cadenas de markov. procesos de poisson. ejercicios ?· portal estadística aplicada: instrumentos...

Download CADENAS DE MARKOV. PROCESOS DE POISSON. EJERCICIOS ?· Portal Estadística Aplicada: Instrumentos Estadísticos…

Post on 04-Oct-2018

212 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • CADENASDEMARKOVFINITAS.FENMENOSDEESPERA

    Procesosestocsticos. ProcesosdePoisson Procesosderenovacin

    http://www.estadistica.net/
  • PortalEstadsticaAplicada:InstrumentosEstadsticosAvanzados326

  • PortalEstadsticaAplicada:InstrumentosEstadsticosAvanzados327

    LascadenasdeMarkovfueronintroducidasporelmatemticorusoAndreiMarkov(18561922)alrededorde1905,conelobjetivodecrearunmodeloprobabilsticopararaanalizarlafrecuenciaconlaqueaparecenlasvocalesenpoemasytextosliterarios.LascadenasdeMarkovpuedenaplicarseaunaampliagamadefenmenoscientificosysociales.

    AndreiMarkovfuealumnodelauniversidaddeSanPetersburgo,discipulodeChebyshevcomoLiapunov,despusdesudoctoradoen1886accedicomoadjuntoalaAcademiadeCienciasdeSanPetersburgo,apropuestadelpropioChebyshev.En1989,cuandoChebyshevdejlauniversidad,lesustituyenloscursosdeteoradeprobabilidad.En1925AndreiMarkovdejdefinitivamentelauniversidad.

    Apartedesuperfilacadmico,AndreiMarkovfueunactivistapolticooponindosealosprivilegiosdelanoblezazarista,llegandoarechazarlascondecaracionesdelzarenprotestapordecisionespolticasrelacionadasconlaAcademiadeCiencias.

    AndreiMarkovinfluysobrediversoscamposdelasmatemticas,sobresaliendoconlateoradelaprobabilidad.En1887completlapruebaquepermitageneralizarelteoremacentraldellmitequeyahabaavanzadoChebyshev,aunquesuaportacinmsconocidaseencuentraenlosprocesosestocsticos,elaborandouninstrumentomatemticoqueactualmenteseconocecomocadenadeMarkov,instrumentoque,hoyenda,seconsideranunaherramientaesencialendisciplinascomolaeconoma,laingeniera,lainvestigacindeoperacionesymuchasotras.

  • PortalEstadsticaAplicada:InstrumentosEstadsticosAvanzados328

    PROCESOSESTOCSTICOS:CADENADEMARKOVENTIEMPODISCRETO

    UnprocesoestocsticooprocesoaleatorioX(t) esunconceptomatemticoqueseutilizaparausarmagnitudesaleatoriasquevaranconeltiempooparacaracterizarunasucesindevariablesaleatoriasoestocsticasquevaranenfuncindeotravariable,generalmenteeltiempo.

    Cadavariableoconjuntodevariablessometidasainfluenciasoefectosaleatoriosconstituyenunprocesoestocstico.

    Enteoradelaprobabilidad,unacadenadeMarkoventiempodiscreto(CMTD)esuntipoespecialdeprocesoestocsticodiscretoenelquelaprobabilidaddequeocurraunsucesodependesolamentedelsucesoinmediatamenteanterior.EstacaractersticadefaltadememoriaseconocecomopropiedaddeMarkov(recibeelnombredelmatemticorusoAndreiMarkov,quelointrodujoen1907).

    UnacadenadeMarkovesunasecuencia 1 2 3 n(X , X , X , , X ) devariablesaleatorias,eldominiodeestasvariableseselllamadoespacioestado.

    Elvalor nX eselestadodelprocesoeneltiempon.

    Ladistribucindelaprobabilidadcondicionadade n 1X + enestadospasadosesuna

    funcinde nX porssola,siendo ix elestadodelprocesoenelinstanteisimo:

    n 1 n 1 n n n 1 n 1 2 2 1 1 n 1 n 1 n nP X x X x , X x , , X x , X x P X x X x+ + + + = = = = = = = =

    paracualesquieran 0 y{ }n 1 1 2 nx , x , x , , x S+ Si S < sedicequelacadenadeMarkovesfinita.Encasocontrariosedicequeesinfinita.

