buổi 4 + 5 + 6 + 7 + 8 : chuyên đề: giÁ trỊ tuyỆt...

SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán

PHẦN I: LÝ DO NGHIÊN CỨU

I. Cơ sở lý luận

Trong quá trình phát triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự

nghiệp đào tạo con người. Chính vì vậy mà dạy Toán không ngừng được bổ

sung và đổi mới để đáp ứng với sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội. Vì vậy

mỗi người giáo viên nói chung phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phương

pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi mới của Đảng và Nhà nước đặt ra.

Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về Giá trị tuyệt

đối không nhiều song lại rất quan trọng, đó là những tiền đề cơ bản để học sinh

tiếp tục học lên ở cấp THPT.

Khi giải toán có áp dụng Giá trị tuyệt đối đòi hỏi học sinh phải nắm vững

các kiến thức cơ bản về phương trình, hệ phương trình, các phép biến đổi đại

số... Học sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn

giản đến phức tạp.

“Ứng dụng của Giá trị tuyệt đối trong giải toán” giúp học sinh phát triển

tư duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán. Đồng thời giáo

dục tư tưởng, ý thức,thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh.

II. Cơ sở thực tiễn

Giá trị tuyệt đối là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều

học sinh không biết cách áp dụng Giá trị tuyệt đối để giải toán như thế nào? Có

những phương pháp nào? Mặt khác, nội dung thi vào cấp THPT có áp dụng Giá

trị tuyệt đối rất hạn chế nên học sinh lại càng không chú ý.

Các bài toán về ứng dụng của Giá trị tuyệt đối là một dạng toán hay và

khó, có nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT. Tuy

nhiên, các tài liệu viết về vấn đề này rất hạn chế hoặc chưa hệ thống thành các

phương pháp nhất định gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh,

cũng như trong công tác tự bồi dưỡng của giáo viên.

GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 1


Mặt khác, việc tìm hiểu các phương pháp giải có ứng dụng Giá trị tuyệt

đối hiện nay còn ít giáo viên nghiên cứu.

Vì vậy việc nghiên cứu các phương pháp giải bài toán có ứng dụng Giá trị

tuyệt đối là rất thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định được

phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng

dạy và học, đặc biệt là chất lượng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trường

THCS.

III. Mục đích nghiên cứu

+ Nghiên cứu về “Ứng dụng của Giá trị tuyệt đối trong giải toán” giúp giáo

viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức

đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phương pháp giảng

dạy phần này có hiệu quả.

+ Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy học

phần Giá trị tuyệt đối trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hướng nâng

cao chất lượng dạy và học môn toán.

+ Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy thành

công về Giá trị tuyệt đối.

IV. Nhiệm vụ nghiên cứu

1. Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường.

2. Hệ thống hoá một số phương pháp giải có ứng dụng Giá trị tuyệt đối.

3. Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi triển khai đề tài.

4. Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm.

V. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

1. Đối tượng nghiên cứu:

a. Các tài liệu

b. Giáo viên, học sinh khá giỏi ở trường THCS Đông Thái.



2. Phạm vi nghiên cứu:

Các phương pháp ứng dụng của Giá trị tuyệt đối trong giải toán thường

gặp ở THCS.

VI. Phương pháp nghiên cứu

1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu.

2. Phương pháp điều tra, khảo sát.

3. Phương pháp thử nghiệm.

4. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.

VII. Giả thuyết khoa học

Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sáng

kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh ham

thích học dạng toán này hơn.



PHẦN II: NỘI DUNG

A. Lý thuyết giá trị tuyết đối.

1. Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị

tuyệt đối của một số a (a là số thực).

* Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm

là số đối của nó.

Tổng quát: Nếu

Nếu

Nếu x-a 0=> = x-a

Nếu x-a 0=> = a-x

2. Tính chất

* Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm

* Tổng quát: với mọi a R

* Cụ thể:

=0 <=> a=0

≠ 0 <=> a ≠ 0

* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và

ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau

hoặc đối nhau.

Tổng quát:

* Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng

thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó.

Tổng quát: và

* Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

Tổng quát: Nếu

* Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn



Tổng quát: Nếu

* Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.

Tổng quát:

* Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.

