Sveučilǐste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Boris Bubalović

Modeli otplate zajma u formi matematičkog modela

Diplomski rad

Osijek, 2012.

Sveučilǐste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Boris Bubalović

Modeli otplate zajma u formi matematičkog modela

Diplomski rad

Mentor: Prof. dr. sc. Antoaneta Klobučar

Osijek, 2012.

Sadržaj

1. Uvod 1

2. O kamatnom računu 2

2.1. Jednostavni kamatni račun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1. Anticipativni obračun kamata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.2. Dekurzivni obračun kamata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.3. Jednostavno ispodgodǐsnje ukamaćivanje . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Složeni kamatni račun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1. Prvo temeljno načelo financijske matematike - načelo financijske

ekvivalentnosti kapitala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.2. Drugo temeljno načelo financijske matematike - Fisherovo načelo

(efekt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.3. Neprekidno ukamaćivanje i nekonzistentnost klasičnog pristupa

financijskoj matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Suvremeni pristup financijskoj matematici 18

3.1. Kamate i kamatne stope. Osnovne definicije . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2. Izvod općeg zakona kapitalizacije i formule za jednostavnu i složenu ka-

pitalizaciju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3. Diskretna kapitalizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.1. Konačne i sadašnje vrijednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. Zajmovi 29

4.1. Općenito o zajmovima. Osnovni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2. Zajam uz nominalno jednake anuitete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3. Zajam uz nominalno jednake otplatne kvote . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4. Zajam uz različite anuitete i(li) različite otplatne kvote . . . . . . . . . 35

5. Modeli otplate zajma u formi matematičkog

modela 37

5.1. O primjenama matematike i matematičkom modelu . . . . . . . . . . . 37

5.2. Modeli otplate zajma u užem i širem smislu . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2.1. Modeli otplate zajma u teoriji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2.2. Modeli otplate zajma u užem smislu - klasični modeli . . . . . . 43

5.2.3. Model nominalno jednakih anuiteta . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2.4. Model nominalno jednakih otplatnih kvota . . . . . . . . . . . . 53

5.2.5. Modeli otplate zajma u širem smislu . . . . . . . . . . . . . . . 56

6. Zaključak 63

Literatura

Sažetak

Title and Summary

Životopis

1

1. Uvod

U ovome radu prikazuje se amortizacija1 zajmova primarno danim anuitetima

i primarno danim otplatnim kvotama (u užem i širem smislu) u obliku for-

malnog matematičkog modela niza jednadžbi koje povezuju bitne sastavnice

otplatne tablice. Ukoliko se radi o matematičkom modelu otplate u užem smislu,

definiraju se veze izmedu anuiteta a(i) ≡ ai, iznosa kamata I(i) ≡ Ii, otplatne kvoteR(i) ≡ Ri, ostatka duga C(i) ≡ Ci, nakon plaćanja i-tog anuiteta, godǐsnjeg kamat-njaka p, broja godina otplate n i broja anuiteta mn gdje je m broj anuiteta u jednoj

godini. U širem smislu razmatraju se još neki elementi, kao npr. sigurnosni polog

(depozit) S0 i vrijednost založene nekretnine Z.

Jednostavni kamatni račun uz definiranje osnovnih pojmova, anticipativnim i dekur-

zivnim načinom obračuna prikazan je u prvom dijelu sljedećeg poglavlja. U drugome

dijelu uvodi se složeno ukamaćivanje te dva fundamentalna načela financijske matema-

tike, načelo financijske ekvivalentnosti kapitala i tzv. Fisherovo načelo.

U trećem poglavlju, uz elementarne alate matematičke analize razmatra se suvremeni

pristup financijskoj matematici. Uz definiranje sadašnje vrijednosti kapitala, kamate

I(t1, t2), relativne kamate i(t1, t2), kamatne stope (kamatnjaka) i(t), brzine kapitaliza-

cije Φ(t) izveden je opći zakon kapitalizacije, te izrazi za jednostavnu i složenu kapi-

talizaciju. Dokazuje se nekoliko tvrdnji diskretne kapitalizacije i uvodi pojam relacije

financijske r-ekvivalencije.

Četvrtim poglavljem detaljnije se razmatra zajmove. Nakon osnovnih definicija izvodi

se iznos zajma C kao funkcija anuiteta te formule za iznos nominalno jednakih anuiteta

u drugoj, odnosno nominalno jednakih otplatnih kvota r u trećoj točki poglavlja. U

zadnjoj točki razmatra se mogućnost otplate zajma dogovornim anuitetima i odgova-

rajući izrazi za krnji (nepotpuni) anuitet a′ te ostatak duga Ci na kraju i-tog razdoblja

kod ovakvog modela.

U glavnome dijelu radnje (peto poglavlje) nakon kraćega uvoda o modeliranju formira

se matematički model otplate zajma u užem smislu, primarno danim anuitetima i

otplatnim kvotama kroz primjere izračuna, otplatne tabele i grafički prikaz kretanja

pojedinih funkcija u ovisnosti o indeksu anuiteta (vremenski tijek). Na samome kraju

daje se kraći prikaz modela otplate zajma u širem smislu i raznih zahtjeva kreditora

prema vjerovniku. U završnom poglavlju iznosi se kraći zaključak.

1Amortizacija (engl. amortization, depreciation, njem. Amortisation, Wertminderung, Abschre-ibung) je vǐseznačan pojam, u financijama se koristi za označavanje otplate dugova (amortizacija duga)i u ovome radu ćemo koristiti isključivo to značenje (koristi se još i u mjeničnom pravu i knjigovodstvuza otpis ili umanjivanje vrijednosti).

2

2. O kamatnom računu

Vjerojatno već u razdoblju raspada prvobitne zajednice nalazimo medusobne vje-

rovničko-kreditne odnose izmedu ljudi koji su medusobno posudivali svoje proizvode i

robu kojima su raspolagali. Posudba neke robe ili proizvoda u formi naturalnog kredita

postojala je i prije pojave novca. Ugovarala se tako da dužnik vrati posudeno, uvećano

za neki razmjerni dio (danas bi rekli postotak) istoga ili čega drugoga ili kakove druge

usluge. U starim sumerskim dokumentima, datiranim oko 3000 g. prije Krista može se

razaznati sustavna uporaba zajmova: metala u težinskim, žita u prostornim jedinicama.

Te su posudbe često nosile kamatu2. Vjerovnik je mogao, primjerice, nekomu posuditi

na godinu dana 500 mjerica pšenice a dužnik se obvezao vratiti 550 mjerica. To našim

današnjim razmǐsljanjem znači da je dužnik vratio posudeno uz 10% godǐsnje kamatne

stope (kamatnjaka). Naturalni kredit donosio je kreditoru kamate ”in natura”3, dakle

postojao je vǐsak robe pored glavnice koji je vraćen kreditoru po isteku roka. Osnovna

karakteristika ovakovog naturalnog kredita je da se kamate dobivaju u istoj vrsti robe

u kojoj je kredit i dan.

Ako sada prijedemo na odnose nakon pojave kovanog novca, srebrnjaka, zlatnika i us-

postavljanja monetarnog sustava te konačno papirnatoga novca dolazimo do novčanog

kredita. Kamate se plaćaju u novcu kako je zajam i ostvaren a tako se vraća i glav-

nica duga. Navest ćemo jednu suvremenu definiciju kamate i kamatne stope prema [14]:

Definicija 2.1 Kamatna stopa ili kamatnjak pokazuje postotak p za koji dužnik

mora vratiti, nakon isteka odredenog (ugovorenog) vremena, vǐse nego što je posudio.

Prema tome, kamate predstavljaju naknadu koju dužnik (debitor) mora vratiti vjerov-

niku (kreditoru) zato što mu je na odredeno vrijeme ustupio pravo raspolaganja nekim

iznosom novca ili dobra.

Ovdje je nužno istaknuti da su kamate, ako su izražene u novcu, naknada za financijska

sredstva ustupljena na odredeno i dogovoreno vrijeme koje uvijek moramo i naglasiti.

U trenutku aktiviranja kapitala (označimo to s t0 = 0), iznos mu označavamo s C0 i zo-

vemo početnim kapitalom. Dakle, od trenutka t0 dužnik se obvezuje kreditoru plaćati

kamate. Razine jediničnog obračunskog razdoblja na kojima se najčešće kamatnjak

ugovara (zadaje) su: godǐsnja p(G), polugodǐsnja p(P ), kvartalna (tromjesečna), p(K)

mjesečna p(m) ili dnevna p(d).

Napomena 2.1. U literaturi često srećemo zapis kamatnjaka (kamatne stope) u obliku

i =p

100primjerice [3] (u tom slučaju kažemo da je iznos C0 posuden uz kamatnu

2Grč. kamatos: zarada.3Lat. in natura: u prirodi, ovdje: u stanju materijalnog dobra, tj. u naturi.

3

stopu 5% ili kamatnjak i = 0, 05). Mi ga ovdje nećemo koristiti da ne bi došlo do

miješanja u označavanju jer kasnije i koristimo prilikom konstruiranja modela otplate

za označavanje indeksa vremenskog razdoblja otplate. Ovdje ćemo govoriti direktno o

kamatnoj stopi ili kamatnjaku p = N% ili p = 0, 0N. Obzirom da prilikom izračuna

uglavnom koristimo dekurzivnu kamatnu stopu r, takav zapis neće biti manjkav.

2.1. Jednostavni kamatni račun

U ovome poglavlju govorimo o obračunu kamata jednostavnim kamatnim računom.

Kamate se obračunavaju na cijeli početni iznos (kapital) glavnice C0 za svako razdob-

lje ukamaćivanja. Neka smo početni kapital C0 u trenutku t0 = 0 posudili uz godǐsnji

kamatnjak p(G) i dekurzivni obračun kamate - pripisujemo ih ili isplaćujemo krajem

svakog razdoblja (obrazloženo u 2.1.2). Želimo izračunati koliko iznose kamate In na

kraju n-tog razdoblja (ovdje godine), odnosno ukupnu vrijednost kapitala Cn. Promo-

trimo crtež (2.1).

Slika 2.1 Jednostavno ukamaćivanje [3]

Dodajemo kapitalu C0 kamatu na kraju prvog razdoblja (godine):

I1 = C0p

100(1)

Vrijednost ukupnog kapitala na kraju prvog razdoblja (godine) iznosi:

C1 = C0 + I1 = C0

(1 +

p

100

)(2)

Sada smo na kraju druge godine: zbrajamo kamate ponovno samo na početni iznos C0

s vrijednošću iznosa C1 s početka druge godine.

C2 = C1 + C0p

100(3)

Ako uvrstimo (2) u (3) imamo:

C2 = C0

(1 + 2

p

100

)(4)

Vrijednost konačnog kapitala Cn (može se dokazati matematičkom indukcijom) dobi-

vamo nakon n ponavljanja postupka:

Cn = C0

(1 + n

p

100

)(5)

4

A iznos ukupnih kamata je:

In = n · C0p

100(6)

Niz C0, C1, C2 . . . je aritmetički niz s diferencijom

d = C0p

100

pa se jednostavno ukamaćivanje zove ponekad još i linearno ukamaćivanje.

Napomena 2.2. Kapitalizacija (transformacija kamate u kapital) nije ovdje prisutna

kao kod složenih kamata o kojima ćemo govoriti u točki 3. Ukoliko obračunsko razdob-

lje nije godina a kamate se obračunavaju na kraju svakog razdoblja ∆t uz korǐstenje

dekurzivne kamatne stope pd, nakon n obračunskih razdoblja duljine ∆t vrijednost

početnog iznosa je Cnt = C0

(1 + n

pt100

). U nastavku ćemo promotriti dva osnovna

načina obračuna kamata kamatnim računom: anticipativni i dekurzivni.

2.1.1. Anticipativni obračun kamata

Definicija 2.2 Anticipativni način obračuna kamata znači da se njihov obračun

vrši i isplaćuje ili pribraja unaprijed za neko vremensko razdoblje, pri čemu se kamate

obračunavaju od konačne vrijednosti iznosa.

