8. B Ö L Ü M

BİLEŞİK EĞİLME TESİRİNDEKİ KESİTLER

8.1 Bileşik Eğilmenin Tanımı

Bu bölüme kadar görülen konularda, kesit tesirleri olarak ele alınan Normal Kuvvet ve Eğilme Momentinin kesitlere teker teker tesir etmesi durumu incelenmişti. Normal kuvvetin tesir ettiği yapı elemanı olarak kolonlar, Eğilme momentinin tesir ettiği yapı elemanı olarak kirişler ele alınmıştı. Acaba kolon ve kirişlere bu kesit tesirleri gerçekten de ayrı ayrı mı etki ederler?

Önceki bölümlerde incelenen kirişler, sadece (M) eğilme momenti tesirine göre hesaplanmıştı. Bir kirişe sadece (M) eğilme momentinin tesir etmesi durumu, çok seyrek karşılaşılan bir durumdur. Genelde, bilhassa yapılardaki kirişlere, düşey yükten dolayı M eğilme momenti ile beraber (V) kesme kuvveti de tesir etmektedir. Kirişlerde eğilme momentinden dolayı kesite dik olan normal gerilmeler meydana geldiği halde, kesme kuvvetinden dolayı kesite paralel kayma gerilmeleri meydana geleceğinden Moment ve Kesme kuvvetinin tesir ettiği kesit, bu kesit tesirlerine göre ayrı ayrı hesaplanmalıdır.

İlk konulardan da bilindiği gibi betonarme yapılar süreklidir. Aynı kattaki kolonlar, kiriş ve döşemeler birlikte imal edilirler. Kolonlarda bırakılan filizler sayesinde katlar arasındaki bütünlüğün de sağlandığı kabul edilecektir.

Bu şekildeki bir kabul ile betonarme karkas bir yapının her iki yönde çerçevelerden meydana geldiği kabul edilmiş olur. (Şekil 8.2)

Çerçevelerin düşey yüklere göre hesabı yapıldığında, statikten bilindiği gibi kolonlara Normal kuvvetle beraber Eğilme momenti de tesir etmektedir. Kolonlarda düşey yükten dolayı büyük normal kuvvetlerle birlikte hayli küçük olan eğilme momentlerinin de tesir ettiği görülecektir. (Şekil 8.3)

1

3

Hx Hx

Hy

Hy

2 A B C D

(1-1) (2-2) (3-3)

(A-A) (B-B) (C-C) (D-D)

Şekil 8.2

Şekil 8.1

L

q t/m

Kiriş ve yükü

V

+

-Kesme Kuvveti

+M

Eğilme Momenti

V

Aralık 2009

Ayrıca yapılara düşey yüklerle birlikte, aynı zamanda Rüzgar ve Deprem yükleri

gibi yatay yükler de tesir etmektedir. Bu yatay yükler için gerekli hesaplar yapıldığında, çerçeveyi meydana getiren kolonlar ve kirişlerdeki moment kesit tesirleri bulunacaktır.(Şekil 8.4)

Yukarda sayılan sebeplerin dışında, özellikle kenar kolonlarda, alt kattaki kolonların büyümesinden dolayı eksen dışı normal kuvvet uygulaması ortaya çıkmaktadır. (Şekil 8.4)

Deprem tesirinden dolayı kolonların alt ve üst uçlarında meydana gelen momentin, düşey yüklerden dolayı meydana gelen momentten daha büyük olduğu görülmektedir.

Ancak deprem tesirinden dolayı kolonlarda meydana gelen normal kuvvetin ise düşey yüklerden dolayı meydana gelen normal kuvvetten küçük olduğu bilinmektedir.

130

q t/m

+ +

Şekil 8.3

Şekil 8.4

MM

M

M

M

MM M M

N N

N NÇerçeve ve Yatay Yükler

Kolon uç momentleri ve kolon normal kuvvetleri

M

Kenar KolonlardaEksantriste Momentleri

Belirtilen bu sebeplerden dolayı çerçeveleri oluşturan kolonlarda sadece normal

kuvvet tesir etmesi durumu meydana gelmez. Normal kuvvetle beraber moment tesiri de bulunur.

Bu sebeplerden dolayı yönetmelikler, kolonların sadece normal kuvvete göre hesaplanmasına izin vermezler. Eğer herhangi bir kolonda, yapılan hesaplar sonucunda eğilme momenti bulunmuyor veya çok küçük ise, yönetmeliğin verdiği minumum moment dikkate alınarak hesap yapılmalıdır.

T.S.500 eksantrisitenin en az (e) kadar olması gerektiğini belirtmektedir.

8.2 Bileşik Eğilme Tesiri Altındaki Kesitlerin Hesap Esası

Kolon kesitinin merkezinde sadece normal basınç kuvvetinin tesir etmesi halinde kesitte, basınç gerilmeleri meydana gelir. Bu gerilmeler kesite dik olarak meydana gelir, kesitteki dağılışı üniformdur ve gerilmenin değeri ise kuvvetin alana bölünmesiyle bulunur.

131

My

h

b

N

Mx = (e ) N

Şekil 8.5

Mx

N

h

ex = (0,03*h +1,5cm )

N

b

ey = (0,03*b +1,5cm )

My = (e ) N

b ve h cm. olarak alınmalıdır.

Aynı kesite Eğilme momentinin tesir etmesi durumunda kesitin bir kısmında basınç gerilmeleri, diğer kısmında ise çekme gerilmeleri meydana gelecektir. Eğilme momentinden dolayı meydana gelen gerilmelerde kesite dik doğrultudaki normal gerilmelerdir.

Kesite tesir eden Normal kuvvet ve Eğilme momentinden dolayı aynı cins gerilmeler oluştuğundan bu kesit tesirlerinin birlikte etki etmesi halinde meydana gelen gerilmelerin cebrik olarak toplanabileceği ortaya çıkmaktadır.

