cálculo de primitivas

Cálculo de Primitivas

¿Qué método elegir?

Fernando SalameroIES Pirámide

!f(x) dx

La resolución de una integral indefinida requiere un ejercicio de pensamiento

creativo.!f(x) dx

La intuición, una vez desarrollada, cobra un papel fundamental.

!f(x) dx

En el entreacto, debemos ir reflexionando, siguiendo un proceso metódico.

!f(x) dx

Así que vamos a ir haciéndonos preguntas para llegar al método

correcto...

!f(x) dx

!f(x) dx

1. ¿Se trata de una integral inmediata?


Primero nos hemos de preguntar si aparece directamente en nuestras tablas...


!dx

x


!dx

x= ln |x| + k


!dx

x !2x

1 + x2dx

= ln |x| + k


!dx

x !2x

1 + x2dx = ln |1 + x2| + k

= ln |x| + k


!dx

1 + x2

!dx

x !2x

1 + x2dx = ln |1 + x2| + k

= ln |x| + k


!dx

1 + x2

!dx

x

= arctanx + k

!2x

1 + x2dx = ln |1 + x2| + k

= ln |x| + k


!dx

1 + x2

!dx

x

= arctanx + k

!2x

1 + x2dx

!cos x

1 + sin2 xdx

= ln |1 + x2| + k

= ln |x| + k


!dx

1 + x2

!dx

x

= arctanx + k

!2x

1 + x2dx

!cos x

1 + sin2 xdx = arctan(sinx) + k

= ln |1 + x2| + k

= ln |x| + k

... o si lo hace con una pequeña modificación.


!x

1 + x2dx =

12

!2x

1 + x2dx =

12

ln(1 + x2) + k


!x

1 + x2dx =

12

!2x

1 + x2dx =

12

ln(1 + x2) + k

!sin 3x

1 + cos2 3xdx


!x

1 + x2dx =

12

!2x

1 + x2dx =

12

ln(1 + x2) + k

!sin 3x

1 + cos2 3xdx

= !13

! !(3 sin 3x)1 + cos2 3x

dx


!x

1 + x2dx =

12

!2x

1 + x2dx =

12

ln(1 + x2) + k

!sin 3x

1 + cos2 3xdx

= !13

! !(3 sin 3x)1 + cos2 3x

dx

= !13

arctan(cos 3x) + k


!x

1 + x2dx =

12

!2x

1 + x2dx =

12

ln(1 + x2) + k

!sin 3x

1 + cos2 3xdx

= !13

! !(3 sin 3x)1 + cos2 3x

dx

= !13

arctan(cos 3x) + k

¿Te sabes las derivadas?

2. ¿Se trata de una integralpor partes?


Ésta es la siguiente pregunta que nos podemos hacer, ya que reconocer este tipo de integral

es relativamente sencillo.


¿Qué tipo de funciones son nuestras sospechosas?


¿Qué tipo de funciones son nuestras sospechosas?

Alpes

Arcosenos, ...(f. trigonométricas inversas)

Logaritmos

Polinomios

Exponenciales

Senos, ...(f. trigonométricas)


Logaritmos

Polinomios

Exponenciales



Logaritmos

Polinomios

Exponenciales


!arctanx dx


Logaritmos

Polinomios

Exponenciales


!arctanx dx

!ln(x! 3) dx


Logaritmos

Polinomios

Exponenciales


!arctanx dx

!ln(x! 3) dx

!(x! 1)2 lnx dx


Logaritmos

Polinomios

Exponenciales


!arctanx dx

!ln(x! 3) dx

!(x! 1)2 lnx dx

!ex lnx dx


Logaritmos

Polinomios

Exponenciales


!arctanx dx

!ln(x! 3) dx

!(x! 1)2 lnx dx

!ex!1x dx

!ex lnx dx


Logaritmos

Polinomios

Exponenciales


!arctanx dx

!ln(x! 3) dx

!(x! 1)2 lnx dx

!ex sin x dx

!ex!1x dx

!ex lnx dx


Logaritmos

Polinomios

Exponenciales


!arctanx dx

!ln(x! 3) dx

!(x! 1)2 lnx dx

!ex sin x dx

!ex!1x dx

!ex lnx dx

!cos x lnx dx

!arctanx dx !

