caitulo iv ec dif por laplace

8/16/2019 Caitulo IV Ec Dif Por Laplace

1/22


2/22

Primeramente aplicamos la transformada de Laplace a toda la ecuación$

₤ { } =++ )()('2)('' t yt yt y ₤

t e

t 3 ⇔ ₤ { } +)('' t y 2₤ { } +)(' t y ₤ { } =)(t y ₤

t e

t 3

⇒

( )

+

=+−+−− 2

2

1

13)()0(2)(2)0(')0()(

s sY y s sY y sy sY s ⇒ Sustitu(endo las

condiciones iniciales, tenemos$

( )

+

=+−+−− 2

2

1

13)(8)(224)(

s sY s sY s sY s despe)ando a Y( s)

( )

+

=−−++ 2

2

1

13104)12)(( s

s s s sY donde$ s2 + 2s+1( ) = s+1( )

2

⇒

( ) ( ) ( )2422

1

104

1

3)(104

1

3)12)((

++

++

=⇒+++

=++ s

s

s sY s

s s s sY *e donde,

calculamos la transformada inversa de Laplace$

=)(t y ₤ +1{ } =)( sY ₤ +1( )

+

+ 413

s₤

+1

( )

++

21

104

s

s ⇔

( ) 1)1(1

10422 ++

+=

++

s

B

s

A

s

s ⇒ )1(104 ++=+ s B A s 'esolviendo este simple

sistema de ecuaciones ( tenemos$ 6= A ( 4= B , luego

( ) ( ) 1

4

1

6

1

10422 ++

+=

++

s s s

s⇒

!3

3)( =t y ₤ +1

( ) 6

1

!34 +

+ s₤

+1 4s+10s+1( )

2

=)(t yt t t ee

t

e

t 46

2

3

++

4.1.2 resolver la ecuación diferencial, con las condiciones iniciales dadast sent yt y 25)()('' =− con 0)0( = y 1)0(' = y Solución, se aplica la

transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial$

₤ { } =− )()('' t yt y ₤ { }t sen25 ⇒ ₤ { } −)('' t y ₤ { } =)(t y -₤ { }t sen2 ⇒

+=−−−

4

25)()0()0()(

2

'2

s sY y sy sY s se sustitu(en los valores de las

condiciones iniciales$ 4

10

)(1)( 22

+=−− s sY sY s ⇒ ( ) 1410

1)( 22

++=− s s sY ⇒144


3/22


4/22

6)3(

12)()96(

3

2 +++

=++ s s

sY s s ⇒ 6)3(

12)()3(

3

2 +++

=+ s s

sY s ⇒

25 )3(

6

)3(

12)(

+++

+=

s

s

s sY ⇔

( ) 33)3(6

22 ++

+=

++

s

B

s

A

s

s ⇒

)3(6 ++=+ s B A s ⇒ B Bs A s 36 ++=+ ⇒ s Bs = ⇔ 1= B ( B A 36 += ⇒

3= A ⇒ ( ) 3

1

3

3

)3(

622 ++

+=

++

s s s

s Por lo tanto$

3

1

)3(

1

)3(

12)(

25 ++

++

+=

s s s sY (

le aplicamos la transformada inversa de Laplace$

=)(t y ₤ +1 { }!4

12)( = sY ₤ +1 +

+ 5)3(!4

s3₤ +1 +

+ 2)3(1

s₤

+1

+ 31

s

t t t

ee

t

e

t t y

333

4 13

2

)( ++=

4.1.4 'esolver la ecuación diferencial, con las condiciones iniciales dadas

( ) ( ) ( ) ( ) 00',00)(2)('2'' ==−=++ y yt t yt yt y π δ . Solución, se aplica la

ztransformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial$ ₤

( ) ( ){ } =++ t yt yt y 2)('2'' ₤ δ (t −π ) ⇒ plicándole condiciones iniciales,

tenemos$ se sY s sY s sY s π −=+−+−− )(2)0(2)(2)0()0()(2 ⇒

se sY s sY sY s π −=++ )(2)(2)(2 ⇒ se sY s s π −=++ )()22( 2 ⇒ 22

)(2

++=

−

s s

e sY

sπ

⇒

1)1()(

2 ++=

−

s

e sY

sπ

( aplicamos la transformada inversa de Laplace, a ambos

lados, tal #ue$ ₤ $1{ } =)( sY ₤ $1

++

−

1)1( 2 s

e sπ

⇒

)()()( )( π π π −−= −− t Gt Senet y t

4.1.- 'esolver la ecuación diferencial, con las condiciones iniciales dadas

( ) ( ) ( ) ( ) 10',00)(16'' ===+ y yt f t yt y , con

≥


5/22

=+−− )(16)0(')0()(2 sY y sy sY s1616 22 +

−+

−

s

se

s

s sπ ⇒ Sustitu(endo

condiciones iniciales, tenemos$ =+−− )(16)1()0()(2 sY s sY s

1616

22

+

−

+

−

s

se

s

s sπ

⇒

=+− )(161))(2 sY sY s1616 22 +

−+

−

s

se

s

s sπ ⇒ =+ )(16))(2 sY sY s

16161

22 +−

++

−

s

se

s

s sπ

⇒ =+ )()16( 2 sY s 1616

122+

−

+

+

−

s

se

s

s sπ ⇔ =)( sY

( ) ( )22222 1616161

+−

++

+

−

s

se

s

s

s

sπ

plicando la transformada inversa de Laplace a ambos lados de la igualdad,

se tiene$ ₤ $1{ } )()( t y sY = ₤ $1 +

+161

2 s

₤ $1

( ) −

+ 22 16 s

s ₤ $1

( )

+

−

22 16 s

se sπ

⇒

( ) −−−−+= )()(422

4441)( π π π t Gt Sent t tSent Sent y

E"ercicios !ara resol%er con calma en la &uietud# de la casa$

4.1.6 50)(5)('4)('' =++ t yt yt y on$ 0)0( = y ( 0)0(' = y ,

Solución.

−−=

t t e

Sent

e

Cost t y

22

2110)(

4.1.7 0)(3)(' 2 =−− t et yt y on$ 1)0( = y Solución.

t t eet y 32 2)( +−=

4.1.8 1)(4)('2)('' =−+ t yt tyt y on$ 0)0( = y ( 0)0(' = y , Solución.

2)(

2t t y =

4.1.9 y ''(t )+ 4 y '(t )+ 4 y (t ) = 4e−2t on$ 1)0( −= y ( 4)0(' = y ,

Solución. y (t )= 2t (t +1)−1

e2t

4.2.0

3)(4)('4)('' t t yt yt y

=+− on$0)0( = y

(0)0(' = y

,

147


6/22

Solución.t t teet t

t t y 2232

8

3

4

3

4

1

4

3

8

9

4

3)( +−+++=

4.2.1t et yt yt y 510)(25)('10)('' −=++ on$ 1)0( = y ( 5)0(' = y ,

Solución. ( )t t et y t 10511

)(

2

5 ++= −

4.2.2t et t yt yt y 32)(9)('6)('' =+− on$ 2)0( = y ( 6)0(' = y ,

Solución. xe

xt y 3

4

212

)(

+=

4.2.3 xCost yt yt y 24)(4)('4)('' =+− on$ 0)0( = y ( 5)0(' = y ,

Solución. [ ]t Senet t y t 2122

1)( 22 −=

4.2.4 08)(5)('2)('' =++− t et yt yt y on$2)0( = y ( 12)0(' = y ,

Solución. [ ] t t

eet Sent Cost y

12423)( −−=

4.2.5 0)(5)('4)('' =−−+ t tet yt yt y on$ 1)0( = y ( 0)0(' = y ,

Solución.

−

+−

−−

−+

=32 )1(

1

)1(6

1

)1(36

181

)5(36

35

6

1)(

s s s st y

4.2.6 01)(4)('2)('' =−−+ t yt tyt y on$ 0)0( = y ( 0)0(' = y ,

Solución. 0;2

)(2

== C utilicet t y

4.2.7 01

1)(6)('4)('' =−−++ t et yt yt y on$ 0)0( = y ( 0)0(' = y ,

Solución.2)2(

3

5

2)1(3

1

6

1)(

2 ++

+−

++=

s

s

s st y

4.' Solucin de un sistema de ecuaciones diferenciales

lineales con condiciones iniciales !or medio de la

trasformada de La!lace.

