c ovarian zab
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COVARIANZA
Anteriormente vimos que si teníamos una función q(x,y);por ejemplo:
En general la función puede ser q(x,y,z,….)
La incertidumbre es:
= + Entonces:
Vimos además que calculado de la maneraanterior puede ser una exageración ya que se esta
tomando el máximo error. Ya que podría haber una
cancelación parcial de los errores
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Cuando los errores son independientes dijimos que
También vimos que una buena medida de la incertidumbre
es la desviación estandar,
vimos que si las mediciones de x se distribuyen normalmente,podemos estar 68% seguro de que el valor medido se
encuentra dentro del valor verdadero.
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COVARIANZA
Supongamos que queremos hallar la función = (,)Realizamos N medidas obteniendo:
, ; , ;…….(,)
Hallamos también:
Hallamos:
Análogamente tenemos:
Asumimos que nuestras incertidumbres son pequeñas
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Aproximando:
Las derivadas parciales
Son evaluadas en:
Con esta aproximación la media se convierte
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Reemplazando en las ecuaciones anteriores se tiene
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La suma de los dos primeros términos es la que aparece en
la desviación estandar La covarianza de x e y es:
= ( − )( − )
Por lo tanto:
=
+
+
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Si las mediciones de x y y son independientes podemos
observar que después de muchas mediciones la
covarianza se va a aproximar a cero; ya que (−)puede ser + o – y después de muchas mediciones sellega a aun equilibrio. Además en el límite de muchas
mediciones (infinitas) 1/N garantiza que =0
Después de muchas mediciones finitas no seránecesariamente cero, pero es pequeña si los errores de xe y son independientes y aleatorios
=
+
=0
Resultado familiar para incertidumbres independientes y
aleatorias
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Si las mediciones de x e y no son independientes la
covarianza no necesariamente es cero. Ya que podría ser
que (−) y (−) ambos sean positivos o negativosentonces el producto es siempre positivo, o uno de ellos
positivo y el otro negativo por lo tanto el producto es
negativo
Ejercicio: Cinco estudiantes dan las medidas de dos ángulos . Hallar = +
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Hallamos:
Hallamos = + = + = + =La covarianza
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=
+
+
= =
+
+
Si hubiésemos considerado independientes las mediciones
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Usando:
= + + Se puede demostrar que:
Reemplazando en la ecuación anterior se tiene:
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Con este resultado establecemos el significado de nuestra
incertidumbre vista anteriormente
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEALLa noción de covarianza nos va a permitir responder si las
medidas de dos variables por ejemplo x, y se encuentran
relacionadas linealmente.
Si se hacen medidas de: , , , ……. ,
Si están relacionadas linealmente = +Hallamos A y B por mínimos cuadrados
Graficamos y vemos que tan alejados están los puntos
medidos con la recta obtenida analizando sus incertidumbres
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No siempre es fácil determinar
si la relación entre dos
variables es lineal, para eso
calculamos el coeficiente de
correlación lineal
Reemplazando las expresiones halladas anteriormente en la
ecuación de «r» tenemos
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De la relación de :
Se demuestra:
Asumiendo que todos los puntos , se encuentran sobrela recta y= A+Bx
Entonces tenemos:
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* Si r= 0 entonces x e y no están correlacionadas linealmente,
lo mismo si r es cercano a cero
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Ejemplos