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TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC
DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
CON PRÁCTICAS DE LABORATORIO
EN SCIENTIFIC WORKPLACE
Material de Apoyo para los cursos de Matemáticas I y II
M. en C. Antonio Silva Martínez
2008
2
TECNÓLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC
DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA
ÍNDICE
Página
I. Introducción 5
1. Scientific WorkPlace.
1.1 Una Breve descripción del programa
1.2 Herramientas de Scientific WorkPlace
1.2.1 Editor de Scientific WorkPlace
1.2.2 Sintaxis de Scientific WorkPlace
1.2.3 Exportación y importación de contenidos y figuras
1.3 Presentación de resultados.
1.4 Scientific Workplace. Una sesión de trabajo
6
6
7
8
11
11
12
2. La Función de una variable real
2.1 Definición de función
2.1.1 Funciones elementales
2.1.2 Propiedades de funciones
2.2 Gráficas de funciones con Scientific WorkPlace
14
15
16
3. El Límite de una función de una variable real
3.1 Idea intuitiva de límite
3.1.1. Límites laterales
3.1.2. Propiedades de los límites
3.1.3. Límite de una función en un punto
3.1.4. Límites infinitos
3.1.5. Operaciones con límites
3.1.6. Ejemplos
18
18
19
19
21
21
3
3.2. Límites de funciones con Scientific WorkPlace
24
4. La Derivada de una función de una variable real
4.1. Definiciones de la derivada de una función
4.1.1. Propiedades de la derivada de una función
4.1.2. Operaciones con la derivada de una función
4.1.3. Ejemplos
4.2. Derivadas de funciones con Scientific WorkPlace
26
28
30
31
32
5. El Diferencial de una función de una variable real
5.1. Definición de diferencial de una función
5.1.1. Ejemplos
5.2. Diferenciales de funciones con Scientific WorkPlace
34
35
37
6. La Integral indefinida de una función de una variable real
6.1 Definición de integral indefinida
6.1.1 Primitiva de una función
6.1.2 Propiedades de la integral indefinida
6.1.3 Ejemplos
6.2 Integrales Indefinidas con Scientific WorkPlace
38
39
41
42
7. La Integral definida de una función de una variable real
7.1 Definición de integral definida
7.1.1 Propiedades de la integral definida
7.1.2 Ejemplos
7.2 Integrales definidas con Scientific WorkPlace
7.3 Aplicaciones. Área bajo una curva
8. Prácticas de Cálculo Diferencial e Integral con Scientific WorkPlace
Práctica No. 1 Gráficas de Funciones
Práctica No. 2 Límites de Funciones
Práctica No. 3 Derivadas de Funciones
45
46
48
49
58
59
60
4
Práctica No. 4 Diferenciales de Funciones
Práctica No. 5 Integrales Indefinidas de Funciones
Práctica No. 6 Integrales Definidas de Funciones
Práctica No.7 Aplicaciones. Área Bajo una Curva
61
62
63
64
9. Apéndice
Apéndice A. Factorización de expresiones Algebraicas con Scientific WorkPlace
Apéndice B. Tablas de Derivadas e Integrales
Apéndice C. Reporte de práctica
10. Bibliografía
65
66
69
71
5
INTRODUCCIÓN
Este material es de apoyo para los cursos de Cálculo Diferencial e Integral de funciones
de una variable, con aplicaciones, correspondiente a la carrera de Ingeniería Electrónica,
del Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec. Como resultado mi compromiso
profesional hacia la institución, y que espero que contribuya en una sólida formación
académica de los estudiantes de Ingeniería Electrónica.
Como herramienta necesaria en la modelación y solución de problemas de ingeniería en
general, las matemáticas merecen un especial apoyo con material didáctico detallado
para la buena comprensión y motivación de los estudiantes. Para lo cual se ha preparado
este trabajo para la solución de problemas de Cálculo Diferencial e Integral y sus
aplicaciones, mediante un programa de actualidad y facilidad de manejo, denominado
Scientific WorkPlace, en su versión 5.5. Tal herramienta debe motivar al estudiante de
Ingeniería Electrónica sobre la importancia de las Matemáticas y sus consecuentes retos
para resolver problemas prácticos. Complementándose este trabajo con prácticas que
ejerciten, motiven y refuercen al estudiante a lo aprendido en el aula.
Las Matemáticas en general no pueden estudiarse en forma contemplativa o pasiva, al
contrario, requieren una actitud dinámica y participativa. Bajo este punto de vista, se
espera que el alumno se anime a analizar, comprender y realizar con este apoyo, la
mayor cantidad de ejercicios y problemas aplicados posibles. Adquiriendo así las bases
cognitivas para asignaturas posteriores de la carrera, donde se analicen fenómenos
eléctricos y electrónicos mediante esta importante herramienta.
Finalmente, este trabajo lo presento ante la coordinación de Material Didáctico y la
Academia de Ciencias Básicas de la División de Ingeniería Electrónica y Telemática del
TESE, el cual ha sido avalado por las mismas para su difusión y uso del mismo por parte
de los profesores y estudiantes de la División.
M. EN C. ANTONIO SILVA MARTÍNEZ
DOCENTE DIET
TECNÓLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC
DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA
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1. SCIENTIFIC WORKPLACE
1.1 Una Breve descripción del programa
Scientific Workplace es un software creado en la Universidad de New México, E.E. U.U.,
con antecedentes desde 1984, formalizado y patentado por MacKichan Software, Inc., en
el año de 1994. Con este software se pueden editar textos, graficar ecuaciones y resolver
problemas matemáticos de gran variedad y con notable facilidad. El programa está
basado en un sencillo procesador de textos que integra completamente matemáticas
complejas y textos técnicos en un único entorno de trabajo. Además, con el sistema de
álgebra computacional integrado en el propio programa, puede también realizarse
cálculos precisos desde el mismo editor. Finalmente, el software cuenta con tópicos
relevantes de Física y Química en una librería al final de la sección que describe el
contenido del software.
Scientific WorkPlace combina la facilidad de edición de expresiones matemáticas en su
notación natural, sin notaciones complejas, con la posibilidad de realizar cálculos desde
el mismo entorno de trabajo, gracias a la inclusión del potente motor de álgebra
computacional MuPAD 2.5, mediante el cual se pueden editar documentos y realizar
cálculos sin la necesidad de utilizar algún programa externo. Las prestaciones y
capacidades disponibles son muy amplias.
Con Scientific WorkPlace se pueden realizar cálculos simbólicos y numéricos, integrar,
diferenciar funciones, resolver ecuaciones diferenciales y algebraicas, resolver problemas
de álgebra matricial, Transformadas y Transformadas Inversas de Laplace y Fourier, etc.
Además, sencillas instrucciones, es posible crear gráficas en dos dimensiones y en tres
dimensiones en varios estilos, en sistemas de coordenadas rectangulares, cilíndricas y
esféricas, y en diferentes orientaciones.
Scientific WorkPlace permite además componer complejos documentos técnicos con
LaTex, la aplicación estándar en composición matemática. Gracias a su enorme precisión
y calidad, se puede utilizar de manera confiable en el desarrollo de trabajos de
investigación y profesionales. En su versión 5.5, Scientific WorkPlace exporta documentos
a formatos RTF para ser importados a Microsoft Word. De este modo, las matemáticas
incluidas en sus documentos pueden convertirse a formato Microsoft Editor o Math Type
5. Además se pueden generar presentaciones en formatos PDF.
7
1.2 Herramientas de Scientific WorkPlace
1.2.1 Editor de Scientific WorkPlace
La intención de los creadores de Scientific WorkPlace es la de poder usar la computadora
para cálculos matemáticos de forma casi natural, con notación matemática estándar, sin
la necesidad de otro lenguaje más complejo. Por ejemplo, permite graficar una ecuación
en dos dimensiones o en tres dimensiones, editar una expresión matemática, simplificarla
o factorizarla. Resolver un sistema de ecuaciones, evaluar límites, derivadas e integrales
de funciones, etc.
Con Scientific WorkPlace se puede editar y realizar cálculos matemáticos de manera casi
familiar a como lo realiza un editor de texto actualidad. Con la ayuda del mouse de la
computadora, para elegir los símbolos del panel principal del editor, haciendo un “clic”
sobre los necesarios para el documento, figura 1.
