1

§C. 消費者の理論

§C.1. 消費選択における物理的・経済的制約

定義C.1 (消費集合 - consumption set）：物理的制約

X = Rm+

定義C.2 (消費計画/束/ベクトル - consumption plan / bundle / vector）

x = (x1, . . . , xm) 2 X

x1

x2

(x1, x2)

X

O

2

定義C.3 (予算集合 - budget set)：経済的制約

B(p, I) � {x ⇤ X|p · x ⇥ I}基本形：

O

x2

Ip2

x1Ip1

x'x

p1x1+p2x2=I

! p1 / p2

第1財1単位の機会費用＝第2財p1/p2単位

3

例1. 交換経済における予算集合

初期保有量：(�1,�2)(p1, p2)市場価格： (x1, x2)

交換消費：

O

x2

Ip2

x1Ip1

p1x1+p2x2 =

< p1 / p2

p1ω1+p2ω2 > I

(ω1,ω2 )

4

初期保有

時間：1

!

{財価格： p

w労働賃金：消費： x

`

労働：1� `

余暇：

財：

{

O

Iw

xIp

< p / w

w + px =w + pω> I

1

ω

例2. 交換経済における予算集合(余暇を含む場合)

5

例3. 通時的消費

O

x2

x1

x1+ x2 = ω1+ ω2 > I

1+r1

1+r1

<(1+r)

ω1+ ω2 1+r1

(1+r)ω1+ω2

(ω1,ω2 )

今期

来期 !2

!1

利子率

消費x1

x2

貯蓄/負債保有量

(1 + r)(�1 � x1) � x2 � �2

生涯所得の今期現在価値：

生涯所得の来期現在価値： 今期･来期消費の相対価格

6

補論：二項関係任意２点 に対して｢成立する｣｢成立しない｣かが確定する関係

(x, x0) 2 X

R

① 完備性 (completeness)： と　　 の少なくとも一方が成立x

0Rx

② 反射性 (re!ectivity)：

③ 非反射性 (irre!ectivity)： は成立しない

任意の　　　　　　について以下の性質を定義する。

xRx

0

xRx

x, x

0, x

00 2 X

xRx

④ 推移性 (transitivity)： xRx

0 & x

0Rx

00 � xRx

00

⑤ 対称性 (symmetry)：xRx

0 � x

0Rx

⑥ 非対称性 (asymmetry)：xRx

0 � x

0Rx は成立しない

7

§C.2. 選好関係

定義C.4 (選好関係 - preference relation)

(i) 弱い意味での選好 - weak preference

x % x

0 , は　　より好まれる／無差別x

0x

(ii) 強い意味での選好 - strong preference

x � x

0 , xは 　より好まれるx

0

(iii) 無差別 - indifference

x ⇠ x

0 , x と 　は無差別x

0

, x % x

0 & x

0 % x

8

定義C.5 (合理的選好 - rational preference)

(i) 完備性 - completeness

(ii) 推移性 - transitivity

※ 任意の有限個の選択肢の｢最善｣から｢最悪｣まで　　　　　　比較の経路に依存せずに順序づけられる。

⇢x % x

0

x

0 % x

x, x

0 2 X ) 少なくともいずれかが成立：

x, x

0, x

00 2 X, x % x

0 & x

0 % x

00 ) x % x

00

1 2 3 1 3 2

1

3

3

2

※ 経路依存性がある場合

：推移性は満たされない

9

定理C.1 (合理的選好の性質)

合理的選好 は以下の性質を満たす：

(i) の非反射性： は成立しない

推移性：� {

%

(ii) の⇠反射性：

推移性：{

x 2 X ) x � x

x 2 X ) x ⇠ x

(iii) x, y, z 2 X, x � y % z ) x � z

x, y, z 2 X, x � y & y � z ) x � z

x, y, z 2 X, x ⇠ y & y ⇠ z ) x ⇠ z

10

定義C.6 (消費量に関する選好)

(i) 単調性 - monotonicity： x > x

0 ) x � x

0

(i’ ) 強い単調性 - strong monotonicity：x � x

0 & x 6= x

0 ) x � x

0

x

x

0

x

x

0

※ 強い単調性 ⇒ 単調性

11

(ii) 局所費飽和性 - local nonsatiation：

8x 2 X, 8� > 0, 9x0 2 X s.t. x0 � x & kx, x0k �

x

x

0"

