Þyngdarlögmál newtons og keplers lögmálin

Þyngdarlögmál Newtons Þyngdarlögmál Newtons og Keplers lögmálinog Keplers lögmálin

Í stjörnufræði og stjarneðlisfræði er Í stjörnufræði og stjarneðlisfræði er algengt að vinna með einingar sem algengt að vinna með einingar sem tengjast þremur mikilvægum tengjast þremur mikilvægum stærðum í sólkerfinu. Það er stærðum í sólkerfinu. Það er meðalfjarlægð jarðar frá sól sem er meðalfjarlægð jarðar frá sól sem er um 1,5·10um 1,5·101111 m og kallast AU eða m og kallast AU eða stjarnfræðieining. Massi jarðarinnar stjarnfræðieining. Massi jarðarinnar sem er 6·10sem er 6·102424 kg, merkt með M kg, merkt með Mee og og endanlega massi sólarinnar sem er endanlega massi sólarinnar sem er 2·102·103030 kg, táknað með M kg, táknað með Mss..

Kepler setti fram þrjú lögmál um brautir Kepler setti fram þrjú lögmál um brautir reikistjarnanna. Þessi lögmál voru reikistjarnanna. Þessi lögmál voru eingöngu fengin með því að prófa hvernig eingöngu fengin með því að prófa hvernig rúmfræðilegar reglur lýstu mælingunum rúmfræðilegar reglur lýstu mælingunum best. Kepler hafði enga hugmynd um best. Kepler hafði enga hugmynd um hvers vegna brautir reikistjarnanna eru hvers vegna brautir reikistjarnanna eru eins og þær eru. Afrek hans er það að hafa eins og þær eru. Afrek hans er það að hafa haft þrautseigju til að vinna þessa vinnu haft þrautseigju til að vinna þessa vinnu og gera kröfur um að misræmi milli og gera kröfur um að misræmi milli mælinga og reikninga væri minna en mælinga og reikninga væri minna en mælinákvæmnin.mælinákvæmnin.

Lögmál KeplersLögmál Keplers

1. lögmálið er svona: Brautir 1. lögmálið er svona: Brautir reikistjarnanna eru sporbaugar með reikistjarnanna eru sporbaugar með sólina í öðrum brennipuntinum.sólina í öðrum brennipuntinum.


2. lögmálið er svona: Tengilína 2. lögmálið er svona: Tengilína reikistjörnunnar og sólar fer alltaf yfir reikistjörnunnar og sólar fer alltaf yfir jafnstórt flatarmál á jafnlöngum tíma.jafnstórt flatarmál á jafnlöngum tíma.


3. lögmálið er svona: Fyrir hvaða 3. lögmálið er svona: Fyrir hvaða reikistjörnu sem er gildir að reikistjörnu sem er gildir að umferðatími hennar T í öðru veldi umferðatími hennar T í öðru veldi deilt í langás brautar hennar a í deilt í langás brautar hennar a í þriðja veldi er fastiþriðja veldi er fasti

3

2

afasti

T

SólfastinnSólfastinn

Kepler komst þannig að sambandi milli Kepler komst þannig að sambandi milli stöðu reikistjörnunnar í sólkerfinu og þess stöðu reikistjörnunnar í sólkerfinu og þess tíma sem hver umferð tekur. Fastinn er tíma sem hver umferð tekur. Fastinn er kallaður sólfastinn og verður skýrður síðar, kallaður sólfastinn og verður skýrður síðar, öll kerfi með miðlægum hnetti og hlut á öll kerfi með miðlægum hnetti og hlut á braut um hann hefur sinn fasta sem braut um hann hefur sinn fasta sem einkennir kerfið. Jörðin hefur sinn sem einkennir kerfið. Jörðin hefur sinn sem einkennir braut tunglsins um hana og líka einkennir braut tunglsins um hana og líka ferðir gervihnatta á braut um jörð.ferðir gervihnatta á braut um jörð.

