cálculo i - aula 12 - 726

Andr Gustavo Campos Pereira

Joaquim Elias de Freitas

Roosewelt Fonseca Soares

Clculo ID I S C I P L I N A

Mais tcnicas de integrao e a integral imprpria

Autores

aula

12

Aula 12 ClculoICopyright 2007 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorizao expressa da UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

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Apresentao

N a aula 11 (Propriedades da integral definida e tcnicas de integrao), comeamos a estudar as tcnicas de integrao, as quais utilizamos para calcular a integral quando a primitiva no nos era dada de forma direta. Existem muitas funes que so expressas como quociente de duas funes, por exemplo, a funo tg(x) =

sen(x)cos(x)

.

Nesta aula, estudaremos como resolver a integral de uma funo que um quociente de polinmios, para isso estudaremos a tcnica de integrao chamada de decomposio em fraes parciais.

At o momento, estudamos a integral de uma funo f contnua definida num intervalo fechado [a, b], o que implicava que a f era limitada. Nesta aula, estudaremos as integrais imprprias que nos permitiro calcular a integral quando a definio das integrais definidas no se aplica por um (ou pelos dois) dos seguintes motivos: o intervalo de integrao no ser limitado ou a funo do integrando no ser limitada.

ObjetivosEsperamos que ao final desta aula voc saiba utilizar os mtodos da decomposio em fraes parciais e a integrao imprpria para calcular diversas integrais.

Aula 12 ClculoI2 Aula 12 ClculoI

Decomposio em fraes parciais

Consideremos o polinmio racional G(x)H(x)

prprio, isto , G(x) e H(x) so polinmios

com coeficientes reais, com o grau do polinmio no numerador menor que o grau do polinmio do denominador. Seja p o grau de H(x). Geralmente, esses polinmios

racionais so de difcil integrao, mas, a decomposio em fraes parciais reescreve o polinmio em uma forma mais fcil de integrar.

Existe um teorema em lgebra que afirma que um polinmio racional prprio G(x)H(x)

, com denominador com grau n, pode ser escrito na forma G(x)H(x)

= W1(x) +W2(x) + . . .+Wk(x) ,

onde W1(x),W2(x), . . . ,Wk(x) so fraes das formas A(x a)m

ou Bx+ C(x2 + bx+ c)m

,

que so denominadas de fraes parciais, onde a representa uma raiz real de H(x) e

x2 + bx+ c um trinmio que fator de H(x), obtido a partir de duas razes complexas conjugadas. Antes de fazer um exemplo para ilustrar o teorema da lgebra a que nos referimos anteriormente, relembremos o que so razes complexas conjugadas.

Vimos na disciplina Geometria Analtica e Nmeros Complexos que dado um nmero complexo z = a+ bi, ento, seu conjugado dado por z = a bi .

Vocs viram na aula 7 (Nmeros complexos) da disciplina Geometria Analtica e Nmeros Complexos que se um nmero complexo z = a+ bi for raiz de um polinmio com coeficientes reais, o conjugado z = a bi tambm raiz desse polinmio. Ento, teremos que z, z so razes conjugadas do polinmio.

Aula 12 ClculoI Aula 12 ClculoI

Exemplo 1Encontre as razes do polinmio p(x) = x2 2x+ 5 e verifique se elas so conjugadas.

Soluo

Vemos que este um polinmio com coeficientes reais, portanto, se ele possuir uma raiz z ento z automaticamente ser uma outra raiz desse polinmio. Calculando o = (2)2 4.1.5 = 16 < 0 , logo, as razes so complexas, e calculando-as temos r1 = 1 + 2i e r2 = 1 2i. Assim, temos que o trinmio obtido a partir dessas duas razes complexas conjugadas x2 2x+ 5 = (x (1 + 2i)) (x (1 + 2i)) .

Portanto, para cada par de razes complexas conjugadas de H(x), teremos um trinmio o x2 + bx+ c, que formado por essas razes e que far parte da decomposio em fraes parciais.