ln(x! 3) dx

!(x! 1)2 lnx dx

!ex sin x dx

!ex!1x dx

!ex lnx dx

!cos x lnx dx

!arctanx dx !

ln(x! 3) dx

!(x! 1)2 lnx dx

!ex sin x dx

!ex!1x dx

!ex lnx dx

!cos x lnx dx

u = arctanx

!arctanx dx !

ln(x! 3) dx

!(x! 1)2 lnx dx

!ex sin x dx

!ex!1x dx

!ex lnx dx

!cos x lnx dx

u = arctanx

u = ln(x! 3)

!arctanx dx !

ln(x! 3) dx

!(x! 1)2 lnx dx

!ex sin x dx

!ex!1x dx

!ex lnx dx

!cos x lnx dx

u = arctanx

u = ln(x! 3)

u = lnx

!arctanx dx !

ln(x! 3) dx

!(x! 1)2 lnx dx

!ex sin x dx

!ex!1x dx

!ex lnx dx

!cos x lnx dx

u = arctanx

u = ln(x! 3)

u = lnx

u = lnx

!arctanx dx !

ln(x! 3) dx

!(x! 1)2 lnx dx

!ex sin x dx

!ex!1x dx

!ex lnx dx

!cos x lnx dx

u = arctanx

u = ln(x! 3)

u = lnx

u = lnx

u = x

!arctanx dx !

ln(x! 3) dx

!(x! 1)2 lnx dx

!ex sin x dx

!ex!1x dx

!ex lnx dx

!cos x lnx dx

u = arctanx

u = ln(x! 3)

u = lnx

u = lnx

u = x

u = lnx

!arctanx dx !

ln(x! 3) dx

!(x! 1)2 lnx dx

!ex sin x dx

!ex!1x dx

!ex lnx dx

!cos x lnx dx

u = arctanx

u = ln(x! 3)

u = lnx

u = lnx

u = x

u = lnx

¡Oscilante!

!ex sin x dx

¡Oscilante!

!ex sin x dx

¡Oscilante!u = sinx du = cos x dx

dv = exdx v =!

exdx = ex + k

!ex sin x dx


dv = exdx v =!

exdx = ex + k

= ex sinx!!

ex cos x dx

!ex sin x dx


dv = exdx v =!

exdx = ex + k

= ex sinx!!

ex cos x dx

u = cos x du = ! sinx dx

dv = exdx v =!

exdx = ex + k

!ex sin x dx


dv = exdx v =!

exdx = ex + k

= ex sinx!!

ex cos x dx


dv = exdx v =!

exdx = ex + k

= ex sin x! ex cos x +!

ex(! sin x)dx

!ex sin x dx


dv = exdx v =!

exdx = ex + k

= ex sinx!!

ex cos x dx


dv = exdx v =!

exdx = ex + k

= ex sin x! ex cos x +!

ex(! sin x)dx

= ex sinx! ex cos x!!

ex sinx dx

!ex sin x dx

¡Oscilante!


ex sinx dx

!ex sin x dx

¡Oscilante!


ex sinx dx

= ex sinx! ex cos x!I I

!ex sin x dx

¡Oscilante!


ex sinx dx


2I = ex sin x! ex cos x

!ex sin x dx

¡Oscilante!


ex sinx dx


2I = ex sin x! ex cos x

I =!

ex sinx dx =ex sinx! ex cos x

2+ k

3. ¿Se trata de una integralracional?

3. ¿Se trata de una integralracional?

!x! 3

x2 + 5x! 6dx

Las integrales compuestas por cocientes de polinomios, tienen un tratamiento especial...

