bulbo presion isobara- distribución de esfuerzos en el suelo debido a cargas

8/13/2019 BULBO PRESION ISOBARA- Distribucin de esfuerzos en el suelo debido a cargas

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Parte II: Introduccin al clculo y diseo de cimentacionesCaptulo 5 - Distribucin de esfuerzos en el suelo debido a cargas

Introduccin a la ingeniera de cimentaciones (Diseo geomtrico y estructural) Cruz, L.

Captulo 5

Distribucin de esfuerzos en el suelodebido a cargas

5.1 INTRODUCCIN

Como ya se ha explicado anteriormente una cimentacin tiene el trabajo detransferir las cargas de la estructura al suelo, cuando esto sucede la presin oel esfuerzo que la fundacin entrega al terreno se distribuye en el medioconsiderado (el suelo) y a su vez se disipa. Este captulo estudia como ocurre

este fenmeno en el terreno para diferentes tipos de cimentacin.

5.2 DISTRIBUCIN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNACARGA PUNTUAL

Figura 5.1 Modelo de Boussinesq, de carga puntual (P) sobre un medioelstico semi-infinito, y sistema de ejes utilizado.

Boussinesq (1885), idealizando un modelo donde se coloca una carga puntualsobre un medio elstico semi-infinito, encontr que la solucin para encontrar elvalor del incremento del esfuerzo vertical ( z) en un punto cualquiera (a)con coordenadas cartesianas de localizacin (x = xa, y = ya, z = za, ver Figura5.1) , debido a la carga (P) impuesta, de forma general ser:

5

2cos

2

3

z

Pz= (ec. 5.1)


2/21



donde:

22cos

zr

z

+= (ec. 5.2)

22 yxr += (ec. 5.3)

Utilizando las definiciones antes vistas, y realizando las simplificacionesrespectivas, se puede expresar el incremento de esfuerzo vertical en el suelo(z), de dos maneras:

2/52

2 12

3

+

=

z

rz

Pz

(ec. 5.4)

( ) 2/5223

.2

3

zr

zPz

+=

(ec. 5.5)

Si tomamos cualquiera de las dos ecuaciones y realizamos un anlisis y undiagrama del incremento del esfuerzo vertical del plano x-z (y=0), obtendremosun esquema como el mostrado en la Figura 5.2, para el caso de una cargapuntual unitaria, que podr ser utilizado para cualquier valor de cargafundamentados en los principios de la elasticidad, aclarando que la unidad dez/P=[1/m

2].


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Figura 5.2 Distribucin de esfuerzos en el terreno debido a una cargapuntual.

Del esquema de la Figura 5.2 podemos observar y obtener varias cosas, unocomo es la distribucin de esfuerzos en el terreno debido a una carga puntual,y dos introduciremos un concepto que es el bulbo de presiones.

Definicin:El bulbo de presioneses la zona del suelo donde se producenincrementos de carga vertical considerables por efecto de una carga aplicadadel tipo que sea. Esta zona forma un bulbo llamado de presiones, y estaconformada por isbarasque son curvas que unen puntos de un mismo valorde presin o de esfuerzo. Las isobaras de la Figura 5.2 estn representadasdesde la del 10% hasta la del 90% del valor de la carga puntual, cada 10%.


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En el caso que estamos analizando, el bulbo de presiones debido a una cargapuntual, estar limitado por la isobara que toma el valor del 10% del valor de lafuerza puntual aplicada, z 0.10P (ver Figura 5.2).Como una aclaracin adicional el valor del esfuerzo cerca de la carga puntualtoma valores muy grandes, y en el punto de contacto (x=0, z=0) el valor del

esfuerzo en el suelo tender a infinito (z = ), ya que idealizando el problemaplanteado el rea de contacto tendera a cero.

Ejemplo 5.1

5.3 DISTRIBUCIN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNACARGA CIRCULAR

Figura 5.3 Modelo de carga circular (q) sobre un medio elstico semi-infinito,y sistema de ejes utilizado.

