Una Introduccin a la Teora de NmerosAlgunas aplicaciones con DERIVELuis Alejandro Msmela CaitaJunio de 2009iindice generalIntroduccin VIII Primera Parte 11. Fundamentos 31.1. Propiedades Fundamentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. La Notacin Sumatoria y Productoria . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Induccin Matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Relaciones de Recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5. El Teorema Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6. Nmeros Poligonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.7. Nmeros Piramidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.8. Nmeros de Cataln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422. Divisibilidad 472.1. El Algoritmo de la Divisin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2. Conguraciones Numricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.3. Nmeros Primos y Compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.4. Nmeros de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703. Mximo Comn Divisor 753.1. Mximo Comn Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2. El Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.3. El Teorema Fundamental de la Aritmtica . . . . . . . . . . . . . 893.4. Mnimo Comn Multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1004. Features of this Shell 1074.1. Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1074.1.1. Subsection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1074.2. Tags . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1074.3. Mathematics and Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1094.4. Lists Environments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1094.5. Theorem-Like Environments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110iiiiv NDICE GENERALA. Una Introduccin al paquete DERIVE 111A.1. QU ES DERIVE?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111A.2. RECUENTO DE LOS PRINCIPALES COMANDOS . . . . . . .112A.2.1. Barra de Ttulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112A.2.2. Barra de Men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112A.2.3. Barra de herramientas o de rdenes . . . . . . . . . . . .113A.2.4. Ventana de lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113A.2.5. Barra de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113A.2.6. Barra de introduccin de expresiones . . . . . . . . . . . .113A.2.7. Barra de de letras griegas y smbolos matemticos . . . .113A.3. APLICACIONES CON DERIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . .113A.3.1. Introducir expresin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113A.3.2. Simplicar Expresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114A.3.3. Introducir vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116A.3.4. Introducir Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116B. Afterword 117PrefacioThis is the preface. It is an unnumbered chapter. The markboth TeX eldat the beginning of this paragraph sets the correct page heading for the Prefaceportion of the document. The preface does not appear in the table of contents.vvi PREFACEIntroduccinEl texto que a continuacin se presenta y que aborda el tema de la Teora deNmeros, es una traduccin de la primera parte del libro Elementary NumberTheory with Applications escrito por Thomas Koshy. Busca esbozar algunostemas que se han seleccionado de dicho libro y que se han desarrollado en unprimer curso de Teora de Nmeros con estudiantes de primer semestre delProyecto de Matemticas en la Universidad Distrital Francisco Jos de Cal-das. Se busca que el estudiante, a travs de este curso, se familiarice de maneragradual con diferentes procesos rigurosos de las matemticas, en especial con losdistintos procesos de demostracin, formalizando conceptos que fueron trabaja-dos operativamente en sus cursos anteriores de matemticas en la secundaria.Se ha pretendido desarrollar este curso a la par con laboratorios en sala de cm-puto, utilizando el software matemtico DERIVE, debido a la simplicidad en sumanejo y a que se convierte en una herramienta que le permite al estudiante,explorar muchas de las conjeturas que l mismo establece a medida que avanzaen el estudio de los distintos temas.The introduction is entered using the usual chapter tag. Since the intro-duction chapter appears before the mainmatter TeX eld, it is an unnumberedchapter. The primary dierence between the preface and the introduction inthis shell document is that the introduction will appear in the table of contentsand the page headings for the introduction are automatically handled withoutthe need for the markboth TeX eld. You may use either or both methods tocreate chapters at the beginning of your document. You may also delete thesepreliminary chapters.viiviii INTRODUCCINParte IPrimera Parte1Captulo 1Fundamentos1.1. Propiedades FundamentalesLa teora de nmeros concierne a una teora que se desarrolla solamentesobre el conjunto de los nmeros enteros. Es as que de ahora en adelante sedenotar al conjunto de nmeros enteros a travs del smbolo Z : 1Z = . . . 2. 1. 0. 1. 2. . . .A lo largo de este texto se escribir "r o"para denotar que "el elemento rpertenece al conjunto o"; de manera similar "r o"denotar que "el elementor no pertenece al conjunto o."Por ejemplo si hacemos referencia al conjunto deinters Z. se puede armar que 4 Z, mientras que Z.Los nmeros enteros pueden representarse geomtricamente sobre la denom-inada recta numrica. Ver Figura 1.1.A los enteros 1. 2. 3. ...se les denomina enteros positivos. Ellos tambinreciben el nombre de nmeros naturales o nmeros para contar. Se en-cuentran a la derecha del origen (coordenada cero) en la recta nmerica. Sedenotar al conjunto de los enteros positivos por Z+o N :Z+= N = 1. 2. 3. . . .1La letra Z proviene de la palabra alemana Zahlen para nmeros.Figura 1.1: Recta Numrica34 CAPTULO 1. FUNDAMENTOSEl conjunto de los enteros positivos, junto con el 0. conforman el conjuntodenominado nmeros enteros \ :\ = 0. 1. 2. 3. . . .El conjunto de los enteros negativos, a saber, . . . . 3. 2. 1 se ubican a laizquierda del origen. Es de notar que 0 no es ni positivo ni negativo.Es posible utilizar los nmeros enteros positivos para comparar los nmerosenteros en general, como en la siguiente denicin.La Relacin de OrdenSean a y / dos enteros cualesquiera. Entonces a es menor que /. que sedenota por a < / si existe un entero positivo r tal que a+r = /. esto es, si / aes un entero positivo.Cuando a < /. se puede armar tambin que / es mayor que a. que seescribe /a. 2Si a no es menor que /, se escribir a/; similarmente, a/ denotar quea no es ms grande que /.Se sigue de esta denicin que un entero a es positivo si y solo si a0.Denicin 1 (Ley de la Tricotoma) Dados dos nmeros enteros a y /, haytres posibilidades: a < /. o a = /. o a/.Geomtricamente, esto signica que si a y / son cualesquiera dos puntos enla recta numrica, entonces es cierta solo una de las siguientes tres armaciones,el punto a esta a la izquierda del punto /. el punto a coincide con el punto /. oel punto a esta a la derecha del punto /.Puede combinarse el menor que y la relacin de igualdad para denir larelacin menor que o igual. Si a < / o a = /. se escribir a _ /.3De manerasimilar, a _ / signica que a/ o a = /. Se puede notar que a/ si y solo sia _ /.Teorema 2 Denote mnr. n el mnimo de los enteros r y n. y maxr. n sumximo. Entonces mnr. n + maxr. n = r +n.Demostracin. (por casos)Caso 1. Sea r _ n. Entonces mnr. n = r y maxr. n = n. as, mnr. n+maxr. n = r +n.Caso 2. Sea rn. Entonces mnr. n = n y maxr. n = r. as, mnr. n+maxr. n = n +r = r +n.2Los smbolos < yson introducidos en 1631 por el matemtico ingls Thomas Harriet(15601621).3Los simbolosyfueron introducidos en 1734 por el matemtico francs P. Bougher.1.1. PROPIEDADES FUNDAMENTALES 5Valor AbsolutoEl valor absoluto de un nmero real r. denotado por [r[ . se dene por[r[ = r si r _ 0r en otros casosPor ejemplo, [5[ = 5. [[ = (). [0[ = 0.Geomtricamente el valor absoluto de un nmero indica la distancia de steal origen de la recta numrica.Aunque el inters recae slo en las propiedades de nmeros enteros, a menudose tratar con nmeros racionales y reales. Las funciones piso y techo son dostales funciones terico-nmericas. Ellas tienen usos importantes en matemticasdiscretas y ciencias de la computacin.Funciones Piso y TechoEl piso de un nmero real r. denotado por r| es el ms grande entero _ r.El techo de r. denotado por r|, es el ms pequeo entero _ r.4El piso de rredondea por debajo a r. mientras que el techo redondea a r por encima. Deacuerdo a esto, si r Z. el piso de r es el ms prximo entero a la izquierda der sobre la recta numrica, y el techo de r es el ms prximo entero a la derechade r. ver Figura . La funcin piso 1(r) = r| y la funcin techo o(r) = r|son conocidas tambin como la funcin mayor entero y la funcin menor entero,respectivamente.Por ejemplo 2

= 1. | = 3. 3. 5| = 4. 2

= 2. | = 4 y3. 5| = 3.La funcin piso es prctica cuando los nmeros reales deben ser truncados oaproximados a un nmero deseado de cifras decimales. Por ejemplo el nmeroreal = 3.1415926535 . . . truncado a tres cifras decimales est dado por1000|1000= 31411000 = 3.141.de otro lado redondeado a tres cifras decimales es1000 + 0.5|1000= 3.142.Hay otro uso simple de la funcin piso. Suponga que se divide el intervalo uni-tario [0. 1) en 50 subintervalos de igual longitud y luego se pretende saber el4Estas dos notaciones y los nombres, piso y techo, fueron introducidas por Kenneth E.Iverson en los albores de los 60s. Ambas notaciones son variaciones de la original notacinmayor entero [a] .6 CAPTULO 1. FUNDAMENTOSsubintervalo que contiene el nmero 0.4567. Ya que 0.45670.02| +1 = 23 steesta en el subintervalo nmero 23. De manera general, sea 0 _ r < 1. Entoncesr esta en el subintervalo r0.02| + 1 = 50r| + 1.Ejemplo 3 (La funcin de la ocina de correos) En 2006 la tasa defranqueo en Estados Unidos para un primer tipo de carta de peso r. de no msde una onza fue de 39c/; la tasa para cada onza adicional o fraccin hasta 11onzas fue un adicional de 24c/. As, el franqueo j(r) para una primera clase decarta puede denirse como j(r) = 0.39+0.24 r + 1| . 0 < r _ 11. Por ejemplo,el franqueo para uan carta que pesa 7.8 onzas es j(7.8) = 0.39+0.24 7.8 + 1| =$2.07.Algunas propiedades de la funcin piso y techo son listadas en el siguienteteorema. Se probar una de ellas; las otras se proponen como ejercicio.Teorema 4 Sea r cualquier nmero real y : un nmero entero. Entonces1. :| = : = :|2. r| = r| + 1 (r Z)3. r +:| = r| +:4. r +:| = r| +:5. n2

