Chương I

ĐỘNG HỌC CHẤT ĐiỂM

I. Những khái niệm mở đầu- Chuyển động của một vật là sư chuyển dời vị trícủa vật đó đối với các vật khác trong không gian vàtheo thời gian- Vật hay hệ vật được qui ước đứng yên khi khảo sátchuyển động của các vật khác gọi là hệ qui chiếu. Chuyển động có tính tương đối phụ thuộc HQC.- Chất điểm là một vật có kích thước nhỏ khôngđáng kể so với những khoảng cách, những kíchthước mà ta đang khảo sát- Một tập hợp chất điểm gọi là hệ chất điểm. Vậtrắn được xem là hệ chất điểm phân bố liên tục

II.Các phương pháp mô tả chuyển động. Quỹ đạoĐể xác định chuyển động của chất điểm, cần xác định vị trí của nó trong hệ quy chiếu đã chọn ở mọi thời điểm. Có 3 phương pháp để xác định vị trí của chất điểm

1.Phương pháp vectơ: Gọi O là điểm gắn cố định với hệ qui chiếu, vị trí của chất điểm M được xác định bởi bán kính vectơ

O

M

OMr

x

y

z

M

O

2. Phương pháp tọa độ: Gắn vào điểm gốc O của bán kính vectơ điểm gốc của một hệ trục tọa độ Descartes Oxyz với các véctơ

đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là thì:

x, y, z là hình chiếu của lên các trục Ox, Oy, Oz

Nên vị trí của M được xác định nhờ ba tọa độ x,y,z .

kji ,,kzjyixr

Phương trình quỹ đạoKhi chất điểm chuyển động, (t) cũng như các tọa độx,y, z của nó thay đổi theo thời gian t:

M

các phương trình này gọi là phương trình chuyểnđộng của chất điểm trong hệ tọa độ Descartes, khửtham số thời gian t ra khỏi các phương trình này tasẽ được phương trình quỹ đạo dưới dạng thôngthường, tức là dưới dạng hệ thức giữa các toa độ củachất điểm.

f (x, y, z) = 0

r

)()()(

thztgytfx

3. Phương pháp tự nhiên:Ta lấy trên quỹ đạo một điểm cố định O làm gốc và xem quỹ đạo như một trục tọa độ cong rồi quy ước cho nó một chiều dương giống như đối với trục tọa độ thông thường. Khi đó vị trí của điểm M trên quỹ đạo được xác định một cách duy nhất bởi tọa độ cong s bằng khoảng cách từ điểm O tới điểm M theo cung quỹ đạo và mang dấu tương ứng : s = f (t) (1)Phương trình (1) chính là phương trình biểu diển quy luật chuyển động của chất điểm M trên quỹ đạo

X

XO

Ms

III. Vectơ vận tốc1. Vectơ vận tốc trung bình

2. Vectơ vận tốc tức thời

Khi Δt 0 thì M’ trượt trên quỹ đạo tiến đến M và

tiến đến vị trí tiếp tuyến với quỹ đạo tại điểm M. Vậy của chất điểm tiếp tuyến với quỹ đạo và

hướng theo chiều chuyển động của chất điểm.

trvtb

dtrd

trv

t

lim0

rr’

M

M’

Độ lớn của vận tốc:

Nhưng khi Δt 0 thì (dây cung MM’) tiến tới quãng đường đi Δs (cung MM’) nên:

Trong hệ tọa độ Descartes( )r t xi y j zk

2 2 2; ; ;

x y z

x y z x y z

dr dx dy dzv i j k v i v j v kdt dt dt dtdx dy dzv v v v v v vdt dt dt

IV. Vectơ gia tốc1. Vectơ gia tốc trung bình

2. Vectơ gia tốc tức thời

Trong hệ tọa độ Descartes

tva tb

dtvd

tva

t

lim0

2 2 2

2 2 2

2 2 2

; ;

yx zx y z

yx zx y z

x y z

dvdv dvdva i j k a i a j a kdt dt dt dt

dvdv dvd x d y d za a adt dt dt dt dt dt

a a a a

3. Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến:Gia tốc đặc trưng cho sự thay đổi của vận tốc nên nó phải có một thành phần nằm trên phương của vận tốc, tức là trên phương tiếp tuyến với quỹ đạo của chất điểm, thành phần này có tác dụng thay đổi độ lớn của vận tốc. Thành phần thứ hai của gia tốc đặc trưng cho sự thay đổi phương của vận tốc chỉ có thể nằm trên phương vuông góc với vận tốc. Vậy :

có phương nằm trên tiếp tuyến với quỹ đạo nên gọi là gia tốc tiếp tuyến, có phương vuông góc với tiếp tuyến với quỹ đạo nên gọi là gia tốc pháp tuyến.Gọi là vecto đơn vị tiếp tuyến, có phương tiếp tuyến với quỹ đạo, cùng chiều với vận tốc và có độ lớn bằng đơn vị. Nên:

