cad c2 teoria 1serie 2bim matematica
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Cad C2 Teoria 1serie 2bim MatematicaTRANSCRIPT
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MATEMTICA 1
Consideremos um tringulo retngulo ABC, reto emA. Os outros dois ngulos B e C so agudos e comple -mentares, isto , B + C = 90. Para ngulos agudos,temos por definio:
Observaesa) Os senos e cossenos de ngulos agudos so n -
meros compreendidos entre 0 e 1, pois a medida docateto sempre menor do que a medida da hipotenusa.
b) O seno de um ngulo igual ao cosseno do seucomplemento e reciprocamente:
c) No tringulo retngulo vale o teorema de Pitgo -ras: a2 = b2 + c2
sen x = cos (90 x) cos x = sen (90 x)
cateto oposto a B btg B = =
cateto adjacente a B c
cateto oposto a C ctg C = =
cateto adjacente a C b
cateto adjacente a B ccos B = =
hipotenusa a
cateto adjacente a C bcos C = =
hipotenusa a
cateto oposto a B bsen B = =
hipotenusa a
cateto oposto a C csen C = =
hipotenusa a
Trigonometria Mdulos17 Seno, cosseno e tangente no
tringulo retngulo18 Arcos notveis 19 Arcos notveis 20 Arcos notveis 21 Relaes fundamentais 22 Relaes fundamentais 23 Medidas de arcos e ngulos24 Ciclo trigonomtrico
determinaes25 Funo seno
26 Equaes e inequaes queenvolvem a funo seno
27 Funo cosseno28 Equaes e inequaes que
envolvem a funo cosseno 29 Funo tangente30 Equao e inequaes que
envolvem a funo tangente31 Equaes trigonomtricas32 Equaes trigonomtricas
17Seno, cosseno e tangente notringulo retngulo ngulos complementares Hipotenusa Cateto
Abul Wafa (940 998) Respon svelpor grande parte do conheci mento
da trigonometria de hoje.
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MATEMTICA2
No tringulo retngulo da figura, determinar:a) a hipotenusa BC
b) sen ^B
c) cos ^B
d) tg ^B
e) sen ^C
f) cos ^C
g) tg ^C
RESOLUO:
a) 5 b) c) d)
e) f) g)
A partir da questo anterior, falso afirmar que:
a)^B +
^C = 90 b) cos B = sen C c) sen B = cos C
d) tg B < 1 e) tg C < 1
RESOLUO:
tg C = > 1
Resposta: E
(MODELO ENEM) Um ciclista sobe, em linha reta, umarampa com inclinao de 3 graus a uma velocidade constantede 4 metros por segundo. A altura do topo da rampa emrelao ao ponto de partida 30 m.
Use a aproximao sen 3 = 0,05 e responda. O tempo, emminutos, que o ciclista levou para percorrer completamente arampa a) 2,5. b) 7,5. c) 10. d) 15. e) 30.
RESOLUO:I) Sendo x, em metros, o comprimento da rampa, temos:
sen 3= x = x = 600
II) Observando que 4 metros por segundo corres pondem a 240metros por minuto e sendo t o tempo, em minutos, que ociclista levou para percorrer completamente a rampa, temos:
t = = 2,5
Resposta: A
600
240
300,05
30x
43
43
35
45
34
45
35
(MODELO ENEM)
Um observa dor situado em A, na margem deum rio, avista o topo de uma r vore, situada namargem opos ta, sob um n gulo de 72 em rela -o horizontal. Desejando cal cular a al tura darvore, sem atravessar o rio, afasta-se do ponto
A na direo da reta AC at que o ngulo deviso, seja a metade do an terior, chegandoassim em B, distante 50m de A.
A altura da rvore, des pre zan do a do obser va -dor, con siderando sen 72 0,95 , em metros:a) 42,4 b) 45,5 c) 47d) 47,5 e) 49Resoluo
Sendo h a altura da r vore e o ngulo B^PA
temos:
a) + 36+108 = 180 = 36
b) A^BP = B
^PA = 36 AP = AB = 50
hc) sen 72 =
AP
h 0,95 = h = 47,5
50
Resposta: D
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar, digiteMAT1M201 e MAT1M202
No Portal Objetivo
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MATEMTICA 3
Um folha de papel retangular dobrada, conforme a figuraa seguir. Determine o valor de 40 . tg .
RESOLUO:
I) x2 + 82 = 102 x = 6
II) tg = = =
III) 40 . tg = 40 . = 30
(UNESP MODELO ENEM) A figura mostra duascircun ferncias de raios 8 cm e 3 cm, tangentes entre si etangentes reta r. C e D so os centros das circun ferncias.
Se a medida do ngulo CP, o valor de sen :
a) b) c) d) e)
RESOLUO:
No tringulo retngulo DEC, temos:
sen = =
Resposta: B
511
53 + 8
38
823
12
511
16
34
34
68
x8
1. Sen 45, cos 45, tg 45Num tringulo retngulo issceles qualquer, se for
a medida de cada cateto ento 2 ser a medida dahipo tenusa pois (BC)2 = 2 + 2 (BC)2 = 22
BC = 2.
Assim sendo:
a) sen ^B = sen 45 =
sen 45 = sen 45 =
b) cos ^B = cos 45 =
cos 45 = cos 45 =
c) tg ^B = tg 45 = tg 45 = 1
AC
AB
2
2
1
2
2
AB
BC
2
2
1
2
2
AC
BC
18 a 20 Arcos notveis Tringulo retngulo issceles Tringulo equiltero
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2. Sen 60, cos 60 e tg 60Num tringulo equiltero qualquer, se for a medida
de cada um dos lados ento ser a medida da
altura, pois:
(AC)2 = (AM)2 + (MC)2 2 = 2
+ (MC)2
(MC)2 = 2
(MC)2 = MC =
Assim sendo:
a) sen ^A = sen 60 =
sen 60 =
b) cos ^A = cos 60 =
cos 60 =
c) tg ^A = tg 60 = tg 60 = 3
3. Sen 30, cos 30 e tg 30No tringulo retngulo AMC do item anterior temos:
a) sen ^C = sen 30 =
sen 30 =
b) cos ^C = cos 30 =
cos 30 =
c) tg ^C = tg 30 =
tg 30 = tg 30 =
Note que:
sen 30 = cos 60 =
cos 30 = sen 60 =
sen 45 = cos 45 =
4. Valores notveis (30, 45, 60)
x sen x cos x tg x
301
2
3
2
3
3
452
2
2
21
603
2
12 3
2
2
3
2
12
3
3
13
2
3
2
AMMC
3
2
32
MC
AC
1 2
2
AM
AC
3
2
2
MCAM
1
2
2
AM
AC
3
2
32
MC
AC
3 2
32
4
24
2
3
2
MATEMTICA4
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MATEMTICA 5
(MODELO ENEM) Para determinar a altura de uma montanha,um topgrafo colocou-se com seu teodolito a 300 m da montanha.
Posiciona o aparelho que lhe fornece a medida do ngulo de visada departe do morro, igual a 60o. Sabendo que o teodolito tem altura de 1,60 m, o topgrafo podedeterminar a altura da montanha. Adotando 3 = 1,7, a altura determi -nada :a) 510 m. b) 420 m. c) 511,6 m.d) 421,6 m. e) 610 m.
ResoluoNo tringulo OAB, retngulo em A, temos:
tg 60o = 3 = AB = 300. 3 = 300 . 1,7 = 510 m.
O topgrafo conclui que a montanha tem 510 + 1,6 = 511,6 m dealtura.Resposta: C
AB300
ABOA
Exerccio Resolvido Mdulos 18 a 20
(USF MODELO ENEM) Na figura abaixo, uma rvore vista sob um ngulo de 30, a uma distncia de 30 m de suabase. A altura da rvore, em metros, igual a
a) 35 b) 17 c) 14 d) 28 e) 30
RESOLUO:
tg 30 = = x = 10 . 3 10 . 1,7 17 m
Resposta: B
(MACKENZIE) Na figura, a medida da bissetriz AD :
a) 2 b) 1 c) d) e) 3
RESOLUO:
Sendo o ABC issceles e AD mediana, tem-se que AD altura.Como 4 + + = 180 = 30
Ento, no BDA, retngulo em D, tem-se:
sen 30 = = AD = 1
Resposta: B
AD
2
12
AD
2
23
53
x30
3
3
x30
Exerccios Propostos Mdulo 18
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MATEMTICA6
Duas rodovias A e B encontram-se em O, formando umngulo de 30. Na rodovia A existe um posto de gasolina que
dista 5 km de O. A distncia do posto de gasolina rodovia B
a) 5 km b) 10 km c) 2,5 kmd) 15 km e) 1,25 km
RESOLUO:
sen 30 = = d = 2,5km
Resposta: C
(UNESP MODELO ENEM) Trs cidades, A, B e C, sointerligadas por estradas, conforme mostra a figura.
As estradas AC e AB so asfaltadas. A estrada CB de terra eser asfaltada. Saben do-se que AC tem 30 km, o ngulo entreAC e AB de 30, e o tringulo ABC retngulo em C, a quan -ti dade de quilmetros da estrada que ser asfaltada
a) 303 b) 103 c) d) 83 e)
RESOLUO:
No tringulo ABC, retn gulo em C, tem-se
tg 30 = = BC = 103 km
Resposta: B
3
3
BC30km
BCAC
33
2
103
3d
5km
12
d5km
(MODELO ENEM) Uma escada apoiada em uma parede,num ponto distante 5 m do solo, forma com essa parede umngulo de 30. Qual o com primento da escada, em metros?
RESOLUO:
cos 30 = = x = =
Resposta: m
Determinar o valor de x, na figura abaixo:
103
3
103
310
3
5x
3
25
x
Exerccios Propostos Mdulo 19
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MATEMTICA 7
RESOLUO:
O tringulo ABD iss celes.
AB = BD BD = 60
tg 30 = = BC = 203
x = 60 203 = 20(3 3 )
(MODELO ENEM) A figura indica um terreno retangularrepartido em dois lotes, um na forma de tringulo e o outro nade trapzio:
Lembrando que a rea de um tringulo ,
conclumos que a rea do lote na forma de trapzio, em m2, igual a
a) 503 b) 603 c) 6(15 + 3 )
d) 24(30 3) e) 60(15 3 )
RESOLUO:
I) tg 30 = = ED = 43
II) SADE = = = 243
III) SABCE = 60 . 12 = 720
IV) SABCD = 720 243 = 24(30 3 )
Resposta: D
(MACKENZIE) Na figura, tg vale
a)
b)
c)
d)
e)
RESOLUO:1) No tringulo retngulo ABC, tem-se
tg 30 = = AC = 1
2) No tringulo retngulo ABD, tem-se
tg( + 30) =
tg( + 30) = = 3
+ 30 = 60 = 30
Portanto tg = tg 30 = =
Resposta: C
13
3
3
33
ADAB
3
3
AC3
ACAB
23
34
1
3
2
3
13
43 . 12
2
DE . AE
2
ED12
3
3
base altura
2
BC60
33
BC60
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MATEMTICA8
(MODELO ENEM) Um volume lanado de um avioque est a 3 km de al ti tu de.
Devido velocidade do avio e
ao do vento o volume cai se -
gundo uma reta que forma um
ngulo de 30 com a vertical.
Assumindo que 3 = 1,7, cal -cular:
a) a distncia percorrida por este volume desde o lanamentoat tocar o cho.
b) a distncia do ponto A at o ponto em que o volume toca ocho.
