bloque temÁtico i: probabilidad y estadÍsticamatemáticas apl. cc. sociales ii: probabilidad y...

BLOQUE TEMÁTICO I:

PROBABILIDAD

Y

ESTADÍSTICA

Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Probabilidad y Estadística 1

1.- PROBABILIDAD

0.- Introducción

Muchos aspectos de nuestra vida están influidos por el azar. Nuestra constitución

física, por ejemplo, viene determinada por un agrupamiento impredecible de genes. De igual

forma, en el mundo que nos rodea pueden verse manifestaciones asociadas al azar: el tiempo

que hará en los días próximos, los resultados de determinados juegos y deportes, etc.

Desde tiempo inmemorial, tratamos de evaluar la posibilidad de que ocurra un suceso

particular cada vez que estudiamos un suceso asociado a un fenómeno o experimento que

todavía no se ha realizado y, por ello, hacemos un cálculo de su posibilidad.

Desde el siglo XVII, el cálculo de la probabilidad de un suceso ha sido una

preocupación seria de los matemáticos. De sus investigaciones, ininterrumpidas hasta hoy,

han surgido las diferentes formas de calcular las posibilidades de los sucesos particulares y de

las combinaciones de sucesos.

1.- Experimentos aleatorios. Espacio muestral

Consideremos los siguientes experimentos:

Lanzar un objeto al vacío y medir su aceleración en la caída.

Someter a un cubito de hielo de un centímetro cúbico a una temperatura de 80 oC

durante varios minutos y, a continuación, comprobar su estado.

Lanzar un dado y anotar el resultado que se ha obtenido.

Extraer una carta de una baraja y comprobar la carta elegida.

Entre estos experimentos hay algunos en los que el resultado obtenido se puede

predecir antes de ser realizado, y otros en los que no es así.

Un experimento determinista es aquel en el que puede predecirse el resultado antes de

ser efectuado.

En los dos primeros experimentos anteriores se puede asegurar de antemano el

resultado. En el primero sabemos que el objeto caerá con una aceleración de 9,8 m/s2. En el

segundo, el cubito se derretirá llegando al estado líquido.

Los experimentos deterministas se caracterizan porque siempre que se repiten en las

mismas condiciones se obtendrá el mismo resultado.


Un experimento aleatorio es aquel en el que no puede predecirse el resultado antes de

ser efectuado.

En los experimentos de lanzar un dado y extraer una carta de la baraja no podemos

predecir los resultados que se lograrán.

En el primero de ellos se conseguirá un número comprendido entre 1 y 6, pero no

sabemos cuál de ellos. En el segundo puede salir cualquiera de las cartas que componen la

baraja.

Los experimentos aleatorios se caracterizan porque, aunque se repitan en las mismas

condiciones, los resultados obtenidos pueden ser diferentes.

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible

resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos

resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas

definiciones.

Llamaremos espacio muestral al conjunto formado por todos los resultados posibles

de un experimento aleatorio. Lo representaremos con la letra E.

A cada uno de los resultados obtenidos al realizar un experimento aleatorio se le

denomina elemento muestral.

Ejemplo

1.- Calcular el espacio muestral asociado a los siguientes experimentos:

a) Lanzar una moneda.

b) Tirar un dado.

c) Extraer una bola de una bolsa en la que hay 3 rojas (R), 2 blancas (B), y

4 verdes (V).

d) Contar el número de piezas defectuosas de una caja con 50.

Llamamos experimento compuesto, a aquel que está formado por varios experimentos

simples. Una técnica muy utilizada para calcular el espacio muestral de un experimento

compuesto es hacer un diagrama de árbol.

Ejemplo

2.- Calcular el espacio muestral asociado a los siguientes experimentos:

a) Lanzar tres monedas.

b) Lanzar dos dados y restar los números que se obtienen.

c) Un tirador dispara a cuatro blancos distintos y anotamos si hace blanco

o no.


2.- Sucesos

Se llama suceso de un experimento aleatorio a cada uno de los subconjuntos del

espacio muestral. Dicho de forma simple, un suceso es cualquier cosa que se nos ocurra

afirmar sobre dicho experimento.

Así, si tiramos una moneda dos veces, serían sucesos todos los siguientes:

1. Sale al menos una cara.

2. Salen más caras que cruces.

3. La moneda cae de canto.

4. No sale ninguna cruz.

Para designarlos utilizaremos letras mayúsculas, A, B, C…

Ejemplo

3.- Del experimento consistente en lanzar un dado, considerar los siguientes

sucesos: “salir par”, “salir impar”, “salir múltiplo de 3”.

Ejercicio

4.- En el experimento consistente en lanzar dos monedas, considerar los

siguientes sucesos: “salir al menos una cara”, “salir igual resultado en las dos

monedas”.

Si consideramos un experimento aleatorio y su correspondiente espacio muestral,

llamamos espacio de sucesos de este experimento, al conjunto de todos los sucesos que

ocurren en el experimento. Se designa por S.

Si el espacio muestral E, asociado a un experimento aleatorio, tiene n elementos, el

espacio de sucesos S tiene 2n elementos. Siempre que contamos el número de sucesos hay

que incluir el suceso imposible (Ø) y el suceso seguro (E).

Ejemplo

5.- En el experimento aleatorio de lanzar un dado especial para rellenar

quinielas de fútbol y anotar el resultado, calcular el espacio muestral y el

espacio de sucesos.


a) Tipos de sucesos

Los tipos más frecuentes de sucesos son:

Sucesos elementales son los que están formados por un solo resultado del

experimento.

Ejemplo

6.- En el experimento consistente en lanzar un dado, considerar el suceso:

”salir un dos al lanzar un dado”.

Sucesos compuestos son los que están formados por dos o más resultados del

experimento; es decir, por dos o más sucesos elementales.

Ejemplo


“salir un número par al lanzar un dado”.

Suceso seguro es el que se verifica siempre. Está formado por todos los

resultados posibles del experimento, por tanto, coincide con el espacio muestral, E.

Ejemplo


“salir un número menor que 7 al lanzar un dado”.

Suceso imposible es el que nunca se verifica. Se representa por Ø .

Ejemplo


“salir un 7 al lanzar un dado”.

Suceso contrario (complementario) de un suceso A es el suceso que se verifica

cuando no se verifica A, y recíprocamente. Tiene como elementos muestrales

aquellos que no están en A. Se representa por A C .

Ejemplo

10.- En el experimento consistente en lanzar un dado, consideramos el suceso A =

“salir par” , calcular el suceso contrario.


11.- Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar 3 veces una moneda y

observar el resultado.

a) Escribe el espacio muestral asociado.

b) Describe los sucesos: A = “obtener al menos una cara” B = “obtener cara en solo uno de los tres lanzamientos”

Ejercicios

12.- Una experiencia aleatoria consiste en preguntar a tres personas distintas, elegidas

al azar, si son partidarias o no de consumir un determinado producto.

a) Escribe el espacio muestral asociado a dicho experimento utilizando la

letra “s” para las respuestas afirmativas y la “n” para las negativas.

b) ¿Qué elementos del espacio muestral anterior constituyen el suceso “al

menos dos de las personas son partidarias de consumir el producto”.

c) Describe el suceso contrario de “más de una persona es partidaria de

consumir el producto”. Sol.: construir un diagrama de árbol

13.- Dado el suceso: “sacar al menos una cruz al tirar dos monedas”, calcular el

suceso contrario.

14.- Dado el suceso: “sacar oros al extraer una carta de una baraja” , calcular el

suceso contrario.

3.- Operaciones con sucesos

a) Unión de sucesos

Dados dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso

unión de A y B al suceso que consiste en que se cumpla al menos uno de los dos. Se

representa por A B . Está formado por los elementos de uno y de otro suceso.

Representado en un diagrama de Venn:

Se cumplen las siguientes propiedades de la unión:

CA E E A A A A E

Ejemplos

15.- Del experimento consistente en lanzar un dado, considerar los sucesos: A =

{2, 3, 4} y B = {4, 5, 6}, y calcular A B .


“salir número par” y B = “salir múltiplo de tres”, y calcular A B .


b) Intersección de sucesos


intersección de A y B al suceso consistente en que se cumplan simultáneamente A y B. Se

representa por A B . Está formado por los elementos comunes de ambos. Representado en

un diagrama de Venn:

Se cumplen las siguientes propiedades de la intersección:

CA E A A A A

Cuando A B , decimos que los sucesos A y B son incompatibles, es decir, no

tienen ningún elemento común. Cuando no sucede esto decimos que A y B son compatibles.

Es decir, dos o más sucesos son compatibles si pueden verificarse simultáneamente. En caso

contrario, son incompatibles.

Ejemplos


{2, 3, 4} y B = {4, 5, 6}, y calcular A B .

18.- En la experiencia de tirar tres monedas, sea A = “sacar más caras que cruces” y

B = “sacar una o dos cruces”, calcular el suceso A B .

19.- Lanzamos un dado y una moneda.

a) Describe el espacio muestral.

Sean los sucesos A = “sacar uno o dos en el dado”; B = “sacar X en la

moneda”; D = {(1C), (2X), (3C), (3X), (6X)}

b) Describe los sucesos A y B mediante todos los elementos.

c) Halla: ,A B A B y CA D .

Ejercicio

20.- Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el

experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y

devolverla a la urna. Consideramos los siguientes sucesos: A = “salir un

número primo” y B = “salir un número cuadrado”. Responde a las cuestiones

siguientes:

a) Calcula los sucesos A B y A B .

b) Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles?

c) Encuentra los sucesos contrarios de A y de B.


c) Diferencia de sucesos


diferencia de A y B al suceso consistente en que se cumpla A pero no B. Se representa por

A B . Está formado por todos los elementos de A que no son de B. Representado en

diagramas de Venn:

Se cumplen las siguientes propiedades de la diferencia:

( ) ( ) ( ) CA B A B B A A B A B A B

Ejemplo

21.- Si C representa el suceso “ser copas” de una baraja de 40 cartas y F el

suceso “ser figura” (sota, caballo, rey), calcula C F .

d) Propiedades de las operaciones con sucesos

Al espacio de sucesos S con las operaciones unión, intersección y complementación se

le llama álgebra de Boole de los sucesos aleatorios y verifican las siguientes propiedades:

Unión Intersección

Conmutativa A B B A A B B A

Asociativa ( ) ( ) A B C A B C ( ) ( ) A B C A B C

Distributiva ( ) ( ) ( ) A B C A B A C ( ) ( ) ( ) A B C A B A C

Elemento neutro A A A E A

Además de estas sencillas propiedades, las operaciones con sucesos tienen otras dos

propiedades muy importantes, conocidas como leyes de De Morgan:

1. El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus sucesos

contrarios:

( )C C CA B A B

2. El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus sucesos

contrarios:

( )C C CA B A B


4.- Sistema completo de sucesos

Decimos que los sucesos A1, A2, …, An de un espacio muestral E, constituyen un

sistema completo de sucesos, si se verifica:

1. Son incompatibles dos a dos, 1 2 1 3( , , ) . i jA A A A A A

2. La unión de todos ellos es el suceso seguro, 1 2 nA A A E

Ejemplo


{1, 2, 6}, B = {3, 4} y C = {5}. Comprobar si constituyen un sistema completo

de sucesos.


5.- Probabilidad

a) Definición clásica. Regla de Laplace

La probabilidad es la medida de la incertidumbre de un suceso aleatorio. La

probabilidad es un número que indica las posibilidades que tiene de verificarse ese suceso

al realizar el experimento aleatorio.

Hay muchas maneras de asignar probabilidades. La más sencilla e intuitiva la dio el

matemático francés Pierre Simon Laplace (1749-1827), conocida como regla de Laplace, que

asigna la probabilidad a cualquier suceso A, de acuerdo con el siguiente criterio:

( ) número de casos favorables al suceso A

P Anúmero de casos posibles

Esta ley sólo es aplicable cuando los sucesos elementales son equiprobables, es decir,

tienen la misma probabilidad.

Los casos favorables son los elementos que componen el suceso A. Los casos posibles

son todos los resultados del experimento, es decir, todos los elementos del espacio muestral.

Según esto, la probabilidad de un suceso será siempre un valor comprendido entre 0 y

1: 0 ( ) 1 P A . Nunca podrá haber más casos favorables que posibles. Y nunca podrá salir

un valor negativo ya que estamos contabilizando casos favorables y casos posibles (en el peor

de los casos tendremos cero casos favorables).

Ejemplos

23.- Se considera el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado. Se

pide la probabilidad de obtener:

a) Número impar.

b) Múltiplo de 3.

24.- Consideremos el experimento que consiste en lanzar dos dados y anotar la

suma de los puntos de las caras superiores. Hallar la probabilidad de los

siguientes sucesos:

a) Obtener suma igual a 8.

b) Obtener suma menor o igual a 4.


b) Definición axiomática

El inconveniente que plantea la definición de Laplace es que necesariamente los

sucesos elementales tienen que tener la misma probabilidad de ocurrir.

Ejercicio resuelto

25.- De una urna que contiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes se extrae una

bola al azar. Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea:

a) roja; b) verde; c) amarilla

El espacio muestral en este caso sería: E = {R, V, A}, que consta sólo de tres elementos, pero

sería un poco ingenuo asignar las probabilidades mediante la regla de Laplace,

P (R) = 1/3, P (V) = 1/3, P (A) = 1/3

porque ya intuitivamente se ve que hay más posibilidades, por ejemplo, de que salga una bola

roja que de que salga una bola amarilla, de modo que ¿cómo asignar probabilidades?