4.2.1 'esolver el sistema de ecuaciones diferenciales, con las condiciones

iniciales dadas

( ) ( ) ( ) 10)(' ==−+ xet yt xt x t

( ) ( ) ( ) 10)(' ==−+ yet xt yt y t

148


7/22

Se aplica la 5ransformada de Laplace a ambas ecuaciones, en ambos lados

de ellas, tal #ue$

₤ ( ){ } +t x' ₤ ( ){ } −t x ₤ { } =)(t y ₤ { }t e

₤ ( ){ } +t y' ₤ ( ){ } −t y ₤ { } =)(t x ₤ { }t

e

Por separado, proporcionamos las transformadas de Laplace, para no

enredarnos$

₤ ( ){ } )()(' o x s sX t x −= ( sustituimos la condición inicial, ₤ ( ){ } 1)(' −= s sX t x ,

as,

₤ ( ){ } )0()(' y s sY t y −= ( sustituimos la condición inicial, ₤ ( ){ } 1)(' −= s sY t y (

₤ ( ){ } )( s X t x =

₤ ( ){ } )( sY t y = , estos valores los colocamos en las ecuaciones

transformadas, as$1

1)()(1)(

−=−+− s

sY s X s sX (

1

1)()(1)(

−=−+− s

s X sY s sY ⇔

11

1)()()1( +

−=−+ s

sY s X s "cuación 1

11

1)()1()( +−=++− s sY s s X "cuación ', resolvemos este sistema,

cu(as incógnitas, son$ )( s X ( )( sY .

*e la "cuación 2, tenemos$

+

−−+= 1

1

1)()1()(

s sY s s X #ue sustituimos en

la ecuación 1, tal #ue$ 11

1)(1

1

1)()1()1( +

−=−

+

−−++

s sY

s sY s s ⇒

( ) 111)(1

11)()1( 2 +−=− ++ −+−+ s

sY s s s sY s ⇒

11

1)(1

1

1)1()()1( 2 +

−=−

+

−+−+

s sY

s s sY s ⇒

[ ] 11

11

1

1)1(1)1()( 2 +

−=

+

−+−−+

s s s s sY ⇒

[ ]

+

−+

+

−+=−+ 1

1

11

1

1)1(1)1()( 2

s s s s sY ⇒

[ ]

+

−++=−+ 1

11)11(1)1()( 2

s s s sY ⇒ [ ]

+

−+=−++ 1

11)2(112)( 2

s s s s sY

149


8/22

⇒ [ ]1

2

1

)2(2)(

22

−+=

−+=+

s

s s

s

s s s s sY ⇒ ( )

( )( )122

)(2

2

−++

= s s s

s s sY ⇒

1

1)(

−= s

sY

"ste valor de1

1)(

−= s

sY lo sustituimos en la ecuación 2, tal #ue$

11

1

1

1)1()( +

−=

−++−

s s s s X *espe)amos a

+

−−

−+

= 11

1

1

1)(

s s

s s X ⇒

−−+−

−+=

1

11

1

1)(

s

s

s

s s X ⇒

−−

−+=

11

1)(

s

s

s

s s X 6actorizamos a

1

1

− s⇒

)1(1

1)( s s

s s X −+

−= ⇒

1

1)(

−= s

s X

*e donde aplicamos la transformada inversa de Laplace, para !allar$

₤ $1{ } =)( s X ₤ $1 −11

s ⇒ t et x =)(

₤ $1{ } =)( sY ₤ $1

−11

s ⇒ t et y =)( , #ue son las soluciones buscadas.