RESOLUO:
a) cos 30 = =
x = x = 2 .3
x = 3,4 km
b) tg 30 = = y = 3 y = 1,7 km
(MODELO ENEM) Ao meio-dia, Sol a pino, um garotoempina pipa, e a linha que a segura, bem esticada, forma como cho um ngulo de 60. Como a sombra da pipa est distante20 m de onde se encontra o garoto e considerando 3 = 1,73,pode mos afirmar que a pipa est a uma altura de:a) 17,40 m b) 28,10 m c) 34,60 md) 38,50 m e) 35,14 m
RESOLUO:
tg 60 = 3 = x = 20 . 3 x = 34,6 m
Resposta: C
x20
x20
y3
3
3
y3
63
3x
3
2
3x
(VUNESP) Do quadriltero ABCD da figura, sabe-se queos ngulos internos de vrtices A e C so retos; os ngulos
CD^ B e AD^ B medem, respec tivamente, 45 e 30; o lado CD
mede 2dm. Ento os lados AD e AB medem, respectivamente,
em dm:
a) 6 e 3
b) 5 e 3
c) 6 e 2
d) 6 e 5
e) 3 e 5
RESOLUO:
I) BCD issceles (BC = CD = 2 e BD = 2 . 2 )
II) sen 30 =
= AB = 2
III)cos 30 =
= AD = 6
Resposta: C
AD
2 . 23
2
AD
2 . 2
AB
2 . 21
2
AB
2 . 2
Exerccios Propostos Mdulo 20
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MATEMTICA 9
(VUNESP MODELO ENEM) Um pequeno aviodeveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B ao norte,distante 60 quil me tros de A. Por um problema de orientao,o piloto seguiu erradamente rumo ao oeste. Ao perceber oerro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 120 direita emum ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com otrajeto que deveria ter sido segui do, formaram, aproxima -damente, um tringulo retn gulo ABC, como mostra a figura.
Com base na figura, a distncia em quilmetros que o aviovoou partindo de A at chegar a B
a) 303 b) 403 c) 603 d) 803 e) 903
RESOLUO:A partir do enunciado, no tringulo ABC, temos:
sen 60 = = BC = 403
tg 60 = 3 = AC = 203
A distncia em quilmetros, que o avio percorreu par tindo de A
at chegar a B, : AC + BC = 203 + 403 = 603
Resposta: C
(VUNESP) Ao chegar de viagem, uma pessoa tomou umtxi no aeroporto para se dirigir ao hotel. O percurso feito pelotxi, representado pelos segmentos AB, BD, DE, EF e FH, estesboado na figura, onde o ponto A indica o aeroporto, o pontoH indica o hotel, BCF um tringulo retngulo com o nguloreto em C, o ngulo no vrtice B mede 60 e DE paralelo aBC.
Assumindo o valor 3 = 1,7 e sabendo-se que AB = 2 km,BC = 3 km, DE = 1 km e FH = 3,3 km, determinea) as medidas dos segmentos BD e EF em quil metros;b) o preo que a pessoa pagou pela corrida (em reais), sa -
bendo-se que o valor da corrida do txi dado pela funo y = 4 + 0,8x sendo x a distncia percorrida em quilmetrose y o valor da corrida em reais.
RESOLUO:
a) De acordo com o enunciado, CB^
D = ED^
F = 60 (ngulos corres -
pon dentes). No tringulo retngulo DEF, temos:
tg 60 = 3 = EF = 3 EF = 1,7km.
Na figura seguinte, com DC
1 // EC, temos o tringulo BC1D
retngulo em C1 e portanto
cos 60 = = BD = 4km
b) A distncia de A a H, em quilmetros, igual a
AB + BD + DE + EF + FH = 2 + 4 + 1 + 1,7 + 3,3 = 12
Como o preo da corrida do txi dado pela funo
y = 4 + 0,8 . x, para x = 12km, tem-se:
y = 4 + 0,8 . 12 y = 13,60 reais
Respostas:a) BD = 4km e EF = 1,7km
b) R$ 13,60
2BD
1
2
BC1BD
EF
1
EFED
60AC
60AC
60BC
3
260BC
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MATEMTICA10
1.Num tringulo retngulo
de catetos b e c e hipo te nu -sa a temos, de acordo com oteorema de Pitgoras:
a2 = b2 + c2.
Assim sendo, se x for amedida do ngulo agudo Bento:
sen2x + cos2x = 2
+ 2
=
= + = = = 1
Note que
a) sen2x = (sen x)2 b) cos2x = (cos x)2
c) sen2x = 1 cos2x d) cos2x = 1 sen2x
2.
Num tringulo retngulo de catetos b e c ehipotenusa a, se x for a medida do ngulo agudo B ento
tg x = = = tg x =
3. CotangenteA cotangente de um ngulo agudo x , por defi nio
o inverso da tangente. representada com o smbolocotg x. Assim sendo:
4. SecanteA secante de um ngulo agudo x , por definio, o
inverso do cosseno. representada com o smbolo sec x. Assim sendo:
5. CossecanteA cossecante de um ngulo agudo x , por de fi -
nio, o inverso do seno. representada com o sm -bolo cossec x.
Assim sendo:
6. Relaes auxiliaresa) Dividindo ambos os membros da relao fun da -
men tal, sen2x + cos2x = 1, por cos2x, temos:
+ = tg2x + 1 = sec2x
b) Dividindo ambos os membros da relao funda -
men tal, sen2x + cos2x = 1, por sen2x, temos:
+ =
1 + cotg2x = cossec2x
De (a) e (b) temos:
7. ConclusesSendo x a medida de um ngulo agudo qualquer,
valem as seguintes relaes:
sen2x + cos2x = 1
sen xtg x =
cos x
cos x 1cotg x = =
sen x tg x
1sec x =
cos x
1cossec x =
sen x
sec2x = 1 + tg2x cossec2x = 1 + cotg2x
cossec2x = 1 + cotg2x
sec2x = 1 + tg2x
1sen2x
cos2xsen2x
sen2xsen2x
1cos2x
cos2xcos2x
sen2xcos2x
1cossec x =
sen x
1sec x =
cos x
1 cos xcotg x = =
tg x sen x
sen xcos x
sen xcos x
baca
bc
sen xtg x = cos x
a2a2
b2 + c2a2
c2a2
b2a2
caba
sen2x + cos2x = 1
21 e 22 Relaes fundamentais Seno Cosseno Tangente Cotangente Secante Cossecante
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MATEMTICA 11
(MODELO ENEM) Uma prefeiturapretende asfaltar um ca mi nho, em uma regio
plana, desde um ponto inicial P at um monu -
mento de 30 metros de altura, ao custo de
R$ 50,00 o metro quadrado. Do ponto P ao
topo do monumento foi determinado um
ngulo de inclinao , com o plano dessecaminho. Sabendo que sen = , cos =e que o caminho deve ter 2 metros de largura,
calcular o valor do menor custo dessa obra.
a) R$ 2 000,00 b) R$ 4 000,00c) R$ 1 000,00 d) R$ 40 000,00e) R$ 20 000,00
Resoluo
O menor custo da obra ser obtido quando doponto nicial P ao monumento, o caminho forrepresentado por um segmento de reta, con -forme figura.Sendo sen = 3/5 e cos = 4/5, temos:
tg = = .
Portanto, na figura temos:
tg = = x = 40 m.
O custo da obra, com 2 m de largura e R$ 50,00o metro qua drado, resulta: C = 2 . 40 . R$ 50,00 = R$ 4 000,00
Resposta: B
(MODELO ENEM)
Um volume lanado de um avio que est a3 km de altitude. Devido veloci dade do avioe ao do vento, o volume cai se gun do umareta que forma um ngulo de 25 com a ver -tical. Que distncia aproxi mada mente d, me -dida no solo, esse volume percor reu?
Dado: sen 25 = 0,42
a) 1,38 km b) 1,08 kmc) 2,13 km d) 1,75 kme) 0,98 km
Resoluo
tg 25 = d = 3 . tg 25
Se sen 25 = 0,42 e sen225 + cos225 = 1,
ento, cos 25 = 1 sen2 25 =
= 1 (0,42)2 = 0,91
Logo: tg 25 = = = 0,46
Ento, d = 3 . 0,46 d = 1,38 km
Resposta: A
0,420,91
sen 25cos 25
d3
34
30x
354
5
34
45
35
Se 0 < x < 90 ento a expresso
igual a:a) sen x b) cos x c) tg xd) cotg x e) sec x
RESOLUO:
= = sec x
Resposta: E
(UN.ESTCIO DE S) Simplificando a expres so y = sen 17 . cotg 17 . cotg 73 . sec 73, encon tramos:a) 2 b) 1 c) 2 d) 1 e) 5
RESOLUO:
y = sen 17 . . .
y = cos 17 .
Sendo 17 + 73 = 90, resulta sen 73 = cos 17, portanto
y = cos 17 . = 1
Resposta: D
Simplificando a expresso tg x . cos x . cossec x, para 0 < x < 90, obtm-se:a) 0 b) 1 c) 1 d) sen x e) sec x
RESOLUO:
tg x . cos x . cossec x = . cos x . = 1
Resposta: B
sen xcos x
1sen x
1cos 17
1sen 73
1cos 73
cos 73sen 73
cos 17sen 17
1cos x
sen2x + cos2x
cos x
sen2x + cos2x
cos x
Exerccios Propostos Mdulo 21
Exerccios Resolvidos Mdulos 21 e 22
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Se 0 < x < 90 e cos4x sen4x = ento sen x ser
igual a:
a) b) c) d) e)
RESOLUO:
cos4x sen4x = (cos2x + sen2x)(cos2x sen2x) =
1 2sen2x = sen2x = sen x =
(pois 0 < x < 90)
(MODELO ENEM) Uma empresa precisa com prar umatampa para o seu reserva trio, que tem aforma de um tronco de cone circular reto,conforme mostrado na figura.Considere que a base do reservatrio tenharaio r = 23 m e que sua lateral faa umngulo de 60 com o solo. Se a altura do reservatrio 12 m, a tampa
a ser com prada dever ter raio igual a
a) 33 m. b) 43 m. c) 53 m.
d) 63 m. e) 73 m.
RESOLUO:Se r = 23 m o raio da base, o raio datampa r + x, sendo
tg 60 = = 3 x = 43
O raio da tampa (23 + 43)m = 63 m
Resposta: D
725
12x
35
925
725
725
725
110
15
25
35
45
MATEMTICA12
Sabendo que 0 < x < 90 e sen x = , calcular
cos x, tg x, cotg x, sec x e cossec x.
RESOLUO:
sen2x + cos2x = 1 cos2x = 1 sen2x
cos2x = 1 = cos x = (ngulo agudo)
tg x = = tg x =
cotg x = = cotg x =
sec x = = sec x =
cossec x = = cossec x =
Se 0 < x < 90 e tg x = 33, ento o valor de
a) b) 1 c) 2 d) e) 3
RESOLUO:
= =
= = = 2
Resposta: C
tg3x + 1tg3x 1
3 + 1
3 1
sen3x + cos3x
sen3x cos3x
sen3x cos3x + cos3x cos3x
sen3x cos3x
cos3x cos3x
12
52
sen3x + cos3x
sen3x cos3x
53
1
35
1sen x
54
1
45
1cos x
43
1
34
1tg x
34
35
4
5
sen xcos x
45
1625
925
35
Exerccios Propostos Mdulo 22
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MATEMTICA 13
(MACKENZIE) Observando o tringulo da figura, pode -
mos afirmar que vale:
a) b)
c) d)
e)
RESOLUO:
= = =
= cos =
Resposta: A
(UFPB MODELO ENEM) Em um determinado edifcio,os primeiros andares so destinados s garagens e ao salo defestas e os demais andares, aos apartamentos. Interessadonas dimenses desse prdio, um topgrafo coloca umteodolito (instrumento ptico para medir ngulos horizontais engulos verticais) a uma distncia d do pr dio. Com um ngulovertical de 30, esse topgrafo observou que o primeiro piso de
aparta men tos est a uma altura de 11,80 m do solo; e com umngulo verti cal de 60, avistou o topo do edifcio, conforme afigura abaixo.
De acordo com esses dados e sabendo-se que a luneta doteodolito est a 1,70 m do solo, a altura do edifcio :a) 31 m b) 23,60 m c) 30,30 m d) 21,90 m e) 32 m
RESOLUO:Sendo h, em metros, a altura do prdio temos:
tg 30 = = = 3 h = 32tg 60 = 3 = Resposta: E
15
(cos sen )
cos sen
cos
(cos sen )
sen 1
cos
cos sen
1 tg
25
5
25
5
5
125
15
cos sen
1 tg
h 1,7
10,1h 1,7
d
10,1
d
3
3
23 Medidas de arcos e ngulos Graus Radianos
1. Arcos na circunfernciaSeja uma circunferncia, na qual so tomados dois
pontos A e B. A circunferncia ficar dividida em duaspartes chamadas arcos. Os pontos A e B so as extremi -dades desses arcos.