= n12si : es impar.6. n2

= n+12si : es impar.Demostracin. Todo nmero real r puede ser escrito como r = / +r0. donde/ = r| y 0 _ r0 < 1. Ver Figura . Entoncesr +: = / +r0 +:= (/ +:) +r0asr +:| = (/ +:) +r0|= / +:ya que 0 _ r0 < 1= r| +:que era lo que se quera mostrar.Ejercicios 1.1.Evale cada una de las siguientes expresiones, en donde r es un nmero real.1.1. PROPIEDADES FUNDAMENTALES 71. El matemtico ingls Augusto DeMorgan, que vivi en el siglo XIX, unavez coment que l tena r aos en el ao r2. Cundo nacio l?Evale cada item, asuma que r es un nmero real.2. 1(r) =xjxj (r = 0)3. o(r) = r| +r|4. /(r) = r| +r|Determine si:5. r| = r|6. r| = r|7. Hay cuatro nmeros enteros entre 100 y 1000 que son, cada uno igual ala suma de los cubos de sus dgitos. Tres de ellos son 153, 371, y 407.Encuentre el cuarto nmero.8. Un nmero entero positivo de : dgitos es un nmero de Kaprekarsi la suma del nmero formado por los ltimos : dgitos en 2, y elnmero formado por los primeros : (o : 1) dgitos en 2es igual a. Por ejemplo, 297 es un nmero de Kaprekar ya que 2972= 88209 y88 + 209 = 297. Hay cinco nmeros de Kaprekar < 100. Encuntrelos.9. Encuentre la falla en la siguiente "demostracin":Sean a y / nmeros reales tales que a = /. Entoncesa/ = /2a2a/ = a2/2Factorizando, a(a /) = (a +/)(a /). Cancelando a / en ambos lados,a = a +/. Ya que a = /. de esto se tiene que a = 2a. Cancelando a amboslados a, se tiene que 1 = 2.10. El entero 1105 puede expresarse como la suma de dos cuadrados en cuatroformas diferentes. Encuentrelas.11. Cuntos cuadrados perfectos pueden mostrarse en la pantalla de unacalculadora de 15 dgitos?Pruebe cada item, asumiendo que a. / y : son enteros cualesquiera, y res un nmero real.12. [a/[ = [a[[/[13. [a +/[ _ [a[ +[/[14. :2 = : 12si : es impar.8 CAPTULO 1. FUNDAMENTOS15. :2 = : + 12si : es impar.16. :24 = :214si : es impar.17. :24 = :2+ 34si : es impar.18. :2+

:2 = :19. r| = r| + 1(r Z)20. r| = r|21. r +:| = r| +:La distancia desde r hasta n sobre una lnea recta, denotada por d(r. n).se dene por d(r. n) = [n r[ . Pruebe cada item, asumiendo que r. n y .son enteros cualesquiera.22. d(r. n) _ 023. d(0. r) = [r[24. d(r. n) = 0 si y solo si r = n.25. d(r. n) = d(n. r)26. d(r. n) _ d(r..) +d(.. n)1.2. La Notacin Sumatoria y ProductoriaSe dar la notacin de sumatoria y productoria muy utilizada a lo largo deeste texto. Primero se iniciar con la notacin sumatoria.La Notacin SumatoriaSumas tales como ak + ak+1 ++ am. pueden escribirse de manera mscompacta usando el smbolo sumatoria (letra Griega mayscula sigma), lacual se denota con la palabra suma. La notacin de sumatoria fue introducidaen 1722 por el matemtico francs Joseph Louis Lagrange.Un trmino tpico de la suma referida con anterioridad puede ser ai. as,la suma anterior es la suma de los nmeros ai con i recorriendo los nmerosenteros desde / hasta : que se puede escribir como i=mi=k ai. De esta formai=mi=kai = ak +ak+1 + +am1.2. LA NOTACIN SUMATORIA Y PRODUCTORIA 9La variable i es el ndice de la sumatoria. Los valores / y : son, re-spectivamente, los lmites inferior y superior del ndice i. El "i = " del lmitesuperior es usualmente omitido:i=mi=kai =mi=kaiPor ejemplo5i=1i2= 12+ 22+ 32+ 42+ 52El ndice i es una variable dummy; se puede usar cualquier variable comondice sin afectar el valor de la suma, asmi=kai =mj=kaj =mr=karEjemplo 5 Evale 1j=2,3(, 1)2Solucin.0j=2,3(, 1)2= (2)3(2 1)2+ (1)3(1 1)2+ (0)3(0 1)2= 76Los siguientes resultados son muy usados en la evaluacin de sumas ni-tas, ellos pueden ser probados utilizando induccin matemtica, un mtodo deprueba que se presentar ms adelante.Teorema 6 Sean : cualquier entero positivo y c cualquier nmero real, y a1.a2. ... . an. y /1. /2. ... . /n un par de secuencias numricas. Entoncesni=1c = :c (1.1)ni=1cai = cni=1ai(1.2)ni=1(ai +/i) =ni=1ai +ni=1/i(1.3)(Este resultado puede ser extendido a cualquier lmite inferior / Z.)10 CAPTULO 1. FUNDAMENTOSEjemplo 7 Evale 3j=1

10,2+ 3,

.Solucin.3j=1

10,2+ 3,

= 103j=1,2+ 33j=1,= 10(12+ 22+ 32) + 3(1 + 2 + 3)= 158Sumatorias IndexadaLa notacin sumatoria puede ser extendida a secuencias con conjuntos deindices 1 como sus dominios. Por ejemplo, i2I ai denota la suma de los valoresai cuando i recorre todos llos valores de 1.Por ejemplo, si 1 = 1. 3. 5. 7 . entonces i2I(i2+1) representa la suma delos valores de i2+ 1 cuando i toma los valores en 1. esto es,i2I(i2+ 1) = (12+ 1) + (32+ 1) + (52+ 1) + (72+ 1)= 88Frecuentemente se requiere evaluar sumas de la forma P aij. donde lossubndices i y , satisfacen ciertas propiedades 1.Por ejemplo, sea 1 = 1. 2. 3. 4. Entonces 1ij4(2i+3,). denota la sumade los valores de 2i + 3,. donde 1 _ i _ , _ 4. Esto puede ser abreviado comoij(2i + 3,) proporcionado, obviamente, el conjunto de ndices del contexto.Para encontrar esta suma, se consideran todas las posibles parejas (i. ,). dondei. , 1 e i < ,. As,ij(2i + 3,) = (21 + 32) + (21 + 33) + (21 + 34) + (22 + 33)+(21 + 34) + (23 + 34)= 80Ejemplo 8 Evale d>1dj6 d. donde d[6 signica que d divide a 6.Solucin.d>1dj6d = suma de los enteros positivos d. divisores de 6= suma de los divisores positivos de 6= 1 + 2 + 3 + 6 = 121.2. LA NOTACIN SUMATORIA Y PRODUCTORIA 11Sumatorias mltiples tambin son frecuentes en matemticas. Ellas se evalanpor lo general de derecha a izquierda. Por ejemplo, la doble sumatoria ij aijse evala como i

j aij

. como se muestra a continuacin.Ejemplo 9 Evale 1i=10j=1 3i2,.Solucin.1i=10j=13i2, =1i=1

0j=13i2,=1i=1

3i2(1) + 3i2(0)

