第1章講義の目標と概要 -...

第１章講義の目標と概要

１．はじめに非線形性に伴って生まれるリズムやパターン：

（これらは、化学、生物学、物理学、工学、経済学、社会学、心理学のいたるところで普遍に見られる。）

Self-organization ：自己組織化型自己組織化

Self-assembly ：自己集積型

一般に総称して自己組織化現象あるいは複雑系現象と呼ばれる。

一定の拘束条件を与えれば、外から構造を強制することなしに自発的に組織化すること。この物理をいかに捉えるか。

生命複雑システム基礎

1

（独） H. Haken : Synagetics（米） Santa Fe group : Complex systems（ベルギー） I. Prigogine : Dissipative structures

i) 階層を生み出すメカニズム特性スケール（時間や空間）の出現メカニズム

ii) 数理モデルの構築（普遍性の追求）要素の個別性によらないメカニズムの追求

・対称性の議論・縮約理論

iii）個別性の追求（個別現象の解明）普遍性を知ることで物理は解明されるのか？同じパターンを記述できる数理が必ずしもその現象を記述しているものではない“No” 個別性はもっと多様な現象を見せる

pattern formation非平衡散逸系の研究


2

1

形成機構の複雑性 → 非線形、ポテンシャルがない

自由エネルギーが定義できない

時間的な構造の複雑性 → 不規則な信号、カオス

空間的な構造の複雑性 → 複雑なパターン、Fractal構造

（雪の結晶など）、乱流

１．創発的である

２．全体と要素が切り離せない → 階層が切り離せない

（全体の性質によって要素の性質が変わる）

３．関係論的システムである → 要素が可塑的である（関係が

生じることによって要素の性質が変わる－例えば、夫婦

（男と女の「結婚」）

複雑系のもつ特徴


3

より複雑 → 非平衡散逸系（物質）から生命へ

これまでの物理法則は運動の法則を基本とする。複雑システムのもつ関係学 → 物理法則の範疇にある生命のもつ特殊な関係学 → 物理法則を越えるか

生命の記述には運動の法則以外の法則が必要である

複雑系に生まれる二つの不確定性（uncertainty）（物質物理系）

Definite Uncertainty------定義された不確定性（シャノン型情報）（状態量、エントロピー、運動量）

（生命複雑系）Indefinite Uncertainty-----定義されない不確定性（意味型情報）（例：天気では、晴れ、曇り、雨の定義、“晴れ”の定義が明確でない）

意味的な情報では未定義の不確定性に定義を与える

特に生命は自律分散系であるために情報の生成と伝達が必要


4

2

構造 → 形、階層性、多様性、複雑性情報 → 相互作用、関係をもたせる（拘束条件） → 関係学意味 → 未定義の不確定性に定義をつける

ここから機能が生まれる → 物理では“物性”と呼ぶ

（１）全体（ensumble）と要素（individual）論

実体論的システム-----規定した性質をもつ要素に関係をつける（例：一般の物理系、柔軟さに欠ける）

関係論的システム-----関係をもつことによって要素の性質が変わる。（例：男と女 → 夫婦（結婚という関係の成立）

group dynamicsにおける緊急避難や横断歩道のパターン形成）

関係論的システムでは情報を創成できる。したがって、全体の性質によって要素の性質が変わる→ 関係をリアルタイムで変えながら、新しい要素を作り出している（映画ターミネータ２）


5

（２）要素間の関係

関係によって意味や機能が変わる表示：マスゲーム、応援ウェーブ（大自由度、多様、複雑、非画一的）

発光ダイオード、CRT掲示板（自由度、多様性、複雑性がない）

生命：例としてカルスを考えるカルスから植物への発展には、関係が必要。手のつなぎ方によって関係が決まり、分化し正常個体になるか単なる細胞集合体になるかが決まる。

そのため要素の多様性が必要例：引き込み非線形振動子 → 情報を受け入れる性質をもつ；相互作用

メトロノーム：弾性による情報の伝搬（我々の興味は実際にはもっと複雑な対象）

多様な引き込み現象 → 植物のサーカディアンリズム、脳神経系、免疫系（薬物投与効果）

情報の創成伝搬（媒介手段）受け入れ（要素の内部状態の可塑性、柔軟性（自由度））


6

3

（３）生命的な全体とその要素

生命的、創発的、複雑系的であるためには要素の内部状態（Internal dynamics）＋情報（Interaction）＋Open Degrees of Freedom

これまでの平衡物理系は要素が不変（多様性・可塑性がない）

散逸系は要素が可変（多様）

（４）物理系の情報伝搬（エネルギー・物質伝搬）Local: Reaction, DiffusionGlobal: Pressure field, Minimum entropy production

（５）生物（複雑系）における情報伝搬ミクロな物質情報の伝搬（細胞内、個体内）

受動的媒介 → 拡散能動的媒介 → イオンポンプ、サイトシス（高分子輸送）

マクロな物質情報の伝搬（個体間）受動的媒介 → 対流、風（風媒花）、動物・拡散（遅すぎる、不適）能動的媒介 → 移動


7

ゴッホの絵：ひまわり

物理としての見方

工学としての見方

芸術としての見方


8

4

前のゴッホの絵を考えよう

絵の具の成分を研究 → 物理学 → 遺伝子配列の解読

絵の情報（色、形）を分析 → 工学・情報工学（パターン認識） →

これでゴッホの絵を理解できるか－－－－No

ゴッホの絵を感じる → 新しい情報（感性） →

タンパク質機能の解読

全機能をシステムとして知る

生命を理解する


9

ミクロな高速情報の伝搬（神経）相転移（脱分極） → 伝搬（拡散ではない）酸素の供給

秩序状態・構造（樹木）存立した状態coherent state

引き込み（分化）synchronic state

カオス化

indefinite state存立前の状態（カルス）

関係のサイクル

関係の発生情報の伝搬

→新しい関係の発生

関係の複雑化複雑な情報伝搬


10

5

パターン形成現象何が重要か？（１）形成の原理 ----- 熱力学的、力学的（２）機能（物性）の発生と記述法

必要な武器（１）非平衡散逸系 ----- 熱力学の概念・非線形力学（２）構造形成 ----- 分岐・不安定理論

縮約法・摂動法（３）リズム形成 ----- 非線形波動・非線形力学

物理的根源を知る（１）非可逆性 ----- なぜ「非可逆」は生まれるか（２）階層の出現 ----- 「木（ミクロ）を見て森を見ず」（３）機能の発生

いずれにしても、以下で具体的パターンを見てみよう

11


植物のリズム

小豆の茎の首振り運動(circummutation)

概日リズム（おじき草）circadian rhythms

なぜ、このようなリズムが必要か？

生物に見られる時間的自己組織化構造：リズム

茎の側面の伸長がスパイラル的に変動（周期：２０分～１H)

周期：約２３時間

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6

BZ振動子

フェロイン系ルテニューム系

複雑な振動反応とパターンを呈する非平衡散逸構造

（振動する酸化－還元反応である。この反応の詳細は講義にて述べる）

（シャーレへの展開系）（連続攪拌系（CSTR））

13


BZパターン２

ターゲットスパイラル

攪拌系（CSTR)では赤・青に振動するBZ反応をシャーレに展開すると下に示すようなターゲットやスパイラルの振動化学波が観測される

14


7

BZパターン２

ターゲットスパイラル

攪拌系（CSTR)では赤・青に振動するBZ反応をシャーレに展開すると下に示すようなターゲットやスパイラルの振動化学波が観測される

15


南太平洋の島の木に集まるホタルの点滅（間欠発振型の点滅）のスパイラル

ホタルのスパイラルBZ反応のスパイラル

赤（還元）から青（白色：酸化）への色変化に注目（スパイラルに変わると振動数が高くなる）

スパイラル点滅への変化する様子に注目（NHKーTV番組）

16


8

イースト菌の解糖系に見られるスパイラル。対をなして回転する高濃度のニコチン(酸)アミドアデニンジヌクレオチド（NADH）のスパイラル（NADH（還元型）→NAD（酸化型）：脱水素化反応：酸化－還元反応）

イースト菌のスパイラル

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化学波ダイオード

化学波が非可逆的に伝搬する。左（ON) 右（OFF)（光感受性BZ反応を使用。開口角度に依存する）

（名古屋大学人間情報学研究科一野天利（D3）君による）この波の演算挙動は反応拡散方程式で記述される。

散逸構造の一つの応用例

18


9

化学波論理回路ダイオードの性質を利用した演算回路（一野天利（名大）君提供）

OR-NOT回路 OR-NOT回路

OR回路（時間マッチ） OR回路（時間差あり）

19


CIMA system（BZ反応類似系）Q. Quyang & H. L. Swinney,Nature, 352, 610(1991)

Turingパターン

化学反応系にみられる反応パターン。アクリルアミドゲルの両側にA,Bの反応溶液を流し、ゲル中で反応させる。

20


10

Formation of periodic structures

Periodic pattern are frequently formed in development. Examplesare bristles, feather buds, leaves, and within the latter, stomataand trichoms. In the model, activator maxima are formed in amore or less regular arrangement if the size of the field is largerthan the range of the inhibitor:

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キンチャクタイ

幼魚の模様はターゲットあるいはスパイラルであるが、成魚の模様はストライプになっている。また欠陥が存在するが、これも時間とともに解消したり発生したりする。（詳細は後述）

22


11

b c d

e f g

a

h i j k l

m n o p q

Fig. 2. Rearrangement of the stripepattern of Pomacanthus imperator(horizontal movement of branchingpoints) and its computer simulation. a,An adult P. imperator ( months old ).b, Close-up of region I in a. c, d,Photographs of region I of the same fishtaken two (c) and three (d) months later. e,Starting stripe conformation for thesimulation (region I). f, g, Results of thecalculation after 30,000 (f) and 50,000 (g)iterations. h, Close-up of region II in a. i-l, Photographs of region II of the samefish taken 30 (i), 50 (j), 75 (k) and 90 (l)days later, respectively. m, Stating stripeconformation for the simulation (regionII). n-q, Results of the calculation after20,000 (n), 30,000 (o), 40,000 (p) and50,000 (q) iterations, respectively. Fish(Fish World Co. Ltd (Osaka)) weremaintained in artificial sea water (MartinArt, Senju). Skin patterns were recordedwith a Canon video camera and printedby a Polaroid Slide Printer. In thesimulated patterns, darker colourrepresents higher concentrations of theactivator molecule. Equations and thevalues of the constants used, as Fig. 1.

