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-BRASIEE~ . DE CIÊNCIAS MECÂNICAS
A Revista Brasileira de Ciências Mecânicas é uma publicação técnico-cientifica, da Associação Brasileira de Ciênoias Mecânicas. Destina-se a divulgar trabalhos significativos de pesquisa cientifi c a e /ou tecnológica nas áreas de Engenharia Civil, Mecânica, Metal:ur gia, Naval, Nuclear e Química e também em Fisica e Matemática Apli~ cada. Pequenas comunicações que apresentem resultados interessantes obtidos de teorias e técnicas bem conhecidas serão publicadas sob o titulo de Notas Técnicas.
Os Trabalhos submetidos devem ser inéditos , isto é, não devem ter sido publicados anteriormente em periódicos de circulação nacio nal ou internacional. Excetuam-se em alguns casos publicações em ã nais e congressos. A apreciação do trabalho levará em conta a ori~ ginalidade, a contribuição à ciência e/ou tecnologia, a clar.eza de exposição, a propriedade do tema e a apresentação. A aceitação final é da responsabilidade dos Editores e do Conselho Editorial.
Os artigos devem ser escritos em português, ou espanhol ou em inglês, datilografados, acompanhados dos desenhos em papel vegetal, em tamanho reduzido que permita ainda a redução para as dimensões da Revista e enviados para o Editor Executivo no ender~o· abaixo .
Editor Executivo da RBCM Secretaria da ABCM PUC/RJ - ITUC Rua Marquês de São Vicente, 225 - Gávea 22453 - Rio de Janeiro, RJ - Brasil
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The Revista Brasileira de Ciências Mecãnicas(Brazilian Journal of Mechanical Sciences) is a technical-scientific publication, sponsored by the Brazilian Associatlon of Mechanical Sciences. It is intended as a vehicle for t .he publication of Civil, Mechanical, Metallurgical , Naval, Nuclear and Chemical Engineering as well as in the areas of Physics and Applied Mathematics . Short communications presenting interesting resulta obtained from well-known theories and techniques will be published under heading of the Technical Notes.
Manuscripts for submission must contain unpublished material, .i. e., material that has not yet been published in any national or international journal . Exception can be made in some cases of papers published in annals or proceedings of conferences. The decision on acceptance of papers will take into consideration their
l originality , contribution to science and/or technology. r~e Editora and the Editorial Committee are responsible for the final approval.
I
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Executive Editor of RBCM Secretary of ABCM POC/RJ - .,.ITOC Rua Marquês de São Vicente, 225 - Gávea 22453 - Rio de Janeiro , RJ - Brazil
, The final typing will be done by the secretary of RBCM according to the jour~l no~.
Vol. IX n." 2 - Mal. 1987
EDITOR RESPONSÁVEL Rubens Sampaio
EDITOR EXECUTIVO J. M. Freire
CONSELHO EDITORIAL
Abimael F. O. Loula Arthur J. V. Porto Berend Snoeijer Bernardo Horowitz C. S. Barcellos O. E. Zampieri Duraid Mahrus E.O. Taroco Aliano F. Ven&ncio Filho F. E. Mourlo Saboya Giulio Massarani Guillermo Creuss Hans I ngo Weber Henner A. Gomide Jan Leon Scieszko Jerzy T. Sielawa J. J. Espindola Liu Hsu Maurício N. Frota Miguel H. Hirata Nelson Back Néstor Zouain Nivaldo L. Cupini O. Maiua Neto Pedro Carajilescov Sergio Coite
8 Associação Brasileira de Ciências Mecâni .:as MEMBROS DA DIRETORIA DA ABCM
Luiz Bevl lacqua (Presidente) Hans I ngo Weber I Vice-Presidente)
Augusto Cesar Galeio 1Secret3r io Geral) Mauro Serl}io Pmto de Sampaio (Secretário)
Mauricio Noguvira Frota IDiretor de PatromOni• )
ON THE EXJSTENCE OF EULER FLOWS THAT ARE TOPOLOGICALLY ACCESSIBLE FROM A GIVEN FWW 93
H. Keith Mof[att lnstitute for Nonlinear Scienoe and Lnstitu te of Geophysics and Planetary Physics University of California San Diego - USA
ANÁLISE TERMICA EM CRESCIMENTO DE CRISTAIS 103
Washington Braga Filho - Membro da ABCM l'UC/ RJ - Depar tamento de Engenharia Mecânica
C.M. Vest Mech!lnical Engineering .,_ Applied Mechanics Departtnent The UmversJIY of Michigan Ann Arbor - USA
HYDROMAGNETIC FLOW PAST AN INFlNITE VERTICAL OSCILLA1'1NG PLATE WITH CONSTANT HEAT FLUX 119
V. M. Soundalgekar Bríndavan Society Thane - lndia
NOTE ON THE WW ECKERT NUM.BER FOR,M OF THE ENERGY EQUATION 129
Álvaro Toubes Prata - Membro da ABCM UFSC - Universidade Federal de Santa Catarina Departamento de Engenharia Mecânica
RELAÇÕES CONSTITUTIVAS NÃO LINEARES NA DE'IERMINAÇÃO DAS CONFIGUR.AÇOES PLANAS DE EQUlLlllRIO DE UM ANEL CIRCULAR EXTENSfVEL 13 7
Edgar Nobuo Mamiya - Membro da ABCM Universidade F~deral de São Carlos Departamento de Engenharia de Materiais
Rubens Sampaio - Membro da ABCM PUC/RJ - Departamento de Engenharia Mecânica
SILGRAF ARTES GRÁFICAS LTDA. TEL.: 2Ai3-568S- 233-0017
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CDDEM·D7 '
IX CONGRESSO BRASILEIRO OE ENGENHARIA MECÂNICA
9th BRAZILIAN CONGRESS OF MECHANICAL ENGINEERING
.. 7 • 11 'DE DEZEMBRO DE 1987
FLORIANÓPOLIS • SANTA CATARINA · BRASIL
~-. ---....,.-ÁREAS COBEÁTA$.':'"'· .. ·.~. -:-:--,
-:-... ~.: .
.,
,------------PROMOÇÃO-------(PftOMOTED BY)
~ 1noo~ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECANICA
-~H..__ UHIVERSI~ fEDERAL DE SANTA CATAfllliiA
.
,----tNFORMAçOEs Girt!IBI'AJ· .. ,' ... I5----.. (GENERAL~~1
LIMITE PARA ENTREGA OOS RESUM06 - 20/03187 (A.IJST7IACT DCIE- MltR. ». 111117)
UMITE PARA ENTREGA DOS TIWIAUiOS - 15106/87 (FVU.UJV0'11f I'Ai'Eif DUE -JIJN. J.l, 11117)
ENDEREÇO PfOORRE.SPONDêoiOIA {MitiU/110 ADRESSJ
~ DEPT. EHGENiARIA MECANICA • UFSC ex. P. 47e-FLORlANOPOUS. se 880olll - BI'VoSl.
TELEFONE: (0482) 3303117 • 33oQ225
Tel.EX: (0482) • 240 • UfSCBR
Rev. BrMec. Rio de Janeíro, V. IX, n'? 2- 1987 93
ON THE EXISTENCE OF EULER FWWS THAT ARE TOPOWGICALLY ACCESSffiLE FROM A GIVEN FWW
H. Keit h Moffatt• lnstitute for Nonlinear Science and lnstitute of Geophysics and Planetary Physics Univcrsity of California San Diego - USA
ABSTRACf
Through consideration of the process of magnctic rclaxation in a pcrfecrly conducting, vlscoui,
barotropic ftuid, Ir Is shown that, for each pressure-density relationshlp p = kp r, chere exLrcs a
magnecostatic equilibrium field bE (x) thac is ropologically accessible from any given jidd b0(x).
and that the associated magnetic energy is a dt:ereasing function of the compressibiliry. Exact
analogy wiJh the Euler equacions of incompressible inviscid jlow thtn leads to the concluslon
chat, given any kinematically posslblejlow U(x). there exüts (at lcast) a one-parameier faníily of
distinct Euler jlows uE (x • .t) ropologica.lly accessiblefrom U(x).
1. INTRODUCTION
ln a previous paper [l], wc tiavc introduccd lhe concept of 'lopological accessibility', which
is a natural extension of lhe wcll-cstablished conccpt of topological cquivalence, and which plays
an imponant role in lhe theory of lhe cxistcncc of Euler fiows, i.e. steady solulions of lhe classi-
caJ Euler equalions of incompressible now of an inviscid nuid. ln (I I, ancmion was focussed on
a restricted fonn of topological acccssibility involving volum:-prescrving mappings of lhe fluid
domain. ln lhe presem papcr, wc cxtend thc analysis to cover mappings lhat are not volume-
preserving, and thereby show lhat. corrcsponding to any given strcamlinr: topology. thcre is (at
lcast) a one-pardllleter family of distinct Euler fiows (which. as in ( I). may contain tangenlial
discontinuities). The mcthod involvcs appeal to lhe cxact analogy between tbc steady Euler
Oo leave ol abscnee from DAMTP, University c>f Combridge, UK. 1hi• papcr loU6ws the lheme c>t an inviu:d loeturc pn:scntcd atlhc Brazilian 1\llional Coo\gress in ThA:nnoscicnte, Rio de> Jmeiro, Decurlber 1986
94 Rev. BrMec. Rio de Janeiro. V. IX. n9 2- 1987
equations and lhe equaúons of magnetoS1atic equilibrium of a pcrfectly conducting, compressible
tluld, and considcration of the process of relaxa.tion towards such equilibria. The ueatmcnt giv.en
here is self-contained, but more compact lhat in [1], to which rcference should be made for dis-
cussion of physical background and moúvation.
2. TOPOLOGICAL ACCESSIBILITY
Let D be a finile connectcd domain in R 3• and let v(x, t) be a smoolh (C 1) velocity field
defined for xeD and OS t < oo, and satisfying
v =O on i)D (ali 1) .
We define tbe dissioalion integrais
and
D,(l)= J (V X vii'x D
D~o(t) = l (V· v)V3x.
and we shall say lhat v is a relaxa1íon velociry field if
v(x, t ) -+ O as 1 -+ oo, uni fonnly in D ,
and
l D,(l)dl < oo, l Db(t)dl < oo,
letp(x. t) be lhe associated density field satisfying lhe mass-conservation equation
(2.1)
(2..2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
with initial condition p(x,O) =Po (cst), and lct X(x, r) be lhe particle displacement field, deter-
mined by lhe dynamical system
ax a,= v(X,t), X(x,O)= x . (2.7)
The Jacobian of the mapping x __. X(x,l ) is
(2.8)
Components of the defo.rmation tensor éJX;IéJxi cannot increase more rapidly than ex.ponentially,
Rev. BrMec. Rio de Janeiro, V .IX, n9 2- 1987 95
and so are tini te for ali tini te r; hence, for 1 < ""• tlle mapping x -+ X(x, r) is a homeomorphism.