Fue el matemático ruso Kolmogorov (1903-1987) quién precisó este término y definió

la probabilidad basándose en unos principios tan claros y evidentes que son admitidos por

todos sin necesidad de demostración, son los axiomas de probabilidad.

Sea E el espacio muestral de un experimento aleatorio. Llamamos probabilidad a una

función, P, que asigna a cada suceso A un número real P(A), que cumple los siguientes

axiomas:

Axioma 1 Para cualquier suceso A, P(A) está comprendido entre 0 y 1:

0 ( ) 1 P A

Axioma 2 La probabilidad del suceso seguro E es la unidad:

( ) 1P E

Axioma 3 Si A y B son dos sucesos incompatibles, A ∩ B = Ø:

( ) ( ) ( ) P A B P A P B

En esencia estos tres axiomas, indican que disponemos de una cantidad total de

probabilidad igual a 1 que hemos de repartir aditivamente entre los distintos sucesos.

Por tanto, a partir de ahora utilizaremos la siguiente definición de probabilidad:

( ) número de elementos del conjunto A

P Anúmero total de elementos


Ejercicio resuelto

26.- En el ejemplo de las urnas anterior, lo lógico es definir la probabilidad así:

como en total hay 20 bolas y 8 son rojas, 7 verdes y 5 amarillas: P (R) =

8/20, P (V) = 7/20, P (A) = 5/20

Se puede comprobar que así definida P es una probabilidad.

Sin embargo, comprobar las propiedades de la definición de Kolmogorov es una

labor larga y engorrosa, puesto que hay que verificar que se cumple para todos aquellos

sucesos del espacio de sucesos S, que es ciertamente amplio en muchas ocasiones. El

siguiente resultado simplifica la tarea de decidir cuándo una función P sobre el espacio de

sucesos es una probabilidad, basándose sólo en los sucesos elementales, es decir, aquellos

que forman parte del espacio muestral:

Dados los n sucesos elementales, w1, w2, …, wn , de un experimento aleatorio

cualquiera, diremos que la función P es una probabilidad si se cumplen las siguientes

propiedades:

1. 0 ( ) 1 1,2, , iP w i n

2. 1 2( ) ( ) ( ) 1 nP w P w P w

Ejercicio resuelto

27.- Comprobar si las siguientes funciones definidas para los sucesos

elementales son probabilidad, siendo E = {a, b, c, d} el espacio muestral del

experimento aleatorio:

a) P (a) = 1/2, P (b) = 1/3, P (c) = 1/4, P (d) = 1/5

Es obvio que la primera propiedad se cumple, puesto que las 4 probabilidades son

números positivos menores que 1.

Para ver si se cumple la segunda, basta realizar la suma:

1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 = 77/60

que, evidentemente no es 1, luego P no es probabilidad.

b) P (a) = 1/4, P (b) = 1/2, P (c) = 0, P (d) = 1/4

Es obvio que la primera propiedad se cumple, puesto que las 4 probabilidades son

números positivos menores que 1 o cero.

Para ver si se cumple la segunda, basta realizar la suma:

1/4 + 1/2 + 1/4 = 1

luego P si es probabilidad.


Ejemplos

28.- ¿Cuál de estas funciones definen una probabilidad en E = {A, B, C}?

Justifica la respuesta.

a) P (A) = 1/4, P (B) = 1/3, P (C) = 1/2 c) P (A) = 1/6, P (B) = 1/3, P (C) = 1/2

b) P (A) = 2/3, P (B) = - 1/3, P (C) = 2/3 d) P (A) = 0, P (B) = 1/3, P (C) = 2/3

29.- Sea P una probabilidad definida en E = {A, B, C}. Encuentra P (A) en los

casos:

a) P (B) = 1/3 y P (C) = 1/4 c) P (C) = 2·P (B) y P (B) = 3·P (A)

b) P (A) = 2P (B) y P (C) = 1/4

De la definición axiomática se deducen las siguientes consecuencias:

1. La probabilidad del suceso contrario, AC, puede hallarse sabiendo que

CA A E y teniendo en cuenta los axiomas 2 y 3, entonces:

( ) ( ) 1CP A P A ( ) 1 ( )CP A P A

2. La probabilidad del suceso imposible, Ø, es cero. Puesto que los sucesos seguro e

imposible son contrarios, Ø = E C, según la propiedad anterior:

( ) ( ) 1 ( ) 1 1 0CP P E P E ( ) 0 P

3. La probabilidad de la unión de dos sucesos compatibles A y B, A ∩ B ≠ Ø, es:

( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P A B

4. La probabilidad de la unión de tres sucesos compatibles A, B y C, es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C

5. La probabilidad de un suceso A contenido en otro suceso B, es:

A B ( ) ( )P A P B

Ejemplos

30.- Determina si son compatibles o incompatibles los sucesos A y B en los

siguientes casos:

a) ( ) 1 4P A , ( ) 1 2P B y ( ) 2 3P A B

b) ( ) 0P A y ( ) 1 2P B

31.- Por una encuesta realizada entre los estudiantes de Bachillerato de un

instituto, se sabe que el 40% lee el periódico y el 30% lee alguna revista de

información general.

Además, el 20% lee periódicos y revistas. Con estos datos, ¿cuál es la

probabilidad de que un estudiante, elegido al azar, lea el periódico o

revistas?


Ejercicios

32.- Una bolsa contiene bolas numeradas del 1 al 8. Se realiza un experimento

que consiste en extraer una bola y anotar su número. Consideremos los

siguientes sucesos: A = “salir par”; B = “salir impar”; C = “salir múltiplo de

4”. Calcular las probabilidades de A B , A C y B C .

33.- Una urna contiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes. Se extrae una al

azar. Determina la probabilidad de que:

a) Sea roja. d) Sea negra.

b) Sea amarilla. e) Sea roja o verde.

c) Sea verde. f) Que no sea roja.

Para el cálculo de probabilidades, tendremos en cuenta también las leyes de De

Morgan:

( ) ( ) 1 ( )C C CP A B P A B P A B

( ) ( ) 1 ( )C C CP A B P A B P A B

Usaremos, de igual modo, una regla más, referente a la intersección de dos sucesos, en

los que uno de ellos se verifica y del otro se verifica su contrario

( ) ( ) ( )CP A B P A P A B

Ejemplos

34.- Sean A y B dos sucesos tales que: ( ) 3 4P A B , ( ) 2 3CP B y

( ) 1 4P A B . Calcular:

a) ( )P B

b) ( )P A

c) ( ) CP B A

35.- A un congreso asisten 100 personas. De ellas 80 saben hablar francés, 40

saben hablar inglés. Hay 20 asistentes que saben hablar los dos idiomas. Se

elige una persona al azar. Calcula la probabilidad de los siguientes casos:

a) Que hable algún idioma.

b) Que no hable ni francés ni inglés.

c) Que sólo hable francés.

d) Que sólo hable inglés.


Ejercicios

36.- En el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado equilibrado con

las caras numeradas del 1 al 6 y observar el resultado se consideran los

siguientes sucesos:

A: “obtener un número mayor que 4”, B: “obtener un número par”.

a) Escribe los elementos de cada uno de los siguientes sucesos:

A ; B ; CA B ; CA B ; ( ) CA B

b) Calcula las probabilidades ( )C CP A B y ( )C CP A B .

37.- En una comarca hay dos periódicos: El Progresista y El Liberal. Se sabe que el

55% de las personas de esa comarca lee El Progresista (P), el 40% lee El

Liberal (L) y el 25% no lee ninguno de ellos. Calcula la probabilidad de que

elegida una persona al azar:

a) Lea algún periódico.

b) Lea los dos periódicos.

c) Lea sólo El progresista.

d) Lea sólo El Liberal.

e) Lea sólo un periódico.

6.- Probabilidad condicionada

En el cálculo de las probabilidades de algunos sucesos, el valor de dicha probabilidad

varía en función del conocimiento de determinadas informaciones relativas a estos sucesos.

El incremento de información se traduce en una disminución de los casos posibles,

aumentando, por tanto, la probabilidad de dichos sucesos.

Ejercicio resuelto

38.- Supongamos que estamos realizando el experimento aleatorio de lanzar un

dado y obtener el número que sale. Consideramos el suceso A = “sale un 4”.

Evidentemente, P(A) = 1/6

Ahora bien, ¿variaría esta probabilidad si al lanzar el dado alguien pasa por

allí y nos dice que ha salido un número par?

Disponemos entonces de una información adicional, B = {2, 4, 6}

Hemos reducido nuestro espacio muestral, que ahora sólo consta de 3 elementos y tenemos

que cambiar las probabilidades asignadas.

Ahora el suceso A no tiene una posibilidad entre 6 de ocurrir, sino una entre tres, es decir,

P(A) = 1/3

Esta es la idea de la probabilidad condicionada: la información obtenida, B, modifica la

probabilidad de A. Lo expresamos así: P(A/B) = 1/3


Llamamos probabilidad condicionada de un suceso A por otro B (suceso que

sabemos que se ha realizado) y lo denotamos por ( / )P A B al cociente:

( )( / )

( )

P A BP A B

P B

, siendo P(B) ≠ 0

En la práctica, resulta útil calcular la probabilidad de la forma:

º( / )

º

n de sucesos elementales de A BP A B

n de sucesos elementales de B

Ejercicio resuelto

39.- Para el caso anterior, A = {4}, B = {2, 4, 6}, A ∩ B = {4}

P(B) = 3/6 = 1/2; P(A ∩ B) = 1/6

Luego: ( ) 1 6 2 1

( / )( ) 1 2 6 3

P A BP A B

P B

, es lo mismo que obteníamos antes

directamente.

Si despejamos ( )P A B , obtenemos:

( ) ( ) ( / )P A B P B P A B

, expresión que recibe el nombre de probabilidad compuesta o del producto.

Ejemplo

40.- Sean A y B dos sucesos tales que: ( ) 0,4P A , ( ) 0,3P B y ( ) 0,1P A B .

Calcular: ( )P A B , ( )C CP A B , ( / )P A B y ( )C CP A B

Ejercicio

41.- Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que

( ) 0,5P A , que ( ) 0,4P B y que ( ) 0,8P A B , determina ( / )P A B .

En algunos casos, es posible que el suceso que sepamos que se ha verificado, es el

contrario de uno dado:

( ) ( ) ( )( / )

( ) 1 ( )

CC

C

P A B P A P A BP A B

P B P B

O incluso, nos pueden pedir que calculemos la probabilidad del contrario de un suceso

A, sabiendo que se ha verificado el contrario de otro suceso B:


( ) 1 ( )( / )

( ) 1 ( )

C CC C

C

P A B P A BP A B

P B P B

En otros ejemplos, veremos que el suceso conocido es a su vez, la unión o la

intersección de otros dos sucesos:

( ( ))( / )

( )

P A A BP A A B

P A B

en este caso, el enunciado del problema nos dirá que sabemos que se ha verificado uno de los

dos sucesos dados (por eso ponemos la unión de A y B como suceso conocido).

Ejemplos

42.- Sean A y B dos sucesos del mismo espacio muestral tales que P(A) = 0,7,

P(B) = 0,6 y P(A U B) = 0,9. Calcula P(A/B C), P(B/A C) y P(B C/A).

43.- En un experimento aleatorio se sabe que ( ) 0,6P A , ( ) 0,3P B y

( ) 0,7P A B . Calcula ( / )P A B y (( ) / )P A B A .

44.- En un curso, el porcentaje de aprobados en Lengua es del 65% y en Filosofía

del 50%. Se sabe que la probabilidad ( / ) 0,7P F L , siendo F y L los

sucesos “aprobar Filosofía” y “aprobar Lengua”, respectivamente.

a) Calcula ( / )P L F .

b) Halla la probabilidad de no aprobar ninguna de las dos asignaturas.

Ejercicios

45.- En un experimento aleatorio se sabe que ( ) 0,5P A , ( ) 0,7P B y

( ) 0,85P A B . Calcula:

a) ( )P A B

b) ( / )P B A

c) ( )CP A B

d) ( /( ))P A A B

46.- En un espacio muestral se consideran dos sucesos A y B tales que

( ) 1P A B , 1

( )6

P A B y 1

( / )3

P A B . Halla la probabilidad del suceso

A y la del suceso B.


7.- Probabilidad en tablas de contingencia y

diagramas de árbol

En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada

resulta interesante y práctico organizar la información mediante el empleo de tablas de doble

entrada, denominadas tablas de contingencia o mediante diagramas de árbol.

Las tablas de contingencia están formadas por celdas en las que pueden figurar

frecuencias absolutas, frecuencias relativas, porcentajes y probabilidades.

No es preciso que nos den todos los datos de la tabla, pues es posible construirlas

completando unas celdas a partir de otras.

En general, una tabla de contingencia de 2 2, con probabilidades, es de la forma:

A A C TOTAL B P(A ∩ B) P(A C ∩ B) P(B)

B C P(A ∩ B C) P(A C ∩ B C) P(B C) TOTAL P(A) P(A C) 1

Para componer el diagrama de árbol y obtener la probabilidad deseada a partir de

él, hemos de tener en cuenta las normas siguientes:

En la formación del árbol se abrirán tantas ramas como resultados posibles tenga

el experimento, aunque en la práctica se puedan obviar algunas de dichas ramas,

que corresponden a resultados que no intervienen en el suceso cuya probabilidad

se busca.

En cada una de las ramas se indicará la probabilidad del suceso correspondiente.

Una vez formado el árbol, para calcular la probabilidad del suceso que representa

una de sus ramas se multiplican las probabilidades que aparecen a lo largo de

dicha rama.

