1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ----------------------------------

DƯƠNG THỊ THANH TH ỦY

CÁC NGUYÊN LÝ VÀ K Ỹ THUẬT THƯỜNG DÙNG TRONG CÁC BÀI TOÁN T Ổ HỢP

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60 46 40

Tóm tắt luận văn Thạc sĩ khoa học

Đà Nẵng – năm 2012

2

Công trình ñược hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học :

Tiến Sĩ Nguyễn Duy Thái Sơn

Phản biện 1:………………………………………

Phản biện 2:………………………………………

Luận văn sẽ ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm

Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng, ngày

01-02 tháng 12 năm 2012.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

- Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng.

3

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn ñề tài

Trong những năm qua, Tổ hợp ñã trở thành một phần căn bản trong

sách giáo khoa cho học sinh các trường phổ thông và cả trong giáo trình

dành cho sinh viên các trường ñại học. Các nguyên lý và kỹ thuật trong Tổ

hợp ngày càng có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác, ñặc biệt là

trong khoa học máy tính và lý thuyết toán tử. Các bài toán trong Tổ hợp

không chỉ thách thức các nhà nghiên cứu mà còn xuất hiện rất thường

xuyên trong các cuộc thi Toán học, nhất là trong các kỳ thi Olympic Toán

học quốc tế (IMO).

Tuy nhiên, hiện nay tài liệu tiếng Việt về Tổ hợp chưa nhiều. Sinh

viên và học sinh Việt Nam thường tỏ ra lúng túng trước các bài toán Tổ

hợp. Trong luận văn này, tôi sẽ cố gắng tìm hiểu các nguyên lý và kỹ thuật

(từ cơ bản ñến nâng cao) thường dùng trong các bài toán Tổ hợp. Bản thân

là một giáo viên phổ thông, tôi hi vọng sẽ khám phá ñược nhiều ñiều thú vị

khi rèn luyện các kỹ năng Tổ hợp. Mong rằng luận văn này - sau khi ñược

hoàn thành - sẽ cung cấp thêm một tài liệu về Tổ hợp ñáp ứng ñược phần

nào lòng yêu thích Toán học của học sinh, phục vụ cho công tác bồi dưỡng

học sinh giỏi. Đồng thời ñây cũng là một tài liệu ñể mọi người quan tâm

ñến Tổ hợp tham khảo.

Với những lý do trên, tôi chọn ñề tài “Các nguyên lý và kỹ thuật

thường dùng trong các bài toán Tổ hợp” ñể nghiên cứu.

2. Mục ñích và nhiệm vụ nghiên cứu

Tôi mong muốn tìm kiếm ñược nhiều tài liệu từ các nguồn khác

nhau, nghiên cứu kỹ càng các tài liệu ñó, cố gắng lĩnh hội ñầy ñủ các kiến

thức cũ và mới về Tổ hợp ñể có thể trình bày lại các kiến thức ñó trong

4

luận văn này theo một thể khép kín và hy vọng luận văn có thể ñược sử

dụng như một tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh và giáo viên các

trường trung học phổ thông và những người quan tâm ñến Tổ hợp.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1. Đối tượng nghiên cứu: Nguyên lý và các kỹ thuật cơ bản trong

lý thuyết Tổ hợp.

3.2. Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán Tổ hợp.

4. Phương pháp nghiên cứu

Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo và các tài

liệu trên internet có liên quan ñến ñề tài của luận văn) ñể thu thập thông tin

nhằm tìm hiểu các nguyên lý và kỹ thuật cơ bản trong Tổ hợp, nghiên cứu

cách giải và tập hợp các bài toán phục vụ cho yêu cầu của ñề tài.

5. Giả thuyết khoa học

Xây dựng một giáo trình có tính hệ thống, khép kín và có thể giảng

dạy ñược cho các học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thông.

Xây dựng ñược một hệ thống các bài toán (cũ và mới) với các mức

ñộ khó dễ khác nhau ứng dụng các nguyên lý và kỹ thuật trong Tổ hợp.

6. Cấu trúc luận văn:Ngoài phần mở ñầu và kết luận, luận văn có nội

dung chính sau

- Chương 1: Hoán vị và tổ hợp

- Chương 2: Hệ số nhị thức và hệ số ña thức

- Chương 3: Nguyên lý bù trừ.