Figura 1. Panel principal del editor Scientific WorkPlace
“clic” mouse,
botón izquierdo
8
1.2.2 Sintaxis de Scientific WorkPlace
En ciertos sistemas y programas de cómputo, es necesario determinado arreglo de
comandos y notaciones para representar una entrada para un cálculo o evaluación
matemáticos. En algunos de ellos, se necesitan más de 2000 operadores, por ejemplo,
para integrar la expresión:
Se necesita editar, en un sistema tradicional de computación, la expresión:
int(x^2/sqrt(x^2-9),x)
La cual es de forma más compleja, lo que puede generar con mayor posibilidad, un error
en su sintaxis y resultado, lo cual se evita obviamente con la sencilla notación que utiliza
Scientific WorkPlace, como se verá en seguida con los siguientes ejemplos:
1. Para la edición de una integral a evaluar mediante Scientific WorkPlace, como la
anterior, se lleva a cabo mediante los siguientes pasos:
Paso Acción Resultado
1 Clic
2 Clic
3 Clic , después
4 Clic en el denominador
5 Repetir el #3
6 Escribir , en la raíz
7 Escribir
Finalmente, se pueden adicionar límites a la integral, aplicando subscript y superscript al
operador .
9
2. Se puede escribir una expresión matemática con Scientific WorkPlace y obtener sus
factores. Mostrando su resultado, de la siguiente forma:
Editar la expresión:
Elegir la operación factor del menú compute, dando como resultado:
3. Para graficar expresiones como la anterior, elegir plot 2D del menú compute.
Scientific WorkPlace creará una gráfica como la siguiente:
Para variar los rangos de x y y de la gráfica, ( y ) de la gráfica
hacer “clic” en Edit / Properties.
4. Para expresiones matemáticas más complejas, se pueden utilizar radicales, paréntesis y
corchetes, contenidos en la siguiente ventana, figura 2:
Figura 2. Ventana de corchetes para expresiones matemáticas
10
5. Para operadores matemáticos más complejos, por ejemplo de integración, se pueden
utilizar los contenidos en la siguiente ventana figura 3:
Figura 3. Ventana de operadores para expresiones matemáticas
6. Para aplicar decoraciones a una expresión matemática, se tiene la siguiente ventana,
figura 4:
Figura 4. Ventana de decoraciones para expresiones matemáticas
11
1.2.3 Exportación e importación de contenidos y figuras.
Debido a su compatibilidad con Windows, textos, ecuaciones y gráficas y cálculos
matemáticos en general, creados en Scientific WorkPlace, se pueden importar y exportar
directamente a otros programas de Windows.
1.3 Presentación de resultados
Se puede editar e imprimir su trabajo en pantalla e impresión con una gran variedad de
colores, con ayuda de la siguiente ventana, figura 5:
Figura 5. Ventana de colores para expresiones del Scientific WorkPlace
Estas aplicaciones son sólo algunas de la gran versatilidad que ofrece el Scientific
WorkPlace, las cuales se pueden ir conociendo en detalle y profundizando a medida que
se practique en el mismo.
En su versión 5.5, Scientific WorkPlace exporta documentos a formatos RTF para ser
importados a Microsoft Word. De este modo, las matemáticas incluidas en sus
documentos pueden convertirse a formato Microsoft Editor o Math Type 5. Además se
pueden generar presentaciones en formatos PDF.
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Como se puede apreciar, la sencillez y utilidad del Scientific WorkPlace es muy notoria, lo
que genera un alto grado de confianza y satisfacción en el estudiante. Mediante
instrucciones sencillas y prácticamente iguales al lenguaje matemático común y corriente
que se utiliza desde cursos básicos de matemáticas. Como se verá a detalle en las
aplicaciones que se le den al programa en los ejemplos y ejercicios a tratar en este
trabajo.
Finalmente, para imprimir un documento del Scientific WorkPlace, el programa utiliza
prácticamente la misma rutina que un programa en Windows.
1.4 Scientific Workplace. Una sesión de trabajo
Para comenzar a trabajar en el Scientific WorkPlace, se deben llevar a cabo los siguientes
pasos:
1. Activar Scientific WorkPlace del menú de programas, o bien del escritorio de su PC
2. Hacer “clic” el ícono New de la barra:
Open Print Spelling Copy Undo Show/Hide Table
New Save Preview Cut Paste Properties Math/Text Zoom Factor
Del menú principal para generar una sesión de trabajo
3. Del menú principal de Scientific WorkPlace, elegir la sección view y activar las
siguientes barras de trabajo:
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Unit BigFraction Superscript Parentheses Sum Name Operators Matrix Binomial Decoration
Radical Subscript Square Integral Display Brackets Math LabelBrackets Name
Math Templates Math Objects
Lowercase Binary Negated Miscellaneous GeneralGreek Operations Relations Symbols Latin-1 Punctuation
Uppercase Binary Arrows Special LatinGreek Relations Delimiters Extended-A
4. En la sección view del menú principal se localizan más barras, que se podrán activar
de acuerdo a las necesidades de trabajo, siendo las anteriores las más elementales.
Solve Plot 3D ShowEvaluate Exact Expand Rectangular Definitions
Evaluate Simplify Plot 2D NewNumerically Rectangular Definition
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2. FUNCIÓN DE UNA VARIABLE REAL
2.1 Definición de función
"Una función real de variable real es una aplicación f de un subconjunto no vacío D de R
en R”
Se llama función real porque su recorrido es R y de variable real porque el dominio
pertenece a R
f(x)=y es la ley de la función dada a través de una fórmula matemática y como viene
despejada la variable se dice que está escrita de forma explícita y que esta expresión
depende de x, ya que los valores de y se obtienen dando valores a x:
2.1.1 Funciones Elementales
1. Función constante:
f(x)=c; donde c perteneciente a R se llama constante para todo x perteneciente a R
Las gráficas de una función constante son rectas paralelas al eje de las x o abscisas
2. Función lineal:
f(x)= ax; para todo a perteneciente a y x pertenecientes a R
Casos particulares:
Si a = 1 entonces se obtiene la función identidad en R y su gráfica es la bisectriz de el
primer y tercer cuadrante
Si a = -1 entonces la gráfica será la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante
3. Función valor absoluto:
f(x)=ǀxǀ, para todo x perteneciente a R
La gráfica en valor absoluto nunca puede ir por debajo del eje de las x o abscisas y se
obtiene a partir de la función identidad subiendo la parte que se encuentra por debajo
del eje de las x haciéndolo simétrico a la parte que se encuentra por encima del eje x.
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4. Función afín:
f(x)= ax + b; a, b y x pertenecientes a R.
La gráfica de las funciones afines son gráficas que no pasan por el origen de
coordenadas, la constante b indica el punto donde corta al eje de las y, por encima o por
debajo del eje x
Relación entre las gráficas de la función afín y la función lineal: Una función afín siempre
tiene asociada una función lineal haciendo b igual a 0
2.1.2 Propiedades de funciones
Conmutativa: (fig.)(x)= (g+f)(x)
Asociativa: [f(x)+g(x)]+h(x) = f(x)+ [g(x)+h(x)]
Elemento neutro: Para la suma de funciones es la constante 0
Opuesto de f(x)= -f(x), ya que f(x)+(-f(x))= 0
Conmutativa: f(x).g(x)= g(x).f(x) para todo f, g
Asociativa: [f(x).g(x)].h(x)= f(x).[g(x).h(x)] para todo f, g, h
Elemento neutro: Se llama elemento unidad y es la función constante 1
f(x).u(x)= u(x).f(x)= f(x) para todo f
Propiedad distributiva del producto respecto de la suma:
f(x).(g(x)+h(x))= (f(x).g(x)) + (f(x).h(x))
Simetría de funciones:
Hay dos tipos de simetrías:
1. Simetría con respecto al eje y: función par
Función par: una función real de variable reales par y su gráfica es simétrica al eje y si
para todo x:
f(x) = f(-x)
2. Simetría con respecto al origen de coordenadas: función impar
Función impar: una función real de variable real es impar y su gráfica es simétrica
respecto al origen de coordenadas si para todo x:
f(x) = -f(-x)
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2.2 Gráficas de funciones con Scientific WorkPlace
Para graficar una función en dos dimensiones, seguir el siguiente procedimiento:
a) Escribir y=f(x) , sombreando la expresión y pulsar sobre el icono:
Editándose la función en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
b) Hacer “clic” en el ícono
para graficar la función deseada
Para graficar una función en tres dimensiones, seguir el siguiente procedimiento:
a) Escribir z=f(x,) , sombreando la expresión hacer clic en el icono:
Editándose la función en forma matemática (color rojo), indicado con el
ícono:
b) Hacer “clic” en el ícono
para graficar la función deseada
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En el caso de las gráficas en dos y tres dimensiones de una función, se les puede agregar
título a las mismas y nombres a los respectivos ejes. Así como modificar estilos, colores,
escalas e intervalos a los mismos, haciendo doble clic en los extremos derecho, superior
e inferior, de dichas gráficas.