Slika 2.1 Uz definiciju anticipativnog obračuna kamata [14]

Definiciju preuzimamo iz [14]. Kod ovog, anticipativnog4 načina obračuna, (Slika 2.1)

na početku obračunskog razdoblja, dužnik posuduje iznos C, uz neku kamatnu stopu

q. Kamate općenito, označavamo s I dok ćemo ovdje jednostavne kamate obračunate

anticipativno označavati s Ka da bismo ih razlikovali od tzv. složenih s kojima ćemo

4anticipare - lat. unaprijed uzeti

5

se baviti tek od točke 2.2. nadalje. Temeljem navedene posudbe, kreditor će odmah

naplatiti kamate u iznosu od

I ≡ Ka =C · q100

dok će na kraju razdoblja dobiti povrat osnovnog duga C. Za dužnika je ovakav obračun

analogan situaciji kada bi mu na početku razdoblja posudili iznos

C ′ = C −Ka = C −C · q100

= C

(1− q

100

)dok bi na kraju obračunskog razdoblja dugovao upravo početni iznos C. Ako uvedemo

novu oznaku:

ρ = 1− q100

proizlazi da je dužnik odmah na početku razdoblja dobio iznos C ′ = C · ρ a na krajujediničnog razdoblja treba vratiti upravo iznos C. Ilustracija prethodnog je (Slika 2.2).

Faktor ρ nazivamo anticipativnim kamatnim faktorom jer se odnosi na iznos na koji je

primijenjen anticipativni način obračuna kamata. Iz same činjenice da iznos C treba

vratiti na kraju jediničnog razdoblja a što je i posudeni (početni) iznos, pojašnjava

gornju definiciju. Kamate uvijek računamo na iznos kojim raspolažemo na početku

promatranog razdoblja no kako u tom trenutku taj iznos umanjujemo za kamatu a

trebamo ga vratiti na kraju obračunskog razdoblja, računamo kako smo napisali.

Slika 2.2 Anticipativni kamatni faktor [14]

2.1.2. Dekurzivni obračun kamata

Ukoliko na početku obračunskog razdoblja dužnik posudi kapital (početni iznos) C uz

kamatnu stopu p te na kraju razdoblja vraća iznos C i kamate u iznosu:

I ≡ Kd =C · p100

6

Slika 2.3 Dekurzivni kamatni faktor [14]

što znači da će dug u cijelosti biti podmiren s

C +Kd = C +C · p100

uz novu oznaku r = 1 +p

100

ukupni vraćeni iznos je C+Kd = C ·r. Takav obračun kamata smatramo dekurzivnim5.Kako ovakav koeficijent primjenjujemo prilikom dekurzivnog načina obračuna kamata,

nazivamo ga dekurzivnim kamatnim faktorom. Promotrimo ilustraciju (Slika 2.3)

Definicija 2.3 [14] Dekurzivni način obračuna kamata znači da se njihov obračun

vrši i isplaćuje ili pribraja danom iznosu C na kraju danog vremenskog razdoblja, pri

čemu se kamate obračunavaju od početne vrijednosti iznosa.

Istaknimo da se kod ovog obračuna kamata iznos (kapital) C ≡ C0 pojavljuje samo napočetku jediničnog razdoblja.

2.1.3. Jednostavno ispodgodǐsnje ukamaćivanje

Često je u praksi potrebno izračunati vrijednosti iznosa (kapitala) za vrijeme kraće

od godine. Ako su nam zadani C ≡ C0, početni iznos u trenutku t0 = 0, dekurzivnagodǐsnja kamatna stopa p, broj jednakih podintervala na koje dijelimo godinu m. S mp

označimo dekurzivnu kamatnu stopu vezanu uz obračunsko razdoblje duljine 1m

(m-ti

dio godine). Pogledajmo sliku (2.4)

Slika 2.4 Jednostavno ispodgodǐsnje ukamaćivanje

5Lat. decurrere - pretrčati, prevaliti.

7

Ispodgodǐsnja kamatna stopa pm mora biti definirana tako da iznos konačnog kapitala

C1 na kraju godine uz primjenu jednostavnog ukamaćivanja bude jednak, neovisno

jesmo li m puta uzastopce primijenili ispodgodǐsnju kamatnu stopu pm ili samo jednom

godǐsnju kamatnu stopu p. Konačni iznos C1 na kraju prve godine dobiven primjenom

godǐsnje kamatne stope p na početni kapital C0 je:

C1 = C0 + C0p

100(7)

no, vrijednost početnog kapitala C0 na kraju prvog podintervala uz primjenu ispod-

godǐsnje kamatne stope pm iznosi:

C 1m

= C0 + C0pm100

(8)

na kraju drugog podintervala, vrijednost kapitala je:

C 2m

= C 1m

+ C0pm100

(9)

konačno, na kraju godine dolazimo do kraja m-tog podintervala:

Cmm

= C0 +m · C0pm100

(10)

izjednačavanjem izraza (7) i (10) izračunavamo iznos jednostavne ispodgodǐsnje ka-

matne stope pm:

pm =p

m(11)

Drugim riječima, ispodgodǐsnju dekurzivnu kamatnu stopu izračunamo tako da

dekurzivni godǐsnji kamatnjak podijelimo brojem dijelova na koliko smo razdoblja po-

dijelili godinu za rate otplate. Vrijednost početnog iznosa (kapitala) C0 nakon k takvih

obračunskih razdoblja iznosi:

C km

= C0

(1 + k

pm100

)(12)

Uočimo da je niz C0, C 1m, C 2

m, . . . aritmetički niz s diferencijom:

d = C0pm100

(13)

8

Napomena 2.3. Za izračun broja dana u godini koriste se tri metode koje se

koriste i pri obračunu i izračunavanju jednostavnih kamata ako su vremenska razdoblja

dani. Navedimo ih.

I Francuska metoda: uzima se da godina ima 360 dana. Dani u mjesecima (dF )

računaju se prema kalendaru a za izračunavanje jednostavnih kamata primjenjuje

se formula:

IF =C0 · p(G) · dF

36000

II Njemačka metoda: uzima se da godina ima 360 dana, svaki mjesec 30 dana a

za izračunavanje jednostavnih kamata primjenjujemo formulu:

INj =C0 · p(G) · dNj

36000

III Engleska metoda: uzima se da godina ima 365 dana (prijestupna 366), dani

u mjesecima računaju se prema kalendaru dE a za izračunavanje jednostavnih

kamata primjenjujemo formule (ovisno je li prijestupna godina ili ne):

IE =C0 · p(G) · dE

36500ili IE =

C0 · p(G) · dE36600

Bez obzira koju metodu koristimo, prvi datum se ne uzima u obzir a posljednji datum

se računa.

Recimo još nešto i o slučaju ako imamo vǐse glavnica. Tada ćemo ukupne kamate

računati tako da izračunamo kamate za svaku pojedinu glavnicu na datum koji nam je

zadan unaprijed, a zatim dobivene iznose zbrojimo.

2.2. Složeni kamatni račun

Do sada smo govorili o jednostavnom kamatnom računu, no temeljni pojam financijske

matematike je kapitalizacija (koja nije prisutna u jednostavnom kamatnom računu).

Kapitalizacijom ćemo, bez stroge definicije, smatrati varijaciju kapitala tijekom vre-

mena. Izvorno je6 riječ kapitalizacija značila transformaciju kamata u kapital. Za neko

proteklo razdoblje, naplaćene kamate se dodaju kapitalu i time u njega transformiraju.

S vremenom se način obračuna kamata počinje nazivati kapitalizacijom. Tako sada

možemo govoriti o jednostavnoj (primjena jednostavnog kamatnog računa) i složenoj

kapitalizaciji s kojom ćemo se služiti do kraja ovoga rada.

Dva temeljna načela financijske matematike su načelo financijske ekvivalentnosti kapi-

tala i tzv. Fisherovo načelo (efekt), svakome ćemo posvetiti po jednu točku u ovome

poglavlju.

6Vidjeti: M. Car: Matematika za ekonomiste, Narodne novine, Zagreb 1973, str 411.

9

2.2.1. Prvo temeljno načelo financijske matematike - načelo financijskeekvivalentnosti kapitala

Konačnom vrijednošću jednog iznosa smatramo kapital Cn na kraju zadnjeg raz-

doblja ukamaćivanja. Prisjetimo se, kod dekurzivnog obračuna kamata, s r = 1 + p100

definirali smo dekurzivni kamatni faktor, sada ćemo ga iskoristiti u sljedećoj tvrdnji:

Tvrdnja 2.1 Konačna vrijednost jednog iznosa uvijek je jednaka zbroju početne vri-

jednosti tog iznosa i ukupnih kamata. Računamo ju formulom:

Cn = C0

(1 +

p

100

)n(14)

C0 je sadašnja (početna) vrijednost kapitala a Cn konačna, p je nominalna kamatna

stopa jediničnog vremenskog razdoblja, fiksna u svih n razdoblja ukamaćivanja (je-

dinične duljine) a temeljno razdoblje ukamaćivanja jednake je duljine kao temeljno

razdoblje na koje se odnosi kamatna stopa p. Uvedemo li oznaku za dekurzivni kamatni

faktor, tada je:

Cn = C0 · rn (15)

Dokaz. Provodimo matematičkom indukcijom. U složenom kamatnom računu, dakle,

kamate izračunavamo na glavnicu uvećanu za prethodno obračunate kamate u svakom

prethodnom vremenskom razdoblju kapitalizacije. Stoga su kamate za i-to razdoblje:

Ii =Ci−1 · p

100, i ∈ {1, 2, . . . , n}

pri čemu je Ci−1 iznos glavnice C0 na kraju (i− 1)-vog razdoblja odnosno na početkui-tog razdoblja (to je ekvivalentno). Kamate za prvo (jedinično) razdoblje iznose:

I1 =C0 · p100

, za drugo: I2 =C1 · p100

itd.

No, budući je vrijednost glavnice nakon prvog razdoblja:

C1 = C0 + I1 = C0 +C0 · p100

= C0

(1 +

p

100

)= C0 · r

a vrijednost glavnice C0 nakon drugog razdoblja:

C2 = C1 + I2 = C1 +C1 · p100

= C1

(1 +

p

100

)= C1 · r = C0 · r2.

Za pretpostavku indukcije stavimo da je vrijednost glavnice C0 na kraju i-tog razdoblja:

Ci−1 = C0 · ri−1 (16)

10

Želimo pokazati da je vrijednost glavnice C0 na kraju i-tog razdoblja

Ci = C0 · ri

Kamate za i-to razdoblje su:

Ii =Ci−1 · p

100

a vrijednost glavnice C0 na kraju i-tog razdoblja iznosi:

Ci = Ci−1 + Ii = Ci−1 +Ci−1 · p

100= Ci−1

(1 +

p

100

)= Ci−1 · r

sada iskoristimo pretpostavku indukcije (16):

Ci = Ci−1 · r = C0 · ri−1r = C0 · ri

što je analogno izrazu (15) koji dokazujemo. �

Upravo dokazanom formulom izrečena je suština prvog temeljnog načela financijske

matematike. Definirajmo ga.

Definicija 2.4 [14] Kapital C(t0) (vrijednost kapitala u nekom trenutku t0)

i C(tn) (vrijednost kapitala u nekom drugom trenutku tn) su ekvivalentni

ako je kapitalizirana vrijednost za razdoblje [t0, tn] prvog kapitala, uz pretpostavku da

se kapitalizacija vrši po složenom kamatnom računu uz fiksnu kamatnu stopu u svim

jediničnim podrazdobljima intervala [t0, tn] i dekurzivni način obračuna kamata jednaka

vrijednosti7 drugog kapitala.

Tvrdnja 2.2 Ako su poznate i sadašnja C0 i konačna Cn vrijednost zadanog iznosa

i kamatna stopa p, nepromjenjiva u svim jediničnim razdobljima kapitalizacije, broj

jediničnih razdoblja ukamaćivanja možemo izračunati koristeći se formulom:

n =logCn − logC0

log r(17)

Dokaz. Logaritmiranjem izraza (14) proizlazi:

logCn = logC0 + n log r (18)

ako prebacimo članove:

n log r = logCn − logC0 (19)7Ovo zapravo znači da zbroj svih potraživanja (isplata) svedenih na neki po volji odabrani datum

mora biti jednak zbroju svih dugovanja (uplata) svedenih na taj datum.