=1i=13i2= 3(1)2+

3(0)2

+

3(1)2

= 6La Notacin ProductoriaLa notacin productoria es usada de manera similar a la notacin sumatoria,el producto akak+1 am se denota por i=mi=k ai. el smbolo productoria corresponde a la letra Griega mayscula pi. Como en el caso de la notacinsumatoria, la "i = " arriba del smbolo productoria es frecuentemente omitida:i=mi=kai =mi=kai = akak+1 amNuevamente, i es una variable dummy.La funcin factorial, se usa frecuentemente en teora de nmeros, y puededenirse usando la notacin productoria, como se muestra en el siguiente ejem-plo.Ejemplo 10 La funcin factorial 1(:) = :! (se lee : factorial o el factorialde :) se dene como :! = :(: 1)21. donde 0! = 1. Usando la notacinproductoria1(:) = :! =ni=1i12 CAPTULO 1. FUNDAMENTOSEjemplo 11 Evale 4i=2(2i + 3).Solucin.4i=2(2i + 3) = [2(2) + 3] [2(3) + 3] [2(4) + 3]= 693Ejemplo 12 Evalue i;j2Iijj (2i + 3,) donde 1 = 1. 2. 3. 4.Solucin. Se reere aqu a la productoria de todas las parejas de la forma(i. ,). donde i y , son elementos de 1. pero especcamente aquellas parejasen donde i divide a ,. Estas son (1. 1). (1. 2). (1. 3). (1. 4). (2. 4). as, evaluando2i + 3, en cada una de estas parejas se tiene quei;j2Iijj(2i + 3,) = (21 + 31)(21 + 32)(21 + 33)(21 + 34)(22 + 34)= 98.560Ejercicios 1.2Evale cada suma.1. 6i=1i2. 4j=0(, 1)3. 4k=0(3 +/)4. 4i=1 35. 2j=2,(, 2)6. 5k=1(3 2/)/Reescriba cada suma utilizando la notacin sumatoria.7. 1 + 3 + 5 + + 238. 31+ 32+ + 3109. 12 + 23 + + 111210. 1(1 + 2) + 2(2 + 2) + + 5(5 + 2)Determine si cada proposicin es verdadera.11. ni=mi = ni=m(: +:i)12. ni=mri= ni=mrn+mi1.3. INDUCCIN MATEMTICA 1313. Sumas de la forma o = ni=m+1(ai ai1) son llamadas sumas telescop-icas. Muestre que o = an am.14. Use el Ejercicio 13 y la identidad1i(i+1) = 1i1i+1. y encuentre una formulapara ni=11i(i=1).15. Usando el Ejercicio 13 y la identidad (i +1)2i2= 2i +1. desarrolle unaformula para ni=1i.16. Usando el Ejercicio 13 y la identidad (i +1)3i3= 3i3+3i +1. desarrolleuna formula para ni=1i2.Evalue.17. 5i=16j=1(2i + 3,)18. 3i=1ij=1(i + 3)19. 3i=0(i + 1)20. 5j=3(,2+ 1)21. 50k=0(1)kEvalue cada tem, donde j 2. 3. 5. 7. 11. 13 e 1 = 1. 2. 3. 5 .22. p10j23. i2I(3i 1)24. i;j2Iijj (2i+ 3j)25. i;j2Iij ij26. Encuentre el dgito de las decenas en la suma 999k=1/!1.3. Induccin MatemticaEl principio de induccin matemtica (PIM) es una poderosa tcnica deprueba que se usar con frecuencia en posteriores captulos.Muchos resultados interesantes en matemticas se cumplen para todos losenteros positivos. Por ejemplo las siguientes proposiciones son verdaderas paracada entero positivo : y todos los nmeros reales r. n. y ri:(rn)n= rn nnlog(r1 rn) =ni=1log ri14 CAPTULO 1. FUNDAMENTOSni=1i = n(n+1)2n1i=0 ri= rn1r1Cmo se puede probar que esos resultados se tienen para cada entero posi-tivo : ? Obviamente, es imposible sustituir cada entero positivo por : y vericarque la frmula se mantiene. El principio de induccin puede establecer la validezpara tales frmulas.Antes de pasar a la induccin matemtica, es necesario establecer el principiode buen-orden, el cual se aceptar como un axioma. (Un axioma es una arma-cin que es aceptada como verdadadera; con frecuencia se trata de proposicionesobvias, evidentes.)El Principio de Buen-OrdenTodo conjunto no vaco de enteros positivos tiene un elemento mnimo.Por ejemplo, el conjunto 17. 23. 5. 18. 13 tiene un elemento mnimo, a saber,5. Los elementos del conjunto pueden ser ordenados como 5. 13. 17. 18. y 23.En virtud del principio del buen-orden, el conjunto de enteros positivos esbien ordenado. Se puede notar que el conjunto de enteros negativos no es bienordenado.El siguiente ejemplo es una aplicacin simple del principio de buen-orden.Ejemplo 13 Pruebe que no hay enteros positivos entre 0 y 1Demostracin (por contradiccin). Supongamos que hay un entero positivoa entre 0 y 1 . Sea o = : Z+[ 0 < : < 1. Ya que 0 < a < 1. a o, as oes no vaco. Por lo tanto, por el principio de buen-orden , o tiene un elementomnimo |, donde 0 < | < 1 . Entonces 0 < |2< | , as |2 o . Pero |2< | , loque contradice nuestra suposicin que | es el elemento mnimo de o . As, nohay enteros positivos entre 0 y 1 .El principio de buen-orden puede extenderse a casi todos los nmeros, comolo muestra el siguiente ejemplo.Ejemplo 14 Pruebe que cada conjunto no vaco de enteros no negativos tieneun elemento mnimo.Demostracin (por casos). Sea oun conjunto de enteros no negativos.Caso 1 Supongamos que 0 o . Ya que 0 es menor que todo enteropositivo, 0 es menor que cada elemento diferente de cero en o , as 0 es elelemento mnimo de o .Caso 2 Supongamos que 0 o . Entonces o contiene nicamente enterospositivos. As, por el principio de buen-orden, o tiene un elemento mnimo.1.3. INDUCCIN MATEMTICA 15De esta forma, en ambos casos, o tiene un elemento mnimo.Versin Dbil de InduccinEl siguiente teorema es pieza fundamental para el principio de induccin.Teorema 15 Sea o un conjunto de enteros positivos que satisface las siguientespropiedades:1. 1 o .2. Si / es un entero positivo arbitrario en o , entonces / + 1 o.Luego o = N .Demostracin(por contradiccin). Suponga que o = N . Sea o0 = : N [ : o.Donde o0 = ? , por el principio de buen-orden, o0 tiene un elemento mnimo|0. Entonces |01 por la condicin (1). Dado que |0 es el elemento mnimo deo0 , |0 1 o0. Por lo tanto |0 1 o. Consecuentemente, por la condicin(2), (|0 1) + 1 = |0 o. Esto contradice lo establecido en la suposicin.Este resultado puede ser generalizado, como lo muestra el siguiente teorema.La prueba queda como ejercicio.Teorema 16 Sea :0 un entero jo. Sea o un conjunto de enteros que satisfacenlas siguientes condiciones:1. :0 o.2. Si / es un entero arbitrario _ :0 tal que / o , entonces / + 1 o.Luego o contiene todos los enteros positivos : _ :0.Luego de ver los anteriores resultados, se tienen las herramientas para poderdemostrar el teorema de inters y que se enuncia a continuacin.Teorema 17 (PrincipiodeInduccinMatemtica) Sea 1(:) unaproposicin que satisface las siguientes condiciones, donde : Z:1. 1(:0) es verdadera para algn entero :0.2. Si 1(/) es verdadera para un entero arbitrario / _ :0, entonces 1(/ +1)tambin es verdadera.Luego 1(:) es verdadera para cada entero : _ :0.16 CAPTULO 1. FUNDAMENTOSDemostracin. Sea o un conjunto de enteros _ :0 para los cuales 1(:) esverdadera. Donde 1(:0) es verdadera, :0 o . Por la condicin (2), cada vezque / o , / +1 o , as, por el teorema16, o contiene todos los enteros _ :0. Consecuentemente, 1(:) es verdadera para cada entero : _ :0 .En la condicin (1) del teorema 17 se asume la proposicin 1(:) como ver-dadera cuando : = :0 . En la condicin (2): Si 1(:) es verdadera para unentero / _ :0 , tambin lo es para : = / + 1 . Entonces, aplicando nuevamentela condicin (2), 1(:0 + 1), 1(:0 + 2). . . . se mantienen verdaderas. En otraspalabras , 1(:) permanece para cada : _ :0 .El Teorema 17 puede ser establecido directamente desde el principio de buen-orden.Demostrar un resultado por induccin comprende dos pasos clave:Paso Bsico: Compruebe que 1(:0) es cierto.Paso de Induccin: Asumir que 1(/) es cierto para algn entero arbitrario/ _ :0 (hiptesis inductiva)A continuacin, compruebe que 1(/ + 1) tambin es cierto.Para recordar: Con frecuencia nos preguntamos "No es esteun razonamiento circular? No estamos suponiendo lo que queremosdemostrar?"De hecho, no. La confusin deriva una mala interpreta-cion del paso 2 para la conclusin. El paso de induccin muestra que1(/) implica 1(/ + 1); esto es que si 1(/) es verdadero, entonces1(/ + 1) tambin lo es. La conclusin es: "1(:) es verdadera paracada : _ :0".Ejemplo 18 Pruebe que1 + 2 + 3 +. . . +: = :(: + 1)2para cada entero positivo : (1.4)Demostracin. (por induccin) Sea 1(:) el enunciadoni=1i = :(: + 1)2Paso Bsico: Vericar que 1(1) es verdadero (nota: aqu :0 = 1)1.3. INDUCCIN MATEMTICA 17donde : = 1. LMD =1(1+1)2= 1 =ni=1i =LMI.5Entonces, 1(1) es ver-dadero.Paso de Induccin: Sea / un entero positivo arbitrario. Se debe mostrarque 1(/) implica 1(/ + 1). Asuma que 1(/) es verdadero,es decirni=1i = :(: + 1)2(hiptesis de induccin)Se muestra que 1(/) implica 1(/ + 1), es decir k+1i=1i =(k+1)(k+2)2, empezamosconLMI en esta ecuacin1'1 =k+1i=1i =ki=1i + (/ + 1).Nota:k+1i=1ri =

