các bài giảng cho mirela

8/19/2019 Các Bài Giảng Cho Mirela

1/25


2/25


3/25

Mục lục

Quy ể n I 6Lời giới thiệu của Giáo sư Hà Huy Khoái . . . . . . 8

Lời tự a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Bài toán của công chúa Dido . . . . . . 16

2 Đường ngắn nhất nối 4 đỉnh hình vuông 31

3 Con khỉ đi bán chuối . . . . . . . . . . . 45

4 Các hình đa giác và các nhóm đối xứ ng 56

5 V ấn đề lát gạch . . . . . . . . . . . . . . 70

6 Bài toán v ề các con kiến . . . . . . . . . 81

7 Cắt ghép hình vuông thành tam giác đều 89

8 Bài toán bò ăn cỏ . . . . . . . . . . . . . 999 Các số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . 106

10 Tổng bình phương của cấp số cộng . . . 119

11 Tích phân là gì . . . . . . . . . . . . . . 131

12 Bánh xe hình vuông! . . . . . . . . . . . 144

Phụ lục: lời giải cho một số bài tập . . . . . . . . . 156

4


4/25

Quy ể n II 163Lời giới thiệu của GS Nguy ễn V ăn Mậu . . . . . . . 164

Lời tự a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Compter avec l’autre . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

13 Số học trên mặt phẳng . . . . . . . . . . 181

14 Pythagoras và tích vô hướng . . . . . . 204

15 Các đa diện lồi . . . . . . . . . . . . . . 216

16 Công thứ c Euler . . . . . . . . . . . . . 234

17 Con thỏ của Mirella . . . . . . . . . . . 246

18 X ổ số có giải tỷ đô la . . . . . . . . . . . 254

19 Đạo hàm là gì . . . . . . . . . . . . . . . 263

20 Nguyên lý biến phân Fermat . . . . . . . 27921 Entropy và trò chơi đoán số . . . . . . . 298

22 Bài toán cân 12 đồng tiền . . . . . . . . 320

Đáp án cuộc thi “Compter avec l’autre” . . . . . . 334

Dành riêng cho: Lê Bich Phượng 5


5/25

Lờ i giớ i thiệu của GS HàHuy Khoái

Đọc cuốn “Các bài giảng về toán cho Mirella”, tôi gặplại cái cảm giác tươi mát của 4-5 năm trước, khi đến thămngôi nhà nhỏ của Dũng–Mai–Tito–Mirella ở Toulouse. Ngôinhà có mảnh v ườn nhỏ, v ới nhữ ng luống cà chua và mấ y khóm rau thơm mang giống từ Việt Nam. Bữ a ăn hôm đó

thơm mùi cà chua mới hái trong v ườn, lại còn được nghechủ nhà k ể v ề cái cách chăm sóc chúng v ới niềm say mêthự c sự của người làm v ườn.

Hôm nay, ông chủ của khu v ườn đó lại dẫn chúng ta vào một khu v ườn khác, cũng v ới niềm say mê như thế.

Không nhữ ng ta được ông chủ chỉ cho xem, được chiêuđãi nhữ ng hoa thơm quả ngọt của khu v ườn, mà còn đượctận tình chỉ bảo cách tạo nên nhữ ng hoa thơm qủa ngọtđó. Khu v ườn có tên là Toán học. Không ít người từ ng ngạingần khi bước vào khu v ườn bí hiể m đó, v ới nhữ ng lối đichẳng khác nào labyrinth. Như ng đi theo người làm v ườnthành thạo đã hiể u mọi ngõ ngách khu v ườn như lòng bàn

8


6/25

tay, ta bỗng thấ y mọi điều trở nên thật dễ dàng. Tất cả đềuhiện lên v ới một v ẻ đẹp thật đơn giản và thuần khiết. Hơn

thế nữ a, ta bỗng thấ y háo hứ c muốn cầm ngay xẻng, cuốcđể tự mình trồng vài cái cây, vài khóm hoa, luống rau. Đối v ới tôi, khu v ườn toán học đó không có gì xa lại. V ậ y màđi theo người làm v ườn Nguy ễn Tiến Dũng, tôi v ẫn ngạcnhiên thú v ị v ề cái cách anh giảng giải chuy ện làm thếnào để trồng được mấ y khóm cây đó, như chuy ện k ể v ề lý thuy ết nhóm thông qua việc xoay xoay mấ y hình đa giác,hay bài toán tìm hình có chu vi cho trước với diện tích cự cđại bằng cái dây da trâu của công chúa Dido.

