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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA CONTROL MODERNO Y OPTIMO

____________________________________________________________________________________ DR.ING. FREEDY SOTELO V. PAG.43

MOTOR DC CONTROLADO POR INDUCIDO

1. Modelo del Motor El motor DC controlado por inducido est representado en la figura 1. Adems debido a que la inductancia en servomotores D.C. de magneto permanente es pequea, podemos despreciar su efecto en el modelo.

Figura 1: Motor DC

( )

( ) (1)

2. Funcin de Transferencia Equivalente >> J=.01; >> b=.1; >> K=.01; >> R=1; >> L=.5; >> num=[ 0 0 K ] num = 0 0 0.0100 >> den=[ (J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2) ] den = 0.0050 0.0600 0.1001 >> step(num,den,0:.1:5)



Figura 2: Respuesta al Escaln Unitario

>> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) A = -12.0000 -20.0200 1.0000 0 B = 1 0 C = 0 2 D = 0 >> step(A,B,C,D)

Figura 3: Respuesta al Escaln Unitario, para SS.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude



>> impulse(num,den,0:.1:5)

Figura 4: Respuesta al Impulso Unitario.

SISTEMA PENDULO INVERTIDO 1. Diagrama del Sistema

Figura 5: Sistema Pndulo Invertido. 2. Modelo del Sistema

2

2'''

cos

cos

mmM

umgsensenmlx

(2)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Impulse Response

Time (sec)

Am

plit

ude

x

y

M u

m

0

l

x



2

2'''

cos

cos)(cos

mlmlMl

ugsenmMsenml

(3)

3. Espacio de Estado

'

2

'

1 xx (4)

''

2

1111

2

2'

2cos

cos)(cos

mlmlMl

xugsenxmMxsenxmlxx

(5)

'

4

'

3 xxx (6)

''

1

2

111

2

2'

4cos

cosx

xmmM

uxmgsenxsenxmlxx

(7)

4

3

2

1

2

1

0100

0001

x

x

x

x

y

y

(8)

4. Linealizacin

u

uf

uf

uf

uf

x

x

x

x

xfxfxfxf

xfxfxfxf

xfxfxfxf

xfxfxfxf

x

x

x

x

OperacinPtouOperacinPtoxi .4

3

2

1

4

3

2

1

.44342414

43332313

42322212

41312111

4'

3'

2'

1'

/

/

/

/

////

////

////

////

(9)

5. Linealizando en MatLab 5.1. Programa

% Programa : LinPenInv.m % Descripcin : clc % Variables simbolicas syms f1 f2 f3 f4 x1 x2 x3 x4 u m M l g f1=x2 f2=((M+m)*g*sin(x1)-u*cos(x1)-m*l*x2^2*sin(x1)*cos(x1))/(M*l+m*l-m*l*(cos(x1))^2)

f3=x4 f4=(u+m*l*x2^2*sin(x1)-m*g*sin(x1)*cos(x1))/(M+m-m*(cos(x1))^2) f=[f1;f2;f3;f4];



% Calculo de jacobianos en Punto de Operacion v=[x1,x2,x3,x4]; w=[u]; x1=0;x2=0;x3=0;x4=0;u=0; As=subs(jacobian(f,v)) Bs=subs(jacobian(f,w)) % Dando valores a parametros del sistema m=0.1;M=2;l=0.5;g=9.81; A=subs(jacobian(f,v)) B=subs(jacobian(f,w)) C=[1 0 0 0; 0 0 1 0] D=[0] step(A,B,C,D) % Fin 5.2. Ejecutando Programa f1 = x2 f2 = ((M+m)*g*sin(x1)-u*cos(x1)-m*l*x2^2*sin(x1)*cos(x1))/(M*l+m*l-m*l*cos(x1)^2)

f3 = x4 f4 = (u+m*l*x2^2*sin(x1)-m*g*sin(x1)*cos(x1))/(M+m-m*cos(x1)^2)

As = 0 1 0 0 Bs = 0 (M+m)*g/M/l 0 0 0 -1/M/l 0 0 0 1 0 -m*g/M 0 0 0 1/M

A = 0 1 0 0 B = 0 20.601 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 -0.4905 0 0 0 0.5

C = 1 0 0 0 D = 0 0 0 1 0



Figura 6: Respuesta al Escaln Unitario.

6. Simulink

(M+m)*g = 20.601 m*l = 0.05 M*l = 1 m*g = 0.981 M+m = 2.1

f1 u(3)

f2 (20.601*sin(u(2))-u(1)*cos(u(2))-0.05* sin(u(2))*cos(u(2))*(u(3))^2)/(1.05-0.05*(cos(u(2)))^2)

f3 u(5)

f4 (u(1)+0.05*sin(u(2))*(u(3))^2-0.981*sin(u(2))*cos(u(2)))/(2.1-0.1*(cos(u(2)))^2)

A = 0 1 0 0 B = 0 20.601 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 -.4905 0 0 0 0.5 C = 1 0 0 0 D = 0 0 0 1 0

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

To: O

ut(

1)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

To: O

ut(

2)

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude



Figura 7: Sistema Pndulo en Simulink.

