c 01 sist numeratie 18pg

8/16/2019 C 01 Sist Numeratie 18pg

1/18


2/18

Nicolae URSU-FISCHER Mihai URSUSisteme de numeratie si modalitati de inregistrare a datelor

8

Figura 1.1

În Grecia antic ă cifrele erau notate cu literele alfabetului grec, c ă rora li seasociau valori numerice, indiferent de pozi ţ ia lor în cadrul num ă rului, utilizându-se deci tot un sistem nepozi ţional.

Evident, cel mai cunoscut sistem de numera ţ ie nepozi ţ ional este celutilizat de romani, care folosea doar şapte simboluri (cifre) cu urm ă toarelevalori:

I V X L C D M1 5 10 50 100 500 1000

Anul 2012 se scrie sub forma MMXII , cifra I având valoarea 1 indiferentcă e pe pozi ţ ia ultimă sau penultim ă , acela ş i lucru fiind valabil ş i în cazul cifrei M,ambele cifre având aceea ş i valoare de 1000, valoarea respectivului num ă rrezultând ca urmare a adun ă rii: 1000+1000+10+1+1 (=2012).

Este utilizat ş i ast ă zi, dar numai în anumite situa ţ ii: în denumiri demaniferst ă ri ş tiinţ ifice, aniversă ri, a claselor în liceu, de exemplu: “Proceedingsof the IX -th Conference on Mechanical Vibrations”, clasa a XII -a.

Sunt utilizate unele conven ţii în scrierea numerelor “romane”: în cazulscrierii unei cifre cu valoare mai mic ă în faţa unei cifre cu valoare mai mare,


3/18

Cap. I - Sisteme de numeratie

9

prima va fi considerat ă cu semnul minus, de asemenea cifrele numite auxiliare (V, L ş i D) nu se scriu înaintea celorlalte cifre. De exemplu IX are valoarea -

1+10=9 iar anul 1950 se va scrie sub forma MCML (1000-100+1000+50) ş i nuMLM .Acest tip de sisteme de numera ţ ie, nepozi ţ ionale, se mai numesc ş i

aditive .Este evident faptul c ă efectuarea opera ţiilor aritmetice cu numere astfel

scrise era foarte complicat ă , de asemenea numerele cu valori mari necesitauscrierea unui num ă r cu foarte multe de cifre.

În afar ă de acest mod de reprezentare a numerelor, cu inconvenienteleară tate, s-a imaginat ş i un alt fel de scriere, conform c ă ruia valoarea acestorarezultă de asemenea prin adunarea valorilor asociate cifrelor componente, darvaloarea asociat ă unei cifre depinde de pozi ţ ia sa în cadrul num ă rului, astfelvaloarea unui num ă r întreg scris cu n cifre se calculeaz ă în felul urmă tor:

012

22n

2n1n

1n0122n1n aBaBa..BaBaaaa...aa +++++=

−

−

−

−−−

unde B este baza sistemului de numera ţ ie.

Sistemele de scriere a numerelor care respect ă aceast ă regulă se numescsisteme pozi ţ ionale .

Fă când o incursiune în istorie putem aminti sistemul de numera ţ ie utilizatde babilonieni , ap ă rut cu 1900 ~ 1800 ani î. Ch, care au folosit ca baz ă denumera ţ ie B=60 , motivele alegerii acestei valori fiind neclare. Civiliza ţiababiloniană a ap ă rut dup ă cea sumerian ă ş i akkadian ă , care folosea sisteme denumera ţ ie nepozi ţionale. Cele 59 de simboluri (cifre) sunt prezentate în figura1.2.

Figura 1.2


4/18


10

De notat c ă cea de-a 60-a cifr ă , care era zero, nu se scria, pe loculacesteia l ă sându-se un spa ţ iu liber.

