caderno do professor - matemática - 2009 - 3ªsérie - em - volume 4
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caderno do
volume 4 - 2009
PROFESSOR
3ª- SÉRIE mat
Emát
Ica
ensino médio
GovernadorJosé Serra
Vice-GovernadorAlberto Goldman
Secretário da EducaçãoPaulo Renato Souza
Secretário-AdjuntoGuilherme Bueno de Camargo
Chefe de GabineteFernando Padula
Coordenadora de Estudos e NormasPedagógicasValéria de Souza
Coordenador de Ensino da RegiãoMetropolitana da Grande São PauloJosé Benedito de Oliveira
Coordenador de Ensino do InteriorRubens Antonio Mandetta
Presidente da Fundação para oDesenvolvimento da Educação – FDEFábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação GeralMaria Inês Fini
ConcepçãoGuiomar Namo de MelloLino de MacedoLuis Carlos de MenezesMaria Inês FiniRuy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação:Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TÉCNICA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas
Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos ProfessoresGhisleine Trigo Silveira
AUTORES
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos
MatemáticaMatemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli
Caderno do GestorLino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Ruy César Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design (projeto gráfico)
APOIOFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação
CTP, Impressão e AcabamentoImprensa Oficial do Estado de São Paulo
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
Caderno do professor: matemática, ensino médio - 3a série, volume 4 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
ISBN 978-85-7849-442-1
1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.
CDU: 373.5:51
S239c
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegi-dos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
Caras professoras e caros professores,
Este exemplar do Caderno do Professor completa o trabalho que fizemos de
revisão para o aprimoramento da Proposta Curricular de 5a- a 8a- séries do Ensino
Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo.
Graças às análises e sugestões de todos os professores pudemos finalmente
completar um dos muitos recursos criados para apoiar o trabalho em sala de aula.
O conjunto dos Cadernos do Professor constitui a base estrutural das aprendi-
zagens fundamentais a serem desenvolvidas pelos alunos.
A riqueza, a complementaridade e a marca de cada um de vocês nessa elabo-
ração foram decisivas para que, a partir desse currículo, seja possível promover as
aprendizagens de todos os alunos.
Bom trabalho!
Paulo Renato SouzaSecretário da Educação do Estado de São Paulo
São Paulo Faz Escola – Uma Proposta Curricular para o Estado 5
Ficha do Caderno 7
Orientação geral sobre os Cadernos 8
Situações de Apredizagem 11
Situação de Aprendizagem 1 – A apresentação de dados estatísticos: gráficos e tabelas 11
Situação de Aprendizagem 2 – Média aritmética e dispersão: qual é a relação? 18
Situação de Aprendizagem 3 – A curva normal e o desvio padrão: probabilidade e Estatística 24
Situação de Aprendizagem 4 – Amostras estatísticas: tipos, confiabilidade e margem de segurança dos resultados 40
Orientações para Recuperação 53
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 54
Considerações finais 55
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio 56
SUMáRiO
5
SãO PAUlO FAz ESCOlA – UMA PROPOStA CURRiCUlAR PARA O EStAdO
Caros(as) professores(as),
Este volume dos Cadernos do Professor completa o conjunto de documen-
tos de apoio ao trabalho de gestão do currículo em sala de aula enviados aos
professores em 2009.
Com esses documentos, a Secretaria espera apoiar seus professores para
que a organização dos trabalhos em sala de aula seja mais eficiente. Mesmo
reconhecendo a existência de classes heterogêneas e numerosas, com alunos em
diferentes estágios de aprendizagem, confiamos na capacidade de nossos pro-
fessores em lidar com as diferenças e a partir delas estimular o crescimento
coletivo e a cooperação entre eles.
A estruturação deste volume dos Cadernos procurou mais uma vez favore-
cer a harmonia entre o que é necessário aprender e a maneira mais adequada,
significativa e motivadora de ensinar aos alunos.
Reiteramos nossa confiança no trabalho dos professores e mais uma vez
ressaltamos o grande significado de sua participação na construção dos conhe-
cimentos dos alunos.
Maria Inês FiniCoordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
6
7
FiChA dO CAdERnO
Estatística
nome da disciplina: Matemática
área: Matemática
Etapa da educação básica: Ensino Médio
Série: 3a
Volume: 4
temas e conteúdos: A apresentação de dados estatísticos:
gráficos e tabelas
Medidas centrais e de dispersão: cálculo,
interpretação e significados
Média aritmética, mediana e moda
Amplitude e desvio médio
A curva normal e o desvio padrão:
probabilidade e Estatística
As etapas de uma pesquisa estatística: da
amostragem aos resultados
8
ORiEntAçãO gERAl SObRE OS CAdERnOS
Os temas escolhidos para compor o conteú-
do disciplinar de cada bimestre não se afas-
tam, de maneira geral, do que é usualmente
ensinado nas escolas, ou do que é apresentado
pelos livros didáticos. As inovações preten-
didas referem-se à forma de abordagem dos
mesmos, sugerida ao longo dos Cadernos de
cada um dos bimestres. Em tal abordagem,
busca-se evidenciar os princípios norteadores
do presente currículo, destacando-se a contex-
tualização dos conteúdos, as competências
pessoais envolvidas, principalmente as rela-
cionadas com a leitura e a escrita matemática,
bem como os elementos culturais internos e
externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão
organizados em oito unidades de extensões
aproximadamente iguais, que podem corres-
ponder a oito semanas de trabalho letivo. De
acordo com o número de aulas disponíveis por
semana, o professor poderá explorar cada as-
sunto com maior ou menor aprofundamento,
isto é, escolher uma escala adequada para o
tratamento do mesmo. A seu critério, em cada
situa ção específica, o tema correspondente a
uma das unidades pode ser estendido para mais
de uma semana, enquanto o de outra unidade
pode ser tratado de modo mais simplificado.
É desejável que o professor tente contem-
plar todas as oito unidades, uma vez que, jun-
tas, compõem um panorama do conteúdo do
bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades
contribui para a compreensão das outras. In-
sistimos, no entanto, no fato de que somente
você, professor, em sua circunstância particu-
lar, levando em consideração seu interesse e
o dos alunos pelos temas apresentados, pode
determinar adequadamente quanto tempo de-
dicar a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos são apresentadas,
além de uma visão panorâmica do conteúdo do
bimestre, quatro Situações de Aprendizagem
(1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de
abordagem sugerida, instrumentando o profes-
sor para sua ação em sala de aula. As atividades
são independentes e podem ser exploradas com
mais ou menos intensidade, segundo seu inte-
resse e o de sua classe. Naturalmente, em razão
das limitações no espaço dos Cadernos, nem
todas as unidades foram contempladas com
Situações de Aprendizagem, mas a expectativa
é de que a forma de abordagem dos temas seja
explicitada nas atividades oferecidas.
São apresentados também, em cada Ca-
derno e sempre que possível, materiais dispo-
níveis (textos, softwares, sites, vídeos, etc.) em
sintonia com a forma de abordagem proposta,
que podem ser utilizados por você, professor,
para o enriquecimento de suas aulas.
Compõem o Caderno, ainda, algumas con-
siderações sobre a avaliação a ser realizada,
bem como o conteúdo considerado indispen-
sável ao desenvolvimento das competências
esperadas no presente bimestre.
9
Matemática – 3a série – Volume 4
Conteúdos básicos do bimestre
Os tópicos de Estatística selecionados
para o Ensino Médio constituem um bloco
de conteúdos matemáticos dos mais aplica-
dos a situações cotidianas, levando em conta,
principalmente, a faixa etária dos alunos e
as condições socioeconômicas de nossa po-
pulação. A correta compreensão de dados es-
tatísticos de toda natureza é um importante
pilar da base do edifício matemático e uma
ferramenta indispensável no processo de cons-
trução da cidadania.
São conhecidos alguns “motes” associados
à análise estatística de dados, como aquele em
que se afirma que “Estatística é a arte de mentir
com números”, ou aquele outro sobre o “esta-
tístico de 1,80 m de altura que morreu afoga-
do no lago de profundidade média 1,60 m”.
De fato, se os dados numéricos ou qualitativos
acerca das características de alguma variável não
apresentam, por si só, incoerências, o modo como
são feitas as diversas relações possíveis entre eles
permite o traçado de diferentes caminhos, com di-
ferentes finais, alguns muito previsíveis. Ser capaz
de compreender e criticar a forma com que são
realizadas essas análises, validando-as ou não,
é prerrogativa apenas daqueles que conhecem
como são ou deveriam ser realizadas todas as
etapas de um processo estatístico, desde a amos-
tragem até os relatórios finais. Com base nisso,
foi elaborada esta proposta de desenvolvimento
metodológico para os conteúdos de Estatística,
que completa a formação matemática projetada
para estudantes de Ensino Médio.
Na Situação de Aprendizagem 1 apresen-
tamos uma série de dados de diferentes tipos
de variáveis, com diferentes tipos de gráficos,
para que sejam interpretados corretamente.
Além disso, com base em algumas situa-
ções-problema, propomos uma discussão
acerca de irregularidades matemáticas fre-
quentemente observadas em gráficos esta-
tísticos. Essas irregularidades muitas vezes
conduzem a interpretações equivocadas dos
dados apresentados.
Trata-se de situação comum aquela em que
a média aritmética de uma distribuição de
dados é utilizada como único resultado esta-
tístico na análise. Afirmar, por exemplo, que
a renda per capita do Amazonas é cerca de
R$ 8 300,00 quando se conhecem as enormes dis-
paridades de ocupação do solo e distribuição de
renda nesse Estado, serve para quê? Apesar do
reconhecido equívoco em fazê-lo, ainda observa-
mos a divulgação frequente de médias em noti-
ciários ou em falas oficiais transmitindo, muitas
vezes, falsas impressões a quem as lê ou ouve.
Reconhecendo a importância de, em uma
análise de resultados estatísticos, associar o
valor da média a valores de outros indicadores,
como mediana e desvio padrão, propomos, na
Situação de Aprendizagem 2, a realização de
uma atividade experimental, na qual o resulta-
do final dependerá da análise da relação entre
média aritmética, mediana e desvio médio.
A efervescência dos períodos pré-eleitorais
fornece contexto adequado para o aprofunda-
mento do estudo de importantes elementos da
Estatística, começando, por exemplo, pela fala
10
recorrente de que “a pesquisa prevê 26% dos
votos para o candidato X, com 5% de margem
de segurança”. A compreensão desses números
passa pelo estudo da relação entre média arit-
mética, desvio padrão e o cálculo de probabili-
dades associadas a faixas da curva normal. Na
Situação de Aprendizagem 3, propomos ao pro-
fessor que apresente a curva normal a seus
alunos e que discuta com eles a relação entre
o formato da curva e o valor da média e do
desvio padrão da distribuição. Com base nisso,
poderão ser calculadas probabilidades associa-
das a intervalos de valores da curva, ampliando,
dessa maneira, os significados anteriormente
construídos acerca do número que exprime a
chance de ocorrência em fenômenos aleatórios.
Durante a realização da Situação de Apren-
dizagem 4, os alunos encontrarão respostas às
questões acerca das características de um sis-
tema de amostragens. O contexto escolhido,
nesse caso, foi o das pesquisas de intenção de
voto, que desperta a curiosidade para alguns
pontos, por exemplo, para o número de pessoas
entrevistadas, aparentemente pequeno para o
objetivo, ou para a margem de erro, “de 5%
para mais ou 5% para menos”.
A preparação do trabalho do bimestre,
com base nas considerações anteriores, pode
ser organizado nas seguintes oito unidades,
correspondendo, aproximadamente, a oito se-
manas de aulas:
Quadro geral de conteúdos do 4o bimestre da 3a série do Ensino Médio
Unidade 1 – A apresentação de dados estatísticos: gráficos e tabelas.
Unidade 2 – Tabelas e gráficos de frequências e de frequências acumuladas.
Unidade 3 – Medidas de posição: média aritmética, mediana e moda.
Unidade 4 – Medidas de dispersão: amplitude e desvio médio.
Unidade 5 – O desvio padrão e a curva normal.
Unidade 6 – Probabilidades associadas a intervalos da curva normal.
Unidade 7 – Probabilidades associadas a intervalos da curva normal.
Unidade 8 – Sistemas de amostragens.
11
Matemática – 3a série – Volume 4
A construção de gráficos e mapas insere-se
no contexto que envolve a busca de conhe-
cimento e o esclarecimento acerca de certa
questão da realidade que se tem interesse em
compreender. Dessa maneira, diante de uma
questão colocada, seja no âmbito da sociedade
ou da natureza, damos início a um trabalho de
pesquisa mediante o levantamento de dados,
registros das situações percebidas concreta-
mente de forma sistemática, que podem ser de
natureza qualitativa ou quantitativa.
Os dados de natureza qualitativa nos infor-mam sobre as características dos objetos de estudo. Os dados quantitativos referem-se à possibilidade de efetuarem-se medidas ou con-tagens acerca da manifestação dos fenômenos.
Nas pesquisas em Geografia, na maioria das vezes, trabalhamos com dados qualitativos ou quantitativos provenientes de fontes secundárias: as estatísticas e os documentos cartográficos. De-pois de coletados, os dados são organizados em mapas, tabelas e/ou gráficos.
Os mapas são objeto de estudo da Cartogra-fia. Os gráficos não. Esses estão mais ligados à Matemática e, em particular, à Estatística. Isso porque grande parte dos gráficos tem origem nas propostas de Nicole Oresme (1323-1382) e René Descartes (1596-1650) para a descrição da posição de pontos no plano, base da geometria
analítica. A partir daí foi possível a elaboração de gráficos de relações e de funções na Matemá-tica, explorados, depois, também na Estatística.
Diante de um mapa ou gráfico, o leitor pode se interessar por um aspecto particular ou pode desejar ter conhecimento global do as-sunto que está sendo representado. Para tanto, ele inicia a leitura identificando do que trata o mapa, a tabela ou o gráfico. Para isso, ele fica atento ao título, que deve dizer “o quê”, “onde” e “quando” a respeito do tema, completando-se depois com outros dizeres que estarão sobre a tabela, o gráfico ou o mapa, principalmente com a respectiva legenda que explica os signifi-cados dos signos presentes.
Com essa informação, o leitor entra direto no âmago da representação gráfica, que deve-rá ser eficaz para poder lhe revelar o conteúdo da informação que ele encerra. Uma tabela, um gráfico ou um mapa, portanto, será eficaz quando possibilitar ao usuário resposta visual e rápida às questões por ele colocadas.
Diante de gráficos o leitor pode propor, principalmente, dois tipos de questões:
1. Questão sobre detalhe (quanto choveu no mês de abril na cidade X?)
2. Questão sobre conjunto (qual é o regime anual das chuvas na cidade X?)
SitUAçõES dE APREndizAgEM
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 1 A APRESENTAçãO DE DADOS ESTATíSTICOS:
GRáFICOS E TABElAS
12
Nesta Situação de Aprendizagem, apresenta-
remos alguns gráficos para serem interpretados
de acordo com esses aspectos. A escolha dos grá-
ficos envolveu consulta a sites especializados em
dados de diferentes naturezas1 e, principalmente,
a seleção de situações de maior complexidade in-
terpretativa, em função do público a que se desti-
nam: alunos de 3a série de Ensino Médio.
tempo previsto: 1 semana.
Conteúdo e temas: gráficos de frequências e histogramas; gráficos compostos por mais de um dos tipos clássicos conhecidos; pictogramas.
Competências e habilidades: interpretar informações de diferentes naturezas representadas em gráficos estatísticos; relacionar informações veiculadas em diferentes fontes e com dife-rentes linguagens; utilizar o instrumental matemático para realizar análise de dados regis-trados em gráficos estatísticos.
Estratégias: resolução de situações-problema exemplares, de natureza claramente interdis-ciplinar.