Hình a

2.

dv dv da vdt dt dt

d d ds dv v vdt ds dt ds

τ

dτ

τ’

dθ

τ

τ’R

ds

dθ

O

Q Q’

Xét trường hợp giới hạn khi điểm Q’ trượt trên quỹ đạo tiến đến điểm Q. Khi đó dây cung QQ’ tiến đến trùng với cung tròn QQ’ = ds của đường tròn mật tiếp với quỹ đạo chất điểm tại điểm Q. Gọi R là bán kính của vòng tròn mật tiếp. Từ hình a ta có:

dθ = ds/RMặt khác khi đó sẽ tiến tới vuông góc với tại Q. Gọi là vecto đơn vị vuông góc với tiếp tuyến của quỹ đạo tại Q hướng về tâm O của đường tròn mật tiếp nên:

Vậy:

1

d d n d n d n

d dn nd ds R

2

t ndv va n a adt R

22nt aaa

Từ

Như vậy nếu:

* Chất điểm chuyển động nhanh dần.

* Chất điểm chuyển động chậm dần.

* Chất điểm chuyển động tròn đều.

2 2( ) 2 2 .dvv v v vadt

0. av

0. av

0. av

v

ta

ana

v

ta

a

na

va

va

va

C Đ N D C Đ C D C Đ tròn đều

gọi là gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi độ lớn của vectơ vận tốc

* Có phương tiếp tuyến với quỹ đạo* Cùng chiều với nếu chuyển đông nhanh dần, ngược chiều với nếu chuyển động chậm dần

* Có giá trị (đạo hàm độ lớn của )

ta

dtdvat v

gọi là gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi phương của vectơ vận tốc* Có phương thẳng góc với tiếp tuyến quỹ đạo* Có chiều hướng về phía lõm của quỹ đạo*Độ lớn ,R là bán kính của đường tròn

tiếp xúc với quỹ đạo tại điểm xétđặc trưng cho sự thay đổi của gọi

là vectơ gia tốc toàn phần

na

2

nvaR

t na a a

v

V. Vận tốc góc, gia tốc góc.1. Vectơ vận tốc góc được định nghĩa:* Có phương nằm trên trục quay* Có chiều là chiều tiến của nút chai khi xoay nó theo chiều quay của chất điểm.* Có giá trị2. Vectơ gia tốc góc được định nghĩa:* Có phương nằm trên trục quay* Cùng chiều nếu chuyển động nhanh dần, ngược chiều nếu chuyển động chậm dần * Có giá trị

ddt

ddt

a

v

ω β

r

R

v

ω

βr

R

v

ω

R

r

VI. Liên hệ giữa vận tốc và gia tốc thẳng với vận tốc và gia tốc góc.

1.

2.

3.

v r v R

222

RR

RRvan

t ta r a R

VII. Phép biến đổi vận tốc và gia tốc.Xét hai hệ qui chiếu K và K’, K’ chuyển động tịnh tiến đối với K với vận tốc Theo phép cộng vectơ ta có:

ov

o

o

o

o

aaadtvd

dtvd

dtvda

vvvdtrd

dtrd

dtrdv

rrr

'

'

'

'

'

r’

ro

r

VIII. Một số dạng chuyển động cơ đặc biệt1.Chuyển động thẳng: Khi quỹ đạo là đường thẳng

an = 0 ==> a = at

a) Chuyển động thẳng đềuat = 0 ==> v = const

o

ts

os

svts

vdtds

vdtdsdtdsv

0

b) Chuyển động thẳng biến đổi đềua = at = const

oo

t

o

v

ov

vatvatvv

adtdv

dtdv = a = a t

oo

oo

t

oo

s

os

o

stvats

tvatss

dtvatds

vatdtds

2

2

21

21

Hệ thức cần nhớ

* Chú ý : Nếu chuyển động thay đổi đều nhưng quỹ đạo không phải là đường thẳng thì phải thay a bằng at

oo

s

os

v

ov

t

ssavv

adsvdv

dsdvv

dtds

dsdv

dtdvaa

222

2. Chuyển động tròn: Khi quỹ đạo là đường tròna) Chuyển động tròn đều: const

o

too

t

dtddtd

b) Chuyển động tròn thay đổi đều

Hệ thức cần nhớ:

const

0 0

2

( )

12

o

t

o

o ot

o o

o o

d d d td t

t t

d t d t d td t

t t

)(222oo

3. Chuyển động parabolKhảo sát chuyển động của một chất điểm xuất phát từ điểm O trong trọng trường với vận tốc ban đầu hợp với mặt phẳng nằm ngang góc α. Giả sử gia tốc trọng trường coi như không đổi.