En seguida se muestran varios ejemplos de gráficas en dos y tres dimensiones. Haciendo
doble “clic” con el botón izquierdo del mouse en el siguiente ícono:
:
GRAFICAS DE FUNCIONES (SWP 5.5).tex
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3. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE REAL
3.1 Idea intuitiva de límite
El límite de una función y = f(x) en un punto x0 es el valor al que tiende la función en
puntos muy próximos a x0.
Por ejemplo, considérese la función lineal y = 2 x + 1. ¿A qué valor se aproxima la
función, cuando x se aproxima al valor 3?
Solución:
Si se quiere estudiar el límite de esta función cuando x tiende a 3, hay que ver los
valores que toma la función en puntos muy próximos a 3.
Se observa que al tomar valores de x muy próximos a 3, ya sean mayores o menores
que él, sus imágenes se aproximan al valor 7. Cuanto mayor es la proximidad de x a 3,
mayor es la proximidad de f(x) a 7.
Esto se expresa diciendo que, cuando x tiende a 3, el límite de la función y = 2 x + 1 es 7,
y se escribe
7123
)x(limx
3.1.1 Límites laterales
El límite por la izquierda de una función y = f(x), cuando x → x0, es el valor al que tiende
la función para puntos muy próximos a x0 y menores que x0.
Para expresar el límite por izquierda se escribe )x(flim0xx
El límite por la derecha de una función y = f(x), cuando x → x0, es el valor al que tiende la
función para puntos muy próximos a x0 y mayores que x0.
Para expresar el límite por derecha se escribe )x(flim0xx
La relación entre el límite y los límites laterales de una función es la siguiente:
El límite de una función y = f(x) en un punto x0 existe si y solo si existen los límites
laterales y coinciden:
)x(flim0xx
= )x(flim
0xx
=L
Si se verifica esto, y L es un número finito, se dice que la función es convergente.
En el ejemplo anterior los límites por la derecha y por la izquierda coinciden:
7)1x2(lim)1x2(lim3x3x
3.1.2 Propiedades de los límites
Si una función f(x) tiene límite cuando x → x0, el límite es único.
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Esto se puede escribir también así:
Si L)x(flim0xx
y ´
xxL)x(flim
0
L = L´
Ejemplo. Sea la función definida por
2xsi,7
2xsi,x)x(f
2
¿Cuál es su límite cuando x tiende a 2?
Solución:
Para calcular el límite de la función cuando x tiende a 2, puede hacerse una tabla de
valores para puntos de abscisa próximos a 2:
Se observa que cuando x tiende a 2, tanto por la derecha como por la izquierda, la
función tiende al valor 4. Por lo tanto,
4)x(flim)x(flim)x(flim2xx2xx2xx
3.1.3 Límite de una función en un punto
1. Se dice que una función f(x) converge, en el punto x0, hacia el valor L, o que su límite
en x0 es L y se escribe L)x(flim0xx
, cuando a valores muy próximos a x0 corresponden
valores de la función muy próximos a L.
La definición anterior se puede concretar más:
2. Una función f(x) converge hacia L en x0, o tiene por límite L en x0, cuando para todo
entorno de L de radio ε, E(L, ε) = (L- ε , L+ ε), hay un entorno de x0 de radio δ, E(x0,δ)=
(x0 - δ,x0 + δ), tal que para cualquier x de E(x0, δ), su imagen f(x ) está en E(L, ε).
O bien:
3. Una función f(x) converge hacia l en x0, o tiene por límite L en x0, cuando para
cualquier ε > 0, existe un δ > 0 tal que si 0 < | x - x0 | < δ
3.1.4 Límites infinitos
Una función es divergente cuando su límite es +∞ ó -∞
Se estudiarán los siguientes casos sobre límites:
Caso 1.
)x(flim0xx
Ejemplo. Sea la función f(x) = 1 / x ².
20
Para calcular el límite de esta función en el punto x0 = 0, hay que estudiar los valores que
toman las imágenes de puntos próximos a 0. De la observación de la gráfica de la
función se deduce que:
Para valores próximos a 0 y menores que 0, la función toma valores cada vez mayores.
Esto significa que
2
0x x1lim
Para valores próximos a 0 y mayores que 0, la función toma valores cada vez mayores.
Esto significa que
2
0x x1lim
Puesto que
2
0x2
0x x1lim
x1lim entonces 20x x
1lim
En el caso de la función g(x) = -1/x ², el límite de la función cuando x → 0 es -∞.
Para valores próximos a 0 y distintos de 0, tanto por la derecha como por la izquierda,
los valores que toma la función son cada vez menores.
Caso 2. L)x(flim xx
Sea la función y = x / (x - 1).
Observando la gráfica de la función, se ve como a medida que x toma valores cada vez
mayores, la función se aproxima más a 1. Por lo tanto, el límite de la función cuando x
tiende a infinito es 1.
11x
xlimx
De la observación de la gráfica se deduce que a medida que x toma valores cada vez
menores, la función se aproxima más a 1. Por lo tanto, el límite de la función cuando x
tiende a -∞ es también 1.
11x
xlimx
Caso 3. )x(flimx
Sea la función f(x) = x + 5.
Observando la gráfica se ve claramente que cuando x tiende a más infinito, la función
también tiende a más infinito. Es decir, a valores cada vez mayores de x, corresponden
valores cada vez mayores de la función. Por lo tanto,
5xlimx
Cuando x toma valores cada vez menores, la función también toma valores cada vez
menores. Por lo tanto,
5xlimx
Si se estudian los límites en el infinito de g(x) = -(x + 5), se tiene:
5xlim
x y
5xlimx
21
Es decir, cuando x toma valores cada vez mayores, x →+∞, la función toma valores cada
vez menores, g(x) →-∞
Y cuando x toma valores cada vez menores, x →+∞, la función toma valores cada vez
mayores, g(x) →+∞
3.1.5 Operaciones con límites
Sean f y g dos funciones tales que: A)x(flim0xx
y B)x(glim0xx
a) Límite de una suma de funciones
El límite de una suma de dos funciones convergentes, es igual a la suma de los límites
de cada una de ellas:
BA)x(glim)x(flim)x(gflim000 xxxxxx
b) Límite de una resta de funciones
El límite de una resta de dos funciones convergentes, es igual a la diferencia de los
límites de cada una de ellas:
BA)x(glim)x(flim)x(gflim000 xxxxxx
c) Límite de un producto de funciones
El límite de un producto de dos funciones convergentes, es igual al producto de los
límites de cada una de ellas:
B.A)x(glim).x(flim)x(g.flim000 xxxxxx
d) Límite de un cociente de funciones
El límite de un cociente de dos funciones convergentes es igual al cociente de los límites
de cada una de ellas, si el denominador no es nulo:
B/A)x(glim/)x(flim)x(g/flim000 xxxxxx
(B ≠ 0)
3.1.6 Ejemplos. Evaluar los límites de las siguientes funciones.
1) f(x) = x ² + 2 y g(x) = 1/x
)x(g/flim)d)x(g.flim)c
)x(gflim)b)x(gflim)a
3x3x
3x3x
Solución:
Sean 3
13x
2
3x )x(glimy1122)x(flim
a) 3
343
13x3x3x 11)x(glim)x(flim)x)(gf(lim
b) 3
323
13x3x3x 11)x(glim)x(flim)x)(gf(lim
22
c) 3
113
13x3x3x 11)x(glim).x(flim)x)(g.f(lim
d) 33/11)x(glim/)x(flim)x)(g/f(lim 31
3x3x3x
8444164lím16x
xlím16x
4xlím16x
16x
4x16xlím
16x
4x
4x
4x
16xlím
16x
:conjugado el por ando Multiplic
4x
16x lím16x
)4
121
4441
4)2(222
1
4lím2x
x2lím2x
2xlím2x
1lím2x
4x22x
1lím
2x
)4x22x)(2x(
)2x(lím
2x
: doFactorizan
83x
2x lím2x
)3
161
)8(21
)1514(2
1
15lím1x
xlím1x
1)(x1x
lim
1
)15x4)(1x)(1x(
x1 lím1x
)15x4)(12x(
)15x(16 lím
1x
15x4
15x4
12x
15x4lím
1x
:conjugado el por ando Multiplic
12x
15x4 lím
1x
)2
23
21
110
1
1lím0x
1lím0x
xlím0x
1lím0x
11x
1
0xlim
)11x(x
11x
0xlim
11x
11x
x
11x
0xlim
:conjugado el por ndoMultiplica
,x
11x
0xlim)7
81
441
0164
1
xlím0x
16lím0x
4lím0x
1lím0x
x164
1lím
0x
)x164(x
xlím
0x
)x164(x
x1616lím
0x
x164
x164
x
x164lím
0x
:conjugado el por ando Multiplic
x
x164lím
0x)6
83
3212
)422)(22(
4)2(222
4lím2x
2xlím2x
2lím2x
xlím2x
4lím2x
x2lím2x
2xlím2x
)42x)(2x(
4x22xlím
2x
)42x)(2x)(2x(
)4x22x)(2x(lím
2x
)42x)(2x)(2x(
83xlím
2x
: doFactorizan
,
164x
83x lím2x
)5
24
3.2 Límites de Funciones con Scientific WorkPlace
Para evaluar el límite de una función con Scientific WorkPlace,
seguir el siguiente procedimiento:
a) Escribir limx→a f(x) , sombreando la expresión hacer clic en el icono:
Editándose el límite en forma matemática (color rojo),
indicado con el ícono:
b) Hacer “clic” en el ícono
Para evaluar el límite deseado
O también de la sección Compute del menú, hacer clic en
evaluate para evaluar dicho límite.
