y (x, y) = 2 x y e−x2+y2

20 .

(c) O vetor (1, 1) não é unitário; normalizando o vetor obtemos:




v =

√ 2

2 (1, 1)

e calculamos:

∂V

∂ v(x, y) =

∇V (x, y)

·v.

Então:

∇V (x, y) =

∂V

∂ x(x, y),

∂V

∂ y(x, y)

= 2 e−

x2+y2

20 (x2 − 10, x y);

∂V

∂ v(x, y) =

√ 2 ∇V (x, y) · (1, 1) =

√ 2 e−

x2+y2

20 (x2 + x y − 10).

(d) A taxa máxima do potencial no ponto (1, 2) é

∇V (1, 2)

.

∇V (x, y) = 2 e−x2−y2

20

100 + x4 + x2 (y2 − 20);

logo:

∇V (1, 2) = 2

√ 85

4√

e volts.

(e) A direção do gradiente é aquela onde o potencial cresce mais rapida-mente. Logo, temos que ∇V (0, 0) = (−20, 0). A partir da origem o potencialcresce mais rapidamente na direção do vetor (−20, 0) e decresce mais rapi-

damente na direção do vetor −∇V (0, 0) = (20, 0). Veja o seguinte desenho:





[3] A temperatura do ar em certa altitude é dada por:

f (x,y,z ) = x y2 z 3 + x2 y z 3 + x2 y3 z.

Um avião está localizado no ponto (−1, 2, 1). Em que direção deve voar paraque o motor resfrie o mais rapidamente possível?

De todas as direções possíveis, a direção do gradiente é aquela onde a fun-ção cresce mais rapidamente. Logo, o avião deverá voar na direção contráriaa do gradiente.

∂f

∂x(x, y) = y z (2 x y2 + 2 x z 2 + y z 2),

∂f

∂y(x, y) = x z (3 x y2 + x z 2 + 2 y z 2),

frac∂f∂z (x, y) = x y (x y2 + 3 x z 2 + 3 y z 2),

e:

∇f (−1, 2, 1) = (−16, 9, 2).

O avião deverá voar na direção de (16, −9, −2).

[4] Uma lâmina metálica está situada no plano xy de modo que a tempe-

ratura T = T (x, y), em graus Celsius, em cada ponto, seja proporcional àdistância do ponto à origem. Se a temperatura no ponto (3, 4) é de 150oC ,pede-se:

(a) Ache a taxa de variação de T no ponto (3, 4) na direção (−1, 1).

(b) Em que direções a taxa de variação é zero?

Note que T (x, y) = k

x2 + y2; então, 150 = T (3, 4) = 5 k; logo k = 30 e:

T (x, y) = 30 x2 + y2 e o gradiente ∇

T (x, y) = 30

x2 + y2

(x, y).

Logo, ∇T (3, 4) = 6 (3, 4). Esboço de ∇f :





(a) (−1, 1) não é unitário; logo, v =− 1√

2,

1√ 2

; então,

∂T ∂ v

(3, 4) = ∇T (3, 4) · v = 3 √ 2.

(b) Seja v = (a, b) tal que a2 + b2 = 1; ∂T

∂ v(3, 4) = 0 se (3, 4) · (a, b) = 0; logo,

obtemos o seguinte sistema:

a2 + b2 = 1

3 a + 4 b = 0,

com solução a = ±4

5 e b = ∓3

5. As direções solicitadas são (4, −3) e (−4, 3).

[5] A equação da superfície de uma montanha é:

z = f (x, y) = 1200 − 3 x2 − 2 y2,

onde as distâncias são medidas em metros. Suponha que os pontos do eixopositivo dos x estão a leste e os pontos do eixo positivo dos y ao norte e queum alpinista está no ponto (−10, 5, 850).





(a) Qual é a direção da parte que tem a inclinação mais acentuada?

(b) Se o alpinista se mover na direção leste, ele estará subindo ou descendoe qual será sua velocidade?

(c) Se o alpinista se mover na direção sudoeste, ele estará subindo ou des-cendo e qual será sua velocidade?

(d) Em que direção ele estará percorrendo um caminho plano?

Sabemos que ∂f

∂ v atinge o máximo valor se:

v = ∇f (x, y)

∇f (x, y) e ∂f

∂ v = ∇f (x, y).

(a) ∇f (x, y) = (−6 x, −4 y) e ∇f (−10, 5) = (60, −20). A direção da parte que

tem a inclinação mais acentuada é (3, −1).

Figura 7.13: Esboço de ∇f e das curvas de nível de f




Um vetor unitário no plano se escreve v = (cos(α),sen(α)), onde α é o ân-gulo formado pelo vetor e o eixo dos x.

(b) O vetor unitário na direção leste é v = (cos(0),sen(0)) = (1, 0); veja odesenho:

L

N

O

Figura 7.14:

∂f ∂ v

(−10, 5) = ∂f ∂x

(−10, 5) = 60.

O alpinista estará subindo a uma razão de 60 m/min.

(c) O vetor na direção sudoeste é (−1, −1); logo, o vetor unitário nesta dire-

ção é dado por: v = (−√

2

2 , −

√ 2

2 ); veja o desenho:

O

S

Figura 7.15:

∂f

∂ v(−10, 5) = ∇f (−10, 5) · v = −20

√ 2.

O alpinista estará descendo a uma razão de 20 √ 2 m/min.

(d) Seja v = (cos(α),sen(α)) vetor unitário. Devemos determinar α tal que:



7.5. FUNÇÕES IMPLÍCITAS 183

∂f

∂ v(−10, 5) = ∇f (−10, 5) · v = 0,

que é equivalente a 3 cos(α) − sen(α) = 0; logo tg(α) = 3. Utilizando aseguinte identidade trigonométrica:

sen2

(α) = tg2(α)

1 + tg2(α) ,

obtemos sen(α) = ±3√

10

10 e cos(α) =

1 − sen2(α) = ±√

10

10 . O alpinista

estará percorrendo um caminho plano na direção de (1, 3) ou de (−1, −3).

7.5 Funções Implícitas

Sejam A ⊂ R2 um conjunto aberto, f : A −→ R2 e c ∈ R fixado. A equaçãof (x, y) = c define y implicitamente como função de x, quando existe g :

I −→ R tal que y = g(x) e f (x, g(x)) = c. Isto significa que:

f −1(c) = {(x, y) ∈ A / f (x, y) = c}é o gráfico de g.

Em geral uma equação do tipo f (x, y) = c quando define y em função dex o faz apenas localmente (ou seja numa vizinhança de um ponto). Comoveremos nos exemplos, nem sempre uma equação do tipo f (x, y) = c definealguma função implicitamente. Para isto, basta considerar c /∈ Im(f ).

Exemplos 7.5.

[1] Seja f (x, y) = x2 + y2. Se c = −1, f não define implicitamente nehumafunção. Se c = 0, então x = 0 e y = 0 e f não define implicitamente nenhumafunção definida num intervalo não degenerado. Se c = 1, f não defineimplicitamente nehuma função. Considerando x ∈ I = (−1, 1), podemosdefinir:

g1(x) =√

1 − x2 se A1 = {(x, y) ∈ R2 / y > 0},

e

g2(x) = −√ 1 − x2 se A2 = {(x, y) ∈ R2 / y < 0}.

[2] Seja f (x, y) = x y e c ∈ R; então, f define implícitamente:




y = g(x) = c

x se x = 0.

Nosso objetivo é dar condições suficientes para que seja possível obter umafunção definida implicitamente. Exceto para as equações mais simples, por

exemplo, lineares, quadráticas, esta questão não é simples. O estudo dasfunções definidas implicitamente tem muitas aplicações não só na Matemá-tica como em outras Ciências.

[3] A lei de Gay-Loussac para gases ideais confinados: P V = k T , onde P éa pressão, V o volume e T a temperatura.

[4] O sistema:

x2 + y2 + z 2 = 1

x + y + z = 0,

estabelece uma relação entre as coordenadas de um ponto da esfera unitáriacentrada na origem.

No estudo das funções definidas implicitamente surgem dois problemas:1. Dada f (x, y) = c, f de classe C k, (k > 1), em que casos existe g definidaimplicitamente por f (x, y) = c?2. Se existe g diferenciável definida implicitamente por f (x, y) = c, como

calcular a derivada de g?

Teorema 7.1. (Função Implícita)Sejam A ⊂ R2 um conjunto aberto, f :A −→ R de classe C k e c ∈ R fixo. Se (x0, y0) ∈ A é tal que f (x0, y0) = c e∂f

∂y(x0, y0) = 0, então, existe um retângulo aberto I 1×I 2 centrado em (x0, y0)

tal que f −1(c) ∩ I 1 × I 2

é o gráfico da função g : I 1 −→ I 2 de classe C k e:

g′(x) = −∂F

∂x (x, g(x))∂F

∂y (x, g(x))

.



7.5. FUNÇÕES IMPLÍCITAS 185

Ix

g(x)

1

I2

f=c

Figura 7.16:

O teorema da função implícita é um teorema de existência; isto é, não indicacomo determinar a função definida implícitamente. O teorema tem con-sequências geométricas profundas. Se f satisfaz às hipóteses do teorema,então f −1(c) é localmente uma curvas de classe C k. Veja [EL] na bibliografia.Nós, essencialmente, utilizaremos a fórmula para o cálculo das derivadas.

Exemplos 7.6.

[1] Se y = f (x) é definida implicitamente por ex−y + x2 − y = 1, calcule y ′.

Seja f (x, y) = ex−y +x2−y−1; f é de classe C k e ∂f

∂y(x0, y0) = −ex0−y0 −1 = 0

para todo (x0, y0) ∈ R2; então:

y′ = ex−y + 2 x

ex

−y + 1

.

[2] Se y = f (x) é definida implicitamente por x2 + y2 = 1, calcule y ′.

Seja f (x, y) = x2 + y2, f é de classe C k e ∂f

∂y(x0, y0) = −2 y0 = 0 para todo

(x0, y0) ∈ R2 tal que y0 = 0; então:

y′ = −x

y.

[3] Seja f (x, y) = (x − 2)3 y + x ey−1. Não podemos afirmar que f (x, y) = 0define implicitamente uma função de x num retângulo aberto centrado em(1, 1). De fato, f (1, 1) = 0, f é de classe C k mas:

∂f

∂y(1, 1) = (x − 2)3 + x ey−1(1,1)

= 0.




0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

Figura 7.17: Curvas de nível de f num retângulo centrado em (1, 1).

Para n > 2 o teorema da função implícita também é válido. A seguir, apres-sentamos a versão para n = 3:

Teorema 7.2. (Função Implícita) Sejam A ⊂ R3 um conjunto aberto, f :

A −→ R de classe C k

e c ∈ R fixo.Se (x0, y0, z 0) ∈ A é tal que f (x0, y0, z 0) = c e ∂f

∂z (x0, y0, z 0) = 0, então, existe

um paralelepípedo aberto I 1×I 2×I 3 centrado em (x0, y0, z 0) tal que f −1(c)∩I 1 × I 2 × I 3

é o gráfico da função g : I 1 × I 2 −→ I 3 de classe C k tal quez = g(x, y) e:

∂g

∂x = −

∂f

∂x(x , , y , g(x, y))

∂f

∂z (x,y,g(x, y))

e ∂g

∂y = −

∂f

∂y(x , , y , g(x, y))

∂f

∂z (x,y,g(x, y))

.

Novamente o teorema implica em que toda superfície de classe C k é local-mente o gráfico de alguma função de classe C k. Veja [EL] na bibliografia.

7.6 Gradiente e Conjuntos de Nível

Sabemos que ∇f aponta na direção para a qual f cresce o mais rapidamente,mas nas curvas de nível a função f permanece constante, isto é, ao andar-mos por uma curva de nível, os valores de f são constantes; logo, a derivada

direcional nessa direção será zero (sem variação):∂f

∂ v(x0) = ∇f (x0) · v = 0.



7.7. GRADIENTE E CURVAS DE NÍVEL 187

Em geral, considere uma função f : A ⊂ Rn −→ R diferenciável.

Proposição 7.3. Seja x0 ∈ A tal que ∇f (x0) = 0. Então ∇f (x0) é perpendi-cular ao conjunto de nível de f que passa pelo ponto x0.


Então, se ∇f (x0) = 0, temos que ∇f (x0) é perpendicular a cada elementodo conjunto:

{x ∈ Dom(f ) / f (x) = f (x0)}.

Sc3

S

Sc2

c1

Figura 7.18: O gradiente perpendicular aos conjuntos de nível.

7.7 Gradiente e Curvas de NívelSeja a função f : A ⊂ R2 −→ R diferenciável e as curvas de nível c de f :

C c = {(x, y) ∈ R2/f (x, y) = c}.

Se (x0, y0) ∈ C c tal que ∇f (x0, y0) = 0. Pela proposição 7.3, segue que aequação da reta tangente à curva de nível f (x, y) = f (x0, y0) é

∇f (x0, y0) · (x − x0, y − y0) = 0

ou:

∂f

∂x(x0, y0)(x − x0) +

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0) = 0




e a equação da reta normal é:

∂f

∂x(x0, y0)(y − y0) − ∂f

∂y(x0, y0)(x − x0) = 0

Exemplos 7.7.

[1] Determine as equações da reta tangente e da reta normal no ponto (x0, y0)da elipse centrada na origem.

A equação da elipse centrada na origem é x2

a2 +

y2

b2 = 1, (a, b = 0). Consi-

deremos:

f (x, y) = x2

a2 +

y2

b2 − 1;

então, ∇f (x0, y0) = 2

x0

a2, y0

b2 ; as equações das retas tangente e normal são,

respectivamente: b2 x0 x + a2 y0 y = a2 b2,

b2 x0 y − a2 y0 x = (b2 − a2) x0 y0.

Em particular, se a = b temos um círculo de raio a e as equações da retatangente e da reta normal são, respectivamente,

x0 x + y0 y = a2

x0 y − y0 x = 0.

[2] Determine a equação da reta tangente à elipse x2

16 + y2

9 = 1, que é paralelaà reta x + y = 0.

Seja f (x, y) = x2

16 +

y2

9 e g(x, y) = x + y. Pelo exercício anterior para a = 4 e

b = 3, temos:

9 x x0 + 16 y y0 = 144;

esta reta deve ser paralela à reta x + y = 0; logo, os vetores normais devemser paralelos, isto é, devemos resolver o sistema:

∇f (x0, y0) = λ∇g(x0, y0)x20

16 +

y20

9 = 1.



7.7. GRADIENTE E CURVAS DE NÍVEL 189

Ou, equivalentemente:

(1) x0 = 8 λ

(2) 2 y0 = 9 λ

(3) x2

0

16 +

y20

9 = 1.

Fazendo (1) = (2) e utilizando (3), temos: (x0, y0) = ±165

, 95

; logo, no

ponto16

5 ,

9

5

, temos x + y = 5 e no ponto

− 16

5 , −9

5

, temos

x + y = −5.

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4


[3] Determine a equação da reta normal à parábola y2 = −8 x que passa peloponto (

−5, 0).

Primeiramente, observamos que o ponto (−5, 0) não pertence à parábola.Seja:

f (x, y) = y2 + 8 x;

logo, ∇f (x, y) = 2(4, y). A equação da reta normal no ponto (x0, y0) é:

−x y0 + 4 y − 4 y0 + x0 y0 = 0.

Como esta reta deve passar por (−5, 0), temos x0 = −1 ou y0 = 0. Como oponto (x0, y0) pertence à parábola y2

0 =

−8 x0. Se y0 = 0, então a equação é:

y = 0. Se x0 = −1, então y0 = ±2 √ 2 e as equações são:

2 y −√

2 x = 5√

2 e 2 y +√

2 x = −5√

2,




nos pontos (−1, 2√

2) e (−1, −2√

2), respectivamente.

-5 -4 -3 -2 -1

-4

-2

2

4


7.8 Ângulo entre Curvas

Sejam as curvas de nível:

C 1 = {(x, y) ∈ R2 / F (x, y) = 0} e C 2 = {(x, y) ∈ R2 / G(x, y) = 0}

que se intersectam no ponto (x0, y0). O ângulo compreendido entre elas édefinido como o menor ângulo formado pelas retas tangentes a essas duascurvas no ponto (x0, y0), o qual é equivalente ao ângulo α formado pelas res-pectivas normais no ponto (x0, y0). Logo, se ∇F (x0, y0) = 0 e ∇G(x0, y0) = 0,temos que o ângulo α, formado por C 1 e C 2 é dado por:

cos(α) = ∇F (x0, y0) · ∇G(x0, y0)

∇F (x0, y0) ∇G(x0, y0)As curvas são ortogonais se:

∇F (x0, y0) · ∇G(x0, y0) = 0,

ou seja:

∂F

∂x

∂G

∂x

+ ∂ F

∂y

∂G

∂y

= 0

onde as derivadas parciais são calculadas no ponto (x0, y0).



7.8. ÂNGULO ENTRE CURVAS 191

Exemplos 7.8.

[1] Determine o ângulo entre as curvas x y = −2 e y2 = −4 x no ponto(−1, 2).

Sejam f (x, y) = x y + 2 e g(x, y) = 4 x + y2, ambas funções diferenciáveis;

então,∇f (x, y) = (y, x) e ∇g(x, y) = (4, 2 y). Logo,

cos(α) = ∇f (−1, 2) · ∇g(−1, 2)

∇f (−1, 2) ∇g(−1, 2)

e cos(α) =

√ 10

10 .

-2 -1

-2

2

Figura 7.21:

[2] Determine o ângulo entre as curvas x2 + y2 = 8 e 3 x2 − y2 = 8 no ponto(−2, 2).

Sejam f (x, y) = x2 + y2 e g(x, y) = 3 x2 − y2, ambas funções diferenciáveis;então, ∇f (x, y) = 2 (x, y) e ∇g(x, y) = = 2 (3 x, −y). Logo,

cos(α) = ∇f (−2, 2) · ∇g(−2, 2)

∇f (

−2, 2)

· ∇g(

−2, 2)

e cos(α) =

√ 5

5 .




-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3

Figura 7.22:

O gráfico de uma função y = f (x) pode ser considerado como a curva denível zero de F (x, y) = y − f (x); então:

∇F (x, y) = (

−f ′(x), 1); logo, y

−y0

= f ′(x) (x−

x0

).

7.9 Gradiente e Superfícies de Nível

Neste caso, o conjunto de nível c de f são as superfícies de nível c de f .(c ∈ R):

S c = {(x,y,z ) ∈ R3/f (x,y,z ) = c}Da proposição 7.3, segue que a equação do plano tangente à superfície de

nívelS c de f , no ponto (x0, y0, z 0) é:

∇f (x0, y0, z 0) · (x − x0, y − y0, z − z 0) = 0

se ∇f (x0, y0, z 0) = 0, ou, equivalentemente:

∂f

∂x(x0, y0, z 0) (x − x0) +

∂ f

∂y(x0, y0, z 0) (y − y0) +

∂ f

∂z (x0, y0, z 0) (z − z 0) = 0

Logo, a reta normal ao plano tangente deve ter a direção do gradiente e asequações paramétricas desta reta no ponto (x0, y0, z 0) são:



7.9. GRADIENTE E SUPERFÍCIES DE NÍVEL 193

x(t) = x0 + t ∂f

∂x(x0, y0, z 0)

y(t) = y0 + t ∂f

∂y(x0, y0, z 0)

z (t) = z 0 + t ∂f

∂z (x0, y0, z 0), t ∈ R.

Como ∇f (x0, y0, z 0) é normal ao plano tangente a S c no ponto (x0, y0, z 0), ovetor normal unitário a S c em qualquer ponto (x,y,z ) é:

n(x,y,z ) = ∇f (x,y,z )

∇f (x,y,z ) .

Exemplos 7.9.

[1] Determine o vetor normal unitário à superfície sen(x y) = ez no ponto(1, π

2 , 0).Seja f (x,y,z ) = sen(x y)−ez . A superfície do exemplo é a superfície de nívelzero de f ;

S 0 = {(x,y,z ) ∈ R3/f (x,y,z ) = 0}.

Logo, ∇f (x,y,z ) = (y cos(x y),xcos(x y), −ez) e ∇f (1, π2 , 0) = (0, 0, −1) é o

vetor normal unitário à superfície S .

0.0

0.5

1.0

1.5

1.5

2.02

1

0


[2] Determine o vetor normal unitário à superfície z = x2 y2 + y + 1 no ponto(0, 0, 1).




Seja f (x,y,z ) = x2 y2 + y − z . A superfície do problema é a superfície denível −1 de f ;

S −1 = {(x,y,z ) ∈ R3/f (x,y,z ) = 0}.

Logo, ∇f (x,y,z ) = (2 x y2, 2 x2 y + 1, −1) e ∇f (0, 0, 1) = (0, 1, −1); então,

n(0, 0, 1) = 1√

2(0, 1, −1).

1.0

0.5

0.0

0.5

1.01.0

0.5

0.0

0.5

1.0

0

1

2

3


Observação 7.1. Esta definição de plano tangente é mais geral que a dadaanteriormente.

De fato, se z = g(x, y) é uma função nas condições da proposição, entãoo gráfico de g pode ser definido como a superfície de nível zero da novafunção f (x,y,z ) = g(x, y) − z . Note que:

∇f =∂g

∂x, ∂g

∂y, −1

,

que é exatamente, o vetor normal ao plano tangente ao gráfico de f no ponto(x,y,g(x, y)).

Note que os vetores tangentes ao gráfico de f em (x,y,g(x, y)) são:

vx =

1, 0, ∂g

∂x

e vy =

0, 1, ∂g

∂y

.




Figura 7.25:

Lembramos, que todas as superfícies definidas por equações em três variá-veis, como as quádricas, podem ser consideradas como superfícies de algumnível de uma função de tres variáveis.

Exemplos 7.10.

[1] Seja f uma função de classe C 1 tal que f (1, 1, 2) = 1 e ∇f (1, 1, 2) =(2, 1, 3).A equação f (1, 1, 2) = 1 define implícitamente uma função g? No caso afir-mativo, determine a equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto(1, 1, 2).

Como ∇f (1, 1, 2) = (2, 1, 3); então, temos que ∂f

∂x(1, 1, 2) = 2,

∂f

∂y(1, 1, 2) = 1

e∂f ∂z

(1, 1, 2) = 3. Pelo teorema da função implícita, existe z = g(x, y) de classe

C 1 no ponto (1, 1), g(1, 1) = 2 e:

∂g

∂x(1, 1) =

∂f

∂x(1, 1, 2))

∂f

∂z (1, 1, 2))

= −2

3 e

∂g

∂y(1, 1) = −

∂f

∂y(1, 1, 2)

∂f

∂z (1, 1, 2)

= −1

3.

Logo, a equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto (1, 1, 2) é:

z = g(1, 1) + ∂g

∂x (1, 1) (x − 1) + ∂g

∂y (1, 1) (y − 1) = 6

−2 x

−y

3 ;

equivalentemente, 3 z + 2 x + y = 6.




[2] O cone x2 + y2 − z 2 = 0 pode ser considerado como a superfície de nívelc = 0 da função f (x,y,z ) = x2 + y2 − z 2. Determinaremos as equações doplano tangente e da reta normal à superfície no ponto (1, 1,

√ 2):

∇f (1, 1,√

2) · (x − 1, y − 1, z −√

2) = 0.

Temos ∇

f (x,y,z ) = (2 x, 2 y,

−2 z ) e

∇f (1, 1,

√ 2) = 2(1, 1,

−

√ 2); então, a

equação do plano tangente é x + y − √ 2z = 0 e a reta normal passando por(1, 1,

√ 2) tem equações paramétricas:

x = 1 + 2 t

y = 1 + 2 t

z =√

2 − 2√

2 t;

o plano tangente à superfície contem a reta na direção (1, 1,√

2) perpendi-cular ao ∇f (1, 1,

√ 2).

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

0

0.5

1

1.5

2

-2

-1

0

1

2

-1

0

1

Figura 7.26:

[3] Determine a equação do plano tangente à superfície 3 x y + z 2 = 4 noponto (1, 1, 1).

Considere f (x,y,z ) = 3 x y + z 2. Logo, superfície de nível c = 4 de f é3 x y + z 2 = 4. No ponto (1, 1, 1) a equação do plano tangente à superfície denível de f é dada por:

∇f (1, 1, 1) · (x − 1, y − 1, z − 1) = 0; ∇f (x,y,z ) = (3 y, 3 x, 2 z ) e

∇f (1, 1, 1) = (3, 3, 2);

então, a equação é:




3 x + 3 y + 2 z = 8.

[4] Determine:

(a) O vetor normal unitário a 5 x2 + y2 − 2 z 2

5 = 10 nos pontos (1, 0, 0) e

(1,√

5, 0).

(b) A equação do plano tangente à superfície 5 x2 + y2 − 2 z 2

5 = 10 no ponto

(1,√

5, 0).

(a) Seja f (x,y,z ) = 5 x2 + y2 − 2 z 2

5 ; ∇f (x,y,z ) = (10 x, 2 y, −4 z

5 ). Então:

n1 = ∇f (1, 0, 0)

∇f (1, 0, 0) = (1, 0, 0) e n2 = ∇f (1,

√ 5, 0)

∇f (1,√

5, 0) =

√ 30

30 (5,

√ 5, 0).

(b) No ponto (1, √ 5, 0), teremos:

5 x +√

5 y = 10.

Figura 7.27:

[5] Determine as equações dos planos tangentes à superfície

x2 + y2

4 + z

2

9 = 1

paralelos ao plano x + y + z = 0.




Como o plano x + y + z = 0 é paralelo aos planos tangentes à superfície, en-tão os vetores normais a ambos os planos devem ser paralelos; logo, existeλ = 0 tal que ∇f (x0, y0, z 0) = λ(1, 1, 1), para algum (x0, y0, z 0) na superfície.

Como ∇f (x0, y0, z 0) = (2x0, y0

2 ,

2

9z 0). Devemos resolver o sistema:

2 x0 = λ

y0 = 2λ

2 z 0 = 9λ,

sendo x02 +

y20

4 +

z 209

= 1; logo λ = ±

2

7; obtemos, assim, os pontos:

p = ±

2

7

12

, 2, 9

2

.

Logo:

∇f p

= ±√ 147

1, 1, 1

;

então, as equações dos planos tangentes nestes pontos, são:

x + y + z = ±√

14.

[6] Determine a equação do plano tangente no ponto (x0, y0, z 0) à superfíciedefinida por:

A x2 + B y2 + C z 2 = D

onde A, B, C, D ∈ R.

Consideremos f (x,y,z ) = A x2 + B y2 + C z 2 − D; logo, temos que:

∇f (x0, y0, z 0) = (2 A x0, 2 B y0, 2 C z 0)

e a equação do plano tangente no ponto (x0, y0, z 0) é:

A x0 x + B y0 y + C z 0 z = D

onde usamos o fato de que (x0, y0, z 0) pertence à superfície. Em particular, oplano tangente no ponto (x0, y0, z 0) de:

1. um elipsóide centrado na origem é:



7.10. ÂNGULO ENTRE SUPERFÍCIES 199

x0 x

a2 +

y0 y

b2 +

z 0 z

c2 = 1

2. um parabolóide hiperbólico centrado na origem é:

2 x0x

a2 −2

y0y

b2 − z

c = 0

7.10 Ângulo entre Superfícies

Em diversas áreas da ciência é importante saber determinar o ângulo for-mado pela interseção de duas superfícies num ponto dado. O ângulo entreduas superfícies num ponto comum é o menor ângulo formado pelas nor-mais a essas superfícies nesse ponto.

Figura 7.28: Interseção de superfícies.

Suponha que as superfícies são definidas por:

F (x,y,z ) = 0 e G(x,y,z ) = 0

e tem um ponto comum (x0, y0, z 0). Consideremos as funções:

w = F (x,y,z ) e w = G(x,y,z )

tais que existam os gradientes e sejam não nulos neste ponto.

As superfícies são as superfícies de nível c = 0 de w = F (x,y,z ) e w =G(x,y,z ), respectivamente. ∇F (x0, y0, z 0) e ∇G(x0, y0, z 0) são os vetores nor-mais às superfícies de nível:




S 1 = {(x,y,z ) ∈ R3 / F (x,y,z ) = 0}

e:

S 2 =

{(x,y,z )

∈R3 / G(x,y,z ) = 0

},

respectivamente. Se ∇F (x0, y0, z 0) = 0 e ∇G(x0, y0, z 0) = 0, temos que oângulo α, formado por S 1 e S 2 é dado por:

cos(α) = ∇F (x0, y0, z 0) · ∇G(x0, y0, z 0)

∇F (x0, y0, z 0) ∇G(x0, y0, z 0)

As superfícies são ortogonais no ponto (x0, y0, z 0) se:

∂F

∂x

∂G

∂x +

∂F

∂y

∂G

∂y +

∂F

∂z

∂G

∂z = 0

onde as derivadas parciais são calculadas no ponto (x0, y0, z 0).

Exemplos 7.11.

[1] Determine o ângulo formado pelas superfícies:

z − exy + 1 = 0 e z − ln(

x2 + y2) = 0

no ponto (0, 1, 0).

Sejam F (x,y,z ) = z − exy + 1 e G(x,y,z ) = z − ln(

x2 + y2);

∇F (x,y,z ) = (−y exy, −x exy, 1),

∇G(x,y,z ) = ( −x

x2 + y2, −y

x2 + y2, 1),

∇F (0, 1, 0) = (

−1, 0, 1) e

∇G(0, 1, 0) = (0,

−1, 1);

logo, ∇F (0, 1, 0) · ∇G(0, 1, 0) = 1; então, cos(α) = 1

2 e α =

π

3.



7.10. ÂNGULO ENTRE SUPERFÍCIES 201

Figura 7.29: Superfícies do exemplo [1].

[2] Determine o ângulo formado pelas superfícies:

x y + y z − 4 z x = 0 e 3 z 2 − 5 x + y = 0

no ponto (1, 2, 1).Sejam F (x,y,z ) = x y + y z − 4 z x e G(x,y,z ) = 3 z 2 − 5 x + y

∇F (x,y,z ) = (y − 4 z, x + z, y − 4 x), ∇G(x,y,z ) = (−5, 1, 6 z ),

∇F (1, 2, 1) = (−2, 2, −2), ∇G(1, 2, 1) = (−5, 1, 6);

logo, ∇F (1, 2, 1) · G(1, 2, 1) = 0; então, cos(α) = 0 e:

α = π

2.

[3] Reta tangente à interseção de duas superfícies.

Seja C a curva (ou ponto) dada pela interseção das superfícies de nível:

S 1 = {(x,y,z ) ∈ R3 / F (x,y,z ) = 0} e S 2 = {(x,y,z ) ∈ R3 / G(x,y,z ) = 0}.

Sejam w = F (x,y,z ), w = G(x,y,z ) duas funções tais que as derivadasparciais existam e P = (x0, y0, z 0) um ponto comum às duas superfícies.

Considere os vetores:

N1 = ∇F (x0, y0, z 0) e N2 = ∇G(x0, y0, z 0),




N1 é normal à S 1 no ponto P e N2 é normal à S 2 no ponto P . Logo N1

e N2 são normais a C no ponto P . Se N1 e N2 não são paralelas, então ovetor tangente a C no ponto P tem a mesma direção que N1 ×N2 no pontoP (produto vetorial dos vetores normais). Como isto vale para qualquerponto P da interseção, temos que se N1 ×N2 = (a,b,c), então a equação naforma parámetrica da reta tangente a C no ponto P é:

x = x0 + t a

y = y0 + t b

z = z 0 + t c, t ∈ R.

Por exemplo, determinemos a equação da reta tangente à interseção dasseguintes superfícies 3 x2 + 2 y2 + z 2 = 49 e x2 + y2 − 2 z 2 = 10 no ponto(3, −3, 2).

Sejam F (x,y,z ) = 3 x2 + 2 y2 + z 2−49 e G(x,y,z ) = x2 + y2−2 z 2−10: então:

N1 = ∇F (3, −3, 2) = 2 (9, −6, 2) e N2 = ∇G(3, −3, 2) = 2 (3, −3, −4)

logo, (9, −6, 2) × (3, −3, −4) = 3 (10, 14, −3); a equação, na forma paramé-trica, da reta tangente pedida é:

x = 3 + 10 t

y = −3 + 14 t

z = 2 − 3 t.