5

Chương 1

HOÁN VỊ VÀ TỔ HỢP

1.1. Hai nguyên lý ñếm cơ bản

Trong cuộc sống hằng ngày, chúng ta thường phải liệt kê “các sự

kiện” như: Sắp xếp các ñối tượng theo một cách nào ñó, phân chia các vật

theo một ñiều kiện nhất ñịnh, phân phối sản phẩm theo một ñặc ñiểm kỹ

thuật nhất ñịnh, v.v… Chẳng hạn, ta có thể ñối mặt với các bài toán ñếm

có dạng:

“Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người nam và 3 người nữ trong một

hàng sao cho không có hai người nữ nào ñứng kề nhau?”.

“Có bao nhiêu cách chia một nhóm gồm 10 người thành 3 nhóm con

bao gồm một nhóm con 4 người, một nhóm con 3 người, một nhóm con 2

người và giữ lại 1 người.”

Đó là hai ví dụ ñơn giản của bài toán ñếm liên quan ñến cái gọi là:

“hoán vị” và “tổ hợp”. Trước khi giới thiệu trong phần tiếp theo thế nào là

hoán vị và tổ hợp, ta hãy phát biểu hai nguyên lý ñếm cơ bản:

Nguyên lý cộng (AP-Addition principle ). Giả sử có:

1n cách ñể sự kiện 1E xảy ra,

2n cách ñể sự kiện 2E xảy ra,

...

kn cách ñể sự kiện kE xảy ra,

trong ñó k > 1. Nếu các cách ñể xảy ra các sự kiện khác nhau nói trên là

từng ñôi một rời nhau thì số cách ñể ít nhất một trong các sự kiện E1 ,E2,...,

hoặc Ek xảy ra là :

1 2 1... .

k

k iin n n n

=+ + + =∑

6

Một dạng tương ñương của nguyên lý cộng, sử dụng thuật ngữ của lý

thuyết tập hợp ñược phát biểu như sau:

Cho 1 2, , ..., kA A A là k tập hợp hữu hạn, trong ñó 1k ≥ . Nếu các

tập hợp ñã cho là rời nhau từng ñôi một, nghĩa là: i jA A = ∅I khi

, 1, 2,..., ;i j k= ;i j≠ thì

1 211

... .k k

i k iii

A A A A A==

= =∑U U UU

Nguyên lý nhân (MP-Multiplication Principle). Giả sử một sự kiện

E có thể ñược phân tích thành r sự kiện, theo trình tự là 1 2, ,..., rE E E và

giả sử có:

1n cách ñể sự kiện 1E xảy ra,

2n cách ñể sự kiện 2E xảy ra,

...

rn cách ñể sự kiện rE xảy ra.

Khi ñó, số cách ñể sự kiện E xảy ra là:

1 21

...r

r ii

n n n n=

× × × = ∏ .

Một dạng tương ñương của (MP), sử dụng thuật ngữ của lý thuyết tổ hợp,

ñược phát biểu như sau:

7

Giả sử

( ){ }1 2 1 21

... , ,... | , 1, 2,...r

i r r i ii

A A A A a a a a A i r=

= × × × = ∈ =∏

biểu thị tích Đề-các của các tập hợp hữu hạn 1 2, ,..., rA A A . Khi ñó,

1 21 1

... .r r

i r ii i

A A A A A= =

= × × × =∏ ∏

Với tư cách là các mệnh ñề trong Toán học, cả nguyên lý cộng và

nguyên lý nhân ñều coa vẻ “hiển nhiên”. Đây có thể là lý do làm cho sinh

viên thường xem nhẹ hai nguyên lý này. Có thể nói nguyên lý cộng và

nguyên lý nhân thực sự là hai nguyên lý rất cơ bản trong các bài toán ñếm.

Tuy nhiên, trong suốt luận văn này, ta sẽ thấy: Một bài toán ñếm - dù phức

tạp ñến ñâu - cũng luôn ñược phân nhỏ thành các bài toán ñơn giản ñể ñộ

chỉ cần dùng nguyên lý cộng và nguyên lý nhân ñể giải.

1.2. Hoán vị

Cho { }1 2, ,..., nA a a a= là một tập hợp gồm n ñối tượng phân biệt.

Với 0 r n≤ ≤ , thì một r -hoán vị của tập A (Có nơi gọi là một chỉnh hợp

chập r của n phần tử của tập A) là một cách sắp xếp r ñối tượng bất kì của

A thành một hàng. Khi r n= , một n−hoán vị của A ñược gọi vắn tắt là

một hoán vị của A.

1.3. Hoán vị vòng quanh

Hoán vị ñược thảo luận trong tiết 1.2 ñã giải ñược những bài toán sắp

xếp các ñối tượng trong một hàng. Có những hoán vị mà yêu cầu sắp xếp

các ñối tượng trong một vòng tròn khép kín. Đó gọi là hoán vị vòng quanh.