Bundan dolayı kesitlerde Normal kuvvet ve Eğilme momentinin birlikte tesir etmesi haline ait betonarme hesap yapmak mümkündür.

Bu şekilde kesitlere Normal kuvvet ve Eğilme momentinin birlikte tesir etmesi haline BİLEŞİK EĞİLME durumu denir.

Bileşik eğilme halinde kesitte meydana gelen gerilmeler, kesit tesirlerinin birbirine göre büyüklüklerine bağlı olarak iki farklı durumda meydana gelmektedir.

a) Kesitte Normal kuvvetin hakim olması durumu:

Normal kuvvetten dolayı meydana gelen gerilmeler, eğilme momentinden dolayı meydana gelen gerilmelerden büyüktür. Kesitin tamamında basınç gerilmeleri vardır. Moment den oluşan gerilmelerin ± 5 kg/cm2, Normal kuvvetden oluşan gerilmelerin + 20 kg/cm2 olduğunun kabul edilmesi durumunda, Normal kuvvet ile Momentin beraber tesir etmesi halinde gerilme dağılışı aşağıdaki gibi olacaktır.

132

Şekil 8.6

N

N = N / F

F = h* b

h b

N

Şekil 8.7 W = (b * h2 ) / 6

h b

MM

M

M

M = M / W

Bu durumda kesitin her tarafında basınç gerilmelerinin oluştuğu görülmektedir. Sadece Normal kuvvet tesirinde de kesitin her tarafında basınç gerilmelerinin meydana geldiğini biliyoruz. Dolayısıyla burada M ve N tesirindeki gerilme dağılışı Normal kuvvetin tesir ettiği duruma benzemektedir. Normal Kuvvetin Hakim olduğu Bileşik Eğilme Halidir.

b) Kesitte Eğilme momentinin hakim olması durumu:

Eğilme momentinden dolayı meydana gelen gerilmelerin, normal kuvvetten dolayı meydana gelen gerilmelerden büyük olması halidir. (Şekil 8.9)

Bu durumda kesitte bir tarafta +25 kg/cm2 basınç diğer tarafta ise - 15 kg/cm2

çekme gerilmeleri meydana gelecektir. Sadece M eğilme momentinin tesir etmesi durumdaki gibi, kesitte basınç ve çekme gerilmeleri meydana gelmiştir. Dolayısıyla bileşik eğilme durumunda gerilme dağılışına Eğilme momenti hakimdir.

Bileşik eğilme halinde kesitte meydana gelen gerilmeler ve deformasyonlar tesir eden kesit tesirlerin birbirine göre büyüklüğüne bağlıdır.

Sınır durumları incelendiğinde iki farklı durumla karşılaşılır:

A) [M=0, N0] Basit basınç durumudur. Kesite sadece normal kuvvet tesir etmiştir. Bütün kesitte eşit büyüklükte kısalma deformasyonları meydana gelecektir.

133

Şekil 8.8

MN

1

2

1=25 kg/cm2 2 =15 kg/cm2

M

M=5 kg/cm2

+-

N=20kg/cm2

+

N

Şekil 8.9

1

MN

2

1=+25 kg/cm2

2 = - 15 kg/cm2

M

M=20 kg/cm2

+-

N=5 kg/cm2

+

N

Betonda meydana gelen deformasyonlar, betonun ezilme deformasyon değeri olan

0.003 değerine, çelikte meydana gelen deformasyonlar ise çeliğin basınçta akma deformasyonuna (sy) erişmesiyle kesit taşıma gücüne erişecektir.

B) [M0, N=0] Basit eğilme durumudur. Kesite sadece eğilme momenti tesir etmiştir. Kesitin basınç bölgesinde kısalma deformasyonları, çekme bölgesinde ise uzama deformasyonları meydana gelecektir.

Kesitin taşıma gücüne erişmesi, basınç bölgesindeki betonun 0.003 ezilme deformasyonuna, çekme bölgesindeki çeliğin ise çekmede akma deformasyonuna erişmesiyle meydana gelecektir.

Acaba Normal kuvvet ve Momentin birlikte tesir etmesi halinde deformasyonların

durumu nasıl olacaktır.

Normal kuvvet ve moment, basınç bölgesindeki betona basınç uygulamaktadırlar. Bu bölgedeki betondaki deformasyon ezilme deformasyonuna (0.003) ulaştığında beton taşıma gücünü kaybedecektir. Basınç bölgesindeki donatı, basınç gerilmeleri altında kısalma deformasyonu yapmaktadır.

134

Şekil 8.12 e = M / N M 0 N 0 e = e b

As2

As1

c

s1

s2 M

N

cu=0,003

s1 = sy

s2

cu =0,003

cu =0,003 s1 = sy

s2 = syAs1

As1N0

Şekil 8.10 e = M / N M =0 e = 0

Şekil 8.11 e = M / N N =0 e =

cu =0,003

s1 = sy

s2 As2

As1

M0

Çekme bölgesindeki donatı ise Normal kuvvetin etkisinde basınç gerilmeleri, Momentin etkisinde ise çekme gerilmeleri etkisi altındadır.

Çekme bölgesindeki donatıya hakim olan deformasyon, Moment ve Normal kuvvet tesirlerinin birbirlerine göre büyüklüğüne bağlıdır. Dolayısıyla çekme bölgesindeki donatı, momentin normal kuvvete göre büyük olması durumunda çekmeye, normal kuvvetin momente göre büyük olması halinde ise basınca çalışacaktır.

Ancak çekme bölgesindeki donatının akma deformasyonuna erişmesiyle donatı ve dolayısıyla kesit taşıma gücünü kaybedecektir.

8.3 Bileşik Eğilmede Kırılma Çeşitleri

Kesite tesir eden Eğilme momenti ve Normal kuvvetin büyüklüklerine bağlı olarak üç farklı şekilde kırılma durumu meydana gelmektedir.