ki=1ri

+ (rk + 1)=/(/ + 1)2+ (/ + 1) por hiptesis de induccin=(/ + 1)(/ + 2)2= 1'1Luego si 1(/) es verdadero, entonces 1(/ + 1) tambin lo es. As, por in-duccin, 1(:) es verdadero para cualquier entero : _ 1; esto es, la frmula valepara cada entero positivo.Ejemplo 19 Deduzca una formula para la suma de los : primeros enteros po-sitivos impares y luego use la induccin para establecer la conjetura.Solution 20 Primero, se estudiar las primeras cinco sumas, y luego se iden-tica un patrn para predecir la frmula de la suma de los : primeros enterospositivos impares. Las primeras cinco sumas son1 = 121 + 3 = 221 + 3 + 5 = 321 + 3 + 5 + 7 = 42Se puede observar claramente el patrn, entonces se puede establecer que la sumade los : primeros enteros positivos impares es :2;esto esni=1(2i 1) = :2(1.4)5LMD y LMI son las abreviaciones de lado a mano izquierda y lado a mano derecha,respectivamente, al referirse a una expresin y con el signo de igualdad como referente.18 CAPTULO 1. FUNDAMENTOSSe mostrar ahora la prueba por el principio de induccin.Demostracin.Cuando : = 1,ni=1(2i 1) =1i=1(2i 1) = 1 = 12, entonces elresultado es vlido cuando : = 1. Ahora, asuma que la frmula es vlida cuando: = /,ki=1(2i 1) = /2.Para mostrar que es vlida cuando : = / + 1, considerese la suma k+1i=1(2i 1).Luego tenemos quek+1i=1(2i 1) =ki=1(2i 1) + [2(/ + 1) 1]= /2+ (2/ + 1) por hiptesis de induccin= (/ + 1)2En consecuencia, si la frmula es vlida cuando : = /, es tambin vlida cuando: = / + 1. Por tanto, por induccin, la frmula es vlida para cualquier enteropositivo :.Volviendo a la induccin, nosotros encontramos que ambos, los pasos baiscoscomo los pasos de induccin son esenciales para la prueba por induccin, comose puede ver en los dos siguientes ejemplos.Ejemplo 21 Considere la "frmula" 1 +2 +3 +5 + +(2: 1) = (: 2)2.Claramente es cierta cuando : = 1. Pero no es cierta cuando : = 2. La verdades que los pasos bsicos no aseguran que el enunciado 1+2+3+5++(2:1) =(: 2)2sea cierto para cualquier entero :.El siguiente ejemplo muestra que la vlidez del paso de induccin es nece-saria, pero no suciente para garantizar que 1(:) es verdadero para todos losenteros deseados.Ejemplo 22 Considere la "frmula"1(:) : 1+2+3+5++(2:1) = :2+1.Suponga que 1(/) es verdadero:ki=1(2i 1) = /2+ 1. Entoncesk+1i=1(2i 1) =ki=1(2i 1) + [2(/ + 1) 1]= (/2+ 1) + (2/ + 1)= (/ + 1)2+ 11.3. INDUCCIN MATEMTICA 19Entonces si 1(:) es verdadero, 1(/ +1) tambin lo es. Sin embargo, la frmulano incluye a cualquier entero positivo :. Se puede vericar que 1(1) no se tiene.Versin fuerte de induccinAhora se presentar la versin fuerte de induccin. A veces lo cierto de1(/) puede no ser suciente para establecer la veracidad de 1(/ +1). En otraspalabras, la veracidad de 1(/ +1) puede requerir ms que la de 1(/). En talescasos, se tiene que asumir una hiptesis de induccin ms fuerte tal como que1(:0), 1(:0 + 1). . . . . 1(/) son todos verdaderos; luego vericar que 1(/ + 1)es tambin verdad. Esta versin fuerte, que puede ser demostrada usando laversin dbil de induccin, se estable ce como sigue.Teorema 23 (Segundo Principio de la Induccin Matemtica) Sea 1(:)un enunciado que satisfase las siguientes condiciones, donde : Z1. 1(:) es verdadero para cualquier entero :0.2. Si / es un entero arbitrario _ :0 tal que 1(:0). 1(:0 + 1). . . . . 1(/) sonverdaderos, entonces 1(/ + 1) tambin lo es.Luego 1(:) es verdadero para cualquier entero : _ :0.Demostracin. Sea o = : Z [ 1(:) es verdadero. Como 1(:0) es ver-dadero por la condicin (1) :0 o.Ahora asumamos que 1(:0), 1(:0+1). . . . . 1(/) es verdadero para un enteroarbitrario /. Entonces :0. :0 + 1. . . . . / pertenece a o. Luego por la condicin(2), / + 1 tambin pertenece a o. Por lo tanto por el teorema 16, o contienetodos los enteros : _ :0. En otras palabras, 1(:) es verdadero para cada entero: _ :0.El siguiente ejemplo muestra la tcnica de prueba.Ejemplo 24 Pruebe que cualquier envo postal cuyo valor es de : (_ 2) cen-tavos puede hacerse con estampillas de dos y tres centavos.Demostracin. Sea 1(:) el enunciado que arma que cualquier envo postalcuyo valor es de : centavos puede hacerse con estampillas de dos y tres centavos.Paso bsico (Note que :0 = 2) Dado que un envo de dos centavos se puedehacer con una estampilla de dos centavos, 1(2) es verdadero. Del mismo modo,1(3) es tambin verdadero.Paso de induccin Supongamos que 1(2). 1(3). 1(4). . . . . 1(/) son ver-daderos, es decir, cada envo postal de dos centavos hasta de / centavos puedehacerse con estampillas de dos y tres centavos. Para mostrar que 1(/ + 1) esverdadero, considere un envo postal de /+1 centavos. Ya que /+1 = (/1)+2,20 CAPTULO 1. FUNDAMENTOSun envo de / + 1 centavos puede formarse con estampillas de dos y tres cen-tavos si el envo de / 1 centavos puede realizarse con estampillas de dos y trescentavos. Como 1(/ 1) es verdero por la hiptesis de induccin, esto implicaque 1(/ + 1) tambin es verdadero.Por lo tanto, por la versin fuerte de induccin, 1(:) es cierto para cada: _ 2, es decir, cualquier envo postal de :(_ 2) centavos se puede hacer conestampillas de dos o tres centavos.Ejercicios 1.3Usando Induccin matemtica pruebe cada una de las siguientes proposi-ciones para todo entero : _ 1.1. ni=1(2i 1) = :22. ni=1i2= n(n+1)(2n+1)63. ni=1i3= n(n+1)2

24. ni=1ari1= a(rn1)r1. r = 1Determine si cada conjunto es bien ordenado. Si su respuesta es no, ex-plique.5. El conjunto de los enteros negativos.6. El conjunto de los enteros.7. : N[: _ 58. : Z[: _ 3Probar.9. Sea a Z. No hay enteros entre a y a + 1.10. (Propiedad Arquimediana) Sean a y / enteros positivos. Entonces hay unentero positivo : tal que :a _ /. (Sugerencia: Use el principio de buenorden y contradiccin)1.4. RELACIONES DE RECURRENCIA 211.4. Relaciones de RecurrenciaLas Realaciones de recurrencia o Recursin es una de las ms elegantestcnicas para solucionar problemas. Esta es una herramienta muy poderosa quepuede ser apoyada a travs de lenguajes de programacin.Se iniciar esta seccin con un problema muy conocido denominado el Prob-lema del Apretn de Manos:Hay : invitados a una esta. Cada persona estrecha la mano, exactamenteuna vez, con cada uno de los otros invitados. cuntos apretones de manos sehacen?Si se decide solucionar un problema como ste, la solucin puede no ser obvia.Sin embargo, es posible que el problema pueda ser denido en trminos de unaversin ms simple de si mismo. Tal denicin es una denicin inductiva.Por consiguiente, el problema dado se puede resolver si la versin simple sepuede resolver.Denicin de una funcin recursivaSea a \ y A = a. a + 1. a + 2. . . .. Una denicin inductiva de unafuncin 1 con dominio A. consiste de tres partes:Paso de la base Unos pocos valores iniciales 1(a). 1(a+1). . . . . 1(a+/ 1) se especican. Ecuaciones que especican tales valores iniciales sedenominan condiciones iniciales.Paso de recursin Una formula para calcular 1(:) desde los / precedentes valores funcionales1(:1). 1(:2). . . . . 1(:/) se proporciona. Tal formula es una relacinde recurrencia (o formula recursiva).Paso nal Solamente valores as obtenidos son valores funcionalesvlidos. (Por conveniencia, esta clusula se establece desde la denicinrecursiva.)En una denicin recursiva de 1, 1(:) se pueden denir usando los valoresde 1(/), donde / = :. as no todas las funciones denidas recursivamente puedendenirse inductivamente; Ver ejercicios 8-14.As, la denicin recursiva de 1 consiste de un nmero nito de condicionesiniciales y una relacin de recurrencia.Puede emplearse recursin para encontrar el mnimo y el mximo de tres oms nmeros reales. Por ejemplo, mnn. r. n. . = mnn. mnr. mnn. .;max n. r. n. . puede evaluarse de manera similar. Por ejemplo,mn23. 5. 6. 47. 31 = mn23. mn5. mn6. mn47. 31 = 622 CAPTULO 1. FUNDAMENTOSymax 23. 5. 6. 47. 31 = max 23. max 5. max 6. max 47. 31 = 47Los siguientes ejemplos ilustran la denicin recursiva.Ejemplo 25 Dena recursivamente la funcin 1 factorial.Solucin.Llamemos a la funcin factorial 1 denida por 1(:) = :!, donde 1(0) = 1.Luego :! = :(: 1)!, puede denirse la recursividad de la siguiente manera1(0) = 1 condicin inicial1(:) = :1(: 1). : _ 1 relacin de recurrenciaSupongamos que queremos calcular 1(3) recursivamente. Nosotros debemos con-tinuar aplicando la relacin de recurrencia hasta que encuentre la condicininicial, como se muestra:1(3) = 31(2) (1.5)

1(2) = 21(1) (1.6)

1(1) = 11(0) (1.7)