!x! 3

x2 + 5x! 6dx

!x! 3

x2 + 5x! 6dx =

!x! 3

(x + 6)(x! 1)dx

!x! 3

x2 + 5x! 6dx =

!x! 3

(x + 6)(x! 1)dx

x! 3(x + 6)(x! 1)

=A

x + 6+

B

x! 1

x! 3 = A(x! 1) + B(x + 6)

x = 1!

x = !6"

!2 = 7B

!9 = !7A

B = !27

A =97

!x! 3

x2 + 5x! 6dx =

!x! 3

(x + 6)(x! 1)dx

=! 9

7

x + 6+

! 27

x! 1dx

!x! 3

x2 + 5x! 6dx =

!x! 3

(x + 6)(x! 1)dx

=! 9

7

x + 6+

! 27

x! 1dx

=97

!dx

x + 6! 2

7

!dx

x! 1

!x! 3

x2 + 5x! 6dx =

!x! 3

(x + 6)(x! 1)dx

=! 9

7

x + 6+

! 27

x! 1dx

=97

!dx

x + 6! 2

7

!dx

x! 1

=97

ln |x + 6|! 27

ln |x! 1| + k

!x! 3

x2 + 5x! 6dx =

!x! 3

(x + 6)(x! 1)dx

=! 9

7

x + 6+

! 27

x! 1dx

=97

!dx

x + 6! 2

7

!dx

x! 1

=97

ln |x + 6|! 27

ln |x! 1| + k

Así que el truco está en la descomposición de fracciones... ¿Cómo hacerlo?

En primer lugar, asegúrate que el polinomio del denominador tiene mayor grado que el numerador,

dividiéndolos si es necesario.



!x2 + 1

x2 ! 4x + 13dx =

!1 +

4x! 12x2 ! 4x + 13

dx

= x + 4!

x! 3x2 ! 4x + 13

dx



!x2 + 1

x2 ! 4x + 13dx =

!1 +

4x! 12x2 ! 4x + 13

dx

= x + 4!

x! 3x2 ! 4x + 13

dx

El siguiente paso es factorizar el denominador, calculando sus raíces. Nos pueden aparecer de

tres tipos...

Raíces Reales Simples

Raíces Reales Múltiples

Raíces Complejas

El siguiente paso es factorizar el denominador, calculando sus raíces. Nos pueden aparecer de

tres tipos...


x! 3(x + 6)(x! 1)

=A

x + 6+

B

x! 1

La fracción se separa en tantas fracciones como

factores simples, siendo sus numeradores constantesque debemos calcular.


x! 3(x + 6)(x! 1)

=A

x + 6+

B

x! 1

La fracción se separa en tantas fracciones como

factores simples, siendo sus numeradores constantesque debemos calcular.

Raíces Reales Múltiples Raíces Complejas


x

(x! 2)2(x + 1)=

A

x! 2+

B

(x! 2)2+

C

x + 1

En este caso, el factor múltiple se separa en tantas fracciones como indica su exponente, aumentando el

grado del denominador progresivamente.


x

(x! 2)2(x + 1)=

A

x! 2+

B

(x! 2)2+

C

x + 1

En este caso, el factor múltiple se separa en tantas fracciones como indica su exponente, aumentando el

grado del denominador progresivamente.

Raíces ComplejasRaíces Reales Simples

Raíces Complejas

Raíces Complejas

5(x2 + x + 1)(x! 8)

=Ax + B

x2 + x + 1+

C

(x! 8)

En este tipo, el factor de segundo grado, irreducible, se separa en una fracción cuyo numerador es un

polinomio de primer grado.

Raíces Complejas

5(x2 + x + 1)(x! 8)

=Ax + B

x2 + x + 1+

C

(x! 8)

En este tipo, el factor de segundo grado, irreducible, se separa en una fracción cuyo numerador es un

polinomio de primer grado.