Figura 8: Respuestas del Sistema Pndulo Invertido.

7. Sistema no Lineal en MatLab %------------------------------------------------------------------------------------------------------- % Programa : EulerPenInv.m % Descripcion : dy/dx=2xy; yi(0)=.. xi(0)=.. % yi(f) con h=0.01 % y'=y(n+1)-y(n)/h => y(n+1)=y(n)+hy'

x'u

x

xx' y

MODELO NO LINEAL

MODELO LINEALIZADO

PENDULO INVERTIDO

y

Sistema:

f = [ u f1 f2 f3 f4 ] '

ynl: x3

ynl: x1, x3

ynl: x1

yl: x3

yl: x1, x3

yl: x1

x1nl: x1l

Sum

Step

Sistema: [xi]Sistema: [u, xi] Sistema ' : [u, xi]

MATLAB

Function

Pendulo

C

Matriz C

B

Matrix

Gain3

A

Matrix

Gain2

C

Matrix

Gain1

1/s

Integrator1

1/s

Integrator

Entrada:u



% f=[ x2; % ((M+m)*g*sin(x1)-u*cos(x1)-m*l*x2^2*sin(x1)*cos(x1))/(M*l+m*l-m*l*(cos(x1))^2); % x4; % (u+m*l*x2^2*sin(x1)-m*g*sin(x1)*cos(x1))/(M+m-m*(cos(x1))^2) ]; % % x1 = x2 =' x3 =x x4 =x' % x1'=' x2'='' x3'=x' x4'=x'' %------------------------------------------------------------------------------------------------------- % f= f + h* [ f(2); % ((M+m)*g*sin(f(1))-u*cos(f(1))-m*l*f(2)^2*sin(f(1))*cos(f(1)))/(M*l+m*l-m*l*(cos(f(1)))^2); % f(4); % (u+m*l*f(2)^2*sin(f(1))-m*g*sin(f(1))*cos(f(1)))/(M+m-m*(cos(f(1)))^2)]; %------------------------------------------------------------------------------------------------------- clc; clear all; m=0.1;M=2;l=0.5;g=9.81; t=0; h=0.01; f=[0; 0; 0; 0]; tacu=t; facu=f; u=1; for i=1:400 f=f+h*[ f(2); ((M+m)*g*sin(f(1))-u*cos(f(1))-m*l*f(2)^2*sin(f(1))*cos(f(1)))/(M*l+m*l-m*l*(cos(f(1)))^2); f(4); (u+m*l*f(2)^2*sin(f(1))-m*g*sin(f(1))*cos(f(1)))/(M+m-m*(cos(f(1)))^2) ]; t=t+h; tacu=[tacu t]; facu=[facu f]; end %plot(tacu',yacu(1,:)','r'); grid on; plot(tacu,facu(1,:),'r'); grid on; axis([min(tacu) max(tacu) min(facu(1,:)) max(facu(1,:))]); title('Sistema de Pendulo Invertido'); xlabel('tiempo[seg]'); ylabel('Posicion D[rad/seg]'); %-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Figura 9: Grfica de .

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Sistema de Pendulo Invertido

Tiempo[seg]

Posic

ion T

eta

[rad]



Figura 10: Grfica de D.

SISTEMA PENDULO INVERTIDO CON MOTOR ACTUADOR

1. Modelo del Pndulo Invertido El proceso pndulo invertido consiste de un pndulo montado sobre un carro que de desplaza en forma horizontal. Este carro esta impulsado por un servomotor D.C a travs de un sistema de poleas, tal como se muestra en la figura 11.

Figura 11: Proceso del Pndulo Invertido.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0Sistema de Pendulo Invertido

tiempo[seg]

Posic

ion D

?[r

ad/s

eg]



1.1. Modelo del Subsistema Carro-Pndulo El subsistema carro-pndulo se ilustra en la figura 12 y est conformado por un carro y una varilla. De la figura 12 podemos observar que los centros de gravedad de la varilla y de la esfera son:

Figura 12: Subsistema carro-pndulo.

(10)

(11)

M

j

i

N

i

i jFmirdt

dm

112

2 (12)

Donde i es la masa de la i-sima partcula, es la posicin del centro de masa de la i-sima partcula y jF

es la j-sima partcula fuerza aplicada al

sistema de partculas. Aplicando la ecuacin (12) a nuestro sistema (en direccin z), obtenemos:

(13)

Luego, sustituyendo (ecuacin (10)) y (ecuacin (11)) en la ecuacin (13), obtenemos:



( )

(

) (14)

Y desarrollando las derivadas resulta:

( ) (

) ( ) (

) ( ) (15)

Para completar el modelo, utilizaremos la segunda ley de newton aplicada al movimiento rotatorio alrededor del punto P del carro.

id

d

i

(16)