23


リーゼガング（沈殿構造）

インドネシア・スラウェシ島の貫入岩体（アルカリハンレイ岩質マグマが固化した岩石）に発達した層状構造.貫入面から岩体内部１２０ｍに約２００層が貫入面から次第に数１０ｃｍから数ｍの幅でスペース則を示す（熊大・西山教授提供）

沈殿：ヨウ化鉛PbI2

PbNO3+2KI→PbI2+K2NO3

この沈殿は寒天溶液で上記の反応を起こさせると形成される。各種の周期則（スペース則）を示す。

24


12

リーゼガング・バンド１次元的な沈殿が試験管中に形成される。左、周期的（初期濃度勾配あり）：右、非周期的（勾配なし）

25


39℃～ -0.01℃/min 上映時間：39s （２倍速）ヘリカルフィラメント

スメクティック液晶のフィラメント（大阪府立大轟氏：２００２年）

26


13

バクテリア周期パターン

Scientific American279,No.4(1998)

寒天培地中に、抗生物質などの薬物を混入。その濃度や種類に依存してコロニーパターンの周期性が異なる。

27


枯草菌のDLA

同心円パターン DLAパターン（Df=1.706）

寒天培地に含まれる栄養分の濃度と寒天の堅さによってパターンが異なる（H.Fujikawa, Physica A189(1992)15)左：養分豊富(20g/lのペプトン）、寒天濃度(7g/l)右：養分貧(1g/l)、寒天濃度(15g/l:堅い)

28


14

DLAパターン金属結晶沈殿がつくる拡散律速構造

29


ビスコスフィンガリング（フラクタルパターン）

高粘性流体中（グリセリンやゲル状物質）に低粘性流体（黒色）を中心から吹き込むと観測される。右：高粘性（ゾル状態）右：超高粘性（ゲル）

30


15

Benard-Rayleigh （熱）対流

上面が自由境界のR-B対流は蜂の巣状の対流パターンをつくる（上面が剛体境界であればロール状対流パターン）。

熱分布（サーモグラフィー）

31


対流パターン

Wiliams Pattern Grid Pattern

Zig－Zag Pattern Defect Lattice

熱対流や液晶対流に見られる自己組織化構造（散逸構造）（GPの動画とGPの位相波のダイナミックスの動画あり）

32


16

対流パターン（映画）

２次元ロール対流（WD)

３次元セル状パターン（GP)

GPに見られる配向位相波

乱流－乱流遷移（核生成型）

33


対流系の位相振動構造前の映画でみた位相波がつくるターゲットやスパイラル振動パターン。振動の位相波がつくる空間構造である。試料が均一に作られていないと観測が難しい。

34


17

地球規模の対流

二つのKarman 渦に見られるReynolds 数Reの大きな差

Re＝約１０９ Re=１４０

済州島後方の渦円柱後方の渦（伴流）

流体力学的相似則の破れ？その起源は？

35


Com

ple

xity

複雑

性

Regularity規則性

非平衡物質散逸系

植物

散逸構造カオス乱流

ニューロン生物

平衡物質gas 結晶

複雑性と規則性

36


18

「---が起これば複雑系」

「---の構造があれば複雑系」

「---の性質を示せば複雑系」

複雑な振る舞いをする体系（システム）のことを言う

では複雑な振る舞いとは何か →

主観的な表現しかない

複雑系の物理的定義がない

何かが欲しい。

複雑系の定義

のように

37


ところで、これらのパターンの発生は揺らぎの不安定に伴う分岐現象による。

揺らぎの不安定マクロ構造の発生

マクロ構造とミクロ揺らぎ

階層の発生

最初に述べた普遍性と個別性の解明、すなわちパターン形成の物

理が解明された後の次のステップは何か。それはパターンがどのような役割を物質に対して持っているかを明

らかにすること。つまり

1.2 パターンと機能

この結果

38


19

物理・物質系

構造

物性

構造の出現メカニズムと物性出現メカニズムには相関があり確立されている（平衡系）。

生物系（散逸系）

構造

機能

構造の出現メカニズムも機能の出現メカニズムも不明。その間の関係も不明。その突破口は散逸系のパターン形成の物理から・・・

39


そこで、この講義では、パターンの発生機構の物理学だけでなく、複雑な非線形現象を縮約という作業によっていかに見通しよく現象をみることができるか、それが具体的な現象でどのように適用できているかを学ぶ。これは、生命のようなさらに複雑な対象が呈する

機能（自己組織化、自律性、再生機能）を理解する第一歩となると期待している。

40


20

講義に出てくるキーワード

(1)平衡と非平衡

(2)散逸

(3)分岐

(4)自己組織化

(5)不安定性

(6)階層性

(7)複雑性

(8)多様性

(9)全体と要素

(10)対称性の破れ

(11)情報の縮約

(12)引き込み

(13)確率共鳴

これらを理解してもらう。

41


Ａ．定義の明確化：

例えば：

a)構成要素の種類や数で定義できるか

b)相互作用とダイナミックスのタイプで定義できるか

B．派生する特徴の解明：

例えば：

a)予測不可能性（カオス） d)再現性

b)自己複製・自己再生 e)情報の生成や伝達・記憶

c)リズム（時計） f)階層性や多様性

などの性質の出現機構の解明

その上で物理としての複雑系

を考えよう。

42


21


44

第２章非平衡開放系の熱力学

非平衡開放系が熱力学的にどのようなものであるかを概観する。

2-1.平衡系と非平衡系

（１）熱力学の第一法則：エネルギー保存則

×

A

初期状態

×

B

最終状態

A→Bへのパスによらずエネルギーの総和は一定


45

（２）熱力学の第二法則：エントロピー最大の法則

dQ → 0

dST

dQ

dQ：外部からの微小熱量（断熱系、孤立系ではゼロ）

dS0 エントロピーは常に増大する。

エントロピー生成不可逆性

S2 ＞ S1 無秩序性の増加

0

dt

dS

t

S2S1

（２．１．１）

(２．１．２)

22


46

例題. エントロピーの計算

N = N1 + N2N1

N2

N 個の分子をN1とN2に分配する場合の数 W

!!

!

21 NN

NW

エントロピー S は

!!

!loglog

21 NN

NkWkS BB （ボルツマンの原理）


47

スターリングの公式を使うと、

より、

NNNN log!log

CNNNNkS B 2211 loglog

S 増大する（熱力学の法則）

23


48

例２. ２種類の玉の配列

このとき、境界を新たに玉の一種と考えて、新しい総数は

となり、

２種の玉と

玉の総数：N

白黒の境界の数：

平均的長さa

a

N

a

N 1

a

NNNT

!!

!

a

NN

a

NN

W


49

a → 大なほど S は小さい。

すなわち、 a : order parameter（秩序を持っていることに相当する）

aaaa

N

a

N

a

NNN

a

NN

a

NNWS

log11

1log1

1

loglogloglog

a → ではaa

111log

aa

NS log

24


50

(3)平衡系

系

NE

系内の粒子数： N0

系内のエネルギー： E0

外部とやりとりする率：

0E

E or

0N

N0

0 (平衡状態）


51

2-2.閉鎖系と開放系

(1)閉鎖系

系E

N

熱沿

系と熱沿との間のenergyや粒子の

やりとり（詳細釣合の成立）

系の持つenergy E0

系内の粒子数 N0

00

0

N

N

これは定常では平衡系になる。

25


52

T1 → T2 へ変化させた場合

には過渡的に非平衡

例. 相分離、核生成－成長、スピノダルなどの過渡的な不均一パターン

平衡1

平衡2

T2

T1

温度

t

過渡的に散逸系（閉鎖散逸系）

G : ギブスの自由エネルギー

平衡系では、自由エネルギー最小の法則に従って最終構造が決まる。

「エネルギー最小の原理」


53

（２）開放系

２つの熱浴の間に系は存在し、常にflowが存在する。

熱浴I 熱浴IIE1

N1

系

N0 , E0N2

E2

定常 E1＝ E2 , N1 ＝ 2

非定常 E1 E2 , N1 2

非平衡開放系

26


54

0E

E ,

0N

N

の大きさに応じて様々なflow形態、すなわち構造が生まれる。：非平衡度、散逸度

↑t = 0 で環境変化（外力印加）

or

散逸量エントロピー生成率

t

開放系

閉鎖系

無視できない


55

・熱平衡系のパターン形成

・開放系のパターン形成

空間対称性の破れに伴う静的秩序・エネルギー最小の原理

時間的（リズム）、空間的（空間構造）対称性の破れに伴う

動的秩序（詳細釣合の破れ）

①高い秩序を自ら発現し維持する。

②エネルギー、物質の恒常的な流れを必要とする。

このような秩序を維持するためには、内部で生成されたエント

ロピーを排出し、エントロピーを下げなければならない。

どのような原理で秩序形成されているか？・エントロピー生成最小の原理（局所平衡：非平衡線形系）

||（消費電力最小の原理）

・エントロピー排出最大の原理？

27


56

自然法則

非平衡開放系の秩序はどのような熱力学原理に従うのかまだ分かっていない。

・エントロピー最大の法則（増大の法則）

秩序 → 無秩序へ進む

・負のエントロピー吸収（エントロピー減少則）

無秩序 → 秩序へ進む


57

2-3.非平衡熱力学とエントロピー生成

(1)エントロピー状態数(W)を表す示量変数である：容量性の量

s1 ・・・・・・・・・

・・・・

・・・ｓn

・・・・

i

isS （部分の和）

iBi Wks ln （２．３．１）

28


58

エントロピー変化量 dS = 内部におけるエントロピー生成

+ 外部からのエントロピーの移動（正、負いずれもある）

= iS + eSiS

eS

P(s) (s) : エントロピーの流れ（エントロピー流束）

系の内部で生成されるエントロピーは決して負にならない。

0Si （エントロピーは増大する）最大が安定

(i) 可逆過程 iS = 0(ii) 不可逆過程 iS 0(iii) 孤立系では eS = 0

孤立系では、これによって

状態が一意的に決まる。


59

(2)単位時間あたりのエントロピー生成 P = Si は、

0 dVsdt

SdS i

i

0)( s

ei SSS

と表せる。(ｓ)は単位体積時間あたりのエントロピーの生成で、

任意の(ｓ)に対して（２．３．２）が成立するためには、

eSである。一方、エントロピーの流れより全生成は

.

（２．３．２）

（２．３．４）

で与えられる。

29


60

(3)局所平衡

Ji

系

全系は非平衡

局所 i と j は無相関

局所 (i) はほぼ平衡.すなわち、

J = LX

で、L と X は線形関係.

L=L0 + L1X のような非線形は、隣のセルとの相互作用を意味し、そのときは局所平衡ではない.最近接と互いに相互作用があると、

L → L0Xi + L1XiXj （2次）

（この場合、相関があるので局所平衡ではない）


61

エントロピー生成 (S) は、

(ｓ) = (fluxの流れ) × (熱力学的力)

= 0

XJ J : 成分の流れ（運動論的量）

X : 成分の熱力学的力

( : Fick’s law )x

nDJ

2

0

2

00

0)()()()( XsJsXJss

XJXJ

である。平衡では J = 0, X = 0 かつ極小なので0次と1次微分は常にゼロ.

２次微分から始まる

0)( dVXJSP

系全体のエントロピー生成

30


62

(4)線形熱力学J と X の間の関係は線形平衡近傍

例：Fick’s lawx

nDJ

一般的に, = 1,2,････,n

L : 現象論的係数

（この行列の対角項：自己係数、非対角項：相互係数）L：熱伝導係数、電気伝導係数、化学反応係数 etc.

XLJ

J

xt

n

（拡散）

x

TJT

etc.

TLJT

1gradFourier’s law


63

(5)Onsager の相反定理

L= L ()

A B A

B

C

detailed balance cyclic balance

・これを詳細釣合（detailed balance）といい平衡近傍（線形領域）では成り立つ.

・非平衡のcyclic balance では成り立たない.