1(0) = 0 (1.8)Ya que 1(0) = 1, 1 se sustituye por 1(0) en la ecuacin (1.6) y 1(1) se calcula:1(1) = 11(0) = 11 = 1. Este valor se sustituye para 1(1) en la ecuacin(1.5) y 1(2) se calcula: 1(2) = 21(1) = 21 = 2. Este valor es utilizado enla ecuacin (1.4) para calcular 1(3): 1(3) = 31(2) = 32 = 6, como era deesperar.Ahora, volviendo al problema del apretn de manos.Ejemplo 26 (El problema del apretn de manos) Hay : invitados en unaesta. Cada persona estrecha lamano a cada uno de los dems exactamente unavez. Dena por recursividad el nmero de apretones de manos hechos /(:).Solucin.Claramente, /(1) = 0, entonces sea n_ 2. Sea r uno de los invitados. Elnmero de apretnes de manos hechos por los : 1 invitados entre ellos, pordenicin es /(: 1). Ahora la persona r estrecha su mano con cada uno delos : 1 invitados, realizando : 1 apretones de manos. As el nmero totalde apretones de manos es igual a /(: 1) + (: 1), donde : _ 2.1.4. RELACIONES DE RECURRENCIA 23Luego, /(:) puede ser denido recursivamente como sigue:/(1) = 0 condicin inicial/(:) = /(: 1) + (: 1) relacin de recurrencia.Ejemplo 27 (Torre de Brahma) Segn una leyenda, al inicio de la creacin,Dios apil 64 discos de oro sobre una de tres clavijas de diamante en unaplataforma de latn en el templo de Brahma en Benares, India (ver Figura 1.2).Pidieron a los sacerdotes de turno mover los discos desde la primera clavija ala tercera , usando la clavija del medio como clavija auxiliar, bajo las siguientescondiciones:nicamente un disco ser movido en cada turnoNingn disco puede colocarse sobre un disco ms pequeoSi las clavijas se etiquetan de izquierda a derecha con las letras A, 1y7. Suponga que hay : discos en la clavija A. Denote por /n el nmero demovimientos necesarios para trasladar los discos desde la clavija A hasta laclavija 7 usando la clavija 1 como un intermediaria. Dena /n recursivamente.Solucin.Si hay un slo disco , simplemente se mueve a la clavija deseada. Si seasumen : _ 2 discos, se comienza de manera recursiva por invocar el algoritmopara mover los :1 discos superiores a la clavija 1. quedando un solo disco enla clavija A. Durante estos movimientos el disco ms grande queda jo en laclavija A. Despus se mueve el disco que queda jo de la clavija A a la clavija7. Por ltimo, de nuevo se invoca el algortmo de manera recursiva para moverlos : 1 discos de la clavija 1 a la clavija 7.As el total de movimientos necesarios es /n1 + 1 + /n1 = 2/n1 + 1.Entonces /n puede ser denido recurivamente como sigue:/n = 1 si : = 1 condicin inicial2/n1 + 1 si : _ 2 relacin de recurrenciaFigura 1.2: Torre de Hanoi24 CAPTULO 1. FUNDAMENTOSPor ejemplo,/4= 2/3 + 1= 2[2/2 + 1] + 1= 4/2 + 2 + 1= 4[2/1 + 1] + 2 + 1= 8/1 + 4 + 2 + 1= 8(1) + 4 + 2 + 1 = 15De esta forma son 15 movimientos para transferir 4 discos desde A hasta 7.Note que la denicin recursiva de una funcin 1 no proporciona una frmulaexplicita para 1(:) pero establece un procedimiento sistemtico para encontrar-la.El Mtodo Iterativo para encontrar una frmula para 1(:) involucra dospasos:1. Aplique la frmula iterativa de recurrencia y mire un patrn para predecirla formula explcita.2. Use induccin para probar que la frmula es verdadera para cada posiblevalor del entero :.El siguiente ejemplo ilustra este mtodo.Ejemplo 28 Solucione la relacion de recurrencia en el ejemplo del problemadel apretn de manos.Solucin.Usando iteracin, se tiene:/(:) = /(: 1) + (: 1)= /(: 2) + (: 2) + (: 1)= /(: 3) + (: 3) + (: 2) + (: 1)...= /(1) + 1 + 2 + 3 + + (: 2) + (: 1)= 0 + 1 + 2 + 3 + + (: 1)=:(: 1)2.Ejercicios 1.4En los ejercicios 1-4, calcule los primeros cuatro trminos de la secuenciadenida recursivamente.1.4. RELACIONES DE RECURRENCIA 251. a1 = 1an = an1 + 3. : _ 22. a1 = 1an =nn1an1. : _ 23. a1 = 1. a2 = 2an = an1 +an2. : _ 34. a1 = 1. a2 = 2. a3 = 3an = an1 +an2 +an3. : _ 4Dena recursivamente cada secuencia numrica.5. 1. 4. 7. 10. 13. ...6. 0. 3. 9. 21. 45. ...7. 1. 2. 5. 26. 677. ...La funcin-91 denida por John McCarthy, se dene recursivamente comosigue:1(r) = r 10 Si r1001(1(r)) Si 0 _ r _ 100Calcule:8. 1(99)9. 1(98)10. 1(1(99))11. 1(1(91))12. Muestre que 1(99) = 9113. Pruebe que 1(r) = 91 para 90 _ r _ 10014. Pruebe que 1(r) = 91 para 0 _ r < 9026 CAPTULO 1. FUNDAMENTOS1.5. El Teorema BinomialLos binomios son sumas de dos trminos, y aparecen a menudo en matemti-cas. Esta seccin muestra la forma de expandir potencias enteras positivas demanera sistemtica. Los coecientes en una expansin binomial tienen variaspropiedades interesantes.Se empezar con un anlisis de los coecientes binomiales.Coecientes BinomialesSean : y r enteros no negativos. El coeciente binomial6

:r

est denidopor

:r

=:!r!(: r)! si r _ :.y es 0 en otro casos; esto tambin se denota por C(:. r) o nCr.Por ejemplo,

53

=5!3!(5 3)!=5.4.3.2.13.2.1.2.1 = 10Se desprende de la denicin que

:0

= 1 = ::

.Hay muchos casos en los que necesitamos para calcular los coecientes bino-6El trmino coeciente binominal fue introducido por el alemn algebrista Michel Stifel(1486-1567). En su trabajo ms conocido, Arithmetica Integra (1544) Stifel da los coecientesbinomiales para n17. La notacin de parntesis binivel para coeciente binomial fue intro-ducida por el matemtico y fsico alemn Baron Andreas von Ettinghausen (17961878).Von Ettinghausen, nacio en Heidelberg,asisti a la Universidad de Viena en Austria. Durante dos aos trabaj como asistente dematemticas y fsica en la Universidad. En 1821 se convirti en profesor de matemticas, y en1835, profesor de fsica y director del Instituto de Fsica. Trece aos ms tarde, se convirtien el director de Estudios de Matemticas e Ingeniera de la Academia de Viena.Unpioneroenlafsicamatemtica, vonEttinghausentrabajenel anlisis, lgebra,geometra diferencial, mecnica, ptica y electromagnetismo.1.5. EL TEOREMA BINOMIAL 27miales :r

y :: r

. Ya que

:: r

=:!(: r)! [: (: r)]!=:!(: r)!r! =:!r! (: r)!= :r

aqu, no es necesario evaluar ambos, lo que reduce signicativamente nuestrotrabajo. Por ejemplo,

2520

= 2525 20

= 255

= 53130.El siguiente teorema muestra una importante relacin de recurrencia quesatisfacen los coecientes binomiales. Se conoce como la identidad de Pascal,debida al extraordinario matemtico y lsofo francs Blaise Pascal.Teorema 29 (Identidad de Pascal) Sean : y r enteros positivos con r _ :.Entonces

:r

= : 1r 1

+

: 1r

.Demostracin. Se simplicar la expresin del LMD y demostrar que es iguala la expresin del LMI:

: 1r 1

+

: 1r

=(: 1)!(r 1)! (: r)! +(: 1)!r! (: r 1)!=r (: 1)!r (r 1)! (: r)! +(: r) (: 1)!r! (: r) (: r 1)!=r (: 1)!r! (: r)! + (: r) (: 1)!r! (: r)!=(: 1)! [r + (r :)]r! (: r)!= (: 1)!:r! (: r)!=:!r! (: r)!= :r

as el teorema queda demostrado.28 CAPTULO 1. FUNDAMENTOSTringulo de PascalLos diferentes coecientes binomiales :r

. donde 0 _ r _ :. pueden serarreglados en forma de un tringulo, llamado tringulo de Pascal7

00

10 11

20 21 22

30 31 32 33

40 41 42 43 44

1 t la 01 1 t la 11 2 1 t la 21 3 3 1 t la 31 4 6 4 1 t la 4El tringulo de Pascal tiene muchas propiedades interesantes:Cada la empieza y termina en 1.El tringulo de Pascal es simtrico sobre una lnea vertical que pasa porel centro. Esto es as por Teorema 29.Cualquier nmero en el interior de cada la es la suma de los nmeros aizquierda y a derecha de la la inmediatamente superior. Esto es as envirtud de la identidad de Pascal.La suma de los nmeros en cualquier la es una potencia de 2. Corolario31 vericar esto.La :sima la puede utilizarse para determinar 11n. Por ejemplo, 113= 1331 y 114= 14641. Para calcular altas potencias de 11, se debe tenercuidado ya que algunos de los nmeros envuelven la participacin de doso ms dgitos. Por ejemplo, para calcular 115lista de la la 5:1 5 10 10 5 1De derecha a izquierda, liste los dgitos simples. Cuando llegamos a unnmero de dos dgitos, escribimos los digitos de las unidades y llevamos7Aunque el tringulo de Pascal es el nombre de Pascal, esto actualmente aparece primeroen 1303 en una obra del matemtico chino Chu Shi-Kie.1.5. EL TEOREMA BINOMIAL 29los digitos de las decenas al nmero de la izquierda. Aadiendo el nmeroque llevaba al de su izquierda. Continuando este proceso a la izquierda.El nmero resultante es 161051, que corresponde a 115.El siguiente teorema muestra cmo los coecientes binomiales pueden usarsepara encontrar la expansin del binomio (r +n)n.Teorema 30 (El Teorema Binomial)8Sean r y n nmero reales, y : algnentero no negativo. Luego(r +n)n=nr=0

:r

rnrnr.Demostracin. (induccin dbil) Cuando : = 0, LMI = (r+n)0= 1 y LMI= 0r=0

:r

r0rnr= r0n0= 1, as LMI=LMD.Supongamos 1(/) es cierto para algunos / _ 0:(r +n)k=kr=0

/r

rkrnrEntoces(r +n)k+1= (r +n)k(r +n)=kr=0

/r

rkrnr(r +n)=kr=0

/r

rk+1rnr+kr=0

/r

rk+1rnr=

/0

rk+1+kr=1

/r

rk+1rnr+k1r=0

/r

rkrnr+1+

/r

nk+1= / + 10

rk+1+kr=1

/r

rk+1rnr+k1r=0

/r 1

rk+1rnr+

/ + 1/ + 1

nk+18El teorema binomial para n = 2 se puede encontrar en el trabajo de Euclides (ca. 300 B.C.).30 CAPTULO 1. FUNDAMENTOS= / + 10

rk+1+kr=1/r

+

/r 1

rk+1rnr+

/ + 1/ + 1

nk+1= / + 10

rk+1+kr=1

/ + 1r

rk+1rnr+

/ + 1/ + 1

rk+1=k+1r=0

/ + 1r

rk+1rnrAs, por induccin, la frmula es vlida para todo entero : _ 0.Se deduce del teorema binomial que los coecientes binomiales en la expan-sin de (r +n)nson los distintos nmeros en la :sima la del tringulo dePascal.El teorema binomial se puede usar para establecer varias identidades in-teresantes involucrando los coecientes binomiales, como lo muestra el siguientecorolario9.Corolario 31nr=0

:r

= 2nesto es, la suma de los coecientes binomiales es 2n.Esto se sigue haciendo r = 1 = n en el teorema binomial.Ejercicios 1.5(Doce Das de Navidad) Supongamos que el primer da de la Navidad hasenviado a tu amor 1 regalo, 1 + 2 regalos en el segundo da, 1 + 2 + 3 regalosal tercer da, y as sucesivamente.1. Mostrar que el nmero de regalos enviados en el :simo da es : + 12

,donde 1 _ : _ 12.2. Mostrar que el nmero total de los regalos enviados en el :simo da es