11

i konačno dobivamo izraz iz tvrdnje:

n =logCn − logC0

log r(20)

�

Tvrdnja 2.3 Ako su poznate i sadašnja C0 i konačna Cn vrijednost zadanog iznosa

i broj jediničnih razdoblja ukamaćivanja n, kamatnu stopu p koja je nepromjenjiva u

svim jediničnim razdobljima kapitalizacije možemo izračunati koristeći se formulom:

p = 100

(n

√CnC0− 1)

(21)

Dokaz. Opet krećemo od izraza (14):

Cn = C0

(1 +

p

100

)npa je

(1 +

p

100

)n=CnC0

(22)

ako korjenujemo:(1 +

p

100

)= n√CnC0

i konačno: p = 100

(n

√CnC0− 1)

(23)

�

Ukoliko temeljno razdoblje ukamaćivanja i temeljno razdoblje na koje se odnosi ka-

matna stopa nisu jednake duljine trebamo preračunati kamatnu stopu pa je izraziti

u temeljnom vremenu kapitalizacije. Definirat ćemo stoga tzv. relativne i konformne

kamatne stope.

Definicija 2.5 Relativna kamatna stopa u oznaci p8 jednaka je

p =p

m(24)

Izražava se u jedinici vremena ukamaćivanja pri čemu su:

• n1 - duljina temeljnog vremenskog razdoblja na koje se odnosi nominalna kamatnastopa p

• n2 - duljina temeljnog vremenskog razdoblja ukamaćivanja

a njihov kvocijent označavamo s m =n1n2

8U literaturi nalazimo još i naziv jednostavna ispodgodǐsnja kamatna stopa.

12

Definicija 2.6 Konformnom kamatnom stopom zovemo složenu kamatnu stopu:

p′ = 100

(m

√1 +

p

100− 1)

(25)

Dakle, konačna vrijednost novčane jedinice uz nominalnu kamatnu stopu p jednaka je

konačnoj vrijednosti novčane jedinice uz primjenu konformne kamatne stope (25), ali

uz m ukamaćivanja u toku temeljnog vremenskog razdoblja na koje se odnosi nomi-

nalna kamatna stopa p koristimo li dekurzivni način kapitalizacije.

Ispravnost izraza (25) dokazat ćemo načelom financijske ekvivalentnosti kapitala. Ka-

pital C uložen uz godǐsnji kamatnjak p naraste (zajedno sa složenim kamatama) na

kraju jediničnog vremenskog razdoblja na koje se kamatnjak odnosi na iznos:

C

(1 +

p

100

)(26)

Traženu formulu dobivamo ako izjednačimo izraze za iznos kapitala C na kraju je-

diničnog vremenskog razdoblja (godine) uz godǐsnje i ispodgodǐsnje ukamaćivanje uko-

liko smo godinu podijelili na m jednakih dijelova.

C

(1 +

p′

100

)m(27)

Stavimo izraze (26) i (27) u jednakost:

C

(1 +

p

100

)= C

(1 +

p′

100

)m(28)

nakon skraćivanja, korjenovanja i zamjene mjesta:

1 +p′

100= m√

1 +p

100(29)

Konačno:

p′ = 100

[(1 +

p

100

) 1m

− 1]

(30)

a što je ekvivalentno zapisu (25). �

Napomena. Za p′ kažemo još i da je ekvivalentni kamatnjak kamatnjaku p stoga

što ima svojstvo da uz njegovu primjenu m puta ukupne složene kamate iznose kao da

smo samo jednom primjenili nominalni kamatnjak.

13

Ako je zadana konformna kamatna stopa p′, nominalni kamatnjak p računamo formu-

lom:

p = 100

[(1 +

p′

100

)m− 1]

(31)

Da bi smo dokazali gornju tvrdnju krećemo od (25) i idemo obrnutim putem nego u

prethodnome:

p′ = 100

(m

√1 +

p

100− 1)

(32)

1 +p′

100= m√

1 +p

100pa je

(1 +

p′

100

)m= 1 +

p

100(33)

Konačno:

p = 100

[(1 +

p′

100

)m− 1]

(34)

�

Tvrdnja 2.4 Konformna kamatna stopa za razdoblja kraća od temeljnog razdoblja na

koje se odnosi nominalna stopa uvijek je manja od odgovarajuće relativne kamatne

stope.

Dokaz. Koristimo se binomnim poučkom. Kada je razdoblje kapitalizacije kraće od

temeljnog razdoblja na koje se odnosi kamatna stopa, m > 1. Iz (31) slijedi:

p = 100

[(1 +

p′

100

)m− 1]

=

= 100

[ m∑k=0

(m

k

)· 1m−k ·

(p′

100

)k− 1]

=

= 100

[1 +

m∑k=1

(m

k

)·(p′

100

)k− 1]

=

= 100m∑k=1

(m

k

)·(p′

100

)k=

= 100

[(m

1

)·(p′

100

)1+

(m

2

)·(p′

100

)2+ · · ·+

(m

m

)·(p′

100

)m]=

= 100

[mp′

100+

(m

2

)·(p′

100

)2+ · · ·+

(p′

100

)m]> 100 · mp

′

100= mp′

Pokazali smo da je p > mp′ pa iz definicije relativne kamatne stope (24) neposredno

slijedi da je:

p > p′

�

14

Upravo dokazana tvrdnja posljedično znači da je primjena konformne metode za dužnika

nepovoljnija ako je razdoblje kapitalizacije kraće od temeljnog razdoblja na koje se od-

nosi nominalna kamatna stopa. Za njega je u tom slučaju povoljnija proporcionalna

metoda (relativni kamatnjak) a suprotno vrijedi za vjerovnika.

Tvrdnja 2.5 Konformna kamatna stopa za razdoblja dulja od temeljnog razdoblja na

koje se odnosi nominalna stopa uvijek je veća od odgovarajuće relativne kamatne stope.

Dokaz. Ako je razdoblje kapitalizacije dulje od temeljnog razdoblja na koje se odnosi

kamatna stopa tada je m < 1. Uvedimo novu oznaku: s =1

m. Kako je m < 1, s > 1,

izraz (25) možemo pisati ovako:

p′ = 100

(m

√1 +

p

100− 1)

= 100

[(1 +

p′

100

)s− 1]

Na analogan način prethodnom dokazu za slučajm > 1, koristeći se binomnim poučkom

dobivamo:

p′ > 100 · s · p100

= s · p = pm

= p

�

Na osnovu upravo dokazanoga, primjena konformne metode je za dužnika povoljnija

ako je razdoblje kapitalizacije dulje od temeljnog razdoblja na koje se odnosi nominalna

kamatna stopa (nepovoljnija mu je proporcionalna metoda).

Napomena. Ako pri obračunu složenih kamata umjesto nominalnog kamatnjaka

p primjenjujemo relativni kamatnjak p govorimo o primjeni proporcionalne metode

obračuna složenih kamata. Ako primjenjujemo, umjesto p, konformni kamatnjak p′

govorimo o primjeni konformne metode obračuna složenih kamata.9

2.2.2. Drugo temeljno načelo financijske matematike - Fisherovo načelo(efekt)

U odnosu na gore navedena razmatranja iz prethodnih poglavlja koja su točna u teoret-

skom slučaju, u financijskoj praksi na visinu nominalne kamatne stope p utječu realni

kamatnjak - označimo ga pr, koji zahtjeva (očekuje) kreditor a dužnik ga je spreman

platiti te očekivana stopa inflacije ili deflacije u oznaci pin. Kreditor može očekivati po-

vrat realne kamate jedino u slučaju uzimanja u obzir i stope pin. Tada iznos nominalne

kamatne stope p računamo iz izraza:

1 +p

100=

(1 +

pin100

)·(

1 +pr

100

)(35)

9Danas se u bankarskoj praksi Republike Hrvatske u pravilu koristi konformni kamatnjak.

15

odnosno formulom

p = pin + pr +pr · pin

100(36)

Relacije (35) i (36) prvi je objavio Irwing Fisher10, pa se u literaturi uvijek navodi

kao Fisherovo načelo (ili efekt) koje smatramo drugim temeljnim načelom

financijske matematike (ovdje ga nismo tako strogo definirali kao prvo načelo).

Poznato je da većina naših poslovnih banaka u pravilu prilikom odobravanja posudbi

i kredita koristi varijabilni kamatnjak i gotovo u pravilu valutnu klauzulu11. Moramo

odgovoriti na pitanje kakva je priroda veze izmedu Fisherovog načela i valutne kla-

uzule. Ona se ne smije zanemariti, barem u uvjetima velike inflacije. Jasno da u

tim uvjetima revalorizacija12 svih ekonomskih kategorija koje se vrijednosno izražavaju

postaje nužnost. Ovdje se nećemo baviti ekonomskim aspektima revalorizacija nego

ćemo razmotriti što matematički znači ugovaranje valutne klauzule za obračun kamata.

Već smo pokazali da se konačna vrijednost jednog iznosa C0 na kraju n-tog razdoblja

uz primjenu fiksnog dekurzivnog kamatnjaka p u svim razdobljima računa formulom

(15): Cn = C0 · rn uz r kao dekurzivni kamatni faktor. Ukoliko smo dogovorili valutnuklauzulu, umjesto faktora r trebamo korisititi novi faktor:

R =

(1 +

pin100

)·(

1 +pr

100

)(37)

U gornjem izrazu pin označava nam stopu inflacije izvedenu iz promjene tečaja domi-

cilne valute u odnosu na referentni novac a pr dogovoreni realni kamatnjak. U tome

slučaju moramo poznavati službeni tečaj st0 referentne valute u trenutku ugovaranja

financijske obveze i tečaj st1 u trenutku dospijeća iste. ”Stopu inflacije” u tome slučaju

računamo izrazom:

pin = 100

(st1st0− 1)

(38)

pa to uvrstimo u (37)

R =st1st0·(

1 +pr

100

)(39)

Konačnu vrijednost C0, izraženu u domicilnoj valuti na kraju n-tog razdoblja ako se

10U knjizi The Rate of Interest iz 1907 g.11Valutna klauzula (engl. currency clause, njem. Währungsklausel) je klauzula koja se unosi u

prodajne ugovore kako bi se vjerovnik zaštitio od promjena vrijednosti novca u razdoblju izmedunastanka novčane obveze i trenutka njezina dospijeća. Njome se eliminira valutni rizik. Def. preuzetaiz Rječnika turizma, Masmedia, Zagreb, 2002.

12Postupak svodenja knjigovodstvenih sredstava na tržǐsnu cijenu, provodi se u uvjetima inflacije,kada je postotak inflacije 10% i vǐse.

16

primjenjuje fiksni dekurzivni kamatnjak p u svim razdobljima u slučaju dogovorene

valutne klauzule računamo formulom:

Cn = C0 ·Rn (40)

Formulu (40) ako su stope pr i pin konstantne u podrazdobljima razmatranog razdoblja

treba primijeniti za svako to podrazdoblje (Ri će nam biti novi dekurzivni faktori za

svako podrazdoblje) u kojem su te stope fiksne:

Cn = C0 ·R1 ·R2 · . . . ·Rn (41)

2.2.3. Neprekidno ukamaćivanje i nekonzistentnost klasičnog pristupafinancijskoj matematici

Sav prirodni rast možemo izračunati putem kontinuirane kapitalizacije jer rast možemo

promatrati kao kapitalizaciju u beskonačno malim vremenskim razmacima. Stoga de-

finirajmo neprekidnu kapitalizaciju:

Definicija 2.7 [14] Ako se kapitalizacija vrši neprekidno (kontinuirano), to jest ako

izmedu dva obračuna kamata i njihovog pribrajanja kapitalu nema vremenskog diskon-

tinuiteta, kažemo da je riječ o neprekidnoj ili kontinuiranoj kapitalizaciji.

U prirodnome rastu, ako se početna vrijednost kapitala C0 ukamaćuje po složenom

kamatnom računu uz nominalni kamatnjak p za osnovno razdoblje ukamaćivanja, na

kraju n-tog razdoblja dobivamo kapital:

Cn = C0 · enp100 (42)

Jedan dokaz formule (42) uz korǐstenje konformne kamatne stope može se naći u [14],

str. 197/198. a mi ćemo navesti onaj uz korǐstenje relativnog kamatnjaka koji nas vodi

na odredenu nekonzistentnost13 što nam može biti motivacija za sljedeće poglavlje -

suvremeni pristup financijskoj matematici.

Dokaz. Ponovo krećemo od konačne vrijednosti jednog iznosa (14)

Cn = C0

(1 +

p

100

)n

te ukoliko prelazimo na razdoblja kraća od osnovnog na koji se odnosi nominalna

kamatna stopa p a koristimo se relativnim kamatnjakom, tada vrijedi:

Cn = C0

(1 +

p

100m

)nm13O konzistentnosti modela vidjeti u točki 5.2.1.