Quando A e B coincidem, um desses arcos cha -mado arco nulo e o outro, arco de uma volta.
2. Medida de um arco em grausO arco de uma volta mede 360 e o arco nulo mede 0. Assim sendo, o arco de 1 grau (representado pelo
smbolo 1) um arco igual a do arco de umavolta.
Os submltiplos do grau so o minuto e o segundo.
O arco de um minuto (representado pelo smbolo 1)
um arco igual a do arco de um grau.
Simbolicamente:
O arco de um segundo (representado pelo smbolo
1) um arco igual a do arco de um minuto.
1360
160
1 = 60
160
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-
Simbolicamente:
Note, ainda que:
3. Medida de um arco em radianosA medida de um arco, em radianos, a razo entre
o comprimento do arco e o raio da circunferncia sobrea qual este arco est determinado; assim:
Observaes
O arco AB mede 1 radiano (1 rad), se o seu com -primento for igual ao raio da circunferncia.
A medida de um arco, em radianos, um nmeroreal puro e portanto costume omitir o smbolo rad.Ao dizer ou escrever que um certo arco mede 3, porexemplo, fica subentendido que sua medida de 3 radia -nos ou seja, que o comprimento do arco o triplo da me -di da do raio.
O arco de uma volta, cuja medida 360, temcomprimento igual a 2 . . r. e sua medida em radianos
ser, portanto, 2 pois = = = 2 6,28.
4. ConversesSendo G a medida do arco em graus e R a medida
em radianos, as converses de unidades (Graus-Radia -nos) so feitas atravs de uma regra de trs simples apartir da correspondncia 360 2 ou 180 .Assim sendo:
5. Medida de ngulosSeja rO
^s um ngulo de vrtice O e lados nas semir-
retas Or
e Os
. Tomemos uma circunferncia de centro noponto O e raio qualquer.
Os pontos da circunferncia e que pertencem regio angular formam um arco AB . Adota-se comomedida do ngulo AO
^B, a prpria medida (em graus ou
radianos) do arco AB . Assim sendo, a medida (em grausou radianos) de um arco AB igual medida do ngulocentral AO
^B correspondente ao arco.
360 2360 2 180 = = G R G RG R
AB
r2..r
r
compr (AB
) =
r
1 = 60 = 3600
1 = 60
MATEMTICA14
Converter 120 em radianos.Resoluo
=
= 3 R =
Resposta:
(FUVEST) O permetro de um setorcircular de raio R e ngulo central medindo radianos igual ao permetro de um quadradode lado R. Ento, igual aa) /3 b) 2 c) 1 d) 2/3 e) /2Resoluo
R + R + x = 4R x = 2R
= = = 2
Resposta: B
(FGV MODELO ENEM) Dois pontos,na linha do Equador, apresentam o sol a pinocom defasagem de 3 horas. Sabe-se que amenor dis tncia percorrida sobre essa linha, deum ponto ao outro, 5.000 km. Qual deve sero di metro aproximado do planeta Terra, emquilmetros?
a) b)
c) d)
e)
ResoluoI) Para cada hora corresponde um ngulo
equatorial de
= = 15, assim, para uma
defasagem de 3 horas, o ngulo equatorial
ser 3 . 15 = 45 ou rad.
II)
= R = km
2R = km
Resposta: B
2R
Rx
R
2
3
2
3
2
R
2
R
360120
360 2
120 R
30000
2
40000
20000
1
30000( 2)2
400002 2
360
24
180
12
4
20000
5000 km
R4
40000
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MATEMTICA 15
Quantos minutos tem o arco de 30?
RESOLUO:1 6030 xx = 1 800
Quantos segundos tem o arco de 5 15?
RESOLUO:
1 3 600 1 60
5 x 15 y
x = 18000 y = 900
515 = 18900
Converter as seguintes medidas de graus para radianos.
a) 30 b) 36 c) 240
RESOLUO:
Converter as seguintes medidas de radianos para graus.
a) b) 3 4
RESOLUO:
a) rad = = = 60
b) rad = = = 45
(MODELO ENEM) Uma pessoa caminha em uma pistacircular, com raio igual a 30 m. Se essa pessoa percorrer,
nessa pista, um ngulo central correspondente a radianos,
qual ser a distncia percorrida em metros? (adotar = 3,14).a) 31,4 b) 73,6 c) 85,1 d) 62,8 e) 58,7
RESOLUO:
Pela definio de medida de arco, em radianos, temos:
=
= comp(AB)
= 20. m
comp(AB)
= 20.3,14 m = 62,8 m
Resposta: D
(MACKENZIE) O segmento OA descreve um ngulo de30 em torno da origem, como indica a figura. Adotando = 3,a distncia percorrida pelo ponto A :
a) 2,5
b) 5,5
c) 1,7
d) 3,4
e) 4,5
RESOLUO:
A distncia do ponto A(4;3) origem O(0;0)
dAO = R = 42 + 32 = 5.
O arco de circunferncia de raio R = 5 e ngulo central
30 = radiano tem comprimento igual aAP, tal que:
= =
Para = 3, resulta comp(AP) = = = 2,5.
Resposta: A
a) 180x 30
x = 6
b) 180 36 x
36x =
180
x = 5
c) 180 240 x
240x =
180
4x =
3
3
rad
3
180
3
4
rad
4
180
4
23
comp (AB)
r
23
comp (AB)
30
6
comp(AP)
5
6
comp(AP)
OA
6
52
5 . 3
6
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MATEMTICA16
24Ciclo trigonomtrico determinaes Quadrantes Determinaespositivas Determinaes negativas
1. Ciclo trigonomtricoChamamos de ciclo trigonomtrico a uma circun -
ferncia de raio unitrio na qual fixamos um ponto (A)como origem dos arcos e adotamos o sentido anti-hor -rio como sendo o positivo.
2. Arco trigonomtricoChamamos de arco trigonomtrico AP
ao conjunto
dos infinitos arcos de origem A e extremidade P.
Esses arcos so obtidos partindo-se da origem A e
girando em qualquer sentido (positivo ou negativo) at a
extremidade P, seja na primeira passagem ou aps
vrias voltas completas no ciclo trigonomtrico.
Analogamente, chamamos de ngulo trigono m -
trico AO^P ao conjunto dos infinitos ngulos de lado
inicial OA
e lado terminal OP
.
3. Conjunto das determinaes de um arcoSeja P um ponto qualquer de um ciclo trigono m -
trico de origem A. A medida do arco AP
, de origem A eextremidade P, , por conveno:
O ponto P extremidade de infinitos arcos de
origem A e a medida de cada um deles chamada
determinao. A medida 0 do arco AP
, tal que
0 0 < 2, chamada primeira determinao positiva
do arco.
Adicionando primeira determinao positiva o
nmero 2, que equivale a percorrer uma volta do
sentido anti-horrio, obtm-se o nmero 0 + 2 que
a segunda determinao positiva de AP
.
Adicionando primeira determinao positiva o n -
mero 2 . 2 = 4, que equivale a percorrer duas voltas
no sentido anti-horrio, obtm-se o nmero 0 + 4
que a terceira determinao positiva do arco AP
, e
assim por diante.
Subtraindo da primeira determinao positiva o n -
mero 2, que equivale a percorrer uma volta no
sentido horrio, obtm-se 0 2 que a primeira
determinao negativa do arco AP
.
Subtraindo da primeira determinao positiva onmero 2 . 2 = 4, que equivale a percorrer duasvoltas no sentido horrio, obtm-se 0 4 que asegunda determinao negativa, e assim por diante.a) Positiva se o sentido de percurso de A para P
for o anti-horrio.b) Negativa se o sentido de percurso de A para P
for o horrio.
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MATEMTICA 17
As infinitas determinaes dos arcos de origem A e
extremidade P so, pois:
Todas estas determinaes so do tipo 0 + n . 2,com n , e portanto o conjunto das determinaes doarco trigonomtrico AP
:
Observaes
a) Se a medida dos arcos for expressa em graus,devemos escrever = 0 + n . 360, n .
b) O nmero 0, utilizado no conjunto das deter -minaes, pode ser o valor de uma qualquer das deter - mi naes. costume, porm, escolher o valor da pri -meira determinao positiva ou negativa.
c) A cada ponto P esto associados infinitos n me -ros reais, mas a cada nmero real est associado umnico ponto P.
ExemploO conjunto das deter mi na -
es dos arcos de origem Ae extremidade P as si naladosna figura
x x = + n . 2 ,
com n
76
{ = 0 + n . 2, n }
Determinaespositivas
Determinaesnegativas
Primeira 0 0 1 . 2
Segunda 0 + 1 . 2 0 2 . 2
Terceira 0 + 2 . 2 0 3 . 2
Quarta 0 + 3 . 2 0 4 . 2
Determinar o conjunto das determinaes dos arcos indicados, para cada figura.
Resoluo
A partir das figuras, temos:
I) 30 + n . 360 (n ) II) 30 + n . 180 (n ) III) + n . 2 (n ) IV) + n . (n )6
6
Escreva a 1.a determinao positiva dos arcos assinaladosem cada ciclo trigonomtrico:a)
RESOLUO:
150, 210 e 330
b)
RESOLUO:
120, 240 e 300
c)
RESOLUO:
135, 225 e 315
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MATEMTICA18
Calcular a 1a. determinao positiva dos arcos:a) 1630 b) 1630 c) 2100
RESOLUO:
a) 1.630 360 a0 = 190190 4
b) a0 = 360 190 = 170
c) 2.100 360 a0 = 300300 5
Escrever o conjunto das determinaes dos arcosassinalados, com extremidades no ponto P.a) b)
RESOLUO:
a) V = {x x = 30 + n . 360, n }
b) V = x x = + n . 2, n
Escrever, em uma nica expresso, o conjunto dos arcosassinalados, com extremos em P e Q, conforme o caso.
a) b)
RESOLUO:
a) V = {x | x = 30 + n . 180, n }
b) V = {x | x = + n . , n }
Escrever, em uma nica expresso, o conjunto dos arcoscom extremos em P, Q, M e N.
RESOLUO:
V = {x | x = 30 + n . 90, n }
4
23
25 Funo seno Seno
1. IntroduoConsideremos, no ciclo trigonomtrico de origem A,
um sistema cartesiano ortogonal xOy conforme mostra a
figura. Os pontos A(1; 0), B(0; 1), C(1;0) e D(0; 1)
dividem o ciclo trigonomtrico em quatro quadrantes.
Quando dizemos que um arco AP
pertence ao segundo
quadrante, por exemplo, queremos dizer que a
extremidade P pertence ao segundo quadrante.
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MATEMTICA 19
2. Definio da funo senoO seno de um arco trigonomtrico AP
, de ex -
tremidade P, a ordenada do ponto P.
Representa-se:
A cada nmero real x corresponde um nico ponto P,
extremidade do arco AP
de medida x. A cada ponto P, por
sua vez, corresponde uma nica ordenada chamada
seno de x.A funo de em que a cada nmero real x as -
socia a ordenada do ponto P , por definio, a funoseno.
Simbolicamente
ObservaoA definio coerente com aquela apresen tada no
tringulo retngulo.
De fato, se 0 < x < ento P pertence ao pri -
meiro quadrante e alm disso OP = 1 (raio) e MP = ON.
Assim sendo, no tringulo OMP retngulo em M,
temos:
sen x =
sen x =
2
f : tal que f(x) = sen x = ON
sen AP
= ON
MPOP
cateto opostosen x =
hipotenusa
ON
1sen x = ON
3. Variao da funo senoEnquanto o ponto P percorre a primeira volta, no sentido anti-horrio, o nmero real x varia de 0 a 360 e o seno
de x varia de 1 a 1. Observe, na tabela abaixo, as vrias situaes possveis.
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MATEMTICA20
a) Positiva no primeiro e se gun -do quadrantes; negativa no ter ceiroe quarto quadrantes.
b) Crescente no primeiro equarto quadrantes; decrescente nose gun do e terceiro quadrantes.
c) mpar pois sen (x) = sen x.
d) Peridica de perodo 2.
sen 20 > sen 10 sen 135 > sen 140sen 220 > sen 230 sen 320 > sen 315
sen ( 50) = sen 50
sen 40 > 0 sen 100 > 0sen 200 < 0 sen 290 < 0
4. GrficoNotando que sen x = sen (x 2), pois x e x 2 so as medidas de arcos de mesma extremidade, e de acordo
com a tabela do item an terior, conclumos que o grfico da funo f : tal que f(x) = sen x :
e o conjunto imagem {y 1 y 1}.