Los ejemplos resueltos de la sección anterior, se pueden
comprobar con Scientific WorkPlace, tal como se muestra en
seguida:
Las evaluaciones anteriores están contenidas en el archivo:
EJEMPLOS LIMITES DE FUNCIONES.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “clic” con el botón izquierdo del mouse
sobre el ícono anterior.
En seguida se muestran más ejemplos resueltos de límites de funciones. Haciendo doble “clic” con el
botón izquierdo del mouse en el siguiente ícono:
:LÏMITES DE FUNCIONES. (SWP) 5.5.tex
1)
a) limx3x221
x34
3
b) limx3x221
x32
3
c) limx3x221
x11
3
d) limx3x221x
33
2) limx14 x15
x21
1
16
3) limx2x2
x38
1
12
4) limx16x16
x48
5) limx2x38
x416
3
8
6) limx04 16x
x 1
8
7) limx0x11
x 1
2
25
4. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE REAL
Históricamente el concepto de derivada es debido a Newton y a Leibnitz. Sus definiciones surgen a
raíz del concepto de límite.
Sin embargo, son varias las formas en que se ha generado el concepto de derivada, los comunes son
los siguientes:
4.1 Definiciones de Derivada.
a) Pendiente de una curva: La pendiente del gráfico de la función f en el punto (x , f(x) ) es la
derivada de f en x.
b) Tangente a una curva: La recta tangente al gráfico de la función f en el punto
P = (x , f(x) ) es la recta que pasa por P con pendiente igual a la derivada de f en x.
c) Velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta: La velocidad en el instante t de un
objeto, cuya posición sobre una recta viene dada por f(t) en el instante t, es la derivada de f en el
punto t. El valor absoluto de la velocidad es el módulo de esa cantidad.
d) Amplificación de una proyección entre rectas. La amplificación en x de una lente que proyecta el
punto x de una recta sobre el punto f(x) de otra recta es la derivada de f en x.
Una forma clásica de construir el concepto de derivada es la segunda definición, la de recta
tangente a una curva, se podría iniciar por tomar una línea que corta a la gráfica de la función en más
de un punto, como se muestra a continuación:
26
A medida que los intervalos de posición en x son más pequeños como el esquema que se muestra a
continuación, la línea recta tiende a ser más semejante a una línea tangente que a una línea recta
secante:
Analizando esta línea tangente, se puede ver que:
El triángulo rectángulo que se forma puede conducir a analizar cuál es la ecuación de la pendiente de
la línea recta tangente. Nótese la hipotenusa dentro del triangulo rectángulo corresponde a la línea
recta.
Como se puede apreciar, la ecuación que relaciona la línea recta está dada por la tangente:
27
Pero, se sabe para la línea recta dicha relación, da la pendiente de una línea recta:
Como se ha dicho, esta relación, de recta tangente se logra solo cuando los intervalos:
son pequeños, lo que equivale a decir que se genera el límite cuando
, o lo que equivale a decir que se genera el límite:
Fue a ese límite al que se le dio el nombre de derivada:
Donde, es una notación para indicar el operador de derivada.
4.1.1 Propiedades de la derivada de una función
a) Derivada de una función constante:
Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor
de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera
del campo de definición de f(x),
f(a + h) - f(a) = C - C = 0,
Por lo que:
Por lo tanto, la derivada de una constante es siempre cero.
b) Derivada de la función lineal f(x)=mx + b
28
Sea una función lineal cualquiera f(x)=mx+b. Para un punto cualquiera x,
Lo que significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en
consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.
c) Derivada de una constante por una función, k · f(x)
Si k es una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k. f(x) será:
Se ha demostrado que (k · f(x))' = k · f'(x) Así, para derivar una expresión de la forma k · f(x), basta
derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k.
d) Derivada de la función potencia xm (m un número natural)
Ejemplo. Calcular la derivada de f(x) = x2 en el punto de abscisa x= - 1.
f '(x) = 2 · x2 - 1
= 2 x
f '(- 1) = 2 · (- 1) = - 2
Entonces, la pendiente de la tangente a la parábola y = x2 en x = - 1 es - 2.
e) Derivadas de funciones trigonométricas sen x y cos x
La derivada de la función f(x) = sen x es f '(x) = cos x
La derivada de la función g(x) = cos x es g '(x) = - sen x
f) Derivada de la función logaritmo neperiano ln |x|
La derivada de la función f(x) = ln |x| es f '(x)= 1/x
g) Derivadas de las funciones exponenciales f(x)=ax y f(x)=e
x
29
Sea la función f(x) = ax, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en
un punto x es:
f ´(x) =ax .ln a
En particular, cuando la constante a es el número e, la derivada de la función f(x)=ex es
f ´(x) = ex
Hasta el momento se saben derivar algunas funciones elementales pero no hay nada que permita
encontrar las derivadas de una suma, un producto o un cociente de estas derivadas; se requiere, por
consiguiente, seguir avanzando en la obtención de propiedades encaminadas a este fin.
4.1.2 Operaciones con derivada de una función
a) Derivada de una suma de funciones
Si f y g son dos funciones derivables en un mismo punto x de un intervalo, la derivada de la función
suma en dicho punto, es:
[f(x) + g(x)]' = f '(x) + g '(x)
b) Derivada de una diferencia de funciones
[f(x) - g(x)}] '=f '(x)-g(x)'
c) Derivada de un producto de funciones
[f(x) . g(x)]'=f(x).g'(x)+f(x)'.g(x)
d) Derivada de un cociente de funciones
[f(x) / g(x)]'=[f´´(x).g(x)-f(x).g´(x)] / g(x)2, g(x)≠0
30
4.1.3 Ejemplos. Calcular las derivadas de las siguientes funciones.
)3x2(2
)8x32
x(33
)8x32
x(dxd
3)8x3
2x()x(f 3)
)44
x5(6
)8x45
x(77
)8x45
x(dxd
7)8x4
5x()x(f )2
)7x6(4
)1x72
x3(55
)1x72
x3(dxd
5)1x7
2x3()x(f )1
dx
df
dx
df
dx
df
1x4sen
4
x4sen1
4
2)x4sen1(
)x4sen1(4
)x4sen1(4x4sen4
2)x4sen1(
)x42cosx42sen(4x4sen4
2)senx1(
x42cos4x42sen4x4sen4
2)x4sen1(
)x4cos4)(x4(cos)x4sen4)(x4sen1(
2)x4sen1(
)x4sen1(dxd)x4(cos)x4(cos
dxdx4sen1
2
2
2
2
3
33
3
3
dx
df
dx
df
dx
df
dx
df
dx
df
x4sen1x4cos)x(f 5)
x1cosx3
x1xsen
dx
df
x1cosx3
x1sen
x
1xdx
df
xdxd)
x1(cos)
x1(cos
dxdx
dx
df
x1cosx
dxd
dx
df
x1cosx)x(f )4
31
1x
xx
dx
df
x )1x(xdx
df
)x2()1x(21x
dx
df
1xdx
dxx
dx
d
dx
df
x)x(f )7
x2sen2dx
df
x2sen2dx
df
)x2sen2(dx
df
x2cosdx
d)(dx
d
dx
df
)x(f )6
2
12
122/12
2/1212
21212
12
x2cos
x2cos
x2cos
x2cosx2cos
x2cos
e
e
e
ee
e
e
e
e
ee
e
4.2 Derivadas funciones con Scientific WorkPlace
Para evaluar una derivada de una función con Scientific WorkPlace, seguir el siguiente procedimiento:
a) Escribir )(xfdxd , sombreando la expresión y hacer “clic” en el icono:
Editándose la derivada en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
b) Hacer “clic” en el ícono
Para evaluar la derivada deseada
O también de la sección Compute del menú, elegir evaluate para evaluar dicha derivada.