Si un suceso comprende varias ramas, su probabilidad se obtiene sumando las

probabilidades de todas ellas, que se calculan según se indica en el punto

anterior.

La suma de las probabilidades asociadas a todas las ramas que parten de un suceso es

igual a 1.

Las tablas de contingencia y los diagramas de árbol están íntimamente relacionados,

dado uno de ellos podemos construir el otro.


a) Conversión de una tabla en diagrama de árbol

A A C TOTAL B P(A ∩ B) P(A C ∩ B) P(B)

B C P(A ∩ B C) P(A C ∩ B C) P(B C) TOTAL P(A) P(A C) 1

La tabla anterior adopta la forma del diagrama

de árbol del dibujo. En éste, a cada uno de los sucesos

A y A C ( ) A se les ha asociado los sucesos B y B C

( ) B .

Sobre las ramas del diagrama de árbol se han

anotado las probabilidades condicionadas correspondientes, deducidas de las relaciones

análogas a:

( )( / )

( )

P A BP B A

P A

Debe tenerse en cuenta que para calcular la probabilidad de los sucesos que se

obtienen como resultado de recorrer las ramas del diagrama de árbol: A y B, A y B C, A C

y B

o A C y B C

, hay que multiplicar las probabilidades que se indican de las ramas recorridas.

b) Conversión de un diagrama en tabla de contingencia

De manera recíproca, dado el diagrama de árbol podemos construir la tabla de

contingencia equivalente sin más que utilizar la expresión:

( ) ( ) ( / )P A B P A P B A

para calcular las probabilidades de las intersecciones de sucesos que forman la tabla.

Ejemplos

47.- Una encuesta revela que el 35% de los habitantes de La Laguna, oyen la

cadena Ser, el 28% la Cope y el 10% ambas emisoras. Calcula la probabilidad

de que elegida una persona al azar:

a) Escuche alguna emisora.

b) No escuche ninguna.

c) Escuche sólo la Ser.

d) Escuche sólo la Cope.

e) Escuche sólo una emisora.

48.- Se extraen, sucesivamente, dos cartas de una baraja española. ¿Cuál es la

probabilidad de que la primera sea un rey y la segunda un as? ¿Y de obtener

dos reyes?


49.- En una urna tenemos bolas rojas y bolas blancas. Unas son de madera y

otras son de cristal. La distribución de bolas es la siguiente:

R B

M 7 25

C 32 36

Se extrae una bola. Sabemos que es roja. ¿Cuál es la probabilidad de que

sea de cristal?

Ejercicios

50.- En una universidad hay tres facultades A, B y C. En total hay matriculados

1000 alumnos de los que 400 son chicos. En la facultad A hay un 20% del

total de alumnos y de ellos 50 son chicos. En la facultad B hay 300 chicas y

200 chicos matriculados.

a) ¿Qué % de los alumnos de esta universidad estudia en la facultad C?

b) ¿Qué tanto por ciento de los alumnos estudian en la facultad A y son

chicas?

51.- Para tratar de curar una enfermedad se ha aplicado un nuevo tratamiento a

una serie de individuos, obteniéndose los resultados reflejados en la tabla

Curados No curados Totales Tratamiento nuevo 60 21 81

Tratamiento antiguo 43 36 79 103 57 160

Elegido un individuo al azar, hallar las siguientes probabilidades:

a) Que se haya curado.

b) Que no se haya curado.

c) Que se haya curado con el nuevo tratamiento.

d) Que no se haya curado con el nuevo tratamiento.

e) Que se haya curado con el tratamiento antiguo.


8.- Sucesos independientes

Se ha visto que la finalidad de la probabilidad condicionada es recoger la influencia

que puede ejercer un suceso sobre otro. Pero hay sucesos en los que, conociendo lo que ha

ocurrido, no se modifica la probabilidad del otro, decimos que son sucesos

independientes. En consecuencia, se dice que dos sucesos A y B son independiente si:

( / ) ( )P A B P A y ( / ) ( )P B A P B

es decir, la presencia de B no influye en la probabilidad de que A ocurra o no, y viceversa.

Si A y B son dos sucesos independientes, también los son A y B C, A C

y B o A C y B C

.

Ejercicio resuelto

52.- En el experimento de lanzar un dado, consideramos los sucesos: A = {sacar

un número par} y B = {sacar un número menor o igual que 2}, es decir, A =

{2, 4, 6}, B = {1, 2}. Calculemos la probabilidad de A conociendo que se ha

realizado el suceso B, es decir, P(A/B).

( ) 1 6 3 1( / ) 0,5

( ) 1 3 6 2

P A BP A B

P B

, puesto que P(A ∩ B) = P(sacar par y menor

o igual que 2) = 1/6 y P(B) = 1/3.

Pero, si no conociésemos la información B, ¿cuál sería la probabilidad de A?

P(A) = P(sacar par) = 3/6 = 0,5, es decir que P(A/B) = P(A), y por tanto el conocer la

información B no modifica la probabilidad de A, diremos que los sucesos A y B son

independientes.

De acuerdo con la definición de probabilidad condicionada, la igualdad anterior se

puede escribir:

( )( / ) ( )

( )

P A BP A B P A

P B

, de donde obtenemos que:

( ) ( ) ( )P A B P A P B si A y B son independientes

Nota: no se deben confundir los conceptos de sucesos incompatibles y sucesos

independientes. Uno se refiere a conjuntos y el otro a probabilidades.

Ejemplos

53.- Dos sucesos A y B son tales que ( ) 0,3P A ; ( / ) 0,1P B A y

( ) 0,63CP A B :

a) Deduce si A y B son independientes.

b) Calcula ( )C CP A B y ( / )CP B A .


54.- De dos sucesos A y B conocemos que ( ) 2 / 3P A B y ( ) 1/ 5P A , calcula

( )P A B y ( )P B para que A y B sean independientes.

55.- Sean A y B dos sucesos tales que ( ) 0,3P A ; ( ) 0,4P B ; ( ) 0,65P A B .

Contesta razonadamente las siguientes preguntas:

a) ¿Son incompatibles A y B ?

b) ¿Son independientes A y B ?

c) Calcula ( / )CP A B .

Ejercicios

56.- Sean A y B dos sucesos aleatorios independientes. Se sabe que ( ) 0,3P A ,

( ) 0,4P B . Calcula las siguientes probabilidades:

a) ( )P A B .

b) ( / )CP A B .

57.- Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que:

( ) 0,2CP A , ( ) 0,25P B y ( ) 0,85P A B

a) ¿Son los sucesos A y B independientes?

b) Calcula ( / )C CP A B .


9.- Teorema de la probabilidad total

Con frecuencia, cuando se contempla la ocurrencia de un suceso se han de analizar

diversos escenarios en los que haya podido ocurrir, no siendo uno solo el responsable de su

acaecimiento. Por ejemplo, un accidente de automóvil puede ocurrir como consecuencia de

conducir ebrio, de que ha llovido, de que hay niebla, etc; y también no ocurrir, aun dándose

algunas de esas circunstancias.

Sea A1, A2, …, An un sistema completo de sucesos (Ai ∩

Aj = Ø; A1 U …U An = E) tales que la probabilidad de cada uno

de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera del

mismo espacio muestral, del que se conocen las probabilidades

condicionales P(B/Ai), entonces la probabilidad total del

suceso B viene dada por la expresión:

1 2( ) ( ) ( ) ( )nP B P B A P B A P B A

1 1 2 2( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )n nP B P A P B A P A P B A P A P B A

Se aplica esta expresión cuando se pregunta por la probabilidad total de un suceso,

B, de la última experiencia y se conocen las probabilidades condicionadas de este suceso a

los sucesos de la primera experiencia. Es decir, se debe calcular la probabilidad de un

suceso al que se puede llegar por varios caminos del árbol.

Ejemplos

58.- Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una

ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la

primera línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la

tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús

se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina

la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.

59.- Tenemos dos urnas. La urna A, contiene 3 bolas verdes, 2 rojas y 1 negra; la

urna B, contiene 1 bola verde, 1 roja y 2 negras. La experiencia consiste en

extraer una bola de la urna A, introducirla en B, remover y extraer,

finalmente, una bola de la urna B. Calcula la probabilidad de que la segunda

bola extraída sea:

a) Roja

b) Verde

c) Negra


Ejercicios

60.- Un ratón huye de un gato. Puede entrar por cada uno de los callejones, A, B

o C. En cada uno de ellos el gato puede alcanzarlo (+) o no. Se dan las

siguientes probabilidades: P (entre por A) = P (A) = 0,3; P (lo cace habiendo

entrado en A) = P (+/A) = 0,4; P (B) = 0,5; P (+/B) = 0,6; P (C) = 0,2; P (+/C) =

0,1. Calcular la probabilidad de que el gato cace al ratón.

61.- En cierta población, un 20% de los trabajadores lo hace en la agricultura

(A), un 25% en la industria (I) y el resto en el sector servicios (S). Un 63%

de los que trabajan en el campo son mayores de 45 años, siendo ese

porcentaje del 38% y 44% en los otros dos sectores. Seleccionado un

trabajador al azar, ¿qué probabilidad hay de que tenga menos de 45 años?

62.- Tenemos un dado y dos urnas. La urna I, contiene 6 bolas verdes, 3 rojas y 1

negra; la urna II, contiene 2 bolas verdes, 6 rojas y 2 negras. Si sale 1 o 2

extraemos una bola de la urna I, si sale 3, 4, 5 o 6 extraemos una bola de la

urna II. Hallar: P(R), P(V) y P(N).


10.- Probabilidades “a posteriori”. Teorema de

Bayes

Como consecuencia del teorema de la probabilidad total y de las propiedades de la

probabilidad condicionada, resulta este importante teorema que permite calcular

probabilidades condicionadas. Lo aplicaremos, por tanto, cuando queramos calcular, bajo las

mismas condiciones anteriores, la probabilidad de un suceso, sabiendo que se ha verificado

otro.

Sean A1, A2, …, An , n sucesos incompatibles dos a dos (Ai ∩ Aj = Ø), cuya unión es

el espacio muestral E (A1 U …U An = E) tales que la probabilidad de cada uno de ellos es

distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera del mismo espacio muestral, del que se conocen

las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces, según el teorema de Bayes, las

probabilidades P(Ai/B) viene dada por la expresión:

1 1 2 2

( ) ( / ) ( )( / )

( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( )i i i

i

n n

P A P B A P A BP A B

P A P B A P A P B A P A P B A P B

En el numerador aplicaremos la probabilidad del producto y en el denominador

aplicaremos el teorema de probabilidad total.

Las probabilidades P(Ai) reciben el nombre de probabilidades a priori, por formularse

antes de la presencia del suceso B, y las probabilidades P(Ai/B) se denominan probabilidades

a posteriori, pues su cálculo se realiza después de contar con una información adicional

suministrada por aquel suceso.

Ejemplos

63.- En el ejemplo del ratón y el gato, observamos cómo un gato persigue a un

ratón. Al poco rato llega con él en la boca. ¿En cuál de los tres caminos lo

habrá cazado?

64.- En el ejemplo 59:

a) Sabiendo que la segunda bola ha sido negra, ¿cuál es la probabilidad de que

la primera también lo fuera?

b) Sabiendo que la segunda bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de la

primera haya sido negra?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera fuera verde, siendo verde la

segunda?


Ejercicios

65.- Se tienen dos urnas U y U´ con las siguientes composiciones:

U = 10 bolas blancas, 7 negras y 5 rojas;

U´ = 24 bolas blancas, 4 negras y 9 rojas.

Se saca una bola al azar de la urna U y se introduce sin mirarla en la urna

U´, y a continuación se extrae una bola de U´ que resultó ser negra. Se

desea saber cuál es la probabilidad de que la bola pasada de U a U´ haya

sido blanca.

66.- Una emisora de televisión emite dos series: A y B. La serie A la ve el 20%

de la población, mientras que la serie B sólo la ve el 15%. Sin embargo,

mientras que el 70% de los que empiezan a ver la serie A la sigue hasta el

final, el 80% de los que empiezan a ver la serie B la acaban. Si elegimos a

una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que vea hasta el final la

serie? Si sabemos que una persona ha terminado de ver la serie, ¿cuál es la

probabilidad de que viera la serie A?


Ejercicios finales

Sucesos. Operaciones

67.- Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado de

quinielas. Hallar el espacio muestral y el espacio de sucesos.

68.- Juan tiene 2 corbatas, una azul y otra roja, y 3 camisas de colores azul,

rosa y blanco, respectivamente. Si escoge al azar una corbata y una camisa,

¿cuál será el espacio muestral?

69.- Consideremos el experimento que consiste en la extracción de tres tornillos

de una caja que contiene tornillos buenos y defectuosos. Se pide:

a) Espacio muestral y número de elementos de que consta.

b) Formar el suceso: A = “El último tornillo extraído es defectuoso”.

c) Formar el suceso: B = “Sólo hay un tornillo defectuoso”.

d) Formar el suceso: C = “Extraer al menos un tornillo defectuoso”.

70.- Supongamos que entre los habitantes andaluces, G designe “ser hincha del

Granada”, y M “ser mujer”, entonces que indica G M .

71.- Sea el experimento que consiste en la extracción de una carta de una baraja

española. Consideremos los siguientes sucesos; A = {salir oros}, B = {salir as}

y C = {salir rey de copas o as de espadas}. Interpretar los siguientes sucesos:

A B , A C , B C , A B , A C , B C

72.- Supongamos que entre los habitantes andaluces, G designe “ser hincha del

Granada”, y M “ser mujer”, entonces que indica G M .

