c · web viewdengan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi...
TRANSCRIPT
lBAB II
TEKNIK INTEGRAL
Beberapa macam teknik pengintergralan digunakan untuk menentukan antiturunan
bermacam-macam fungsi. Hal ini bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan
selesaian integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik pengingtegralan mudah dipahami
oleh pembaca, maka dalam bab ini dirincikan teknik pengintegralan dimaksud dengan
syarat-syarat yang ditentukan. Teknik-teknik integral tersebut adalah:
1) TEKNIK SUBSTITUSI,
2) INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI,
3) SUBTITUSI FUNGSI TRIGONOMETRI,
4) INTEGRAL PARSIAL (INTEGRAL BAGIAN)
5) INTEGRAL FUNGSI RASIONAL, dan
6) INTEGRAL RASIONAL YANG MEMUAT FUNGSI TRIGONOMETRI.
2.1 Metode Substitusi (Pemisalan)
Metode substitusi disebut juga metode pemisalan. Pada umumnya digunakan untuk
memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;
a. dx = + C, asalkan n -1 atau
b. = + C, asalkan n -1
Karena rumus di atas adalah pedoman umumnya, maka integrannya menyesuaikan
dengan rumus di atas. Jika belum sesuai atau menyimpang dari bentuk di atas maka
sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan demikian setelah integran sesuai dengan
bentuk baku integralnya dapat dilakukan dengan mengaplikasikan rumus dasar integral
tidak tentu tersebut di atas. Akhirnya selesaiannya dapat dilakukan dengan metode
substitusi.
Perhatikan beberapa contoh berikut:
1. dx
Misal u =
Substitusi bentuk terakhir ke dx, diperoleh
= -2
Dengan rumus dasar di dapat
dx = -2
= -2
= -
2.
Misal A = 3x + 12
d(A) = d(3x+12)
dA = 3 dx
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 25
dx =
Sehingga =
=
=
=
=
3. dx
Misal A = 2x
d(A) = d(2x)
dA = 2 dx
dx =
dx =
=
=
=
=
=
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 26
=
=
4. (4x+2) dx
Jawab
Misal A =
A = 4x 4x
2A dA = (8x+4) dx
2A dA = 2(4x+2) dx
A dA = (4x+2) dx
Sehingga
(4x+2) dx = .A dA
=
=
= + C
5.
Jawab
Misal P =
P = 3t + 4 t =
d(P ) = d(3t+4)
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 27
2P dp = 3 dt dt = , sehingga
=
=
6.
Jawab
Misal U =
U = 16 - x x = 16 - U
d(U ) = d(16 - x )
2U du = (-2x)dx
dx =
= du
=
= -
=
=
=
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 28
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:
1.
Jawab
Misal M = (t+2)
M = (t+2)
2M dM = 3(t+2) dt
=
=
= + C
= + C
=
2.
3.
4.
5.
6.
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 29
Jawab :
Substitusi U = atau U = x
Didapat 2U du = 2x dx
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 30
2.2 Integral Fungsi Trigonometri
Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih rinci, berikut
ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan
hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah:
1. dx = -cos x + C
2. dx = sin x + C
3. x dx = ln
= -ln
4. x dx = - ln
= ln
5. dx = ln
6. x dx = ln
Dengan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi
trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:
A. dan dengan m bilangan ganjil atau genap positip
Jika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m
digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan identitas
atau sin = 1 - cos atau cos = 1 - sin .
Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran dengan
tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan.
Contoh:
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 31
1.
Jawab
=
= dx
=
=
= -cos x +
2.
Jawab
= dx
=
=
=
=
= sin x -
3.
Jawab:
Misal u = 2x, du = 2dx atau dx =
Sehingga
=
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 32
=
=
=
=
=
Bentuk , , jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya
dapat dilakukan dengan menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut
sin = dan cos
Contoh:
1.
Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka
=
=
=
2.
Jawab
= dx
=
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 33
=
=
= 42sin
4xx
+
=
=
3.
Misal u = 2x , du = 2dx atau dx = ,
sehingga
=
=
=
=
=
=
=
Karena u = 2x, maka
=
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 34
B.
Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan,
maka faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan kesamaan identintas
dengan terlebih dahulu mengubah salah satu bilangan ganjil. Misal m
ganjil maka ubah m dengan m = (m-1)+1 , jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1. Jika m dan
n genap digunakan kesamaan setengah sudut sin = dan cos
sehingga diperoleh hasil pengintegralannya.