However, as t -+ oo, tlle limiL mapping induccd by a relaxalion velocity lield
x-+ XE(x) = Jim X(x, t) (2.9) 1-+~
may ex.hibit discontinuities, despite tlle panial conLrol implied by (2.5); Lhis is bccause material
surfaces lhat are initially apart may. asymptotically, be squeezed toge lhe r even when· the condi-
tions (2.4) and (2.5) are satisfieci
Now let b0(x) be a smoolh lield satisfying
(2.10)
but olherwise arbitrary; in particular, the topology of b0 is arbitrary. lhe knots and linkagcs in lhe
tines of force of b0 ('b0-lines') bcing arbitrarily compleJt. Let b(x,t) be the vector tield lhat
evolves from b0 under • frqzen-lield' distortion by v(x. t), i.e. b(x, t) is determined by
àb Tt = curl (v x b). b(x. 0) = b0(x).
Note lhat. by vinue of (2.1), (2.10) and (2.11), the conditions
V · b = O in D , n · b =O on i)D
are automaúcally salisficd for all t > O.
The (Lagrangian) solution of (2. 11) is givcn by
(2.11)
(2.12)
"fY ,, ax. ax. b;(X,t)= ~b0(x)-' =r1b 0(x)- ' (2.13)
Po 1 dXj
1 axj
(see. for example, [2J, § 3.1). for cach finitc 1 >O, tllis rclalionship.cstablishcs a homcomor-
pbism between tlle fields b0(x) and b(x, r) wtúch are lhcrefore topologically equivalem: b0-lines
map failhfully to b-lines, and the fiuxes of b0 and b along correspondi.ng Jlux.-rubes are equal.
However, as 1 -+ ""· as noted abovc. Lhe limiL mapping x -+ xe (x) may ex.hibit discontinuities,
and so lhereforc may lhe li.mit fieJd bF. (x) defined by
bE(x)= lim b(x,r) (2.14) , .... _ ln genenu lhercfore. lhe rclationship bctween b0 and bE is nora homeomorphism, and lhe fields
are not topologícally equivalent. We say nevertheless lhat bE (x) is topologically accessible from
b0(x), being tlle resul1 of dcformaúon of b0(x) by a relaxation velocity field. The propcrty of
96 Rev. BrMec. Rio de Janeiro, V.IX, n9 2 - 1987
topological accessibility is weaker than that of topological equivalence, but it is just the property
Lhat is needed in the Euler ftow context.
3. MAGNETIC RELAXA TION lN A BAROTROPIC FLUID
Let us now interpret b0(x) as the magnetic field at time r =O in a perfectly conducting,
viscous. compressible ftuid, wilh barotropic pressure-<lensity relationshlp p =p(p). To be
specific, we shall assume the perfect gas relationship
(3.1)
where y(> 1) and k are constants. 1lle compressibility of Lhe Ouid in Lhe uniform density state
(32)
so that the incompressible limit corresponds to l -+O (o r A: -+ oo ), and the pe.rfectly compressible
(or pressureless) limit corresponds tal-+ oo (or k-+ 0).
ln general. the Lorentz force (V x b~ x b0 is rotational, so that the ftuid must move for r >O,
even if initially at rest. Let v(x, r) be lhe vclocity field Lhat develops, and let p (x, r), p (x, r), and
b(x, r) be the associated density, pressure and magnetic fields. These ficlds are govemed by lhe
MHD equations, namely (2.6), (2.11) and (3.1) togelher with ll'le Navier·Stokes equation
Dv p - =-Vp + (Vxb) x b - pVx(V x v)+ÇV(V · v) . Dr
(3.3)
Here, D IDt = dldt +v · V, and p and Ç represem shear and bulk viscosity coefficiems respec
tively. We shall suppose thatp and Ç are sufficiently large to guarantee smoothness of v(x. r) for
ali t >0.
From these equations, we may easily construct an energy equation. Defining
where
M (t) = ~Jb2d3x
K (r)= 1h Jvlpd3x
n (r)= JQ(ppd3x
(magneLic energy)
(lânetic energy)
(elastic eoergy)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
Rev. BrMec. Rio de Janeiro, V.IX, nC? 2 - 1987 97
and
(energy dissipation rate) (3.8)
we find
! (M (1) + K(t) + O(t)) = -4>(t). (3.9)
O(t) represe.ntS lhe energy stored in lhe Ouid by vinue of lhe compression or expansion of ftuid
elements. and is positive (when r> 1) (since worlc must be done on lhe ftuid to generate density
tluctuations from an initial state ofunlfonn density). At úme t =0, we have
M(O)=M~. K (O)=O. 0(0)=0.
and for al1 t ~ O, we have
O S M (t) S Mo. O S K (t) S Mo. O S 0(1) S Mo .
(3.10)
(3.11)
Wç now argue as in (1): lhe total energy E(t)=M(t)+K(t)+fl(l) is non-negative and
monotonic decreasing, aa:ordíng to (3.9), and tberefore tends to a limil Hence
~~) J. O as 1 -+ - • (3.12)
and hence also, since v(x, t ) is smooth,
K (I) J. 0 as I .._. oo . (3.13)
Hence
v(x. t)-+ O as t -+ oo, unlformly in D . (3.14)
Moreover
l ~t)dl,;, F.(O}-E(oo) SM0 (3.15)
so lhat lhe integrais (2.5) both converge. Hence v(x, t) is a relaxation velocity field as defined in
section 2.
The constraints (3.11) further imply lhat bolhp and I b I remain unlformly bounded in D.
To see this, consider lhe coruribulion to n and M fmm a small mass elemenl ém =p$lx:
(3.16)
lf p -+ O (ém being fixed) then clearly I b I -+ O also, since óM remains finite. A1so p cannot
íncrease wilhou1 limit. since then ôrl -+ oo also, in conH.ict wilh (3.11c) (a posiuve 1nfinlt.y cannot
98 Aev. BrMec. Aio de Janeiro, V .IX, nÇl2- 1987
be compensated by a negative infinity, since Q ~) is bounded below). Rence, I b 11 -1p liM lóm
remains ftni te also.
Since v -+O ând p and 1 b 1 rcmain bounded, equations (2.6) and (2. li ) become asymptoti-
cally
i.e.
~=O ar ' ab =0 ar
p -+p"(x), b -+b"(x),say,asr -too .
Moreover (3.3) becomes
(V X bE) X fi' = 'VpE ,
wherc p E = p ~E); i. e. the asymptotic state is magnetostatic.
(3.17)
(3.18)
(3.19)
lf lhe topology of lhe initial field b0 is trivial (in the scnsc that each b0-line is a closed curve
which may be shrunk conunuously in D to a point without cutting any olber b0-line) tben lhe
asymptotic field may be identically zero. This cannol happen bowever if lhe topology of b0 is
non-trivial, since alllínkages are conserved by (2.11). One measure of topological complexity is
lhe magnetic helicity
(3.20)
where a is any vector potential of b (i.e. b = curl a). H is conserved under lhe froz.en-field evolu-
tion described by (2. 11 ) evcn w~n the now is compressible [4,3]. Moreover when H "* O, lhe
magnetic energy is bounded [5, I ) by ~ inçquality of the form
(3.21)
where q 0 depends only on lhe geometry of D . As r -+ oo therefore, during lhe relaxation process,
the magnetic energy M (t) must tend to a steady v alue M 8 compatible with (3.2 1).
lt would appear therefore lhat. for each topologically nontrivial field b0(x), and for each
pressurc-densily rclationship p =kpr (with r> 1), lhe field must relax to a field b6 (x) Lhat is topo
logically accessible from b0(x), and lhat satisfies lhe equation of magnetostatic equilibrium
(3. 19).
Rev. BrMec. Rio de Janeiro, V.IX, n'? 2- 1987 99
Consider now how the tleld bE (x) changes if the compressibility of lhe ftuid, represented by
lhe parameter .t (eqn. (3.2)). is gradually changed. Suppose that. when the tluid is incompressible
i.t =0) with Wliform densityp0, the relaxed state is described by a field bf(x), with corresponding
pressure field pf (x), and magnetic energy Mf . Suppose lhat we now intrOduce a sman compres·
sibility 6t into lhe system, the new initial condiúons bcing
b(x,O) = bf(x). p(x,O)=p0, p(x.O)=pVJo)(csL) (3.22)
This is no longer a magnetostatic equilibrium. and the field b will proceed to relax, as described
above, to a new magnetostatic t!eld bf(x) say, topologically accessible from b[(x), with energy
Mf. During this process, some energy is dissipated by viscosity, and some magnetic energy is
converted to elastic energy. Hence
Mf < Mf . (3.23)
This argument may now be repeated. With eacb small increase 6t in compressibility, tbere wiU
be an adjusrment to a new magnetostaúc equilibrium, wilh a small decrease of magnetic energy:
oME <O. We thus infer the existem:e of a family of magnetostatic equilibria b8 (x,Á), each one
of which is wpologically accessible from tbe initial fiel(! b0(x), witb magnetic energy ME{). )
satisfying
dME "'"""ii:' < o .
This incquality of com-se implies that disúnct v alues or.t give distinct fields:
4. THE ANALOGOUS EULER FLOWS
(3.24).
(3.25)
The steady Euler equations of incompressible inviscid flow may be written in the form
ux (V x u) = Vh (4.1)
wilh V· u =O. The analogy wilh (3.19) is well-known, the analogous variables being (u, b) and
(h ,-p ). To each solution bE (x) of (3.9). there thcn corresponds an Euler tlow uE (x). satisfying
lhe sarne boundary condition lhat bE saúsfies, namely
(4.2)
100 Rev. BrMec. Rio de Janeiro, V .IX, n9 2- 1987
By the argument of § 3, we.llave shown lhat for any field b0(x) satisfying V· b0=0 in D.
n · b0=0 on i)D, there exists at least a one-parameter family of ~agnetostatic fields bE(x,Â) that
are topologically accessible from b0. We can now translate this to lhe language of Euler flows:
givetr any kinematicall y possible tlow U(x) in D , satisfying V · U =O in D , n · U = on i)D , there
exists at least a one-parameter family Qf Euler fiows u8 (x,Â) (O;S;Ã <oo), with kinetic energy
K 8 Ç\.) satisfying dK8 ldÀ. <0.
We sllould perhaps emphasise that, for general three·dimensional oonfigurations. lhese
flows may exhibit tangential d.iscontinuities (which are an inescapable feature of lhe magnetic
relaxation problemas described in (1]). As! increases. it seems Iikely (from physical considera
tions like those preceding (3.24)) that these discontinuities will become stronger and more
densel y d.istributed.
