CABLES

Por su simplicidad, versatilidad, resistencia y economa, los cables se han convertido en un

elemento imprescindible en muchas obras de ingeniera. Pensemos en los puentes colgantes, no

solo los grandes sino tambin los pequeos construidos para comunicar veredas en zonas rurales,

las garruchas, los sistemas de transporte de productos agrcolas en los cultivos, los sistemas de

interconexin elctrica, los cables para postensado en una obra de hormign, los tensores o

contravientos para luminarias y postes, pagodas o techos, etc.

Por su flexibilidad, los cables solo aguantan fuerzas de traccin, se comportan de forma inversa a

los arcos, en los cuales, debido a su curvatura, los esfuerzos cortantes y de flexin se pueden hacer

nulos y los esfuerzos de compresin se convierten en el soporte de la estructura. En el caso de un

cable, la geometra que l adquiere al aplicar las cargas, es tal, que asegura el cumplimiento de las

leyes de equilibrio con el solo trabajo a traccin del elemento.

El tipo de geometra que adquiere un cable depende del tipo de cargas actuantes. Para cables

sometidos a cargas uniformes en la proyeccin horizontal, adquieren una forma parablica

siguiendo la forma del diagrama de momentos de una viga simple; cables sometidos a cargas

puntuales adquieren una forma discontinua en cada punto de aplicacin de las cargas y cables

sometidos a su propio peso (en este caso no es una carga uniforme) forman una curva llamada

catenaria. Un ejemplo de este ltimo caso es el de las redes de energa. En el caso de que la flecha

del cable (distancia vertical desde los extremos hasta el punto mas bajo) no sea muy grande, esta

catenaria se puede aproximar a una parbola.

Para el anlisis se consideran totalmente flexibles e inextensibles de tal manera que en toda su

longitud los esfuerzos solo sern axiales de traccin y siempre tangenciales a la curva del cable.

La forma de la catenaria se puede suponer parablica siempre y cuando sea

pequea. (Qu tan pequea?, se justifica hacer un estudio de la flecha en funcin de la

longitud cuando un cable est sometido a carga uniforme en proyeccin horizontal y

compararla con la flecha para peso propio para poder sacar un lmite en esta relacin).

1. Cables sometidos a cargas puntuales

Los cables sometidos a cargas puntuales adquieren una geometra tal que en cada punto de

aplicacin de una carga se forma un cambio de curvatura del cable. La forma final del cable

depender de la magnitud de las cargas puntuales y de su punto de aplicacin.

Por qu se colocan como apoyos articulaciones o empotramientos cuando se trabaja con

cables?

Siempre la reaccin ser contraria a la accin ejercida por el cable, ley de accin y

reaccin, por lo tanto solo se ejercern fuerzas, no momentos, en la misma direccin del

ltimo tramo de los cables. Con la articulacin como apoyo se asegura que la reaccin

tenga dos componentes por hallar, la magnitud de la fuerza y su direccin.

Al aplicar las ecuaciones de equilibrio al cable tendramos un sistema de tres ecuaciones

independientes y cuatro incgnitas. Note que la direccin de las reacciones depende de la

geometra del cable y que esta a su vez depende de las cargas aplicadas.

Si en el cable analizado, sus dos apoyos estn al mismo nivel, se puede solucionar el

anlisis vertical, esto es, las componentes verticales de las reacciones o tensiones del cable.

Para las componentes horizontales se requiere de otra ecuacin que resulta de la geometra

del cable. Si se conoce al menos una flecha del cable en cualquier tramo, se podra

determinar la direccin de una de las reacciones y as la componente horizontal.

Para este caso especial la cuarta ecuacin sera:

y en ese caso las componentes de las fuerzas de reaccin se expresan en

funcin de .

Comprobamos que la fuerza horizontal es constante en toda la longitud del cable e

inversamente proporcional a la flecha.

En el caso de tener varias cargas aplicadas, se hace necesario conocer al menos una de las

flechas del cable. Asumiendo que la flecha conocida sea central, se puede analizar el cable

aplicando el mtodo de los nudos, considerando cada punto de aplicacin de carga como un

nudo de cercha sometido a tracciones y cargas externas o el mtodo de las secciones,

cortando el cable por un punto donde se involucre la flecha conocida y tomando momentos

con respecto al punto de corte. De esta manera se despeja la componente horizontal de la

reaccin. Tenga en cuenta que para apoyos alineados horizontalmente, las componentes

verticales de las reacciones se determinan por el equilibrio externo.

