復習 開水路の流れの分類

急変流

Rapidly Varied Flowなし

非定常等流

Unsteady Uniform Flow

漸変流

Gradually Varied Flowあり

(定常)不等流Non-Uniform Flow

あり

非定常不等流

Unsteady Non-uniform Flow

あり

非定常流

Unsteady Flow

なし

（定常)等流Uniform Flow

なし

定常流Steady Flow

空間的変化時間的変化

αmF =F = 力, m = 質量, and α = 加速度.

( , ) ( , )Dv v x x t t v x tDt t

v v v vv x t v v t tx t x t

t tv vvt x

α + ∆ + ∆ −= =

∆∂ ∂ ∂ ∂

+ ∆ + ∆ − ∆ + ∆∂ ∂ ∂ ∂= =

∆ ∆∂ ∂

= +∂ ∂ 流体の加速度は だけじゃない。v

t∂∂

第５章 開水路の非定常流

基本に戻って・・・

長さ1

幅1

1 1V h hm hW gV gh

ρρ ρ

= × × =

=

= =

体積：

質量：

重量：

W

1F

2F

水塊に働く力 ( )1 wF ghI gh z hx

ρ ρ ∂= = − +

∂摩擦抵抗 2 1 1b bF τ τ= × × =

水深h

z

wI

1 2

( )

( )

F mF F m

z h v vgh h vx t x

v v z hv gt x x h

αα

ρ τ ρ

τρ

=− =

∂ + ∂ ∂⎛ ⎞− − = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∂ ∂ ∂ +

+ = − −∂ ∂ ∂

b fghIτ ρ=不等流と同様に

z ix

∂= −

∂河床勾配

hgi gx

∂−

∂

212

vx

∂∂

21 02 f

v v hi Ig t x g x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

重要開水路非定常流の運動方程式

21 02 f

v v hi Ig t x g x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2

02 f

h vi Ix x g

⎛ ⎞∂ ∂− + + + =⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠

時間変化無し、定常 0t

∂=

∂

非定常流の運動方程式

不等流の運動方程式（漸変流のベルヌイの式）

空間変化無し、 0x

∂=

∂

0fi I− + = fI i= 等流の条件

h

2

2vg

等流の式（マニングの式、ジェジーの式）

2/3 1/ 21.)eg v R in

→ =

21 02 f

v v hi Ig t x g x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2

2fvI

C R=Chezy公式では

2 2

43

fn vIR

=Manning公式では

2 2

2

1 02

v v h vig t x g x C R

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2 2 2

43

1 02

v v h n vig t x g x

R

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

非定常流れの連続の式

Q QQ xx

∂+ ∆

∂

x∆

AA A tt

∂→ + ∆

∂

Q AQ Q x t A t A xx t

⎧ ∂ ⎫ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + ∆ ∆ = + ∆ − ∆⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

0A Qt x

∂ ∂∴ + =

∂ ∂重要

0A Qt x

∂ ∂+ =

∂ ∂

一様幅の長方形断面では、 ,( ),

A Bh Q Av BhvA h Q BhvBt t x x

= = =∂ ∂ ∂ ∂

= =∂ ∂ ∂ ∂

より

( ) 0h BhvBt x

∂ ∂+ =

∂ ∂

x方向に幅が変化する場合の連続式

0Bx

∂≠

∂

0Bx

∂=

∂の場合は, ( ) 0h hv

t x∂ ∂

+ =∂ ∂

または

0h qt x

∂ ∂+ =

∂ ∂

0A Qt x

∂ ∂+ =

∂ ∂

定常状態 0t

∂=

∂0Q

x∂

=∂

Q =一定

Q Av=

2

4/3

0

| |

A Qt xu u H gn u uu gt x x h

∂ ∂+ =

∂ ∂∂ ∂ ∂

+ = − −∂ ∂ ∂

定常状態を考えると・・

2

4/3

| |u H gn u uu gx x h

∂ ∂= − −

∂ ∂

212

u uux x

∂ ∂=

∂ ∂

2 2 2

4/3 02

H u n ux x g h

⎛ ⎞∂ ∂+ + =⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠

2 2 2

2 2 4/3 02

H Q n Qx x A g A h

⎛ ⎞∂ ∂+ + =⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠

Non-uniform flow equation in open channel flow

(不等流の式)

constantQQ Au

==

0A Qt x

∂ ∂+ =

∂ ∂

非定常の連続式と運動方程式

2 2 2

43

1 02

v v h n vig t x g x

R

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

等流や不等流のときのように、このままの形でその特性を議論したり、解を求めたりするのは難しい

卒業研究や、大学院で。。

0A Qt x

∂ ∂+ =

∂ ∂

2 2 2

43

1 02

v v h n vig t x g x

R

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

ただし、ある条件の下ではその特性を調べることができる。

たとえば、

2 2 2

43

12

v v h n vig t x g x

R

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + = − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