17

m sve vǐse raste ako pretpostavimo da se duljina vremenskog razdoblja u kojem se

odvija kapitalizacija smanjuje. U graničnom slučaju kada m→∞

Cn = limm→∞

[C0

(1 +

p

100m

)nm]= C0 lim

m→∞

(1 +

p

100m

)nm=

= C0 limm→∞

[(1 +

1100mp

) 100mp] np100

= C0 · enp100

pri čemu smo iskoristili svojstvo limesa limx→∞

(1 +

1

x

)x= e �

Primjedba 2.1 Ovakvim izvodom izraza (42) uz pretpostavku korǐstenja relativnog ka-

matnjaka dobivamo izvod nekonzistentan načelu financijske ekvivalentnosti kapitala jer

relativni kamatnjak ne pripada skupini ekvivalentnih kamatnjaka. To znači, koristimo

li se relativnim kamatnjakom, iznos C0 bit će veći za razdoblja kraća od osnovnog raz-

doblja na koje se odnosi fiksna kamatna nominalna stopa p odnosno manji za razdoblja

dulja od osnovnog razdoblja. .

18

3. Suvremeni pristup financijskoj matematici

U sljedećem poglavlju, korǐstenjem nekih osnovnih alata matematičke analize, razra-

dom suvremenog pristupa financijskoj matematici, dokazuje se ispravnost formule (42).

Takoder, izvodi se opći zakon kapitalizacije u kontinuiranom i diskretnom slučaju, do-

kazuje da je formula za jednostavnu kapitalizaciju aproksimacija one za složenu, uvodi

relacija financijske r-ekvivalencije te se daje sadašnja vrijednost jednog iznosa uz fiksni

kamatnjak ne ulazeći u detaljniju razradu (varijabilni kamatnjak, vǐse iznosa) koji nam

dalje neće trebati u razradi glavnog dijela radnje u 5. poglavlju.

3.1. Kamate i kamatne stope. Osnovne definicije

Ukamaćivanje, odnosno kapitalizaciju možemo prikazati realnom funkcijom C = C(t).

Vrijednost kapitala u trenutku t iznosi C(t). Domena D(C) (područje definicije funk-cije C) neka bude skup R.

U ovome pristupu, u slučaju t < 0, smatramo da je kapitalizacija izvršena t vremen-

skih jedinica prije sadašnjeg trenutka (t = 0). Ako je pak t > 0, smatramo da će

ukamaćivanje biti izvršeno za t vremenskih jedinica računajući od sadašnjeg trenutka

(t = 0). Funkcija C jest nenegativna funkcija zbog toga što je sama vrijednost kapitala

nenegativna.

C(t) ≥ 0 ∀ t ∈ D(C)

Definicija 3.1 Sadašnja ili aktualna vrijednost kapitala C(0) jest vrijednost

funkcije C u trenutku t = 0. Jedinični kapital jest onaj za koga vrijedi da ima sadašnju

vrijednost jednaku jedinici, tj. C(0) = 1

Definicija 3.2 Kamate I(t1, t2) pripadne kapitalu C(t1) za vremenski interval [t1, t2]

u trenutku t2 predstavljaju diferenciju (razliku) kapitala C(t1) i C(t2) pri dekurzivnom

obračunu kamata:

I(t1, t2) = C(t2)− C(t1) (43)

Definicija 3.3 Relativne kamate i(t1, t2) predstavljaju učešće kamata I(t1, t2) u ka-

pitalu C(t1):

i(t1, t2) =I(t1, t2)

C(t1)=C(t2)− C(t1)

C(t1)(44)

Definicija 3.4 Kamatna stopa ili kamatnjak i(t) predstavlja relativne kamate za

jedinični vremenski interval [t, t+ 1] pomnožene sa 100:

i(t) =I(t, t+ 1)

C(t)· 100 = C(t+ 1)− C(t)

C(t)· 100 (45)

19

Definicija 3.5 Brzina kapitalizacije Φ(t) predstavlja derivaciju kapitala C(t) po

jedinici vremena t, odnosno promjenu iznosa kapitala po jedinici vremena:

Φ(t) =dC(t)

dt(46)

3.2. Izvod općeg zakona kapitalizacije i formule za jednostavnui složenu kapitalizaciju

Neka je φ(t) brzina kapitalizacije jediničnog kapitala u trenutku t. Tada je, prema (46),

brzina kapitalizacije Φ(t) u trenutku t kapitala C(t) jednaka umnošku brzine jediničnog

kapitala φ(t) i kapitala C(t):

Φ(t) = C ′(t) = φ(t)C(t) (47)

sada diferencijalnu14 jednadžbu (47) pǐsemo

φ(t)C(t) =dC(t)

dt(48)

ova jednadžba izražava svojstvo multiplikativnosti brzine kapitalizacije. Nadalje, ako

je brzina kapitalizacije jediničnog kapitala φ(t) neprekidna funkcija vremena t, separa-

cijom varijabli (C i φ) riješit ćemo prethodnu jednadžbu:

dC(t)

C(t)= φ(t)dt

integriramo: ∫dC(t)

C(t)=

∫φ(t)dt

lnC(t) =

∫φ(t)dt+ lnC (49)

iz izraza (49) gdje je C neodredena konstanta, dobivamo opće rješenje diferencijalne

jednadžbe (48):

C(t) = C(t0)e

t∫t0

φ(t)dt

uz pretpostavku t0 = 0, dobivamo partikularno rješenje od (48):

C(t) = C(0)e

t∫0

φ(t)dt(50)

14Diferencijalna jednadžba je jednadžba oblika F (x, y, y′, y”, . . . , y(n)) = 0. Rješenje diferencijalnejednadžbe je svaka funkcija y = f(x) koja zadovoljava gornju jednadžbu na nekom skupu D ⊆ R. Reddiferencijalne jednadžbe je red najvǐse derivacije koja se javlja u jednadžbi.

20

Izraz (50) nazivamo općim zakonom kapitalizacije.

Napomena. Kako je brzina kapitalizacije jediničnog kapitala φ = φ(t) nenegativna

funkcija a kapital C = C(t) pozitivna veličina (isključujemo C(t) = 0 jer u tom slučaju

(48) prelazi u identitet), iz (48) direktno slijedi:

dC(t)

dt> 0 (51)

Što znači da je funkcija C = C(t) rastuća.

Neka je sada brzina kapitalizacije jediničnog kapitala konstantna u svakom trenutku

kapitalizacije i tu konstantu označimo kao proizvoljni realan broj λ. Izračunajmo sada

pripadnu konačnu vrijednost kapitala C(t). Odaberemo li da je ∀ t ∈ D(φ):

φ(t) = λ, λ ∈ R

C(t) = C(0)e∫ t0 λdt = C(0)eλt (52)

Iz izraza (45) računamo kamatnu stopu i:

i(t) =C(t+ 1)− C(t)

C(t)· 100 = C(0)e

λ(t+1) − C(0)eλt

C(0)eλt· 100 = 100(eλ − 1)

U slučaju prirodnoga rasta, kamatna stopa - kako možemo vidjeti iz gornjega rezultata,

ne ovisi o vremenu t što znači da nije bitno na koji se vremenski interval odnosi:

i(t) = 100(eλ − 1)

Konstanta λ je intenzitet rasta pa logaritmiranjem prethodnoga izraza slijedi:

λ = ln

(1 +

i

100

)= ln r

Iz izraza (45) dobivamoi

100=C(t+ 1)

C(t)− 1

ako je ∀ t ∈ D(φ), φ(t) = λ, λ ∈ R

λ = lnC(t+ 1)

C(t)(53)

21

Uvrštavanjem izraza (53) u (50) slijedi:

C(t) = C(0)e

t∫0

λ(t)dt= C(0)e λ(t) = C(0)e t ln

C(t+1)C(t)

= C(0)e t ln(1+ i

100

)= C(0)e ln

(1+ i

100

)t=

= C(0) ·(

1 +i

100

)tDakle, Izraz

C(t) = C(0) ·(

1 +i

100

)t(54)

predstavlja formulu za složenu kapitalizaciju. Ako je brzina kapitalizacije je-

diničnog kapitala konstantna u svakom trenutku kapitalizacije to znači da će vrijednost

početnog iznosa C(0) na kraju razdoblja [0,t] biti:

C(t) = C(0) ·(

1 +i

100

)tpri čemu je λ = ln

(1 +

i

100

)

Prema tomu slijedi da je i kamatna stopa i = 100 · (eλ − 1) u cijelome razdoblju kapi-talizacije konstanatna. Pogledajmo sada kako doći do jednostavne kapitalizacije.

Ako izaberemo da je φ(t) =i

100 + itšto možemo jer smo definirali da λ = φ(t) može

biti proizvoljni realan broj, tada iz izraza za opći zakon kapitalizacije (50) slijedi:

C(t) = C(0)e

t∫0

i100+it

dt= C(0)e ln (100+it)|

t0 = C(0)e ln (100+it)−ln 100

= C(0)e ln(1+ it

100

)= C(0)

(1 +

it

100

)Formula za jednostavnu kapitalizaciju, dakle glasi:

C(t) = C(0)

(1 + t

i

100

)(55)

Razlomljena funkcija formule

φ(t) =i

100 + it(56)

brzine kapitalizacije jediničnog kapitala jest funkcija koja ima graf padajuće krivulje

(t 6= 0). Na osi ordinata ima odsječak i100

dok joj je vodoravna asimptota os apscisa, vidi

sliku (3.1). Znači, kada smo iz općeg zakona kapitalizacije izvodili izraz za jednostavnu

kapitalizaciju pretpostavili smo da se brzina kapitalizacije smanjuje.

22

Slika 3.1 Opadajuća funkcija brzine (jednostavne) kapitalizacije [14]

To je definirano funkcijom (56) što znači da kamatna stopa nije konstantna u svim

razdobljima kapitalizacije nego je u svakom sljedećem razdoblju manja u odnosu na

sva prethodna razdoblja, za razliku od složene kapitalizacije gdje je konstantna.

3.3. Diskretna kapitalizacija

Pogledajmo sada, prema [14] što ako umjesto kontinuirane (neprekidne) kapitaliza-

cije koju smo pretpostavili pri izvodu općeg zakona kapitalizacije imamo diskontinu-

iranu (diskretnu) kapitalizaciju. Kako je domena funkcije diskretan skup, funk-

cija Φ(t) nije neprekidna15 što je uvjet za derivabilnost. Kako funkcija nije deriva-

bilna, ne možemo koristiti alate diferencijalnog računa niti diferencijalnu jednadžbu

već rješavamo diferencijsku16 jednadžbu:

Φ(t) = φ(t)C(t) =∆C(t)

∆t(57)

15Neka je na intervalu K = 〈a, b〉 zadana realna funkcija f . Funkcija f je neprekidna (kontinuirana)u točki c ∈ K, ako ∀ε > 0 ∃1 δ takvo da je (|x − c| < δ) ⇒ (|f(x) − f(c)| < ε) Kažemo da je fneprekidna na skupu S ⊆ K, ako je ona neprekidna u svakoj točki c ∈ S.

16Jednadžbe koje sadrže razlike (diferencije, odatle i naziv) izmedu sukcesivnih vrijednosti funkcijadiskretne varijable (a to su one koje su definirane za niz vrijednosti koje se razlikuju za stalan iznos,najčešće jedinicu). Npr. jednadžba oblika f(x+ 1) = x · f(x) je diferencijska. Najjednostavnije dife-rencijske jednadžbe su linearne s konstantnim koeficijentima prvog stupnja a mogu biti nehomogene,opći oblik: α1an+1 + α0an = f(n) (α0, α1, α2 ∈ R, n ∈ N, f(n) je zadana funkcija) ili homo-gene, kada je f(x) = 0. Tada je karakteristična jednadžba α1x + α0 = 0, korijen je x1 = −α0α1a opće rješenje: an = C · x1n gdje se konstanata C odreduje iz početnih uvjeta. Metode razvijeneza rješavanje diferencijskih jednadžbi imaju mnogo sličnosti s metodama za rješavanje diferencijalnihjednadžbi kojima često i služe za aproksimaciju u rubnim područjima.