A continuacin se muestra el diagrama de cuerpo libre cuando se utiliza el mtodo de los

nudos.

En cada nudo se plantean dos ecuaciones de equilibrio, por cada tramo de cable resulta una

incgnita por averiguar que corresponde a la traccin de este.

Se deja al lector efectuar este clculo por nudos.

Para cables con apoyos no lineados horizontalmente, se puede plantear encontrando las

reacciones en funcin de la distancia vertical entre el cable y la lnea que une los dos puntos

de apoyo, esta distancia se llama flecha:

Este valor es constante en toda la longitud del cable ya que no depende de P.

(Ecuacin 1)

Cortando por m y realizando equilibrio en la seccin izquierda:

Donde representa los momentos de las cargas externas con respecto al

punto m.

Despejando Ay*X

(Ecuacin 2)

Igualando la ecuacin 1 por X con la ecuacin 2:

Donde B se considera el extremo derecho del cable y m un punto medido desde el extremo

izquierdo del cable. Note que en esta ecuacin no estn involucradas las reacciones

verticales, solo las cargas externas.

Esta ecuacin relaciona la componente horizontal de la tensin, la flecha del cable en un

punto determinado y las cargas actuantes, se conoce como el teorema del cable: En un

punto cualquiera de un cable sometido a cargas verticales, el producto de la componente

horizontal de la tensin por la flecha en ese punto, es igual al momento flector que acta en

esa seccin si se considera el cable como una viga simplemente apoyada.

En el caso de que el apoyo en B est por encima del apoyo A, la ecuacin

se conserva. (Realice equilibrio y despeje)

Para despejar H o Ym de esta relacin se necesita conocer al menos una de las dos. En el

diseo de estructuras con cables, el diseador tiene la opcin de fijar la flecha deseada o

fijar la componente horizontal de la tensin, la cual permanece constante en toda la

longitud.

EJERCICIO

(Ejercicio 5-9 del libro de Hibbeler). Determine la fuerza P necesaria para mantener el

cable en la posicin mostrada. Calcule tambin la flecha YB y la tensin mxima del cable.

Debido a que la componente horizontal siempre es constante, las tensiones mximas sern

aquellas cuya componente vertical sea mxima, esta se presentar siempre en los apoyos.

Como una de las incgnitas es una carga aplicada, el teorema del cable no nos ayuda a

solucionar la componente horizontal.

Aplicando el mtodo de los nudos podemos despejar Ay :

Equilibrio en el nudo B

por equilibrio en A, TBAy=Ay=4kN

si tomamos momentos en C podemos expresar Ax en funcin de Ay conocida:

Haciendo equilibrio vertical podemos encontrar P:

Conocida P podemos aplicar el teorema del cable para encontrar la componente horizontal:

Semejando una viga simplemente apoyada y partiendo por E:

Aplicando de nuevo la ecuacin del cable en el punto B podemos encontrar la flecha en ese

punto:

La tensin mxima siempre es en los apoyos, en este caso el apoyo E tendr mayor

reaccin que el apoyo A, por qu?

2. Cables sometidos a cargas uniformemente distribuidas en la proyeccin horizontal

Se considera que el peso produce una carga uniformemente distribuida en la proyeccin

horizontal, caso de cables cuya relacin flecha/longitud es pequea.

La forma que adquiere el cable es el de una parbola cuyo vrtice representa el punto mas

bajo de este.

Existen dos maneras de analizar el cable, considerar el origen de la parbola en el centro o

considerarlo desde un extremo.

a. Desde el centro

Se encuentra la componente horizontal de la tensin en funcin de las cargas y de un valor

de la flecha Y en un punto determinado o se determina la coordenada Y de la forma de la

curva del cable en funcin de la componente horizontal. Tomando momentos con respecto

a D tenemos:

Esta ecuacin define la altura del cable medida desde el punto C en cualquier posicin x,

note que la ecuacin corresponde a una parbola.