Xét bài toán sắp xếp 3 ñối tượng phân biệt a, b, c vào 3 vị trí quanh

một vòng tròn. Giả sử 3 vị trí ñược ñánh số thứ tự (1), (2), và (3) như hình

8

1.5. Khi ñó ta có 3 cách sắp xếp của , ,a b c như ñược chỉ ra trong hình 1.5

có thể xem tương ứng là các hoán vị:

, ,abc cab bca

Hình 1.5

Trong trường hợp này, các “hoán vị vòng quanh” như vậy ñược ñồng

nhất với hoán vị thông thường, và vì vậy, không có gì ñáng bàn. Để có

ñược những kết quả ñáng quan tâm hơn, bây giờ ta ñừng ñể ý ñến việc

ñánh số thứ tự các vị trí (nghĩa là chỉ quan tâm ñến “vị trí tương ñối”).

Như ñã thấy trong hình 1.6. Mỗi cách sắp xếp trong 3 cách sắp xếp như

trên thu ñược từ 2 cách sắp xếp còn lại qua một phép quay; nghĩa là, vị trí

tương ñối của các ñối tượng là không thay ñổi qua phép quay. Trong

trường hợp như vậy, chúng ta xem 3 sắp xếp trong hình 1.6 không khác gì

nhau. Một cách tổng quát, 2 hoán vị vòng quanh của các ñối tượng giống

nhau ñược xem là trùng nhau nếu một trong số chúng thu ñược bởi một

phép quay.

Hình 1.6

c

(3)

c

(1)

b

(1)

b

(2)

X

X X

a

(1)

a

(2)

X

X X

b

(3)

c

(2)

X

X X a

(3)

c b

b

X

X X

a

c a

X

X X

b c

X

X X a

abc cab bca

9

Cho A là một tập hợp của n ñối tượng phân biệt. Cho 0 r n≤ ≤ , một

r -hoán vị vòng quanh của A là một hoán vị vòng quanh của r ñối tượng

phân biệt bất kì của A. Đặt nrQ biểu diễn số r -hoán vị vòng quanh của A.

Chúng ta sẽ suy ra một công thức cho nrQ .

1.4. Tổ hợp

Cho A là một tập gồm n ñối tượng phân biệt. Một tổ hợp của A chỉ

ñơn giản là một tập con củaA. Một cách chính xác hơn, với 0 ,r n≤ ≤ một

r -tổ hợp (còn ñược gọi là một tổ hợp chập r) của A là một tập hợp con

gồm r phần tử của A.

Đặt nrC hoặc

n

r

(ñọc là n chập r ) biểu thị số r -tổ hợp của n phần

tử tập A. Chúng ta sẽ suy ra công thức cho nrC .

Điều khác nhau giữa một hoán vị và một tổ hợp của một tập hợp các

ñối tượng là gì? Một hoán vị là một cách sắp xếp của những ñối tượng

nhất ñịnh và do ñó sự sắp thứ tự các ñối tượng là quan trọng, trong khi một

tổ hợp chỉ là một tập hợp của các ñối tượng và do ñó trật tự của các ñối

tượng là không cần thiết.

1.5. Nguyên lý ñơn ánh và song ánh

Cho ,A B là các tập hữu hạn. Một ánh xạ f : A B→ từA ñến B là

ñơn (hay 1-1) nếu ( ) ( )1 2f a f a≠ trong B mỗi khi 1 2a a≠ trong A. f là

lên nếu với mọi b B∈ , tồn tại a A∈ sao cho ( )f a b= . Mỗi ánh xạ ñơn

(tương ứng, lên) cũng ñược gọi là một ñơn ánh (tương ứng, toàn ánh). Một

ánh xạ vừa là ñơn ánh, vừa là toàn ánh sẽ ñược gọi là một song ánh.

10

Nguyên lý ñơn ánh (IP-Injection Principle). Cho A và B là hai tập

hợp hữu hạn. Nếu có một phép ñơn ánh từ A ñến B, thì A B≤ .

Nguyên lý song ánh (BP- Bijection Principle). Cho A và B là hai

tập hợp hữu hạn. Nếu có một song ánh từ A ñến B, thì |A|=|B|.

1.6. Chỉnh hợp

Trong các phần trước chúng ta ñã sắp xếp và chọn lựa các phần tử từ

một tập hợp mà trong ñó không có sự lặp lại. Trong phần này chúng ta sẽ

xét ñến sự sắp xếp và chọn lựa mà trong ñó các phần tử ñược phép lặp lại.

