Universite de la MediterraneeFaculte des Sciences de LuminyLicence de Mathematiques, Semestre 5, annee 2008-2009

Calcul Differentiel

Support du cours de Glenn Merlet1, version du 6 octobre 2008.

Remarques importantes :

1. Tous les enonces de ce document sont exigibles a l’examen, de meme que lesdemonstrations des resultats, memes si elles ne sont pas detaillees ici.

2. Les exercices notes ( !) sont elementaires et portent sur les notions de base. Ilsdoivent absolument vous sembler faciles a la fin du chapitre. Sinon, vous ne mai-trisez pas le cours !

Table des matieres

I Fonctions differentiables 3

1 Outils de topologie 31.1 Espaces vectoriels normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Applications lineaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Applications differentiables 62.1 Definition - premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Cas E = Rn, derivees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Cas F = Rp, applications composantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Inegalite de la moyenne 103.1 Rappels : accroissements finis en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Le theoreme de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Applications de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Applications de differentielle nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1Toute remarque ou question est la bienvenue a l’adresse merlet@iml.univ-mrs.fr

1

4 Etudes locale de fonctions 154.1 Differentielle seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Differentielles d’ordres superieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Une formule explicite pour D2fa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.4 La formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.5 Points critiques - extrema libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Le theoreme d’inversion locale 195.1 Homeomorphismes et diffeomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2 Le theoreme d’inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.3 Le theoreme du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.4 Demonstration du theoreme d’inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . 215.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6 Theoreme des fonctions implicites 246.1 Enonce du theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.2 Interpretation geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.3 Demonstration du theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7 Sous-varietes de Rn - extrema lies 277.1 Sous-varietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.2 Submersions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.3 Espace tangent a une sous-variete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.4 Extrema lies, multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

II Equations differentielles 31

8 Generalites 318.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.2 Raccordements des solutions, solutions prolongeables, solutions maximales 318.3 Theoreme de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.4 Methodes d’integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

9 Equations differentielles lineaires 349.1 Premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349.2 Cas des coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359.3 Atelier : l’exponentielle de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2

Premiere partie

Fonctions differentiables

1 Outils de topologie

1.1 Espaces vectoriels normes

Definition 1.1. Un espace vectoriel norme (e.v.n.) est un couple (E, ||.||) ou E est unespace vectoriel sur R ou C et ou ||.|| est une norme sur E i.e. une application ||.|| :E −→ R+ verifiant :

(N1) ∀x ∈ E, ||x|| = 0 ssi x = 0

(N2) ∀x ∈ E,∀λ ∈ R, ||λx|| = |λ| ||x|| (homogeneite)

(N3) ∀x, y ∈ E, ||x+ y|| ≤ ||x||+ ||y|| (inegalite triangulaire)

Exemples. Sur Rn, on emploie souvent les normes suivantes :pour x = (x1, . . . , xn),||x||∞ = sup(|x1|, . . . , |xn|)||x||1 = |x1|+ . . .+ |xn|||x||2 =

√x2

1 + . . .+ x2n

Notations. Soit (E, ||.||) un evn, soit a ∈ E et soit r ≥ 0 un reel.On note

B(a, r) = x ∈ E / ||x− a|| < r la boule ouverte de centre a et de rayon r,B(a, r) = x ∈ E / ||x− a|| ≤ r la boule fermee de centre a et de rayon r,S(a, r) = x ∈ E / ||x− a|| = r la sphere de centre a et de rayon r.

Definition 1.2. Soient E et F des e.v.n., A un sous-ensemble de E et f : A → F uneapplication. Soient a ∈ A et b ∈ F . On dit que f(x) tend vers b quand x tend vers a si

∀ε > 0, ∃η > 0,∀x ∈ A, (||x− a|| < η ⇒ ||f(x)− b|| < ε)

On ecrit : limx→a f(x) = b.La fonction f est dite continue en a ∈ A si f(x) tend vers f(a) quand x tend vers a.

On dit que f est continue si f est continue en tout point de A.

1.2 Applications lineaires continues

En calcul differentiel, les applications lineaires continues sont particulierement impor-tantes, car le calcul differentiel consiste essentiellement a approximer des applicationspar des applications lineaires continues.

Proposition 1.3. Soient E et F deux espaces vectoriels normes sur R ou C et soitf : E −→ F une application lineaire. Les assertions suivantes sont equivalentes :

(i) f est uniformement continue sur E

(ii) f est continue sur E

3

(iii) f est continue en 0

(iv) f est bornee sur la boule fermee unite B(0, 1)

(v) il existe M > 0 tel que pour tout x ∈ E, ||f(x)|| ≤M ||x||

Notation. On note L(E,F ) l’espace vectoriel des applications lineaires continues de Edans F muni de la norme induite (cf. Exercice 1.5) definie pour f ∈ L(E,F ) par :

||f || = sup||x||E≤1

||f(x)||F

Remarque. ||f || = sup||x||E=1 ||f(x)||F = supx∈E\0||f(x)||F||x||E

.

Si F est un espace de Banach, alors L(E,F ) aussi.

Proposition 1.4. (cf. Exercice 1.5) Soient E,F et G trois e.v.n. et soient f ∈ L(E,F )et g ∈ L(F,G). Alors g f ∈ L(E,G), et ||g f || ≤ ||g|| ||f ||.

Preuve. Exercice 1.5

Proposition 1.5. Toute application lineaire d’un espace vectoriel norme de dimensionfinie dans un espace vectoriel norme quelconque est continue.

Preuve. Exercice 1.4

1.3 Exercices

Exercice 1.1 ( !). Soit E un R-evn, et h ∈ E. Montrer que les applications suivantessont lineaires continues. S : E2 → E tq S(x, y) = x+ y, C : E → E2 tq C(x) = (x, x) etα : R× E tq α(t, x) = t.h+ x

Exercice 1.2. Donner un exemple d’application lineaire non continue.

Exercice 1.3. Soient E1, . . . , En et F des espaces vectoriels normes et soit φ : E1×· · ·×En −→ F une application n-lineaire. Demontrer l’equivalence des assertions suivantes.

(i) φ est continue sur le produit E1 × · · · × En(ii) φ est continue en 0

(iii) φ est bornee sur le produit des boules unite des Ei

(iv) il existe C ≥ 0 tel que ∀(x1, . . . , xn) ∈ E1 × · · · × En,

||φ(x1, . . . , xn)|| ≤ C||x1|| × · · · × ||xn||

Exercice 1.4. Soient E et F des espaces vectoriels. Demontrer que si E est de dimensionfinie, alors toute application lineaire f : E −→ F est automatiquement continue.

Meme question pour une application n-lineaire φ : E1× · · ·×En −→ F lorsque les Eisont tous de dimension finie.

Exercice 1.5. 1. Soient E et F des espaces vectoriels normes. Montrer que l’ondefinit la norme induite sur L(E,F ) vaut :

||f || = supx∈E\0

||f(x)||||x||

4

2. Soient E,F et G des espaces vectoriels normes et soient g ∈ L(F,G) et f ∈L(E,F ). Montrer que

||g f || ≤ ||g|| ||f ||

Exercice 1.6. On munit successivement R2 des normes classiques :

||(x, y)||1 = |x|+ |y| , ||(x, y)||∞ = max|x|, |y| , ||(x, y)||2 =√x2 + y2.

Verifier a la main que ces trois normes sont equivalentes.Soit φ une forme lineaire sur R2 representee dans la base canonique par la ma-

trice (a b). Montrer que ||φ|| vaut successivement

max|a|, |b|, |a|+ |b| et√

(x2 + y2)

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2 Applications differentiables

2.1 Definition - premiers exemples

Definition 2.1. Soient E et F des evn, soit U un ouvert de E et soit f : U → Fune application. Soit a ∈ U . On dit que f est differentiable au point a s’il existe uneapplication lineaire continue L ∈ L(E,F ) et une application ε : U → F telles que

1. ∀x ∈ U, f(x) = f(a) + L(x− a) + ||x− a||ε(x)

2. limx→a ε(x) = 0

Proposition 2.2. Si une telle application L existe, alors elle est unique.On appelle L la differentielle de f au point a, et on la note Dfa.

Preuve. Cela decoule de la proposition 2.3 et de l’unicite de la limite. Formulationsequivalentes :

f(a+ h) = f(a) +Dfa(h) + ||h||ε1(h) avec limx→a ε1(x)

ou encore :f(a+ h) = f(a) +Dfa(h) + o(h) (1)

ou o(h) se lit “petit o de h” et designe une fonction g telle que g(h)‖h‖ tend vers 0.

Exemple 1. Fonctions derivablesLorsque E = R, (1) s’ecrit :

f(a+ h) = f(a) + hDfa(1) + o(h),

c’est-a-dire :

limh→0

f(a+ h)− f(a)

h= Dfa(1)

Ce qui equivaut a dire que f est derivable en a et que f ′(a) = Dfa(1).On a alors :

∀h ∈ R, Dfa(h) = h.f ′(a)

Exemple 2. Differentielle d’une application constante.Soit f : U → F une application constante : ∀x ∈ U, f(x) = c ou c ∈ F est une

constante. Alors f est differentiable en tout point a de U et Dfa = 0.

Exemple 3. Differentielle d’une application lineaire continue.Soit f : E → F une application lineaire continue. Alors f est differentiable en tout

point a de E et Dfa = f .

2.2 Proprietes elementaires

Proposition 2.3 (Derivees directionnelles). Soit U un ouvert non vide d’un espace vec-toriel norme E et soit f : U −→ R une application differentiable en un point a ∈ U .Alors, pour tout h ∈ E, on a la convergence suivante :

limt→0+

1

t(f(a+ t.h)− f(a)) = Dfa(h).

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Quand elle existe, la limite de l’equation precedente est appelee la derivee de f en adans la direction h. Une fonction peut admettre des derivees directionnelles en un pointdans toutes les directions meme si elle n’est pas differentiable en ce point. (cf. Exercices 2.2et 2.3.)

Theoreme 2.4 (Extrema locaux). Soit U un ouvert non vide d’un espace vectoriel normesur R, et soit f : U −→ R une application differentiable en un point a ∈ U et admettantun extremum local en ce point a. Alors sa differentielle en ce point Dfa est la fonctionnulle.

Proposition 2.5 (Continuite des applications differentiables). Soient E et F des espacesvectoriels normes, U un ouvert de E et f : U → F une application differentiable en unpoint a de U . Alors f est continue en a.

Theoreme 2.6. Soient F et G des evn, et f : U → F et g : V → G des applications.

Linearite Si F = G et si f et g sont differentiables en a ∈ U ∩ V . Alors pour tousscalaires λ et µ, λ.f + µ.g est differentiable en a et

D(λf + µg)a = λDfa + µDga.

Composition Si V est un ouvert de F tel que f(U) ⊂ V et si f est differentiableen a ∈ U et g l’est en f(a), alors g f est differentiable en a et verifie

D(g f)a = Dgf(a) Dfa.

