brakecting methods / kaedah tertutup - ukm.my tertutup.pdf · f x ax 2 bx c 0 a b b ac x 2 r2 4 ......
TRANSCRIPT
Pengenalan
Punca persamaan melibatkan penentuan nilai x yang memenuhi syarat :
f(x) = 0Nilai-nilai x ini dikenali sebagai punca persamaan.
Di akhir bahagian ini, anda sepatutnya
Faham bagaimana kaedah secara grafik boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah mencari punca persamaan Mampu menggunakan kaedah pembahagi dua, kaedah kedudukan palsu, kaedah titik tetap, kaedah Newton-Raphson, kaedah sekan, kaedah Müller dan kaedah Bairstow dalam mencari punca bagi suatu persamaan
PengenalanPertimbangkan persamaan berikut:
(1)Dengan menggunakan rumus punca kuadratik:
(2)Nilai-nilai x dinamakan punca persamaan kerana menyebabkan persamaan (1)menjadi sifar.
02 cbxaxxf
aacbbx
242
Secara grafik, punca adalah titik persilangan bagi fungsi f(x) pada paksi-x di atas satah-xy(Rajah 1).
nkrf k ,,2,10
r1
f x
x
y
r3r2 r4
Rajah 1 : Punca-punca bagi satu fungsi f(x)
Jenis-jenis fungsi
Fungsi linear : f(x) = ax + b, dengan a dan b merupakan pemalarFungsi polinomial atau fungsi aljabar :
Fungsi transeden, iaitu fungsi tidak aljabaryang boleh dikembangkan dalam bentuk siri tidak terhingga.
nnn xaxaaxf 10
Persamaan am fungsi transenden:
...!4
1!2
1cos)(
...!5
1!3
1sin)(
...!3
1!2
11)(
contoh
)(
42
53
32
0
xxxxxf
xxxxxf
xxxexf
xaxf
x
kk k
Kaedah Grafik
Pendekatan yang paling mudah untuk menganggar punca persamaan f(x) = 0, ialah dengan memplotkan fungsi tersebut dan memerhatikan kedudukan dengan graf itu bersilang pada paksi xTitik persamaan ini merupakan nilai xsebagai anggaran punca persamaan
Kaedah Grafik
Bagi menganggar punca persamaan ,plotkan fungsi f(x) dan dapatkan kedudukan di mana graf itu bersilang pada paksi-x.Contoh 1 Gunakan pendekatan grafik bagi menentukan pekali seret c yangdiperlukan oleh payung terjun dengan berat 68.1kg, kelajuan 40m/s selepas 10saat.Pecutan disebabkan graviti ialah 9.8m/s2.
PenyelesaianFungsi yang boleh digunakan adalah:
Dapatkan nilai f(c) dan plotkan seperti dibawah:
vc
gmcf t
mc
e1
40e11.688.9 1.6810 c
ccf
c f c
4 34.1158 17.653
12 6.06716 2.26920 8.401
f c
c
40
010
20
5 10 15 20
14.75
Rajah 2: Kaedah grafik untuk
mendapatkan punca
Kesahihan puncanya boleh disemak:
atau, dengan mengira halaju:
Walau bagaimanapun, kejituan nilai puncanya melalui kaedah grafik adalah terhad.
059.0
40e175.14
1.688.975.14 1.6875.1410f
059.40
e175.14
)1.68(8.9 1.6875.1410v
Kaedah Pembahagi DuaKatakan persamaan am adalah f(x) = 0Jika fungsi adalah selanjar dalam selang x1kepada x2 dan dan berlainan tanda, iaitu
ini bermakna terdapat sekurang-kurangnya satu punca di antara x1 dan x2 (lihatRajah 2).