The limiting situation l ~ oo is of particular interest. For the ,MHD relax.ation problem of
section 3, thls conesponds to lhe 'pressureless limit' and the equilibriutn field io theo a force-free
field satisfying
(4.3)
(Minimisation of magoetic energy subjec1 10 the consll'abits of magoetic helicity invariance is
known to yíeld force-free fields [4,6].) The analogous Euler llow is then a Beltrami ftow satisfy
ing
(4.4)
IJ is remarkable that there must exist a Beltiaml Oow that is topologically accessible from any
kinematically possible ftow U(x); but the above reservations conceming the probable singular
charnc.ter ofthe flow uE(x,Â) asl ~oo sllould be bome in mind.
S. DISCUSSION
It is an extraord.inary fact that new insigtits concenúng Euler llows, i. e., lhe steady flows of
a ftuid that is (i) inviscid (ii) incompressible and (iii) non-conducting. can be obtained, as
described above, lhrough considerntion of unsteady relaxation processes in a fluid that is (i)
viscous (ii) compressible and (iii) perfectly conducting, and through argument by analogy. The
. Rev. BrMec. Rio de Janeiro, V.IX. n9 2 - 1987 101
sarne results could be obtained wilhout using lhe language of magne~.obydrodynamics, but lhe
fonnulation would appear artificial. sincc the subsitliary relaxation velocily field v(x, t) lhat has
to be introduced could be interpreted only in tenns of mappings of lhe Ouid domain (via (2.7)),
and would Jack simple physical interprctation.
The fact [I] that lhere is at least one Euler now tnpologically accessible from an arbitrary
solenoi(!al flow U(x) is already remari<able since lhis immediately implies the existence of an
uncountable infinity of topologica!Jy distinct Euler flows for a given domain. We have shown ln
the present paper thar lhe complete family of Euler nows is wider still: for any solenoidal U(x).
there is a whole family uE (x).) of Euler flows, each member of lhe family being topologicaiJy
accesslble from U(x) via mappings of thc domain lhat are not volume-preserving.
REFERENCES
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Rtv Lm., 33, 1139. 1974.
Rev. BrMec. Rio de Janeiro. V.IX, nO 2- 1987
ANÁLISE TÉRMICA EM CRESCIMENTO DE CRISTAIS
Washington Braga Filho Membro da ABCM PUC/ RJ - Departamento de Engenharia Mecânica
C.M. Vest Mechanical Engineering & Applied Mechanics Department The University of Michigan Ann Arbor - USA
RESUMO
103
Um estudo numérico foi feito sobre os efeitos convectivos que ocor
rem durante o crescimento de cristais pelo método proposto por
Czochralski. o estudo observou a transição de um escoamento domin~
do por empuxo para um escoamento dominado por forcas cent r í fugas, o
efeito do resfriamento na base do cadinho e 0 possível aparecimento
de uma região de escoamento assimétrico. As equações de transporte
foram resolvidas por extensões do método compacto originalmente su
gerido por Kreiss. Soluções foram obtidas para números de Rayleigh
até lOs, razãode aspectos variando de 0 , 75 até 2,0 , tamanhos adime!!
siOJ!ais de cristais variando de O, 1 a O, 7 e números de Prandtl
variando de 10 a 100.
ABSTRACT
A numerical studyof the convective effects appearing during crystal
growth by the Czochralski method was made. The study focused
primar ily on the transi t ion from a buoyancy domina ted flow to one
dom1nated by centrifugai force, a crucible bottom cooling effect
and the likely appearance of a ncn-symmetrical flow situation. Thc
governing equations were solved by ext~nded versions of the compact
melhod oriqinally suggested by Kr~ 1ss. Solutions were obtained for
Rayleigh numbers up to 10 5, crucible aspect ratio ranginq from 0,75
to 2.0, dimensionless crystal sizcs from 0.1 ~o 0.7 , and Prandtl
numbexs ranginq from lO to 100.
104 Rev. BrMec. Rio de Janeiro, V.IX, n~2 - 1987
NOMENCLATURA
a - raio do cristal
b -raio do -cadinho F - primeira derivada da função, equação (6}
g - ace.leração da gravidade Grb - número de Grashof, definido pela razão Ra/Pr
h - . tamanho da malha hf - nlvel do fundido. na cavidade H - razão de aspectos da cavidade, definida por hf/b
P - coeficiente de radiaç·ão, definido por Kro6T/orcbT~
Pr - número de Pran.dtl, définido por "m/~ r - coo~denada· radial, adimensional
Rab - número de Rayl~igh, definido por Bm 9 6T bs I~ "m Re - número de Reynolds, definido por w8 a 3 /vm Re* - nümero de Reynolds na transição do escoamento
R8 - raio d~ crista1, adimensional
S - segunda derivada da função , equação (6}
t - tempo T - temperatura Ta - temperatura ambiente Ta6 - razão entre temperatura ambiente e temperatura lateral do ca
dinho
- temperatura da base do cadinho
- temperatura lateral do oadinho
- temperatura do cristal
Tb
Te
Ts u - velocidade meridional, direção
v - velocidade azimutal w - velocidade meridional, direção
z - coordenada axial, adimensional
Símbolos Gregos
am - difusividade térmica do fundido a+ - definida pela razão 6T/T
8
radial, equação (4}
axial, equação (4)
Bm - cQeficiente de expansão volumétrica do fundido
6T - diferença de tempexatura entre cadinho e cristal c - emissividade do fundido 9 - temperatura adimensional, definida por (T- T
8)/(T
0-T
5)
9b -temperatura adimensional do fundo do cadinho, (Tb-T5)/(T
0-Te)
Rev. 'BrMec. Rio de Janeiro, V.l X, n<? 2- 1987
~m condutividade térmica do fundido
vm - viscosidade cinemática do fundido
~ - vorticidade, equação (1)
~ - função de corrente, adimensional
~~-'max - máximo valor para a função de corrente
or - constante de Stefan-Boltzmann
ws - rotação do cristal
INTRODUÇÂO
105
A técnica proposta por Czochralski é frequentemente usada p~
r a o desenvolvimento de cristais de óxidos ou mesmo semi-condutores.
Em uma cavidade cilíndrica, o cadinho, os componen·tes fundidos são
aquecidos lateralmente e um escoamento por convecção natural é ind~
zido. O processo de cristalização é iniciado pelo abaixamento de
uma semente do cristal até a superfície livre do fundido. Após-o equ,!
librio térmico local, a semente é posta a girar, tentando-se asseg~
rar a simetria do escoamento e com isto, as características do pro
duto final, isto é, o cristal, Para isto, há necessidade ainda de
se controlar o escoamento do fundido que dependerá da importância re
lativa do aquecimento lateral e da rotação do cristal. Como mostra
do experimentalmente por Cockayne et al. (1976).
Num trabalho anterior, Braga (1985) descreveu os efeitos do
resfriamento da base do cadinho no escoamento de fundido. Portanto,
a inter-dependência do número de Rayleigh, efeitos rotacionais, nu
mero de Prandtl, tamanho relativo do cristal, razão de aspectos e
grau de resfriamento da base foi estudada. Dois dos aspectos estu
dados são aqui r e la'tados: o efeito do resfriamento na transição de
convecção natural para convecção forcada e o aparecimento de uma r~
gião de escoamento aparentemente assimétrico .
DESCRIÇJI:O DO MODELO
A Figura 1 apresenta o modelo físico e o sistema de coordena
das usados neste sentido. Nesta primeira fase do estudo, várias s~
plificações foram introduzidas para simplificar o trabalho computa
cional. Por exemplo, desprezamos os efeitos do escoamento termoca
pilar na interface líquida, da ~nteracão por radiação com o meio a~
biente, etc. Desta forma, as equações são esc r i tas em coordenadas
106 Aev. BrMec. Aio de Janeiro, V.IX, n'? 2- 1987
cilíndricas seguindo Kobayashl (1980), usando-se a aproximação de
Oberbeck-Boussinesq para o termo de empuxo. As velocidades meri
dionais são obtidas a partir da solução de uma equação biharmônica
generalizada para a função de corrente , w. Com isto, apenas tres v~
riáveis dependentes básicas estão presentes: a função de corrente,a
temperatura T e a velocidade azimutal V.
LINHA OE CENTRO
T - T1
FU NDIDO
PAREDE FRIA
b
T - Te
PAREDE QUENTE
Figura 1 . Modelo Geométrico para Cristal e Cadinho
Normalizando-se os comprimentos pel o raio do cadinho, b , o
tempo por b 2 /<1n ( am sendo a difusividade térmic~·), as velocidades
meridionais (u e w)po~ am/b , a velocidade azimutal por ws a (rota
ção do cristal vezes o raio do cristal) e a temperatura por e ~ (T - Ts)/(Tc - Ts), Tc sendo a temperatura do cadlnho e Ts a tempe
ratura do cristal, ambas supostas constantes, as seguintes equações
são obtidas:
i . Equação biharmõnica:
l:.í+2 a·w +D - 2..~+2.~ - . .1...21 -1.. aJ .IP ar• Cl r 2 Cl z2 az· r' C! r, . r 2 ar 2 r ' ar r ar a z 2
Pr l a a t a e _ Re2 Pr av~ -- (uç) + -- (wt) - r Ra ar az ar Rs 2 Cl z
( 1 ) r = -
Rev. BrMec. Rio de Janeíro, V.IX, n9 2- 1987 107
com ç .. Õ2ljl - ...!..: .21 + ü
ílr2 r ar az 2
ii. Equação de energia:
a{ue) + (l{we) + ue (2) ar az r
iii. Componente azimutal da equação de momentum:
~ + 3(wVl + 2 uv = Pr ~ a2v + ...!_ av _ y_ +·i v l {Jl
a·r az r l 3r 2 r ar r 2 az 2 ~
Para estas equações, os perfis de velocidade s·ão obtidos por:
u"' 1 ~. e w = - ..l.~ {4) r az r ar
Devido à normalização escolhida, a região de interesse torna- se O < r < 1.0 e O ~ z ~ H, onde H é a razao de aspectos da c~ vidade, definida pela razão entre a altura do fundido na cavi dade e
o raio da mesma. Para esta região , as condições de contorno são:
Para r~ O, a condição de simetria resulta em que:
~ .. o ar
a v ar
o au = 0 ar
~=o ar
na parede lateral do cadinho, r • l . Ot
6 1.0 v = o ~ = o u = O e w
no topo, z = O, e :
i. Na região do cristal, O < r < Rs:
u = o o w o V = r/Rs e 6
o (Sa)
o (Sb)
o (Se)
108 Rtl(. BrMec. Aio de ~anelro, V.IX, -n9 2- 1987
ii. Na interface liquida, Rs < r < 1. 0':
au o a v o w o ljJ o .li .1... { (1 + a+e l • - Ta •} az ãZ I ,
ÔZ p 5
(Sd)
e na base do cadinho, z ~ H:
u = o w· = o tjl = o v o e e·= 9b (Se)
A metodologia de solução é apresentada em detalhes em Braga
(1985) e é baseada na formulação Hermitiana proposta por Kreiss em
Orszag e Israeli (1975). uma descrição sucinta é apresentada a se
guir.