Þyngdarlögmál NewtonsÞyngdarlögmál Newtons

Newton setti fram að milli hverra Newton setti fram að milli hverra tveggja massa í alheiminum virkaði tveggja massa í alheiminum virkaði aðdráttarkraftur sem væri í réttu aðdráttarkraftur sem væri í réttu hlutfalli við margfeldi massanna og í hlutfalli við margfeldi massanna og í öfugu hlutfalli við fjarlægðina milli öfugu hlutfalli við fjarlægðina milli þeirra í öðru veldiþeirra í öðru veldi

1 2þ 2

m mˆF G r

r


G hefur gildiðG hefur gildið

11 3 1 2G 6,673 10 m kg s


Í kafla 5 var meðal annars skilgreint Í kafla 5 var meðal annars skilgreint mætti fyrir miðlægan kraft, nú er um mætti fyrir miðlægan kraft, nú er um sérhvern massa þyngdarsvið sem er sérhvern massa þyngdarsvið sem er kraftsvið og því má lýsa með mætti. kraftsvið og því má lýsa með mætti. Samkvæmt jöfnu 5-42 fæst mættiðSamkvæmt jöfnu 5-42 fæst mættið

þ 2

dV MF m V m m G

dr r


sem leiðir af sér að mættið verður sem leiðir af sér að mættið verður

dVr 2 1 V Vdr

MV r G

r


Styrkur þyngdarsviðsins er skilgreindur Styrkur þyngdarsviðsins er skilgreindur svona: Þar sem eina stærðin sem ekki er svona: Þar sem eina stærðin sem ekki er tengd massanum sem veldur sviðinu er tengd massanum sem veldur sviðinu er massinn m sem sviðið verkar á er styrkur massinn m sem sviðið verkar á er styrkur þess þess

sem að sjálfsögðu er þyngdarhröðunin í sem að sjálfsögðu er þyngdarhröðunin í fjarlægðinni r frá miðjunni.fjarlægðinni r frá miðjunni.

þ

2

F r Mˆg r G r

m r

Þyngdarlögmál NewtonsÞyngdarlögmál Newtons Áður hefur verðið sett fram hvernig finna Áður hefur verðið sett fram hvernig finna

má stöðuorku í þyngdarsviði jarðar í nánd má stöðuorku í þyngdarsviði jarðar í nánd við yfirborð hennar. Nú verður þetta sett við yfirborð hennar. Nú verður þetta sett fram almennar og það fyrsta sem blasir við fram almennar og það fyrsta sem blasir við að velja verður hentugan núllpunkt fyrir að velja verður hentugan núllpunkt fyrir stöðuorkuna. Þar sem mættið gefur til stöðuorkuna. Þar sem mættið gefur til kynna að í miðju kerfisins sé ósamfella og kynna að í miðju kerfisins sé ósamfella og að í óendanlegri fjarlægð stefni það á 0 er að í óendanlegri fjarlægð stefni það á 0 er eðlilegt að velja að núllpunktur eðlilegt að velja að núllpunktur stöðuorkunnar sé í óendanlegu sem gefur stöðuorkunnar sé í óendanlegu sem gefur að stöðuorkan er ávalt negatíf og því er að stöðuorkan er ávalt negatíf og því er heildarorkan líka negatíf fyrir hluti sem eru heildarorkan líka negatíf fyrir hluti sem eru á lokuðum brautum.á lokuðum brautum.


Þá má rita stöðuorkuna samkvæmt Þá má rita stöðuorkuna samkvæmt jöfnu 5-43 jöfnu 5-43

m MU m V G

r


Eitt sem gert er ráð fyrir þegar verið Eitt sem gert er ráð fyrir þegar verið er að skoða þyngdarsvið utan við er að skoða þyngdarsvið utan við hluti er að líta megi þannig á að allur hluti er að líta megi þannig á að allur massinn sé í massamiðju hans. Þetta massinn sé í massamiðju hans. Þetta er í fullkomlega rétt fyrir kúluaga er í fullkomlega rétt fyrir kúluaga hnetti, flestir hnettir eru mjög nærri hnetti, flestir hnettir eru mjög nærri því að vera kúlulaga svo þetta er góð því að vera kúlulaga svo þetta er góð nálgunnálgun..