")ercicio 4.2.2 resolver el sistema de ecuaciones diferenciales, con las

condiciones iniciales ( ) 00 = x ( y 0( ) = 0

t

t

et yt xt y

et yt xt x

+−=

−+=

)()()('

)()()('

Solución, aplicamos la transformada de Laplace al sistema.t et yt xt x −=−− )()()(' ⇒ ₤ { } =−− )(')()(' t yt xt x ₤ { }t e− ⇒

₤ { } −)(' t x ₤ { } −)(t x ₤ { } −=)(t y ₤ { }t e ⇒

−−=−−−

1

1)()()0()(

s sY s X x s sX ⇒

Sustitu(endo condiciones iniciales. ( )

−−=−−

1

1)()(1

s sY s X s "c. 1, (

t et yt xt y =+− )()()(' ⇒ ₤ { } =+− )()()(' t yt xt y ₤ { }t e ⇒

₤ { } −)(' t y ₤ { } +)(t x ₤ { } =)(t y ₤ { }t e ⇒ 1

1)()()0()(

−=+−− s

sY s X y s sY

⇒

Sustitu(endo condiciones iniciales. ( )1

1)()(1

−=−+ s

s X sY s "c. ',

150


9/22

*e la ecuación 1,

−+−=

1

1)()1()(

s s X s sY Sustituimos este valor en la

ecuación 2, tal #ue$ ( )1+ s

−

+−1

1)()1(

s

s X s

1

1)(

−

=− s

s X

( )1+ s1

)1()()1(

−++−

s

s s X s

1

1)(

−=− s

s X ⇒ [ ]1

1

1

1)(1)1)(1(

−=

−++−−+

s s

s s X s s

⇒

[ ]1

1

1

1)(112

−+−

−=−−

s

s

s s X s ⇒ [ ]

1

11)(2

2

−−−

=− s

s s X s ⇒

1)()2( 2

−−=− s

s s X s ⇒

)2)(1()(

2 −−−= s s

s s X ⇒

21 2 −++

− sC Bs

s

A ⇒ )1)(()2( 2 −++−=− sc Bs s A s

⇒

ccs Bs Bs A As s −+−+−=− 22 2 ⇔

B A

B A

Bs As

−==+

=+0

022

⇒

B B

A −=−+=2

1

1

21

21

−=−=−

=−

B

B B

B B

1

1

−=+−=−+−=−

BC

C B

cs Bs s

⇒

2

11

1

−=−−=−=

C

C

BC

C A

C A

=−=−−

2

02

⇒

1

12

11

2

1

12

=

=−−−=

−−=

−=−

A

B A

B A

⇒

=)( s X =−−−+

− 22

1

12 s

s

s 2

2

21

122 −

−−

−−− s s

s

s⇒ =)( s X

2

2

21

122 −

−−

−−− s s

s

s5al

#ue$ =)(t x ₤ $1{ } =)( s X ₤ $1 =

−−

−−−

− 22

21

122

s s

s

s₤

$1 +

−11

s₤

$1 −

− 22 s s

₤ $1

− 22

2 s

⇒

t Senht Coshet x t 22

22)( −+= ⇒ t enhS t Coshet x t 222)( −+=

*e una manera parecida, obtendremos )(t y . *e la ecuación 2,

1

1)()1()(

−−+= s

sY s s X Sustituimos este valor en la ecuación 1, tal #ue$

151


10/22


11/22

")ercicio 4.2.-, )(6)(3)('' t xt yt x −=+ ( )(3)('6)('' t xt yt x =+ con$ ( ) 10 = x ,

( ) 10 = y , ( ) 30' = x ( ( ) 30' −= y .

Solución.

( ) ++= − t it i eet x 33

21)( ( )it it eei

33

21 −− ( ( ) −+= −

t it i eet x 3321)(

( )it it eei

33

2

1 −−

")ercicio 4.2./, t t yt yt x =−+ )()(')('2 ( 2)(')(' t t yt x =+ con$ ( ) 10 = x ,

( ) 10 = y

Solución.t et t t t x −++−+−= 5

3

1254)( 32 ( t et t t y −−+−= 5255)( 2

")ercicio 4.2.7, y xt x 32)(' −= ( x yt y 2)(' −= con$ ( ) 80 = x , ( ) 30 = y

Solución.t

t e

et x 43

5)( += ( t t ee

t y 425

)( −=

")ercicio 4.2.8, y xt x 35)(' += ( y xt y 46)(' −−= con$ ( ) 20 = x , ( ) 30 = y

Solución.t

t e

et x 27

5)( +−= ( t t ee

t y 2710

)( −=

")ercicio 4.2.0, Cost t yt xt x =−− )(3)()(' ( t t yt xt y 2)()()(' =−− con$

( ) ( ) 00,00 == y x

Solución. ( )