23

Tvrdnja 3.1 U diskontinuiranom slučaju kapitalizacije, rješenje diferencijske jednadžbe

(57) dano je izrazom:

C

(t0 +

n−1∑k=0

∆tk

)= C(t0)

n−1∏k=0

(1 + φ(tk)∆tk

)(58)

pri čemu je interval [t0, tn] podijeljen na intervale [tk, tk+1] nejednake duljine (u općem

slučaju), vidi sl. (3.2).

Slika 3.2 Diskretna kapitalizacija [14]

Dokaz. Izraz ćemo dokazati matematičkom indukcijom. Očito je

tj = t0 +

j−1∑k=0

∆tk za j ≥ 1

Prvo postavimo i dokažimo bazu indukcije n = 1. Na intervalu [t0, t0 + ∆t0] = [t0, t1],

jednadžba (57) glasi:

φ(t0)C(t0) =C(t0 + ∆t0)− C(t0)

∆t0

iz toga slijedi:

C(t1) = C(t0 + ∆t0) = C(t0)(1 + φ(t0)∆t0)

Pretpostavku indukcije dobivamo tako da pretpostavimo da (58) vrijedi i za n = j:

C(tj) = C

(t0 +

j−1∑k=0

∆tk

)= C(t0)

j−1∏k=0

(1 + φ(tk)∆tk

)Sada pokažimo da (58) vrijedi i za n = j+1. Jednadžba (57) na intervalu [tj, tj+∆tj] =

[tj, tj+1] glasi:

φ(tj)C(tj) =C(tj + ∆tj)− C(tj)

∆tj

24

iz nje slijedi:

C(tj+1) = C

(t0 +

j∑k=0

∆tk

)= C(tj)

(1 + φ(tj)∆tj

)=

= C(t0)

j−1∏k=0

(1 + φ(tk)∆tk

)·(

1 + φ(tj)∆tj

)=

= C(t0)

j∏k=0

(1 + φ(tk)∆tk

)�

U narednim tvrdnjama ćemo iz (58) izvesti formule za jednostavnu i složenu ka-

pitalizaciju u diskontinuiranom slučaju.

Tvrdnja 3.2 Kamatnu stopu u diskontinuiranom slučaju kapitalizacije za interval

[tk, tk + ∆tk] = [tk, tk+1] izračunavamo pomoću izraza:

i(tk) = 100 · φ(tk)∆tk (59)

Dokaz. kraćemo od izraza (58):

C

(t0 +

n−1∑k=0

∆tk

)= C(t0)

n−1∏k=0

(1 + φ(tk)∆tk

)odakle slijedi:

C(tk+1)− C(tk) = C(t0)k∏j=0

(1 + φ(tj)∆tj

)−C(t0)

k−1∏j=0

(1 + φ(tj)∆tj

)=

= C(t0)k−1∏j=0

(1 + φ(tj)∆tj

)·φ(tk)∆tk = C(tk)φ(tk)∆tk

za interval [tk, tk + ∆tk], kamatna stopa iznosi:

i(tk) =C(tk+1)− C(tk)

C(tk)· 100 = 100 · φ(tk)∆tk

�

25

Tvrdnja 3.3 U diskontinuiranom slučaju kapitalizacije iznos kapitala u trenutku t =

tn ovisi o iznosu kapitala u trenutku t = tn−1, o duljini ∆tn−1 intervala [tn−1, tn] i

brzini kapitalizacije jediničnog kapitala φ(tn−1) na početku tog intervala. Diferencijsku

jednadžbu (57) možemo pisati u obliku:

C(tn) = C(tn−1) · (1 + φ(tn−1)∆tn−1) (60)

Dokaz. Opet polazimo od (58) i dobivamo:

C(tn) = C

(t0 +

n−1∑k=0

∆tk

)= C(t0)

n−1∏k=0

(1 + φ(tk)∆tk

)=

= C(t0)n−2∏k=0

(1 + φ(tk)∆tk

)(1 + φ(tn−1)∆tn−1

)=

= C

(t0 +

n−2∑k=0

∆tk

)(1 + φ(tn−1)∆tn−1

)= C(tn−1) · (1 + φ(tn−1)∆tn−1)

�

Tvrdnja 3.4 U diskontinuiranom slučaju kapitalizacije iz rješenja diferencijske jed-

nadžbe (57) danog formulom (58) slijedi formula za složenu kapitalizaciju specificirajući

∆tk = 1 za sve k ∈ {0, 1, 2, . . . , n− 1}, t0 = 0 (P1)

i

φ(tk) =i

100za sve k ∈ {0, 1, 2, . . . , n− 1} (P2)

Dokaz. Uz gore navedene pretpostavke (P1) i (P2) je:

tn = t0 +n−1∑k=0

∆tk =n−1∑k=0

∆tk = n

iz izraza (58) slijedi:

C(n) = C(0)n−1∏k=0

(1 +

i

100

)= C(0)

(1 +

i

100

)n�

Napomena. U pravilu se u Republici Hrvatskoj kapitalizacija zadanog iznosa vrši uz

fiksni kamatnjak za sva vremenska razdoblja jednake duljine. Prema gore dokazanoj

tvrdnji to znači primjenu složenog kamatnog računa.

26

Tvrdnja 3.5 Izraz za jednostavnu kapitalizaciju u diskontinuiranom slučaju proizlazi

kao aproksimacija izraza za složenu kapitalizaciju.

Dokaz. Pomoću binomnog razvoja i rezultata prethodne tvrdnje:

C(n) = C(0)

(1 +

i

100

)n= C(0)

n∑k=0

(n

k

)(i

100

)n=

= C(0)

(1 + n

i

100+

(n

2

)(i

100

)2+ · · ·+

(i

100

)n)=

= C(0) +C(0)ni

100+ C(0)

((n

2

)(i

100

)2+ · · ·+

(i

100

)n)=

= C(0)

(1 +

ni

100

)︸ ︷︷ ︸

(I)

+C(0)

((n

2

)(i

100

)2+ · · ·+

(i

100

)n)︸ ︷︷ ︸

(II)

• Pribrojnik (I) predstavlja kapital uvećan za ukupne jednostavne kamate.

• Pribrojnik (II) predstavlja razliku izmedu ukupnih složenih i jednostavnih kamata

Kod relativno malih kamatnih stopa pribrojnik (II) možemo zanemariti pa ukupni

izraz ostaje (I) koji je jednak formuli za jednostavnu kapitalizaciju. Ona je, dakle,

aproksimacija složene kapitalizacije.

C(n) = C(0)

(1 +

ni

100

)= C(0)

(1 + n

i

100

)Tvrdnja 3.6 Relacija financijske r-ekvivalencije definirana s

C(t1) ≈rC(t2) ako je C(t2) = C(t1)r

t2−t1 (61)

je relacija ekvivalencije, tj. navedena relacija ima sljedeća svojstva:

(1) C(t) ≈rC(t) - refleksivnost

(2) C(t1) ≈rC(t2)⇒ C(t2) ≈

rC(t1) - simetričnost

(3) C(t1) ≈rC(t2) i C(t2) ≈

rC(t3)⇒ C(t1) ≈

rC(t3) - tranzitivnost

Dokaz. Relacija (61) je refleksivna jer je C(t) = C(t)r0 = C(t) ∀ t čime smo dokazali(1). Relacija je i simetrična jer, ako je C(t1) ≈

rC(t2) onda je prema definiciji:

C(t2) = C(t1)rt2−t1

27

što znači da je:

C(t1) =C(t2)

rt2−t1=

C(t2)

r−(t1−t2)= C(t2)r

t1−t2

a to prema definiciji razmatrane relacije znači da je C(t2) ≈rC(t1) čime smo pokazali

da vrijedi (2), relacija (61) je simetrična.

Preostaje na kraju dokazati tranzitivnost. Ako je

C(t1) ≈rC(t2) i C(t2) ≈

rC(t3)

tada za relaciju (61) vrijedi:

C(t2) = C(t1)rt2−t1 i C(t3) = C(t2)r

t3−t2

C(t3) = C(t2)rt3−t2 = C(t1)r

t2−t1rt3−t2 = C(t1)rt3−t1

iz čega slijedi C(t1) ≈rC(t3) čime smo dokazali (3) a time i cijeli iskaz tvrdnje �

Tvrdnja 3.7 Svaka klasa financijske r-ekvivalencije jednoznačno je reprezentirana

sadašnjom (aktualnom) vrijednošću kapitala, tj. ako je CC(t) = Crt onda vrijedi:

(i) CC(t) ≈rCrt ∀ t

(ii) CC1(t) ≈rCC2(t) ∀ t⇒ C1 = C2

Dokaz.

Svojstvo (i) je direktna posljedica definicije financijske r-ekvivalencije.

Zbog toga što je CC1(t) ≈rCC2(t) ∀ t, slijedi: C1rt = C2rt

odakle zaključujemo da je doista C1 = C2 pa vrijedi i (ii). �

28

3.3.1. Konačne i sadašnje vrijednosti

Ako sada želimo izračunati sadašnju (aktualnu) vrijednost C0 zadanog iznosa ka-

pitala a poznata nam je konačna vrijednost uz nepromjenjiv kamatnjak p nakon n

razdoblja kapitalizacije uz složeni i dekurzivni način obračuna kamata (14)

Cn = C0

(1 +

p

100

)n= C0r

n, r = 1 +p

100(62)

ona će iznositi:

C0 =Cn(

1 + p100

)n = Cnrn, r = 1 +

p

100(63)

Formulu za početnu vrijednost jednog iznosa možemo napisati na sljedeći način:

C0 = Cn · v

ako uvedemo oznaku

v =1(

1 + p100

) = 1r. (64)

Uvedenu veličinu v jednaku vrijednosti koju treba uložiti na početku jediničnog vre-

menskog razdoblja da bi se na kraju n razdoblja moglo dobiti jednu novčanu jedinicu

zovemo diskontni kamatni faktor. Vrijednost n-te potencije diskontnog kamatnog

faktora zadana je čim su poznate vrijednosti n i p.

29

4. Zajmovi

Pribavljanje financijskih sredstava kod fizičkih osoba ili pravnih ako su potrebna za

investicije, može teći na razne načine. Posudba od ovlaštenog pravnog subjekta (banka,

fond i sl.) tj. uzimanje zajma, najčešći je slučaj. Kako u praksi susrećemo izraze i

kredit i zajam usporedo, razmotrimo sljedeće. Prema [10], str. 5: ”U stručnoj prav-

noj literaturi i propisima ugovora o kreditu uvijek se vezuje za banku kao kreditora

koji posuduje novac na odredeni rok i uz odredenu kamatu kao naknadu ili cijenu tog

posudivanja. Za razliku od toga posudba novca od strane drugih pravnih i fizićkih

osoba ureduje se ugovorom o zajmu. Unatoč tom pravnom razlikovanju posudbe novca

od strane banke i posudbe od strane drugih pravnih i fizičkih osoba, poslovna praksa i

porezno zakonodavstvo izjednačilo je ova dva pojma tako da se oni najčešće rabe kao

sinonimi”.

U svojoj poznatoj knjizi ”Banka”, poglavlje XI KREDITNI POSLOVI, Pojam, razvoj i

uloga kredita, [9], str. 229 prof. dr. sc. A. Katunarić pǐse: ”Medusobne vjerovničko-

kreditne odnose izmedu ljudi susrećemo već u periodu raspadanja prvobitnih zajednica

kada su medusobno posudivali svoje proizvode i robu kojom su raspolagali. Ta prva

posudivanja vlastitih proizvoda i druge robe temeljila su se na medusobnom povjerenju

- veresiji i bila su rezultat monetarnih potreba zajmoprimaoca koju je on podmirio stva-

rima koje je primio od svojeg vjerovnika s tim da mu ih vrati u istoj količini istovrsne

robe ili druge robe u istoj vrijednosti. Pojavom novca i tržǐsta stvara se novčanična17

veresija - novčanični zajam - novčanični kredit (lat. credere - vjerovati, credi-

tum - zajam) kada osoba koja raspolaže novcem - vjerovnik - povjerilac - zajmodavac -

kreditor ustupa drugoj osobi - dužniku - zajmoprimcu - debitoru odredeni iznos novca

uz obvezu vraćanja posudenog novca u ugovorenom roku. Sve većom podjelom rada

i razvojem trgovine veresija osnovana na poštenju, povjerenju i dobrim rodbinskim i

prijateljskim odnosima pretvara se u profesionalni kredit. Vjerovnik ustupa dužniku

odredeni iznos novca uz uvjete da mu ga on vrati u točno ugovorenom roku zajedno s

ugovorenim kamatama.”