Numă rul urmă tor, format din cele trei cifre cu valorile 35, 16 ş i 26 vaavea urm ă toarea valoare:

= 35 ∏602 + 16 ∏60 + 26 = 126986 (10)(cifra 35) (cifra 16) (cifra 26)

Un alt sistem de numera ţie poziţ ional a fost utilizat de maya ş i (AmericaCentrală ) din secolele III ~ IV, cifrele c ă ruia, în num ă r de 20, fiind prezentate înfigura 1.3

.Figura 1.3

De remarcat este faptul c ă în cazul acestui sistem de numera ţ ie cu bazaB=20 exista ş i cifra 0.

Administraţ ia imperiului inca ş , cucerit de spanioli în 1532, utiliza unsistem pozi ţ ional zecimal , cu o înregistrare destul de curioas ă a numerelor: peun fir care atârna vertical se f ă ceau grupe de noduri. Astfel, pentru a “înregistra”numă rul 253 se f ă ceau trei grupe de noduri, dou ă noduri pentru a marcanumă rul sutelor, cinci noduri pentru a marca num ă rul zecilor respectiv trei noduripentru unit ăţ i. Un astfel de fir se numea “quipu”. Pentru a identifica “tipulinformaţiei” înregistrate (num ă r de vaci, oi, etc) firele erau vopsite în diferiteculori. De re ţ inut că era folosit sistemul de numera ţie în baza 10 .

Sistemul de numera ţ ie poziţ ional cu baza B=10 este cel folosit inprezent, fiind impropriu numit sistem “arab” de scriere a numerelor.

În realitate acest sistem de numera ţ ie cu baza 10 era utilizat de indieni începând din secolele IV~V. Cel mai vechi document indian în care se g ă seş te unnumă r scris în sistemul de numera ţie poziţional cu baza 10 dateaz ă din anul 594.

Modul de scriere al cifrelor a evoluat pe parcursul secolelor, astfel c ă la început se foloseau a şa numitele cifre “Brahmi” (se presupune c ă acestea dataudintr-o perioad ă mult anterioar ă ), iar în secolele X-XI cifrele “Nagari”,reprezentate în figura 1.4.

Figura 1.4


5/18


11

Se presupune c ă în aproximativ secolele VI-VII matematicienii arabi auluat la cuno ş tinţă de modul de scriere al numerelor folosit de indieni. O carte

scrisă de matematicianul Al-Khwarizmi (780?-850?) în arab ă , a fost tradus ă înlatină sub titlul: “ Algoritmi de numero Indorum ” ş i trateaz ă despre sistemul denumera ţ ie poziţ ional zecimal, utilizat de indieni.

Matematicianul arab Al-Biruni a vizitat India în jurul anului 1000 ş i acunoscut de asemenea modul de scriere indian al numerelor.

Au existat mai multe variante de scriere a cifrelor existente în lucr ă riapă rute în 969 (Al-Sizji), 1082 (o copie a c ă rţii lui Al Biruni)ş i altele.

Figura 1.5. Forma de scriere a cifrelor într-o lucrare a lui Al-Sizji (969)

Figura 1.6. Forma de scriere a cifrelor într-o lucrare a lui al-Biruni(copiată în 1082)

Figura 1.7. Forma de scriere a cifrelor din lucr ă rile luial-Banna al-Marrakushi (1256-1321)

Sistemul de numera ţ ie, cu baza 10 ş i pozi ţ ional a fost cunoscut înEuropa după apari ţ ia în 1202 , la Pisa, a că rţ ii “Liber abaci” a lui Fibonacci ,(Leonardo Pisano Bigollo – c. 1170- c. 1250) fiind folosit efectiv începând dinsecolele XIV-XV.

Notarea celor 10 cifre ale sistemului zecimal difer ă de la ţară la ţară . Înfigura 1.8 se prezint ă aceste nota ţ ii, în modul cum se folosesc efectiv în scriereacurent ă [B12].


6/18


12

0 ½ 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Figura 1.8

În afar ă de sistemul pozi ţ ional cu baza 10, folosit curent în calcule,teoretic s-ar putea folosi sisteme de numera ţ ie în orice baz ă .