5. PropriedadesDo que foi apresentado nos itens (2), (3) e (4), podemos concluir que a funo seno :
Resolver a equao sen x = sabendo que 0 x 360
Resoluo
x = 30 ou x = 150
Resposta: V = {30; 150}
Esboar o grfico da funo g(x) = 1 + sen x, no in tervalo [0; 2].
Resoluo
Observe que o grfico do seno se deslocou de uma unidade para cima,resultando imagem Im [g(x)] = [0; 2] e mantendo o perodo P = 2.
1sen x = 20 x 360
12
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-
MATEMTICA 21
Utilizando a figura, complete as definies:
RESOLUO:
sen AP = OM sen
AQ = ON
Utilizando o ciclo trigonomtrico abaixo, complete:
a) sen 30 = sen 150 =
b) sen 210 = sen 330 =
c) sen 45 = sen 135 =
d) sen 225 = sen 315 =
e) sen 60 = sen 120 =
f) sen 240 = sen 300 =
g) sen 0 = sen 180 = sen 360 =
h) sen 90 =
i) sen 270 =
Esboce o grfico da funo f:[0; 2] definida por f(x) = sen x
RESOLUO:
Com base no grfico do exerccio anterior, complete:
a) O perodo da funo f : tal que
f(x) = sen x
b) O conjunto imagem da funo f : tal que f(x) = sen x
Im(f) = [ 1; 1]
p = 2
1
1
0
3
2
3
2
2
2
2
2
1 2
12
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MATEMTICA22
(MODELO ENEM) Uma rampa lisa de 40 m de com -primento faz ngulo de 30 com o plano horizontal. Umapessoa que sobe esta rampa inteira eleva-se verticalmente a) 10 m b) 16 m c) 20 m d) 25 m e) 30 m
RESOLUO:
Seja AB a rampa e
BC a elevao vertical, ento
AB = 40 m, B^AC = 30 e senB
^AC = =
BC = 20 m
Resposta: C
BC40
12
BCAB
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar, digiteMAT1M203
No Portal Objetivo
26Equaes e inequaes queenvolvem a funo seno
Resumo tericoA funo seno definida em por f(x) = sen x tem as
seguintes caractersticas:
a) Domnio de f: D(f) =
b) Contradomnio de f: CD(f) =
c) Conjunto imagem: Im(f) = [ 1; 1]
d) Grfico: senoide
e) Para 30, 150, 210 e 330 temos:
sen 30 = sen 150 =
sen 210 = sen 330 =
f) Para 45, 135, 225, 315 temos:
sen 45 = sen 135 =
sen 225 = sen 315 =
g) Para 60, 120, 240 e 300 temos:
sen 60 = sen 120 =
sen 240 = sen 300 =
h) Para 0, 90, 180, 270 e 360 temos:
sen 0 = sen 180 = sen 360 = 0
sen 90 = 1
sen 270 = 1
22
22
12
12
32
32
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MATEMTICA 23
Resolver a equao
2 sen x 2 = 0 sabendo que 0 x 360.
RESOLUO:
2 sen x 2 = 0
2 sen x = 2
sen x =
V = {45, 135}
(FGV) A equao 4 . sen2x = 1, para 0 x 360, temconjunto verdade igual a:
a) {30} b) {60} c) {30; 210}
d) {30; 150} e) {30; 150; 210; 330}
RESOLUO:
Para 0 x 360, temos:
sen2x = sen x =
Portanto:
x = 30 ou x = 150 ou x = 210 ou x = 330
Resposta: E
Os valores de x tal que sen2x 1 = 0 e 0 x 2 so:
a) 0 e b) e c) e
d) e e) e
RESOLUO:
sen2x 1 = 0
sen2x = 1
sen x = 1
sen x = 1
V = ,
Resposta: B
Resolver a inequao 2 sen x 1 > 0 sabendo que 0 x 360.
RESOLUO:
2 sen x 1 > 0
2 sen x > 1
sen x >
V = {x | 30 < x < 150}
12
}322{
53
3
34
4
3
6
32
2
12
14
2
2
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MATEMTICA24
27 Funo cosseno Cosseno
2. Variao da funo cossenoEnquanto o ponto P percorre a primeira volta, no sentido anti-horrio, o nmero real x varia de 0 a 360 e o cosseno
de x varia de 1 a 1. Observe, na tabela a seguir, as vrias situaes possveis:
1. DefinioO cosseno de um arco trigonomtrico AP
, de ex -
tremidade P, a abscissa do ponto P. Representa-se:
A cada nmero real x corresponde um nico ponto P,extremidade do arco AP
de medida x. A cada ponto P, por
sua vez, corresponde uma nica abscissa chamada cos -seno de x.
A funo de em que a cada nmero real xassocia a abscissa do ponto P , por definio, afuno cosseno.
Simbolicamente
Observaes
A definio dada coerente com aquela apresentadano tringulo retngulo.
De fato, se 0 < x < ento P pertence ao pri meiro
quadrante e alm disso OP = 1 (raio).Assim sendo, no tringulo OMP retngulo em M,
temos:
cos x =
cos x =
cateto adjacentecos x =
hipotenusa
OMOP
2
cos AP
= OM
f : tal que f(x) = cos x = OM cos x = OMOM
1
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MATEMTICA 25
a) Positiva no primeiro e quartoquadrantes; ne gativa no segundo eterceiro quadrantes.
b) Crescente no terceiro equarto quadrantes; decrescente noprimeiro e segundo quadrantes.
c) Par, pois cos ( x) = cos x.
d) Peridica de perodo 2.
cos 40 > 0cos 100 < 0 cos 200 < 0cos 290 > 0
cos 10 > cos 20cos 135 > cos 140cos 230 > cos 220cos 320 > cos 315
cos ( 50) = cos 50
3. GrficoNotando que cos x = cos(x 2), pois x e x 2 so as medidas de arcos de mesma extremidade, e de acordo
com a tabela do item anterior, conclumos que o grfico da funo f : tal que f(x) = cos x :
e o conjunto imagem {y 1 y 1}.
4. PropriedadesDo que foi apresentado nos itens (1), (2) e (3), po de mos concluir que a funo cosseno :
Resolver a equao cos x = sabendo que 0 x 360
Resoluo
x = 120 ou x = 240
Resposta: V = {120; 240}
Esboar o grfico da funo g(x) = 2 . cos x, no in tervalo [0; 2].
Resoluo
Observe que o grfico do cosseno abriu no sentido ver tical, resultandoimagem Im [g(x)] = [ 2; 2] e man tendo o perodo P = 2.
1
cos x = 2
0 x 360
12
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MATEMTICA26
Utilizando a figura, complete as definies:
RESOLUO:
cos AP = OM cos
AQ = ON
Utilizando o ciclo trigonomtrico abaixo, complete a tabela.
a) cos 30 = cos 330 =
b) cos 150 = cos 210 =
c) cos 45 = cos 315 =
d) cos 135 = cos 225 =
e) cos 60 = cos 300 =
f) cos 120 = cos 240 =
g) cos 90 = cos 270 =
h) cos 0 = cos 360 =
i) cos 180 = 1
1
0
1 2
12
2
2
2
2
3
2
3
2
(MODELO ENEM) Duas plataformas martimas (A e B) estolocalizadas de tal forma que os ngulos de emisso de sinais de comu -nicao com a base de um poo submarino so, respectivamente,iguais a 120 e 30, conforme indica a figura a seguir:
Admitindo-se que os sinais se desloquem em linha reta at a base dopoo e que a distncia entre as plataformas A e B, em linha reta, sejaAB = 1 km, a maior distncia entre a base do poo e uma das duas
plataformas, em km, , aproximadamente, igual a:a) 1,7 b) 1,5 c) 1,3 d) 1,1 e) 1,0Resoluo
cos 30 = = d = 3 1,7
Resposta: A
d/2
13
2
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar, digiteMAT1M204
No Portal Objetivo
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-
MATEMTICA 27
Esboce o grfico da funo f:[0; 2] definida por f(x) = cos x
RESOLUO:
Com base no grfico do exerccio anterior, complete:
a) O perodo da funo f : tal que
f(x) = cos x
b) O conjunto imagem da funo f : tal que
f(x) = cos x
(MODELO ENEM) Uma mquina produz diariamente xdezenas de certo tipo de peas. Sabe-se que o custo deproduo C(x) e o valor de venda V(x) so dados, aproxi mada -mente, em mi lhares de reais, respectivamente, pelas funes
C(x) = 2 cos e V(x) = 32 sen , 0 x 6.
O lucro, em reais, obtido na produo de 3 dezenas de peas a) 500. b) 750. c) 1000. d) 2000. e) 3000.
RESOLUO:
Para x dezenas de certo produto, o lucro em milhares de reais
obtido por: L(x) = V(x) C(x)
Para x = 3, resulta:
L(3) = 3 . 2 . sen 2 cos == 3 . 2 . sen 2 + cos =
= 3 . 2 . 2 + 0 = 3 2 = 1.
Portanto, o lucro, em reais, obtido na produo de 3 dezenas
dessas peas 1000.
Resposta: C
2
2
24
3 . 63 . 12
x6 x
12
Im(f) = [ 1; 1]
p = 2
28Equaes e inequaes queenvolvem a funo cosseno
Resumo tericoA funo cosseno definida em por f(x) = cos x tem
as seguintes caractersticas:a) Domnio de f: D(f) = b) Contradomnio de f: CD(f) = c) Conjunto-imagem: Im(f) = [ 1; 1]d) Grfico: cossenoide
e) Para 30, 150, 210 e 330 temos:
cos 30 = cos 330 =
cos 150 = cos 210 =
f) Para 45, 135, 225, 315 temos:
cos 45 = cos 315 =
cos 135 = cos 225 = 22
22
3
2
3
2
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-
MATEMTICA28
(MODELO ENEM) No setor de pintura de peas em uma fbrica,a presso em um tambor de ar comprimido varia com o tempoconforme a expresso:
P(t) = 50 + 30 . cos t + , t > 0.O valor de t para o qual a presso mnima pode ser:
a) 3 b) c) 2 d) e)
Resoluo
Como 1 cos t + 1, o valor mnimo de P(t) obtido
quando cos t + = 1. Como t > 0, temos:t + = + n . 2 (n ) t = + n . 2 (n ).
Os possveis valores de t, so: ; ; ;
Dentre as alternativas, temos: t =
Resposta: D
2
5
2
9
25
2
2
2
2
2
3
25
2
2
g) Para 60, 120, 240 e 300 temos:
cos 60 = cos 300 =
cos 120 = cos 240 =
h) Para 0, 90, 180, 270 e 360 temos:
cos 0 = cos 360 = 1
cos 90 = cos 270 = 0
cos 180 = 112
12
Resolver a equao 2 cos x 1 = 0 sabendo que 0 x 2.
RESOLUO:
2 cos x 1 = 0
2 cos x = 1
cos x =
V = ;
O valor de x, 0 x , tal que
4 . (1 sen2x) = 3
a) b) c) d) e) 0
RESOLUO:
4 . (1 sen2x) = 3 4 . cos2x = 3
cos2x = cos x =
Para 0 x , resulta x = .
Resposta: D
Resolva a equao 4 cos2x 3 = 0 sabendo que 0 x 360.
RESOLUO:
4 cos2x 3 = 0
cos2x =
cos x =
V = {30; 150; 210; 330}
Resolver a inequao 2 cos x 1 < 0 sabendo que 0 x 360.
RESOLUO:
2 cos x 1 < 0
2 cos x < 1
cos x <
V = {x | 60 < x < 300}
12
32
34
6
2
3
2
34
6
4
3
2
2
53
3
12
C2_1AMAT_Prof 2011 04/12/10 08:53 Pgina 28
-
MATEMTICA 29
Resolver a inequao 2 . cos x + 1 0 para 0 x 2
RESOLUO:
2 . cos x + 1 0
2 . cos x 1
cos x
cos x
V = x x
(MODELO ENEM) A figura a seguir representa uma casade campo que possui uma varanda.