1 Ver referências adicionais para os professores, ao final do Caderno.
Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1
Esta Situação de Aprendizagem será com-
posta por três etapas, cada uma com uma sé-
rie de exercícios exemplares. Sugerimos que
o professor comente com seus alunos sobre o
conteúdo do texto de cada atividade, citando
os exemplos presentes, antes de pedir que re-
solvam os exercícios. As etapas são:
climograma ou gráfico termopluviométrico; f
distribuição da riqueza no Brasil; f
temperatura interna da casa. f
O climograma ou gráfico termopluviométrico
Muitas vezes, para uma análise comparativa
de variáveis, combina-se, em um mesmo gráfico
a frequência acumulada porcentual (gráfico li-
nha) com a frequência relativa (gráfico de barras).
Uma aplicação muito comum dessa com-
binação é o climograma ou gráfico termoplu-viométrico. A temperatura, por ser contínua,
é representada por uma linha. Para a preci-
pitação, como é acumulativa, utilizam-se as
colunas.
Um gráfico assim construído pode mostrar
contrastes entre períodos secos e úmidos e,
13
Matemática – 3a série – Volume 4
ainda, permitir a comparação entre vários re-
gimes climáticos em vista de uma classificação
estudada em Geografia.
A tabela seguinte apresenta dados basea-
dos nas características do clima da cidade de
Catalão, em Goiás. Nesta tabela, temos o ín-
dice de chuvas, em milímetro, e a temperatura
média mês a mês, em grau Celsius.
Mês Índice de chuvas(mm)
temperatura média(ºC)
Janeiro 299 23
Fevereiro 259 23
Março 223 23
Abril 96 22,5
Maio 28 21
Junho 7 19,5
Julho 12 20
Agosto 7 21,5
Setembro 58 23
Outubro 155 23,5
novembro 210 23
dezembro 378 22,5
A observação dos dados dessa tabe-
la permite tirar uma série de conclusões,
principalmente aquelas que dizem respeito
a uma análise detalhista, por exemplo, afir-
mar que a temperatura média de dezembro é
22,5 ºC.
No entanto, apesar de ser possível obter
diversas conclusões com base nos dados re-
gistrados na tabela, um gráfico, relacionando
todas as informações, permite visualizar mais
facilmente variações entre elementos dos con-
juntos. O gráfico seguinte, gerado a partir dos
dados da tabela anterior, é o climograma da
cidade pesquisada.
Atividade 1
A respeito desse gráfico, o professor poderá
pedir aos alunos que reflitam sobre algumas
questões, como estas:
a) Como é possível relacionar as estações do ano
ao índice de chuvas apresentado no gráfico?
O gráfico mostra que chove mais nos primei
ros e nos últimos meses do ano. Portanto, as
estações primavera e verão são as mais chu
vosas, enquanto o outono e o inverno são as
menos chuvosas.
400 25
20
15
10
5
0
ºC
350300
200250
299
J A J OF M A NM J
Climograma de Catalão
S D
259223
96
28 7
índice de chuvas (mm)
1258
155
210
378
7
100150
500
23 23 23 2323 23,522,5
22,521,5
19,521 20
temperatura média (ºC)
(mm
)
14
b) Quais são as temperaturas máxima e mí-
nima anuais? Em quais meses elas ocor-
rem?
A temperatura máxima é 23,5 ºC e ocorre
em outubro; a temperatura mínima é 19,5 ºC
e ocorre em junho.
c) A amplitude de um conjunto de dados é
definida como a diferença entre o maior e o
menor valor do conjunto. Qual é a amplitu-
de do conjunto das temperaturas médias da
cidade de Catalão?
Amplitude = 23,5 – 19,5 = 4 ºC
d) Qual é a temperatura média anual da ci-
dade de Catalão?
A média deve ser obtida pela divisão entre
a soma de todos os valores de temperatura
e a quantidade de parcelas dessa adição.
Assim,
temperatura média = (23 + 23 + 23 + 22,5 +
+ 21 + 19,5 + 20 + 21,5 + 23 + 23,5 + 23 +
+ 22,5) ÷ 12 22,1 ºC.
e) Relacionando as duas variáveis apresentadas
no gráfico, responda: é verdade que chove
mais nos meses mais frios? Justifique.
Não, chove mais nos meses mais quentes.
Atividade 2
Observe o climograma seguinte, construído
com base em dados fictícios de outra cidade.
Neste gráfico, como no anterior, o índice de
chuvas é dado em milímetro, e a temperatura
em grau Celsius.
A respeito dos dados representados nesse gráfico, responda:
a) A cidade em questão localiza-se no He-
misfério Norte ou no Hemisfério Sul?
Por quê?
As menores temperaturas ocorrem nos
meses de dezembro e janeiro, o que mostra
que esses meses são de inverno em tal
cidade. Por isso, podemos supor que a ci
dade localizase no Hemisfério Norte, pois
no Hemisfério Sul janeiro e dezembro são
meses de verão.
b) Nos meses de inverno chove, em média,
mais ou menos do que nos meses de verão?
Considerando que a cidade cujos dados são
representados no gráfico situase no Hemisfério
Norte, chove mais no verão (junho, julho) do
que no inverno (dezembro, janeiro).
180
100
140
60
160
80
120
40
20
117 119114 117
139
12,514
20
24
27
20,5
28,5
22
17
28,5
13,5
147
122
89 96
122
106
0J A J OF M A NM J S D
40
35
30
25
20
15
10
5
0
índice de chuva (mm) Temperatura média (ºC)
ºC
(mm
)
167
26,5
15
Matemática – 3a série – Volume 4
c) Qual é a temperatura média anual dessa
cidade?
T(média) = (12,5 + 14 + 20 + 20,5 + 24 +
+ 27 + 28,5 + 28,5 + 26,5 + 22 + 17 +
+ 13,5)÷12 21,2 ºC.
d) A amplitude da variação dos valores dos ín-
dices pluviométricos (valor máximo – valor
mínimo) é maior para essa cidade ou para a
cidade de Catalão?
Menor, pois a amplitude da dispersão em
Catalão é igual a 378 – 7 e na outra cidade
é de 167 – 89.
e) Como as características climáticas dessa
cidade diferenciam-se das características
climáticas de Catalão?
Apesar de as temperaturas médias anuais
serem muito próximas, o nível de chuvas
é bastante diferente nas duas cidades,
chovendo bem mais e marcadamente em
Catalão.
f) O clima de Catalão é classificado como tro-
pical semiúmido, cujas características prin-
cipais são:
as temperaturas são elevadas no verão e f
amenas no inverno (média de 20 ºC);
a existência de duas estações: a úmida e a f
menos úmida;
temperaturas médias mensais altas ao lon- f
go de todo o ano;
reduzida amplitude térmica anual. f
Caracterize o clima da cidade representada
nesse gráfico, comentando acerca das mes-
mas variáveis que definiram o clima tropi-
cal semiúmido para Catalão.
As respostas para essa questão podem variar
e cabe ao professor destacar os principais
pontos de cada uma, como:
1. As temperaturas no verão, na cidade fictí
cia, são, em média, maiores do que as de
Catalão, chegando perto dos 30 ºC. No en
tanto, a pequena amplitude dos valores de
temperaturas de verão é similar nas duas
cidades.
2. A variação do índice de umidade durante
o ano é maior em Catalão do que na ci
dade fictícia. Dessa forma, na cidade fic
tícia não parece existir claramente duas
estações, sendo uma úmida e outra menos
úmida.
3. As temperaturas médias mensais da ci
dade fictícia não podem ser conside
radas altas durante todo o ano, uma vez
que variam de 12,5 ºC a 28,5 ºC.
4. Enquanto a amplitude térmica de Catalão
fica em torno de 4 ºC, a amplitude térmi
ca anual da cidade fictícia é igual a 16 ºC,
muito maior, portanto, do que em Catalão.
5. Com base nos comentários anteriores e
observadas as diferenças entre as condi
ções das duas cidades, se Catalão tem
clima tropical semiúmido, o mesmo não se
pode dizer do clima da cidade fictícia.
16
A distribuição da riqueza no brasil
Nosso país apresenta uma das maiores de-
sigualdades do mundo no que se refere à distri-
buição da renda. Tornou-se comum comentar
acerca dessa desigualdade, embora na maio-
ria das vezes esses comentários não venham
acompanhados dos números que expressam a
real dimensão do problema.
Nesta Situação de Aprendizagem, apresen-
tamos um resumo dos dados acerca da dis-
tribuição de renda no Brasil por meio de um
gráfico bastante elucidativo, que merece, em
nossa opinião, a atenção do professor para a
possibilidade de realizar com seus alunos um
rico trabalho sobre interpretação e relaciona-
mento de dados.
Sugerimos que o professor apresente o grá-
fico a seus alunos e discuta com eles alguns
exemplos, em seguida, proponha a resolução
das atividades que seguem.
Fonte: IBGE e Atlas da Exclusão Social.
Atividade 3
A observação do gráfico que representa a
distribuição da riqueza em nosso país mostra,
por exemplo, que os 10% mais pobres da po-
pulação brasileira detêm apenas 1% da ren-
da nacional, e que os 20% mais pobres ficam
com 3,5% (1% + 2,5%). Já os 10% mais ricos
(acima de 90%) detêm 46,9% da renda nacio-
nal. Supondo a população brasileira igual a
200 milhões de habitantes, e o PIB2 (Produto
Interno Bruto) brasileiro igual a 2,4 trilhões
de reais, responda, com base no gráfico:
a) Qual é o porcentual de renda nacional des-
tinada aos 40% mais pobres da população
brasileira?
9,9%
b) Qual é o PIB per capita do Brasil, isto é,
em média, quanto da riqueza produzida
anual mente cabe a cada brasileiro?
2,4 . 1012 ÷ 200 . 106 = 1,2 . 104 = 12 000 reais.
c) Qual é, em reais, a parte da riqueza na-
cional destinada aos 20% mais pobres da
população?
3,5% de 2,4 trilhões = 84 bilhões.
d) Qual é, em reais, a parte da riqueza nacio-
nal destinada a cada um dos brasileiros
situados entre os 20% mais pobres da po-
pulação?
84 . 109 ÷ 40 . 106 = 2 100 reais.
2 O Produto Interno Bruto anual é a soma de todas as riquezas produzidas no país.
Porcentual da população – crescimento da riqueza
46,9%
15,7%
7,3%5,7%4,5%3,4%2,5%
10% 50%30% 70%20% 60%40% 80% 90%
1% 3%
10%
17
Matemática – 3a série – Volume 4
e) Complete a tabela seguinte com o to-
tal da população brasileira por faixa de
concentração de riqueza e com a renda per
capita em cada faixa.
f) Calcule a renda per capita dos 10% mais
ricos da população brasileira e responda:
quantas vezes a renda per capita dos 10%
mais ricos é maior do que a renda per
capita nacional?
(46,9% de 2,4 trilhões) ÷ 20 milhões =
= 56 280 reais.
A renda per capita dos 10% mais ricos da
população é 4,69 vezes maior do que a renda
per capita média nacional, como indica o
resultado da divisão entre R$ 56 280,00 e
R$12 000,00.
g) Qual é a relação entre a renda per capita
dos 10% mais ricos e a renda per capita dos
10% mais pobres?
A divisão entre R$ 56 280,00 e R$ 1 200,00
nos dá o fator desejado, igual, nesse caso,
a 46,9. Portanto, a renda per capita dos
10% mais ricos da população brasileira é
46,9 vezes maior do que a dos 10% mais
pobres.
A temperatura interna da casa
Uma das maneiras de se avaliar o conforto e
a viabilidade de um projeto de arquitetura resi-
dencial consiste em comparar a diferença entre a
temperatura externa e a temperatura interna do
imóvel. Adotando limites superior e inferior para
as temperaturas, correspondendo, respectivamen-
te, às condições de conforto máximo e mínimo, os
arquitetos geram um gráfico em que registram as
temperaturas de hora em hora, durante certo in-
tervalo de tempo e, a partir dele e de outros fato-
res, julgam o nível de conforto do imóvel.
Um desses gráficos, representado a seguir, foi
construído com base em dois dias, sendo um de-
les um dia de inverno e o outro um dia de verão.
residência A
horas do dia
tem
pera
tura
horas do dia
temperatura interiortemperatura interior
temperatura exterior
temperatura exterior
residência B
mínimoconforto
máximoconforto
Renda per capita por faixa de riqueza
Porcentual mais pobre da população
Porcentual da riqueza
Valor absoluto da riqueza (R$)
PopulaçãoRenda per capita
(R$)
Até 10% 1,0% 24 bilhões 20 milhões 1 200
Maior que 10% até 20% 2,5% 60 bilhões 20 milhões 3 000
Maior que 20% até 30% 3,0% 72 bilhões 20 milhões 3 600
Maior que 30% até 40% 3,4% 81,6 bilhões 20 milhões 4 080
Maior que 40% até 50% 4,5% 108 bilhões 20 milhões 5 400
18
Atividade 4
Analisando os gráficos, responda:
a) Qual dos dois gráficos, o da direita ou o da
esquerda, corresponde ao período medido
durante o verão? Por quê?
As temperaturas interna e externa da re
sidência são maiores no verão do que no
inverno. Portanto, o gráfico da direita é o
que corresponde ao período de verão.
b) O projeto em questão é, com base no con-
forto interno, mais adequado para o período
de verão ou para o período de inverno?
Certamente para o período de verão, pois
nenhuma vez, no gráfico à direita, as tempe
raturas registradas extrapolam os limites de
conforto mínimo e máximo.
Considerações sobre a avaliação
Os conteúdos que se podem desenvolver
por intermédio desta Situação de Aprendi-
zagem compõem um conjunto de elementos
de estatística descritiva que, de certa forma,
têm sido abordados desde as séries iniciais
do Ensino Fundamental. Os tópicos e as
atividades propostas agora constituem, ao
nosso ver, um aprofundamento importan-
te e necessário. É preciso deixar claro, no
entanto, que se os conteúdos são pratica-
mente os mesmos, assim como as habilidades
e competências exigidas, a profundidade
dos temas abordados exigem saltos consi-
deráveis na análise e interpretação, quando
comparados aos temas abordados nas sé-
ries anteriores. Por esse motivo, alguns
alunos poderão sentir maior dificuldade
do que os outros na resolução das ativida-
des propostas.
O professor poderá utilizar gráficos pré-se-
lecionados para compor a avaliação do proces-
so. Recomenda-se, nesse caso, que os alunos
possam, em algum momento de avaliação,
expressar suas opiniões quanto a temas de
reconhecida importância para a formação
de sua cidadania, como é o caso da sequência
“A distribuição da riqueza no Brasil”, compo-
nente desta Situação de Aprendizagem.
É esperado que alunos da 3a série do Ensino
Médio saibam calcular média aritmética de con-
juntos de dados. É esperado também que eles
saibam interpretar razoavelmente o significado
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 2 MÉDIA ARITMÉTICA E DISPERSãO: QUAl É A RElAçãO?
de valor médio como aquele que reflete certa ten-
dência do conjunto de valores, no sentido de que
compensa as diferenças para os demais elemen-
tos do conjunto, como no exemplo:
19
Matemática – 3a série – Volume 4
a média, são chamadas medidas de tendência cen-tral, que são a mediana e a moda. O fato de os valores dessas três medidas — média, mediana e moda — serem ou não próximos uns dos outros é um indicativo inicial do quanto de significado podemos atribuir à média aritmética.
Outro valor que não pode ser desconsiderado de forma nenhuma na análise de um conjunto de dados refere-se às medidas de dispersão.
Há mais de uma medida de dispersão e, nes-ta Situação de Aprendizagem, focalizaremos principalmente a amplitude e o desvio médio.
Por intermédio de uma espécie de jogo peda-gógico, os alunos poderão avaliar a baixa signi-ficância da média aritmética enquanto medida única de análise e, refinando o processo, perce-ber a importância de se calcular a dispersão do conjunto. Convidamos você, professor, a acom-panhar a descrição da atividade e, julgando-a apropriada, a utilizá-la com seus alunos.