Astfel, valoarea unui num ă r scris în baza 7 (se vor putea utiliza cifrele 0,1, 2, 3, 4, 5 ş i 6), se calculeaz ă în felul urmă tor:

2335 (7) = 2 ∏73 + 3 ∏72 + 3 ∏7 + 5 = 859 (10)

În cazul când num ă rul are ş i o parte subunitar ă , în partea întreag ă avândn cifre iar în partea subunitar ă m cifre, se va utiliza formula

mm

22

11

012n

2n1n

1nm210122n1n

Ba...BaBaaBa..BaBaa..aaaaa..aa

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−−−−−−

++++

+++++=⋅

(1.1)Valoarea în zecimal a urm ă torului numă r, scris în baza 5, va fi

43211 .243 (5) = 4 ∏54 + 3 ∏53 + 2 ∏52 + 1 ∏5 + 1 ++ 2 ∏5-1 + 4 ∏5-2 + 3 ∏5-3 = 2781 .6(10)


7/18


13

1.2

Sistemele de numera ţ ie cu bazele 2, 8, 10ş i 16. Trecerea dintr-o baz ă în alta

Sistemele de numera ţie înafară de cel zecimal, care au importan ţă dinpunct de vedere al înregistr ă rii datelor în memoria calculatoarelor, sunt celebinar ( B=2 , cifrele fiind 0 ş i 1), octal ( B=8 , cifrele fiind 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ş i 7)ş i hexazecimal (B=16 ). În cazul sistemului hexazecimal se folosesc cele 10cifre zecimale la care se mai adaug ă încă şase cifre, notate cu A (10), B (11), C(12), D (13), E (14) ş i F (15).

Matematicianul german Gottfried Wilhelm von LEIBNIZ (1646-1716) astudiat sistemul binar de numera ţie, în manuscrisele sale g ăsindu-se algoritmiipentru trecerea de la numere scrise în sistemul de numera ţie zecimal la cel binar,aceste cercet ări, realizate în jurul anului 1697, fiind publicate în 1701 în lucrarea

“Essay d'une nouvelle science des nombres “ trimisă Academiei de Ş tiinţe dinParis.

Figura 1.9

Într-o scrisoare din anul 1697, adresat ă ducelul Rudolf August deWolfenbüttel, Leibniz îi prezintă acestuia desenul unui medalion omagial, pe unadin feţe având reprezent ă ri ale numerelor scrise în binar (figura 1.9).

În figura 1.10 se prezint ă un fragment dintr-un manuscris al lui Leibniz,din anul 1697, în care se fac calcule cu numere binare.

Cercetă ri recente au ar ă tat c ă matematicianul ş i astronomul englez

Thomas Harriot (1560-1621) a utilizat sistemul binar de numera ţie f ă când chiar


8/18


14

ş i calcule (adun ă ri, scă deri, înmul ţ iri) cu astfel de numere. Aceste informa ţ ii aurezultat în urma studierii unor manuscrise nepublicate ale acestuia.

Figura 1.10

Utilizând formula (1.1) se poate determina valoarea în zecimal a oric ă ruinumă r scris în unul din aceste sisteme, în continuare fiind date trei exemple deastfel de calcule:

11010110 .001101 (2) = 1 ∏27+1 ∏26+0 ∏25+1 ∏24+0 ∏23+1 ∏22+1 ∏21+0++0 ∏2-1+0 ∏2-2+1 ∏2-3+1 ∏2-4+0 ∏2-5+1 ∏2-6

=128+64+16+4+2+0 .125+0 .0625+0 .015625==214 .203125 (10)

346.21(8) = 3 ∏82 + 4 ∏8 + 6 + 2 ∏8-1 + 1 ∏8-2 == 192+32+6+0 .25+0 .015625 = 230 .265625 (10)

2A0C.B(16) = 2 ∏163 + 10 ∏162 + 0 ∏16 + 12 + 11 ∏16-1 == 8192+2560+12+0 .6875 = 10764 .6875 (10)

În cazul în care un num ă r este scris în unul din cele trei sisteme – binar,octal sau hexazecimal – se poate cu u şurinţă determina forma sa de scriere încelelalte dou ă sisteme de numera ţie.