Các bài giảng về toán cho Mirella thự c sự là một cuốnsách giáo khoa toán học cho tất cả mọi người, đặc biệt chonhữ ng ai muốn tìm hiể u v ẻ đẹp của toán học mà còn ngạitính toán! Nói cho cùng, trong toán học có hai phần “tính” và “toán”. Nếu như các k ỳ thi thường hay bắt thí sinh phảithạo “tính”, thì tác giả lại cho người đọc hiể u phần “toán”,tứ c là phần bản chất nhất của toán học. Hơn nữ a, khi đã

hiể u “toán” thì việc “tính” cũng sẽ tự nhiên như trồng mộtcái cây, gieo một hạt giống thôi. Đã đến lúc chúng ta cùngngười làm v ườn và cô bé Mirella bước vào khu vườn Toánhọc, v ới niềm vui của người khám phá và sáng tạo.

GS Hà Huy Khoái (Viện s ĩ TWAS, nguyên Viện trưởng

Viện Toán học Hà Nội)



7/25

6 Bài toán v ề các con kiến

Con kiến mà leo cành đ a

Leo phải cành cụt leo ra leo vào ...

Có một bài toán đố vui v ề các con kiến như sau, mà

trong một lần đi chơi cùng Mirella, Tito, và hai anh họ,papa đã đem ra đố cả 4 anh em, rồi sau đó thảo luận lờigiải và đặt thêm các câu hỏi khác xung quanh:

Giả sử có một cái thanh ngang có hai đầu. M ột con kiếnđ i từ đầu này đến đầu kia của thanh thì mất 2 phút. Khi đ i

đến một trong hai đầu, thì kiến sẽ rơi xuống đất thay vì đ iquay lại như trong bài thơ. Bây giờ giả sử có 10 con kiếntrên thanh ngang và đ i với cùng tốc độ như vậ y, như ng vềcác hướng khác nhau. N ếu có hai còn nào đ i ngược hướngđến cùng 1 vị trí trên thanh ngang thì chúng chạm đầu vàonhau và quay ngược lại đ i tiế p. H ỏi rằng sau bao nhiêu thời

gian thì chắ c chắ n rằng cả 10 con kiến sẽ cùng rơi xuống

81


8/25

Chương 6. Bài toán về các con kiến

đất?

Trước khi xem gợi ý và lời giải phía dưới đây, bạn đọc

hãy thử tự ngh ĩ cho đến khi tìm được lời giải hoặc ít nhất15 phút xem sao?

Giả thiết tự hiể u ở đây là các con kiến có độ dài khôngđáng k ể (nhỏ như là các điể m), và khi chúng đụng đầunhau và quay ngược lại thì quá trình đụng đầu và quay

đầu đó cũng không mất thời gian gì cả. Thời gian hỏi trongbài là thời gian để cho cả 10 con kiến đều rơi xuống trongtrường hợp “tồi” nhất, tứ c là trường hợp tốn nhiều thờigian nhất, còn tất nhiên khi cả 10 con đều ở sát các đầu vàcon nào cũng đi v ề phía đầu gần nó nhất, thì sẽ hầu như không tốn tý thời gian nào để cả 10 con cùng rơi xuốngđất.

Bài toán đố trên có lẽ là một trong nhữ ng bài toán đốthú v ị nhất cho học sinh, và cho cả người lớn. Nó v ừ a dễ v ừ a khó, bởi vì lời giải của nó học sinh lớp 1 cũng có thể hiể u được, như ng mà người lớn cũng khó ngh ĩ ra lời giải

đúng. Papa không rõ xuất xứ của nó, tuy có nhớ mangmáng là có một lần thấ y nó xuất hiện trong một quy ể nsách phổ biến kiến thứ c của nhà toán học Ian Stewart.Nó được truy ền miệng từ người này sang người khác. Bảnthân papa biết v ề nó là do một bạn đồng nghiệp của papa,

GS. Jean-Marc Schlenker, k ể trong một lần ăn trư a. Sau

82 Bản e-book số: SE004-MM-LBP-ST


9/25


đó, papa có đem bài này đi đố lại rất nhiều người, trongđó chỉ có vài người giải đúng mà không cần gợi ý. Nếu bạn

đọc đã ngh ĩ ra hoặc biết lời giải rồi, thì thử ngh ĩ tiếp 2 câuhỏi sau:

Câu hỏi 2: 10 con kiến đó có thể đụng đầu nhau nhiềunhất là bao nhiêu lần trước khi tất cả rơi xuống ?