: + 23

, donde 1 _ : _ 12.Encontrar el coeciente en cada caso.3. r2n6en la expansion de (2r +n)8.9Un corolario es un resultado que se desprende del anterior teorema.1.5. EL TEOREMA BINOMIAL 314. r4n5en la expansion de (2r 3n)9.Usando el teorema binomial, expandir.5. (2r 1)56. (r + 2n)6Encontrar el termino medio en la expansion binomial de cada caso.7. 2r + 2x

88. r2+1x2

10Encontrar el mas grande coeciente binomial en la expansion de cada caso.9. (r +n)510. (r +n)611. (r +n)712. (r +n)813. Usando los ejercicios 9-12, encontrar el mayor coeciente en la expansinbinomial (r +n)n.Los nmeros de Bell 1n son llamados as en honor al matemtico Americano-Escoses Eric T. Bell (1883-1960). stos son utilizados en combinatoria y sedenen recursivamente como sigue:10= 11n=n1i=0

:r

: 1i

1i;: _ 1.Calcular los siguientes nmeros de Bell.14. 1215. 1316. 1417. 1518. Vericar que :r

= nr

: 1i 1

.32 CAPTULO 1. FUNDAMENTOS19. Probar que 2::

es un entero par. (L. Moser, 1962)Probar cada una de las siguientes proposiciones.20. (: + 1) [

2::

. cuando se escribe a[/ signica que a es un factor de / y: _ 0.21.nr=0

2:2r

=nr=1

2:2r 1

(Sugerecia: Use el Corolario 1.1)22.nr=02r

:r

= 3n23.nr=0

:r

:: r

= 2::

(Sugerencia: Considere (1 +r)2n= (1 +r)n(1 +r)n)24.ni=1

:i 1

:i

= 2:: + 1

(Sugerencia: Considere (1 +r)2n= (r + 1)n(1 +r)n.)Evale cada suma.25. 1

:1

+ 2

:2

+ 3

:3

+ +:

::

(Sugerecia: Denote con o la suma. Utilice o y la suma en el orden inversopara calcular 2o)26. a

:0

+ (a +d)

:1

+ (a + 2d)

:2

+ + (a +:d)

::

(Sugerencia: Utilice la misma sugerecia del Ejercicio 25)27. Muestre que C(:. r1) < C(:. r) si y slo si r < : + 12cuando 0 _ r < :.28. Usando el ejercicio 27, pruebe que el mayor coeciente binomial C(:. r)ocurre cuando r = :2|Usando induccion, pruebe.1.5. EL TEOREMA BINOMIAL 3329. :0

+

: + 11

+

: + 22

+ +

: +rr

= : +r + 1r

(Sugerencia: Use la identidad de Pascal)30. 1

:1

+ 2

:2

+ +:

::

= :2n131. :0

2+

:1

2+

:2

2+ +

::

2= 2::

(Identidad de Lagrange)A partir de la expansion binomial(1 +r)n=nr=0

:r

rr.se puede mostrar que:(1 +r)n1=nr=1

:r

rrn1.Usando este resultado, pruebe.32. 1

:1

+ 2

:2

+ 3

:3

+ +:

::

= :2n133. 1

:1

+ 3

:3

+ 5

:5

+ = 2

:2

+ 4

:4

+ 6

:6

+ = :2n234. Conjeture una frmula parani=2

i2

.35. Prube la formula que supuso en el Ejercicio 34.36. Conjeture una formula parani=3

i3

37. Probar la formula supuesta en el Ejercicio 36.38. Usando los ejercicios 34-37, prediga una formula parani=k

i/

.34 CAPTULO 1. FUNDAMENTOSFigura 1.3: Nmeros Triangulares.1.6. Nmeros PoligonalesUn nmero poligonal es aquel nmero que pueden congurarse en un pol-gono regular. Ellos proporcionan un fascinante eslabn entre la teora de nmerosy la geometra. No sorprende que los nmeros poligonales tengan un origen an-tiguo, y efectivamente se cree que ellos fueron inventados por los pitagricos en1665. Pascal public un libro sobre ello llamado Tratado sobre nmeros cifrados.Los nmeros poligonales, tambin conocidos como nmeros cifrados en elplano, son enteros positivos que pueden ser representados por polgonos regu-lares en un modelo sistemtico. Se mostrar algunos tipos de tales nmeros:nmeros triangulares, nmeros cuadrados, nmeros pentagonales y nmeroshexagonales.En bolos los diez pinos son ordenados inicialmente en un despliegue triangu-lar. De manera similar, las 15 bolas en el juego de pool son inicialmente colocadasen una forma triangular. Ambos nmeros 10 y 15 son nmeros triangulares.De acuerdo a lo expresado, se presenta la siguiente denicin.Nmeros TriangularesUn nmero triangular es un entero positivo que puede ser representado gr-camente por un arreglo triangular equilatero. El :simo nmero triangularse denota por tn, con : _ 1.Los primeros cuatro nmeros triangulares son, 1. 3. 6. y 10 y ellos se rep-resentan en la Figura 1.3 Ya que la isima la, de arriba hacia abajo, en elisimo nmero triangular tiene i puntos, tn es igual a la suma de los : primerosenteros positivos, esto estn =ni=1i = :(: + 1)2.Por ejemplo, t4 = (4 5) 2 = 10 y t36 = (36 37)2 = 666.1.6. NMEROS POLIGONALES 35Figura 1.4: Nmeros CuadradosLuegotn = : + 12

.de esta forma, los nmeros triangulares pueden ser leidos en el tringulo dePascal.Ya que en cada conguracin triangular cada la contiene un punto ms quela la anterior, tn puede ser denida recusivamente, ver Tabla 1.Tabla 1Una Formula Recursiva para tnt1= 1tn= tn1 +:. : _ 2Como un ejemplo, ya que t3 = 6. t4 = t3 + 4 = 6 + 4 = 10.El Ejercicio 1 de esta seccin plantea resolver la relacin de recurrencia paraencontrar una formula explcita para tn.Nmeros CuadradosEnteros positivos que pueden ser representados por arreglos cuadrados (depuntos) se denominan nmeros cuadrados. El :simo nmero cuadradose denota por :n. La Figura muestra los primeros cuatro nmeros cuadrados,1. 4. 9 y 16. En general :n = :2.: _ 1. Como antes, :n tambin puede denirserecursivamente. La Figura 1.5 permite ver como esto puede considerarse. Puedeverse un patrn, en donde el nmero de puntos en cada arreglo (excepto el36 CAPTULO 1. FUNDAMENTOSFigura 1.5: Recursividad para nmeros cuadradosprimero), es igual al nmero de puntos en el arreglo anterior ms dos veces elnmero de puntos en la la del anterior arreglo ms uno; esto es,:n= :n1 + 2(: 1) + 1= :n1 + 2: 1As, se tiene la siguiente denicin recursiva de :n :Una Formula Recursiva para on:1= 1:n= :n1 + 2: 1. : _ 2Ahora se demostrar una relacion entre tn y :n. El siguiente teorema cono-cido por el matematico griego Theon de Smyrna (ca. A.D. 100) Y Nicomachus,establece algebricamente que :n = tn +tn1.Teorema 32 La suma de dos numeros triangulares consecutivos es un cuadra-do.Demostracin.tn +tn1=:(: + 1)2+ :(: 1)2=:2(: + 1 +: 1) = :2(2:)= :2= :n.A continuacin se presentan algunos resultados a travs de dos teoremascuyas demostraciones se dejan como ejercicio.1.6. NMEROS POLIGONALES 37Figura 1.6: Nmeros PentagonalesTeorema 33t2n1 +t2n = tn2.Teorema 348tn + 1 = (2: 1)28tn1 + 4: = (2:)2El siguiente turno es para los nmeros pentagonales10jn.Nmeros PentagonalesLos primeros tres nmeros pentagonales son 1. 5 y 12 son ilustrados en laFigura 1.6 y se puede notar quejn = :(3: 1)2(Ver seccin de ejercicios).Una interesante relacin que conecta nmeros triangulares, cuadrados y pen-tagonales puede establecerse de la siguiente forma,tn1 +:n = jn. : _ 2.esto puede vericarse algebricamente y se deja como ejercicio para el lector.A continuacin se discutira respecto a los nmeros hexagonales 11/n.10El prejo griego penta signica cinco11El prejo griego hexa signica seis38 CAPTULO 1. FUNDAMENTOSFigura 1.7: Nmeros hexagonalesNmeros HexagonalesLa Figura 1.7 muestra la representacin grca de los primeros tres nmeroshexagonales 1. 6 y 15. Se puede vericar que/n = :(2: 1). : _ 1(Ver seccin de ejercicios).Los nmeros triangulares, pentagonales y hexagonales satisfacen la relacinjn +tn1 = /nse puede vericar esto (Ver seccin de ejercicios).Ejercicios 1.61. Resuelva la relacin de recurrencia para tn.2. Encuentre el valor de : tal que tn = 666. (El nmero 666 se conoce comoel nmero de la bestia)3. Resuelva la relacin de recurrencia para :n.4. Muestre que 8tn + 1 = :2n+1. Diofanto5. Dena recursivamente el :simo nmero pentagonal jn.6. Usando la relacin en el ejercicio 5, encuentre una formula explcita parajn.Pruebe para : _ 2.7. t2n1 +t2n = tn28. jn +tn1 = /n1.7. NMEROS PIRAMIDALES 39Figura 1.8: Nmeros Piramidales Triangulares9. Dena recursivamente el :simo nmero hexagonal /n.10. Usando la relacin de recurrencia en el ejercicio 9, encuentre una formulaexplcita para /n.1.7. Nmeros PiramidalesAhora se estudiar guras slidas de nmeros, las cuales estn comprendidaspor enteros positivos que pueden ser representados de forma piramidal. Se ob-tienen realizando sumas sucesivas de los correspondientes nmeros poligonales.Los nmeros de lados en la base de una pirmide se incrementa a partir detres, de esta forma se obteniendo los diversos nmeros piramidales, como lostriangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales y as sucesivamente.Se iniciar con el ms simple de los nmeros piramidales, los nmeros pi-ramidales triangulares, tambin conocidos como nmeros tetradricos.Nmeros Piramidales TriangularesEl :simo nmero piramidal tringular T: es la suma de los : primerosnmeros triangulares tn. Los cuatro primeros nmeros son de la forma: T1 = 1;T2 = t1+t2 = 1+3 = 4; T3 = t1+t2+t3 = 1+3+6 = 10; y T4 = t1+t2+t3+t4 =1+3+6+10 = 20. La Figura 1.8 permite observar la obtencin de los diferentesnmeros piramidales triangulares, apilando canicas en el orden mostrado.Los diferentes nmeros pirmidales tringulares pueden construirse utilizan-do la regularidad presentada en la Tabla 1.9. Luego, para obtener el 5o nmeropiramidal triangular se suma el 4o nmero piramidal triangular con el 5o nmero40 CAPTULO 1. FUNDAMENTOStriangular. De manera general Tn = Tn1 + tn; que equivale a, Tn = Tn1 +[:(: + 1)]2.Ya queTn =ni=1ti;de la seccin anterior se tiene que:Tn=ni=1i(i + 1)2=:(: + 1)(: + 2)6= : + 23