7.11 Exercícios

1. Calcule o gradiente das seguintes funções:

(a) z = 2 x2 + 5 y2

(b) z =

1

x2 + y2

(c) w = 3 x2 + y2 − 4 z 2

(d) w = cos(x y) + sen(y z )

(e) w = ln(x2 + y2 + z 2)

(f) w = cos(2 x) cos(3 y) senh(4 x)

(g) w = x y ez + y z ex

(h) w = x y

z

(i) w = ln(x

2

+ y

2

+ z

2

+ 1)(j) w =

1

x2 + y2 + z 2 + 1

(k) w = log6(x + y2 + z 3)

(l) w = x y2 z 3

x2 + y2 + z 2 + 1

2. Determine a derivada direcional da função dada na direção v:

(a) z = 2 x2

+ 5 y2

, v = (cos(π2 ),sen(

π2 )).

(b) z = 1

x2 + y2, v = (1, 1).

(c) z = x2y3, v = 1

5 (3, −4).

(d) z = x2 + x y + y2 + 3 x − 3 y + 3, v = 1√

5(1, 2).

(e) z = y2 tg2(x), v = 1

2 (−

√ 3, 1).

(f) w = 3 x2

+ y2

− 4 z 2

, v = (cos(

π

3 ),cos(

π

4 ),cos(

2π

3 ).

(g) w = cos(x y) + sen(y z ), v = (−1

3, 2

3, 2

3).




(h) w = ln(x2 + y2 + z 2), v =

√ 3

3 (1, −1, −1).

(i) w = cos(2 x) cos(3 y) senh(4 z ), v =

√ 3

3 (1, −1, 1).

(j) w = x y ez + y z ex, v = (2, 2, 1).

(k) w =

x y

z , v = (1, 1, 1).(l) w = x sen(y) + y sen(z ) + z sen(x), v = (1, 1, 1).

(m) w = exyz , v = (1, 1, 1).

(n) w = e1+x2+y2+z2 , v = (1, 0, 1).

(o) w = arcsec(x y z ), v = (0, 0, 1).

(p) w = 1

x +

2

y +

3

z , v = (1, 1, 1).

(q) w = 1

x2 +

2

y2 +

3

z 3, v = (1, 1, 1).

(r) w = sen(log3(x + y + z )), v = (2, 1, 2).

3. Determine o valor máximo da derivada direcional de f no ponto dadoP e a direcão em que ocorre:

(a) z = 2 x2 + 3 y2, P = (1, −1).

(b) z =

4 − x2 − y2, P = (1, 1).

(c) z = x y, P = (1, 0).

(d) z = e

2y

arctg(

y

3 x), P = (1, 3).(e) w = sen(x y) + cos(y z ), P = (−3, 0, 7).

(f) w = ex cos(y) + ey cos(z ) + ez cos(x), P = (0, 0, 0).

(g) w = 2 x y z + y2 + z 2, P = (2, 1, 1).

(h) w = exyz , P = (1, 1, 1).

(i) w = cosh(x y z ), P = (1, 0, 1).

(j) w =

x2 + y2 + z 2 + 1, P = (1, 1, 1).

4. Verifique as seguintes identidades:

(a) ∇(f + g) = ∇f + ∇g




(b) ∇(f g) = f ∇g + g ∇f

(c) ∇f

g

=

g ∇f − f ∇g

g2 se g = 0

5. Se f (x, y) = 2 e−x2+e−3y2 é a altura de uma montanha na posição (x, y),

em que direção, partindo de (1, 0) se deveria caminhar para subir amontanha mais rapidamente?.

6. Em que direção a derivada direcional de f (x, y) = x2 − y2

x2 + y2 no ponto

(1, 1) é zero?.

7. Uma função tem derivada direcional igual a 2 na direção do vetor(2, 2), no ponto (1, 2) é igual a −3 na direção do vetor (1, −1), nomesmo ponto. Determine o gradiente d função no ponto (1, 2).

8. Verifique que os gráficos de z = x2 + y2 e z = −x2 − y2 − xy3 sãotangentes na origem.

9. Uma lámina de metal está situada num plano de modo que a tempe-ratura T = T (x, y) num ponto (x, y) é inversamente proporcional ádistância do ponto á origem. Sabendo que a temperatura no pontoP = (3, 4) é 100oC , determine:

(a) A taxa de variação de T no ponto P e na direção o vetor (1, 1).

(b) A direção em que T aumenta mais rapidamente no ponto P .

(c) A direção em que T decresce mais rapidamente no ponto P .(d) A direção em que a taxa de variação é zero..

10. Determine o plano tangente e a reta normal às superfícies no ponto P :

(a) x2 + x y2 + y3 + z + 1 = 0, P = (2, −3, 4).

(b) x2 + 2 x y + y2 + z − 7 = 0, P = (1, −2, 6).

(c) x2 − y2 − z 2 = 1, P = (3, 2, 2).

(d) x2 + y2

−z 2 = 25, P = (5, 5, 5).

(e) x − y − z 2 = 3, P = (3, 4, 2).

(f) 3√

x2 + 3

y2 + 3√

z 2 = 3√

a2, P = (x0, y0, z 0).




(g) ln( y

2 z ) − x = 0, P = (0, 2, 1).

(h) x2

a2 − y2

b2 +

z 2

c2 = 1, P = (x0, y0, z 0).

(i) x2

a2 − y2

b2 − z 2

c2 = 1, P = (x0, y0, z 0).

(j) x2

a2 + y

2

b2 − z

2

c2 = 1, P = (x0, y0, z 0).

11. Um nave está perto da órbita de um planeta na posição (1, 1, 1). Sa- bendo que a temperatura da blindagem da nave em cada ponto é dadapor T (x,y,z ) = e−(x2+3y2+2z2) graus, determine a direção que a navedeve tomar para perder temperatura o mais rapidamente possível.

12. Determine a equação do plano tangente à x2 − 2 y2 − 4 z 2 = 16 e que éparalelo ao plano 4 x − 2 y + 4 z = 5.

13. A densidade de uma bola esférica de centro na origem, num ponto(x,y,z ) é proporcional ao quadrado da distn̂cia do ponto á origem. Efetuando um deslocamento a partir do ponto (1, 2, 3) do interior da

bola, na direção do vetor (1, 1/2, −1), a densidade aumenta ou dimi-nui? Justifique.

14. Determine o ângulo entre as seguintes superfícies no ponto P .

(a) x2 y2 + 2 x + z 2 = 16, 3 x2 + y2 − 2 z = 9 e P = (2, 1, 2).

(b) x2

+3 y2

+2 z 2

= 9, x2

+y2

+z 2

−8 x−8 y−6 z +24 = 0 e P = (2, 1, 1).(c) 3 x2 + 2 y2 − 2 z = 1, x2 + y2 + z 2 − 4 y − 2 z + 2 = 0 e P = (1, 1, 2).

(d) z − x2 − y2 + 2 x y = 0, z − x2 + y2 = 0 e P = (0, 0, 0).

(e) x2 − y2 = 1, 3 x2 + y2 − 2 z = 9 e P = (1, 0, 0).

(f) x2 − 2 y z + y3 = 4, x2 + (4 c − 2) y2 − c z 2 + 1 = 0 e P = (1, −1, 2),(c ∈ R).

15. Determine o ponto (ou pontos) em que o gradiente da função :f (x, y) = ln(x + y−1) é igual a (1,

−16/9).

16. Determine a equação da reta tangente à interseção das seguintes su-perfícies: x2 − y = 0 e y + z 2 = 16 no ponto (4, 16, 0).




17. Determine o ângulo entre os gradientes da função : f (x, y) = ln(y

x)

nos pontos (1/2, 1/4) e (1, 1).

18. Sejam as seguintes superfícies x2 + y2 + z 2 = 6 e 2 x2 + 3 y2 + z 2 = 9.

(a) Determine as equações dos planos tangentes a cada superfície noponto (1, 1, 2), respectivamente.

(b) Determine o ângulo entre as superfícies no ponto (1, 1, 2).

(c) Determine a equação da reta tangente à interseção das superfíciesno ponto (1, 1, 2).

19. O potencial V associado a um campo elétrico E é dado por:

V (x, y) = 1

x2 + y2

.

Sabendo que E = −grad(V ), determine E (4, 3). Em que direção, apartir do ponto (4, 3) a taxa de variação do potencial é máxima?

20. Sejam φ, η e ψ funções de uma variável real com derivadas de segundaordem satisfazendo:

φ′′(x) + λ2 φ(x) = 0 e ψ′′(t) + c2 λ2 ψ(t) = 0,

sendo λ, c constantes. Verifique que u(x, t) = φ(x) ψ(t) é solução daequação da onda.

21. Verifique que w(x, t) = 1√ t e−

x2

4kt , t > 0 e k constante, é solução daequação do calor:

∂w

∂t − k

∂ 2w

∂x2 = 0.



Capítulo 8MÁXIMOS E MÍNIMOS

8.1 Introdução

Definição 8.1. Sejam A ⊂ Rn

um conjunto aberto, f : A ⊂ Rn

−→ R umafunção e ε > 0 (pequeno).

1. Um ponto x0 é um ponto de mínimo local de f se existe B(x0, ε), talque:

f (x0)

≤f (x), para todo x

∈B(x0, ε)

2. Um ponto x0 é um ponto de máximo local de f se existe B(x0, ε), talque:

f (x) ≤ f (x0), para todo x ∈ B(x0, ε)

3. Em ambos os casos, x0 é dito extremo relativo ou local de f e f (x0) édito valor extremo de f .

209



210 CAPÍTULO 8. MÁXIMOS E MÍNIMOS

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figura 8.1:

Exemplos 8.1.

[1] Se z = f (x, y) = x2 + y2, então, (0, 0) é ponto de mínimo local de f .

De fato, x2

+ y2

≥ 0, para todo (x, y) ∈ R2

.

0 = f (0, 0) ≤ f (x, y) = x2 + y2, para todo (x, y) ∈ Dom(f )

e o valor mínimo é z = 0, que é atingido na origem.

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


[2] Se z = f (x, y) = −x2; então {(0, y) ∈ R2/y ∈ R} é um conjunto infinitode pontos de máximo locais de f .

De fato, −x2 ≤ 0, para todo (x, y) ∈ R2 e f (0, y) = 0. Logo f (x, y) ≤ f (0, y)para todo (x, y) ∈ R2. Então, f atinge seu valor máximo 0 em qualquerponto da reta {(0, y) ∈ R2/y ∈ R}.




-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


Teorema 8.1. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função de classe C 1, definida noaberto A e x0 ∈ A um ponto extremo local de f . Então ∇f (x0) = 0̃.


Definição 8.2.

1. Um ponto x0 tal que ∇f (x0) = 0 é dito ponto crítico de f e f (x0) édito valor crítico de f . Caso contrário, x0 é dito ponto regular de f ef (x0) valor regular de f .

2. Um ponto crítico que não é máximo local nem mínimo local é cha-mado de ponto de sela.

Para n = 3, ∇f (x,y,z ) = 0̃ é equivalente a resolver o seguinte sistema deequações:

∂f

∂x (x,y,z ) = 0

∂f

∂y(x,y,z ) = 0

∂f

∂z (x,y,z ) = 0.

Analogamente para n = 2:

∂f

∂x(x, y) = 0

∂f

∂y(x, y) = 0.




Agora, podemos enunciar o Teorema da função implícita de uma formamais geométrica:Seja f uma função de classe C k (k > 0) definida num aberto deRn. Para todovalor regular c de f , o conjunto f −1(c) ( se não for vazio) é uma superfície(curva) de classe C k.

Exemplos 8.2.[1] Seja z = f (x, y) = x2 + y2. Então ∇f (x, y) = (2 x, 2 y) e:

2 x = 0

2 y = 0;

a única solução do sistema é x = 0 e y = 0; (0, 0) é ponto crítico de f .

[2] Seja z = f (x, y) = 4 x y2 − 2 x2 y − x.

(1) ∂f

∂x(x, y) = 4 y2

−4 x y

−1 = 0

(2) ∂f

∂y(x, y) = 8 x y − 2 x2 = 0;

o sistema é equivalente a:(1) 4 y2 − 4 x y = 1

(2) 2 x (4 y − x) = 0;

de (2): as soluções são x = 0 ou 4y − x = 0.

Se x = 0, então, de (1), 4 y2 = 1, y = ±1

2 e (0, ±1

2 ) são os pontos críticos. Se4 y = x, então, de (1), 3 x2 = −4, que não tem solução real.

[3] Seja f (x, y) = xy

8 +

1

x +

1

y, x, y = 0.

(1) ∂f

∂x = y

8 − 1

x2 = 0

(2) ∂f

∂y = x

8 − 1

y2 = 0;

como x, y = 0, tirando o valor de uma das variáveis em (1) e subtituindoem (2), obtemos a solução x = y = 2. Logo (2, 2) é o ponto crítico de f .

[4] Seja f (x, y) = 2 (x2 + y2) e−(x2+y2).




(1) ∂f

∂x = 4xe−(x2+y2)(1 − x2 − y2) = 0

(2) ∂f

∂y = 4ye−(x2+y2)(1 − x2 − y2) = 0,

que é equivalente ao sistema:(1) x (1 − x2 − y2) = 0

(2) y (1 − x2 − y2) = 0;

de (1) e (2), as soluções do sistema são: x = y = 0 e x2 + y2 = 1. Observe queesta função tem uma curva de pontos críticos. Os pontos críticos são (0, 0) eos pontos do círculo {(x, y) ∈ R2/ x2 + y2 = 1}.


[5] Seja f (x, y) = (x2 − y2) e−x2+y2

2 .

(1) ∂f

∂x = e−

(x2+y2)2 (2 x − x (x2 − y2)) = 0

(2) ∂f

∂y = e−

(x2+y2)2 (−2 y − y (x2 − y2)) = 0,

que é equivalente ao sistema:(1) x (2 − x2 + y2) = 0

(2) y (−2 − x2 + y2) = 0;




de (1) e (2), as soluções do sistema são: (0, 0), (±√ 2, 0) e (0, ±√

2), que sãoos pontos críticos de f .


[6] Seja f (x, y) = x2 − y2

x2 + y2 + 1.

(1) ∂f

∂x =

2 x (1 + 2 y2)

x2 + y2 + 1 = 0

(2) ∂f

∂y =

2 y (1 + 2 x2)

x2 + y2 + 1 = 0,

que é equivalente ao sistema:

(1) x = 0

(2) y = 0;

a única solução do sistema é: (0, 0), que é o ponto crítico de f .



8.2. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS LOCAIS 215


[7] Seja f (x,y,z ) =4√

3 x y z

3 + x + y + z . O sistema ∇f (x,y,z ) = 0 é equivalente a:

(1) y z (3 − 3 x + y + z ) = 0

(2) x z (3 + x − 3 y + z ) = 0

(3) x y (3 + x + y − 3 z ) = 0;

de (1), (2) e (3), temos que o sistema tem como únicas soluções (0, 0, 0) e(3, 3, 3) , que são os pontos críticos de f .

8.2 Determinação dos Extremos Locais

Seja f : A ⊂ R2

−→ R. Para dimensão 2, o fato de que ∇f (x0) = 0 implicaem que o plano tangente ao gráfico de f no ponto x0 seja paralelo ao plano

xy, fato análogo ao que ocorre em dimensão 1.

Teorema 8.2. Seja a família de funções:

f (x, y) = A x2 + 2 B x y + C y2,

tal que A, B, C ∈ R e não são todas simultaneamente nulas. Denotemospor ∆ = A C − B2.

1. Se ∆ > 0 e A > 0, então (0, 0) é ponto de mínimo de f .

2. Se ∆ > 0 e A < 0, então (0, 0) é ponto de máximo de f .




3. Se ∆ < 0, então (0, 0) é ponto de sela de f .


Observação 8.1. Note que A = 1

2

∂ 2f

∂x2

, B = 1

2

∂ 2f

∂x∂y

e C = 1

2

∂ 2f

∂y2

.

No caso ∆ = 0, não é possível tomar uma decisão.

Exemplos 8.3.

[1] Determine os pontos extremos de f (x, y) = x2 + 3 x y + y2.

Neste caso A = 1, B = 32 e C = 1; ∆ < 0; então (0, 0) é um ponto de sela.

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4


[2] Determine os pontos extremos de f (x, y) = 3 x2 − x y + 3 y2.

Neste caso A = 3, B = −1

2 e C = 3; ∆ > 0; então (0, 0) é um ponto demínimo de f e o valor mínimo é f (0, 0) = 0.

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4





Denotemos por:

∆ = det(H (x, y))

onde:

H (x, y) =

∂ 2f

∂x2

∂ 2f

∂x∂y

∂ 2f

∂y∂x

∂ 2f

∂y2

e as derivadas parciais são calculadas no ponto (x, y). A matriz H (x, y) échamada de matriz Hessiana de f .

Teorema 8.3. Sejam f uma função de classe C 2 definida num conjunto aber-to U

⊂R2 e (x0, y0)

∈U um ponto crítico de f e denotemos por:

A(x, y) = ∂ 2f

∂x2(x, y) e ∆(x, y) = det

H (x, y)

.

1. Se A(x0, y0) > 0 e ∆(x0, y0) > 0, então (x0, y0) é ponto de mínimo localde f em U .

2. Se A(x0, y0) < 0 e ∆(x0, y0) > 0, então (x0, y0) é ponto de máximo localde f em U .

3. Se ∆(x0, y0) < 0, então (x0, y0) é ponto de sela de f em U .

4. Se ∆(x0, y0) = 0, nada se pode concluir.


Observações 8.1.

1. Se (x0, y0) é ponto de mínimo local de f , então as curvas de nível e ográfico de f numa vizinhança de (x0, y0) e (x0, y0, f (x0, y0)), respecti-vamente, são da forma:




-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figura 8.9:

2. Se (x0, y0) é ponto de máximo local de f , então as curvas de nível e ográfico de f numa vizinhança de (x0, y0) e (x0, y0, f (x0, y0)), respecti-vamente, são da forma:

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figura 8.10:

3. Se (x0, y0) é ponto de sela de f , então as curvas de nível e o gráfico def numa vizinhança de (x0, y0) e (x0, y0, f (x0, y0)), respectivamente, sãoda forma:

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figura 8.11:




4. Se f é uma função contínua no ponto (x0, y0) e se as derivadas parci-ais de f não existem no ponto (x0, y0), mesmo assim é possível queeste ponto seja extremo e deve ser examinado separadamente. Porexemplo, f (x, y) =

x2 + y2 é contínua em R2 e as derivadas parci-ais na origem não existem. Por outro lado 0 ≤

x2 + y2, para todo

(x, y) ∈ R2 e f (0, 0) = 0 ≤ f (x, y), para todo (x, y) ∈ R2; logo, (0, 0) é

ponto de mínimo local de f . Veja o exercício 6).

Figura 8.12:

5. No Cálculo em uma variável, se uma função contínua possui dois pon-tos de máximo local, necessariamente deve existir um ponto de mí-nimo local. No caso de várias variáveis, uma função pode ter doispontos de máximo e não possuir nenhum ponto de mínimo. De fato:

Exemplos 8.1.

Seja f (x, y) = −(x2

− 1)2

− (x2

y − x − 1)2

; claramente f é contínua em R2

.Determinemos os pontos críticos:

∂f

∂x = −2

2 x (x2 − 1) + (1 − 2x y) (1 + x − x2 y)

= 0

∂f

∂y = 2 x2 (1 + x − x2 y) = 0.

Resolvendo o sistema obtemos os pontos críticos (−1, 0) e (1, 2).

A(x, y) = 2 + 4 y + 12 x y − 12 x2 (y2 + 1)

∆(x, y) = −8 x2 (2 + 6 x + x2 (5 − 7 y) − 9 x3 y + x4 (5 y2 − 3));




logo, A(−1, 0) = −10 e ∆(−1, 0) = 16; A(1, 2) = −26 e ∆(1, 2) = 16. Ambosos pontos são de máximo local de f e f não possui pontos de mínimo.

Figura 8.13: Desenhos do gráfico de f ao redor dos pontos de máximo locale o gráfico de f

-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6 0.8 1 1.2 1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

0

1

2

3

Figura 8.14: As respectivas curvas de níveis.

Pode existir um ponto de sela quando existem dois pontos de máximo oude mínimo. De fato, seja:

f (x, y) = x4 + y4 − 4 x y + 1;

claramente f é contínua em R2. Os pontos críticos são (0, 0), (−1, −1) e (1, 1)

e (0, 0) é ponto de sela, (−1, −1) e (1, 1) são pontos de mínimo local de f .Se consideramos g(x, y) = −f (x, y), o ponto (0, 0) é ponto de sela e (−1, −1)e (1, 1) são pontos de máximo local de f .




-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 8.15: Curvas de nível e gráfico de f (x, y) = x4 + y4 − 4 x y + 1

8.2.1 Exemplos

[1] Classifique os pontos críticos de f (x, y) = x2 + y2 + x2 y + 4.

Determinemos os pontos críticos: Resolvemos o sistema:

∂f

∂x = 2 x + 2 x y = 2 x (1 + y) = 0

∂f

∂y = 2 y + x2 = 0,

que é equivalente a: x (1 + y) = 0

2 y + x2 = 0.

Os pontos críticos são (0, 0), (√ 2, −1) e (−√ 2, −1).

H (x, y) =

2 (y + 1) 2 x

2 x 2

.

A(x, y) = 2 (y + 1), ∆(x, y) = 4 (1 + y − x2).

Ptos. Críticos A ∆ T ipo V alor

(0, 0) 2 4 mín 4(√ 2, −1) 0 −8 sela

(−√

2, −1) 0 −8 sela




-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Figura 8.17: Curvas de nível e gráfico do examplo [2].

[3] Classifique os pontos críticos de f (x, y) = (x2 − y2) e−(x2+y2

2 ).

Sabemos que f possui os seguintes pontos críticos: (0, 0), (√

2, 0), (−√ 2, 0),

(0,√

2) e (0, −√ 2).

H (x, y) = e−(x2+y2

2 )

2 − 5 x2 + y2 + x4 − x2 y2 (x2 − y2) x y

(x2

−y2) x y (5 y2 + x2 y2

−y4

−x2

−2

A(x, y) = e−(

x2+y2

2 ) (2 − 5 x2 + y2 + x4 − x2 y2),

Ptos. Críticos A ∆ T ipo V alor

(0, 0) > 0 < 0 sela(√

2, 0) < 0 > 0 máx 2 e−1

(−

√ 2, 0) < 0 > 0 máx 2 e−1

(0, √ 2) > 0 > 0 mín −2 e−1

(0, −√

2) > 0 > 0 mín −2 e−1




-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


[4] Classifique os pontos críticos de f (x, y) = x4 + y4 − 2 (x − y)2.

Determinemos os pontos críticos:

(1) ∂f

∂x = 4 (x3 − x + y) = 0

(2) ∂f

∂y = 4 (y3 + x − y) = 0;

somando as equações ((1) + (2)): y = −x; de (2) obtemos que y = 0 ouy = ±√

2 e temos as seguintes soluções: (0, 0), (√

2, −√ 2) e (−√

2,√

2).

A(x, y) = 12 x2

−4, ∆(x, y) =

−48 (x2 + y2

−3 x2 y2).

Pts. Críticos A ∆ T ipo V alor

(0, 0) < 0 0 ?(√

2, −√

2) > 0 > 0 mín −8

(−√

2,√

2) > 0 > 0 mín −8

Analisemos separadamente o ponto crítico (0, 0):

A(0, 0) < 0 e ∆(0, 0) = 0;

logo, o teorema não pode ser aplicado, mas examinaremos o sinal de f numavizinhança de (0, 0): f (0, 0) = 0.




Aproximando-se de (0, 0) pela reta y = x, temos f (x, x) = 2 x4 > 0.

Aproximando-se pelo eixo dos x, (y = 0), temos f (x, 0) = x2 (x2 − 2) < 0 sex2 < 2; logo f toma valores positivos e negativos numa vizinhança de (0, 0);então (0, 0) não é ponto de máximo nem de mínimo.Nas curvas de nível de f , podem ser observados os pontos de mínimo eperto de (0, 0) não aparecem pontos de sela ou extremos:

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


[5] Classifique os pontos críticos de f (x, y) = 1 − 3

x2 + y2.


(1)

∂f

∂x = − 2 x

3 3

(x2 + y2)2 = 0

(2) ∂f

∂y = − 2 y

3 3

(x2 + y2)2= 0.

As derivadas parciais em (0, 0) não existem; logo, não tem pontos críticos.A função é contínua em (0, 0); logo, apresenta uma "quina"na origem. Poroutro lado:

1 = f (0, 0) ≥ f (x, y) = 1 − 3

x2

+ y2

para todo (x, y) ∈ R2; então (0, 0) é um ponto de máximo de f .




-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


[6] Determine os pontos extremos de f (x, y) = x2 − 2 x y + y2.


∂f

∂x = 2 (x − y) = 0

∂f

∂y = 2 (y − x) = 0.

Resolvendo o sistema obtemos y = x e os pontos críticos de f são os pontosda reta y = x. A(x, y) = 2 e ∆(x, y) = 0.

Como antes, notamos que: f (x, x) = 0 e f (x, y) = (x − y)2 > 0 se x = y ; logoos pontos críticos (x, x) são pontos de mínimos locais.

-2

-1

0

1

2 -2

-1

0

1

2

-1

0

1

2




8.3. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 227

8.3 Problemas de Otimização

[1] De todos os paralelepípedos retangulares cuja soma das arestas é cons-tante e igual a a (a > 0), qual é o que tem volume máximo?

Sejam x, y e z as arestas do paralelepípedo tal que x + y + z = a.

x

y

z

Figura 8.22: Paralelepípedo do exemplo [1].

Seu volume é V = xyz . Como z = a − x − y, temos que:

V = x y z = x y (a − x − y)

e a função a maximizar é:

f (x, y) = x y (a − x − y)


∂f

∂x = −y (−a + 2 x + y) = 0

∂f

∂y = −x (x − a + 2 y) = 0.

Como x e y são arestas x > 0, y > 0; o sistema é equivalente a:−a + 2 x + y = 0

x − a + 2 y = 0;

a única solução possível é x = a

3 e y =

a

3.

A(x, y) = −2 y, ∆(x, y) = 4 x y − (a − 2 (x + y))

2

Aa

3, a

3

< 0 e ∆a

3, a

3

=

a2

3 > 0;




logoa

3, a

3

é ponto de máximo. As arestas são x =

a

3, y =

a

3 e z =

a

3; logo o

volume é:

V = a3

27.

O paralelepípedo é um cubo.

[2] Determine a distância mínima da origem ao plano x + 3y + z = 6.

Note que o plano não passa pela origem.


O quadrado da distância da origem ao ponto (x,y,z ) é dada por:

d2 = x2 + y2 + z 2;

o ponto (x,y,z ) pertence ao plano; logo, z = 6−

x−

3y e minimizaremos aseguinte função:

f (x, y) = x2 + y2 + (6 − x − 3 y)2.


∂f

∂x = 2 (2 x + 3 y − 6) = 0

∂f

∂y = 2 (3 x + 10 y − 18) = 0;

o sistema tem uma única solução: 6

11, 18

11

, que é o ponto crítico de f .

Por outro lado, A(x, y) = 4 e ∆(x, y) = 44. Em particular,




A 6

11, 18

11

> 0, e ∆ 6

11, 18

11

> 0;

então 6

11, 18

11

é um ponto de mínimo local de f ; z =

6

11; logo,

d =

6√

11

11 .[3] Determine o valor máximo da soma dos co-senos dos ângulos de umtriângulo.

Devemos maximizar:

w = cos(x) + cos(y) + cos(z ),

onde x, y, z são os ângulos do triângulo dado. Mas, x + y + z = π; logoz = π − x − y.

f (x, y) = cos(x) + cos(y) + cos(π − (x + y)) = cos(x) + cos(y) − cos(x + y).


(1) ∂f

∂x = −sen(x) + sen(x + y) = 0

(2) ∂f

∂y = −sen(y) + sen(x + y) = 0;

fazendo (1)

−(2), temos sen(x) = sen(y); então, x = y ou x = π

−y.

(a) Se x = y , da primeira equação obtemos:

sen(x) − sen(2 x) = 0;

logo sen(x) = 0 ou cos(x) = 1

2. Se sen(x) = 0, x = 0 ou x = π, o que é

impossível. Se cos(x) = 1

2, x =

π

3; como x = y, tem-se y =

π

3, logo o ponto

crítico éπ

3, π

3

.

(b) se x = π

−y, da segunda equação obtemos; sen(y) = 0; logo y = 0 ou

y = π, o que é impossível.

Portanto, π

3, π

3

é o único ponto crítico de f . Por outro lado:




A(x, y) = −cos(x) + cos(x + y),

∆(x, y) = cos(x) (cos(y) − cos(x + y)) − cos(y) cos(x + y),

A

π

3, π

3 < 0 e ∆

π

3, π

3 > 0;

logo,

π3

, π3

é um ponto de máximo local para f . Como z = π −x−y, z = π

3e o valor máximo da soma é:

cosπ

3

+ cosπ

3

+ cosπ

3

=

3

2.

[4] Uma caixa retangular tem três faces nos planos coordenados e um vérticeP = (x,y,z ) no primeiro octante sobre a superfície x2 + y2 + z = 1. Calculeo volume da maior caixa com essas características.

O volume da caixa é V = xyz onde x, y e z são os comprimentos das arestasda caixa; z = 1

−x2

−y2. Seja f (x, y) = x y (1

−x2

−y2). Determinemos os

pontos críticos:

∂f

∂x = y (1 − 3 x2 − y2) = 0

∂f

∂y = x (1 − x2 − 3 y2) = 0;

x e y são arestas, logo x > 0, y > 0 e o sistema é equivalente a:

1 − 3 x2 − y2 = 0

1 − x2

− 3 y2

= 0;

logo, o único ponto crítico admissível é: 1

2, 1

2

, pois x e y são comprimentos

das arestas da caixa (x > 0 e y > 0).

A(x, y) = −6 x y,

∆(x, y) = 36 x2y2 − (1 − 3 x2 − 3 y2)2,

A1

2, 1

2

= −3

2 e ∆1

2, 1

2

=

35

4 ;

então

12

, 12

é um ponto de máximo, z = 1

2 e V = 1

8 u.v.

[5] De todos os triângulos de perímetro fixado, determine o de maior área.




Sejam x, y e z os lados do triângulo. Usando a fórmula de Heron, o qua-drado da área do triângulo é: A2 = s (s−x) (s−y) (s−z ), onde 2 s = x+y+z .Maximizemos a função:

f (x, y) = s (s − x) (s − y) (x + y − s).


∂f

∂x = (s − y)(2s − 2x − y) = 0

∂f

∂y = (s − x)(2s − x − 2y) = 0;

como s = x e s = y , obtemos: x = 2s

3 e y =

2s

3 .

Por outro lado:

A(x, y) = −2 s (s − y),

∆(x, y) = −s2 (5 s2 − 8 s (x + y) + 4 (x2 + x y + y2)),

A2s

3 ,

2s

3

< 0, ∆2s

3 ,

2s

3

> 0;

logo, 2s

3 ,

2s

3 é ponto de máximo e z = 2s

3 . O triângulo é equilátero.

8.3.1 Mínimos Quadrados

Suponha que numa experiência realizada foram coletados os seguintes pa-res de dados (x1, y1), (x2, y2), . . ., (xn−1, yn−1), (xn, yn), tais que os xi não sãotodos iguais.A teoria subjacente à experiência sugere que os dados devem estar ao longode uma reta y = a x + b.Devido a erros experimentais, os pontos não são colineares. O método dos

mínimos quadrados consiste em determinar a reta que melhor se ajusta aosdados, ou seja, consiste em determinar a e b de modo que a soma dos desviosverticais seja mínima.




xi

(x i ,yi)

Figura 8.24:

Dados os pontos (xi, yi), (1 ≤ i ≤ n) o ponto sobre a reta y = a x + b queestá mais próximo (distância vertical) dos pontos dados tem coordenadas(xi, a xi + b); logo o quadrado da distância vertical a estes pontos é:

E 2i = ((a xi + b) − yi)2, 1 ≤ i ≤ n.

Minimizaremos a função:

f (a, b) = E 21 + E 22 + . . . + E 2n =n

i=1

((a xi + b) − yi)2.