Câu hỏi 3: Một con kiến (trong số 10 con đó) thì có thể

đụng đầu vào các con khác nhiều nhất là bao nhiêu lầntrước khi rơi xuống?

Giải bài toán con kiến

Nếu đã biết lời giải rồi thì không nói làm gì. Như ng giảsử là ta chư a biết lời giải, khi đó làm thế nào để tìm lờigiải?

Thứ nhất là có thể kiể m tra nhanh một cái, rằng cáccon kiến thể nào cũng sẽ rơi xuống hết, chứ không bị mắc

lại trên thanh ngang mãi vì cứ đi đâm đầu vào nhau. Thật v ậ y, xét con kiến ở phía ngoài cùng bên phải. Nếu nó đi v ề phía bên phải, thì sẽ không đâm đầu vào con nào và cứ thế là rơi xuống. Nếu nó đi v ề phía bên trái rồi chẳng may đụng đầu, thì nó quay lại đi v ề phía bên phải, và khi đó

nó v ẫn ở ngoài cùng bên phải nên sẽ rơi xuống mà khôngđụng đầu thêm con nào. Cứ tiếp tục như thế, lần lượt tất



10/25


cả các con kiến sẽ đều rơi xuống.

Thứ hai là đến “đoán mò” ước lượng thời gian. Nếu

như có thể chỉ ra rằng, trong mọi trường hợp, con ngoàicùng bên phải đi mất không quá 2 phút để rơi xuống, thìtheo qui nạp n con sẽ cần không quá 2n phút để toàn bộrơi xuống. Thế như ng 2n có phải là đáp án không, hay làchúng cần ít thời gian hơn để tất cả cùng rơi?

Thứ ba là, nếu ta làm trường hợp tổng quát n con (n =10 trong bài toán) khó quá, thì đầu tiên ta thử tìm lời giảicho các trường hợp n nhỏ đã, rồi tìm cách tổng quát hóalên sau. V ậ y nếu chỉ có 2 con (n = 2) hoặc 3 con (n = 3)thì sao?

Trường hợp n = 2: Chỉ có cùng lắm là 1 lần đụng đầu, và nếu không đụng đầu thì sau 2 phút chắc chắn cả haicon đều rơi, vì quãng đường cần đi của mỗi con đều ngắnhơn hoặc bằng so v ới toàn bộ chiều dài của thanh ngang, và toàn bộ chiều dài đó mới cần đến 2 phút. Nếu có đụngđầu thì sao? Giả sử đụng đầu sau thời gian t (tính từ thời

điể m bắt đầu đi), và điể m đụng đầu cách đầu bên phải làa và cách đầu bên trái à b. Ở đây, a và b là hai đại lượng đobằng thời gian để đi, tính theo đơn v ị phút, tứ c là nếu conkiến đi từ điể m đụng đầu đó đến đầu bên trái của thanhngang mà không bị v ướng con nào thì đi mất a phút, còn

đi đến đầu bên phải thì mất b phút. Khi đó a + b = 2 là



11/25


độ dài thanh ngang. Ngoài ta phải có a ≥ t, vì con kiến đitừ bên trái đi mất t thời gian cho đến thời điể m đụng đầu,

được một đoạn đường nằm trong đoạn từ đầu bên trái đếnđiể m đụng đầu. Con kiến bên phải sẽ rơi xuống sau tổngthời gian là t + b. Như ng vì t ≤ a nên t + b ≤ a + b = 2.Như v ậ y con bên phải rơi xuống sau không quá 2 phút.Tương tự như v ậ y v ới con bên trái. V ậ y là, khi có 2 conkiến thì cũng chỉ mắt cùng lắm là 2 phút, chứ không phảilà 2 × 2 = 4 phút!