Se observ ă că un num ă r scris în sistemul de numera ţ ie binar se poatescrie sub forma:

…+b8∏28+b 7∏27+b 6∏26+b 5∏25+b 4∏24+b 3∏23+b 2∏22+b 1∏2+b 0+ … == …+ (b8∏22+b 7∏2+b 6)82 + (b 5∏22+b 4∏2+b 3)8 + (b 2∏22+b 1∏2+b 0) + …


9/18


15

ceea ce înseamn ă că obţ inerea cifrelor octale rezult ă în urma calcul ă rii valorilornumerelor binare formate din grupe de câte trei cifre, în stânga ş i în dreapta

punctului care desparte partea întreag ă de cea subunitar ă .O observa ţie asem ă nă toare se poate face ş i în cazul în care se formeaz ă grupe de câte patru cifre binare

…+b8∏28+b 7∏27+b 6∏26+b 5∏25+b 4∏24+b 3∏23+b 2∏22+b 1∏2+b 0+ … == …+b8)162 + (b 7∏23+b 6∏22+b 5∏2+b 4)16 + (b 3∏23+b 2∏22+b 1∏2+b 0) + (…

rezultând c ă num ă rul hexazecimal are cifre ale c ă ror valori sunt egale cu valorilenumerelor binare cu patru cifre din paranteze.

În tabelul 1.1 sunt date numerele binare ale c ă ror valori sunt egale cuvalorile cifrelor octale, respectiv hexazecimale.

Utilizând informaţ iile din acest tabel se poate trece de la scriereanumerelor în binar la cea în octal (sau hexazecimal) prin gruparea a câte trei(patru) cifre binare, începând de la punctul care desparte partea întreag ă de cea

fracţ ionară ş i scrierea pe locul grupelor astfel formate a cifrelor octale(hexazecimale) cu valori egale cu a numerelor binare cu trei (patru) cifre.Tabelul 1.1

Cifre ş iscriere

înzecimal

Cifrebinare

Cifre ş iscriere

în octal

Scrierea în binar a

cifreloroctale

Cifre hexa-zecimale

Scrierea în binar a cifrelor

hexazecimale

0 0 0 000 0 0000 1 1 1 001 1 0001 2 2 010 2 0010 3 3 011 3 0011 4 4 100 4 0100 5 5 101 5 0101 6 6 110 6 0110 7 7 111 7 0111 8 10 8 10009 11 9 100110 12 A 101011 13 B 101112 14 C 110013 15 D 110114 16 E 111015 17 F 1111


10/18


16

{ { { { {

51623101001.110010011 321321321321

436D01000011.01101101

011 010 110 . 001 101 (2) = 3 2 6 . 1 5 (8) = 214 .203125 (10)

1101 0110 . 0011 0100 (2) = D 6 . 3 4 (16) = 214 .203125 (10)

Pentru a scrie un num ă r octal în binar, fiecare cifr ă octală se va înlocui cuun num ă r binar format din trei cifre, conform tabelului. În cazul num ă rului346.21(8) se va ob ţ ine:

346 .21(8) = 011 100 110 . 010 001 (2) = 11100110 .01001 (2) == 230 .265625 (10)

Calcule similare se fac ş i în cazul trecerii de la numere scrise înhexazecimal la numere scrise în binar, diferen ţa constând în faptul c ă cifrelehexazecimale se înlocuiesc cu numere binare scrise cu câte patru cifre, ca încadrul exemplului urm ă tor:

2A0C.B(16) = 0010 1010 0000 1100 . 1011 (2) == 10101000001100 .1011 (2)= 10764 .6875 (10)

Având în vedere cele anterior prezentate se poate face trecerea de lascrierea numerelor din baza 8 în baza 16 ş i reciproc.