Nú er að öðru að hyggja. Inni í Nú er að öðru að hyggja. Inni í hnettinum hlýtur líka að vera hnettinum hlýtur líka að vera þyngdarsvið. Þyngdarkrafturinn þyngdarsvið. Þyngdarkrafturinn hlýtur líka að vera hverfandi í hlýtur líka að vera hverfandi í (massa)miðju hans. Það er hann (massa)miðju hans. Það er hann hlýtur að minnka frá yfirborði hlýtur að minnka frá yfirborði hnattarins inn að miðju. Það er hnattarins inn að miðju. Það er styrkur sviðsins minnkar frá yfirborði styrkur sviðsins minnkar frá yfirborði inn að miðju.inn að miðju.


Fyrir r minna en R, R er radíus Fyrir r minna en R, R er radíus hnattarins, og ef eðlismassinn er fasti hnattarins, og ef eðlismassinn er fasti er massinn, sem er innan við r, er massinn, sem er innan við r, gefinn semgefinn sem

3 3

33 3

4 r M 4 r MM r r

4 R3 3 R3


fæst fyrir styrk þyngdarsviðsinsfæst fyrir styrk þyngdarsviðsins

Með þessari framsetningu er komin Með þessari framsetningu er komin rétt niðurstaða, að þyngdarkrafturinn rétt niðurstaða, að þyngdarkrafturinn inni í hnettinum er í réttu hlutfalli við inni í hnettinum er í réttu hlutfalli við fjarlægðina frá miðju. fjarlægðina frá miðju.

3

3

2 3

Mr MRg r G G r

r R


Ef hlutur með massa m er á lokaðri Ef hlutur með massa m er á lokaðri braut í þyngdarsviði þá er samkvæmt braut í þyngdarsviði þá er samkvæmt jöfnu 5-50, jöfnu 5-1 og jöfnu 5-52 jöfnu 5-50, jöfnu 5-1 og jöfnu 5-52 heildarorkan hálf stöðuorkan og heildarorkan hálf stöðuorkan og skriðorkan jöfn negatífri skriðorkan jöfn negatífri heildarorkunni: heildarorkunni:

m M m ME G og K G

2 r 2 r


Ef hluturinn er ekki á lokaðri braut Ef hluturinn er ekki á lokaðri braut getur vélræn orka hans verið hvað getur vélræn orka hans verið hvað sem er, hvort heldur negatíf eða sem er, hvort heldur negatíf eða pósitíf. Ef hún er negatíf er hluturinn pósitíf. Ef hún er negatíf er hluturinn bundinn í þyngdarsviðinu. Ef hún er bundinn í þyngdarsviðinu. Ef hún er pósitíf getur hluturinn losnað úr pósitíf getur hluturinn losnað úr þyngdarsviðinu, það er komist þyngdarsviðinu, það er komist óendanlega langt frá massanum sem óendanlega langt frá massanum sem veldur sviðinu.veldur sviðinu.


Rétt er að skoða hvað skriðorka eða Rétt er að skoða hvað skriðorka eða öllu heldur hver hraði hlutarins þarf öllu heldur hver hraði hlutarins þarf að vera til að hann sé óbundinn. að vera til að hann sé óbundinn. Minnsti hraði sem þarf til þess er Minnsti hraði sem þarf til þess er kallaður sleppihraði. Hann finnst kallaður sleppihraði. Hann finnst svona: svona:

21 m M 2 ME 0 K U m v G v G

2 r r


Eðlilegast er að skoða sleppihraða frá Eðlilegast er að skoða sleppihraða frá yfirborði hnattarins sem veldur yfirborði hnattarins sem veldur þyngdarsviðinu. Fyrir jörðina er þetta þyngdarsviðinu. Fyrir jörðina er þetta um 11 km/s. Til að geimfar losni úr um 11 km/s. Til að geimfar losni úr þyngdarsviði jarðar þarf það að ná þyngdarsviði jarðar þarf það að ná minnst þeim hraða.minnst þeim hraða.