Khi n = 3 thì sao? Có khá nhiều trường hợp hơn so v ớin = 2. Có thể liệt kê một danh sách đầ y đủ các trường hợp.Bạn đọc thử viết tỷ mỉ ra rồi tính toàn bộ các trường hợpxem. K ết quả cuối cùng là gì? Là 3 phút hay 4 phút? Nếutìm ra là 3 phút hay 4 phút thì lời giải bị sai. Lời giải đúnglà: cũng chỉ cần 2 phút khi có 3 con!

Thứ tư là, khi ta đã có đáp số cho các trường hợp n =1, n = 2, n = 3, thì ta dự a vào đó để đoán trường hợptổng quát. Vì n = 1, 2, 3 đều cho ra k ết quả là 2 phút, nên

đoán là trường hợp tổng quát cũng chỉ có 2 phút. Có ngạcnhiên không? Bản thân papa lần đầu khi thấ y v ậ y rất ngạcnhiên, vì cứ hình dung các con kiến đập đầu vào nhau quay đi quay lại nhiều lần sẽ phải tốn nhiều thời gian đi vòng vo trước khi rơi xuống!

Thứ năm là, sau khi có giả thuy ết (chỉ cần thời gian 2



12/25


phút) rồi, làm sao chứ ng minh nó? Bạn đọc đã được gợi ý cho đáp số rồi, hãy tìm cách chứ ng minh nó thật lâu đi

trước khi “đầu hàng” đọc tiếp lời giải.

Mấu chốt của lờ i giải

Điể m mấu chốt của lời giải là: nếu có một người quansát “nhìn từ xa”, không phân biệt các con kiến v ới nhau,thì việc chúng quay đầu đi ngược lại cũng không khác gì việc chúng cứ thế đi tiếp: nếu chẳng hạn con kiến A đụng

đầu con kiến B rồi đi ngược lại, thì cũng cứ như là A cứ đitiếp và B cứ đi tiếp như ng “đổi tên” hay “đánh tráo” chúngcho nhau thôi. Nếu chỉ nhìn tổng thế chứ không phân biệtcác con kiến, thì việc có quay đầu lại hay không v ẫn thế. Và tất nhiên, nếu không cần quay đầu lại, thì thời gian tối

đa cần thiết để chúng rơi xuống hết là 2 phút.Suy luận như trên chính là một điể m rất quan trọng

trong tư duy toán học: Nhìn thấ y sự giống nhau trong các v ấn đề khác nhau, và đư a v ấn đề phứ c tạp v ề v ấn đề đơngiản hơn. Ở đây, bài toán con kiến có một sự “đối xứ ng”

giữ a các con kiến, tứ c là không thay đổi nếu ta hoán v ị cáccon kiến. Nhóm đối xứ ng ở đây là nhóm hoán v ị S n.



13/25


Bao nhiêu lần đụng đầu?

Để trả lời câu hỏi 2, nhận xét rằng số lần đụng đầucũng bằng số lần đi qua nhau nếu ta coi các con kiến cứ đitiếp mà không quay đầu. Con số này nhiều nhất nếu mọicon đi v ề hướng bên phải đều đi qua mọi con đi v ề phíabên trái. Khi đó số lần đụng đầu là a× b, trong đó a là số

kiến đi v ề phía bên phái, b là số kiến đi v ề phía bên trái,a + b = 10. Cự c đại đạt được khi a = b = 5, tứ c là nhiềunhất có 25 lần đụng đầu.

Thế còn một con kiến thì đụng đầu nhiều nhất đượcbao nhiêu lần? Đáp số là 9. Hãy tự tìm lời giải! Xem Hình6.1.

Bài tậ p 6.1. Thế còn một cặp 2 con kiến (trong bài toán v ới 10 con kiến này) thì có thể đụng đầu nhau cùng lắm làbao nhiêu lần ?

Bản e-book của Lê Bich Phượng,

e-mail: [email protected]



14/25


Hình 6.1: Đường đi của con kiến đụng đầu 9 lần



15/25

17 Con thỏ của Mirella

Con thỏ của Mirella là một con thỏ rất to, to đến mứ cpapa cũng ngạc nhiên. Nó to đến như thế nào, thì xem tiếpsẽ rõ.