Calculando as derivadas parciais ∂f ∂a

, ∂f ∂b

e igualando a zero, obtemos o sis-tema:

an

i=1

x2i + b

ni=1

xi =n

i=1

xiyi

a

ni=1

xi + n b =

ni=1

yi.

Este é um sistema linear, que tem uma única solução que minimiza f .




País l/p MortesA 250 95B 300 120C 350 165

D 370 167E 400 170F 470 174

i) Suponha que existe uma correlação linear entre os dados da tabela e utilizeo método dos mínimos quadrados para determinar a reta de melhor ajusteà tabela.

ii) Se num país a consumação foi de 550 litros per cápita no ano de 2003,

utilizando i), determine a possível mortalidade.

i) Determinamos a reta que fica a menor distância vertical dos pontos:

(250, 95), (300, 120), (350, 165), (370, 167), (400, 170) e (470, 174).

n

xi

yi

x2

i

xiyi

6 2140 891 792800 329070

Logo, obtemos o sistema:

792800 a + 2140 b = 329070

2140 a + 6 b = 891,

que tem como solução a = 846

2215 e b =

10875

886 ; então, a reta é:

y = 846x

2215 +

10875

886 .




100 200 300 400 500

100

150

200

Figura 8.27: Exemplo [3] i).

ii) Se x = 550,

y = 196995

886 ≃ 222.34.

8.4 Máximos e Mínimos Absolutos

Definição 8.3. Sejam f : A ⊂ Rn −→ R uma função e x0 ∈ A.

1. O ponto x0 é um ponto de mínimo absoluto de f em A se f (x0) ≤ f (x),para todo x ∈ A.

2. O ponto x0 é um ponto de máximo absoluto de f em A se f (x) ≤ f (x0),para todo x

∈A.

Exemplos 8.4.

[1] Seja f : R2 −→ R definida por f (x, y) = x2 + y2.

Como x2 + y2 ≥ 0 para todo (x, y) ∈ R2 e f (0, 0) = 0, temos que f (x, y) ≥f (0, 0) para todo (x, y) ∈ R2. Logo (0, 0) é ponto de mínimo absoluto de f .

[2] Seja f : R2 −→ R definida por f (x, y) = −

x2 + y2.

Como − x2 + y2 ≤ 0 para todo (x, y) ∈ R2 e f (0, 0 ) = 0, temos que ef (x, y) ≤ f (0, 0) para todo (x, y) ∈ A. Logo (0, 0) é ponto de máximo abso-luto de f .



8.4. MÁXIMOS E MÍNIMOS ABSOLUTOS 237

Figura 8.28: Desenhos do exemplo [1] e [2], respectivamente.

Nos parágrafos anteriores estabelecemos condições para que um ponto sejaum ponto de máximo local (ou de mínimo local) de f . Agora nosso objetivoé verificar a existência de pontos de máximos e mínimos absolutos de f edeterminar tais pontos. Do Cálculo de uma variável conhecemos o teoremade Weierstrass que nos garante a existência de pontos extremos absolutos;no teorema, é fundamental que a função contínua a estudar esteja definidaem um intervalo fechado e limitado. A seguir daremos algumas definiçõesque estendem as características dos intervalos fechados e limitados a Rn eenunciaremos o teorema que garantirá a existência de máximos e mínimosabsolutos.

Definição 8.4. Um conjunto A ⊂ Rn é dito limitado se existe uma constantec > 0 tal que x ≤ c, para todo x ∈ A.

Equivalentemente, se A está contido na bola B(0, c). Lembramos que o conjunto A ⊂ Rn é fechado em Rn se ∂A ⊂ A. Veja o Capítulo III. Intuitiva-mente, uma superfície é fechada e limitada se ela separa o espaço em duasregiões, uma "interior"e outra "exterior"à supefície. É o caso de uma esferaem R3.

Exemplos 8.5.

[1] A = {(x,y,z ) ∈ R3/ x2 + y2 + z 2 ≤ r2, r > 0} é fechado, pois sua fronteiraé:

∂A = {(x,y,z ) ∈ R3/x2 + y2 + z 2 = r2, r > 0}.

Logo ∂A ⊂ A. Claramente A é limitado.




[2] A = {(x, y) ∈ R2/ x2 + y2 < r2, r > 0} não é fechado, pois sua fronteira é:

∂A = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 = r2, r > 0}.

Logo ∂A ⊂ A. A é limitado

[3] A = [a, b] × [c, d] é um conjunto fechado e limitado, pois ∂A é o retânguloformado pelas retas x = a, x = b, y = c e y = d.

[4] Os planos em R3 são fechados e não limitados.

Teorema 8.4. (Weierstrass) Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função contínua noconjunto A fechado e limitado. Então, existem pontos de máximo e mínimoabsoluto de f em A, isto é, existem x0, x1 ∈ A tais que f (x0) ≤ f (x) ≤ f (x1)para todo x ∈ A.

Exemplos Importantes

[1] Sejam A = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1} e f : A ⊂ R2 −→ R definida porf (x, y) = y .

i) f é diferenciável em R2; logo, é diferenciável em A; por outro lado∇f (x, y) = (0, 1); então, a função não possui pontos críticos e portanto nãopossui pontos extremos em A (nem em R2).

ii) Suponhamos que agora, f tome valores no conjunto:

B = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1}.

O conjunto B é fechado e limitado; f é, claramente, contínua; o teorema deWeierstrass nos asegura a existência de pontos extremos absolutos de f emB.

iii) Por i) os pontos extremos de f devem estar em ∂B = {(x, y) ∈ R2/x2 +y2 = 1}. De fato, a função f associa a cada par ordenado sua ordenada;então:

−1 = f (0, −1) ≤ f (x, y) ≤ f (0, 1) = 1,

para todo (x, y) ∈ B. Logo (0, −1) e (0, 1) são pontos de mínimo e máximo

absolutos de f

em B

. Note que estes pontos não são pontos críticos

de f

.A seguir faremos algumas considerações geométricas sobre o exemplo, queserão importantes nos parágrafos seguintes. Consideremos g(x, y) = x2 +



8.4. MÁXIMOS E MÍNIMOS ABSOLUTOS 239

y2 − 1; então ∇g(x, y) = (2 x, 2 y); logo, não é difícil ver que os únicos pon-tos onde ∇g(x, y) e ∇f (x, y) são paralelos são os nos pontos de mínimo emáximo (0, −1) e (0, 1).

g(0,1)

∆g(0,-1)

∆

∆f(x,y)

-1

1

f=c

Figura 8.29: Mínimo e máximo de g.

Se um extremo absoluto de f ocorre em A − ∂A, então, também é um ex-tremo local de f ; logo, um extremo absoluto que não seja um extremo local,necessariamente está na ∂ A. Portanto, para determinar um extremo abso-luto, primeiramente determinamos os extremos locais e, então, compara-mos o maior e o menor desses valores com os valores de f ao longo da ∂A.Logo podem ocorrer pontos extremos de f na fronteira e estes extremosnão serem pontos críticos de f .

[2] Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função definida por f (x, y) = x2 + 2 x y −4 (x

−2 y), onde A = [0, 1]

×[0, 2]. O conjunto A é fechado e limitado e f

contínua; logo, f tem pontos de máximos e de mínimos absolutos. Pontoscríticos de f em A − ∂A:

∂f

∂x = 2 x + 2 y − 4 = 0

∂f

∂y = 2 x + 8 = 0,

(−4, 6) é o único ponto crítico de f e (−4, 6) /∈ A. Portanto, os pontos demáximo e mínimo de f são atingidos na ∂A.

Análise dos pontos da ∂ A: ∂ A = L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ L4, onde Li (1 ≤ i ≤ 4) sãoos lados do retângulo A:




L

LL

1

2

3

4

L

A

Figura 8.30:

A função :

g(y) = f (1, y) = 10 y − 3; 0 ≤ y ≤ 2,

expressa f restrita a L2. O menor valor de g é atingido em y = 0 e o maiorvalor de g em y = 2. Portanto, (1, 0) é ponto de mínimo de f e (1, 2) é pontode máximo de f , quando restrita a L2. A função :

h(x) = f (x, 2) = x2 + 16; 0 ≤ x ≤,

representa f restrita a L3. (0, 2) é ponto de mínimo de f restrita a L3. Ana-logamente, A função f restrita a L1 e L4 tem pontos de máximo (0, 0) e(0, 2) respectivamente e pontos de mínimo (1, 0) e (0, 0) respectivamente.f (0, 0) = 0,f (1, 0) = −3, f (1, 2) = 17 e f (0, 2) = 16.

P f (P )

(1,0) −3(1,2) 17

(0,2) 16(0,0) 0

Conclusão: O valor máximo de f em A é 17 e é atingido no ponto (1, 2) e ovalor mínimo de f em A é −3 e é atingido no ponto (1, 0).

O método que estudaremos a seguir é devido a Lagrange e proporcionauma condição necessária para a existência de pontos extremos sujeitos auma restrição. Tais pontos extremos são ditos condicionados.

8.5 Método dos Multiplicadores de LagrangeAntes de apresentar o método, examinemos o seguinte exemplo:



8.5. MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 241

Exemplos 8.3.

Determine os pontos extremos de f (x, y) = x2 + y2 tais que y = x + 1.

Considere a função g(x, y) = y − x − 1 e o conjunto de nível zero de g:

S ={

(x, y)∈R2/y

−x

−1 = 0

}.

O conjunto de nível S é uma reta passando por (−1, 0) e (0, 1). As curvas denível c de f são

x2 + y2 = c.

Para c > 0 são círculos concêntricos. Quanto menor a distância entre ascircunferências e a origem, menor será o valor de f . Desejamos encontrar ospontos extremos de f (x, y) quando (x, y) ∈ S , ou seja, devemos determinarqual a circunferência que intersectando S está a menor distância da origem.

Figura 8.31:

Observando o desenho vemos que a circunferência que tangencia a reta S éa que está mais próxima da origem. No ponto de tangência, o vetor normalà circunferência é também normal à reta S , logo, ∇f (x, y) = (2 x, 2 y) devese múltiplo de ∇g(x, y) = (−1, 1), ou seja, (2 x, 2 y) == λ(−1, 1), λ ∈ R. Equivalentemente:

2 x = −λ

2 y = λ;

resolvendo o sistema e como y = x + 1, obtemos as soluções:

x = −1

2 e y =

1

2.




Logo, ∇f (−1

2, 1

2) = ∇g(x, y). A função f (x, y) = x2 + y2 atinge seu menor

valor sobre a reta S no ponto− 1

2, 1

2

. De fato:

f (x, y) − f (−1

2, 1

2) = x2 + y2 − 1

2 = x2 + (x + 1)2 − 1

2 = 2 (x +

1

2)2 ≥ 0.

Figura 8.32:

8.6 Determinação dos Extremos Condicionados

Sejam f, g : A

⊂Rn

−→R funções diferenciáveis e A

⊂Rn um aberto. Para

determinar os pontos extremos de f restrito à condição g(x) = 0, formamosa combinação linear:

Φ(x) = f (x) + λ g(x)

onde λ ∈ R. Consideremos o sistema de n + 1 equações:

∂ Φ

∂xr(x) = 0 r = 1, 2,.....,n

g(x) = 0.

Note que ∂ Φ∂λ

(x) = g(x). Lagrange provou que a solução do problema éobtida resolvendo o sistema.



8.6. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS CONDICIONADOS 243

Teorema 8.5. Sejam f, g : A ⊂ Rn −→ R funções de classe C 1. Denotemospor S um conjunto de nível de g. Se f tem um ponto de máximo ou demínimo x0 ∈ S e ∇g(x0) = 0, então existe λ ∈ R tal que:

∇f (x0) = λ ∇g(x0)


Interpretemos o teorema em R2. Suponha que desejamos determinar o valormáximo de f restrito às curvas de nível g(x, y) = 0. Façamos f (x, y) = ci,que representa para cada ci uma curva de nível de f . Se por exemplof (x, y) = c0 intersecta a curva g(x, y) = 0 transversalmente, isto é, de modoque, uma não seja tangente à outra ou, ∇f e ∇g sejam linarmente indepen-dentes no ponto de interseção, é possível verificar que para valores próxi-mos de c0 as curvas de nível de f continuam intersectando g(x, y) = 0.

g(x,y)<0

∆

∆

g(p)

f(p)

g(x,y)=0

p

f=c

f=c2

f=c1

Figura 8.33:

Então, procuramos o maior ci tal que f (x, y) = ci seja tangente a g(x, y) = 0num ponto (x0, y0). Em tal ponto as curvas de nível de f e g tem a mesmareta tangente e, portanto, a mesma reta normal, isto é, os vetores ∇f e ∇gdevem ser paralelos no ponto (x0, y0). Analogamente para n = 3. Do teo-rema anterior, segue que se f possui um ponto de máximo ou mínimo emx0 ∈ S c então ∇f (x0) é ortogonal a S c no ponto x0. O teorema nos diz quepara determinar os pontos extremos condicionados devemos resolver o se-guinte sistema de n + 1 equações e n + 1 incognitas:

∇f (x) = λ ∇g(x)

g(x) = c.




Se n = 3, temos 4 equações:

∂f

∂x(x,y,z ) = λ

∂g

∂x(x,y,z )

∂f

∂y(x,y,z ) = λ

∂g

∂y(x,y,z )

∂f

∂z (x,y,z ) = λ

∂g

∂z (x,y,z )

g(x,y,z ) = c.

Analogamente para n = 2:

∂f

∂x(x, y) = λ

∂g

∂x(x, y)

∂f ∂y

(x, y) = λ ∂g∂y

(x, y)

g(x, y) = c.

A diferença entre os problemas de máximos e mínimos não condicionados eos condicionados é que nos últimos não temos critérios simples para distin-guir os pontos de mínimo dos de máximo. Cada ponto obtido pelo metódode Lagrange deve ser examinado separadamente, utilizando os dados doproblema e/ou, argumentos geométricos.

Exemplos 8.6.[1] Determine os pontos extremos da função f (x, y) = x y tais que x2+y2 = 1.

Utilizando o método de Lagrange, devemos resolver o sistema:∇f (x, y) = λ ∇g(x, y)

x2 + y2 = 1.

Logo,

(y, x) = λ (2 x, 2 y)

x2 + y2 = 1, que é equivalente a:

(1) y = 2 λ x

(2) x = 2 λ y

(3) x2 + y2 = 1.




De (1) e (2) obtemos y (1 − 4 λ2) = 0. Se y = 0, utilizando (3), temos, x = ±1;

se λ = 1

2, temos, y = x; de (3), temos x = ± 1√

2e y = ± 1√

2. Por outro lado:

(x, y) f (x, y)

(±1, 0) 0

(

±1/

√ 2,

∓1/

√ 2)

−1/2

(±1/√ 2, ±1/√ 2) 1/2

Logo± 1√

2, ∓ 1√

2, −1

2

são pontos de mínimo e± 1√

2, ± 1√

2, 1

2

são pontos

de máximo.

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1


[2] Determine os pontos extremos da função f (x, y) = x2 + 2 y2 tais quex2 + y2 ≤ 1.

Determinemos os pontos extremos da função f no conjunto fechado e limi-tado:

D = {(x, y) ∈ R2/g(x, y) ≤ 0}, onde g(x, y) = x2 + y2 − 1.

Se x2 + y2 < 1, ∇f (x, y) = (2 x, 4 y); logo, (0, 0) é o único ponto crítico de f .Se x2 + y2 = 1, por Lagrange, devemos resolver o sistema:

(2 x, 4 y) = λ (2 x, 2 y)

x2 + y2 = 1,

que é equivalente a: x = λ x

2 y = λ y

x2 + y2 = 1

, ou:




(1) x (1 − λ) = 0

(2) y (2 − λ) = 0

(3) x2 + y2 = 1,

de (1), x = 0 ou λ = 1 e de (2) y = 0 ou λ = 2; de (3), x e y , não podemser ambos zero; logo, de (1) e (3) e de (2) e (3) obtemos os pontos (0,

±1),

(±1, 0).

Em x2 + y2 < 1, temos:

f (0, 0) = 0 ≤ x2 + 2 y2 = f (x, y).

Em x2 + y2 = 1, temos:

f (±1, 0) = 1, f (0, ±1) = 2;

então (0, 0) é ponto de mínimo e (0, ±1) são pontos de máximo.


[3] Determine os pontos extremos da função f (x,y,z ) = x2 + y2 + z 2 tais que3 x − 2 y + z − 4 = 0.

Sejam:

g(x,y,z ) = 3 x − 2 y + z − 4, ∇f (x,y,z ) = (2 x, 2 y, 2 z )

e:

∇g(x,y,z ) = (3, −2, 1).




Devemos resolver o sistema:

∇f (x,y,z ) = λ ∇g(x,y,z )

3x − 2y + z − 4 = 0,

ou, equivalentemente,

(1) 2 x = 3λ

(2) 2 y = −2λ

(3) 2 z = λ

(4) 3 x −2y + z − 4 = 0.

Fazendo 3 × (1) − 2 × (2) + (3) e utilizando (4), obtemos

λ = 4

7, x =

6

7, y = −4

7, z =

2

7

e6

7, −4

7, 2

7

é o ponto extremo.

[4] Determine os pontos extremos da função f (x,y,z ) = x y z tais que:

x2 + y2

12 +

z 2

3 = 1.

Sejam:

g(x,y,z ) = x2 + y2

12 +

z 2

3 − 1,

∇f (x,y,z ) = (y z , x z , x y) e

∇g(x,y,z ) =

2 x, y

6, 2 z

3

.


∇f (x,y,z ) = λ ∇g(x,y,z )

x2

+ y2

12 + z 2

3 = 1





(1) y z = 2 xλ

(2) x z = y

6λ

(3) x y = 2

3 zλ

(4) x2

+

y2

12 +

z 2

3 = 1;

multiplicando (1) por x, (2) por y e (3) por z obtemos:

(1′) x y z = 2 x2λ

(2′) x y z = y2

6 λ

(3′) x y z = 2

3z 2λ

(4) x2 + y2

12 +

z 2

3 = 1

somando (1′) + ( 2′) + ( 3′) e tendo em vista (4), temos 3 x y z = 2 λ (x2 + y2

12 +

z 2

3 ) = 2λ; substituindo x y z por

2λ

3 a em (1′), (2′) e (3′):

λ (3x2 − 1) = 0

λ (y2 − 4) = 0

λ (z 2 − 1) = 0

Se λ = 0, x = ±√ 33 , y = ±2 e z = ±1. Se λ = 0, x, y e z podem ser nulos aos

pares: x = y = 0 e z = ±√ 3, x = z = 0 e y = ±2

√ 3, y = z = 0 e x = ±1. Os

pontos extremos de f são:

(±√

3

3 , ±2, ±1), (0, 0, ±

√ 3), (0, ±2

√ 3, 0) e (±1, 0, 0).

(x,y,z ) f (x,y,z ) Ponto

(√ 3/3, 2, 1) 2√ 3/3 máximo(−

√ 3/3, −2, −1) −2

√ 3/3 mínimo




8.7 Problemas de Otimização

[1] De todos os paralelepípedos retangulares cuja soma das arestas é cons-tante e igual a 4 a (a > 0), qual é o que tem volume máximo?

Sejam x, y e z as arestas do paralelepípedo; seu volume é V (x,y,z ) = x y z tal que x + y + z = a. Seja g(x,y,z ) = x + y + z .

∇V (x,y,z ) = λ ∇g(x,y,z )

g(x,y,z ) = a,

ou, equivalentemente:

(1) y z = λ

(2) x z = λ

(3) x y = λ

(4) x + y + z = a.

Fazendo (1) = (2) obtemos x = y e fazendo (2) = (3) obtemos y = z ; logo,x = y = z ; de (4), temos x = y = z =

a

3 e:

V a

3, a

3, a

3

=

a3

27

é o volume máximo.

[2] Determine as dimensões do paralelepípedo retangular de volume má-ximo sabendo que as 3 faces do paralelepípedo estão nos planos coordena-dos e um vértice pertence ao plano

x

a

+ y

b

+ z

c

= 1 (a, b, c > 0). Calcule o

volume.O volume é V (x,y,z ) = x y z . Seja g(x,y,z ) =

x

a +

y

b +

z

c − 1; então,

∇V (x,y,z ) = λ ∇g(x,y,z )x

a +

y

b +

z

c = 1,


(1) a y z = λ

(2) b x z = λ

(3) c x y = λ

(4) x

a +

y

b +

z

c = 1;




fazendo (1) = (2), como x, y, z = 0, temos y = b x

a ; analogamente, fazendo

(1) = (3), temos z = c x

a , de (4) obtemos que x =

a

3, y =

b

3 e z =

c

3. O ponto

de máximo é 1

3 (a,b,c) e:

V = V a

3 , b

3 , c

3

= a b c

27 .

[3] Determine a distância mínima entre a superfície 4 x2 + y2 − z = 0 e oponto (0, 0, 8).

Como antes utilizamos o quadrado da distância: f (x,y,z ) = x2+y2+(z −8)2.Consideramos g(x,y,z ) = 4x2 + y2 − z ; então,

(1) 2 x = 8 λ x

(2) 2 y = 2 λ y

(3) 2 (z − 8) = −λ

(4) 4 x2 + y2 = z,


(1) x (1 − 4λ) = 0

(2) y (1 − λ) = 0

(3) 2 (z − 8) = −λ

(4) 4x2 + y2 = z ;

temos: x = 0 e λ = 1; y = 0 e λ = 14

; x = 0 e y = 0.

Se x = 0 e λ = 1, de (3) temos z = 15

2 ; de (4) temos y = ±

15

2 ; logo,

obtemos os pontos

0, ±

15

2 ,

15

2

.

Se y = 0 e λ = 1

4, de (3) temos z =

63

8 ; de (4) temos x = ±3

√ 14

8 ; logo,

obtemos os pontos ± 3

√ 14

8

, 0, 63

8.

Se x = 0 e y = 0 de (4), obtemos z = 0 e λ = 16; logo, obtemos o ponto(0, 0, 0).




(x,y,z ) f (x,y,z ) Ponto

(0, 0, 0) 64

(0,

± 15/2, 15/2) 31/4

(±3√

14/8, 0, 63/8) 127/64 mínimo

A distância mínima é 1.4 u.m. (u.m.=unidades de medida); os pontos:

± 3√

14

8 , 0,

63

8

são de mínimo.

[4] Se a temperatura sobre uma esfera de raio 1 é dada por T (x,y,z ) = xz +yz , determine os pontos em que a temperatura é mais baixa e os pontos emque a temperatura é mais alta.

Seja g(x,y,z ) = x2 + y2 + z 2 − 1; então,

(1) z = 2 λ x

(2) z = 2 λ y

(3) (x + y) = 2 λ z

(4) x

2

+ y

2

+ z

2

= 1,

Fazendo (1) + (2) e substituindo em (3), obtemos z (2λ2 − 1) = 0 e z = 0 ou

λ = ±√

2

2 .

Se z = 0, de (1) e (2) temos x = y = 0, o que é impossível, ou λ = 0; de (3),

obtemos x = −y e de (4), y = ∓√

2

2 ; logo, √

2

2 , −

√ 2

2 , 0

e − √

2

2 ,

√ 2

2 , 0

são pontos extremos.

Se λ = ±√

2

2 , de (1) e (2) temos x = y e de (3), z = ±√ 2x; de (4), obtemos

x = y = ±1

2 e z = ±

√ 2

2 ; logo± 1

2, ±1

2, ±

√ 2

2

são pontos extremos.




(x,y,z ) T (x,y,z ) Temperatura

(±1/2, ±1, 2, ±√

2/2)√

2/2 máxima

(

±

√ 2/2,

∓

√ 2/2, 0) 0 mínima

[5] Se a densidade na placa x y + x z + y z = a, (x, y, z = 0) é dada porD(x,y,z ) = x y z , determine os pontos da placa onde a densidade é máximae onde é mínima.

Seja g(x,y,z ) = x y + x z + y z − a:

(1) y z = λ (y + z )

(2) x z = λ (x + z )

(3) x y = λ (x + y)

(4) x y + x z + y z = a;

multiplicando (1) por x, (2) por y, (3) por z e somando, temos:

3 x y z = λ(2 x y + 2 x z + 2 y z ) = 2 a λ,

onde, na última igualdade utilizamos (4); substituindo λ por 3 x y z

2a no sis-

tema, obtemos:

(1) 3 x (y + z ) = 2 a

(2) 3 y (x + z ) = 2 a

(3) 3 z (x + y) = 2 a.

Igualando (1) a (2) obtemos x = y e igualando (2) a (3) obtemos z = y;

logo x = y = z ; de (4) temos x = ±

a

3 e os pontos extremos são: ±

a

3, ±

a

3, ±

a

3

.

(x,y,z ) D(x,y,z ) Densidade

( a/3, a/3, a/3) a√

3a/9 máxima

(−

a/3, −

a/3, −

a/3) −a√

3a/9 mínima




[6] Determine a equação do elipsóide x2

a2 +

y2

b2 +

z 2

c2 = 1 que passa pelo

ponto (1, 2, 3) e tem menor volume.

Note que as incógnitas são a, b e c. Seja V = f (a,b,c) = 4a b c π3

o volume doelipsóide. Como o ponto (1, 2, 3) pertence à superfície:

1

a2 +

4

b2 +

9

c2 = 1;

logo, consideramos g(a,b,c) = 1

a2 +

4

b2 +

9

c2 − 1; então,

(1) 4 π

3 a b c = − 2

a2 λ

(2) 4 π

3 a b c = − 8

b2 λ

(3) 4 π

3 a b c =

−18

c2 λ

(4) 1

a2 +

4

b2 +

9

c2 = 1,

fazendo (1) = (2) e como λ = 0, obtemos que b2 = 4 a2; fazendo (2) = (3),obtemos 4 c2 = 9 b2; logo, c2 = 9 a2 e de (4): a2 = 3, b2 = 12 e c2 = 27; aequação do elipsóide é:

x2

3 +

y2

12 +

z 2

27 = 1.

[7] Um depósito cilíndrico de aço fechado deve conter 2 litros de um fluido.Determine as dimensões do depósito de modo que a quantidade de materialusada em sua construção seja mínima.

Sejam x e y o raio e a altura do cilindro, respectivamente. Devemos minimi-zar a área total do cilindro, incluindo as tampas:

f (x, y) = 2 π x2 + 2 π x y , sendo π x2 y = 2.

Denote por g(x, y) = πx2y − 2, ∇f (x, y) = (4πx + 2πy, 2πx) e ∇g(x, y) =(2πxy,πx2). O sistema é:

(1) 2 x + y = λ x y

(2) 2 x = λ x2

(3) π x2 y = 2.




De (2), x(2 − λx) = 0 e λx = 2; logo, de (1), y = 2x; ou seja, a altura éigual ao diâmetro da base; de (3) obtemos: x = π− 1

3 e y = 2π−13 , que são as

coordenadas do ponto de mínimo (por que ?). f (π−13 , 2π−

13 ) = 6 3

√ π.

[8] Um fio de cobre de comprimento a, deve ser dividido em 3 partes tais queo produto dos comprimentos das partes seja máximo. Determine o produto.

Se x, y e z são os comprimentos das partes, então devemos maximizarf (x,y,z ) = x y z tal que x + y + z = a. O sistema é:

(1) y z = λ

(2) x z = λ

(3) x y = λ

(4) x + y + z = a.

Fazendo (1) = (2) e (2) = (3), obtemos x = y = z ; de (4) x = a

3 = y = z ;

( a3

, a3

, a3

) é o ponto de máximo e f (a3

, a3

, a3

) = a3

27.

[9] Determine os pontos da curva x6 + y6 = 1 mais afastados e os maispróximos da origem.

Novamente utilizamos o quadrado da distância da origem ao ponto (x, y);isto é, f (x, y) = x2 + y2, sendo x6 + y6 = 1. Seja g(x, y) = x6 + y6 − 1. Osistema é:

(1) x = 3 λ x5

(2) y = 3 λ y5

(3) x6 + y6 = 1,


(1) x (1 − 3λx4) = 0

(2) y (1 − 3λy4) = 0

(3) x6 + y6 = 1.

Se x = 0, de (3) obtemos y =

±1 e em (2), λ =

1

3

; se y = 0, de (3) obtemos

x = ±1 e em (1), λ = 13

; os pontos são (±1, 0) e (0, ±1). Se x, y = 0, o sistemafica:




(1) (1 − 3λx4) = 0

(2) (1 − 3λy4) = 0

(3) x6 + y6 = 1.

Fazendo (2)-(1), λ(x4 − y4) = 0, λ = 0 e y = ±x; de (3) obtemos:

2−1/6, 2−1/6

,

2−1/6, −2−1/6

, − 2−1/6, 2−1/6

e − 2−1/6, −2−1/6

,

onde λ = 2

23

3 .

(x, y) f (x, y) Ponto

(±1, 0) 1 mínimo

(0,

±1) 1 mínimo

2−1/6, 2−1/6

22/3 máximo

2−1/6, −2−1/6

22/3 máximo

− 2−1/6, 2−1/6

22/3 máximo

− 2−1/6, −2−1/6

22/3 máximo

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Figura 8.36:

O método de Lagrange não é restrito a duas ou três variáveis. O métodosó depende de uma função e uma restrição. É o que mostrará o exemplo aseguir.




[10] Determine o valor máximo da raiz n-ésima de um produto de n núme-ros positivos tal que a soma dos números seja constante. Conclua que

n√

x1 x2 .......... xn ≤ 1

n

ni=1

xi.

Sejam x = (x1, x2, x3, ........., xn), onde, xi > 0 para todo i = 1, 2.......n, e :

f (x) = n√

x1 x2 .......... xn,

tal que: x1 + x2 + x3 + ....... + xn = a. Denotando por g(x) = x1 + x2 + x3 +....... + xn − a, então, ∇g(x) = (1, 1, 1, ......, 1).

Cálculo do gradiente de f : Se denotamos f (x) = n

u(x) onde u(x) =x1 x2 . . . . xn, então:

∂f

∂xi=

∂u∂xi

n(u(x))n−1n

= x1 x2 ...xi−1 xi+1 ...xn

n(u(x))n−1n

;

para não escrever demais, denote por K (x) = n(u(x))n−1

n ; o sistema é:

x2 x3 ...xn = λK (x) (1)

x1 x3 ...xn = λK (x) (2)

x1 x2 x4 ...xn = λK (x) (3)

. .

. .

. .

. .

. .x1 x3 ...xn−2 xn = λK (x) (n − 1)

x1 x3 ...xn−2 xn−1 = λK (x) (n)

x1 + x2 + x3 + ....... + xn = a (n + 1).

Fazendo (1) = (2), temos x1 = x2; de (2) = (3), x2 = x3; assim, em geral,igualando as equações ( j) = ( j + 1) com j = 1,...,n − 1, obtemos x j = x j+1 ex1 = x2 = x3 = .... = xn; usando a equação (n + 1) temos:

x1 = x2 = x3 = ...... = xn = a

n,

e f (an ,

an , .....,

an ) =

an que é o valor máximo. Em particular,

f (x) ≤ f (a

n, a

n, .....,

a

n) =

a

n;




por outro lado, a =n

i=1

xi; portanto:

n√

x1 x2 .......... xn ≤ 1

n

ni=1

xi.

8.7.1 Generalização do MétodoSeja S um conjunto de nível definido por:

g1(x0) = c1

g2(x0) = c2

g3(x0) = c3

. .

. .

. .

gk(x0) = ck.

S é, em geral, interseção de superfícies. O teorema pode ser generalizadoda seguinte forma: Se f tem um ponto de máximo ou mínimo em x0 ∈ S i,para todo i, então, devem existir constantes λ1, λ2 ...... λk tais que:

∇f (x0) = λ1∇g1(x0) + λ2∇g2(x0) + ........... + λk∇gk(x0).


∇f (x0) = λ1∇g1(x0) + λ2∇g2(x0) + ........... + λk∇gk(x0)

g1(x0) = c1g2(x0) = c2

g3(x0) = c3

. .

. .

. .

gk(x0) = ck.

Exemplos 8.4.

[1] Determine o ponto da interseção dos planos x+y +z = 1 e 3x+2y +z = 6mais próximo da origem.