Tổng quát, chúng ta có :

Ta có thể phát biểu lại kết quả (I) và (II) như sau:

(I) Số hoán vị r phần tử (r-hoán vị) của một tập hợp

{ }1 2, ,..., nA a a a= ,

trong ñó *,r n N∈ , với sự lặp lại ñược phép, là rn .

(II) Xét một tập hợp gồm r ñối tượng, trong ñó 1r ñối tượng

loại 1, 2r ñối tượng loại 2, ..., và nr ñối tượng loại n , khi ñó

1 2 nr r r r+ + + =L . Số hoán vị khác nhau của tập các ñối tượng trên,

kí hiệu là 1 2( ; , ,..., )nP r r r r ñược cho là :

1 21 2

!( , , ,..., )

! !... !nn

rP r r r r

r r r= .

(I) Số r-hoán vị của ña tập

{ }1 2, ,..., na a a∞ ⋅ ∞ ⋅ ∞ ⋅

là nr

11

Chương 2

HỆ SỐ NHỊ THỨC VÀ HỆ SỐ ĐA THỨC

2.1. Định lí nhị thức

Ta bắt ñầu với hình thức ñơn giản sau ñây của ñịnh lí nhị thức ñược

tìm ra bởi Issac Newton (1646-1727) vào năm 1676.

Định lí 2.1. Cho số nguyên bất kì 0,n ≥

( ) 1 1...0 1 1

n n n n nn n n nx y x x y xy y

n n− − + = + + + + −

= 0

nn r r

r

nx y

r−

=

∑ .

2.2. Các ñồng nhất thức tổ hợp

Định lí nhị thức là một kết quả cơ bản trong toán học có nhiều ứng

dụng. Trong tiết này ta sẽ ñưa ra các ví dụ cho thấy ñịnh lí nhị thức 2.1 có

thể ñược sử dụng ñể phát hiện ra hàng loạt ñồng nhất thức hay liên quan

ñến các hệ số nhị thức :

2.3. Tam giác Pascal

Tập hợp các hệ số nhị thức n

r

có thể ñược sắp xếp trong một hình

tam giác từ ñỉnh xuống dưới và từ trái sang phải theo thứ tự tăng dần của

(II) Cho { }1 1 2 2, ,..., ,n nM r a r a r a= ⋅ ⋅ ⋅ và r = r 1 + r 2 +...+ r n.

Khi ñó số P(r; r1, r2,..., rn) hoán vị của M ñược ñưa ra là

1 21 2

!( ; , ,..., )

! !... !nn

rP r r r r

r r r= .

12

giá trị n và r, như hình 2.1. Biểu ñồ này, là một trong những biểu ñồ ñược

nhiều người biết ñến trong lịch sử toán học, ñược gọi là tam giác Pascal,

theo tên gọi của nhà Toán học nổi tiếng người Pháp Blaise Pascal (1623-

1662), người ñã khám phá và truyền bá nó vào năm 1653 và ñược nhiều

người biết ñến.

Ta thu ñược một số kết quả tham khảo từ tam giác Pascal

(1) Hệ số nhị thức n

r

, vị trí mà tính từ thứ n từ ñỉnh xuống và thứ r từ

bên trái sang, là số ñường ñi ngắn nhất từ ñỉnh ñầu biểu diễn 0

0

ñến ñỉnh

biểu diễn n

r

. Đây là ñịnh thức ta thu ñược trong ví dụ 1.5.1.

(2) Vì n n

r n r

= − , nên các vị trí của tam giác là ñối xứng với ñường

thẳng ñi qua ñỉnh 0

0

.

(3) Định thức (2.1) nói rằng tổng của hệ số nhị thức tại cấp n thì bằng 2n ,

và theo ñịnh thức (2.6) tổng các hình vuông của hệ số nhị thức tại cấp n là

bằng 2n

n

.

(4) Định thức 1 1

1

n n n

r r r

− − = + − , cho thấy ñơn giản là mỗi hệ số nhị

thức trong tam giác bằng tổng của hai nhị thức trên nó trực tiếp bên “vai”

trái và phải.

13

2.4. Đường ñi ngắn nhất trong một lưới hình chữ nhật

Một ñiểm ( ),a b trên mặt phẳng x y− ñược gọi là một ñiểm nút nếu

cả a và b là số nguyên. Hình 2.3 cho thấy một lưới hình chữ nhật trong mặt

phẳng x y− gồm ( ) ( )1 1m n+ × + ñiểm nút, và một ñường ñi ngắn nhất từ

ñiểm nút ( )0,0 ñến ñiểm nút ( ),m n , trong ñó *,m n N∈ . Theo ví dụ 1.5.1

số ñường ñi ngắn nhất từ ( )0,0 ñến ( ),m n là m n

m

+

hoặc m n

n

+

.