+−−+−= − t t eet Cost Sent t x 22

20

27

20

193

2

1

5

1)( (

( )t t eeCost t t y 22 91840

1

52

1)( ++−= −

")ercicio 4.2.19, )()(' t xt x = , )()(3)()(' t z t yt xt y ++= (

)()(4)(2)(' t z t yt xt z −−=

on$ ( ) ( ) 10,10 == y x ( ( ) 10 = z .

Solución. t et x =)( , t t teet y 4)( += ( t t teet z 8)( −=

")ercicio 4.2.11, 04)(2)(' =−− t t yt x ( 024)(4)(2)(' =++−+ t t xt yt y on$

( ) ( ) 50,40 −== y x

Solución.t

t e

et x 2

4

3)( += ( t

t

et et y

4

2 62)( −−=

4.* Pro+lemas de a!licacin.

153


12/22

")ercicio 4.3.1 :btener la corriente el%ctrica para t > 0 en amperes, #ue

tiene un comportamiento, de acuerdo al modelo presentado en la siguiente

ecuación diferencial 1)('2)('' =+ t it i , para 10 < t ≤ 20 ( la ecuacióndiferencial vale ;0; en cual#uier otro momento, con las siguientes

condiciones iniciales$ 0)0( =i e 0)0(' =i .

Solución, La ecuación diferencial, debe reescribirse, as$

)20()10()('2)('' −−−=+ t t t it i µ µ Para #ue sea posible solucionarla por el

m%todo de Laplace.

5omamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación

diferencial, ₤ { } 2)('' +t i ₤ { } =)(' t i ₤ { } −− )10(t µ ₤ { })20( −t µ , donde$