2. lögmál Keplers rökstutt2. lögmál Keplers rökstutt Hér gildir að þar sem um miðlægan Hér gildir að þar sem um miðlægan

kraft er að ræða er hverfiþunginn kraft er að ræða er hverfiþunginn varðveittur fyrir hlut á lokaðri braut varðveittur fyrir hlut á lokaðri braut eins og sýnt var í kafla 5. En ef eins og sýnt var í kafla 5. En ef krossfeldið er skoðað aðeins betur krossfeldið er skoðað aðeins betur sést eftirfarandisést eftirfarandi

L m r v fasti r v fasti


en einingin á þessu síðasta er men einingin á þessu síðasta er m22/s /s það er flatarmál á tímaeiningu. Því er það er flatarmál á tímaeiningu. Því er 2. lögmálið bein afleiðing af 2. lögmálið bein afleiðing af varðveislu hverfiþungans. varðveislu hverfiþungans.

Útleiðsla á 1. lögmáli KeplersÚtleiðsla á 1. lögmáli Keplers


Aðferð 1: Á hlut sem er að sveigja Aðferð 1: Á hlut sem er að sveigja verkar miðsóknarkraftur. Auðvelt er verkar miðsóknarkraftur. Auðvelt er fyrir plánetu sem hefur braut sem er fyrir plánetu sem hefur braut sem er hringur að leiða út 3. lögmálið. Þessi hringur að leiða út 3. lögmálið. Þessi nálgun er í raun góð fyrir flestar nálgun er í raun góð fyrir flestar reikistjörnurnar í sólkerfinu. reikistjörnurnar í sólkerfinu. Útleiðslan er þá svona: Þegar farið er Útleiðslan er þá svona: Þegar farið er eftir hringferli er hraðinn jafn og eina eftir hringferli er hraðinn jafn og eina hröðunin sem verkar á plánetuna er hröðunin sem verkar á plánetuna er miðsóknarhröðunmiðsóknarhröðun


Miðsóknarkrafturinn í þessu tilviki Miðsóknarkrafturinn í þessu tilviki hlýtur að vera jafnstór hlýtur að vera jafnstór þyngdarkraftinumþyngdarkraftinum

2

2 3

2 2 2 2

2 rv m M M r MT

m G G Gr r r r T 4


Aðferð 2: Seinni aðferðin sem notuð verður Aðferð 2: Seinni aðferðin sem notuð verður hér er ekki nálgun. Hægt að finna hér er ekki nálgun. Hægt að finna umferðartímann fyrir sporbauginn. umferðartímann fyrir sporbauginn. Samkvæmt reglunni um flatarmálshraðann Samkvæmt reglunni um flatarmálshraðann fæst fæst

margfaldað er með hálfum af því að margfaldað er með hálfum af því að krossfeldið gefur flatarmál samsíðungs. krossfeldið gefur flatarmál samsíðungs.

1 L b G Mr v a

2 2 m 2 a


Hér er bara annar helmingur hans Hér er bara annar helmingur hans sem myndar raunflatarmálið, og sem myndar raunflatarmálið, og tíminn sem tekur að fara umferðina tíminn sem tekur að fara umferðina er þá flatarmál sporbaugsins deilt er þá flatarmál sporbaugsins deilt með flatarmálshraðanum með flatarmálshraðanum

32a b 2 a

Tb G M G M

2 a


sem að lokum gefur 3. lögmálið á sem að lokum gefur 3. lögmálið á venjulegu formi venjulegu formi

Fastinn hægra megin er kallaður sólfastinn Fastinn hægra megin er kallaður sólfastinn þegar verið er að vinna með sólkerfið en þegar verið er að vinna með sólkerfið en fyrir sérhvert kerfi er til slíkur fasti sem fyrir sérhvert kerfi er til slíkur fasti sem eingöngu er háður massanum sem stýrir eingöngu er háður massanum sem stýrir hreyfingunni.hreyfingunni.

3

2 2

a MG

T 4

Þyngdarlögmál newtons og keplers lögmálin

Documents