Por consiguiente, Tn tambin puede ser ledo en el tringulo de Pascal.Nmeros Piramidales CuadradosAqu la base de la piramide para la obtencin de los nmero piramidalescuadrados es, efectivamente un cuadrado. Y cada nivel contiene :n puntos. LaFigura 1.10 muestra la construccin del 4o nmero piramidal cuadrado, utilizan-do una estructura a partir de canicas.Los primeros cuatro nmeros piramidales cuadrados son 1, 5, 14 y 30.Los nmeros cuadrados pirmidales, notados on. pueden construirse fcilmenteusando la estructura presentada en la Figura 1.11.Luego el :simo nmeropiramidal cuadrado se puede obteneron=nk=1:k =nk=1/2=:(: + 1)(2: + 1)6.Nmeros Piramidales PentagonalesLa :sima la de una pirmide pentagonal representa el :simo nmeropentagonal jn, los primeros cinco nmeros pirmidales pentagonales son 1,Figura 1.9: Regularidad Nmeros Piramidales Triangulares1.7. NMEROS PIRAMIDALES 41Figura 1.10: Construccin del 4o nmero piramidal cuadradoFigura 1.11: Regularidad Nmeros Piramidales Cuadrados6, 18, 40, y 75. Una vez ms, se presenta mediante la Figura 1.12 la regularidadpara su construccin.Se propone como ejercicio encontrar una frmula explcitapara el :simo nmero piramidal pentagonal notado 1n.Figura 1.12: Regularidad Nmeros Piramidales PentagonalesFinalmente se hablar de los nmeros pirmidales hexagonales Hn.Nmeros Piramidales HexagonalesLa :sima la de una piramide hexagonal representa el :simo nmerohexagonal /n, los primeros cinco nmeros pirmidales hexagonales son 1,7, 22, 50 y 95. De igual manera, se propone como ejercicio, con base en la Figura1.13, encontrar una formula explcita para Hn.Ejercicios 1.71. Encuentre los primeros cuatro nmeros triangulares que son cuadrados.42 CAPTULO 1. FUNDAMENTOS2. Usando la relacin de recurrencia Tn = Tn1 +n(n+1)2donde T1 = 1.encuentre una formula explcita para el :simo nmero triangular pi-ramidal Tn.3. Dena recursivamente en :simo nmero piramidal cuadrado on.4. Usando el ejercicio 3, encuentre una formula explicita para on.5. Encuentre una formula para el :simo nmero piramidal pentagonal 1n.6. Dena recursivamente el :simo nmero piramidal pentagonal 1n.7. Use el ejercicio 6, encuentre una formula explcita para 1n.8. Encuentre una formula para el :simo nmero piramidal hexagonal Hn.9. Dena recursivamente el :simo nmero piramidal hexagonal Hn.10. Use el ejercicio 9, encuentre una formula explcita para Hn.1.8. Nmeros de CatalnLos nmeros de Catalan son un un conjunto de nmeros que encajan demanera perfecta dentro de este contexto, ellos son excelentes candidatos para laexploracin, la experimentacin y para establecer conjeturas. Como los nmerosde Fibonacci y de Lucas, ellos tienen, como Martin Gardner escribi en la Scien-tic American, "la misma encantadora propensin para aparecer de improviso,en particular en problemas combinatorios "(1976). Aquellos sitios inesperadosen donde aparecen incluyen el lgebra abstracta, la teora combinatoria, la in-formtica, la teora grafos, y la geometra.Los nmeros de Cataln son llamados as luego de que el matemtico bel-ga Eugene C. Cataln, los descubriera en 1838, mientras l estudiaba las se-cuencias gramaticalmente correctas de parntesis. Antes, alrededor de 1751, elexcepcional matemtico suizo Leonhard Euler los encontr estudiando las tri-angulaciones de polgonos convexos.Figura 1.13: Regularidad Nmeros Piramidales Hexagonales1.8. NMEROS DE CATALN 43Figura 1.14: El Problema de la Triangulacin de EulerEl Problema de la Triangulacin de EulerSe inicia el estudio de los nmeros de Cataln Cn. con la investigacin deEuler del problema de la triangulacin:Problema 35 Encuentre el nmero de formas n. en que el interior de un:gono convexo12puede ser dividido en reas triangulares no superpuestasdibujando diagonales que no se cruzan, donde : _ 3.Hay slo un forma de dividir un tringulo en reas triangulares, dos modosdiferentes de dividir en reas triangulares un cuadrado, cinco modos diferentesde dividir en reas triangulares un pentgono, y 14 modos diferentes de dividirun hexgono, como se muestra en la Figura 1.14. As, se tienen los nmeros deCataln 1, 2, 5, y 14.Se propone como ejercicio para el lector encontrar las 5formas de dividir en reas triangulares el pentagono.Euler usa un argumento inductivo para establecer la formulan = 2610(4: 10)(: 1)!para : _ 3para incluir los casos : = 0. 1. 2 haciendo / = : 3 se tienek+3 = 2610(4/ + 2)(/ + 2)!para / _ 0As, 3 = 1. 4 = 2. 5 = 5. se obtienen de la anterior expresin asignandovalores de / = 0. / = 1 y / = 2 y que corresponden a los nmeros de Cataln12Un agono convexo es un polgono con a lados tal que todas sus diagonales quedantotalmente en el interior del polgono.44 CAPTULO 1. FUNDAMENTOSC1. C2. C3 respectivamente. Cambiando dos espacios a la derecha se tiene queCn = n+2. luegoCn = n+2 = 2610(4: 2)(: + 1)!para : _ 1.peroCn=2610(4: 2)(: + 1)!=(4: 2): + 12610(4: 6):!=(4: 2): + 1Cn1Cuando : = 1 se tiene que C1 = C0. pero ya que C1 = 1. deniendo C0 = 1 sepuede escribir la recursividad de los nmeros de Cataln como sigue.Una Denicin Recursiva de CnC0= 1Cn=(4: 2): + 1Cn1 si : _ 1.Una Formula Explcita para CnPara la solucin de la relacin de recurrencia presentada antes se tiene,Cn=(4: 2): + 1Cn1=(4: 2): + 1(4: 6):Cn2=(4: 2): + 1(4: 6):(4: 10): 1Cn3...=(4: 2)(4: 6)(4: 10)62(: + 1):(: 1)32C0= 2n(2: 1)(2: 3)(2: 5)31(: + 1)!= 2n(2: 1)(2: 3)(2: 5)31(: + 1)!

24(2:)24(2:)

= 2n(2:)!(: + 1)!12n [12:]= 2n(2:)!(: + 1)!12n:!=1(: + 1) (2:)!:!:!=1: + 1

2::

.1.8. NMEROS DE CATALN 45Ya que (: + 1)[

2::

(se propone esta armacin como ejercicio para ellector)13, de esto se sigue que todo nmero de Catalan es entero positivo. Acontinuacin se presentan los primeros nmeros de Catalan:1. 1. 2. 5. 14. 42. 132. 429. 1430. 4862. 16796. 58786. ...Se sigue desde la formula explcita que todo nmero de Cataln Cn puedeextraerse desde el tringulo de Pascal: Dividiendo cada coeciente binomialcentral 2::

entre (: + 1).|

00

10 11

20 21 22

30 31 32 33

40 41 42 43 44

|Ejercicios 1.8Probar.1. Cn = 1:

2:: 1

2. Cn = 2::

2:: 1

3. Cn+1 = 2::

2:: 2

4. Cn =12: + 1

2: + 1:

5. Cn = 2: 1: 1

2: 1: 2

6. Cn = 2

2::

2: + 1:

13ojb signica que o es factor de b, o que o divide a b.46 CAPTULO 1. FUNDAMENTOS7. Cn = 2: + 1: + 1

2

2:: + 1

Usando la formula recursivaCn = b(n1)=2cr=0

: 12:

2n2r1Crcalcule Cn para cada valor de :.8. : = 59. : = 6Captulo 2DivisibilidadEste Captulo continua con el estudio de las propiedades de los enteros yexplora los nmeros primos, los cuales son un componente bsico de ste con-junto, los nmeros compuestos y una clase particular de nmeros denominadosnmeros de Fermat.2.1. El Algoritmo de la DivisinEl algoritmo de divisin es una na aplicacin del principio del buen orden ya menudo se emplea como mtodo de comprobacin del proceso de la divisin.Suponga que un entero a se divide por un entero positivo /. Entonces seconsigue un nico cociente c y un nico residuo (o resto) r, donde el residuosatisface la condicin 0 _ r < /; a es el dividendo y / es el divisor. Estoformalmente se establece de la siguiente forma.Teorema 36 (El Algoritmo de la Divisin) Sea a cualquier entero y / unentero positivo. Entonces existen enteros nicos c y r tales quea = /c +rdonde 0 _ r < /.Demostracin. La prueba consiste en dos partes. Primero se establecera laexistencia de los enteros c y r y luego se mostrar que ellos son nicos.Demostracin de la existenciaConsidere el conjunto o= a /:[(: Z) y (a /: _ 0) . Claramente,o _ \. Se desea mostrar que o tiene un mnimo elemento. Para este n, primerose muestra que o es un subconjunto no vacio de \ :4748 CAPTULO 2. DIVISIBILIDADCaso 1. Suponga a _ 0. Entonces a = a/0 o. as o contiene un elemento.Caso 2. Suponga a < 0. Ya que / Z+. / _ 1. Entonces /a _ a; esto es,a /a _ 0. Consecuentemente, a /a o.En ambos casos, o contiene al menos un elemento, as o es un subconjuntono vaco de \. Por tanto, por el principio del buen orden, o contiene un mnimoelemento r.Ya que r o, existe un entero c tal que r = a /c. donde r _ 0.Por mostrar que r < / :Se mostrar esto por contradiccin. Escogiendo r _ /. Entonces r / _ 0.Pero r / = (a /c) / = a /(c + 1). Ya que a /(c + 1) es de la formaa /: y es _ 0. a /(c + 1) o; esto es, r / es ms pequeo que r y est eno. Esto contradice la forma de escoger r. as r < /.As, hay enteros c y n talque a = /c +r. donde 0 _ r < /.Demostracin de la unicidadSe quiere ahora mostrar que los enteros c y r son nicos. Asumiendo quehay enteros c. c0. r y r0 tal que a = /c + r y a = /c0 + r0. donde 0 _ r < / y0 _ r0 < /.Asumiendo, por conveniencia, que c _ c0. Entonces r0r = /(c c0). Ya quec _ c0. c _ c0 _ 0 y ya que r0 r _ 0. Pero, ya que r0 < / y r < /. r0 r < /.Suponga que cc0; esto es, c c _0 1. Entonces /(c c0) _ /; esto es,r0 r _ /. Que es una contradiccin ya que r0 r < /. Por tanto, cc0; as,c = c0. y ya que, r = r0. Luego, los enteros c y r son nicos, completando laprueba de unicidad.Aunque tradicionalmente se haya dado a este teorema el nombre de algoritmode divisin, ste no presenta un algoritmo para encontrar c y r. Ellos se puedenencontrar usando el mtodo largo de la divisin.Ejemplo 37 Encuentre el cociente c y el residuo r cuando1. 207 se divide por 152. 23 se divide por 5Solucin.1. 207 = 153 + 12; as c = 13 y r = 12.2. Ya que 23 = 5(4) + (3). se estara tentado a decir que c = 4 yr = 3. El residuo, sin embargo, nunca puede ser negativo. Pero 23 sepuede escribir como 23 = 5(5) + 2. donde 0 _ r(= 2) < 5 (Ver larecta numrica en la Figura 2.1). De esta forma, c = 5 y r = 2.2.1. EL ALGORITMO DE LA DIVISIN 49Figura 2.1: Ilustracin de la division de 23 entre 5 en la recta numrica.Puede notarse que la ecuacin a = /c +r puede escribirsea/ = c + r/.donde 0 _ r/ < 1. Consecuentemente, c = a/| y r = a /c = a /a/| .Operadores Div y ModLos operadores binarios, div y mod, son frecuentemente usados en el rea delas matematicas discretas y computacionales para encontrar cocientes y residuos.Se pueden denir de la siguiente forma:a div / = cociente cuando a se divide entre /a mod/ = residuo cuando a se divide entre /Por ejemplo, 23 div 5 = 4. y 23 mod5 = 3; 23 div 5 = 5. y 23 mod5 = 2.como se argumento en el ejemplo anterior.De las deniciones anteriores se puede escribirc = a div / = a/|yr = a mod/ = a /c = a /a/| .El Principio del Palomar y el Algoritmo de la DivisinEl principio del palomar tambin conocido como el principio de lascajas de Dirichlet luego de que el matemtico alemn Gustav Peter LejeuneDirichlet lo usara extensivamente en sus trabajos sobre teora de nmeros. Esteprincipio puede ser utilizado en variadas situaciones.Suponga : palomas volando hacia : palomares, donde ::. Cul es suconclusin? Ya que hay ms palomas que palomares, al menos dos palomas seposarn en el mismo palomar; en otras palabras, hay palomares que contendrndos o ms palomas.Se establecer y probar a continuacin una versin simple del principio depalomar.50 CAPTULO 2. DIVISIBILIDADTeorema 38 (El Principio del Palomar) Si : palomas son asignadas a: palomares, donde ::. entonces al menos dos palomas ocupan el mismopalomar.Demostracin. (por contradiccin) Suponga que la conclusin es falsa; estoes, no hay dos palomas que ocupan el mismo palomar. Entonces toda palomapuede ocupar un distinto palomar, as : _ :. lo cual contradice la hiptesisque ::. As, dos o ms palomas ocupan el mismo palomar.Ejemplo 39 El principio del palomar permite probar que en nuestra ciudadexisten dos personas que tienen el mismo nmero de pelos en la cabeza. Lasituacin se puede argumentar de la siguiente manera, suponga que una personatiene a lo ms 150.000 pelos en la cabeza, habrn calvos (0 pelos en la cabeza),personas con tendencia a la calvicie (digamos 100 pelos en la cabeza), en n,ellos se podran clasicar dependiendo del nmero de pelos en la cabeza. Supongaque en un primer cuarto entran todos los calvos, en un segundo cuarto entranlos que tienen un pelo y as sucesivamente en el ltimo cuarto entran los quetienen 150 mil pelos. De esta forma se tendran 150.001 cuartos en donde estntodos los habitantes de nuestra ciudad. Bajo estos supuestos, si nuestra ciudadtiene ms de 150.001 habitantes1, por el teorema del palomar, necesariamentedebe existir un cuarto que tiene al menos dos personas, esto es, tienen la mismacantidad de pelos en la cabeza.A continuacin se presenta la relacin de divisibilidad.La Relacin de DivisibilidadSuponga que en el algoritmo de la divisin r = 0. Entonces a = /c +0 = /c.Se pude armar que / divide a a. / es factor de a. a es divisible por /. o a es unmltiplo de /. y se escribe /[a. Si / no es factor de a. se escribe / - a.Por ejemplo, 3[12. 5[30. pero 6 - 15.Ejemplo 40 Sea / un entero _ 2. Suponga que / + 1 enteros se seleccionadosaleatoriamente. Probar que la diferencia de dos de ellos es divisible por /.Solucin. Sea c el cociente y r el residuo cuando un entero a se dividepor otro entero /. Entonces, por el algoritmo de la divisin, a = /c + r. donde0 _ r < /. Los / + 1 enteros dan / + 1 residuos (palomas), pero hay solamente/ posibles residuos (palomares). Por tanto, por el principio del palomar, dos delos residuos deben ser iguales.1La siguiente pgina de Internet permite, oprimiendo la tecla F5, saber cuntos habitantestiene la ciudad de Bogot en un instante, en el momento en que se escribe este texto hay7.261.523 habitantes:http://www.sdp.gov.co:8443/www/formula_contador.php2.1. EL ALGORITMO DE LA DIVISIN 51Sean r y n los corrrespondientes enteros. Entonces r = /c1 +r y n = /c2 +rpara algunos cocientes c1 y c2. Por tanto,r n = (/c1 +r) (/c2 +r)= / (c1 c2)as, r n es divisible por /.Un Acertijo IntrigantePiense en un nmero de tres dgitos a/c. Multiplique el nmero a/c y sussucesivas respuestas por 7. 11 y 13. respectivamente. Su respuesta es el nmeroa/ca/c. Sorprendido? Puede usted explicar el porqu de este resultado?A continuacin se estudian varias propiedades de la divisibilidad. Se deja allector sus pruebas como ejercicios.Teorema 41 Sean a y / enteros positivos tales que a[/ y /[a. Entonces a = /.Teorema 42 Sean a. /, c, c yenteros cualesquiera.2Entonces1. Si a[/ y /[c. entonces a[c. (Propiedad Transitiva)2. Si a[/ y a[c. entonces a[(c/ +c).3. Si a[/. entonces a[/c.ObservacinLa expresin c/ +c se llama combinacin lineal de / y c.As, por la parte 2, si a es un factor de / y c. entonces a es tambin combinacinlineal de / y c. En particular, a[(/ + c) si c == 1 y a[(/ c) si c = 1 y = 1.La funcin piso puede usarse para determinar el nmero de nmeros enterospositivos menores o iguales que un nmero entero positivo a y divisible por unnmero entero positivo /, como el siguiente teorema muestra.Teorema 43 Sean a y / enteros positivos. Entonces el nmero de enteros po-sitivos _ a y divisible por / es a/| .Demostracin. Suponga que hay / enteros positivos _ a y divisibles por /.Se necesita mostrar que / = a/| . Los mltiplos positivos de / menores oiguales que a son a. 2/. .... //. Claramente, // _ a. esto es, / _ a/. Ms aun,(/ + 1)/a. As, / + 1a/ o a/ 1 < /. Por lo tanto,a/ 1 < / _ a/.2c y o son las letras griegas alfa y beta.52 CAPTULO 2. DIVISIBILIDADAs, / es el ms largo entero menor o igual a a/. luego / = a/| .Por ejemplo, el nmero de enteros positivos _ 2076 y divisibles por 19 es207619| = 109. 26316| = 109.A continuacin, se consideraran algunos aspectos de conjuntos y de el prin-cipio de inclusin-exclusin.Unin, Interseccin y ComplementoSea un conjunto nito y sea [[ el nmero de elementos en . Por ejemplo,si = 3. 5. 8. 17 . entonces [[ = 4. (En el Captulo 1, se utiliz las barrasverticales para denotar el valor absoluto de un nmero, pero aqui denotar elnmero de elementos en un conjunto. El signicado de la notacin debe poderdeducirse dependiendo del contexto.)Sean y 1 dos conjuntos . Su unin ' 1 es el conjunto de elementospertenecientes a o a 1; su interseccin 1 consiste en los elementoscomunes; 0 denota el complemento de . esto es, el conjunto de elementos enel conjunto universal que no estn en .A continuacin se estudiar el principio de inclusin-exclusin.Teorema 44 (El Principio de Inclusin-Exclusin) Sean 1. 2. .... n :conjuntos nitos. Entonces

ni=1i

= 1in[i[ 1i