73.- En familias de tres hijos, se estudia la distribución de sus sexos. Por

ejemplo, (V,M,M) significa que el mayor es varón y los otros dos mujeres.

¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral E? Describe los siguientes

sucesos: A = “La menor es mujer”, B = “El mayor es varón”. ¿En qué

consiste A B ?

74.- Si H es el suceso “ser hombre” y C “estar casado o casada”, entonces

interpreta los siguientes sucesos: ( ) CH C y ( ) CH C .


Probabilidad

75.- Se realiza un experimento aleatorio que consiste en la extracción de una

carta de una baraja española. Se pide hallar las siguientes probabilidades:

a) Obtener un oro.

b) Obtener un as.

76.- Supongamos que a tres personas se le pregunta si consumen o no un

determinado producto. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos

personas nos respondan que sí?

77.- Se ha encargado la impresión de una encuesta a un impresor que informa que

de cada millar de folios la máquina estropea 12. Hallar la probabilidad de que,

elegido un folio de la encuesta al azar:

a) Esté mal impreso.

b) Esté correctamente impreso.

78.- Hallar la probabilidad de que al lanzar tres monedas se obtenga al menos una

cara.

79.- En una baraja hemos suprimido varias cartas. Entre las que quedan, se dan

las siguientes probabilidades de ser extraídas: P(REY) = 0,15; P(BASTOS)

= 0,3; P(carta que no sea REY ni BASTOS) = 0,6.

a) ¿Está entre ellas el REY de BASTOS? En caso afirmativo, da su

probabilidad.

b) ¿Cuántas cartas hay?

80.- Sean A y B dos sucesos tales que ( ) 2 5P A , ( ) 1 3P B y

( ) 1 3C CP A B . Hallar:

a) ( )P A B

b) ( )P A B

Probabilidad condicionada

81.- Un 20% de los alumnos de un centro practican fútbol, un 15% baloncesto y

un 10% ambos deportes. Se elige un alumno al azar. Calcula la probabilidad

de que:

a) Practique baloncesto, sabiendo que practica fútbol.

b) Practique fútbol, sabiendo que no practica baloncesto.

82.- Sean A y B dos sucesos con ( ) 0,5P A , ( ) 0,3P B y ( ) 0,1P A B .

Calcula las siguientes probabilidades:

a) ( )P A B c) ( /( ))P A A B

b) ( / )P A B d) ( /( ))P A A B


83.- Calcula la probabilidad ( )P A B y ( )P A B , sabiendo que

( ) ( ) 0,4P A B P A B , que ( ) 0,6P A y que ( ) 0,8P B .

84.- De dos sucesos aleatorios A y B del mismo espacio de sucesos se sabe que

2( )

3P A ,

3( )

4P B y

5( )

8P A B . Calcula:

a) La probabilidad de que se verifique alguno de los dos sucesos.

b) La probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos.

c) La probabilidad de que ocurra A si se ha verificado B.

Probabilidad en tablas de contingencia y diagramas de árbol

85.- Se estima que sólo un 20% de los que compran acciones en bolsa tienen

conocimientos bursátiles. De ellos el 80% obtienen beneficios. De los que

compran acciones sin conocimientos bursátiles, solo un 10% obtiene

beneficios. Halla:

a) El % de los que compran acciones en Bolsa que obtienen beneficios.

b) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una persona al azar que no tenga

conocimientos bursátiles y no obtenga beneficios?

86.- A un congreso médico asisten oculistas y pediatras. En total hay 240

andaluces, 135 navarros y 225 canarios. Sabemos también que hay 315

pediatras. De los andaluces, 96 son oculistas y, de los navarros, son

oculistas 75.

a) Escogemos un asistente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un

pediatra navarro?

b) Elegimos un médico canario, ¿cuál es la probabilidad de que sea oculista?

87.- Un 35 % de los alumnos de un centro son seguidores del grupo A, un 30% de

otro grupo B y un 15% sigue los dos grupos. Se elige un alumno al azar.

Calcula la probabilidad de que:

a) Sea seguidor de B, sabiendo que sigue a A.

b) Sea seguidor de A, sabiendo que no sigue a B.

88.- De una urna que contiene nueve bolas rojas y cinco negras se extraen

sucesivamente dos bolas. Hallar la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) Que la primera sea roja y la segunda negra.

b) Que una sea roja y la otra negra.

89.- Se lanzan dos dados:

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7?

b) Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que en alguno

de los dados haya salido un tres?


Sucesos independientes

90.- Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar 3 veces una moneda y

observar el resultado.

a) Escribe el espacio muestral asociado y las probabilidades de los sucesos

elementales.

b) Sean los sucesos A: “obtener al menos una cara”, B: “obtener cara en

solo uno de los tres lanzamientos”. Calcula ( )P A y ( )P B . ¿Son

independientes A y B ?

91.- De dos sucesos A y B, asociados a un mismo experimento aleatorio, se

conocen las probabilidades ( ) 0,7P B ; ( / ) 0,8P A B y ( ) 0,24CP A B .

a) Calcula ( )P A B

b) Halla ( )P A

c) Determina si A y B son independientes.

92.- En un espacio muestral se sabe que para dos sucesos A y B se verifica

( ) 0,1P A B ; ( ) 0,6C CP A B ; ( / ) 0,5P A B .

a) Calcula ( )P B .

b) Calcula ( )P A B .

c) ¿Son A y B independientes?

93.- Sean C y D dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que

( ) 0,3P C , que ( ) 0,8P D y que C y D son independientes, determina

( )P C D . ¿Son C C y D C

independientes?

94.- A y B son dos sucesos independientes de un mismo experimento aleatorio,

tales que ( ) 0,4P A ; ( ) 0,6P B .

a) Calcula ( )P A B y ( )P A B .

b) Calcula ( / )P A B y ( / )CP B A .

95.- Se consideran dos sucesos A y B, asociados a un espacio muestral, tales que

( ) 1P A B ; ( ) 0,3P A B ; ( / ) 0,6P A B .

a) Halla las probabilidades de los sucesos A y B.

b) Determina si el suceso B es independiente del suceso A.

96.- Sean A y B dos sucesos independientes tales que: P(B) = 0,05, P(A/B) =

0,35.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que suceda al menos uno de ellos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A pero no ocurra B?

97.- Hallar la probabilidad de obtener cuatro caras en cuatro lanzamientos de

una moneda


98.- En un examen de sociología, un alumno solo ha estudiado 15 temas de los 25

que contiene el cuestionario. El examen consiste en contestar a dos temas

extraídos al azar del total de temas del cuestionario. Hallar la probabilidad

de que los dos temas sean de los que el alumno estudió.

99.- Se tiene una bolsa con 10 bolas rojas y 6 negras, de las que se extraen 2

bolas. Hallar la probabilidad de que ambas sean negras.

a) Con devolución a la bolsa de la primera bola extraída.

b) Sin devolución.

Teorema de la probabilidad total.

Probabilidades “a posteriori”. Teorema de Bayes

100.- Una caja contiene tres monedas P, S, T, la primera normal, la segunda

tiene cara por los dos lados y la tercera está trucada de forma que la

probabilidad de salir cara es 1/3. Se elige una moneda al azar y se tira;

hallar la probabilidad de que se obtenga cara.

101.- Extraemos una carta de una baraja de 40 cartas. Si sale rey, nos dirigimos

a la urna A y si no sale rey nos dirigimos a la urna B. Extraemos una bola de

la urna a la que nos hayamos dirigido, teniendo en cuenta que en la urna A

hay 7 bolas blancas y 5 negras, y en la urna B hay 6 bolas blancas y 4

negras. Calcula la probabilidad de que la bola sea blanca.

102.- Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro

factorías: F1, F2, F3 y F4. El porcentaje de producción total que se fabrica

en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y además

el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y

4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de

que se encuentre defectuosamente envasado?

103.- Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda al aire. Si sale cara, se

introduce en la urna una bola blanca y, si sale cruz, se introduce una bola

negra. El experimento se repite tres veces y, a continuación, se introduce la

mano en la urna, retirando una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que en la

urna queden una bola blanca y otra negra?

104.- En un grupo hay 30 hombres y 70 mujeres. De los hombres fuman el 40 %

y sabemos que la probabilidad de que una persona del grupo fume es de

0,54. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer elegida al azar, fume?


105.- Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras, se extrae una bola de

una urna I, que contiene 2 bolas blancas y 3 negras. Si sale cara y cruz, se

extrae una bola de una urna II, que contiene 4 bolas blancas y 1 negra. Si

salen dos cruces, se extrae una bola de una urna III, que contiene 3 bolas

blancas y 2 negras. ¿Cuál es la probabilidad de extraer bola blanca después

de lanzar las monedas y sacar la bola?

106.- Tres máquinas, M1, M2 y M3, producen el 45%, 30% y 25%,

respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los

porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y

5%.

a) Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea

defectuosa.

b) Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la

probabilidad de haber sido producida por la máquina M2.

c) ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada

pieza defectuosa?

107.- Tenemos tres urnas: U1 con 3 bolas rojas y 5 negras, U2 con 2 bolas rojas

y 1 negra y U3 con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y

extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de

haber sido extraída de la urna U1?

108.- En una casa hay tres llaveros: A, B y C. El primero con 5 llaves, el segundo

con 7 y el tercero con 8, de las que solo una de cada llavero abre la puerta

del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él, una llave para intentar

abrir el trastero.

a) ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?

b) ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido el C y la llave no

abra?

c) Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál es la probabilidad de que

pertenezca al llavero A?

109.- Se dispone de tres urnas: la A que contiene 2 bolas blancas y 4 rojas, la B

con 3 blancas y 3 rojas y la C con 1 blanca y 5 rojas.

a) Se elige una urna al azar y se extrae una bola de ella. ¿Cuál es la

probabilidad de que esta bola sea blanca?

b) Si la bola extraída resulta ser blanca, ¿cuál es la probabilidad de que

proceda de la urna B?

110.- Una caja A contiene 2 bolas blancas y dos rojas, y otra B contiene 3

blancas y dos rojas. Se pasa una bola de A a B y después se extrae una bola

de B, que resulta ser blanca. Determina la probabilidad de que la bola

trasladada haya sido blanca.


111.- En un centro escolar hay tres grupos de Bachillerato. El primero está

compuesto por 10 alumnos de los que 7 prefieren la música moderna, 2

prefieren la clásica y 1 que no le gusta la música. En el segundo, compuesto

por 12 alumnos, la distribución de preferencias es 5, 7, 0, respectivamente,

y, en el tercero, formado por 14 alumnos, la distribución de preferencias es

6, 6, 2, respectivamente. Se elige un grupo al azar y se regalan 2 entradas

para un concierto de música clásica a dos alumnos seleccionados al azar.

a) Halla la probabilidad de que los dos alumnos elegidos sean aficionados a

la música clásica.

b) Si los dos alumnos agraciados son, efectivamente, aficionados a la

música clásica, ¿cuál es la probabilidad de que sean del primer grupo?

112.- En cierto país donde la enfermedad X es endémica, se sabe que un 12% de

la población padece dicha enfermedad. Se dispone de una prueba para

verificar y detectar la enfermedad, pero no es totalmente fiable, ya que da

positiva en el 90% de los casos de personas realmente enfermas y también

da positiva en el 5% de personas sanas. ¿Cuál es la probabilidad de que esté

sana una persona a la que la prueba le ha dado positiva?

113.- En tres máquinas A, B y C, se fabrican piezas de la misma naturaleza. El

porcentaje de piezas que resultan defectuosas en cada máquina es,

respectivamente 1%, 2% y 3%. Se mezclan 300 piezas, 100 de cada máquina,

y se elige una pieza al azar, que resulta ser defectuosa. ¿Cuál es la

probabilidad de que haya sido fabricada en la máquina A?

114.- Una urna A contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Otra urna B, 6 blancas y 4

negras. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas, que resultan ser

negras. Halla la probabilidad de que la urna elegida haya sido la B.

115.- Sean A y B dos montones de cartas. En A hay 8 oros y 5 espadas, y en B, 4

oros y 7 espadas. Sacamos dos cartas del mismo montón y resulta que

ambas son espadas. Halla la probabilidad de que las hayamos sacado del

montón B.

116.- Una urna A contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Otra urna B tiene 5 bolas

blancas y 9 negras. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas, que

resultan ser blancas. Halla la probabilidad de que la urna elegida haya sido la

A.


117.- Una urna contiene 25 bolas blancas sin marcar, 75 bolas blancas marcadas,

125 bolas negras sin marcar y 175 bolas negras marcadas:

a) Se extrae una bola. Calcula la probabilidad de que sea blanca.

b) Se extrae una bola y está marcada. ¿Cuál es la probabilidad de que sea

blanca?

c) Se extrae una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que sea negra y esté

marcada?

d) ¿Son independientes los sucesos “sacar bola marcada” y “sacar bola

blanca”?

118.- Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio ¿Es posible que P sea

una probabilidad si: ( ) 2 5P A , ( ) 1 5P B y ( ) 3 10C CP A B ?

119.- Si A y B son dos sucesos de un experimento aleatorio y ( ) 0P A :

a) ¿Qué podemos decir de ( )P A B ?

b) ¿Y de ( )P A B ?

c) Responde a las mismas preguntas si ( ) 1P A ?

120.- Un examen consiste en elegir al azar dos temas de entre los diez del

programa y desarrollar uno de ellos.

a) Un alumno sabe 6 temas. ¿Qué probabilidad tiene de aprobar el examen?

b) ¿Qué probabilidad tiene el mismo alumno de saberse uno de los temas

elegidos y el otro no?