31


64

例2

例

J1=L1２X2 （温度勾配による濃度・物質の流れが生まれる）

その２成分系

X1=0 （濃度勾配なし）X20 （温度勾配あり）

Soret effects

熱電効果と類似→温度勾配と電位の発生（ペルチェ効果：電位（電流）による温度差の発生）

Soret効果 →温度勾配と濃度差の発生（Doufor効果：濃度勾配による温度差の発生）


65

T = 一定 T + T T

32


66

Soret効果

物質流をJ1, J2 とし、熱流をJqとすると、

qqqqqq

qq

qq

XLXLXLJ

XLXLXLJ

XLXLXLJ

2211

22221212

12121111

(1)

●=A, ●=B, 質量：MA>MB, 運動速度：VA<VB

Soreｔ効果１


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Onsagerの関係より、

を使うと、

TL

T

TLJ

JJT

LT

TLJ

Tqqqq

Tq

)(

)(

2112

12

2111211

(3)

となり、ここでL1qが熱拡散(thermodiffusion：Soret効果)、Lq1がDufour効果(diffusionthermoeffect)を表す。しかし、これらの現象論的係数は直接に計測される量とは結びつかないので、結びつく表現かつ現実的な項（外力、圧力項）も考慮すると、J1につ

いて、

(4) extbaropSoret CCCCDJ 1

と書ける。（濃度、温度、圧力変化に伴う化学ポテンシャル変化に起因）

L12 = L21, L1q = Lq1 = -L2q = -Lq2 (2)

Soreｔ効果２

33


68

ここで、

extB

Pbarop

TSoret

Uk

C

PP

C

TT

C

exp

: 温度差濃度勾配

: 圧力誘起濃度勾配（重力下）

Uext : 外部ポテンシャル(電位or 磁場), 熱物質拡散比, P : 圧力物質拡散比, 外力に感応する分子のモル分率であり、(4)の第2項は長波長の揺らぎを増幅し、第3項は抑圧させる。また、第4項は磁気粒子やイオン性の粒子であれば、外力（磁場や電

場）が加わった場合にその効果で生まれる流束である。今、Uext= 0、g = 0（無重

力）とすると、

T

TCDJ T1 (5)

と書ける。ここでDは相互拡散係数D12である。

Soreｔ効果３


69

さらに簡単なため、１次元(Z)で書くと、

2211

111

111

121 1

mxmx

mxw

Z

TwwS

Z

wDJ T

(6)

ここで、xiはi成分のモル分率、miはi成分の質量である。定常状態（J1= 0）で、xi = 0.5とすると、

114

Z

T

Z

xST (7)

を得る。これがSoret係数である。また、定常状態でのエントロピー生成 (S)は、

2

)(

T

TS (8)

となり、定常でも常時エントロピー生成が行われている（しかも低温側で大きい）。

Soreｔ効果４

34


70

例えば、フラクタルやカオス

フラクタル－複雑なパターンが示す簡単な法則

時間的・空間的特性長を持たない体系、すなわち階層がない

例：ラプラス方程式に支配される体系－DLA、雪の結晶、放電パターン

△X＝０

カオス－簡単な非線形微分方程式が生み出す予測不可能な振る舞い

（二重振り子の振動や３体問題）

複雑系を表す用語


71

v)最大電力供給の原理

補足

i)重ね合わせの理

(1)電気回路で線形であれば次のような定理が成り立つ.

ii)可逆定理

(S) = J･X = 0

iii)テブナン-ノートンの定理

iv)テレゲンの定理

エントロピー生成最小の原理

相反定理

35

73

非平衡線形系ではエントロピー生成極小の原理が成り立つことを見よう。今、簡単なため、2つのfluxflowを考える.

I IIT1 T2

10 2

0

t < 0

JT：熱流, JN：物質流

(1)初期温度T1>T2, 初期濃度10<2

0

（化学ポテンシャル）

の I と II の系を t = 0 で接触.

JT

JN

I IIt = 0

10 2

0

T1 T2

(2)温度差 T1, T2は維持.

JT

I IIT1 T2

1 2

t =

(3)化学ポテンシャル（物質濃度） 1<2

となって、I と II の間の物質流 JN は

t → 無限大で JN → 0 となる.（ただし1

>10 2

<20 ）

XT : 温度差による力（～T）

XN 化学ポテンシャル差による力（～/T）

（濃度差）生命複雑システム基礎

74

重要な点：T 0 (t )なので、JN=0と物質輸送が平衡に達しても JT が存在し、エントロピー生成はゼロにならない。

(S) = JTXT + JNXN > 0

JT = L11XT + L12XN

JN = L21XT + L22XN

t → JN → 0 ∴L21XT + L22XN = 0

∴エントロピー生成小である。

0

2

22

2221

2221

NT

NTconstTXN

XLXL

XLXLSX

Onsager の相反定理 L21 = L12 より、

(S) = L11XT2 + 2L21XTXN + L22XN

2


36

75

①XT 0の拘束による非平衡状態に

ある。熱平衡ではエントロピー生成

は小で、かつゼロ

③平衡から遠く離れても多くの場合、

局所平衡（線形）の性質を保っている。

②線形熱力学・・・ Onsagerの相反定

理が成立

X

↑

熱平衡

非平衡


76

t

とすると、力Xは前述したように、体系が不安定にない限り、常にエントロピー生成を減少させる方向に変化するので、

である。

0dt

Pdx

P

dVXJdVSP

)(一般に、全エントロピー生成の時間変化を、

dVJdXdt

Pd

dVXdJdt

Pddt

Pd

dt

Pd

dt

dP

tJ

tx

Jx

dt

dJJd

dt

dXXd

t

t


37

77

故に、

より

（小になるまで）

となる。

dt

Pd

dt

Pd Jx

02 dt

Pd

dt

Pd

dt

Pd

dt

dP xJx

すなわち、エントロピー生成小の原理が、こうして保証される。

dt

PddVJdX

dVXLdX

dVXdXLdVXdJdt

Pd

Jt

t

ttx

一方、Onsager の相反定理に従えば、


78

非線形ではこの問題は複雑なので、そこで定性的に議論しよう。

平衡系では、図に示すようにエントロピー極大に向かって生成率は減少し、小値0を取る（平衡へ戻る）。

Se

tt1t0

平衡

非平衡S

エントロピー

t1t0

平衡非平衡系

t

P

生成率

しかしながら、外部からエネルギー拘束されている非平衡系は一般に増加を続ける。

t1ではPは極小にあるが、平衡では P = 0 （ (ｓ) = 0）非平衡では P 0 （ (ｓ) 0）

XX0X0

平衡系

非平衡系P

生成率

線形の場合の状態量Xの関係としてのPは左図のようになる。


38

79

ところが非線形の場合には、少なくともX1、X2とも静止状態が安定（準安定）で定常であるならば、Pは常に極小X1、 X2にあり、揺らぎによって、例えば、

X1→X1+X1

と変化すると、それに伴うPは常に、

P 0

となる。

X1 X2 X

P

（生成率）

しかしながら、平衡から遠く離れ、limit cycle を持つ場合には、この議論は正当でない。「原理」がない。


80

2-5.輸送係数

X → X + X と変化した（揺らいだ）場合に、非線形の場合fluxはどのようになるかを定性的に考えよう。

J(t)=L0･X(t) (2.5.1)

Lは現象論的係数で、ミクロな揺らぎの相関関数と関係づけられる。

これが、Onsager係数である。

一方、非線形マクロ運動になると、我々が観測する熱力学的fluxは、

J(t)=L･X(t) + R(t) (2.5.2)

と書ける。ここでR(t)はミクロおよびマクロな揺動を含む非線形運動の

揺動力である。この中の線形部分は既に(2.5.1.)に取り出されている。

この表現では、Lはもはや前の式(2.5.1)のL0とは本質的に異なっている。


39

81

この第1項はOnsagerの線形輸送係数で、発散や異常を示さない。一方、第2項はマクロな非線形揺動による部分で発散や異常を示す。また非相反になり得る。

この観点からのEHD発生点近傍の輸送係数の研究が近行われているがまだ結論は得られていない。

このときのLは、フーリエ変換

で与えられる。Onsager係数と分離すると

と表される（ｑ（ｔ）：マクロ揺らぎ）。

dseqsqk

LL si

B

00 0

1

si

B

eRsRdsk

L

0

01

「非平衡散逸系の揺動定理」

・G.Gallavoti PRL, 77 (1996), pp.4334-7, “Extension of Onsager’s Reciprocity.”・W. I. Goldburg et al. PRL, 87(2001), pp.245502-1-4, “Fluctuation and Dissipation in

Liquid Crystal Convection.”

（2.5.3）

（ 2.5.4 ）


82

減衰

2-6.エネルギーの散逸と安定性

(1)閉鎖系の振り子（理想振り子）

“摩擦は空気との衝突のみ”とする。

l

x

t

x


40

83

t → 初期T

T1 = T + T（温度上昇）

i)分子の平均運動エネルギー i)平均エネルギー

～kB ～ kBii)振り子 → マクロな ii)ミクロな力学エネルギー

力学エネルギー（熱力学エネルギー）

iii)自由度1の局在したエネルギー iii)無限自由度への分配

（エネルギーの不均一化）

これを今断熱容器に入れる。


84

振り子の全エネルギー（位置＋運動エネルギー）がミクロな大自由度に分配される。熱力学エネルギーへの散逸。もう一度マクロなエネルギーに集中させることはできない。

（すなわち「覆水盆に返らず」）

q q

→ 不可逆過程

エネルギー

波数


41

85

これを「散逸の不可逆性」と呼ぶ。

振り子で使えるエネルギー：F=U-TS は・自由度を1とすると S=0

F=U ：全エネルギーが使用可

・全自由度に分配すると S→大

F=U-TS → 0 程度にSはなる。

UとTSが釣り合って平衡に達する。

すなわち、

平衡系はとなる傾向を示す。

（エントロピー大の法則）

できるだけ小さなUできるだけ大きなS


86

体系の進む方向

安定度の増大（力学的安定性の要求） Uの減少

自由度の増大（熱力学的安定性の要求） Sの増大

i)秩序を生む： (1),(2)が共に減少 (U→大、S→小)

例:積み木、ジグソーパズルを組み立てる。

・限られた組み合わせ S → 小

・難しい U → 大

ii)無秩序：無数の方法あり S → 大

組み立てるより壊す・・・はるかに容易 U → 小

(1),(2)共に増大(U → 小、S → 大)生命複雑システム基礎

42

87

(2)非平衡開放系

例：Rayleigh-Benard（熱）対流系

制御パラメータ：T → 上昇させるとある波数qcを持った対流が生じる。

熱浴2

熱浴1

系対流

T+T

heatflux

T


88

q = qc → マクロの粘性散逸の発生

均一状態(q = 0)→ 散逸はミクロ

エントロピー力（散逸力：安定化力）

不安定化力

T

増

力学的安定性

減

Tc

力

TTc

安定性の交替

熱流

（熱力学的）エネルギーが全自由度へ分配

粒子流

力学的エネルギーが qc に集中した規則運動

→ 逆分布に伴う力学的力（浮力）が熱力学的安定力（熱拡散）を上回る。

→ 構造の発生生命複雑システム基礎

43

89

2-7.RB対流における熱力学的・力学的安定性

(1)熱力学的安定性

y

z

x 0

d

d

T0=T + T

Td

T

Td

d

z

0

u = ( u, u, w )（x, y 成分の区別はできな

い。）

T = T +

= – zz （平均温度変化）

= - = - > 0

＿

＿

dTdz

Td

エントロピー生成 0)( dVXJSP

T＿

（2.7.1）


90

diS deS(エントロピー生成) (wによって輸送されるエントロピー)