Apresentaremos agora duas regras que nos permitiro escrever um polinmio racional de uma forma diferente.

Regra 1 Para cada raiz real a de H(x) de multiplicidade n, corresponde a n fraes par-ciais da forma:

A1(x a)

+A2

(x a)2+ . . .+

An(x a)n

Regra 2 Para cada par de razes complexas conjugadas de H(x) de multiplicidade m, que d origem a um fator do tipo x2 + bx+ c, corresponde a m fraes parciais da forma:

B1x+ C1(x2 + bx+ c)

+B2x+ C2

(x2 + bx+ c)2+ . . .+

Bmx+ Cm(x2 + bx+ c)m

.

Est tudo muito solto, concorda? Vamos resolver um exemplo e explicar onde cada regra dessa se encaixa.

Exemplo 2Considere o polinmio racional x

2 + x+ 1(x 1)(x2 + x+ 1)

prprio, pois o numerador

do 2 grau e o denominador do 3 grau. Quais os termos que devero fazer parte da decomposio em fraes parciais desse polinmio?

Soluo

Observemos o denominador (x 1)(x2 + x+ 1).

Veja que as razes desse quociente so 1 e os complexos conjugados z =1 +

3i

2

e z =1

3i

2. Assim, o trinmio x2 + x+ 1 formado a partir dessas

razes conjugadas.


Depois de identificar as razes reais e os trinmios obtidos pelas razes complexas conjugadas, identificamos a multiplicidade de cada raiz desta e de cada trinmio deste.

Neste exemplo, temos que a multiplicidade da raiz real 1, e, pela regra 1, na decomposio em somas parciais deve constar um termo da forma A

x 1.

Neste exemplo teremos que a multiplicidade do trinmio x2 + x+ 1 tambm 1, e, pela

regra 2, na decomposio em somas parciais deve constar um termo da forma Bx+ Cx2 + x+ 1

.

Neste momento, voc deve estar se perguntando: Tudo bem, j sei quais os termos que devem aparecer na decomposio em fraes parciais, mas devemos somar ou multiplicar estes termos?

Para responder a essa sua curiosidade, temos que fazer a conta, entretanto temos uns valores A, B e C que ainda no foram determinados. Por ora, faamos os clculos sem nos preocuparmos com seus valores. O que acontece se multiplicarmos?

A

(x 1)(Bx+ C)

(x2 + x+ 1)=

A(Bx+ C)(x 1)(x2 + x+ 1)

.

O denominador est igual, mas se olharmos com cuidado veremos que o grau do polinmio que aparece no numerador 1, e se relembrarmos o grau do polinmio inicial veremos que seu grau era 2, ou seja, multiplicar no nos d a expresso inicial.

Ento, nos resta escrever

x2 + x+ 1(x 1)(x2 + x+ 1)

=A

(x 1)+

Bx+ C(x2 + x+ 1)

.

Posteriormente nesta aula, apresentaremos como determinar A, B e C na igualdade anterior.

Se calcularmos o grau de cada termo do denominador, por exemplo, o grau de (x a)k k , o grau de (x2 + x+ 1)l 2l , e somarmos tais graus, essa soma deve ser igual a p, o grau de H(x).


5 + x+ 1(x 1)3(x2 + x+ 1)2

prprio, pois o numerador

do 5 grau e o denominador do 7 (7 = 3 + 2 2) grau. Encontre sua decomposio em

fraes parciais.

Soluo

Observemos o denominador (x 1)3(x2 + x+ 1)2 .


Veja que as razes desse quociente so 1 e os complexos conjugados z =1 +

3i

2

e z =1

3i

2. Assim, o trinmio x2 + x+ 1 formado a partir dessas

razes conjugadas.

Depois de identificar as razes reais e os trinmios obtidos pelas razes complexas conjugadas, identificamos a multiplicidade de cada raiz desta e de cada trinmio deste.