Trong tiết này, ta sẽ thấy kĩ thuật ñếm số ñường ñi ngắn nhất giữa hai

ñiểm nút trong lưới hình chữ nhật ñược sử dụng như một cách ñể suy ra

các ñồng nhất thức liên quan ñến hệ số nhị thức. Để bắt ñầu, ta phát biểu

hai nhận xét sau :

10 Trong hình 2.4, số ñường ñi ngắn nhất từ O(0,0) ñến A( ),x y là

x y

x

+

, và số ñường ñi ngắn nhất từ A( ),x y ñến P(m,n) là

( ) ( )m x n y

m x

− + − −

. Do ñó số ñường ñi ngắn nhất từ O(0,0) ñến P(m,n) ñi

qua A( ),x y là :( ) ( )x y m x n y

x m x

+ − + − −

14

20 Trong hình 2.4, số ñường ñi ngắn nhất từ O(0,0) ñến A( ),x y là

x y

x

+

và số ñường ñi ngắn nhất từ B( )1,x y+ ñến P( ),m n là

( ) ( )1

1

m x n y

m x

− − + − − −

. Do ñó số ñường ñi ngắn nhất từ O(0,0) ñến

( ),P m n qua ñoạn thẳng AB là

( ) ( )1

1

x y m x n y

x m x

+ − − + − − −

.

Ta thành lập một nguyên lý hữu dụng về ñường ñi ngắn nhất trong

một lưới, gọi là nguyên lý phản xạ

Cho L : ( )y x k k Z= + ∈ là một ñường dốc 1 trên mặt phẳng x-y.

Giả sử P và Q là hai ñiểm lưới ở một bên của L và P’ là phản xạ của P ñối

với L như hình 2.9. Khi ñó, ta có :

Nguyên lý phản xạ (RP-Reflection Principle). Số ñường ñi

ngắn nhất từ P ñến Q mà ñiểm tiếp xúc là ñoạn thẳng L bằng số

ñường ñi ngắn nhất từ P’ ñến Q.

15

2.5. Một số thuộc tính của các hệ số nhị thức

Trong những phần trước, ta ñã tìm hiểu một số ñồng nhất thức liên

quan ñến hệ số nhị thức và giới thiệu những kĩ thuật khác ñể thường sử

dụng ñể suy ra chúng. Trong phần này, ta sẽ phát biểu một số tính chất hữu

ích và nổi bật về hệ số nhị thức.

Đầu tiên, chúng ta có một mốt tính chất sau ñây :

10 với *n N∈ ,

0 1 12

nn n n n

nn n

< < < > > > −

L L (2.8)

Và cho n lẻ, *n N∈ ,

... ...1 10 1 1

2 2

n nn n n n

n nn n

< < = > > >− + −

(2.9)

20 Lấy 2n ≥ là một số nguyên. Mann và Shanks [7] chứng minh rằng

n là một số nguyên tố nếu và chỉ nếu |n

nr

cho r = 1, 2,..., n-1.

Gần ñây, kết quả này ñã ñược phát triển bởi Z.Hao người ñã chứng minh

rằng một số nguyên n > 2 là số nguyên tố.

6 1

nn

k

±

,

cho tất cả số k với 16

nk

≤ ≤

, khi x biểu thị số nguyên lớn nhất

không vượt quá số thực x .

16

30 Cho a, b, c Z∈ , ta viết a b≡ (ñồng dư c) nếu và chỉ nếu ( )c a b− .

Các kết quả trên là do nhà toán học người Pháp thế kỉ 19, E.Lucas (1842-

1891).

Lấy p là số nguyên tố thì

( ) *(mod ),n n

i p n Np p

≡ ∈

( ) 0 (mod ), 1 1p

ii p r pr

≡ ≤ ≤ −

( ) 10 (mod ), 2 1

piii p r p

r

+ ≡ ≤ ≤ −

,

( )1( ) 1 (mod ),0 1

rpiv p r p

r

− ≡ − ≤ ≤ −

,

( ) ( )21 ( 1) (mod ), 0 2

rpv r p r p

r

− ≡ − + ≤ ≤ −

,

( ) ( )3 21 (mod ), 0 3

2rp r

vi p r pr

− + ≡ − ≤ ≤ −

.