0

1

2

dVw

C

dVpuC

TwSP

v

v

-J X JJ

X X

：熱拡散率ここで、：熱伝導率Cv：比熱：密度

00

2

dzw

d

水平面内で平均すると、

（2.7.2）

（2.7.3）

熱力学的に安定な条件は

となる。生命複雑システム基礎

44

91

(2)流体力学的安定性（力学的要請）（全運動エネルギー過剰生成）

：動粘性係数 ( thermal expansion

< >：水平面内での平均操作

単位時間あたりの生成（生成率）は

Ekinetic = (粘性散逸によって流体が失う運動エネルギー)

+(浮力によって流体に供給される運動エネルギー(z方向のみ)) < 0

となることが安定条件として要請される。

00

2, dzwgu

d

ji

wgwgx

uu

j

iji

,

（重力による運動エネルギー）

すなわち、条件は


92

(3)RB対流セルのサイズの定性的議論

w

全てが均一に上昇することはできない（連続の式からの要請：圧縮を要求する）

対称性の破れを伴う

u = ( u, v, w )のうちwの揺らぎが対流を作るのでwを中心に議論

( u, v, w 揺らぎ )

T +

T


45

93

shear dissipation に関与する shear rate は、

x

w

z

uxw , zu

である。

zu のオーダーで一定

zw のオーダーで一定

xw qxwのオーダーでqxが小さいと寄与は小さい。

（qx→大では大きい）

ud

wd

しかし、


94

今、連続の式： xu + zw = 0より

xu ~ zw

である。

dq

wu

d

wuq

xx ~ ~

これより、shear dissipation に関する shear velocity は、

2dq

w

d

uu

xz ~ ~ qxが小さいほど重要な寄与

そこで、この shear velocity による単位面積あたりのenergy dissipation rate d は、（すなわちエントロピー生成率）

(qx → 小で重要)

223

2

2

1

xx

z

qqd

w

uud

~ ~

qxが大きいほど小さい


46

95

(補)

vvvvv

v

vv

vvv

2

1

2

2

2

ttme

t

tm

dt

deme

(NS equation)

～～


96

その shear velocity による単位散逸エネルギー（エントロピー）生成は、

d ～ ( x2w)w

連続の式より、（w = qx･d･u)

～ (qx4 d2 u2 )

～ qx4

を得る。

一方、qx → 大のところの shear dissipation rate は、qxの大きいところでは、 zu → 一定で、 xwが重要な寄与をする。

Tc

qc

qx4

qx-2

d

qx

すなわち、

qx → 小では zu (水平流shear)

qx → 大では xw (垂直流shear)生命複雑システム基礎

47

97

また、粘性による散逸エネルギーdは低波数（qx→小）では、 qx-2に比例し、

高波数（qx→大）ではqx4に比例する。

これが、各波数における臨界Rayleigh数に反映される。すなわち

エントロピー生成小となっている。

Tc

qc

qx4

qx-2

d

qx


98

今、ここで、フーリエの式から、θとｗの関係をみよう。

TTt

T 2v

を線形化（に対し）すると、温度揺らぎによる heat flux は

wt

d

2

定常では

= 01dq

～

wd

wq

22

よって、この関係式は後で使用


48

99

qx～dの近傍を考える。系内に温度、速度揺らぎが生じたとする。安定性のところでも述べたように、浮力によって流体に供給されるenergy rate b は、

b ～ gw = gw

である。熱力学的安定性の要請より、定常では、

なので、前頁の関係

の使用によって、

となる。

22

2

2 0

wd

g

wd

wt

b

～

～

(4)Rayleigh 数 Ra と Prandle 数 Prの物理的意味


100

一方、粘性によって散逸されるenergy rate は、

2

2

2

ud

uuz

これらの平均は、

22

22

ud

wd

gb

w → z方向の流れのゆらぎ（gが唯一効く）

u → 横方向の流れのゆらぎ（熱がたまらないように解消）

である。


49

101

今、この比を取ると、

2

24

u

wdgb

連続の式より qx ～ d -1 では w ～ u

4dg

Rayleigh数は、

Tdg

Ra 4

で定義される。すなわち、

= 浮力によって流体に与えられるエネルギー率粘性散逸によって消耗されるエネルギー率

という物理的意味をもつ

102

一方、Prandle 数 Pr は、

2

2

2

2

d

d

Pr

：熱揺らぎの特性時間

：速度（粘性）揺らぎの特性時間

Pr 大：熱（温度）揺らぎの成長

小：速度揺らぎの成長

Prによって不安定モードが異なる。

50

103

以上のように、熱力学的要請、力学的要請の双方から

「熱拡散は大きなスケールの流れの揺らぎを安定化し、

粘性散逸は小さなスケールの流れの揺らぎを安定化させる」

と言える。すなわち、

「熱拡散は小さなスケールの流れを成長させ、粘性散逸は大

きなスケールの流れを成長させる」と言える。

両者の競合からパターンの波数が決まる。つまり、熱力学的

議論から熱対流の諸量（閾値etc）が決まる。

今、見てきたように熱力学的にはエントロピー生成小の原

理から対流パターンが選ばれることがわかる。生命複雑システム基礎

51


112

第3章分岐と振動

3-1.はじめに

オイラーの柱

垂直に立てられたプラスチックの板に自由にスライドできる重りがつけられている

d

M

Mｇｓin

Mｇ

d → 大とすると重りによって板はだけ曲がる。そのとき板に働くトルクは、

- d

とすると、ニュートンの方程式は、

sin2 gdMMd

である。

(: 減衰係数)


113

慣性項を十分小さい2Md

2Md

とすると、

sin

gdM

0定常（）では

gMD

D

dd

gM

sinsin


52


114

cdd

Dd

DD

d

D

d

6

6,0

06

11

6

1sin

1

1sin

2

3

：解なし

：解あり

より、

dc = D とすると、

d / dc

1


115

すなわち、

dc

-

ddc

完全分岐と呼ぶ

-

dcのところでか –に分かれる。

53


116

もし、初期に傾いている場合

d

d

不完全分岐

-

小さな初期対称性の破れ

d


117

3.2.分岐の種類と分類

(1)熊手分岐と特異性

)(, xUdx

dxf

dt

dx

今、一変数系を考える。

xxxfdt

dx 3,

この系は、によって、その状態を制御できる。定常解は、f (x, ) = 0 より、

-xs3 + xs = 0

xs0= 0 ← 自明解

xs±= ± √

42

4

1

2

1)( xxxU

また、ここで

である。

54


118

xs

これを熊手分岐(pitch-fork bifurcation)という。(あるいは正分岐：supercritical bifurcation)

xs±は、 = 0 の時に、 xs0

と一致する。

xs0

xs+

xs-

安定

安定

安定不安定

特異点

xs- xs+

x0

< 0 : globally stable

> 0 : locally stable (xs±

は局所的に安定な解）

ε>0：locally stable


119

次の例を見てみよう。

202

2 xxdt

dx

は別のコントロールパラメータである。この定常解は、

-x2 + = 0, xs±= ± √

となる。同様にして、このときポテンシャルは

3

3

1)( xxxU

55


120

xs

（<0ではxsは存在しない）虚数解(subcritical)

xs+

xs-

xxs-

xs+

> 0

虚数解

安定

不安定

)(xU

3

3

1)( xxxU


121

(2)不完全分岐

32

2 xxxdt

dx

とすると、

032

2 xxxdt

dx

x1

4

2

12

222x

(= 0, x2 = 2 , 0 )

x

22

2

22

4

56


122

2 > 0 のとき transcritical pitchfork

2 < 0 のとき hysterisis pitchfork 分岐

x

2

x

x

x

23

27


123

(3)分岐の種類とまとめ（より高次を考えた場合）

i

Axxxdt

dx

053

(a) > 0, > 0, A0 = 0正分岐

(normal bifurcation)

(b) < 0, > 0, A0 = 0逆分岐

(inverted bifurcation)

xs

ｃ

(a)

(b)

57


124

(c) > 0, > 0, A0 0

・トランスクリティカル分岐

( A0 < 0 )

・ヒステリシス分岐

( A0 > 0 )

xs

(c)

A0


125

(a)ソフトモード

(d) ソフトモード・ハードモード

：実数 0 静止解の発生

：複素数 0 振動解の発生

’ + i ’ = ･ growth rate

(b)ソフトモード（セントラルモード型）

ハードモード（ホップ（Hopf)分岐）分岐点

58


126

(4)空間微分項のあるダイナミックスとパターン形成（まとめ）

a) Type I

x = x + 2x – bx3

= ( + 2) x – bx3

.実空間 coupling

(b|x|2x)

実数：stationary solution(静止空間パターン)

複素数：oscillatory

Im= =0

Re = 0

qc = 0

0, qc = 0

Re ＝=( + 2) =( －q2)=0 （中立安定）


127

q

qc= 0

q2q1

= 0 < 0

qc

q1

q2

xq

-bx3の存在

(1)飽和効果（これのみではない）(2)モード選択が働く → 新しい過渡的な不安定やパターン選択が生まれる

（Eckhausモードなど）・弾性緩和・欠陥

59


128

例えば x → x0 + x 緑は全て揺らぎのモード

x = x0 + x

2x = -q2x0 + 2x

|x|2x = |x0|2x0 + 2|x0|2x + x02x* + 0(x2, x3)

|x|2x = (x0 + x) (x0 + x)* (x0 + x)

|x0|2x0 + 2|x0|2x + x02x*

x = x0 + x. . .

x = (+2) x – b|x|2x.


129

基本モード x0 = ( – q2 ) x0 – b|x0|2x0

定常： |x0|2 = ( – q2 ) 1b

.

緑の部分（揺らぎのモード）を足すと、

x = x + 2x – 2b|x0|2x + bx02x*

揺らぎモードxについては、そのgrowth rate（線形）が

|x0|2に依存する。 x = ( 2b|x0|2 + 2) x

.

.