※ 全ての財が “bads”となることはない：選好が原点で飽和しない

kx, x0k ⌘⇥P

i(xi � x

0i)

2⇤1/2

消費集合：

定理C.2 (単調性と局所非飽和性)

単調性 ⇒ 局所非飽和性

e = (1, . . . , 1) 2 X

y = x+ �pme

kx, yk �x 2 X� > 0

�

X ⌘ Rm+

12

定義C.7 (無差別集合 - indifference set)

I(x) � {x0 ⇥ X : x0 s x}

U(x) � {x0 ⇥ X : x0 % x}

L(x) � {x0 ⇥ X : x % x

0}

無差別集合：

上方位集合：

下方位集合：

：x と少なくとも同程度好まれる消費ベクトル群

：x が少なくとも同程度好まれる消費ベクトル群

x1

x2

O

I(x)

L(x)

U(x)

x

13

定理C.3 (局所非飽和性と選好最大化)

(i) 無差別集合が“幅”を持たない

(ii) 選好最大化 ⇒ 予算制約の等号成立

x1

x2

O

I(x)x

ε近傍で改善可能だが予算制約外x

0

"

x1

x2

O

I(x)L(x)

U(x)

x

14

定理C.4 (単調性と無差別集合)

O

x2

x1

I(x)

消費財が 2 種類の場合・無差別曲線は右上がりにならない・交わらない

単調性 ⇒ 局所非飽和(定理C.3) ⇒ 無差別集合 → 無差別曲線

⇒ 無差別曲線：　　右下がりの曲線

x1

x2

O

I(x)

x

※ 局所非飽和のみなら可

I(x)x

}

15

定義C.8 (凸性)

(i) 凸　 ：(ii) 強凸：選好が }

x1

x2

O

I(x)x

x2

OI(x)

x

x

0

x

00

x

0

x

00

I(tx+ (1� t)x0)

�凸だが強凸でない 強凸

x1

(強凸 ⇒ 凸)

x % x

0

x % x

0

x % x

0

�) x

00 ⌘ tx+ (1� t)x0⇢

%�

�x(% x

0)

16

O

x2

x1

x

x'x''

!

"

# # O

x2

x

x'

x''

x'''

x1

凸選好のインプリケーション

限界代替率逓減の法則財バラエティ：多様性嗜好通時的消費：消費変動回避不確実性を伴う選択肢：リスク回避

財種類：

{

�x

t 1t=1

s.t. x 2 U(x) ! x

⇤ ⌘ limt!1

x

t 2 U(t)

�x

t 1t=1

s.t. x 2 L(x) ! x

⇤ ⌘ limt!1

x

t 2 L(t)

17

定義C.9 (連続性)

U(x)

L(x)I(x)

x

x2

x1O

8x 2 X が閉集合U(x), L(x)

t

t

(x)

(x)

18

連続性を満たさない選好：辞書的選好

X = R2+{

x � y ( x1 > y1 or x1 = y1 & x2 > y2

x

t = (1/t, 0)y

t = (0, 1)

�)

⇢x

t � y

t 8t < 1limt!1 y

t = (0, 1) � (0, 0) = limt!1 x

t

19

§C.3. 効用関数

% u : X ! R選好関係 効用関数x % x

0 ,

定義C.10 (効用関数)

定理C.5 (効用関数の存在)

選好の合理性＋連続性 ⇒ 連続な効用関数の存在

（通常の場合はさらに単調性が仮定される。）

選好順序の数量化→消費選択の比較の効率化

u(x) � u(x0)

※ MWG(命題3.C.1, p.47, 命題1B2, p.9, 参照)

20

O

x2

x1

x*

x'

xI(x)

I(x')

x*'u(x)

u(x')

45°

単調・連続な合理的選好の場合

※ uが効用関数 ⇒ uの単調変換：φ(u(x))も効用関数

x 2 X ⌘ R

m+• 　　　　　　+ 単調性

⇒ 各 ij 財間で右下がりの無差別曲線• 原点を通る直線：- 各無差別曲線と1度だけ交わる- 選好は連続に変化

21

定理C.5 (凸選好と効用関数)