Neste exemplo, temos que a multiplicidade da raiz real 3, e, pela regra 1, na decomposio

em somas parciais deve constar a soma dos termos A1x 1

+A2

(x 1)2+

A3

(x 1)3.

Neste exemplo, teremos que a multiplicidade do trinmio x2 + x+ 1 2, e, pela regra 2,

na decomposio em somas parciais deve constar a soma B1x+ C1x2 + x+ 1

+B2x+ C2

(x2 + x+ 1)2.

Pela aplicao das regras 1 e 2 neste exemplo, podemos escrever

x5 + x+ 1(x 1)3(x2 + x+ 1)2

=A1

(x 1)+

A2

(x 1)2+

A3

(x 1)3+

B1x+ C1(x2 + x+ 1)

+B2x+ C2

(x2 + x+ 1)2.

E como fazemos para obter os coeficientes?

Vamos ilustrar como isso feito comeando com um exemplo que no possua tantos coeficientes.

Exemplo 4Considere o polinmio racional 2x

2 + x+ 1(x 1)2(x2 + x+ 1)

prprio, pois o numerador do

2 grau e o denominador do 4 grau.

Pela aplicao das regras 1 e 2 neste exemplo, podemos escrever 2x2 + x+ 1

(x 1)2(x2 + x+ 1)=

A1(x 1)

+A2

(x 1)2+

B1x+ C1(x2 + x+ 1)

.

Neste caso, o grau de H(x) 4. Se multiplicarmos ambos os membros por H(x) = (x 1)2(x2 + x+ 1), obteremos

2x2 + x+ 1(x 1)2(x2 + x+ 1)

(x 1)2(x2 + x+ 1) =

A1(x 1)

+A2

(x 1)2+

B1x+ C1(x2 + x+ 1)

(x 1)2(x2 + x+ 1)

2x2 + x+ 1 = A1(x 1)(x2 + x+ 1) +A2(x2 + x+ 1) + (B1x+ C1)(x 1)2

= A1(x3 + x2 + x x2 x 1) +A2(x2 + x+ 1) + (B1x+ C1)(x2 2x+ 1)

= A1(x3 1) +A2(x2 + x+ 1) +B1(x3 2x2 + x) + C1(x2 2x+ 1)

= (A1 +B1)x3 + (A2 2B1 + C1)x2 + (A2 +B1 2C1)xA1 +A2 + C1


Aplicaremos agora o mtodo dos coeficientes a serem determinados para calcularmos os 4 coeficienes A1, A2, B 1, e C1. Igualando os coeficientes de uma mesma potncia ou anulando os coeficientes de potncias inexistentes, obtemos o sistema linear:

A1 +B1 = 0A2 2B1 + C1 = 2A2 +B1 2C1 = 1A1 +A2 + C1 = 1

somando as 4 equaes, obtemos:

3A2 = 4, A2 =43

.

Somando a 2 equao com a 3 multiplicada por 2, obtemos:

3A2 3C1 = 4,4 3C1 = 4, .C1 = 0.

Da 4 equao, obtemos:

A1 = A2 + C1 1 =43 0 1 = 1

3

Da 1 equao, obtemos:

B1 = A1 = 13

.

Portanto, substituindo os coeficientes A1, A2, B1, e C1 calculados, temos como resultado do mtodo das fraes parciais:

2x2 + x+ 1(x 1)2(x2 + x+ 1)

=1

3(x 1)+

43(x 1)2

x3(x2 + x+ 1)

.

Resumindo, para determinar os coeficientes das fraes parciais, pelo mtodo dos coeficientes a determinar, iguale o polinmio racional soma de todas as fraes parciais, elimine o denominador e coloque os termos em ordem decrescente das potncias de x. Iguale os coeficientes de uma mesma potncia e obtenha um sistema linear para determinar todos os coeficientes.



5 + x+ 1(x 1)3(x2 + x+ 1)2

prprio, encontre sua decomposio em fraes parciais.