40 Cho một số nguyên tố p, ta có thể tìm ñược một số

{ }* 0n N N∈ = U

Sao cho n

pr

χ

cho mỗi 0,1,...,r n=

Chẳng hạn, lấy 0,1,2,..., 1n p= − (xem thuộc tính (iv)-(vi) ở trên)

Bên cạnh ñó, có số n khác, và vì thế vấn ñề là:

Cho một số nguyên tố, xác ñịnh một tập hợp

* , 0,1,...,n

A n N p r nr

χ = ∈ =

17

Theo Honsberger [6], vấn ñề này ñược ñặt ra và cũng ñược giải quyết

bởi 2 nhà toán học Ấn Độ M.R. Railkar và M.R. Modak [9] vào năm 1976.

Họ chứng minh rằng

n A∈ nếu và chỉ nếu 1mn k p= −

trong ñó m là một số nguyên không âm và 1,2,..., 1.k p= −

50 lấy *,n r N∈ và p là một số nguyên tố. Viết n và r theo p như sau:

20 1 2

20 1 2

... ,

... ,

kk

kk

n n n p n p n p

r r r p r p r p

= + + + +

= + + + +

trong khi k là một số nguyên không âm và { }, 0,1,..., 1i in r p∈ − , với mỗi

0, 1,...,i k= . Vào năm 1878, Lucas chứng minh một kết quả quan trọng:

( )0 1

0 1

... mod .k

k

n nnnp

r rrr

≡

Trong trường hợp riêng, nếu chúng ta lấy p = 2 và viết n và r trong

dãy nhị phân:

( )( )

1 1 0 2

1 1 0 2

...

...

k k

k k

n n n n n

r r r r r

−

−

=

=

trong ñó { }, 0,1 ,i in r ∈ với mỗi 0,1,...,i k= ,

thì ta có kết quả thú vị sau:

n

r

là lẻ nếu và chỉ nếu ,i in r≥ với mỗi 0, 1,...,i k= . (2.10)

60 Theo Honsberger [6], bài toán sau ñây ñã ñược giải quyết bởi

Fine [5] : *n N∈ , có bao nhiêu hệ số nhị phân lẻ n

r

có tại vị trí thứ n trên

tam giác Pascal? Chúng ta sẽ vận dụng (2.10) ñể trả lời câu hỏi này.

18

Viết ( )1,..., 1 0 2k kn n n n n−= trong dãy nhị phân và lấy

( )0

,k

iin nω

==∑ bằng số chữ số 1 trong ña tập { }0 1, ,..., kn n n . Cho ,r Z∈ sao

cho 0 ,r n≤ ≤ viết ( )1 1 0 2...k kr r r r r−= , theo kết quả (2.10) ,

n

r

là lẻ nếu và

chỉ nếu i ir n≤ . Theo thứ tự ñó i ir n≤ , ta 0ir = nếu 0in = , và { }0,1ir ∈ nếu

1.in = Do ñó, số sự lựa chọn cho r là ( )2 nω . Từ ñó, ta kết luận rằng

* ,n N∈ số hệ số nhị phân lẻ n

r

tại vị trí n là ( )2 nω . Chẳng hạn, nếu

( )211 1011n = = thì ( )11 3ω = , và trong số 12 hệ số nhị phân

11 11 11,...,

0 1 11

tại vị trí 11, theo ñó ta có 8(=23) là lẻ:

11 11 11 111, 11,

0 11 1 10

11 11 11 1155, 165.

2 9 3 8

= = = =

= = = =

Chương 3

NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ

3.1. Nguyên lý bù trừ.

Nguyên lý cộng (AP) ñã ñược trình bày ở ñầu của chương 1. Dạng

ñơn giản nhất của nó là:

Vậy ñẳng thức tương ứng nào cho |A U B| nếu A I B ≠ φ , nếu

Nếu A và B là những tập hữu hạn sao cho A I B φ= ,

thì |A U B| = |A| + |B|.

19

AIB≠ φ , thì khi ñếm A và B , các phần tử của A I B ñã ñược ñếm

ñúng 2 lần. Vì vậy chúng ta có (xem hình 3.1):

A B A B A B= + −U I . (3.1)

Hình 3.1.1

Như chúng ta ñã thấy trong các chương trước, khi giải một số bài toán ñếm

tương ñối phức tạp, các tập mà ta cần ñếm số phần tử thì thường ñược chia

thành những tập con thích hợp rời nhau ñể có thể trực tiếp áp nguyên lý

cộng. Tuy nhiên, việc chia một tập hợp thành các tập con rời nhau thích

hợp như thế không phải lúc nào cũng dễ. Công thức (3.1) cung cấp cho

chúng ta một phương pháp linh hoạt hơn:

Biểu diễn tập hợp ñã cho dưới dạng AUB, mà A và B không cần rời nhau,

và ñếm |A|, |B|, cũng như |A I B| một cách ñộc lập. Cộng |A| và |B| rồi trừ

ñi |A I B|, kết quả thu ñược sẽ là |A UB|. Giai ñoạn “cộng” (|A| và |B| với

nhau) còn ñược gọi là “bù”, vì thế công thức thu ñược có tên gọi là nguyên

lý bù trừ.