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: gráfico de frequências e histogramas; medidas centrais: média aritmética, mediana e moda; dispersão: amplitude e desvio médio; noções de amostragem simples.
Competências e habilidades: relacionar informações veiculadas em diferentes fontes e com dife-rentes linguagens; estabelecer critérios sobre procedimentos estatísticos e analisar a confiabili-dade acerca das medidas envolvidas.
Estratégia: jogo pedagógico envolvendo conceitos de Estatística.
{1, 2, 3, 3, 4, 5, 7, 8, 12} Média aritmética = 5
1 – 5 = – 4
2 – 5 = – 3
3 – 5 = – 2
3 – 5 = – 2
4 – 5 = – 1 + = 0
5 – 5 = 0
7 – 5 = 2
8 – 5 = 3
12 – 5 = 7
Assim, a soma das diferenças entre os valores do conjunto de dados e a média aritmética dá 0; desvios muito grandes para mais ou para menos são compensados.
Por essa razão, a média aritmética não deve ser utilizada como único indicador na análise dos dados. Para evitar isso, agrega-se ao cálculo das médias o cálculo de outras medidas estatísticas. As primeiras delas são aquelas que, assim como
Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2
Jogo do desvio médio
1. Material do jogo
Para a composição do material, para cada grupo de trabalho são necessárias, pelo menos,
200 peças de mesmo formato, porém de cores
diferentes. Bolinhas são ideais para o caso,
mas podem também ser utilizadas pequenas
contas ou, até mesmo, pedaços de papel-cartão
em formato de quadrados congruentes. O total
de peças deve ser dividido, não igualmente,
entre cinco cores. Apenas o professor deve
20
conhecer a quantidade de peças de cada cor,
mas os alunos devem ser comunicados, antes
de iniciar o jogo, sobre o total geral de peças.
2. ProcedimentoOs alunos da turma, divididos em grupos de
três ou quatro elementos cada, recebem do pro-
fessor o comunicado de que serão desafiados a
descobrir, apenas por amostragens, a quan-
tidade de peças de cada cor dentre o total
de peças de um saquinho. O total de peças é
conhecido, e caberá aos alunos planejar, exe-
cutar e explicar o procedimento que adotarão
e também a sua previsão quanto à quanti-
dade de peças de cada cor.
Cada grupo recebe um saquinho contendo
as peças coloridas e passam a retirar amostras
durante certo intervalo de tempo estipulado
pelo professor. Cerca de 20 minutos é suficiente
para essa operação.
Os grupos precisam estar cientes de que
devem repor as peças no saquinho após cada
amostragem, antes de darem continuidade à ati-
vidade. De fato, no caso de um trabalho estatís-
tico realizado sobre uma população de muitos
elementos, não há necessidade dessa reposição,
como o professor poderá comentar com seus
alunos, exemplificando com o caso de uma pes-
quisa prévia eleitoral. No entanto, como o total
de elementos da população em questão é bas-
tante reduzido, convém repor as peças para que
o universo possa ser considerado constante.
Supondo, por exemplo, o caso de um gru-
po que resolva sortear 12 peças a cada vez, o
trabalho será contar quantas, dentre essas 12,
são de cada cor. Supondo ainda que 4 delas
sejam brancas, e que o total geral seja igual
a 200 peças, uma proporção simples calculará
o “provável” total de peças brancas dentre o
total, da seguinte maneira:
4
12 =
x
200
Depois de algumas amostragens, dentro do
prazo estabelecido, os grupos poderão calcu-
lar a média entre os resultados obtidos a cada
vez para, então, considerar esse valor médio
como o definitivo para sua “previsão” acerca
do total de peças de cada cor no saquinho.
Para apresentar os resultados obtidos, os
grupos poderão utilizar-se de um gráfico de
barras, semelhante ao seguinte, em que as co-
res supostas para a atividade foram amarelo,
vermelho, branco, azul e verde.
Apenas quando os gráficos de todos os
grupos estiverem desenhados, o professor in-
formará a quantidade real de peças de cada
cor nos saquinhos. Os alunos comparam sua
previsão com os valores reais e assinalam no
21
Matemática – 3a série – Volume 4
gráfico o “erro” que obtiveram, isto é, a quan-
tidade de peças a mais ou a menos em relação
aos valores esperados. O gráfico, então, deve
ficar semelhante a este:
0
+2
– 4
+3– 1
O desafio seguinte é pedir que a classe
verifique qual grupo conseguiu o melhor re-
sultado. Uma das possibilidades de critério,
nesse caso, é a média aritmética. Se todos fi-
zeram direito o trabalho, a média aritmética
será igual a zero para todos os grupos, visto
que o total dos positivos será igual ao total
dos negativos.
O que fazer, então, para escolher o melhor?
O professor sugere o cálculo do desvio médio,
que consiste em somar os valores absolutos
das diferenças (sem o sinal) e dividir pelo total
de elementos somados. No exemplo represen-
tado no gráfico anterior, o desvio médio (DM)
seria assim calculado:
DM = 1 + 3 + 2 + 4 + 05
= 2
3. ConclusãoEspera-se que os alunos da classe avaliem
que a melhor previsão foi aquela que teve
o menor desvio médio, visto serem as mé-
dias todas iguais. Pode ser também que os
alunos comentem sobre a amplitude de cada
conjunto, isto é, sobre a diferença, em valor
absoluto, entre o maior e o menor erro, que,
nesse caso, pode servir também para avaliar
a qualidade dos resultados do experimento.
De qualquer maneira, caberá a você, profes-
sor, encerrar a atividade, comentando sobre
o fato de a média ser neste, assim como na
maioria dos casos, um elemento insuficiente
para analisar os resultados de um procedi-
mento estatístico.
Complementando a Situação de Apren-
dizagem, solicite aos alunos que resolvam
as atividades que seguem. Enfatizamos que
essas atividades podem servir de referên-
cia para o trabalho do professor, mas que
de nenhuma maneira imaginamos que elas
esgotam todas as possibilidades de reconhe-
cimento para os significados conceituais.
Dessa forma, julgando necessário maior
aprofundamento, sugerimos ao professor
que selecione situações-problema seme-
lhantes de outros materiais didáticos, ou
então que elabore questões com base em
contextos que considere apropriado para
suas turmas.
Atividade 1
Observe o alvo desenhado a seguir, sobre
o qual duas pessoas, A e b, atiraram 20 dardos
cada uma. Os resultados obtidos por esses
atiradores foram registrados na tabela.
22
10
20
30
50
AtiradorResultados
50 30 20 10 0
A 4 6 5 4 1
B 6 3 5 3 3
a) Qual é a média de pontos por tiro de cada
um dos atiradores?
(Atirador A)
Média =
Média = 26
(Atirador B)
Média =
Média = 26
b) Compare os desvios médios (DM) de cada
uma das séries de tiros e decida qual é o
atirador com desempenho mais regular.
(Atirador A)
DM = (24 . 4 + 4 . 6 + 6 . 5 + 16 . 4 + 26 . 1)
_________________________________ 20
DM = 12
(Atirador B)
DM = (24 . 6 + 4 . 3 + 6 . 5 + 16 . 3 + 26 . 3)
_________________________________ 20
DM = 15,6
50 . 4 + 30 . 6 + 20 . 5 + 10 . 4 + 0 . 1 ________________________________ 20
50 . 6 + 30 . 3 + 20 . 5 + 10 . 3 + 0 . 3 ________________________________ 20
Portanto, o atirador A foi mais regular, uma vez que o desvio médio de seus tiros foi menor do que do atirador B.
Atividade 2
O gráfico a seguir foi construído pelo síndi-
co de um condomínio para analisar o consumo
de energia dos proprietários.
20
68
Consumo por residência (kWh)
no casas
consumo (kWh)
80
60
40
20
70
200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800
50
30
100
31
1712 9
3 2
a) Qual é o número total de residências pes-
quisadas?
20 + 68 + 31 + 17 + 12 + 9 + 3 + 2 =
= 162 residências pesquisadas.
b) Quantas residências consomem 1 400 kWh
ou menos?
162 – (3 + 2) = 157 residências.
c) Considere que em cada faixa o consumo
de todas as residências seja igual ao ponto
médio entre os extremos do intervalo. As-
sim, por exemplo, todas as 20 residências
da primeira faixa consomem 300 kWh,
que é o valor médio entre 200 e 400 kWh.
Nessas condições, complete a tabela se-
guinte e, determine, com base nos valores
tabelados, o consumo médio e o desvio mé-dio do consumo de eletricidade das fa-
mílias do condomínio.
23
Matemática – 3a série – Volume 4
Média =
(20 . 300 + 68 . 500 + 31 . 700 + 17 . 900 + 12 . 1100 + + 9 . 1300 + 3 . 1500 + 2 . 1700) ÷ 162 ≅ 678 kWh
b) o desvio médio dos salários pagos? Quan-tos por cento a mais?
Atividade 3
Em duas empresas, A e b, a distribuição
dos salários pagos aos funcionários é repre-
sentada na tabela seguinte:
número de funcionáriosSalários (R$) Empresa A Empresa b
1 000,00 6 4
2 000,00 8 9
3 000,00 12 14
4 000,00 16 11
5 000,00 6 8
6 000,00 2 4
total 50 50
Em qual das duas empresas é maior:
a) o valor médio dos salários? Quanto a mais?
Desvio médio =
(20 . 378 + 68 . 178 + 31 . 22 + 17 . 222 + 12 . 422 + + 9 . 622 + 3 . 822 + 2 . 1022) ÷ 162 = 242,5 kWh
Média de A =
(6 . 1 000 + 8 . 2 000 + 12 . 3 000 + 16 . 4 000 + + 6 . 5 000 + 2 . 6 000) ÷ 50 = 3 280
Média de B =
(4 . 1 000 + 9 . 2 000 + 14 . 3 000 + 11 . 4 000 + + 8 . 5 000 + 4 . 6 000) ÷ 50 = 3 440
Desvio médio de A =
(6 . 2 280 + 8 . 1 280 + 12 . 280 + 16 . 720 + + 6 . 1 720 + 2 . 2 720) ÷ 50 = 1 091,20
O desvio médio de B é, aproximadamente, 5,9 % maior do que o desvio médio de A, como atesta a divisão entre 1 155,20 e 1 091,20.
Considerações sobre a avaliaçãoAs considerações acerca do processo de
avaliação que podemos tecer nesta Situação de Aprendizagem remetem às considerações tecidas na Situação de Aprendizagem anterior, uma vez que os tópicos de conteúdo são, em ambas as situações, muito próximos, da mesma forma que são também semelhantes as habili-dades e competências exigidas.
Em relação à avaliação dos conteúdos desen-volvidos no período, sugerimos que o jogo citado na Situação de Aprendizagem seja, ele próprio, um dos componentes do processo. Além disso, poderão ser utilizadas, também para avaliação, algumas das questões dos exames do Enem (Exa-me Nacional do Ensino Médio) ou do PISA (Programa Internacional de Avaliação de Alu-nos) disponível em: <http://www.inep.gov.br>.
De qualquer modo, destacamos a impor-tância de que o quadro de avaliação seja com-posto pelas mais diversas formas possíveis, e não unicamente por provas objetivas.
Desvio médio de B =
(4 . 2 440 + 9 . 1 440 + 14 . 440 + 11 . 560 + + 8 . 1 560 + 4 . 2 560) ÷ 50 = 1 155,20
O salário médio da empresa B é R$ 160,00
maior do que o salário médio da empresa A.
Faixa de consumo (kWh)
[200, 400[
[400,600[
[600, 800[
[800,1 000[
[1 000, 1 200[
[1 200,1 400[
[1 400,1 600[
[1 600, 1 800[
Frequência(no de casas)
20 68 31 17 12 9 3 2
Obs.: Representação de intervalo real: [a, b[
intervalo fechado à esquerda intervalo aberto à direita
24
O número que exprime uma probabilidade
pode ser obtido por meio de uma especulação
teórica, isto é, pela comparação entre o nú-
mero de casos esperados e o número de casos
possíveis. Trata-se, nesse caso, da clássica de-
finição de probabilidade enquanto resultado
da divisão do número de elementos do evento
pelo número de elementos do espaço amostral
ª P(E) = n (E)
_____ n (S) º , válida com base na considera-
ção de que todos os elementos do evento têm
a mesma chance de ocorrer. Foi essa a abor-
dagem dada ao estudo do tema “Probabilida-
des” no Caderno do 3o bimestre da 2a série do
Ensino Médio.
No tratamento de dados obtidos com
base nos levantamentos estatísticos, especula-
mos muitas vezes sobre os resultados espera-
dos, mesmo sabendo que poderemos validá-los
apenas dentro de certas margens de segurança.
Não temos garantia, por exemplo, de que 20%
das mulheres de uma cidade são loiras, se ti-
vermos obtido essa informação de uma amos-
tra, mesmo que representativa, de pessoas
da cidade. Mas sabemos que se tivéssemos
escolhido aleatoriamente n amostras, em vez
de uma única e, em cada uma delas verificado a
porcentagem de mulheres loiras para, no final,
obter uma média dos resultados das n amos-
tras, certamente nos aproximaríamos mais do
porcentual real de loiras na cidade. Supondo
que após a realização de todo esse processo
tenhamos chegado à conclusão de que 19,8%
das mulheres da cidade são loiras, poderemos,
nessa condição, afirmar, ainda com certa mar-
gem de erro, que a probabilidade de sortearmos
uma mulher qualquer da cidade e ela ser loira
é igual a 19,8%. O número que expressa a pro-
babilidade, nesse caso, não foi obtido de uma
definição teórica, mas, sim, da realização de
um experimento estatístico.
Quando lançamos um dado e afirmamos
que a probabilidade de ocorrer face “4” é igual
a 16
, isso não significa que sempre ocorrerá um
“4” a cada 6 lançamentos. Especulamos, to-
davia, que se aumentarmos indefinidamente
o número de lançamentos desse dado e, ao fi-
nal, computarmos o número de vezes em que
ocorreu face “4”, esse número será muito pró-
ximo da sexta parte do número total. A afir-
mação inicial da probabilidade igual a 16
para
a face “4” é referendada pela definição teórica,
enquanto o resultado final do experimento
imaginado é validado pela prática, pela experi-
mentação; em resumo, pela Estatística.
Propomos, nesta Situação de Aprendiza-gem, que as duas noções sobre probabilidade, teórica e experimental, sejam aproximadas por intermédio do estudo de alguns elementos de Estatística, notadamente, o desvio padrão e a curva normal. Acreditamos que tal apro-ximação permitirá que os estudantes com-preendam, com clareza, uma série de dados divulgados diariamente pela mídia, referentes a resultados de pesquisas estatísticas, como
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 3 A CURVA NORMAl E O DESVIO PADRãO:
PROBABIlIDADE E ESTATíSTICA
25
Matemática – 3a série – Volume 4
índices de audiência das redes de TV, porcen-tual de intenção de voto, ou distribuição da população em faixas de renda.
Salientamos, todavia, quanto ao tema que ora
propomos, que o professor deve sentir-se à von-
tade para encaminhar as discussões de maneira
a complementar seu planejamento pedagógico
sem interrompê-lo ou substituí-lo. A procura da
exata medida da abordagem conceitual, ou, em
outras palavras, da escala apropriada, é tarefa
sua, que conhece as necessidades e as dificulda-
des de suas turmas de alunos.
tempo previsto: 3 semanas.
Conteúdos e temas: gráfico de frequências e histogramas; curva normal; desvio padrão; pro-babilidades associadas às faixas da curva normal.
Competências e habilidades: interpretar o resultado de uma probabilidade obtido a par-tir de experimento estatístico; relacionar os valores da média aritmética e do desvio pa-drão de uma distribuição de dados, com o objetivo de quantificar e interpretar a dispersão da variável analisada; avaliar a validade de resultados estatísticos confrontando-os com valores padrões relacionados à curva normal.