Contoh
1.
Jawab
Karena m ganjil, maka gunakan substitusi kesamaan identitas
=
=
=
=
=
= cos
2.
Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap
=
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 35
=
=
=
3.
Jawab
Karena kedua pangkat bilangan ganjil, pilih salah satu untuk diubah menjadi genap
=
=
=
=
Atau
=
=
=
=
4.
Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:
=
=
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 36
=
=
=
=
4.
Jawab
Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya gunakan
kesamaan setengah sudut sin = dan cos .
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 37
=
=
=
C. dan
Dalam kasus ini jika n genap gunakan kesamaan identitas 1 + dan
1+cot . Jika n ganjil ubah menjadi (n-1)+1 dan gunakan kesamaan 1 +
dan 1+cot .
Perhatikan contoh berikut:
1.
Karena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap,
selanjutnya gunakan kesamaan identitas 1 +
Sehingga diperoleh
= tanx dx
= tan x dx
= tan x dx - tan x dx
= tan x sec dx – ln + C
= d(tan x) – ln + C
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 38
=
2.
Karena pangkat n , langsung gunakan kesaman identintas 1+cot , sehingga
didapat
=
=
=
=
=
=
=
=
D. , dan
Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n
sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1 + tan atau
1 + cot = csc .
Contoh
1.
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 39
Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan
identitas 1+tan , sehingga diperoleh
=
=
= d(tgnx)
=
2.
Jawab
=
=
=
=
Sedangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang juga dengan menggunakan
substitusi kesamaan identitas 1 + tan atau 1 + cot = csc .
Contoh:
1. =
=
=
=
=
2. = tan x sec sec x dx
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 40
= -1)sec d(sec x)
= sec d(secx)
= + C
E. ,
Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus
kesamaan hasil kali, yaitu:
sin mx cos nx =
sin mx sin nx =
cos mx cos nx =
Contoh
1. 3x cos 4x dx = dx
= + sin (-x) dx
= - x + C
2. dx = dx
= (cos 5x – cos x) dx
= 5x + x + C
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 41
3. y cos 4y dy = +cos(1-4)y] dy
= dy
=
Soal-soal
Tentukan hasil integral berikut ini.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 42
16.
17.
18.
19.
20.
2.3 Substitusi Fungsi Trigonometri
Metode substitusi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral fungsi jika
integrannya memuat bentuk-bentuk:
a. , a Real
b. = , a Real
c. , a Real
atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya
=
=
= atau yang dapat diubah menjadi bentuk kuadrat
sempurna.
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 43
Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya
menggunakan substitusi x = a sin t, - sehingga,
=
=
= a cos t
dx = a cos t dt.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1. dx
Jawab
Misal x = 2 sin t sin t =
dx = 2 cos t dt
=
Sehingga
dx =
=
= 4
= 4 ( - )
= 2 sint cost – 2t + C
= 2( - 2 arc sin + C
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 44
=
2.
Jawab
=
Misal (x-2) = 2 sin t, dx = 2 cos t dt
, sehingga
=
=
= t + C
= arc sin
3.
Jawab
=
Misal (x-3) = 5 sin t, dx = 5 cos t dt
= 5 cos t, sehingga
=
=
= t + C
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 45
= arc sin + C
Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca
1.
2.
3.
4. dx
Jawab
Substitusi x =
dx =
= , sehingga
dx =
= 9
= 9
=
=
=
=
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 46
=
= + C
=
5.
Bentuk integral yang integrannya memuat bentuk atau bentuk yang
sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a tgn t, - sehingga,
= a sec t dan dx = a sec .
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini.
1.
Jawab
Misal x = 3 tan t , dx = 3 sec t2 dt
3 sec t, sehingga
=
=
= ln
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 47
= ln + C
= ln
2.
Jawab
=
=
Misal (x+2) = tan t , dx = sec t dan x = tan t - 2
= sec t, sehingga
=
= - dt
= 2 sec t – 5 ln
= 2
Kerjakan soal berikut sebagai latihan
1. dx
2.
3. dx
4.
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 48
5.
6.
Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya
menggunakan substitusi x = a sec t, - sehingga,
= a tan t dan dx = a sec t tan t dt.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1.