2.3 Cas E = Rn, derivees partielles

Considerons une fonction numerique f : U → R definie sur un ouvert U de Rn.Soit a = (a1, . . . , an) ∈ U . Fixons i ∈ 1, . . . , n, et notons Ii : R → Rn l’injectionIi(x) = (a1, . . . , ai−1, x, ai+1, . . . , an) et Ui = I−1

i (U).Si la fonction f Ii : Ui → R,

(f Ii)(x) = f(a1, . . . , ai−1, x, ai+1, . . . , an)

est derivable au point ai, on dit que f est derivable en a par rapport a la i-eme variable.On note

(f Ii)′(ai) =∂f

∂xi(a)

la derivee, et on l’appelle i-eme derivee partielle de f au point a.

Proposition 2.7. Si f : U → F , U ouvert de Rn est differentiable en a, alors f admetdes derivees partielles en a par rapport a toutes les variables, et

∀h = (h1, . . . , hn), Dfa(h) = h1∂f

∂x1

(a) + . . .+ hn∂f

∂xn(a)

Reciproque fausse : Une fonction peut admettre des derivees partielles en a par rapporta toutes les variables en un point sans etre differentiable en ce point (cf. Exercices 2.2et 2.3). En revanche, la situation change quand les derivees partielles sont continues.C’est une des raisons pour lesquelles on introduira la notion d’application de classe C1

au prochain chapitre.

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2.4 Cas F = Rp, applications composantes

Soit U un ouvert de l’evn E et soit f : U → Rp une application. Pour tout x ∈ U ,f(x) = (f1(x), . . . , fp(x)). Les fi : U → R s’appellent les applications composantes de f .On note f = (f1, . . . , fp).

Proposition 2.8. Soit a ∈ U . f est differentiable au point a si et seulement si pourtout i = 1, . . . , p, fi est differentiable au point a, auquel cas, ∀h ∈ E,

Dfa(h) = (Df1a(h), . . . , Dfpa(h))

Definition 2.9. La matrice de l’application lineaire Dfa : Rn → Rp dans les basescanoniques s’appelle la matrice jacobienne de f . C’est la matrice :

Jfa =

(∂fi∂xj

(a)

)=

∂f1∂x1

(a) ∂f1∂x2

(a) . . . ∂f1∂xn

(a)

∂f2∂x1

(a) ∂f2∂x2

(a) . . . ∂f2∂xn

(a)

......

...

∂fp

∂x1(a) ∂fp

∂x2(a) . . . ∂fp

∂xn(a)

2.5 Exercices

Exercice 2.1 ( !). Redemontrer la proposition 2.3 a partir des applications derivablesconnues et des regles de composition.

Exercice 2.2 ( !). Soit f : R2 −→ R definie par

f(x, y) =x3

ysi y 6= 0 et f(x, 0) = 0

Calculez les derivees partielles de f en (0, 0).

Montrer qu’il existe une application lineaire continue L telle que f(t.u)t

tend vers L(u)pour tout u ∈ R2 mais que f n’est pas continue en 0.

f est elle differentiable en (0, 0) ?

Exercice 2.3. Deduire du premier exercice de la section precedente une fonction f etune application lineaire L telle que f(t.u)

ttend vers L(u) pour tout u ∈ R2 mais que L

n’est pas continue en 0.

Exercice 2.4. 1) Soient E1, E2 et F des espaces vectoriels normes et soit f : E1×E2 −→F une application bilineaire continue. Demontrer que f est differentiable sur E1 × E2 etdeterminer sa differentielle.2) Soient E, F et G trois R-espaces vectoriels normes de dimension finie. On considerel’application f : L(F,G)× L(E,F ) −→ L(E,G) definie par :

f(A,B) = AB(= A B)

Demontrer que f est differentiable sur L(F,G)×L(E,F ) et determiner Df(A,B) pour tout(A,B) ∈ L(F,G)× L(E,F ).

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Exercice 2.5. Soit E un espace vectoriel norme. On considere l’application f : L(E) −→L(E) definie par f(A) = A2. Demontrer que f est differentiable sur L(E) et determiner DfApour tout A ∈ L(E).

Exercice 2.6 ( !). Soit f = (f1, f2, f3) l’application de R3 dans R3 definie par :

f1(x, y, z) = x+ y + z ; f2(x, y, z) = x2 + y2 + z2 ; f3(x, y, z) = x3 + y3 + z3

On admet que f est differentiable partout. Calculer la matrice jacobienne de f aupoint (a, b, c).

Exercice 2.7. (Coordonnees cylindriques) Calculer la matrice jacobienne de l’applicationde R3 dans R3 definie par :

(r, θ, z) 7−→ (r cos θ, r sin θ, z)

Exercice 2.8. E1, E2, . . . , En et F des espaces vectoriels normes et soit f : E1 × E2 ×· · · × En −→ F une application n-lineaire continue. Demontrer que f est differentiablesur E1 × E2 × · · · × En et determiner sa differentielle.2) Soit E un espace vectoriel norme. On considere l’application fn : L(E) −→ L(E)definie par f(A) = An. Demontrer que fn est differentiable sur L(E) et determiner Dfn(A)pour tout A ∈ L(E).3) On pose E = Rn.

a) Demontrer que l’application determinant det : L(E) −→ R est differentiablesur L(E) et calculer sa differentielle.

b) Soit u ∈ Gl(E) et soit h ∈ L(E) . Demontrer que

D det(u).h = det(u)trace(u−1 h)

Exercice 2.9. Considerons l’application N : Rn −→ R definie par

∀x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, N(x) =n∑i=1

|xi|

1) Soit a = (a1, . . . , an) ∈ Rn tel que ∀i ∈ 1, . . . , n, ai 6= 0. Demontrer que N estdifferentiable au point a.2) Soit a = (a1, . . . , an) ∈ Rn tel que ∃i ∈ 1, . . . , n, ai = 0. Fixons i0 tel que ai0 = 0.Soit h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn defini par hi0 = 1 et hi = 0, ∀i 6= i0.

Pour t ∈ R, calculer N(a+ th)−N(a).En deduire que N n’est pas differentiable au point a.

3) Calculer chaque derivee partielle de N en precisant son ensemble de definition.

Exercice 2.10. Soit (E,< , >) un espace prehilbertien.1) Determiner l’ouvert maximal sur lequel l’application < , >: E×E −→ R est differentia-ble et determiner sa differentielle.2) Meme question pour la norme n : E −→ R associee au produit scalaire < , >.

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3 Inegalite de la moyenne

3.1 Rappels : accroissements finis en dimension 1

Theoreme 3.1 (des accroissements finis). ( c.f. L1 et L2)Soient a, b ∈ R, a < b. Soit f [a, b]→ R une application continue sur [a, b] et derivable

sur ]a, b[. Alors il existe c ∈]a, b[ tel que

f(b)− f(a) = (b− a)f ′(c)

Remarque. Ce theoreme ne se generalise pas a une application f : [a, b] → Rn.Contre-exemple : f : [0, π

2]→ R2 definie par f(t) = (cos t, sin t).

Nous allons generaliser son corollaire, dit inegalite des accroissements finis (IAF) :

Theoreme 3.2. (IAF) Soient a, b ∈ R, a < b. Soit f : [a, b] → R une applicationcontinue sur [a, b] et derivable sur ]a, b[. Supposons qu’il existe une constante M ≥ 0 telleque ∀t ∈]a, b[, |f ′(t)| ≤M , alors

|f(b)− f(a)| ≤M(b− a)

3.2 Le theoreme de la moyenne

Proposition 3.3. (IAF) Soit F un R-evn, [a, b] un intervalle borne de R et une applica-tion continue de [a, b] dans F , derivable sur ]a, b[ et telle qu’il existe une constante M ≥ 0telle que

∀t ∈]a, b[, ||f ′(t)||F ≤M

Alors||f(b)− f(a)||F ≤M(b− a)

Demonstration. Fixons ε > 0, et notons Iε l’ensemble des points x ∈ [a, b] tels que

||f(x)− f(a)|| ≤ (M + ε)(x− a) + ε (2)

Iε est non vide puisque a ∈ Iε. Soit c la borne superieure de Iε.Pour tout n ∈ N∗, il existe xn ∈ Iε tel que c−1/n < xn ≤ c. En ecrivant l’inequation (2)

pour tout n et en faisant tendre n vers +∞, la continuite de f implique

||f(c)− f(a)|| ≤ (M + ε)(c− a) + ε (3)

c’est-a-dire c ∈ Iε.Nous allons montrer que c = b.On a : c > a. En effet, puisque f est continue en a, alors l’application φ : x 7→

||f(x)− f(a)|| − (M + ε)(x− a) est aussi continue en a. Or φ(a) = 0, donc il existe η > 0tel que ∀x ∈ [a, a+ η], φ(x) ≤ ε. D’ou [a, a+ η] ⊂ Iε et c ≥ a+ η.

Supposons que c < b. Alors, c ∈]a, b[, donc f est derivable en c. Il existe donc un η > 0tel que ∀t ∈]− η,+η[,

||f(c+ t)− f(c)

t− f ′(c)|| < ε

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Pour un tel t ∈]0, η[, on a donc :

||f(c+ t)− f(c)|| ≤ ||f ′(c)||t+ εt ≤ (M + ε)t

ce qui donne, compte tenu de (3) :

||f(c+ t)− f(a)|| ≤ (M + ε)(c+ t− a) + ε

Conclusion : c+ t ∈ Iε et donc c n’est pas la borne sup de Iε. Contradiction. Donc b = c,et donc b ∈ Iε. On obtient donc

||f(b)− f(a)||F ≤ (M + ε)(b− a) + ε

Ceci etant vrai pour tout ε > 0, on conclut par passage a la limite ε→ 0.

Theoreme 3.4. (Le theoreme de la moyenne) Soient E et F des espaces vectorielsnormes, soit U un ouvert de E et soit f : U → F une application diferentiable sur U .On suppose qu’il existe une constante M ≥ 0 telle que pour tout a ∈ U , ||Dfa|| ≤ M .Soient a et b deux points de U tels que le segment

[a, b] = tb+ (1− t)a; t ∈ [0, 1]

soit contenu dans U . Alors on a :

||f(b)− f(a)||F ≤M ||b− a||E

Remarque. On voit ici le passage d’une propriete locale a une propriete globale.

Preuve. On applique la proposition 2.8 a la composee g = f α : [0, 1] → F , ou α :[0, 1]→ U designe l’application α(t) = tb+ (1− t)a.

Corollaire 3.5. Soient E et F des espaces vectoriels normes, soit U un ouvert convexede E et soit f : U → F une application diferentiable sur U . On suppose qu’il existe uneconstante M ≥ 0 telle que pour tout a ∈ U , ||Dfa|| ≤M . Alors

∀a, b ∈ C, ||f(b)− f(a)||F ≤M ||b− a||E

3.3 Applications de classe C1

Definition 3.6. Soient E et F des evn, soit U un ouvert de E et soit f : U → F uneapplication. On dit que f est de classe C1 sur U si f est differentiable en tout point de Uet si l’application Df : U → L(E,F ) definie par a 7→ Dfa est continue sur U .

Lorsque E = R, on retrouve la notion habituelle de classe C1. Lorsque E = Rn, ilsuffit de verifier que les derivees partielles sont continues, d’apres le theoreme suivant.

Theoreme 3.7. f : U → F , U ouvert de Rn est de classe C1 sur U , si et seulement si fadmet des derivees partielles par rapport a toutes les variables en tout point de U et sipour tout i ∈ 1, . . . , n, la fonction ∂f

∂xiest continue sur U .