Donde es el j-simo torque externo, es el momento de inercia de la i-sima

partcula respecto al punto P y es el angulo recorrido por la i-sima partcula alrededor del punto P. Empleando la ecuacin (16) en la figura 12 obtenemos:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

(17)

Y ordenando:

(

) ( ) (

) ( ) ( ) (18)

Donde:

(19)

1.2. Modelo del Subsistema Motor-Polea El subsistema motor-polea est representado en la figura 13 El modelo del sistema elctrico se encuentra aplicando la ley de voltajes de Kirchoff a la parte elctrica de dicha figura. Adems, debido a que la inductancia en servomotores D.C. de magneto permanente es pequea, podemos despreciar su efecto en el modelo. As obtenemos:



Figura 13: Subsistema motor-polea

(20) El voltaje contra electromotriz est representado por:

(21) Aplicando la segunda ley de Newton para el movimiento rotatorio en el sistema mecnico del servomotor, obtenemos:

(22) Donde:

( ) (23)

(24)

El torque producido en el eje del servomotor viene dado por la ecuacin:

(25)

Sustituyendo la ecuacin (16) en (13) y despejando se obtiene:

(26)

Luego sustituyendo las ecuaciones (26) y (21) en (20) y despejando F, obtenemos:

(

) (27)



Para transformar el desplazamiento angular del servomotor en el desplazamiento horizontal del carro en funcin del radio de la polea y del factor de reduccin del servomotor, empleamos:

(28)

Sustituyendo la ltima relacin en (27), obtenemos la ecuacin general del subsistema servomotor, como sigue:

(

) (29)

Las ecuaciones (15), (18) y (29) representan el modelo matemtico del proceso pndulo invertido controlado por la corriente de armadura. Tales ecuaciones pueden ser escritas en forma compacta:

( ) ( ) (30)

( ) ( ) (31)

(32) Donde:

(33)

(34)

(35)

1.3. Representacin en el Espacio de Estado Las ecuaciones obtenidas pueden ser representadas en el espacio de estado mediante la siguiente asignacin de variables de estado:

(36)

(37)

(38)

(39)



Escribiendo dichas ecuaciones en el espacio de estado, obtenemos:

[

]

[

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ( ) ( ) )

( )( ) ( )

( ) ( ) ]

(40) Y puesto que en nuestro sistema tenemos como salidas disponibles el desplazamiento angular de la varilla y el desplazamiento del carro, la ecuacin de salida toma la forma siguiente:

(41) Donde:

[

] (42)

1.4 .Obtencin del Modelo Lineal Para poder analizar la ecuacin (40) empleando tcnicas de control lineal es necesario obtener un modelo lineal del proceso. Suponiendo que las variables de estado se desvan levemente con respecto a una condicin de operacin (un estado de equilibrio, por ejemplo), la aproximacin lineal se puede obtener mediante la expansin en series de Taylor, despreciando trminos de orden superior. Considerando que nuestro proceso sea representado por la siguiente expresin:

( ) (43)

[ ]

[ ] [ ]

en donde es la seal de control, es el vector de estados y es una funcin vectorial de variable vectorial. La expansin en serie de Taylor alrededor del

punto de operacin ( ) resulta:

( ) [ ( )

( )

( )

( )]+

[ ( )

( )

( )

( )( )

( )

( ) ]

(44)



Si la variacin de las variables residuales ( ) y ( ) es pequea, entonces se pueden despreciar los trminos de orden superior. En el caso que nos ocupa, el punto de operacin (o estado de equilibrio) se ubica alrededor del

origen [ ] y , entonces la ecuacin (43) se puede escribir como:

( ) ( )

( )

(45)

Dado que ( ) es una funcin de variable vectorial, su derivada parcial con respecto a y viene a representar la operacin jacobiana. Entonces, la ecuacin (44) se convierte en:

( )

[ ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

]

[ ( )

( )

( )

( )

]

(46) Luego aplicando la ultima expresin a la ecuacin (40), obtenemos el siguiente modelo lineal para el sistema de pndulo invertido:

(47) Donde:

[

( )

( )

( )

( )

( ) ]

(48)

[

( )

( ) ]

(49)



1.5. El Modelo en el Espacio de Estado Discreto Las ecuaciones de estado en tiempo continuo del proceso estn dadas por:

( ) ( ) (50)

( ) ( ) ( ) (51)

La solucin de tales ecuaciones es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(52)

Donde es el tiempo inicial, y:

( ) ( )

( )

(53)

El modelo en tiempo discreto esta dado por:

( ) ( ) ( ) (54)

Donde es el tiempo de muestreo. Las matrices y se obtienen de:

( ) (55)

[ ()( )

] (56)

La ecuacin de salida en tiempo discreto viene a ser: ( ) ( ) ( ) (57)

En donde y son matrices constantes que no dependen del periodo de muestreo ; por consiguiente, son las mismas que para el caso continuo.



SISTEMA DE SEGUIMIENTO

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