(基本モードqの成長に伴ってxの安定性が変わる) →後に述べる、エクハスなどの二次分岐現象

x = xneiqnrn x0 + x

基本モードその他のモード（揺らぎ）

60


130

(b)Type II.x = -2 {( + 2 ) x – bx3} (スピノダル)

= - q2(q2 – )qm √

qqm

= 0 < 0

Re

> 0

0

322

drbxxdrx

すなわち、全空間ではxの変化の総量は保存されねばならない。

長距離相関が発生し、局所的な独立変化はできない。

+x

-x

打ち消される


131

(c)Type III (Swift-Hohenberg eq. ).x = { ( 1 + 2 )2 } x – bx3

非常に複雑なダイナミックスを導く(Busse diagram)

対流系などに相当( x → 対流速度 )

＝Re

qqc

= 0

< 0

> 0i) Im = = 0

qc 0

ii) 0, qc 0(Oscillatory)

61


132

(d)Type IV (Nikolaevskii eq.).x = -2 { ( 1 + 2 )2 } x – b (x )2

Goldstone mode の存在

カオスの発生（具体例は後述）Re

qqc

= 0 < 0

> 0


133

安定性の交替

C

1

2

U

x

F = U x

Fixed Points

Fixed Points

例：相転移：化学ポテンシャル

62


134

構造不安定

x

x

例えばl.c.に摂動

例えばの周りで軌道に摂動

L.C.がF.P.に変わる


135

局所解析と大域的解析局所的解析だけでは分からないことがある。

大域的に見ると実は

63

生命複雑システムの基礎

136

3-3. 単振り子の振動と分岐

(1)線形振り子

非線形

線形

( = const )

a A

A = a linear response

再び振り子を考える。

l

FI

Fr mg

d2dt2

復元力( Fr ) = - mgsin

ニュートンの第二法則 FI = Fr より

慣性力( FI ) = 質量×加速度 = ml

mld2dt2 = - mgsin

(3.3.2)(3.3.3)

(3.3.4)

線形システム


137

d2dt2 + 2 sin= 0

g

l

l

g

22

振動数周期g 重力加速度m 質量

線形化

!5!3

sin53

(1)周期は振幅によらず一定

(2)振幅は一意的には決まらない

振り上げた位置による

非線形ではこれらは成り立たない

特徴

---(3.3.5)

(3.3.6)

d2dt2 + 2= 0 : 線形方程式 (3.3.7)

64


138

t で積分

(解) 両辺にを乗じるddt

222

22

2

2

1

2

1 dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

222

2222

222

1

2

2

1

2

1

A

kdt

d

CCdt

d

運動エネルギー

k2 = ( C2 - C1 )

A2 = k2

2 振幅に相当するが、k が任意の積分定数なので任意

tA

tA

dtA

d

Adt

d

cos

cos 1

22

22

(3.3.8)


139

非線形の直観的表現（正確なものではない）付記

!5!31sin

42

2

2

mgmgdt

dml

g’

!31

!5!31

2

42

g

gg

’ () と振幅に依存（振幅

が大きくなると周期が長くなる）

!31

2l

g

l

g---(3.3.9)

故に

65


140

３．４．非線形振動子

(1)保存系（振り子の厳密解）

C’ : 積分定数

(C = C’ ＋02 ) とおく

202

0

U

θ

0sin2

2

dt

d

0cos22

1 202

2

d

d

dt

d

dt

d

dt

d

Cdt

d

Cdt

d

ddt

dd

dt

d

dt

d

dt

d

cos12

1

cos2

1

cos2

1

0cos2

1

20

2

20

2

20

2

20

2

K : 運動エネルギー

ーU : 単振り子のポテンシャルエネルギー

全エネルギー

----(3.3.10)

0 2π


141

全エネルギー

cos1

2

1 20

2

dt

dUKC

ここでである。

2sin4

22

sin4

2220

220

2

k

Cdt

d

このような振動はk2の値によって３つの場合が存在する。

20

2

2C

k

cos12

sin2

2sin21

2sin

2cos

22coscos

2

2

22

(3.3.11)

---(3.3.12)

66


142

i) k2 < 1 の場合 → 振動運動

202

0

U

ii) k2 = 1 の場合 → 特別な運動∞の時間をかけて逆立ちする

202

0

U

t = ∞

202

0

U

iii) k2 > 1 の場合 → 回転運動：は単純に増加

分岐


143

i)振動の場合 C < 202 ( k2 < 1 )

全エネルギーCが202より小なので、ポテンシャルの極大値

202を越せない。

202

0

U

2

sin4 2220

2

kdt

d (3.3.12)

67


144

のふれはから、最大のふれがとして決まる。

0 < < 0 まで変化するとき、0からまで変化する変数をとすると、2

sin 22 k

2sin 022

k

2

sin

2sin k

0のときにk このとき

0のときに0 このとき= 02

を導入すると、微分は

dk

k

dk

d

dkd

22

2

sin1

cos2

cos

cos2

cos2

cos2

1

(A)

2

22

2

222

sinsin

sin1

sin12

cos

k

22

22

sin

sink


145

cos2

2sin

112

0

21

220

k

kk

dt

d

一方、(3.3.12)は1/2乗すると

2sin

1sin

2sin

1sin 2

22

k

k

なので

t

dtk

d

dtkdk

kd

00

0 22

022

sin1

cos2sin1

cos2

が 0 t は 0 ( のだけ 2

4

22

68


146

4sin10

0 00 22

42

dtk

d

K(k)：第一種の完全楕円積分

0 = 20° k = sin

周期は長くなる

0 = 80°

20

0 : 最大振れ角

00 4 kKg

l


147

ii)特別な場合（振り子の逆立ち） C = 202

(全力学エネルギーCがポテンシャルの山に等しい)

k2 = 1なので、

t

dt

0

2

2

02

0

tanh2

sin

sin1

sin1log

cos2

t ±で ±

すなわち振り子は逆立ちする。 0

t

69


148

iii)回転する場合 C > 202

振動運動から回転運動への遷移が生じる。

k2 > 1 楕円関数の母数になれない。

そこで、

sin2

sin

2sin14 2222

0

2

z

kkdt

d

k -2 < 1 なので、

ヤコビの楕円関数

とおくと、前と同様にして

kktsn

k

k

t

k

dkt

1,

2sin

1

2

20,

20

sin1

0

0

0 220

22

2

1

1

snkdn

sncn


149

上のi)の場合の近似解

振れ角が小さい場合の周期の近似式を求めると、が小さいと、 k2≪1 なので、

2

0

6644222

0 22

0 sin16

5sin

8

3sin

2

11

sin1

1

4

kkkdk

d

積分を実行すると周期は、

063.13

161

1612

00

20

0

20

のとき

g

l

70


150

iv)まとめ

k2 < 1

発散

1

1.18

90° °

0

最大振れ角：0

04

kg

l

往復運動から回転運動への分岐点

回転運動になると右回り(+)と左回り(-)の2つのモードがある。

→ 双安定である。

回転k2 > 1 180°

---(3.3.13)


151

－+

振り子運動

（右）（左）まわり

回転運動

分岐往復運動

71


152

(2)減衰項と外力項の存在

（散逸が存在する場合：カオスの発生）：Duffin equation

6sin

cos6

3

0

3

2

2

t

l

g

dt

d

dt

d

減衰弱線形外力

弱線形

カオス(Japanese attractor)

--(3.3.14)

カオスは、次のような条件で観測される

73.0,65.0,15

1

7.2,1,22.0

0

0

a

a

カオス

カオス

強制振動外力()下での振り子の運動

ta

tt

mg

Aa

m

k

tAmglml

lg

gl

gl

0

0

0

cossin

2,

,

cossin

l

A

mg

t0cos


153

強制振動外力()下での振り子の運動

ta

tt

mg

Aa

m

k

tAmglml

l

g

gl

gl

0

0

0

cossin

2,

,

cossin

l

A

mg

マクロな力学運動

Ws Wdis

外力

ミクロな熱運動

1

cossin 0

t

tax

x

(3)振り子の散逸現象

t0cos

72


154

平均エネルギー散逸速度Wdis(平均消費電力)は外からの

平均エネルギー供給速度Ws (平均供給電力)と釣り合う。

ie

dttat

W

dtt

W

ext

t

ts

t

tdis

00

0

2

cos1

lim

1lim

瞬時電力に相当

次に述べるように、これが平均エントロピー生成である。


155

エネルギー散逸率 Wdis ：摩擦に抗して系が単位時間

あたりになす仕事

,22

dt

dW dis

摩擦力

ここで、( ) は散逸関数と呼ばれる。

2

2

1;)(

摩擦力

摩擦による発熱率 Q =Wdis→ エントロピー生成率S は、

disWQ

S


73


156

t

t

tt

dist

dis

dt

dtdt

d

tdtW

tW

0

00

1lim

1lim

1lim

limit cycle を持てば周期で平均でき、

Rdis iedW

0

limit cycle で囲まれた面積（動的秩序度）

( i )

( e )

周期 0

熱浴熱浴

1

系

散逸エネルギー１：静的な自由エネルギーと同じ形式的表記（U=1/（2χ）M２）であるが、動的な流れであり異なる。ここでは秩序度。

１


157

(4) Van der Pol equation

Van der Pol equation (摩擦係数がに依存する)→神経や膜の興奮の基礎方程式

キルヒホッフの法則(Kirchhoff’s law)

dtL

i

dt

dCi

Ri

Efi

iiii

L

C

R

LCR

v1

v

v

v

0

0v1vv

v dtLdt

dC

REf

ダイオードは非線形

RC

E

L

iiL iC iR

-+

+

-

v

各電流の総和はゼロ（キルヒホッフの電流則）より

74


158

d dt とすると、

0v1v

v11v

0v1v

v1v

0v1vv1

vv

2

2

2

2

2

2

LCdt

dEf

CCRdt

d

Ldt

dEf

Rdt

dC

Ldt

dC

dt

d

REf

dt

d

とすると、として ttLC

020 ,

1

0vv1v

0vv1v

2

2

2

2

dt

df

RC

L

dt

d

d

df

RC

L

d

d


159

02

2

3

v1

vv i

K

EEf

E vv (原点移動)

2

2

2

2

v1

1

v3

v1

1v

Kf

KEf

とすると、

01

v

0vvv

111v

22

2

2

2

2

2

xdt

dxx

dt

xd

kR

Rx

dt

d

KR

R

RC

L

dt

d

とおく

とおくと、 Lが非線形(鉄心入り)だと一般に g (x)：非線形

(van der Pol)

非線形挙動を知るためには振幅方程式を導く必要あり

75


160

3-5.引き込み現象

共鳴現象

線形現象外力を → 0

にすると、振幅が発散する.外力を固有振動数

に一致させる.

発散を抑える(非線形)

引き込み現象とは何か.entrainment (引き込み) ホイヘンス(Huygens:17世紀)synchronization (同期：相互引き込み) 風邪をひいて寝ていたときの発見

l

m

LC q +-

i

01

01

01

2

2

qLC

q

qCdt

qdL

iq

dtiCdt

diL

非線形では引き込み現象：線形では起こらない0

２


161

ホタルの引き込み

ホタルの集団の点滅引き込み（南太平洋の島：NHK-TV番組）

ホタルの集団のスパイラル点滅

76


162

メトロノーム

引き込まない場合（机の上の設置）

同相引き込み逆相引き込み


163

引き込み(同期現象)は、1つの振動子では起こらない。2つ以上が必要。そこで、1つの振動子のみに外力を加えること

にする。

tfxdt

dxx

dt

xd sin1 0

22

2

(3.5.1)

van der Pol .... 0 = 1 の振動数を持つ

非線形摩擦は小さい(≪ 1) とする。このときの解を

0 : 自励振動

: 強制振動

tttAx sin)( (3.5.2)

とおいてみよう。A (t), (t)は時間とともにゆっくり変化するもので、0 との差による。

77


164

(1) に (2) を代入して、sin t, cos t の係数を 0 とおくと、

0cossin tt

= 0 = 0

cos22

1

sin24

12

02

02

A

f

dt

d

fA

A

dt

dA

(3.5.3)

ただし、, |A|, || は微少量なので、2次以上はA, , A, → 0 とした。. . 。. . .. ..