1/1000i > 比較的急流な河川

0≈

等流の条件

2 /3 1/ 21v R in

=

擬似等流条件

連続の式だけを使って運動を表す

Kinamatic Wave 理論キネマティックウェーブ

等流の一般的表示は

( )Q Av Q A= =

v R R A∵ は の関数であり、 は の関数なので

( , )A A x t=

dA A dt A dxdt t dt x dt

∂ ∂= +

∂ ∂

( , ) dF F dx F dyF x ydt x dt y dt

∂ ∂= +

∂ ∂一般的に　 のとき　

dA A Acdt t x

∂ ∂= +

∂ ∂dxcdt

≡

0A Qt x

∂ ∂+ =

∂ ∂

一方 連続式

0A dQ At dA x

∂ ∂+ =

∂ ∂

比較すると・・・・・・・

速度そのもの

Kinematic Wave 理論

( )dQ d vA dA dv dvc v A v AdA dA dA dA dA

= = = + = +

0dAdt

=

dA A Acdt t x

∂ ∂= +

∂ ∂

0A dQ At dA x

∂ ∂+ =

∂ ∂

=

0

Av

dvdA

→

→

>

増加　

増加　

ゆえに 　　

v>

断面積が変化せずに下流に伝播する。（キネマティック型洪水波）

x

h:c 波の伝播速度

0A dQ At dA x

∂ ∂+ =

∂ ∂0A Ac

t x∂ ∂

+ =∂ ∂

Aが一定速度cで形を保ってx方向に移動する

,

1, , 0, 1

,

X T X Tx x X x T t t X t TX X T Tcx t x t

cx X t X T

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

= = − = =∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = − +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

, X x ct T t= − =

0A Act x

∂ ∂+ =

∂ ∂代入

0A A Ac cX T X

∂ ∂ ∂− + + =

∂ ∂ ∂0A

T∂

=∂

constantA =

という変数変換を行う

速度 で移動する座標に変換c

速度 で移動する座標上ではAは一定c

x

h:c 波の伝播速度

dvc v A vdA

= + > 波の伝播速度は流速より速い

Kleitz(1887), Seddon(1900)の式

2/3 1/ 2

1/3 1/ 2 2 /3 1/ 2

1

1

2 1 1 2 1 2 53 3 3 3

dv d dhc v A v Bh h idA dh n dA

dhA Bh dA BdhdA B

c v Bh h i v h i v v vn B n

−

⎛ ⎞= + = + ⎜ ⎟⎝ ⎠

= = =

= + = + = + =

広長方形断面・Manningの流速公式を用いると

広長方形断面・Chezyの流速公式を用いると

( )

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

1

1 1 1 1 32 2 2 2

dv d dhc v A v Bh C hidA dh dA

dhA Bh dA BdhdA B

c v Bh h Ci v Ch i v v vB

−

= + = +

= = =

= + = + = + =

v>

v>

大学院では、

多次元問題、水＋α（土砂、植物、動物、水質。。。）

卒論・大学院での研究の紹介

水工・水文学研究室

水の流れを調べる水工・水文学研究室

釧路湿原の保全

サロベツ湿原の環境

網状河川

世界の河川環境（メコン川）

洪水災害の防止

厚別川河口部の氾濫状況

厚別川赤無橋下流の氾濫状況

赤無橋

ミューグリッツ川(ドイツ)（2002年８月１３日）

ミューグリッツ川の出水8月13日午後，ミューグリッツ川（エルベの支川）沿川のベーゼンシュタイン村．普段はほんの小さな渓流に，上流の調整池が破堤防して250m3/sの流量が流れ5m以上の浸水があり，川沿いの多くの家屋が流出した．壁だけ残った１枚の壁の上で数人の家族が救援を待つ映像が報道され，衝撃的であったそうである．

HWHW--Situation an der Elbe bei DresSituation an der Elbe bei Dres

急流都市河川の環境

Flood of Aug. 5, 1981Flood of Aug. 5, 1981

Abashiri RiverL=115kmA=1,380km2

Area: 32.9km2

Max. Depth: 16.8m7km

Initial Condition

Two-dimensional plane 100 × 30 computational grids

non-slip condition for wallssec)/(000002.0sec),/(000001.0 22 mDDm yx ===ν

Experiment

t=0.0(sec)

t=2.1(sec)

t=4.1(sec)

t=6.1(sec)

t=12.2(sec)

t=25.1(sec)

Calculation

世界中の河川の研究をやってます。

2002年韓国・タイ・イタリア・ベルギー・オランダチェコ・ドイツ・カナダ・アメリカ

2003年韓国・スペイン・オランダ・ポーランドアメリカ・ドイツ・フィリピン

http://ws3-er.eng.hokudai.ac.jp/yasu

2004年スリランカ・タイ・アメリカ・オランダインドネシア・イタリア・韓国・沖縄