₤ { } )0()()(' i s sI t i −=

₤ { } )0(')0()()('' 2 i si s I st i −−=

₤ { } s

e

set

s

s

10

10

1)10(

−

==− µ

₤ { } s

e

set

s

s

20

20

1)20(

−

==− µ , sustituimos los valores transformados, as$

+−− )0(')0()(2 i si s I s [ ] =− )0()(2 i s sI s

e s10−

s

e s20−− plicamos, las

condiciones iniciales$ +−− 00)(2 s I s [ ] =− 0)(2 s sI s

e s10−

s

e s20−−

⇒ +)(2 s I s =)(2 s sI s

e s10−

s

e s20−− ⇒ +2( s =)()2 s I s

s

e s10−

s

e s20−−

⇒

=)( s I )2( 2

10

s s s

e s

+

−

)2( 2

20

s s s

e s

+−

− ⇒ =)( s I

)2(2

10

+

−

s s

e s

)2(2

20

+−

−

s s

e s

tilizamos en este paso fracciones parciales, como sigue$

2)2(

122 +

++=+ s

c

s

B

s

A

s s ⇒

2

)2()2()2(1

22

2

2

++

++

++

= s

scs

s

s Bs

s

s As ⇒

2)2()2(1 cs s Bs s A ++++= ⇒ 22 221 cs Bs Bs A As ++++= ⇒

022 =+ Cs Bs 02 =+ Bs As A21=

0=+C B C B −= 02 =+ B A A=2

1

41

41 =⇒ −−= C C

412

21 −=⇒−= B B ⇒

154


13/22

)2(4

1

4

1

2

1

)2(

122 +

+−=+ s s s s s *e donde obtenemos, la transformada inversa

de Laplace$ ₤ $1 =

+ )2(

12

s s

₤ $1 −

2

2

1

s

₤ $1 +

s4

1₤

$1

+ )2(4

1

s

⇒

₤ $1 =

+ )2(1

2 s s 2

1₤

$1 −

2

1

s 4

1₤

$1 +

s

1

4

1₤

$1

+ )2(1

s ⇒

₤ $1 =

+ )2(1

2 s s 2

1 −t 4

1 +4

1

t e21

ontinuamos con el proceso$

=)( s I )2(2

10

+

−

s s

e s

)2(2

20

+−

−

s s

e s ⇒ =)( s I −+

− se s s

10

2 )2(

1 se s s

20

2 )2(

1 −

+

=)( s I −

++−

− se s s s

102 )2(4

141

21 se

s s s20

2 )2(41

41

21 −

++− Le aplicamos, la

transformada inversa de Laplace$

₤ $1{ } =)( s I ₤ $1 −

+

+− − se s s s

10

2 )2(4

1

4

1

2

1₤

$1

+

+− − se s s s

20

2 )2(4

1

4

1

2

1 ⇒

=)(t i ₤ $1 −

− se s

10

22

1₤

$1 +

− se s

10

4

1₤

$1 −

+

− se s

10

)2(4

1₤

$1 +

− se s

20

22

1

₤ $1 − − se s

20

41 ₤ $1

+

− se s

20

)2(41

"n esta parte se le da preferencia al teorema de desplazamiento en el

tiempo, para transformada inversa, #ue dice, ₤ $1 { } )()()( at at f s F e as −−=− µ

⇔

=)(t i −−− )10()10(2

1t t µ +− )10(

4

1t µ −−−− )10(

4

1 )10(2 t e t µ

+−− )20()20(21

t t µ −− )20(41

t µ )20(4

1 )20(2

−−−

t e t

µ ⇒

=)(t i −−

52

t +4

1+−−− )10()10(2 t e t µ ++

− 102

t −4

1)20(

4

1 )20(2 −−− t e t µ

⇒

=)(t i −−

201

2

4

1 t +1 +−

−− )10(4

1 )10(2 t e t µ [ ++− 402t −1

−

−− )20(

4

1 )20(2 t e t µ

La solución será$155


14/22

[ ] [ ]{ })20(241)10(2214

1)( 20(2)10(2 −++−−−++−= −−−− t et t et t i t t µ µ Amperes.

")ercicio 4.3.2 ;(esortes aco!lados *os cuerpos de masas, m1 ( m2, están

unidas a dos resortes, A ( B, de masa insignificante cu(as constantes de

resorte son k 1 ( k 2, respectivamente, ( los resortes se fi)an como se ve en la

figura 4.1. Sean x1(t ) ( x2(t ) los desplazamientos verticales de las masas

respecto a sus posiciones de e#uilibrio. uando el sistema está en

movimiento, el resorte B #ueda sometido a alargamiento ( a compresión, a la

vez por lo tanto, su alargamiento neto es x2 – x1. "ntonces, seg&n la le( de

ooe?ton podemos escribir@1

)( 1221121

2

1 x xk xk !t

x! m −+−=

5ambi%n la fuerza neta e)ercida sobre la masa m2 sólo se debe al

alargamiento neto de B esto es, -k 2( x2 – x1). "sto es$

)( 12222

2

2 x xk

!t

x! m −−=

: sea, el movimiento del sistema acoplado se representa con el sistema de

ecuaciones diferenciales simultáneas de segundo orden,

)( 1221121

2

1 x xk xk !t

x! m −+−= y )( 1222

2

2

2 x xk !t

x! m −−=

'esolver el sistema, con$ k 1 = 6, k 2 = 4, m1 = 1, m2 = 1 ( con las masas a partir

de sus posiciones de e#uilibrio con velocidades unitarias opuestas.

1,tt!-ma/in)er.sisi+.uc,ile.clre!ositorioa!ciencias0&uimicas0y0farmaceuticasa!mat4f2).,tml

156


15/22

6igura 4.1, 'esortes acoplados2.

'esolver entonces el siguiente sistema mediante la transformada inversa de

Laplace$

=)(1 s X ₤ ( ){ }t x1 ( =)(2 s X ₤ ( ){ }t x2 , con las condiciones iniciales,

siguientes$

x1(0) = 0, x1'(0) = 1, x2(0) = 0, ( x2'(0) = -1.