Jawab
Misal x = 3 sec t, dx = 3 sec t tan t dt
= 3 tan t, sehingga
=
= 3
= 3
= 3 tan t – 3 t + C
= 3
2.
Jawab
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 49
=
Misal (x-1) = 3 sec t, dx = 3 sec t tgn t dt
= 3 tgn t, sehingga
=
=
= ln
= ln
Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan.
1. dx
2.
3.
4.
5.
6.
2.4 Integral Parsial
Integral parsial biasanya digunakan untuk menentukan selesaian integral yang
integran yang merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u = f(x) dan v = g(x).
Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y = uv diperoleh
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 50
dy = d(uv)
d(uv) = u dv + v du
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh
Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan
dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi u dv dan
dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan
dengan tersebut.
Perhatikan beberapa contoh berikut ini.
Tentukan integral persial berikut ini
1.
Jawab
Bentuk diubah menjadi udv,
Misal u = x , dv = 1 dx
dv = cos x dx , v = dx = sin x
Akibatnya = x d(sin x).
Dengan rumus integral parsial
, diperoleh
x d(sin x) = x sin x - d(x)
= x sin x - dx
= x sin x + cos x + C
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 51
Akhirnya diperoleh = x sin x + cos x + C
2. dx
Pilih u = x , du = dx
dv = , v = dx =
Sehingga dx =
Berdasarkan rumus integral parsial
, diperoleh
dx =
= -
= -
= -
= -
3. e dx
Pilih u = sin x maka du = d(sinx) = cos dx
dv = , v = = , sehingga:
e dx = sin x d(
=
=
Diperoleh bentuk yang juga diselesaikan dengan metode parsial
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 52
Pilih u = cos x , dv = d(cos x) = sin x dx
dv = , v = = , sehingga:
e dx = cos x d(
=
=
=
Akhirnya diperoleh
e dx =
=
e dx =
Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan.
1.
2.
3. tan x dx
4. tan x dx
5. ln x dx
6. dx
7. cos 2x dx
8. e dx
9. dx
10. dx
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 53
11.
12.
13. dx
14.
15. dx
16. dx
17. dx
18. dx
19. dx
20. dx
2.5 Integral Fungsi Rasional.
Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x) = ,
dimana f(x) , g(x) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan g(x) 0.
Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan
f(x) = a + a x + a x + a x + … + a x , n = 1, 2, 3, … , sehingga fungsi rasional adalah
fungsi berbentuk yang pembilang dan penyebutnya polinom.
Contoh
1. f(x) = (Fungsi Rasional Sejati)
2. f(x) = (Fungsi Rasional Tidak Sejati)
3. f(x) = (Fungsi Rasional Tidak Sejati)
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 54
Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang
lebih dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak sejati,
karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut.
Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka
fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan
diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:
f(x) =
= x +
F(x) = , g(x) 0.
Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:
1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.
2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x) = sampai tidak dapat
difaktorkan lagi.
3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara:
- fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a)(x-b)….(x-t) dstnya.
- fungsi linear berulang, g(x) = (x-a)
= (x-a)(x-a)(x-a) … (x-a)
- fungsi liner dan kuadrat, g(x) = (x-a)(ax +bx + c)
- fungsi kuadrat berbeda, g(x) = (ax px + qx + c)
- fungsi kuadrat berulang, g(x) = (ax dan seterusnya.
4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran
dapat ditentukan antiturunannya,
Misal : (Penyebut kombinasi liner berbeda)
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 55
(kombinasi lenear berulang)
(kombinasi kuadrat berbeda)
5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan
hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A , A , …A
dan B , B , …B .
Contoh
1. Tentukan
Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:
dx =
=
=
=
Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:
dx =
= -
= ln
= ln
2. integran fungsi rasional tidak sejati, maka:
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 56
=
= x + ln (x-1) + C
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan beririkut:
1.
Jawab
=
=
=
=
Diperoleh A + B + C = 0
A + 3B – 2C = 1
-6A = 1
Atau A = - , B = , C =
Sehingga =
=
2.
3.
4.
5.
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 57
6.
Contoh (Penyebut integran dalam faktor linear berulang)
1. , karena integran adalah fungsi rasional sejati maka:
=
=
=
=
= dx
Sehingga diperoleh
A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga
= dx
=
= ln
2.
Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu menjadi fungsi
rasional sejati. Sehingga:
=
=
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 58
Selanjuntnya
=
=
=
Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:
dx
= 5 ln
3.
Integran fungsi rasional sejati, sehingga:
=
=
=
=
Diperoleh
A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -1/2, C = 4, sehingga
=
=
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 59
= ½ ln
4. dx ( integran bukan fungsi rasional sejati)
Jawab :
dx =
= +
= +
Selanjutnya dicari =
=
=
=
Sehingga didapat B+C = 272, A-4B = 0, -4A = 4, atau A = -1, B = , C =
Hasil akhir pengintegralan
-
Soal-soal
Tentukan hasil dari:
1.
3.
4.
5.
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 60
Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan
berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut
dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan
kuadrat.
Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial
, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C.
Contoh
1.
Karena integran fungsi rasional sejati maka
=
=
=
Diperoleh
A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:
=
=
=
2.
Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga
=
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 61
=
=
=
Diperoleh
A+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0 sehingga:
=
=
= arctg x +
3.
Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda (x+3) dan (x-2) dengan kuadrat (x
, sehingg:
=
=
=
Maka diperoleh
A + B + C = 1, -2A+3B+C+D = -8, A+B+D-6C = 0, -2A+3B-6D = -1 atau
A = 2, B = -1, C = 0, D = -1
=
= 2 ln(x+3) – ln(x-2) – arctan x + C
= ln(x+3) - ln(x-2) – arctan x + C
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 62
= ln arctan x + C
Jadi = ln arctan x + C
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1.
Jawab
=
=
=
=
Didapat A+B = 2, C = 1, 4A = -8 atau A = -2, B = 4, dan C = 1
=
=
= ln + ½ arc tan
2.
Jawab:
=
=
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 63
= ½ x2 - 5
= x2 – 5.
= ½ x2 -
= ½ x2 – ln (x2+1)5/2 + C
= ½ x2 – ln + C
3.
4. (fungsi rasional sejati)
Jawab
=
= dx
=
=
Didapat
p + r = 1, q + s = 1, 2p + r = 1, dan 2q + s = 2 atau p = 0, q = 1, r = 1, s = 0
sehingga dx =
= arc tan x + ½ ln (x + C
= arc tan x + ln + C
5.
Jawab
= dx
=
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 64
=
Diperoleh
p = 1, q = 0, p+r = 1, dan q+s = -1 atau p = 1, q = 0, r = 0, dan s = -1
sehingga
=
= ln
6.
Jawab
=
=
Catatan : diteruskan sendiri
2.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri
Fungsi F(x) = dan g(x) mememuat fungsi trigonometri dapat
juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak
sejati. Hal ini dikarenakan f(x) = sin x dan f(x) = cos x tidak mempunyai derajat seperti
halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan METODE
SUBSTITUSI.
Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya
memuat f(x) = sin x atau g(x) = cos x.
1. F(x) =
2. F(x) =
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 65
3. F(x) =
4. F(x) =
5. F(x) =
Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya
memuat fungsi trigonometri adalah:
1.
2.
3.
4. dx
5. dx
Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi
x = 2 arc tan z sehingga dx = .
Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z.
Karena x = 2 arc tan z maka:
Menurut rumus identitas fungsi trigonometri
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 66
1 + tan = sec
1 + z
Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain
sin
, sehingga didapat
sin
=
Dengan rumus jumlah cosinus didapat:
cos 2x = cos sin x
=
Dengan rumus jumlah sinus didapat:
sin 2x = 2 sin x cos x
sin x = 2 sin cos
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 67
= 2
=
Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat
diselesaikan dengan menggunakan substitusi
x = 2 arc tan z, sin x = , cos x =
Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
Tentukan selesaian dari
1.
Jawab
=
=
=
=
= ln + C
= ln
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 68
2.
Jawab =
=
=
=
= arc tan + C
= arc tan z + C
= arc tan (tan x/2) + C
3. =
Jawab
=
=
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 69
=
=
=
=
= 3 ln
= 3 ln
Soal-soal
Selidiki kebenaran hasil pengintegralan berikut ini!
1. = + C
2. = + C
3. = + C
4. = ln + C
5.
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 70
6.
7.
8.
9.
10. = ln
11. dx = -ln
Kalkulus Integral, oleh Dwi Purnomo- 71