Raíces Reales Simples Raíces Reales Múltiples

Naturalmente, rizando el rizo, puedes tener mezcla de todo... Prueba a adivinar la descomposición siguiente:


x2 ! 2x! 2(x + 1)(x! 8)3(3x2 + 2x + 1)2

=

... ¡aunque resolver esto nos dejaría exhaustos!


x2 ! 2x! 2(x + 1)(x! 8)3(3x2 + 2x + 1)2

=

=A

x + 1+



x2 ! 2x! 2(x + 1)(x! 8)3(3x2 + 2x + 1)2

=

=A

x + 1+

B

x! 8+

C

(x! 8)2+

D

(x! 8)3+



x2 ! 2x! 2(x + 1)(x! 8)3(3x2 + 2x + 1)2

=

=A

x + 1+

B

x! 8+

C

(x! 8)2+

D

(x! 8)3+

Ex + F

3x2 + 2x + 1+

Gx + H

(3x2 + 2x + 1)2


Finalmente, observa que en el desarrollo obtendrás integrales típicas, que te deben resultar familiares:


!dx

x! 4= ln |x! 4| + k


!dx

(x + 2)3= ! 1

2(x + 2)2+ k

!dx

x! 4= ln |x! 4| + k


!dx

(x + 2)3= ! 1

2(x + 2)2+ k

!dx

x2 + 2x + 2=

!dx

(x + 1)2 + 1= arctan(x + 1) + k

!dx

x! 4= ln |x! 4| + k

!x + 2

x2 + 2x + 3dx =

!x + 2

x2 + 2x + 3dx =

12

!2x + 4

x2 + 2x + 3dx =

!x + 2

x2 + 2x + 3dx =

12

!2x + 4

x2 + 2x + 3dx =

12

!2x + 2

x2 + 2x + 3dx +

12

!2

x2 + 2x + 3dx =

!x + 2

x2 + 2x + 3dx =

12

!2x + 4

x2 + 2x + 3dx =

12

!2x + 2

x2 + 2x + 3dx +

12

!2

x2 + 2x + 3dx =

12

ln |x2 + 2x + 3| +!

dx

(x + 1)2 + 2=

!x + 2

x2 + 2x + 3dx =

12

!2x + 4

x2 + 2x + 3dx =

12

!2x + 2

x2 + 2x + 3dx +

12

!2

x2 + 2x + 3dx =

12

ln |x2 + 2x + 3| +!

dx

(x + 1)2 + 2=

12

ln |x2 + 2x + 3| +12

!dx

(x+1)2

2 + 1=

!x + 2

x2 + 2x + 3dx =

12

!2x + 4

x2 + 2x + 3dx =

12

!2x + 2

x2 + 2x + 3dx +

12

!2

x2 + 2x + 3dx =

12

ln |x2 + 2x + 3| +!

dx

(x + 1)2 + 2=

12

ln |x2 + 2x + 3| +12

!dx

(x+1)2

2 + 1=

12

ln |x2 + 2x + 3| +!

22

! 1!2

(x+1!2

)2 + 1dx =

!x + 2

x2 + 2x + 3dx =

12

!2x + 4

x2 + 2x + 3dx =

12

!2x + 2

x2 + 2x + 3dx +

12

!2

x2 + 2x + 3dx =

12

ln |x2 + 2x + 3| +!

dx

(x + 1)2 + 2=

12

ln |x2 + 2x + 3| +12

!dx

(x+1)2

2 + 1=

12

ln |x2 + 2x + 3| +!

22

! 1!2

(x+1!2

)2 + 1dx =

12

ln |x2 + 2x + 3| +!

22

arctanx + 1!

2+ k

4. Entonces, el método correcto es el de sustitución.


Un cambio de variable, nos permite transformar una integral árida en otra más familiar...