4.1. Općenito o zajmovima. Osnovni pojmovi

Zajmodavac (kreditor, vjerovnik), najčešće banka, odobrava zajam na osnovi ugovora

koji sklapa s korisnikom zajma (dužnik, debitor - pravna ili fizička osoba). Odredbe

koje u ugovor ulaze i neke druge detalje nabrojat ćemo u točki 5.2.1. Ovdje ćemo

definirati neke osnovne pojmove u poslovanju s kreditima. Po zaključenju ugovora,

kreditor isplaćuje ugovoreni iznos zajma odjednom ili u ratama (obrocima, tranšama)

17ovdje označava veresiju itd. u gotovini tj. fizičkim novčanicama (u ono doba kovanicama, srebr-njacima, zlatnicima) dok bi novčani mogao označavati i bilo koju drugu financijsku transakciju, danasnpr. e-bankarstvo gdje se novčanice fizički nigdje ne pojavljuju.

30

prema ugovoru a zajmoprimatelj odobreni iznos otplaćuje u dijelovima koje zovemo

anuiteti18 ili obročne rate (najčešće se u literaturi govori o ratama kod jednostavnog a

o anuitetima kod obročnog ispodgodǐsnjeg plaćanja i potrošačkim kreditima). Sljedeće

definicije preuzimamo iz [14].

Definicija 4.1 Interkalarna kamata je kamata koju vjerovnik plaća kreditoru zbog

toga što otplata zajma anuitetima počinje tek nakon što je zajam u cijelosti iskorǐsten.

Ako dužnik koristi zajam npr. u obrocima, kreditor svaki obrok ukamaćuje od tre-

nutka doznake obroka pa do trenutka kad počinje redovno vraćanje zajma. Ove se ka-

mate mogu obračunavati po složenom kamatnom računu na cjelokupni iznos zajma uz

odobreni kamatnjak i isplaćivati odjednom u trenutku stavljanja zajma u otplatu (prvi

način) ili takoder po složenom kamatnom računu pripisivati iznosu odobrenog zajma u

trenutku stavljanja zajma u otplatu.

Definicija 4.2 Anuitet je periodični iznos koji plaća korisnik zajma a sastoji se od

dva dijela: otplatne kvote (dio kojim se otplaćuje osnovni dug uključujući i interkalarne

kamate ako nisu prije otplaćene) i složenih kamata (dio kojim se plaća naknada za

korǐstenje ustupljenih sredstava).

Definicija 4.3 Plan otplate (plan amortizacije, otplatna tablica ili osnova) je pregled

otplate (amortizacije) zajma u formi tablice koji se vodi pregledno prema rokovima

otplate i za svaki se rok računa nominalni iznos anuiteta, kamate, otplatne kvote i

ostatka duga. Za korisnike zajma je to pregled iznosa i rokova obveza a za kreditora

plan priljeva sredstava od odobrenih zajmova i kamata na ta sredstva.

Kontrole nakon završetka plana otplate su sljedeće19:

I otplatna kvota posljednjeg mora biti jednaka ostatku duga iz prethodnog termina

II zbroj svih otplatnih kvota jednak je iznosu zajma

III zbroj svih otplatnih kvota i svih kamata jednak je zbroju svih anuiteta

Kako smo već u prijašnjim poglavljima naveli, kamate možemo obračunavati i plaćati

na početku proračunskog razdoblja (anticipativno) i na kraju (dekurzivno, u praksi RH

se primjenjuje gotovo isključivo taj način). U daljnjim razmatranjima ćemo se ovdje

ograničiti na dekurzivni obračun kamata. Anuiteti se mogu plaćati početkom svakog

termina (prenumerando anuiteti) ili na kraju (postnumerando).

U sljedeće dvije točke razmatramo dva osnovna modela amortizacije zajma - primarno

danim anuitetima i primarno danim otplatnim kvotama.20

18Lat. anuus - godǐsnji.19U prošlosti su vršene i kontrole medurezultata što je danas uporabom proračunskih tablica na

računalima postalo nepotrebno.20Klasifikacija po osnovici za izradu plana otplate.

31

4.2. Zajam uz nominalno jednake anuitete

Model amortizacije zajma nominalno jednakim anuitetima najrašireniji je u financijskoj

praksi. Pretpostavit ćemo sljedeće:

a) složen i dekurzivan obračun kamata

b) nominalno jednaki anuiteti dospijevaju u jednakim vremenskim jedinicama, kra-

jem razdoblja

c) duljina ukamaćivanja jednaka je duljini vremenskog dospijeća izmedu dva sukce-

sivna anuiteta i iznosi 1

d) u cijelom razdoblju amortizacije zajma kamatnjak je fiksan (stalan)

Takoder, uvedimo sljedeće oznake radi izgradnje modela:

C ≡ C0 - nominalni iznos odobrenog zajmaa - iznos nominalno jednakih anuiteta

n - broj razdoblja amortizacije zajma

Ii - iznos kamata na kraju i-tog razdoblja amortizacije (i ∈ {1, 2, . . . , n})Ri - iznos otplatne kvote na kraju i-tog razdoblja amortizacije (i ∈ {1, 2, . . . , n})Ci - ostatak duga na kraju i-tog razdoblja amortizacije (i ∈ {1, 2, . . . , n})p - stalni dekurzivni kamatnjak za jedinično vremensko razdoblje

Uz gore navedene pretpostavke, iznos zajma C bit će jednak zbroju sadašnjih vrijed-

nosti svih anuiteta (vidi sl. 4.1)

Slika 4.1 Odredivanje iznosa zajma nominalno jednakih anuiteta [14]

32

Prisjetimo se, u 3.3.1. došli smo do izraza sadašnje vrijednosti jednog iznosa:

C0 =Cn(

1 + p100

)n = Cnrn, r = 1 +

p

100(65)

no sada imamo n iznosa ali su anuiteti jednaki, oni su nam za svaki pojedini iznos

ono što je u gornjem izrazu bio Cn, konačna vrijednost za to pojedino (svako jednake

duljine) razdoblje t:

C =a

r+a

r2+ · · ·+ a

rn−1+

a

rn=

a

rn· (rn−1 + rn−2 + · · ·+ r + 1) (66)

Ako sada izraz u gornjoj zagradi čitamo s desna na lijevo prepoznajemo zbroj prvih

n članova geometrijskog niza s prvim članom a1 = 1 dok je kvocijent niza q = r pa

možemo pisati:

rn−1 + rn−2 + · · ·+ r + 1 = r0 + r1 + · · ·+ rn−2 + rn−1 = 1 · rn − 1r − 1

sada rezultat uvrstimo u (66) i dobivamo izraz za iznos zajma izražen kao funkciju

anuiteta.

C =a

rn· r

n − 1r − 1

(67)

Iz izraza (67) nalazimo iznos nominalno jednakih anuiteta:

a = C · rn(r − 1)rn − 1

(68)

Sada istaknimo neke osobine ovoga modela. Promatrano sa stanovǐsta kreditora, pozi-

tivne bi bile jednostavnost u knjigovodstveno-tehničkoj obradi te izračunu. Ova pred-

nost je uvodenjem proračunskih tablica i informatizacijom financijskih institucija izgu-

bila na značaju. Tu je i ujednačen priljev sredstava koji u današnjim uvjetima recesije,

pada vrijednosti valuta i drugim problemima s kojima se susreće suvremena ekonomija

dobiva drugi smisao. Nominalno jednaki anuiteti kroz vrijeme, bez korekcije postaju

realno različite vrijednosti. Ako gledamo interes dužnika, u cijelom razdoblju otplate

ovakav model opterećuje prihode nominalno jednakim iznosom neovisno o njegovom

poslovanju, pa bi u vremenima privrednog rasta i uspješnog poslovanja realno rata

trebala postajati sve manja. Za pravne subjekte svaka investicija prolazi kroz različite

faze koje ponekad zahtijevaju i različit tempo priljeva sredstava. Kod fizičkih osoba,

pogotovo u današnjem recesijskom trenutku u Republici Hrvatskoj moguća su znatna

smanjenja prihoda ili potpun gubitak zbog zatvaranja tvrtki, nedostatka posla te za-

nemarivo malog broja novih investicijskih projekata koji otvaraju nova radna mjesta

pogotovo na neodredeno vrijeme (što je jedan od glavnih uvjeta pri odobravanju kre-

dita kod naših banaka). U svrhu otklanjanja ovog nedostatka razraden je niz modela

kako bi se oni prebrodili ili bar ublažili.

33

Pogledajmo još kako izradujemo otplatnu tablicu (nalazimo još i naziv plan otplate,

plan amortizacije ili otplatna osnova). Izgled tablice je sljedeći:

Kraj i -tog razd. Anuitet a(i) Kamate I(i) Otpl. kvota R(i) Ost. duga C(i)

0 - - - Ci1 . . . .2 . . . .3 . . . .4 . . . .5 . . . .6 . . . .. . . . .. . . . .. . . . Cn−1n . . Rn = Cn−1 0,00

Sume: ai, Ii, Ri∑ai

∑Ii

∑Ri -

Tablica 4.1 Primjer otplatne tablice, anuiteti nominalno jednaki

Pogledajmo redak nultog razdoblja t = 0. Uz pretpostavku otplate postnumerando

anuitetima, unosimo samo iznos zajma (cjelokupni ostatak duga) C0 u zadnjem stupcu,

dok u ostale stavljamo (-). Iz ovoga i dolazi oznaka u modelu C ≡ C0. Iznose nomi-nalno jednakog anuiteta a koji smo izračunali pomoću izraza (68) upisujemo u drugi

stupac. Sada kamate za i-to razdoblje koje se plaćaju na ostatak duga Ci−1 uz kamat-

njak p iznose:

Ii =Ci−1 · p

100

Znamo da je u svakom razdoblju anuitet jednak zbroju kamata i otplatne kvote iz čega

možemo izračunati svaku otplatnu kvotu:

a = Ii +Ri ∀ i ∈ {1, 2, . . . , n} pa je Ri = a− Ii

Ostatak duga nakon plaćanja i-tog anuiteta jednak je ostatku duga u (i− 1) tj. pret-hodnom razdoblju umanjenom za otplatnu kvotu i-tog razdoblja (jer je otplatna kvota

dio anuiteta kojim se otplaćuje osnovni dug:

Ci = Ci−1 −Ri ∀ i ∈ {1, 2, . . . , n}

34

4.3. Zajam uz nominalno jednake otplatne kvote

Anuiteti u pojedinim modelima amortizacije duga mogu biti i promjenjivi. Primjer

koji često nalazimo u praksi je model otplate zajma nominalno jednakim otplatnim

kvotama. Kao i u prethodnom modelu, nabrojat ćemo pretpostavke:

a) složen i dekurzivan obračun kamata (jednako prethodnom modelu)

b) nominalno jednake su otplatne kvote, medutim anuiteti (različiti) opet dospije-

vaju u jednakim vremenskim jedinicama, krajem razdoblja

c) duljina ukamaćivanja jednaka je duljini vremenskog dospijeća izmedu dva sukce-

sivna anuiteta i iznosi 1 (jednako prethodnom modelu)

d) u cijelom razdoblju amortizacije zajma kamatnjak je fiksan tj. nepromjenjiv

(jednako prethodnom modelu)

Takoder, opet uvodimo oznake radi izgradnje modela:

C ≡ C0 - nominalni iznos odobrenog zajmaR - iznos nominalno jednakih otplatnih kvota

n - broj razdoblja amortizacije zajma

Ii - iznos kamata na kraju i-tog razdoblja amortizacije (i ∈ {1, 2, . . . , n})ai - iznos anuiteta na kraju i-tog razdoblja amortizacije (i ∈ {1, 2, . . . , n})Ci - ostatak duga na kraju i-tog razdoblja amortizacije (i ∈ {1, 2, . . . , n})p - stalni dekurzivni kamatnjak za jedinično vremensko razdoblje

Kako pri otplati duga dužnik osnovni dug C otplaćuje jednakim otplatnim kvotama,

lako ih dobijemo:

C = R · n iz čega slijedi R = Cn

(69)

Recimo nešto i o osobinama ovog modela. Jednostavno izračunavanje otplatne kvote,

kamata i anuiteta, jednostavna knjigovodstveno-tehnička provedba te brži priljev sred-

stava bile bi pozitivne osobine za kreditora. Opet, uvodenjem računalne obrade i

proračunskih tablica ove prve tri gube na značenju.