Soluo

J vimos no exemplo 3 que podemos reescrever esse polinmio em fraes parciais como

x5 + x+ 1(x 1)3(x2 + x+ 1)2

=A1

(x 1)+

A2

(x 1)2+

A3

(x 1)3+

B1x+ C1(x2 + x+ 1)

+B2x+ C2

(x2 + x+ 1)2.

Se multiplicarmos ambos os membros por H(x) = (x 1)3(x2 + x+ 1)2 , obteremos

x5 + x+ 1(x 1)3(x2 + x+ 1)2

(x 1)3(x2 + x+ 1)2 =

A1(x 1)

+A2

(x 1)2+

A3

(x 1)3+

B1x+ C1(x2 + x+ 1)

+B2x+ C2

(x2 + x+ 1)2

(x 1)3(x2 + x+ 1)2

x5 + x+ 1 = A1(x 1)2(x2 + x+ 1)2 +A2(x 1)(x2 + x+ 1)

2 +A3(x2 + x+ 1)2 +

(B1x+ C1)(x 1)3(x2 + x+ 1) + (B2x+ C2)(x 1)3

Expandindo cada fator dessa soma, obtemos

A1(x 1)2(x2 + x+ 1)2 = A1(x6 2x3 + 1)

A2(x 1)(x2 + x+ 1)2 = A2(x5 + x4 + x3 x2 x 1)

A3(x2 + x+ 1)2 = A3(x4 + 2x3 + 3x2 + 2x+ 1)

(B1x + C1)(x 1)3(x2 + x + 1) = (B1x + C1)(x5 2x4 + x3 x2 + 2x 1) =B1x

62B1x5+B1x4B1x3+2B1x2B1x+C1x52C1x4+C1x3C1x2+2C1xC1(B1x + C1)(x 1)3(x2 + x + 1) = (B1x + C1)(x5 2x4 + x3 x2 + 2x 1) =

B1x62B1x5+B1x4B1x3+2B1x2B1x+C1x52C1x4+C1x3C1x2+2C1xC1

(B2x+ C2)(x 1)3 = B2x4 3B2x3 + 3B2x2 B2x+ C2x3 3C2x2 + 3C2x C2)

Somando os termos anteriores e agrupando aqueles de mesmo grau, temos

x5 + x+ 1 = (B1 +A1)x6 + (A2 2B1 +C1)x5 + (2C1 +B1 +A2 +A3 +B2)x4 ++(C1B1+A2+C22A1+2A33B2)x3+(A2+3A3+3B2+2B1C13C2)x2++ (B1 B2 + 2A3 + 2C1 + 3C2 A2)x+A1 A2 +A3 C1 C2.


Igualando os coeficientes de mesma potncia, obtemos o seguinte sistema linear

B1 +A1 = 0A2 2B1 + C1 = 1

2C1 +B1 +A2 +A3 +B2 = 0C1 B1 +A2 + C2 2A1 + 2A3 3B2 = 0A2 + 3A3 + 3B2 + 2B1 C1 3C2 = 0B1 B2 + 2A3 + 2C1 + 3C2 A2 = 1

A1 A2 +A3 C1 C2 = 1

cuja soluo determinar todos os coeficientes.

hora de revisar a aula 3 (Sistemas de equaes lineares) de lgebra Linear I. Vamos dar a soluo, mas esperamos que voc utilize as tcnicas desenvolvidas naquela aula para resolv-lo, certo?

A1 =59, A2 = 0, A3 =

13, B1 =

59, B2 = 0, C1 =

19, C2 = 0

Substituindo os valores encontrados na equao

x5 + x+ 1(x 1)3(x2 + x+ 1)2

=A1

(x 1)+

A2

(x 1)2+

A3

(x 1)3+

B1x+ C1(x2 + x+ 1)

+B2x+ C2

(x2 + x+ 1)2.,

temos

x5 + x+ 1(x 1)3(x2 + x+ 1)2

=5

9(x 1)+

13(x 1)3

5x+ 1(x2 + x+ 1)

.