Estratégias: análise de distribuições de dados registradas em tabelas e gráficos; resolução de exercícios exemplares.
Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3
Esta Situação de Aprendizagem é composta
por quatro etapas, cada uma com uma série
de exercícios exemplares. São elas:
introdução à leitura e interpretação da f
curva normal;
desvio padrão de uma distribuição de f
dados;
tratando dados e construindo o gráfico de f
frequências de uma variável normal;
probabilidades e curva normal. f
introdução à leitura e interpretação da curva normal
Para apresentar a curva normal aos alu-nos, sugerimos, ao professor, que utilize um exemplo do cotidiano, como a distribuição das alturas de um grupo de homens ou do núme-ro de horas diá rias de sono. Obter dados dos próprios alunos acerca dessas variáveis é, além de perfeitamente possível, uma boa maneira de motivá-los para o estudo. O gráfico seguinte, explorado nesta Situação de Aprendizagem, foi construído por um aluno a partir da altura da população feminina da escola, de 307 meni-nas. Nessa tarefa foram utilizados os dados dos exames biométricos dos alunos, normalmente realizados pelo professor de Educação Física, um computador e uma planilha eletrônica.
26
Retomaremos a discussão sobre a possibili-
dade de realização dessa atividade mais adiante.
Um dos bons exemplos que podemos utilizar
para apresentar a curva normal a nossos alunos
consiste na análise da variável “pressão sanguínea”
de uma população. Trata-se de variável bastan-
te conhecida e sobre a qual podemos facilmente
conseguir informações com médicos ou com pes-
quisas orientadas em sites ou enciclopédias.
Apresentamos a seguir um gráfico da varia-
ção da pressão sanguínea em um grupo de 900
pessoas, com alguns comentários de orientação
sobre a curva normal. Sugerimos ao professor
que converse com seus alunos sobre o tema e
apresente a eles a proposta de trabalho descrita
ao final, composta por cinco atividades.
Considerando, ao acaso, 900 pessoas de uma cidade qualquer para, em seguida, medir a pressão
arterial de cada uma delas e desenhar um gráfico com os resultados, obteríamos, sem dúvida, algo igual ou muito parecido ao gráfico seguinte.
50 1300
80
40
120
20
100
60
140
160
Fre
quên
cia
90 17070 150110 190 210Pressão sistólica (em mmHg)
A certeza que temos, nesse caso, deve-se
ao fato de que a variável “pressão arterial” é,
como tantas outras, uma variável normal 3.
A pressão arterial de praticamente 100% das
pessoas varia em uma faixa que vai 50 a 210
milímetros de mercúrio (mmHg) ou, como é
mais comum, de 5 a 21 cmHg. Mas, como ocor-
re com todas as variáveis normais, há poucas
pessoas com pressão sanguínea próxima dos
extremos, e muitas com valores próximos do
valor central, no caso, igual a 13 cmHg.
Observe, por meio dos pontilhados assinala-
dos no gráfico, que, dentre as 900 pessoas, cerca
de 80 têm pressão igual a 160 mmHg, enquanto
140 pessoas têm pressão 130 mmHg.
Com base nos dados representados nesse
gráfico, faça o que se pede:
3 À ação de bombear sangue dá-se o nome de sístole. A cada batimento cardíaco, o sangue corre pelas artérias e arteríolas à máxima pressão — pressão sistólica. Segue-se depois uma pausa muito breve, denominada diástole, que ocorre entre os batimentos cardíacos quando a pressão é mínima. Esse período recebe o nome de pressão diastólica.
Pressão arterial sistólica (PAS) é o maior valor verificado durante a aferição de pressão arterial. Exemplo: 120 x 80; onde 120 refere-se à pressão arterial sistólica e 80 refere-se à pressão arterial diastólica, ambas medidas em milímetros de mercúrio (mmHg). (Fontes: <http://www.jakobi.com.br> e <http://pt.wikipedia.org/wiki/Pressão_arterial_sistolica>.)
80
40
60
20
0
histograma de Frequências
[1,46; 1,50 [
[1,58; 1,62 [
[1,70; 1,74 [
[1,50; 1,54 [
[1,62; 1,66 [
[1,74; 1,78 [
[1,54; 1,58 [
[1,66; 1,70 [
[1,78; 1,82 [
27
Matemática – 3a série – Volume 4
Atividade 1
Complete a tabela com os valores aproxima-
dos do número de pessoas da população repre-
sentada no gráfico com cada valor de pressão.
Pressão (mmhg)
Frequência (no de pessoas)
50 5
60 5
70 5
80 10
90 20
100 50
110 90
120 140
130 140
140 140
150 100
160 75
170 50
180 40
190 15
200 10
210 5
220 0
Atividade 2
Com a ajuda de uma calculadora e com base
nos dados da tabela, determine, para a variável
pressão sanguínea dessa população, o valor da:
a) moda, isto é, o valor mais frequente da dis-
tribuição de dados;
A distribuição tem 3 modas: 120, 130 e
140 mmHg.
b) mediana, isto é, o valor central da distri-
buição ordenada dos dados;
A mediana corresponde ao valor médio de
pressão que estiver nas posições 450a e 451a
de uma escala ordenada de valores. Assim, a
mediana é igual a 130 mmHg.
c) média aritmética.
Média = (5 . 50 + 5 . 60 + 5 . 70 + 10 . 80 +
+ 20 . 90 + 50 . 100 + 90 . 110 + 140 . 120 +
+ 140 . 130 + 140 . 140 + 100 . 150 + 75 . 160 +
+ 50 . 170 + 40 . 180 + 15 . 190 + 10 . 200 +
+ 5 . 210) ÷ 900 135 mmHg
Atividade 3
localize no gráfico os valores obtidos para
moda, mediana e média aritmética e responda:
há muita ou pouca diferença entre esses valores?
Há pouca diferença, como se pode notar.
Atividade 4
Aproximadamente, qual porcentagem da
população analisada tem pressão sanguínea
maior ou igual a 130 mmHg?
50%
Atividade 5
Se for sorteada uma pessoa dessa popula-
ção, qual é a probabilidade, de acordo com os
dados da tabela, de ela possuir pressão san-
guínea menor ou igual a 100 mmHg?
P = 95900
= 0,105 = 10,5%
28
desvio padrão de uma distribuição de dados
Apresentamos na Situação de Aprendiza-
gem anterior o cálculo do desvio médio (DM)
como uma das medidas importantes para a
análise da dispersão de um conjunto de da-
dos. Esse desvio, como mostramos, pode ser
facilmente calculado quando conhecido o
valor médio da distribuição e também facil-
mente interpretado como relação direta entre
seu valor e a dispersão do conjunto de dados:
quanto maior o desvio médio, maior a disper-
são, e vice-versa.
O desvio padrão (DP), que discutiremos
nesta Situação de Aprendizagem, não é
simples de calcular, mesmo conhecendo-se
a média aritmética. Diferentemente do des-
vio médio (DM), é o desvio padrão e, ape-
nas ele, que permite atribuir um valor de
probabilidade a cada intervalo de valores
da distribuição.
A possibilidade de nossos alunos tomarem
contato com a interpretação estatística da pro-
babilidade, a partir da curva normal, justifica
apresentarmos a eles a ideia do desvio padrão,
mesmo que, como sugerimos, não venham a cal-
cular tal medida em mais do que um exemplo.
Com base nisso, propomos ao professor
que apresente a seus alunos alguns comentá-
rios sobre o desvio padrão e sobre sua rela-
ção, ainda superficial, com a curva normal,
para, em seguida, propor a resolução de al-
guns exercícios exemplares, conforme as indi-
cações seguintes.
A curva normal, também conhecida por
curva de Gauss, tem um formato que reflete,
visualmente, a distribuição de uma variável
analisada em uma população. A maior con-
centração de valores da variável analisada
próximos da média aritmética da população, e
também a igualdade teórica entre média arit-
mética, mediana e moda são os responsáveis
pela forma assumida pelo gráfico de frequên-
cias, quase igual a um sino, conforme pode-
mos perceber pela figura.
Média aritmética, mediana e moda.
y
x0
A concentração de valores em torno dos
valores médios, no entanto, pode ser maior ou
menor, como podemos perceber pelo gráfico
seguinte, desenhado com a mesma escala.
1
2
3
A observação dessas curvas nos mostra
que todas possuem valores médios iguais –
média aritmética, moda e mediana –, mas
possuem dispersões diferentes. A curva 1 é,
29
Matemática – 3a série – Volume 4
dentre essas, a que possui menor dispersão,
enquanto a curva 3 é a que apresenta maior
dispersão. Assim, é de se esperar que, se fo-
rem calculados os desvios padrão das distri-
buições que geraram essas curvas, o maior va-
lor de desvio, dentre todos, será o obtido para
a curva 3, e o menor, para a curva 1. Mas qual
é a relação entre o formato da curva normal e
o desvio padrão? Para compreender um pou-
co essa relação, precisamos aprender a calcular
o desvio padrão de um conjunto de dados.
Consideremos, por exemplo, os seguintes
valores de alguma variável que estejamos ana-
lisando, e vamos obter o desvio padrão desse
conjunto de dados.
{1, 4, 6, 7, 12}
O primeiro passo no cálculo do desvio
padrão é a obtenção da média aritmética do
conjunto de valores.
Média aritmética
1 + 4 + 6 + 7 + 125
= 305
= 6
Em seguida, calculamos a diferença entre
cada valor do conjunto e a média obtida.
diferenças: 1 – 6 = – 5
4 – 6 = –2
6 – 6 = 0
7 – 6 = 1
12 – 6 = 6
Elevamos cada diferença ao quadrado,
somamos todos os resultados e calculamos a
média aritmética entre eles:
Média da soma dos quadrados das diferenças
(–5)2 + (–2)2 + 02 + 12 + 62
5 = 66
5 7 13,2
Por fim, extraímos a raiz quadrada do valor
anteriormente obtido e, determinamos o des-
vio padrão (DP) desse conjunto de valores.
DP = ® ____
13,2 7 3,63
Podemos resumir os passos realizados na
seguinte expressão, em que a média é identi-
ficada por x e cada um dos n elementos do
conjunto de valores por xi:
DP = ® __________
Sn
i = 1(x– – xi)
2
_________ n
O cálculo do desvio padrão de um con-
junto de muitos valores é trabalhoso e exige
recorrer a uma calculadora científica, em que
a tecla que o calcula é, normalmente, apresen-
tada com o símbolo σ (sigma). A preocupa-
ção de calcular o desvio padrão é, no Ensino
Médio, secundária, embora sua interpretação
seja revestida de inúmeros significados estatís-
ticos importantes, principalmente no que diz
respeito às inferências que poderemos fazer
sobre as características de uma população.
Para iniciar o estudo da relação entre o desvio
padrão e a curva normal, sugerimos a resolu-
ção dos exercícios exemplares seguintes 4.
4 Caso os alunos se interessem, comente com eles a relação matemática entre o desvio padrão (σ) e a curva normal,
apresentando a equação da função que gera a curva normal: f(x) = 1 ______ w ®
___ 2p e
( ÄÄ x – x)2
_____ 2w2
30
Atividade 6
Para os valores do conjunto seguinte, de-
termine a média aritmética e o desvio padrão.
{4, 5, 6, 7, 8}
Média = 6; desvio padrão = ® __
2 ≅ 1,4.
Atividade 7
Comparando média aritmética e desvio
padrão dos conjuntos {1, 4, 6, 7, 12}, analisa-
do anteriormente, e {4, 5, 6, 7, 8}, da atividade
anterior, discuta as diferenças e semelhanças
desses resultados.
O menor valor do desvio para o conjunto
{4, 5, 6, 7, 8} serve para confirmar algo que,
visualmente, nesse caso, é possível perceber:
o conjunto {4, 5, 6, 7, 8} é menos disperso do
que o conjunto {1, 4, 6, 7, 12}.
Atividade 8
Considere duas amostras de 100 pessoas
cada, em que todas responderam à pergunta:
“Qual é seu número de horas diárias de sono?”.
Os dados obtidos com as respostas foram
organizados e, em seguida, calcularam-se a
média e o desvio padrão de cada amostra.
AmostraMédia (horas)
desvio padrão (horas)
A 6,5 1,2
b 6,9 0,8
Em qual das duas amostras, A ou b, os
valores das horas diárias de sono das pessoas
estão mais afastados da média? Por quê?
Os valores do conjunto A estão mais
afastados da média porque o desvio padrão
dos valores dessa amostra é maior do que o
valor do desvio padrão da amostra B.
Atividade 9
As massas dos alunos de uma escola de
Ensino Médio distribuem-se normalmente,
com média aritmética igual a 62,5 kg e desvio
padrão igual a 1,2 kg. Se no intervalo entre
62,5 kg e 62,5 + 1,2 = 63,7 kg encontramos
aproximadamente 34% dos alunos da escola,
qual é a porcentagem de alunos que, provavel-
mente, se encontram na faixa entre 62,5 kg e
62,5 – 1,2 = 61,3 kg? Por quê?
Como há 34% dos elementos entre a média
e um desvio padrão acima dela, devemos
esperar, se a distribuição é normal, que essa
mesma porcentagem de elementos se encontre
entre a média e um desvio padrão abaixo dela,
fato esse confirmado pela simetria da curva.
Atividade 10
Observe a curva normal desenhada para a
análise de uma determinada variável popula-
cional.
3
1
2
0
2,5
0,5
60 10080 12070 11090 130 140
1,5
%
31
Matemática – 3a série – Volume 4
Vamos desenhar sobre a curva um triân-
gulo isósceles que tenha, aproximadamente,
área de valor igual à da região compreendida
entre a curva e o eixo horizontal.
Vamos desenhar também um trapézio que
tenha altura igual ao valor estimado do desvio
padrão dessa distribuição de valores.
b) a medida da área do triângulo.
(80 . 2,5)÷ 2 = 100.
c) a medida da área do trapézio.
[(2,5 + 1,5) . 17]÷2 = 34.
Atividade 11
Em relação aos valores das áreas do triân-
gulo e do trapézio, determinados na atividade
anterior, avalie se seriam iguais ou diferentes
caso a distribuição, mantendo-se normal, apre-
sentasse um maior valor de desvio padrão, de
maneira que o gráfico fosse mais “achatado”,
semelhante a este:
3
1
2
0
2,5
0,5
60 10080 12070 11090 130 140
1,5
3
1
2
0
2,5
0,5
60 10080 12070 11090 130 140
1,5
Determine, de acordo com os valores re-
presentados nos eixos horizontal e vertical:
a) o valor aproximado do desvio padrão dessa
distribuição.
17.
Seriam iguais, pois aumentou o valor do desvio pa
drão, mas se manteve a proporção entre as áreas,
que, no caso, diminuíram proporcionalmente.
tratando dados e construindo o gráfico de frequências de uma variável normal
Comentamos anteriormente sobre o gráfico
de frequências da altura do grupo de meninas de
uma escola de Ensino Médio. A possibilidade
de recolher e tabelar dados similares em qual-
quer escola da rede parece perfeitamente viável
e, se realizada, permitirá contextualizar os cálcu-
los das medidas de posição e do desvio padrão
sobre a própria realidade dos estudantes.
%
%
3
1
2
0
2,5
0,5
60 10080 12070 11090 130 140
1,5
%
32
Na impossibilidade de recolher dados so-
bre a altura das meninas ou dos meninos do
Ensino Médio da escola, apresentamos, a se-
guir, uma tabela com medidas similares em
metro e já ordenadas, que poderão ser tra-
balhadas pelos alunos a fim de que possam
elaborar um pequeno relatório estatístico.
Nessa hipótese, será importante que possam
operar com uma planilha eletrônica, que lhes
permitirá centralizar o foco sobre a análise
dos resultados em detrimento dos exaustivos
cálculos que seriam exigidos no caso da im-
possibilidade do recurso informático.