8.3.1 Dengeli Kırılma

Basınç bölgesindeki betonun ezildiği anda, çekme bölgesindeki çeliğin akma mukavemetine erişmesi durumunda meydana gelen kırılma çeşididir. Bu anda beton ezilmiştir fakat çelik akma deformasyonuna yeni erişmiştir. Çelik sabit yük altında akma deformasyonu yaptıktan sonra pekleşme sınırına erişecek ve ondan sonra da tekrar kuvvet karşılayabilecektir. Fakat bu anda betonun ezilmesiyle kesit ani olarak taşıma kapasitesini kaybeder.

Güç tükenmesi ilk anda basınç bölgesinde meydana geldiğinden bu şekildeki kırılmalara basınç kırılması denir. Kırılma ani olarak meydana gelir, istenmeyen bir durumdur. Bu kırılmaya sebep olan normal kuvvete "Dengeli Normal Kuvvet" denir ve (Nb) ile gösterilir. Bu andaki eksantrisiteye ise dengeli eksantrisite denilir.

8.3.2 Sünek Kırılma (Çekme kırılması)

Basınç bölgesindeki betonun ezilme deformasyonuna erişmesinden önce çekme bölgesindeki donatının akma deformasyonuna erişmesi durumunda meydana gelen kırılma durumudur.

135

As2

As1

M b

Nb

cu =0,003

s1 =

sy

s2 e b = M b / N b

e = e b

Şekil 8.13

Akma deformasyonuna erişen donatı, sabit yük altında bir miktar deformasyon yaparak pekleşme sınırına erişinceye kadar kesit kırılmayacaktır. Bu anda kesitin çekme bölgesinde çekme çatlakları meydana gelecek ve kırılmayı haber verecektir. Çelikteki artan deformasyonlar sonucunda betonda ezilme deformasyonuna erişecek ve kesit taşıma kapasitesi sona erecektir.

Bu tür kırılmalarda, güç tükenmesi önce çekme bölgesindeki donatıda meydana geldiğinden, bu kırılmalara " Çekme Kırılması" veya sünek kırılma denilmektedir. Bu tür kirişlere zayıf donatılı kirişler denilmektedir. Normal kuvvetin dengeli normal kuvvetten küçük olduğu durumlarda meydana gelmektedir. Kırılmaya Moment hakim olmuştur. Dolayısıyla eksantrisite büyümüştür. Bu tür bileşik eğilme durumuna Büyük Eksantrik Basınç Hali de denilmektedir.

8.3.3 Gevrek Kırılma (Basınç kırılması)

Çekme bölgesindeki donatının deformasyonu, akma deformasyonuna erişmeden önce, basınç bölgesindeki betonun ezilme deformasyonuna erişmesi durumunda meydana gelen kırılma çeşididir. Beton ezildiği anda donatı daha kuvvet karşılayabilecek durumda olmasına rağmen kesit taşıma kapasitesine erişmiştir. Kuvvetli donatılı kirişlerde bu tür kırılmalar meydana gelmektedir.

Güç tükenmesi, önce basınç bölgesindeki betonda meydana geldiğinden "Basınç Kırılması" veya gevrek kırılma denilmektedir. İstenmeyen bir kırılma çeşididir. Normal kuvvetin, dengeli normal kuvvetten büyük olduğu durumlarda meydana gelir. Kırılma üzerinde normal kuvvet hakimdir. Bu tür bileşik eğilme durumuna küçük eksantrik basınç hali de denilmektedir.

136

As2

As1

M

N

cu = 0,003

s1 sy

s2 sy

cu = 0,003

s1 sy

s2 sy

N N b

e e b k.e.b.h.

Şekil 8.15a Şekil 8.15b

As2

As1

M

N

cu 0,003

s1 = sy

s2

cu = 0,003

s1 > sy

s2

Şekil 8.14 N N b e e b b.e.b.h

Momentin büyüklüğüne göre kesitte iki farklı deformasyon durumu meydana gelebilir. (Şekil 8.15a ve 8.15b) Momentin çok küçük olması durumunda, kesitin tamamında basınç gerilmeleri meydana gelebilmektedir.(Şekil 8.15b )

İncelenen bu üç farklı kırılma durumunu, eksenleri Normal kuvvet ve Eğilme Momenti olan bir eksen takımında aşağıdaki gibi göstermek mümkündür.

1. Dengeli Kırılma Mb ve Nb

2. Sünek kırılma M1 ve N1

3. Gevrek kırılma M2 ve N2

Dengeli kırılmayı meydana getiren Nb, Mb çiftinin meydana getirdiği (b) noktası belirlenir.

Sünek kırılmanın meydana geldiği M1 ve N1 in oluşturduğu 1 noktası ile Gevrek kırılmanın meydana geldiği M2 ve N2 nin oluşturduğu 2 noktası eksen takımı üzerinde işaretlenir.

Aynı kesitin, aynı donatıyla taşıyabileceği Mi ,Ni kuvvetlerinin oluşturduğu noktalar birleştirildiğinde elde edilen eğriye "Karşılıklı Etki Diyagramı" veya Dayanım zarfı denilmektedir.

Bu eğrinin üzerinde ve iç kısmında bulunan noktalara karşılık gelen M, N tesirleri, verilen kesit ve donatı tarafından güvenlikle taşınıyor demektir. Verilen M ve N kuvvet çiftinin oluşturduğu nokta karşılıklı etki diyagramının dışında olması halinde bu kesitin verilen donatı ile bu kuvvet çiftini taşıyamayacağı anlaşılır.