O comprimento do telhado, em metros, ser de:a) 5 b) 5 . 2 c) 10 . 2d) 25 . 2 e) 50 . 2
Dados: seno 45 = ; cosseno 45 = ;
tangente 45 = 1
RESOLUO:Se for o comprimento do telhado, ento:
cos 45 = = = = 5 . 2
Resposta: B
2 . 5
2
5
2
2
2
22
2
12
2
2
345
4
29 Funo tangente Tangente
1. DefinioConsideremos, no ciclo trigonomtrico de origem A,
o eixo t perpendicular ao eixo x e de origem A, chamadoeixo das tangentes.
Seja, ainda, T a interseco da reta OP
com o eixo t.
A tangente do arco trigonomtrico AP
, de extre -
midade P, com P B e P D, a medida algbrica do
segmento AT
.
Representa-se:
A cada nmero real x corresponde um nico ponto P,
extremidade do arco AP
de medida x. A cada ponto P,
por sua vez, corresponde uma nica medida algbrica
AT, chamada tangente de x.A funo de em que a cada nmero real x as -
socia a medida algbrica AT , por definio, a funotangente.
Simbolicamente
Observao
A definio coerente com aquela apresen tada no
tringulo retngulo.
De fato, se 0 < x < ento P pertence ao pri mei-
ro quadrante e alm disso OA = 1 (raio).
2
f : + n , n tal que f(x) = tg x = AT2
tg AP
= AT
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MATEMTICA30
2. Variao da funo tangenteEnquanto o ponto P percorre a primeira volta no sentido anti-horrio, o nmero real x varia de 0 a 360, e a
tangente varia de a + . Observe na tabela a seguir as vrias situaes possveis.
3. GrficoNotando que tg x = tg(x ), pois x e x so as medidas de arcos de mesma extremidade, de acordo com a
tabela do item anterior, conclumos que o grfico da funo f : { + n , n } tal que f(x) = tg x :
e o conjunto imagem .
2
Assim sendo, no tringulo OAT retngulo em A, te -mos:
tg x =
tg x = AT
1
tg x = AT
cateto opostotg x =
cateto adjacente
ATOA
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-
MATEMTICA 31
4. PropriedadesDo que foi exposto nos itens (1), (2) e (3), podemos
concluir que a funo tangente :a) Positiva no primeiro e ter cei ro quadrantes; ne -
ga tiva no segundo e quarto quadrantes.b) Crescente em cada quadrantec) mpar, pois tg(x) = tg x
d) Peridica de perodo .
Resolver a equao tg x = 1 sabendo que0 x 360.
Resoluo
x = 45 ou x = 225
Resposta: V = {45; 225}
(MODELO ENEM) Quando Eugnioentrou em sua sala de aula, havia o seguinte
problema no quadro-negro: Numa indstria
deseja-se construir uma rampa com inclinao
de graus para vencer um desnvel de 4 m.Qual ser o com primento da rampa? Mas, o
professor j havia apagado os valores de sen
e cos , restando apenas tg = . Eugnio
usou seus conhecimentos de trigonometria e
determinou que o com pri men to da rampa :
a) 6 6 b) 8 2 c) 10 2
d) 12 2 e) 14 2
Resoluo
tg = = 2 y = 20
y = 102
x2 = 42 + (102 )2 x2 = 16 + 200
x2 = 216 x = 66
Resposta: A
4y
2
5
2
5
tg x = 10 x 360
Utilizando a figura, complete as definies
RESOLUO: tg AP = AT tg
AQ = AT
Determinar graficamente e completar os itens abaixo.a)
tg 30 = tg 150 =
tg 210 = tg 330 = 33
33
33
33
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar, digiteMAT1M205
No Portal Objetivo
C2_1AMAT_Prof 2011 04/12/10 08:53 Pgina 31
-
MATEMTICA32
b)
tg 45 = 1 tg 135 = 1
tg 225 = 1 tg 315 = 1
c)
tg 60 = 3 tg 120 = 3
tg 240 = 3 tg 300 = 3
Completar a tabela abaixo e em seguida esboar o gr -
fico da funo y = tg x no intervalo < x < , deter mi -
nando o conjunto imagem e o perodo da mes ma.
RESOLUO:
Im =
p =
(MODELO ENEM) Um mastro vertical est instalado emum local em que o terreno horizontal.Uma pessoa que est distncia d da base do mastro v o seutopo sob um ngulo de 30. Se ela se afastar do mastro e parar distncia 2d da base do mastro, ver o topo do mastro sobum ngulo , conforme figura.
Ento correto afirmar quea) a medida de 60.b) a medida de 15.c) a tangente de a metade da tangente de 30.d) a tangente de o dobro da tangente de 30.e) a medida de 30.
RESOLUO:
Sendo h a altura do mastro, temos:
= . = tg =
Resposta: C
tg 30
2
12
dh
h2d
tg tg 30
htg =
2d
htg 30 =
d322
x
2 0
6
4
3
2
32
tg x / 0 33
1 3 / 0 /
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-
MATEMTICA 33
g) Para 30, 150, 210 e 330 temos:
tg30 = tg 210 =
tg150 = tg 330 =
h) Para 45, 135, 225 e 315 temos:
tg 45 = tg 225 = 1
tg 135 = tg 315 = 1
i) Para 60, 120, 240 e 330 temos:
tg 60 = tg 240 = 3
tg 120 = tg 300 = 333
3
3
30Equaes e inequaes queenvolvem a funo tangente
Resumo tericoA funo tangente definida por f(x) = tg x, tem as seguintes caractersticas:
a) D(f) = x | x + n . (n ) b) CD(f) = Im(f) =
c) Grfico
d) peridica de perodo . e) crescente em cada quadrante. f) mpar pois tg(x) = tgx
2
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-
MATEMTICA34
Resumo terico1. Funo seno
a) f : tal que f(x) = sen x = ON
b) o conjunto imagem [1; 1] e o perodo 2
2. Funo cossenoa) f : tal que f(x) = cos x = OM
b) o conjunto imagem [1; 1] e o perodo 2
3. Funo tangente
a) f : {x x + n } tal que f(x) = tg x = AT
b) o conjunto imagem e o perodo
2
Resolver a equao tg x = 3, supondo 0 x < 360.
RESOLUO:
tg x = 3V = {60; 240}
Resolva a equao 3 tg x 3 = 0 supondo 0 x < 2.
RESOLUO:
3 tg x 3 = 0
tg x =
V = ;
Resolver a equao 3tg2x 3 = 0 supondo 0 x < 360.
RESOLUO:
3 tg2x 3 = 0
tg2x = 1
tg x = 1
V = {45; 135; 225; 315}
Resolver a inequao 0 tg x 1 supondo 0 x < 360.
RESOLUO:0 tg x 1
V = {x 0 x 45 ou 180 x 225}
76
6
3
3
31 e 32 Equaes trigonomtricas
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MATEMTICA 35
4. Para 30, 150, 210 e 330temos:sen 30 = sen 150 = ;
sen 210 = sen 330 =
cos 30 = cos 330 = ;
cos 150 = cos 210 =
tg 30 = tg 210 = ;
tg 150 = tg 330 =
5. Para 45, 135, 225 e 315temos:
sen 45 = sen 135 = ;
sen 225 = sen 315 =
cos 45 = cos 315 = ;
cos 135 = cos 225 =
tg 45 = tg 225 = 1;
tg 135 = tg 315 = 1
6. Para 60, 120, 240 e 300temos:
sen 60 = sen 120 = ;
sen 240 = sen 300 =
cos 60 = cos 300 = ;
cos 120 = cos 240 =
tg 60 = tg 240 = 3 ;
tg 120 = tg 300 = 3
12
12
3
2
3
2
22
22
22
22
3
3
33
32
32
12
12
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MATEMTICA36
Resolva a equao tg2x tg x = 0, supondo 0 x < 360
RESOLUO:
tg2x tg x = 0
tg x = 0tg x (tg x 1) = 0
tg x = 1
V = {0; 45; 180; 225}
Se sec2x + tg x 7 = 0 e 0 < x < , ento o valor de
sec x ser
a) 5 b) c) d) e) 5
RESOLUO:
sec2x + tg x 7 = 0 tg2x + tg x 6 = 0
tg x = 2 ou tg x = 3 tg x = 2 pois 0 < x <
tg2x + 1 = 5 sec2x = 5 sec x = 5
Resposta: A
(FUVEST) O dobro do seno de um ngulo , 0 < < ,
igual ao triplo do quadrado de sua tangente. Logo, o valor de
seu cosseno :
a) b) c) d) e)
RESOLUO:
Sendo 0 < < , temos:
2 . sen = 3 . tg2 2 . sen = 3 .
2 = 3 . 2 cos2 = 3 . sen
2 . (1 sen2) = 3 . sen 2 . sen2 + 3 . sen 2 = 0
sen = ou sen = 2(impossvel)
Para sen = e 0 < < , temos cos =
Resposta: B
Resolva a equao 4 sen2(x) 3 = 0 supondo 0 x < 360.
RESOLUO:
4 . sen2(x) 3 = 0
sen2(x) =
sen(x) =
x = 60
sen(x) =x = 120
x = 240
sen(x) = x = 300
V = {60; 120; 240; 300}
3
2
3
2
34
34
3
2
2
12
12
sen cos2
sen2cos2
2
33
12
22
32
23
2
2
14
15
5
5
2
Exerccios Propostos Mdulo 31
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-
MATEMTICA 37
Resolva, em , as equaes de a .
2 sen(x) 1 = 0
RESOLUO:
2 sen (x) 1 = 0
sen (x) =
x = 30 + n . 360 ou
x = 150 + n . 360
V = {x x = 30 + n . 360 ou x = 150 + n . 360, n }
2 cos x = 3
RESOLUO:
2 cos x = 3
cos x =
V = {x x = 30 + n . 360, n }
3 tg2x 3 tg x = 0
RESOLUO:
tg x . (3 . tg x 3) = 0tg x = 0 x = n . 180
ou
tg x = x = 30 + n . 180
V = {x x = n . 180 ou x = 30 + n . 180, n }
2 cos2x + 5 sen x 4 = 0
RESOLUO:
2 cos2x + 5 . sen x 4 = 0
2(1 sen2x) + 5 sen x 4 = 0
2 . sen2x + 5 . sen x 2 = 0
Fazendo y = sen x, temos:
2 . y2 + 5 . y 2 = 0 y = 2 ou y =
y = sen x = 2, / x
y = sen x =
V = {x x = 30 + n . 360 ou x = 150 + n . 360, n }
x = 30 + n . 360oux = 150 + n . 360
12
12
3
3
3
2
1
2
Exerccios Propostos Mdulo 32
C2_1AMAT_Prof 2011 04/12/10 08:53 Pgina 37
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MATEMTICA38
1. Sentena aberta e equao Analisando as sentenas(I) 2 . 6 1 = 13(II) 2 . 7 1 = 13(III) 2 . x 1 = 13
podemos fazer as seguintes consideraes:a sentena (I) falsa, pois 2 . 6 1 = 12 1 = 11 13;a sentena (II) verdadeira, pois 2 . 7 1 = 14 1 = 13;
a sentena 2x 1 = 13 no verdadeira nem falsa, poisx, chamado varivel, representa qualquer nmero. Estetipo de sentena um exemplo de sentena aberta.
Toda sentena aberta na forma de igualdade chamada equao.
Substituindo x por 7, a sentena aberta 2x 1 = 13se transforma em 2 . 7 1 = 13, que uma sentenaverdadeira. Dizemos ento que 7 uma raiz (ou umasoluo) da equao 2x 1 = 13.
Substituindo x por 6 a sentena aberta 2x 1 = 3 setransforma em 2 . 6 1 = 13 que falsa. Dizemos entoque 6 no raiz da equao 2x 1 = 13.
2. Raiz e conjunto verdadeRaiz (ou soluo) de uma equao um nmero que
transforma a sentena aberta em sentena verdadeira.Conjunto verdade ou conjunto soluo de uma equa -o o conjunto de todas, e somente, as razes. Re sol -ver uma equao determinar o seu conjunto ver -dade.