1,46 1,57 1,60 1,63 1,66 1,691,48 1,57 1,60 1,63 1,66 1,691,48 1,57 1,60 1,63 1,66 1,701,50 1,58 1,60 1,63 1,66 1,701,50 1,58 1,61 1,63 1,66 1,701,51 1,58 1,61 1,63 1,66 1,701,51 1,58 1,61 1,64 1,66 1,701,51 1,58 1,61 1,64 1,66 1,701,51 1,58 1,61 1,64 1,66 1,701,52 1,58 1,61 1,64 1,66 1,711,52 1,58 1,61 1,64 1,66 1,711,52 1,58 1,61 1,64 1,66 1,711,53 1,58 1,61 1,64 1,66 1,711,53 1,58 1,61 1,64 1,66 1,711,53 1,58 1,61 1,64 1,67 1,711,53 1,58 1,61 1,64 1,67 1,721,53 1,58 1,61 1,64 1,67 1,721,53 1,58 1,61 1,64 1,67 1,721,53 1,58 1,61 1,64 1,67 1,721,54 1,58 1,61 1,64 1,67 1,721,54 1,58 1,61 1,64 1,67 1,721,54 1,58 1,61 1,64 1,67 1,731,54 1,58 1,61 1,64 1,67 1,731,54 1,58 1,61 1,64 1,67 1,731,54 1,58 1,61 1,64 1,67 1,731,54 1,58 1,62 1,64 1,67 1,731,54 1,59 1,62 1,64 1,67 1,73
1,54 1,59 1,62 1,64 1,67 1,741,55 1,59 1,62 1,64 1,67 1,741,55 1,59 1,62 1,64 1,67 1,741,55 1,59 1,62 1,65 1,68 1,761,55 1,59 1,62 1,65 1,68 1,761,55 1,59 1,62 1,65 1,68 1,771,55 1,59 1,62 1,65 1,68 1,781,55 1,59 1,62 1,65 1,68 1,781,55 1,59 1,62 1,65 1,68 1,781,55 1,59 1,62 1,65 1,68 1,801,55 1,59 1,62 1,65 1,681,55 1,59 1,62 1,65 1,681,55 1,59 1,62 1,65 1,681,56 1,60 1,63 1,65 1,681,56 1,60 1,63 1,65 1,681,56 1,60 1,63 1,65 1,681,56 1,60 1,63 1,65 1,681,56 1,60 1,63 1,65 1,681,56 1,60 1,63 1,65 1,691,56 1,60 1,63 1,65 1,691,56 1,60 1,63 1,65 1,691,56 1,60 1,63 1,65 1,691,57 1,60 1,63 1,66 1,691,57 1,60 1,63 1,66 1,691,57 1,60 1,63 1,66 1,691,57 1,60 1,63 1,66 1,691,57 1,60 1,63 1,66 1,69
De posse dos dados das tabelas fornecidas,
ou de uma tabela formada por dados recolhi-
dos por eles próprios, sugerimos que os alunos
sejam orientados a percorrer as seguintes eta-
pas de trabalho:
1. Distribuir os dados em intervalos de
classes de 4 cm de amplitude cada um,
isto é, o primeiro intervalo pode abranger
alturas de 1,46 m a 1,49 m; o segundo
intervalo pode abranger alturas de 1,50 m
33
Matemática – 3a série – Volume 4
a 1,53 m; o terceiro intervalo, as alturas de
1,54 m a 1,57 m; e assim por diante.
2. Construir uma tabela organizada con-
tendo as classes, as frequências, os por-
centuais de frequência, a frequência
acumulada e o porcentual de frequên-
cia acumulada.
3. Construir um histograma e um polígono de frequências.
4. Calcular a média aritmética, a mediana e
a moda.
5. Calcular o desvio padrão.
6. Avaliar a possibilidade de aproximar
a distribuição dos dados à distribuição normal. Como fazer isso? Calculando o
coeficiente de assimetria (C.A.) da curva,
da seguinte maneira:
C.A. = 3(x– – mediana)
______________ desvio padrão
Se o valor absoluto desse coeficiente for
menor que 1, a assimetria é moderada, e se
ele for maior que 1, a assimetria é forte.
7. Elaborar um pequeno relatório contendo
resultados calculados, gráficos e comen-
tários finais sobre a variável analisada.
Comentário sobre a atividade: caso opte
por utilizar os dados apresentados na tabela,
os resultados são os que apresentamos em se-
guida, recolhidos do trabalho realizado por
um grupo de alunos. Entretanto, salientamos
novamente que a utilização de dados reais,
recolhidos das turmas da escola, ampliará
bastante o interesse dos alunos pela atividade,
enriquecendo-a naturalmente, e permitindo
até mesmo que seja prolongada com a inclu-
são de cálculos associados a probabilidades,
conforme será discutido na próxima etapa
desta Situação de Aprendizagem.
Resultados obtidos, em metro
Média aritmética
(m)
Mediana (m)
Moda (m)
desvio padrão
(m)
1,63 1,63 1,64 0,06
Frequência porcentual: porcentual de alunas
nessa classe.
Frequência porcentual acumulada: porcentual de
alunas até essa classe.
Classes FrequênciaFrequência
(%)Frequência Acumulada
Frequência Acumulada
(%)
[1,46; 1,50[ 3 1,0% 3 1,0%
[1,50; 1,54[ 16 5,2% 19 6,2%
[1,54; 1,58[ 38 12,4% 57 18,6%
[1,58; 1,62[ 76 24,8% 133 43,3%
[1,62; 1,66[ 78 25,4% 211 68,7%
[1,66; 1,70[ 61 19,9% 272 88,6%
[1,70; 1,74[ 25 8,1% 297 96,7%
[1,74; 1,78[ 6 2,0% 303 98,7%
[1,78; 1,82[ 4 1,3% 307 100,0%
total 307 100,0% 307 100,0%
População Feminina
Frequência: alunas nesse intervalo de altura.
Frequência acumulada: alunas nessa classe e nas
anteriores.
34
Se for possível calcular, com base no gráfi-co, o porcentual que a faixa assinalada repre-senta de toda a área sob a curva, e ainda se a amostra de meninas da escola puder ser extra-polada para toda a população feminina estu-dantil de faixa etária semelhante, poderemos afirmar que esse porcentual será a probabilidade de encontrarmos uma menina com altura entre 1,63 m e 1,69 m em meio a todas as estu-dantes. É essa a ideia que abordaremos nesta Situação de Aprendizagem e para a qual con-vidamos você, professor, a nos acompanhar: calcular probabilidades a partir de porções de áreas sob a curva normal. Para que isso possa ser feito com qualidade, precisamos analisar e informar nossos alunos sobre a relação entre a curva e o desvio padrão.
Em uma curva normal, seja ela representati-va de uma população mais dispersa ou de uma população menos dispersa, isto é, seja a curva mais “achatada” ou mais “alongada para cima”, haverá sempre entre a média da população e um desvio padrão acima o mesmo porcentual da curva, igual, aproximadamente, a 34%.
x x + σ
Aqui: aproximadamente 34% de toda a área com-preendida entre a curva e
o eixo horizontal
Probabilidades e curva normal
A área compreendida entre a curva normal
e o eixo horizontal pode ser associada à tota-
lidade de elementos da população analisada,
enquanto determinada porção dessa mesma
área pode ser associada a uma parte da po-
pulação, isto é, à quantidade de elementos da
população possuidores de determinada carac-
terística. No caso, por exemplo, da atividade
em que se analisou a altura de um grupo de
meninas, uma porção da área sob a curva
representa a quantidade de meninas com a
altura situada em certo intervalo. Na figura
seguinte, representativa da situação, está assi-
nalada, por exemplo, a região sob a curva que
corresponde à faixa da população com altura
entre a média de 1,63 m e 1,69 m.
gráfico de frequências acumuladas
400
200
300
0
100
1,69 mx = 1,63 m
80
40
60
20
0
histograma de Frequências
[1,46; 1,50 [
[1,58; 1,62 [
[1,70; 1,74 [
[1,50; 1,54 [
[1,62; 1,66 [
[1,74; 1,78 [
[1,54; 1,58 [
[1,66; 1,70 [
[1,78; 1,82 [
35
Matemática – 3a série – Volume 4
Se na faixa entre a média e um desvio padrão
acima da média há aproximadamente 34% de
toda a área, podemos inferir, em razão da sime-
tria da curva, que entre um desvio padrão abaixo
da média e um desvio padrão acima da média há
cerca de 68% de toda a área. Da mesma forma,
nos demais intervalos de desvios acima ou abaixo
da média, podemos esperar porcentuais constan-
tes, conforme representado na figura seguinte, em
que esses porcentuais aparecem registrados com
maior precisão numérica.
68% da população entre 1,57 m e 1,69 m f
(ou entre um desvio padrão abaixo da
média e um desvio padrão acima da mé-
dia);
95% da população entre 1,51 m e 1,75 m (ou f
entre dois desvios padrão abaixo da média e
dois desvios padrão acima da média).
Aceitando os valores estabelecidos para
porcentuais sob a curva normal, correspon-
dentes a passos iguais a 1 desvio padrão, con-
forme representado na figura anterior, cabe
agora especular sobre porcentuais referentes
a faixas de frações de desvios padrão, como
o porcentual da curva referente à faixa com-
preendida entre a média e 0,4 de desvio pa-
drão acima dela. A justificativa matemática
para a determinação dessas faixas está fora
do alcance da Matemática estudada no En-
sino Médio. Entretanto, podemos, e até de-
vemos, determinar porcentuais desse tipo a
partir do cálculo proporcional e da consulta
a uma tabela de valores, previamente obtida e
disponível em todo livro de estatística básica.
Vamos utilizar uma dessas tabelas para obter,
por exemplo, o porcentual de elementos de
uma população que está compreendido en-
tre a média e 0,54 de desvio padrão acima da
média. Para isso, basta cruzar a linha 0,5
da tabela com a coluna 0,04. Isso feito, encon-
traremos o valor 0,2054, referente a 20,54%
da área total sob a curva (ver ilustração na
tabela seguinte). Dessa forma, podemos afir-
mar que a probabilidade de encontrarmos um
elemento da população entre a média aritmé
tica e 0,54 de desvio padrão acima da média é
igual a 20,54%.
Retomando o exemplo discutido anterior-
mente acerca da média da população feminina,
em que a média aritmética é igual a 1,63 m e o
desvio padrão é igual a 0,06 m, podemos espe-
rar que em qualquer população feminina com
características semelhantes às da pesquisada,
venhamos a encontrar, aproximadamente:
34% da população entre 1,63 m e 1,69 m f
(ou entre a média e um desvio padrão aci-
ma da média);
± 3 desvios padrão
99,73%
± 2dp
95,45%
± 1dp
68,27%
distribuição normal
36
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753
0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141
0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.01331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517
0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879
0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2010 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549
0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852
0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133
0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389
1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621
1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830
1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015
1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177
1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319
1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441
1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545
1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633
1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706
1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767
2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817
2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857
2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890
2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916
2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936
2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952
2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964
2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974
2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981
2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986
3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990
37
Matemática – 3a série – Volume 4
No caso da população feminina, em que a
média aritmética é igual a 1,63 m e o desvio
padrão é igual a 0,06 m, vamos obter a proba-
bilidade de sortearmos, de qualquer popula-
ção semelhante, uma menina com altura entre
1,63 m e 1,71 m.
média
0,08 m
1,63 m 1,71 m
A primeira providência é verificar que a
faixa solicitada compreende 0,08 m e que está
entre a média e uma fração de desvio padrão
acima da média. A segunda providência é
determinar qual é essa fração e, para tanto,
podemos recorrer ao cálculo proporcional,
buscando resposta à questão:
Se um desvio padrão, nesse caso, é igual a
0,06 m, quanto de desvio padrão é 0,08 m?
O resultado buscado é o da divisão entre
0,08 e 0,06, isto é, entre a diferença da média
para um valor acima dela e o desvio padrão5:
| Ä x – x |
______ σ = 0,08
_____
0,06 ≅ 1,33
Dessa maneira, a faixa procurada corres-
ponde a 1,33 de desvio padrão. Consultando
a tabela anterior, obteremos o valor 0,4082, ali
assinalado. Portanto, a probabilidade procu-
rada é igual a 40,82%.
Convém considerar mais um exemplo. No
caso de uma população feminina, em que a
média de altura é igual a 1,63 m e o desvio padrão
calculado é igual a 0,08 m, vamos determinar a
probabilidade de que uma menina sorteada ao
acaso tenha altura entre 1,60 m e 1,70 m.
1,60 m 1,63 m 1,70 m
média
0,07 m0,03 m
Como o eixo de simetria da curva normal é
uma reta vertical passando pela média aritmé-
tica dos valores, as faixas que nos fornecem os
porcentuais, com o uso da tabela, sempre são
calculadas a partir da média, acima ou abai-
xo dela. Sendo assim, precisamos, nesse caso,
separar o problema em duas partes: uma para
os valores acima da média e outra para os va-
lores abaixo dela.
de 1,63 m a 1,70 m: f
1,70 – 1,63 = 0,07 m
0,07 ÷ 0,08 = 0,875 (a faixa em questão
compreende 0,875 de desvio padrão)
Consultando a tabela para 0,87, obtemos
0,3078, ou 30,78%.
de 1,60 m a 1,63 m f
1,63 – 1,60 = 0,03 m
0,03 ÷ 0,08 = 0,375 (a faixa em questão
compreende 0,375 de desvio padrão)
Consultando a tabela para 0,37, obtemos
0,1443, ou 14,43%.
5 Se observarmos a equação da função que representa o gráfico da curva normal, citada em nota anterior, perceberemos que a divisão em questão faz parte do expoente da equação.
38
A probabilidade procurada corresponde à
soma entre as porcentagens referentes às duas
faixas obtidas a partir da média. Assim, a pro-
babilidade de que seja sorteada uma menina
com altura entre 1,60 m e 1,70 m é:
P = 30,78 + 14,43 = 45,21%
Enfatizamos novamente o fato de que não
é necessário os alunos calcularem o valor do
desvio padrão a partir da fórmula anterior-
mente apresentada, a não ser que o professor
opte por realizar o trabalho estatístico com base
nas medidas da altura dos alunos e com o uso
da ferramenta informática, conforme sugerido
anteriormente. No caso geral, desde que os alu-
nos compreendam o significado do desvio pa-
drão e sua relação com a curva normal, basta
fornecer a eles, em cada situação-problema, o
valor da média e do desvio para que, com o uso
da tabela, determinem algumas probabilidades.
Será importante considerar com os alunos
que a probabilidade obtida com base no des-
vio e na curva normal, como sugerido nesta
Situação de Aprendizagem, é sempre um va-
lor com certa margem de erro, visto que foi
obtido a partir de resultados estatísticos. Mais
adiante, em nova Situação de Aprendizagem,
o professor poderá introduzir o conceito de
intervalo de confiança e avaliar, inclusive, os
valores das margens de erro em cada caso.
Após a apresentação de mais alguns casos
resolvidos utilizando para isso o exemplo da dis-
tribuição da altura feminina, os alunos poderão
ser solicitados a resolver os exercícios exemplares
que se seguem. Como enfatizado anteriormente,
esses exercícios podem servir de referência para
o seu trabalho e de forma alguma esgotam todas
as possibilidades de aplicação do conceito.
Atividade 12
A média de idades da população da ci-
dade 1 é igual à média de idades da popula-
ção da cidade 2. No entanto, o desvio padrão
das idades da cidade 1 é o dobro do valor do
desvio padrão das idades da cidade 2.
a) Qual é a porcentagem de pessoas da ci-dade 1 que têm idades no intervalo com-preendido entre a média e dois desvios padrão acima da média?