Bileşik eğilme halinde sınır durumlar incelendiğinde, momentin olmadığı durumda kesitin taşıyabileceği normal kuvvet N0 olarak bulunmuştu. Karşılıklı Etki diyagramının düşey ekseni kestiği nokta N0 değeridir. Benzer şekilde normal kuvvetin olmadığı kesitin

137

M0 M2 M1 Mb

Şekil 8.16 Bileşik Eğilmede Dayanım Zarfı

N = N b e = e b

N N be e b

N N b

e e b Gevrekkırılma.

b .e. b. h

k e.b.h

N 0

N2

N b

N 1

N

M

Sünekkırılma.

1

2

b

taşıyabileceği eğilme momenti M0 ise karşılıklı etki diyagramının yatay ekseni kestiği noktadır.

Bileşik eğilmede kesite tesir eden normal kuvvetin, dengeli normal kuvvete eşit olması durumunda meydana gelen kırılma, kirişlerde, basit eğilme halinde meydana gelen dengeli kırılma durumunun aynısıdır.

İstenmeyen bu kırılma durumunun önlenmesi için basit eğilme halinde donatı oranı üzerine sınırlamalar konulmuş ve bu şekilde gevrek kırılma önlenmişti.

Bileşik eğilme halinde ise kırılmanın cinsi donatı oranından bağımsızdır. Dolayısıyla donatı oranı üzerine sınırlamalar konularak gevrek kırılma önlenemez.

Bileşik eğilmede kırılma cinsi; kesite tesir eden Normal kuvvetin büyüklüğüne bağlıdır. Düşey yük sınırlanarak gevrek kırılmanın önüne geçmek mümkündür.

Aşırı gevrek kırılmanın önlenmesi için T.S 500 de eksenel yük için bir üst sınır getirilmiştir.

Nd= 0.6*fck*Ac veya Nd = 0.9*fcd*Ac

TS 500 Nd tanımını “Tasarım Eksenel Kuvveti” olarak vermektedir. Deprem Yönetmeliği Normal bölgelerdeki tasarım eksenel yükünü “Nd; Yük katsayıları ile çarpılmış düşey yükler ve deprem yüklerinin ortak etkisi altında hesaplanan eksenel kuvvet” olarak vermektedir.

Tasarım Eksenel Yükü olarak deprem söz konusu olduğunda; Nd= 1,4G+1,6Q (Depremsiz dizayn)Nd=G+Q+E (Depremli Dizayn) değerlerinden büyük olan alınmalıdır.

Kolon yükünün yukarda verilen değerden fazla olması halinde aşırı gevrek kırılma meydana gelmektedir. T.S 500 bu şekilde yük taşınmasına izin vermez. Aşırı gevrek kırılmanın önlenmesi veya azaltılması için tavsiye edilen bir başka yol ise etriye adım mesafesini azaltarak burkulma boyunu küçültmek ve bu şekilde sünekliğin sağlanmasına yardımcı olmaktır. Ancak bu durumda dahi kolona gelen dizayn yükü hiçbir zaman 0.9*fcd*Ac değerini geçmemelidir.

2007 de yürürlüğe giren Deprem Bölgelerinde Yapılacak Binalar Hakkında Yönetmelik te Ndm 0.5*fck*Ac şartı getirilmiştir.

Benzer düşünce ile Deprem Bölgelerinde aşırı gevrek kırılmanın önlenmesi için; Ndm 0.75*fcd*Ac olmalıdır.

Deprem Yönetmeliğinde “Ndm; Düşey yükler ve deprem yüklerinin ortak etkisi altında hesaplanan eksenel basınç kuvvetlerinin en büyüğü” olarak tarif etmektedir. Tariften de görüldüğü gibi Deprem bölgelerinde Ndm içerisinde “Yük katsayıları ile çarpılmış düşey yükler” terimi bulunmamaktadır.

Düşey yükler ve deprem yüklerinin ortak etkisi dikkate alındığında; Ndm= G + Q+ EAlınması gerektiği anlaşılmaktadır.

138

Not: 1998 TDY de Ndmax = 0,5*fck*Ac verilmişti. “Ndmax; Yük katsayıları kullanılarak sadece düşey yüklere göre veya düşey yükler ve deprem yüklerine göre hesaplanan eksenel basınç kuvvetlerinin en büyüğü” olarak tarif edilmiştir. .

8.4 Betonarme Hesap

8.4.1 Bileşik Eğilme Tesirindeki Genel Donatılı Dikdörtgen Kesitlerin Hesabı

Boyutları b ve h, paspayı d! olan dikdörtgen bir kesite M eğilme momenti ile N normal kuvvetinin birlikte tesir etmesi durumunda deformasyon diyagramı iki ayrı şekilde meydana gelebilir.

Önce kesite Momentin hakim olduğu, tesir eden normal kuvvetin dengeli normal kuvvetten küçük olduğu durumu inceleyelim. Bu durumda deformasyon diyagramı ve iç kuvvetler aşağıda verildiği gibidir.

Kuvvet diyagramı üzerinde yatay denge denklemi yazılırsa;

Nr= Fc+ F!s

Fs

Ağırlık merkezine göre moment alınırsa;

Mr = Fc*z1 + Fs'*z2 + Fs*z3 z1= h / 2 - k1*x / 2 z2=z3 = d"/2

(1) ve (2) ifadeleri bulunur.

Deformasyon diyagramı üzerinde çekme bölgesinde uygunluk denklemleri yazıldığında ise;

s / (d-x ) = 0.003 / x s *Es= s s = s /Es (s/Es) / (d- x)=0.003/x

139

s = [0.003*Es*(d- x ) / x] fyd 3

Nr = 0.85*fcd*k1*x*b + As'*s'- As*s 1

Mr = 0.85*fcd*k1*x*b*(h-k1*x) / 2 + As'*s' (d"/2) + As*s *(d"/2) 2

s<

sy

M r

N r

b

d!!

h 2

h 2

h

As

Ağr.mrk.

d!

d!