Exemplos1. O nmero 2 raiz da equao 3x 1 = 5, pois
substituindo x por 2 a sentena aberta 3x 1 = 5 setrans forma em 3 . 2 1 = 5, que uma sentenaverdadeira.
2. O nmero 4 no raiz da equao 3x 1 = 5, pois,subs tituindo x por 4, a sentena aberta 3x 1 = 5 setrans forma em 3 . 4 1 = 5, que uma sentena falsa.
3. Equao do 1o. grauEquao do 1o. grau toda sentena aberta, em x,
redutvel forma onde a e b so n -
meros reais dados e a 0.
ax + b = 0
lgebra Mdulos17 Equaes do 1o. grau18 Sistemas de equaes19 Equaes do 2o. grau
Frmula de Bskara20 Soma e produto
mtodo da tentativa21 Equaes
redutveis a 1o. e 2o. graus22 Problemas de 1o. e 2o. graus23 Conjuntos numricos
24 Funo polinomial do 1o. grau25 Funo polinomial do 2o. grau26 Vrtice e conjunto-imagem27 Vrtice e conjunto-imagem 28 Inequaes do 1o. grau29 Inequaes do 2o. grau30 Sistemas de inequaes31 Inequaes tipo quociente
e tipo produto32 Quadro de sinais
17 Equaes do 1o. grau Raiz (ou soluo) Conjunto verdade
Gottfried Leibniz (1946 1716)A ele atribuda a criao
do termo funo
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MATEMTICA 39
Notando que ax + b = 0 ax = b x = ,
para a 0, conclumos que o conjunto verdade da equa-
o V = .
4.A equao ax + b = 0,resolvida em Analisando a equao ax + b = 0, com a, b ,
temos as seguintes hipteses:
Para a 0, a equao ax + b = 0 admite umanica soluo, pois do primeiro grau.
Assim: .
Para a = 0 e b 0, a equao ax + b = 0 no tem
soluo, pois a sentena sempre falsa. Neste caso,
Para a = 0 e b = 0, a equao ax + b = 0 admite
todos os nmeros reais como soluo, pois a sentena
0 . x + 0 = 0 sempre verdadeira. Neste caso .V =
V =
bV = a
ba
ba
O conjunto-soluo da equao 2x 6 = 0 V = {3}, pois 2x 6 = 0 2x = 6 x = 3.
O conjunto-verdade da equaox + 2 = x + 3 , pois x + 2 = x + 3 0 . x = 1,
que uma sentena sempre falsa.
Resolvendo, em , a equao 4x 12 = 4.(x 3) obtemos, como conjunto
verdade, o pr prio , pois 4x 12 = 4 . (x 3)
4x 12 = 4x 12 0 . x = 0, que uma
sentena sem pre verdadeira.
Resolvendo a equao
= obte mos
V = pois:
=
=
9x 2x 4 = 2 7x = 6 x =
Qual a distncia percor rida por umabicicleta sabendo que a roda da frente, que tem
65 cm de dimetro, deu 100 vol tas a mais que
a roda traseira, que tem 70 cm de dimetro?
Supor =
Resoluo
Sendo x o nmero de voltas dadas pela roda
traseira e 2R o comprimento de uma cir -
cunferncia de raio R temos:
2 . . . (x + 100) = 2 . . . x
65 . (x + 100) = 70 x x = 1300
Se a roda traseira, de dimetro 70 cm, deu
1300 voltas ento a distncia percorrida :
2 . . . 1 300 . 70 . 1 300 =
= 286 000 (cm)
Resposta: A distncia percorrida pela
bicicleta 2,86 km.
(FAAP MODELO ENEM) Uma escolaresolveu descobrir qual a modalidade espor -tiva preferida pelos alunos. Cada estudantepoderia escolher ape nas uma modalidade. Dototal de alunos pesquisados, 2/5 escolheram ofutebol e 1/4 dos restantes indicaram ovoleibol. 72 alunos no optaram nem porfutebol, nem por vlei. O total de alunospesquisados foi:a) 120 b) 144 c) 160d) 288 e) 320Resoluo
Sendo x o nmero de alunos pesquisados,temos:
x = . x + . x .x + 72
x = . x + . . x + 72
20x = 8x + 3x + 1440
9x = 1440 x = 160
Resposta: C
35
14
25
251
4
25
22
7
70
2
70
2
65
2
22
7
67
26
9x 2 (x + 2)
6
13
x + 2
3
3x
2
67
13
x + 2
3
3x
2
Resolva, em , a equao x [2x (3 x)] 3 . (x2 1) = 0.
RESOLUO:
2x2 3x + x2 3x2 + 3 = 0 3x + 3 = 0 x = 1
V = {1}
Resolva, em , a equao x = + 2
RESOLUO:
= 4x + 2 = x + 13
3x = 11 x = V = 113
113
x + 1 + 12
66x 2x + 2
6
x + 1
6
x 1
3
C2_1AMAT_Prof 2011 04/12/10 08:53 Pgina 39
-
MATEMTICA40
(ESPM MODELO ENEM) Do centro de uma cidade ato aeroporto so 40 km por uma grande avenida. Os txis quesaem do aeroporto cobram R$ 3,60 pela bandeirada e R$ 0,80por quilmetro rodado. Os que saem do centro cobram R$ 2,00pela bandeirada e R$ 0,60 por quilmetro rodado. Dois amigosse encontraram num restaurante que fica nessa avenida,sendo que um tomou o txi que sai do aeroporto e o outrotomou o que parte do centro e, para surpresa dos dois, os seusgastos foram exatamente iguais. A distncia do restaurante aoaeroporto de:a) 10 km; b) 12 km; c) 14 km;d) 16 km; e) 18 km.
RESOLUO:
Sendo x a distncia em km do restaurante (R) ao aeroporto (A), e
40 km a distncia do centro (C) ao aeroporto (A), temos:
3,6 + 0,8.x = 2 + 0,6 . (40 x) 3,6 + 0,8.x = 2 + 24 0,6 . x
1,4.x = 22,4 x = 16
Resposta: D
(UFV MODELO ENEM) Em um programa de televiso,um candidato deve responder a 20 perguntas. A cada perguntarespondida cor retamente, o candidato ganha R$ 500,00, eperde R$ 300,00 por pergunta no respondida ou respondidaincor retamente. Se o candidato ganhou R$ 7 600,00, o nmerode perguntas que acertou :a) 19 b) 16 c) 20 d) 17 e) 18
RESOLUO:Sendo x o nmero de perguntas respondidas corretamente,temos:500.x 300.(20 x) = 7600 5.x 60 + 3x = 76 8x = 136 x = 17Resposta: D
(MODELO ENEM) Um grupo de 50 pessoas fez umoramento inicial para organizar uma festa, que seria divididoentre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que 10 pes soashaviam desistido de participar da festa e que cada partici pantedeveria contribuir com mais R$ 6,40, pois o valor total da festano seria alterado.De acordo com essas informaes, qual foi o valor da cota cal cu -lada no acerto final para cada uma das pessoas participantes?a) R$ 14,00. b) R$ 17,00. c) R$ 22,00.d) R$ 32,00. e) R$ 57,00.
RESOLUO:Sendo x a cota de cada uma das pessoas do grupo participante,em reais, temos:50 . (x 6,40) = (50 10) . x 50 . (x 6,40) = 40 . x 5x 32 = 4x x = 32Resposta: D
(MODELO ENEM) Como resultado do aquecimento daTerra, algumas geleiras esto derretendo. Doze anos depois dodesa parecimento das geleiras, pequenas plantas chama das li -quens come aram a crescer nas pedras. Cada lquen cresce deforma mais ou menos circular. A rela o entre o dimetro des -se crculo e a idade do lquen pode ser calculada, aproxima -damente, pela frmula
d = 7,0 . t 12 , para t 12.
Nessa frmula, d representa o dimetro do lquen em mil me -tros e t representa o nmero de anos passados depois do desa -parecimento das geleiras.O nmero de anos aps o desaparecimento das geleiras paraque o dimetro do lquen seja 35mm, :a) 21 b) 28 c) 35 d) 37 e) 48
RESOLUO:
Na relao d = 7,0 . t 12, para d = 35, temos:
35 = 7,0 . t 12 5 = t 12
t 12 = 25 t = 37
Resposta: D
C2_1AMAT_Prof 2011 16/08/11 14:10 Pgina 40
-
MATEMTICA 41
Note que , , e so
algumas das solues da equao .
Alm disso, , , e
so algumas das solues da equao .
Note ainda que x = 8 e y = 1 soluo das equaes
x + y = 9 e x y = 7, e portanto o par (8, 1) soluo do
sistema .
Assim sendo, soluo de um sistema de duas equa -
es e duas incgnitas x e y qualquer par ordenado
(x; y) que satisfaz as duas equaes.
x + y = 9x y = 7
x y = 7
x = 7y = 0
x = 8y = 1
x = 9y = 2
x = 10y = 3
x + y = 9
x = 1y = 10
x = 10y = 1
x = 8y = 1
x = 1y = 8
18 Sistemas de equaes Substituio Adio
Determinar o conjunto soluo do sistema
, pelo mtodo da substituio
Resoluo
Fazendo , de (I) temos:
()
Substituindo em (II) resulta
3x + 2 = 4
15x + 2 4x = 20 11x = 22
()
Substituindo () em () obtm-se:
Resposta: V = {( 2; 1)}
Determinar o conjunto soluo do sistema
, pelo mtodo da adio.
Resoluo
Faamos
Adicionaremos membro a membro as equa -
es, depois de multiplicar (I) por ( 2) e (II)
por 5.
11x = 22
Agora, adicionaremos membro a mem bro as
equa es, depois de multipicar (I) por 3 e (II)
por ( 2).
11y = 11
Resposta: V = {( 2; 1)}
(MODELO ENEM) Atualmente, asmontadoras tm con centrado sua fabri caoem veculos bicombustveis, ou seja, veculosmovidos a lcool e/ou gasolina. Fabianacomprou um veculo bicombustvel e gastou R$ 79,20 (setenta e nove reais e vintecentavos) para encher o tanque, que comporta50 litros. Considerando-se que, no posto emque Fabiana abasteceu, um litro de gasolinacusta R$ 2,40 (dois reais e quarenta centavos)e um litro de lcool custa R$ 1,20 (um real evinte centavos), as quantidades de litros,respectiva mente, de gasolina e de lcool,utilizadas para encher o tanque foram dea) 38 e 12. b) 34 e 16. c) 25 e 25.d) 16 e 34. e) 12 e 38.ResoluoSe a for a quantidade de litros de lcool e g a degasolina, ento:
Resposta: D
a = 34g = 16
a + g = 50g = 16
a + g = 5012g = 192
12a 12g = 60012a + 24g = 792
a + g = 501,2a + 2,4g = 79,20
y = 1
6x + 15y = 3 6x 4y = 8
x = 2
4x 10y = 2 15x + 10y = 20
2x + 5y = 1 (I)3x + 2y = 4 (II)
2x + 5y = 13x + 2y = 4
y = 11 2 ( 2)
y = 5
x = 2
1 2x5
1 2xy =
5
2x + 5y = 1 (I)
3x + 2y = 4 (II)
2x + 5y = 13x + 2y = 4
Resolva, o sistema
RESOLUO:
Mtodo da adio:
Faamos:
Adicionaremos membro a membro as equaes, depois de
multiplicar (I) por 2:
7x = 7 ()x = 1
4x 2y = 2 3x + 2y = 5
2x y = 1 3x + 2y = 5
2x y = 1 3x + 2y = 5
C2_1AMAT_Prof 2011 04/12/10 08:53 Pgina 41
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MATEMTICA42
Substituindo-se () em uma das equaes, (I) por exemplo,
obtemos: 2 . (1) y = 1
V = {(1; 1)}
(ENEM) Uma companhia de seguros levantou dadossobre os carros de determinada cidade e constatou que soroubados, em mdia, 150 carros por ano.O nmero de carros roubados da marca X o dobro do nmerode carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntasrespondem por cerca de 60% dos carros roubados.O nmero esperado de carros roubados da marca Y :a) 20. b) 30. c) 40. d) 50. e) 60.