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Demonstration. Le sens direct decoule des regles de composition des applications differentiablesd’une part et continues d’autre part, appliquees a f Ii, ou Ii est l’injection du para-graphe 2.3.

Pour la reciproque, on montre par recurrence sur n que si f de Rn dans F admet desderiees partielles continues, alors elle est differentiable et en tout point

Dfa(h) =n∑i=1

hi∂f

∂xi(a). (4)

Le cas n = 1 est trivial. Pour passer de n a n + 1, considerons une application fde Rn+1 dans F admettant des deriees partielles continues. On note x = (x, xn+1), avecx = (x1, · · · , xn), les elements de Rn+1.

Il faut estimer

δ(h) = f(a+ h)− f(a)−n+1∑i=1

hi∂f

∂xi(a)

= f(a+ h, an+1 + hn+1)− f(a+ h, an+1)− hn+1∂f

∂xi(a)

+f(a+ h, an+1)− f(a, an+1)−n∑i=1

hi∂f

∂xi(a)

Applique le theoreme de la moyenne au premier morceau et l’hypothese de recurrenceau deuxieme morceau, et on obtient

‖δ(h)‖ ≤ |hn+1| supx∈B(a,‖h‖)

∥∥∥∥ ∂f∂xi (x)− ∂f

∂xi(a)

∥∥∥∥+ o(h) = o(h),

ce qui conclut la recurrence.La continuite de Df est evidente d’apres (4).

Pour montrer la differentiabilite en a, on a utilise la continuite des derivees partiellesqu’en a. On a donc aussi prouve le resultat suivant.

Proposition 3.8. Si f : U → F , U ouvert de Rn admet des derivees partielles sur unvoisinage de a et que ces derivees partielles sont continues en a, alors f est differentiableen a.

Lorsque E = Rn et F = Rp, la proposition 2.8 implique que f = (f1, . . . , fp) estde classe C1 sur U si et seulement si seulement si ses applications composantes sont declasse C1 sur U .

3.4 Applications de differentielle nulle

Reciproque du theoreme de differentiation des applications constantes :

Definition 3.9. Un espace topologique X est dit connexe si pour tous les couples (U1, U2)d’ouverts de X tels que U1 ∩ U2 = ∅ et U1 ∪ U2 = X, on a U1 = ∅ ou U2 = ∅.

12

Proposition 3.10. Soit X un connexe. Les seuls sous-ensembles de X a la fois ouvertset fermes de X sont X et ∅.

Theoreme 3.11. Soient E et F des R − evn, soit U un ouvert connexe de E et soitf : U → F une application differentiable sur U telle que ∀x ∈ U,Dfx = 0. Alors f estconstante sur U .

Demonstration. Fixons a ∈ U . Soit B = x ∈ U /f(x) = f(a).B est non vide puisque a ∈ B.B = f−1(f(a)), donc B est un ferme de U puisque f est continue.B est un ouvert de U . En effet, soit b ∈ B. Puisque U est un ouvert de E, il existe r > 0

tel que B(b, r) ⊂ U . Appliquons le theoreme de la moyenne sur le convexe B(b, r) : pourtout x ∈ B(b, r), on obtient : ||f(x) − f(b)|| ≤ 0.||x − b||, donc f(x) = f(b). D’ouB(b, r) ⊂ B.

Conclusion : B est non vide et a la fois ouvert et ferme dans U . Donc B = U puisqueU est connexe.

3.5 Exercices

Exercice 3.1 ( !). Montrer que les applications polynomiales (i.e. dont toutes les appli-cations composantes sont polynomiales) de Rn dans Rp sont C1.

Exercice 3.2. Soit E un espace vectoriel norme sur R et soit f : R2 −→ E une applicationde classe C1 sur R2. On suppose que f verifie :

∀(s, t) ∈ R2, ∀(m,n) ∈ Z2, f(s+m, t+ n) = f(s, t) (∗)

a) Demontrer que Df : R2 −→ L(R2, E) verifie aussi la propriete (∗).b) Demontrer qu’il existe M ≥ 0 tel que

∀x ∈ R2, ∀y ∈ R2, ‖f(x)− f(y)‖ ≤M‖x− y‖

Exercice 3.3 ( !). Soient E et F espaces vectoriels normes, soit Ω un ouvert convexede E et soit f : Ω −→ F une application differentiable sur Ω. Demontrer que f estlipschitzienne sur Ω si et seulement si Df est bornee sur Ω.

Exercice 3.4. Si A designe une partie d’un espace vectoriel norme, on designe par δ(A)son diametre. Soient E et F deux espaces vectoriels normes et soit (fn)n≥1 une suited’applications differentiables de E dans F telles que

∀n ≥ 1, ∀x ∈ E, ||Dfn(x)|| ≤ ||x||n

Soit B une partie bornee de E. Que peut-on dire de limn→∞ δ(fn(B)) ?

Exercice 3.5. Soit E un espace vectoriel norme et soit g : E −→ E une applicationdifferentiable verifiant

∃k ∈]0, 1[,∀x ∈ E, ||Dg(x)|| ≤ k

1) Montrer que f = IdE + g est injective.2) Demontrer que l’application reciproque de f est Lipschitzienne.

13

Exercice 3.6. Soit n ≥ 1 un entier et soit U un ouvert non vide et borne de Rn. Soitf : U −→ R une fonction continue sur U (U designant, l’adherence de U dans Rn),differentiable sur U , telle que ∀u ∈ U \ U , f(u) = 0.Demontrer qu’il existe u ∈ U tel que Df(u) = 0.Ceci generalise un resultat bien connu. Lequel ?

Exercice 3.7 ( !). Dire si les fonctions definies par les formules suivantes sont differentiablesen (0, 0).

f(x, y) = cos(3x+ tan(y)) ; g(0, 0) = 0 et g(x, y) = x3

y2+x2 si (x, y) 6= (0, 0) ; h(x, y) =

arcsin( x2

x2−1)

Exercice 3.8. Soient x1, · · ·xn ∈ [0, 1] et P ∈ R[X1, · · · , Xn]. Montrer que la fonctionde C([0, 1]) dans R qui envoie f sur P [f(x1), · · · , f(xn)] est differentiable en tout point.

Exercice 3.9 ( !). Soient f, g : Rn → R des applications differentiables (resp. C1) en aet h : R2 → R differentiable (resp. C1) en (f(a), g(a)). Montrer que x 7→ h (f(x), g(x))est differentiable en a (resp. C1).

14

4 Etudes locale de fonctions

4.1 Differentielle seconde

Soient E et F des e.v.n., soit U un ouvert de E et soit f : U → F une applicationdifferentiable sur U . On considere la differentielle

Df : U → L(E,F )

Definition 4.1. On dit que f est deux fois differentiable en a ∈ U si f est differentiablesur un voisinage de a et Df est differentiable en a.

Dans ce cas, on note D2fa la differentielle de Df en a et on l’appelle la differentielle secondede f au point a.

Si f est deux fois differentiable en tout point de U et si l’application D2f : U →L(E,L(E,F )) est continue sur U , on dit que f est de classe C2 sur U .

La differentielle seconde vue comme application bilineaireNotons L2(E,F ) l’espace vectoriel norme des applications bilineaires continues de E×

E dans F . Alors on a un isomorphisme d’espaces vectoriels

Φ : L(E,L(E,F ))→ L2(E,F )

defini pour u ∈ L(E,L(E,F )) par Φ(u)(h, k) = [u(h)](k).Soit f : U → F une application deux fois differentiable en a ∈ U . On regardera D2fa

comme un element de L2(E,F ) en l’identifiant avec son image par Φ et on noteraD2fa(h, k) pour (D2fa(h))(k).

Theoreme 4.2. (Theoreme de Schwarz) Soit f : U → F une application deux foisdifferentiable en a ∈ U . Alors, l’application bilineaire D2fa est symetrique, i.e.

∀(h, k) ∈ E × E, D2fa(h, k) = D2fa(k, h)

Demonstration.

1. La fonction g est definie dans un voisinage de (0, 0) par

g(x, y) = f(a+ x.h+ y.k)− f(a+ x.h)− f(a+ y.k) + f(a).

Alors g est deux fois differentiable en (0, 0) et A := ∂2g∂x∂y

(0) = D2fa(h, k) et

B := ∂2g∂y∂x

(0) = D2fa(k, h). En outre, on a g(0, y) = g(x, 0) = 0, donc ∂g∂x

(x, 0) =∂g∂y

(0, y) = 0.

2. Fixons ε > 0. Par definition de A, il existe un voisinage convexe de (0, 0) (une boulecentree en ce point), sur lequel on a :∥∥∥∥∂g∂x(x, y)− y.A

∥∥∥∥ = |y|∥∥∥∥1

y

(∂g

∂x(x, y)− ∂g

∂x(x, 0)

)− A

∥∥∥∥ ≤ ε|y|.

D’apres l’IAF, on a donc sur ce voisinage ‖g(x, y)− xy.A‖ ≤ ε|yx|.De meme on montre que ‖g(x, y)− yx.B‖ ≤ ε|xy|, donc ‖yx.B − xy.A‖ ≤ ε|yx| etenfin ‖B − A‖ ≤ 2ε. En faisant tendre ε vers 0, on conclut la preuve.

15

4.2 Differentielles d’ordres superieurs

On definit de la meme facon par recurrence les notions de fonction n fois differentiableen a, sur U et de classe Cn sur U :

On note Ln(E,F ) l’e.v.n. des applications n-lineaires de En dans F muni de la normeusuelle

||M || = supx∈(E\0)n

||M(x)||F||x1||E . . . ||xn||E

On identifie L(E,Ln(E,F ) avec Ln+1(E,F ) (ecrire l’isomorphisme !).On note D1f pour Df .

Definition 4.3. Soit n ≥ 2. On dit que f est n fois differentiable en a ∈ U s’il existeun ouvert U ′ ⊂ U contenant a sur lequel f est n− 1 fois differentiable et si l’applicationDn−1fU ′ → Ln−1(E,F ) est differentiable en a, auquel cas on note Dnfa ∈ Ln(E,F ) ladifferentielle et on l’appelle la differentielle n-ieme de de f au point a.

Si f est n fois differentiable en tout point de U et si l’application Dnf : U → Ln(E,F )est continue sur U , on dit que f est de classe Cn sur U .

4.3 Une formule explicite pour D2fa

Rappel. Soit f : U ⊂ Rn → F une application differentiable au point a ∈ U . Alorspour tout h = (h1, . . . , hn),

Dfa(h) =n∑i=1

∂f

∂xi(a)hi

Cette formule se generalise de la facon suivante :Soit F un e.v.n et soit f : U ⊂ Rn → F une application deux fois differentiable

en a ∈ U . Alors pour tous h = (h1, . . . , hn) et k = (k1, . . . , kn) dans Rn, on a :

D2fa(h, k) =n∑i=1

n∑j=1

∂2f

∂xi∂xj(a)hikj

La matrice H(f) =(

∂f∂xi∂xj

)de Df est appelee matrice hessienne de f .