A!s

F!s

Fs

Fc

z1

0,85*fcd

k1x

Şekil 8.17

c=0,003

!s

z3

x

d-x

d

z2

Bulunan s, çekme bölgesindeki donatıya ait gerilmedir. Deformasyon diyagramı üzerinde basınç bölgesinde uygunluk denklemleri yazıldığında ise

s' / (x -d') = 0.003/ x s' Es = s' s'= s' / Es (!

s /Es)/(x- d')= 0.003/x

s', basınç bölgesindeki donatının basınç gerilmesidir.

Kesit, malzeme ve donatının bilinmesi durumunda, kesite tesir eden normal kuvvet ve moment değerlerinden bir tanesinin bilinmesi halinde, diğeri yukarıda verilen 4 ifade yardımıyla bulunabilir. Yazılan bu 4 ifadede bilinmeyen olarak M ve N değerlerinden birisi ile birlikte x, s, s' olmak üzere 4 bilinmeyen vardır. Bunların bulunmasından sonra, belirli donatı oranları için, M ve N ikilisine ait noktalar bulunabilir. Bu işlem yardımıyla karşılıklı etki diyagramı elde edilebilir.

Yukarda Şekil 8.17 de verilen deformasyon diyagramı, daha önce de belirtildiği gibi N Nb olan büyük eksantrik basınç haline ait olan diyagramdır.

Kesite normal kuvvetin hakim olması durumunda (N Nb) eksantrisite büyüdükçe deformasyon diyagramı da değişecek ve aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi trapez şeklinde meydana gelecektir.(Şekil 8.18 )

Bu durumda yatay denge denklemi ve Ağırlık merkezine göre moment yazılırsa:

Nr=Fc + Fs + Fs'; Nr=0.85*fcd*k1x*b + As'*s'+ As*s

Mr=Fc*z1 + Fs*z2 –Fs*z3 Mr=0.85*fcd*k1x*b*(h-k1x) / 2+As'*s'*(d"/2)-As*s *(d"/2)

Çekme ve basınç bölgelerinde uygunluk denklemleri yazılırsa;

140

s'= [0.003*Es (x-d') / x ] fyd

4

F!s

F c

Fs

As

A!s Mr

Nr

Şekil 8.18

x

d

s'

s

x-d

s / (x-d ) = 0.003 / x , s = - 0.003*Es* ( d- x ) / x fyd

s'/ (x-d! ) = 0.003 / x , s'= + 0.003*Es* ( x- d' ) / x fyd

Gerilmeler bu şekilde bulunur. Yukarda görüldüğü gibi uygunluk denklemlerinden s için bulunan değer bir önceki işlemde bulunan değerin zıt işaretlisidir. Başka bir deyişle çekme bölgesindeki donatı da basınca çalışmaktadır.

Bir önceki çözümde denge denklemlerinden bulunan Nr ve Mr ifadelerindeki s

yerine (-s) konulduğunda küçük eksantrik basınç haline ait trapez şeklindeki deformasyon diyagramı için Mr ve Nr değerleri elde edilmiş olur.

8.4.2 Bileşik Eğilme Tesirindeki Simetrik Donatılı Dikdörtgen Kesitlerin Hesabı.

Bileşik eğilme tesirindeki yapı elemanları genellikle kolonlardır. Deprem bölgelerinde bulunan kolonlar, depremin yön değiştirme özelliğinden dolayı yön değiştiren momentin etkisi altında bulunurlar.

Deprem kuvvetinin yön değiştirmesinden dolayı kesitin çekme ve basınç bölgelerinde gereken donatıların da yer değiştirmesi gerekecektir. Bunun mümkün olmamasından dolayı donatıların kesite simetrik olarak yerleştirilmesi ile probleme çözüm getirilmiş olur.

Dengeli Donatı halinde simetrik kesitlerin hesabı:

141

As

As! M

N Şekil 8.19

As

As! M

N

Şekil 8.20

As

As

Mb

Nb

d!!

b

k1xb

F!s

Fs

Fc

0,85*fcd

z3 z1

z2

cu = 0,003

s = sy

xb

d – xb

s = sy

d

Çekme ve basınç bölgelerindeki donatıların akma durumunda olduğunu kabul ederek yatay denge denklemi yazılırsa;

Nb= Fc+Fs'-Fs As=A!s Fs'=As*fyd Fs=As*fyd Fs'=Fs

Dengeli normal kuvvet bu ifade ile bulunabilir, fakat bu anda xb dengeli haldeki tarafsız eksen mesafesi belli değildir. Kesitin ağırlık merkezine göre moment yazılırsa;

Mb = Fc*z1 + F!s*z2 + F*z3

Fs'= Fs =As*fyd ; z1 = h/2 – k1*xb/2 z2 = z3 = d"/2

Mb=0.85*fcd*k1*x*b*(h-k1*xb)/2+As*fyd*(d"/2)+As*fyd*(d"/2)

Mb=Nb (h-k1*xb)/2+2As*fyd (d"/2)

Bu şekilde dengeli kırılmayı sağlayan Eğilme momenti Mb bulunmuş olur. Bu değer de xb tarafsız eksen mesafesine bağlıdır. Çekme ve basınç donatılarının toplamı Ast olarak gösterilirse

Ast = 2As ve As = Ast / 2 olacaktır.

Deformasyon diyagramında uygunluk şartı yazılırsa;

sy /(d-xb)=(0.003 / xb)=(sy +0.003)/d sy *Es=fyd sy =fyd / Es

xb=(0.003/0.003+ sy) * d

Dengeli tarafsız eksen mesafesi olan xb değeri, kesitin (d) boyutuna ve malzemesinin cinsine bağlı olarak bulunabilir. Bulunan bu değer Nb ve Mb ifadelerine uygulanarak dengeli kırılmayı meydana getiren dengeli normal kuvvet ve dengeli moment değerleri bulunabilir.Malzemenin standart değerlere sahip olması durumunda;

S220 çeliği için xb=0,7585*d S420çeliği için ise xb=0,6218*d değerleri bulunur.