32
Los ejemplos resueltos de la sección anterior, se pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal
como se muestra en seguida:
1) d
dx3x 2
7x 15 56x 73x 27x 1
4
2) d
dxx 54x 87 75x 4
4x 54x 8
6
3) d
dxx 23x 83 32x 3x 2
3x 82
4) d
dxx 3cos 1
x x sin 1x 3x 2 cos 1
x
5) d
dx
cos4x
1sin 4x
4
sin 4x1
6) d
dxecos2x
2sin2xecos2x
7) d
dxe x2
1x e x2
1
x21
Las evaluaciones anteriores están contenidas en el archivo:
EJEMPLOS DERIVADAS DE FUNCIONES.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “clic” con el botón izquierdo del mouse
sobre el ícono anterior.
Enseguida se muestran varios ejemplos resueltos de derivadas de funciones. Haciendo doble “clic”
con el botón izquierdo del mouse en el siguiente ícono:
33
DERIVADAS DE FUNCIONES (SWP 5.5).tex
5. EL DIFERENCIAL DE UNA FUNCION DE UNA VARIABLE REAL
5.1 Definición de diferencial.
Sea f(x) una función derivable. Entonces la diferencial de de una función correspondiente al
incremento h de la variable independiente, es el producto f ´(x).h. Se representa por df ó dy. Es decir:
df=dy= f ´(x).h
ó
df= dxdx
df= f ´(x)dx
para incrementos diferenciales de h (h=dx)
Donde la diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a
un incremento de la variable (ver figura)
H
QR
PR
QRtg)x´(f
34
5.1.1 Ejemplos. Calcular las diferenciales de las siguientes funciones.
dx2x1
x2
2x1
x2
2)
2x1(
x22
)2x1(1
2x1dxd
2x1
1
dxd
2x1
1)x(f
dx)2x3(sen)2x3(2
cos
)2x3(sen)2x3(2
cos
)2x3(2x1
x2sen3)2x3(
2cos3)2x3(
3cos
dxd
)2x3(3
cos)x(f)2
)x43
x24)(32
x24
x6(2
x243
x1605
x1447
x288
)x43
x24)(32
x24
x6(2)32
x24
x6(dxd
)32
x24
x6()x(f)1
df
:entonces
dxdx
dfdf
:donde
x2dx
df
dx
df
9df
:entonces
dxdx
dfdf
:donde
9dx
df
dx
df
dxdf
:entonces
dxdx
dfdf
:donde
dx
df 2
2
3)
35
dx
dx
d1x
112x1x
dxd
12x
4x
dxd
12x
4x)x(f
dx
x21edxd
x21e)x(f)5
)x(dxd
)1xln()1xln(dxd
x))1xln(x(dxd
)1xln(x)x(f)4
1x82x1x
1df
:entonces
dxdx
dfdf
:donde
1x82x1x
11xx21x)1x(
dx
df
)1x(dx
d1x1x
dx
df
e2df
:entonces
dxdx
dfdf
:donde
e2)x21(dx
de
dx
df
dx)1xln(1x
xdf
:entonces
dxdx
dfdf
:donde
))1xln(x)1xln(x(1x
1)1xln(
1x
x)1xln(
1x
1x
dx
df
dx
df
22
22
1222
1212
x21
x21x21
6)
36
5.2 Diferenciales de funciones con Scientific WorkPlace
Como se ve en la definición de diferencial, se utiliza la definición y propiedades de la derivada. Por lo
tanto y como en la sección anterior, las rutinas y dinámicas de cálculo con Scientific WorkPlace para
las diferenciales de una función serán las mismas que en la sección 4.2.
Los ejemplos resueltos de la sección anterior, se pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal
como se muestra en seguida:
1) d6x 42x 2
32 288x 7144x 5
160x 324xdx
2) dcos3x 23sin3x 2dx
3) d 1
1x22 x
x21
2dx
4) dx lnx 1 1
x1x lnx 1x lnx 1 dx
5) de12x2e12xdx
6) dx4
x21
1
x21
2x 2
8x 1dx
Las evaluaciones anteriores están contenidas en el archivo:
EJEMPLOS DIFERENCIALES DE FUNCIONES.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “clic” con el botón izquierdo del mouse
sobre el ícono anterior
Enseguida se muestran varios ejemplos resueltos de diferenciales de funciones. Haciendo doble “clic”
con el botón izquierdo del mouse en el siguiente ícono.
DIFERENCIALES DE FUNCIONES.tex
37
6. LA INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE REAL
6.1. Definición de integral indefinida
La integral Indefinida o antiderivada es el nombre que recibe la operación inversa a la derivada. Es
decir, dada una función F aquella consiste en encontrar una función f tal que Df = F.
Definición. Si f es derivable, se define al diferencial de una función df, como el producto de la derivada
de f por un incremento de la variable Δx. Es decir:
Por ejemplo:
De lo anterior, se puede deducir la siguiente expresión:
6.1.1 Primitiva de una función
Definición: Dada f de dominio (a;b), se dice que P es primitiva de f en (a;b), si y sólo si
P'(x) = f(x) en ese intervalo. Es decir, f es "hija" de P, que surgió gracias a un proceso de derivación.
Por lo tanto, el encontrar la función P es un proceso inverso o contrario a la derivación, y se lo conoce
como integración o antiderivación. Entonces:
P es primitiva de f en (a;b), sí y sólo si P'(x) = f(x)
Extiendo este teorema se puede afirmar que si P es primitiva de f, en realidad f tiene infinitas
primitivas, y que todo par de primitivas de esa función difieren en una constante arbitraria real C. A
este conjunto de infinitas primitivas de f, [P(x) + C], se le denomina Integral Indefinida de f.
Donde: ʃ es el símbolo integral, f la función integrando y C la constante de integración.
Por ejemplo:
38
6.1.2 Propiedades de la Integral indefinida
1) , con f integrable.
2) , con f derivable
Nota: De lo anterior, se puede deducir que al integrar y derivar una misma función de manera
simultánea, estos dos procedimientos se anulan. Es decir no tienen efecto alguno sobre la función.
3)
Esta última propiedad se la conoce como Propiedad Lineal de la Integral Indefinida
39
Principales funciones primitivas:
Función : primitiva de función : derivada de
Por ejemplo, al buscar una primitiva de x(2-3x). Como no se conoce primitivas de un producto, se
desarrolla la expresión: x(2-3x)= 2x - 3x2. 2x es la derivada de x2
, 3x2 es la de x3, por lo tanto 2x - 3x
2
tiene como primitiva x2 - x
3 + k.
40
6.1.2 Ejemplos. Calcular las integrales Indefinidas de las siguientes funciones.
C)1x2(48
1
C48u
C8
u61
duu61
dxxdu61dxx6du ,1x2u
dxx1x2 3)
Cx161
Cx41
41
dxx41
dx4x 2)
2xx3
1
Cx31x
3
2
C3
x
2/3x
dxxdxx
dxxx )1
83
8
8
7
223
273
4
4
3
3
2/32/3
32/3
32/3
22/1
2
41
C2
2
x1
3
31
31
31
2
3123
3
2
2
21
21
21
212
2
xln21
Cc
u
udu
dxdu ,xlnu
dxxxln )6
C2xln
Culn
duu1
dxxdu ,dxx3du ,2xu
dx2x
x )5
C1xln
Culn
duu1
xdxdu ,xdx2du ,1xu
dx1x
x )4
6.2 Integrales Indefinidas con Scientific WorkPlace
Para evaluar una integral indefinida de una función con Scientific WorkPlace, seguir el siguiente
procedimiento:
a) Escribir dx)x(f , sombreando la expresión y hacer clic en el icono:
Editándose la derivada en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
42
b) Hacer “clic” en el ícono
Para evaluar la integral deseada
O también de la sección Compute del menú, elegir evaluate para evaluar dicha integral.
Los ejemplos resueltos de la sección anterior, se pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal
como se muestra en seguida:
1) x x 2dx 1
3x
3
2 x3
2 2
2) x3
4dx 1
16x 4
3) 2x 317x 2dx 16
3x 24
64
3x 21
112
3x 18
112
3x 15
70
3x 12
28
3x 9
7
3x 6
1
3x 3
4) x
x21
dx 1
2lnx 2
1
5) x2
x32
dx 1
3lnx 3
2
6) ln xx dx 1
2ln2x
Las evaluaciones anteriores están contenidas en el archivo:
EJEMPLOS INTEGRALES DE FUNCIONES.tex
43
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “clic” con el botón izquierdo del mouse
sobre el ícono anterior.