Công thức (3.1) là dạng ñơn giản nhất của nguyên lý bù trừ (PIE- the

Principle of Inclusion and Exclusion). Tiếp theo, chúng ta sẽ mở rộng

công thức (3.1) cho hai tập thành một công thức cho n tập, 2n ≥ . Các công

thức ñó còn ñược mở rộng hơn nữa trong tiết 3.2. Trong tiết 3.3. ta sẽ khảo

sát một số ứng dụng của nguyên lý bù trừ.

B A

20

Định lí 3.1. (PIE) Với mọi q tập hữu hạn 1 2, ,..., , 2,qA A A q≥ ta có:

(3.3)

3.2. Tổng quát hóa

Trong ví dụ 3.1, chúng ta ñã ñếm số số nguyên trong { }1, 2,..., 500S = chia

hết cho ít nhất một trong các số nguyên 2, 3, 5. Chúng ta có thể ñặt các câu

hỏi kiểu khác. Chẳng hạn, có bao nhiêu số nguyên trong S mà

(1) không chia hết cho bất kì số nào trong các số 2, 3, 5?

(2) chỉ chia hết cho một trong ba số 2, 3, 5?

(3) chia hết cho ñúng hai trong ba số 2, 3, 5?

(4) chia hết cho cả ba số 2, 3, 5?

Trong hình 3.2. ta biểu diễn các tập hợp thỏa mãn những yêu cầu trong các

câu hỏi trên.

Hình 3.2

Định lí 3.1. chưa ñủ ñể giải trực tiếp các câu hỏi trên. Trong phần

này chúng ta sẽ thiết lập một kết quả tổng quát, cho phép chúng ta ñưa ra

lời giải trực tiếp cho những câu hỏi loại này.

1 2

1

11 2

...

... ( 1) ... .

q

q

i i j i j ki i j i j

qq

A A A

A A A A A A

A A A

= < <

+

= − +

− + −

∑ ∑ ∑

U U U

I I I

I I I

21

Ta sắp thiết lập dưới ñây ñược gọi là nguyên lý bù trừ tổng quát (GPIE-

the Generalized Principle of Inclusion and Exclusion).

Định lí 3.2. (GPIE) Cho S là tập gồm n phần tử và giả sử { }1 2, ,..., qP P P là

tập gồm q tính chất của các phần tử của S. Khi ñó, với mỗi m = 0 ,1, 2,...,

q, ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 21 2

... 1

1 .

q m

k mq

k m

m mE m m m m

m m

qq

m

kk

m

ω ω ω

ω

ω

−

−

=

+ + = − + + +

− + −

= −

∑

Hệ quả 1.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 2 ... 1q

E qω ω ω ω= − + − + −

= ( ) ( )0

1 .q

k

k

kω=

−∑

Hệ quả 2. Cho 1 2, ,..., qA A A là một số q tập con hữu hạn của tập S. Khi ñó:

( )

1 2

1 21

...

... 1 ... ,

q

qq

i i j i j k qi i j i j k

A A A

S A A A A A A A A A= < < <

= − + − + + −∑ ∑ ∑

I I

I I I I I

trong ñó, 1A biểu thị phần bù của iA trong S (nghĩa là, iA =S\ iA ).

Khi giải các bài toán ñếm phức tạp (liên quan ñến một số rằng “tính

chất P”), học sinh có thể thắc mắc lỗi “ñếm thiếu” hoặc “ñếm thừa”. Sự

ñặc sắc của (PIE) hoặc (GPIE) là ở chổ: Chúng ta chia một bài toán ra

thành một số bài toán nhỏ hơn và (PIE), (GPIE) sẽ tự ñộng giúp ta tránh

22

việc ñếm thiếu, ñếm thừa này. Điều này sẽ ñược minh họa trong các ví dụ

ở phần còn lại của chương.