8.5. Bileşik Eğilmede Kırılma Cinsine Karar Verilmesi

142

Mb= Nb (h- k1*xb) / 2 + As*fyd*d"

xb=(0,003Es/0,003Es +fyd )*d

Nb = 0.85 * fcd * k1 * xb * b

Bileşik eğilme halinde kırılma cinsi, kesite tesir eden normal kuvvetin büyüklüğüne bağlıdır. Normal kuvvete bağlı olarak dengeli, sünek ve gevrek kırılma meydana gelmektedir. Dengeli kırılma da bir gevrek kırılmadır.

Kesit boyutları, kesite tesir eden moment ve normal kuvvet verildiğinde bileşik eğilmenin cinsine karar verebilmek için, önce dengeli kırılma durumuna ait dengeli tarafsız eksen mesafesi olan xb değeri ve sonra da bu değer yardımıyla dengeli normal kuvvet olan Nb değeri;

Nb = 0.85*fcd*k1*xb*b olarak bulunur.

Kesite tesir eden N normal kuvveti, Nb ile karşılaştırılarak kırılma cinsine şu şekilde karar verilir:

a) N < Nb olması durumunda; kesitte moment hakimdir. Çekme kırılması meydana gelir. Sünek kırılmadır. Büyük eksantrik basınç hali de denir. e > eb dir.

b) N > Nb olması halinde; kesitte normal kuvvet hakimdir. Basınç kırılması meydana gelir. Gevrek kırılmadır. Küçük eksantrik basınç hali de denir. e < eb dir.

8.6 Bileşik Eğilmede Kesit Moment Kapasitesinin Hesabı

Kesit, donatı, malzeme ve normal kuvvetin verilmesi halinde bu kesitin taşıyabileceği Momentin hesabı ve kırılma cinsinin belirlenmesi (eksantrisitenin tayini).

a) N < Nb olması durumunda kesitte sünek kırılma meydana gelecektir. Büyük eksantrik basınç halidir. Basınç donatısının akıp akmadığı araştırılmalıdır. Bunun için:

c = 0.85k1*(0.003Es*d'/d)/(0.003Es-fyd) ; ifadesi ile c bulunur.

Normal sınıf betonlarda S220 çeliği için c = 1.06 (d! / d ) Normal sınıf betonlarda S420 çeliği için c = 1.845 (d! /d ) olduğu daha önceki bölümlerde bulunmuştu.

= N / (b*h*fcd) ifadesinden bulunduktan sonra,

143

As=..

As =.. M =?

N=.. =..

b

d!! d h

Çözüm: Yukarda çıkarılan ifadeler yardımıyla, önce dengeli tarafsız eksen mesafesi, sonra da bunun yardımıyla dengeli normal kuvvet bulunur.

> c olması durumunda basınç bölgesindeki donatının aktığı kabul edildiğinden c = fyd

alınacaktır.

< c olması halinde ise çift donatılı kesitlerde olduğu gibi hesap yapılmalıdır..

Kesite tesir eden Normal kuvvetten dolayı kesitte meydana gelen tarafsız eksen mesafesi

N = 0.85*fcd*k1*x*b ifadesinden bulunabilir. x bulunduktan sonra kesitin taşıyabileceği moment ise;

M = N (h/2 – k1*x/2 ) + As*fyd*d!! ifadesinden bulunacaktır.

b) N >Nb olması durumunda kırılma üzerinde normal kuvvet hakimdir. Küçük eksantrik basınç halidir.

Basınç bölgesindeki betonun ezildiği ve donatının aktığı kabul edilmiştir.

c cu = 0.003 ; s' = sy ; s' = fyd

Çekme bölgesindeki donatı üzerinde basınç gerilmeleri hakimdir ve deformasyonu s

kısalma birim deformasyonu henüz akma durumunda değildir. Çekme bölgesindeki donatının gerilmesi s ise s < fyd dir.

Deformasyon diyagramında uygunluk denklemiyle, kuvvet diyagramı üzerinde yatay denge denklemi yazılırsa;

s = 0.003*Es*(x-d ) / x N= 0.85*fcd*k1*x*b + As'*fyd +As*s

elde edilir. Bu iki ifadeden bilinmeyen olarak x ve s değerleri bulunabilir. s Çekme bölgesindeki donatının gerilmesidir.

Bunların da yardımıyla kesitin taşıyabileceği moment ise;

M = 0.85*fcd*k1*x*b*(h/2-k1 x/2)+ As'*fyd*d"/2 – As*s * d"/2 ifadesiyle bulunur.

8.7 Bileşik Eğilmenin Abaklarla Çözümü:

144

As

As! M

N

F!s

Fs

Fc

cu = 0,003

s < sy

s' = sy

Şekil 8.21

Abaklar; çelik sınıfına, donatının kesit içindeki dağılım şekline ve paspayına göre düzenlenmiştir.

Yatay eksende m = M / (b*h²*fcd),

Düşey eksende n = N / (b*h*fcd) değerleri vardır.

m, n ifadelerindeki boyutlar cm,

Abaklardaki düşey eksendeki (n) değerleri 0–1,8 arasında değişen değerlere göre düzenlenmiştir.

T.S.500 Kolonlardaki aşırı gevrek kırılmayı önlemek için; Nd 0.60*Ac*fck şartını getirmiştir. Bu ifadede f ck= 1.5*fcd ve Ac = b*h değerleri yazılırsa

Nd = 0.9*b*h*fcd ;

olarak bulunur. Buradan n > 0.9 için kolonlarda aşırı gevrek kırılma meydana geleceğinden bu değerler kullanılmaz. Abaklarda n=0.9 değeri koyu yatay çizgi olarak belirtilmiştir.