Sejam f (x,y,z ) = x2 + y2 + z 2, g1(x,y,z ) = x + y + z − 1 e g2(x,y,z ) =3x + 2y + z − 6; temos:

2 x = λ1 + 3 λ2 (1)

2 y = λ1 + 2 λ2 (2)

2 z = λ1 + λ2 (3)x + y = 1 − z (4)

3x + 2y = 6 − z, (5)

fazendo (1) + (2) + (3) obtemos, usando (4) e (5), o seguinte sistema:

3 λ1 + 6 λ2 = 2

3 λ1 + 8 λ2 = 10;

logo λ2 = 4 e λ1 = −22

3 e x =

7

3, y =

1

3 e z = −5

3. A distância é:

5√

3

3 .

8.8 Método de Lagrange e Álgebra Linear

Utilizamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para determinar oscandiadatos a pontos extremos de uma função f : A ⊂ Rn −→ R, de classeC 1, restrita ao conjunto:

B = {u ∈ A / g(u) = k},

onde g : A ⊂ Rn −→ R é uma função de classe C 1.

Não é difícil ver que uma curva de nível de f é tangente a uma curva denível de g, no ponto p ∈ A, se e somente se ∇f ( p) é paralelo a ∇g( p), se∇g( p) = 0:



8.8. MÉTODO DE LAGRANGE E ÁLGEBRA LINEAR 259

g=c

g=d

f=k

g=r

Figura 8.37: Curvas de níveis de f e g, respectivamente.

Isto é, existe λ ∈ R tal que:

∇f ( p) = λ

∇g( p).

Assim, para determinar os pontos extremos, devemos resolver o sistema:

(1)

∇f ( p) = λ ∇g( p)

g(u) = k.

De forma análoga podemos estender o problema de determinar os candia-datos a pontos extremos de uma função f : A ⊂ Rn −→ R de classe C 1,restrita ao conjunto:

B =

{u

∈A / g(u) = k1, h(u) = k2

},

onde g, h : A ⊂ Rn −→ R, são funções de classe C 1.

Se ∇g(u)×∇h(u) = 0, para todo u ∈ B, então o ponto p ∈ B é ponto extremode f , se {∇f ( p), ∇g( p), ∇h( p)} é um conjunto ld. Logo, existem λ, µ ∈ R taisque:

∇f ( p) = λ ∇g( p) + µ ∇h( p),

Assim, para determinar os pontos extremos, devemos resolver o sistema:

(2) ∇f ( p) = λ ∇g( p) + µ ∇h( p)

g(u) = k1

h(u) = k2




g=d

h=k

f=c

p

Figura 8.38: Curvas de níveis de f e g, respectivamente.

8.9 Eliminação do Parâmetro

Os parâmtros λ e µ nos sistemas (1) e (2) do parágrafo anterior, são essenci-almente utilizados para ter consistência e assim poder determinar suas pos-síveis soluções. Por outro lado, os valores dos parâmetros não são impor-tantes no problema que desejamos resolver, portanto não tem um interesseprático para serem determinados.

Dependendo do problema,muitas vezes é preferível eliminar os parâmetrosdos sistemas (1) e (2). A forma de eliminar os parâmetros é trivial, para isto

basta utilizar Álgebra Linear básica.

Se n = 2, os vetores ∇f ( p) e ∇g( p) são ld. se, e somente se o determinanteda matriz:

M =

∂f

∂x

∂f

∂y

∂g

∂x

∂g

∂y

é nulo, onde as derivada parciais são calculadas em (x, y) ∈ A. Assim, emvez de resolver o sistema (1), resolvemos o sistema:

(1′) det(M ) = 0

g(x, y) = 0

No caso n = 3, com uma restrição, podemos eliminar trivialmente o parâ-metro λ do sistema. Fazendo:



8.9. ELIMINAÇÃO DO PARÂMETRO 261

M =

i j j

∂f

∂x

∂f

∂y

∂f

∂z

∂g

∂x

∂g

∂y

∂g

∂z

onde as derivada parciais são calculadas em (x,y,z ) ∈ A. Como antes, emvez de resolver o sistema (1), resolvemos o sistema:

(1′′)

det(M ) = 0

g(x,y,z ) = c

No caso n = 3, com duas restrições, podemos eliminar trivialmente os parâ-metros λ e µ do sistema. Fazendo:

M =

∂f ∂x

∂f ∂y

∂f ∂z

∂g

∂x

∂g

∂y

∂g

∂z

∂h

∂x

∂h

∂y

∂h

∂z

onde as derivada parciais são calculadas em (x,y,z ) ∈ A. Como antes, emvez de resolver o sistema (2), resolvemos o sistema:

(2′)

det(M ) = 0

g(x,y,z ) = k1

h(x,y,z ) = k2

Finalmente, a eliminação dos parâmetros pode ser estendida, de forma to-talmente análoga às anteriores, a n restrição, pois sempre teremos que, se

p ∈ B é um ponto extremo de f , então o conjunto:

{∇f ( p), ∇g1( p), ∇g2( p), . . . , ∇gn( p)}

é um conjunto ld.



8.9. ELIMINAÇÃO DO PARÂMETRO 263

M =

i j k

2 x 2 y 2 z

x

32

y

18

2 z

25

Logo:

det(M ) =11 y z

225

i − 39 x z

400

j +7 x y

144

k


y z = 0

x z = 0

x y = 0x2

64 +

y2

36 +

z 2

25 = 1

o qual pode ser resolvido facilmente. Os pontos candidatos a pontos extre-mos são:

(0, 0, ±5), (0, ±6, 0), (±8, 0, 0).

Logo:

f (0, 0, ±5) = 25,

f (0, ±6, 0) = 36

f (0, 0, ±8) = 64.Então:

Os pontos 0, 0, 5) e (0, 0, −5) são de mínimo.

Os pontos (8, 0, 0) e (−8, 0, 0) são de máximo.

[3] Determine os pontos extremos de f (x,y,z ) = x3 + y3 + z 3, sujeitos àsseguintes condições x2 + y2 + z 2 = 1 e x + y + z = 1.

Sejam g(x,y,z ) = x2 + y2 + z 2 − 1 e h(x,y,z ) = x + y + z − 1, então:

M =

3 x2 3 y2 3 z 2

2 x 2 y 2 z

1 1 1




Logo:

det(M ) = 6 x2y − 6 x2z + 6 xz 2 − 6 xy2 + 6 y2z − 6 yz 2

= (6 y − 6 z ) x2 +

6 z 2 − 6 y2

x + 6 y2z − 6 yz 2,

fatorando, temos que:

det(M ) = 6 (y − z ) (x − z ) (x − y) .


(y − z ) (x − z ) (x − y) = 0

x2 + y2 + z 2 = 1

x + y + z = 1,

o qual pode ser resolvido facilmente,. Os pontos candidatos a pontos extre-

mos são:

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (−1

3, 2

3, 2

3), (

2

3, −1

3, 2

3), (

2

3, 2

3, −1

3).

Logo:

f (1, 0, 0) = f (0, 1, 0) = f (0, 0, 1) = 1,

f (−1

3, 2

3, 2

3) = f (

2

3, −1

3, 2

3) = f (

2

3, 2

3, −1

3) =

5

9.

Então:Os pontos (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) são de máximo.

Os pontos (−1

3, 2

3, 2

3), (

2

3, −1

3, 2

3) e (

2

3, 2

3, −1

3) são de mínimo.

Note que o sistema original sería:

3 x2 = 2 x λ + µ

3 y2 = 2 y λ + µ

3 x2 = 2 z λ + µ

x2 + y2 + z 2 = 1x + y + z = 1.




8.10 Exercícios

1. Determine os pontos críticos de:

(a) z = e1+x2+y2

(b) z = 3x2 + 2xy + 2x + y2 + y + 4

(c) z = (x2 − 1) (y2 − 4)

(d) z = x2y − 8 x − 4 y

(e) z = 1

x − 64

y + xy

(f) z = 1

x2 + y2 + 1

(g) z = 2 x + 2 y + 1

x2 + y2 + 1

(h) z = x5 + y5 − 5x − 5y

(i) z = x2

−4 x y + y2 + 1

(j) z = x4 + x y + y2 − 6 x − 5 y

(k) z = 3 x2 + x y − y2 + 1

(l) w = log4(x2 + y2 + z 2 + 1)

(m) w = x2 + y3 + z 4

(n) w =

x2 + y2 + z 2

2. Determine se a origem é ponto de mínimo, de máximo ou sela de:

(a) z = x2.(b) z = x2 − 4y2

(c) z = −x2 + 2xy − y2

(d) z = x4 + y4

(e) z = x3 + y3

(f) z = 4xy − 3x2 + 4y2

(g) z = 2x2 + y2

−3xy

(h) z = 5x2 + y2 − 4xy

(i) z = x2 − y2 + 6xy

(j) z = −x2 + y2 − xy

(k) z = xy

4 − x2 − y2

2

(l) z = 7y2

−xy

3. Classifique os pontos críticos de:

(a) z = e1+x2+y2

(b) z = 3x2 + 2xy + 2x + y2 + y

(c) z = (x2 − 1)(y2 − 4)

(d) z = x2y − 8x − 4y

(e) z = 1

x − 64

y + xy

(f) z = 1

x2 + y2 + 1

(g) z = 2x + 2y + 1

x2 + y2 + 1

(h) z = x5 + y5 − 5x − 5y

(i) z = x2−4xy + 4y2−x + 3y + 1

(j) z = x4 + xy + y2 − 6x − 5y

(k) z = (x−

2)2 + (y−

3)2

(l) z = x − y2 − x3

(m) z = x2 + y3




(n) z = 3x4 − 4x2y + y2

(o) z = x2 + y2 + x y + x

(p) z = 1 + x2 + y2

(q) z = 1 + x2 − y2

(r) z = x3 + 3 x2 + 4 x y + y2

(s) z = x2

y2

(1 − x − y)

(t) z = x y − ln(x2 + y2)

(u) z = 2 − (x + 2)2 + (y + 1)2

(v) z = (x − 1)2 + 2 (y + 2)2 + 3

(w) z = ey + ex − ex+y

(x) z = x sen(y), 0 ≤ x, y ≤ π.

4. Determine a reta que melhor se ajusta aos seguintes pontos:

(a) (0, 0), (1, 1) e (2, 3).

(b) (0, 0), (1

2, 1

4), (1, 1), (

3

2, 9

2) e (2, 4).

(c) (−2, −4), (−1, −2), (1, 1), (2, 3), (4, 2) e (3, 5).

(d) (−5, −4), (−3, −2), (−1, −1), (0, 0), (1, 1), (2, 3), (4, 2) e (3, 5).

5. Calcule os pontos de z 2 − xy = 1 mais próximos da origem.

6. Determine a menor distância de x2 − 4y = 0 ao ponto (0, b).

7. Determine o valor máximo do produto de três numeros positivos taisque

2 x y + x z + 3 y z = 72.

8. Determine a distância mínima entre 4x2 + 4y − z = 0 e o ponto (0, 0, 8).

9. Se os vértices de um triângulo são (0, 0), (2, 1) e (1, 3), determine oponto P do triângulo tal que a soma dos quadrados das distâncias aosvértices seja mínima.

10. Determine as dimensões do paralelepípedo de volume máximo, comlados paralelos aos eixos coordenados, inscrito no elipsóide:

x2

a2 +

y2

b2 +

z 2

c2 = 1.

11. Ache a equação do plano que passa por (1, 2, 1) e forma com os planoscoordenados o tetraedro de volume mínimo.




12. Uma calha deve ser construída com uma folha de aço, de largura a ecomprimento b. Se a seção da calha é um trapézio isósceles, qual deveser a largura da base e a inclinação das faces para que sua capacidadeseja máxima?

13. Uma aplicação num doente de x miligramas de um remédio A e y mi-ligramas de um medicamento B ocasiona uma resposta R = R(x, y) =x2 y3 (c − x − y), (c > 0). Que quantidade de cada remédio dará amelhor resposta?

Multiplicadores de Lagrange

1. Determine os pontos extremos de:

(a) z = 25 − x2 − y2 tais que x2 + y2 − 4 y = 0.

(b) z = x2 + 2 x y + y2 tais que x − y = 3.

(c) z = 4 x2 + 2 y2 + 5 tais que x2 + y2 − 2 y = 0.(d) w = x2 + y2 + z 2 tais que 3 x − 2 y + z − 4 = 0.

(e) w = x + y + z tais que x2 − y2 + z 2 = 4.

(f) w = (x + y + z )2 tais que x2 + 2 y2 + 3 z 2 = 1.

2. Determine os pontos extremos de: w = x2 + y2 + z 2 tais que:

x2 + y2 + z 2 ≤ 1.

3. Determine a menor distância de y = x2 ao ponto (0, b), b > 0.

4. Determine o maior e o menor valor de xy tal que 2 x + y = 2, x e ypositivos.

5. Determine o maior e o menor valor de x2 + y2 tal que x4 + y4 = 1.

6. Determine o maior valor de 2 y − x tal que y = sen(x), 0 ≤ x ≤ 2π.

7. Determine os valores máximos e mínimos de f (x,y,z ) = x + 2 y + z se

x2 + y2 = 1 e y + z = 1.

8. Seja 0 < p < q . Determine o máximo e mínimo de x p + y p + z p tal quexq + yq + z q = 1, x, y e z não negativos.




9. Determine os valores extremos de z = cos2(x) + cos2(y) se 4x + 4y = π.

10. Determine as dimensões do retângulo de menor perímetro e de área16 cm2.

11. De todos os triângulos de perímetro fixo, determine o de maior área.

12. Determine o valor máximo de:

(a) f (x,y,z ) = x + y + z tal que x2 + y2 + z 2 = a2 e conclua que:

(x + y + z )2 ≤ 3 (x2 + y2 + z 2).

(b) f (x,y,z ) = x y z tal que x + y + x = s e conclua que: 3 3√

xyz ≤x + y + z .

(c) f (x,y,z ) = x y z tal que x2 +y2+z 2 = s, x, y e z positivos; concluaque:

3√

x y z ≤

x2 + y2 + z 2

3 .

13. Se a temperatura em qualquer ponto (x,y,z ) do espaço é dada por:

T (x,y,z ) = 100 x2 y z,

determine a temperatura máxima e a temperatura mínima sobre x2 +

y2

+ z 2

≤ 4.

14. Determine o ponto P na elipse x2+2 y2 = 6 eoponto Q na reta x+y = 4tal que a distância de P a Q seja a menor possível.

15. Determine os pontos mais afastados da origem tais que x2 +4 y2 +z 2 =4 e x + y + z = 1.

16. Determine as dimensões do paralelepípedo retangular de área total2 a2 cuja diagonal seja mínima.

17. Dentre todos os triângulos de área S determine o que tem o perímetromenor.




18. Determine as dimensões do cilindro de maior volume inscrito numaesfera de raio R.

19. Dentre todos os triângulos retângulos de área S determine o que temhipotenusa mínima.

20. Determine o maior produto que podem ter 10 números positivos se asoma é 10 k, k ∈ N.



Capítulo 9

INTEGRAÇÃO DUPLA

9.1 Integração Dupla sobre Retângulos

Denotemos por:

R = [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}um retângulo em R2.

Consideremos P 1 = {x0, x1,....,xn} e P 2 = {y0, y1,....,yn} partições de or-dem n de [a, b] e [c, d] respectivamente, tais que:

a = x0 < x1 < . . . . . . < xn = b e c = y0 < y1 < . . . . . . < yn = d

e xi+1 − xi = b − a

n , y j+1 − y j =

d − c

n .

a b

c

d

x x

R

i i+1

y j+1

y j

Rij

Figura 9.1: Partição de R.

O conjunto P 1 × P 2 é denominada partição do retângulo R de ordem n.

271



272 CAPÍTULO 9. INTEGRAÇÃO DUPLA

Sejam os n2 sub-retângulos Rij = [xi, xi+1] × [y j, y j+1] e cij ∈ Rij arbitrário(i, j = 0,....,n − 1). Considere a função limitada f : R −→ R. A soma

S n =n−1i=0

n−1 j=0

f (cij) ∆x ∆y,

onde ∆x =

b

−a

n e ∆y =

d

−c

n é dita soma de Riemann de f sobre R.Definição 9.1. Uma função f : R −→ R limitada é integrável sobre R se

limn→+∞

S n,

existe independente da escolha de cij ∈ Rij e da partição; em tal caso deno-tamos este limite por:

R

f (x, y) dxdy,

que é denominada integral dupla de f sobre R.Teorema 9.1. Toda f : R −→ R contínua é integrável.

A prova deste teorema pode ser vista em [EL].

9.2 Significado Geométrico da Integral Dupla

Se f é contínua e f (x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ R, a existência da integraldupla de f sobre R tem um significado geométrico direto. Consideramos osólido W

⊂R3 definido por:

W = {(x,y,z ) ∈ R3 / a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, 0 ≤ z ≤ f (x, y)}

Figura 9.2: O sólido W .



9.2. SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA INTEGRAL DUPLA 273

W é fechado e limitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y), inferi-ormente por R e lateralmente pelos planos x = a, x = b, y = c, y = d. Sedenotamos por V (W ) o volume de W , então:

V (W ) =

R

f (x, y) dxdy

De fato, escolhendo cij como o ponto onde f atinge seu máximo sobre Rij

(pois R é fechado, limitado e f é contínua), então f (cij )×∆x×∆y é o volumedo paralelepípedo de base Rij e altura f (cij).

Figura 9.3: Partição e os paralelepípedos de W , respectivamente.

S n =

n−1i=0

n−1 j=0

f (cij ) ∆x ∆y

é o volume do sólido circunscrito a W . Analogamente se eij é o ponto ondef atinge seu mínimo sobre Rij (pois R é fechado, limitado e f é contínua),então:

sn =n−1i=0

n−1 j=0

f (eij) ∆x ∆y

é o volume do sólido inscrito em W . Como f é integrável, os limites dassomas de Riemann S n e sn independem da escolha de cij e eij :

limn→∞

S n = limn→∞

sn =

R

f (x, y) dxdy.

Em outras palavras os volumes dos sólidos inscritos e circunscritos a W ,tendem ao mesmo limite. Portanto, é razoável chamar este limite de volumede W .




Figura 9.4: Reconstrução do sólido.



Novamente notamos que é possível mostrar rigorosamente que o signifi-cado geométrico da integral dupla independe da escolha da partição e dospontos cij e eij .

A integral dupla tem propriedades análogas às das integrais das funções deuma variável.



9.3. INTEGRAIS ITERADAS 275

Proposição 9.1.

1. Linearidade da integral dupla. Se f e g são funções integraveis sobreR então para todo α, β ∈ R, α f + β g é integrável sobre R, e:

R

α f (x, y)+β g(x, y)

dxdy = α

Rf (x, y) dxdy+β

Rg(x, y) dxdy.

2. Se f e g são integráveis sobre R e g(x, y) ≤ f (x, y), para todo (x, y) ∈ R,então:

R

g(x, y) dxdy ≤

R

f (x, y) dxdy.

3. Se R é subdividido em k retângulos e f é integrável sobre cada Ri, i =1,...,k então f é integrável sobre R e,

R

f (x, y) dxdy =k

i=1

Ri

f (x, y) dxdy.

9.3 Integrais Iteradas

Uma integral iterada de f sobre R é uma integral do tipo:

d

c b

a

f (x, y) dxdy.

Para calculá-la fixamos y e calculamos a integral b

a

f (x, y) dx como integral

de uma veriável em x; o resultado é uma função de y que é novamenteintegrada em y, com limites de integração c e d.

A integral b

a

d

c

f (x, y) dy

dx é calculada de forma análoga.

Exemplos 9.1.

[1] Calcule 20

31

x2y dy

dx.




31

x2y dy = x2

31

y dy = 4x2 e 20

31

x2y dy

dx =

20

4x2 dx = 32

3 .

[2] Calcule π

0 π

0 cos(x + y) dx

dy. π

0

cos(x + y) dx = sen(x + y)x=π

x=0 = sen(y + π) − sen(y),

e π

0

π

0

cos(x + y) dx

dy =

π

0

(sen(y + π) − sen(y)) dy = −4.

[3] Calcule 1

−1 1

−2(x2 + y2) dxdy.

1−2

(x2 + y2) dx =x3

3 + x y2

x=1

x=−2= 3 + 3 y2

e 1−1

1−2

(x2 + y2) dx

dy =

1−1

(3 + 3 y2) dy = 8.

[4] Calcule π3

π

6

4

0

ρ2 eρ3 sen(φ) dρdφ.

40

ρ2 eρ3 sen(φ) dρ = sen(φ)

40

ρ2 eρ3 dρ = sen(φ) eρ3

3

4

0

;

logo: 40

ρ2 eρ3 sen(φ) dρ == sen(φ) e64 − 1

3

e

π3π6

40 ρ

2

eρ3

sen(φ) dρ

dφ =

e64

−1

3 π3

π6

sen(φ) dφ

logo:



9.4. TEOREMA DE FUBINI 277

π3

π6

40

ρ2 eρ3 sen(φ) dρ

dφ =

(e64 − 1) (√

3 − 1)

6 .

[5] Calcule 10

√

1−y2

0

1 − y

2

dx

dy. √ 1−y2

0

1 − y2 dx = 1 − y2

e:

e

10

√ 1−y2

0

1 − y2 dx

dy =

10

(1 − y2) dy = 2

3.

[6] Seja a função f : [0, 1] × [0, 1] −→ R definida por:

f (x, y) =

1 se x ∈ Q

2 y se x /∈ Q.

Então:

10

dy =

10

dy = 1 se x ∈ Q 10

2 y dy = 1 se x /∈ Q.

Logo, 1

0

1

0

dydx = 1.

Por outro lado 10

f (x, y) dx não existe, exceto quando y = 1

2; logo, 1

0

10

dx

dy

não existe. Em geral, nada garante a existência das integrais iteradas.

9.4 Teorema de Fubini

O seguinte teorema fundamental relaciona a integral dupla com as integraisiteradas, o que facilitará seu cálculo.




Teorema 9.2. (Fubini): Seja f : R −→ R contínua sobre R. Então:

R

f (x, y) dxdy =

d

c

b

a

f (x, y) dx

dy =

b

a

d

c

f (x, y) dy

dx

Prova: Veja o apêndice.

Observações 9.1.

1. Uma visualização geométrica do teorema de Fubini pode ser feita u-sando o princípio de Cavalieri: “ Dado um sólido, se denotamos porA(y) a área da seção transversal ao sólido, medida a uma distância y deum plano de referência, o volume do sólido é dado por: V =

dc A(y) dy,

onde c e d são as distâncias mínima e máxima ao plano de referência”.

2. Se f é uma função contínua e f (x, y) ≥ 0 em todo R, então:

R

f (x, y) dxdy

representa o volume do sólido W :

W = {(x,y,z ) ∈ R3 /a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, 0 ≤ z ≤ f (x, y)}.

c

Rb

d

a

Figura 9.7:

3. Se intersectamos o sólido por um plano paralelo ao plano yz a umadistância x da origem, obtemos uma seção plana que tem como área




A(x) = d

c f (x, y) dy. Pelo princípio de Cavalieri, o volume total dosólido é:

R

f (x, y) dxdy =

b

a

A(x) dx =

b

a

d

c

f (x, y) dy

dx.

4. Analogamente, se intersectamos o sólido por um plano paralelo aoplano xz a uma distância y da origem obtemos uma seção plana deárea A(y) = b

a f (x, y) dx e pelo princípio de Cavalieri:

R

f (x, y) dxdy =

d

c

A(y) dy =

d

c

b

a

f (x, y) dx

dy.

Exemplos 9.2.

[1] Calcule

R

dxdy, onde R = [a, b] × [c, d]. R

dxdy =

b

a

d

c

dy

dx =

b

a

(d − c) dx = (b − a) (d − c);

numericamente a integral dupla

R

dxdy, corresponde a área de R ou ao

volume do paralelepípedo de base R e altura 1.

[2] Calcule

R

f (x, y) dxdy, onde R = [a, b] × [c, d] e f (x, y) = h, h constante

positiva. R

f (x, y) dxdy = h

R

dxdy = h × A(R) = h (b − a) (d − c),

onde a última igualdade expressa o volume do paralelepípedo de base R ealtura h.

[3] Calcule

R

(x y + x2) dxdy, onde R = [0, 1] × [0, 1].

R(x y + x2) dxdy = 1

0 1

0

(x y + x2) dx dy = 1

0 x2 y

2 +

x3

3 x=1

x=0

dy

=

10

y

2 +

1

3

dy =

7

12.




O número 7

12 representa o volume do sólido limitado superiormente pelo

gráfico da função f (x, y) = x y + x2 e pelos planos coordenados. ((x, y) ∈[0, 1] × [0, 1]).

0

1

0

1


[4] Calcule

R

x y2 dxdy, onde R = [−1, 0] × [0, 1].

R

x y2 dxdy =

10

0−1

x y2 dx

dy = −1

2

10

y2dy = −1

6.

[5] Calcule

R

sen(x + y) dxdy, onde R = [0, π] × [0, 2π].

R

sen(x + y) dxdy =

2π

0

π

0

sen(x + y) dx

dy

=

2π

0

(cos(y) − cos(y + π)) dy = 0.

[6] Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z = 1 − y einferiormente pelo retângulo definido por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.




0.00.5

1.0

0.0

0.5

1.0

0.0

0.5

1.0

Figura 9.9: Sólido do exemplo [6].

O sólido está limitado superiormente pelo plano z = 1 − y e inferiormentepelo retângulo R = [0, 1] × [0, 1]; então, o volume V é:

V =

R(1 − y) dxdy = 10

10

(1 − y) dx

dy = 10

(1 − y) dy = 12 u.v.

[7] Calcule o volume do sólido limitado por z = x2 + y2 e pelos planos x = 0,x = 3, y = 0 e y = 1.


R = [0, 3] × [0, 1]. O volume é:

V =

R(x2

+ y2

) dxdy = 10 3

0 (x2

+ y2

) dx

dy = 10 ( 9 + 3y

2

) dy = 10 u.v.

u.v. =unidades de volume.




[8] Calcule o volume do sólido limitado por z = 1−y2 e pelos planos x = −1,x = 1, y = −1 e y = 1.


R = [−1, 1] × [−1, 1]. O volume é:

V =

R

(1 − y2) dxdy =

1

−1

1

−1(1 − y2) dx

dy = 2

1

−1(1 − y2) dy =

8

3 u.v.

9.5 Extensão do Teorema de Fubini

Antes de estudar a integral dupla em regiões mais gerais enunciaremos umagenereralização do teorema 9.1.

Definição 9.2. Seja A ⊂ R, R = [a, b]×[c, d]. O conjunto A ⊂ R tem conteúdonulo se existe um número finito de sub-retângulos Ri

⊂ R, (1

≤ i

≤ n) tais

que A ⊂ R1 ∪ R2 ∪ . . . ∪ Rn−1 ∪ Rn e:

limn→+∞

ni=1

|Ri| = 0;

onde |Ri| é a área de Ri.

Exemplos 9.3.

[1] Se A = { p1, p2, ......., pm}, pi ∈ R, (1 ≤ i ≤ m). O conjunto A tem conteúdo

nulo. Utilizando uma partição de ordem n de R como antes, temos:

|Ri| = (b − a) (d − c)

n2 ,



9.5. EXTENSÃO DO TEOREMA DE FUBINI 283

1 ≤ i ≤ n. Como cada ponto pode estar no máximo em quatro sub-retângulos, então:

0 <

ni=1

|Ri| ≤ 4 m (b − a) (d − c)

n2 .

Logo limn→+∞

ni=1

|Ri| = 0.

[2] ∂R tem conteúdo nulo.

b

c

d

x xai i+1

y j+1

yRRij

j

Figura 9.12: ∂R.

Os pontos de ∂R estão distribuido em 4 n − 4 sub-retângulos Rij :

0 <n

i=1

|Ri| ≤ (4 n − 4) (b − a) (d − c)

n2 ≤ 4 (b − a) (d − c)

n ,

pois n−1n < 1. Logo:

limn→+∞

ni=1

|Ri| = 0.

É possível provar que o gráfico de uma função contínua f : [a, b] −→ R temconteúdo nulo.




Figura 9.13: G(f ).

Teorema 9.3. Se f : R −→ R é uma função limitada e o conjunto onde f é descontínua tem conteúdo nulo, então f é integra´ vel sobre R.

Prova: Veja [EL] na bibliografia.

9.6 Integração Dupla sobre Regiões mais Gerais

Definiremos três tipos especiais de subconjuntos do plano, que serão utili-zados para estender o conceito de integral dupla sobre retângulos a regiõesmais gerais

9.7 Regiões ElementaresSeja D ⊂ R2.

9.7.1 Regiões de tipo I

D é uma região de tipo I se pode ser descrita por:

D = {(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x)}

sendo φi : [a, b] −→ R (i = 1, 2) funções contínuas tais que φ1(x) ≤ φ2(x)para todo x ∈ [a, b].



9.7. REGIÕES ELEMENTARES 285

a b

D

D

ba

φ

φ

φ

φ

1

2

2

1

Figura 9.14: Regiões de tipo I.

9.7.2 Regiões de tipo II

D é uma região de tipo II se pode ser descrita por:

D = {(x, y) ∈ R2/c ≤ y ≤ d, ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y)}

sendo ψi : [c, d] −→ R (i = 1, 2) funções contínuas tais que ψ1(y) ≤ ψ2(y)para todo y ∈ [c, d].

D

d

c

ψ Dψ

ψ 1 2

ψ

1 2

Figura 9.15: Regiões de tipo II.

9.7.3 Regiões de tipo III

D é uma região de tipo III se pode ser descrita como região de tipo I ou detipo II.

Observações 9.2.

1. As regiões de tipos I, II ou III são chamadas elementares.

2. As regiões elementares são fechadas e limitadas.




Exemplos 9.4.

[1] A região limitada pelas curvas y = x2 e y = 4 x − x2 pode ser descritacomo de tipo I:

A interseção das curvas é dada pela solução do sistema:

y = x2

y = 4 x − x2,

do qual obtemos: x = 0 e x = 2; logo, D = {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤y ≤ 4x − x2}.

0.5 1.0 1.5 2.0

1

2

3

4

5

Figura 9.16: Região de tipo I.

[2] Seja a região D limitada pelas seguintes curvas: y2 − x = 1 e y2 + x = 1.

A região pode ser descrita por:

D =

{(x, y)

∈R2 /

−1

≤y

≤1, y2

−1

≤x

≤1

−y2

};

D é uma região de tipo II.

1.0 0.5 0.5 1 .0

1.0

0.5

0.5

1.0

Figura 9.17: Região de tipo II.



9.7. REGIÕES ELEMENTARES 287

[3] A região D limitada pela reta x + y = 2 e pelos eixos coordenados, noprimeiro quadrante, pode ser descrita como de tipo II:

D = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 2 − y}.

0.5 1.0 1.5 2.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Figura 9.18: Região de tipo III.

[4] A região D limitada pelas curvas y = x−1 e y2 = 2 x+6, pode ser descritacomo de tipo II.

A interseção das curvas é dada pela solução do sistema:y = x − 1

y2 = 2 x + 6,

do qual obtemos: x = −1 e x = 5; logo:

D = {(x, y) ∈ R2/ − 2 ≤ y ≤ 4, y2

2 − 3 ≤ x ≤ y + 1}.

1 2 3

1

2

3

1 2 3

1

2

3





[5] Seja D a região limitada pela curva x2 + y2 = 1; esta região é do tipo III.De fato:

De tipo I:

D = {(x, y) ∈ R2/ − 1 ≤ x ≤ 1, φ1(x) = −√

1 − x2 ≤ y ≤ φ2(x) =√

1 − x2}.

De tipo II:

D = {(x, y) ∈ R2/ − 1 ≤ y ≤ 1, ψ1(y) = −

1 − y2 ≤ x ≤ ψ2(y) =

1 − y2}.

9.8 Extensão da Integral Dupla

Seja D uma região elementar tal que D ⊂ R, onde R é um retãngulo e f :D −→ R uma função contínua (logo limitada). Definamos f ∗ : R −→ R por:

f ∗(x, y) =

f (x, y) se (x, y) ∈ D

0 se (x, y) ∈ R − D.

f ∗ é limitada e contínua, exceto, possivelmente, em ∂D; mas se ∂D consistede uma união finita de curvas que são gráficos de funções contínuas, peloteorema 9.1, f ∗ é integrável sobre R.