Partiendo de la solucin dada por Boussinesq para una carga puntual (ec. 5.4),y dividiendo un rea cargada circular en diferenciales de rea, como muestra laFigura 5.3, donde una carga puntual (dP) sobre este diferencial se puedeaproximar a dP = q.r.d.dr, obtenemos que:

2/52

2 12

)...(3)(

+

=

z

rz

drdrqd z

(ec. 5.6)

Integrando en toda la superficie del rea circular, tendramos que:


5/21



=

=

=

=

+

=

2

0

2/

0

2/52

2 12

)...(3Br

r

z

z

rz

drdrq (ec. 5.7)

Al solucionar la anterior integral, encontraramos que el incremento de elesfuerzo vertical ( z) para un punto cualquiera (a) debajo del centro de unacimentacin circular, de radio R, cargada con un valor de esfuerzo de contacto(q) uniformemente distribuido, en una profundidad dada (z) cualquiera, ser:

+

=

2

3

2

1

11

z

Rqz (ec. 5.8)

donde:

R : Es el radio de la cimentacin, y ser igual a R=B/2.

Para conocer el incremento de esfuerzo vertical en lugares diferentes a puntoslocalizados debajo del centro de la cimentacin circular, se deber solucionar laintegral de la ecuacin 5.7, con los adecuados limites de integracin,varindolos de acuerdo a la distancia (r) desde el centro de la cimentacinhasta punto investigado y a la profundidad (z).

Para efectos prcticos podemos utilizar bacos como el que muestra la Figura5.4, obteniendo el valor de la funcin, de tal manera que el incremento de carga

se puede expresar como:

=

R

z

R

xfqz ,. (ec. 5.9)

Abaco area circularFigura 5.4 baco carga circular.

En este caso que estamos analizando el bulbo de presiones debido a unacarga circular, ste estar limitado por la isobara que toma el valor de

z=0.10q, y como se puede apreciar en el baco de la Figura 5.4, la mximaprofundidad (Db) que toma el bulbo de presiones es el centro aproximadamentea dos veces el ancho (B) o dos veces el dimetro (D) de la fundacin, luegopodemos aproximar:

RDBDb 422 (ec. 5.10)

Ejemplo 5.2


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5.3 DISTRIBUCIN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNACARGA RECTANGULAR

5.3.1 Mtodo basado en la teora de Boussinesq

Figura 5.5 Modelo de carga rectangular (q) sobre un medio elstico semi-infinito, y sistema de ejes utilizado.

Partiendo de la solucin dada por Boussinesq para una carga puntual (ec. 5.4)y la definicin de r (ec. 5.3), y dividiendo un rea cargada rectangular en

diferenciales de rea, como la mostrada en la Figura 5.5, donde una cargapuntual (dP) sobre un diferencial se puede aproximar a, dP = q.dx.dy,obtenemos que:

( ) 2/52223

2/52

22

2

2

)..(3

12

)..(3)(

zyx

zdydxq

z

yxz

dydxqd z

++=

++

=

(ec. 5.11)

Integrando en toda la superficie del rea rectangular, tendramos que:

( ) =

=

=

= ++=

Ly

y

Bx

x

z

zyx

zdydxq

0 0

2/5222

3

2

)..(3

(ec. 5.12)

Al solucionar la anterior integral (Newmark) 1935, encontraramos que elincremento de el esfuerzo vertical ( z) para un punto cualquiera (a) debajo dela esquina de una cimentacin rectangular, de ancho By largo L, cargada conun valor de esfuerzo de contacto (q) uniformemente distribuido, en unaprofundidad dada (z) cualquiera, ser:


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),( nmqIz= (ec. 5.13)

donde:

z

Bm= (ec. 5.14)

z

Ln= (ec. 5.16)

++

+++

++

++

+++

++=

2222

221

22

22

2222

22

1

12tan

1

2

1

12

4

1),(

nmnm

nmmn

nm

nm

nmnm

nmmnnmI

(ec. 5.17)

En el caso que el valor de (m2n2) sea ms grande que el valor de (m2+n2+1), eltermino de la ecuacin 5.17 que utiliza tangente inversa se vuelve negativo,luego ser necesario modificar la ecuacin, sumando al anterior resultado el

valor de ,de la siguiente manera:

+

++

+++

++

++

+++

++=

2222

221

22

22

2222

22

1

12tan

1

2

1

12

4

1),(

nmnm

nmmn

nm

nm

nmnm

nmmnnmI (ec. 5.18)

El valor del factor de influencia I(m,n), siempre deber estar entre:

25.0),(0 nmI (ec. 5.19)

Los valores del factor de influencia I(m,n), a partir de las ecuaciones 5.17 y5.18, se pueden obtener del grfico de la Figura 5.6 para diferentes valores demy n de la Tabla 5.1.