MtTODO DE SOLUCAO
Nesta primeira fase do estudo, apenas as soluç~es de regime
permanente foram obtidas e consequentemente um termo de falso tran
siente foi introduzido, Mallison e Vahl Davis (1973). A técnica de
diferenças finitas foi usada para a discretização das equações de
transporte. Usou-se a formulação Hermitiana na qual a primeira ou a
segunda derivada são mantidas como incógnitas, além da função. Para
as equações de energia e momentum azimutal, considerou-se a primei
ra derivada, F, isto é, o gradiente, e para a equação biharmônica
usou-se a segunda derivada. Em ambos os casos, os esquemas resul
tantes são tri-diagonais em blocos de 2.
Como a formulação usada neste trabalho re.quer para cada con
torno a determinação de duas condições, que normalmente não estão
disponiveis, op~ou-se pelo uso de relações entre as incógnitas, co
mo indicado por Hirsh (1975). Por exemplo, para a equação hiharmô
nica, usou-se.
onde h é o tamanho da malha. Naturalmente, Fw é a velocidade do
fluido na parede, que é conhecida pela condição de não deslizamento.
Para a equação de energia, informação adicional nos contornos foram
obtidas pela aplicação local da equação diferencial ou pelo uso de
correções a posteriori, Braga (1985).
Rev. BrMec. Rio de Janeiro, V.IX, n<.> 2- 1987 109
O procedimento de solução é simples. Um ciclo interno de ite . -rações, consistindo na solução da equação biharmônica através de m~
todo iterativo (direcões alternadas), indica o campo de velocidades
meridionais. Em seguida, as equações da energia e momentum azimutal
são resolvidas no ciclo externo de iterações . Critérios adequados de
convergência foram usados como de costume . Quando conveniente, mé
todos simples de continuação no número de J;teynolds e no raio de cri~
tal foram utilizados a fim de forne cer estimativas iniciais par!!- o
próximo conjunto de parâmetros. Outros detalhes do método matemáti
co são discutidos em Braga (1986).
Nas próximas secões, as ~bservacões feitas durante estudo p~
ramétrico são apresentadas .
TRANSIÇÂO DE ESCOAMENTO
Sem rotação, o escoamento na superfície do fundido vai da p~
rede lateral do cadinho para a região do cristal , induzido pela co~
veccão natural e indicado pelo número de Grashof, baseado no raio do
cadinho, Grb. Com isto, a interface de cristalização assume uma foE
ma convexa, se vista do lado do fundido. Com suficiente rotação do
cristal, indicada pelo número de Reynolds , Re, o escoamento ocorre
no sentido oporto, do cristal para a parede lateral, o que resulta
numa forma côncava para a mesma. Um balanço de energia associa as
isotermas à curvatura da interface, através dos gradientes térmicos.
Como o escoamento se dá em sentidos opostos na regiãodocri~
tal, dependendo da forca dominante, pode-se definir a transição co
mo sendo a situação em que o máximo valor da fu nção de corr~nte mu
da de sinal; de negativo, para escoamentos dominados pela convecção
natural, para positivo, quando dominados pela convecção forçad~. As
Figuras 2 e 3 mostram os contornos das linhas de corr e nte e do cam
po de temperaturas, nestes dois casos, respectivamente . O efeito da
rotação aparece nitidamente.
Um extenso estudo sequencial sobre a transição foi feito e
concluiu-se que a interação entre os potenciais disponíveis é descr_!
ta por:
onde n "' 2,0 Rs -0• 26 , indica o efeito do tamanho · do cristal. Para
110
i )
U NHA DE CENTRO
ii)
Rev. BrMec. Rio de Janeiro, V.IX, n9 2- 1987
CRISTAL
PAREDE QUENTE
""REDE F'RIA
PAREDE • QUENTE
PAREDE F'RIA
Figura 2 . i) Linhas de Corrente e ii) Isotermas
Ra:SxlO', Re:O, Pr:lOO . O, Ob:O .S, Rs=0 . 3,
H=l.O, ~max= -6.4 no ponto (0 . 58 , 0.39)
Rev. BrMec. Rio de Janeiro, V.IX, n9 2- 1987
i)
.8:3
.6 7
. 50
.;3 :3
LINHA DE CENTRO
i i )
UNHA OE CE.NmD
CRISTAL
PAREDE FRIA
PAREDE FRIA
PAREDE QUENTE
PAREDE QUENTE
Figura _3 . i) Linhas de Corrente e ii) Isotermas
Ra=SxlO~, Re=l5.0, Pr=lOO . O, 8b=O.S,
Rs .. 0 .3, H=l.O, 1jlma.x"'l0 .8 no ponto (0.31, 0.21)
111
112 Rev. BrMec. Alo· de Janeiro, V.IX, n9 2 -1987
inspeção da equação (1) , vê-se que o expoente correto para o caso
que o raio do cristal seja igual ao raio do oadinho, Rs = 1, é de fa
to 2,0, confirmandoemparte a equação (7). Neste caso limite, este
resultado confirma a análise feita · por Carruthers (1976) ma·s difere
totalmente da análise. de Kokayashi (1981) e Miyazawa (1981) que in
dicaram que a transição é descrita por:
(8)
Aparentemente, as hipóteses feitas por estes últimos a~tores, base
ando-se no trabalho de M.ori (1961) não são satisfatórias no escoa
mento do fundido. Maiores detálhes estão disponivéis em Braga (1985) .
Com o aumento gradual do número de Reynolds, i . e. da rota
ção, a célula de convecção forçada tende a ocupar g-radualmente o
fundo da cavidade, formando uma célula do tipo de Tay1or-Proudman,
embora com intensos gradientes axiais. Como a corrente de fluido
que~.sai da superfície livre poderá ser aquecitla ·no fundo .do cadinho,
a corrente que é puxada pela rotação do cristal poderá causar uma li '\ -
beração mais intensa de calor. Ass.im, uma ihten'Sa fusão local do cri!!
tal já desenvolvido poderá ocorrer, ~ a:lêni àe resultar na mudança
de concavidade, já citada·, poderá gerar tensões térmicas residuais
no produto final, o que é indesejável.
A Figura 4 mostra o efeito da rotação no aumento de tempera
tura do fundido perto ào centro do cristal. Como discutido por Hurle
(1983), o aumento de temperatura pode ser tão elevado que geral in~
tabllidades no menisco junto ao cristal. Nestas condições, o cris
tal poderá se separar do fundido, terminando o crescimento . O efei
to benéfico do resfriamento da base do cadinho é ainda mostrado.
Quando a célula de convecção forçada atin~e o fundo, calor será re
tirado do sistema e assim, a corrente ascendente será mais fria e
ocasionará menor fusão. Um outro efeito benéfico é .areduçãodosgr~
dientes térmicos na região do cristal, obtend.o-se uma ·transição mais
suave e reduzindo-se o aparecimento das discordâncias, isto é, red_!!
z indo as tensões térmicas. Nestas figuras, Re* é- o número de Reynolds
que promove a transição no e ·scoamento.
Confirmando observações anteriores de Simpkins ( 19.83) , sempre
que a temperatura da base do cadinho for menor que a temperatura CO!.
respondente a uma condição adiabática, uma região estagnante apare-
Aev. BrMec. Rio de Janeiro, V.IX, n9 2 - 1987 113
ce no fundo, devido a presença de uma estratificação estável. Como
o escoamento nesta região é bastante lento, eventuais contaminações
irão se concentrar lá e, poderão ser arrastadas para a região de cri2_
talização se a célula de convecção forçada atingir o fundo repenti
namente. A região da estagnação é mostrada na Figura 5. Vê-se nitl
damente, as isotermas horizontais, características do regime de con
dução. Uma discussão destes efeitos é apresentada em Braga e Vest
( 1986).
0.8
fle e( Re) -a( Re-o)
0 .6
0.4
0.2
o o
Ro • 5X IQ4 Rs • O. 3 H • 1.0
0.5 1.0
c
8
9b ! Ae · Ol Re. 1.0 0-045} 14.0 0 5 0 .0 42 . 13.3
o 0.0 4 1 12.8
1.5 2.0 2 .5
Re / Re•
Figura 4. Aumento de temperatura próxima ao cristal devido ao número de Reynolds. Efeito do resfriamento na base do cadinho
INSTABILIDADE
Durante o presente estudo, verificou-se que a obtenção de SQ
luções numéricas para certos números de Reynolds era muito difícil.
Por exemplo, para Ra=l0 5 , Bb=O , Pr =lOO, Rs=0,7 e H=l,O, sotu
ções só foram obtidas para Re S 11,0 e Re ~ 22,0. Para 12,0 < Re < 21,0,
as oscilações que apareceram nas variáveis dependentes, tornaram i~
possível a obtenção de soluções convergentes . Um extenso estudo numéri
co foi feito e nenhuma fonte de instabilidade numérica foi encontrada .
Soluções aparentemente corretas foram obtidas em situações onde os
gradientes de temperatura e de velocidade azimutal eram bastante mais
114 Aev. BrMec. Aio de Jane1ro , V .l X, n9 2- 1987
intensos que os observáveis naquelas faixas. Verificou-se ainda que
as oscilações aparecem para números de Reynolds capazes de iniciar o
desenvolvimento da célula de escoamento secundário controlada pela
rotação do cristal e perduram até que o número de Reynolds seja su
ficie ntemente elevado para que a célula s.e extenda horizontalmente
passando a ocupar toda a extensão do cristal.
i )
LINHA OE CEN~
CRISTAL
MREOE FRIA
ii) CRISTAL IJ'5I!b-7"11
PAREDE QUENTE
UNHA OE PAREDE QUENTE CEN~
.80
.50
PAREDE FRIA
Figura 5 . Isotermas Racl0 5, Pr=lOO . O, Re=O, H•2.0, 9eq=0.56,
i) 9b - o ii) Sb = 0 . 6
Rev. BrMec."Rio de Janeiro, V.l X, n9 2- 1987 115
· Uma vez que explicações puramente numéricas para·o fenômeno
foram descartadas, explicações f isicas foram procuradas. De todas as
possivels causas de oscilação já identificadas durante o crescimen
to de cristais, apenas o aparecimento de ondas de superfície obser
vado por Brice et al {1974) poderia oferecer um possível mecanismo
de instabilidade. Estes autore& observaram ondas durante o cresci
mento de cristais de óxido de silício estabilizado por bismuto.
o aparecimento daquelas ondas aparentemente está associado
com as chamadas instabilidades bar o c linicas, comuns a sistemas mete.Q.
rológicos e, é facilitado quando os efeitos de inércia não são dom!
nantes no interior do fluido. Este é o caso nos escoamentos estuda
dos por Brice. A partir do extenso trabalho de Ride e seus co-aut.Q.
res (e . g . 1965), sabe-se que em certas situações, regiões simétricas
e assimétricas de escoamento podem aparecer e, as situações de ass!
metria são caracterizadas por ondas. Uma visão mais recente sobre
esse t ipo de instabilidade {Pedlosky, 1977) diz respeito à teoria
das bifurcações, onde um tipo de escoamento torna-se instável , bifu!_
cando- se para outro estável .