Para encontrar el valor de la componente horizontal H debemos conocer el valor de la

flecha en un punto. En el caso de conocer la flecha mxima en C y considerando la simetra

tenemos:

, en esta ecuacin podemos observar que el momento mximo

ejercido por la componente horizontal de la tensin en uno de los apoyos corresponde al

momento mximo de una viga simplemente apoyada.

Para encontrar el valor de la tensin en un punto determinado aplicamos equilibrio a la

seccin indicada:

El ngulo de inclinacin del cable en cualquier punto es:

La tensin mxima se ejerce en los apoyos cuando x=L/2:

La tensin mnima se ejerce cuando X=0 y corresponde al valor de la componente

horizontal de la tensin, H.

b. Cables con apoyos no alineados horizontalmente:

Tomando momentos con respecto a B y seccionando el cable por m y tomando momentos

con respecto a m:

Igualando Ay y despejando la H*ym

Donde ym corresponde a la flecha medida desde la cuerda y x est medida desde el extremo

izquierdo.

Para xm=L/2

Que corresponde al valor del momento mximo desarrollado en una viga

horizontal con la misma carga w.

La ecuacin que define la forma del cable es una parbola con origen en el extremo

izquierdo:

Para encontrar la abscisa del punto de tangencia cero, se expresa ym en funcin de H, se

deriva e iguala a cero:

Constituye la tangente en cualquier punto del cable

Para dy/dx=0

Punto de tangencia cero. Note que depende de H y a la vez H depende de la

flecha, por lo tanto se debe asumir uno de los dos valores o H o ym.

Longitud del cable necesaria:

Expresando una longitud diferencial de cable en funcin de dx y dy tenemos:

Dividiendo por dx2 y multiplicando por dx fuera del radical:

Se conoce la expresin dy/dx

Reemplazando:

Integrando esta funcin se puede obtener la longitud del cable.

En el caso de tener el centro de coordenadas en el punto de tangencia cero, el valor de

dy/dx es:

dx

Haciendo una sustitucin de variables:

, donde X es el valor de la proyeccin

horizontal de uno de los tramos de la cuerda medida desde el punto de tangencia cero.

En el libro Mecnica vectorial para ingenieros, esttica de Beer, Johnston y Eisenberg se

plantea otra solucin para esta integral expandiendo el radical por medio del teorema del

binomio. Esta solucin est en trminos de la flecha mxima y la distancia X desde el punto

de flecha mxima a uno de los apoyos.

Ejemplo:

Un cable de un puente colgante se somete a una carga uniforme de 50kN/m. Si la altura

mxima de los pilones donde se ancla el cable con respecto al tablero del puente es de 30m

y se cuenta con cables de acero con resistencia ltima a traccin de 1800N/mm2, determinar

el dimetro del cable mnimo que puede ser usado. Despreciar el peso del cable.

Jugando con la altura del cable con respecto al tablero podra determinar el menor volumen

de acero de cable a usar. Exprese volumen como longitud por rea transversal y grafique

versus altura del piln.

En este caso se pide tener una geometra tal del cable que produzca la mnima tensin

posible. Las componentes verticales son mximas en los apoyos e iguales a la mitad de la

carga generada en toda la luz y no dependen de la geometra del cable.

La componente horizontal de la tensin vara con la flecha, a mayor flecha menor

componente horizontal, por lo tanto una tensin mnima se consigue con una flecha igual a

la mxima posible, en este caso 30 metros.

Reacciones verticales:

Tomando momentos con respecto a uno de los apoyos en una seccin de solo la mitad del

cable se obtiene la componente horizontal de la tensin:

rea de cable mnima:

3. Caso de cargas distribuidas a lo largo de la longitud del cable.

La tensin en cualquier punto de la cuerda es:

Haciendo w/H=c, una constante

Para obtener la forma del cable, se puede encontrar una ecuacin que relacione la longitud

S de un tramo de cable con su proyeccin horizontal x

Integrando esta ecuacin de 0 a S, se obtiene

Y

Integrando la funcin de y se obtiene (ver desarrollo en el libro de Beer, Johnston,

Eisenberg

Que corresponde a la ecuacin de una catenaria con eje vertical.

e. CONCLUSIONES GENERALES SOBRE LOS PUENTES

COLGANTES:

El diseo y la construccin de puentes colgantes es una alternativa vlida para puentes de

gran longitud. La implementacin en el pas de este tipo de puentes debe incluir un cambio

en la manera tradicional de mirar el diseo y la construccin como actividades separadas e

independientes dentro de la prctica ingenieril, convirtindolas en actividades ntimamente

ligadas.