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Figura 5.6 Valor del factor de influencia para diferentes valores de m y n.

Tabla 5.1 Valor del factor de influencia para diferentes valores de m y n.

m n 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 2.0

0.1 0.0047 0.0092 0.0132 0.0168 0.0198 0.0222 0.0242 0.0258 0.0270 0.0279 0.0311 0.0316

0.2 0.0092 0.0179 0.0259 0.0328 0.0387 0.0435 0.0473 0.0504 0.0528 0.0547 0.0610 0.0620

0.3 0.0132 0.0259 0.0374 0.0474 0.0559 0.0629 0.0686 0.0731 0.0766 0.0794 0.0887 0.0902

0.4 0.0168 0.0328 0.0474 0.0602 0.0711 0.0801 0.0873 0.0931 0.0977 0.1013 0.1134 0.1154

0.5 0.0198 0.0387 0.0559 0.0711 0.0840 0.0947 0.1034 0.1103 0.1158 0.1202 0.1350 0.1375

0.6 0.0222 0.0435 0.0629 0.0801 0.0947 0.1069 0.1168 0.1247 0.1311 0.1360 0.1533 0.1562

0.7 0.0242 0.0473 0.0686 0.0873 0.1034 0.1168 0.1277 0.1365 0.1436 0.1491 0.1686 0.1720

0.8 0.0258 0.0504 0.0731 0.0931 0.1103 0.1247 0.1365 0.1461 0.1537 0.1598 0.1812 0.1850

0.9 0.0270 0.0528 0.0766 0.0977 0.1158 0.1311 0.1436 0.1537 0.1618 0.1684 0.1915 0.1958

1.0 0.0279 0.0547 0.0794 0.1013 0.1202 0.1360 0.1491 0.1598 0.1684 0.1752 0.1999 0.2046

1.5 0.0304 0.0595 0.0864 0.1105 0.1314 0.1490 0.1637 0.1758 0.1857 0.1936 0.2236 0.2299

2.0 0.0311 0.0610 0.0887 0.1134 0.1350 0.1533 0.1686 0.1812 0.1915 0.1999 0.2325 0.2399

3.0 0.0315 0.0618 0.0898 0.1150 0.1368 0.1555 0.1711 0.1841 0.1947 0.2034 0.2378 0.2465

4.0 0.0316 0.0619 0.0901 0.1153 0.1372 0.1560 0.1717 0.1847 0.1954 0.2042 0.2391 0.2485

5.0 0.0316 0.0620 0.0901 0.1154 0.1374 0.1561 0.1718 0.1849 0.1956 0.2044 0.2395 0.2492

10.0 0.0316 0.0620 0.0902 0.1154 0.1374 0.1562 0.1720 0.1850 0.1958 0.2046 0.2398 0.2499

0.0316 0.0620 0.0902 0.1154 0.1375 0.1562 0.1720 0.1850 0.1958 0.2046 0.2399 0.2500

n m

La profundidad del bulbo de presiones (Db) de un rea rectangular es difcil dedeterminar de forma general, ms aun cuando es una distribucin de cargacompuesta. Se puede deducir que esta variar entre dos veces su ancho (B)(en el caso de una zapata cuadrada) y tres veces su ancho (B) (ver numeral


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5.4), pero de manera aproximada Dbes asumida, para el caso de una zapatarectangular como:

BDb 2 (ec. 5.24)

Ejemplo 5.3

5.3.2 Mtodo aproximado 2:1 (V:H)

Uno de los primeros mtodos para encontrar el incremento de esfuerzo vertical( z) en el suelo, a una profundidad (z) cualquiera, debido a una cargauniformemente distribuida (q) colocada en una superficie rectangular de ancho(B) y largo (L), fue el mtodo de la pendiente 2:1 (V:H), mtodo que esaproximado pero tiene la ventaja de que es muy sencillo y simple.