!e3x

1 + exdx =



!e3x

1 + exdx =

t = ex



!e3x

1 + exdx =

t = ex

dt = exdx dx =dt

ex



!e3x

1 + exdx =

t = ex

dt = exdx dx =dt

ex

!e3x

1 + t

dt

ex=



!e3x

1 + exdx =

t = ex

dt = exdx dx =dt

ex

!e3x

1 + t

dt

ex=

!e2x

1 + tdt =



!e3x

1 + exdx =

t = ex

dt = exdx dx =dt

ex

!e3x

1 + t

dt

ex=

!e2x

1 + tdt =

!t2

1 + tdt


!e3x

1 + exdx =

t = ex

dt = exdx dx =dt

ex

!e3x

1 + t

dt

ex=

!e2x

1 + tdt =

!t2

1 + tdt

¿Qué cambio de variable realizar?

La cuestión es:


La elección depende mucho del aspecto concreto de nuestra integral indefinida.



Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del integrando cuya derivada (salvo un factor constante)

aparezca multiplicando.





!x2ex3

dx =





!x2ex3

dx =

t = x3





!x2ex3

dx =

t = x3

dt = 3x2dx





!x2ex3

dx =

t = x3

dt = 3x2dx

!x2et dt

2x2=

12

!et dt = 1

2et + k =

12ex3

+ k

(no olvides deshacer el cambio)





!x2ex3

dx =

t = x3

dt = 3x2dx

!x2et dt

2x2=

12

!et dt = 1

2et + k =

12ex3

+ k

(no olvides deshacer el cambio)

En el resto, tendrás que guiarte por tu intuición.

intuición

intuiciónPero a la hay que entrenarla.


A veces, hay que manipular primero la expresión.



En otras ocasiones, deberás imaginar el aspecto que tendrá tu integral una vez efectuado el cambio.




Vale, de acuerdo, existen algunas técnicas de ayuda.

Hmm...




Vale, de acuerdo, existen algunas técnicas de ayuda.

Hmm...

Las más conocidas son las que incluyen a las...

Funciones Trigonométricas(por cambio de variable)

Funciones Trigonométricas(por cambio de variable)

Con el mismo argumento

Cambios Universales

Con diferente argumento

Con el mismo argumentoFunciones

Trigonométricas


Trigonométricas!sinm x cosn x dx



El proceso a seguir, depende del tipo de exponentes:



Si alguno de ellos es impar, haremos el cambio de variable con la otra función trigonométrica.



Si alguno de ellos es impar, haremos el cambio de variable con la otra función trigonométrica.!

sin2 x cos3 x dx




sin2 x cos3 x dx t = sinx





!sin5 x dx





!sin5 x dx t = cos x

¡Prueba en este caso!

!sin3 x cos5 x dx


!sin3 x cos5 x dx

Como ambos exponentes son impares, funcionará

cualquiera de los dos cambios:

t = sinx

t = cos x


!sin3 x cos5 x dx



t = sinx

t = cos x

=!

t3 cos5 xdt

cos x=

!t3 cos4 x dt


!sin3 x cos5 x dx



t = sinx

t = cos x

=!

t3 cos5 xdt

cos x=

!t3 cos4 x dt =

!t3(1! sin2 x)2 dt


!sin3 x cos5 x dx



t = sinx

t = cos x

=!

t3 cos5 xdt

cos x=

!t3 cos4 x dt =

!t3(1! sin2 x)2 dt

=!

t3(1! t2)2 dt


!sin3 x cos5 x dx



t = sinx

t = cos x

=!

t3 cos5 xdt

cos x=

!t3 cos4 x dt =

!t3(1! sin2 x)2 dt

=!

t3(1! t2)2 dt =!

t3 + t7 ! 2t5 dt



Por otra parte, si todos los exponentes son pares, el truco es ir reduciendo su grado mediante las

siguientes fórmulas trigonométricas:



Por otra parte, si todos los exponentes son pares, el truco es ir reduciendo su grado mediante las

siguientes fórmulas trigonométricas:

cos2 a =12

+12

cos 2a

sin2 a =12! 1

2cos 2a


!sin4 x dx


!sin4 x dx =

!(sin2 x)2 dx


!sin4 x dx =

!(sin2 x)2 dx =

!(12! 1

2cos 2x)2 dx


!sin4 x dx =

!(sin2 x)2 dx =

!(12! 1

2cos 2x)2 dx

=!