Con thỏ lớ n nhanh

Số là thế này. Một lần, Mirella ngh ĩ ra bài toán con thỏđể đố papa. Mirella nói: “con thỏ này cứ mỗi ngày lại tolên gấp đôi, papa phải đư a ra định lý cho nó”. Papa liềntrả lời:

- Thế thì chẳng mấ y chốc con thỏ sẽ to hơn cả quả đất.

- Như ng mà đến ngày thứ 151 thì nó thôi không lớnthêm nữ a. - Mirella nói.

- Thế thì nó v ẫn to lắm, có khi v ẫn to hơn cả trái đất. -Papa đáp lại.

246


16/25

Chương 17. Con thỏ của Mirella

Papa và Mirella liền rủ nhau ước lượng xem con thỏcủa Mirella sẽ to ra bằng từ ng nào, và so v ới trái đất thì

sao.Con thỏ của Mirella tăng trong vòng 150 ngày, mỗi

ngày tăng gấp đôi. Cứ 10 ngày thì nó tăng lên gấp khoảng1000 lần. Mirella đính chính lại là, 10 ngày thì nó tăng1024 lần. Như ng thôi ta cứ coi là 1000 lần, hay 103, chotiện. Sau 150 ngày, tứ c là 15 lần 10 ngày, thì con thỏ sẽtăng lên quãng (103)15, tứ c là thành 1045 lần, vì 15×3 = 45.Nếu giả sử lúc ban đầu con thỏ nặng quãng 100 gram, tứ clà 1/10 kg, thì sau khi tăng 1045 lần, nó sẽ thành quãng1044 kg, hay là 1041 tấn. Thự c ra thì thỏ tăng lên hơn 1045

lần (nếu tính chính xác hơn, dùng 210 = 1024 thay vì 1000,thì được 102415 ≈ 1.42 × 1045 lần cơ), như ng mà hôm đầutiên thỏ cũng không nặng đến 1/10 kg, nên cuối cùng đếnngày thứ 151 thỏ thôi không lớn nữ a thì v ẫn coi là nặngthành 1044 kg được. Mirella đồng ý v ới papa là thỏ nặngtừ ng đó.

Thế còn trái đất nặng quãng bao nhiêu?

So sánh v ớ i trái đất

Papa đã k ể cho Mirella một lần rằng chu vi của trái đấtdài khoảng 40 nghìn km. Chu vi bằng 2 lần π nhân v ới bán

Bản e-book của Lê Bich Phượng 247


17/25


kính, trong đó π xấp xỉ bằng 3.14. Lấ y 40 nghìn chia cho 2rồi chia cho hơn 3 một chút, ta được một số hơn 6 nghìn

một chút, chư a đến 6 nghìn rưỡi. Papa v ới Mirella tính xấpxỉ “thô” thôi, chứ không định tính thật chính xác.

Công thứ c tính thể tích hình cầu thì Mirella cũng nhớ:nó bằng 4/3 nhân v ới π nhân v ới bán kính lập phương.Bán kính là quãng 6 nghìn km. 6 lập phương bằng quãng200, còn 4 nhân π chia 3 thì được hơn 4 như ng chư a được5, nhân v ới 6 lập phương thì ta cứ coi như là 200 nhân v ới 5, thành ra 1000, tứ c là 103. Như ng số 6 ở đây là ở v ịtrí hàng nghìn, nên phải tính thêm 1000 lập phương nữ a,thành 109. Nhân 103 v ới 109 được 1012.

Như v ậ y, thể tích của trái đất ở vào cỡ 1012 km khối.Một ki-lô-mét thì bằng 103 mét, và một ki-lô-mét khối thìbằng (103)3 = 103 mét khối, nên thể tích trái đất ở vào cỡ1012 × 109 = 1021 mét khối. Tính thêm tiếp: 1 mét thì bằng10 dm (đê-xi-mét), và 1 mét khối thì bằng 103 dm khối.Nhân 1021 v ới 103, ta được thể tích trái đất vào cỡ 1024 dm

khối.Từ thể tích làm sao ước lượng ra khối lượng? Mirella

không biết. Papa mới mách cho Mirella một “bí mật” là, 1deximet khối nước nặng quãng 1kg. Như ng trái đất khôngphải là nước, trong trái đất có kim loại nặng hơn nhiều so

v ới nước. Ta coi là nặng trung bình gấp 10 lần nước chẳng

248 Bản e-book của Lê Bich Phượng


18/25


hạn, tứ c là mỗi dm khối của trái đất nặng trung bình quãng10 kg. Như v ậ y, trái đất sẽ nặng quãng 1024×10 = 1025 kg.