165

定常状態を考える。系はに引き込まれるので、(3)から

の項を消去する。

0dt

d

dt

dA

t 0

y

x

A(t)

(t)

この方程式(3.5.3)の挙動はゆっくりとしている。例えば、1周まわるごとに変化する量： A(t), (t)

A(t)

(t)

振幅方程式位相方程式

このDynamicsを記述するのがである。これを情報の縮約という。

cos22

1

sin24

12

02

02

A

f

dt

d

fA

A

dt

dA

(3.5.3)----

78


166

2

12cos

41

2

2sin

2

0

2

0

f

A

AA

f

22

20

222

22

22

0

222 1

411sincos

f

AA

A

f

2

22

2

2

22

22

22

22

20

41

1

1

41

AA

AAAf

これは、引き込み時の①振幅 A を外力の振動数と強度f0の関数として決めることになる。


167

引き込みは、(3)の第二式で、ある位相で必ずと

ならなければならないので、これが任意のあるに対して

必ず生じるためには cos の係数がより

大きくならねばならない。

0dt

d

A

f

20

2

1 2

2

1

2

20

A

f

220

20 1 A

f

10 より

220

Δωは正負があるので、

・引き込みが起こる条件：

・が起こる条件：

0dt

d

0dt

dA

f

20

2

1 2≧

79


168

故に

と書ける。外力の振幅 f0 が大きいほど引き込み領域が広い

引き込みが起こるのは非線形性によって、自励振動数が

振幅に依存するためである。

A

fA

f

0

0

2

10

2

10

A

f

A

f 00

2

1

2

1

(3.5.3)が生じるため!

引き込みに対する別のアプローチ（どのように挙動するかについて）は別項へ


169

自然の2面性（階層性）

(1)ミクロな可逆性記憶の保持：Onsagerの相反定理(2)マクロな非可逆性喪失

輸送係数

カオスの2面性（階層性）

(1)短時間(short time scale) ･･････決定論的で予測可能(折りたたみの前まで)

(2)長時間(long time scale) ･･････決定論的ではあるが、(折りたたみ後) 予測不可能

軌道不安定性による。(個々のカオス軌道は解析的にも数値的にも決定不可能で、実験的に再現不可能)

結局輸送現象 → エネルギー散逸 → エントロピー生成

最近の話題

80

171

実験方法遺伝子組み換えシロイヌナズナ

CCA1::LUC

未切断個体切除葉

10 mm 10 mm

■ 生育条件・培地：MS medium 2% (w/v) sucrose・光条件：white light 80μmol m-2 s-1、連続明・２２℃・生育期間：２０日間

■ 計測システムLuciferase Bioluminescence Technology

computer

con

tro

ller

VIM

Ca

me

ra

dark room, 22℃

clock protein

clock genepromoter

trans.factor

ルシフェラーゼ発光

CCA1::LUC

ルシフェリン

ルシフェラーゼ

ルシフェラーゼ発光 ∝ 時計遺伝子の発現量


172

■ 未切断個体 ■ 切除葉

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 24 48 72 96 120

wholeAB

00.20.40.60.8

11.21.41.6

0 24 48 72 96 120

wholeCD

norm

aliz

ed

biol

umin

esce

nce

norm

aliz

ed

biol

umin

esce

nce

time (h) time (h)

A

B

C

D

実験結果

under DD under DD

CCA1::LUC CCA1::LUC

172


81

173

0

1

2

3

4

5

6

7

20 24 28 32 36 40

Ⅰ

Ⅱ

0

500

1000

1500

20 24 28 32 36

num

ber

of p

ixel

s

period (h)

(f)

00.20.40.60.8

11.21.41.6

0 24 48 72 96 120

wholeCD

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 24 48 72 96 120

wholeAB

time (h)

time (h)

norm

aliz

edbi

olum

ines

cenc

eno

rmal

ized

biol

umin

esce

nce

(a) (b)

(e)

10 mm

A

B

(d)

5 mm

C

D

num

ber

of o

rgan

s

period (h)

(c)

**

0

1

2

3

4

5

6

7

20 24 28 32 36 40

Ⅰ

Ⅱ

0

500

1000

1500

20 24 28 32 36

num

ber

of p

ixel

s

period (h)

(f)

00.20.40.60.8

11.21.41.6

0 24 48 72 96 120

wholeCD

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 24 48 72 96 120

wholeAB

time (h)

time (h)

norm

aliz

edbi

olum

ines

cenc

eno

rmal

ized

biol

umin

esce

nce

(a) (b)

(e)

10 mm

A

B

(d)

5 mm

C

D

num

ber

of o

rgan

s

period (h)

(c)

**


174

00.20.40.60.8

11.21.41.6

0 24 48 72

5 mm

Bioluminescence of detached leaf

φ＝0 φ＝2π

norm

aliz

ed

biol

umin

esce

nce

time (h)

CCA1::LUC

φ＝4π

)(peakthoftime:

2)(

1

1

kkk

kk

k

tk

tt

■ 位相の定義phase φ

0

2π

π

位相の解析


82

175

位相波

0

2

5 mm

0

2

5 mm

切除葉

未切除葉

88 89 90 91

35 36 37 38


176

phase

φ

0

2π

π

切除葉

未切除葉

・未切除葉、切除葉ともに、位相波が観測された。

・位相波は特定の部位から発生していない。

→特別なペースメーカー組織は無い

・位相波の伝播速度： 3 mm/h（～物質拡散速度）

位相波


83

177

切除葉

スパイラル波

0

100

200

300

400

0 5 10 15 20 25

AB

A

B

0

π

2π

ampl

itude

(a.

u.)

y

(c)(b)0

10

20

y

A B

20

5 mm

0

2

(a)

(d)

5 mm

0

100

200

300

400

0 5 10 15 20 25

AB

A

B

0

π

2π

ampl

itude

(a.

u.)

y

(c)(b)0

10

20

y

A B

20

5 mm

0

2

(a)

0

2

(a)

(d)

5 mm

56 58 60


178

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5

■ 同期率の定義

N

k

iti k

NtR

1

)( e1

e)(

time (h) / 24 h

同期

率R

φk

R

複素平面

0

N=5

Normal wave

Spiral wave

phase

φ

0

2π

π

phase

φ

0

2π

π

葉の時計細胞集団の同期率


84

時計遺伝子プロモーター

時計タンパク質転写因子

抑制

活性化転写・翻訳

葉脈

葉脈（維管束）ネットワーク

数理モデルの構築植物の生物時計システム

細胞

③葉脈（維管束）

細胞壁①原形質連絡

②アポプラスト

Active cell表皮細胞、葉肉細胞local coupling

Active cell表皮細胞、葉肉細胞local coupling

Inactive cell葉脈（維管束）細胞long-range coupling

Inactive cell葉脈（維管束）細胞long-range coupling

概日リズム

179


85


180

3-6.確率共鳴現象

3-6-1.はじめに

(1)確率共鳴とは何か

LC

RZ

確率共鳴：非線形系の特異な共鳴現象

Y：アドミタンス

c

古典的な共鳴：線形共鳴

確率同期現象（雑音誘起引き込み現象：２０００）；新しい引き込み現象の発見

ミランコビッチサイクル:氷河期－間氷期の説明に使われる（１９８２）。


181

SNR:信号対雑音比

=10 log10

応答のパワースペクトル

Ps:信号分のパワー

PN:雑音分のパワー

QN:雑音信号の振幅

SNR

QNQ*N

Ps

PN

PN

Ps

応答のパワースペクトル

<(t)> = 0 ｐ（ｔ）：周期信号

<(t) (t’) > = 2QN2(t-t’)

*閾値を持つ非線形に雑音と一定の周期信号を

入れると、ある雑音強度でSN比が最大となる現象

-----(3.6.1)

系ｐ(t)(t)

P

出力

86


182

F.Moss etal:Int.J.Bif.Chaos, vol.4, No.6(1994)1383

一例


183

(2)確率共鳴の発生とメカニズム

例えば、非線形 Langevin eq. )(sin 0

3 ttAbxaxx

システム外力

このポテンシャルU は、

)()()(sin

4

1

2

1

0

042

ttpttAc

cxUcxbxaxU

x

Ux

外力ここで、

である。まず今、ξ（ｔ）＝０として周期信号のみを考えよう。さらに簡単のために、ｃ（ｔ）＝ｃとして時間成分を考えない。

----(3.6.2)

----(3.6.3)

----(3.6.4)

87


184

(1) c = 0のとき(U=U０)

(2) c = cthのとき

0

U0

x

U

0x

c = cth

U0

b

ax

b

ax

420 4

1

2

1bxaxU 03 bxaxc

dx

dUより、 b

athc 27

4 3


185

すなわち、U0に周期信号(ポテンシャルの変化を導く) Asin0t のAがCthより大きくなると、

U

x

U

xxB

( t = 0 )

U

U

x

U = U0

P(t) = A

P(t) = 0P(t) = -A

2

30

t t0

20

t

ｔ

次にｃが周期信号としよう

88


186

A

B

+B

-B

A= Cth

-A= -Cth

状態は、外力が閾値を超えると、周期信号と同期して遷移する。(ただし、遷移時間（ transient time）は十分小さいとして無視した)

ｐ（ｔ）周期外力

状態

すなわち


187

U0に周期信号(ポテンシャルの変化を導く)p(t)=Asin0tのAがCthよりわずかに小さいが、雑音ξ（ｔ）が存在すると、

U

B

(t)

U0+ｐ(t)

U0+ｐ(t)

(t) (t)

(t) = 0 ならば状態は変化しない

つまり、(t) のある瞬間の強度がバリアーより大きいと上図のように超えるこ

とができ、状態が移る。ある最適の平均強度 QN2 －これは U に相当すると

きに、最もｐ(t)に同期して遷移が生じる。これ以上の QN にすると、ｐ(t)に同期

するのではなく、雑音(t) によって遷移が生じるようになる。

89


188

すなわち、

SNR

QNQ*N U 1/2

わかりやすい説明

(t)

ｐ(t)

しきい値

出力


189

3-6-2.その定性的数理

(1)平均ゼロクロス回数<ν> ：平均生起回数

-Bという状態から+Bへの状態への遷移にしきい値が存在する。(-Bではno-output、+Bでは1を出力するとする)

今、threshold をゼロとする。

・へゼロを横切る時に

＝０：ゼロ

pulseが出力（状態遷移）されるとする。

<>=f0

ｐ(t) = Asin0t (0 = 2f0)のときにはへcrossする回数はf0 回/秒.平均生起回数は周波数

0

t

90


190

雑音の場合

ゼロ

P(f) 平均周波数< f >

fc

f

cut-off freq.