Enseguida se muestran varios ejemplos resueltos de integrales de funciones. Haciendo doble “clic”
con el botón izquierdo del mouse en el siguiente ícono:
INTEGRALES DE FUNCIONES (SWP 5.5).tex
44
7. LA INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCION DE UNA VARIABLE REAL
7.1 Definición de Integral definida
Al diferir las primitivas de una misma función f de una constante solamente, resulta que la diferencia
F(b) - F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva escogida. Es por lo tanto lógico notarla sin
mencionar a F, sino solamente a f:
Se llama integral de f entre a y b este valor. La integral tiene un significado muy concreto en el campo
de la geometría: es el área entre la curva de f, el eje de las x, y dos rectas verticales x = a y x = b: éste
es el teorema fundamental del análisis.
Por linealidad, cuando f es negativa en un intervalo también lo es su integral. Por lo tanto el área de la
que hemos hablado es algebraica y no geométrica. Si una función es alternadamente positiva y
negativa, su integral será la suma de las áreas positivas y negativas entre la curva de f y el eje de las
x.
7.1.1 Propiedades de la Integral definida
Integral definida: Proceso de cálculo de áreas encerrada entre una curva y un eje cartesiano
Función Primitiva: Relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran los límites
de un área. Es la razón del por qué se le llama función primitiva, al ser la base del cálculo integral.
Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más generalmente, dominio).
F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F' = f.
Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva, pues
si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real.
45
Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de
una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden
obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:
7.1.2 Ejemplos. Calcular las integrales definidas de las siguientes funciones.
3
91
3
13342
14
12583
172
523
1522
3
12
2
21
3133
33
2
5
32
5
2
5
2
5
2
2
5
2
xx
dxxdx
dx)x()
1
2
2
3
03
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
e
eee
ee
e
x
udu
dxdu ,xu
dx)
u
x
46
8613518
4
4
43
2323
3
2
23823513
2
52
4
23
3
2
52
4
21
52
4
21
52
4
23
32 4
..
uduu
dudx ,dxdu ,xu
dxx
dxx)
//
//.
.
/
.
/
.
/
.
/x
coscos
xcosx
dxsenx)
/
/
16
218
228
4
44
2
2
2
2
2
3128
38
3136
2424
4444
3
35
3
64
3
64
2
2
33
3
12
2
33
3
1
4
4
2
2
33
3
1
4
4
4
4
2
4
4
2
xx
dxxdxx
dxxx)
47
)e(eee
ee
edue
dxxdu,dxxdu ,xu
dxx
xe )
e
eee
eduedue
dxdu ,dxdu ,xu
dxe 6)
uu
///
4
1
uuu
4x-
1222
2
22
2
7
1
44
2
12
2
1
2
1
2121
2
121
8
4
1
4
1
8
4180
41
0
8
0
8
41
8
0
41
4
1
2
0
7.2 Integrales definidas con Scientific WorkPlace
Para evaluar una integral definida de una función con Scientific WorkPlace, seguir el mismo
procedimiento utilizado para evaluar integrales indefinidas, con la variante de agregar superíndice y
subíndice a la integral a evaluar, con los límites superior e inferior a evaluar, respectivamente.
Los ejemplos resueltos de la sección anterior, se pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal
como se muestra en seguida:
48
1) 5
22x 2
dx 91
3
2) 2
1ex2
dx e31
3) 4
2.54x dx 13. 86
4)
2
24sinxdx 61
5) 4
4x 23xdx 128
3
6) 0
2e4xdx 1
4
1
4e8
7) 1
4 e x
xdx 2ee1
Las evaluaciones anteriores están contenidas en el archivo:
EJEMPLOS INTEGRALES DEFINIDAS DE FUNCIONES.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “clic” con el botón izquierdo del mouse
sobre el ícono anterior.
Enseguida se muestran varios ejemplos resueltos de integrales de funciones. Haga doble “clic” con el
botón izquierdo del mouse en el siguiente ícono:
INTEGRALES DEFINIDAS DE FUNCIONES.tex
49
7.3. Aplicaciones de la integral definida. Área bajo una curva con Scientific WorkPlace
A continuación se presenta el cálculo del área bajo una función, utilizando Scientific WorkPlace.
1) 1
2.5x 2
10dx 10. 125
Graficando a: y x 210
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
2) 0
0.5sinxdx 0.31831
Graficando a: y sinx
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
y
50
3) 1
3lnx 1dx 3 ln3
Graficando a: y lnx 1
1 2 3 4 5
-1
0
1
2
x
y
4) 2
3x 2 x 2
2 dx 7
37 2
32
Graficando a: y x 2 x 22
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
5) 0
/2sinx cos2xdx 1
3
Graficando a: y sinx cos2x
-3 -2 -1 1 2 3
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
x
y
51
6) 9
2
8xx 4
2
3 dx 9777
3203 2
Graficando a: yxx 42
3
3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
10
20
30
x
y
7) 1
2expx 1dx e2
e13
Graficando a: y expx 1
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
8) 0
1xex2
2dx 5
2
1
2e1
Graficando a: y xex2
2
-2 -1 1 2
-1
1
2
3
4
x
y
52
9) 1
1cos2
xdx 1
Graficando a: y cos2x
-2 -1 1 2
-1
1
x
y
10) 1
3tanh2xdx 1
2lne12
11
2lne4
12
Graficando a: ytanh2x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
x
y
11) 1
1.2csc22xdx 0.31701
Graficando a: y csc22x
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
x
y
53
12) 1
4x 33x 2
x 2dx 501
4
Graficando a: y x 33x 2
x 2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-40
-20
20
40
60
80
100
120
140
x
y
13) 4
5 1
x3dx ln2
Graficando a: y 1
x3
-2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
x
y
14) 2
4
1x 12dx 2 ln29
4
Graficando a: y 1x 12
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
x
y
54
15) 2
4x 43x 2
2dx 1292
5
Graficando a: y x 43x 2
2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
100
200
300
400
500
600
700
x
y
16) 3.5
4x expx 2dx 4. 3386 106
Graficando a: y x expx 2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4e+8
-3e+8
-2e+8
-1e+8
1e+8
2e+8
3e+8
4e+8
x
y
17) 4
2 x
1xdx ln32
Graficando a: y x
1x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
x
y
55
18) 2
3x lnx 2dx 9 ln34 ln25
2
Graficando a: y x lnx 2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
14
16
x
y
19) 2
3 exp x
1exp xdx lne3
1lne21
Graficando a: y exp x
1exp x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
x
y
20) 0.75
1.00sec2x tanxdx
0.75
1.0 1
cos2xtanx dx
Graficando a: y secx tanx
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-2
-1
1
2
x
y
56
Las evaluaciones anteriores están contenidas en el siguiente archivo:
APLICACIONES DE LA INTEGRAL (SWP 5.5).tex
Al que se puede acceso directo, haciendo doble “clic” con el botón izquierdo del mouse.
57
8. PRÁCTICAS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL CON SCIENTIFIC WORKPLACE
INSTRUCCIONES. Para prácticas siguientes se recomienda seguir la estructura, formato y detalles
que se dan en el Apéndice C. Reporte de Práctica (página 69) de este trabajo.
PRÁCTICA NO. 1 GRÁFICAS DE FUNCIONES CON SCIENTIFIC WORKPLACE
Objetivo: El alumno graficará funciones algebraicas y trascendentales de una variable en dos y tres
dimensiones mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo.
Así como valorará la excelente presentación de los resultados obtenidos.
1. Ejemplos. Graficar las siguientes funciones:
)x(Lny)
)xcos(y)
xxy)
xy)
xy)
35
124
23
22
2
11
3
3
1
2
2. Ejercicios a practicar:
xcos
xcossenxy)
xcoshsenhxy)
x
eey)
x
xy)
xxxy)
x
xsecy)
)x(seny)
xxy)
xxy)
xy)
xx
110
9
8
1
27
2326
15
134
13
332
4
21
23
2
3
3
1
2
2
3. Ejercicios complementarios:
)x(xLny)
)xcos(y)
xxy)
xy)
xy)
125
24
23
132
3
221
1
3
1
3
58
PRÁCTICA NO. 2 LÍMITES DE FUNCIONES CON SCIENTIFIC WORKPLACE
Objetivo: El alumno evaluará Límites de funciones algebraicas y trascendentales de una variable
mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo. Así como
valorará la excelente presentación de los resultados obtenidos.
1. Ejemplos. Evaluar los límites de las siguientes funciones:
7
75
24
1
643
2
42
121
3
7
2
234
0
23
1
2
2
2
2
x
xlim)
x
xxxlim)
x
xxxlim)
x
xlim)
xxlim)
x
x
x
x
x
2. Ejercicios a practicar:
2
23
1
2
0
3
3
1
2
2
1
0
0
23
1
2
3
1
234
3
1
622261010
29
3
128
222
17
2
26
5
4
24
1
643
1
22432
321
x
xxxlim)
x
xxlim)
x
xlim)
x
xlim)
x
xxlim)
coslim)
x
xsenlim)
x
xxxlim)
x
xxlim)
xxxxlim)
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
3. Ejercicios complementarios:
x
xlim)
x
xxlim)
x
xlim)
x
xxlim)
xlim)
x
x
x
x
x
425
3
81184
8
643
7
2142
11
2
0
2
34
3
3
8
2
2
2
1
59
PRÁCTICA NO. 3 DERIVADAS DE FUNCIONES CON SCIENTIFIC WORKPLACE
Objetivo: El alumno evaluará Derivadas de funciones algebraicas y trascendentales de una variable
mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo. Así como
valorará la excelente presentación los resultados.