D

R

R

D

Figura 9.20: Gráficos de f e f ∗, respectivamente.

Definição 9.3. f : D −→ R é integrável sobre D se f ∗ é integrável sobre R eem tal caso definimos:

D

f (x, y) dxdy =

R

f ∗(x, y) dxdy.



9.9. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 289

Se R1 é outro retângulo tal que D ⊂ R1 e f ∗1 : R1 −→ R é definida comoantes, então:

R

f ∗(x, y) dxdy =

R1

f ∗1 (x, y) dxdy,

pois f ∗ = f ∗1 = 0 onde R e R1 diferem.

R

D

R

f* =f* =0

1

1

Figura 9.21:

Logo,

Df (x, y) dxdy não depende da escolha do retângulo.

9.9 Integral Dupla e Volume de Sólidos

Proposição 9.2. Se f : D −→ R é uma função contínua e limitada sobre D,então:

1. Se D é uma região de tipo I: D

f (x, y) dxdy =

b

a

φ2(x)

φ1(x)

f (x, y) dy

dx

2. Se D é uma região de tipo II:

D

f (x, y) dxdy =

d

c

ψ2(y)

ψ1(y)

f (x, y) dx

dy





Corolário 9.4. Se f (x, y) = 1 em todo D, então:

D

dxdy = Área(D)

De fato, se D é de tipo I, temos

Ddxdy = b

a

φ2(x) − φ1(x)

dx = A(D).

Se f (x, y) ≥ 0 e é contínua em D, podemos novamente interpretar a integraldupla de f sobre D como o volume do sólido W limitado superiormentepelo gráfico de f e inferiormente por D.

W = {(x,y,z ) ∈ R3/(x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f (x, y)}

D é a projeção de W sobre o plano xy e:

V (W ) =

Df (x, y) dxdy

9.9.1 Exemplos

[1] Calcule 10

1y

ex2dx

dy. A integral não pode ser calculada na ordem

dada. Observe que:

Dex2dxdy =

1

0 1

y

ex2 dxdy.

A região D, onde está definida a integral, é de tipo II: 0 ≤ y ≤ 1 e y ≤ x ≤ 1.

1

1

1

1

Figura 9.22: A região D.




A região D é de tipo III; logo, D também é de tipo I. De fato: 0 ≤ x ≤ 1 e0 ≤ y ≤ x e:

D

ex2 dxdy =

10

x

0

ex2

dy

dx =

10

x ex2

dx = 1

2(e − 1).

[2] Calcule 10

1x

sen(y)

y dy

dx.A região D, onde está definida a integral é de tipo I: 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1.Por outro lado, D é de tipo III, logo D também é de tipo II: 0 ≤ y ≤ 1 e0 ≤ x ≤ y:

1

1

1

1


10

1x

sen(y)

y dy

dx =

10

y

0

sen(y)

y dx

dy =

10

sen(y) dy = 1 − cos(1).

[3] Calcule

D

1 − y2 dxdy, onde D é a região limitada por x2 + y2 = 1 no

primeiro quadrante.

1

1

1

1





Consideramos D como região de tipo II:

D = {(x, y) ∈ R/0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤

1 − y2}.

Pela proposicão:

D

1 − y2 dxdy = 1

0

√ 1−y2

0

1 − y2 dx

dy = 1

0

(1 − y2) dy = 23

.

Note que se escrevemos D como região de tipo I, a integração é muito maiscomplicada.

[4] Calcule

D

(x + y)2 dxdy, se D é a região limitada por y = x, 2 y = x + 2

e o eixo dos y.

1 2

1

1 2

1


As retas se intersectam no ponto (2, 2). Escrevendo D como região de tipo I:

0 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ x2 + 1.

D

(x + y)2 dxdy =

20

x2+1

x

(x + y)2 dy

dx

= 1

3

20

3x

2 + 13 − 8x3

dx = 21

6 .

[5] Determine o volume do sólido limitado por y − x + z = 1 e pelos planoscoordenados.

Para ter uma visão geométrica do problema, fazemos o desenho do sólido,que é limitado superiormente pelo plano que passa pelos pontos (0, 0, 1),(0, 1, 0), (−1, 0, 0) e inferiormente pelo plano z = 0.




-1

1

-1

1

Figura 9.26: O sólido e a região, respectivamente.

A integral dupla representa o volume do sólido limitado superiormente

pelo gráfico da função z = f (x, y) = 1 + x − y e, inferiormente pela região Dprojeção de W no plano xy.

W = {(x,y,z ) ∈ R3 / (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ 1 + x − y},

onde D ={

(x, y)∈R2/

−1

≤x

≤0, 0

≤y ≤

x + 1}

é região do tipo I. Seuvolume é:

V (W ) =

D

(1 + x − y) dxdy =

0−1

x+1

0

(1 + x − y) dy

dx

= 1

2

0−1

(x + 1)2dx = 1

6 u.v.

[6] Determine o volume do sólido limitado por z = 2 x+1, x = y2 e x−y = 2.




-2

0

2

4-2

0

2

4

0

1

2

3

4

5

-2

0

2

4

0

1

2

3

-2

0

2

4

-2

0

2

4

0

1

2

3

4

5

-2

0

2

4

Figura 9.27: O sólido do exemplo [6].

1 2

-1

1

1 2

-1

1


Observe que z = f (x, y) = 2 x + 1 e

V (W ) =

D

(2 x + 1) dxdy,

onde D é a projeção do sólido no plano xy . Considerando D como regiãodo tipo II, ela é definida por:

D ={

(x, y)∈R2 /

−1

≤y ≤

2, y2

≤x

≤y + 2

}.

O volume é:




V (W ) =

D

(2x + 1) dxdy =

2−1

y+2

y2(2 x + 1) dx

dy

=

2−1

(5 y + 6 − y4) dy = 189

10 u.v.

[7] Calcule o volume do sólido que está acima do plano xy e é limitado porz = x2 + 4 y2 e x2 + 4 y2 = 4.

O gráfico de z = x2 + 4 y2 é um parabolóide elítico e o de x2 + 4 y2 = 4 é umcilindro elítico.

-2

-1

0

1

2

x

-0.50

0.51

y

0

1

2

3

z

-2

-1

0

1x

.50

.

-2

-1

0

1

2

x

-1-0.5

0 0.5

1

y

0

1

2

3

z

-2

-1

0

1x

1-0.5

0 .


1-1 2

-1

1

1-1 2

-1

1

Figura 9.30: A região do exemplo [7].

Pela simetria do sólido, calculamos o volume no primeiro octante e multi-plicamos o resultado por 4.




1 2

1

1 2

1


D é a projeção do cilindro no plano xy . D é do tipo I: 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤√ 4 − x2

2 e,

V = 4

D

(x2 + 4y2) dxdy = 4

20

√ 4−x2

2

0

(x2 + 4 y2) dy

dx

= 2 20

x2

√ 4 − x2

+

(4

−x2)

32

3

dx = 4 π u.v.

[8] Calcule a área da região plana limitada pelas curvas y = x2 e y = 4 x−x2.

Os pontos de interseção das curvas são: (0, 0) e (2, 4).

0.5 1.0 1.5 2.0

1

2

3

4

5


D é do tipo I: 0 ≤ x ≤ 2 e x2 ≤ y ≤ 4x − x2.

A =

D

dxdy =

20

4x−x2

x2

dy

dx = 2

20

(2x − x2) dx = 8

3 u.a.

[9] Calcule o volume do sólido obtido pela interseção dos cilindros: x2+y2 =a2 e x2 + z 2 = a2, a = 0.O sólido é simétrico em relação à origem.




Figura 9.33: Interseção dos cilindros.

Calculamos o volume da porção do sólido no primeiro octante e multiplica-mos o resultado por 8.

Figura 9.34: O sólido no primeiro octante.

Claramente D é região do tipo I: 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤ √ a2 − x2. A altura do

sólido W é dada por z = f (x, y) =√

a2 − x2 e:




V = 8

D

√ a2 − x2 dxdy

= 8 a

0 √

a2−x2

0

√ a2 − x2dydx

= 8

a

0

(a2 − x2) dx = 16 a3

3 .

[10] Calcule o volume do sólido limitado por 3 x + 4 y = 10, z = x2 + y2 esituado acima do plano xy, no primeiro octante.

01

23

0

1

2

3

0

2

4

6

8

0

2

1 2 3

1

2

1 2 3

1

2

Figura 9.35: Sólido e região do exemplo [10], respectivamente.

D é uma região do tipo II: 0 ≤ y ≤ 5

2 e 0 ≤ x ≤ 10

−4y

3 ; logo:

V =

D

(x2 + y2) dxdy =

52

0

10−4 y3

0

(x2 + y2) dx

dy

= − 2

81

52

0

[2 y − 5][43 y2 − 80 y + 100] dy

= − 2

81

52

0

[86 y3 − 375 y2 + 600 y − 500] dy = 15625

1296 u.v.

[11] Calcule o volume do sólido limitado por z − x y = 0, z = 0, y = x2 ey2 − x = 0.





D é uma região do tipo I: 0 ≤ x ≤ 1 e x2 ≤ y ≤ √ x,

1

1

1

1

Figura 9.37: Região D.

Logo:

V =

D

x y d x d y =

10

√ xx2

x y d y

dx =

1

2

10

[x2 − x5] dx = 1

12 u.v.




9.10 Exercícios

1. Calcule

R

f (x, y) dxdy, se:

(a) f (x, y) = x2 y3 e R = [0, 1] × [0, 1]

(b) f (x, y) = (x + y)2 (x2 − y2) e R = [0, 1] × [0, 1](c) f (x, y) = x2 + 4 y e R = [0, 2] × [0, 3]

(d) f (x, y) = x2

y2 + 1 e R = [−1, 1] × [−1, 1]

(e) f (x, y) = ex y (x2 + y2) e R = [−1, 3] × [−2, 1]

(f) f (x, y) = x y − y2 e R = [0, 5] × [0, 4]

(g) f (x, y) = 5 x y2 e R = [1, 3] × [1, 4]

(h) f (x, y) = 2 x + c2 y e R = [−2, 2] × [−1, 1]

(i) f (x, y) = x2

− y2

e R = [1, 2] × [−1, 1].

2. Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico dafunção e inferiormente pelo retângulo dado:

(a) z =

9 − y2 e R = [0, 4] × [0, 2]

(b) z = x2 + y2 e R = [−2, 2] × [−3, 3]

(c) z = y2 − x2 e R = [−1, 1] × [1, 3]

(d) z = 2 x + 3 y + 6 e R = [

−1, 2]

×[2, 3]

(e) z = a cos(2 θ) + b sen(2 α) e R = [0, π2 ] × [0, π

2 ]

(f) z = x sen(y) e R = [0, π] × [0, π]

3. Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:

(a) 10

1y

tg(x2) dx

dy

(b) 2

1

x

1

x2

y2

dydx

(c) 10

√ 1−x2

0

1 − y2 dy

dx

(d) 10

1x

sen(y2) dy

dx

(e) 1

0

y

3y

ex2 dx dy

(f) 30

9y2

y cos(x2) dx

dy




4. Calcule as seguintes integrais sabendo que D é limitada pelas curvasdadas:

(a)

D

ydxdy; y = 2 x2 − 2, y = x2 + x

(b)

Dx y d x d y;

x2

a2 + y2

b2 = 1, x, y ≥ 0

(c)

D

xdxdy; x − y2 = 0, x = 1

(d)

D

dxdy

x2 + 1; y − x2 = 0, y = 1

(e)

D

(x2 + y2) dxdy; y = 0, y = x − 1 e x = 1, x = 0

(f)

Dex+y dxdy; y = 0, y = x e x − 1 = 0

(g)

D

xcos(y) dxdy; y = 0, y = x2 e x = 1

(h)

D

4 y3 dxdy; y = x − 6 e y2 = x

(i)

D

(y2 − x) dxdy; y2 = x e x = 3 − 2 y2

(j)

D

(x2 + 2 y) dxdy; y = 2 x2 e y = x2 + 1

(k)

D

(1 + 2 x) dxdy; x = y2 e y + x = 2

(l)

D

dxdy; y2 = x3 e y = x



Capítulo 10MUDANÇA DE COORDENADAS

10.1 Introdução

Seja D∗ ⊂ R

2

uma região elementar no plano uv e:

x, y : D∗ −→ R,

onde x = x(u, v) e y = y(u, v) são funções contínuas e com derivadas parci-ais contínuas num retângulo aberto R tal que D∗ ⊂ R. Estas duas funçõesdeterminam uma transformação do plano uv no plano xy. De fato:

T : D∗ −→ R2,

onde T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)). A transformação T é também denotada por:

x = x(u, v)

y = y(u, v), (u, v) ∈ D∗.

Denotemos a imagen de D∗ por T como D = T (D∗), contida no plano xy.

303



304 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS

TD* D

y

x

v

u

Figura 10.1: Mudança de coordenadas.

Exemplos 10.1.

Seja D∗ = [0, 1] × [0, 2π] e T (r, t) = (r cos(t),rsen(t)).

Determinemos D = T (D∗) no plano xy.

x = r cos(t)

y = r sen(t);

logo: x2 + y2 = r2 ≤ 1; então D = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1}.

π2

L D

t

1 r

* D

x

y

1

T

Figura 10.2:

Definição 10.1. Uma transformação T é injetiva em D∗ se:

T (u1, v1) = T (u2, v2)

implica em u1 = u2 e v1 = v2, para todo (u1, v1), (u2, v2) ∈ D∗.



10.2. JACOBIANO DA MUDANÇA DE COORDENADAS 305

No exemplo 10.1, temos que:

D∗ = [0, 1] × [0, 2π] e T (r, t) = (r cos(t),rsen(t)).

A transformação T não é injetiva: De fato, T (0, t1) = T (0, t2) = (0, 0) parat1 = t2. Observe que:

T (L) = (0, 0), onde L = {(0, t)/0 ≤ t ≤ 2 π}.

Mas se D∗ = (0, 1] × (0, 2π], T é injetiva.

10.2 Jacobiano da Mudança de Coordenadas

Seja T : D∗ −→ D uma transformação definida por:

x = x(u, v)

y = y(u, v), (u, v) ∈ D∗.

Considere a seguinte matriz:

J =

∂x

∂u

∂x

∂v

∂y

∂u

∂y

∂v

onde as derivadas parciais são calculadas nos pontos (u, v) ∈ D∗. J é cha-mada matriz Jacobiana (de Jacobi) da transformação T .

Definição 10.2. O determinante da matriz J , dito jacobiano de T , é deno-tado e definido por:

∂ (x, y)

∂ (u, v) = det(J ) =

∂x

∂u

∂y

∂v − ∂x

∂v

∂y

∂u

onde as derivadas parciais são calculadas nos pontos (u, v) ∈ D∗.

Observação 10.1. A importância da matriz Jacobiana de uma transformaçãodeverá ser estudada com mais rigor, em disciplinas mais avançadas. Porenquanto citaremos a seguinte proposição, sem prova:




Proposição 10.1. Se:

∂ (x, y)

∂ (u, v)(u0, v0) = 0, (u0, v0) ∈ D∗,

então existe uma vizinhança do ponto (u0, v0) tal que a restrição de T a estavizinhança é injetiva.

Exemplos 10.2.

[1] No exemplo 10.1, temos que:

D∗ = [0, 1] × [0, 2π] e T (r, t) = (r cos(t),rsen(t)). Logo,

∂ (x, y)

∂ (r, t) = r.

Note que para todo (r, t) ∈ L temos ∂ (x, y)

∂ (r, t) = 0.

[2] Seja o quadrado D∗ = [0, 1] × [0, 1] e T (u, v) = (u + v, u − v).x = u + v

y = u − v.

Se u = 0, então y = −x; se v = 0, então y = x, se u = 1; então y = 2 − x e sev = 1, então y = x − 2.

A região D = T (D∗) é a região do plano xy limitada pelas curvas y = x,y = −x, y = x − 2 e y = 2 − x. O jacobiano:

∂ (x, y)∂ (u, v)

= −2.

1

1

1 2

1

1

Figura 10.3: Regiões D∗ e D, respectivamente.



10.3. MUDANÇA DE COORDENADAS E INTEGRAIS DUPLAS 307

[3] Seja D∗ a região limitada pelas curvas u2 − v2 = 1, u2 − v2 = 9, u v = 1 eu v = 4 no primeiro quadrante, sendo T (u, v) = (u2 − v2, u v).

Determinemos T (D∗) = D, fazendo:x = u2 − v2

y = u v;

se u2 − v2 = 1, então x = 1; se u2 − v2 = 9, então x = 9, se u v = 1, entãoy = 1 e se u v = 4, então y = 4

1 2 3

1

2

1 2 3

1

2

1 5 9

1

4


∂ (x, y)

∂ (u, v) = 2(u2 + v2), que não se anula em D∗.

10.3 Mudança de Coordenadas e Integrais Duplas

O seguinte teorema nos ensina o comportamento das integrais duplas sobmudanças de coordenadas.

Teorema 10.1. Sejam D e D∗ regiões elementares no plano, T uma transfor-mação de classe C 1 e injetiva em D∗. Suponha que T (D∗) = D. Então, paratoda função integrável f sobre D temos:

D

f (x, y) dxdy =

D∗

f (u, v)

∂ (x, y)

∂ (u, v)

dudv

onde: ∂ (x, y)

∂ (u, v)




é o valor absoluto do determinante Jacobiano e a função nas novas coorde-nadas f (u, v) = f (x(u, v), y(u, v)).

Em particular a área de D é:

A(D) = D dxdy = D∗∂ (x, y)

∂ (u, v) dudv

Observações 10.1.

1. É possível mostrar que o teorema anterior é ainda válido se T não éinjetiva num subconjunto de conteúdo nulo de D∗, como no caso de L,no exemplo 1.

2. Observe que podemos ir do plano uv ao plano xy e vice-versa, pois T é bijetiva.

10.4 Mudança Linear de Coordenadas

Consideremos a seguinte transformação:

x = x(u, v) = a1 u + b1 vy = y(u, v) = a2 u + b2 v

onde a1 b2 − a2 b1 = 0. Como:

∂ (x, y)

∂ (u, v) = |a1b2 − a2b1|,

do teorema anterior, segue:

Corolário 10.2. Se f (u, v) = f (a1 u + b1 v, a2 u + b2 v), então:

D

f (x, y) dxdy = |a1b2 − a2b1|

D∗

f (u, v) dudv

Em particular, a área de D é:

A(D) = |a1b2 − a2b1| A(D∗)



10.4. MUDANÇA LINEAR DE COORDENADAS 309

Observação 10.2. Note que as inversas são:

u = u(x, y) = b2 x − b1 y

a1b2 − a2b1

v = v(x, y) = −a2 x + a1 y

a1b2 −

a2b1

,

e que:

∂ (u, v)

∂ (x, y)

=∂ (x, y)

∂ (u, v)

−1

.

Exemplos 10.3.

[1] Seja D a região limitada pelas curvas y = 2 x, y = x, y = 2 x−2 e y = x+1,calcule:

D

xydxdy.

A presença dos termos 2 x − y e y − x sugerem a seguinte mudança:u = 2 x − y

v = y − x.

A nova região D∗ é limitada pelas seguintes curvas: u = 0, u = −2, v = 0 e

v = 1.

1 2 3

1

2

3

4

1 2 3

1

2

3

4

2 1

1

Figura 10.5: Regiões D e D∗, respectivamente.

Note que:




x = u + v

y = u + 2 v,

logo, ∂ (x, y)

∂ (u, v) = 1 e f (u, v) = (u + v) (u + 2 v) = u2 + 3 u v + 2 v2. Então:

D

x y d x d y =

10

0−2

(u2 + 3 u v + 2 v2) du

dv = 1.

[2] Seja D a região limitada pela curva y + x = 2 e pelos eixos coordenados,calcule:

Dey−x

x+y dxdy.

A presença dos termos x + y e x − y sugerem a seguinte mudança:

u = x + y

v = y − x.

D é limitada pelas curvas x = 0, y = 0 e x + y = 2; então, D∗ é limitada pelascurvas u = v, u = −v e u = 2, respectivamente.

1 2

1

2

1 2

1

2

1 2

2

2


∂ (u, v)

∂ (x, y)

= 2 e∂ (x, y)

∂ (u, v)

= 1

2, f (u, v) = e

vu ; então:




D

ey−x

x+y dxdy = 1

2

D∗

evu dudv =

1

2

20

u

−u

evu dv

du

= 1

2

20

u evu

v=u

v=−u

du

= e − e−12

2

0

u du

= e − e−1.

[3] Determine a área da região D limitada pela curva fechada

(2 x − 4 y + 7)2 + (x − 5 y)2 = 16.

Considere a mudança:

u = 2 x − 4 yv = x − 5 y.

D∗ é a região limitada pela curva (u+7)2+v2 = 16 que é um círculo centradoem (−7, 0) de raio 4.

-10 -5 1

-3

1

-10 -5 1

-3

1

14 12 10 8 6 4 2

6

4

2

2

4

6


∂ (u, v)

∂ (x, y)

= 6; então∂ (x, y)

∂ (u, v)

= 1

6 e:

A(D) = 1

6 D∗

dudv = 1

6A(D∗) =

8

3πu.a.

[4] Seja D a região limitada pela curva y + x = 1 e pelos eixos coordenados,calcule:




D

cosx − y

x + y

dxdy.

A presença dos termos x + y e x − y sugerem a seguinte mudança:

u = x−

y

v = x + y.

1

1

1

1

1-1

1

1-1

1


D∗ é a região limitada pelas seguintes curvas: u = v, u = −v e v = 1,∂ (x, y)

∂ (u, v)

= 1

2 e

f (u, v) = cosu

v

; então:

Dcosy −

x

x + y

dxdy = 1

2

D∗cosu

v

dudv

= 1

2

10

v

−v

cosu

v

du

dv

= 1

2

10

v

sen(1) − sen(−1)

dv = sen(1)

10

v dv

= sen(1)

2 .

[5] Seja D a região limitada pelas curvas y − 2 x = 2, y + 2 x = 2, y − 2 x = 1e y + 2 x = 1, calcule:

D

y + 2 x

(y − 2 x)2 dx dy.




A presença dos termos y + 2 x e y − 2 x sugerem a seguinte mudança:u = y + 2 x

v = y − 2 x.

D∗ é a região limitada pelas seguintes curvas: u = 1, u = 2, v = 1 e v = 2.

-0.5-1 10.5

1

2

-0.5-1 10.5

1

2

1 2

1

2

1 2

1

2

Figura 10.9: Regiões D∗ e D, respectivamente.∂ (x, y)

∂ (u, v)

= 1

4 e f (u, v) =

u

v2; então:

D

y + 2 x

(y − 2 x)2 dxdy =

1

4

D∗

u

v2 dudv

= 1

4

21

21

u

v2 du

dv

= 3

16.

[5] Seja D a região limitada pelas curvas y + x = 1, y + x = 4, x − y = −1 ex − y = 1, calcule:

D

(x + y)2 ex−y dxdy.

A presença dos termos y + x e y − x sugerem a seguinte mudança:

u = x + y

v = x − y.

D∗ é a região limitada pelas seguintes curvas: u = 1, u = 4, v = −1 e v = 1.




0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

1 2 3 4

1.0

0.5

0.5

1.0


∂ (x, y)

∂ (u, v)

= 1

2 e f (u, v) = u2 ev; então:

D(x + y)2 ex−y dxdy = 1

2 D∗

u2 ev dudv

= 1

1

1

−1

4

1

u2 ev du

dv

= 21

2 (e − e−1).

10.5 Mudança Polar de Coordenadas

Um ponto P = (x, y) em coordenadas retangulares tem coordenadas polares(r, θ) onde r é a distância da origem a P e θ é o ângulo formado pelo eixodos x e o segmento de reta que liga a origem a P .

r

x

y

θ

P’

r

P

Figura 10.11: Mudança polar de coordenadas.



10.5. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS 315

A relação entre as coordenadas (x, y) e (r, θ) é dada por:

r =

x2 + y2

θ = arctgy

x

x = 0.

Ou, equivalentemente:

x = rcos(θ)

y = r sen(θ).

Esta mudança é injetiva em:

D∗ = {(r, θ)/r > 0, θ0 < θ < θ0 + 2π},

com θ0 =constante.

Note que a região circular D = {(x, y) /x2

+ y2

≤ a2

} corresponde, em coor-denadas polares, à região retangular:

D∗ = {(r, θ) /0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2 π} = [0, a] × [0, 2 π].

Exemplos 10.4.

[1] A cardióide é uma curva de equação cartesiana x2 + y2 =

x2 + y2 − y;em coordenadas polares fica r = 1 − sen(θ), r ≥ 0.

-1 1

-1

-2

Figura 10.12: Cardióide.

[2] A lemniscata de Bernoulli é uma curva de equação cartesiana:

(x2 + y2)2 = a2 (x2 − y2);

em coordenadas polares fica r2 = a2 cos(2θ).




Figura 10.13: Lemniscata.

[3] O cilindro circular reto de raio a, em coordenadas cartesianas é definidocomo o seguinte conjunto:

C = {(x,y,z ) ∈ R3/ x2 + y2 = a2, a ≥ 0};

em coordenadas polares:

C ∗ = {(r,θ,z ) ∈ R3/r = a, 0 ≤ θ ≤ 2 π}.

Calculemos o jacobiano da mudança de coordenadas polares:∂ (x, y)

∂ (u, v)

= r > 0.

Do teorema anterior, segue:

Corolário 10.3. Se f (r, θ) = f (rcos(θ),rsen(θ)), então:

Df (x, y) dxdy =

D∗

r f (r, θ) drdθ

Esta igualdade ainda é válida se D∗ = {(r, θ)/r ≥ 0, θ0 ≤ θ ≤ θ0 + 2π}.

Em particular a área de D é:

A(D) =

D

dxdy =

D∗

r dr dθ

10.6 Regiões Limitadas por Círculos

Seja a > 0. A região D, limitada pelo círculo x2 + y2 = a2, em coordenadas

polares é dada por:

D∗ = {(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2 π}.



10.6. REGIÕES LIMITADAS POR CÍRCULOS 317


Neste caso:

D

f (x, y) dxdy =

2π

0

a

0

r f (r, θ) dr

dθ

A região D, limitada pelo círculo (x−

a)2 + y2

≤a2, em coordenadas polares

é:

D∗ = {(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ 2 acos(θ), −π

2 ≤ θ ≤ π

2}.


Neste caso:

D

f (x, y) dxdy =

π2

−π2

2 acos(θ)

0

r f (r, θ) dr

dθ

A região D, limitada pelo círculo x2 + (y −a)2 ≤ a2, em coordenadas polaresé:




D∗ = {(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ 2 asen(θ), 0 ≤ θ ≤ π}.


Neste caso:

D

f (x, y) dxdy = π

0

2asen(θ)

0r f (r, θ) dr

dθ

Exemplos 10.5.

[1] Calcule

D

(x2 + y2) dxdy, onde D é a região limitada pelas curvas:

x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, y = x e y =

√ 3 x

3 ,

no primeiro quadrante.

1 2

1

1 2

1


Usando coordenadas polares, a nova região D∗ no plano rθ é determinadapor:




D∗ = {(r, θ) /1 ≤ r ≤ 2, π

6 ≤ θ ≤ π

4}.

Como x2 + y2 = r2, temos:

D

(x2 + y2) dxdy =

D∗

r3 drdθ =

π4

π6

2

1

r3 dr

dθ =

5 π

16 .

[2] Calcule

D

ln(x2 + y2) dxdy, onde D é a região limitada pelas curvas:

x2 + y2 = a2 e x2 + y2 = b2, (0 < a < b).

Usando coordenadas polares temos que D∗ está determinada por:

a ≤ r ≤ b e 0 ≤ θ ≤ 2π.

Por outro lado, ln(x2 + y2) = 2 ln(r),

D

ln(x2 + y2) dxdy =

D∗

2 r ln(r) drdθ

= 4 π b

ar ln(r) dr

= π (r2(2 ln(r) − 1))

b

a

= π (2 b2 ln(b) − 2 a2 ln(a) + a2 − b2).

[3] Determine o volume do sólido situado acima do plano xy e limitadopelos gráficos de z = x2 + y2 e x2 + y2 = 2 y.

O gráfico de z = x2 + y2 é um parabolóide centrado na origem e o do cilin-dro circular reto x2 + y2 = 2y que é centrado em (0, 1, 0) e de raio 1, pois,podemos escrever x2 + y2 − 2 y = x2 + (y − 1)2 − 1.




2

1

0

1

2

2

1

0

1

2

0

1

2

3

00.25

0.50.75

1

x

0

0.5

1

1.5

2

y

0

1

2

3

4

z

.0.5

0.751


Logo D = {(x, y) ∈ R2/x2 + (y − 1)2 ≤ 1}, em coordenadas polares é:

D∗ = {(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ 2 sen(θ), 0 ≤ θ ≤ π}.

O sólido W é limitado superiormente pelo parabolóide; logo:

V =

D

(x2 + y2) dxdy.

Utilizando coordenadas polares temos x2 + y2 = r2 e:

V =

D

(x2 + y2) dxdy =

D∗

r3 drdθ =

π

0

2sen(θ)

0

r3 dr

dθ

= 4

π

0

sen4(θ) dθ = 4

π

0

3

8 +

cos(4θ

8 − sen(2θ

2

dθ

= −sen3(θ) cos(θ) − 3

2 cos(θ) sen(θ) +

3 θ

2

π

0

= 3π

2 u.v.

[4] Calcule o volume do sólido limitado externamente por x2 + y2 + z 2 = 25e internamente por x2 + y2 = 9.




01

23

45x

01

2 3

y

0

1

2

3

4

z

01

23

4

1


3 5

3

5

3 5

3

5


Pela simetria do sólido, calculamos o volume no primeiro octante e multi-plicamos o resultado por 8.

V = 8

D

25 − x2 − y2 dxdy,

onde D é a projeção do sólido no plano xy. Usando coordenadas polaresobtemos a nova região D∗ definida por:

D∗ = {(r, θ) / 3 ≤ r ≤ 5, 0 ≤ θ ≤ π

2}

e 25 − x2 − y2 =√

25 − r2:

V = 8

D

25 − x2 − y2 dxdy = 8

π2

0

53

r√

25 − r2 dr

dθ =

256π

3 u.v.




[5] Calcule +∞0

e−x2 dx.

Esta integral é muito utilizada em Estatística. Seja R = [−a, a] × [−a, a].Então:

Re−

(x2+y2)

dxdy = a

−a a

−ae−x2

e−y2

dy

dx = a

−ae−x2

dx a

−ae−y2

dy

.

O gráfico de f (x, y) = e−(x2+y2) é:

Figura 10.21:

Se denotamos por L(a) =

a

−a

e−u2du = 2

a

0

e−u2du, temos:

L2(a) =

R

e−(x2+y2) dxdy.

Sejam D e D1 regiões elementares tais que D ⊂ R ⊂ D1 onde D é a regiãolimitada pelo círculo inscrito em R e D1 é a região limitada pelo círculocircunscrito a R:

R

D1

D

Figura 10.22:




Como f (x, y) = e−(x2+y2) é contínua em D1 e e−(x2+y2) > 0, para todo x, y, D

e−(x2+y2) dxdy ≤ L2(a) ≤

D1

e−(x2+y2) dxdy.

Usando coordenadas polares, D é definida por 0 ≤ r ≤ a e 0 ≤ θ ≤ 2π, D1 édefinida por 0

≤r

≤√

2 a e 0≤

θ≤

2π:

e−(x2+y2) = e−r2

e:

2π

0

a

0

r e−r2 dr

dθ = π (1 − e−a2);

então,

π (1 − e−

a2

) ≤ L(a) ≤ π (1 − e−2a2

).

Como:

lima→+∞

a

0

e−u2du =

+∞0

e−u2du,

temos:

+∞0

e−u2du =

√ π

2 .

[6] Se D = {(x, y) ∈ R2/1 ≤ (x−y)2 + (x + y)2 ≤ 4, y ≤ 0, x + y ≥ 0}, calcule:

D

ex+y

x−y

(x − y)2dxdy.

Usamos mudança linear: u = x − y

v = x + y.