連続性(強)凸性単調性

(強)準凹の増加関数

選好関係 効用関数

}x2

O

x

0 x

00

I(x00)I(x0)

u(x) = u(x0)

u(x) = u(x00)

u(x) = u(x000)

x

000

I(x000)

x1

>>

�

�

22

定義C.11 (限界効用 - marginal utility)

：第 i 財消費量の限界的増加 → 効用水準の上昇量(第 i 財の単位増加当たり)

�u(x)

�xi

定義C.12 (限界代替率)

�u(x)

�xidxi +

�u(x)

�xjdxj = 0, dxk = 0 8k 6= i, j

MRSij ⌘ �dxj

dxi=

�u(x)�xi

�u(x)�xj

x1

x2

O

x

u(x) = uMRSij

23

§C.4. 効用最大化問題

max

x2B(p,I)u(x)

ラグランジュ関数：L(x,�) = u(x) + � (I � p · x)

クーン・タッカー条件：

⇥

⇥xiu(x⇤) �⇤pi

x⇤i

⇥

⇥xiu(x⇤)� �⇤pi

�= 0

I � p · x⇤ ⇥ 0

�⇤ (I � p · x⇤) = 0

�⇤ � 0

}} 局所非飽和 ⇒ ⇢ I � p · x⇤ = 0

�⇤ > 0 ：所得の限界効用

24

内点解：

) MRSij(x⇤) =

pi

pjx

⇤i , x

⇤j > 0

x

⇤i > 0 )

i.e., 所得1単位の増加を全て財 i の購入に充てた場合の 効用水準の上昇量 = �⇤

⇥u(x⇤)/⇥xi

pi= �⇤

i.e., 所得1単位の増加をいずれの財の購入に充てるのも 等価（効用水準の上昇量 = 　 )�⇤

端点解： x⇤i = 0 ) ⇥u(x⇤)/⇥xi

pi �⇤

i.e., 所得1単位の増加を全て財 i の購入に充てた場合の 効用水準の上昇量 �⇤

25

u⇤

u

x1

x2

p · x = I

�u(x⇤)/�x1

�u(x⇤)/�x2=

p1p2

x

⇤

u(x)

u(x) = u

⇤

O

26

定義C.13 ((マーシャルの)需要関数)

x(p, I) ⌘ arg max

x2B(p,I)u(x)

定理C.8 (需要関数の性質)

選好：合理性・連続性・局所非飽和性 → 連続効用関数

(i) 0 次同次性：* B(p, I) = B(tp, tI) 8t > 0

x(p, I) = x(tp, tI) 8t > 0

(ii) 予算制約の等号成立： I � p · x(p, I) = 0 (∵局所非飽和)

(iii) 凸選好(準凹効用関数) ⇒ 　　　：凸集合 強凸選好(強準凹効用関数) ⇒ 　 ：単一要素

x(p, I)

x(p, I)

点対点関数点対集合関数{

27

：準凹関数u(·)x, x

0 2 x(p, I)x 6= x

0

x

00 ⌘ tx+ (1� t)x0, 8t 2 [0, 1]

u が準凹

p · x00 = p · [tx+ (1� t)x0] ⇥ I

) x

00 2 x(p, I)

(iii)

p · x � I, p · x0 � I

u が強準凹

u(x00) � u(x)u(x00) > u(x)

x, x

0 2 x(p, I) に矛盾

) x = x

0(= x

00)

x

00 2 x(p, I) )

28

※ 価格効果の対称性は一般的には成立しない：

所得制約

予算集合(購買力)の変化

価格変化

所得効果：財により異なる(非対称性)

cf. 要素需要関数の場合の産出量効果

29

定理C.9 (間接効用関数の性質)

(i) 0 次同次性：

需要の0次同次性

v(p, I) ⌘ u(x(p, I)) = u(x(tp, tI)) ⌘ v(tp, tI)

⇒

(ii) 価格に関する非増加性：

v(p, I) = v(tp, tI) 8t > 0

I > I 0 ) v(p, I) > v(p, I 0)(iii) 所得に関する増加性：

* p � p0 ) B(p, I) ✓ B(p0, I)

局所非飽和性： p · x = I, p

0 · x0 = I

0

* I > I 0 ) B(p, I 0) ⇢ B(p, I)

p � p0 ) v(p, I) v(p0, I)

30

v(p, I) v⇤

v(p0, I 0) v⇤

(p00, I 00) ⌘ (�p+ (1� �)p0,�I + (1� �)I 0) , � 2 [0, 1]

p00 · x ⇥ I 00 ⇤ �p · x+ (1� �)p0 · x ⇥ �I + (1� �)I 0

準凸性 ⇒

} ) v(p00, I 00) v⇤

(iv) (p, I)の準凸関数

(1)� = 1 : p · x � I ⇥ u(x) < v(p, I) � v⇤

(2)� = 0 : p0 · x � I 0 ⇥ u(x) < v(p0, I 0) � v⇤

8x 2 X s.t.