14

+14

cos2 2x! 12

cos 2x dx


!sin4 x dx =

!(sin2 x)2 dx =

!(12! 1

2cos 2x)2 dx

=!

14

+14

cos2 2x! 12

cos 2x dx

=!

14

+14(12

+12

cos 4x)! 12

cos 2x dx


!sin4 x dx =

!(sin2 x)2 dx =

!(12! 1

2cos 2x)2 dx

=!

14

+14

cos2 2x! 12

cos 2x dx

=!

14

+14(12

+12

cos 4x)! 12

cos 2x dx

=14x +

18x +

18

!cos 4x dx! 1

2

!cos 2x dx

Funciones

TrigonométricasCon diferente argumento

Funciones


!sin ax cos bx dx

Funciones


!sin ax cos bx dx

Estas integrales se pueden resolver transformando los productos de funciones trigonométricas en

sumas gracias a las relaciones siguientes:

Funciones


!sin ax cos bx dx

Estas integrales se pueden resolver transformando los productos de funciones trigonométricas en

sumas gracias a las relaciones siguientes:

sin a cos b =12[sin(a + b) + sin(a! b)]

cos a cos b =12[cos(a + b) + cos(a! b)]

sin a sin b = !12[cos(a + b)! cos(a! b)]

¡Observa la transformación!


!sinx sin 2x sin 3x dx



sin x sin 2x = !12(cos 3x! cos x)



sin x sin 2x = !12(cos 3x! cos x)

sin x sin 2x sin 3x = !12(cos 3x! cos x) sin 3x

= !12(cos 3x sin 3x! cos x sin 3x)

= !14(sin 6x! sin 4x! sin 2x)



= !14

!sin 6x! sin 4x! sin 2x dx



= !14

!sin 6x! sin 4x! sin 2x dx

= !14(!cos 6x

6+

cos 4x

4+

cos 2x

2) + k

=cos 6x

24! cos 4x

16! cos 2x

8+ k

Funciones

TrigonométricasCambios Universales

Funciones


Si una integral trigonométrica no sale por otro camino, hay dos cambios de variable “multiusos”:

Funciones



tanx

2= t

dx =2dt

1 + t2

sinx =2t

1 + t2

cos x =1! t2

1 + t2

tanx =2t

1! t2

Éste es un cambio algo complicado, pero tiene la virtud de convertir cualquier

trigonométrica en racional.

Funciones



tanx

2= t

dx =2dt

1 + t2

sinx =2t

1 + t2

cos x =1! t2

1 + t2

tanx =2t

1! t2

Funciones



tanx = t dx =dt

1 + t2

sin x =t!

1 + t2

cos x =1!

1 + t2

Y éste otro, en apariencia más lógico, deberás aplicarlo cuando veas que esas

raíces pueden eliminarse...

Funciones



tanx = t dx =dt

1 + t2

sin x =t!

1 + t2

cos x =1!

1 + t2

¡Prueba y adivina cuál hacer!


!1

1 + sin xdx


!1

1 + sin xdx El cambio correcto es tan

x

2= t


!1


x

2= t

=!

11 + 2t

1+t2

2dt

1 + t2= 2

!dt

1 + t2 + 2t


!1


x

2= t

=!

11 + 2t

1+t2

2dt

1 + t2= 2

!dt

1 + t2 + 2t

!cos x

sinx + cos xdx


!1


x

2= t

=!

11 + 2t

1+t2

2dt

1 + t2= 2

!dt

1 + t2 + 2t

!cos x

sinx + cos xdx El cambio correcto es tanx = t


!1


x

2= t

=!

11 + 2t

1+t2

2dt

1 + t2= 2

!dt

1 + t2 + 2t

!cos x

sinx + cos xdx El cambio correcto es tanx = t

=! 1!