1. Ejemplos. Evaluar las derivadas de las siguientes funciones:
)x(cosxy)
exy)
x
xy)
xxy)
xxxy)
x
85
34
14
463
4322
321
32
23
23
2. Ejercicios a practicar:
32
3210
329
8
1
17
136
35
21
14
5
13
532
251041
4
3
2
1
23
2
234
x
)x)(x(y)
)x(csxy)
ee
eey)
)x(
)x(y)
)x́(seny)
)xx(secy)
xlny)
x
xtany)
xsen)xcos(y)
xxxxy)
xx
xx
3. Ejercicios complementarios:
)x(Lny)
e)xcos(y)
x
xy)
xxy)
xxxy)
x
15
14
31
53
632
1761
3
23
2
23
60
PRÁCTICA NO. 4 DIFERENCIALES DE FUNCIONES CON SCIENTIFIC WORKPLACE
Objetivo: El alumno evaluará Diferenciales de funciones algebraicas y trascendentales de una
variable mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo. Así
como valorará la excelente presentación de los resultados obtenidos.
1. Ejemplos: Evaluar los diferenciales de las siguientes funciones:
4
165
34
51
413
312
1451
32
3
24
x
)x(seny)
eexy)
x
xy)
xxy)
xxxy)
xx
2. Ejercicios a practicar:
5
2410
49
18
2
27
46
225
434
4
33
132
3210151
2
32
22
3
2
52
1
23
x
)x)(x(y)
)x(cosxy)
eey)
)x(
)x(y)
x
)´xln(y)
)xx(y)
x
xy)
x
xLny)
xcsc)xsec(y)
xxxy)
xx
3. Ejercicios complementarios:
))x(Ln(seny)
)xx(ey)
x
)xln(y)
xxy)
xxxy)
x
25
14
5
53
5322
1051
3
2
23
23
61
PRÁCTICA NO. 5 INTEGRALES INDEFINIDAS DE FUNCIONES CON SCIENTIFIC WORK PLACE
Objetivo: El alumno evaluará Integrales Indefinidas de funciones algebraicas y trascendentales de
una variable mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo.
Así como valorará la excelente presentación de los resultados obtenidos.
1. Ejemplos. Evaluar las siguientes integrales indefinidas:
dxxx
x)
dxxe)
dxxcos
xtan)
dxx
x)
dx)xxx()
x
84
225
4
3
42
4321
2
2
2
23
2. Ejercicios a practicar:
dxxx
)
dx)e(sece)
dxsen
xcossenx)
dxe
e)
dxxcscx)
dxxlnx)
dxxx)
dxxcos
xtan)
dxxxx
x)
dx)xxx()
xx
x
x
94
110
9
8
1
67
226
5
34
3
32
352
67431
2
2
2
3
2
23
33
3. Ejercicios complementarios:
dxxx
x)
dxx
xln)
dxxx
dx)
dxee
ee)
dx)xxx()
xx
xx
23
3175
24
923
2
13641
2
2
5
2
23
62
PRÁCTICA NO. 6 INTEGRALES DEFINIDAS DE FUNCIONES CON SCIENTIFIC WORK PLACE
Objetivo: El alumno evaluará Integrales Definidas de funciones algebraicas y trascendentales de una
variable mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo. Así
como valorará la excelente presentación de los resultados obtenidos.
1. Ejemplos. Evaluar las siguientes integrales definidas:
dxxcossenx)
dxxcos
senx)
dx)x(x)
dxx
x)
dx)xxx()
2
2
02
7
3
31
4
02
3
0
23
5
14
33
122
76231
2. Ejercicios a practicar:
3
0
5
3
4
1
5
3
2
2
0
3
0
2
4
2
2
2
1
4
1
2
4
2
2
110
429
8
23
17
6
5
3
24
13
2
11
dxx
x)
dxxx
x)
dxx
xln)
dxxx
)
dxsenxxcos
senx)
dxxcosxsen)
dxxx
)
dxe
e)
dxxlnx)
dxx
x)
x
x
3. Ejercicios complementarios:
dxxx
x)
dxxsenx)
dxx
xln)
dxx
x)
dx)xxx()
6
2
23
0
4
1
2
7
2
3
2
4
1
24
445
4
3
32
1161
63
PRÁCTICA NO. 7 APLICACIONES. ÁREA BAJO UNA CURVA CON SCIENTIFIC WORK PLACE
Objetivo: El alumno calculará áreas bajo curvas de funciones algebraicas y trascendentales de una
variable mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo. Así
como valorará la excelente presentación de los resultados obtenidos.
1. Ejemplos. Graficar la región acotada por las siguientes expresiones algebraicas y encontrar el área
de la región.
48
2
2
2
3
31
5
511
4
41123
1442
2021
x;x;xcosy)
x;x;x
y)
xx;xxy)
x;x;xxy)
x,x;xy)
2. Ejercicios a practicar:
53110
424329
428
141
17
226
345
214
103
301
2
2141
4
23
21
6
2
1
2
2
x;x;xy)
x;x;xxxy)
x;x;eey)
x;x;x
y)
x;x);xln(y)
x;x;xcosey)
x;x;xtanxy)
xx;ey)
x;x;ex
y)
x;x;xy)
xx
x
x
x
3. Ejercicios complementarios:
115
412034
421
13
424322
1111
2
23
2
41
x;x;xsenxy)
x;x;y)
xx;x
y)
x;x;xxy)
x,x;xy)
x
64
9. APENDICE
Apéndice A. Factorización de expresiones Algebraicas con Scientific WorkPlace
La factorización de expresiones algebraicas con Scientific WorkPlace es una herramienta útil cuando
éstas requieren simplificarse previamente, para evaluarse en cierto límite, derivada ó integral, según
sea el caso.
Para factorizar una expresión algebraica con Scientific WorkPlace, seguir el siguiente procedimiento:
a) Escribir la expresión a factorizar, sombreando la expresión y hacer “clic” en el icono:
Editándose la expresión en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
b) Abrir la sección compute de la barra de herramientas
c) Hacer “clic” en factor de la sección compute de la barra de herramientas
Factorizándose la expresión algebraica deseada
Los ejemplos siguientes están contenidos en el archivo:
FACTORIZACION.tex
Al que se puede acceso directo, haciendo doble “clic” con el botón izquierdo del mouse.
65
FACTORIZACION DE EXPRESIONES ALGEBRÁICAS CON SCIENTIFIC WORKPLACE
1) x 52x 3
x 3x 22
2) x 32x 2
3x xx 3x 1
3) x 264 x 8x 8
4) x 281 x 9x 9
5) x 2225 x 15x 15
6) x 327 x 33x x 2
9
7) x 38 x 22x x 2
4
8) x 364 x 44x x 2
16
9) x 3125 x 55x x 2
25
10) x 31000 x 1010x x 2
100
11) x 30.001 1
100010.0x 1.010.0x 100.0x 2
1.0
12) x 3
8
27
1
273x 26x 9x 2
4
13) x 22x 1 x 12
14) x 26x 5 x 5x 1
15) 6x 25x 6 2x 33x 2
16) 12x 229x 15 4x 33x 5
17) 6x 213x 28 2x 73x 4
18) x 416 x 2x 2x 2
4
19) x 8y8
x yx yx 2y2
x 4y4
20) 2x 3y26xy3
2xy23yx 2
21) 8x 3y224x 2xyz18x 2z2
2x 24xy2
9z212xyz
22) 8x 364y3
8x 2y2xyx 24y2
23) x 4x 2
1 x x 21x x 2
1
24) x 4y4
7x 2y23xyx 2
y23xyx 2
y2
25) 88x 2x 3
x 5 x 1x 2x 12x x 2
4
26) x 39x 2
26x 24 x 3x 4x 2
27) x 45x 3
4x 27x 3 x 3x 13x x 2
1
28) x 36x 2
11x 6 x 3x 1x 2
29) x 32x 2
5x 6 x 2x 3x 1
30) x 42x 3
12x 22x 11 x 1x 12x x 2
11
66
Apéndice B. Tablas de Identidades, Derivadas e Integrales
udxd
uarcsenu
dxd
udxduuu
dxd
udxduuu
dxd
udxduu
dxd
udxduu
dxd
udxdsenuu
dxd
udxdusenu
dxd
vdxdvvuu
dxdvvuvu
dxd
udxdnnunux
d
v
vdxduu
dxdv
vu
dxd
udxdvv
dxduuv
dxd
nnxnxdxd
udxdccu
dxd
vdxdu
dxdvu
dxd
xdxd
h
xfhxf
h
eesenhh
eeh
ee
ee
senh
ee
eesenh
ee
eesenh
h
h
senh
21
1 .63
cotcsccsc .62
tansecsec .61
2csccot .60
2sectan .59
cos .58
cos .57
ln1 .56
1 .55
25 .54
)( .53
1.52
.51
)( .50
1 .49
,)()(
0lim
dx
df(x) .48
21csc .47
2
cosh
1sec .46
coshcoth .45
coshtanh .44
2cosh .43
2 .42
2csc12coth .41
2sec2tanh1 .40
122cosh 39.