Voc deve estar se perguntando: Se olharmos o denominador do lado esquerdo teremos grau 7, e se olharmos o do lado direito teremos um denominador 5, o que aconteceu? Se voc calcular os polinmios x5 + x+ 1 e x2 + x+ 1, voc ver que existem duas razes em comum, logo, se os decompormos e suprimirmos os termos comuns teremos que

x5 + x+ 1(x 1)3(x2 + x+ 1)2

=x3 x+ 1

(x 1)3(x2 + x+ 1).

Agora, se enquadra melhor com o que estudamos.

Ento, voc nota que essa tcnica nos ajuda at em saber se os polinmios envolvidos tm razes em comum, embora esse no seja o objetivo principal.

Exemplo 6Expresse, em fraes parciais, o polinmio racional:

x+ 2(x 1)2

.


Soluo

Aplicando a tcnica de decomposio em fraes parciais, tem-se:

x+ 2(x 1)2

=A1

(x 1)+

A2

(x 1)2

Eliminando o denominador, obtemos:

x+ 2 = A1(x 1) +A2 .

Colocando os termos em ordem decrescente das potncias de x, obtemos:

x+ 2 = A1x+A2 A1 .

Igualando os coeficientes de uma mesma potncia, obtemos o sistema linear:

A1 = 1A2 A1 = 2

Resolvendo o sistema, obtemos:A1 = 1A2 = 2 + 1 = 3

Portanto,x+ 2

(x 1)2=

1(x 1)

+3

(x 1)2.

Mtodo de Heaviside fraes parciais

Aplica-se este mtodo quando o denominador do polinmio racional H(x) tem n razes reais distintas r1, r2, . . . , rn , de modo que:

H(x) = (x r1)(x r2) (x rn).

A idia a mesma, apenas utilizamos o fato das razes serem distintas e conseguimos calcular as constantes de uma forma bem mais simples sem a necessidade de resolver sistemas. Ilustremos essa facilidade com a soluo de um exemplo.

Exemplo 7Usando o mtodo de Heaviside, determine A1, A2 e A3 nas fraes parciais:

x+ 2(x 1)(x 2)(x 5)

=A1

(x 1)+

A2(x 2)

+A3

(x 5).


Soluo

Para melhor entender o mtodo, fazemos G(x) = x+ 2 , o numerador do polinmio racional. Para calcular A1, multiplicamos ambos os membros por (x 1) e obtemos:

G(x)(x 1)(x 1)(x 2)(x 5)

=A1(x 1)(x 1)

+A2(x 1)(x 2)

+A3(x 1)(x 5)

.

Fazendo as simplificaes e colocando (x 1) em evidncia, temos:G(x)

(x 2)(x 5)= A1 +

A2

(x 2)+

A3(x 5)

(x 1) .

Fazendo x = 1 , temos:

G(1)(1 2)(1 5)

= A1 +

A2(1 2)

+A3

(1 5)

(1 1),

1 + 2(1)(4)

= A1 +

A2(1 2)

+A3

(1 5)

(0),

34= A1 + 0 = A1.

Para calcular A2, multiplicamos ambos os membros por (x - 2) e obtemos:

G(x)(x 2)(x 1)(x 2)(x 5)

=A1(x 2)(x 1)

+A2(x 2)(x 2)

+A3(x 2)(x 5)

.

Fazendo as simplificaes e colocando (x - 2) em evidncia, temos:

G(x)(x 1)(x 5)

= A2 +

A1(x 1)

+A3

(x 5)

(x 2).

Fazendo x = 2, temos:

G(2)(2 1)(2 5)

= A2 +

A1(2 1)

+A3

(2 5)

(2 2),

2 + 2(1)(3)

= A2 +

A2(2 1)

+A3

(2 5)

(0),

43

= A2 + 0,

A2 = 43

.