Giảia) Quỹ đạoChọn mặt phẳng hình vẽ là mặt phẳng thẳng đứng chứa ; đó cũng là mặt phẳng chứa quỹ đạo của chất điểm,hai trục tọa độ là Ox nằm ngang, Oy thẳng đứng hướng lên.

ov

0o

v t

v

o

o

d vg a d v gdtdt

d v gdt

v v gt

v gt v

tvtgr

dtvtgrd

vtgdt

rd

o

to

r

o

2

00

21

Chiếu xuống hai trục Ox, Oy ta được:

Vậy quỹ đạo của chất điểm là parabol có bề lõm quay xuống

r

xtgxv

gy

tvgty

vxttvx

222

0

02

00

cos2

).sin(21

cos).cos(

b) Tầm xa LL = x khi y = 0

Vì t > 0 nên :

Vậy Lmax khi α = 450

01 sin 02

t gt v

2 20 0

2 sin

2 sin . cos sin 2

ovtg

v vLg g

c) Độ cao cực đại:Độ cao cực đại là đỉnh S của parabol. Tại đỉnh của parabol nằm ngang nên vy = 0

00

2

max

2 20

max

sinsin 0

sin sin1 sin .2

sin2

y

o oo

vv gt v tg

v vh g vg g

vhg

v

d) Bán kính cong

* Tại gốc:

* Tại đỉnh:

nn a

vRRva

22

20

0 ; .coscosnvv v a g R

g

2 20

0coscos ;x n

vv v v a g Rg

α

v

vo

O

g

g

x

y

L

hmax

an

at

IX. Đơn vị và thứ nguyên của các đại lượng vật lý1. Đơn vị vật lý: Muốn định nghĩa đơn vị của tất cả các đại lượng vật lý người ta chỉ cần chọn trước một số đơn vị gọi là đơn vị cơ bản , các đơn vị khác suy ra được từ các đơn vị cơ bản gọi là đơn vị dẫn xuất .Đơn vị cơ bản : Hệ SI- Độ dài mét (m)- Khối lượng kilogam (kg)- Thời gian giây (s)

2. Thứ nguyên: Thứ nguyên của một đại lượng là quy luật nêu lên sự phụ thuộc của đơn vị đo đại lượng đo vào các đơn vị cơ bản.Ví dụ: thể tích của hình hộp chữ nhật, hình trụ thẳng, hình cầu lần lượt là:

V = abc ; V = πR2h ; V = 4/3πR3

nếu không để ý đến các hệ số, ta thấy trong mọi trường hợp thể tích = độ dài x độ dài x độ dài , ta nói thứ nguyên của thể tích là (độ dài)3

ký hiệu:

3thetich do dai

• Để cho cách viết đơn giản kí hiệu:

Vậy

àido d L

thoi gian T

khoi luong M

1

2

vantoc LT

gia toc LT

Bài 1: Một chất điểm chuyển động trên mặt phẳng xOy với vận tốc . Lúc t = 0 chất điểm ở gốc tọa độ O.a) Tìm quỹ đạo của chất điểm.b) Bán kính cong của quỹ đạo tại thời điểm t = 1s

2v i x j

a) Ta có:

• Vậy quỹ đạo của chất điểm là đường parabol

0 0

0 02

2

2 2 2

2 2

4

x t

x

y t

y

dxv dx dt x tdt

dyv x t dy tdtdt

xy t

• b)

2 2 2

2

2 2 22

322 2

2 0 ; 2 22

4 4

21

41

2(1 ) 4 2

x x y y

y

x y

t

n t

n

v a v x t aa a

v v v t

dv tadt t

a a at

vR ta

• Bài 2: Hai hạt chuyển động trong trọng trường đều với gia tốc g. Ban đầu hai hạt ở cùng một điểm và có các vận tốc v01= 3m/s, v02 = 4m/s đều nằm ngang theo hai chiều ngược nhau. Xác định khoảng cách giữa hai hạt tại thời điểm các vectơ vận tốc của chúng vuông góc nhau

Ta có:

tvtgr

tvtgr

vtgv

vtgv

o

o

o

o

22

2

12

1

22

11

21

;21

;

O v10v20

r1r2

Khoảng cách giữa 2 hạt tại thời điểm t

Tại thời điểm 2 hạt vuông góc nhau

tvvrrd 020121

1 2 1 2

1 22 21 2

. 0 0

. 0

o o

o oo o

v v gt v gt v

v vg t v v t

g

mg

vvvvd o

oo 5,2)( 20121

Bài 3: Một bánh xe quay chậm dần đều, sau một phút vận tốc của nó giảm từ 300vòng/phút xuống 180vòng/phút. Tìm gia tốc góc của bánh xe và số vòng mà bánh xe đã quay được trong một phút ấy.