AS.HIPERBÓLIC
RICASTRIGONOMÉT SIDENTIDADE .III
DERIVADALA
DE DEFINICIÓN
.DERIVACIÓN DE REGLAS IV.
0.x lnxe 36. xe
prerp
(e 38. q-p
eq
e
pe
35. qp
eq
ep
e 31
ua 34.
n(ab) 37. u(a
6. 5.
3.
2.
xx
ub
vuava
ua
ubuuvvvuavaua
sensen
sensensen
sensensen
sensen
sensensen
sensensen
sensen
sensen
sensen
sensensen
sensen
sensensen
ca
sen
hipco
sen
oc
ac
ac
hip
oc
hip
ac
oc
hip
ac
hip
ocsen
ln .32
).
b
a .30
aa) 33. 29.
AS.LOGARITMIC Y
CIÓNEXPONENCIA DE REGLAS II.
222coscos .28
22cos2 27.
2cos
2cos2coscos .26
2cos
22 .25
)cos()cos(21 .24
)cos()cos(21coscos .23
)()(21cos .22
)()(21cos .21
2tan1
tan22tan 20.
12cos222122cos2cos .19
cos22 .18
tantan1
tantan)tan(.17
coscos)cos( 16.
coscos)( 15.
tantan1
tantan)tan( 14.
coscos)cos( 13.
coscos .12
2cos1212cos 11.
cos2-1212 .10
2csc2cot1 .9
2sec2tan1 .8
12cos2 7.
..
.cot
.sec
..csc .4
.
..tan
.cos
.. .1
RICAS.TRIGONOMÉT SIDENTIDADE I.
θ
67
cuuudu
cuuudu
csenuudu
cuudu
cuuduu
cuuduu
cuudu
cuudu
csenuudu
cuduusen
udxduhuhu
dxd
udxduhuhu
dxd
udxduhu
dxd
udxduhu
dxd
udxdsenhuu
dxd
udxdusenhu
dxd
xgdxdxgf
dxdxgf
dxd
udxdueue
dxd
udxdauaua
dxd
udxd
auua
dxd
udxd
uu
uarcdxd
udxd
uu
uarcdxd
udxd
uuarc
dxd
udxd
uu
dxd
udxd
u
udxd
cotcsclncsc .88
tanseclnsec .87
lncot .86
seclntan .85
csccotcsc .84
sectansec.83
cotcsc .82
tansec .81
cos .80
cos .79
N.INTEGRACIÓ DE REGLAS V.
cothcsccsc.78
tanhsecsec.77
2csccoth.76
2sectanh.75
cosh.74
cosh.73
,)()))((())(( .72
.71
ln .70
ln1 log .69
12
1 csc .68
12
1 sec .67
21
1 cot .66
21
1 arctan .65
21
1 arccos .64
2
2
CADENA
LA DEREGLA
ba
afbfdxxf
cau
aaudu
auuaauudxau
cauarcsenauaudxua
cauau
aaudu
cauau
auadu
cau
aauu
du
cau
auadu
causen
ua
du
caa
dua
cee
cuudu
cucuduru
cun
duu
vduuvudu
chuuduhu
chuuduhu
cuuduh
cuuduh
cuhudu
csenhuhudu
csenhuudu
cuudu
csenhuudu
cusenhudu
uu
uu
r
nn
)()()( .113
arctan1 .112
ln22
.111
22 .110
ln21 .109
ln21 .108
sec1 .107
tan1 .106
.105
ln1 .104
.103
ln .102
-1r ,ln , -1r , .101
11 .100
, .99
csccothcsc .98
sectanhsec .97
coth2csc .96
tanh2sec .95
21tanhlncsc .94
1tansec .93
lncoth .92
coshlntanh .91
cosh .90
cosh 89.
22
222
2222
22222
22
22
1
22
1
22
1
22
1
1
PARTES PORNINTEGRACIÓ
68
Apéndice C. Reporte de Práctica (1)
Descripción de los puntos a desarrollar en la estructura del reporte de una práctica
de matemáticas
I. CARÁTULA
1. Escribir con mayúscula y negrita el nombre de la institución correspondiente,
centrada y con su logotipo a la izquierda.
2. Escribir en seguida con mayúscula y negrita el nombre de la división
correspondiente, centrada y con su logotipo a la derecha. Al mismo nivel del logotipo
de la institución.
3. Escribir el nombre de la práctica, centrada, a tres interlineados.
4. Escribir el número de la práctica alineado a la izquierda, a tres interlineados.
5. Escribir los integrantes del equipo de alumnos que realizó la práctica, a un
interlineado cada integrante, centrados.
6. Escribir la fecha en que se realizó la práctica (dd/mm/aa) alineada a la izquierda, a
tres interlineados.
7. Escribir el periodo escolar correspondiente (año-semestre) en que se realizó la
práctica, a tres interlineados.
II. OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA
1. Describir detalladamente los objetivos generales de la práctica.
2. Describir detalladamente los objetivos específicos de la práctica, si existen.
III. MARCO TEÓRICO.
Desarrollar manera detallada (evitando demostraciones matemáticas) el marco teórico
mediante el cual se sustenta el tema a tratar. Así como la descripción breve del software
utilizado, con las rutinas y librerías del mismo utilizadas específicamente en el tema a
tratar.
IV. MATERIAL Y EQUIPO
Enlistar y describir de manera breve el material y equipo a utilizar (tipo, serie, cantidad,
etc.)
69
V. DESARROLLO
En esta parte, el reporte de la práctica deberá contener de manera detallada los
siguientes puntos:
a) Ejemplos
Realizar junto con el docente y de manera detallada por lo menos 5 ejemplos de inducción
al tema de la práctica correspondiente, con el software propuesto.
b) Ejercicios de práctica
Resolver de manera individual y/o colectiva, en la sesión correspondiente, una serie de 20
ejercicios por lo menos, del tema la práctica correspondiente.
c) Cotejo de resultados
Cotejar algunos de los resultados de algunos ejercicios obtenidos en la práctica
correspondiente, en forma manual (hoja-lápiz), con los obtenidos mediante el software
elegido.
d) Ejercicios complementarios
Con el objetivo de seguir ejercitando, resolver por lo menos 5 ejercicios adicionales de la
práctica correspondiente, mediante las dos formas: manual y mediante el software
propuesto, comparando sus resultados.
Nota: Los problemas resueltos de las secciones anteriores se deberán integrar al reporte
de práctica, exportándolos como dibujos al procesador de texto mediante el cual se edite
la práctica, ya que Scientific WorkPlace es compatible con Microsoft.
VI. CONCLUSIONES
Escribir las conclusiones obtenidas de la práctica correspondiente, analizando las
características y viabilidad de Scientific WorkPlace, describiendo sus ventajas y
desventajas en la solución de problemas de abordados en la práctica correspondiente.
VII. BIBLIOGRAFÍA
Escribir la bibliografía consultada el desarrollo y reporte de la práctica correspondiente.
(1) El formato del reporte será con letra Arial, tamaño 12 e interlineado de 1.5
espacios.
70
10. BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
1. SWOKOWSKI EARL W. “CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”, SEGUNDA
EDICIÓN, 1985. GRUPO EDITORIAL IBEROAMÉRICA
2. ZILL, DENNIS G. “CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”, PRIMERA
EDICIÓN, 1987. GRUPO EDITORIAL IBEROAMÉRICA.
3. LARSON, RON, HOSTETLER, ROBERT, BRUCE, EDWARDS. “CÁLCULO CON
GEOMETRÍA ANALÍTICA”, 8ª. EDICIÓN 2006. ED. MC GRAH HIL.
4. SCIENTIFIC WORKPLACE V. 5.50 BUILD 2953. MACKICHAN SOFTWARE, INC.
WEB SITE: http://www.makichan.com