Astfel, dacă se consider ă numă rul octal 54026 .234 (8) atunci se vaproceda în felul urm ă tor

54026 .234 (8) = 5 4 0 2 6 . 2 3 4 (8) == 101 100 000 010 110 . 010 011 100 (2) == 0101 1000 0001 0110 . 0100 1110 0000 (2) == 5 8 1 6 . 4 E 0 (16) =

= 5816 .4E(16) În mod similar se procedeaz ă pentru a trece de la scrierea unui num ă r

din baza 16 în baza 8:

F157.23 (16) = F 1 5 7 . 2 3 (16) == 1111 0001 0101 0111 . 0010 0011 (2) == 001 111 000 101 010 111 . 001 000 110 (2) == 1 7 0 5 2 7 . 1 0 6 (8) == 170527.106 (8)


11/18


17

În cazul numerelor întregi, dac ă se pune problema realiz ă rii conversieinumerelor scrise în una din bazele 2, 8, 10 sau 16 într-o alt ă bază , tot 2, 8, 10

sau 16, se poate folosi utilitarulCalculator

al sistemului de operare Windows.Se introduce un num ă r zecimal, de exemplu 581 (fig. 1.11), iar apoi secomută radiobutton-ul de pe Dec pe Bin , ob ţ inându-se reprezentarea în binar(fig. 1.12).

Figura 1.11

Figura 1.12 Reprezentarea binar ă a num ă rului 581

Figura 1.13 Reprezentarea octal ă a num ă rului 581


12/18


18

Figura 1.14 Reprezentarea hexazecimal ă a num ă rului 581

Dacă comutarea se face pe Oct (figura 1.13) se va ob ţ ine reprezentarea în octal, iar dac ă comut ă m pe Hex (figura 1.14) atunci va rezulta scriereanumă rului în baza 16

581(10) = 1001000101 (2) = 1105 (8) = 245 (16)

Datorită faptului că în cazul limbajului de programare C este posibil ă afişarea unui num ă r întreg zecimal atât sub form ă octală cât ş i hexazecimal ă ,utilizând urmă torul program,

#include #include

int main(){ int x=581;

printf("\n\n x = %5d(10)= %8o(8)= %4X(16)",x,x,x);printf("\n\n-x = %5d(10)= %8o(8)= %4X(16)",-x,-x,-x);getch(); return 0; }

se va ob ţ ine:x = 581(10) = 1105(8) = 245(16)y = -581(10) = 176673(8) = FDBB(16)

Dacă rezultatele ob ţ inute pe prima linie afi şată sunt imediat verificabilenumeric, pe a doua linie apar rezultate care vor fi justificate mai târziu, fiindvorba de modul cum sunt reprezentate intern numerele întregi negative.

În cazul în care se cunoa ş te un num ă r întreg scris în baza 10 ş i trebuiedeterminat echivalentul s ă u în binar se poate face acest lucru ş i manual,

împă rţ ind în mod repetat cu 2 num ă rul ş i apoi câturile ob ţ inute, cifrele num ă ruluibinar vor fi formate din ultimul cât, urmând resturile ob ţ inute (0 sau 1) luate înordine invers ă .

În cazul num ă rului zecimal 581 aceste calcule sunt prezentate încontinuare:


13/18


19

mod(581, 2) = 1 [581/2] = 290mod(290, 2) = 0 Æ [290/2] = 145mod(145, 2) = 1 Æ [145/2] = 72mod( 72, 2) = 0 Æ [ 72/2] = 36mod( 36, 2) = 0 Æ [ 36/2] = 18mod( 18, 2) = 0 Æ [ 18/2] = 9mod( 9, 2) = 1 Æ [ 9/2] = 4mod( 4, 2) = 0 Æ [ 4/2] = 2mod( 2, 2) = 0 Æ [ 2/2] = 1

≠ Ordinea în care se ob ţin cifrele numă rului binar este de la cele mai pu ţ in

semnificative la cele mai semnificative, deci num ă rul binar va fi

1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 (2)În cazul când num ă rul zecimal este subunitar se folose ş te urm ă toarea

metod ă : se înmul ţeş te în mod repetat partea subunitar ă (iniţ ială precum ş i celecare se ob ţ in ulterior) re ţ inându-se la fiecare etap ă cifra care se ob ţ ine în partea

întreag ă .În continuare se fac aceste opera ţ ii pentru determinarea numerelor

binare ce corespund numerelor zecimale subunitare 0 .375 (10) ş i 0.2(10) ,

Tabelul 1.20 375 (x2)0 75 (x2)