• a)

2

0

00

1560106

6100

;10300

srads

radphútvòng

srad

phútvòng

tt

Số vòng bánh xe quay được trong 1 phút)(480

60.1060152

121

2

02

rad

tt

)(2402

vòngN

Bài 4: Thả rơi tự do một vật từ độ cao 19,6m.Tìm:a) Quãng đường mà vật rơi được trong 0,1s đầu và 0,1s cuối của thời gian rơi.b) Thời gian cần thiết để vật đi hết 1m đầu và 1m cuối của độ cao h

Chọn gốc tọa độ là vị trí thả vật, gốc thời gian là lúc thả vật, chiều dương hướng xuống. Ta có

a) Quãng đường vật rơi được trong 0,1s đầu tiên là:Thời gian để vật rơi hết quãng đường h là:

Quãng đường vật rơi trong khoảng thời gian 0,1s cuối của thời gian rơi:

212

y gt

21

1 .9,8.0,1 0,0492

h m

sght 2

8,96,19.22

2 22

1 ( 0,1) 19, 6 4, 9.(1, 99) 1, 92

h h g t m

b) Thời gian vật rơi 1m đầu

Thời gian để vật rơi 18,6m

Thời gian để vật rơi 1m cuối:t = 2 - 1,95 = 0,05 s

2 2 0, 459,8

yt sg

2 2.18,6 1,959,8

yt sg

Bài 5: Một hạt rời gốc tọa độ với vận tốc đầu m/s và gia tốc

. Tìm vận tốc của hạt khi nó đạt tọa độ x lớn nhất.

3ov i

20,5 /a i j m s

• Ta có:

xmax khi :

0 0

0 (3 ) 0,5

v t

v

dva dv adtdt

v at v t i j

0 0 3

1,5

xdx v tdt

v j

• Bài 6: Một hòn đá được ném theo phương nằm ngang với vận tốc vo = 15m/s. Tính gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến sau lúc ném 1s.

Ta có:

2 2 20 0

22

2 2 20

2 2 2 2 2

5,36 /

8,20 /

t

n t t

v gt v v g t v

dv g ta m sdt g t v

a a a g a m s

vo

g

• Bài 7: Một chất điểm đang quay xung quanh một trục cố định với gia tốc góc β =bt, trong đó b =2.10-2

rad/s3. Hỏi trong khoảng thời gia bao lâu kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vectơ gia tốc toàn phần của chất điểm làm một góc θ0 = 600 với vectơ vận tốc của nó.

Ta có:

2

2

2

0 01

3 3

;

;

12

4 74

t n

n

tt

a R a Ratga

d bt d btdt btdt

bt tgtg t sb

O vat

an

a

• Bài 8: Một người đứng dưới đất thấy hạt mưa rơi thẳng đứng, với tốc độ 10m/s. Hỏi người lái xe trên đường ngang với tốc độ sẽ thấy hạt mưa rơi với tốc độ v, lệch khỏi phương thẳng đứng góc bằng bao nhiêu?

10 3 /m s

Gọi là vận tốc hạt mưa đối với đấtlà vận tốc của xe đối với đấtlà vận tốc hạt mưa đối với xe

Ta có:

1v

2v

12v

1 12 2

2 212 1 2

2

1

20 /

3 60o

v v v

v v v m svtgv

v2

v1v12

α

Một chiếc thuyền bơi từ bến A đến B ở cùng một bên bờ sông, với vận tốc so với nước là v1 = 3 km/h. Cùng lúc ấy một cano chạy từ bến B theo hướng đến bến A với vận tốc đối với nước là v2 = 10 km/h. Trong thời gian thuyền đi từ A đến B thì cano kịp đi được 4 lần khoảng cách đó và về đến B cùng lúc với thuyền. Xác định hướng và tốc độ của nước sông

Giả sử nước sông chảy từ A đến B và gọi khoảng cách AB là s, vận tốc của dòng nước là vo . Theo đầu bài ta có:

Loại nghiệm vo = -39,5km/h. Vậy vo = -0,5 km/h. Dấu trừ chứng tỏ dòng nước chảy từ B đến A.

1 2 2

2

2

40 20 039,5 / ;0,5 / ;

o o o

o o

o

o

s s sv v v v v v

v vv km hv km h