La solución considerando la transformada de Laplace de cada ecuación,

#uedará ocupando los datos proporcionados por el planteamiento del

problema, de la siguiente forma

0)(4)(10)0()0()( 21'111 =−+−− s X s X x sx s sX

0)(4)0()0()()(42

'

222

2

1

=+−−+− s X x sx s X s s X

Se sustitu(en las condiciones iniciales, tales #ue$

0)(4)(101)( 2112 =−+− s X s X s X s (

0)(4)1()()(4 222

1 =+−−+− s X s X s s X ⇒

1)(4)()10( 212 =−+ s X s X s (

1)()4()(4 22

1 −=++− s X s s X

*e este &ltimo par de ecuaciones, despe)amos X 1( s), tal #ue$

( )( )122)(

22

2

1 ++=

s s

s s X , #ue por medio de fracciones parciales, nos da$

++

+−=

12

1

5

6

2

1

5

1)(

221 s s

s X , donde se aplica la transformada inversa de

Laplace, para obtener

2 3i)ura tomada de- I+dem al anterior.

157


16/22

25

1)(1 −=t x ₤ +1

+ 22

2 s 125

6+ ₤ +1

+1212

2 s, de donde se obtiene, el valor

de$ +−= t Sent x 2

10

2)(1 t Sen 32

5

3

Luego a partir del mismo par de ecuaciones, encontramos el valor de )(2 s X

tal #ue$ ( )( )1226

)(22

2

2 +++

= s s

s s X la #ue por medio de fracciones parciales, nos

da$

+−

+−=

12

1

5

3

2

1

5

2)(

222 s s

s X de donde obtenemos la transformada

inversa de ambas partes, tal #ue$

25

2)(2 −=t x " -1

+ 22

2 s

125

3− " -1

+1212

2 s, de donde se obtiene, el valor

de$ t Sent Sent x 3210

32

5

2)(2 −−= s tenemos los resultados

esperados.

")ercicio 4.3.3, :btenga la corriente el%ctrica )(t i en un circuito serie 'L,

donde$ .0)0(,101,20,1.0 3 Amperesi Fara!sC #hms $ %enrys & =×=== − "l

potencial de alimentación, es$ )1(120120)( −−= t tGt t ' para 10 ≤


17/22

obtenga$

( )

+

−+

++

+−+

−+

−= −− s s s s e se se s se s s s s I

222 )100(

000,10

)100(

100

)100(

11

100

100

100

111200)(

plicamos la transformada inversa a ambos lados de esta desigualdad,

#uedando$ ( ) Amperese

t G

et Gt i

t t 100100

)1(1)1(1

25

3)(

−+−−−= − .

")ercicio 4.3.4. :btener la i (t )# de operación del circuito de la figura 4.2.

Suponga #ue la siguiente ecuación diferencial, es la respuesta de un

circuito serie (LC, e=citado mediante una potencial, tal #ue$

)(0)()0()()()( s I s' sY &i sY s( sY = −+

+

+ )(''')('')(' s I s I s I ++= *e la misma

manera se tiene la respuesta del circuito !aralelo (LC, e=citado mediante

una fuente de potencial,

)(0

)()0()()()( 2 s( s

i s ) C' s ) s I s ) =

−+

++

)(''')('')(' s( s( s( ++=

6igura 4.2. ircuito el%ctrico alimentado

con, tres fuentes de energa$

• Pot. alterno 2 2 osB2tC π D4E

(olts.

• 6uente de potencial, de corriente

directa, 2(olts.

• 6uente de corriente, de corriente

directa, 4 Amperes.

Por el teorema de superposición, es posible traba)ar la alimentación del

circuito, mediante las tres fuentes, en forma separada Bcuando una est%

traba)ando, las otras estarán fuera de operaciónE

plicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la función, tal #ue$

'(t ) = 2 2 Cos(2t +π /4) ⇒ " { } =)(t ' "

+ )

42(22

π t Cos ⇒

2osB2tC D4E

5 $

1 Ώi(t) 1

4

16

2F

6

159


18/22


19/22

6igura 4.4, circuito donde sólo

act&a la fuente de potencial de

corriente directa.

)1(

2

1

2

11

2)(

+−=+−=+

−= s

s

s s

s

s s I

Para el circuito de la figura 4.-, la 0)(''' = s I , en esa situación la corriente

el%ctrica, sólo flu(e por el corto circuito ( eso significa #ue no e=iste una

diferencia de potencial, por #ue toda la energa circula ( regresa a la fuente.