Tổng quát:

* Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó.

Tổng quát:

* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt

đối của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu.

Tổng quát: và

B. Các dạng toán :

I. Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

1. Dạng 1:

(Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước)

* Cách giải:

- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức (Vì giá trị tuyệt

đối của mọi số đều không âm).

- Nếu k = 0 thì ta có

- Nếu k > 0 thì ta có:

Bài 1.1: Tìm x, biết:

a) b) c) d)



Giải:

a) 2x – 5 = 4

* 2x – 5 = 4 * 2x – 5 = – 4

2x = 9 2x = 5 – 4

x = 4,5 2x = 1

x = 0,5

Vậy: x = 4,5 ; x =0,5

b)

Vậy:


a) b) c)


a) b) c) d)


a) b)

c) d)


a) b)



c) d)

2. Dạng 2: (Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x)

* Cách giải:

Vận dụng tính chất:

Ta có:


a) b)

c) d)

Giải:

a)

* 5x – 4 = x + 2 * 5x – 4 = – x – 2

5x – x = 2 + 4 5x + x = – 2 + 4

4x = 6 6x = 2

x =1,5 x=

Vậy: x= 1,5 ; x=


a) b)

c) d)

3. Dạng 3: (Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x)

* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn

vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau:

(1)

Điều kiện: B(x) (*)

(1) Trở thành

(Đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện (*))



* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

Nếu

Nếu

Ta giải như sau: (1)

Nếu A(x) thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được

với điều kiện )

Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm

được với điều kiện )

Ví dụ: Tìm x Q biết =2x

* Xét x+ 0 , ta có x + = 2x (TMĐK)

*Xét x+ < 0 , ta có x + = – 2x (Không TMĐK)

Vậy : x


a) b) c) d)


a) b) c) d)


a) b) c) d)


a) b) c) d)


a) b) c) d)

4. Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối.

* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:



Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán (Đối chiếu điều kiện tương ứng).

Ví dụ1 : Tìm x biết rằng (1)

Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt

đối thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Vậy ta sẽ biến đổi biểu

thức ở vế trái của đẳng thức trên. Từ đó sẽ tìm được x

Giải:

Xét x – 1 = 0 x = 1; x – 1 < 0 x < 1; x – 1 > 0 x > 1

x – 3 = 0 x = 3; x – 3 < 0 x < 3; x – 3 > 0 x > 3

Ta có bảng xét dấu các đa thức x – 1 và x – 3 dưới đây:

Xét khoảng x < 1 ta có:

(1) (1 – x ) + ( 3 – x ) = 2x – 1

– 2x + 4 = 2x – 1

x = (giá trị này không thuộc khoảng đang xét)

Xét khoảng 1 x 3 ta có:

(1) (x – 1 ) + ( 3 – x ) = 2x – 1

2 = 2x – 1

x = ( giá trị này thuộc khoảng đang xét)

Xét khoảng x > 3 ta có: (1) (x – 1 ) + (x – 3 ) = 2x – 1

0.x = – 3 ( Phương trình vô nghiệm)

Kết luận: Vậy x = .

Ví dụ 2 : Tìm x, biết + =0

GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ

x 1 3

x – 1 – 0 + +

x – 3 – – 0 +

9


Nhận xét : x+1 = 0 => x = –1

x –1 = 0 => x =1

Ta lập bảng xét dấu

x –1 1

x + 1 – 0 + +

x – 1 – – 0 +

Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp

Nếu x< – 1, ta có PT : – x – 1 – x + 1 = 0 x = 0 (không TMĐK)

Nếu –1 x 1, ta có PT : x + 1 – x + 1 = 0 0.x = – 2 (PT vô nghiệm)

Nếu x >1, ta có PT : x + 1 + x – 1 = 0 x = 0 (không TMĐK)

Vậy không có giá trị của x thỏa mãn đề bài.


a) b)

c) d)


a) b) c)

d) e)


a) b)

c) d)

e) f)


a) b)

c) d)

5. Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt.

(1)



Điều kiện: D(x) kéo theo

Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)


a) b)

c) d)


a)

b)

c)

d)

6. Dạng 6: Dạng hỗn hợp.


a) b) c)


a) b) c)


a) b) c)


a) b) c)

7. Dạng 7:



Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp

bất đẳng thức.

* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0

khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.

* Cách giải chung:

Bước1: Đánh giá:

Bước 2: Khẳng định:

Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn:

a) b) c)


a)

b) c)

Chú ý 1: Bài toán có thể cho dưới dạng nhưng kết quả không thay đổi

* Cách giải: (1)

(2)

Từ (1) và (2)


a) b) c)


a) b) c)

Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất

không âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các

bài tương tự.

Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:



a) b)

c) d)

Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn :

a) b)

c) d)


a) b)

c) d)

8. Dạng 8:

* Cách giải: Sử dụng tính chất:

Từ đó ta có:


a) b) c)

d) e) f)


a) b) c)

d) e) f)

II. Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt

đối.

1. Dạng 1: với

* Cách giải:

Nếu m = 0 thì ta có

Nếu m > 0 ta giải như sau:

(1)GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 13


Do nên từ (1) ta có: từ đó tìm giá trị của và tương ứng.

Ví dụ : Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: |x – y – 2| + |y + 3| = 0

Giải:

|x – y – 2| + |y + 3| = 0

Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

a) b) c)

Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

a) b) c)

Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn:

a) b)

c) d)

Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

a) b)

c) d)

Bài 1.5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

a) b)

c) d)

2. Dạng 2: (với m > 0)

* Cách giải: Đánh giá

(1)

(2)

Từ (1) và (2) từ đó giải bài toán như dạng 1 với


a) b)

c) d)




a) b)

c) d)

3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: xét khoảng giá trị của ẩn số.

Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:

a) b)

c) d)

Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau.

a) x + y = 4 và b) x +y = 4 và

c) x –y = 3 và d) x – 2y = 5 và

Bài 3.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời:

a) x + y = 5 và b) x – y = 3 và

c) x – y = 2 và d) 2x + y = 3 và

4. Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một

tích.

* Cách giải :

Đánh giá: tìm được giá trị của x.

Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:

a) b)

c) d)


a) b) c)


a) b) c)

5. Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức.



* Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B

Đánh giá: (1)

Đánh giá: (2)

Từ (1) và (2) ta có:


a) b)

c) d)


a) b)

c) d)


a) b)

c) d)

III . Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

* Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn.

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với

a) b)

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x < – 1,3:

a) b)

Bài 3: Rút gọn biểu thức:

a) b) c)

Bài 4: Rút gọn biểu thức khi



a) b)

Bài 5: Rút gọn biểu thức:

a) với x < - 0,8

b) với

c) với

d) với x > 0

IV. Tính giá trị biểu thức.

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:

a) M = a + 2ab – b với

b) N = với

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:

a) với

b) với

c) với

d) với

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức:

a) với

b) với

c) với x = 4

d) với



V. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt

đối.

1. Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối.

* Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận

dụng tính chất của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức.

Bài 1.1 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

k) l)

m) n)

Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

k) l) m)

Bài 1.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) b)

c) d)

e)


a) b) c)




a) b) c)


a) b) c)

2. Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của

biểu thức:


a) b) c)

d) e) f)

Bài 2.2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) b) c)


a) b) c)


a) b) c)

Bài 2.5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) b) c)

3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức


a) b) c)




a) b) c)


a) b)

c) d)

Bài 3.4 : Cho x + y = 5 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 3.5: Cho x – y = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 3.6: Cho x – y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 3.7: Cho 2x+y = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



PHẦN III : KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢCNội dung về giá trị tuyệt đối được đưa vào chính khóa trong thời gian

cuối của học kỳ II lớp 8, tuy là kiến thức khó, học sinh rất dễ nhầm lẫn khi giải

toán nhưng lượng thời gian dành cho vấn đề này rất ít nên hầu như giáo viên đều

lảng tránh nội dung này trong phần ôn tập và kiểm tra học kỳ II. Chính vì vậy,

học sinh khi gặp nội dung này trong đề thi thường nghĩ ngay là bài khó và ngại

làm. Để khắc phục tình trạng này, trong thời gian ôn tập hè hàng năm tôi đều

dành ba buổi học có nội dung về “Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải

toán” để dạy cho học sinh, giúp học sinh lên lớp 9 nắm chắc kiến thức của

chương trình. Tùy theo chất lượng học sinh hang năm tôi điều chỉnh lượng kiến

thức phù hợp để các em hiểu và hứng thú trong học tập. Qua ba năm triển khai

cho học sinh từ lớp 8 lên lớp 9 tôi thấy hiệu quả đạt được rất tích cực, các em

không còn ngại làm những bài có giá trị tuyệt đối, thậm chí rất thích vì bài toán

có nhiều tình huống.