(分散のroot, )√分散

0

21

0

0

2

0

3

1

)(

)(

c

cf

cf

f

dffP

dffPff


191

しきい値が存在する場合


222

2

2exp)0()( NQgg

今、雑音(t)の振幅分布がGaussianとすると、ある有限の値以上の振幅の確率は、

これよりも大の確率 g()

0 : g(0)

2

2

0 2exp

33)0(

)(

)0(

)(

N

cc

Q

ff

g

g

g

g

すなわち、しきい値をとすると、しきい値を越えて生起する率は、

となる。

g (x)

x

91


192

(2)ランダムパルスの相関

x1

単安定的にへしきい値を越えると

pulseを出す。

B

このときの相関関数 (t)は、2つのパルスx1とx2との時間を遅らせた場合の重なりC(t)で与えられるので、

C(t)

t

B22

-

B

x2

x1 ただし、≪ <>0-1

≪ 0-1


193

したがって、周期分のない場合、これらのパルス(正のみのパルス発生で平均生起数<>)がポアソン的のとき、相関は

ttBt 12

1)( 22

で与えられる。このパワースペクトルは

2

222

22

2

22

2exp

32

1

2

1

sin

2

1)(

N

c

n

Q

fB

B

BfP

Pn()

低周波のみに興味がある (ω 0)

ω はτ-1のorder

興味があるのはω0のオーダーある

いは<ν>のオーダー

～ (ω 0では)

92


194

(3)周期信号を加えてしきい値にmudulationが加わった場合

tA 0*

0 sin

とする。このとき、出力の平均振幅<V>は、

2

0*

02

2

2

sin2

1exp

3

2exp

3

tAQ

fB

Q

fBBV

N

c

N

c

NQ

A*

0 として展開

t

Q

At

Q

A

Q

AfB

NNN

c02

2*

02

*0

2

2*

2cos4

sin4

13

t2cos12

1


195

よって、振動分のPower spectrum Ps( f ) は、

2

20

0

2

2

2*

0

2

2

*0

222

exp)2(4

)(3

)(NNN

cs

QQ

A

Q

AfBfP

となる。今、SNR|formalを基本波成分0のみをPsとして採用すると、

2

20

4

2*20

10

10

2exp

3

2log10

log10

NN

c

n

s

formal

QQ

Af

P

PSNR

ns PPSNR /

93


196


197

BZ振動子

フェロイン系ルテニューム系

複雑な振動反応とパターンを呈する非平衡散逸構造

（振動する酸化－還元反応である。この反応の詳細は講義にて述べる）

（シャーレへの展開系）（連続攪拌系（CSTR））

94


198

BZ反応のスパイラル

赤（還元）から青（白色：酸化）への色変化に注目（スパイラルに変わると振動数が高くなる）

化学振動子の引き込み

二つの振動子の位相引き込み


199

BZ反応化学振動子群の引き込み現象

95


200

Definition of entrainment rate R

[Fig. 3.7] Entrainment in 2D Coupled Lattice Oscillators with distance d

0

0.5

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

d －D [mm]

R17.0

Dd

eR

ij

n

jiij

F

FN

R,

1

0 : non-entrainment

1 : entrainment

i, j : nearest neighbor

･･･(2)

d=1.3mmd=1.0mm

D=0.9mm


201

ｄ=1.3mm d=1.0mm

96


2022次元格子振動子系における引き込みと確率同期現象・局所結合振動子集団における確率同期現象の解明。・空間自由度を持つ系における確率同期現象の解明。（空間パターンで評価）

d=1.3mm d=1.0mm

シミュレーションε=0 ε=5×10－3 ε=5×10－2

実験 ←（離散振動子系）（連続振動子系）

N

jiijr

NR

1同期オーダーパラメータ


203

BZ反応における確率同期実験

⊿θ

5000 10000 15000

－π

π

２π

－２π

0

5000 10000 15000

0

２π

４π

time [sec]

完全同期部分同期

5000 10000 15000

0

２π

４π

非同期

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 2 4 6 8 10 12

同期

率R

2D

ノイズ強度 IN [mW/cm2]

d=0.2mm

Fukuda, Nagano and Kai, JPSJ, 72,(2003) 487

97


204

A 1 2 NIN OUT

N

N

IN OUT

noise

・・・・・

・・・・・

OFF

ONA ・・・・・1 2 N

BZ振動子群の確率同期現象の応用


205

乳腺細胞の発火（Caイオンの放出、収縮）

自然発火強制発火（引き込み）

98


206

振動現象と引き込み現象

振動する水銀心臓（電気化学毛管現象）

実時間映像

メダカの受精卵の振動（養分を均一分配するため？）

約１００倍の高速映像


207

化学反応に伴う界面波動現象

99


208


209

自己相関関数：()

212121

21

21*

),(

)()()(

dxdxxxpxx

xx

txtxt

x(t)

x2

x1

t2t1 t*

結合確率：t1にx1とx1+dx1の間にあり、かつt2にx2とx2+dx2の間にある確率

dtttxtx

ttxtx

)()(1

lim

)()(

*

2

2

*

上の場合、ポアソンなので、

dxtxpxt )1)(()(

0

2

2

1)exp(

!)( x

x

xxp

xxの確率密度関数(ポアソン分布)

重なりの

x1とx2が同じ時間区間内にある確率(重なる確率)

正のみ

100


210

第4章階層と情報の縮約

1.はじめに

不可逆性と時間反転対称性

階層と不可逆性

(1)時間反転対称性の成立

古典力学：運動方程式

F = m = mv (4.1) ：加速度

一般形 U：ポテンシャルF = -grad U

･

Ugraddt

xd

2

2

t → -t とすると、

Ugraddt

xd

2

2

:時間反転に対して不変(エントロピー生成なし)

(4.2)


211

図1 静止から出発した円柱の後流のカルマン渦列形成過程（レイノルズ数R = 140）〔電解沈殿法〕

L I

a rod with the diameter L. ～５cm

LU

R

140

101


212

図A.2 パターンに見られる階層性の一例．上は九州の近海に見られる季節

風による巨大なカルマン渦．下はそこから見られるダイナミックスの階層性の説明．スケールによって異なった運動が主役となっている．


213

102


214


215

Intermission

蛸唐草の壺（古伊万里焼き）江戸中期（1750年頃）高：40ｃｍ径：約30ｃｍ

大中小の様々な渦（これを蛸唐草模様という）が描かれている。乱流のカスケード過程を想像させてくれる。どこからヒントを得てこの模様を描いたのだろうか

103


216

(2)時間反転対称性の破れ

i)化学反応A + B → C

ii)拡散方程式

)( ttCCkdt

dCCCk

dt

dCBA

ABA

A

[A] = CA

[B] = CB

.)'(02 eqsFickDCDt

C

t → -t)(02 破れる

DCDt

C

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

iii)熱伝導方程式

)(

.)'(0

2

2

破れる

t

tt

eqsFouriert

(4.7)

(4.8)


217

これらは方程式が t → -t とすることによって

同じではなくなる。

時間反転対称性を持たない。

これはどこから生まれるか散逸係数 k, D, を持つため

である。

すなわち、

時間反転性対称性の破れ不可逆性

104


218

(3)階層性

Brown運動を考える。

m

mM

v

f (t)

F

tfFext

)(vv :Langevin eq. (4.9)

: Newtonの運動方程式

)(vv tf : 対称性を破る (4.10)摩擦力

)(vv tf

対称性を破る

t → -tv → -vf(t) → f(-t)


219

2つのスケールの異なった乱雑運動

i) f(t) ミクロな揺動：摩擦係数へ(第2種)ii) v(t) マクロな揺動：拡散係数へ(第1種)

i) 第2種の揺動散逸定理

ii) 第1種の揺動散逸定理

Stoke’s law より (4.11)

注：i),ii)はmとMのスケールが近いところでは区別できなくなる。

→メゾスコピック(階層のオーバラップ)

M

a6

a : 粒子半径 : 水の粘性率

105


220

運動の特性時間の定義

マクロ特性時間 (Mに対する特性時間)ミクロ特性時間 (mに対する特性時間)

1M

Om

すなわち、

M ≫ m

i) t M では、f(t)は、

0)0(v)(

)(2

)()(2

0

tf

ttM

Lktftf B

(4.13) : f(t)とv(t)には相関がない。

(4.12)

(Mに対し、mの十分の回数(∞)の衝突がある。

→散逸を生成(不可逆性の起源))


221

このとき、v(0)をLangevin eq. に右から掛けて

(4.14))0(v)()0(v)(v)0(v)(v tfttdt

d

を得る。これを、< >すると、

)(v)0(v)(v

)0(v)(v)0(v)(v

20 M

t tet

ttdt

d

(4.15)

これを念頭にLangevin eq. を積分すると、t

tdt

0

t

t

sttt dssfetet0

)(

0)0( )()(v)(v (4.16)

mpp(最適経路)揺らぎ

となる。

106


222

詳細

ここで、t0 → -∞ とすると

0)()0( eee ttt

dssfet st )()v(t

-

)( (4.A1)

さらに、これを t → 0 とすると

dssfe s )()0v(0

- (4.A2)

なので、v(0)×v(0)として平均<v(0)v(0)> = <v02>を求めると、

)()()0v(0

-

0

-

2 sfsfesdds ss

(4.A3)


223

(4.12)より、

2

0020

)(0 0

0

0

2

)(2

)(2)()(

M

LkedsLk

ssesddsLk

ssLksfsf

BsB

ssB

B

(4.A4)

等分配則より、

T

Tv

Tv

T2

1v

2

1

0

2

020

20

20

M

L

M

k

M

Lk

M

k

kME

BB

B

B

(4.A5)

(4.A6)

(4.A7)

107


224

2

0

02

2

)(2

)()()()(

M

Lk

dtttLM

ksdsfsftdtftf

B

B

(4.A8)

より、

sdsfsfk

M

sdsfsfk

ML

B

B

0

2

20

)()(

)()(2

(4.A9)

(4.A10)

従って、この L0 を使うと、(4.A7)は

sdsfsfk

M

sdsfsfk

M

MM

L

B

B

0

0

20

)()(T

)()(1

一方、

(4.A11)

を得る。これはとミクロな揺動 f(s) との関係を結びつけている。


225

12

14321

v)( 22

202

0

MB

ttBt

ttM

k

eetM

kextx

　

(4.17)

tstt

tstt

t

dssfextx

dssfextxdtt

0

)(00

0

)(0

00

)(e-11

1v

)(

)(e-11

1v

)()(v

(4.19)

(4.20)

さて、(4.16)の v(t) をもう1度積分して、座標変数に戻すと、

(4.18)

2乗して平均を取ると、

≫

ここで、拡散係数の定義

t

xtxD

t 2

)(lim

20

より、

108


226

(4.21)

(4.A12)

(4.22)

補足4.2

ここで、拡散係数の定義

20v

22

1lim

M

kt

M

k

tD BB

t

より、tet 2

0v)0(v)(v

202

0

0

20

0

vv0

1

v1

)0(v)(v tedtt

0

)0)v(v( dttD :マクロ揺らぎに起因する量

0

)()( sdsfsfk

M

B:ミクロ揺らぎに起因する量 (4.23)

t → ∞ととれずに相対∞である。s → ∞ ≪ M 領域に限定

階層構造!!


227

模式的に描くと、

ｓの表示

ｓ = ∞

M

m

t の表示t

M

atf

dt

d

a

kDCD

t

C B

6)(v

v

62

D には kBT、には kBT は入らない

T → 0 : D → 0 but → 0

ii) M ≫ t～m のミクロな時間スケールでは、Langevin eq.は、

)()v()(v

0tfstsds

dt

d t

109


228

補足4.3

)(v

)0()()(

20

tftf

s :記憶関数

0 ( M≫t m ) ミクロでは

このとき、t → -t の反転操作には

)()(

vvv

v-v

tftf

dt

d

dt

d

dt

d


229

Lij = Lij0 + Lij

1)ミクロでは可逆2)マクロでは不可逆

マクロ領域のダイナミックスではミクロは無限回の衝突による散逸(不可逆)によって、時間反転対称性が破れる。

無限回の衝突!