Logo, a nova região D∗ é limitada pelas curvas u2+ v2 = 1, u2 + v2 = 4, v ≤ ue 0 ≤ v:




1 2

1

2

1 2

1

2

Figura 10.23: Região D.

∂ (u, v)

∂ (x, y) = 2 então

∂ (x, y)

∂ (u, v) =

1

2 e

D

ex+y

x−y

(x − y)2dxdy =

1

2

D∗

evu

u2 du dv.

Usando coordenadas polares obtemos a região D∗∗ definida por: 1

≤ r

≤ 2

e 0 ≤ θ ≤ π4

:

1

2

D∗

evu

u2 dudv =

1

2

D∗∗

r etg(θ)

r2 cos2(θ) dr dθ =

ln(2)

2 (e − 1).

10.7 Aplicação

Seja D região do tipo II, limitada por curvas de equações (em forma polar):r = g(θ) e r = h(θ) e definida por:

D = {(r, θ)/g(θ) ≤ r ≤ h(θ), θ1 ≤ θ ≤ θ2},

onde g, h : [θ1, θ2] −→ R são funções contínuas tais que 0 ≤ g(θ) ≤ h(θ).

D

h

g

y

x

θ1

θ2

r

θ

D*

θ2

θ1

Figura 10.24:



10.7. APLICAÇÃO 325

Então:

D

f (x, y) dxdy =

θ2

θ1

h(θ2)

g(θ1)

r f (r, θ) dr

dθ

Em particular, a área de D é:

A(D) =

D

dxdy = 1

2

θ2

θ1

(h(θ))2 − (g(θ))2

dθ

Exemplos 10.6.

[1] Calcule o volume do sólido limitado pelo cone z =

x2 + y2 e pelocilindro r = 4 sen(θ), no primeiro octante.

Usando coordenadas polares temos que o cone escreve-se z = r; no planor θ o cilindro projeta-se no círculo r = 4 sen(θ); logo 0 ≤ r ≤ 4 sen(θ) e0 ≤ θ ≤ π

2.

-2 -1 1 2

1

2

3

4

-2 -1 1 2

1

2

3

4

00.5

11.5

2x

0 1 2 3 4

y

0

1

2

3

4

z

00.5

11.5

1

Figura 10.25:

V =

D∗

r2 drdθ =

π2

0

4 sen(θ)

0

r2dr

dθ =

128

9 u.v.

[2] Calcule a área da região limitada pelo interior do círculo r = 4 sen(θ) epelo exterior do círculo r = 2.




-2 2

-2

2

-2 2

-2

2

Figura 10.26:

Os círculos se intersectam em: θ = π6 e θ = 5π

6 e:

A(D) = 1

2

5π6

π6

(16 sen2(θ)

−4) dθ = 2π

3

+ 2√

3u.a.

[3] Calcule a área da região limitada por r = 2(1 + sen(θ)).

-2 -1 1 2

1

2

3

4

Figura 10.27:

0 ≤ θ ≤ 2 π. Logo:

A(D) = 2

2π

0

(1 + sen(θ))2dθ = 6πu.a.

[4] Calcule a área da região limitada por r = sen(3θ).



10.8. EXERCÍCIOS DE MUDANÇA DE COORDENADAS 327

Figura 10.28:

0 ≤ θ ≤ 2 π. Logo:

A(D) = 1

2

2π

0

sen2(3θ) dθ = π

2 u.a.

10.8 Exercícios de Mudança de CoordenadasNesta seção apresentaremos mudanças de coordenadas não usuais. Lem-

bremos, que utilizaremos o teorema de mudança de coordenadas e a fór-mula:

D

f (x, y) dxdy =

D∗

f (u, v)

∂ (x, y)

∂ (u, v)

dudv

onde: ∂ (x, y)

∂ (u, v)

é o valor absoluto do determinante Jacobiano e f (u, v) = f (x(u, v), y(u, v)).

Exemplos 10.7.

[1] Calcule:

21

√ x

0 y e

√ x

dy

dx.

Primeiramente observamos que:




21

√ x0

y e√

x dy

dx =

D

y e√

x dxdy,

onde D = {(x, y) / 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ √ x}; D é região de tipo I.

1 2

1


Utilizemos a mudança de coordenadas:

x = u2

y = v;=⇒

x = 1 =⇒ u = 1

x = 2 =⇒ u =√

2

y = 0 =⇒ v = 0

y =√

x =⇒ v = u.

Logo, D∗ ={

(u, v) / 1≤

u≤

√ 2, 0

≤v ≤

u}

.

1 2

1

Figura 10.30: A região D∗.




O jacobiano da mudança é:

∂ (x, y)

∂ (u, v) = det

2 u 0

0 1

= 2 u;

que é não nulo em D∗ e f (x, y) = y e

√ x

= v eu

. Logo:

D

y e√

x dxdy =

D∗

2 u v eu dudv

= 2

√ 21

u

0

u v eu dv

du

=

√ 21

u3 eu du

= 6 + 4 e√ 2 (2

√ 2

−3).

[2] Calcule:

D

(x2 + y2) dxdy,

onde D é limitada por x y = 2, x y = 4, x2 − y2 = 1 e x2 − y2 = 9, no primeiroquadrante.

1 2 3

1

2

1 2 3

1

2


Façamos a seguinte mudança de coordenadas:




u = x2 − y2

v = 2 x y.=⇒

x y = 2 =⇒ v = 4

x y = 4 =⇒ v = 8

x2 − y2 = 1 =⇒ u = 1

x2 − y2 = 9 =⇒ u = 9.

Então D∗ = [1, 9] × [4, 8]. Por outro lado:

∂ (u, v)

∂ (x, y) = det

2 x −2 y

2 y 2 x

= 4 (x2 + y2) =⇒ ∂ (x, y)

∂ (u, v) =

1

4 (x2 + y2);

logo:

(x2 + y2)

∂ (x, y)

∂ (u, v)

= 1

4,

e:

D

(x2 + y2) dxdy = 14

D∗

dudv

= 1

4

91

84

dv du

= 8.

[3] Calcule: D

(y + 2 x2) (y − x2) dxdy,

onde D é limitada por x y = 1, x y = 2, y = x2

e y = x2

− 1, no primeiroquadrante.

0.5 1.0 1.5 2.0

0.5

1.0

1.5

2.0






u = x y

v = y − x2 =⇒

x y = 1 =⇒ u = 1

x y = 2 =⇒ u = 2

y = x2 =⇒ v = 0

y = x2

−1 =

⇒v =

−1.

Então D∗ = [1, 2] × [−1, 0]. O jacobiano da mudança é:

∂ (u, v)

∂ (x, y) = det

y x

−2 x 1

= y + 2 x2 =⇒ ∂ (x, y)

∂ (u, v) =

1

y + 2 x2.

Então:

(y + 2 x2) (y − x2)

∂ (x, y)

∂ (u, v)

= v,

logo:

D

(y + 2 x2) (y − x2) dxdy =

D∗

vdudv

=

0−1

21

vdudv

= −1

2.

[4] Calcule:

D e−

x2

−x y

−y2

dxdy,

onde D é limitada por x2 + y2 + x y ≤ 1.

1 1

1

1





Completando os quadrados:

x2 + y2 + x y =

x + y

2

2+√

3 y

2

2.

Utilizemos a mudança linear de coordenadas:

u = x + y2

v =

√ 3 y

2

A região é dada por D∗ = {(u, v) / u2 + v2 ≤ 1}. Por outro lado, o jacobianoda mudança é:

∂ (u, v)

∂ (x, y) = det

1

1

2

0

√ 3

2

=√

3

2 =⇒ ∂ (x, y)

∂ (u, v) =

2√

3

3 .

Então:

D

e−x2−x y−y2dxdy = 2

√ 3

3

D∗

e−(u2+v2) dudv.

Utilizando coordenadas polares, temos que D∗∗ = {(r, θ) / 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤θ ≤ 2 π} e:

D

e−x2−x y−y2dxdy = 2 √ 33

D∗

e−(u2+v2) dudv

= 2

√ 3

3

D∗∗

e−r2 rdrdθ

= 2

√ 3

3

10

2π

0

r e−r2 dθdr

= 2 π

√ 3

3 (1 − e−1).

[5] Calcule: D

(x2 − y2) exy dxdy,




onde D é limitada por x y = 1, x y = 4, y = x e y = x + 2 no primeiroquadrante.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

1

2

3

4



u = x y

v = −x + y.=⇒

x y = 1 =⇒ u = 1

x y = 4 =⇒ u = 4

−x + y = 0 =⇒ v = 0

−x + y = 2 =⇒ v = 2.

Logo a região D∗ = [1, 4] × [0, 2]:

1 4

2

Figura 10.35: A região D∗.


∂ (u, v)

∂ (x, y) = det

y x

−1 1

= x + y =⇒ ∂ (x, y)

∂ (u, v) =

1

x + y;




observe que como x, y > 0, temos:

(x2 − y2) exy

∂ (x, y)

∂ (u, v)

= (x − y) (x + y) exy

x + y = (x − y) exy = −v eu.

Então:

D

(x2 − y2) exy dxdy = −

D∗

v eu dudv

= − 41

20

v eu dv du

= 2 (e − e4).

[6] Calcule:

D

ex3+y3

xy dxdy,

onde D = {(x, y) / y2 − 2 x ≤ 0, x2 − 2 y ≤ 0}.

2

2


Façamos a seguinte mudança de coordenadas:x = u2 v

y = u v2.

Então: y2 − 2 x ≤ 0 =⇒ 0 ≤ v ≤ 3√

2

x2 − 2 y ≤ 0 =⇒ 0 ≤ u ≤ 3√

2.




A região D∗ = [0, 3√

2] × [0, 3√

2]. Por outro lado:

x3 + y3

xy = u3 + v3 e∂ (x, y)

∂ (u, v)

= 3 u2 v2.

Então:

D

ex3+y3

xy dxdy =

D∗

3 u2 v2 eu3+v3 dudv

= 3

D∗

u2 v2 eu3

ev3 dudv

= 3

3√ 20

3√ 20

u2 v2 eu3

ev3 du

dv

=

3√ 20

v2 ev3

eu3

3√ 2

0 dv

= (e2 − 1)

3√ 2

0

v2 ev3 dv

= 1

3 (e2 − 1)2.

[7] Calcule: D

x3 y3

1 − x4 − y4 dxdy,

onde D ={

(x, y) / x4 + y4

≤1}

, no primeiro quadrante.

1 1

1

1






x =

rcos(θ)

y =

r sen(θ).


∂ (x, y)

∂ (r, θ) = 1

4

sen(θ)

cos(θ)

Então:

x3 y3

1 − x4 − y4

∂ (x, y)

∂ (r, θ)

= 1

4 cos(θ) sen(θ) r3

√ 1 − r2

Logo, D∗ = {(r, θ) / 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π

2} e:

D

x3 y3

1 − x4 − y4 dxdy = 14

D∗

cos(θ) sen(θ) r3 √ 1 − r2 drdθ

= 1

4

10

r3√

1 − r2 dr

π/2

0

cos(θ) sen(θ) dθ

= 1

60.

[8] Determine a área da região limitada por y2 = 2 p x, y2 = 2 q x, x2 = 2 r y ex2 = 2 s y tais que 0 < p < q e 0 < r < s.






u = y2

2 x

v = x2

2 y

=⇒

y2 = 2 p x =⇒ u = p

y2 = 2 q x =⇒ u = q

x2 = 2 r y =⇒ v = r

x2 = 2 s y =⇒ v = s.

Então D∗ = [ p, q ] × [r, s]. Por outro lado:

∂ (u, v)

∂ (x, y) = det

− y2

2x2

y

x

x

y − x2

2y2

= −3

4 =⇒∂ (x, y)

∂ (u, v)

= 4

3.

Então:

A(D) =

D

dxdy =

D∗

4

3 dudv =

4

3 (q − p) (s − r).

[9] Determine a área da região limitada por:

x

a +

y

b = 1,

x

a +

y

b = 4,

y = b x

a e y =

9 b x

a , tal que a, b > 0.






u =

a y

b x

v = x

a +

y

b

=⇒

a y = b x =⇒ u = 1

a y = 9 b x =⇒ u = 3 x

a +

y

b = 1 =⇒ v = 1

xa

+ yb

= 4 =⇒

v = 4.

Então D∗ = [1, 3] × [1, 4]. Não é difícil calcular a inversa da transformaçãode coordenadas:

x = a v2

(1 + u)2

y = b u2 v2

(1 + u)2.

Logo:

∂ (x, y)

∂ (u, v) = det

− 2 v2 a

(1 + u)32 v a

(1 + u)2

2 u v2 b

(1 + u)32 u2 v b

(1 + u)2

= −4 a b u v3

(1 + u)4.

E:

A(D) = D

dxdy = D∗

4 a b u v3

(1 + u)4 dudv

=

31

41

4 a b u v3

(1 + u)4 dv

du

= 255 a b

31

u

(1 + u)4 du

= 935 a b

64 .

[10] Calcule o volume do sólido limitado pelo elipsóide:

x2

a2 + y2

b2 + z 2

c2 = 1;

onde a, b, c = 0.



10.9. OUTRAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA 339

Pela simetria do sólido calculamos o volume relativo ao primeiro octante;logo:

V = 8 c

D

1 −

x2

a2 +

y2

b2

dxdy.

A região D é limitada pela porção de elipse x2

a2 +

y2

b2 = 1 no primeiro qua-

drante. Usemos a seguinte mudança:

x = a r cos(θ)

y = b r sen(θ);

o determinante Jacobiano da mudança é:

∂ (x, y)

∂ (r, θ) = a cos(t)

−ar sin(t)

b sin(t) br cos(t)

= a b r.

Por outro lado:

1 −

x2

a2 +

y2

b2

=

√ 1 − r2.

A região D∗ = [0, 1] × [0, π

2]:

V = 8 a b c

D∗

r√

1 − r2 drdθ = 4 a b c π

10

r√

1 − r2 dr = 4 a b c π

3 u.v.

Em particular, se a = b = c, temos uma esfera de raio a e V = 4 π a3

3 u.v.

10.9 Outras Aplicações da Integral Dupla

Como em uma variável, outras aplicações, além do cálculo de volumes, po-dem ser definidas através de integrais duplas, tais como, massa total, centrode massa e momento de inércia.




10.10 Massa Total

Suponha que uma lâmina fina tem a forma de uma região elementar D econsideremos que a massa está distribuida sobre D com densidade conhe-cida, isto é, existe uma função z = f (x, y) > 0 em D que representa a massapor unidade de área em cada ponto (x, y) ∈ D. Se a lâmina é feita de ma-

terial homogêneo, a densidade é constante. Neste caso a massa total dalâmina é o produto da densidade pela área da lâmina.

Quando a densidade f varia de ponto a ponto em D e f é uma função inte-grável sobre D, a massa total M (D) de D é dada por:

M (D) =

D

f (x, y) dxdy

10.11 Momento de MassaO momento de massa de uma partícula em torno de um eixo é o produto desua massa pela distância (na perpendicular) ao eixo. Então, os momentosde massa da lâmina D em relação ao eixo dos x e dos y são respectivamente:

M x =

D

y f (x, y) dx dy, M y =

D

x f (x, y) dxdy

x

y (x,y) D

Figura 10.40:



10.11. MOMENTO DE MASSA 341

10.11.1 Centro de Massa

O centro de massa da lâmina é definido por (x, y), onde:

x = M yM (D)

, y = M xM (D)

Fisicamente (x, y) é o ponto em que a massa total da lâmina poderia estarconcentrada sem alterar seu momento em relação a qualquer dos eixos. Sef (x, y) = k, (k > 0) em todo D, (x, y) é chamado centróide de D. Neste casoo centro de massa é o centro geométrico da região D.

Exemplos 10.8.

[1] Calcule o centro de massa do retângulo [0, 1]×[0, 1] se a densidade é dadapela função: f (x, y) = ex+y.

A massa total de D = [0, 1] × [0, 1] é:

M (D) =

1

0

1

0

ex+y dx

dy = e2 − 2e + 1.

Os momentos de massa respectivos são:

M x =

10

10

y ex+y dx

dy = e − 1 e M y =

10

10

x ex+y dx

dy = e − 1

e o centro de massa de D é ( 1

e − 1,

1

e − 1).

[2] Determine o centro de massa da região limitada por um semicírculo Dde raio a centrado na origem, sabendo que sua densidade em cada ponto éproporcional à distância do ponto à origem.

Exe

Figura 10.41:




f (x, y) = k

x2 + y2. Calculamos a massa total usando coordenadas pola-res. A nova região D∗ é definida por: 0 ≤ r ≤ a e 0 ≤ θ ≤ π;

x2 + y2 = r:

M (D) = k

π

0

a

0

r2 dr

dθ =

k π a3

3 .

Os momentos de massa respectivos são:

M x =

a

0

π

0

r3 cos(θ) dθ

dr = 0 e M y =

a

0

π

0

r3 sen(θ) dθ

dr =

a4

2 ;

o centro de massa de D é (0, 3 a

2 k π).

[3] Determine o centróide da região limitada pelas curvas y = x2 e y =4 x − x2.

1 2

4

2

1 2

4

2

Figura 10.42:

Neste caso f (x, y) = 1 para todo (x, y) ∈ D, onde:

D = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4 x − x2}

e M (D) = A(D) = 8

3. Esta área já foi calculada anteriormente.

M x =

20

4x−x2

x2y dy

dx =

16

3 e M y =

20

4x−x2

x2x dy

dx =

8

3;

o centróide de D é (2, 1).

[4] Determine o centro de massa da região limitada pelas curvas y = x + x2,y = 0 e x = 2 se a densidade em cada ponto é Exe f (x, y) = y

1+x.



10.12. MOMENTO DE INÉRCIA 343

M (D) =

20

x(x+1)

0

y

1 + xdy

dx =

1

2

20

(x3 + x2) dx = 10

3 ,

M x = 20 x(x+1)

0

y2

1 + xdy

dx =

1

2 20 (x

4

+ x3

) dx =

412

45 ,

M y =

20

x(x+1)

0

x y

1 + xdy

dx =

1

3

20

(x5 + 2 x4 + x3) dx = 26

5 ;

o centro de massa de D é (39

25, 206

75 ).

10.12 Momento de Inércia

Sejam L uma reta no plano, D uma lâmina como antes e δ (x, y) = d((x, y), L),onde d é a distância no plano e (x, y) ∈ D.

D

L(x,y)

δ

Figura 10.43:

Se f (x, y) é a densidade em cada ponto de D, o momento de inércia dalâmina em relação à reta L é:

I L = D

δ 2(x, y) f (x, y) dxdy

Em particular, se L é o eixo dos x:




I x =

D

y2 f (x, y) dxdy

Se L é o eixo dos y:

I y =

Dx2 f (x, y) dxdy

O momento de inércia polar em relação à origem é:

I 0 = I x + I y =

D

(x2 + y2) f (x, y) dxdy

O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é sua capacidadede resistir à aceleração angular em torno desse eixo.

Exemplos 10.9.

[1] Determine o momento de inércia polar da região limitada pelas curvasy = ex, x = 1, y = 0 e x = 0, se a densidade em cada ponto é f (x, y) = x y.

I x =

D

xy3 dxdy =

10

ex

0

x y3 dy

dx =

1

64(3 e4 + 1),

I y =

D

yx3 dxdy =

10

ex

0

y x3 dy

dx =

1

16(e2 + 3);

logo, o momento de inércia polar é:

I 0 = I x + I y = 1

64(3 e4 + 4 e2 + 13).

[2] Uma lâmina fina com densidade constante k é limitada por x2 + y2 = a2

e x2 + y2 = b2, (0 < a < b). Calcule o momento de inércia polar da lâmina.

Usando coordenadas polares, a nova região é definida por: a ≤ r ≤ b e0 ≤ θ ≤ 2 π e o momento de inércia polar é:

I 0

= k 2π

0 b

a

r3 drdθ = k (b4 − a4)π

2 .




10.13 Exercícios

1. Determine o volume dos seguintes sólidos:

(a) Limitado superiormente por z = x2 + y2 e inferiormente pela re-gião limitada por y = x2 e x = y2.

(b) Limitado superiormente por z = 3 x2 + y2 e inferiormente pelaregião limitada por y = x e x = y2 − y.

(c) Limitado por y2 + z 2 = 4 , x = 2 y, x = 0 e z = 0, no primeirooctante.

(d) Limitado por z = x2 + y2 + 4 , x = 0, y = 0, z = 0 e x + y = 1.

(e) Limitado por x2 + y2 = 1 , y = z , x = 0 e z = 0, no primeirooctante.

2. Calcule a área da região limitada pelo eixo dos y e as curvas y = sen(x)

e y = cos(x).3. Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:

(a) y = x2, y = 2x + 54

(b) y = −x2 − 4, y = −8

(c) y = 5 − x2, y = x + 3

(d) x = y2, y = x + 3, y =−2, y = 3

(e) y3 = x, y = x

(f) y = −x2 − 1, y = −2x − 4

(g) x = y2 + 1, y + x = 7

(h) y = 4 − x2, y = x2 − 14

4. Determine o centro de massa da lâmina plana R, no plano xy e densi-dade dada f :

(a) R é limitado por x2 + y2 =1 no primeiro quadrante ef (x, y) = x y

(b) R é limitado por y = x ey = x2 e f (x, y) = x2 + y2

5. Definimos o valor médio de f sobre a região D por:

V M = 1

A

D f (x, y) dxdy,

onde A é a área de D. Calcule V M se:




(a) f (x, y) = x2, e D do retângulo de vértices (0, 0), (4, 0), (4, 2) e (0, 2)

(b) f (x, y) = x2 y2 e D do retângulo de vértices (0, 0), (4, 0), (4, 2) e(0, 2)

(c) f (x, y) = x2 y2 e D do triângulo de vértices (0, 0), (4, 0), e (0, 2)

(d) f (x, y) = x2 y2 e D do triângulo de vértices (−1, 0), (1, 0), e (0, 1)

Mudanças de Variáveis

1. Utilizando a mudança de variáveis: x = u + v e y = u − v, calcule:

10

10

x2 + y2

dx

dy.

2. Utilizando a mudança de variáveis: x + y = u e x − y = v, calcule:

D

x + y2 (x − y)2 dxdy,

onde D é limitado pelo quadrado de vértices (1, 0), (2, 1) e (0, 1).

3. Utilizando a mudança de variáveis: u = x − y e v = x + y, calcule:

D

x2 − y2

sen2(x + y) dxdy,

onde D = {(x, y)/ − π ≤ x + y ≤ π, −π ≤ x − y ≤ π}.

4. Utilizando coordenadas polares, calcule as seguintes integrais duplas:

(a)

D

ex2+y2 dxdy, sendo D = {(x, y)/x2 + y2 ≤ 1}

(b)

D

ln(x2 + y2) dxdy, sendo D = {(x, y)/x ≥ 0, y ≥ 0, a2 ≤ x2 +

y2 ≤ b2}

(c)

D

sen(

x2 + y2)

x2 + y2

dxdy, sendo D limitadas por x2 + y2 = π2

4 e

x2 + y2 = π2

5. Calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas: x = 4 − y2 ex + 2 y − 4 = 0.




6. Utilizando coordenadas polares, calcule a área da região limitada pe-las curvas:

(a) r = 1 e r = 2cos(θ)√ 3

(fora a circunferência r = 1).

(b) r = 2 (1 + cos(θ)) e r = 2 cos(θ).

(c) r = 2 (1−

cos(θ)) e r = 2.

7. Calcule

D

sen(x2 + y2) dxdy, sendo D o disco unitário centrado na

origem.

8. Sendo dadas a parábola y2 = x+1 e a reta x+y = 1, calcule o momentode inércia em relação a cada eixo e o momento de inércia polar.

9. Calcule

D

(x2 − y2) dxdy, onde D é a região limitada por x2 + y2 ≤ 1,

y ≥ 0 e x2 + y2 = 2.

10. Calcule

D

y + 1

x2 + (y + 1)2 dxdy, onde D é a região limitada por x2 +

y2 ≤ 1 e y ≥ 0.

11. Calcule

D

y ln(x + y)

x2 dxdy, onde D é a região limitada por x+y = 1,

x + y = 2, y = x e y = 0.

12. Determine a área da região limitada por x2 + 3 y2 − 2 x − 6 y + 1 = 0.

13. Determine a área da região limitada por x y = 4, x y = 8, x y3 = 5 e

x y

3

= 15.14. Calcule

D

cos(x + 2 y) sen(x − y) dxdy, onde D é a região limitada

por y = x, x + 2 y = 2 e y = 0.

15. Calcule

D

x + y

x − 2 y dxdy, onde D é a região limitada por y = 0,

2 y = x e y = 1 − x.

16. Determine o momento de inércia polar da região limitada por x2−y2 =1, x2 − y2 = 9, x y = 2 e x y = 4.



Capítulo 11INTEGRAÇÃO TRIPLA

11.1 Integração Tripla sobre Paralelepípedos

Este capítulo é totalmente análogo ao anterior.

Sejam R ⊂ R3 o paralelepípedo retangular definido por:

R = [a, b] × [c, d] × [ p, q ]

e a função limitada w = f (x,y,z ) definida em R.

Consideremos as seguintes partições de ordem n dos intervalos: [a, b], [c, d]

e [ p, q ]:

a = x0 < x1 < ...... . . . . . . < xn = b

c = y0 < y1 < ...... . . . . . . < yn = d

p = z 0 < z 1 < ...... . . . . . . < z n = q.

Subdividamos R em n3 sub-paralelepípedos:

Rijk = [xi, xi+1] × [y j, y j+1] × [z k, z k+1].

349



350 CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO TRIPLA

b

c d

a

p

q

R

Figura 11.1: Subdivisão de R.

Denotemos por:

∆x = b − an , ∆y = d − cn , ∆z = q − pn .

Escolhamos cijk ∈ Rijk e formemos a seguinte soma de Riemann:

S n =n−1i=0

n−1 j=0

n−1k=0

f (cijk )∆x ∆y ∆z.

Definição 11.1. Se limn→+∞

S n existe e é independente da escolha dos cijk ∈ Rijk

e da partição, denominamos este limite de integral tripla de f sobre R e a

denotamos por:

limn→+∞

S n =

R

f (x,y,z ) dxdydz

Em tal caso f é dita integrável sobre R.

Teorema 11.1. Se f é contínua em R, então f é integrável sobre R.

Para a prova do teorema veja [EL].



11.1. INTEGRAÇÃO TRIPLA SOBRE PARALELEPÍPEDOS 351

Observação 11.1.

No capítulo anterior vimos que se:

f : [a, b] × [c, d] −→ R,

f (x, y) ≥ 0 e contínua para todo (x, y) ∈ [a, b] × [c, d], a integral dupla:

R

f (x, y) dxdy

representa o volume do sólido:

W = {(x,y,z ) ∈ R3 / (x, y) ∈ [a, b] × [c, d], 0 ≤ z ≤ f (x, y)}.

Para integrais triplas esta interpretação geométrica não é conveniente, poiso gráfico de f é um subconjunto de R4 o qual não é possível visualizar.

Mas se f (x,y,z ) = 1 para todo (x,y,z ) ∈ R:

R

dxdydz

representa o volume de R (veja o exemplo 1). Isto se justifica, pois a somade Riemann correspondente:

S n =n−1i=0

n−1 j=0

n−1k=0

∆x ∆y ∆z

é a soma dos volumes dos n3 sub-paralelepípedos formado pela partição;então:

limn→+∞ S n

é exatamente o volume de R.

A integral tripla tem propriedades análogas às das integrais duplas.

Proposição 11.1. Seja x = (x,y,z ) ∈ R.

1. Linearidade da integral tripla. Se f e g são funções integráveis sobreR, então para todo α, β ∈ R, α f + β g é integrável sobre R, e:

R

α f (x

) + β g(x

)

dxdydz = α

Rf (x

) dxdydz + β

Rg(x

) dxdydz

onde x = (x,y,z ).




2. Se f e g são integráveis sobre R e g(x) ≤ f (x), para todo x ∈ R, então:

R

g(x) dxdydz ≤

R

f (x) dxdydz

3. Se R é subdividido em k paralelepípedos e f é integrável sobre cada

Ri, i = 1,...,k então f é integrável sobre R e,

R

f (x) dxdydz =k

i=1

Ri

f (x) dxdydz

A prova segue diretamente das definições.

Observações 11.1.

1. A noção de conteúdo nulo poder ser estendida ao paralelepípedo R deforma completamente análoga ao caso do retângulo; mudando sub-retângulos por sub-paralelepípedos e área por volume.

2. Como antes, o teorema é válido se o conjunto de descontinuidades def é de conteúdo nulo.

3. Para integrais triplas continua valendo o teorema de Fubini. Agoratemos 3 ! = 6 possíveis integrais iteradas.

Teorema 11.2. (Fubini) Seja f : R −→ R contínua em R. Então:

R

f (x,y,z ) dxdydz =

b

a

d

c

q

p

f (x,y,z ) dz

dy

dx

=

q

p

d

c

b

a

f (x,y,z ) dx

dy

dz

=

d

c

b

a

q

p

f (x,y,z ) dz

dx

dy

= b

a

q

p

d

c f (x,y,z ) dy

dz

dx

= ..................



11.2. INTEGRAIS TRIPLAS SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS 353

A prova do teorema de Fubini para integrais triplas é completamente aná-loga à das integrais duplas, que pode ser vista no apêndice.

Exemplos 11.1.

[1] Calcule R

dxdydz , onde R = [a, b]

×[c, d]

×[ p, q ].

R

dxdydz =

b

a

q

p

d

c

dy

dz

dx = (d − c) (q − p) (b − a),

que é o volume de R.

[2] Calcule

R

xyz dx dy dz , onde R = [0, 1] × [1, 2] × [0, 3].

R

xyzdxdydz =

21

10

30

xyz dz

dx

dy =

9

2

21

10

x y d x

dy =

27

8 .

[3] Calcule

R

sen(x + y + z ) dxdydz , onde R = [0, π] × [0, π] × [0, π].

R

sen(x + y + z ) dxdydz =

π

0

π

0

π

0

sen(x + y + z ) dz

dx

dy = −8.

[4] Calcule

R

(x2 + y2 + z 2 + x y z ) dxdydz , onde R = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1].

R

(x2

+ y2

+ z 2

+ x y z ) dxdydz = 10

10

10

(x2

+ y2

+ z 2

+ xyz ) dz

dx

dy

=

10

10

(x2 + y2 + 1

3 +

1

2 x y)) dx

dy

=

10

(2

3 +

y

4 + y2) dy =

9

8.

11.2 Integrais Triplas sobre Regiões mais Gerais

11.2.1 7.2.1 Regiões Elementares no Espaço

De forma análoga ao estudado no capítulo das integrais duplas definidasem regiões mais gerais. Consideremos W ⊂ R3.




11.2.2 Regiões de tipo I

A região W é do tipo I se pode ser descrita por:

W ={

(x,y,z )∈R3/(x, y)

∈D, f 1(x, y)

≤z ≤

f 2(x, y)}

onde D é a região elementar do plano, projeção de W no plano xy e f 1, f 2 :D −→ R contínuas, sendo f 1 ≤ f 2.

D

W

z=f

z=f

2

1

Figura 11.2: Região de tipo I.

11.2.3 Regiões de tipo II

W é do tipo II se pode ser descrita por:

W = {(x,y,z ) ∈ R3/(x, z ) ∈ D, g1(x, z ) ≤ y ≤ g2(x, z )}

onde D é a região elementar do plano, projeção de W no plano xz e g1, g2 :D −→ R contínuas, sendo g1 ≤ g2.



11.2. INTEGRAIS TRIPLAS SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS 355

W

y=gy=g

2

1D


11.2.4 Regiões de tipo III

W é do tipo III se pode ser descrita por:

W = {(x,y,z ) ∈ R3/(y, z ) ∈ D, h1(y, z ) ≤ x ≤ h2(y, z )}onde D é a região elementar do plano, projeção de W no plano yz e h1, h2 :D −→ R contínuas, sendo h1 ≤ h2.

W

D

x=hx=h 12

Figura 11.4: Região de tipo III.

11.2.5 Região de tipo IV

A região W é de tipo IV se é do tipo I, ou tipo II, ou tipo III.como por exemplo região limitada por uma esfera, ou por um elipsóide.




Observações 11.2.

1. Em qualquer dos casos anteriores, W é chamada região elementar doespaço.

2. As regiões W são conjuntos fechados e limitados em R

3

.