Cerca de 47,72%.
b) Qual é a porcentagem de pessoas da ci-dade 2 que têm idades no intervalo com-preendido entre a média e dois desvios padrão abaixo da média?
Cerca de 47,72%.
c) Supondo-se a média de 39 anos, em qual
das duas cidades é mais provável sortear
uma pessoa com idade entre 39 e 42 anos?
Justifique.
Na cidade 2, pois o menor valor de desvio pa
drão nos informa que a concentração de valo
res próximos à média é maior nesta cidade.
Atividade 13
A média da altura das pessoas de uma comu-
nidade é 162,8 cm e o desvio padrão é 9,0 cm.
Supondo uma distribuição normal, calcule a por-
centagem de pessoas desse po voado com altura:
a) entre 162,8 cm e 171,8 cm.
Entre 162,8 e 171,8 existe uma diferença
igual a 1 desvio padrão, isto é, igual a 9 cm.
39
Matemática – 3a série – Volume 4
Assim, devemos esperar que cerca de 34%
das pessoas do povoado estejam compreen
didas nessa faixa.
b) menor que 162,8 cm.
Abaixo da média, que coincide com a me
diana em uma distribuição normal, podemos
esperar a existência de 50% da população.
c) maior que 171,8 cm.
Se entre a média e 171,8 cm encontramse
34% das pessoas, conforme calculado no
item a, podemos esperar que acima de
171,8 cm encontremse 16% das pessoas,
correspondendo à diferença entre 50% e 34%.
d) entre 154 cm e 162,8 cm.
Entre 154 e 162,8 há uma diferença de
8,8 cm. A quantos desvios padrão correspon
de esse valor? Se 1 desvio é igual a 9 cm,
8,8 cm correspondem a 0,98 desvio padrão,
resultado da divisão entre 8,8 e 9. A tabela
nos informa que 0,98 desvio padrão corres
ponde a 33,65% da população.
Atividade 14
A altura média das pessoas que se candi-
dataram à vaga de vigilante em uma empre-
sa é igual a 1,71 m com um desvio padrão de
16 cm. Se for estipulado um critério de que
serão aceitos somente candidatos com altura
superior a 1,65 m, qual é a porcentagem de
candidatos não aceitos?
1,71 – 1,65 = 0,06 m. Se um desvio padrão
corresponde a 16 cm, 6 cm correspondem a
0,37 desvio padrão (6÷16 = 0,37). Assim,
de acordo com a tabela, a porcentagem de
pessoas na faixa entre 1,65 m e 1,71 m é
igual a 14,43%. Como é procurada a por
centagem de pessoas com altura superior a
1,65 m, devemos adicionar: 50% + 14,43% =
= 64,43%.
Atividade 15
Uma equipe de biólogos pesquisou durante
2 anos uma população de tartarugas marinhas.
Entre outros dados, eles verificaram que a mé-
dia de massa das fêmeas é de 4,5 kg, com desvio
padrão de 0,5 kg, e que a média de massa dos
machos é de 5,0 kg, com desvio padrão de
0,8 kg. Durante um mergulho de observação,
um pesquisador deparou-se com uma tartaru-
ga. Qual é a probabilidade de que a tartaruga
em questão tenha massa entre 4,0 e 5,0 kg su-
pondo se tratar de:
a) uma fêmea.
Como a média, nesse caso, é igual a 4,5, e a
faixa pretendida é de 4 a 5, podemos calcular
apenas a faixa compreendida entre 4 e 4,5 e
dobrar o porcentual obtido.
4,5 – 4 = 0,5 = 1 desvio padrão
Portanto, a faixa entre 4,5 e 5 compreende
2 . 34% = 68%.
b) um macho.
A média de massa dos machos é igual a 5,0 kg, e estamos procurando determinar o porcentual compreendido entre 4,0 e 5,0 kg. Assim,
5 – 4 = 1 → 10,8 = 1,25 desvio padrão
A tabela nos informa que a 1,25 desvio abaixo da média corresponde ao porcentual
de 39,44%.
40
Atividade 16
O controle de qualidade de uma indústria de alimentos seleciona amostras da produção a fim de avaliar se os produtos estão com a massa esperada. Em uma dessas amostras foi verificado que a média de massa do produto era igual a 998,8 g e o desvio padrão igual a 16 g. A massa oficial, registrada na embala-gem do produto é de 1 kg, e a legislação não permite que uma embalagem vá para o mer-cado com 3% a menos do que a massa oficial. Supondo que a amostra analisada seja repre-sentativa de toda a produção, qual é a chance de uma consumidora pegar uma unidade do tal produto em um supermercado com massa abaixo do limite legal?
Devemos determinar o porcentual de emba lagens com massa abaixo de 970 g. Calculamos, primeiramente, o porcentual de embalagens entre 997 g e o valor médio de 998,8 g.
998,8 – 970 = 28,8 g → 28,816
= = 1,8 desvio padrão.
A tabela nos informa que na faixa compreendida entre a média e 1,8 desvio padrão abaixo dela encontramos 46,41% dos elementos. Assim, na faixa abaixo de 1,8 desvio padrão
encontramos 50% – 46,41% = 3,59%. Portanto, é de 3,59% a probabilidade procurada.
Considerações sobre a avaliação
A Situação de Aprendizagem 3 constitui a essência de todo o trabalho proposto para o desenvolvimento de conceitos de Estatística no 4o bimestre da 3a série do Ensino Médio, uma vez que a análise das características da curva nor-mal exige, além da aplicação dos conceitos em situações do cotidiano, a mobilização constante da competência leitora e escritora, um dos pila-res de sustentação do edifício do conhecimento de modo geral, e da competência matemática em particular. Por isso, julgamos importante que os alunos cumpram todas as etapas que a compõem, passo a passo, compreendendo-as e executando-as com o devido cuidado.
O processo de avaliação, assim como nas si-
tuações anteriores, deve contemplar estratégias
diferenciadas, incluindo-se aí a criação de pro-
blemas pelos próprios alunos que, nesse caso,
em razão da natureza do conhecimento envolvi-
do, permite inúmeras aplicações muito próximas
da realidade do estudante de Ensino Médio.
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 4 AMOSTRAS ESTATíSTICAS: TIPOS, CONFIABIlIDADE E
MARGEM DE SEGURANçA DOS RESUlTADOS
O procedimento estatístico mais comum é aquele em que uma parte da população é analisada, segundo determinados critérios, e os resultados obtidos para essa parte são extrapolados para toda a população. Um dos casos mais conhecidos, nesse sentido, é o das pesquisas de intenção de voto, realizadas
anteriormente às eleições. Em uma dessas pes-quisas, o instituto contratado para realizá-la sai às ruas e pergunta às pessoas: “Qual é o candidato de sua preferência para as próximas eleições?”. As respostas obtidas são classifica-das, e os resultados são divulgados sob a forma de porcentuais: “O candidato X deverá receber
41
Matemática – 3a série – Volume 4
tantos por cento dos votos, dentro de uma margem de segurança de tantos por cento”.
A realização de uma pesquisa eleitoral é precedida por um estudo detalhado da parte da população, que será objeto da pesquisa. Uma má escolha, nesse caso, pode conduzir a resultados estatísticos que não se confir-mam após a apuração dos votos. Essa parte escolhida da população, de onde os índices porcentuais serão obtidos para depois serem extrapolados, é a amostra de pesquisa.
Nesta Situação de Aprendizagem, comenta-remos, inicialmente, as características dos prin-cipais sistemas de amostragem. Em seguida, admitindo que o conhecimento dos alunos sobre esses sistemas tenha sido construído, tentaremos responder a uma questão que sempre aparece du-rante a apresentação de resultados de pesquisas eleitorais: como é que uma amostra de pouco mais de 2 000 pessoas consegue representar a opinião de todo o eleitorado de um país?
Para complementar o estudo dos conceitos
do bloco do Tratamento da Informação, pon-
tuado várias vezes durante os planejamentos
pedagógicos, tanto no Ensino Fundamental,
quanto no Médio, julgamos apropriado que os
alunos tomem contato com a ideia de que
as probabilidades associadas a faixas da curva
normal, estudadas na Situação de Aprendi-
zagem anterior, permitem que sejam estabeleci-
dos limites para a confiabilidade dos resultados
obtidos a partir de uma amostra estatística.
Em outras palavras, sugerimos que os alunos
tomem contato com o conceito de intervalo de confiança, conforme comentaremos adiante.
Repetimos que as atividades que compõem
esta e também as demais Situações de Apren-
dizagem são sugestões de trabalho que visam
ao enriquecimento do tratamento conceitual,
e são norteadas, normalmente, por manei-
ras não tradicionais de abordagem dos con-
teúdos, e, frequentemente, por propostas de
ampliação dos significados conceituais. No
entanto, como ocorre com todas as sugestões,
em qualquer nível, as propostas aqui apresen-
tadas devem passar pelo crivo e pela aceitação
daquele que, porventura, venha a utilizá-las,
isto é, você, professor. Caberá ao professor,
portanto, conhecer todas as características de
sua escola e de suas turmas, escolher a escala
apropriada para o desenvolvimento de algu-
mas ou de todas as situações apresentadas, se
assim o desejar, de maneira a complementar e
aprofundar seu planejamento de trabalho.
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: sistemas de amostragem; probabilidades associadas a faixas da curva nor-mal; intervalos de confiança.
Competências e habilidades: selecionar sistema de amostragem adequado aos objetivos defini-dos por uma pesquisa estatística; avaliar a validade de resultados estatísticos confrontando-os com valores-padrão relacionados à curva normal; compreender alguns dos critérios adotados para a execução de pesquisas eleitorais.
Estratégias: análise de textos e de situações-problema exemplares.
42
Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4
Esta Situação de Aprendizagem é compos-
ta por três etapas, cada uma delas com uma
sequência de exercícios exemplares. São elas:
tipos de amostras; f
intervalos de confiança; f
pesquisa eleitoral: o tamanho da amostra. f
tipos de amostras
Para se obter um bom retrato das caracte-
rísticas de uma população, não precisamos es-
tudar cada um de seus elementos. Selecionando
uma amostra representativa da população, os
resultados obtidos pela análise dos poucos ele-
mentos que compõem a amostra nos permitem
especular, com boa margem de segurança, so-
bre as características de toda a população.
Há mais de um tipo de método de amostra-
gem, e a escolha por um ou outro é determina-
da pelo tipo e pela qualidade da variável que
se pretende analisar.
Se o desejado for, por exemplo, avaliar a
aceitação do novo perfume de um tipo de deso-
dorante, será importante perguntar sobre isso
para quem já sentiu esse odor, isto é, perguntar
a quem já usou o desodorante em questão;
quem não usou, evidentemente, não poderá
opinar sobre isso. Por outro lado, em outro
exemplo, a obtenção de dados socioeconômi-
cos, como renda familiar, capacidade de con-
sumo ou preferências partidárias, é realizada
sobre amostras nas quais todos os cidadãos
têm a mesma chance de participar.
Há uma história bastante conhecida so-
bre um grave erro de escolha de amostragem
de pesquisa, ocorrido na eleição americana de
1948, e que o professor poderá relatar a seus
alunos, ou pedir que pesquisem sobre o assun-
to. A eleição daquele ano foi disputada
por dois candidatos, um deles republicano,
Dewey, e o outro democrata, Truman. A pes-
quisa de intenção de voto apontava vitória
de Dewey sobre Truman por boa margem de
votos, mas o que ocorreu foi exatamente o
contrário: Truman venceu, e venceu sobran-
do votos. Qual foi o erro da amostragem?
O erro grosseiro cometido pelo instituto
de pesquisa na eleição americana de 1948 foi
ter escolhido a amostra com base no catá-
logo de telefones da época. De acordo com
o processo adotado, um número de telefo-
ne de uma residência era sorteado da lista,
alguém ligava para a residência e pergunta-
va: “em quem o sr.(a) vai votar: Truman ou
Dewey?” As respostas obtidas e classifica-
das indicaram a vitória de Dewey que, sem
dúvida, seria o presidente americano caso
comparecessem às urnas apenas as pessoas
que tinham telefones em sua casa em 1948.
E quem não tinha telefone, que naquela épo-
ca era privilégio de poucos? Esses preferiram
Truman, que ganhou as eleições e governou
os Estados Unidos por dois mandatos.
Ao receber a notícia de sua vitória, Truman
tomou em suas mãos o jornal preparado
para ir às ruas no final da eleição e, sorrin-
do ironicamente, se deixou fotografar por
toda a imprensa. Nesse jornal, era possível ler
a manchete: “Dewey derrota Truman”.
43
Matemática – 3a série – Volume 4
Quais são, enfim, os principais processos de
amostragens? Sugerimos que o professor apre-
sente a seus alunos pelo menos os processos a
seguir:
Amostra casual simples
Nesse tipo de amostragem, todos os ele-
mentos da população têm chances iguais de
serem escolhidos.
Para proceder à escolha da amostra, pode-
mos numerar todos os n elementos, de 1 a n,
e sortear alguns deles, de acordo com a con-
fiabilidade desejada para a pesquisa. Esse pro-
cesso se aplica melhor a pesquisas realizadas
sobre populações de pequeno porte, como
os alunos de uma escola ou as donas de casa
que, em algum momento do dia, estão fazen-
do compras em determinado supermercado.
Para grandes populações, como os habitantes
de uma cidade, por exemplo, amostras casuais
exigiriam a escolha de muitos elementos para
ter boa confiabilidade, tornando o processo
muito dispendioso.
Amostra sistemática
Se a variável a ser pesquisada organiza a po-
pulação de alguma forma, então, uma amos-
tra sistemática é a melhor escolha possível.
Para pesquisar, por exemplo, o índice de satis-
fação dos moradores de uma rua com o servi-
ço de remoção de lixo, um pesquisador pode
percorrer uma rua e, a cada cinco casas, por
exemplo, tocar a campainha e questionar o
morador sobre a variável, objeto de sua pes-
quisa. Amostras sistemáticas são uma esco-
lha comum quando a pesquisa é realizada
com base em catálogos telefônicos ou sobre
cadastros de consumidores, como consumi-
dores de energia elétrica ou possuidores de
cartão de crédito.
Amostra acidental
Nesse tipo de amostragem, o pesquisa-
dor seleciona diretamente o tipo de elemento
que possui as características determinadas
pelo objeto de pesquisa. Quem já comprou
um carro 0 Km sabe que algum tempo depois
receberá em sua casa um formulário com
algumas questões para responder sobre sua
satisfação com o veículo comprado. Parece
lógico que os consumidores do veículo mo-
delo A respondam ao questionário referente
a esse modelo, e não ao que se refere ao mo-
delo b. Da mesma forma, não é esperado que
o pesquisador vá à porta do clube de futebol
X perguntar aos que lá entram sobre a qua-
lidade dos jogadores do time Y. Para avaliar
a preferência por determinada cor de batom
para os lábios, é mais provável que um pes-
quisador selecione sua amostra dentre mu-
lheres, pois elas são as que mais consomem
esse tipo de produto.
Uma amostra acidental não elimina a pos-
sibilidade de outros tipos de amostragem. As
mulheres podem ser selecionadas para opi-
nar sobre a cor do batom, mas, dentre elas, o
sorteio pode ser realizado, por exemplo, com
base em uma amostragem casual simples, ou
mesmo com base em uma amostra sistemáti-
ca. Os objetivos da pesquisa definirão, como
sempre, as características da amostragem a
ser realizada.
44
Amostra estratificada
Para pesquisar, por exemplo, os gastos fa-
miliares com alimentação, é comum imaginar
a população dividida em classes correspon-
dentes às faixas de renda. Afinal, em relação
à renda total de cada família, o porcentual
de gastos com alimentação em uma família de
baixa renda é, provavelmente, muito maior do
que o mesmo porcentual em família da classe
A. Desse modo, para se ter confiabilidade nos
resultados, convém estratificar a população e
a amostra de pesquisa, isto é, dividir os ele-
mentos da amostra em grupos com base em
algum critério.