La incorporacin de nuevas tecnologas, como la requerida para construir puentes

colgantes, requiere la creacin de una infraestructura costosa que al momento no existe en

el pas.

3. LOS PUENTES ATIRANTADOS

Los puentes atirantados surgieron como una variante ms manejable de los puentes

colgantes. La idea fundamental es la de reemplazar los cables principales de gran seccin

transversal por un grupo de cables o elementos de acero de menor seccin, y por

consiguiente de menor peso.

Los puentes atirantados han tenido gran difusin particularmente en Europa, aunque en

nuestro pas no existe experiencia al respecto.

a. PRINCIPIOS BSICOS DE LOS PUENTES ATIRANTADOS:

Al igual que los puentes colgantes, los principios de funcionamiento de un puente

atirantado son relativamente sencillos. La implementacin de estos principios en el diseo y

en la construccin constiruyen el problema ms importante.

El soporte fsico de un puente atirantado est provisto por las torres de sustentacin, que

son similares a aquellas presentes en puentes colgantes.

Apoyados y anclados en diversos niveles de cada una de las torres de sustentacin, y

ubicados de una manera simtrica con relacin al eje de la va, se suspenden un sinnmero

de cables principales, que servirn de soporte para los elementos estructurales restantes.

Estos cables principales funcionan como tensores para el resto de la estructura. Debido a

que los cables principales soportarn cas la totalidad de las cargas del puente, se suele

utilizar acero de alta resistencia.

De la parte inferior de los cables principales de ejes opuestos, se suspenden elementos

transversales (vigas) que cruzan la va a lo ancho.

En la direccin longitudinal, de la parte inferior de los cables principales se suspenden y

sujetan elementos longitudinales que unen todos los cables.

Las vigas transversales y longitudinales conforman una malla horizontal. La malla se

arriostra y rigidiza mediante diagonales y contradiagonales.

Apoyada en las vigas transversales se construye la estructura que soportar directamente a

los vehculos que circulan por el puente. Usualmente esta estructura es una losa de

hormign, pero podra ser una estructura con planchas metlicas.

La carga viva vehicular es transmitida a su estructura de soporte; la estructura de soporte

vehicular transmite la carga viva y su propio peso a las vigas transversales; las vigas

transversales, a su vez, se sustentan en los cables principales; los cables principales

transmiten las cargas a las torres de sustentacin; y, por ltimo, las torres de sustentacin

transfieren las cargas al suelo de cimentacin.

Al igual que en los puentes colgante, la geometra presentada hasta el momento no es la

ms apropiada para un puente atirantado, pues las tensiones en los extremos de los cables se

convierten en acciones que no puede ser soportadas directamente por las torres de

sustentacin.

Las componentes horizontales produciran el volcamiento de las torres. Para superar este

limitante se deben crear mecanismos que permitan a la torre compensar esa fuerza

horizontal.

La primera fase de la solucin del problema consiste en extender el puente y los cables

principales hacia el otro lado de la torre, para equilibrar total o parcialmente las cargas

permanentes.

Los restantes criterios analizados en los puentes colgantes, son vlidos para los puentes

atirantados. Paricularmente debe considerarse el empleo de Teora de Segundo Orden, el

tensado de los cables, la secuencia de construccin, etc.

El modelo estructural de este tipo de puentes es la diferencia ms importante con relacin a

los puentes colgantes.

b. CONCLUSIONES GENERALES SOBRE LOS PUENTES

ATIRANTADOS:

El diseo y la construccin de puentes atirantados es otra alternativa para manejar el

problema de los puentes de gran longitud. La implementacin en el pas, de este tipo de

puentes, tambin debe incluir un cambio en la manera tradicional de mirar el diseo y la

construccin como actividades separadas e independientes dentro de la prctica ingenieril,

convirtindolas en actividades ntimamente ligadas.

El costo de la incorporacin de las nuevas tecnologas es menor que aquel requerido para

puentes colgantes.

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