RESOLUO:Sendo x e y respectivamente, o nmero de carros roubadosdurante um ano, das marcas X e Y tem-se:
O nmero esperado de carros roubados da marca Y, durante umano, 30.Resposta: B
(UNIFESP MODELO ENEM) Numa determinadalivraria, a soma dos preos de aquisio de dois lpis e umestojo R$ 10,00. O preo do estojo R$ 5,00 mais barato queo preo de trs lpis. A soma dos preos de aquisio de umestojo e de um lpis a) R$ 3,00. b) R$ 4,00. c) R$ 6,00.d) R$ 7,00. e) R$ 12,00.
RESOLUO:Sendo x o preo de 1 lpis e y o preo de 1 estojo, ento:
x = 3 e y = 4
Portanto: x + y = 7Resposta: D
As idades de um pai e de seu filho somam hoje 30 anos.Daqui a 12 anos, a idade do pai ser o dobro da do filho. A idadedo pai hoje:a) 6 anos b) 18 anos c) 24 anosd) 30 anos e) 36 anos
RESOLUO:Sendo x a idade atual do pai e y a idade atual do filho, em anos,temos:
3x = 72 x = 24
Resposta: C
(FEI MODELO ENEM) O professor Joo tem R$ 275,00 em notas de R$ 5,00 e R$ 10,00; se o nmero totalde cdulas 40, a diferena entre o nmero de notas de R$ 5,00 e R$ 10,00 :a) 6 b) 8 c) 10 d) 15 e) 20
RESOLUO:Se x for o nmero de cdulas de R$ 5,00 e y for o nmero decdulas de R$ 10,00, ento:
Resposta: C
x = 1
x + y = 40x + 2y = 55
x + y = 405x + 10y = 275
2x + 2y = 60x 2y = 12
x + y = 30x 2y = 12
x + y = 30x + 12 = 2 . (y + 12)
2x + y = 103x y = 5
x = 60y = 30
x = 2y2y + y = 90
x = 2yx + y = 60% .150
x y = 40x + 2y = 55 x = 25
x y = 10y = 15
C2_1AMAT_Prof 2011 04/12/10 08:53 Pgina 42
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MATEMTICA 43
1. Definio toda sentena aberta, em x, redutvel ao tipo
ax2 + bx + c = 0, com a *, b e c .
2. Resoluo para o caso e
ax2 + bx + c = 0 ax2 + bx = 0 x (ax + b) = 0
x = 0 ou x = V = 0;
3. Resoluo para o caso
e
ax2 + bx + c = 0 ax2 + c = 0 ax2 = c
x2 = V = se a e c forem de
sinais contrrios, ou V = se a e c forem de mesmo
sinal, para x .
4. Resoluo para o caso e
ax2 + bx + c = 0 ax2 = 0 x2 = 0 V = {0}
5. Resoluo do caso geralA sentena ax2 + bx + c = 0 equivalente a
, onde o discriminante
da equao.
Assim, sendo V o conjunto verdade, em , temos:
b + b > 0 ; 2a 2a
b = 0 V = 2a < 0 V =
= b2 4ac b x = 2a
c = 0b = 0
c ac
a
c 0b = 0
bab
a
b 0c = 0
19Equaes do 2o. grau Frmula de Bskara
Razes (ou solues) Conjunto verdade
Resolver, em , a equao 2x2 8x = 0Resoluo
2x2 8x = 0 2x . (x 4) = 0
x = 0 ou x = 4 V = {0; 4}
a) Resolver, em a equao 3x2 12 = 0
Resoluo
3x2 12 = 0 3x2 = 12 x2 = 4 x = 4 x = 2 V = { 2; 2}
b) Resolver, em , a equao 3x2 +12 = 0
Resoluo
3x2 + 12 = 0 3x2 = 12 x2 = 4 V =
Resolver a equao 2x2 3x 2 = 0ResoluoNotando que = ( 3)2 4 . 2 . ( 2) = 25,temos:
( 3) 25 3 5 3 + 5x = = x = ou
2 . 2 4 43 5 1
x = x = 2 ou x = 4 2
1 V = 2; 2 (MODELO ENEM) A partir do instanteem que foi identificado um vazamento em umtanque de gua, os tcnicos afirmaram que aquantidade total, em litros, de gua no tanque,indicada por Q(t), aps t horas de vazamento,seria dada pela funo Q(t) = t2 24t + 144.
Dividindo-se o total de gua no tanque, noinstante em que o vazamento foi identificado,pelo total de horas que ele levou para esvaziartotalmente, pode-se concluir que oescoamento mdio, nesse intervalo, em litrospor hora, foi igual a:a) 12 b) 12,5 c) 13d) 13,5 e) 14ResoluoI. Q(0) = 144 e, portanto, a quantidade de
litros de gua, no instante em que ovazamento foi identificado, era 144.
II. Q(t) = t2 24t + 144 = 0 t = 12III. Aps 12 horas, o tanque estar vazio.IV. O escoamento mdio, nesse intervalo, em
litros por hora, foi = 12.
Resposta: A
144
12
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar, digiteMAT1M206
No Portal Objetivo
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MATEMTICA44
Provar que a frmula resolutiva para a equao do
segundo grau, ax2 + bx + c = 0, x = ,
com = b2 4ac significa provar que
ax2 + bx + c = 0 x = , com = b2 4ac
Essa demonstrao foi feita por Bskara, muito tem -po atrs, valendo-se de alguns artifcios.Observe como foi1) ax2 + bx + c = 0 ax2 + bx = c
2) Multiplicando ambos os membros por 4a obtm-se: ax2 + bx = c 4a2x2 + 4abx = 4ac
3) Somando b2 aos dois membros da igualdadetemos: 4a2x2 + 4abx = 4ac
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 4ac
4) Substituindo b2 4ac por e supondo > 0temos: 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 4ac
4a2x2 + 4abx + b2 = (2ax + b)2 =
2ax + b = 2ax = b
x =
Logo: ax2 + bx + c = 0 x = , com
= b2 4ac
b
2a
b
2a
b
2a
b
2a
Saiba mais??
Resolva, em , a equao x2 4 = 0.
RESOLUO:x2 4 = 0 x2 = 4 x = 2 ou x = 2V = { 2, 2}
Resolva, em , a equao x2 + 4 = 0.
RESOLUO:x2 + 4 = 0 x2 = 4 /x V =
Resolva, em , a equao 5x2 10x = 0.
RESOLUO:5x2 10x = 0 5x(x 2) = 0 x = 0 ou x = 2V = {0, 2}
Resolva, em , a equao 12x2 7x + 1 = 0
RESOLUO:
I) = (7)2 4 . 12 . 1 = 1
II) x = x = x = ou x =
V = ;
Resolva, em , a equao x2 + 2x + 5 = 0.
RESOLUO:
Notemos que: = 22 4 . 1 . 5 = 16 < 0, logo, V =
7 1
2 . 12
7 1
24
14 13
14
13
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MATEMTICA 45
O grfico representa a trajetria de um projtil, desde oseu lanamento (ponto A) at retornar ao solo (ponto B).
Essa trajetria est contida na parbola de equao y = 2x2 + 7x e os pontos M e N, distam 3 m do solo. Adistncia em metros, entre os pontos M e N :a) 2 b) 2,5 c) 3 d) 3,5 e) 4
RESOLUO:
Devemos calcular as abscissas dos pontos M e N sabendo que a
ordenada desses pontos 3. Logo:
y = 2x2 + 7x = 3 2x2 7x + 3 = 0
x = x =
x = x = = 3 ou x = = = 0,5
Assim sendo, xM = 0,5, xN = 3 e a distncia pedida, em metros,
xN xM = 3 0,5 = 2,5
Resposta: B
7 ( 7)2 4 . 2 . 3
2 . 2
7 25
4
7 5
4
7 + 5
4
7 5
4
1 2
1. Soma e produto
Se x1 = e x2 = forem as razes
reais da equao ax2 + bx + c = 0, com a 0, S a soma
das razes e P o produto das mesmas, ento:
a) S = x1 + x2 = + =
= = =
b) P = x1 . x2 = . =
= = =
= = =
Logo :
O mtodo da tentativa consiste em obter as razesde uma equao do 2o. grau utilizando estas proprie -dades, sem o uso da frmula de Baskara.
2. Obteno de uma equao do2o. grau a partir de suas razesSendo S = x1 + x2 e P = x1 . x2, ento uma equao
do 2o. grau cujo conjunto verdade {x1; x2} ser:
x2 Sx + P = 0
bS = x1 + x2 = acP = x1 . x2 = a
ca
4ac4a2
b2 (b2 4ac)
4a2
b2 4a2
( b)2 ( )24a2
b
2a
b +
2a
b
a
2b
2a b + b
2a
b
2a
b +
2a
b
2a
b +
2a
20Soma e produto mtodo da tentativa
Soma das razes Produto das razes
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MATEMTICA46
Resolver, em , x2 5x + 6 = 0.Resoluo
S = x1 + x2 = = 5
P = x1 . x2 = = 6
Logo, as razes so 2 e 3, pois: 2 + 3 = 5 e 2 . 3 = 6Resposta: S = {2; 3}
Obter uma equao do 2o. grau cujas razesso 3 e 4.Resoluo
Sendo ax2 + bx + c = 0 x2 Sx + P = 0 com
a 0, temos: x2 (3 + 4)x + 3 . 4 = 0
x2 7x + 12 = 0Resposta: x2 7x + 12 = 0
(PUC-ADAPTADO MODELO ENEM) Um professor props a seus alunos a resoluode certa equao do 2o. grau. Um dos alunoscopiou errado apenas o coeficiente do 1o. grau
e encontrou as razes 1 e 3; outro copiouerrado apenas o termo constante, encontrandoas razes 2 e 4. A soma dos quadrados dasrazes da equao proposta por aquele profes -sor :a) 8 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18ResoluoSeja ax2 + bx + c = 0, com a 0, a equaoproposta pelo professor e {x1; x2} seu conjunto
soluo. Lembrando que x1 + x2 = e
x1 . x2 = temos:
1) O aluno que copiou errado apenas o coe -ficiente b acertou os coeficientes a e c eobteve o valor correto do produto das razese, portanto,
x1 . x2 = = 1 . ( 3) = 3
2) O aluno que copiou errado apenas o termoconstante acertou o valor da soma dasrazes e, portanto
x1 + x2 = = ( 2) + 4 = 2
3) Se a soma 2 e o produto 3, por ten ta -tiva, obtm-se as razes 3 e 1 e a soma dosseus quadrados 32 + ( 1)2 = 9 + 1 = 10.
4) Outra forma de resoluo obter a equaocorreta e resolv-la pois
x2 2x 3 = 0 x =
x = 3 ou x = 1
5) Poder-se-ia, ainda, obter a soma dos qua -drados sem obter as razes pois
(x1 + x2)2 = x1
2 + x22 + 2 . (x1 . x2)
22 = x12 + x2
2 + 2 . ( 3)
4 = x12 + x2
2 6
x12 + x2
2 = 10
Resposta: B
2 4
2
bS = x1 + x2 = = 2a
cP = x1 . x2 = = 3a
ba
ca
ca
ba
ca
ba
Empregando as propriedades da soma e do produto das razes,resolva, em , as equaes de a .
x2 7x + 10 = 0
RESOLUO:
S = = 7 P = = 10
Logo x = 2 ou x = 5. V = {2, 5}
x2 + 4x + 3 = 0
RESOLUO:
S = = 4 P = = 3
Logo x = 1 ou x = 3. V = { 3, 1}
x2 3x 10 = 0
RESOLUO:
S = = 3 P = = 10
Logo x = 2 ou x = 5. V = { 2, 5}
Determine uma equao do 2o. grau cujas razes so 4 e 6.
RESOLUO:Lembrando que ax2 + bx + c = 0 (a 0) x2 Sx + P = 0, temos:x2 [4 + ( 6)]x + [4 . ( 6)] = 0 x2 + 2x 24 = 0
Determine m para que uma das razes da equao x2 12x + (5m + 2) = 0 seja o dobro da outra.