121.- Un estudiante hace dos pruebas en un mismo día. La probabilidad de que

pase la primera prueba, es 0,6. La probabilidad de que pase la segunda es

0,8 y la de que pase ambas es 0,5. Se pide:

a) Probabilidad de que pase al menos una prueba.

b) Probabilidad de que no pase ninguna prueba.

c) ¿Son las dos pruebas sucesos independientes?

d) Probabilidad de que pase la segunda prueba en caso de no haber

superado la primera.

122.- Elegido un individuo al azar y observado por rayos X, se diagnosticó que

estaba tuberculoso. La probabilidad de que en la población de la que se eligió

el individuo uno de ellos sea tuberculoso es de 0,01. La probabilidad de que

un aparato de rayos X detecte que un individuo es tuberculoso siéndolo es

0,97 y no siéndolo es de 0,001. ¿Qué podemos decir acerca del diagnóstico?

(¿Qué probabilidad tiene de ser tuberculoso habiendo sido detectado?)


11.- Resumen

Probabilidad de la unión de

sucesos incompatibles ( ) ( ) ( ) P A B P A P B

Probabilidad de la unión de

sucesos compatibles ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P A B

Leyes de De Morgan ( ) ( ) 1 ( ) C C CP A B P A B P A B

( ) ( ) 1 ( ) C C CP A B P A B P A B

Ocurrencia de un suceso y el contrario de otro

( ) ( ) ( ) CP A B P A P A B

Probabilidad condicionada ( )

( / )( )

P A B

P A BP B

Probabilidad condicionada, cumpliéndose el contrario de un suceso

( ) ( ) ( )( / )

( ) 1 ( )

( ) 1 ( )( / )

( ) 1 ( )

CC

C

C CC C

C

P A B P A P A BP A B

P B P B

P A B P A BP A B

P B P B

Probabilidad condicionada, cumpliéndose la unión de dos sucesos

( ( ))( / )

( )

P A A BP A A B

P A B

Probabilidad compuesta o del producto

( ) ( ) ( / ) P A B P B P A B

Probabilidad de sucesos independientes

( / ) ( )

( ) ( ) ( )

P A B P A

P A B P A P B

Teorema de probabilidad total 1 1 2 2( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) n nP B P A P B A P A P B A P A P B A

Teorema de Bayes 1 1 2 2

( ) ( / )( / )

( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )

i i

i

n n

P A P B AP A B

P A P B A P A P B A P A P B A


2.- VARIABLES ALEATORIAS.

DISTRIBUCIONES DE

PROBABILIDAD

0.- Introducción

Inferir: sacar una consecuencia de una cosa. Sacar consecuencia o deducir una cosa de

otra.

Puede decirse que la Estadística es la ciencia que trata de la recogida de datos, su

organización y análisis, así como de las predicciones que, a partir de estos datos, pueden

hacerse. Los aspectos anteriores hacen que pueda hablarse de dos tipos de estadística:

Descriptiva e Inferencial.

La Estadística Descriptiva se ocupa de tomar los datos de un conjunto dado,

organizarlos en tablas o representaciones gráficas y del cálculo de unos números que nos

informen de manera global del conjunto estudiado. Es aquí donde tiene sentido calcular la

media, mediana, moda, desviación típica, etc.

La Estadística Inferencial trata sobre la elaboración de conclusiones para una

población, partiendo de los resultados de una muestra (es decir, una parte) de dicha población

y del grado de fiabilidad de las conclusiones.

Esta se aplica en muy diversos campos: en Medicina para investigar sobre los

resultados de un tratamiento; en Sociología para conocer la opinión de los ciudadanos sobre

un determinado tema.


1.- Estadística Descriptiva. Nociones generales

Antes de seguir adelante vamos a concretar el significado de algunos términos básicos

que vamos a usar a partir de este momento:

Población o universo es el conjunto de elementos sobre los que se hace un

determinado estudio.

Individuo es cada elemento de la población.

Aunque se utilicen las palabras población e individuo, no se refiere

exclusivamente a personas; por ejemplo, la población puede estar formada por

todos los árboles de un bosque.

Tamaño de la población es el número de individuos que la componen.

Muestra es la parte de la población que tomamos para hacer el estudio.

Tamaño de la muestra es el número de individuos que la componen.

Caracteres y variables estadísticas. Caracteres son los aspectos que deseamos

estudiar en los individuos de una población. Cada carácter puede tomar distintos

valores o modalidades. Una variable estadística recorre todos los valores de un

cierto carácter. Las variables estadísticas las podemos clasificar en:

Cualitativas. No toman valores numéricos y se describen con palabras

Cuantitativas. Son aquellas que se expresan con números.

Cuantitativas discretas. Toman valores numéricos tales que entre cada

dos de ellos no hay ninguno intermedio. P.e., el número de hijos...

Cuantitativas continuas. Pueden tomar todos los valores de un intervalo.

P.e., la estatura, el peso…

Ejemplos resueltos

1.- Los 13840 estudiantes de una universidad forman una población. Cada uno

de ellos es un individuo.

Se pueden analizar múltiples caracteres: sexo, nº de años que ha estado matriculado, edad, estatura, …

Las variables correspondientes son, respectivamente, cualitativa, cuantitativa discreta y cuantitativas continuas las dos últimas.

2.- Sea la población del alumnado de bachillerato de España. En dicha población

se puede estudiar:

Caracteres Valores

Cualitativo El deporte practicado Baloncesto, natación, …

Discreto El nº de libros que leen al año 0, 1, 2, 3, … Cuantitativo

Continuo La estatura 160 cm, 170 cm, …


2.- Variables cuantitativas. Distribución de

frecuencias

Una vez recogidos los datos, hay que confeccionar una tabla en la que aparecerán los

valores de la variable que se está estudiando y el número de individuos que toma cada valor.

Es lo que se llama tabla o distribución de frecuencias.

En las tablas de frecuencias se suele designar: xi , a los valores de la variable.

Frecuencia absoluta (fi) de un dato es el número de veces que aparece.

La suma de todas las frecuencias absolutas es el tamaño de la muestra o la población

a estudio: 1

n

ii

f N

Frecuencia relativa o proporción (hi) de un dato es el cociente que resulta de dividir

su frecuencia absoluta entre el número total, N, de individuos.

ii

fh

N

La tabla de frecuencias de una variable cuantitativa discreta sería, p.e.:

Ejemplo resuelto

3.- Se ha realizado una encuesta a 110 matrimonios de una cierta barriada.

Entre las preguntas que se les hicieron figuraba el número de hijos. Las

respuestas se pueden recoger en la siguiente tabla:

En la primera columna, la variable xi: número de hijos.

En la segunda columna, la correspondiente frecuencia absoluta, fi: número de matrimonios que tienen ese número de hijos.

La tercera columna corresponde a la frecuencia relativa, hi. Se utiliza cuando se desea comparar varias distribuciones similares con distinto número de elementos: h f N , siendo N el número

total de individuos; en este caso N = 110.

xi fi hi

0 4 0,118

1 14 0,412

… … … N 1

xi fi hi 0 4 0,036 1 18 0,164 2 41 0,373 3 32 0,291 4 11 0,100 5 3 0,027 6 1 0,009 110 1


Ejercicio

4.- Lanzamos dos dados, sumamos las puntuaciones y anotamos los resultados.

Repetimos la experiencia 30 veces:

11, 8, 9, 9, 3 4, 11, 7, 7, 8 7, 5, 6, 4, 4

7, 10, 2, 6, 10 7, 7, 6, 2, 8 7, 5, 8, 6, 9

Confecciona una tabla de frecuencias.

Para las variables cuantitativas continuas, y para las discretas cuando el número

de valores de la variable es muy elevado, utilizaremos la llamada tabla o

distribución de frecuencias, agrupando los valores en intervalos de igual longitud

o clases. El punto medio del intervalo se llama marca de clase, xi , y se calcula

como la semisuma de los extremos del intervalo. Es el valor que representa a todo

el intervalo para el cálculo de algunos parámetros. Sólo en el caso de que existan

valores muy dispersos tomamos distintas amplitudes. Una vez que se han elegido

las clases, la distribución de frecuencias se construye igual que para una variable

discreta.

[m, M) xi fi hi

[L0 – L1) (L0 + L1)/2

Para construir intervalos o clases se sigue el procedimiento:

1.º Se localizan los valores extremos, M y m, de todos los datos y se halla el

recorrido , que es la diferencia entre ellos: R M m

2.º Se decide el número de intervalos que se quieren formar, deben estar entre 5 y 20.

Se puede calcular redondeando la raíz cuadrada del número de datos: I N

3.º La amplitud o longitud de cada intervalo se calcula dividiendo una longitud, R´

(mayor que el recorrido (R) y que sea múltiplo del número de intervalos) entre el

número de intervalos:

R

AI

4.º Se forman los intervalos, de modo que el extremo inferior del primero sea algo

menor que m y el extremo superior del último sea algo superior a M. Los

extremos de los intervalos deben tener una cifra decimal más que los datos, para

no coincidir con ninguno de ellos. Cada extremo sólo pertenece a una clase. Para

ello, se toman intervalos cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha. Un

método para calcular el extremo inferior del primer intervalo sería:

2

inf

R RE m


P.e., si tenemos 36 datos en los que el menor es 1 y el mayor es 29, construiremos 6

intervalos ( 36 6 I ) de amplitud 5 ( 29 1 28 30 R 30

56

).

Ejemplo

5.- Las alturas de 30 alumnos y alumnas de una clase son:

168, 160, 168, 175, 168, 168, 158, 149, 160, 178, 158, 163, 171, 162, 163, 156, 154,

160, 165, 165, 161, 162, 166, 163, 170, 164, 165, 173, 172, 168

Elabora una tabla de frecuencias.

3.- Distribuciones estadísticas. Gráficos

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Suma de resultados de 2 dados (140 lanzamientos)

150-155 155-160 160-165 165-170 170-175 175-180

Estatura de 40 chicos de 14 años

Las dos distribuciones anteriores dadas gráficamente son distribuciones de frecuencia

(la frecuencia indica el número de veces que se repite un valor) de variables cuantitativas

(numéricas).

La de la izquierda se denomina diagrama de barras, se utiliza para variables

cuantitativas discretas (la suma sólo puede tomar valores aislados) o cualitativas. La altura de

las barras es proporcional a la frecuencia (absoluta o relativa) de cada valor. Las barras son

estrechas y se sitúan sobre los valores puntuales de la variable.

Uniendo los extremos superiores de las barras (punto medio del lado superior), se

obtiene una línea poligonal abierta, llamada polígono de frecuencias.

La de la derecha se denomina histograma, se utiliza para variables cuantitativas

continuas (las estaturas pueden tomar valores cualesquiera). Se usan rectángulos tan anchos

como los intervalos y la altura es la frecuencia absoluta correspondiente a dicho intervalo,

siempre que todos los intervalos tengan la misma amplitud.


4.- Parámetros estadísticos

Los parámetros estadísticos sirven para sintetizar la información dada por una tabla o

por una gráfica. Los hay de dos tipos: de centralización y de dispersión.

Las medidas de centralización representan bien a un conjunto de datos cuando están

agrupados en torno a ellas, pero no cuando hay bastantes observaciones alejadas de ellas,

siendo preciso considerar otras medidas complementarias denominadas de dispersión.

Los parámetros de centralización nos indican en torno a qué valor (centro)

se distribuyen los datos. Uno sería la media aritmética:

Media aritmética: es el resultado de dividir la suma de todos los valores

entre el número total de ellos. Se representa por x y se calcula mediante la

expresión:

1 2 n i

x x x xx

N N

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión

de la media es:

1 1 2 2

1 2

n n i i

n i

x f x f x f x fx

f f f f

La media es el centro de gravedad de la distribución. Es decir, si las barras

tuvieran peso, la media es el punto donde habría que sostener la tablilla en que se

sitúan. No es representativa si hay valores muy alejados respecto de ella.

Los parámetros de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro

los valores de la distribución. Entre ellos estarían:

Varianza: es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los

datos con respecto a la media. Se representa por s2 y se calcula mediante:

22 ( )

i i

i

x x fs

f; o bien:

22 2

i i

i

x fs x

f

Desviación típica: es la raíz cuadrada positiva de la varianza. Se representa

por s y se calcula mediante:

2s s

Tanto la varianza como la desviación típica nos indican como de alejados de

la media se encuentran los datos, de tal manera que cuanto menores son estos

dos parámetros, más agrupados se encuentran los valores de la distribución en

torno a los valores centrales.


Ejemplos resueltos

6.- Las siguientes gráficas corresponden a las notas de dos clases:

En ambas clases, la nota media es, aproximadamente, 6. Pero podemos observar que, aun teniendo la misma media, estas distribuciones son muy distintas. Esta diferencia nos la indica la desviación típica. En 3º B los datos están más alejados de la media: hay muchas notas bajas (1, 2) y muchas altas (8, 9, 10), por esta razón la desviación típica es mayor que en 3º A, donde la mayor parte de las notas son intermedias (5, 6, 7).

7.- Las calificaciones en la asignatura Matemáticas de los 40 alumnos de una

clase vienen dadas por la siguiente tabla:

Calificaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Número de alumnos 2 2 4 5 8 9 3 4 3

Hallar la calificación media, la varianza y la desviación típica.