Para calcular A3, multiplicamos ambos os membros por (x - 5) e obtemos:

G(x)(x 5)(x 1)(x 2)(x 5)

=A1(x 5)(x 1)

+A2(x 5)(x 2)

+A3(x 5)(x 5)

.

Fazendo as simplificaes e colocando (x - 5) em evidncia, temos:

G(x)(x 1)(x 2)

=

A1(x 1)

+A2

(x 2)

(x 5) +A3.

Aula 12 ClculoI Aula 12 ClculoI 11

Atividade 1

1

2

Fazendo x = 5, temos:

G(5)(5 1)(5 2)

=

A1(5 1)

+A2

(5 2)

(5 5) +A3,

2 + 5(4)(3)

=

A1(5 1)

+A2

(5 2)

(0) +A3,

712

= A3 + 0,

A3 =712

.

Resumindo, aplicando o mtodo de decomposio em fraes parciais, encontramos os coeficientes e obtemos:

x+ 2(x 1)(x 2)(x 5)

=3

4(x 1) 4

3(x 2)+

712(x 5)

.

Utilize os mtodos de decomposio em fraes parciais para encontrar a forma de reescrever os seguintes polinmios racionais.

x+ 2(x 1)(x 5)

x 2(x+ 1)(x 5)

x

(x+ 1)2=

A2(x+ 1)2

+A1

(x+ 1)

x2 3x+ 7(x 1)2(x 4)2

x2 x+ 7(x 2)(x 3)2

x

(x 2)2


Clculo de integrais usando fraes parciais

Voc deve estar se perguntando: O que isso que estamos estudando desde o comeo desta aula tem a ver com o clculo de integrais?

Exemplo 8Calcule

x+ 2

(x 1)(x 2)(x 5)dx .

Soluo

Uma primitiva para este tipo de funo no simples de visualizar. Entretanto, estudamos esta funo do integrando no exemplo 7 e vimos que podemos reescrev-la como

x+ 2(x 1)(x 2)(x 5)

=3

4(x 1) 4

3(x 2)+

712(x 5)

,

portanto,

x+ 2(x 1)(x 2)(x 5)

dx =

34(x 1)

43(x 2)

+7

12(x 5)

dx.

Utilizando as operaes de integrao, obtemos

x+ 2(x 1)(x 2)(x 5)

dx =

34(x 1)

dx

43(x 2)

dx+

712(x 5)

dx

x+ 2

(x 1)(x 2)(x 5)dx =

34

1

(x 1)dx 4

3

1

(x 2)dx+

712

1

(x 5)dx,

e utilizando a substituio u vista na aula 9 (Mais primitivas e as somas de Riemann), obtemos

x+ 2

(x 1)(x 2)(x 5)dx =

34ln(x 1) 4

3ln(x 2) + 7

12ln(x 5) + C.

Exemplo 9Calcule

2x2 + x+ 1

(x 1)2(x2 + x+ 1)dx .


Soluo

Se a primitiva do exemplo anterior j era difcil de imaginar, a deste muito mais!. Entretanto, vimos no exemplo 4 que podemos reescrever a frao anterior como

2x2 + x+ 1(x 1)2(x2 + x+ 1)

=1

3(x 1)+

43(x 1)2

x3(x2 + x+ 1)

,

portanto,

2x2 + x+ 1(x 1)2(x2 + x+ 1)

dx =

13(x 1)

+4

3(x 1)2 x

3(x2 + x+ 1)

dx.