Lorsque f est deux fois differentiable sur U , alors le theoreme de Schwarz implique :

∀a ∈ U,∀i, j, ∂2f

∂xi∂xj(a) =

∂2f

∂xj∂xi(a),

c’est a dire que Ha(f) est symetrique et

D2fa(h, k) = hHa(f)k =n∑i=1

∂2f

∂x2i

(a)hiki +∑

1≤i<j≤n

∂2f

∂xi∂xj(a)(hikj + hjki)

La forme quadratique q : Rn → F associee a la forme bilineaire D2fa s’exprime doncpar :

16

∀h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn, q(h) = D2fa(h, h) =n∑i=1

∂2f

∂x2i

(a)h2i + 2

∑1≤i<j≤n

∂2f

∂xi∂xj(a)hihj

4.4 La formule de Taylor-Young

Theoreme 4.4. Soient E et F des e.v.n, soit U un ouvert de E et soit f : U → F uneapplication n fois differentiable au point a ∈ U . Alors ∀x ∈ U ,

f(x) = f(a) +1

1!Dfa(x− a) +

1

2!D2fa(x− a, x− a) + . . .+

. . .+1

n!Dnfa(x− a, . . . , x− a) + o((x− a)n)

Remarque. Pour n = 1, c’est la definition de la differentielle Dfa. Pour n = 0, c’estcelle de la continuite en a.

Preuve La demonstration se fait par recurrence sur n. La remarque assure l’initilisa-tion. Pour l’heredite, on appelle φ la difference f(a+h)−

∑n+1k=0

1k!Dkfa(h, . . . , h) puis on

applique l’hypothese de recurrence a Dφ et l’IAF a φ.

4.5 Points critiques - extrema libres

Definition 4.5. Soit E un e.v.n., soit U une ouvert de E et soit f : U → R. On ditque f admet au point a ∈ U un minimum local (resp. maximum local) s’il existe unouvert U ′ ⊂ U contenant a tel que ∀x ∈ U ′, f(x) ≥ f(a) (resp. f(x) ≤ f(a)).

Si les inegalites sont strictes, on parle de minimum (resp. maximum) local strict.

Definition 4.6. Un point a ∈ U tel que Dfa = 0 s’appelle un point critique de f .

D’apres le theoreme 2.4, les extrema locaux des fonctions reelles differentiablessont atteints en des points critiques. Les autres points critiques sont appeles points-selle.Le resultat suivant donne des conditions suffisantes pour distinguer les extrema et lespoints-selle.

Theoreme 4.7. Soit E un e.v.n. de dimension finie, U un ouvert de E et f : U → Rune application deux fois differentiable en a ∈ U . On suppose que a est un point critiquede f .

1. Si la forme quadratique q : h ∈ E 7→ D2fa(h, h) est definie positive, alors f admeten a un minimum local strict.

2. Si la forme quadratique q est definie negative, alors f admet en a un maximumlocal strict.

3. S’il existe h, k ∈ E tels que D2fa(h, h) > 0 et D2fa(k, k) < 0, alors a est unpoint-selle.

Corollaire 4.8 (E = R2, Lagrange, 1759). Soit U un ouvert de R2 et soit f : U → Rune application deux fois differentiable en a ∈ U telle que Dfa = 0. On pose :

r =∂2f

∂x2, t =

∂2f

∂y2, s =

∂2f

∂x∂y

17

1. Si rt− s2 > 0, alors f admet au point a un extremum local strict. Si r > 0, il s’agitd’un minimum ; Si r < 0, il s’agit d’un maximum.

2. Si rt− s2 < 0, alors f n’admet pas d’extremum local au point a.

4.6 Exercices

Exercice 4.1 ( !). Calculer la differentielle seconde d’une application lineaire. Memequestion pour une application bilineaire.

Exercice 4.2 ( !). Soit f : R2 −→ R l’application definie par :

∀(x, y) ∈ R2, f(x, y) = (x2 + y2)2 − 2x2 + 2y2

Determiner les points critiques de f et leur nature (extrema, points-selle).

Exercice 4.3. Soit f : R2 −→ R l’application definie par :

∀(x, y) ∈ R2, f(x, y) = x3 + y3 − 3xy

1) Determiner les points critiques de f et leur nature (extrema, points-selle).2) En deduire une esquisse dans R2 des lignes de niveau de l’application f (i.e. les en-sembles d’equation f(x, y) = constante).

Exercice 4.4. Soit f : R2 −→ R definie par

f(x, y) = (x2 + y2)2 − 8xy

1) Determiner les points critiques de f et leur nature (extrema, points-selle)2) En deduire une esquisse de la surface de R3 d’equation z = f(x, y) et l’allure des lignesde niveau de f .

18

5 Le theoreme d’inversion locale

Dans ce chapitre, les espaces vectoriels normes consideres sont de dimension finie.Nous allons generaliser le resultat suivant :

Theoreme 5.1. Soit f :]a, b[→ R une application de classe C1 sur ]a, b[ telle que enx0 ∈]a, b[, f ′(x0) 6= 0. Alors il existe un intervalle ouvert I ⊂]a, b[ contenant x0 et un unintervalle ouvert de J tels que la restriction de f a I soit un diffeomorphisme de I sur J .

5.1 Homeomorphismes et diffeomorphismes

Definition 5.2. Soient E,F et G des evn, U un ouvert de E, V un ouvert de F .Une application f : U → V est un homeomorphisme si f est bijective et si f et f−1

sont continues.Une application f : U → V est un diffeomorphisme si f est bijective et si f et f−1

sont de classe C1.

Remarque. f diffeomorphisme ⇒ f homeomorphisme.Reciproque fausse : une application f : U → V de classe C1 peut admettre une

fonction inverse f−1 continue sans etre un diffeomorphisme. Par exemple f : R → Rdefinie par f(x) = x3 est bijective et C1. Son inverse est f−1(y) = x1/3 qui est continuemais pas differentiable en 0.

La proposition suivante donne une condition pour qu’un homeomorphisme soit undiffeomorphisme :

Proposition 5.3. Soient E et F des evn, U ⊂ E et V ⊂ F des ouverts. Soit f : U → Vun homeomorphisme de classe C1. Alors f est un diffeomorphisme si et seulement si pourtout x ∈ U , la differentielle Dfx est un isomorphisme de E sur F , auquel cas, on a :

D(f−1)f(a) = (Dfa)−1

Remarque. Si en un point x ∈ U , la differentielle est un isomorphisme, alors en parti-culier dimE = dimF .Preuve.⇒ Si f est un diffeo, alors en particulier f−1 est inversible etf−1 f = IdU et f f−1 = IdV . Donc pour tout a ∈ U et b = f(a),

D(f−1)b Dfa = IdE et Dfa D(f−1)b = IdF

Ceci prouve que Dfa est inversible d’inverse D(f−1)b.

⇐ Soit a ∈ U . Supposons Dfa inversible. Posons b = f(a), et A = Dfa.

a) Supposons que E = F et A est l’identite. Montrons que f−1 est differentiableen b de differentielle l’identite.

Soit k ∈ F tel que b+ k ∈ V . Posons

γ(k) = f−1(b+ k)− f−1(b) = f−1(b+ k)− aγ1(k) = f−1(b+ k)− f−1(b)− k = γ(k)− k

19

On doit montrer que

limk→0

||γ1(k)||||k||

= 0

Exprimons la differentiabilite de f en a. Pour h ∈ E tel que a+ h ∈ U , on a :

f(a+ h) = b+ h+ ||h||ε(h)

avec limh→0 ε(h) = 0.Comme f−1 est continue, limk→0 γ(k) = 0, donc on peut remplacer h par γ(k) dans

la derniere equation, ce qui donne

b+ k = f(f−1(b+ k)) = f(a+ γ(k)) = b+ γ(k) + ||γ(k)||ε(γ(k))

et donc k = γ(k) + ||γ(k)||ε(γ(k)).

De la on deduit d’une part γ1(k) = −||γ(k)||ε(γ(k)) et d’autre part limk→0||γ(k)||||k|| = 1.

En combinant les deux on voit que

limk→0

||γ1(k)||||k||

= − limk→0

||γ(k)||||k||

limk→0

ε(γ(k)) = 0.

b) On obtient le cas general en appliquant le cas precedent a g = A−1 fc) D(f−1) : V→ L(F,E) est continue sur V.

En effet, D(f−1)y = (Dff−1(y))−1, donc D(f−1) = Inv Df f−1 ou Inv designe

l’application Inv : Gl(E,F ) → Gl(E,F ) definie par Inv(u) = u−1 dont les coordonneessont des fractions rationnelles. Donc D(f−1) est continue comme composee d’applicationscontinues.

5.2 Le theoreme d’inversion locale

Definition 5.4. Soient E et F des evn, U un ouvert de E. Une application f : U → Fest un diffeomorphisme local en a s’il existe un ouvert U1 ⊂ U contenant a et un ouvertV de F tel que f se restreigne en un diffeomorphisme de U1 sur V .

Il resulte de la proposition 5.3 que si f est un diffeomorphisme local en a, alors Dfaest inversible. Le theoreme suivant dit que la reciproque est vraie :

Theoreme 5.5. d’inversion locale Soient E et F des evn, U un ouvert de E, et soitf : U → F une application de classe C1. Soit a ∈ U tel que Dfa soit inversible. Alors fest un diffeomorphisme local en a.

La demonstration sera donnee plus loin.

Application. Soit f : R2 → R2 definie par f(x, y) = (x + y4, y + x3y). Alors f est undiffeomorphisme local en (0, 0) car sa matrice jacobienne

Jf(0,0) =

(1 00 1

)est inversible. Cela entraıne que si (a, b) est assez proche de f(0, 0) = (0, 0), alors lesysteme d’equations

20

x+ y4 = ay + x3y = badmet une solution (x(a, b), y(a, b)) qui depend differentiablement de (a, b) et telle que

x(0, 0) = 0 et y(0, 0) = 0.Si on essaie de faire la resolution explicite, on a a resoudre l’equation du treizieme

degre y + (a− y4)3y = b, ce qui n’est pas facile !

5.3 Le theoreme du point fixe

La preuve du thm d’inversion locale utilise de maniere essentielle le theoreme du pointfixe dans les espaces metrique complets (cf. cours de topologie), dont nous donnons unenonce moins general ici :

Theoreme 5.6. Soit E un espace vectoriel norme de dimension finie et soit B un fermede E. Soit g : B → B une application verifiant la propriete suivante : il existe k < 1 telque

∀x, y ∈ B, ||g(y)− g(x)|| ≤ k||y − x||

(on dit que g est une contraction)Alors il existe un unique x ∈ B tel que g(x) = x.

5.4 Demonstration du theoreme d’inversion locale

Soit f : U → F une application de classe C1 et soit a ∈ U tel que Dfa soit inversible.Puisque l’on travaille en dimension finie, on a dimE = dimF et on peut supposer

sans perdre en generalite que E = F = Rn.

Premiere etape. On se ramene au cas ou a = 0, f(a) = 0 et Dfa = IdE en remplacantf par : h(x) = (Dfa)

−1(f(x+ a)− f(a)).En effet, on a bien h(0) = 0 et Dh0 = Df−1

a Dfa = IdE.Par ailleurs, f est un diffeomorphisme local en a si et seulement si h est un diffeomorphisme

local en 0.

Deuxieme etape. Pour montrer que h est un diffeomorphisme local, il faut montrer quel’equation y = h(x), ou y est donne proche de h(0) = 0 admet une unique solution prochede 0.

