cables(analsis estructural)

7/23/2019 Cables(analsis estructural)

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CABLES

Por su simplicidad, versatilidad, resistencia y economía, los cables se han convertido en

un elemento imprescindible en muchas obras de ingeniería. Pensemos en los puentescolgantes, no solo los grandes sino también los pequeños construidos para comunicarveredas en zonas rurales, las garruchas, los sistemas de transporte de productosagrícolas en los cultivos, los sistemas de interconexión eléctrica, los cables para

postensado en una obra de hormigón, los tensores o contravientos para luminarias y postes, pagodas o techos, etc.

Por su flexibilidad, los cables solo aguantan fuerzas de tracción, se comportan de formainversa a los arcos, en los cuales, debido a su curvatura, los esfuerzos cortantes y deflexión se pueden hacer nulos y los esfuerzos de compresión se convierten en el soportede la estructura. n el caso de un cable, la geometría que él adquiere al aplicar las

cargas, es tal, que asegura el cumplimiento de las leyes de equilibrio con el solo traba!oa tracción del elemento.

l tipo de geometría que adquiere un cable depende del tipo de cargas actuantes. Paracables sometidos a cargas uniformes en la proyección horizontal, adquieren una forma

parabólica siguiendo la forma del diagrama de momentos de una viga simple" cablessometidos a cargas puntuales adquieren una forma discontinua en cada punto deaplicación de las cargas y cables sometidos a su propio peso #en este caso no es unacarga uniforme$ forman una curva llamada catenaria. %n e!emplo de este &ltimo caso esel de las redes de energía. n el caso de que la flecha del cable #distancia vertical desdelos extremos hasta el punto mas ba!o$ no sea muy grande, esta catenaria se puedeaproximar a una par'bola.

Para el an'lisis se consideran totalmente flexibles e inextensibles de tal manera que entoda su longitud los esfuerzos solo ser'n axiales de tracción y siempre tangenciales a lacurva del cable.



(a forma de la catenaria se puede suponer parabólica siempre y cuando sea pequeña. #)*ué tan pequeña+, se !ustifica hacer un estudio de la flecha en función de lalongitud cuando un cable est' sometido a carga uniforme en proyección horizontal ycompararla con la flecha para peso propio para poder sacar un límite en esta relación$.

1. Cables sometidos a cargas puntuales

(os cables sometidos a cargas puntuales adquieren una geometría tal que en cada puntode aplicación de una carga se forma un cambio de curvatura del cable. (a forma finaldel cable depender' de la magnitud de las cargas puntuales y de su punto de aplicación.



)Por qué se colocan como apoyos articulaciones o empotramientos cuando se traba!acon cables+

iempre la reacción ser' contraria a la acción e!ercida por el cable, ley de acción yreacción, por lo tanto solo se e!ercer'n fuerzas, no momentos, en la misma dirección del&ltimo tramo de los cables. -on la articulación como apoyo se asegura que la reaccióntenga dos componentes por hallar, la magnitud de la fuerza y su dirección.

l aplicar las ecuaciones de equilibrio al cable tendríamos un sistema de tres ecuacionesindependientes y cuatro incógnitas. /ote que la dirección de las reacciones depende dela geometría del cable y que esta a su vez depende de las cargas aplicadas.

i en el cable analizado, sus dos apoyos est'n al mismo nivel, se puede solucionar elan'lisis vertical, esto es, las componentes verticales de las reacciones o tensiones delcable. Para las componentes horizontales se requiere de otra ecuación que resulta de lageometría del cable. i se conoce al menos una flecha del cable en cualquier tramo, se

podría determinar la dirección de una de las reacciones y así la componente horizontal.

Para este caso especial la cuarta ecuación sería0

y en ese caso las componentes de las fuerzas de reacción se expresan

en función de 1.