Tất cả các phép tính ước lượng trên mà papa làm v ớiMirella là tính nhẩm, không hề dùng đến giấ y bút hay máy tính. Theo ước tính của Mirella và papa, thì trái đất nặng vào cỡ 1025 kg, hay là 1022 tấn.

Trong khi đó con thỏ của Mirella sẽ nặng nhữ ng 1041

tấn, tứ c là sẽ nặng gấp nhữ ng 1019

lần trái đất!Sau khí tính toán ước lượng nhẩm v ề trái đất, papa và

Mirella tra internet xem các con số thự c sự ra sao. K ết quả wikipedia(1) như sau:

Thể tích trái đất bằng 1.08321 × 1012 km khối.

Khối lượng trái đất bằng 5.9736 × 1024

kg, tứ c là quãng0.6 × 1022 tấn.

Xem ra, ước lượng của papa và Mirella v ề thể tích tráiđất khá tốt, lệch có 8%, còn ước lượng v ề khối lượng thìbị lệch nhiều hơn: khối lượng thự c sự chỉ có 0.6 × 1022 tấn

trong khi papa và Mirella ước lượng ra thành khoảng 1022

tấn. Ước lượng v ề khối lượng bị sai chủ y ếu là do papa vàMirella “đoán mò” sai v ề mật độ của trái đất: mật độ củatrái đất chỉ có 5.515kg/dm3 (tứ c nặng gấp khoảng 5.5 lầnso v ới nước) trong khi papa và Mirella coi nó nặng gấpnhữ ng 10 lần so v ới nước.

(1) Xem http://en.wikipedia.org/wiki/Earth



19/25


Ă n cả Ngân Hà

Ước lượng tính nhẩm của Mirella và papa v ề khối lượngtrái đất tuy không thật chính xác, như ng đúng được v ề cỡ1025 kg của nó (nhân v ới một số nào đó gần 1, theo ngh ĩ alog của số đó gần bằng 0), và con thỏ của Mirella nặngbằng quãng nhữ ng 5/3 × 1019 trái đất. Thế so v ới mặt trời

thì sao? V ẫn theo wikipedia(2), các nhà thiên v ăn đo được rằng,

chu vi của mặt trời dài gấp 109 lần chu vi của trái đất.Nếu so sánh thể tích thì phải lấ y lập phương của số đó, tứ clà thể tích của mặt trời bằng quãng 1093 ≈ 1.3 triệu lần

thể tích trái đất. So v ới mặt trời, thì quả là trái đất bé tí xíu. Như ng mặt trời “loãng” hơn trái đất, mật độ chỉ bằngquãng 1/4 mật độ của trái đất, nên khối lượng không phảilà gấp 1.3 triệu lần khối lượng trái đất, mà chỉ gấp 333nghìn lần thôi, hay có thể viết là 1/3 × 106 lần. So v ới thỏcủa Mirella thì mặt trời v ẫn quá bé: thỏ của Mirella nặnggấp nhữ ng (5/3×1019)/(1/3×106) = 5×1013 lần mặt trời! Vì trong hệ mặt trời, chỉ có mặt trời là lớn nhất chiếm gầnhết khối lượng rồi, có cộng tất cả các hành tinh của hệ mặttrời vào thêm cũng không ăn thua mấ y, nên có thể coi làthỏ của Mirella nặng gấp 5 × 1013 lần toàn bộ hệ mặt trời.

(2) X em: http://en.wikipedia.org/wiki/Sun



20/25


Hình 17.1: Thỏ của Mirella. Tranh do Mirella v ẽ.