Apesar das várias similaridades entre os experimentos de Hide
e os escoamentos dos fundidos, o mecanismo exato que leva ao regime
de ondas no caso em estudo , não pode ser o das instabilidades baro
c l ínicas, como foi proposto por Brice et al {1974) ouBrandle(1981).
Em meteorologia, de acordo com Lorentz (1953), o mecanismo de troca
de energia entre o escoamento principal e o secundário é o da conve!.
são das energias potencial e interna disponíveis em energia cinéti
ca, o que foi comprovado no estudo numérico sobre este problema,fe!
to durante o P!esente trabalho, dando suporte à investigação, numéri
ca . Entretanto, durante o crescimento de cristàis, o regime instá
vel aparece numa situação em que os níveis de energia cinética e i~
terna do escoamento principal são mínimos e máximos; respectivamen
te . Isto é discutido em detalhe por Braga (1985).
Como conclusão deste estudo, verificou-se que o aparecimento
dp esco~ento secundário pode gerar instabilid~des que resultam em
perturbações oscilatórias. Como estas situações constituem fenômenos
tri-dimensionais, que não podem ser simulados por códigos supondo si
metria radial, o processo iterativo tem dificuldades para convergir
para um possível escoamento médio. Pretende-se retomar estes expe
rimentos, usa!ldo-se agora métodos mais eficientes para o estudo de
bifurca~ões, como, por exemplo, o usado por Dinar e Keller (1985).
116 Rev. BrMec. Rio de Janeiro, V.IX, n9 2- 1987
CONCLUSÕES
As equações de transporte foram resolvidas numericamente pa
ra o estudo dos efeitos térmicos durante o crescimento de cristais.
Usou-se um código biharmônico generalizado e esquemas compactos pa
ra o estudo paramétrico .
As soluções indica·ram que com o aumento do número de Reynolds
uma região de escoamento secundário aparece embaixo de cristal, pr2
movendo uma uniformização da temperatura local. Eventualmente, os
efeitÓs centrífugos tornam-se dominantes e haverá transição no regi mede escoamento. Na transição·, GRb cr. Ren, onde Gr é o número de
Grashof baseadb no raio do cristal.
Verificou-seque o resfriamento da base ~o cadinho pode prom2
ver reduções significantes nos gradientes térmicos na interface de
cristalização, reduzindo assim as tensões térmicas que alteram a qua
!idade dos cristais desenvolvidos. Naturalmente, os resultados in
dicados aqui só são relevantes considerando-se o modelo apresentado .
Tendo em vista que todos os resultados apresentados têm comprovação
experimental, ao menos qualita.tiva, pode-se concluir que as aproxi
mações feitas apenas afetam localmente o escoamento (caso da inter
face suposta plana, por exemplo) ou são pouco importantes (aproxim~
cão de propriedades constantes) . Finalmente, deve-se lembrar que os
fluidos aqui tratados não tem suas propriedades conhecidas com pre
cisão e seria temerário incluir estes efeitos neste estudo .
Finalmente, oscilações incomuns .foram observadas durartte o
estudo, indicando provavelmente um regime de escoamento assimétrico.
A situação é vagamente semelhante a fenômenos meteorológicosmascom
diferentes mecanismos de desenvolvimento de perturbações.
AGRADECIMENTOS
Este trabalho foi. realizado durante o doutoramento do primei
ro autor. Diversas pessoas e instituições contribuíram de alguma for_
ma durante o projeto. Em especial, o CNPq e a PUC/RJ pelo indispe~
sável suporte financeiro. Os autores são também gratos ao Dr. Dixon
Dudderar dos Laboratórios Bell (AT & T) pelo apoio e atenção duran
te o trabalho e aos revisore.s deste artigo, pelas sugestões feitas
no intp.i to de aclarar diversos pontos. A todos nossos agradecimentos.
Rev. BrMec. RiO de Janeiro, V. IX, n9 2 - 1987 1.17
.QEFERSNC LAS
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120 Revo SrMeco Rio de Janeiro, VoiX, n9 2- 1987
penetration distance Xp o Also Xp is a function of t 1 (time) max max
and y 1 (coordinate normal to the plate} o ln all these papers the
flow past a stationary plate was studiedo
lf the vertical plate is osc~llating in its own plane, and
the temperatura of the plate is slightly different from the
temperature of the fluid far away from the plate, then the free
-convection currents do affect the flow and the leading edge
effects. For an isothermal, oscillating vertical plate, such a
study was undertaken by Soundalgekar (15} and its MHD-aspect wasalso
studied by Soundalgekar, Patil and Takhar [16} o Another physical
situation to be considered here is the effects of constant heat
flux on the f.low of an incompressible viscous fluid plast an
oscillating vertical infinite plateo This was studied by
Soundalgekar and Patil [17] o It is now proposed to study the
effects of transversely applied magnetic f ield on the flow of an
electrically conducting viscous incompressible fluid past an
infinite vertical plate oscillat ing in its own plane in the presence
of constant heat flu~ at the plate.
These results will be useful in nuclear engineering, space
-ship devices, etc. at the design stage .
ln Section 2, the mathematical analysis is presented and in
Section 3, the conclusions are set out .
HATHEMATICAL ANALYSIS
We consider an infinite vertical plate coinsiding with
X 1 -direction and normal to y'-directiono Initially, the infinite
vertical plate and the electrically conducting flu id are at rest
and at the sarne temperature T~o A transversely appli ed magnetic
field in the direction of y•-axis is assumed to exist. At time
t'=o+, (which means time measured just after t 1 =0) the plate
starts oscillating harmonically in i ts own plane and simul taneousl y ,
heat transfer takes placeo Under these conditions, wi th usual
àoussinesq's approximations, and neglecting induced magnetic fi e ld,
the flow can be shown to be governed by the following equations:
au • = a2 u'
g6(T 1 - T~) o-s& u . \} -- + -
ílt ' (ly I 2 p (1)
êiT ' k
Cl 2 T 1
PCp - a y 1 z ílt' (2)
Rev. BrMec. Rio de Janeiro, V.IX, n9 2- 1987 121
The initial and boundary conditions are
GIT' g_ y ' =O - at õyl K for all xl
UI (0)
and t I ;;; 0 UI (oo) o T I .. TI
00 as y I -+ 00
UI (y I) = o T 1 ('f 1) = T.:, for t' S O (3)
We now introduce the following non-dimensional quantities:
u = u.1 /U0 , y • y 1 U
0/v , t = U~t'/v , w = vw' /O~
o-B2 v 14)
e = (T'- T.:,J I (qv/kU 0 ) G qv 2 gB/kU~ M Q I
pU~
Equations (1)-(3) 1 in view of equation (4), can be red~ced
into the following non-dimensional form:
êlu õ2 u + G6 - Mu ( 5)
élt ély2
a e él 29 p ély2
(6) élt
Here G is the Grashof number , P= (~cp/kl 1 the Prandtl number , v the
kinematic viscosity 1 ~ the non-dimensional frequency, q the heat
flux, g the acceleration due to gravity, k the thermal conductivity 1
cp the specific heat at constant pressure, 1.1 the. viscosity, U0
is the velocity amplitude of the oscillating surface and T 1 is the
temperature of the fluid near the plate . Also the fluid is bounded
by the plate on one side.
The initial .and boundary conditions are
u ( y) = o
u(O) coswt
o
9 (y) "" o
d9 (0) dy -1}
a O \
for t: !i O
for ..all x and t 1: O (7)
122 Rev. BrMec. Rio de Janeiro. V I X. nC? 2 - 1987
The solution of equations (5} and (6), satisfying the cond1tions
( 7 ) are derived by the usual Laplace-transform technique and is
given as follows:
8 = 2/t ,_l_ exp(-n 2 Pl .-n/Perfc(n/P 1} l liiP
G [(P-1) 2 {1 ( Mt )[ ( + (P-1 ) /P Ma 2 exp P-1 exp -2n {E) erfc
1
( 11- ffi ) + exp ( 211 ~ :~~ ) erfc (n + ~) J} (P-1) 2
M2 I nt
(P-ll 2
{ exp(-n 2 P) } P-1 [ 1 + M2 liit + M 2 lt Iii exp ( -•~ ap)
(8)
- n iP erfc(niP>]- ( P:~)a { ~exp (PM-tl) [exp (-2n ~ :~ )
• erfc ( n lP- ~ PM-\ ) + exp ( 2 n ~ :~~ )
where 11 "" y/2 lt and erfc is the complementary error function .
When P<l, the argument of the error function is imag1nary
and hence in this c a se , wh ile numerical calculations are carried
out, we use the following formula :
erfc (X+iY) = e- 2 iXY F(X,Y )
(9}
124
II
Aev. BrMec. A io de Janeiro, V.IX, n~ 2 - 1987
"1
G 00 0 -2 5 ·0
0 ·6 5·0 0 ·2 5 ·0
f'iyure 2 . Veloc i ly profi les P :o 7
"1
(J 1-0
Figure 3 . Tempera tur a profiles
M 5·0
5 ·0 10 ·0 --
5·0 ---
Rev. BrMtc. Rio de Janeiro, V .IX, n<? 2 - 1967 125
From the velocity field, we now study the effects of the magnetic
field on the leading edge effect. The penetration distance is derived
by integrating u with respect to t and the maximum penetration
distance XPmax at any time can be determined by differentiating Xp
with respect to y holding t constant and then by setting the
derivative equal to zero . Thus, the penetration distance is given by
Xp = 1t u(y,tl dt .
We can express Xp in terms of the Laplace-transform and inverse
transform with respect to the variable t as
o r
Substituting Ü(y,s) and taking the inverse function, we have
Xp (P-~)/P [( P~~~a l P~l (~ exp ( PM-tl ) { exp (-2n ~~~ )
• erfc ( n - ~ =~~ ) + exp (2n~) erfc( n + ~)}]
(10)
1 "} 2(P-1)2/t { 1 } =-:-
11t exp(-n 2 ) - -- exp(-n 2 ) - n erfc( n)
n1t: M2 fi
- nerfcln>) ]}+ (P-l~: 2/t {.:n exp(-n 2Pl - n/P erfc( niP>}
+ P-1 Í~ t 3/2 ( l+nap exp(-n 2P)- (l +n2P)n/P erfc(n/P))}
M 13 . li 2
(P-.l).:a·.{ P-1 rl ( Mt ){ ( ~Pt ) - -- - exp -- exp -2n --M.:a M 2 P-1 P-1
erfc ( n lP -~) + exp ( 2 n ~~~ )
(11}
126 Rev. BrMec. Rio de Janeiro, V.I X, nC? 2- 1987
The numerical values of Xp/G have been calculated for P = 7, and
P .. O. 71, as shown on Figure· 4. We observe from this figure, that
Xp/G negative for water means that there is no transition from
conduction to convection in water. But in water, Xp/G increases
with increasing M and henCC!, we can e:>..pect t;ransition at larg.e
values of M. But in air, Xp/G decreases with i.ncreasinq M and hence
the transition from conduction to convection is anticipated by a
large value of M. Also, the transition from conduction to
convection is not found to be affected by the frequency of t he
oscillating plate. This is so in the absence of viscous
dissipative heat. The transition wil l certainly be affected if
viecous dissipative heat is taken into account which·iS so in the
presence of very high Prandtl number fluids or if the effects of
oscillating plate are considered at a very high value of
gravitational field.