Considerons g : U → Rn definie par g(x) = x − h(x) et posons g(x) = g(x) + y. Ona :

y = h(x)⇔ g(x) = x

Nous allons appliquer le theoreme du point fixe a g sur un ferme de Rn.On a

Dg0 = IdRn −Dh0 = 0L(Rn,Rn)

Or Dg est continue en 0 puisque f est C1. Donc il existe r > 0 tel que la boule ouverteB(0, r) soit contenue dans U et tel que

∀x ∈ B(0, r), ||Dgx|| <1

2

21

Appliquons le theoreme de la moyenne a g dans le convexe B(0, r) :

∀x, x′ ∈ B(0, r), ||g(x)− g(x′)|| ≤ 1

2||x− x′|| (5)

et donc, on a aussi :

∀x, x′ ∈ B(0, r), ||g(x)− g(x′)|| ≤ 1

2||x− x′||

Pour x′ = 0, on obtient en particulier : ∀x ∈ B(0, r), ||g(x) − y|| ≤ 12||x||, donc

g(B(0, r)) ⊂ B(y, r/2). Choisissons alors y dans B(0, r/2). On obtient : g(B(0, r)) ⊂B(0, r).

Donc pour y fixe dansB(0, r/2), la restriction g : B(0, r)→ B(0, r) est une contractionde rapport 1/2. Donc il existe un unique x ∈ B(0, r) tel que x = g(x), c’est a-dire tel queh(x) = y.

Conclusion : h est une bijection du voisinage ouvert de 0

Ω = B(0, r) ∩ h−1(B(0, r/2))

sur le voisinage ouvert B(0, r/2) de h(0) = 0.

Troisieme etape. Notons h] : Ω→ B(0, r/2) la restriction de h. D’apres ce qui precedeh] est une bijection. De plus, h] est de classe C1 par hypothese. Donc d’apres la proposition5.3, pour montrer que h] est un diffeomorphisme il reste a demontrer que (h])−1 estcontinue sur B(0, r/2).

Soient y, y′ ∈ B(0, r/2). Posons x = (h])−1(y) et x′ = (h])−1(y′). D’apres (5), on a :

||(h])−1(y)−(h])−1(y′)|| = ||x−x′|| = ||h(x)+g(x)−(h(x′)+g(x′))|| ≤ ||h(x)−h(x′)||+1/2||x−x′||

Donc||(h])−1(y)− (h])−1(y′)|| ≤ 2||y − y′||

En particulier (h])−1 est continue.

5.5 Exercices

Exercice 5.1. Calculer la matrice jacobienne des applications suivantes. En quels pointspeut-on appliquer le theoreme d’inversion locale ?a)

f : R2 −→ R3

(x, y) 7−→ (x+ y, x2 + y2, x2 − y2)

b)f : R2 −→ R2

(x, y) 7−→ (sinx cosh y, cosx sinh y)

c)f : R3 −→ R3

(x, y, z) 7−→ (x+ y2, y + z2, z + x2)

22

Exercice 5.2. 1) Demontrer que l’application

P : R2 −→ R2

(ρ, θ) 7−→ (ρ cos θ, ρ sin θ)

est un diffeomorphisme local au voisinage de tout point de R? × R.2) Determiner un ouvert maximal U ⊂ R2 tel que la restriction P|U de P a U soit undiffeomorphisme de U sur P (U). Decrire P (U).3) Pour (x, y) ∈ P (U), calculer D(P−1)(x, y).

Exercice 5.3. Soit f : R2 −→ R une application differentiable sur R2 et soit f : R2 −→ Rl’application definie par f(ρ, θ) = f(ρ cos θ, ρ sin θ).1) Calculer les derivees partielles de f en fonction de celles de f .2) Resoudre l’equation aux derivees partielles

x∂f

∂x(x, y) + y

∂f

∂y(x, y) =

√x2 + y2

Exercice 5.4. Determiner les fonctions f : R2 −→ R de classe C1 qui sont solutions de

α∂f

∂x(x, y) + β

∂f

∂y(x, y) = 0

Exercice 5.5. Determiner les fonctions f : R2 −→ R de classe C1 qui verifient simul-tanement les deux equations suivantes :

x∂f

∂x(x, y) + y

∂f

∂y= 0 (1)

y∂f

∂x(x, y)− x∂f

∂y= −1 (2)

23

6 Theoreme des fonctions implicites

Considerons l’equation du cercle x2+y2 = 1. On sait expliciter la variable y en fonctionde x sur un voisinage ouvert U d’un point y0 > 0 : y(x) =

√1− x2.

Cet exemple est particulier : en general, etant donne f , on ne peut pas decrire expli-citement une variable en fonction de l’autre.

Comme son nom l’indique, le theoreme des fonctions implcites donne des conditionspour que, dans une equation du type f(x, y) = 0, l’on puisse exprimer localement unevariable en fonction de l’autre, mais sans formule explicite.

6.1 Enonce du theoreme

Soient n, p et q trois entiers, soit U un ouvert de Rn × Rp et soit f : U → Rq uneapplication differentiable sur U . Si (x, y) ∈ U avec x ∈ Rn et y ∈ Rp, on notera f(x, y) lavaleur de f en (x, y).

Fixons (a, b) ∈ U .

Definition 6.1. L’application x 7→ f(x, b) est definie sur un voisinage de a dans Rn et estdifferentiable en a. On note D1f(a,b) sa differentielle et on l’appelle la differentielle partielle de fpar rapport a la variable x.

De meme, on note D2f(a,b) la differentielle au point b de l’application y 7→ f(a, y) eton l’appelle la differentielle partielle de f par rapport a la variable y.

Ceci generalise la notion de derivee partielle. En effet, lorsque n = p = q = 1, alorspour h ∈ R, on a : D1f(a,b).h = ∂f

∂x(a, b).h et D2f(a,b).h = ∂f

∂y(a, b).h.

Au chapitre 1, nous avons demontre une relation entre la differentielle d’une applica-tion f : Rn → R :

∀h = (h1, . . . , hn), Dfa(h) = h1∂f

∂x1

(a) + . . .+ hn∂f

∂xn(a)

Avec les memes arguments, on obtient une relation entre les differentielles partielleset la differentielle d’une application f : U → Rq ou U est un ouvert de Rn × Rp :

Proposition 6.2. Pour tout (h, k) ∈ Rn × Rp,

Dfa(h, k) = D1f(a,b).h+D2f(a,b).k

Theoreme 6.3. Soient n et p deux entiers, soit U un ouvert de Rn×Rp et soit f : U → Rp

une application de classe C1 sur U . Soit (a, b) ∈ U tel que f(a, b) = 0. On suppose quela differentielle partielle D2f(a,b) est inversible.

Alors il existe un voisinage ouvert V de a dans Rn, un voisinage ouvert W de b dansRp et une application φ : V → W tels que(

(x, y) ∈ V ×W et f(x, y) = 0)⇐⇒

(x ∈ V et y = φ(x)

)De plus, pour tout x ∈ V et y = φ(x), on a :

Dφx = −[D2f(x,y)]−1 D1f(x,y)

24

Remarque. Dire que D2f(a,b) est inversible equivaut a dire que la matrice(∂fi

∂yj(a, b)

)1≤i,j≤p

est inversible.

6.2 Interpretation geometrique

Le sous-espace de Rn+p defini par l’equation f(x, y) = 0 est localement, au voisinagedu point (a, b), le graphe d’une application φ : Rn → Rp.

Cas particuliers

n = p = 1 : courbes dans R2

n = 2, p = 1 : surfaces dans R3

6.3 Demonstration du theoreme

Considerons l’application h : U → Rn×Rp definie par h(x, y) = (x, f(x, y)). Calculonssa differentielle au point (a, b) :

Dh(a,b)(h, k) = (h,Df(a,b)(h, k) = (h,D1f(a,b).h+D2f(a,b).k)

On constate que Dh(a,b) est inversible. En effet, pour (z, t) fixe dans Rn×Rp, l’equationDh(a,b)(h, k) = (z, t) admet pour unique solution : h = z et k = [D2f(a,b)]

−1(t−D1f(a,b).z)On peut donc appliquer le theoreme d’inversion locale a h en (a, b) : il existe un

voisinage ouvert U1 de (a, b) dans Rn × Rp et un ouvert V1 de Rn × Rp contenant (a, b)tels que h se restreigne en un diffeomorphisme de U1 sur V1. Le diffeomorphisme inversede hU1 est de la forme (z, t) 7→ g(z, t) ou g : V1 → Rp est de classe C1.

Si (x, y) ∈ U1, alors l’equation f(x, y) = 0 est equivalente a h(x, y) = (x, 0) et donc a(x, y) = (x, g(0, x)), c’est-a dire y = g(x, 0).

Finalement, soit V un voisinage ouvert de a dans Rn et W un voisinage ouvert deb dans Rp tels que V ×W ⊂ U1. Si x ∈ V , on pose φ(x) = g(x, 0). Alors l’applicationφ : V → W verifie les proprietes du theoreme.

Pour calculer Dφx, on pose y = φ(x) et on differencie la relation f(x, φ(x)) = 0 : pourtout h ∈ Rn,

D1f(x,y).h+ (D2f(x,y) Dφx).h = 0

6.4 Exercices

Exercice 6.1. On considere pour α reel positif fixe, la courbe du plan definie implicite-ment par

x3 + y3 − 3αxy = 0

a) Posant y = tx, t ∈ R (passage aux coordonnees parametriques), dessiner cette courbex = x(t), y = y(t).b) En utilisant le theoreme des fonctions implicites, determiner la tangente a la courbeau point (x(1), y(1)).

25

c) Determiner les points de la courbes ou le theoreme des fonctions implicites ne peut pass’appliquer.

Exercice 6.2. Dans cet exercice, E = Rn, ou n est un entier ≥ 1.Soit f : L(E)× L(E) −→ L(E) l’application definie par :

∀A,B ∈ L(E), f(A,B) = B − 1

2(Id− A+B)2

1) Determiner la differentielle de f .2) Le theoreme des fonctions implicites s’applique-t’il a f au voisinage de (Id,O) ∈L(E)× L(E) ?

Exercice 6.3. En quels points a de la surface de R3 d’equation x2− yz = 0 existe-t-il unparametrage local de la forme z = φ(x, y) ?Calculer explicitement ∂φ

∂x(a) et ∂φ

∂y(a) en choisissant un point a de la surface.

Exercice 6.4. Soit Pa(x) = a0 +a1x+a2x2 + . . .+anx

n un polynome a coefficients reels.On pose a = (a0, . . . , an). Fixons a∗ = (a∗0, . . . , a

∗n) dans Rn+1.

On suppose que Pa∗ possede une racine reelle x∗0.Ecrire une condition suffisante pour que, pour a proche de a∗, le polynome Pa possedeune racine reelle x0 proche de x∗0 dependant differentiablement de a.