Para resolverlo, los cálculos se disponen como en la tabla del margen:

Media: 212

5,340

x

Varianza: 2 212965,3 4,31

40 s

Desviación típica: 4,31 2,08 s

Ejercicios

8.- Las urgencias atendidas durante un mes en un centro de salud fueron:

1 5 3 2 1 6 4 2 2 3 4 3 5 1 0 1 5 3 3 6 2 4 6 3 2 4 3 2 1 5

Halla la media, la varianza, la desviación típica y representa los datos.

9.- Dada la siguiente distribución estadística:

Intervalo [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30)

fi 4 6 7 10 2 1

Halla la media, la varianza, la desviación típica y representa los datos.

xi fi xi fi xi2fi

1 2 2 2

2 2 4 8

3 4 12 36

4 5 20 80

5 8 40 200

6 9 54 324

7 3 21 147

8 4 32 256

9 3 27 243

40 212 1296


5.- Variables aleatorias discretas y continuas

Si consideramos el experimento aleatorio consistente en lanzar tres monedas, el

espacio muestral asociado será:

E = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX}

Para poder estudiar matemáticamente este experimento, primero es necesario asignar a

cada uno de estos sucesos un número, de manera que el problema probabilístico sobre un

espacio de sucesos se traslada a otro más manejable como es el de los números reales. Por

ejemplo, podemos asociar a cada resultado el número de cruces obtenidas:

CCC 0 CCX 1 CXC 1 CXX 2

XCC 1 XCX 2 XXC 2 XXX 3

Es evidente que si aplicamos otro criterio, por ejemplo, el número de caras obtenidas,

el número asignado será otro.

A cada una de estas aplicaciones se le llama variable aleatoria, y se representa por

letras mayúsculas, por ejemplo, X, y los diferentes valores que puede tomar, con la misma

letra, pero en minúsculas: 1 2, , , nx x x .

Dado un experimento aleatorio y su espacio muestral asociado (E), llamamos variable

aleatoria a toda función (aplicación) que asocia a cada suceso () del espacio muestral un

número real:

( ) i

X : E

X x

En el ejemplo de las monedas el recorrido de la variable aleatoria: ( ) 0,1, 2, 3X

O sea, para hablar de variable aleatoria, nuestro experimento tiene que ser de tal

forma que cada posible resultado se pueda expresar mediante un número.

Serían variables aleatorias, p.e.:

Edad de una persona elegida al azar.

Altura de un árbol.

Número de caras al lanzar dos monedas.

No serían variables aleatorias, p.e.:

Sacar una bola de una urna que contiene bolas blancas, negras y rojas

Elegir al azar una persona que le guste el cine.

Estos últimos ejemplos podemos plantearlos de otra forma para que fueran variables

aleatorias. Por ejemplo, si asignamos al suceso “le gusta el cine” el valor 1 y al suceso “no le

gusta el cine” el valor 0, ya tendríamos definida una variable aleatoria sobre el experimento

elegir una persona, que valdría 1 si le gusta el cine y 0 si no le gusta.


El concepto de variable aleatoria surge ante la necesidad de cuantificar los resultados

de los experimentos aleatorios para poder realizar un estudio matemático de dichos resultados

El concepto de variable estadística y variable aleatoria es muy similar, solo que en

variables estadísticas contamos y partimos de datos concretos, mientras que en variables

aleatorias partimos de lo que puede pasar antes de realizar el experimento.

Así pues, con variables aleatorias, también hacemos la división en discretas y

continuas:

Discreta: es aquella que sólo puede tomar un número finito de valores.

P.e., en el experimento aleatorio de seleccionar 5 familias, la variable aleatoria

X = “número de hermanos” es discreta, puesto que los valores que puede tomar

son finitos: 0, 1, 2, 3, 4…

Continua: es la que puede tomar un número infinito de valores en la recta real.

P.e., en el experimento aleatorio de seleccionar 30 corredores de 100 metros, la

variable aleatoria X = “tiempo que tardan en correr los 100 m” es continua,

puesto que puede tomar infinitos valores del intervalo [9 – 25] segundos.

Las variables aleatorias las representamos con los mismos gráficos que las variables

estadísticas y podemos calcular los mismos parámetros.

La diferencia estribará en que en las variables estadísticas miramos las frecuencias

(absolutas o relativas) y en las variables aleatorias miraremos las probabilidades de

ocurrencia de cada suceso.


6.- Distribuciones de probabilidad

Existen muchos fenómenos que se observan y de los que se recogen datos que

permiten hacer tablas de frecuencias y calcular la media y la desviación típica.

Una de las tareas fundamentales en el análisis de datos es la realización de inferencias,

lo que implica el uso coordinado de las variables estadística y aleatoria.

La variable estadística es un primer modelo matemático que representa los datos

obtenidos en una muestra. Sabemos que las variables estadísticas se estudian a través de las

distribuciones estadísticas. Estas se ponen de manifiesto de forma empírica; es decir, por

medio de la observación o la experimentación. Las principales actividades relacionadas con

las distribuciones estadísticas son: la recogida de datos en tablas, el cálculo de los

correspondientes parámetros y la construcción de los diversos gráficos.

Este tipo de estudios no son suficientes para establecer una teoría general.

La variable aleatoria supone un segundo nivel de modelización, al imaginar que la

toma de datos se extiende al total de la población de donde se tomó la muestra. Por ello, se

generaliza y se construyen distribuciones teóricas de probabilidad, es decir:

Las distribuciones de probabilidad, son idealizaciones de las

distribuciones de frecuencias relativas.

Dependiendo del tipo de variable aleatoria, estas distribuciones podrán ser discretas o

continuas.

Una de las distribuciones de probabilidad discretas más utilizada en la práctica es la

distribución binomial o de Bernoulli.

Entre las variables aleatorias continuas vamos a mostrar una distribución que se

ajusta a un gran número de variables de nuestro entorno: la distribución normal o de Gauss.

Los parámetros de una distribución de probabilidad tienen el mismo significado que

los de una distribución estadística, aunque conviene distinguirlos, de modo que la media, la

varianza y la desviación típica se representarán mediante los símbolos: , 2 y .


a) Distribuciones de probabilidad de variable discreta

Cuando la variable estadística es discreta, la distribución estadística expresa las

frecuencias relativas de un conjunto de datos, y su idealización, que es la distribución o

función de probabilidad de variable discreta se define por medio de la función, f(xi), que

asocia a cada valor xi de la variable aleatoria X su probabilidad pi:

( ) ( ) i i if x P X x p

En general, la función de probabilidad se suele dar en forma de una tabla en la que

aparecen las probabilidades de los diferentes valores que puede tomar la variable aleatoria

discreta. Se representa mediante un diagrama de barras.

xi x1 x2 x3 … xn

f(xi) = P (X = xi) = pi p1 p2 p3 … pn

La función de probabilidad verifica las siguientes propiedades:

1. La probabilidad pi , es un número no negativo entre 0 y 1: 0 1ip

2. La suma de todas las probabilidades es 1: 1 2 1n ii

p p p p

3. La probabilidad de que una variable aleatoria tome algún valor dentro de un

conjunto de valores concretos es la suma de las probabilidades asociadas a cada

uno de ellos: ( ) ( ) ( ) P a X b P X a P X b

Ejemplo resuelto

10.- En el experimento aleatorio consistente en lanzar tres monedas,

consideramos la variable aleatoria “número de cruces en el lanzamiento de

tres monedas”. Construir la tabla de distribución de probabilidad:

El espacio muestral está formado por 8 sucesos elementales:

E = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX}

Si asignamos a cada uno de estos sucesos un número que representa el número de

cruces obtenidas:

CCC 0 CCX 1 CXC 1 CXX 2

XCC 1 XCX 2 XXC 2 XXX 3

y, tenemos en cuenta que cada uno de los sucesos tiene una probabilidad de 1/8; la

distribución o función de probabilidad será:

xi 0 1 2 3

pi = P (X = xi) 1/8 3/8 3/8 1/8


b) Distribuciones de probabilidad de variable continua

Cuando la variable estadística es continua, para representar gráficamente los

resultados de los experimentos utilizamos el histograma de frecuencias, en el que el área de

cada rectángulo representa la frecuencia relativa de cada intervalo (por comodidad

consideramos que la amplitud del intervalo es una unidad).

Si vamos disminuyendo la amplitud de los intervalos y aumentando el tamaño de las

muestras obtendremos un histograma con rectángulos cada vez más estrechos. En todos estos

rectángulos se sigue verificando que su área es la frecuencia relativa correspondiente al

intervalo. Si el proceso de ir acortando la longitud de los intervalos se repite indefinidamente,

los polígonos de frecuencias correspondientes tienden a una línea curva continua que

llamaremos función de densidad.

Ejemplo resuelto

11.- En el siguiente ejemplo se muestra el peso de las niñas recién nacidas en un

determinado hospital.

Para hallar, por ejemplo,

la frecuencia relativa de que una

niña tenga el peso comprendido

entre 2,75 kg y 3,75 kg, hacemos

la representación gráfica

(histograma) y calculamos el

área de la zona coloreada

correspondiente (por comodidad

consideramos que la amplitud del

intervalo es una unidad), y obtenemos:

(2,75 3,75) 0,5 0, 20 1 0, 40 0,5 0,26 0,63 h X

Si disminuimos la amplitud de los intervalos las frecuencias

relativas tienden a la probabilidad, de forma que:

(2,75 3,75) área del recinto sombreado de la figura P X


Resumiendo, cuando la variable es continua, la distribución estadística viene dada

mediante un histograma de frecuencias y su idealización, que es la distribución de

probabilidad de variable aleatoria continua se define por medio de una función, ( )f x ,cuya

gráfica es esa curva límite, que se llama función de densidad.

Así pues, en una variable aleatoria continua, no existe el concepto de función de

probabilidad tal cual, sino que se utiliza el concepto de función de densidad, esta función nos

permite hallar probabilidades mediante el cálculo de áreas. Su significado es que la

probabilidad de que la variable aleatoria continua tome valores dentro de un intervalo es igual

al área bajo la curva en el intervalo citado.

La función densidad, tiene las siguientes características:

1. ( ) 0f x en todo el dominio de definición.

2. El área encerrada bajo la totalidad de la curva ( )f x es igual a 1. Es decir,

tomamos como unidad el área bajo la curva completa.

3. Para hallar la probabilidad de que la variable X tome algún valor en un intervalo

(a, b), ( )P a X b , obtendremos el área que hay bajo la curva en el intervalo

(a, b).

4. Las probabilidades de una variable continua son siempre de intervalos, no tiene

sentido calcular la probabilidad de que esta tome un valor concreto. Por tanto, la

probabilidad de sucesos puntuales es cero porque el rectángulo correspondiente

no tiene anchura:

( ) 0P X a , ( ) 0P X b

Por tanto, ( ) ( )P a X b P a X b .


7.- Distribución normal

Entre las distribuciones continuas la más importante es la llamada distribución

normal o distribución de Gauss.

Fue introducida por Carl Friedrich Gauss a principios del siglo XIX en su estudio de

los errores de medida. Desde entonces se ha utilizado como modelo en multitud de variables

de nuestro entorno, por ejemplo, aquellas que se refieren a aspectos biológicos, físicos,

psicológicos, sociológicos (peso, altura, calificaciones...), etc. y, en general, a cualquier

característica que se obtenga como suma de varios factores, en cuya distribución los valores

más usuales se agrupan en torno a uno central y los valores extremos son escasos.

Para determinar esta distribución, según Gauss, sólo es necesario el conocimiento de

sus parámetros, que son la media aritmética () y la desviación típica (). Además, debe

conocerse la función densidad para fijar correctamente las variables con distribución normal.

a) Características de una distribución normal, N(, )

Su función de densidad adopta la forma de una campana, conocida con el nombre de

campana de Gauss, curva de Gauss o curva normal. La expresión de la función de densidad

de la normal de media y desviación típica , N(, ), es:

21

21( )

2

x

f x e

Es una función de probabilidad continua, simétrica, respecto

de la recta vertical x =

Su único máximo coincide con la media, .

La función tiene dos puntos de inflexión en x = y en x

= . El eje X es una asíntota horizontal.

Cuando la media aumenta, la curva se desplaza hacia la

derecha, y cuando disminuye, se desplaza hacia la izquierda.

Cuando la desviación típica aumenta, la curva es más

ancha y baja, y cuando disminuye, se hace más alta y estrecha.

Como f(x) es una función de densidad, el área comprendida entre el eje X y la curva es

uno, y se distribuye en intervalos de la forma siguiente:

En el intervalo ( , ) está el 68,26% del área total.

En el intervalo ( 2 , 2 ) está el 95,44% del área total.

En el intervalo ( 3 , 3 ) está el 99,74% del área total.


Lo anterior significa que en el primer intervalo está el 68,26% de los individuos, en el

segundo el 95,44% y en el tercero el 99,74%. Por tanto:

( , ) 0,6826 ( 2 , 2 ) 0,9544 ( 3 , 3 ) 0,9973P P P

En la práctica, el cálculo directo de probabilidades con el modelo normal N(, )

resulta prácticamente imposible debido a que la integral de su función de densidad no puede

calcularse mediante métodos elementales. Para ello, lo que se hace es reducirlo a otro modelo

normal de media cero y desviación típica uno.

8.- Distribución normal estándar, N(0, 1)

Es la que tiene de media cero, = 0, y desviación típica uno, = 1 y se designa con

N(0, 1). En una distribución normal estándar, la variable se representa por la letra Z y se

llama variable normal estándar o tipificada; la función de densidad correspondiente es:

2

21

( )2

z

f z e

La distribución normal estándar es muy importante porque se encuentra tabulada y no

es necesario calcular el área correspondiente, esto nos permite calcular fácilmente las

probabilidades asociadas a los distintos valores de la variable; además, cualquier distribución

normal N(, ) se puede tipificar, es decir, se puede reducir a una N(0, 1).

a) Cálculo de la probabilidad en una distribución N(0, 1)

Las tablas de distribución normal N(0, 1) nos dan la

probabilidad P(Z k), para valores de k de 0 a 4, que es el área

del recinto sombreado del margen.