)(v)(

)(v)(

)(v)()(v)(

0

0

00

stsds

std

stsdsstsds

t

t

tt

s = -とおく

ミクロでは不変

→ s と表示する

Onsagerの相反定理 : Lij = Ljiはミクロの運動の可逆性を表す。

熱運動で常に線形前述の

これは反転対称を持たないのが通常

110


230

補足4.4 Navieｒ-Stokes方程式の可逆・非可逆性

)(1

)(vvvv 2

0 tfPtFt

外力

random force

今、外力を除いた式を考えよう。

)(vvvv 2

0 tft

エントロピー生成

t → -tv → -v

左辺は対称右辺は破れる（散逸のため）。

vv

揺らぎをカスケードプロセスによって作り出す（非線形マクロ揺らぎ）


231

Lagrangian picture

点 r1

点 r2 ある粒子が点r1からr2へ移動する場合、その速度が場所場所で変化するとそれは、

で表示される。Dt

Dv

① ：点r1における粒子の速度(Euler picture)

② の距離での速度変化はその勾配に依存する。

tv

v点r1

rd

v1 v2

rd

v

d

vvvv

vv

gradgradt

r

t

gradrdd

111


232

(オイラーの方程式)

= ① + ② =Dt

Dv

vvv

gradt

0vvv

t

vv

粘性の導入

Navieｒ-Stokes equation

Reynolds 数 Re → 大となると、02vは相対的に

02v → 0

Navieｒ-Stokes equationは、

となり、粘性がない。このときの作る揺らぎは可逆。

しかし、渦が無限回の衝突を繰り返すことができる時間スケールで

は、非可逆になる。


233

今、とすると、

(注) の項

11vv

kkk

kdkver rki

)()(v

vv

11

11

11vv

,

vvvv

kkdkei

kkkkk

kdkdkei

kkkrki

kkrkki

とを生じる。

とおくと、

k

1k

1kk

112


234

E(k) cascade による energy 輸送

kd

k

普遍平衡領域 (大気:0.2cm～100m)：105程度

pump dissipationL0

-1

pump dissipationUniversal equilibrium regime

この慣性領域の渦の life time τe とすると、τe ≪ τ となる τの時間スケールでは渦の記憶は喪失してしまう。

マクロな非可逆性の出現ブラウン運動との Analogy で言えば、

τm τe

τに相当する。


235

すなわち、

乱流粘性 eff = 0 + ＞＞０

EHD eff = 0 + (電気伝導度)BZ反応 keff = k0 + k (反応定数)

(1)カオスが生まれると輸送係数が変わる。振り子がカオス運動すると摩擦係数が変わる。

(2)化学反応にカオス構造が生まれると反応定数が変わる。

(3)対流構造や反応構造が生まれると輸送係数(粘性や化学反応定数)が変わる。

113


236

補4.5. 相互作用を持つブラウン運動

バクテリア、ゾウリムシ、白血球、アメーバなどの運動

例：ゾウリムシ走熱性育った温度を好んで集まる傾向がある。→しかし、常時ランダムに動き回っている

ガスを閉じこめた容器を考えよう

T1 < T2 （不均一）

なぜ低温側に集まるか？ → 拡散係数が小さいために集まる

ランダム運動で低温側にきた分子は動けなくなる

気体

T2T1

こちらではT1は均一


237

── 同じ理由でゾウリムシも集まるのか？ ──

No！ゾウリムシを23℃で培養しよう。

その拡散係数は23℃で最大となる

23℃

（

）

D

拡

散

係

数 ●ランダム・ターン

●ランダム速度

23℃のときにもっとも早く、次のパターンまでの距離が長い。

114


238

個数N→大なほど＜x2＞が小さくなり、

その勾配も急。

すなわち集まりやすくなる。

集団行動で互いに相互作用が必要であることを示している。

→多分何かの誘因物質の放出

逆勾配ができる！

<x2>

t

20℃で育てたゾウリムシを入れる

20℃ 30℃

N → 大

x0

20℃からの距離の2乗<x2>を測定

純粋にブラウン運動であれば

N に依存しない


239

N → 大：誘因物質の効果大→ 相互作用大

N → 小：誘因物質の効果大

走熱性 → 走化性(thermotaxis) (chemotaxis)

拡散で集まるのではない！

相互作用雑音

競合

通常物質の相変化

誘因物質の効果拡散の効果

115


240

taxisgalvano-taxis ──電流・電圧勾配に依存photo ── 光chemo ── 化学物質濃度hapto ── 吸着（粘着）物への依存

Kinesis:無定位運動

(a)Random Movility (b)Taxis


241

(c)orthokinesis (d)klinokinesis

(e)orthotaxis (f)klinotaxis

速度が

励起力の大きさに依存する

turnning頻度が

励起力の大きさに依存する

速度が

進む方向に依存する

turnning頻度が

進む方向に依存する

勾配方向に進むときには速度が大

勾配方向に進むときにはturnning頻度が減る

勾配のある場合

これらは、ブラウン粒子に新しい内部自由度を

考慮する必要があることを示す

116


242

個々の感じるノイズ強度 → 個々の敏感性

感受性

↑こちら方向に進むときには速度が速い

orthotaxis

と考えられる

T＋△T

R－B 対流

:,

2,

0

iii

ii

e

ii

vr

tth

vdt

dvm

i

度個々の感じるノイズ強:i


243

trh ,e 有効ポテンシャル場

例えば、電圧

rUgradrE :

trh ,e に相当

→ 場に対して好む

→ 場に対して反発0

0

i

i

0i に、閾値を導入することもできる。

ある値よりも大な外場に対して働く。

例えば

のように

0,e ci htrh

117


244

4-2.ファンデァポール(van der Pol ) 方程式の縮約

キルヒホッフの電流則(Kirchhoff’s law)より、

dtL

i

dt

dCi

Ri

Efi

iiii

L

C

R

LCR

v1

v

v

v

0

0v1v

v11v

0v1v

v1v

0vv

v1

v

22

2

2

2

LCdt

dba

RCdt

d

Ldt

dEf

Rdt

dC

Rdt

dCdt

LEf

RC

E

L

iiL iC iR

-+

+

-

vi0

v + E

V = v + E

E(v = 0)

i f ( v + E )

V = v + Ev = ( V - E )

0 RCL iiii2

03

v)v(

v3

v)v(

baf

ib

af

---(4.2.1)

V


245

bC

L

Ra

C

Lxvtt

xdt

dxx

dt

xd

td

db

Ra

Ctd

d

td

db

Ra

Cdt

d

1

212

2

2

02

2

20

2

0

20

2

220

,1

,,

0

0vv

v111v

0vv

v11v

LCtddttddttt

1,

1, 0

000

とおくと、

これを van der Pol 方程式と呼ぶ。

これは線形ポテンシャルＵ＝x２を持った、非線形振動である。

もう少し一般性を高めるために、鉄芯の入ったLを考える。

x → x + x3と非線形ポテンシャル（dU/dx）を採用する。

---(4.2.2)

118


246

21

3

3212

2

)(

)(

0

xxg

xxxf

xxdt

dxx

dt

xd

この解をx = x0でその安定性を調べるために微小摂動を加える。

x = x0 + y

これを代入すると、

ポテンシャル関数

摩擦関数

0)()(2

2

xfdt

dxxg

dt

xd (4.2.3)

(4.2.4)

03000

20102

2

yxyxyxdt

dyxyx

dt

d

0)()(2

2

xfdt

dxxg

dt

xd ---(4.2.5)


247

dt

d

dt

d2

2

0

02

33

0201

30000

02

0201

320

20

30000

xxxxxεx

yxyyxx

yyxyxxyxyxεyx

(4.2.6) (定常解x0より)

¨

微小量 y2 = y3 = 0 として、

023 00201

20 yxxyxyxyyεy (4.2.7)

を得る。今、x0 = 0(非振動)とすると、

0 yyεy (4.2.8)

この解は、

constyeyty t :)( 00

119


248

の固有値が求まる。このとき、

のとき、は実数であり、

42

1

0

22,1

2 ε

---(4.2.10)

とかける。故に、(4.2.8)に代入すると、

(4.2.9)

042

いずれか1つが > 0 → y : grow双方とも < 0 → y : decay

一方のとき、042

2

2,1 42

1 i と複素数となり、Hopf分岐になる。


249

の振動モードが中立安定。> 0で成長

→ 増すと、 = と0()の変化をすることがわかるが、

正確な挙動は摂動後の解となる。

つまり、

cii 2,1

(4.2.13)

今、 = 0とすると、

(4.2.11)

042 (i) が実数の時

y(t) = A1e1t + A2e2t

(ii) が複素数の時

y(t) = eRe()t (Aeict + A*e-ict )

= 0のとき(中立安定点)y(t) = Aeict + A*e-ict

20

2

4

c

、複素数となり、Hopf分岐になる。

c : Hopf 周波数

(4.2.12)

(4.2.14)

120


250

そこで、今

と展開し、時間軸を速い変動 t と遅い変動に分ける。

> 0では、この振幅 AA*の挙動が重要。またcがどのように

変化するかも重要。

T

tt

t

223

1021

yyyy

(4.2.15b)

(4.2.15a)

とする。すると、

223

0T23

1021

223

1021

T

yyyy

yyyyy

ttt

tt


251

0T12

022

1

223

1021

22T

2

223

1021

2T

2

2

2

yyy

yyy

yyyyy

ttt

tt

tt

020

23

2

120

230

23

3

1023

20

2

3

2

yyyy

yyyy

yyyy

t

(4.2.16)

121


252

これらを(1)に代入して、のオーダごとに整理すると、

02:

0:

0:

0201

3000T22

223

112

0022

1

yyyyyyy

yy

yy

tttt

t

t

(4.2.17)(4.2.18)

(17),(18)より、同型の解

tcitci

tcitci

eAeAy

eAAey

*

111

*0

(19)

(4.2.20)

を得る。


253

(20)より、(19)中のy03やy0

2y0は･

tcitcitcitcic

tcitcitcitci

eAeAAeAAeAtiyy

eAeAAeAAeAy

33***2330

20

33*2**23330 33

を得る。この２つのタイプの表式を含む(19)では、y2は次の形を持たねばならない。

tcitcitcitci eBeBeAeAy 3*2

32

*222

(21)

以上のy0、y2を(20)に代入すると、

0

33

2

99

33*1

2*1

*21

33*1

33*2**233

**T

3*2

232

2*2

22

2

3*2

232

2*2

22

2

tcic

tcic

tcic

tcic

tcitcitcitci

tcic

tcic

tcic

tcic

tcic

tcic

tcic

tcic

tcic

tcic

tcic

tcic

eAi

eAAieAAieAi

eAeAAeAAeA

eAiAeieAiAe

eBeBeAeA

eBeBeAeA

となる。

122


254

e±ict , e±3ict の各々は線形独立であるので各々の係数を0とおける。

今、Aを含む e±ict の係数を集めて、0とおくと、

AAiA

A

AAiAAAiAi

c

ccc

21T

*21

*2T

2

3

22

032

(22)

(22)の一般解(A≠0)を 0T FeFA i (23)

としよう。これを(22)に代入、

31

2

3

22Fi

FFi

c

そして、両辺の実部、虚部が各々等しいとする。


255

cc

FF

FFF

1

3

1

231

2

3;

2

3

1;0

(24)

(25)

(24)を(23)に代入すると、

)T(11

1

T

1

teeA tii

() = ･振動数はに線形比例

(11)と比べよう．

ここで、1 > 0のとき F は実数 supercritical(超臨界) 分岐

1< 0のとき F は虚数 subcritical(亜臨界) 分岐

を起こす。以上、まとめると、

titi cc eeyy

10

21 (26)

123


256

0(臨界点)

1 > 01 < 0

y y

supercritical 分岐

subcritical 分岐

c

= c +

c : Hopf 周波数


257

van der Pol 方程式： = 0

AAA

A21

T 22

t

124


258

y

y

y

y

cyclic balance

y

y

detailed balance

分岐分岐

y

y

y

y

y

y

2つのfixed pointA B

補：熱力学におけるOnsagerの相反定理とcyclic balance

Onsagerの相反定理の成り立つ系

125

第1章講義の目標と概要 -...

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