    CADENASHOMOGNEASYNOHOMOGNEAS:UnacadenadeMarkovsedicehomogneasilaprobabilidaddeirdelestadoialestadojenunpasonodependedeltiempoenelqueseencuentralacadena

    Cadenahomognea: n n 1 1 0P X j X i P X j X i = = = = = paratodonodony i , j

    SiparaalgunaparejadeestadosyparaalgntiemponlapropiedadmencionadanosecumplesedicequelacadenadeMarkovesnohomognea.

    PROBABILIDADDETRANSICINYMATRIZDETRANSICIN:SiunacadenadeMarkovestenelestadoisimo,hayunaprobabilidad ijp depasaralprximo

    estadojsimo,aestaprobabilidad ijp selallamaprobabilidaddetransicin.

    Laprobabilidad ijp depasardelestadoialestadojenunpasosellama

  • PortalEstadsticaAplicada:InstrumentosEstadsticosAvanzados329

    probabilidaddetransicindeiaj: ( )ij n 1 np Prob X j X i+= = =LasprobabilidadesdetransicinconformanlamatrizdetransicinP,queesconrigorunamatriz(finita)sloparacadenasdeMarkovfinitas,aunquetambinseconservaelnombreylanotacinparacadenasdeMarkovinfinitas.

    Cadafiladelamatrizdetransicindebesumar1porlaspropiedadesbsicasdeprobabilidad.

    ij 1 0 1 0j S j S

    p P(X j X 1) P(X S X i) 1

    = = = = = =

    ElmodelopararedessepuedeconsiderarunacadenadeMarkovdondeSsonlosvrticesdelgrafodirigidoy ijp eselinversodelnmerodearistassalientesdesdei

    cuandohayunaaristadeiajyceroenotrocaso.

    Lamatrizdetransicinenunsolopaso,dadaunacadenadeMarkovconkestadosposibles 1 2 kS (s , s , ,s )= yprobabilidadesdetransicinestacionarias,vienedadaporlaexpresin:

    11 12 1k

    21 22 2kij n 1 j n i

    k1 k2 kk

    p p p

    p p pSi p P X s X s P

    p p p

    +

    = = = =

  • PortalEstadsticaAplicada:InstrumentosEstadsticosAvanzados330

    Calcularlamatrizdetransicinasociadaalosgrafos:

    Solucin:

    0,2 0,8 0

    P 0,

    Estado1

    4 0 0,6

    0,5 0,

    2

    35 0,15

    3

    1

    2

    3

    =

    0

    E

    1

    st

    0

    P 1 /

    ado

    2 0 1 / 2

    1

    1 2 3

    1

    0

    2

    3 0

    =

    Estado1234

    1

    2

    3

    0 1 0 0

    0 0 1 0P

    1 0 0 0

    14 0 0 0

    =

  • PortalEstadsticaAplicada:InstrumentosEstadsticosAvanzados331

    MATRIZDETRANSICINENPLAZOS

    ElVectordistribucinesunvectorfilanonegativoconunaentradaparacadaestadodelsistema.

    Vectorprobabilidadesunvector 1 2 kv (v , v , ,v )= conentradasnonegativas,deformaqueseagreganhastallegara1.Lasentradaspuedenrepresentarlasprobabilidadesdeencontrarunsistemaencadaunodelosestados.

    n

    i ii 1

    v 0 parai 1, 2, ...,n v 1=

    = =Elvectordedistribucin 1 2 kv (v , v , ,v )= ylamatrizdetransicinPdeterminanlaprobabilidadparaelestadodelacadenaenelsegundoinstantedetiempo,dichaprobabilidadvienedadaporelvector (vP)

    Distribucindespusdel1paso:vP

    Distribucindespusdel2paso: 2(vP)P vP=Distribucindespusdel3paso: 2 3(vP )P vP=Distribucindespusdenpasos: nvP

    Unanotacinconvenientepararepresentarlasprobabilidadesdetransicindenpasoseslamatrizdetransicindenpasos:

    (n) (n) (n)11 12 1k(n) (n) (n)

    (n) 21 22 2k

    (n) (n) (n)k1 k2 kk

    p p p

    p p pP

    p p p

    =

    Laprobabilidaddetransicinenunafilaycolumnadadaseslatransicindelestadoenesafilaalestadoenlacolumna.Cuandon 1= elsuperndicennoseescribeysehacereferenciaastacomounamatrizdetransicin.

    Lasprobabilidadesdetransicinennpasossonlasprobabilidadesdetransicindelestadoialestadojennpasos,denotndosecomo:

    (n)ij n 0 n m mp P(X j X i) P(X j X i)+= = = = = = ,portanto,

    (1)ij ijp p=

    LascadenasdeMarkovqueseanalizanacontinuacintienenlaspropiedades:

    Unnmerofinitodeestados. Probabilidadesdetransicinestacionarias.