Thế so v ới dải Ngân Hà chứ a hệ mặt trời của chúng tathì sao?(3). Theo các nhà thiên v ăn, thì dải Ngân Hà chứ atừ 100 tỷ đến 400 tỷ vì sao (mỗi vì sao là một thiên thể tỏa

sáng mạnh, tương tự như là mặt trời v ậ y), và họ ước lượngrằng khối lượng của dải Ngân Hà bằng quãng 5.7 × 1011

(tứ c 570 tỷ ) khối lượng của mặt trời. Thật là một con sốlớn khủng khiếp. Như ng v ẫn thua thỏ của Mirella: thỏ của

(3) Xem Milky Way galaxy: http://en.wikipedia.org/wiki/Milky_Way. Sở d ĩ thiên

hà chứ a hệ mặt trời của chúng ta được gọi như v ậ y là vì có thể nhìn thấ y nó trênbầu trời có hình như là một dòng sông màu sữ a, hay màu bạc



21/25


Mirella nặng bằng gần 100 lần dải Ngân Hà!

Thế so v ới cả v ũ trụ thì sao? Người ta đếm được trong

v ũ trụ có đến 1.7 × 1011

các thiên hà (galaxy) khác nhau.Thỏ của Mirella, tuy to gấp cả trăm lần dải Ngân Hà,như ng cũng chỉ bằng một thiên hà loại lớn thôi, và như v ậ y v ẫn còn rất bé so v ới toàn bộ v ũ trụ. Mirella phấn khởinói: “Thế là con thỏ đầu tiên có thể ăn trái đất, rồi ănhệ mặt trời, rồi ăn dài Ngân Hà, rồi ăn thêm các thiên hàkhác, để lớn được thành như v ậ y!".

Con thỏ bé hơ n

Papa đề nghị v ới Mirella là, không cho con thỏ lớn lêntrong nhữ ng 150 ngày liền như v ậ y nữ a, vì nó sẽ ăn hếtmất bao nhiêu là thiên hà mất. Mirella thì nói là nó có thể ăn cả các thế giới song song (parallel worlds) nữ a để màlớn. Sau một hồi k ỳ kèo mặc cả, Mirella đồng ý v ới papa

là, thôi bây giờ chỉ cho nó lớn lên trong vòng 60 ngày thôi,mỗi ngày tăng lên gấp đôi, như ng từ ngày thứ 61 sẽ khônglớn thêm nữ a.

Con thỏ “bé” này của Mirella chỉ tăng được có (103)6 =1018 lần thôi, chứ không phải 1045 lần như trước. V ẫn v ới

giả sử lúc đầu nó nặng gần bằng 1/10 kg như trước, thìcon thỏ này sẽ “chỉ” nặng có 1018 × 1/10 = 1017 kg, hay là



22/25


1014 tấn, sau khi thôi lớn. So v ới trái đất, lần này thỏ “bé”của Mirella quả là bé: trái đất năng 0.6 × 1025 kg, tứ c là

nặng gấp nhữ ng 6×

107

(tứ c 60 triệu) lần con thỏ.Trong lúc papa dẫn Mirella đi mua một cái xe đạp mới

thay cho cái xe đạp cũ đã trở nên cũn cỡn, Mirella tò mòmuốn biết con thỏ 1014 tấn là nặng như thế nào so v ới cácthứ khác trên trái đất. Mirella mới hỏi papa: “một cái nhànhỏ thì nặng quãng bao nhiêu?”. Papa không biết, như ngđư a ra đại một con số: “quãng 100 tấn”. “Một thành phốthì có quãng bao nhiêu nhà?” – Mirella hỏi tiếp. Papa trảlời là một thành phố lớn, thì có tương đương v ới khoảng1 triệu (106) cái nhà nhỏ. Như v ậ y, một thành phố lớn, thìnhà cử a nặng khoảng 106 × 100 = 108 tấn. “Thế một nướcthì có bao nhiêu thành phố?”. Một nước rất lớn, thì có thể coi tương đương v ới 100 thành phố. Như v ậ y nhà cử a củamột nước rất lớn nặng 100 × 108 = 1010 tấn. Trong khiđó con thỏ “bé” của Mirella nặng nhữ ng 1014 tấn. Mirellakhoái chí lắm, vì con thỏ “bé” của mình nặng bằng nhữ ng

một v ạn nước lớn!