2007 de yürürlüğe giren deprem yönetmeliğine göre aşırı gevrek kırılmanın önlenmesi için Nd 0.50*Ac*fck şartı getirildiğinden, normal bölgedeki işlem tekrar yapıldığında aşırı gevrek kırılmanın önlenmesi için

değeri bulunur. Abaklarda n=0,75 değerinin üstünde bulunan noktalarda deprem yönetmeliğinin kabul etmediği aşırı gevrek kırılma meydana gelecektir.

Ayrıca Abaklarda orijinden geçen ve e/h değerlerinin yer aldığı ışınlar mevcuttur.TS 500 ün Şubat 2000 den önceki baskılarında eksantristenin en az değeri e=0,1*h olarak verildiğinden Abaklarda bu ışınlar yer almıştır.

Eski Yönetmeliklere göre orijinden geçen ışınların sol tarafında kalan noktalar e/h= 0.1 değerinden daha küçük eksantriste meydana getireceğinden kullanılması uygun değildi.

2007 Deprem Yönetmeliği ise eksantristenin en az değerini ex = (0,03*h +1,5cm ) olarak belirlemiştir.

145

n = Nd / (b*h*fcd) = 0,9

n = Nd / (b*h*fcd) = 0,75

M N

b

d!!

h

h: Momentin tesir ettiği doğrultudaki kenar olarak alınmalıdır.

n = N / (b*h*fcd) ; m = M / (b*h²*fcd)

gerilme t/cm², normal kuvvet ton,moment ise tcm. olarak alınmalıdır.

Dolayısıyla yatay eksen olan (m) ile bu iki koyu çizginin içinde kalan noktalar kullanılacaktır.

Ayrıca T.S.500 kırılmanın da sünek olmasını istemektedir. Sünek kırılmayı meydana getiren dengeli normal kuvvetin ve tarafsız eksenin değeri:

Nb = 0.85*fcd*k1*xb*b ; xb = (0.003*Es / 0.003Es + fyd) *d olarak

BÇ I için ; xb = 6000 / (6000+ 1910 ) = 0.7585*d bulunmuştu.Normal kalitedeki betonlar için k1=0.85 ve faydalı yükseklikle (h) arasında yaklaşık olarak d 0,95*h olduğu düşünülürse;

Nb = 0.85*fcd*0.85*0.7585* 0,95*h *b ; Nb = 0.52*b*h*fcd n= Nb / (b*h*fcd) ; n = 0.52

değeri yaklaşık olarak kırılmanın sünek olması şartını vermektedir. Bu değer yaklaşık olarak sünek kırılmayı veren Normal kuvveti bulmak için kullanılabilir. Kesin karar vermek için Dengeli normal kuvvet hesabedilerek kolona tesir eden N ile karşılaştırılarak yapılmalıdır.

Abaklar (n) açısından dört kısma ayrılabilir: Şekil 8.22

146

Şekil 8.22

e / h = 0,1 n

m

1

2

3

40,90

0,75

0,52

Kullanılan Bölge (1)

Kullanılan Bölge (3)

Kullanılan Bölge (2)

Kullanılmayan Bölge

1. Bölgesi

(n < 0.52) N < Nb halidir. Sünek kırılma meydana gelir. Kırılma üzerinde Moment hakimdir.Normal Bölge ve Deprem bölgelerinde kullanılır.

2. Bölgesi(0.52 < n < 0.75) Nb<N Nd olması durumudur. Gevrek kırılma meydana gelir. Kırılma T.S.500 ün kabul ettiği sınırlar içindedir. Normal bölge ve Deprem bölgelerinde kullanılır.

3. Bölgesi0,75 < n < 0.90 Gevrek kırılma meydana gelir. Normal bölgelerde kabul edilen Deprem bölgelerinde kabul edilmeyen gevrek kırılma şeklidir.

4. Bölgesi(n > 0.9) N > Nd durumudur. T.S.500 ün ve deprem yönetmeliğinin kabul etmediği aşırı gevrek kırılma meydana gelir.

Abaklarda yatay eksen (m) değerleri için düzenlenmiştir. m değerleri 0,05 den başlayan ve 0,125 lik artımlarla devam etmektedir.

Abaklar t *mt değerlerinden oluşan eğrilerden meydana gelmiştir. Bu eğriler 0,1 den başlayarak 1,0 değerine kadar farklı değerler almaktadır.

mt = fyd / fcd olarak malzeme hesap dayanımına bağlı bir değerdir.

t ise kesitte bulunan toplam donatı oranıdır.

Toplam donatı (Ast) kesite simetrik olarak yerleştirilecektir. Momentin tesir ettiği yöne göre donatının yarısı (As1) çekme bölgesine, diğer yarısı da basınç bölgesine konulmalıdır.

Abaklar ayrıca d!!/ h oranına göre de düzenlenmiştir. d"= h–2*p.p. olarak hesaplanır. d!! Kesit dış yüzüne konulan donatılar arasındaki mesafedir.h ise momentin tesir ettiği doğrultuda kesit boyutudur.d!! / h değerleri için abaklarda 0,8 ve 0,9 gibi iki değer verilmiştir. Kolonun d!! / h oranı tablodaki değerlerden hangisine yakın ise o abak kullanılmalıdır.

147

n

m

t*mt=0,1

t*mt=1,0

ρt = Ast / (b*h) mt = fyd / fcd

Donatının kesit içindeki dağılımına göre () değerleri belirlenmiştir. kesit ortasındaki donatının kesitteki toplam donatıya oranıdır.

8.8. Kesit Tesirlerine Karar Verilmesi

İki yönde deprem hesabının yapıldığı betonarme çerçeveli yapılarda, kolonların bileşik eğilme hesabı yapılırken, kolona tesir eden Eğilme Momenti ve Normal Kuvvet değerlerinin alınmasında çok dikkatli olunmalıdır. Karakteristik düşey sabit ve hareketli yüklerden yararlanarak elde edilen karakteristik kesit tesirleri ile bu değerlerin bazı katsayılarla artırılmış değerleri olan dayanım kesit tesirleri, depremden dolayı meydana gelen kesit tesirleri ile toplanırken yönetmelik hükümlerine uyulmalıdır. Aksi halde, bulunan kesit tesirlerinin daima en büyüklerini alarak hesap yapmak, her zaman uygun olmayabilir.