El valor de k se busca en las tablas de la siguiente

manera: las unidades y las décimas se buscan en la columna de

la izquierda, y las centésimas en la fila superior.

Recíprocamente, si conocemos el valor de la

probabilidad P(Z k), se puede saber el valor de k.

Recordar que en una distribución de variable continua

las probabilidades puntuales son nulas:

P (Z = a) = 0 . Por tanto, P (Z a) = P (Z a)

CENTÉSIMAS

k 0,00 0,01 0,02 0,03

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 UN

IDA

DE

S Y

DÉ

CIM

AS

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485


Veamos los distintos casos que se pueden presentar:

Caso general: a 0, P (Z a) = P (Z a)

En este caso las probabilidades se encuentran

directamente en las tablas.

Ejemplo

12.- Halla ( 1,32)P Z para la distribución N(0, 1).

13.- Halla el valor de k (exacta o aproximadamente) en el siguiente caso:

( ) 0,7190 P Z k

Ejercicios

14.- Halla las siguientes probabilidades en una distribución N(0, 1):

a) ( 0,83)P Z

b) ( 2,61)P Z

15.- Halla el valor de k (exacta o aproximadamente) en el siguiente caso:

( ) 0,8643 P Z k

P (Z a) = 1 P (Z a)

Ejemplo


Ejercicio

17.- Halla la siguiente probabilidad en una distribución N(0, 1): ( 1,86)P Z


P (Z a) = P (Z a) = 1 P (Z a)

Ejemplo


Ejercicio

19.- Calcula en una N(0, 1) la siguiente probabilidad: ( 0,75)P Z

P (Z a) = P (Z a)

Ejemplo


Ejercicio

21.- Calcula en una N(0, 1) las siguiente probabilidad: ( 2,13)P Z

P (a Z b) = P (Z b) P (Z a)

Ejemplo

22.- Halla para la distribución N(0, 1) las siguientes probabilidades.

a) (1,43 2,26)P Z

b) ( 0,53 2,46)P Z

Ejercicio

23.- Calcula en una N(0, 1) las siguientes probabilidades:

a) (0,18 1,29)P Z

b) ( 0,56 1,9)P Z

c) ( 1,83 1)P Z


b) Cálculo de la probabilidad en una distribución N(, ).

Tipificación de la variable

Cuando la variable X no sigue una distribución normal N(0, 1) sino una distribución

N(, ) hay que tipificar la variable, es decir, transformarla en una variable estándar Z que

siga una distribución normal N(0, 1).

Para realizar esta transformación es necesario dar los siguientes pasos:

1º Centrar, es decir, trasladar la media de la distribución al origen de coordenadas.

Esto equivale a hacer = 0.

2º Reducir la desviación estándar a 1 ( = 1) . Esto equivale a dilatar o contraer la

gráfica de la distribución para que coincida con la ley estándar.

Estos pasos se consiguen a la vez al realizar el siguiente cambio de variable:

XZ

Con lo cual, el cálculo de probabilidades se reduce a:

( )k

P X k P Z

Ejemplo

24.- En una distribución N(66, 8), calcular:

a) ( 70)P X

b) ( 80)P X

c) (70 80)P X

Ejercicio

25.- En una distribución N(14, 4) halla (8 20) P X .


9.- Aplicaciones de la distribución normal a las

ciencias sociales

La estrategia que seguiremos para la resolución de problemas será:

1º. Se escribe la variable aleatoria: X = …

2º. Se escribe el tipo de distribución de X : N(, )

3º. Se escriben las preguntas del problema en forma de probabilidad.

Ejemplo

26.- La estatura de 600 estudiantes está distribuida con media 175 cm y

desviación típica 5 cm. Halla el número de estudiantes con estatura entre

172 y 180 cm.

Ejercicio

27.- Se sabe que, en una ciudad, el peso de las personas mayores de 18 años se

distribuye normalmente con una media de 72 kg y una desviación típica de 6

kg. Calcula la probabilidad de que, tomada una persona al azar, pese más de

80 kg.


10.- Distribución binomial

Una de las distribuciones de probabilidad discretas más utilizadas en la práctica es la

distribución binomial.

Se conoce como experimento de Bernouilli un experimento aleatorio que sólo tiene

dos resultados posibles, complementarios entre sí.

Los sucesos o resultados de un experimento de Bernouilli se denominan éxito (A) y

fracaso (AC), con probabilidades: P (A) = p, P (AC) = q, siendo q = 1 p .

Ejemplos de sucesos éxito y fracaso son: si y no, a favor y en contra, mujer y hombre,

más de 80 kg y menos de 80 kg, es decir, situaciones en las que se consideran dos alternativas

complementarias. A estos experimentos con dos resultados se les denomina dicotómicos.

Decimos que un experimento consistente en la repetición de n pruebas de Bernouilli

sigue el modelo de una distribución binomial, cuando tiene las siguientes características:

1. El experimento se puede realiza tanta veces como queramos.

2. En cada prueba sólo son posibles dos resultados excluyentes: el suceso A, llamado

éxito, y el suceso AC, llamado fracaso.

3. El resultado de cada prueba es independiente de los resultados anteriores.

4. La probabilidad de éxito y de fracaso se mantiene constante en cada prueba a lo

largo de los ensayos, denotándolos por p y q, respectivamente. Es decir, si P (A) =

p, entonces P (AC) = q, siendo q = 1 p.

La distribución binomial de parámetros n y p se representa por B(n, p), siendo n el

número de pruebas realizadas y p la probabilidad del suceso éxito.

Si representamos por X la variable aleatoria binomial que representa el número de

éxitos (r) obtenidos en las n pruebas de un experimento, podemos calcular la probabilidad:

( ) ( )

r n rnP obtener r éxitos P X r p q

r

Esta expresión se denomina función de probabilidad de una distribución binomial.

Estas variables aleatorias son discretas ya que pueden tomar los valores 0, 1, 2, …, n,

en las situaciones de n experiencias.

La expresión nr

recibe el nombre de número combinatorio de n sobre r y sirve para

calcular el número de combinaciones de n elementos tomados de r en r. Se define:

,

!

! ( )!n r

nnC

r r n r

1; 1

0

n nn

A n! se le llama factorial de un número y se calcula: ! ( 1) ( 2) 2 1n n n n


Dado que en este tipo de experiencias los cálculos pueden ser laboriosos, se han

construido unas tablas que nos proporcionan la probabilidad de que la variable X tome

distintos valores, según los diferentes valores de n y r.

Estas tablas nos permiten calcular la probabilidad para valores de 0,5p y de

10n . Cuando 0,5p , el valor de ( )P r en una B (n, p) coincide con el de ( )P n r en

una B (n, 1 – p).

Para calcular el valor de ( )P r en una binomial B (n, p) se

busca en las tablas la columna correspondiente al valor de p, y de

entre las fila correspondiente a n se selecciona la fila

correspondiente a r.

Para calcular el valor de P(X = 3) en una binomial B(4;

0,05) se selecciona la columna correspondiente a p = 0,05, y de

entre las filas correspondientes a n = 4 se selecciona la fila que

corresponde a r = 3. La fila y la columna anteriormente

seleccionadas se cruzan en el valor buscado, P(X = 3) = 0,0005.

Ejemplo resuelto

28.- El 4% de los CD de ordenador que fabrica una determinada empresa

resultan defectuosos. Los CD se distribuyen en cajas de 5 unidades. Calcula

la probabilidad de que en una caja no haya ningún CD defectuoso.

Cuando se elige un CD de la caja hay dos únicas posibilidades:

A = “CD en buen estado” y AC = “CD defectuoso”

Como el resultado de cada prueba es independiente de las demás y la probabilidad del suceso A es constante, en este caso 0,96, la variable aleatoria X que representa el número de CD en buen estado de la caja sigue una distribución binomial B(5; 0,96)

La probabilidad de que en una caja los 5 CD estén en perfecto estado es:

5 05( 5) 0,96 0,04 0,8154

5

P X

Ejercicio

29.- Una determinada raza de perros tiene 4 cachorros en cada camada. Si la

probabilidad de que un cachorro sea macho es de 0,55, se pide:

a) La probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembras.

b) Probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras.

TABLA DE LAS DISTRIBUCIONES

BINOMIALES

n p

r 0,01 0,05 0,10

2 0 1 2

0,9801 0,0198 0,0001

0,9025 0,0950 0,0025

0,8100 0,1800 0,0100

3 0 1 2 3

0,9703 0,0294 0,0003 0,0000

0,8574 0,1354 0,0071 0,0001

0,7290 0,2430 0,0270 0,0010

4 0 1 2 3 4

0,9606 0,0388 0,0006 0,0000 0,0000

0,8145 0,1715 0,0135 0,0005 0,0000

0,6561 0,2916 0,0486 0,0036 0,0001


11.- Aproximación de la binomial mediante la

normal

El matemático Abrahan de Moivre (1667-1754) demostró que cuando la población es

grande, la distribución binomial B(n, p) se aproxima a una normal:

( , ) ( , )B n p N np npq

es decir, la normal tendría por parámetros:

Media o valor esperado: n p

Desviación típica: n p q

Suele considerase que la aproximación es buena cuando 5n p y 5n q .

Nota: Dado que por mucho que se parezca nunca es igual una binomial que una

normal, sería necesario aplicar en el cálculo de probabilidades un ajuste que recibe el

nombre de corrección de Yates. No obstante, para simplificar el proceso se deja de lado esta

diferencia y se calcularán las probabilidades directamente en la curva normal.

Se hará la siguiente corrección: ( ) 0,5 0,5 P X a P a X a

Ejemplo resuelto

30.- Se sabe que el 10% de los habitantes de una ciudad va regularmente al

teatro. Se toma una muestra al azar de 100 habitantes de esta ciudad.

¿Cuál es la probabilidad aproximada de que al menos el 12,5% de ellos vayan

regularmente al teatro?

La distribución X = “número de personas que van regularmente al teatro” sigue una binomial B(100; 0,1). Como 100 0,1 10 5 n p y 100 0,9 90 5 n q , se puede

aproximar por una normal ( , ) (10, 3) X N np npq N .

12,5 10( 12,5) ( 0,83) 0, 2033

3

P X P Z P Z

Ejercicios

31.- La variable X es binomial con n = 1200 y p = 0,08. Calcula la probabilidad de

que X sea mayor que 100.

32.- Una máquina fabrica tornillos. El 5% de ellos son defectuosos. Se

empaquetan en cajas de 400. Calcular la probabilidad de que en una caja

haya más de 30 defectuosos


Ejercicios finales

Distribución Normal. Cálculo de probabilidades

33.- Halla la siguiente probabilidad en una distribución N(0, 1):

a) ( 3,21)P Z

b) ( 3,56)P Z

c) ( 1,57)P Z

d) (0,35 1,46)P Z

e) ( 1,14 2,13)P Z

34.- En una distribución N(0, 1), halla el valor de k (exacta o aproximadamente)

en el siguiente caso: ( ) 0,5560 P Z k

35.- En una distribución N(18, 4) halla (19 23)P X .

36.- En una fábrica de golosinas se producen palotes de regaliz con una longitud

media de 66 mm y una desviación típica de 8 mm.

a) ¿Qué probabilidad hay de encontrar un palote con una longitud inferior a

70 mm?

b) ¿Qué probabilidad hay de encontrar un palote con una longitud mayor de

80 mm?

c) ¿Qué probabilidad hay de encontrar un palote cuya longitud cuya

longitud esté comprendida entre 66 y 74 mm?

d) Hemos comprado una caja con 400 palotes, ¿cuántos aproximadamente

medirán más de 80 mm?

Distribución Binomial. Cálculo de probabilidades

37.- La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de arquitecto es 0,3.

Calcula la probabilidad de que de un grupo de 7 estudiantes matriculados en

primer curso:

a) Ninguno de los 7 finalice la carrera.

b) Finalicen los 7.

c) Al menos 2 acaben la carrera.

d) Sólo 1 finalice la carrera.

Aproximación de la Distribución Binomial a la Normal

38.- Supongamos que el 40% de los menores de 25 años está en paro. Si tomamos

una muestra de 200 de ellos, calcula la probabilidad de que el número de

parados coincida con la media.