3.3. Phương trình nghiệm nguyên và ñường ñi ngắn nhất

Trong phần này, chúng ta ñưa ra hai ví dụ, trong ñó một ví dụ liên

quan ñến phương trình nghiệm nguyên, và ví dụ còn lại về ñường ñi ngắn

nhất trong các lưới hình chữ nhật, ñể minh họa cách dùng (PIE).

3.4. Toàn ánh và số Stirling loại hai

Số toàn ánh từ *nN vào *

mN (với *,n m N∈ ) ñược cho bởi m! S(n,m);

trong ñó S(n,m) là số Stirling loại 2, ñược ñịnh nghĩa là số cách phân phối

n vật phân biệt vào m cái hộp giống nhau ñể không có hộp nào rỗng. Trong

phần trước, chúng ta ñã tìm giá trị của S(n,m) trong một vài trường hợp

ñặc biệt. Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng hệ quả 1 của Định lí 3.2 ñể tìm ra

một công thức tổng quát cho số toàn ánh từ *nN vào *

mN mà từ ñó ta ñi ñến

công thức tổng quát cho S(n,m).

Định lí 3.3. Giả sử F(n,m), với *,n m N∈ là số toàn ánh từ *nN ñến *

mN .

Khi ñó

( ) ( ) ( )0

, 1m

k n

k

mF n m m k

k=

= − −

∑ (3.5)

Ghi chú: F(n, m) cũng ñược xem như là số cách phân phối n vật phân biệt

vào trong m cái hộp giống nhau ñể không có hộp nào rỗng.

Hệ quả 1. Với *,n m N∈ , ta có

( ) ( ) ( )0

1, 1 .

!

kmn

k

mS n m m k

km =

= − −

∑ �

Một số kết quả về số Stiring loại 2: Với *,n m N∈ , ta có:

(1) ( ), 0S n m = nếu n m< ;

23

(2) ( ), 1;S n n =

(3) ( ), 12

nS n n

− =

;

(4) ( ), 2 3 .3 4

n nS n n

− = +

Kết hợp các kết quả này với hệ quả 3.3, chúng ta thu ñược một số

ñồng nhất thức không tầm thường liên quan ñến các tổng ñan dấu.

Hệ quả 2. Với *,n m N∈ , ta có:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

0

1

0

2

0

1 1 0 khi ;

2 1 !;

13 1 1 1 ! ;

2

24 1 2 2 ! 3 .

3 4

km n

k

n k n

k

kn n

k

kn n

k

mm k n m

k

nn k n

k

n nn k n

k

n n nn k n

k

=

=

−

=

−

=

− − = <

− − =

− − − − = −

− − − − = − +

∑

∑

∑

∑

24

KẾT LUẬN

Trên ñây là luận văn. Tôi ñã cố gắng nghiên cứu thực hiện, bước ñầu

luận văn ñã hoàn thành ñược những mục ñích và nhiệm vụ cụ thể ñã ñề ra

như sau:

- Tổng hợp ñược một số nguyên lý cơ bản trong tổ hợp

- Cung cấp một hệ thống các kĩ thuật thường dùng trong các bài toán

tổ hợp cơ bản và trong các ñề thi chọn học sinh giỏi Toán quốc gia và quốc

tế

- Luận văn là một tài liệu tham khảo hữu ích cho những bạn ñọc yêu

thích tổ hợp.

- Xây dựng ñược một giáo trình, có tính hệ thống, khép kín có thể

dùng làm tài liệu tham khảo giảng dạy cho học sinh chuyên Toán bậc trung

học phổ thông.

Đà Nẵng, ngày 01 tháng 11 năm 2012

Người thực hiện

DƯƠNG THỊ THANH TH ỦY

25

TÀI LI ỆU THAM KH ẢO

Tiếng Anh

[1] I.Anderson (1974), A First Course in Combinatorial Mathematics,

Oxford University Press.

[2] R.A. Brualdi (1977), Introductory Combinatorics, North Holland.

[3] Chen Chuan-Chong and Koh Khee-Meng (1999), Principles and

Techniques in Combinatorics, World Scientific.

[4] D.I.A. Cohen (1978), Basic Techniques of Combinatorial Theory,

John Wiley & Sons.

[5] N.J. Fine (1947), Binomial coefficients modulo a prime, Amer Math.

Monthly.

[6] R.Honsberger (1976), Mathematical Gems II, The Mathematical

Association of America.

[7] H.B. Mann và Shanks (1972), Anecessary and suficient condition for

primality and its source.

[8] J. Riordan (1958), An Introduction to Combinatorial Analysis, Wiley.

[9] T. Takács (1967), On the method of inclusion and exclusion, J. Amer.

Statist. Ass, vol. 62, 102 – 113.