Kako smo već ranije naveli, ovaj model pripada skupini modela s primarno danim ot-

platnim kvotama pa ćemo otplatnu tablicu konstruirati tako da, nakon što izračunamo

iznos otplatne kvote R = Ri ∀ i ∈ {1, 2, . . . , n} izrazom (69), kamate za i-to razdobljeplaćaju se na ostatak duga Ci−1 uz kamatnjak p:

Ii =Ci−1 · p

100

35

u svakom razdoblju je anuitet jednak zbroju kamata i otplatne kvote:

ai = Ii +R ∀ i ∈ {1, 2, . . . , n}

U ovom je modelu zajma ostatak duga za i-to razdoblje jednak ostatku duga u pret-

hodnom (i− 1) razdoblju umanjenom za otplatnu kvotu za i-to razdoblje pa možemoizračunati ostatak duga:

Ci = Ci−1 −R ∀ i ∈ {1, 2, . . . , n}

.4.4. Zajam uz različite anuitete i(li) različite otplatne kvote

Premda su prethodna dva (naročito prvi) model otplate zajma najčešći u praksi, može

se postići dogovor kreditora i zajmoprimca da niti su anuiteti svi jednaki kroz

razdoblje otplate, niti otplatne kvote. Mogu se ugovorom pored fiksne kamatne

stope p i iznosa zajma C dogovoriti npr. i nominalni iznosi anuiteta a1, a2, . . . , an koje

će zajmoprimac vraćati kreditoru krajem svakog razdoblja do potpune otplate. Pri

tome mora biti ispunjeno sljedeće:

C =a1r

+a2r2

+ · · ·+ an−1rn−1

+anrn

(70)

Ovdje ćemo spomenuti mogućnost da se ugovorom preciziraju n − 1 anuiteta. Zadnjin-ti, ako je preostao, plaća se u nekom različitom iznosu na kraju i zovemo ga krnji ili

nepotpuni anuitet (oznaka a′, a′ < a). Druga mogućnost je da se iz ugovora izostavi

preciziranje roka otplate. Pogledajmo kako izračunati krnji anuitet a′ i ostatak duga

na kraju i-tog razdoblja Ci. Pogledajmo sl. (4.2) i krenimo od relacije koja nam daje

sadašnju vrijednost svih anuiteta (70). Izvucimo zbroj prvih, ovaj put (n− 1) članovageometrijskog niza, kao kod izvoda (67) sadašnjeg iznosa zajma C:

Slika 4.2 Izračun krnjeg (nepotpunog) anuiteta [14]

36

C =a

r+a

r2+ · · ·+ a

rn−1+a′

rn=

a

rn−1· r

n−1 − 1r − 1

+a′

rn(71)

iz kojega izračunamo krnji anuitet na kraju n-tog razdoblja:

a′ = C · rn − a · r · rn−1 − 1r − 1

(72)

Promotrimo sada sliku (4.3):

Slika 4.3 Izračun ostatka duga na kraju i-tog razdoblja [14]

Koristeći izraz (71), prepoznavši zbroj prvih (n − i − 2) članova geometrijskog niza iprateći crtež dolazimo do:

Ci =a

r+a

r2+ · · ·+ a

rn−i−2+

a

rn−i−1+

a′

rn−i=

=a

rn−i−1· (rn−i−2 + rn−i−3 + · · ·+ r + 1) + a

′

rn−i=

=a

rn−i−1· r

n−i−1 − 1r − 1

+a′

rn−i

Dakle, izrazom (73) računamo ostatak duga na kraju i-tog razdoblja u modelu otplate

zajma uz različite anuitete i različite otplatne kvote:

Ci =a

rn−i−1· r

n−i−1 − 1r − 1

+a′

rn−i(73)

37

5. Modeli otplate zajma u formi matematičkog

modela

U ovom poglavlju postavit ćemo modele21 otplate kredita u obliku matematičkog

modela u užem smislu. Nakon općenitog modela, zadržat ćemo se na prve dvije va-

rijante (spomenute u prethodnom poglavlju, nominalno jednakih anuiteta i jednakih

otplatnih kvota) uz ilustrativne primjere otplatne tablice i grafički prikaz. Na kraju

ćemo u osnovnim crtama dati i prikaz modela otplate zajma u širem smislu.

5.1. O primjenama matematike i matematičkom modelu

Od druge polovine XX.st. sve do današnjih dana prisutan je trend snažnijeg prodora

primjene matematike izvan do tada uobičajenih prirodnih i tehničkih znanosti. Tako

zapažamo prisutnost matematike u medicini, psihologiji, sociologiji, lingvistici pa čak

u povijesnim znanostima. Tako se prirodno postavlja pitanje, kako to da je matema-

tika tako uspješna u primjeni na tako različita područja. Pri tome se ovdje nužno ne

misli na statistiku bez čije primjene danas ne možemo zamisliti niti jednu znanost u

suvremenom svijetu. Ako izuzmemo hipotetski odgovor da je i sam Bog matematičar,

možemo razmotriti Laplaceovo22 stajalǐste da se svemir po prirodi izražava jezikom

matematike. Planeti se gibaju po elipsama oko sunca, svjetlost putuje samo po pravcu

(tako se bar onda mislilo) sila gravitacije opada s kvadratom udaljenosti. Matematika

se dakle prema tom gledǐstu razvija kao opis već zadanog u svemiru. Priroda čovjeku

nameće matematiku. Uobičajeno se ovo mǐsljenje naziva platonskim gledǐstem, mate-

matika postoji već od prije, nezavisno od čovječanstva.

Po drugom stanovǐstu do matematičke primjene dolazi odlukom. Prvo stvaramo mate-

matičke strukture i uzorke pa ih pokušavamo primijeniti na svijet koji nas okružuje kako

god to možemo, pri tom s manje ili vǐse uspjeha opisujući pojavnost oko nas. Primje-

njena matematika bi tako bila ”matematički model” koristan onoliko koliko uspješno

oponaša ili predvida svijet oko nas. Ako je u nekom pogledu neadekvatan, nastojimo ga

pobolǰsati ili ga odbacujemo i stvaramo u cijelosti novi model. Ovo filozofsko stajalǐste

zauzima sve veći prostor na sveučilǐstima pa se pojavljuje sve vǐse kolegija pod nazivom

”Matematičko modeliranje” i sl. Tako ono što se nekada učilo kao ”teorija nečega” sada

postaje ”model” toga ”nečega”. Napuštamo ”istinu” ili ono što smo pod njom nekada

podrazumijevali a prevladava svrha, korist, profit i opći relativizam. U pravilu znans-

tvenici istodobno vjeruju i u teoriju i u model, ”istinu” i svrhu. Vještina modeliranja je

često u odabiru odgovarajuće strategije. Definicija matematičkog modela preuzeta je

21Model (franc.): uzor, uzorak, obrazac, prema Hrvatskom općem leksikonu (Leksikografski zavodMiroslav Krleža, Zagreb 1996).

22Pierre-Simon, marquis de Laplace (1749-1827), francuski matematičar i astronom

38

[5] od R. Arisa23 koji je dobar dio svog četrdesetogodǐsnjeg znanstvenog rada posvetio

upravo matematičkom modeliranju kretanja i medudjelovanja fluida.

Definicija 5.1 Matematički je model, bilo koji potpun i konzistentan skup mate-

matičkih jednadžbi koje su sačinjene da odgovaraju nekoj drugoj cjelini, njegovu proto-

tipu. Taj prototip može biti fizikalna, biološka, društvena, psihološka ili konceptualna

cjelina a možda čak i neki drugi matematički model.

Riječ ”jednadžba” u gornjoj definiciji može se zamijeniti i riječju ”struktura” ako ne

koristimo numeričke modele. Navedimo neke razloge stvaranja modela:

I Predvidanje dogadaja u stvarnome fizikalnom svijetu

II Olakšavanje i poticanje daljnjeg eksperimentiranja i opservacije

III Motivacija za konceptualni napredak i bolje razumijevanje

IV Aksiomatizacija zadane fizikalne pojave

V Njegovanje matematike i usavršavanje vještine matematičkog modeliranja

I na kraju ovog uvoda zaključimo da se teorije, kako gore spomenute fizikalne tako i

druge, mogu mijenjati i modificirati te konkurirati jedna drugoj. Sve ovo dovodi do

autonomne vještine i tehnike izrade modela i matematičkog modela te odgovarajućeg

smanjenja interesa za pojavu koja se proučava.

5.2. Modeli otplate zajma u užem i širem smislu

Prije nego li prijedemo na teoriju modela otplate zajma treba istaknuti da kreditori

(banke, poslovne banke i sl.) ne odobravaju zajam uz istovjetne uvjete čak i ako se radi

o potpuno istoj namjeni na istoj lokaciji. Zajmovi za kupnju vozila fizičkim osobama

i nekretnine za stanovanje istaknuti su primjer, a da o razlici izmedu vlasnika obrta

i vlasnika tvrtke (d.o.o.) te pogotovo veće tvrtke koja je dioničko društvo (d.d.) kao

budućih zajmoprimaca niti ne govorimo. Ove razlike u grubo možemo podijeliti na

one koje se odnose na potrebne uvjete boniteta, sredstava osiguranja kako bi se uopće

moglo zatražiti zajam, te samih financijskih uvjeta odobravanja.

5.2.1. Modeli otplate zajma u teoriji

Zbog gore navedenih, počesto neusporedivih uvjeta kreditiranja u daljnjem razmatra-

nju razlikujemo model otplate zajma u užem smislu i posebno, u širem smislu.

Kako smo ranije definirali, zajam (kredit) je odredena svota novčanih sredstava koju

23Rutherford ”Gus” Aris (1929-2005) englesko-američki inženjer kemije, matematičar i profesorSveučilǐsta u Minnesoti.

39

ustupa financijska institucija kao kreditor (vjerovnik) nekoj pravnoj ili fizičkoj osobi

- zamoprimcu (dužnik, debitor) uz preuzetu obvezu vraćanja u dogovorenom roku i

plaćanje odgovarajućih kamata. Postupak je sljedeći: na temelju zahtjeva za odo-

brenje zajma od strane potencijalnog dužnika, kreditor ocjenjuje kreditnu sposobnost

zajmotražitelja. U slučaju pozitivne ocjene njegove kreditne sposobnosti, izmedu kre-

ditora i korisnika zajma zaključuje se ugovor o zajmu.24

Takav ugovor se u pravilu sastoji od sljedećih elemenata (koje ćemo ovdje samo na-

brojati). U užem smislu: iznosa zajma (1.), iznosa ugovorene (nominalne) godǐsnje

kamatne stope (kamatnjaka) koja može biti fiksna ili promjenjiva (2.), roka i načina

otplate (3.), iznosa anuiteta - obroka otplate (4.). Takoder se sastoji i od eleme-

nata u širem smislu: vrste kredita (5.), mogućih drugih oročenja (6.), počeka (grace-

perioda), tranši i interkalarnih kamata, (7.), načina i roka korǐstenja odobrenog zajma

(8.), zaštitne klauzule - valutna klauzula, revalorizacija i sl. (9.), raznih naknada

(obrada zahtjeva, konverzija valute i sl.) (10), jamstava (11.), sredstava osiguranja

povrata zajma (depoziti, založna prava itd.) (12.), mogućih ostalih uvjeta25 (13.). Ako

u konstrukciju modela uključujemo gore nabrojane elemente (1.- 4.) tada je to model

otplate zajma u užem smislu a ako pak uključimo i sve preostale elemente (1.- 13.)

tada govorimo o modelu otplate zajma u širem smislu.

Pri tome uočimo da je model otplate zajma u užem smislu sastavni element modela

otplate zajma u širem smislu i obuhvaća sve ključne elemente i njihove meduodnose

neophodne da bi sačinili otplatnu tablicu. Definirajmo ga [1]:

Definicija 5.2 Modelom otplate zajma u užem smislu definiramo veze koje pos-

toje izmedu anuiteta a(i) ≡ ai, iznosa kamata I(i) ≡ Ii, otplatne kvote R(i) ≡ Ri,ostatka duga C(i) ≡ Ci, nakon plaćanja i-tog anuiteta, godǐsnjeg kamatnjaka p, brojagodina otplate n i broja anuiteta mn gdje je m broj anuiteta u jednoj godini26

Ovakvom smo definicijom na simboličan način istaknuli da govorimo o funkcijama

vremena. U razmatranju, nadalje, moramo voditi računa o relacijama koje moraju

biti zadovoljene. Neposredna posljedica načela financijske ekvivalentnosti kapitala jest

jednakost sadašnje vrijednosti nominalnih iznosa svih anuiteta s nominalnim iznosom

odobrenog zajma.