6igura 4.-, circuito donde sólo

act&a la fuente de corriente

directa, observamos #ue está

cortocircuitada de acuerdo a

esta figura, por lo tanto$ I***+s,

= 0

Sumando las respuestas obtenidas, de acuerdo a

)(''')('')(')( s I s I s I s I ++=

⇒ )(''')('')(')( s I s I s I s I ++= )4)(1(

)42(2 ++−= s s

s s

1

2

+− s

+ 0 =

)4)(1(

)4(2)42(2

2

+++−−

s s

s s s

i s

C

i s

B

s

A

s s

s s I

221)4)(1(

84)(

2 −+

++

+=

++−−= *e donde$

1 G I**+s, s G G

2F

4/s

1 G I***+s, s Ώ G1/s

161


20/22

8.05

4

4)1(

8)1(4

4

84

)4)(1(

)1)(84(2

1

0122

−=−

=

+−

−−−=

+

−−=

++

+−−=

−=

=+

s

s s

s

s s

s s A

[ ] )12)(44(88

4)2()12(

8)2(4

)4)(1(

84

)4)(1(

)84(2

102

22+−+

−=

+−+−

−−−=

++

−−=

++

−−=

−=

=+ i

i

ii

i

s s

s

s s

s B

s

i s

ii

i

i

i

i

i

i

i

i B

5

1

5

3

41

3

21

21

21

1

21

1

)12(8

)1(8 −−=

+

−−=

+

+

−

+−=

−

+−=

+−

−=

o B 5.7126.1 −∠= , C es el comple)o con)ugado de B, por lo tanto$

iC 5

1

5

3 +−= o5.7126.1 ∠=

⇒ i si s s s s

s s I

oo

2

5.7126.1

2

5.7126.1

1

8.0

)4)(1(

84)(

2 −∠+

+−∠+

+−=

++−−=

plicamos la transformada inversa a ambos lados, tal #ue$

=)(t i " -1

=

−

∠

++

−∠

++− i si s s 25.7126.1

2

5.7126.1

1

8.0

" -1

+−

−

++

−

1

8.0

2226.1

5.715.71

si s

e

i s

e ##

ii

⇒

La corriente el%ctrica resultante, al aplicar el principio de superposición, es$

=)(t i " -1

+−

−

+

+

−

1

8.0

226.1

226.1

5.715.71

si s

e

i s

e ##

ii

=)(t i " -1

+

−

i s

e#i

226.1

5.71

+" -1 −

− i s

e#i

226.1

5.71

" -1

+18.0

s

=)(t i " -1

+− #ie

i s

5.71

2

126.1 +" -1 −

−#ie

i s

5.71

2

126.1 " -1

+18.0

s

=)(t i iti #ee 5.71226.1 −− iti #

ee 5.71226.1+ t e−+ 8.0

=)(t i )5.712()5.712( 26.126.1##

t it ee ++− + t e−+ 8.0

=)(t i )5.712(26.1)5.712(26.1 ##

t iSent Cos +−+

162


21/22


22/22

")ercicio 4.3.7, Iediante la transformada de Laplace, obtenga la carga

el%ctrica del apacitor de un circuito serie $C ,

( ) (oltst ut ut ( y Fara!sC $/ )3()1(50)(01.0,50,0)0( −−−==Ω==

Solución. )1(1121)( )1(2 − −= −

t ue

t / t Amperest ue t )3(11

21 )3(2 − +−+ −

")ercicio 4.3.8, un cuerpo de 9 kilo0ramos de masa se encuentra su)eto a un

resorte Ben un plano !orizontalE, cu(a constante elástica se conoce como k .

en el instante t = 0, se rompe el e#uilibrio x# #uedando suelta la masa

carente de una velocidad inicial. allar el lugar x(t ) #ue toma la masa en un t

> 0, considerando despreciable el rozamiento del piso donde se lleva a cabo

la acción. Sugerencia, 0)(92

2

=+ kx!t

t x! con 0)0( = x ( 0)0( =!t

!x

Solución. t k

Cos xt x #

=

3)(

164

caitulo iv ec dif por laplace

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