31

(v) (p, I)について連続

補論：最大値定理 (ノヴシェク, 1996, p.67)

v(p, I) � max{u(x)|x ⇥ B(p, I)}, (p, I) > 0

B : Rm+1++ 7! X

u : X 7! R

：有界・閉・連続写像：連続関数

⇒ (1) 最大値関数：

が定義でき、(p, I)の連続関数である。

⇒ (2) 解集合：

は (p, I) の(非φ)有界・閉・上半連続写像である。

x : Rm+1++ 7! X

x(p, I) � {x0 ⇥ B(p, I)|u(x0) = v(p, I)}

{

32

需要対応の上半連続性：　　価格の小さな変化に対して需要関数は「急激に拡大しない」

の δ 近傍：

U(p, �) � {q ⇥ Rm++|⇤p, q⇤ < �}

② 点の近傍

·p⇤ 2 Rm++

p⇤

p1

p2

�

O

① 点間の距離ユークリッド距離： kx, yk ⌘

pPi(xi � yi)2

は閉写像 - closed mapping -であるという:x : (Rm++, R+) 7! X

limt!1(pt, It) = (p⇤, I⇤)limt!1 z

t = z

⇤

z

t 2 x(pt, It)

9=

; ) z

⇤ 2 x(p⇤, I⇤)

33

X のε近傍：

U(X, �) = {z ⇥ X|⇤z,X⇤ < �} � XX

"·④ 集合の近傍

点 と集合 X の距離：z 2 X

xz

Xkz,Xk

(X ⇢ X)

③ 点・集合間の距離

kz,Xk ⌘ infx2X

kz, xk

34

⑤ の における上半連続性

　　の任意のε近傍 に対して

9� > 0 s.t. 8p 2 U(p⇤, �), x(p, I) ⇢ U(x(p⇤, I), ⇥)

x(p⇤, I) U(x(p⇤, I), �)

p

x

O p

x

O

U(x(p⇤, I), �)

p0··p⇤U(p⇤, �)

x(p⇤, I) x(p⇤, I)

U(x(p⇤, I), �)

x(p, I) p = p⇤

p⇤·

35

p

x

O

x(p⇤, I)

p⇤·

x が閉写像だが上半連続でない場合：

p

x

O p⇤

U(x(p⇤, I), �)

x(p, I)

⇢⇢6✓

�U(x(p⇤, I), �) 8

⇢p < p⇤

p > p⇤

急激な拡張

U(x(p⇤, I), �)

36

定義C.14 (間接効用関数 - indirect utility function)

v(p, I) ⌘ u(x(p, I))

定義C.15 (価格の限界効用 - marginal utility of price)

MUpi(p, I) ⌘�v(p, I)

pi 0

定義C.16 (所得の限界効用 - marginal utility of price)

MUI(p, I) ⌘�v(p, I)

�I> 0

定義C.17 (間接無差別曲線 - indirect indifference curve)

{(p, I) : p, I > 0 s.t. v(p, I) = v⇤}

補足： の点 における下半連続性：

37

なる任意の開集合Vに対して

p

x

O p⇤

「急激に縮小しない」

V

x(p, I) p⇤

V \ x(p⇤, I) 6= ?

9� > 0 s.t. x(p, I) \ V 6= ? 8p 2 U(p⇤, �)

38

p

x

O p

x

Op0··p⇤U(p⇤, �)p⇤·

V

V

· ·

p0

x(p0, I) 62 V x(p0, I) 62 V

P.36の需要関数は　　において下半連続ではない。p⇤

急激に縮小 急激に縮小

定義（対応の連続性）需要関数 が において上半連続かつ下半連続ならば、 において連続である。

x(p, I) (p⇤, I⇤)

(p⇤, I⇤)