-omprobamos que la fuerza horizontal es constante en toda la longitud del cable einversamente proporcional a la flecha.

n el caso de tener varias cargas aplicadas, se hace necesario conocer al menos una delas flechas del cable. sumiendo que la flecha conocida sea central, se puede analizar elcable aplicando el método de los nudos, considerando cada punto de aplicación de cargacomo un nudo de cercha sometido a tracciones y cargas externas o el método de lassecciones, cortando el cable por un punto donde se involucre la flecha conocida y

tomando momentos con respecto al punto de corte. 2e esta manera se despe!a lacomponente horizontal de la reacción. 3enga en cuenta que para apoyos alineadoshorizontalmente, las componentes verticales de las reacciones se determinan por elequilibrio externo.

continuación se muestra el diagrama de cuerpo libre cuando se utiliza el método delos nudos.

n cada nudo se plantean dos ecuaciones de equilibrio, por cada tramo de cable resultauna incógnita por averiguar que corresponde a la tracción de este.



e de!a al lector efectuar este c'lculo por nudos.

Para cables con apoyos no lineados horizontalmente, se puede plantear encontrando lasreacciones en función de la distancia vertical entre el cable y la línea que une los dos puntos de apoyo, esta distancia se llama flecha0



ste valor es constante en toda la longitud del cable ya que no dependede P.

#cuación 4$

-ortando por m y realizando equilibrio en la sección izquierda0

2onde representa los momentos de las cargas externas con respectoal punto m.

2espe!ando Ay*X

#cuación 5$

6gualando la ecuación 4 por 7 con la ecuación 50



2onde 8 se considera el extremo derecho del cable y m un punto medido desde elextremo izquierdo del cable. /ote que en esta ecuación no est'n involucradas lasreacciones verticales, solo las cargas externas.

sta ecuación relaciona la componente horizontal de la tensión, la flecha del cable en un punto determinado y las cargas actuantes, se conoce como el teorema del cable0 9:n un punto cualquiera de un cable sometido a cargas verticales, el producto de la componentehorizontal de la tensión por la flecha en ese punto, es igual al momento flector que act&aen esa sección si se considera el cable como una viga simplemente apoyada:.

n el caso de que el apoyo en 8 esté por encima del apoyo , la ecuación

se conserva. #;ealice equilibrio y despe!e$



Para despe!ar < o =m de esta relación se necesita conocer al menos una de las dos. nel diseño de estructuras con cables, el diseñador tiene la opción de fi!ar la flechadeseada o fi!ar la componente horizontal de la tensión, la cual permanece constante entoda la longitud.

>;-6-6?

#!ercicio @AB del libro de <ibbeler$. 2etermine la fuerza P necesaria para mantener elcable en la posición mostrada. -alcule también la flecha =8 y la tensión m'xima delcable.



2ebido a que la componente horizontal siempre es constante, las tensiones m'ximasser'n aquellas cuya componente vertical sea m'xima, esta se presentar' siempre en losapoyos.

-omo una de las incógnitas es una carga aplicada, el teorema del cable no nos ayuda asolucionar la componente horizontal.

plicando el método de los nudos podemos despe!ar y 0

quilibrio en el nudo 8

por equilibrio en , T BAy=Ay=4kN

si tomamos momentos en - podemos expresar x en función de y conocida0

<aciendo equilibrio vertical podemos encontrar P0

-onocida P podemos aplicar el teorema del cable para encontrar la componentehorizontal0

eme!ando una viga simplemente apoyada y partiendo por 0

plicando de nuevo la ecuación del cable en el punto 8 podemos encontrar la flecha enese punto0



(a tensión m'xima siempre es en los apoyos, en este caso el apoyo tendr' mayorreacción que el apoyo , )por qué+

2. Cables sometidos a cargas

uniformemente distribuidas en la

proyección horizontal

e considera que el peso produce una carga uniformemente distribuida en la proyección

horizontal, caso de cables cuya relación flechaClongitud es pequeña.

(a forma que adquiere el cable es el de una par'bola cuyo vértice representa el puntomas ba!o de este.

xisten dos maneras de analizar el cable, considerar el origen de la par'bola en el centroo considerarlo desde un extremo.

a. 2esde el centro



e encuentra la componente horizontal de la tensión en función de las cargas y de unvalor de la flecha = en un punto determinado o se determina la coordenada = de laforma de la curva del cable en función de la componente horizontal. 3omandomomentos con respecto a 2 tenemos0

sta ecuación define la altura del cable medida desde el punto - en cualquier posiciónx, note que la ecuación corresponde a una par'bola.