Sau đây là những kết quả bước đầu khi tôi thực hiện đề tài “Ứng dụng

của giá trị tuyệt đối trong giải toán” cho học sinh lớp 8 lên lớp 9.

Năm họcĐộ hiểu

Lớp 8 Lớp 9

2009 – 2010 8E 20% 9C 60%

2010 – 2011 8C 40% 9C 70%

2011 - 2012 8A 50% 9A 80%



PHẦN IV : KẾT LUẬNI. Bài học kinh nghiệm

Ứng dụng của Giá trị tuyệt đối là một dạng toán không thể thiếu được

trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS. Nếu chỉ dừng lại yêu cầu

trong sách giáo khoa thì chưa đủ, vì vậy đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học,

tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thường xuyên bổ xung kiến thức và tích luỹ kinh

nghiệm về vấn đề này.

* Để dạy cho học sinh hiểu và vận dụng tốt các ứng dụng của Giá trị tuyệt

đối thì bản thân mỗi giáo viên phải hiểu và nắm vững về Giá trị tuyệt đối : các

dạng của Giá trị tuyệt đối , phân biệt sự khác nhau giữa các dạng, đồng thời phải

nắm vững các phương pháp giải của các dạng toán có ứng dụng Giá trị tuyệt đối

* Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng cao kiến

thức nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả, ngoài ra còn giúp

bản thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để có thể tiếp tục nghiên

cứu các vấn đề khác tốt hơn trong suốt quá trình dạy học của mình.

II-Kết luận chung:

Để thực hiện tốt công việc giảng dạy, đặc biệt là công tác bồi dưỡng học

sinh giỏi người thày phải thường xuyên học, học tập, nghiên cứu.

Trong quá trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tài

liệu tham khảo..., tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên. Hy vọng đề tài

“Ứng dụng của Giá trị tuyệt đối trong giải toán” là một kinh nghiệm của mình

để giúp học sinh tiếp thu vấn đề này, phần nào nâng cao năng lực tư duy, sự

sáng tạo và rèn kỹ năng giải các bài toán có ứng dụng Giá trị tuyệt đối cho học

sinh.

Trong quá trình nghiên cứu không thể tránh khỏi sai sót, hạn chế rất mong

được sự giúp đỡ, góp ý của đồng nghiệp.

Đông Thái, ngày 15 tháng 4 năm 2013

Người viết

Tường Thị Thanh Mai



MỤC LỤC

PHẦN I: LÝ DO NGHIÊN CỨU 1

I. Cơ sở lý luận 1

II. Cơ sở thực tiễn 1

III. Mục đích nghiên cứu 2

IV. Nhiệm vụ nghiên cứu 2

V. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu 2

VI. Phương pháp nghiên cứu 3

VII. Giả thuyết khoa học 3

PHẦN II: NỘI DUNG 4

A. Lý thuyết 4

B. Các dạng toán. 5

I.Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 5

II. Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá

trị tuyệt đối. 14

III. Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. 17

IV.Tính giá trị biểu thức. 18

V. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị

tuyệt đối. 19

PHẦN III. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 22

PHẦN IV. KẾT LUẬN 23



LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng đây là sáng kiến kinh nghiệm của tôi. Các nội dung nghiên cứu

và kết quả trong đề tài này là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ sáng kiến

kinh nghiệm nào trước đây. Nếu phát hiện có bất kỳ sự gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu

trách nhiệm trước Hội đồng, cũng như kết quả sáng kiến kinh nghiệm của mình.

Đông Thái, ngày 15 tháng 4 năm 2013

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Người viết

Tường Thị Thanh Mai


buổi 4 + 5 + 6 + 7 + 8 : chuyên đề: giÁ trỊ tuyỆt...

Documents