Vale ressaltar, entretanto, que uma amos-
tra estratificada permite que, em cada estrato,
os elementos pesquisados possam ser escolhi-
dos casualmente, sistematicamente ou com
base em algum outro critério preestabelecido.
Dessa forma, como em outros casos, podemos
prever interseções entre os sistemas de amos-
tragem aqui descritos.
Aspecto importante: proporcionalidade
Suponhamos o caso inusitado de um pes-
quisador que adentre no estádio de futebol
durante uma partida entre duas equipes, A e b,
a fim de caracterizar a opinião dos torcedores
sobre a atuação do árbitro da partida. Se os
torcedores da equipe A constituem 80% do to-
tal presente, enquanto apenas os 20% restantes
são torcedores de b, é correto o pesquisador
dividir a amostra em duas partes iguais, meta-
de formada por torcedores de A e a outra
metade formada por torcedores de b? Res-
posta: Não! O correto será dividir a amostra
proporcionalmente ao número de torcedores
de cada equipe. Assim, se serão realizadas 40
pesquisas, que 32 sejam respondidas por torce-
dores de A, e o restante, por torcedores de b.
O tipo de amostragem que não considera
a proporcionalidade costuma acarretar erros
que, em muitos casos, são de fato programados
e intencionais. A propaganda de determinada
faculdade, veiculada pela TV, anunciava que
era ela a responsável pela maior quantidade de
aprovados no exame da Ordem dos Advogados
do Brasil (OAB). Mesmo não sendo mentira,
a afirmativa escondia um importante dado: a
tal universidade era recordista na quantidade
de inscritos para o exame da Ordem e, portanto,
é de se esperar que, quanto maior o número de
inscrições, maior também é o número de prová-
veis aprovados. O dado bruto, sobre o número
de candidatos aprovados, deveria, para uma
correta e honesta conclusão, ser substituído
pelo dado proporcional, isto é, pela compara-
ção entre o número de inscritos e o número de
aprovados. Se isso fosse feito, talvez o mote da
propaganda exibida tivesse de ser alterado.
Em seguida à apresentação dos processos
de amostragem descritos, solicite a seus alu-
nos que resolvam alguns exercícios exempla-
res, do tipo que apresentaremos a seguir. Sobre
esta série de exercícios gostaríamos de salien-
tar, especialmente, dois aspectos. O primeiro
refere-se ao fato de que a elaboração de pes-
quisas estatísticas não possui a exatidão que
normalmente se espera de um procedimento
matemático. Desse modo, é frequente que uma
pesquisa com determinado objetivo possa ser
realizada com base neste ou naquele sistema
45
Matemática – 3a série – Volume 4
de amostragem, ficando a análise posterior dos
resultados condicionada à escolha adotada. Por-
tanto, a solução por nós apresentada para cada
atividade pode, e deve, passar por considerações
do professor e de seus alunos sobre sua validade
no caso de alteração de algumas das condições
imaginadas como objetivos da pesquisa.
O segundo aspecto que salientamos acerca
da série de atividades que apresentamos a se-
guir repete argumentação realizada em outras
séries acerca do fato de que pode ser neces-
sário ampliar ou reduzir a lista apresentada,
de acordo com a sua avaliação, adaptando-a
às condições de cada turma, a fim de comple-
mentar os trabalhos em sala de aula.
Atividade 1
A propaganda de uma marca de veículos
anunciou que 90% dos compradores do tal
modelo estavam plenamente satisfeitos com
a compra. Qual é o tipo de amostragem que,
provavelmente, foi realizada pela indústria fa-
bricante do veículo para que fosse obtido o
índice de satisfação que divulgam?
Acidental.
Atividade 2
Em um programa social da prefeitura de
determinada cidade, um show foi promovido
em um estádio. Ao entrar no estádio, cada
pessoa doava 1 quilo de alimento não pere-
cível e recebia um tíquete numerado para
concorrer ao sorteio de cinco motos no final
do evento. Qual é o tipo de amostragem que
está implícito nesse processo?
Casual simples.
Atividade 3
Uma indústria de café solúvel realiza um
processo estatístico para o controle de quali-
dade da produção diária de latas. Se são pro-
duzidas 12 000 latas por hora, descreva como
poderia ser realizada, para esse controle, uma
amostragem do tipo:
a) casual simples.
É possível que os alunos criem uma resposta
para este item, mas não consideramos in
teressantes amostras casuais simples para
processos em que a população é muito nume
rosa, como é o caso em questão. De qualquer
modo, é possível que algum aluno proponha
numerar as latas que são produzidas e sor
tear algumas delas.
b) sistemática.
Este parece ser o tipo de amostra mais
indi cado para o caso, pois a pessoa
que controla o processo pode recolher certa
quantidade de amostras a cada intervalo
con secutivo de tempo.
Atividade 4
Observe a tabela com os porcentuais de
pessoas que residem nos quatro distritos da
cidade.
distritos A b C d
Residentes (%) 25 35 10 30
46
Uma pesquisa será realizada para conhecer
a opinião dos moradores da cidade a respeito
das ações da prefeitura local. Pretende-se sele-
cionar, de toda a cidade, 2 000 pessoas para se-
rem entrevistadas. Supondo uma amostra casual
simples, quantas pessoas deverão ser escolhidas
para responder à pesquisa em cada distrito?
500 pessoas em A; 700 pessoas em B;
200 pessoas em C e 600 pessoas em D.
Atividade 5
Um pesquisador entrevistou 200 alunos
“calouros” de uma universidade com o obje-
tivo de saber em qual escola haviam concluído
o Ensino Médio. Veja os resultados obtidos:
Escola A b C Outras
Número de estudantes que
entraram na universidade
45 125 20 10
a) Qual é o porcentual de entrevistados que
estudaram em cada uma das escolas repre-
sentadas na tabela?
A:22,5%; B:62,5; C:10%; outras:5%.
b) É correto afirmar que a escola b é, dentre
todas, a que tem o maior número de alunos
calouros nessa universidade? Por quê?
Sim, pois tem 125 alunos dentre os 200 pesquisados.
c) É correto afirmar que a escola b é, dentre todas, a que tem o Ensino Médio mais efi-ciente no que se refere à aprovação no ves-tibular da tal universidade? Por quê?
Não, pois não é conhecido o número de estudantes de cada escola que prestou o exame vestibular. Se da escola C, por exemplo, prestaram o tal exame 20 alunos, sua taxa de aprovação é igual a 100%, valor que não poderia ser ultrapassado pelas demais escolas.
Atividade 6
Uma pesquisa será realizada com mora-
dores de um bairro da zona Sul da cidade de
São Paulo para verificar a intenção de voto na
próxima eleição para a prefeitura. Descreva,
justificando, como poderá ser realizada essa
pesquisa no caso de o método de amostragem
adotado ser:
As respostas desta atividade são pessoais, e cabe a você, professor, organizar a discussão acerca das respostas produzidas por seus alunos.
a) casual simples.
Uma resposta possível a este item consiste em imaginar toda a população numerada de 1 a n, e sortear alguns dos n elementos, ao acaso, para serem entrevistados. Nesse caso, correse o risco de sortear pessoas que nem sequer são eleitores.
b) acidental.
Uma resposta possível a este item seria fazer uma seleção prévia das pessoas eleitoras da cidade, sorteando algumas delas para a entrevista.
c) acidental e casual simples.
Selecionar apenas as pessoas eleitoras, enumerálas e sortear algumas delas, ao acaso.
47
Matemática – 3a série – Volume 4
d) estratificada.
Antes do sorteio, separar a população eleitora
em, por exemplo, classes sociais, sorteando, em
seguida, algumas pessoas de cada classe.
e) acidental e estratificada.
Semelhante ao item anterior, apenas esco
lhendo um número de pessoas em cada classe
proporcional ao total de componentes.
f) sistemática.
Por exemplo, sortear uma certa quantidade
de pessoas de uma rua X, outra quanti
dade de outra rua Y, e assim por diante, até
com pletar todo o bairro alvo da pesquisa.
intervalos de confiança
Estudamos na Situação de Aprendizagem
anterior como podemos determinar a pro-
babilidade de ocorrência de determinados
eventos a partir de áreas compreendidas en-
tre a curva normal e o eixo horizontal. Para
tanto, devemos conhecer a média e o desvio
padrão da amostra analisada e, examinando
a fração de desvio padrão que corresponde à
faixa que nos interessa, consultar a tabela
que nos fornece a probabilidade procurada.
Na divulgação dos resultados de uma pesqui-
sa que avaliou a intenção de voto para alguma
eleição, os institutos de estatística sempre acres-
centam uma margem de segurança aos porcen-
tuais que preveem. Assim, é comum ouvirmos,
por exemplo, que determinado candidato tem
“42,5% das intenções de voto, com 5% de mar-
gem de erro para mais ou para menos”. Isso
quer dizer que, nesse caso, é esperado que o
candidato em questão obtenha entre (42,5 – 5)%
e (42,5 + 5)% dos votos, isto é, entre 37,5% e
47,5%.
O estabelecimento dessa margem de erro
de 5% está relacionado ao grau de certeza de-
sejado pelo instituto. Pode ser que, em outros
casos, essa margem seja reduzida para 2,5%,
ou ampliada para 8%. Para a definição dessas
margens, é preciso avaliar o intervalo de con-fiança do resultado.
Embora os comunicados dos institutos
não comentem, uma margem de erro de 2%,
por exemplo, está associada a um intervalo de
confiança de 95%, isto é, há 95% de certeza
de que o resultado divulgado acerca das in-
tenções de voto esteja dentro da margem de
2% para mais ou para menos. Como a certe-
za não é igual a 100%, e nunca será, sempre
haverá uma possibili dade de a previsão não
corresponder ao resultado da eleição. Isso já
aconteceu algumas vezes.
Como são definidos esses intervalos de con-
fiança? Para responder, precisamos retomar a in-
terpretação da curva normal, com a relação entre
média aritmética e desvio padrão da amostra.
A porcentagem esperada de elementos situa-
dos entre a média e um desvio padrão acima da
média, em uma situação normal, é sempre igual
a 34,13% da população amostrada.
x x + σ
Aqui: aproximadamente 34% de toda a área com-preendida entre a curva e
o eixo horizontal
48
A leitura da tabela (Situação de Aprendi-zagem 3) nos mostra que o fator 1,72 corres-ponde a 45,73%, o que nos permite afirmar que na faixa destacada da curva encontram-se 2 . 45,73% da população, isto é, 91,46%.
Dizemos, nesse caso, que temos 91,46% de certeza de que um elemento sorteado da popu-lação esteja no intervalo que vai de 1,72 desvio abaixo até 1,72 desvio acima da média. Ou, de outra forma, dizemos que o intervalo de con-fiança de 91,46% é definido pelo fator 1,72.
Como podemos usar a ideia do intervalo de confiança em situações-problema? Vamos analisar, por exemplo, a seguinte situação:
A média aritmética da altura de todas as alu-nas da escola é igual a 1,65 m, e o desvio padrão da altura é igual a 0,07 m. Nessas condições, queremos determinar a faixa de valores da al-tura em que se encontram 90% das alunas da escola. Quais são os limites dessa faixa?
Podemos, inicialmente, dividir na metade o porcentual fixado, de 90%, imaginando que procuramos uma faixa que compreenda 45% acima e 45% abaixo da média. Consultando a tabela no sentido oposto ao que percorre-mos anteriormente, vamos considerar o valor 0,4505, o mais próximo de 0,45, ou 45%.
A simetria da curva normal, em tor-
no da média, permite esperar que 34,13%
da população se situe também entre a mé-
dia e um desvio padrão abaixo dela. Desse
modo, entre um desvio padrão acima e um
abaixo da média encontramos 68,26%. Outros
porcentuais, correspondentes a faixas da po-
pulação com limites diferentes de um desvio
acima e outro abaixo da média, podem ser
obtidos mediante consulta à tabela utilizada
anteriormente (Situação de Aprendizagem 3).
No caso, por exemplo, da faixa compreendi-
da entre 1,45 desvio padrão acima e abaixo da
média, encontraremos, de acordo com a tabe-
la, 2 . 42,65% da população, ou seja, 85,3%.
x – 1,45 σ x + 1,45 σ
85,3%
x
Esse fato de que 1,45 desvio padrão corres-
ponde a 85,3 % da população, de acordo com
a tabela, permite-nos afirmar que temos 85,3%
de certeza de pegar um elemento ao acaso da
população e ele pertencer à faixa entre 1,45
desvio acima e 1,45 desvio abaixo da média.
Dizemos também que 1,45 define um intervalo
de confiança de 85,3%.
Considere agora a faixa de área da curva
normal compreendida entre 1,72 desvio padrão
acima e abaixo da média.
xx – 1,72 σ x + 1,72 σ
49
Matemática – 3a série – Volume 4
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753
0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141
0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.01331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517
0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879
0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2010 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549
0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852
0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133
0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389
1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621
1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830
1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015
1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177
1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319
1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441
1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545
1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633
1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706
1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767
2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817
2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857
2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890
2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916
2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936
2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952
2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964
2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974
2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981
2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986
3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990
50
A leitura da tabela nos informa que o por-
centual de 45,05% corresponde a 1,65 desvio
padrão. Como o desvio padrão, no caso do
exemplo, é igual a 0,07 m, temos:
1,65 . 0,07 = 0,1155 m
Adicionando e subtraindo este valor de
0,1155 m da média dada de 1,65 m, temos:
1,65 + 0,1155 = 1,7655 ≅ 1,77 m
1,65 – 0,1155 = 1,5345 ≅ 1,53 m
Portanto, é igual a 90% a probabilidade de
sortearmos uma aluna qualquer da escola com
altura entre 1,53 m e 1,77 m, supondo, desde
sempre, que a distribuição da altura é normal.
A seguir, apresentamos alguns exercícios
exemplares sobre o assunto, em acordo com as
justificativas apontadas anteriormente acerca
de sua aplicação aos alunos.
Atividade 7
Qual é o fator que define um intervalo de
confiança de 98%?
982 = 49 → tabela → 2,33 desvios. Portanto,
o fator que determina 98% de segurança é
2,33.
Atividade 8
Em uma população normal de focas em
que a média de peso é de 102,5 kg e o desvio
padrão é 4,6 kg, qual é o intervalo de valores
em que encontramos 90% das focas?
902 = 45 → tabela → 1,65 desvio.
1,65 . 4,6 = 7,59 kg. Portanto, no intervalo
compreendido entre 102,5 – 7,59 e 102,5 + 7,59
encontramos 90% das focas. Assim, o interva
lo procurado tem limites 94,91kg e 110,09 kg.
Atividade 9
Defina os limites do intervalo de confian-
ça de 88% para a altura de uma população de
meninos, normalmente distribuídos, em que a
média é igual a 1,71 m e o desvio padrão é
igual a 0,09 m.
882 = 44 → tabela → 1,56 desvio
1,56 . 0,09 = 0,14 m
Portanto, os limites do intervalo de confiança
de 88%, nesse caso, são:
1,71 + 0,14 = 1,85 m
1,71 – 0,14 = 1,57 m
Atividade 10
Em uma amostra normal de pessoas em
que a média das massas é igual a 68 kg e o
desvio padrão é igual a 4 kg, qual é a faixa de
valores de massas em que estão 80% das pes-
soas dessa amostra?
802 = 40 → tabela → 1,28 desvio
1,28 . 4 = 5,12 kg
Portanto, a faixa de valores desejada tem os
seguintes limites:
68 + 5,12 = 73,12 kg
68 – 5,12 = 62,88 kg
Atividade 11
Qual é o fator que define 95% de segurança
em uma distribuição normal?
952 = 47,5 → tabela → 1,96 desvio padrão
51
Matemática – 3a série – Volume 4
Portanto, o fator que determina 95% de
segurança em uma distribuição normal é 1,96.