021 xfxf
Dengan kaedah ini, bahagikan selang kepada dua sub-selang, iaitu
Jika , punca wujud.Jika tidak, lihat selang dan selang
Jika punca dalam selangJika punca dalam selang
Bagi kes dalam Rajah 2, punca berada dalam selang pertama. Oleh itu
221
3xx
x
03xf31 ,xx 23 ,xx
031 xfxf 31 ,xx023 xfxf 23 ,xx
2431 xx
x
Seterusnya,
dan,
Proses ini diteruskan sehingga memperolehi kejituan yang memuaskan.Kriteria untuk memberhentikan proses dinamakan kriteria penamat ataupenumpuan.
243
5xx
x
254
6xx
x
Algoritma Kaedah Pembahagi Dua1.Pilih selang x1 dan x2. Semak sama ada
2.Tentukan nilai ralat .3.Dapatkan punca melalui hubungan4.Jika , ganti
Jika tidak, ambil .5.Uji nilai . Jika kriteria penumpuan tidak dipenuhi, ulang langkah 3.6. Jika kriteria penumpuan dipenuhi, x3 adalahpuncanya.
021 xfxf
2121
3 xxx031 xfxf 32 xx
31 xx
Contoh 2Ulang contoh 1 dengan menggunakan kaedah pembahagi dua sehingga kriteria penamatnya mencapai 0.5%.Penyelesaian:Dari Rajah 2, didapati punca berada dalam selang 12,16 . Oleh itu
26876.21606694.612
ff
Lelaran x1 x2 x3 f x3 a % t %
1 12 16 14 1.56870 - 5.279
2 14 16 15 0.42484 6.667 1.487
3 14 15 14.5 0.55232 3.448 1.896
4 14.5 15 14.75 0.05895 1.695 0.204
5 14.75 15 14.875 0.18413 0.840 0.641
6 14.275 14.875 14.8125 0.06288 0.422 0.219
Selepas lelaran ke-6 pengiraan boleh dihentikan kerana punca menumpu. Penyelesaian sebenar bagi kes iniadalah .78021.14r
Kaedah Kedudukan Palsu
Kaedah kedudukan palsu (dikenali juga sebagai kaedah interpolasi linear)digunakan untuk memperbaiki ciri penumpuan pada kaedah pembahagi dua.Melalui kaedah ini (lihat Rajah 4), titik Pdihubungkan R untuk S, iaitu penghampiran kepada punca x3.
Pertimbangkan dua segitiga sebentuk PRQdan PST.
Oleh itu,
Selepas mendapatkan x3, didapati x3 akanmengambil alih x1, dan nilai x2 ditetapkan.
12
12
2
32
xfxfxx
xfxx
PQRQ
PTST
)()( 12
21223 xfxf
xfxxxx
Dengan rumus yang sama, penghampiran untuk x3 yang baru dikira sehingga kriteria penamat dipenuhi.Secara amnya, rumus bagi kaedah ini adalah
dengan
)()( tetap
tetaptetaptetap1
k
kk xfxf
xfxxxx
,5,4,3k
(4)
Contoh 3
Ulang contoh 2 dengan menggunakan kaedah kedudukan palsu.Penyelesaian :Dari contoh 2:
Untuk k=2,3,4… :26876.216
06694.612ff
k
kk xf
xx06694.6
1206694.6121
Lelaran xtetap xk xk+1 f xk+1 a % t %
1 12 16 14.9113 0.25428 0.879 0.887
2 12 14.9113 14.7942 0.02726 0.792 0.0946
3 12 14.7942 14.7817 0.00291 0.0845 0.0101
4 12 14.7817 14.7804 0.000310 0.00902 0.00103
5 12 14.7804 14.7802 0.000033 0.000961 5103.7
Didapati ia menumpu dengan hanya 3 lelaran.
Contoh 4Dapatkan punca bagidi antara 2 dan 3.Penyelesaian : Pada hujung selang 2,3 ,nilai f x adalah:
Untuk k = 2,3,4…:
2.1log 10 xxxf
23136.0359794.02
ff
60206.0log259794.02
10 kk
k
xxx
59794.0259794.021
k
kk xf
xx