Utilizando as operaes de integrao, obtemos

2x2 + x+ 1(x 1)2(x2 + x+ 1)

dx =

13(x 1)

dx+

43(x 1)2

dx

x

3(x2 + x+ 1)dx,

vamos resolver separadamente as trs integrais acima do 2 membro. Utilizaremos a substituio u vista na aula 9 para resolver essas trs integrais:

i) fazendo u = x 1 e du = dx , e substituindo em

13(x 1)

dx, obtemos:

13(x 1)

dx =

13(u)

du =13lnu+ C =

13ln(x 1) + C;

ii) fazendo u = x 1 e du = dx, e substituindo em

43(x 1)2

dx , obtemos:

43(x 1)2

dx =

43(u)2

du =43

u2du =

431u+ C =

43(x 1)

+ C;

iii) como o denominador da 3 integral 3(x2 + x+ 1) = 3x2 + 3x+ 3 um trinmio com razes complexas da forma ax2 + bx+ c , devemos completar o quadrado do trinmio

somando e subtraindo

b

2a

2.

mais simples completar o quadrado do trinmio 3(x2 + x+ 1), onde a = b = c = 1

e

b

2a

2=

1

2 1

2=

12

2, obtendo

3(x2 + x+ 1) = 3

x2 + x+

12

212

2+ 1

,

3(x2 + x+ 1) = 3

x 1

2

2+

34

.

Portanto a 3 integral pode ser reescrita na forma

x

3(x2 + x+ 1)dx =

x

3

x 1

2

2+

34

dx


Fazendo u = x12, x = u+

12

e du = dx e substituindo

x

3(x2 + x+ 1)dx =

u 1

2

3(u)2 +

34

du,

x

3(x2 + x+ 1)dx =

u

3u2 +

34

du 12

1

3u2 +

34

du,

x

3(x2 + x+ 1)dx =

16

2u

u2 +34

du 16

1

u2 +

32

2du,

j escrevemos as integrais do 2 membro acima de modo que a 1 fosse um logaritmo e a 2 podemos obter da tabela de integrais que viemos criando desde a aula 8 (A primitiva).

x

3(x2 + x+ 1)dx =

16lnu2 +

34

1

6arctg

u3/2

+ C,

x

3(x2 + x+ 1)dx =

16ln

x 1

2

2+

34

1

6arctg

2x 1

2

3

+ C,

x

3(x2 + x+ 1)dx =

16ln(x2 + x+ 1) 1

6arctg

2x 1

3

+ C,

juntando as trs integrais calculadas, temos:

2x2 + x+ 1(x 1)2(x2 + x+ 1)

dx =

13(x 1)

dx+

43(x 1)2

dx

x

3(x2 + x+ 1)dx

=13ln(x 1) + 4

3(x 1)16ln(x2 + x+ 1) 1

6arctg

2x 1

3

+ C

=13ln(x 1) + 4

3(x 1) 1

6ln(x2 + x+ 1) +

16arctg

2x 1

3

+ C.

Resumindo, o resultado

2x2 + x+ 1(x 1)2(x2 + x+ 1)

dx =

13ln(x 1) + 4

3(x 1) 1

6ln(x2 + x+ 1) +

16arctg

2x 1

3

+ C.

Agora com voc!


Atividade 2

Integrais imprpriasDeterminar se uma funo integrvel muito difcil. J conversamos bastante sobre

funes contnuas e integrao nas aulas 10 (A integral definida) e 11, mas para deixar registrado essa ligao, anunciamos a seguir um teorema muito importante.

Calcule as integrais das funes da atividade 1.

Teorema

Seja f uma funo contnua definida em um intervalo fechado [a, b] ento f integrvel.

Mas, existem muitos casos em que f no contnua ou o intervalo de integrao no limitado, por esse motivo importante estender o conceito de integral. A essas extenses chamamos integrais imprprias.

Apresentamos a seguir os casos mais comuns e perceba como o conceito de limite usado para fazer a extenso.

Caso 1 - Seja f contnua em [a, b]), define-se baf(x)dx = lim

cb

caf(x)dx .

Caso 2 - Seja f contnua em ([a, b], define-se baf(x)dx = lim

ca+

bcf(x)dx .

Caso - Seja f contnua em [a, d) (d, b], define-se baf(x)dx = lim

cd

caf(x)dx+ lim

cd+

bcf(x)dx.