Exercice 6.5. Soit U un voisinage ouvert de 0 dans Rn et f : U −→ Rm une fonction C1

telle que f(0) = 0. On note Jf(0) la matrice jacobienne de f en 0. On remarquera quepermuter les lignes ou les colonnes de Jf(0) revient a composer f avec des isomorphismesde Rm ou de Rn (donc avec des diffeomorphismes).On suppose que que Df(0) est injective (n ≤ m). De plus, on suppose, quitte a les permu-ter, que les n premieres lignes de Jf(0) sont lineairement independantes.Considerons la fonction F : U × Rm−n −→ Rm definie par

F (x′, x′′) = f(x′) + (0, x′′)

1) Montrer, en appliquant le theoreme d’inversion locale a F , qu’il existe un diffeo-morphisme local v defini sur un voisinage de 0 dans Rm tel que :

(v f)(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xn, 0, . . . , 0)

2) Interpreter geometriquement le resultat.3) Soit f : R −→ R2 definie par f(t) = (t2, t3). Dessiner f(R). Qu’en pensez-vous ?

26

7 Sous-varietes de Rn - extrema lies

7.1 Sous-varietes

Definition 7.1. Une partie M de Rn est une sous-variete differentiable de dimensionp ≤ n de Rn si pour tout a ∈ M , il existe un voisinage ouvert Ua de a dans Rn et undiffeomorphisme φ : Ua → Va ⊂ Rn tel que

φ(Ua ∩M) = Va ∩ (Rp × 0Rn−p)

Si φ est de classe Cn, on parle de sous-variete Cn. Si φ est de classe C∞, on parle desous-variete lisse.

7.2 Submersions

Definition 7.2. Soit Ω un ouvert de Rn. Une application de classe C1 f : Ω → Rk estune submersion sur Ω si pour tout a ∈ Ω, la differentielle Dfa est surjective.

Theoreme 7.3. Soit Ω un ouvert de Rn et soit f : Ω→ Rk une submersion avec k < n.Alors le sous-ensemble M = f−1(0) de Rn est une sous-variete de dimension n − k deRn. On dit que f(x) = 0 est une equation de M .

Preuve Fixons a ∈ Ω. Puisque Dfa est de rang k, alors la matrice jacobienne de fpossede k colonnes lineairement independantes. Quitte a composer f par un diffeomorphismede Rn qui permute les variables, on peut supposer qu’il s’agit des k dernieres colonnes.

On definit F : Ω→ Rn = Rn−k × Rk par :

F (x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xn−k, f(x))

La matrice jacobienne de F s’ecrit :

JFa =

1n−k 0

∂f1∂x1

(a) . . . ∂f1∂xn−k

(a) ∂f1∂xn−k+1

(a) . . . ∂f1∂xn

(a)

......

......

∂fk

∂x1(a) . . . ∂fk

∂xn−k(a) ∂fk

∂xn−k+1(a) . . . ∂fk

∂xn(a)

JFa est inversible, donc d’apres le theoreme d’inversion locale, F est un diffeomorphisme

local au voisinage de a : il existe un voisinage ouvert Ua de a dans Rn et un ou-vert Va de Rn tel que F : Ua → Va soit un diffeomorphisme. On verifie aisement queF (Ua ∩M) = Va ∩ (Rn−k × 0Rk).

Exemples. La sphere unite dans Rn, le cone epointe, le cylindre, le tore dans R3, etc.(cf. exercices)

27

7.3 Espace tangent a une sous-variete

Theoreme 7.4. Soit M une sous-variete de Rn de dimension n−k d’equation f(x) = 0,ou f : Ω→ Rk designe une submersion avec k < n. Alors

1. M est partout localement le graphe d’une application φ : Rn−k → Rk

2. Pour tout x ∈ M , kerDfx est forme des vecteurs vitesses de courbes de classe C1

tracees sur M et passant par x.

Preuve 1) Posons f = (f1, . . . , fk). Soit a ∈M .Puisque f est une submersion, la matrice jacobienne Jfa admet k colonnes lineairement

independantes. Quitte a permuter les variables, on peut supposer que ce sont les kdernieres. Pour (x1, . . . , xn) ∈ Rn, posons x = (x1, . . . , xn−k) et y = (xn−k+1, . . . , xn).et regardons f comme (x, y) → f(x, y). Alors D2fa est un isomorphisme de Rk, doncd’apres le des fonctions implicites, il existe un voisinage U de (a1, . . . , an−k) dans Rn−k,un voisinage V de (an−k+1, . . . , an) dans Rk et une application φ : U → V tels que(

x ∈ U, y ∈ V et f(x, y) = 0)⇔(x ∈ U et y = φ(x)

)i.e. M est localement le graphe de φ au voisinage du point a.

2) Soit c : I → Rn une courbe de classe C1 tracee sur M et passant par a, c’est-a-dire :I est un intervalle de R contenant 0, c(0) = a et ∀t ∈ I, f(c(t)) = 0. Alors

(f c)′(0) = Dfa(c′(0)) = 0

Donc c′(0) ∈ kerDfa.Reciproquement, soit (hx, hy) ∈ kerDfa.Posons A = (a1, . . . , an−k) et considerons la courbe definie par

cx(t) = A+ thx et cy(t) = φ(A+ thx)

Alors ∀t ∈ I, c(t) ∈ M , et c′(0) = (hx, c′y(0)) avec c′y(0) = DφA(hx). Donc d’apres le

theoreme des fonctions implicites,

c′y(0) = −D2f−1a D1fa(hx)

.Or (hx, hy) ∈ kerDfa implique que Dfah = D1fa(hx) +D2fa(hy) = 0. Donc

c′y(0) = hy

.

Definition 7.5. Soit M une sous-variete de Rn definie par une equation f(x) = 0, ou f :Ω→ Rk designe une submersion avec k < n. On appelle espace tangent a M au point x ∈Mle sous espace vectoriel kerDfx. Il est note TxM .Le sous-espace affine tangent a M en x est defini comme x+ TxM .

Exemples

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1. Courbes dans R2

k = 1 et n = 2. f : Ω ⊂ R2 → R submersion. On considere la courbe M ⊂ R2

donnee par l’equation f(x, y) = 0. Alors en a = (x0, y0) ∈ M , la droite affinetangente a+ TaM est donnee par l’equation :

(x− x0)∂f

∂x+ (y − y0)

∂f

∂y= 0

2. Surfaces dans R3

k = 1 et n = 3. f : Ω ⊂ R2 → R submersion. On considere la surface M ⊂ R3

donnee par l’equation f(x, y, z) = 0. Alors en a = (x0, y0, z0) ∈ M , le plan affinetangent a+ TaM est donnee par l’equation :

(x− x0)∂f

∂x+ (y − y0)

∂f

∂y+ (z − z0)

∂f

∂z= 0

7.4 Extrema lies, multiplicateurs de Lagrange

On recherche les extrema de la restriction a une sous variete de Rn d’une fonction den variables.

Theoreme 7.6. Soit Ω un ouvert de Rn et soit g : Ω→ Rk une submersion. On considerela sous-variete M de Rn d’equation g(x) = 0.

Soit f : Ω→ R de classe C1. Si la restriction f|M admet un extremum au point a ∈M ,alors il existe k reels λ1, . . . , λk tels que :

Dfa = λ1Dg1(a) + . . . λkDgk(a)

Definition 7.7. Les reels λ1, . . . , λk s’appellent des multiplicateurs de Lagrange.

Pour prouver le theoreme, on utilisera le lemme suivant.

Lemme 7.8. Pour toutes applications lineaires f : E → F et g : E → G, il existe uneapplication lineaire L : Imf → F telle que f = L g si et seulement si Kerg ⊂ Kerf .

Preuve du Thm 7.6. Montrons d’abord qu’on a kerDga ⊂ kerDfa. Soit donc v ∈kerDga. D’apres le theoreme 7.4, il existe une courbe c tracee sur M telle que c(0) = aet c′(0) = v. Comme a est un point extremum de f|M , f c admet un extremum en 0,donc (f c)′(0) = 0, i.e. v = c′(0) ∈ kerDfa.

D’apres le lemme, il existe donc L ∈ L(Rk,R) telle que Dfa = L Dga. Maintenant,soit e1, . . . , ek la base canonique de Rk. Pour tout i = 1, . . . , k, posons λi = L(ei). Alorspour tout h ∈ Rn,

Dfa(h) = (L Dga)(h) = L(Dg1a(h), . . . , Dgka(h))

DoncDfa(h) = (λ1Dg1(a) + . . .+ λkDgk(a)).h

29

7.5 Exercices

Exercice 7.1. Notons Sn le sous ensemble de Rn+1 d’equation

x21 + . . .+ x2

n+1 = 1

Montrer que Sn est une sous-variete de Rn+1 dont on precisera la dimension. Dessiner

Exercice 7.2. Meme question pour le sous ensemble T 2 de R3 d’equation

(√x2 + y2 − 1)2 + z2 = r2

avec 0 < r < 1.Dessiner T 2.

Exercice 7.3. L’equation x2 + y2 − z2 = 0 definit-elle une sous-variete de R3 ? Donnerun ouvert maximal de R3 sur lequel l’equation definit une sous-variete.

Exercice 7.4. Decrire l’espace tangent en (1, 1, 1) a la courbe de R3 definie par lesequations

x2 − yz = 0

3x2 − y − 2z = 0

Exercice 7.5. 1) Soit A le sous-ensemble de R3 defini par :

A = (x, y, z) ∈ R3 / 5x2 + 9y2 + 6z2 + 4yz − 1 = 0Demontrer que A est un sous-espace compact de R3.2) Soit f : R3 −→ R l’application definie par :

∀x ∈ R3, f(x, y, z) = x2 + y2 + z2

Soit (x0, y0, z0) ∈ A. Donner une condition necessaire pour que la restriction de f a Aadmette un extremum en (x0, y0, z0).3) En deduire les extrema de la restriction de f a A.

Exercice 7.6. Soit A le sous-ensemble de R3 defini par :

A = (x, y, z) ∈ R3 / x2 + 2y2 − 1 = 0 et 3x− 4z = 0et soit f : R3 −→ R l’application definie par :

∀x ∈ R3, f(x, y, z) = x− y − zDeterminer les extrema de la restriction de f a A.

Exercice 7.7. La densite d’une surface metallique Σ definie par l’equation x2+y2+z2 = 4est donnee par ρ(x, y, z) = 2 + xz + y2. Determiner les points de Σ ou la densite est laplus faible et ceux ou elle est la plus forte.

Exercice 7.8. Mettre le nombre 1728 sous la forme d’un produit xyz = 1728 de nombrepositifs de telle sorte leur somme soit minimum.

Exercice 7.9. Soit A le sous-ensemble de R3 defini par :

A = (x, y, z) ∈ R3 / x2 + 2y2 − 1 = 0 et 3x− 4z = 0et soit f : R3 −→ R l’application definie par :

∀x ∈ R3, f(x, y, z) = x− y − zDeterminer les extrema de la restriction de f a A.

30

Deuxieme partie

Equations differentielles

8 Generalites

8.1 Definitions

Definition 8.1. Une equation differentielle ordinaire d’ordre n est une relation

G(x, y, y′, . . . , y(n)) = 0

ou G : U → Ep designe une application continue d’un ouvert U de R×En+1 dans une.v.n E (de dimension finie pour nous), et y : x 7→ y(x) une application de la variablereelle x a valeurs dans E, n fois derivable.

Definition 8.2. On dit que l’equation differentielle est sous forme resolue si elle s’ecrit :

y(n) = F (x, y, y′, . . . , y(n−1))

Exemples :

1. xy′ − 2y = 0

E = R, n = 1, p = 1, pas sous forme resolue.