.. &·O &·O
10.()
Figure 4. Leading edge effects
Aev. BrMec. Alo de Janeiro, V.IX, n!> 2- 1987 127
From the velocity field, we can calculate the skin-friction as
1 dul ' = - 2/t dn n=o
( 12)
From equations (9) and (12), one can find the expression for 1, a
straightforward operation avoided here due to space limitation. The
numerical values of T are entered in Table 1.
Table 1 . Values of T, skin-friction
t G M p =o . 71 P=7
0.2 5 5 0 . 176 0.660 0.4 5 5 0 . 250 0 . 543 0 . 2 10 5 0.353 1. 32
0 . 2 5 10 0.109 0.228
We observe from this table that the skin-friction for water is
greater than that for a ir. An incre ase in M le.ads to a decrease in
the skin-friction but it increases with increasing t or G. Also the
skin-~riction is not affected by the frequency of the oscillating plate .
CONCLOSIONS
(1) The velocity profiles are not symmetrical about n-axis .
(2) An increase in M leads to a decrease in the velocity . (3) The
tempera tu r e increases wi th increasing time . ( 4) For wa ter, there.
is no transition from conduction to convection at small valuesofM.
But the transition exists in case of air . For air, the transition
from conduction to oonvection, at large values of M, takes place
rather early. (5) The transition is not affected by the frequency of the oscillating·plate .
.J\.CKNOWLEDGEMENT
The author wishes to thank the referee of this paper whose
valuable comments lead to the improvement of this paper.
128 Rev. BrMec. Rio de Janeiro. V.IX, n9 2 -1987
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Aev, BrMec, Rio de Janeiro, V.l X, n9 2 - 1987
NOTE ON THE W\V ECKERT NUMBER FORM OF THE ENERGY EQUATION
Álvaro Toubes Prata - Membro da ABCM UFSC - Universidade Federal de Santa Catarina Departamento de Engenharia Mecânica
ABSTRACT
129
This paper addresses the issue of Cp versus cv in the energy
equati"on. For flows in which p a constant and flows where p ;
constant, simplified forms of the energy equation were written
in terms of cv and cp, respectively. Using scale analysis it was
shown that for situations where the Eckert number is small compared
to 1 the simplified cp form of the energy equation is more accurate
than the corresponding Cv form .
RESUMO
o. trabalho trata do uso de Cp e cv na equação da energia . .Para es
coamentos onde p; cor.stante (quase-isocóricos) . e escomentos onde
p ; constante (quase-isobáricos), formas simplificadas da equação da
energia são escritas em termos 'de cv e cp, respectivamente. Através
de uma análise da ordem de grandeza dos termos das equações é mos
trado que para situações onde o número de Eckert é pequeno compara
do com 1, a forma simplificada da equação da energia escrita em te~
mod de Cp é mais precisa do que aquela escrita em termos de cv ·
' 130 Rev. 8fMec. Rio de Jalleiro, V .IX, n9 2- 1987
NOMENCLATURE
cp - specific heat at constant pressure
cv - specific heat at constant volume
Ec - Eckert number, equation (16) and (23)
g - gravity
k - thermal conductivity
L - length scale
M - Mach number, equation (221
p - pressure
s - ~nergy generated per unit time and volume
T - temperatura
T0 - reference temperatura
T' - temperatura variation
t - time
U - magnitude of the velocity vector
u - velocity vector
B - thermal expansion coefficient
Y - cp/cv
K - isothermal compressibility factor
1.1 - viscosity
~v - equation (6)
~p - equation (7)
íl - density
~ - dissipation function
Rev. BrMec. Rio de Janeiro, V.l X , n~ 2 - 1987 , 31
INTRODUCT;ION
The equation that expresses the conservation of energy for
a ne~tonian fluid can be written in severa! forros (Slattery , 1981) .
Two of these forms are very common in engineering . the cp form
pcp (DT/Ot) = 'V . (k'iZT) + BT (Dp/Dt) +· ·u~ + S (1)
and the cv forrn
pcv(:JT/Dt) = íl . (k 'VT) - (BTiiC)"' .u + IJ~ + S (2)
Except for the substantial derivativa D/Dt and the operator
V•(a;ax1 l~ 1 , all quantities in equations (1) and (2) . are listed
in the nomenclature. Equations (ll and (2) are equivalent and one
is easily obtained from the other;
For a compressible fluid (air for example) undergoing an
isochoric motion , that is , the density of a materiAl element doe s
not change following the motion, íl . u=O and equation (2) reduces to
pcv(DT/Dt) = íl . (kí/T) + IJ~ + S (3)
It should be noted that equation (3) is also the correct form of
the e~ergy equation for a flow in which p is constant .
Now, if the fluid is assumed to be incompressible, rather
than assuming the fluid to be compressible and the flow to be
isochoric, cp=cv=c and the energy equation sould be written as
pc(DT/Dt) = íl . (kíiT) + IJ~ + S (4)
In most of the convective heat transfer situations
encountered in englneering , the density of an element of the fluid
is affected by variations in pressure and temperatura and , strictly
speaking, the flow is not isochoric . Also, all fluids are
compressible to some extent, and even liquids have different values
for cp and cv. To illustrate this fact Table I presents cp and cv
values for some liquids. When using equation ( 4) , the choice of
wh ich specific heat sould be picked is totally arbitrary . From the
previous discussion it is seen that both ( 3) and (4) are to be
132 Rev .. BrMec. Rio de Janeiro, V.IX. n9 2 - 1987
considered approxirnations. Those approximate forros of the energy
equation apply for flow fields in which the density of an element
of the fluid is a1most constant , that is, quasi-isochoric f1ows.
Table 1. Values of cp and cv for some 1iquids
(Gray, 1972 and weast, 1984)
T [(.)c ] c -cv [ J/g°C ] I c [ ,T/g0 c -~
Water 15 0.013 4.186
50 o .13 4.l.80
90 o. 34 4.205
Mercury 20 0.018 1. 394
Acetic Acid 20 0.353 2.180
Methy 1 Alcohol 20 0 . 437 2.510
Acetone 20 0 . 655 2.150
Benzene 20 0.540 1. 720
Ch1oroform 20 o . ·320 0.980
The corresponding approximate c forro of the energy equation p is obtained by dropping the BT(Dp/Dt) term froro equation (1)
yielding
pcp (DT/Dt) v. (k~Tl + u$ + s (5)
Equation (5) is accurate for flows in which p is constant. It also
applies for situations in which the p r essure variations alonq the
flow are smal1, that is, quasi-isobaric flows.
In situations where the fluid velocity is small compared to the
speed of sound, both forros of the energy equation can be employed ,
the c form (equation (5)) and the c form (equation (3)). The p . v
question that arises is which of the two equations correspond to a
"better approximation. This issue will be addressed in the
following paragraphs.
SCALE ANALYSIS
The use of equation (3) imp1ies that the quantity -(8T/K)'7.u
is sroall enough to be neglected ; alternatively, if equation (5) is
Rev, BrMtc. Rio de Janeiro, V .IX, n9 2 - 1987 133
to be used the quantity STlDp/Dt) should be re.garded as negligible .
To decide which equation better aproxima tes the energy balance for
low veloc~ty flows -(ST/K)V.~ must be compared with 6T(Dp/Dt) . To
this end, the following simplifications are made
-(ST/K}V.~ = (BT/pK) (Dp/Ot) (6)
and
f;p = ST(Dp/Otl (7)
where continuity was used to obtain the right hand term in equation
(6). Regarding p as a function of T and p , the thermodynamic
relationship dp =pKdp-p6dT can be combined with equation (6) to
yeld
~ = ST(Dp/Dt) - (T6 2/K) (DT/Dt) v (8)
f;v/f;p = 1 - (6/K) (DT/Dt) (Dp/Dt) (9)
Attention now centers on the magnitude of DT/Dt and Dp/Dt.
To evaluate DT/Dt, the temperatura of a material element of the
f luid wi 11 be wri tten T .,. T0
+ T' , where T ' is the tempera ture
departure from a r~ference T0
. If the dominant oscillating
frequency of the temp~rature field is smal1 and ? T "' T' /L,
(10)
where L is the.length sca1e that characterizes the spatial .. distribution of T, and U is the magnitude of the velocity vector u.
To estimate the arder of magnitude of Dp/Dt, i~ is assumed
that the flow is isentropic since the effect of viscosity and the
presence of heat transport normally modify the pressure
distribution but not the magnitude of the pressure itself . Thus,
employing t~e momentum equation for isentropic flow (Euler
equation), Dp/Dt can be ·written as
Dp/Dt élp/él t + ~.'Jp
(11)
Rev. BrMec. Rio da Janeiro, V .IX, nC? 2 - 1987
wher.e the on1y body force considered was the gravi tationa1 force.
For the type of f1ows consideredhere, i.e . absence of aooustic
waves and small osci1.lations of the f1ow field, <lp/ot and au 2 /êlt
can be ignored and equation (11) yie1ds
Dp/Dt ~- pUg- pU 3 /L = -(pU 3 /L) (gL/U2 + 1)
ln obtaining equation (12), the 1ength sca1e that characterizes
the spatía1 distributíon of ~ and T was taken to be the sarne.
(12)
The term gL/U 2 in ·equation ( 12) is the r a tio between potential and kinetic energy. Except for 1arge va1us of L as in
the case of atmospheric f·1ows, this term is sma11 and can be
neglected. Equation (12) can then be written as
Dp/Dt ~ - oU3 /L (13)
Now, substuting equations (10) and (13} into equation (9) fo11ows
o r
where Ec is the Eckert number defined as
E c
It shou1d be noted that B/oc:pcp is a ratio of f1uid properties,
whereas Ec is a dimen·sion1ess number related to the f1ow.
Equation (15) presehts the ratio E; /E; in a very compact v lJ
(14)
(15}
(16)
form and wi11 be used to compare E; with E; • For simp1icity, in v p
the analysis that fo1lows , liquids and gases are treated
separately.