1+t2

t!1+t2

+ 1!1+t2

dt

1 + t2=

!dt

(t + 1)(1 + t2)

Y finalmente...

Y finalmente...! "

9! x2 dx

Y finalmente...! "

9! x2 dx

Este último modelo de integral sugiere también un (oculto) cambio trigonométrico.

Y finalmente...! "

9! x2 dx

Este último modelo de integral sugiere también un (oculto) cambio trigonométrico.

Recuerda...

sin2 x + cos2 x = 1 cos2 x = 1! sin2 x

Y finalmente...! "

9! x2 dx

Y con esto en mente, prueba el siguiente cambio:

Y finalmente...! "

9! x2 dx

Y con esto en mente, prueba el siguiente cambio:

x = 3 sin t

Vamos allá (enseguida verás por qué)...

dx = 3 cos t dt

! "9! x2 dx

! "9! x2 dx =

! "9! (3 sin t)2 3 cos t dt

! "9! x2 dx =

! "9! (3 sin t)2 3 cos t dt

= 3! "

9! 9 sin2 t cos t dt

! "9! x2 dx =

! "9! (3 sin t)2 3 cos t dt

= 3! "

9! 9 sin2 t cos t dt = 3! "

9(1! sin2 t) cos t dt

! "9! x2 dx =

! "9! (3 sin t)2 3 cos t dt

= 3! "

9! 9 sin2 t cos t dt = 3! "


= 9! "

1! sin2 t cos t dt

! "9! x2 dx =

! "9! (3 sin t)2 3 cos t dt

= 3! "

9! 9 sin2 t cos t dt = 3! "


= 9! "

1! sin2 t cos t dt = 9!

cos2 t dt

! "9! x2 dx =

! "9! (3 sin t)2 3 cos t dt

= 3! "

9! 9 sin2 t cos t dt = 3! "


= 9! "


cos2 t dt

= 9!

12

+12

cos 2t dt

! "9! x2 dx =

! "9! (3 sin t)2 3 cos t dt

= 3! "

9! 9 sin2 t cos t dt = 3! "


= 9! "


cos2 t dt

= 9!

12

+12

cos 2t dt =92t +

94

sin 2t + k

=92t +

94

sin 2t + k

=92t +

94

sin 2t + kFíjate que, para acabar,

deshacer el cambio es algo más elaborado...

=92t +

94



Recuerda:

x = 3 sin t sin t =x

3t = arcsin

x

3

=92t +

94



Recuerda:


3t = arcsin

x

3

=92

arcsinx

3+

94

sin(2 arcsinx

3) + k

=92t +

94



Recuerda:


3t = arcsin

x

3

=92

arcsinx

3+

94

sin(2 arcsinx

3) + k

Pero hay una manera más elegante de expresarlo...

=92t +

94

sin 2t + k

x = 3 sin t

sin t =x

3t = arcsin

x

3

=92t +

94

sin 2t + k

x = 3 sin t

sin t =x

3t = arcsin

x

3

=92t +

92

sin t cos t + k

=92t +

94

sin 2t + k

x = 3 sin t

sin t =x

3t = arcsin

x

3

=92t +

92

sin t cos t + k =92t +

92

sin t!

1! sin2 t + k

=92t +

94

sin 2t + k

x = 3 sin t

sin t =x

3t = arcsin

x

3

=92t +

92


92

sin t!

1! sin2 t + k

=92

arcsinx

3+

92

x

3

!1! (

x

3)2

+ k

=92t +

94

sin 2t + k

x = 3 sin t

sin t =x

3t = arcsin

x

3

=92t +

92


92

sin t!

1! sin2 t + k

=92

arcsinx

3+

92

x

3

!1! (

x

3)2

+ k

=92

arcsinx

3+

x

2

!9! x2 + k

¡Soy más

elegante!

debes ser

creativo

Para integrar

debes ser

creativo

Para integrar

¡Buena Suerte!

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