Pesquisa eleitoral: o tamanho da amostra
Um fato que costuma intrigar alunos e pro-
fessores diz respeito à quantidade de pessoas
entrevistadas pelos institutos para a realização
de uma pesquisa de intenção de voto. É comum
ouvirmos, por exemplo, que o instituto tal en-
trevistou duas mil e poucas pessoas em todo o
Brasil durante determinado período de tempo
e, com base nas respostas obtidas, vem a públi-
co divulgar que o candidato X terá tantos por
cento dos votos, com uma margem de seguran-
ça de 2% para mais ou para menos. Como é que
duas mil e poucas pessoas podem representar
toda a população de eleitores do país? Como se
definem esses 2% de margem de erro?
A discussão matemática correta para esses
aspectos pode ser encontrada em artigo publi-
cado pela Revista do Professor de Matemática,
indicada adiante, como material adicional.
Simplificadamente, podemos apresentar a nos-
sos alunos os seguintes comentários:
as pesquisas trabalham, normalmente, com f
margem de erro de 2%, em um intervalo de
confiança de 95%;
um intervalo de confiança de 95% é deter- f
minado pelo fator 1,96 (ver tabela);
o cálculo da quantidade de elementos de uma f
amostra de pesquisa com margem de erro fi-
xada em x% pode ser feito pela equação:
x% = 1,96
_____
2 ® __
n
Resolvendo essa equação para x = 2%, obte-
mos para n o valor 2 401, que corresponde, por-
tanto, ao número de pessoas que o instituto deve
entrevistar para ter, em um intervalo de confian-
ça de 95%, 98% de certeza de que as previsões
se confirmarão.
Caso o intervalo de confiança da previ-
são seja alterado para, por exemplo, 90%,
o valor de n para os mesmos 2% também se
alterará, tornando-se 1 681. Dessa maneira,
mantendo-se constante os tais 2% de margem
de erro, a confiança na resposta determinará
o número de elementos amostrados: quanto
maior a confiança, maior também o número
de elementos que deverão compor a amos-
tra de pesquisa.
Vale salientar, no entanto, que a precisão
da pesquisa não está condicionada unicamen-
te ao número de pessoas entrevistadas, e sim
ao tipo de amostra selecionada. Se as 2 401
entrevistas, ou outro número plausível, forem
realizadas, por exemplo, na porta de saída do
teatro em que se realizou a convenção do par-
tido A, dificilmente os resultados apontarão
vitória do candidato do partido b. Para que as
pesquisas eleitorais possam, de fato, divulgar
suas previsões dentro de uma margem de erro
de 2%, os institutos consideram a composição
da amostra de pesquisa com a maior variedade
possível de indicadores, desde o estado de ori-
gem dos pesquisados, passando pelo gênero,
pela idade e, principalmente, pelas condições
socioeconômicas dos pesquisados.
O encerramento da Situação de Aprendi-
zagem pode se dar com os alunos resolvendo
as atividades seguintes.
52
Atividade 12
Para uma pesquisa em que se pretende margem de erro de 2% e confiança de 94%, qual é o número aproximado de elementos pesquisados?
942
= 47 → tabela → 1,88
2% = 1,88
_____ 2 ® __
n ⇒ n ≅ 2 209 elementos.
Atividade 13
Complete a tabela com a quantidade apro-ximada de pessoas a serem entrevistadas em uma pesquisa eleitoral que pretende mar- gem de erro de 2%, de acordo com o intervalo de confiança fixado.
intervalo de confiança
97% 96% 92%
número de entrevistados
2 943 2 626 1 914
Atividade 14
Suponha que você seja a pessoa responsá-vel pela elaboração de uma pesquisa eleitoral em que se deseja uma margem de erro de 2%. Como esse tipo de trabalho, de modo geral, é realizado por uma equipe, converse com seus colegas sobre o procedimento que julgar mais adequado para atingir a margem de erro desejada. Considere que a pesquisa tem por objetivo avaliar a intenção de voto dos eleito-res para três candidatos à prefeitura de uma grande cidade brasileira. Para organizar a dis-cussão, sugerimos que busquem respostas às seguintes questões:
A pesquisa será feita em qualquer ponto da fcidade, indistintamente?
A cidade será ou não dividida em regiões? f
O que será importante considerar no caso f
de a cidade ser dividida em regiões. Em to-
das elas, o número de pessoas pesquisadas
será o mesmo?
Como será o tipo de amostragem? Quantas f
pessoas será necessário entrevistar?
Como será o formulário de pesquisa? Quais f
serão as perguntas?
De que maneira os resultados da pesquisa f
serão organizados a fim de produzir um re-
latório final?
Resposta pessoal.
Considerações sobre a avaliação
A última atividade sugerida para esta Situa-ção de Aprendizagem resume, de certa forma, os aspectos desenvolvidos nas Situações de Apren-dizagem 3 e 4. Consideramos que os processos de avaliação e de recuperação para os alunos que vivenciaram esta Situação de Aprendiza-gem sejam realizados nos moldes que, impli-citamente, destacam a atividade em questão. Sugerimos, portanto, que o professor elabore questões de avaliação e de recuperação que per-mitam aos alunos a livre manifestação de suas opiniões sobre o processo vivenciado, ou, em outras palavras, que as situações-problema, especialmente elaboradas para avaliação e re-cuperação, contemplem, principalmente, a exi-gência de respostas abertas que possam variar de aluno para aluno, sem que, todavia, fujam da correta conceituação discutida durante o cum-primento da Situação de Aprendizagem.
53
Matemática – 3a série – Volume 4
Para aqueles alunos que ainda sentirem
dificuldade com a análise de dados represen-
tados em gráficos mais complexos, com mais
de duas variáveis, sugerimos que o profes-
sor os estimule a se confrontar com outras
situa ções semelhantes àquelas apresenta-
das na Situação de Aprendizagem 1. Não se
trata, todavia, de repetir temas já abordados,
mascarando dessa forma o cumprimento dos
objetivos determinados, mas, sim, de buscar
novas situações que, embora constituídas pe-
los mesmos conceitos, explorem contextos
diferentes daqueles em que se basearam as
atividades anteriores.
Nesse sentido, propomos ao professor que
indique a seus alunos a pesquisa de novos grá-
ficos, de variáveis que eles conheçam o signi-
ficado. Esses gráficos poderão vir a compor
uma nova sequência de exercícios para funda-
mentar o processo de recuperação. Uma boa
estratégia para essa busca por novos gráficos
pode ser, por exemplo, a pesquisa a imagens
de um site de busca. Digitando “gráficos” e
selecionando “imagens”, surgirá uma série
bastante grande de gráficos, de toda natureza,
para que os alunos analisem as variáveis e o
significado de cada um.
Alguns alunos podem sentir dificulda-
de na Situação de Aprendizagem 2, e não
atingir plenamente os objetivos traçados.
Sugerimos que para o processo de recupe-
ração seja incluída a resolução de exercícios
de inter pretação de gráficos e tabelas. Esses
exercícios podem ser obtidos nos livros didá-
ticos, ou, então, nos exames já aplicados do
Enem (Exame Nacional do Ensino Médio)
ou do PISA (Programa Internacional de Ava-
liação de Alunos). Questões desses exames
podem ser obtidas no site do Inep, disponível
em:<http://www.inep.gov.br>.
Na Situação de Aprendizagem 3, para os
alunos que porventura não atinjam plena mente
os objetivos previstos, sugerimos ao professor
que retome rapidamente o cálculo das probabi-
lidades segundo a definição clássica, para, em
seguida, propor novamente que resolvam situa-
ções-problema com base no cálculo de proba-
bilidades associadas a faixas da curva normal.
Nesse caso, uma série de problemas criados pe-
los alunos mais bem avaliados pode servir como
instrumento necessário para o cumprimento da
etapa de recuperação.
Alguns alunos poderão apresentar maior
dificuldade na elaboração de respostas pes soais
colocadas na Situação de Aprendizagem 4, e
caberá ao professor orientá-los, cotidiana-
mente, quanto à precisão da linguagem que
utilizam, bem como quanto à correta aplicação
dos conteúdos matemáticos discutidos. Dessa
forma, em razão das características especiais
dos conceitos e das competências envolvidas,
torna-se impraticável a separação do processo
de avaliação do processo de recuperação.
ORIENTAçõES PARA RECUPERAçãO
54
Caso, o professor, julgue necessário apro-
fundar o estudo de alguns dos temas apresen-
tados neste Caderno, sugerimos a leitura dos
seguintes artigos da Revista do Professor de
Matemática (RPM), da Sociedade Brasileira
de Matemática:
“ f A curiosa Matemática eleitoral”, de Seve-
rino Toscano Melo, na RPM, nº- 36.
“ f Uma interpretação do algoritmo das
eleições proporcionais”, de Manoel H.C.
Botelho, na RPM, nº- 37.
“ f A estatística e as pesquisas eleitorais”, de
Flávio W. Rodrigues, na RPM, nº- 40.
“ f Média e média das médias”, de Adilson
Simonis e Cláudio Possani, na RPM, nº- 42.
Esses artigos, como se pode perceber pelos
títulos, tratam de elementos de Estatística asso-
ciados a pesquisas eleitorais. O artigo do pro-
fessor Flávio Rodrigues, em especial, merece
destaque por abordar, especificamente, o tema
da Situação de Aprendizagem 4 deste Cader-
no. A leitura desse texto permitirá ao professor
ampliar seu repertório acerca da interpretação
do desvio padrão, notadamente quando ele é
calculado a partir das proporções observadas
entre uma frequência determinada e a frequên-
cia total.
O professor que desejar se municiar de grá-
ficos interessantes para discutir e interpretar
com seus alunos poderá acessar alguns sites
de institutos especializados, como:
IBGE. Disponível em: <http://www.ibge.
gov.br/home>. Acesso em: 31 jul. 2009.
O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatís-
tica condensa informações de toda natureza
– físicas, econômicas, sociais, etc. – acerca de
Estados e municípios brasileiros.
Fuvest. Disponível em: <http://www.fuvest.br>.
Acesso em: 31 jul. 2009.
Neste site podemos encontrar estatísticas
acerca das provas realizadas nos últimos
anos pela Fundação para o Vestibular da
USP, como a curva de distribuição das no-
tas na primeira e na segunda fase.
Havendo condições na escola, sugerimos
ao professor que faça download do Objeto
Virtual de Aprendizagem sobre Estatística e
Probabilidade, do site da Rede Virtual Inter-
nacional de Educação (Rived), no endereço
<http://rived.mec.gov.br>. A vivência com este
Objeto Virtual permitirá que os alunos simu-
lem processos eleitorais, colocando-se na posi-
ção do estatístico que determina as condições
da amostra de pesquisa.
RECURSOS PARA AMPlIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO AlUNO PARA A COMPREENSãO DO TEMA
55
Matemática – 3a série – Volume 4
O último bimestre do Ensino Médio foi o
escolhido para o desenvolvimento dos conteú-
dos do bloco do Tratamento da Informação.
De fato, desde o Ensino Fundamental, os alu-
nos têm estado em contato com conceitos re-
veladores da mobilização de competências de
reconhecida importância, como a leitura e a
interpretação de dados registrados em tabelas
ou em gráficos, e o cálculo e a interpretação
de índices estatísticos expressos por intermé-
dio de porcentuais. A conclusão de todo esse
processo é realizada agora, no 4o bimestre da
3a série, com uma ampliação dos significados
anteriormente discutidos acerca das medidas
de posição e de dispersão. Para isso, nada é
mais fecundo do que a relação entre essas me-
didas e a curva normal. Buscando essa conti-
nuidade de significados, propusemos o estudo
da curva normal, mesmo sabendo que este
não é um tema que normalmente permeia as
páginas dos livros didáticos.
Um processo estatístico utiliza, na gran-
de maioria das vezes, os resultados obtidos
com base em uma amostra para, com certas
margens de segurança, realizar inferências
acerca de toda uma população. Somos bom-
bardeados todos os dias por informações ob-
tidas a partir de processos estatísticos, sejam
elas de natureza política, econômica ou social.
Escolhemos apresentar, neste Caderno, um
desses processos, referente às pesquisas de in-
tenção de voto, tão comuns e tão importantes
em nosso país. Consideramos fundamental que
o professor permita que seus alunos vivenciem
as discussões propostas na Situação de Apren-
dizagem, porque, além da compreensão dos
conceitos matemáticos, destaca-se, nesse caso
explicitamente, um dos grandes objetivos da
formação escolar: a construção da cidadania.
Para que se tenha uma ideia mais nítida das múltiplas inter-relações entre os diver-
sos conteúdos aqui tratados, apresentamos,
a seguir, a grade curricular de Matemática
com os assuntos de todas as séries do Ensino
Médio, destacando-se com um sombreado os
conteúdos de outras séries e de outros bimes-
tres diretamente relacionados com aqueles
apresentados neste bimestre.
COnSidERAçõES FinAiS
56
COntEúdOS dE MAtEMátiCA POR SéRiE/biMEStRE dO EnSinO MédiO
1a série 2a série 3a série
1o bim
estr
e
núMEROS E SEQUÊnCiAS- Conjuntos numéricos.- Regularidades numéricas: sequências.- Progressões aritméticas; progressões geométricas.
tRigOnOMEtRiA- Fenômenos periódicos.- Funções trigonométricas.- Equações e inequações.- Adição de arcos.
gEOMEtRiA AnAlÍtiCA- Pontos: distância, ponto médio e alinhamento de três pontos.- Reta: equação e estudo dos coeficientes, problemas lineares.- Ponto e reta: distância.- Circunferência: equação.- Reta e circunferência: posições relativas.- Cônicas: noções e aplicações.
2o bim
estr
e
FUnçõES- Relação entre duas grandezas.- Proporcionalidades: direta, inversa, direta com o quadrado.- Função de 1o grau.- Função de 2o grau.
MAtRizES, dEtERMinAntES E SiStEMAS linEARES- Matrizes: significado como tabelas, características e operações.- A noção de determinante de uma matriz quadrada.- Resolução e discussão de sistemas lineares: escalonamento.
EQUAçõES AlgébRiCAS E núMEROS COMPlEXOS- Equações polinomiais.- Números complexos: operações e representação geométrica.- Teorema sobre as raízes de uma equação polinomial.- Relações de Girard.
3o bim
estr
e
FUnçõES EXPOnEnCiAl E lOgARÍtMiCA- Crescimento exponencial.- Função exponencial: equações e inequações.- logaritmos: definição e propriedades.- Função logarítmica: equações e inequações.
AnáliSE COMbinAtÓRiA E PRObAbilidAdE- Raciocínio combinatório: princípios multiplicativo e aditivo.- Probabilidade simples.- Casos de agrupamentos: arranjos, combinações e permutações.- Probabilidade da reunião e/ou da intersecção de eventos.- Probabilidade condicional.- Distribuição binomial de probabilidades: o triângulo de Pascal e o binômio de Newton.
EStUdO dAS FUnçõES- Qualidades das funções.- Gráficos: funções trigonométricas, exponencial, logarítmica e polinomiais.- Gráficos: análise de sinal, crescimento e taxa de variação. - Composição: translações e reflexões. - Inversão.
4o bim
estr
e
gEOMEtRiA/tRigOnOMEtRiA- Razões trigonométricas nos triângulos retângulos.- Polígonos regulares: inscrição, circunscrição e pavimentação de superfícies.- Resolução de triângulos não retângulos: lei dos Senos e lei dos Cossenos.
gEOMEtRiA MétRiCA ESPACiAl- Elementos de geometria de posição.- Poliedros, prismas e pirâmides.- Cilindros, cones e esferas.
EStAtÍStiCA- Gráficos estatísticos: cálculo e interpretação de índices estatísticos.- Medidas de tendência central: média, mediana e moda.- Medidas de dispersão: desvio médio e desvio padrão.- Elementos de amostragem.