1 5 (x2)1 0 (x2)0 0 (x2)0 0 (x2)… …… …… …… …

Tabelul 1.30 2 (x 2) 0 4 (x 2)0 8 (x 2)1 6 (x 2)1 2 (x 2)0 4 (x 2)0 8 (x 2)1 6 (x 2)1 2 (x 2)0 4 (x 2)0 8 (x 2)1 6 (x 2)1 2 (x 2)0 4 (x 2)

…


14/18


20

în cazul primului numă r obţ inându-se

0.375 (10) = 0.011 (2) , în partea subunitar ă a num ă rului binar rezultând trei cifre binare (un num ă r finit)iar în al doilea caz a rezultat

0.2 (10) = 0.00110011001100110… (2)

deci un num ă r infinit de cifre, grupul 0011 repetându-se.Acest fapt – ob ţ inerea unui num ă r infinit de cifre binare când se face

conversia unor numere zecimale subunitare - va avea repercursiuni asuprapreciziei calculelor efectuate cu calculatoarele electronice.

Trecerea de la scrierea numerelor subunitare în baza B=2 la scrierea încelelalte baze, B=8 ş i B=16, se va face cu metoda prezentat ă , a grup ă rii cifrelorbinare câte trei sau câte patru ş i înlocuirea grupelor cu cifre octale respectivhexazecimale, ob ţ inându-se:

0.375 (10) = 0 .011 (2) = 0 .3(8) ; 0 .375 (10) = 0 .011 (2) = 0 .0110 (2) = 0 .6(16)

0.2(10) = 0 . 00110011001100110… (2) = = 0 . 001 100 110 011 001 100 110 011 001.. (2)

= 0 . 1 4 6 3 1 4 6 3 1 … (8) == 0.146314631.. (8)

0.2(10) = 0 . 00110011001100110… (2) == 0 . 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 .. (2)= 0. 3 3 3 3 3 3 3… (16)

= 0.3333333.. (16)

OBSERVA ŢIE . Din cele anterior prezentate a rezultat c ă pentru a ajungela reprezentarea binar ă a unui num ă r întreg este necesar s ă se efectueze în modrepetat împ ă rţiri cu 2, la început a num ă rului iar apoi a câturilor ob ţinute, iarpentru a ob ţ ine reprezentarea în binar a p ă rţ ii subunitare se vor efectua în modrepetat înmul ţ iri cu 2, la început a p ă rţ ii subunitare iar apoi a p ă rţ ilor subunitareale numerelor reale ob ţ inute.

Calcule care sunt asem ănă toare cu cele efectuate pentru a face acesteconversii de la zecimal la binar se efectueaz ă ş i în cazul rezolvă rii unei alteprobleme, legate de o variant ă de calcul a produsului a dou ă numere întregi,numită metoda “ à la russe ”.

Pentru a în ţelege aceast ă metod ă trebuie s ă se urm ă reasc ă modul cumse scrie produsul dintre dou ă numere, în primul exemplu 31 ş i 47 (31x47=1457),iar în al doilea 38 ş i 47 (38x47=1786), calculele fiind prezentate în tabelele 1.4 ş i1.5.


15/18


21

În cazul calculelor prezentate în cele dou ă tabele produsele dintre celedouă numere au fost scrise sub forma unei sume de termeni, în care poate

apă rea factorul însu ş i ş i multipli cu 2 ai acestuia.Faptul că în respectiva sum ă apare un anumit termen sau nu, depinde deimparitatea sau paritatea câtului ob ţ inut prin împ ă rţirea cu 2 a primului factorsau a câturilor ob ţinute anterior.

Tabelul 1.4

31x47 ={ 30x47 } +47=={ 15x2x47 } +47=={ 15x94 } +47=={[ 14x94 ] +94 } +47=={[ 7x2x94 ] +94 } +47=={[ 7x188 ] +94 } +47=={[ 6x188 +188 ] +94 } +47=={[ 3x2x188 +188 ] +94 } +47=={[ 3x376 +188 ] +94 } +47=={[ ( 2x376 ) +376 + 188 ] +94 } +47=

={[ ( 1x2x376 ) +376 + 188 ] +94 } +47=={[ ( 1x752 ) +376 + 188 ] +94 } +47=={[ ( 752 ) + 376 +188 ] + 94 } + 47

= 752 + 376 + 188 + 94 + 47 = 1457

În exemplul prezentat în Tabelul 1.4, din întâmplare to ţ i termenii care se însumeaz ă sunt diferi ţi de zero.