24Zakon o obveznim odnosima (NN 35/05, 41/08), Zakon o potrošačkom kreditiranju (NN 79/09),Zakon o kreditnim institucijama (NN 117/08, 74/09), Zakon o institucijama za elektronički novac (NN117/08, 74/09), Zakon o zaštiti potrošača (NN 79/09, 125/07, 79/09, 89/09).

25Reguliranih dodatnom zakonskom regulativom i(li) internim pravilnicima kreditora.26Mogli bi se preciznije izraziti ako bi p definirali samo kao kamatnjak a m onda kao jedinično

obračunsko razdoblje na koje se kamatnjak odnosi (kamate koje nisu godǐsnje).

40

Zbroj nominalnih iznosa svih otplatnih kvota takoder mora biti jednak nominalnom

iznosu odobrenog zajma. U svakom modelu otplate zajma osnovna relacija odražava

činjenicu da je anuitet jednak zbroju kamata za razmatrano razdoblje i otplatne kvote:

a(i) = I(i) +R(i) ∀ i ∈ {1, 2, . . . ,mn} (74)

Kako se iznos kamata za i -to razdoblje, I(i), računa na ostatak duga C(i− 1) s kojimdužnik ulazi u to razdoblje, a po kamatnjaku p, za isto razdoblje vrijedi:

I(i) =C(i− 1) p(i)

100∀ i ∈ {1, 2, . . . ,mn} (75)

Modele otplate zajmova možemo još podijeliti u dvije osnovne klase ovisno o tome

što u izrazu (74) biramo kao temelj za izradbu plana otplate:

a) Modeli s primarno zadanim anuitetima

b) Modeli s primarno zadanim otplatnim kvotama

Sada navedimo osnovne uvjete koje konzistentan27 razmatrani model (neovisno o

klasi) treba zadovoljiti:

I Otplatna kvota predposljednje rate mora biti jednaka predposljednjem ostatku

duga (glavnice):

R(mn) = C(mn− 1) (76)

II Zbroj svih otplatnih kvota jednak je ukupnom iznosu zajma:

mn∑i=1

R(i) = C (77)

III Zbroj svih otplatnih kvota i svih kamata jednak je zbroju svih anuiteta:

mn∑i=1

R(i) +mn∑i=1

I(i) =mn∑i=1

a(i) (78)

27Model je konzistentan ako u njemu ne postoji formula ili struktura iz koje slijedi istodobno nekadruga formula i struktura i njoj suprotna (ili neistinita) formula (struktura) tj. neki skup S formulanazivamo konzistentnim akko pomoću njegovih elemenata (formula) nije moguće izvesti obje formuleiz bilo kojeg para kontradiktornih formula, F i ¬F .

41

Kako je jednakost sa sumama (78) direktna posljedica jednakosti (74), možemo je iz-

ostaviti.

Iz (74) slijedi:

mn∑i=1

a(i) =mn∑i=1

[R(i) + I(i)

]=

mn∑i=1

R(i) +mn∑i=1

I(i) (79)

Gore navedeni uvjeti se u financijskoj praksi nazivaju provjerama nakon izrade otplatne

tablice. Ako potencijalni dužnik udovoljava traženim uvjetima kreditora, otplatna rata

ai za i-to razdoblje ovisi o nominalnom iznosu zajma C, kamatnim stopama u svakom

pojedinom razdoblju otplate pi, ako je riječ o modelu s primarno zadanim otplatnim

kvotama Ri, broju godina otplate n, broju anuiteta u jednoj godini m.

Napomena. Poslovne banke u Republici Hrvatskoj u većini slučajeva koriste valutnu

klauzulu a podatci u otplatnoj tablici su izraženi najčešće u EUR, $ ili SFR pa ćemo

u jednadžbu uvrstiti i stopu inflacije s(i). Skraćeno:

a(i) = f(C, p(i), R(i), n,m, s(i)

)Analogno za model otplate zajma primarno zadanim anuitetima konstruiramo funkciju

za otplatne kvote:

R(i) = g(C, p(i), a(i), n,m, s(i)

).

Funkcijom g, definiramo otplatne kvote:

R(i), i ∈ J = {1, 2, . . . ,mn}

a funkcija ovisi o iznosu zajma C, godǐsnjim kamatnim stopama u svim razdobljima

otplate zajma pi, i ∈ J , anuitetima ai i ∈ J , koji su ili direktno zadani ili se moguizračunati neovisno o iznosu otplatnih kvota, broju godina otplate zajma n, broju

anuiteta m u tijeku jedne godine otplate i opet na kraju godǐsnjim stopama inflacije

s(i) i ∈ J .

42

Zapǐsimo sada opći model zajma u užem smislu ako je riječ o modelu iz klase otplate

primarno zadanim anuitetima:

C0 ≡ Ca(i) = ai zadano ∀ i ∈ J

I(i) =C(i− 1) p

100R(i) = g

(C, p(i), a(i), n,m, s(i)

)C(i) = C(i− 1)−R(i)n∑i=1

R(i) = C0

i ∈ J = {1, 2, . . . ,mn}

(M−Oan)28

Zapǐsimo sada opći model zajma u užem smislu ako je riječ o modelu iz klase otplate

primarno zadanim otplatnim kvotama:

C0 ≡ CR(i) = Ri zadano ∀ i ∈ J

I(i) =C(i− 1) p

100a(i) = f

(C, p(i), R, n,m, s(i)

)C(i) = C(i− 1)−R(i)n∑i=1

R(i) = C0

i ∈ J = {1, 2, . . . ,mn}

(M−Okv)29

Različitost modela u ovoj klasi ovisi o funkciji f , a koja ovisi o iznosu zajma C,

godǐsnjim kamatnim stopama u svim razdobljima otplate zajma pi, i ∈ J , otplat-nim kvotama R(i) i ∈ J koje su zadane direktno ili se neovisno o iznosu anuiteta zaprethodna razdoblja mogu izračunati, broju godina otplate zajma n, broju anuiteta m

u tijeku jedne godine otplate i godǐsnjim stopama inflacije s(i) i ∈ J koje mogu bitiizražene direktno ili indirektno u ovisnosti o načinu revalorizacije financijskih sredstava

koji se primjenjuje.

28Skraćenica od: Model - Opći, primarno zadanim anuitetima.29Skraćenica od: Model - Opći, primarno zadanim otplatnim kvotama.

43

5.2.2. Modeli otplate zajma u užem smislu - klasični modeli

Modelom otplate zajma u užem smislu definiramo veze izmedu anuiteta ai, ot-

platne kvote Ri, ostatka duga Ci nakon plaćanja i-tog anuiteta, godǐsnjeg kamatnjaka

p kojeg ćemo, ne umanjujući općenitost modela držati fiksnim (premda može biti vari-

jabilan, ali svaka promjena kamatne stope predstavlja jednu vrstu konverzije zajma),

broja godina otplate n i broja anuiteta mn gdje je m broj otplatnih rata u jednoj

godini30. U sljedeće dvije točke konstruirat ćemo ”klasične” modele otplate zajma u

užem smislu i navesti nekoliko ilustrativnih primjera i njihove grafove osnovnih funk-

cija. U praksi poslovanja kreditora u Republici Hrvatskoj srećemo u pravilu ove tri

vrste klasičnih modela (u našem razmatranju se zadržavamo na prve dvije vrste):

a) Modeli otplate zajma nominalno jednakim obročnim ratama (anuitetima)

b) Modeli otplate zajma nominalno jednakim otplatnim kvotama

c) Modeli otplate zajma dogovorenim (varijabilnim) anuitetima31

pri čemu anuiteti dospijevaju krajem svakog razdoblja kroz vrijeme otplate. U svim na-

vedenim modelima primjenjuje se načelo financijske ekvivalentnosti kapitala uz sljedeće

pretpostavke (klasifikacija preuzeta iz [14] ):

I Obračun kamata je složen i dekurzivan

II Anuiteti (ili otplatne kvote, isključivo u ovisnosti o modelu) su jednaki i dospije-

vaju u jednakim vremenskim jedinicama krajem razdoblja

III Duljina razdoblja ukamaćivanja jednaka je duljini vremenskog dospijeća izmedu

dva sukcesivna anuiteta i iznosi 1

IV Kamatna stopa (kamatnjak) je stalna u cijelom razdoblju amortizacije zajma pri

čemu razlikujemo dva podslučaja:

IV-a duljina jediničnog razdoblja na koji se odnosi nominalni kamatnjak jednaka

je duljini ukamaćivanja (m = 1)

IV-b duljina jediničnog razdoblja na koji se odnosi nominalni kamatnjak nije jed-

naka duljini ukamaćivanja (m 6= 1) i tada primjenjujemo umjesto kamatnestope p konformni p′ ili relativni p kamatnjak

30U praksi poslovnih banaka u Republici Hrvatskoj je najčešće m=12.31O jednom novom pristupu ovakvim modelima pogledati [1], str. 30-109.

44

5.2.3. Model nominalno jednakih anuiteta

Zapǐsimo ovaj model otplate zajma nominalno jednakim obročnim ratama

(anuitetima) a koji zadovoljava pretpostavke (I) - (III) i (IV-a) i koji postaje pogodan

za analizu i implementaciju računalnim proračunskim tablicama:

C0 ≡ C

r = 1 +p

100

a(i) ≡ a = C0rn(r − 1)rn − 1

= C0Vpn

I(i) =C(i− 1)p

100R(i) = a− I(i)R(n) = C(n− 1)n∑i=1

R(i) = C0

C0 +n∑i=1

I(i) = na

i ∈ J = {1, 2, ..., n}

(M− JA1)32

gornji model se može zapisati i na sljedeći način:

C0 ≡ C

a(i) ≡ a = C0rn(r − 1)rn − 1

= C0Vpn

I(i) =C(i− 1)p

100R(i) = a− I(i)C(i) = C(i− 1)−R(i)i ∈ J = {1, 2, ..., n}

(M− JA2)33

Sada razmotrimo slučaj ako se obroci plaćaju m puta godǐsnje (ili općenito, u toku

jediničnog vremenskog razdoblja na koje se odnosi nominalna kamatna stopa p.

32Skraćenica od: Model - nominalno Jednakih Anuiteta, prva varijanta.33Skraćenica od: Model - nominalno Jednakih Anuiteta, druga varijanta.

45

Oba modela zadovoljavaju gore navedene pretpostavke (I) - (III) i (IV-b) u prvom

koristimo konformni kamatnjak p′ a u drugom relativni p.

C0 ≡ C

p′ = 100

[1 +

(p(G)

100

1m)− 1]

r′ = 1 +p′

100

a′(i) ≡ a′ = C0rn(r′ − 1)rn − 1

I ′(i) =C ′(i− 1)p′

100R′(i) = a′ − I ′(i)C ′(i) = C ′(i− 1)−R′(i)i ∈ J = {1, 2, ...,mn}

(M− JAkk)34

C0 ≡ C

p =p

m

r = 1 +p

100

a(i) ≡ a = C0r mn(r − 1)r mn − 1

I(i) =C(i− 1)p

100R(i) = a− I(i)C(i) = C(i− 1)−R(i)i ∈ J = {1, 2, ...,mn}

(M− JArk)35

Razmotrimo još jednom funkcije u zapisu (M − JA1). Jesu li te funkcije rastuće ilipadajuće? Prisjetimo se:

Definicija 5.3 Funkcija f : S → R raste na S ako vrijedi:x1, x2 ∈ S takvi da je x1 ≤ x2 ⇒ (f(x1) ≤ f(x2)). Slično,Funkcija f : S → R pada na S ako vrijedi:x1, x2 ∈ S takvi da je x1 ≤ x2 ⇒ (f(x1) ≥ f(x2)).U slučaju strogih nejednakosti, funkcija f strogo raste odnosno strogo pada na S.

34Skraćenica od: Model - nominalno Jednakih Anuiteta, konformni kamatnjak.35Skraćenica od: Model - nominalno Jednakih Anuiteta, relativni kamatnjak.

46

Iz same prirode eko