2. y′′1 = y1 + 2y2 − 5y′2 + 2xy′′2 = y1 + y2 + y′1 − 2y′2 + 3x

E = R, n = 2, p = 2, y = (y1, y2), sous forme resolue.

Definition 8.3. On appelle solution de l’equation differentielle

G(x, y, y′, . . . , y(n)) = 0

tout couple (I, φ) ou I designe un intervalle de R et φ : I → E une application n foisderivable sur I telle que

∀x ∈ I, G(x, φ(x), φ′(x), . . . , φ(n)(x)) = 0

8.2 Raccordements des solutions, solutions prolongeables, solu-tions maximales

Exemple :xy′ − 2y = 0 (E)

a) On se place sur un intervalle I ne contenant pas 0. Alors

(I, φ) solution de (E) ⇔ ∃k ∈ R /∀x ∈ I, φ(x) = kx2

b) Maintenant, on cherche une solution sur R : (R, φ) est solution de (E) si et seulementsi φ|R∗+ et φ|R∗− sont solutions, φ est derivable en 0 et φ(0) = 0.

31

D’apres a) (R, φ) est donc solution de (E) si et seulement si il existe deux reels k1 et k2

tels que

∀x ∈ R∗−, φ(x) = k1x2 et ∀x ∈ R∗+, φ(x) = k2x

2

Exemple : la fonction φ : R→ R definie par φ(x) = x2

2sur R− et φ(x) = −x2 sur R+

est solution.

Definition 8.4. On appelle prolongement d’une solution (I, φ) de (E) toute solution(J, ψ) de (E) telle que I ⊂ J et ψ|I = φ.

Dans l’exemple, la solution (R∗+, φ), φ(x) = −x2 admet une infinite de prolongements.

Definition 8.5. On appelle solution maximale une solution qui n’admet pas de prolon-gement.

Bilan : On sera amenes a faire des raccordements de solution des que pour des raisonspratiques ou theoriques, on travaillera sur des intervalles ne contenant pas certains points.Ce sera souvent le cas des equations non resolues.

8.3 Theoreme de Cauchy-Lipschitz

Probleme de CauchyOn se donne une equation differentielle G(x, y, y′, . . . , y(n)) = 0.

Definition 8.6. On appelle conditions initiales tout n-uplet (x0, y0, y′0, . . . , y

(n−1)0 ). On

appelle solution aux conditions initiales toute solution (I, φ) de (E) verifiant y0 = φ(x0), y′0 =

φ′(x0), . . . , φ(n−1)(x0).

Definition 8.7. On dit que (E) admet une solution unique aux conditions initiales

(x0, y0, y′0, . . . , y

(n−1)0 ) si (E) admet une unique solution maximale sitisfaisant a ces condi-

tions initiales., et si toute solution satisfaisant a ces conditions initiales en est restriction.On dit alors qu’il y a unicite au probleme de Cauchy

(E), (x0, y0, y′0, . . . , y

(n−1)0 )

Exemple : xy′ − 2y = 0. Discuter suivant les cas.

Le resultat suivant donne une solution au probleme de Cauchy dans le cas des equationsresolues.

Theoreme 8.8. (admis) Considerons l’equation differentielle

y(n) = F (x, y, y′, . . . , y(n−1))

ou U designe un ouvert de R × En, F : U → E une application de classe C1 a va-leurs dans un e.v.n. de dimension finie n. Alors pour tout (x0, y0, y

′0, . . . , y

(n−1)0 ) ∈ U ,

(E) admet une unique solution maximale sur U satisfaisant aux conditions initiales

(x0, y0, y′0, . . . , y

(n−1)0 ).

32

Idee de la dem pour n = 1 : l’ingredient essentiel est l’idee suivante : y est solution auprobleme de Cauchy y′ = F (x, y), (x0, y0) si et seulement si

y(x) = y0 +

∫ x

x0

F (t, y(t))dt

On applique le thm du point fixe sur une certaine partie fermee de C([x0 − T, x0 + T ])munie de la norme de la convergence uniforme a l’application Ψ : A→ A definie par

Ψ(y)(x) = y0 +

∫ x

x0

F (t, y(t))dt

Exemple d’utilisation Integrer l’equation y′ = y2

8.4 Methodes d’integration

– Changement de variables ou de fonction inconnue (ex. : t = y/x, x = ρ cos θ, y =ρ sin θ) par diffeomorphisme.

– Variables separables.b(y)y′ = a(x)

Les solutions sont donnees sous forme implicite par :∫b(y) dy =

∫a(x)dx+ k

ou k est une constante.

8.5 Exercices

Exercice 8.1. Montrer que le probleme de Cauchy suivant possede une solution unique :

y′′(t) = −y(t) sin(2t), t ∈ R, y(0) = 0, y′(0) = 1

Exercice 8.2. Resoudre les problemes de Cauchy suivants :

a) y′ = t2

y2, y(0) = 1

b) y′ = 1 + y2, y(0) = 0

Exercice 8.3. Integrer l’equation differentielle (y − 1)y′ = x− 1

Exercice 8.4. Integrer l’equation differentielle 2y′ = 1− y2

Exercice 8.5. Integrer l’equation differentielle y′(y − x) + y = 0

Exercice 8.6. Integrer l’equation differentielle y′(y + x) = y − x

33

9 Equations differentielles lineaires

9.1 Premier ordre

Definition 9.1. Une equation differentielle lineaire du premier ordre est une equationde la forme :

y′ = A(t).y +B(t) (E)

ou : I est un intervalle de R,l’inconnue y : I → Rn une application derivable sur I,A : I → L(Rn) et B : I → Rn des applications de continues.

L’equation homogene associee a (E) est :

y′ = A(t).y (H)

Fixons l’intervalle I de R. On peut demontrer que dans le cadre equation lineaire, laconclusion du thm 8.8 reste vraie sous l’hypothese A et B continues : a toute conditioninitiale (t0, y0) ∈ I × Rn correspond une unique solution maximale (I, φ) de (E).

Theoreme 9.2. Soit I un intervalle de R. Notons E l’espace des solutions de (E) sur Iet H l’espace des solutions de (H) sur I. Alors

H est un espace vectoriel reel de dimension n, et E est un espace affine de directionvectorielle H.

Autrement dit, la solution generale de (E) s’ecrit :

SG(E) = SP(E) + SG(H)

ou SP(E) designe une solution particuliere de (E) et SG(H) la solution generale de (H)

Preuve. Soient y1 : I → Rn et y2 : I → Rn des solutions de (E). Alors y1 − y2 estsolution de H. Donc si ψ : I → Rn designe une solution particuliere de (E), alors toutesolution y de (E) s’ecrit :

y(t) = ψ(t) + z(t)

ou z : I → Rn est solution de (H).Si z1, z2 ∈ H, alors pour tous λ1, λ2 ∈ R, λ1z1+λ2z2 est solution de (H), ce qui montre

que H est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des applications differentiables deI dans Rn.

Reste a determiner la dimension de H. Fixons t0 dans I, et considerons l’applicationlineaire Ψ : H → Rn definie par : Ψ(z) = z(t0). D’apres 8.8, pour tout z0 ∈ Rn, il existeun unique z ∈ H tel que z(t0) = z0. Donc Ψ est un isomorphisme d’espaces vectoriels etH est de dimension n.

Cas n = 1 Soit α une primitive de A sur I, par exemple t 7→∫ tt0A(u)du. Alors la solution

generale de (E) sur I est :

φ(t) = eα(t)

∫ t

t0

e−α(t)b(u)du+ keα(t)

ou k ∈ R.

34

9.2 Cas des coefficients constants

On considere l’equation homogene

y′ = A.y (H)

On cherche la solution sur l’intervalle I au probleme de Cauchy (H) en les conditionsinitiales (t0, y0), ou t0 ∈ I et y0 ∈ Rn.

Comme dans le paragraphe 8.3, la solution est construite par la methode des approxi-mations successives (thm du point fixe), comme limite de la suite definie par recurrencepar :

y0(t) = y0 , yn(t) = y0 +

∫ t

t0

A.yn−1(u)du

Par recurrence, on obtient :

yn(t) = [IdRn + (t− t0)A+ . . .+(t− t0)n

n!An].y0

En passant a la limite, on obtient :

y(t) =

[ ∞∑n=0

(t− t0)n

n!An]

Definition 9.3. On definit l’exponentielle d’une matrice carree par :

exp(A) =∞∑n=0

An

n!

La solution de (H) passant par (t0, y0) est donc :

y(t) = exp[(t− t0)A].y0

35

9.3 Atelier : l’exponentielle de matrice

Proprietes de l’exponentielle de matrice

Soit E un espace vectoriel norme complet. On note End(E) l’espace vectoriel normecomplet des endomorphismes de E muni de la norme usuelle. On rappelle que End(E)est complet pour cette norme.1) Soit A ∈ End(E). Considerons la suite Sn = 1 + A+ A2

2!+ . . .+ An

n!

Demontrer que Sn est de Cauchy dans End(E).On note exp(A) la limite de la suite Sn et on l’appelle exponentielle de la matrice A.

2) Demontrer que || exp(A)|| ≤ exp(||A||)3) On rappelle que si x ∈ R, exp(x) = limn→∞(1 + x

n)n

Soit A ∈ End(E). Demontrer que

exp(A) = limn→∞

(1 +A

n)n

4) Soit B un isomorphisme de E. Montrer que exp(B−1.A.B) = B−1. exp(A).B5) Soient A et B ∈ End(E).

a) Demontrer que

||An −Bn|| ≤ n.[max(||A||, ||B||)]n−1.||A−B||

b) En deduire que l’application exp : End(E)→ End(E) est continue sur End(E).6) Soient A et B ∈ End(E) tels que AB = BA

a) Posons

u = 1 +A+B

net v = (1 +

A

n)(1 +

B

n)

Demontrer que limn→∞ ||un − vn|| = 0b) En deduire que exp(A) exp(B) = exp(A+B)

7) On suppose ici E de dimension finie d.a) Soit A ∈ End(E) et soient (A1, . . . , Ad) les colonnes de A. Soit h = (h1, . . . , hd) ∈

Ed. Demontrer que

D(det)A =d∑

k=1

det(A1, . . . , Ak−1, h, Ak+1, . . . , Ad)

b) En deduire que

det(1 +A

n) = 1 +

1

ntr(A) + o(

1

n)

c) Demontrer quedet[exp(A)] = exp[tr(A)]

Resolution explicite de y′ = A.y : exemples

36

Rappel : soit A ∈ End(E), soit t ∈ R et soit y0 ∈ E. La solution y : R → E del’equation differentielle y′(t) = A.y(t) (H) passant par (t0, y0) est :

y(t) = exp[(t− t0)A].y0

1) Posons A = 1. Calculer exp(tA). En deduire les trajectoires dans R2 des solutions del’equation (H) passant par (0, y0) suivant les valeurs de y0 ∈ R2.2) Meme question avec

A =

(0 −11 0

)3) Meme question avec

A =

(0 11 0

)4) Soit A un endomorphisme diagonalisable. Soit e1, . . . , ed une base de vecteurs propresassocies aux valeurs propres λ1, . . . , λd de A.a) Pour k = 1, . . . , d, exp(tA).ek = exp(t.λk).ek

b) En deduire que les t→ exp(t.λk).ek forment une base de l’espace des solutions de(H).5) Soit A ∈ End(E) un endomorphisme nilpotent d’indice N , c’est-a-dire que AN = 0tandis que Ap 6= 0 pour p ∈ 1, 2, . . . , N − 1.

a) Calculer exp(tA)b) En deduire la forme des solution de l’equation (H). Trouver la solution passant par

(t0, y0) = (0, (1, 2).

