第2章排列与组合

2.1 4个基本的计数原理

2.2 集合的排列

北航计算机学院：李建欣

Tel：82339274（G506）E-mail：lijx@act.buaa.edu.cnhttp://act.buaa.edu.cn/lijx

几个问题

用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？

4位同学和2位老师排成一排照相，规定老师站在两边有多少种排法？

有多少个取自{1，2，…，9}的各位互异的7位数，使得5和6不以任何顺序相继出现？

一本书从第1页开始编排页码，共用数字2355个，那么这本书共有多少页？

5角2角 1角 5角 2角 1角

5角2角

5角1角

2角1角

2种 1种 1种 1种

0种 1种 4种

几个问题

将数字1，2，…，15 放入一个44的方阵中，问共有多少种摆放方法？若放入66的方阵中，共有多少种摆放方法

数字1,1,1, 3, 8可以构造出多少个不同的5位数？

主要内容

加法原理与乘法原理

集合的线性排列

应用例子

加法原理集合论描述：

设集合S划分为S1, S2,…, Sm（即S= S1S2 … Sm ，

SiSj＝，ij ）。则：

|S|=|S1|+|S2|+…+|Sm | 注意：（1）集合的一个划分是指：该集合由一些

互不相交的子集并集构成。

（2）若这些子集存在重叠，则需要其他原理计数。

加法原理的自然语言叙述

如果有p种方法能够从一堆中选择一个物体，而有q种方法也能够从另一

堆中选择一个物体，那么从这两堆中选择一个物体的方法有p+q种。

注意：两种方法间没有关联，互相独立的。

乘法原理

集合论描述：

设S是P和Q的乘积（即S＝P×Q），则

|S|＝|P|×|Q|另一形式：如果第一项任务有p个结果，不论第一项任务的结果如何，第二项任务有q个结果，那么，这两项任务连续执行就有p×q个结果。

两种原理比较

A B加法原理：2＋3

AC

B乘法原理：2×3

应用例子

例. 下面代码执行后k的值？

k=0for i1=1 to n1

k :=k+1for i2=1 to n2

k :=k+1.

for im=1 to nm

k :=k+1

解： k的初值为0。第i个循环被执行ni次，循环分别进行，运用加法原理，即得到

k=n1+n2+…+ nm

如果是嵌套循环呢？

应用例子

例. 有多少个不同的7位二进制串？

例. 一个实验室有32台微机，每台微机有24个端口。这个实验室有多少个不同的单机端口？

应用

例. 确定数3452117 138的正整数因子的个数。

要点：它的每个因子具有形式

3i5j11k 13l, 其中，0i4, 0j2, 0k7, 0l8.乘法原理：因子总数5389

例子

有6个桔子和9个苹果，要求篮子中至少有一个水果，问可以装配成多少种不同的水果蓝？

可以用不同的计数方法。

（1）先设包括空的情形，那么，选择橘子方法有7种(0,1,2,3,4,5,6)，选择苹果方法有10种，故共有70种，除去空的情况有69种。

（2）考查划分为两个部分S1和S2，其中S1

表示没有橘子的组成方式，S2表示至少

有1个橘子的组成方式，那么|S1|=9, 而|S2|=6×10＝60，故共有69种。

注：这里认为橘子之间没有区别，若对橘

子间编号，计数方式复杂得多。

减法原理与除法原理

减法原理：令集合AU, ={xU | xA}是A在U中的补集。那么，|A|=|U|| |.

注：与加法原理等价。

除法原理：S是一个有限集，被划分为k个部分，使得每个部分含有相同的元素个数n。那么：

AA

nSk ||

区分两种不同的计数类型：

（1）对元素的有序摆放数或选择数的计数。

a)没有重复的元素

b)有重复的元素（无限重复或有限重复）

（2）对元素的无序摆放数或选择数的计数。

a)没有重复的元素

b)有重复的元素（无限重复或有限重复）

定义：与顺序有关的摆放或选择称 排列。与顺序无关的摆放或选择称 组合。

多重集合

多重集：允许元素重复。例如：

M＝{a,a,a, b,b}称3个类型a, 2个类型b，也可写作

M＝{3a, 2b}，3和2是重复集的重数。

注：一般多重集不是集合。集合是重数为1的多重集。

应用例. 在1000和9999之间有多少具有不同数字的奇数？

解：满足条件的数字是4个数字的有序排列，其中个位数只能是奇数，即属于{1,3,5,7,9}。十位数和百位数可是任一个数字，千位数不能为0。个位数：5种选择；千位：8。乘法原理：5×8×8×7＝2240

例子

数字1,1,1, 3, 8可以构造出多少个不同的5位数？

这是一个3重集的排列问题。

解：数字3可能位置选择数为5，3选定情况下，8选择可能数为4，故由乘法原理

5×4＝20种。

集合的线性排列

定义：从n个元素中取出r个元素的有序摆放，称n元素集合的r-排列。

用P(n, r)表示n元素集合的全部r-排列数。约定当r>n时，P(n, r)=0。

如集合S={a, b, c}的2-排列包括：

ab, ac, ba, bc, ca, cb集合S的一个排列是某种顺序列出S的所有元素。（有时称一个全排列）

定理2.2.1：对于整数n和r, rn, 有P(n, r)=n(n-1)(n-2)…(n-r+1)=

(其中：定义n!=n(n-1)(n-2)…2 1, 约定0!=1)

)!(!rn

n

集合的线性排列

应用

例1：将数字1，2，…，15 放入一个44的方阵中，问共有多少种摆放方法？若放入66的方阵中，共有多少种摆放方法？

1 2 3 45 6 7 89 10 11 12

13 14 15

解（1）将空白块标号0，那么，每一种摆放方法对应16数字的一个排列，则问题等价于16个数字的任何排列数，即

P(16, 16)=16!

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15

（2）依次摆放1，2,…15号方块，每个标号可在36个方块选取，故相当于36个中选取15个的任意排列：共有P(36，15)。

例将字母表的26个字母排序使得元音字母a, e,

i, o, u中任意两个都不得相继出现，这种排序的方法总数是多少？

解：21个辅音字母排序有21！种；

将5个元音字母分别插入22空位：有P(22, 5)种，由乘法原理

21!×P(22, 5)

例

有多少个取自{1，2，…，9}的各位互异的7位数，使得5和6不以任何顺序相继出现？

多种解法：

（1）分4种情况，S1表示5,6均不出现数字集；S2表示5出现但6不出现数字集； S3表示6出现但5不出现数字集； S4表示5,6均出现数字集。那么

|S1|=P(7,7)=5040;|S2|=|S3|=7×P(7,6)=35280;计算|S4|。分为3种情况：第一位数字5；最后一位为5；5出现在其他位置。

5×P(7,5)+5×P(7,5)+5×4×P(7,5)=75600总数为各部分和：

|S1|+|S2|+|S3|+|S4|

5 6 5656 6

解法(2): (减法原理）

T是互异7位数字全集，P(9,7).T可划分为两个子集S和S的补集S，其中S表示5和6不连续出现数字集。那么，

|S|=2×6×P(7, 5)|S|=|T||S|=P(9,7)2×6×P(7, 5)

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小结

基本的计数原理：加法原理、乘法原理

集合的线性排列

注意：元素的重复性计数问题；一个经验：优先对有约束条件的位置计数。

课后作业2.7 习题，4，5, 6。