Este mtodo supone que la zona o rea donde la carga (q) acta, se va

distribuyendo en el medio (suelo), amplindose, desde la de contacto (B x L),hasta una zona ms grande que va a ser funcin de la profundidad, y que va air creciendo con una pendiente 2:1 (V:H), tal y como muestra la Figura 5.7, parael caso de la dimensin del ancho (B) y anlogamente para la dimensin dellargo (L).

Figura 5.7 Mtodo aproximado 2:1 (V:H).

De acuerdo a esto, el incremento de esfuerzo vertical ( z) en el suelo, sepodra aproximar a:

))(( zLzB

qBLz ++

= (ec. 5.19)


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Para el caso de una cimentacin cuadrada, basndonos en este mismomtodo:

2

2

)( zB

qBz +

= (ec. 5.20)

5.4 DISTRIBUCIN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNACARGA RECTANGULAR UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA DE LONGITUDINFINITA (ZAPATA CORRIDA)

Figura 5.8 Carga rectangular uniformemente distribuida de longitud infinita.

A partir de la solucin para los esfuerzos causados en el suelo por una fuerzalineal de longitud infinita (P/m, no tratada en este captulo), y al integrarla paradarle solucin a la distribucin de esfuerzos causada en el suelo por una cargarectangular uniformemente distribuida de longitud infinita (ver Figura 5.8),obtenemos que el incremento de el esfuerzo vertical ( z) en un puntocualquiera (a) dado, de coordenadas (xa, za), ser :

++

+

=

222222

22211

4)(

)(2tantan

1

zbbzx

bzxbz

bx

z

bx

zqz

(ec. 5.21)

donde:

q : Sobrecarga de forma rectangular uniformemente distribuida de longitudinfinita.

x,z : Coordenadas cartesianas del punto analizado.b : Igual a la mitad del valor del ancho de la cimentacin rectangular de

longitud infinita con carga uniformemente distribuida. (b=B/2)


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de una manera simplificada:

( ))2cos(1

++= senqz (ec. 5.22)

donde:


: ngulo definido en la Figura 5.8, conformado entre los limites de lacarga y el punto a.

: ngulo definido en la Figura 5.8, medido con respecto a la vertical.

Por facilidad podemos graficar la ecuacin 5.21 o la 5.22, de tal forma quepodamos encontrar el valor de la funcin f(x/B, z/B), y al multiplicarla por lacarga (q) uniformemente distribuida obtendremos el valor del incremento deesfuerzo vertical ( z) en el punto considerado, as:

=B

z

B

xqfz , (ec. 5.23)

El valor de la funcin f(x/B, z/B), aparece graficado en la Figura 5.9 de manerageneral hasta la isobara z/q = 0.10 y en la Figura 5.10 de manera masdetallada hasta la isobara z/q = 0.20, que en el caso de una zapatarectangular de longitud infinita ser hasta donde se considerara la profundidaddel bulbo de presiones (Db), o lo mismo hasta que haya una disipacin deesfuerzo de tal forma que el incremento de esfuerzo en el suelo no supere el20% de la carga impuesta originalmente. De acuerdo a lo anterior y a lo que sepuede apreciar en la Figura 5.9 y 5.10 podemos aproximar para este caso dezapata rectangular de longitud infinita y carga uniformemente distribuida, que laprofundidad del bulbo de presiones (Db) es:

BDb 3 (ec. 5.24)


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Figura 5.9 Valor de la funcin f(x/B, z/B), general.


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Figura 5.10 Valor de la funcin f(x/B, z/B), detallada.