Bản e-book của Lê Bich Phượng,

e-mail: [email protected]



23/25

Chỉ mục

Đồng nhất thứ c hình bình hành,204

Định luật Snell, 282đối ngẫu, 220đối xứ ng quay, 51, 60đối xứ ng trục, 14, 51, 60đồ thị phẳng, 236đạo hàm, 31, 255, 260định lý Bézout, 185định lý Dehn, 90định lý Lagrange, 61, 148

định lý Pythagoras, 197định lý lớn của Fermat, 273định lý nhỏ của Fermat, 273đường võng, 135, 140đa diện Kepler–Poinsot, 226đa giác đều, 18, 61

đa giác nguyên, 193điể m nguyên, 174điể m nguyên tố, 176

bất đẳng thứ c Shannon, 309bất đẳng thứ c tam giác, 222bánh xe hình vuông, 133

Bézout (nhà toán học), 184bài toán bò ăn cỏ, 91

bài toán cắt ghép hình, 81bài toán công chúa Dido, 10

bài toán cự c trị, 276, 280bài toán con kiến, 73bài toán gà và chó, 92, 96

bài toán khỉ bán chuối, 39bài toán Steiner, 35

bài toán thứ 3 của Hilbert, 90bội điể m, 179BĐT Cauchy–Bunyakovsky, 206biến số, 276

bit, 294, 304Boltzmann (nhà v ật lý), 305

công thứ c Euler, 229công thứ c Leibniz, 265công thứ c Pick, 194chỗ lõm, 211chiếu trự c giác lên hình lồi, 37chu vi trái đất, 239chuỗi số, 248Chuỗi số Riemann, 253con thỏ của Mirella, 238, 243cosh, 137, 144

dải Ngân Hà (Milky Way), 243

340


24/25

Đáp án cuộc thi “Compter avec l’autre”

Descartes (nhà toán học), 273diện tích, 121Dido (công chúa), 10

entropy, 289, 304

Escher (họa s ĩ ), 64Euler (nhà toán học), 230

Fermat (nhà toán học), 272Fibonacci (nhà toán học), 100

giới hạn, 259giá trị trung bình, 261

hình đa diện, 211hình đa diện đối ngẫu, 224hình đa diện đều, 216

hình đa giác, 49hình bình hành nguyên tố, 191hình lồi, 210hình lõm, 210

hình tam giác đều, 49hình tròn, 15

hình vuông, 25, 51, 133, 138

hình xuy ến (torus), 236hàm lồi, 303hàm ngược, 268hệ nghìn phân, 293hệ phương trình tuy ến tính, 92,

93, 116

hệ số khúc xạ, 283hội tụ, 248

Ibn Sahl (nhà bác học), 283information, 304

khối lượng trái đất, 241không gian Euclid, 199

không-điể m, 176kim tự tháp, 111, 138

lát gạch, 63lát gạch Penrose, 71lời giải một số bài tập, 145–149lưới hai chiều, 175lưới nguyên, 175lược nhóm, 70lượng thông tin, 304lưỡng tuy ến tính, 201

Leibniz (nhà bác học), 266Leibniz (nhà toán học), 125limit, 259

máy tính điện tử , 294

Newton (nhà bác học), 255

nguyên lý biến phân Fermat, 270nguyên tố cùng nhau, 176nhóm, 49, 56

nhóm đối xứ ng, 49, 53–55, 60nhóm hai phần tử , 58nhóm hoán v ị, 78

nhóm nhị diện, 61nhị thứ c Newton, 263



25/25

Đáp án cuộc thi “Compter avec l’autre”

Pascal (nhà toán học), 273phép nhân trong nhóm, 56

phép tính vi phân, 255

phân k ỳ , 248phương pháp biến phân, 274phương pháp qui nạp, 117phương trình đặc trư ng, 104phương trình bậc 2, 104Pick (nhà toán học), 195

Platonic solid, 216

qui hoạch tuy ến tính, 47qui nạp, 302

số Fibonacci, 98số nguyên tố, 56

số nhị phân, 291số thập phân, 291Shannon (nhà toán học), 304Snell (nhà thiên v ăn học), 282

tích phân, 121

tích vô hướng, 200tính chất lồi, 16tính chất lũ y thừ a, 102tính chất tuy ến tính, 264tô pô, 227

tổng bình phương, 110tổng quát hóa, 228

tỷ lệ vàng, 107tam giác nguyên tố, 181

thể tích hình cầu, 128thể tích trái đất, 240, 241trò chơi đoán số, 289

trung bình cộng, 280trung bình nhân, 280

von Neumann (nhà toán học),305

Wiles (nhà toán học), 274

xác suất, 300, 301, 309

các bài giảng cho mirela

Documents