Alguns exemplos de regiões elementares:

Figura 11.5: Região elementar.

De tipo III:


Em geral:



11.3. EXTENSÃO DA INTEGRAL TRIPLA 357


11.3 Extensão da Integral Tripla

Seja W uma região elementar em R3 tal que W

⊂ R, R um paralelepípedo

como antes. Se f : W −→ R é uma função contínua, definamos f ∗ : R −→ Rpor

f ∗(x,y,z ) =

f (x,y,z ) se (x,y,z ) ∈ W

0 se (x,y,z ) ∈ R − W.

Se ∂W tem conteúdo nulo, então, f ∗ é integrável sobre R e definimos a inte-gral tripla de f sobre W como:

W

f (x,y,z ) dxdydz = Rf ∗(x,y,z ) dxdydz.

Em tal caso dizemos que f é integrável sobre W . A integral não depende daescolha do paralelepípedo R.

Proposição 11.2. Seja f : W ⊂ R3 −→ R contínua.

1. Se W é do tipo I:

W

f (x,y,z ) dxdydz =

D

f 2(x,y)

f 1(x,y)

f (x,y,z ) dz

dxdy

2. Se W é do tipo II:




W

f (x,y,z ) dxdydz =

D

g2(x,z)

g1(x,z)

f (x,y,z ) dy

dxdz

3. Se W é do tipo III:

W

f (x,y,z ) dxdydz =

D

h2(y,z)

h1(y,z)

f (x,y,z ) dx

dy dz

Observação 11.2.

Observe que em todos os casos anteriores D é uma região elementar doplano e, portanto, pode ser do tipo I, II ou III; dependendo do tipo continu-amos com a integral dupla.

Volume : Em particular, se f (x,y,z ) = 1 para todo (x,y,z ) ∈ W , então:

W

dxdydz = V (W )

onde V (W ) é o volume de W .

Exemplos 11.2.

[1] Calcule I =

20

4−x2

0

x

0

sen(2 z )

4 − z dy dz dx.

Note que:

I =

D

x

0

sen(2 z )

4 − z dy

dz dx,

onde:

D = {(x, z ) / 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 4 − x2}.




0.5 1.0 1.5 2.0

1

2

3

4

Figura 11.8:

Calculamos primeiro:

x

0

sen(2 z )4 − z

dy = xsen(2 z )4 − z

;

a seguir, precisamos calcular:

I =

D

xsen(2 z )

4 − z dz dx,

onde consideramos D = {(x, z ) / 0 ≤ x ≤ √ 4 − z, 0 ≤ z ≤ 4} como umaregião de tipo III; logo,

I =

40

√ 4−z

0

xsen(2 z )

4 − z dxdz =

40

sin(2 z )

2 dz =

1 − cos(8)

4 .

[2] Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z + x2 = 9 einferiormente z + y = 4, tal que y = 0 e y = 4.

O sólido W é limitado superiormente por z = 9 − x2 e inferiormente porz = 4 − y. O sólido W é do tipo I.




x

y

z


W = {(x,y,z ) ∈ R3/(x, y) ∈ D, 4 − y ≤ z ≤ 9 − x2},

Determinação de D: A região D é a projeção de W no plano xy ; para de-terminar D basta eliminarmos z das equações ou, equivalentemente achar ainterseção de ambas as superfícies:

z = 9 − x2

z = 4 − y;

obtemos x2 = y + 5 e D = {(x, y) ∈ R2/ − √ y + 5 ≤ x ≤ √

y + 5, 0 ≤ y ≤ 4}.

3 2 1 1 2 3

4

2

2

4


Logo, V (W ) =

W

dxdydz =

40

√ y+5

−√ y+5

9−x2

4−y

dz

dx

dy; então:




V (W ) =

40

√ y+5

−√ y+5

5 − x2 + y

dx

dy =

40

5x − x3

3 + x y

√ y+5

−√ y+5

dy

=

4

3 40 (y + 5)

3

2 dy =

8

15 (y + 5)

5

24

0

= 648

5 − 40

√ 5

3 u.v.

[3] Calcule

W

xdxdydz onde W é limitado por z = x2 + y2, z = 2, no

primeiro octante.

Se considerarmos W como região de tipo II, W é definida por 0 ≤ y ≤√ z − x2 e D é a projeção de W no plano xz ; fazendo y = 0 obtemos a pa-

rábola z = x2 e z = 2; logo, D é definida por 0 ≤ x ≤ √ z e 0 ≤ z ≤ 2,

logo:

W = {(x,y,z ) / 0 ≤ x ≤ √ z, 0 ≤ y ≤

√ z − x2, 0 ≤ z ≤ 2}.

0

1

2

3x

0

12

3y

0

1

2

3

4

z

0

1

2

0

12

1

2

1

1

2

1

Figura 11.11: O sólido e a região do exemplo [2].




W

xdxdydz =

20

√ z0

√ z−x2

0

x dy

dx

dz

=

2

0

√ z

0 x√

z − x2

dx

dz

= 13

2

0

z 32 dz

= 8

√ 2

15 .

Se consideramos W como região I:

W = {(x,y,z ) / 0 ≤ x ≤√

2, 0 ≤ y ≤√

2 − x2, x2 + y2 ≤ z ≤ 2}.

1

1

Figura 11.12: A região do exemplo [2], no plano xy.

√ 20

√ 2−x2

0

√ 2x2+y2

x dz

dy

dx =

8√

2

15 .




11.4 Exercícios

1. Calcule as seguintes integrais:

(a) 3

0 2

0 1

0

(x2 + y2 + z 2) dxdydz

(b)

1

−1

1

−1

1

−1x2 y2 z 2 dxdydz

(c) 10

x

0

xy

0

xdzdydx

(d) 40

π

0

1−x

0

x2 sen(y) dzdxdy

(e) π

2

0

y

0

1y

0

sen(y) dzdxdy

(f) 1−2

x

0

y

0

x2 z 4 dzdydx

2. Considere o sólido limitado por x + y + z = 3, x + y − z = 1 e os planoscoordenados. Calcule o volume do sólido, fazendo:

(a)

dz

dy

dx

(b) dxdydz

(c)

dy

dx

dz

(d)

dx

dz

dy

3. Calcule

W

xdxdydz se W é o paralelepípedo limitado pelos pla-

nos x = 2, y = 3 e z = 1.

4. Calcule

W

z 2 dxdydz se W é o sólido limitado pelo cilindro x2 +

y2 = 1 e pelos planos z = 0 e z = 4.




5. Calcule

W

dxdydz

(x + y + z + 1)3 se W é o sólido limitado pelo plano

x + y + z = 1 e pelos planos coordenados.

6. Calcule

W

(x3+y3+z 3) dxdydz se W é o sólido limitado pela esfera:

(x − a)2

+ (y − a)2

+ (z − a)2

= a2

.

7. Calcule

W

z

x2 + y2 dxdydz se W é o sólido limitado pelo cilin-

dro x2 + y2 = 2 x e os planos y = 0, z = 0 e z = a.

8. Determine o volume do sólido limitado pelos planos 4 y + 2 x + z = 8,x = 0, y = 0 e z = 0.

9. Determine o volume do sólido limitado por z = 9−x2, z = 5−y, y = 0e y = 5.



Capítulo 12

MUDANÇA DE COORDENADAS

12.1 Introdução

Sejam W ∗ uma região elementar no espaço e x, y e z as seguintes funções:

x, y, z : W ∗ −→ R,

onde x = x(u,v,w), y = y(u,v,w) e z = z (u,v,w) são funções contínuase com derivadas parciais contínuas num paralelepípedo aberto R tal queW ∗ ⊂ R, Estas três funções determinam uma transformação do espaço uvwno espaço xyz . De fato:

T : W ∗ −→ R3,

onde T (u,v,w) = (x(u,v,w), y(u,v,w), z (u,v,w)).

A transformação T é também denotada por:

x = x(u,v,w)

y = y(u,v,w)

z = z (u,v,w), (u,v,w) ∈ W ∗

Denotemos a imagem de W ∗ por T como W = T (W ∗), contida no espaçoxyz .

Definição 12.1.

1. T é injetiva em W ∗ se

T ((u1, v1, w1)) = T ((u2, v2, w2))

365




para todos (u1, v1, w1), (u2, v2, w2) ∈ W ∗ implica em u1 = u2, v1 = v2 ew1 = w2.

2. O determinante Jacobiano de T é denotado e definido por:

∂ (x,y,z )

∂ (u,v,w) = det

∂x

∂u

∂x

∂v

∂x

∂w

∂y

∂u

∂y

∂v

∂y

∂w

∂z

∂u

∂z

∂v

∂z

∂w

,

onde as derivadas parciais são calculadas no ponto (u,v,w) ∈ W ∗.

Teorema 12.1. Sejam W e W ∗ regiões elementares no espaço, T uma trans-formação de classe C 1 e injetiva em W ∗. Suponha que T (W ∗) = W . Entãopara toda função integrável f sobre W temos:

W

f (x,y,z ) dxdydz =

W ∗

f (u,v,w)

∂ (x,y,z )

∂ (u,v,w)

dudvdw

onde f (u,v,w) = f (x(u,v,w), y(u,v,w), z (u,v,w)) e:

∂ (x,y,z )

∂ (u,v,w)

é o valor absoluto do determinante Jacobiano.

Observação 12.1. Novamente, é possível mostrar que o teorema anterior éainda válido se T não é injetiva num subconjunto de W ∗ que seja de con-teúdo nulo.



12.2. COORDENADAS CILÍNDRICAS 367

12.2 Coordenadas Cilíndricas

Se P = (x,y,z ) é um ponto no espaço xyz , suas coordenadas cilíndricas são(r,θ,z ), onde (r, θ) são as coordenadas polares da projeção de P no plano xye são definidas por:

x = rcos(θ),y = rsen(θ),

z = z,

ou, explicitamante r =

x2 + y2, z = z e:

θ =

arctgy

x

se x, y > 0,

π + arctgy

x

se x < 0,

2π + arctgy

x se x > 0, y < 0.

Se x = 0, então θ = π

2 quando y > 0 e θ =

3π

2 quando y < 0. Se x = y = 0, θ

não é definido.

(x,y,z)

rθ

(x,y,0)

Figura 12.1: Coordenadas cilíndricas.

Esta transformação é injetiva no seguinte subconjunto:

{(r,θ,z )/r > 0, θ0 < θ < θ0 + 2π, z ∈ (−∞, +∞)}e o jacobiano da transformação é:




∂ (x,y,z )

∂ (r,θ,z ) = r

Exemplos 12.1.

[1] O cilindro circular reto C de raio a é dado por:

C = {(x,y,z ) ∈ R3/ x2 + y2 = a2, z ∈ (−∞, +∞)}.

Em coordenadas cilíndricas x2 + y2 = r2; logo r = a, então:

C = {(r,θ,z ) ∈ R3/ r = a, 0 ≤ θ ≤ 2 π, z ∈ (−∞, +∞)}.

[2] O cone com base num disco D de raio 1.5 centrado na origem e altura 3.

Em coordenadas cilíndricas:

z = z, 0 ≤ r ≤ 3

2, 0 ≤ θ ≤ 2 π

logo, o cone em coordenadas cilíndricas:

S = {r,θ,z ) ∈ R3/ 0 ≤ r ≤ 3

2, 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 < z < 3}.

0

1

2

3

Figura 12.2: O cone do exemplo [2].

Do teorema anterior:




Corolário 12.2. Seja f (r,θ,z ) = f (rcos(θ),rsen(θ), z ); então:

W

f (x,y,z ) dxdydz =

W ∗

r f (r,θ,z ) dr dz dθ

Esta igualdade ainda é válida se

W ∗ = {(r,θ,z )/r ≥ 0, θ0 ≤ θ ≤ θ0 + 2π, z ∈ (−∞, +∞)}.

Em particular, se f (x,y,z ) = 1 para todo (x,y,z, ) ∈ W , então:

V (W ) =

W ∗

rdzdrdθ.

Exemplos 12.2.

[1] Determine o volume do sólido limitado por x2 + y2 = a2

, z = 0

e z = b

;a, b = 0.

O sólido W é um cilindro centrado na origem, de raio a e altura z onde0 ≤ z ≤ b. Usando coordenadas cilíndricas obtemos a nova região W ∗

definida por:

W ∗ = {(r,θ,z ) / 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ z ≤ b} = [0, a] × [0, 2π] × [0, b].

V (W ) = W

rdzdrdθ = b

0

2π

0

a

0

r dr dθ dz = π a2 b u.v.

[2] Calcule

W

xdxdydz , onde W é limitado superiormente por z = 4 e

inferormente por z = x2 + y2, tal que x = 0 e y = 0.

O sólido W é definido por:

W = {(x,y,z )/(x, y) ∈ D, x2 + y2 ≤ z ≤ 4}.

Para determinar D resolvemos o sistema:z = x2 + y2

z = 4=⇒ x2 + y2 = 4.




Usando coordenadas cilíndricas obtemos a nova região W ∗ definida por:

W ∗ = {(r,θ,z ) / r2 ≤ z ≤ 4, 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π

2};

D é a projeção do parabolóide no plano xy, no primeiro quadrante:

0

1

2

3

0

1

2

3

0

2

4

1 2

2

1

1 2

2

1

Figura 12.3: O sólido e a região do exemplo [2], respectivamente.

W

xdxdydz =

W ∗

r2 cos(θ) dzdrdθ

=

π2

0

20

4r2

r2 cos(θ)dz

dr

dθ =

64

15.

[3] Calcule

W x2 + y2 dxdydz , onde W é o sólido limitado por

x2

+ y2

= 1, z = 1 − x2

− y2

abaixo do plano z = 4.

Figura 12.4: Vistas do sólido do exemplo [3].




W é determinado por 1 − x2 − y2 ≤ z ≤ 4. A projeção no plano xy é limitadapor x2 + y2 ≤ 1.

1-1

-1

1

1-1

-1

1


Usando coordenadas cilíndricas obtemos a nova região W ∗ determinadapor:

W ∗ = {(r,θ,z ) / 1 − r2 ≤ z ≤ 4, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2 π};

logo:

W

x2 + y2 dxdydz =

2π

0

10

41−r2

r2 dz

dr

dθ =

12 π

5 .

[4] Se W é limitado por z =

8 − x2 − y2 e z =

x2 + y2, calcule:

W

zdxdydz.





W é determinado por:

W =

{(x,y,z ) / (x, y)

∈D, x2 + y2

≤z

≤ 8 −x2

−y2

}.

Onde D, no plano xy, é limitada por x2 + y2 ≤ 4. Usando coordenadascilíndricas obtemos a nova região W ∗ determinada por:

W ∗ = {(r,θ,z ) / 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2 π, r ≤ z ≤√

8 − r2};

logo:

W

zdxdydz =

20

2π

0

√ 8−r2

r

r z d z

dθ

dr = 8 π.

[5] Determine o volume do sólido limitado por uma esfera de raio a.

Pela simetria do sólido calculamos o volume da calota superior da esfera emultiplicamos o resultado por 2. O sólido é definido por:

W {(x,y,z ) / (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤

a2 − x2 − y2},

onde D, no plano xy, é limitada por x2 + y2 = a2. Usando coordenadascilíndricas temos que o novo sólido é definido por:

W ∗ = {(r,θ,z ) / 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ z ≤ √ a2 − r2};

logo:




V (W ) = 2

W

dxdydz = 2

a

0

2π

0

√ a2−r2

0

r dz

dθ

dr =

4

3π a3u.v.

[6] Determine o volume do sólido limitado por:

z =

1 − x2 − y2 e z + 1 =

x2 + y2.


W é definido por:

W = {(x,y,z ) / (x, y) ∈ D,

x2 + y2 − 1 ≤ z ≤ 1 − x2 − y2},

onde D, no plano xy é limitada por x2 + y2 = 1. Usando coordenadas cilín-dricas temos que o novo sólido é definido por:

W ∗ = {(r,θ,z ) / 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2 π, r − 1 ≤ z ≤√

1 − r2};

logo:

V (W ) =

W dxdydz = 2 10

2π

0

√ 1−r2

r−1 r dz

dθ

dr = πu.v.

[7] Determine o volume do sólido limitado por z = 9−x2−y2 e z = 1+x2+y2.





W é definido por:

W = {(x,y,z ) / (x, y) ∈ D, 1 + x2 + y2 ≤ z ≤ 9 − x2 − y2},

onde D, no plano xy é limitada por x2 + y2 = 4. Usando coordenadas cilín-dricas temos que o novo sólido é definido por:

W ∗ = {(r,θ,z ) / 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2 π, 1 + r2 ≤ z ≤ 9 − r2};

logo:

V (W ) = W

dxdydz = 2π

0 2

0 9−r2

1+r2r dz drdθ = 16 πu.v.



12.3. COORDENADAS ESFÉRICAS 375

12.3 Coordenadas Esféricas

Seja P = (x,y,z ) um ponto no espaço xyz . Suas coordenadas esféricas são(ρ,θ,φ) onde ρ é a distância do ponto P à origem, θ é o ângulo formado peloeixo positivo dos x e o segmento de reta que liga (0, 0, 0) a (x,y, 0) e φ é oângulo formado pelo eixo positivo dos z e o segmento de reta que liga P à

origem:

x = ρcos(θ) sen(φ)

y = ρsen(θ) sen(φ)

z = ρcos(φ),

onde ρ =

x2 + y2 + z 2 > 0, 0 ≤ θ < 2 π e 0 ≤ φ ≤ π, o que define umaregião no espaço ρθφ.

(x,y,z)

(x,y,0)

θ

φ

Figura 12.9: Coordenadas esféricas.

O jacobiano da transformação é:

∂ (x,y,z )

∂ (ρ,θ,φ) = −ρ2 sen(φ)

Exemplos 12.3.

[1] Em coordenadas esféricas uma esfera de raio a, centrada na origem é:

S = {(ρ,φ,θ) ∈ R3/ρ = a, 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2 π}.




[2] Os cones circulares com eixos coincidentes com o eixo dos z são caracte-rizados por:

S = {(ρ,φ,θ) ∈ R3 / ρ ∈ [0, +∞), φ = c0, 0 ≤ θ ≤ 2 π},

onde c0 ∈ R.

Casos particulares:

Se c0 = 0 e φ = 0, S representa o semi-eixo positivo dos z .

Se c0 = π e φ = π, S representa o semi-eixo negativo dos z .

Se c0 = π

2 e φ =

π

2, S representa o plano xy.

Se 0 < c0 < π

2 e φ = c0, o cone "abre"para cima.

Se π

2 < c0 < π e φ = c0, o cone "abre"para baixo.

[3] O sólido limitado por x2 + y2 + z 2

≥1 e x2 + y2 + z 2

≤4 em coordenadas

esféricas é dado por:

W = {(ρ,φ,θ) ∈ R3 / ρ ∈ [1, 2], 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2 π}.

2

1

0

1

2

2 1 0 1 2

2

1

0

1

2


Do teorema anterior:

Corolário 12.3. Seja f (ρ,θ,φ) = f (ρcos(θ)sen(φ), ρsen(θ)sen(φ), ρcos(φ)), en-tão:

W

f (x,y,z ) dxdydz =

W ∗

ρ2sen(φ) f (ρ,θ,φ) dρdθdφ




Esta igualdade ainda é válida se

W ∗ = {(ρ,θ,φ) / ρ ∈ [0, +∞), 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ φ ≤ π}.

Em particular, se f (x,y,z ) = 1 para todo (x,y,z, ) ∈ W , então:

V (W ) =

W ∗ρ2sen(φ) dρdθdφ

Exemplos 12.4.

[1] Calcule o volume do sólido limitado por uma esfera de raio a centradana origem.

O sólido é definido por x2 + y2 + z 2 ≤ a2. Utilizando coordenadas esféricas:

W ∗ = {(ρ,φ,θ) / 0 ≤ ρ ≤ a, 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2 π} = [0, a] × [0, π] × [0, 2π]

W

dxdydz =

a

0

π

0

2π

0

ρ2sen(φ) dθ

dφ

dρ

= 2π

a

0

π

0

ρ2sen(φ) dφ

dρ

= 2

3πa3

π

0

sen(φ) dπ

= 4

3πa3u.v.

[2] Se W é o sólido limitado por x2 + y2 + z 2 = 1, calcule: W

e√

(x2+y2+z2)3dxdydz.

Usando coordenadas esféricas temos:

W ∗ = {(ρ,φ,θ) / 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ φ ≤ π}.

Por outro lado e√

(x2+y2+z2)3 = eρ3




W

e(x2+y2+z2)32 dxdydz =

10

π

0

2π

0

ρ2 eρ3 sen(φ) dθ

dφ

dρ

= 2π

10

π

0 ρ2eρ3sen(φ)

dφ

dρ

= 4π

1

0

ρ2eρ3 dρ

= 4

3π(e − 1).

[3] Se W é o sólido limitado inferiormente por z =

x2 + y2 e superior-

mente por x2 + y2 + (z − 1

2)2 =

1

4, calcule

W

x2 + y2 + z 2dxdydz.

0.5

0.0

0.5

0.5

0.0

0.5

0.0

0.5

1.0


A esfera x2 + y2 + (z − 1

2)2 =

1

4, em coordenadas esféricas, tem como equa-

ção:

ρ = cos(φ)

e o cone:

φ = π

4;




então:

W ∗ = {(ρ,φ,θ) / 0 ≤ ρ ≤ cos(φ), 0 ≤ φ ≤ π

4, 0 ≤ θ ≤ 2 π}

Logo:

W

x2 + y2 + z 2dxdydz = π40

cos(φ)

0

2π

0ρ3 sen(φ) dθ

dρ

dφ

= 2π

π4

0

cos(φ)

0

ρ3 sen(φ) dρ

dφ

= π

2

π4

0

cos4(φ) sen(φ) dφ

= π

10(1 −

√ 2

8 ).

[4] Calcule W

e(x2+y2+z2)32 dxdydz onde W é o sólido limitado pela esfera

centrada na origem de raio 4 e os cones z =

3(x2 + y2) e z =

x2 + y2

3 .

2

0

2

2

0

2

0

1

2


Usando coordenadas esféricas a equação da esfera x2 + y2 + z 2 = 16 é ρ = 4

e as dos cones z =

3(x2 + y2) e z =

x2 + y2

3 são, φ = π

6 e φ = π

3,

respectivamente.




A região no espaço ρθφ é definida por:

W ∗ = {(ρ,φ,θ) / 0 ≤ ρ ≤ 4, 0 ≤ θ ≤ 2π, π

6 ≤ φ ≤ π

3}

Logo:

W

e(x2+y2+z2) 32 dxdydz =

2π

0

π3

π6

4

0

ρ2 eρ3 sen(φ) dρ

dφ

dθ

= π

3 (√

3 − 1)(e64 − 1).




12.4 Exercícios

1. Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes inte-grais:

(a) 2−2 √ 4−x2

−√ 4−x2

4x2+y2

xdzdydx.

(b) 20

√ 4−x2

0

√ 16−x2−y2

0

x2 + y2 dzdydx.

(c) 1−1

√ 1−x2

−√ 1−x2

1+√ 1−x2−y2

1

xdz dy dx.

(d) 10

√ 1−x2

0

√ 1−x2−y2

0

x2 + y2 + z 2 dzdydx.

2. Calcule:

W

xdxdydz , onde W é o sólido limitado pelos planos x =

0, y = 0, z = 2 e pelo parabolóide z = x2 + y2.

3. Calcule:

W

xdxdydz , onde W é o sólido limitado pelo parabolóide

x = 4 z 2 + 4 y2 e pelo plano x = 4.

4. Calcule: W

6 xydxdydz , onde W está acima da região plana limi-

tada pelas curvas y = √ x, y = 0, x = 1 e abaixo do plano z = 1 + x + y.

5. Calcule:

W

xydxdydz , onde W é o tetraedro de vértices (0, 0, 0),

(1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 3).

6. Determine o volume:

(a) do sólido limitado pelo cilindro x = y2 e pelos planos z = 0 e

x + z = 1.(b) do sólido limitado pelo cilindro y = cos(x) e pelos planos z = y,x = 0, x = π

2 e z = 0.




7. O valor médio de uma função w = f (x,y,z ) sobre a região W é defi-nido por:

V M = 1

vol(W )

W

f (x,y,z ) dxdydz.

Determine o valor médio da função f (x,y,z ) = x y z sobre o cubo comlados de comprimento L que está no primeiro octante com um vérticena origem e arestas paralelas aos eixos coordenados.

Calcule, usando coordenadas cilíndricas

8.

W

x2 + y2 dxdydz , onde W é a região contida dentro do cilindro

x2 + y2 = 16 e entre os planos z = −5 e z = 4.

9.

W

x2 + y2

dxdydz , onde W é o cone

x2 + y2 ≤ z ≤ 1.

10.

W

1 +

x2 + y2

dxdydz , onde:

W = {(x,y,z ) ∈ R3 /

x2 + y2 ≤ z ≤ 1}.

Calcule, usando coordenadas esféricas

11.

W

x2 + y2 + z 2 dxdydz , onde W é o sólido limitado por abaixo

pelo cone ρ = π

6 e acima pela esfera ρ = 2.

12.

W

x2 + y2 + z 2

dxdydz , onde:

W = {(x,y,z ) ∈ R3 / x2 + y2 + z 2 ≤ 1}.

13. W

dxdydz x2 + y2 + z 23

, onde W é o sólido limitado pelas esferas:

x2 + y2 + z 2 = a2 e x2 + y2 + z 2 = b2, (a < b).




14.

W

dxdydz

z 2 , onde W é o sólido limitado pelas superfícies

z =

x2 + y2, z =

1 − x2 − y2 e z =

4 − x2 − y2.

15. W x2 + y2 + z 2 dxdydz , onde:

W = {(x,y,z ) ∈ R3 / x2 + y2 + z 2 ≤ 2 z , 1 ≤ z }.

16. Calcule o volume do sólido limitado:

(a) Por z = 4 − x2 − y2 e pelo plano xy.

(b) Por z = x2 + y2 e x2 + y2 + z 2 = 2.

(c) Por z = x2 + 9 y2 e z = 18

−x2

−9 y2.

(d) Por z = 2 x2 + 2 y2 e z = 48 − x2 − y2.

17. Calcule

W

x2

a2 +

y2

b2 +

y2

c2

dxdydz , onde a, b, c > 0 e o sólido de-

finido por:

W = {(x,y,z ) ∈ R3 / x2

a2 +

y2

b2 +

y2

c2 ≤ 1}.

18. Calcule

W

x y z d x d y d z , onde W é formado pelo primeiro octante

do elipsóide do exercício anterior, (x, y, z ≥ 0).

19. Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule:

(a)

W

(x2 + y + z 2)3 dxdydz , onde W é o sólido limitado pelo ci-

lindro x2 + z 2 = 1 e pelos planos y = 0 e y = 1.

(b)

W (x2

+ y2

) dxdydz , onde W é o sólido limitado pela superfí-cie 2 z = x2 + y2 e o plano z = 2.




(c)

W

dxdydz , onde W é o sólido limitado por x2+y2+z 2 = 2 R z ,

x2 + y2 = z 2 e que contem o ponto (0, 0, R).

20. Utilizando coordenadas esféricas, calcule:

(a)

W (x2 + y2) dxdydz , onde:

W = {(x,y,z ) ∈ R3 / x2 + y2 + z 2 ≤ a2, z ≥ 0}.

(b)

W

1 + (x2 + y2 + z 2)3/2 dxdydz , onde:

W = {(x,y,z ) ∈ R3 / x2 + y2 + z 2 ≤ 1}.

(c)

W

x2

+ y2

+ z 2

dxdydz , onde:

W = {(x,y,z ) ∈ R3 / x2 + y2 + z 2 ≤ x}.

(d)

W

adxdydz , onde:

W = {(x,y,z ) ∈ R3 / x2 + y2 + z 2 ≤ 1, x ≥ 0}.

21. Calcule o volume do sólido limitado:

(a) pelo cilindro x2 + 4 y2 = 4 e pelos planos z = 0 z = x + 2

(b) pelo parabolóide z = x2 + y2 e pelo plano z = x

(c) pelos parabolóides z = 9 x2 + y2 e z = 18 − 9 x2 − y2

(d) pelas superfícies z =

x2 + y2 e z = x2 + y2

(e) pela superfície z = 4 − 4 x2 − y2 e o plano xy

(f) pelos cilindros x2

+ z 2

= 1 e y2

+ z 2

= 1.

(g) pelos planos z = 0, y = 0, z = x e pelo cilindro x2 + y2 = 9




22. Se W é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dadapor w = f (x,y,z ), a massa de W é definida por:

M W =

W

f (x,y,z ) dxdydz.

As coordenadas do centro de massa do sólido W são definidas por:

x =

W

x f (x,y,z ) dxdydz

M W ,

y =

W

y f (x,y,z ) dxdydz

M W

e:

z =

W

z f (x,y,z ) dxdydz

M W

(a) Calcule a massa de W = {(x,y,z ) ∈ R3 / x2 + y2 ≤ 9, 0 ≤ z ≤9 − x2 − y2} se a densidade é f (x,y,z ) = z

(b) Calcule o centro de massa do sólido limitado por z 2 = x y, x = 5,y = 5 e z = 0 se a densidade é f (x,y,z ) = 1

(c) Calcule o centro de massa do sólido limitado pela esfera x2 + y2 +z 2 = a2 e situado acima do plano z = 0, sabendo que a densidadeem cada ponto é proporcional á distância do ponto ao centro daesfera.

(d) Se a densidade num ponto de uma estrla esférica gaseosa é dadapor f = C e−(ρ/R)3 , onde C > 0, R é o raio da estrela e ρ é adistância do ponto ao centro da estrela. Calcule a massa da estrela

23. Se W é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dadapor w = f (x,y,z ), então os momentos de inércia em torno dos eixoscoordenados são definido por:




I x =

W

(y2 + z 2) f (x,y,z ) dxdydz,

I y =

W

(x2 + z 2) f (x,y,z ) dxdydz

e:

I z =

W

(x2 + y2) f (x,y,z ) dxdydz

Determine o momento de inércia de cada sólido em relação ao eixoindicado supondo que a densidade é K constante.

(a) W = {(x,y,z ) ∈ R3 / x2 + y2 ≤ a2, 0 ≤ z ≤ h} em relação ao eixodos x

(b) W = {(x,y,z ) ∈ R3 / a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2, 0 ≤ z ≤ h} em relação aoeixo dos z



Capítulo 13

APÊNDICE

13.1 Limite e Continuidade

Teorema 13.1. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função. Se o limite de f quandox aproxima-se de x0 existe, então ele é único.

Suponha que limx→x0

f (x) = L e limx→x0

f (x) = M . Então, para todo ε > 0 existe

δ > 0 tal que 0 < x− x0 < δ implica em |f (x) − L| < ε

2 e |f (x) − M | <

ε

2.

Como x0 ∈ A ∪ ∂A, podemos escolher x ∈ A tal que 0 < x− x0 < δ , o queacarretará:

|L − M | ≤ |L − f (x)| + |f (x) − M | < ε

2 +

ε

2 = ε.

Como ε é arbitrário, L = M .

13.2 DiferenciabilidadeTeorema 13.2. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função definida no conjuntoaberto A tal que existem todas as derivadas parciais em cada ponto de A ecada uma delas é contínua no ponto x0 ∈ A. Então f é diferenciável em x0.

Faremos a prova do teorema para n = 2. O caso geral é análogo. Sejamx0 = (x0, y0) e h = (h, k) tal que x0 + h ∈ A.Denotemos por M = f (x0 + h, y0 + k) − f (x0, y0); então:

M = (f (x0 + h, y0 + k)−

f (x0, y0 + k)) + (f (x0, y0 + k)−

f (x0, y0)).

Definamos a função g(t) = f (x0 + t h , y0+ k), t ∈ [0, 1]; pelo teorema do valormédio para funções de uma variável, existe θ1 ∈ (0, 1) tal que

387



388 CAPÍTULO 13. APÊNDICE

g(1) − g(0) = g ′(θ1),

ou equivalentemente:

f (x0 + h, y0 + k)

−f (x0, y0 + k) = h

∂f

∂x

(x0 + θ1 h, y0 + k).