Ejemplo 5.3

5.5 DISTRIBUCIN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNACARGA TRIANGULAR DE LONGITUD INFINITA.

De una manera anloga como para una carga rectangular uniformementedistribuida de longitud infinita, a partir de la solucin para los esfuerzoscausados en el suelo por una fuerza lineal de longitud infinita (P/m, no tratadaen este captulo), y al integrarla para darle solucin a la distribucin deesfuerzos causada en el suelo por una carga triangular de longitud infinita,variando desde cero (0) hasta q (ver Figura 5.11), obtenemos que elincremento de el esfuerzo vertical ( z) en un punto cualquiera (a) dado, decoordenadas (xa, za), ser :


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=

2

2

1sen

b

xqz (ec. 5.25)

donde:


x : Coordenada cartesiana xdel punto analizado.b : Igual a la mitad del valor del ancho de la cimentacin de longitud

infinita con carga uniformemente distribuida. (b=B/2) : ngulo definido en la Figura 5.11, conformado entre los limites de la

carga y el punto a. : ngulo definido en la Figura 5.11, medido con respecto a la vertical.

Figura 5.11 Carga triangular de longitud infinita.

Esta solucin es aplicada a casos como el de los muros de contencin concarga excntrica, combinado con principios de superposicin de acuerdo a lasteoras elsticas.

5.6 DISTRIBUCIN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNACARGA TRAPEZOIDAL (TRIANGULO RECTNGULO) DE LONGITUDINFINITA, TERRAPLN.


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Figura 5.12 Carga de terrapln de longitud infinita.A partir de la solucin para una carga triangular de longitud infinita (verNumeral 5.5) y utilizando los principios de superposicin, podemos obtener queel incremento de el esfuerzo vertical ( z) en un punto cualquiera (a) dado, decoordenadas (xa, za), ser :

+

+= )()(

12

2

121

2

21

B

B

B

BBqz (ec. 5.26)

donde:

q : Sobrecarga de forma rectangular uniformemente distribuida de longitudinfinita, actuando en el ancho B2, que en el caso de un terraplnuniforme de altura Hy peso unitario , ser q = H.

B1: Ancho donde se desarrolla la pendiente del terrapln, y donde varia lacarga desde la carga q hasta cero.

B2: Ancho donde se considera que acta la carga rectangular de longitudinfinita uniformemente distribuida (q).

1: Definido como:

+=

z

B

z

BB 112111 tantan (ec. 5.27)

2: Definido como:

=

z

B112

tan (ec. 5.28)

Por facilidad se puede construir o graficar un diagrama en funcin de B1/z yB2/z, a partir de la ecuacin 5.26, con el objeto de expresar el incremento de elesfuerzo vertical ( z) como:


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=

z

B

z

Bqfz

21 , (ec. 5.29)

donde el valor de la funcin

z

B

z

Bf 21 , aparece graficado en la Figura 5.13.

Figura 5.13 baco para carga de terrapln de longitud infinita, valor de lafuncin f(B1/z, B2/z).

Ejemplo 5.3

5.7 DISTRIBUCIN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNACARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA DE CUALQUIER FORMA, CARTADE NEWMARK (1942).

5.7.1 Manejo de la Carta de Newmark

Nathan M. Newmark (1942) en la Universidad de Illinois, se ideo un sistema desolucin grafica para encontrar de manera aproximada el incremento deesfuerzo vertical debajo de cualquier punto de una fundacin, con cualquier tipoy forma de carga, basado en la solucin para un punto bajo el centro de unafundacin con carga uniformemente repartida de forma circular (numeral 5.3,de este captulo). A esta solucin grfica se le llama solucin con Carta de


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Newmark, y es basada en grficos o esquemas como el que muestra la Figura5.14:

Figura 5.14 Carta de Newmark.La forma de encontrar el incremento de esfuerzo vertical ( z) bajo cualquierpunto de la fundacin o por fuera de ella, a una profundidad cualquiera ( z)dada, es:

a. Caracterizar la carta de Newmark con la que se va a trabajar, queconsiste en identificar el valor de influencia (cada carta tendr uno, en elcaso de la Figura 5.14 Vi=0.003125), y en identificar la referencia de


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escala () que es la lnea que representa la profundidad (z) a lacual se va a encontrar el incremento de esfuerzo.