În celă lalt exemplu, din Tabelul 1.5, se poate observa c ă datorit ă faptuluică al doilea operand este par, iar pe parcursul calculelor se ob ţ in valori deasemenea pare ale câturilor ce se ob ţ in în anumite etape, o parte din termeniicare se determin ă ş i urmeaz ă să fie însuma ţ i sunt nuli.


16/18


22

Tabelul 1.5

38x47 ={ 38x47 } +0=={ 19x2x47 } +0=={ 19x94 } +0=={[ 18x94 ] +94 } +0=={[ 9x2x94 ] +94 } +0=={[ 9x188 ] +94 } +0=={[ 8x188 +188 ] +94 } +0=={[ 4x2x188 +188 ] +94 } +0=={[ 4x376 +188 ] +94 } +0=={[ ( 4x376 ) +0 +188 ] +94 } +0=={[ ( 2x2x376 ) +0 +188 ] +94 } +0=={[ ( 2x752 ) +0 +188 ] +94 } +0=={[ ( ( 2x752 ) + 0 ) +0 +188 ] +94 } +0=={[ ( ( 1x2x752 ) +0 ) +0 +188 ] +94 } +0={[ ( ( 1x1504 ) + 0 ) +0 +188 ] +94 } +0=={[ ( (1504) + 0 ) + 0 + 188 ] + 94 } + 0=

= 1504 + 0 + 0 + 188 + 94 + 0 = 1786

Pentru a efectua în mod rapid calculele pentru ob ţ inerea termenilor caretrebuie însuma ţ i se procedeaz ă conform procedeului utilizat în Tabelele 1.6 ş i1.7, în coloana din stânga scriind primul factor ş i valorile întregi ale câturilor cese ob ţ in în urma împ ă rţ irii cu 2, în coloana din mijloc cel de-al doilea factor ş i


17/18


23

multiplii cu 2 ai acestuia, iar în coloana a treia valorile termenilor de pe coloana adoua care corespund unor valori impare ale termenilor de pe prima coloan ă .

Tabelul 1.631 47 47

[31/2] = 15 47x2 = 94 94 [15/2] = 7 94x2 = 188 188 [7/2] = 3 188x2 = 376 376 [3/2] = 1 376x2 = 752 752

∑ = 145731x47 = 1457

Tabelul 1.738 47 -

[38/2] = 19 47x2 = 94 94 [19/2] = 9 94x2 = 188 188

[9/2] = 4 188x2 = 376 -[4/2] = 2 376x2 = 752 - [2/2] = 1 752x2 = 1504 1504

∑ = 178638x47 = 1786

Un alt exemplu de înmul ţire este prezentat în Tabelul 1.8. Pentru a facemai pu ţ ine calcule este util ca primul operand s ă aibă o valoare mai mic ă decât aldoilea, num ă rul de linii obţ inute fiind mai mic. În Tabelul 1.9 s-a f ă cut acela ş i tipde calcule, ajungând mai repede la rezultat.

Tabelul 1.887 23 23

[87/2] = 43 23x2 = 46 46[43/2] = 21 46x2 = 92 92 [21/2] = 10 92x2 = 184 -[10/2] = 5 184x2 = 368 368 [5/2] = 2 368x2 = 736 -[2/2] = 1 736x2 = 1472 1472

∑ = 2001

87x23 = 2001


18/18


24

Tabelul 1.9

23 87 87 [23/2] = 11 87x2 = 174 174[11/2] = 5 174x2 = 348 348 [5/2] = 2 348x2 = 696 -[2/2] = 1 696x2 = 1392 1392

∑ = 200123x87 = 2001

c 01 sist numeratie 18pg

Documents