Para encontrar el valor de la componente horizontal < debemos conocer el valor de laflecha en un punto. n el caso de conocer la flecha m'xima en - y considerando lasimetría tenemos0

, en esta ecuación podemos observar que el momento m'ximo

e!ercido por la componente horizontal de la tensión en uno de los apoyos corresponde almomento m'ximo de una viga simplemente apoyada.



Para encontrar el valor de la tensión en un punto determinado aplicamos equilibrio a lasección indicada0

l 'ngulo de inclinación del cable en cualquier punto es0

(a tensión m'xima se e!erce en los apoyos cuando x=L/20

(a tensión mínima se e!erce cuando X=0 y corresponde al valor de la componentehorizontal de la tensión, <.

b. -ables con apoyos no alineados horizontalmente0

3omando momentos con respecto a 8 y seccionando el cable por m y tomandomomentos con respecto a m0



6gualando Ay y despe!ando la <Dym

2onde ym corresponde a la flecha medida desde la cuerda y x est' medida desde elextremo izquierdo.

Para xmE(C5

*ue corresponde al valor del momento m'ximo desarrollado en una vigahorizontal con la misma carga F.

(a ecuación que define la forma del cable es una par'bola con origen en el extremo

izquierdo0

Para encontrar la abscisa del punto de tangencia cero, se expresa ym en función de <, sederiva e iguala a cero0

-onstituye la tangente en cualquier punto del cable

Para dy/dx=0

Punto de tangencia cero. /ote que depende de < y a la vez < depende de laflecha, por lo tanto se debe asumir uno de los dos valores o < o ym.



(ongitud del cable necesaria0

xpresando una longitud diferencial de cable en función de dx y dy tenemos0

2ividiendo por dx5 y multiplicando por dx fuera del radical0

e conoce la expresión dyCdx

;eemplazando0

6ntegrando esta función se puede obtener la longitud del cable.

n el caso de tener el centro de coordenadas en el punto de tangencia cero, el valor dedyCdx es0



dx

<aciendo una sustitución de variables0

, donde 7 es el valor de la proyecciónhorizontal de uno de los tramos de la cuerda medida desde el punto de tangencia cero.

n el libro GHec'nica vectorial para ingenieros, est'tica: de 8eer, >ohnston y isenbergse plantea otra solución para esta integral expandiendo el radical por medio del teoremadel binomio. sta solución est' en términos de la flecha m'xima y la distancia 7 desdeel punto de flecha m'xima a uno de los apoyos.

!emplo0

%n cable de un puente colgante se somete a una carga uniforme de @IJ/Cm. i la alturam'xima de los pilones donde se ancla el cable con respecto al tablero del puente es deKIm y se cuenta con cables de acero con resistencia &ltima a tracción de 4LII/Cmm5,determinar el di'metro del cable mínimo que puede ser usado. 2espreciar el peso del

cable.



>ugando con la altura del cable con respecto al tablero podría determinar el menorvolumen de acero de cable a usar. xprese volumen como longitud por 'rea transversaly grafique versus altura del pilón.

n este caso se pide tener una geometría tal del cable que produzca la mínima tensión posible. (as componentes verticales son m'ximas en los apoyos e iguales a la mitad dela carga generada en toda la luz y no dependen de la geometría del cable.

(a componente horizontal de la tensión varía con la flecha, a mayor flecha menorcomponente horizontal, por lo tanto una tensión mínima se consigue con una flechaigual a la m'xima posible, en este caso KI metros.

;eacciones verticales0

3omando momentos con respecto a uno de los apoyos en una sección de solo la mitaddel cable se obtiene la componente horizontal de la tensión0

Mrea de cable mínima0



. Caso de cargas distribuidas a lo largo

de la longitud del cable.



(a tensión en cualquier punto de la cuerda es0

<aciendo FC<Ec, una constante

Para obtener la forma del cable, se puede encontrar una ecuación que relacione lalongitud de un tramo de cable con su proyección horizontal x

6ntegrando esta ecuación de I a , se obtiene

=



6ntegrando la función de y se obtiene #ver desarrollo en el libro de 8eer, >ohnston,isenberg

*ue corresponde a la ecuación de una catenaria con e!e vertical.

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