Liquids. Most of t.he liquids have the ratio 6/KOCP in the
order of 1 .(Gray, 1972 and Weast, 1984). Water is an exception
with 13/l(ocp '" 0.1. Furthermore, 1iquidscannotmoveat 1argeve1ocities, and the Eckert number Ec for 1iquid f1ows is usua11y very sma11.
From equation (15) with 8/KPCP in the range 0 . 1 to 1 and
Ec << 1 it follows
Rev. BrMec. Rio de Jeneiro, V.IX, n9 2. - 1987
~v > f; p
or, using equatioos (6} and (7)
-(6T/K)~.~ > 6T(Dp/Dt)
( 17)
(18)
The inequality (.18) shows that for liqq;ids unde;cgoing 1ow
velocity f1ows BT( Dp/Dt) is sma1ler than -(BT/K)9.~. Therefore,
the simp11fied cp form of the energy equation
approximation than tbe corresponding cv form .
1à a better
Gases. For simp1icity, attention
g~ses in which 6/Kpc = (y-1)/y, where y p
wi11 be focused on perfect
= c /c . F~om equation p v (15) it then fo11ows
(19)
For the type of f1ows under consideration, the temperature
increase of the f1uid due to rriction and compression is on1y a
sma11 fraction of the temperature difference prescribed as a boundary
condition. Thus Ec << 1 and equation (19) yie1ds
~v > f;p (20)
If the temperature variation T ' experienced by the f1uid is
on the order of the f1uid temperature T ,. the Eckert number can be
written as
Ec "' U~/c T p
(21)
Reca11ing that the Mach number M is given by M = U/{yRT where R is
the gas constant, and that cp = YR/(y- 1), equation (21) becomes
Ec = (y-1)M2 (22)
Now, substituting equation (22) into equation (19) it fol1ows
(23)
136 Rev. &-Mec. Rio de Janeiro, V.IX, n!> 2 - 1981.
Equation (23) relates the ratio ~ /~ to the Mach nurnber M. v p
For low velocity flows M is small and ~ > ~ • Therefore , as in v p
the case of liquida, the simplified cp form of the energy equation
is a better approximation than the corresponding cv form .
CONCLUSION
The cp and cv forros of the energy equation were simplified
for flows in which o ~ constant (quasi-isochoric flows) and
p ~ constant (quasi-isobaric flows). Suoh flows are commonly
encountered in many engineering problems. Using scale analysis it
was shown that the simp1ified cp form of the energy equation is
more ac·curate than the corresponding cv forrn for f1ows in which the Eckert number is smal1 compared to 1.
The simplified cv form of the energy equation is exact for
f1ows in which p = constant . On the other hand the simplified cp
form of the energy equation is exact under the assurnption of
p a constant. The present ana1ysis has demonstrated that for 1ow
velocities flows subjected to temperatura gradients, 1ess error is
introduced in the ca1cu1ations if p is assurned constant instead of
assuming p constant.
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Aev. BrMec. Aio de Janeiro, V.IX. n9 2- 1987
RELAÇÕES CONSTITUTIVAS NÃO LINEARES NA DETERMINAÇÃO DAS CONFIGURAÇÕES PLANAS DE EQUILÍBRIO DE UM ANEL CIRCULAR EXTENSÍVEL
Edgar Nobuo Mamiya - Membro da ABCM Universidade Federal de São Carlos Departamento de Engenharia de Materiais
Rubens Sampaio - Membro da ABCM PUC/RJ - Departamento de Engenharia Mecânica
RESUMO
137
Considerando- se relações constitutivas nao lineares e a hipótese de
extensibilidade, determinam-se as conf-igurações planas de equi 1 íbr i o
pós-flambaqem de um anel circular delgado submetido à pressão extc~
na. O modelo matemático é obtido a partir do principio de Hamilton,
e descreve o anel como uma curva regular plana: as configurações e
os esforços internos são funções de um único parâmetro espacial . O~
têm-se um sistema ·não linear de sete equações diferenciais ordiná
rias , acoplado a condições de periodicidade, que é resolvido pelo m2_
todo do Tiro Simples. Os resultados são comparados com aqueles ob
tidos considerando-se equações constitutivas lineares.
ABSTRACT
Considering non linear constituve relations and the extensibility
hypothesis, the plane post-buckling configurations of a thin circular
ring subjected to externa! pressure are determined. The mathematical
model is obtained from the Hami.l ton ' s pr inciple and de ser ibes the
ring as a plane regular curve: the configurations and the internal
forces are functions of only one spacial parameter. A non linear
system of seven differential equations, coupled to periodicity
conditions, is obtained, and is solved by the method of the Simple
Shooting . The results are compared with those obtained by
considering linear constitutiva equations.
138 Rev. BrMec. Rio de Janeiro, V .IX, n9 2 - 1987
INTRODUÇAO
O surgimento de novos materiais possibilitou o projeto de e~
truturas mais leves e, consequentemente , mais esbeltas . Nestas
condições , e m muitos casos, o fator decisivo no projeto é a defor
mação da es trutura, e, em particular, o comportamento pós-flamb~ gem.
Uma maneira de se estudar o compo rtamento mecân i co de estru
turas em que uma das dimensões predomina sobre as demais é a de s e
considerá-las como curvas seccionalmente regulares no espaço. Neste
caso, as funções que caracteriz~ a configuração da es trutura pas
sam a ser descritas em termos de um único parâmetro espacial e mais
um parâmetro temporal.
O modelo matemático apresentado neste trabalho é obtido a pa!:_
tir de um principio variacional e de uma forma adotada para a densi
dade de ação potencial,permitindo a análise do comportamento es·tãti
co de estruturas elásticas que possam ser conside radas como curvas planas , regulares.
Classicamente são adotadas , como hipóteses constitutivas, r~
lações lineares entre o esforço normal e a elongação e entre o mome_!l
t o fletor e a variação da curvatura . Entretanto, Tadjbakhsh [1] mo~
tra que, nas cond iÇões do movime nto plano de ~struturas alongáveis
não é possivel se associar forma alguma para a densidade de ação PQ
tencial da qual as relações constitut ivas lineares possam ser deri
vadas. Este fato sugere que um procedimento melhor consiste no es
tabelecimento de uma forma para a densidade de ação potencial e e n
tão derivar as r elações constitutivas.
O desenvolvimento do presente modelo leva a um sistema nao li
near de sete equações diferenciais ordinárias a sete incógnitas . Os
proble mas associados podem então ser resolvidos pelo método do tiro
simples. Em particular, apresentam-se os resultados corresponden
tes ao problema do anel circular delgado submetido à pressão ~~ter-
na, considerando-se as rela~ões constitutivas não lineares. Estes
valoz:es são comparados com aqueles associados à utilização de rela
ções const i tu ti v as 1 inoarcs cláss i.cas, ver i .Eicando-se diferenças sen
si veis nas configurações de equ1librio pós-flambaqem, assim co111o nos
pontos de bifurcação associados às mesmas.
Rev. BrMec. Rio de Janeiro, V.IX, n<? 2 - 1987 139
O MODELO MATEMÁTICO Seja uma estrutura unidimensional descrita como uma curva r~
gular plana parametrizada pelo comprimen to d e arco S em uma config~
ração de referência e pe lo comprimento de arco s em cada instante t
distinto daquele associado à configuração de referência. No decor
r er de um movimento , considere todas as variáveis do problema para
metrizadas pela dupla (s,t) . Seja o mapeamento s = (S,t) um difeomor
fismo entre s e S para cada instante t considerado, de tal modo que
as derivadas ds/dS e dS/ds existam e m todos os pontos da curva e p~
ra todo t . Cada ponto da curva pode ser localizado pelas coordena
das Xi(S), i= 1,2 na configuração de referência c pelas coordenadas
xi( s ,t) na configuração do instante t. O ~ngulo e ntre a tange nte
x,s<SI e o eixo X 1 é denotado por 0(S), enquantooãnguloentrea ta_!!
gente x, 6
e o eixo x 1 é dado p.or 8 ( s, t) , conforme ilustra a Fig . 1.
Con f lgureç i o no ln•tente t
Figura 1. Parametrização da curva
I
As equações do movimento e as relações constitutivas podem
ser obtidas a partir do principio de Hamilton [1,2,3), descrito pe
la expressão :
- t L(x t 'x ts'x S'x ss ' s)ds dt + J.sJ f • ôx ds dt + , , , , o o
+ t (F · õx + R · ó x s>]5
dt- J5 P • 6x]t ds + (Ã · óx1]
5 Jt = o o , o o o 00
(1)
onde L é a densidade de ação , função da velocidade x, t, do spin x, ts,
e dos gradientes de deformação x, s e x,ss· Asgrandezas F, R, P e A representam, respectivamente, as densidades de força e de momento
140 Rev. BrMec. Ríode Janeiro, V.IX, n02 -1987
nos contornos, a inércia linear, nos instantes inicial e final, e a
inércia angular, nos contornos e nos instantes inicial e final. O car
regamento distribuído, em cada instante t, é dado por f.
Assumindo-se as regularidades necessárias para xi e õxi, ode
senvolvimento de (1) fornece:
onde:
J·sJ.t [F s + f - ( P - A 8 ) t] · 6x ds dt + Jt I F - Fl · éx + o o , , , o
+ (R-RI· 6x ]5
dt- J.5
!P-P) · 6x]tds+ (A-Al · óx]5 j1t=O (2)
,s o o o o o
?. %
)..
êlL ôL )
<lxi ss I I 5
- (-a-x-:-~-t-s-) , s
+ (-3-x-:-~-t-s-) ,t
( 2 )
(4)
(5)
( 6)
Assim, as condições necessárias e suficientes para que (21 se
ja satisfeita são dadas por :
Fi ,s +fi = ( p. - A. ) ).. ).. , s , t tE:: [O , t] I sE:(O,s] ( 7)
Fi ... ri R·· Ri sE: {O,s} (8) l
pi pi t C {O, t} (9)
Ai ,. i\i tE:{O,t}_, s.E: {o , i} (1 0)
Rev. BrMec. Rio de Janeiro, V.IX, n9 2 - 1987
A~~ume-se que a densidade de adio
de rotações rígidas . Isto é expresso
14~
seJa invariante sob a ação
por :
:., / j/. iiL t, X , tS + ----' f, X , S + /1 X, SS = 0
rl X,t t··. X I t ....
ax,ts .·x,s 1x,ss ( 11)
A exp~essão (11) pode ser reescrita utilizando- se as defini
ções (3), (4), (5) e (6), obtendo-se:
(12)
As equações (7) e (12) representam os balanços de esforços li
neares e angulares na estrutura.
Sejam definidos os esforços solicitantes: densidade de força
normal n, densidade de força cortante q e densidade de momento m,
através das expressões :
(13)
Com base nas definições (13), as equações (7) e (12) podem ser
reescritas, para o caso estático , como:
n,s - kq + fn : O (14)
(15)
m,s + q = O (16)
onde k: eij xj, ss xi, s • dO/ds é a curvatura na configuração defor
mada. As expressões (14) e (15) são as equações de equilíbrio de e~
forcas lineares nas direções tangencial e transversal à curva, en
quanto a expressão (16) representa a equação de equi líbrio de momen
tos.