37

Annales d’examen

Annee 1998-1999, session 1, 1h30

I

Soit E et F deux espaces vectoriels normes sur R de dimensions finies et soit f : E −→ Fune application differentiable sur E.

1) a) Considerons l’application α : R×E −→ E definie par α(t, x) = tx Soit (t, x) ∈ R×E.Calculer D1(f α)(t, x)(1).

b) Soit n ∈ N. Considerons les applications β : R × E −→ R × F et γ : R × F −→F definies par β(t, x) = (tn, f(x)) et γ(s, y) = sy Soit (t, x) ∈ R × E. Montrer queD1(γ β)(t, x)(1) = ntn−1f(x).

2) On suppose que f est homogene de degre n, c’est-a-dire telle que

∀x ∈ E, ∀t ∈ R, f(tx) = tnf(x)

Demontrer que ∀x ∈ E,Df(x).x = nf(x)

II

1) (question de cours) Enoncer le theoreme des fonctions implicites.

2) Soit H le sous-ensemble de R3 defini par :

H = (x, y, z) ∈ R3 / x2 + y2 − z2 − 1 = 0

a) Le theoreme des fonctions implicites peut-il s’appliquer en tout point de H ? Expliquergeometriquement le resultat.

b) Determiner l’equation du plan tangent a H au point (1, 1, 1).

3) Pour tout x0 ∈ R, on note Cx0 le sous-ensemble de R3 defini par

Cx0 = (x, y, z) ∈ R3 / x2 + y2 − z2 − 1 = 0 et x− x0 = 0

a) En quels points de Cx0 peut-on appliquer le theoreme des fonctions implicites ? (discutersuivant les valeurs de x0).

b) Decrire l’ensemble C1, puis expliquer geometriquement le resultat obtenu en 3)a) pourx0 = 1.

III

Soit f : R2 −→ R l’application definie par :

∀(x, y) ∈ R2, f(x, y) = (x2 + y2)2 − 2x2 + 2y2

Determiner les points critiques de f et leur nature (extrema, points-selle).

38

Annee 1999-2000, session 1, 1h30

(question de cours)

1) Enoncer l’inegalite des accroissements finis pour les convexes (sans demonstration).

2) Soient E et F des R-espaces vectoriels normes, soit U un ouvert connexe de E et soitf : U −→ F une application differentiable sur U dont la differentielle Df(x) est nulle entout point x de U .Que peut-on dire de f ? (avec demonstration)

II

Soit f : R2 −→ R l’application definie par f(x, y) = x4 + 3x2 − y4 + 8y2, et soit C lacourbe de R2 d’equation f(x, y) = 0.

1) Determiner l’ensemble des points de C au voisinage desquels le theoreme des fonctionsimplicites permet d’exprimer localement y en fonction de x ? Meme question pour x enfonction de y.

2) En quels points (x0, y0) ∈ C existe-t-il une tangente a C ?

III

1) Soit A le sous-ensemble de R3 defini par :

A = (x, y, z) ∈ R3 / 5x2 + 9y2 + 6z2 + 4yz − 1 = 0

Demontrer que A est un sous-espace compact de R3.

2) Soit f : R3 −→ R l’application definie par :

∀x ∈ R3, f(x, y, z) = x2 + y2 + z2

Soit (x0, y0, z0) ∈ A. Donner une condition necessaire pour que la restriction de f a Aadmette un extremum en (x0, y0, z0).

3) En deduire les extrema de la restriction de f a A.

39

Annee 2000-2001, session 1, 3h

I

(question de cours)

Soit E un R-espace vectoriel norme et soit U un ouvert de E. Soit f : U −→ R uneapplication deux fois differentiable au point a ∈ U .

Donner une condition suffisante pour que f admette au point a un maximum localstrict (avec demonstration detaillee).

II

(Differentiabilite d’une norme)

Considerons l’application N : Rn −→ R definie par

∀x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, N(x) =n∑i=1

|xi|

1) Soit a = (a1, . . . , an) ∈ Rn tel que ∀i ∈ 1, . . . , n, ai 6= 0. Demontrer que N estdifferentiable au point a.2) Soit a = (a1, . . . , an) ∈ Rn tel que ∃i ∈ 1, . . . , n, ai = 0. Fixons i0 tel que ai0 = 0.Soit h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn defini par hi0 = 1 et hi = 0, ∀i 6= i0.

Pour t ∈ R, calculer N(a+ th)−N(a).En deduire que N n’est pas differentiable au point a.

3) Calculer chaque derivee partielle de N en precisant son ensemble de definition.

III

Soit E un R-espace vectoriel norme et soit g : E −→ E une application differentiable surE telle qu’il existe une constante k ∈]0, 1[ verifiant :

∀x ∈ E, ||Dg(x)|| ≤ k

1) Demontrer que f = IdE + g est injective.2) Demontrer que l’image reciproque par f d’une partie bornee de E est une partie bornede E.

IV

(Coordonnees spheriques)

Soit Ψ : R3 −→ R3 l’application definie par ∀(r, θ1, θ2) ∈ R3,

Ψ(r, θ1, θ2) = (r cos θ1, r sin θ1 cos θ2, r sin θ1 sin θ2)

1) Demontrer que la restriction de Ψ a ]0,∞[×]0, π[×]−π, π[ est un C1-diffeomorphisme.2) Decrire geometriquement Ψ (faire un dessin).

V

40

Soit S le sous-ensemble de R3 defini par l’equation

xz + sin(xy) + cos(xz) = 1

1) Determiner si, dans un voisinage de (0, 1, 1), le theoreme des fonctions implicites permetde definir localement S par une equation de la forme z = f(x, y). Meme question avecy = g(x, z). Et avec x = h(y, z).2) Donner une equation du plan tangent a S en (0, 1, 1).

VI

La densite d’une surface metallique Σ definie par l’equation x2+y2+z2 = 4 est donneepar ρ(x, y, z) = 2 + xz + y2. Determiner les points de Σ ou la densite est la plus faible etceux ou elle est la plus forte.

41

Annee 2001-2002, session 1, 3h

I

(question de cours)

Soit U un ouvert de R2, soit g : U −→ R une application de classe C1 sur U et soitf : U −→ R une application differentiable sur U . On pose A = (x, y) ∈ U /g(x, y) = 0.Soit w ∈ A tel que Dg(w) 6= 0. Donner (avec demonstration) une condition necessairepour que la restriction de f a A admette en w un extremun local.

II

Soit E et F deux espaces vectoriels normes sur R de dimensions finies et soit f : E −→ Fune application differentiable sur E.

1) a) Considerons l’application α : R × E −→ E definie par α(t, x) = tx. Soit (t, x) ∈R× E. Calculer D1(f α)(t, x)(1).

b) Soit n ∈ N. Considerons l’application β : R × E −→ R × F definie par β(t, x) =(tn, f(x)) et l’application γ : R × F −→ F definie par γ(s, y) = sy Soit (t, x) ∈ R × E.Montrer que D1(γ β)(t, x)(1) = ntn−1f(x).

2) On suppose que f est homogene de degre n, c’est-a-dire telle que

∀x ∈ E, ∀t ∈ R, f(tx) = tnf(x)

Demontrer que ∀x ∈ E,Df(x).x = nf(x)

III

A tout triplet a = (a0, a1, a2) ∈ R3, on associe le polynome Pa ∈ R[X] defini par

Pa(X) = a2X2 + a1X + a0

Fixons a∗ = (a0, a1, a2) ∈ R3 tel que Pa∗ admette une racine reelle x∗.1) Demontrer que si x∗ est racine double de Pa∗ , alors pour tout voisinage V de a∗ dansR3, il existe a ∈ V tel que Pa n’admet aucune racine reelle.2) Donner une condition necessaire et suffisante sur a∗ et x∗ pour qu’il existe un voisinageV de a∗ dans R3, un voisinage W de x∗ dans R et une application ψ : V −→ W de classeC1 tels que

∀(a, x) ∈ V ×W ( Pa(x) = 0 x = ψ(a) )

42

IV

1) Demontrer que l’application Φ : R2 −→ R2 definie par Φ(u, v) = (u+v2, u−v

2) est un

diffeomorphisme de classe C∞.2) Soit F : R2 −→ R une application deux fois differentiable sur R2. Pour (u, v) ∈ R2,calculer

∂2(F Φ)

∂u∂v(u, v)

3) Trouver les fonctions F : R2 −→ R de classe C2 qui sont solutions de l’equation descordes vibrantes :

∂2F

∂x2 −∂2F

∂y2 = 0

VSoit f : R2 −→ R definie par

f(x, y) = (x2 + y2)2 − 8xy

1) Determiner les points critiques de f et leur nature (extrema, points-selle)2) En deduire une esquisse de la surface de R3 d’equation z = f(x, y) et l’allure des lignesde niveau de f .

43

Annee 2002-2003, session 1, 3h

I

1) (question de cours) Enoncer soigneusement le theoreme de Lagrange concernant lanature des points critiques d’une application f : U −→ R, ou U designe un ouvert de R2.

2) Considerons l’application f : R2 −→ R definie par f(x, y) = x(x2 + y2 − 2x).a) Determiner les points critiques de f .b) Le theoreme de Lagrange permet-il de determiner la nature du point critique (0, 0) ?c) Decrire et dessiner l’ensemble C0 = (x, y) ∈ R2/f(x, y) = 0d) Demontrer que f garde un signe constant sur chacune des composantes connexes deR2 \ C0 et determiner ces signes ?e) En deduire que f n’admet pas d’extremum en (0, 0), mais que la restriction de f atoute droite D passant par (0, 0) admet un maximum en (0, 0).f) Donner l’allure des lignes de niveau Cλ = (x, y) ∈ R2/f(x, y) = λ de f .

II

Soit E un R-espace vectoriel norme de dimension finie. Munissons l’espace vectoriel L(E)des endomorphismes de E de sa norme usuelle

||u|| = sup||x||E=1

||u(x)||E

On note I l’application identite de E

1) Soit u ∈ L(E) tel que ||u|| < 1. Demontrer que I + u est inversible d’inverse

(I + u)−1 =∞∑n=0

(−1)n un

2) Verifier que l’ensemble Gl(E) des isomorphismes de E est un ouvert de L(E).

3) Considerons l’application f : Gl(E) −→ L(E) qui a u ∈ Gl(E) associe u−1. Demontreren utilisant 1) que f est differentiable en tout point a de Gl(E) et determiner Df(a).

III

Soit f : R3 −→ R la fonction definie par f(x, y, z) = x2 − xy3 − y2z + z3 et soit S =(x, y, z) ∈ R3 /f(x, y, z) = 0 . Montrer que S s’exprime localement comme le graphed’une application φ : (y, z) 7→ x au voisinage du point (1, 1, 1) et donner une equation duplan tangent a S en (1, 1, 1).

44