Misalkan suatu fungsi f dengan 3 variable bebas yang memiliki first dan second order partial derivative maka bordered Hessian Matrix dari fungsi f dapat ditulis sebagai berikut :

3332313

2322212

1312111

3210

ffff

ffff

ffff

fff

H

Bordered Hessian Matrix dibentuk dari Hessian Matrix dengan penambahan [0 f1 f2 f3] (jika hanya terdiri dari 3 variable bebas) sebagai baris pertama dan kolom pertama

• Baris dan kolom pertama yang melingkungi Hessian Matrix untuk fungsi bersyarat adalah syarat dari fungsi tersebut yang harus di penuhi

Bordered Hessian Matrix : Positive/Negative DefiniteSama seperti Hessian Matrix, minor bordered

Hessian Matrix dapat mengklasifikasikan apakah suatu fungsi adalah positive/negative definite

Misalkan suatu fungsi terdir dari 3 variable bebas maka Bordered Hessian Matrix dan minornya adalah :

3332313

2322212

1312111

321

3

22212

12111

21

2

0

0

ffff

ffff

ffff

fff

HH

fff

fff

ff

H

Untuk fungsi f yang terdiri n variable bebas:1. Fungsi adalah positive definite jika

Dalam kasus ini, fungsi f adalah quasiconvex untuk bilangan ril positive berdimensi n 2. Fungsi adalah negative definite jika

Dalam kasus ini, fungsi f adalah quasiconcave untuk bilangan rill positive berdimensi n

0,.....,0,0 32

nHHH

ganjiln untuk 0atau

genapn untuk 0,....,0,0 32

HH

HHHH

n

n

Evaluasi untuk mendefinisikan positive/negative definite tergantung pada banyaknya variable bebas. Jika hanya ada 2 variable bebas maka Contoh:

Tunjukan apakah fungsi y = x1x22 adalah

fungsi quasiconcave atau quasiconvex pada bilangan positive berdimensi dua

HH 2

Optimalisasi BersyaratOptimalisasi bersyarat adalah mencari nilai

maksimum atau minimum suatu fungsi yang terkekang oleh fungsi lain yang harus dipenuhi

Kasus optimalisasi bersyarat banyak ditemukan dalam ekonomi

Misalnya konsumen hendak memaksimumkan utility tetapi terikat pada fungsi pendapatan atau suatu perusahaan hendak meminimumkan cost tetapi terikat pada fungsi produksinya

Lagrange Method

Lagrange Method adalah suatu metoda penyelesaian masalah optimalisasi bersyarat

Metoda ini membentuk fungsi baru yang disebut Lagrange function

Lagrange Function merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan dengan hasil kali antara pengganda Lagrange (λ) dan fungsi kendala

Secara matematis, fungsi lagrange dapat ditulis sebagai berikut :Max y = f(x1,x2)

s.t g= g(x1,x2)

maka fungsi lagrange-nya adalah:

λ = Multiplier (pengganda) lagrange yang merupakan suatu variable tak tertentu dan hanya bersifat membantu

)),((),(),,( 212121 xxggxxfxxL

Tahap-Tahap Penyelesaian Optimalisasi Bersyarat1. Syarat Perlu (necessary condition)

Mencari titik kritis yang diperoleh dari first order condition (FOC) fungsi lagrange yang sama dengan nol

2. Syarat cukup (sufficient condition)Menentukan apakah titik kritis maksimum atau minimum dengan menentukan apakah fungsi adalah positive/negative definite minor Bordered Hessian Matrix

Jika minor Bordered Hessian Matirx menunjukan bahwa fungsi adalah negative definite (quasiconcave) maka titik kritis adalah nilai maksimum (memenuhi kondisi maksimum)

Jika minor Bordered Hessian Matrix menunjukan bahwa fungsi adalah positive definite (quasiconvex) maka titik kritisnya adalah nilai minimum (memenuhi kondisi minimum)

Contoh:1. Tentukan apakah fungsi berikut ini adalah

memenuhi nilai maksimum atau minimum

2.

35 jika 2 32132123

22

21 xxxxxxxxxy

10042:

max

21

75.02

25.01

xxtosubject

xxy

3. Berapakah jumlah output yang diproduksi oleh suatu perusahaan apabila biaya minimum perusahaan ditunjukan oleh fungsi sebagai berikut :

dan perusahaan ingin memproduksi output sebesar 5q1+7q2=800. Tunjukan apakah biaya produksi perusahaan tersebut adalah minimum.

2221

21 653 qqqqTC