Definamos a função h(t) = f (x0, y0 + t k), t ∈ [0, 1]; pelo teorema do valormédio para funções de uma variável, existe θ2 ∈ (0, 1) tal que

h(1) − h(0) = h′(θ2)

ou:

f (x0, y0 + k) − f (x0, y0) = k ∂f

∂y(x0, y0 + θ2 k).

Então M = h

∂f

∂x (x0 + θ1 h, y0 + k) + k

∂f

∂y (x0, y0 + θ2 k), ou:

f (x0 + h, y0 + k) − f (x0, y0) = h ∂f

∂x(x0 + θ1 h, y0 + k) + k

∂f

∂y(x0, y0 + θ2 k).

Denote por:

K = f (x0 + h, y0 + k) − f (x0, y0) − h ∂f

∂x(x0, y0) − k

∂f

∂y(x0, y0),

L = (∂f

∂x(x0 + θ1 h, y0 + k) − ∂f

∂x(x0, y0))

S = (∂f

∂y(x0, y0 + θ2 k) − ∂f

∂y(x0, y0)). Então

|K |√ h2 + k2

≤ |h|√ h2 + k2

|L| + |k|√

h2 + k2|S |.

0 ≤ |h|√ h2 + k2

≤ 1 e 0 ≤ |k|√ h2 + k2

≤ 1.

Pela continuidade das derivadas parciais no ponto x0 , segue que f é dife-

renciável no ponto x0.

Proposição 13.1. Se f é diferenciável no ponto x0, então f é contínua em x0.




(n = 2). O caso geral é análogo. Devemos provar, que para todo ε > 0 existeδ > 0 tal que: |f (x, y)−f (x0, y0)| < ε se 0 < x−x0 < δ . Se f é diferenciávelno ponto x0, então, para ε1 = 1 existe δ 1 > 0 tal que:

|f (x, y) − f (x0, y0) − ∂ f

∂x(x0)(x − x0) − ∂ f

∂y(x0)(y − y0)| < x− x0,

se 0 < x− x0 < δ 1. Denotaremos por:

k(x, y) = (∂f

∂x(x0, y0) (x − x0) +

∂f

∂y(x0, y0) (y − y0)); então:

|f (x, y) − f (x0, y0)| = |f (x, y) − f (x0, y0) − k(x, y) + k(x, y)|≤ |f (x, y) − f (x0, y0) − k(x, y)| + |k(x, y)|< x− x0 + |k(x, y)|.

Por outro lado,∂f

∂x(x0)(x − x0) ≤ ∂f

∂x(x0) (x − x0)2 + (y − y0)2,

∂f

∂y(x0)(y − y0) ≤ ∂f

∂y(x0) (x − x0)2 + (y − y0)2.

Denotemos por M o maior entre |∂f

∂x(x0)| e |∂f

∂y(x0)|.

Teremos: |k(x, y)| ≤ 2 M x− x0; então:

|f (x, y) − f (x0, y0)| < (2 M + 1) x− x0.

Dado ε > 0, seja δ = min{δ 1, ε

2 M + 1}; se x− x0 < δ , temos

f (x, y) − f (x0, y0) < ε.

Teorema 13.3. (Schwarz)Se f : A ⊂ Rn −→ R é uma função de classe C 2 noponto x0, então para todo i, j = 1.....n tem-se:

∂

∂x j ∂f

∂xi (x0)

=

∂

∂xi ∂f

∂x j (x0)

,

para i = j .




Faremos a prova do teorema para n = 2. O caso geral é análogo. Conside-remos x0 = (x0, y0). Sejam ε > 0 tal que (x0 − ε, x0 + ε) × (y0 − ε, y0 + ε) ⊂ Ae t ∈ (−ε, ε). Definamos as funções:

φ(t) = f (x0 + t, y0 + t) − f (x0 + t, y0) − f (x0, y0 + t) + f (x0, y0) er(x) = f (x, y0 + t) − f (x, y0);

então φ(t) = r(x0 + t) − r(x0). Aplicando o teorema do valor médio parafunções de uma variável à função: r(x) onde x ∈ [x0, x0 + t], existe θ1 ∈ (0, 1)tal que r(x0 + t) − r(x0) = t r′(x0 + t θ1) ou:

φ(t) = t (∂f

∂x(x0 + t θ1, y0 + t) − ∂f

∂x(x0 + t θ1, y0)).

As funções ∂f

∂x e

∂f

∂y são contínuas no ponto (x0, y0). Aplicando o teorema

do valor médio para funções de uma variável a:

m(y) = ∂f

∂x (x0 + t θ1, y), y ∈ [y0, y0 + t],

existe θ2 ∈ (0, 1) tal que:

m(y0 + t) − m(y0) = t ∂ 2f

∂y∂x(x0 + t θ1, y0 + t θ2)

ou:

φ(t) = t2 ∂ 2f

∂y∂x(x0 + t θ1, y0 + t θ2).

De forma análoga para s(y) = f (x0 + t, y)

−f (x0, y), obtemos:

φ(t) = t2 ∂ 2f

∂x∂y(x0 + t θ3, y0 + t θ4), θ3, θ4 ∈ (0, 1),

e:∂ 2f

∂y∂x(x0 + t θ1, y0 + t θ2) =

∂ 2f

∂x∂y(x0 + t θ3, y0 + t θ4);

fazendo t −→ 0 e lembrando que as derivadas parciais de segunda ordemsão contínuas, provamos o teorema.

Proposição 13.2. Se f é uma função de classe C 1 então:

∂f

∂ v(x) = ∇f (x) · v.




Seja g(t) = f (x + t v1, y + t v2, z + t v3); g é uma função derivável de umavariável; utilizando a regra da cadeia, derivamos g:

g′(0) = ∂f

∂ x v1 +

∂ f

∂ y v2 +

∂f

∂ y v3 = ∇f (x,y,z ) · v;

por outro lado ∂f

∂ v (x,y,z ) = g ′(0).Definição 13.1.

1. Uma curva diferenciável parametrizada γ pasando por x0 em Rn édeterminada por n funções diferenciáveis:

xi : I ⊂ R −→ R,

i = 1, 2,...,n tal que γ (t) = (x1(t), x2(t), ........, xn(t)) e γ (t0) = x0, ondeI ⊂ R.

2. A derivada de γ é γ ′(t) = (x′

1(t), x′

2(t), ........, x′

n(t)).

3. Uma curva parametrizada γ em A ⊂ Rn é tal que γ (I ) ⊂ A.

Proposição 13.3. Seja (x0, y0, z 0) ∈ S c. Suponha que ∇f (x0, y0, z 0) = 0, então∇f (x0, y0, z 0) é normal ao plano tangente a S c no ponto (x0, y0, z 0).

Seja γ uma curva sobre a superfície S c tal que γ (t0) = (x0, y0, z 0), para algumt0 ∈ R. Então f (γ (t)) = c, pois γ pertence à S c.

d

dt(f (γ (t))

t=t0

= 0 e ∇f (γ (t)) · γ ′(t) = 0;

logo: ∇

f (x0, y0, z 0)·

γ ′(t0) = 0.Isto é válido para qualquer curva em S c passando por (x0, y0, z 0).

Teorema 13.4. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função diferenciável definida noaberto A e x0 um ponto extremo local de f . Então

∇f (x0) = 0.

Suponha que x0 é ponto de máximo de f . Para todo v ∈ Rn a função realh(t) = f (x0+t v) possui um ponto de máximo em t = 0; pela regra da cadeia:

0 = d

dth(t)|t=0 = ∇f (x0) · v

e a igualdade vale para todo v; então ∇f (x0) = 0. A prova é análoga se x0 éponto de mínimo local de f .




Teorema 13.5. Seja a família de funções:

f (x, y) = A x2 + 2 B x y + C y2,

tal que A, B, C ∈ R e não são todas simultaneamente nulas. Denotemospor ∆ = A C − B2.

1. Se ∆ > 0 e A > 0, então (0, 0) é ponto de mínimo de f .

2. Se ∆ > 0 e A < 0, então (0, 0) é ponto de máximo de f .

3. Se ∆ < 0, então (0, 0) é ponto de sela de f .

Suponha que ∆ > 0; logo A = 0.

f (x, y) = A

x + B y

A

2+

1

A∆ y2;

ambas as parcelas tem o mesmo sinal que A e f (x, y) = 0 se e somente se:x +

B y

A = 0

y = 0;

então f (x, y) = 0 se e somente se x = y = 0.

1. Se A > 0, temos 0 = f (0, 0) < f (x, y) e (0, 0) é ponto de mínimo de f .

2. Se A < 0, temos f (x, y) < f (0, 0) = 0 e (0, 0) é ponto de máximo de f .

3. Suponha que ∆ < 0 e A= 0; denotando por E =

√ B2 − AC

A , temos:

f (x, y) = A

x + B y

A

− E y

x + B y

A

+ E y

;

f (x, y) = 0 se, e somente se: y = A x

A E − B ou y = − A x

A E + B;

logo, f (x, y) > 0 se y > A x

A E − B ou y > − A x

A E + B e

f (x, y) < 0 se y < A x

A E − B ou y < − A x

A E + B.

Portanto, numa vizinhança de (0, 0) f toma valores negativos e positivos.

Se A = 0, então f (x, y) = 2 B x y + C y2; logo B = 0, caso contrário ∆ = 0;então:f (x, y) = y (2 B x + C y);




portanto: f (x, y) > 0 se, e somente sey > 0 e B x + C y > 0 ouy < 0 e B x + C y < 0.

f (x, y) < 0 se, e somente sey > 0 e B x + C y < 0ouy < 0 e B x + C y > 0.

Teorema 13.6. Sejam z = f (x, y) uma função de classe C 2 definida numconjunto aberto U ⊂ R2 e (x0, y0) ∈ U um ponto crítico de f . Denotemospor:

A(x, y) = ∂ 2f

∂x2(x, y), B(x, y) =

∂ 2f

∂x∂y(x, y), C (x, y) =

∂ 2f

∂y2(x, y) e

∆(x, y) = A(x, y) C (x, y)

−B2(x, y).

Então:

1. Se A(x0, y0) > 0 e ∆(x0, y0) > 0, então (x0, y0) é ponto de mínimo localde f em U .

2. Se A(x0, y0) < 0 e ∆(x0, y0) > 0, então (x0, y0) é ponto de máximo localde f em U .

3. Se ∆(x0, y0) < 0, então (x0, y0) é ponto de sela de f em U .

4. Se ∆(x0, y0) = 0, nada se pode concluir.

Seja θ ∈ [0, 2 π]. Consideramos a seguinte função de uma variável:

h(r) = f (x0 + r cos(θ), y0 + r sen(θ));

h(r) descreve o comportamento de f ao longo da reta que passa pelo ponto(x0, y0) e na direção (cos(θ),sen(θ)). Denotemos por a = x0 + r cos(θ) eb = y0 + r sen(θ); usando a regra da cadeia, derivemos a função h:

h′(r) =

∂f

∂x (a,b) cos(θ) +

∂ f

∂y (a,b) sen(θ);

então, r = 0 é ponto crítico de h. Derivando novamente:




h′′(r) = ∂ 2f

∂x2(a,b) cos2(θ) + 2

∂ 2f

∂x∂y(a,b) cos(θ) sen(θ) +

∂ 2f

∂y2(a,b) sen2(θ).

Fazendo A = ∂ 2f

∂x2(x0, y0), B =

∂ 2f

∂x∂y(x0, y0), C =

∂ 2f

∂y2(x0, y0), x = cos(θ) e

y = sen(θ), obtemos:

h′′(0) = A x2 + 2 B x y + C y2

Como A > 0 e ∆ > 0, pelo teorema anterior h′′(0) > 0; então h possui umponto de mínimo em r = 0. O argumento vale para todo θ ∈ [0, 2 π]. Logo f possui um ponto de mínimo local em (x0, y0). Os demais casos ficam comoexercícios.

Teorema 13.7. Sejam f, g : A ⊂ Rn −→ R funções de classe C 1. Denotemospor S um conjunto de nível de g. Se f tem um ponto de máximo ou de

mínimo x0 ∈ S e ∇g(x0) = 0, então existe λ ∈ R tal que ∇f (x0) = λ ∇g(x0).

Faremos a prova para n = 2, o caso n = 3 é análogo. Suponha que a curva denível de g se escreva na forma paramétrica γ (t) = (x(t), y(t)) e que γ ′(t) =

(x′(t), y′(t)) = 0; consideremos a seguinte função de uma variável β (t) =f (γ (t)) = f (x(t), y(t)) tal que t ∈ (a, b). Como f possui um ponto extremoem x0, então, existe t0 ∈ (a, b) tal que β possui um ponto extremo em t0;logo, β ′(t0) = 0 e pela regra da cadeia:

β ′(t) = ∂f

∂x(x(t), y(t))

dx

dt +

∂f

∂y(x(t), y(t))

dy

dt = ∇f (x(t), y(t)) γ ′(t).

Denotando x0 = (x(t0), y(t0)) e calculando β ′(t0) = 0; temos, ∇f (x0)·γ ′(t0) =0; portanto ∇f (x0) e γ ′(t0) = 0 são ortogonais. Como ∇f é ortogonal àscurvas de nível de f , no ponto x0 as curvas de nível de g e de f devem sertangentes e ∇f (x0) = λ ∇g(x0).

13.3 Integração

Teorema 13.8. (Fubini) Seja f : R −→ R2 contínua sobre R. Então:

R

f (x, y) dxdy = d

c

b

af (x, y) dx

dy = b

a

d

cf (x, y) dy

dx,

onde R = [a, b] × [c, d].



13.3. INTEGRAÇÃO 395

Fixemos x0 ∈ [a, b] e consideremos a função f x0 : [c, d] −→ R definida porf x0(y) = f (x0, y), para todo y ∈ [c, d]. Como f x0 é contínua em [c, d], é inte-

grável em [c, d]; definamos A(x0) =

d

c

f (x0, y) dy. Provaremos que a fun-

ção: A : [a, b] −→ R é integrável em [a, b] e:

b

a A(x) dx =

Rf (x, y) dxdy.

Como antes, seja c = y0 < y1 < ..... < yn = d uma partição de ordem n de[c, d] tal que ∆y = d−c

n ; logo:

A(x) =

n−1k=0

yk+1

yk

f (x, y) dy.

Pelo teorema do valor médio para integrais, temos:

yk+1

yk

f (x, y) dy = f (x, y∗k(x)) (yk+1 − yk),

onde y∗k(x) ∈ [yk, yk+1] (y∗k(x) possívelmente depende de x); então:

A(x) =n−1k=0

f (x, y∗k(x)) (yk+1 − yk).

Pela definição de integral para funções de uma variável: b

a

d

c

f (x, y) dy

dx =

b

a

A(x) dx = limn→+∞

n−1k=0

A( p j) (x j+1 − x j ),

onde a = x0 < x1 < ..... < xn = b é uma partição de ordem n de [a, b] tal que∆x =

b − a

n e p j ∈ [x j, x j+1].

Considere c jk = ( p j , yk( p j)) ∈ R jk , logo A( p j) =n−1k=0

f (c jk ) (yk+1 − yk) e

b

a

d

c

f (x, y) dy

dx =

b

a

A(x) dx = limn→+∞

n−1 j=0

A( p j ) (x j+1 − x j)

= limn→+∞

n−1

j=0

n−1

k=0

f (c jk ), (yk+1 − yk) (x j+1 − x j )

=

R

f (x, y) dxdy.




De forma análoga prova-se que d

c

b

a

f (x, y) dx

dy =

R

f (x, y) dxdy.

Proposição 13.4. Se f : D −→ R é contínua e limitada sobre D, então:

1. Se D é uma região de tipo I:

D

f (x, y) dxdy =

b

a

φ2(x)

φ1(x)

f (x, y) dy

dx.

2. Se D é uma região de tipo II:

D

f (x, y) dxdy =

d

c

ψ2(y)

ψ1(y)

f (x, y) dx

dy.

Se R = [a, b]×[c, d] e D ⊂ R, podemos utilizar todos os resultados anteriores.Em particular para integrais iteradas. De fato,

D

f (x, y) dxdy =

R

f ∗(x, y) dxdy =

b

a

d

c

f ∗(x, y) dy

dx

=

d

c

b

a

f ∗(x, y) dx

dy.

Suponha que D é uma região de tipo I definida por: φi : [a, b] −→ R, i = 1, 2.

Consideremos b

a

d

c

f ∗(x, y) dy

dx.

φ

1

2

φc

dR

D

bxa

Figura 13.1:

Fixando x ∈ [a, b], f ∗ é limitada e contínua, exceto, possivelmente em doispontos, logo a integral d

c

f ∗(x, y) dy existe.



13.3. INTEGRAÇÃO 397

Mas f ∗(x, y) = 0 se c < y < φ1(x) e φ2(x) < y < d.

d

c

f ∗(x, y) dy =

φ2(x)

φ1(x)

f ∗(x, y) dy =

φ2(x)

φ1(x)

f (x, y) dy,

pois f = f ∗ em D. Então, se D é de tipo I:

D

f (x, y) dxdy =

b

a

φ2(x)

φ1(x)

f (x, y) dy

dx.

Se D é do tipo II, a prova é análoga.



Capítulo 14

RESPOSTAS

Respostas dos Exercícios Ímpares

14.1 Capítulo 1

[1] a) (−6, 1, 0) b) (18, 0, 7) c) (−7, −199, 10) d) (−29, −1, −7) e) (0, −6, 1)f) (5, −10, 27) g) (4, 2, −1) h) (6, 2, 2)i) (−15, 21, −12) j) (−1, 11, −11)k) (18, −16, 5) l) (3, −12, 2) m) (−2, 6, 0)n) (−8, −23, 1) o) (−1, −6, 0)

[3] a) arccos(10/√

210) b) arccos(9/√

246) c) arccos(−2√

2/3)d) arccos(3/2

√ 231) e) arccos(−34/

√ 5005) f) arccos(10/

√ 210)

g) arccos(−2√

2/7) h) arccos(−6/√

186)i) arccos(3/

√ 42) j) arccos(2/

√ 106)

[5] a) (5, 6, 7) b) (10, −7, 4) c) (2, 0, 2)k) (1, −2, −2) m) (−5, −9, 12) p) (−7/5, 9/10, −1/3)

[7] a) 9√ 3

2 b)

√ 10162

c)√

141

d)√ 4012

.[9]a)

√ 37 b)

√ 373 c) 5

√ 1590 d) 9

√ 11

e)√

37 f)√

854 g)

(21)

h) 2√

11 i) 9√

10 j)√

111.[11] P = (11, 10, −3)[13]

a) 4x − 14y − 11z + 34 = 0 b) 2x + 7y − 6z − 21 = 0, c) 4x − 2y + 4z − 36 = 0g) 76x + 33y − 20z − 89 = 0.

399



400 CAPÍTULO 14. RESPOSTAS

Quádricas

[1] a) elipsóide; b) parabolóide circular; c) hiperbolóide de uma folha; d)cone elítico;e) parabolóide elítico; f) parabolóide hiperbólico; g) hiperbolóide de duasfolhas; h) esfera.

[3] a) elipse ; b) e b) círculo. [5] (9, −2, 5).

14.2 Capítulo 2

[1] a) V = 4πr2h3

m3

[3] a) 0 b) π2 c) x6 d) y2z 4 e) x5y3z 7

f) y2z 2(h + 2x) g) x2z 2(h + 2y), h) x2y2(h + 2z ),i) (yh+yz +xy+xh+h2+xz +zh)(yzh+2yzx+yh2+yhx+h3+h2x+h2z +zhx).[7]

a) -2 - 1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

b) -2 - 1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

c) 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

d) 2 1 0 1 2

2

1

0

1

2

e) 2 1 0 1 2

2

1

0

1

2

f ) 2 1 0 1 2

2

1

0

1

2

g) 2 1 0 1 2

2

1

0

1

2

h) 1.5 2.0 2.5 3.0

2

1

0

1

2

i) 2 1 0 1 2

2

1

0

1

2

j) 2 1 0 1 2

2

1

0

1

2

[9]

a) b) c) d)

e) f ) g) h)



14.3. CAPÍTULO 4 401

i) j) k) l)

m) n)

14.3 Capítulo 4

[1] a) c) 0 b) d) f) 1 e) 5 g) ln(2) h) 5/3 [7] a) b) d) contínua c) f) g) descontínua[9] a = 4

14.4 Capítulo 5

[1] a) (2x − y)y e x(x − 2y) b) 3x2y3 e 3x3y2

c) 2x y3(1 − 6x2y) e 3x2y2(1 − 4x2y)d) (2x)/(1 + (x2 + y)2) e 1/(1 + (x2 + y)2)e) 2xsec(x2 + y) tg(x2 + y) e sec(x2 + y) tg(x2 + y)f) (y cosh(

√ xy))/(2

√ xy) e (xcosh(

√ xy))/(2

√ xy)

n) exyz2 yz 2, exyz2 xz 2 e) 2 exyz2 xyz o) (−x2 + y2 + z 2 − 2x(y + z ))/(x2 + y2 + z 2)2,

(x2

+ y2

+ z 2

− 2y(x + y + z ))/(x2

+ y2

+ z 2

)2

e(x2 + y2 + z 2 − 2z (x + y + z ))/(x2 + y2 + z 2)2

r) (yz )/

1 + x2y2z 2, (xz )/

1 + x2y2z 2 e (xy)/

1 + x2y2z 2

x) cos(ln(xyz 2))/x, cos(ln(xyz 2))/y e 2 cos(ln(xyz 2))/z [9] a) 1.001 b) 0.989 c) 11.031 d) 177.238 e) 26.909[13] a) −2 cos(t) sin(t) b) et(ln(t) t − 1)/(t(ln(t)2 + e2t))c) (1 + tg(te−t)2)(e−t − t e−t)d) (3 t2 + 2 (3t + 1)t) e(3t+1)t2) g) 9t8 i) 4e2t j) −2e2t/(2 + e−2t)2 l) 3/2t[15] 42 cm3/h [16] 2 cm/seg [17] 0.4 cm3/seg

14.5 Capítulo 6[1] a) (4x, 5) b) −2 (x/((x2 + y2)2), y/((x2 + y2)2))




d) (−sen(xy) y, −sen(xy) x + cos(yz ) z,cos(yz ) y)e) 2 (x/(x2 + y2 + z 2), y/(x2 + y2 + z 2), z/(x2 + y2 + z 2)g) (y ez + yz ex, x ez + z ex, x y ez + y ex) h) (y/z, x/z, −xy/(z 2))i) (1/x, 1/y, 1/z ) j) −2/((x2 + y2 + z 2 + 1)2) (x/((x2 + y2 + z 2 + 1)2), y , z )k) 1/((x + y2 + z 3) (1/(ln(2) + ln(3))), 2y/(ln(2) + ln(3))), 3z 2/(ln(2) + ln(3))))

[3] a) 2 √ 13, (4, −6) b) 1, −1/2 (√ 2, √ 2)c) 1, (0, 1) d) e6/6√

10 + 9π2 + 6π, (−e6/2, e6 (3π + 1)/6)f)

√ 3, (1, 1, 1) h) e

√ 3, (e,e,e) i) 0, (0, 0) j)

√ 3/2, (1/2, 1/2, 1/2) g) 2

√ 19,

(2, 6, 6)

[5] (−4 e−1, 0) [9] 4 x − 2 y + 4 z − 5 = 0 [11]

x = 4

y = 16

z = 8 t

[7]√ 22

(−1, 5) [9] (a) − 28√ 2 (b) (−3, −4) (c) (3, 4) (d) (4, −3) [11] na direção do

vetor (1, 3, 2).[13] diminui [15] (

−1/3, 3/4), (7/3,

−3/4) [17] cos(α) = 3/

√ 10

[19] (−4/5, −3/5), (4/5, 3/5)

14.6 Capítulo 7

[1] a) (0, 0) b) (−1/4, −1/4) c) (1, 2), (1, −2), (−1, 2),(−1, −2) e (0, 0)d) (−2, −2), (2, 2) e) (−1/4, 16) f) (0, 0) g) (1/2, 1/2), (−1, −1)h) (1, 1), (1, −1), (−1, 1) e (−1, −1) i) (0, 0) j) (1, 2) k) (0, 0)l) (0, 0, 0) m) (0, 0, 0) n) (0, 0, 0)[3] a) b) um ponto mínimo c) um ponto de máximo, 4 pontos de sela d) 2

pontos de selag) um ponto de máximo e um ponto mínimo n) s) um ponto mínimo t) x) 2pontos de selaw) um ponto de sela[5] os pontos (0, 0, ±1) [7] (6, 2, 4) [9] P = (1, 4/3) [10] a

√ 3

3 , b

√ 3

3 , c

√ 3

3

[11] 12x + y + 2z = 6[13] c/3 mg de A e c/2 mg de B

Multiplicadores de Lagrange

[1] (a) (0, 0) máx. e (0, 4) mín. (b) (3/2,−

3/2) mín. (c) (0, 2) máx. e (0, 0) mín.

(d) (6/7, −4/7, 2/7) (e) (2, −2, 2) máx. e (−2, 2, −2) mín. (f) ±

322

(1, 2, 2/3)

[2] (0, 0, ±1), (±1, 0, 0) e (0, ±1, 0) máx. e (0, 0, 0) mín.



14.7. CAPÍTULO 8 403

[3]

b − 1/4 [4] Valor máx 1/2 e valor mín 0

[5]√

2 e 1 [7] Valor máx 1 +√

2 e valor mín 1 − √ 2 [9] π

8 + kπ2

e π8 − kπ

2

[11] triângulo equilátero [13] 200 u.t. e -200 u.t. (u.t.=unidades de tempera-tura)[15] 1

2 (1 − √

7, 0, 1 +√

7) e 12 (1 +

√ 7, 0, 1 − √

7) [17] triângulo equilátero[19] triângulo retângulo isósceles ( cada cateto =

√ 2S ). [20] 10k

14.7 Capítulo 8

[1] (a)1/12 (b) 0 (c) 44 (d) π/3 (e) 20 e3/9 + 4 e−1 + 91 e−6/36+ 5 e2/4 (f) −20/3(g) 420 (h) 0 (i) 4

[3] (a) − ln(cos(1))2

(b) 5/6 (c) 2/3 (d) 1−cos(1)2

(f) sen(81)4

(e) e9−16

[4] (a) 27/20 (b) a2b2/8 (c) 4/5 (d) π − 2 (e) 1/6 (f) (e−1)22

(g) 1−cos(1)2

(h) 500/3(i) −24/5(j) 12/5 (k) 189/10 (l) 1/10

14.8 Capítulo 9

[1] (a) 6/35 (b) 44/35 (c) 16/3 (d) 13/6 (e) 1/3[3] (b) 32/3 (c) 9/2 (d) 113/6 (e) 1/2 (f) 32/3 (g) 125/6 (h) 72[5] (a) 16/3 (b) 64/9 (c) 32/45 (d) 1/90

Mudanças de Variáveis

[1] 1 [2] 20/3 [3] zero [4] (c) 3π [5] 4/3 [6] (a) 1/18 (3√

3 − π) (b) 5π (c) 8 − π

[7] π (1 − cos(1))

14.9 Capítulo 10

[1] a) 28 b) 8/27 c) 1/10 d) π (cos(4) − 1)(3π − 4)/12 e) 1 f) 19/10[3] 6 [4] 81π [5] (8ln(2) − 5)/16 [6] 57πa6/5 [7] 8a2/9[8] 32/3 [9] 1688/15

14.10 Capítulo 11

[1] (a) 0 (b) 8π2/3 − 2√

3π (c) pi2/8 (d) π/8 [2] (a) 8√

2/15 (b) 16π/3 (c) 65/28(d) 1/10




[3] (a) 8/15 u. v. (b) π/8 u.v. [4] L3/8 [5] (a) 384π (b) π/10 (c) π/2[6] (a) 4(2 − √

3)π (b) 4π/5 (c) 4πln(b/a) (d) 2(√

2 − 1)π (e) (53 − 16√

2)π/30[7] (a) 8π u. v. (b) (4

√ 2/3 − 7/6)π u. v. (c) 27π u. v. (d) 256π u. v.

[8] 4πabc/3 [9] (abc)2/48 [10] (a) 3π/2 (b) 16π/3 (c) πR3

[11] (a) 4πa5/15 (b) 8π(2√

2 − 1)/9 (c) π/10 (d) 2πa/3[12] (a) 4π (b) π/16 (c) 27π (d) π/6 (e) 4π (f) 16/3 (g) 9

[13] (a) 243π/2 (b) x = y = 3 e z = 45/32 (c) x = y = 0 e z = 2a/5 (d)4CπR3(1 − e−1)/3[14] (a) kπa4h/2 (b) kπ(b4 − a4)h/2



Bibliografia

[TA] T. Apostol: Mathematical Analysis: A Modern Approach to Advan-ced Calculus, Reading, Mass, Addison-Wesley Pub. Co.

[EL] E. Lima: Curso de Análise, Vol. II , Ed. Universitaria.

[MW] J. Marsden- A. Weinstein: Calculus, Vol. II e III , Springer-Verlag.

[VC] M. Vilches - M. Corrêa: Cálculo: Volume I , edição online

www.ime.uerj.br/∼calculo.

405



Índice

Área, 289Ângulos Diretores, 17

Aproximação Linear, 137Exemplos, 138

Centro de Massa, 341Conjunto Limitado, 237Conjuntos Abertos, 97Conjuntos de nível, 76Conjuntos Fechados, 100Conteúdo Nulo, 352Conteúdo nulo, 282Continuidade, 109

Definição, 109

Derivada Direcional, 165Como Taxa de Variação, 169Definação, 165

Derivadas Parciais, 117

Como Taxa de Variação, 126definição, 117Generalizações, 123Interpretação Geométrica, 123

Derivadas Parciais de Ordem Supe-rior, 143

Determinação dos Extremos Condi-cionados, 242

Diferenciabilidade, 130Definição, 130

Domínio e Imagem, 71

Equaçãode Laplace, 146

de Onda, 147de ondas, 157

Fronteira de um Conjunto, 98Função

integrável, 272, 350Função Implícita

Teorema, 186Funções, 65

Definição, 65variável dependente, 65variável independente, 65

Funções de Classe C 1, 134Funções de Classe C 2, 148

Teorema de Schaerz, 148Funções Implícitas, 183

Geometria Analítica, 11, 23, 41Coordenadas, 13Distância, 22Espaços Euclidianos, 11Forma Simétrica, 26Generalizações, 33Introdução, 11

Gráfico, 75Gradiente, 170

Ângulo de Interseção, 190, 199Conjuntos de Nível, 186Curvas de Nível, 187Geometria do, 175

Superfícies de Nível, 192

Hessiana, 217

406



ÍNDICE 407

Integração Dupla, 271aplicação, 324, 339centro de massa, 341extensão, 288linearidade, 275massa total, 340

momento de inércia, 343momento de massa, 340mudança de coordenadas, 303partição, 271propriedades, 275regiões elementares, 284significado geométrico, 272sobre Retângulos, 271soma de Riemann, 272teorema de Fubini, 277volume, 289

Integração Tripla, 349extensão, 357linearidade, 351mudança de coordenadas, 365propriedades, 351sobre paralelepípedos, 349soma de Riemann, 350teorema de Fubini, 352

Integração Triplasregiões elementares, 353

Integrais Iteradas, 275 Jacobiano, 305, 365

LeiGay - Lussac, 68Newton, 68

leide Poiseuille, 69

Limites, 101fi

Exemplos, 221Introdução, 209Otimização, 227

Máximos e Mínimos Absolutos, 236Teo de Weierstrass, 238

Momento de Inércia, 343

Mudança Cilíndrica, 367Mudança de Coordenadascilíndrica, 367esférica, 375linear, 308polar, 314

Mudança Esférica, 375Mudança Linear, 308Mudança Polar, 314Mudanças de Coordenadas, 303, 365

integral dupla, 307

integral tripla, 366 jacobiano, 305, 365

Multiplicadores de Lagrange, 240Generalização, 257Otimização, 249

Norma Euclidiana , 15

Partição, 349Plano Tangente, 135Planos, 27

Ângulos entre Planos, 29Paralelismo e Perp, 30Ponto Crítico, 211Ponto de Sela, 211Produto Escalar, 15, 34

Vetores Ortogonais, 15Produto Vetorial, 19

Torque, 22

Regiões Elementares 284

calculo - volume 2 - mauricio vilches

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