€ conveniente se parametrizar as equações (14), (15) e (16) s~
gundo o comprimento de arco S. Definindo os esforços solicitantes:
força normal N .. nA, forca cortante Q .. qA e o momento fletor M = mA,
onde A é a área da seção transversal, é possível se reescrever as
equações de equi líbrio na forma:
142 Rev. BrMec. Rio de Janeiro, V. IX, n9 2 - 1987
N,s!S) -Q(S) e , 5 !S ) +fN ( S) s ,s o ( 1 7)
o, 5 tsl +N{S) e,5 <s> + f 0 <s> s,s o { 18)
M, s {S) +Q(S) s,S o ( 19)
RELAÇ0ES CONSTITUTIVAS
~ possível demonstrar ( 1 ) que, sob condições apropriadas , a
densidade de ação L pode ser reescrita na forma:
L= K (v 1 e , t• S) - E { S )W{ e ,T) (20)
onde v= (xi,t xi,t) 1/
2 é o módulo da velocidade x,t , e,t = (s, 5 1- 2 eij
xj 1 ts xi, s é· a taxa de rotação da tangente, e= s , 5 - 1 é a e longação ,
E (SI é o módulo de Young do material e 1 =I lf• (S) {e s- 0 5 1 é a va-, I
riação adimensional da curvatura . I representa o momento de inércia
de área da seção transversal no ponto S.
Considerando-se a densidad e d e ação potencial na forma da e~
pressão (20) e as definições (13), as relações {3 ) a (4) reduzem-se a:
aw n E
3e s ,S ( 21)
I Lf• aw m = E s ,S ( 22)
ÕT
t fácil verif icar , a partir d as expressões ( 21) e (22) I que
não é possível se defin i r forma alguma para a densidade de ação po-,
tencial ~ tal que se obtenham relações lineares m., a T e n = Se , a
e B constante , simultaneamente .
Seja adotad a uma forma particular simples para W:
w (23)
Nestas condições, as e xpressões (21) e (221 tomam a forma paE_
ticular:
s,s ~ [1 + ( 1 + 4 ..!!.. ) lf2] 2 EA
{241
Rev. BrMec. Rio de Janeiro, V.IX, n9 2- t987 143
M e,s = + 0,s
EI s,S (25)
com a restrição de que :
EA N 0: - (26)
4
Para efeito de comparação, as relações constitutivas linea
res clássicas [4,5,6), são apresentadas abaixo :
s,s N
1 + EA
M e, s = . EI + !11, s
onde vale a restrição:
N ~ -EA
A configuração de equilíbrio é descrita pelas
xi(S), relacionadas com se a através das expressões:
s,s cose
(27)
(28)
(29)
coordenadas
{ 30)
x2 ,s = s,s sena (31)
As expressões (l7), (18), (19 ), (25), (30) e {31) constituem um
sistema não linear de sete equações diferenciais ordinárias, a sete
incógnitas.
O PROBLEMA DO ANEL CIRCULAR
Considere-se um anel circular delgado submetido à pressão ex
terna. A configuração não carregada é caracterizada pela curvatura:
onde R é o raio do anel não deformado .
O equilíbrio é descrito pelo sistema não linear de equações diferenciais ordinárias apresentado no item anterior e mais as con-
144 Rev. BrMec. Rio de Janeiro, V .I X, n9 2 - 1987
dições adicionais :
M(O) - M(2 nR) o
N(O) - N( 2nR) o
Q(O) - Q(2 nR) o
s (0 ) o (32,
a 101 - a< 2 11 Rl - 2 11 o
XI (0) - x 1 (211R) o
x 2 (O ) - x 2 (2nR) o
Uma técnica utilizada na resolução do problema de cond i ções
adiçionais genéricas consiste em transformá-lo em problemas de va12
res iniciais, para os quais existem procedimentos numéricos clássi
cos, como o método de Runge-Kutta , para resolvê- los . Este procedi
mento constitui o método do Tiro Simples (7]: se um dado problema é
descrito por:
y ' = f(x l y ) 1 xE [a1bl
y: [a 1 b] C R - > R0
F(y (a ) I y(b ) ) .. O
é possivel transformá-lo em problemas do tipo:
y' = f(x,y), xE [a , bl
y: [a , b)C R-> R0
y (a) = t, t E R 0
( 33)
(34,
tais que F(t,y(b 1t)) = O. O problema origina l é redu z ido, atra vés de~
ta técnica, à pe squisa de zeros d e F (t, y (b ,tl). No caso , fixando - se
os valores:
6 (0) = 1r
o I 3S l
x 2 (O) • O
Rev. BrMec. Rio de Janeiro. V.IX, n9 2- 1987 146
as únicas condições iniciais que devem ser pesquisadas de ~odo a sa
tisfazer as expressões (32) são M(Ol, N(Ol e Q(O), associadas, por
exemplo, às condições:
F 1 (M(O) ,N(O) ,Q(O))
F 2 (M (o) I N (o) • Q (o) }
F 3 (M{O} ,N(O) ,Q{O) l
RESULTADOS
e (2nR) - n o
o (36)
o
A pesquisa de zeros das equações (36) foi efetuada utilizan
do-se o método de Newton, enquanto os problemas de valores iniciais
foram integrados pelo método de Runge-Kutta de quarta ordem, parti
cionando-se o intervalo (O, 2nR) em 300 partes iguais. O problema foi
analisado adotando-se o raio de giração i= II/A= 0 , 1 e fazendo-se va
r i ar o carregamento pR 3 I (EI l dentro do intervalo [-21, 5 , O J •
Foram determinadas duas configurações pós-flambagem distin
tas, sendo os resultados ilustrados nas Figuras 2 e 3. Uma compar~
cio com o caso em que se adotam equações constitutivas lineares (27)
e (28) também é efetuada.
EO. CONST. UNEARES
EQ. CONST. N.io UNEARES
Figura 2. Configurações de equilíbrio pós-flamba~em
146
pR3
EI
10
Aev. BrMec. Aio de Janeiro, V.I X , n9 2- 1987
c@) .... _ .. ,.
S 1-l------+- CONnGURAÇÀO
--------- EO. CONST. LINEARES
EO. COIQSl: NÃO UNEARES
OlLO~-----~------L--~1 0.5 O d R
Figura 3. Distância mínima ao centro do anel
Verifica-se que os pontos de bifurcação sofrem influência da não li
nearidade das relações constitutivas, conforme ilustra a Tabela 1.
Tabela l . Carregamentos de bifurcação pR 3 /(EI)
Bifurcação
1 - 2
1 - 3
Equação Constitutiva Linear
-3,2
-9,5
Equação Constitutiva Não Linear
-3,1
-8,7
Rev. BrMec.. Rio de Janeiro, V.IX, n92:.... 1987 147
A Tabela 2 indica uma diferença de 22,6\ na menor distânci~
d do anel ao centro, entre os casos com equações constitutivas li
neares e não lineares, p_ara a configuração 3 com carga pR3 I (EI) = -11 .
As diferenças entre os valores máximos dos esforços solicitantes são
igualmente significativas .
Tabela 2. Resultados correspondentes à Figura 2
Config. 2(*)
di R
IIMR I (EI>II IINR2 1 (EI)II
li QRa I (El)ll
Config. 3(**)
di R
IIMR I (EI>II IINR 2 l (EI>II IIOR 2 1 (EI>II
* pRli(EI) · = -3,5
CONCLUSOES
Equjlção Constitutiva
Linear
0 , 5582
1,1551
4,3578
2,2444
0,5907
2,1487
11 14960
6,5670
** pR 3 I(El)
Equação Constitutiva
Não Linear
0,4922
1,2908
4,4534
2,5032
0,4820
2,5154
11,5195
7,6019
-11
Desvio Relativo à Hipótese Não Linear
o' 134 -0,105
-0,021
-0,103
0 , 226
-0,146
-0,002
-0,136
Foram obtidas equações constitutivas não lineares para estr~
turas elásticas unidimensionais, a partir do principio de Hamilton
e de uma forma particular para a densidade de acão potencial. Veri
ficou-se que, uma vez assumido este principio variacional, não se p~
de obter relações consti tu ti v as lineares que expressem o comporta
mento mecânico da estrutura elástica como uma variedade unidimensi~
nal. A partir do modelo matemático obtido, fo~am determinadas duas
configurações de equilíbrio pós-flambagem para um anel circular de.!.
gado submetido à pressão externa. Os resultados mostram que a sim
plificação pela adoção de equações constitutivas lineares gera alt~
rações significativas sobre as configurações de equilibrio calcula-· das . Assim, é importante que as hipóteses ·constitutivas sejam leva.!!
148 Rev. BrMec. Rio de Janeiro. V.IX, n9 2- 1987
tadas sobre a densidade de ação potencial , e não dirctamente sobre
as relações constitutivas.
AGRADECIMENTOS
Este trabalho contou com o apoio da FINEP e do CNPq .
REFEReNCIAS
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[ 3) Whitman, A.B. and De Silva , C.N., A dynamical theoryofe1astic
directed curves. ~· 20 : 200-212 "(1969).
[ 4) Almeida, M.P. & Sampaio, R., Flambagem de barras com compressão
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( 5) Costa Mattos, H,S ., Método do tiro na resolução de estruturas
unidimensionais elásticas. Tese de Mestrado, De partame nto d~
Engenharia Mecânica, PUC/RJ (1984) .
[ 6 1 Mamiya , E.N. & Sampaio, R., Configurações pós-flambagem de um
anel circular extensível. In: Congresso Brasileiro de Enge
nharia Mecânica, VIII. ITA, São Jos é dos Campos , 1985. Ana1s
do COSEM 85, pp.525-528 (1985).
( 7 J Stoer , J. and Bulirsch, R., Introduction to numerical analysis .
Springer Verlag, New York, 111 ed ., 690p. (1980).
NOT!CI1í.RIO
This six-day seminar, taught by Professor Richard H. Lyon,
of M. I .T., wi ll be offered the week of 10-15 August 1987,
in Cambridge, Massachust:>tts. The seminar teacbes the design
principies for making machines opera te more quietly, and
t.he use of vibration and acoustiçal signals to determin'e
faulls in 0rerating machines. Sourceg of noise and vibration
in ma..:h ~ ,.r, s, t.hf:' tran:,;missi.on and radiatlon of acoustica.L
energy by thf! mac:r.ine , êu:ct signal processiug !l'.ethods for
fault signature recov~ry 'tri.Ll be covered in the lE:ctures
an<l dentonstrations. The text for the course is Professor
Lyon's new book, Machinery Noise and Diagnostlcs.
For further information contact:
Prof. R.H. Lyon, Rm. 3-366
Mass. Inst. of Technology Cambridge, Mass. 02139 - USA