  • PortalEstadsticaAplicada:InstrumentosEstadsticosAvanzados332

    PANTEAMIENTOYESTUDIODELACADENADEMARKOV

    Seintroduceunratnenunadelasceldasdellaberintodeformaaleatoria.Dentrodellaberinto,elratnvaacualquierceldacontiguaosequedaenlaceldaqueestconlamismaprobabilidad.a) Probabilidaddeestarenciertaceldaenelinstante1b) Probabilidaddeestarenciertaceldaenelinstante2

    Solucin:

    a) Sedefinenlasvariablesaleatorias: nX celdaocupadaenelinstante n

    Losposiblesestadosson { }S 1, 2, 3, 4, 5, 6=

    Probabilidadesdetransicin ij n 1 np P X j X i+ = = = sonestacionariasporqueno

    dependendelinstanteenqueseencuentreelproceso.

    Matrizdetransicin:

    11 12 13 14 15 16

    21 22 23 24 25 26

    31 32 33 34 35 36

    41 42 43 44 45 46

    51 52 53 54 55 56

    61 62 63 64 65 66

    p p p p p p

    p p p p p p

    p p p p p pP

    p p p p p p

    p p

    Estados1234 5

    p p p p

    p p p p p p

    6

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    =

    Desdeelestado1

    11 n 1 n 12 n 1 n

    13 n 1 n 14 n 1 n

    15 n 1 n 16 n 1 n

    p P X 1 X 1 p P X 2 X 1

    p P X 3 X 1 0 p P X 4 X 1

    p P X 5 X 1 0 p P X 6 X 1 0

    + +

    + +

    + +

    = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

    Desdeelestado2

    21 n 1 n 22 n 1 n

    23 n 1 n 24 n 1 n

    25 n 1 n 26 n 1 n

    p P X 1 X 2 p P X 2 X 2

    p P X 3 X 2 0 p P X 4 X 2 0

    p P X 5 X 2 0 p P X 6 X 2 0

    + +

    + +

    + +

    = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

  • PortalEstadsticaAplicada:InstrumentosEstadsticosAvanzados333

    Desdeelestado3

    31 n 1 n 32 n 1 n

    33 n 1 n 34 n 1 n

    35 n 1 n 36 n 1 n

    p P X 1 X 3 0 p P X 2 X 3 0

    p P X 3 X 3 p P X 4 X 3 0

    p P X 5 X 3 0 p P X 6 X 3

    + +

    + +

    + +

    = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

    Desdeelestado4

    41 n 1 n 42 n 1 n

    43 n 1 n 44 n 1 n

    45 n 1 n 46 n 1 n

    p P X 1 X 4 p P X 2 X 4 0

    p P X 3 X 4 0 p P X 4 X 4

    p P X 5 X 4 0 p P X 6 X 4 0

    + +

    + +

    + +

    = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

    Desdeelestado5

    51 n 1 n 52 n 1 n

    53 n 1 n 54 n 1 n

    55 n 1 n 56 n 1 n

    p P X 1 X 5 0 p P X 2 X 5 0

    p P X 3 X 5 0 p P X 4 X 5 0

    p P X 5 X 5 p P X 6 X 5

    + +

    + +

    + +

    = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

    Desdeelestado6

    61 n 1 n 62 n 1 n

    63 n 1 n 64 n 1 n

    65 n 1 n 66 n 1 n

    p P X 1 X 6 0 p P X 2 X 6 0

    p P X 3 X 6 p P X 4 X 6 0

    p P X 5 X 6 p P X 6 X 6

    + +

    + +

    + +

    = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

    Elvectordeprobabilidadinicial1 1 1 1 1 1

    v , , , , ,6 6 6 6 6 6

    =

    ,probabilidaddeestaren

    ciertaceldaenelinstantedetiempo1.

    Comoelratnvaacualquierceldacontiguaosequedaenlaceldaqueestconlamismaprobabilidad,lamatrizdetransicines:

    11 12 14

    21 22

    33 36

    1 / 3 1 / 3 0 1 / 3 0 0 p p p 1 / 3

    1 / 2 1 / 2 0 0 0 0 p p 1 / 2

    0 0 1 / 2 0 0 1 / 2 p pP

    1 / 2 0 0 1