Caso - Seja f contnua em [a,), define-se a

f(x)dx = limc

caf(x)dx .

Caso - Seja f contnua em (, b], define-se b

f(x)dx = limc

bcf(x)dx.

Caso - Seja f contnua em (,), define-se

f(x)dx = lima

0a

f(x)dx+ limb

b0f(x)dx.


Se os limites usados (um ou dois), dependendo do caso, convergirem, dizemos que a integral imprpria converge, caso contrrio dizemos que a integral imprpria diverge.

Utilizaremos a seguintes integrais indefinidas conhecidas,

13xdx =

1

x13

dx =

x13 =

x113

1 13

+ C =3x

23

2+ C =

3 3x2

2+ C

e

1x2

dx =

x2dx =x12

1 2+ C =

x1

1+ C = 1

x+ C ,

para ilustrar atravs de exemplos os casos apresentados de integrais imprprias.

Os exemplos 10 e 11 a seguir referem-se ao caso 1.

Exemplo 10f(x) =

13x

contnua em [8, 0)

08

13xdx = lim

c0

c8

13xdx = lim

c0

3 3x2

2

c

8

= limc0

3

3c2

2

3 3(8)2

2

=

0 3.42

= 6

como o limite acima existe, a integral converge.

Exemplo 11f(x) =

1x2

contnua em [1, 0)

01

1x2

dx = limc0

c1

1x2

dx = limc0

1x

c1

= limc0

1c 1

1

= () =

como o limite acima no existe, a integral diverge.

Os exemplos 12 e 1 a seguir referem-se ao caso 2.

Exemplo 12 Seja f(x) =

13x

contnua em (0, 8],


Atividade 3

80

13xdx = lim

c0+

8c

13xdx = lim

c0+

3 3x2

2

8

c

= limc0+

3 382

2 3

3c 2

2

= 6;

como o limite acima existe, a integral converge.


1x2

contnua em (0, 1]

10

1x2

dx = limc0+

10

1x2

dx = limc0+

1x

1c

= limc0+

11 1

c

= () =


Adapte os exemplos anteriores para o caso 3.

Os exemplos 1 e 1 a seguir referem-se ao caso .


13x

contnua em [8,),

8

13xdx = lim

c

c8

13xdx = lim

c

3 3x2

2

c

8

= limc

3

3c2

2

3 3(8)2

2

=

como o limite acima no existe, a integral diverge

Exemplo 15Seja f(x) =

1x2

contnua em [1,)

1

1x2

dx = limc

c1

1x2

dx = limc

1x

c1

= limc

1c 1

1

= () =



Atividade 4

Resumo

Adapte os exemplos anteriores para os casos 5 e 6.

Nesta aula, vimos como utilizar a tcnica de decomposio e fraes parciais

para calcular a integral de uma funo do tipo GG((xx))HH((xx))

, onde GG((xx)) e HH((xx)) so

polinmios com coefi cientes reais, com o grau do polinmio do numerador menor que o grau do polinmio do denominador. Tambm vimos como utilizar as integrais imprprias para calcular a integral nos casos em que f no era contnua ou o intervalo de integrao no era limitado.


1

2

Auto-avaliaoComo utilizar o mtodo da decomposio em fraes parciais para resolver a

integral de uma funo que expressa da forma G(x)H(x)

, onde G(x) e H(x) so

polinmios com coeficientes reais, com o grau do polinmio do numerador maior

que o grau do polinmio do denominador?

Qual a diferena entre o mtodo da decomposio em fraes parciais e mtodo de Heaviside de fraes parciais?

RefernciasANTON, Howard. Clculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. v 1.

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de clculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. v 1.

SIMMONS, George F. Clculo: com geometria analtica. So Paulo: McGraw-Hill, 1987. v 1.

THOMAS, George B. Clculo. So Paulo: Addison Wesley, 2002.


Anotaes

Aula 12 ClculoI22

Anotaes

Aula 12 ClculoI

cálculo i - aula 12 - 726

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