RESOLUO:
Seja V = {, 2} o conjunto-verdade da equao
Assim, S = + 2 = = 4
Como = 4 raiz, temos: 42 12 . 4 + (5m + 2) = 0 m = 6
10
1
( 3)
1
31
4
1
10
1
(7)
1
( 12)
1
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTALOBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar,digite MAT1M207
No Portal Objetivo
C2_1AMAT_Prof 2011 04/12/10 08:53 Pgina 46
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MATEMTICA 47
(FUVEST) A soma e o produto das razes da equa o de
segundo grau (4m + 3n) x2 5nx + (m 2) = 0 valem,
respectivamente, e . Ento m + n igual a
a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5
RESOLUO:
Sabendo-se que na equao ax2 + bx + c = 0, a soma S das razes
e o produto P das razes , tem-se:
Logo, m + n = 9
Resposta: A
(MODELO ENEM) As promoes do tipo leve 5 epague 4, ou seja, levando-se um conjunto de 5 unidades,paga-se o preo de 4, acenam com um desconto sobre cadaconjunto vendido de a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 30%
RESOLUO:Na promoo, a cada 5 se tem o desconto de uma unidade e,
portanto, desconto de = 0,20 = 20%
Resposta: C
m = 5n = 4
20m 25n = 020m 9n = 64
5.(4m + 3n) = 5n . 832.(m 2) = 3 . (4m + 3n)
5n 5S = =
4m + 3n 8
m 2 3P = =
4m + 3n 32
ca
ba
15
332
58
1. Troca de variveisA equao x6 9x3 + 8 = 0, por exemplo, pode ser
transformada numa equao do 2o. grau fazendo umatroca de variveis.
Substituindo x3 por y obtm-se y resolvendo aequao do 2o. grau. Em seguida desfaz-se a troca edetermina-se a incgnita inicial x.
2. Equao tipo produtoLembrando que
pode-se resolver uma equao de grau maior que dois sefor possvel transform-la num produto de fatores do 1o. e 2o. graus.
3. Equaes irracionaisa) Definio
Equao irracional uma equao em que a incg -nita aparece sob um ou mais radicais.
b) ResoluoPara resolver uma equao irracional, devemos trans -
form-la eliminando os radicais. Para isso, eleva mos am -bos os membros da equao a expoentes con venien tes.
c) VerificaoElevando os dois membros da equao a expoentes
pares obtemos uma nova equao, nem sempre equi -valente equao inicial.
Note, por exempo, que x = 2 e x2 = 4 no possuem omesmo conjunto verdade. Isto nos obriga a verificar seca da raiz encontrada realmente raiz da equao origi nal.
a . b = 0 a = 0 ou b = 0
21Equaes redutveis a 1o. e 2o. graus
Substituio Fatorao Verificao
Resolva, em , a equao x6 9x3 + 8 = 0Resoluo
a) substituindo x3 por y temos:97
y2 9y + 8 = 0 y = 2
y = 1 ou y = 8
b) Desfazendo a troca temos:y = x3 = 1 x = 1y = x3 = 8 x = 2
Resposta: V = {1; 2}
Resolva, em , a equao x3 3x2 2x + 6 = 0
Resoluo
x3 3x2 2x + 6 = 0 x2(x 3) 2(x 3) = 0 (x 3)(x2 2) = 0 x 3 = 0 ou x2 2 = 0 x = 3 ou x = 2
Resposta: V = { 3, 2, 2 }
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MATEMTICA48
Resolver, em , a equao
x + 2 + x = 4.Resoluo
x + 2 + x = 4 x + 2 = 4 x (x + 2 )2 = (4 x)2 x + 2 = 16 8x + x2
x2 9x + 14 = 0 x = 7 ou x = 2
Verificao
x + 2+ x = 7 + 2 + 7 = 10; logo 7 no raiz.
x + 2 + x = 2 + 2 + 2 = 4;
logo 2 raiz.Resposta: V = {2}
(MODELO ENEM) De acordo com afrmula de Bskara, o conjunto so luo da
equa o x2 x 12 = 0 {4; 3}, pois:
1 . x2 1 . x 12 = 0
1 1 4 . 1 . ( 12) x =
2
1 49 1 7 x = = x = 4 ou x = 3
2 2
O conjunto soluo da equao
(1,4x 0,2)2 = 1,4x + 11,8 {a; b} com a > b.
O valor de 3a 2b :a) 21 b) 18 c) 16 d) 13 e) 8Resoluo
1) (1,4x 0,2)2 = 1,4x + 11,8
(1,4x 0,2)2 = (1,4x 0,2) + 122) Substituindo 1,4x 0,2 por y, temos:
y2 = y + 12 y2 y 12 = 0
y = 4 ou y = 33) Se 1,4x 0,2 = 4, ento x = 3.
4) Se 1,4x 0,2 = 3, ento x = 2. 5) De acordo com o enunciado, a = 3 e
b = 2; portanto:
3a 2b = 3 . 3 2 ( 2) = 9 + 4 = 13
Resposta: D
x = 7
x = 2
Resolva, em , as equaes de a :
(x + 4)2 3(x + 4) 10 = 0
RESOLUO:Fazendo-se x + 4 = y, temos: y2 3y 10 = 0 y = 2 ou y = 5Assim, x + 4 = 2 ou x + 4 = 5 x = 6 ou x = 1V = { 6, 1}
x4 13x2 + 36 = 0
RESOLUO:
Fazendo-se x2 = y, temos: x4 = y2 e a equao
y2 13y + 36 = 0, cujas razes so y = 4 ou y = 9.
Assim, x2 = 4 ou x2 = 9 x = 2 ou x = 2 ou x = 3 ou x = 3
V = { 3; 2; 2; 3}
x3 4x2 4x + 16 = 0
RESOLUO:
x3 4x2 4x + 16 = 0 x2(x 4) 4(x 4) = 0
(x 4) . (x2 4) = 0 x 4 = 0 ou x2 4 = 0
x = 4 ou x = 2 ou x = 2
V = { 2; 2; 4}
2x + 5 = x + 1
RESOLUO:
2x + 5 = x + 1 ( 2x + 5 )2 = (x + 1)2 x2 4 = 0 x = 2 ou x = 2Verificao:
2x + 5 = x + 1 2 . 2 + 5 = 2 + 1
3 = 2 + 1 3 = 3, logo 2 raiz
2x + 5 = x + 1 2 . (2) + 5 = 2 + 1
1 = 2 + 1 1 = 1, logo 2 no raiz
V = {2}
(MODELO ENEM) O cume do Monte Everest est8840m acima do nvel do mar. A temperatura em que ferve agua, nesse local, em C, aproxima damentea) 96,86 b) 96,40 c) 96,00d) 95,98 e) 95,42
RESOLUO:
Sendo h = 8840 e substituindo 100 T por x, temos:
8840 = 1000 . x + 580 . x2 58x2 + 100x 884 = 0
29x2 + 50x 442 = 0
S interessa a soluo positiva dessa equao (pois T 100 e
100 T 0) e pelo enunciado este valor 3,14
Assim sendo, 100 T = 3,14 T = 96,86Resposta: A
A temperatura T, em C, na qual a gua ferve, rela ciona-secom a altitude h, em metros, sobre o nvel do mar, de acordocom a frmula:
h = 1000 (100 T) + 580(100 T)2, vlida para 95 T 100
A Frmula da Bskara permite, alm disso, concluir que araiz positiva da equao 29x2 + 50x 442 = 0 , aproxima -damente, igual a 3,14.
Supondo que a frmula apre sentada seja vlida, resolva a
questo .
x = 2
x = 2
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MATEMTICA 49
(MODELO ENEM) A soma dos gastos efetuados por ummunicpio para erradicar as doenas X e Y igual a R$ 77.000,00. Reduzindo-se R$ 5.000,00 nos gastos com aerradicao da doena X e mantendo-se os gastos para a erra -dicao de Y, a razo entre os gastos para a erradicao de X e
Y, nessa ordem, ser igual a .
Nessas condies, correto afirmar que os gastos paraerradicar a doena X superam os gastos para erradicar adoena Y em:a) R$ 9.000,00 b) R$ 11.000,00c) R$ 12.000,00 d) R$ 13.000,00e) R$ 15.000,00
RESOLUO:Se x e y forem as quantias gastas para erradicar as doenasX e Y, respectivamente, ento:
Resposta: D
(FUVEST MODELO ENEM) Se Amlia der R$ 3,00 aLcia, ento ambas ficaro com a mesma quantia. Se Maria derum tero do que tem a Lcia, ento esta ficar com R$ 6,00 amais do que Amlia. Se Amlia perder a metade do que tem,ficar com uma quantia igual a um tero do que possui Maria.Quanto possui cada uma das meninas Amlia, Lcia e Maria?
RESOLUO:Se , m e a so as quantias em reais que Lcia, Maria e Amliapossuem, ento
Resposta: Amlia possui 24 reais, Lcia possui 18 reais e Mariapossui 36 reais.
(PUCC MODELO ENEM) Certo pai disse a seu filho:Hoje, a minha idade o quadrado da sua, mas daqui a 10anos, a minha exceder a sua em 30 anos. A soma das idadesdo pai e do filho, hoje, :a) 90 anos b) 72 anos c) 56 anosd) 42 anos e) 30 anos
RESOLUO:Sejam x e y as idades atuais do pai e do filho, respectiva mente.
Assim,
Substituindo-se (I) em (II), temos:
y2 + 10 = (y + 10) + 30 y2 y 30 = 0
ou (no convm)
Substituindo y = 6 em (I) obtm-se x = 62 = 36Assim, as idades atuais do pai e filho so, respectivamente, 36 anos e 6 anos. A soma das idades , portanto, 42 anos.
Resposta: D
(UNICAMP) Ache dois nmeros inteiros, positivos econsecutivos, sabendo que a soma de seus qua drados 481.
RESOLUO:Sejam x e x + 1 os nmeros procurados.x2 + (x + 1)2 = 481 x2 + x2 + 2x + 1 = 481 2x2 + 2x 480 = 0 x2 + x 240 = 0 x = 15 ou x = 16Como x deve ser positivo, temos que x = 16 no convm, logo,x = 15.Assim, os nmeros procurados so 15 e 16.
x y = 13000x = 45000
y = 32000
x + y = 77000
y = 32000x + y = 77000
9y = 288000
4x 4y = 308000
4x 5y = 20000x + y = 77000
x 5000 5 =
y 4
y = 5y = 6
x = y2 (I)x + 10 = (y + 10) + 30 (II)
= 18
m = 36
a = 24 a = 63a 2m = 0
m = 36
a = 6
3.( 6) + m = 18
3a 2m = 0 a = 63.( a) + m = 18
3a 2m = 0
a = 6
3 3a + m = 18
3a 2m = 0 + 3 = a 3
m + = a + 6
3
a m = 2 3
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22 Problemas de 1o. e 2o. graus
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MATEMTICA50
(MODELO ENEM) No grfico, esto representados osgols marcados e os gols sofridos por uma equipe de futebolnas dez primeiras partidas de um determinado campeonato.
Considerando que, neste campeonato, as equipes ganham 3pontos para cada vitria, 1 ponto por empate e 0 ponto emcaso de derrota, a equipe em questo, ao final da dcimapartida, ter acumulado um nmero de pontos igual aa) 15 b) 17 c) 18 d) 20 e) 24
RESOLUO:A equipe em questo ganhou 5 partidas, empatou 3, e perdeu 2.O nmero de pontos acumulados ao final da 10a. partida 3 . 5 + 1 . 3 = 18Resposta: C
1. O conjunto dos nmeros naturais = {0, 1, 2, 3, 4, 5, }
Note que * = {0} = {1, 2, 3, 4, 5, }
2. O conjunto dos nmeros inteiros = {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, }
Note que e alm disso:
* = {0} = { 3, 2, 1, 1, 2, 3, }
+ = = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, }
+* = * = {1, 2, 3, 4, 5, 6, }
= { 4, 3, 2, 1, 0}
* = { 4, 3, 2, 1}
3. O conjunto dos nmeros racionaisUm nmero racional se puder ser representado
na forma ., com a e b *
= x x = , a , b *
Todo nmero racional inteiro ou decimal exatoou dzima peridica.
Note que
4. O conjunto dos nmeros reais a unio o conjunto dos racionais com o conjunto
dos irracionais. Demonstra-se que o conjunto dos nmeros reais est em correspondncia biunvocacom os pontos da reta. Assim:
Observe que:
= ( ) ( ) =
So normalmente utilizados os seguintes subcon -juntos de :
a) * = {0} o conjunto dos nmeros reais dife -ren tes