b. Adoptada la profundidad (z) a la cual se va a encontrar el incremento deesfuerzo vertical ( z), la lnea de referencia de escala () sevolver igual a la profundidad (z) tomada, de acuerdo a esto quedardefinida la escala del procedimiento.

c. Se deber dibujar la fundacin en planta de acuerdo a la escala definidaen el paso anterior, para luego colocar este esquema a escala sobre laCarta de Newmark, haciendo coincidir el punto bajo el cual se deseaencontrar el incremento de esfuerzo con el centro de la Carta deNewmark, tal y como muestra la Figura 5.15 (a) para el caso delincremento de esfuerzo en el centro de la fundacin o la Figura 5.15 (b)para el caso del incremento de esfuerzo en la esquina de la cimentacin.

Figura 5.15 Carta de Newmark.

d. Finalmente se contarn cuantos cuadros quedan dentro del esquema dela fundacin, sumndose los cuadros completos y las fracciones derecuadros con el cuidado de una buena apreciacin.

De acuerdo al anterior procedimiento descrito, el valor del incremento deesfuerzo vertical ( z) en un punto cualquiera bajo la fundacin, a unaprofundidad (z) dada, se definir como:

qNViz= (ec. 5.30)

donde:

Vi : Valor de influencia de la carta de Newmark de referencia, cada cartatendr uno.

q : Sobrecarga uniformemente distribuida producida por la cimentacin.


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N : Numero de divisiones de la carta de Newmark de referencia, que estndentro de la planta de la cimentacin.

5.7.2 Construccin de la Carta de Newmark

A partir de la solucin para una carga uniformemente distribuida de forma

circular, ecuacin 5.8, podemos obtener que la relacin R/z, es igual a:

2

1

3

2

11

=

qz

R z (ec. 5.31)

Si ahora le damos valores a la relacin (z/q), desde cero (0) hasta uno (1)(debido a que la relacin no podr ser mayor que uno), obtenemos los valoresde la relacin R/z , los cuales son tabulados en la tabla 5.2:

Tabla 5.2 Valores de R/z.z/q R/z

0.0 0.0000.1 0.2700.2 0.4000.3 0.5180.4 0.6370.5 0.7660.6 0.9180.7 1.1100.8 1.3870.9 1.9081.0

Luego si se asume una escala cualquiera para la unidad, se deber graficarcomo radios de crculos concntricos todos los valores de R/z obtenidos, deacuerdo a la escala seleccionada, tal y como muestra la Figura 5.16:


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Figura 5.16 Crculos concntricos para la construccin de la carta de

Newmark.Se coloca una lnea de longitud de una unidad, segn la escala escogida, querepresentara la profundidad (z) con la cual se este trabajando con la carta deNewmark. Finalmente se divide la carta en cuantos cuadros se desee (de formasimtrica), y se le coloca un recuadro que delimitar la carta, tal y comomuestra la Figura 5.17:

Figura 5.17 Construccin de la carta de Newmark.


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El numero de cuadros en los cuales se dividi la carta de Newmark, definir elvalor del factor de influencia (Vi) para la carta de Newmark construida (cadacarta deber especificar cuanto es este valor), segn la siguiente ecuacin:

NDVi

1= (ec. 5.32)

donde:ND: Numero total de divisiones o cuadros que posee la Carta de Newmarkconstruida.

5.8 REFERENCIAS

Bowles, J.E. (1996). Foundation analysis and design, 5th ed., McGraw-Hill,New York.

Cruz, L. (2006). Conferencias de clase curso de Fundaciones, Facultad deIngeniera Civil Universidad del Cauca, Popayn.

Cruz, L. (2006). Conferencias de clase curso de Mecnica de Suelos I,Facultad de Ingeniera Civil Universidad del Cauca, Popayn.

Cruz, L. (2006). Conferencias de clase curso de Mecnica de Suelos II,Facultad de Ingeniera Civil Universidad del Cauca, Popayn.

Das, B.M. (2001). Principios de ingeniera de cimentaciones, 4ta ed.,International Thomson Editores, Mxico.

Das, B.M. (1997). Advanced soils mechanics, 2nd ed., Taylor and Francis,

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bulbo presion isobara- distribución de esfuerzos en el suelo debido a cargas

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