Taşıma Gücü metoduna göre hesapta, kesit tesirleri alınırken Dizayn kesit tesirlerinin (Artırılmış kesit tesirleri) alınacağı bilinen bir gerçektir. Bölüm 3 de anlatıldığı gibi deprem olması halinde Dizayn kesit tesirleri olarak aşağıdaki değerlerden büyük olanı alınmalıdır.

DEPREMSİZ DİZAYN 1,4 * G + 1,6 * QDEPREMLİ DİZAYN 1,0 * G + 1,0 * Q + 1,0 * E

Burada E olarak verilen Depremden dolayı meydana gelen iç kuvvettir.Deprem Bölgelerinde Yapılacak Binalar Hakkında Yönetmelikte (2007 TDY) : “Bu

Yönetmelikte aksi belirtilmedikçe, deprem yüklerinin sadece yatay düzlemde ve birbirine dik iki eksen doğrultusunda etkidikleri varsayılacaktır.” denilmektedir.1998 TDY deki “ayrı ayrı etkidikleri varsayılacaktır” ifadesi değişmiştir.

148

As1 As1

As1 As1

As2

As1

As2

Toplam Donatı : Ast= 2*As1 + As2

= 1 / 4 As2 /Ast= 1 / 4

Toplam Donatı : Ast= 2*As1 + 2*As2 = 2 / 6 As2 /Ast= 2 / 6

Kesit

Toplam Donatı : Ast= 2*As1

= 0 As2 /Ast= 0

2007 TDY Depremden meydana gelen iç kuvvetlerin büyüklüğünü B olarak vermiştir. Aslına sadık kalmak için bu bölümde iç kuvvetler B ile gösterilmiştir.

2007 TDY Göz önüne alınan doğrultulardaki depremlerin ortak etkisinin nasıl hesaplanacağını aşağıdaki şekilde vermiştir:

Deprem doğrultuları ise bilinen x ve y doğrultularıdır. Deprem doğrultuları ile asal eksen doğrultularının çakışması halinde ve çakışmaması halinde, kolonun (a) asal ekseni doğrultusunda x ve y doğrultularındaki depremlerden oluşan iç kuvvetler aşağıdaki gibi hesaplanacaktır.

Ba= ± Bax ± 0,30*Bay Ba= ± Bay ± 0,30*Bax

B= ± Bbx ± 0,30*Bby Bb= ± Bby ± 0,30*Bbx

Ba ; Taşıyıcı sistem elemanının (a) asal ekseni doğrultusunda iç kuvveti,

Bax; Taşıyıcı sistem elemanının (a) asal ekseni doğrultusunda, (x) doğrultusundaki depremden oluşan iç kuvveti,

Bay; Taşıyıcı sistem elemanının (a) asal ekseni doğrultusunda, x e dik (y) ekseni doğrultusundaki depremden oluşan iç kuvveti göstermektedir.

Özel durum: Deprem yönleri ile kolonun asal eksenlerinin çakışması halinde kolon momenti aşağıdaki gibi hesaplanacaktır.

Mx= ± Mxx ± 0,30*Mxy Mx= ± Mxy ± 0,30*Mxx

Mx; Depremden dolayı kolonda x doğrultusunda oluşan Moment

149

aa

b

bTaşıyıcı Sistem elemanı olan Kolon ve kolonun asal eksenlerinin yanda verildiği gibi olduğunu kabul edelim.

DEPREM

x

x

y

y

Mxx

DEP

REM

xx

y

y

Mxy

Mxx; x doğrultusunda tesir eden depremden dolayı kolonda x doğrultusunda oluşan Moment Mxy; y doğrultusunda tesir eden depremden dolayı kolonda x doğrultusunda oluşan Moment

Depremden dolayı Kolonun (x) asal eksenindeki moment olarak yukarda hesaplanan iki değerden büyük olanı alınacaktır.

Bulunan bu Mx değeri kolonun x asal ekseni doğrultusunda deprem tesirinden dolayı oluşan momenttir. Aşağıdaki ifadede E ile gösterilen terimdir

DEPREMLİ DİZAYN 1,0 G + 1,0 Q + 1,0 E

Sonuç olarak Deprem olması halinde dizayn kuvveti aranırken aşağıda verilen iki değerden büyük olanın alınması gerektiği unutulmamalıdır.

DEPREMSİZ DİZAYN 1,4 G + 1,6 QDEPREMLİ DİZAYN 1,0 G + 1,0 Q ± Mxx ± 0,30*Mxy DEPREMLİ DİZAYN 1,0 G + 1,0 Q ± Mxy ± 0,30*Mxx

Dikdörtgen bir binada (x) ve (y) yönlerinde ayrı ayrı deprem hesabının yapıldığını, depremin etkimediği hale ait karakteristik ve dayanım kesit tesirlerinin bilindiğini varsayarak yapıda herhangi bir kolonun alt kesitinde betonarme hesaba esas olacak kesit tesirlerinin nasıl alınması gerektiği şu şekilde özetlenebilir.

150

Mxx , Nxx

Myx Nyx

Deprem Yönü (x)

y

x

A B C D 1

2

3Planda Bina

Mx=±Mxx ± 0,3Mxy Mx=±Mxy ± 0,3Mxx

My=±Myy ± 0,3Myx My=±Myx ± 0,3Myy

Mx ve My momentleri için yukarda verilen iki değer hesaplanıp büyük olanı alınmalıdır. Aynı işlem Normal kuvvetler için de yapılarak Nx ve Ny bulunmalıdır.

151

Deprem Yönü (y)

Mxy , Nxy

Myy Nyy