Ejercicios de repaso

Distribución Normal. Cálculo de probabilidades

39.- Halla la siguiente probabilidad en una distribución N(0, 1): ( 1)P Z

40.- Halla la siguiente probabilidad en una distribución N(0, 1): ( 2,3)P Z

41.- Halla la siguientes probabilidades en una distribución N(0, 1): ( 1,25)P Z



44.- Halla para la distribución N(0, 1) las siguientes probabilidades.

a) ( 1,36 1,78)P Z

b) ( 1,53 2,46)P Z

45.- Halla el valor de k (exacta o aproximadamente) en el siguientes caso:

( ) 0,8729P Z k

46.- En una distribución normal con media = 110 y desviación típica = 8,

calcula:

a) ( 120)P X

b) (116 128)P X

c) ( 115)P X

d) (82 90)P X


TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR, N(0, 1)

k 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706

1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857

2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890

2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916

2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936

2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964

2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974

2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981

2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993

3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995

3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997

3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998

3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998

3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

4,0 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000


TABLA DE LAS DISTRIBUCIONES BINOMIALES

n p

r 0,01 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,33 0,35 0,40 0,45 0,49 0,50

2 0 1 2

0,9801 0,0198 0,0001

0,9025 0,0950 0,0025

0,8100 0,1800 0,0100

0,7225 0,2550 0,0225

0,6400 0,3200 0,0400

0,5625 0,3750 0,0625

0,4900 0,4200 0,0900

0,4444 0,4444 0,1111

0,4225 0,4550 0,1225

0,3600 0,4800 0,1600

0,3025 0,4950 0,2025

0,2601 0,4998 0,2401

0,2500 0,5000 0,2500

3 0 1 2 3

0,9703 0,0294 0,0003 0,0000

0,8574 0,1354 0,0071 0,0001

0,7290 0,2430 0,0270 0,0010

0,6141 0,3251 0,0574 0,0034

0,5120 0,3840 0,0960 0,0080

0,4219 0,4219 0,1406 0,0156

0,3430 0,4410 0,1890 0,0270

0,2963 0,4444 0,2222 0,0370

0,2746 0,4436 0,2389 0,0429

0,2160 0,4320 0,2880 0,0640

0,1664 0,4084 0,3341 0,0911

0,1327 0,3823 0,3674 0,1176

0,1250 0,3750 0,3750 0,1250

4 0 1 2 3 4

0,9606 0,0388 0,0006 0,0000 0,0000

0,8145 0,1715 0,0135 0,0005 0,0000

0,6561 0,2916 0,0486 0,0036 0,0001

0,5220 0,3685 0,0975 0,0115 0,0005

0,4096 0,4096 0,1636 0,0256 0,0016

0,3164 0,4219 0,2109 0,4609 0,0039

0,2401 0,4116 0,2646 0,0756 0,0081

0,1975 0,3951 0,2963 0,0988 0,0123

0,1785 0,3845 0,3105 0,1115 0,0150

0,1296 0,3456 0,3456 0,1536 0,0256

0,0915 0,2995 0,3675 0,2005 0,0410

0,0677 0,2600 0,3747 0,2400 0,0576

0,0625 0,2500 0,3750 0,2500 0,0625

5 0 1 2 3 4 5

0,9510 0,0480 0,0010 0,0000 0,0000 0,0000

0,7738 0,2036 0,0214 0,0011 0,0000 0,0000

0,5905 0,3280 0,0729 0,0081 0,0004 0,0000

0,4437 0,3915 0,1382 0,0244 0,0022 0,0001

0,3277 0,4096 0,2048 0,0512 0,0064 0,0003

0,2373 0,3855 0,2637 0,0879 0,0146 0,0010

0,1681 0,3602 0,3087 0,1323 0,0284 0,0024

0,1317 0,3292 0,3292 0,1646 0,0412 0,0041

0,1160 0,3124 0,3364 0,1811 0,0488 0,0053

0,0778 0,2592 0,3456 0,2304 0,0768 0,0102

0,0503 0,2059 0,3369 0,2757 0,1128 0,0185

0,0345 0,1657 0,3185 0,3060 0,1470 0,0283

0,0312 0,1562 0,3125 0,3125 0,1562 0,0312

6 0 1 2 3 4 5 6

0,9415 0,0571 0,0014 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,7351 0,2321 0,0305 0,0021 0,0001 0,0000 0,0000

0,5314 0,3543 0,0984 0,0146 0,0012 0,0001 0,0000

0,3771 0,3993 0,1762 0,0415 0,0055 0,0004 0,0000

0,2621 0,3932 0,2458 0,0819 0,0154 0,0015 0,0001

0,1780 0,3560 0,2966 0,1318 0,0330 0,0044 0,0002

0,1176 0,3025 0,3241 0,1852 0,0595 0,0102 0,0007

0,0878 0,2634 0,3292 0,2195 0,0823 0,0165 0,0014

0,0754 0,2437 0,3280 0,2355 0,0951 0,0205 0,0018

0,0467 0,1866 0,3110 0,2765 0,1382 0,0369 0,0041

0,0277 0,1359 0,2780 0,3032 0,1861 0,0609 0,0083

0,0176 0,1014 0,2437 0,3121 0,2249 0,0864 0,0139

0,0156 0,0938 0,2344 0,3125 0,2344 0,0938 0,0156

7 0 1 2 3 4 5 6 7

0,9321 0,0659 0,0020 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,6983 0,2573 0,0406 0,0036 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000

0,4783 0,3720 0,1240 0,0230 0,0026 0,0002 0,0000 0,0000

0,3206 0,3960 0,2097 0,0617 0,0109 0,0012 0,0001 0,0000

0,2097 0,3670 0,2753 0,1147 0,0287 0,0043 0,0004 0,0000

0,1335 0,3115 0,3115 0,1730 0,0577 0,0115 0,0013 0,0001

0,0824 0,2471 0,3177 0,2269 0,0972 0,0250 0,0036 0,0002

0,0585 0,2048 0,3073 0,2561 0,1280 0,0384 0,0064 0,0005

0,0490 0,1848 0,2985 0,2679 0,1442 0,0466 0,0084 0,0006

0,0280 0,1306 0,2613 0,2903 0,1935 0,0774 0,0172 0,0016

0,0152 0,0872 0,2140 0,2918 0,2388 0,1172 0,0320 0,0037

0,0090 0,0603 0,1740 0,2786 0,2676 0,1543 0,0494 0,0068

0,0078 0,0574 0,1641 0,2734 0,2734 0,1641 0,0547 0,0078

8 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0,9227 0,0746 0,0026 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,6634 0,2793 0,0515 0,0054 0,0004 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,4305 0,3826 0,1488 0,0331 0,0046 0,0004 0,0000 0,0000 0,0000

0,2725 0,3847 0,2376 0,0839 0,0185 0,0026 0,0002 0,0000 0,0000

0,1678 0,3355 0,2936 0,1468 0,0459 0,0092 0,0011 0,0001 0,0000

0,1001 0,2670 0,3115 0,2076 0,0865 0,0231 0,0038 0,0004 0,0000

0,0576 0,1977 0,2965 0,2541 0,1361 0,0467 0,0100 0,0012 0,0001

0,0390 0,1561 0,2731 0,2731 0,1707 0,0683 0,0171 0,0024 0,0002

0,0319 0,1373 0,2587 0,2786 0,1875 0,0808 0,0217 0,0033 0,0002

0,0168 0,0896 0,2090 0,2787 0,2322 0,1239 0,0413 0,0079 0,0007

0,0084 0,0548 0,1569 0,2568 0,2627 0,1719 0,0703 0,0164 0,0017

0,0046 0,0352 0,1183 0,2273 0,2730 0,2098 0,1008 0,0277 0,0033

0,0039 0,0312 0,1094 0,2188 0,2734 0,2188 0,1094 0,0312 0,0039

9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,9135 0,0830 0,0034 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,6302 0,2985 0,0629 0,0077 0,0006 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,3874 0,3874 0,1722 0,0446 0,0074 0,0008 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

0,2316 0,3679 0,2597 0,1069 0,0283 0,0050 0,0006 0,0000 0,0000 0,0000

0,1342 0,3020 0,3020 0,1762 0,0661 0,0165 0,0028 0,0003 0,0000 0,0000

0,0751 0,2253 0,3003 0,2336 0,1168 0,0389 0,0087 0,0012 0,0001 0,0000

0,0404 0,1556 0,2688 0,2668 0,1715 0,0735 0,0210 0,0039 0,0004 0,0000

0,0260 0,1171 0,2341 0,2731 0,2048 0,1024 0,0341 0,0073 0,0009 0,0001

0,0207 0,1004 0,2162 0,2716 0,2194 0,1181 0,0424 0,0098 0,0013 0,0001

0,0101 0,0605 0,1612 0,2508 0,2508 0,1672 0,0743 0,0212 0,0035 0,0003

0,0046 0,0339 0,1110 0,2119 0,2600 0,2128 0,1160 0,0407 0,0083 0,0008

0,0023 0,0202 0,0776 0,1739 0,2506 0,2408 0,1542 0,0635 0,0153 0,0016

0,0020 0,0176 0,0703 0,1641 0,2461 0,2461 0,1641 0,0703 0,0176 0,0020

10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

0,9044 0,0914 0,0042 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,5987 0,3151 0,0746 0,0105 0,0010 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,3487 0,3874 0,1937 0,0574 0,0112 0,0015 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,1969 0,3474 0,2759 0,1298 0,0401 0,0085 0,0012 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

0,1074 0,2684 0,3020 0,2013 0,0881 0,0264 0,0055 0,0008 0,0001 0,0000 0,0000

0,0563 0,1877 0,2816 0,2503 0,1460 0,0584 0,0162 0,0031 0,0004 0,0000 0,0000

0,0282 0,1211 0,2335 0,2668 0,2001 0,1029 0,0368 0,0090 0,0014 0,0001 0,0000

0,0173 0,0867 0,1951 0,2601 0,2276 0,1366 0,0596 0,0163 0,0030 0,0003 0,0000

0,0135 0,0725 0,1757 0,2522 0,2377 0,1536 0,0689 0,0212 0,0043 0,0005 0,0000

0,0060 0,0403 0,1209 0,2150 0,2508 0,2007 0,1115 0,0425 0,0106 0,0016 0,0001

0,0025 0,0207 0,0763 0,1665 0,2384 0,2340 0,1596 0,0746 0,0229 0,0042 0,0003

0,0012 0,0114 0,0495 0,1267 0,2130 0,2456 0,1966 0,1080 0,0389 0,0083 0,0008

0,0010 0,0098 0,0439 0,1172 0,2051 0,2461 0,2051 0,1172 0,0439 0,0098 0,0010


3.- INFERENCIA ESTADÍSTICA.

MUESTREO.

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

0.- Introducción

Para comenzar el tema es conveniente recordar el significado de algunos términos:

Población es el conjunto de elementos sobre los que se hace un determinado

estudio.

Muestra es la parte de la población que tomamos para hacer el estudio.

Frecuentemente no es posible estudiar todos los elementos de una población por

razones de tiempo, economía (si hacemos un estudio sobre la fecha de caducidad de todos los

productos, ¿qué vendemos luego?), inexistencia real o porque el estudio requiere su

destrucción, por esto lo que nos interesa es tomar una muestra y deducir o inferir las

características de la población a partir de las de la muestra.

La Estadística Inferencial se ocupa de deducir o inferir las características de la

población a partir de las de la muestra.

Que la muestra de estudio sea lo más pequeña posible es una exigencia de tiempo y de

costes; además, el aumento de datos no siempre acarrea una certeza considerablemente

mayor, pues más importante que muchos datos es que estén bien elegidos: que sean

representativos de la población que se desea estudiar.

Para que una muestra se considere válida debe cumplir que su tamaño sea

proporcionado al tamaño de la población; que no haya distorsión en la elección de los

elementos de la muestra y que sea representativa. Para elegir estas muestras utilizamos el

muestreo y las técnicas de muestreo.

Al trabajar con muestras, hay que diferenciar los parámetros observados en la muestra

(parámetros estadísticos o simplemente estadísticos) de los parámetros reales

correspondientes a la población (parámetros poblacionales o simplemente parámetros).


1.- Muestreo aleatorio. Tipos

Es evidente que para que el estudio a realizar sea fiable, hay que cuidar mucho la

elección de la muestra, para que represente en la medida de lo posible a la población de la que

se extrae. Si la muestra está mal elegida, diremos que no es representativa.

En este caso, se pueden producir errores imprevistos e incontrolados. Dichos errores se

denominan sesgos y diremos que la muestra está sesgada.

La manera más eficaz de conseguir que una muestra sea representativa es elegirla al

azar, de esta forma, todos los individuos de la población tienen la misma probabilidad de ser

elegidos. En este caso decimos que se ha obtenido mediante muestreo aleatorio.

Los tipos fundamentales de muestreos aleatorios son: m. a. simple, m. a. sistemático,

m. a. estratificado con afijación proporcional y m. a. por conglomerados.

a) Muestreo aleatorio simple

Consiste en enumerar todos individuos de la población desde 1 hasta N y seleccionar

aleatoriamente los n individuos que han de formar la muestra.

La elección se puede hacer asignando un número a cada elemento de la población e

introduciendo éstos en una urna, y luego extraer los n elementos. La elección de un individuo

no debe afectar a la probabilidad de que sea seleccionado otro cualquiera. Esto implica que la

elección debería hacerse con reemplazamiento; aunque ello comporte que algún alumno

pueda ser elegido más de una vez.

Este procedimiento, aunque simple, requiere tener unos medios materiales: urna, etc.,

por lo que a veces se emplean en su lugar otras alternativas como generar números aleatorios

mediante un ordenador o una calculadora utilizando la función RAN que genera números

aleatorios de tres cifras decimales entre 0 y 0,999. Si el número generado lo multiplicamos

por N (nº de elementos de la población), conseguiremos un número comprendido entre 0 y N

– 1. Por tanto, no tenemos más que sumarle 1 al número obtenido y tendremos un valor

comprendido entre 1 y N. De cada valor obtenido nos quedaremos con la parte entera.

P. e., para N = 45: RAN# = 0,126 45 + 1 = 6,67 6

Otra alternativa es el uso de tablas de números aleatorios que están formadas por

grupos de dígitos obtenidos al azar y ordenados por filas y columnas.

Ejemplo resuelto

1.- Escoger mediante m. a. simple una muestra de 20 alumnos de entre los de un

instituto de 600.

Elegiríamos un alumno al azar (probabilidad de elegirlo 1/600). Lo devolvemos a la población y se elige otro (probabilidad de elegirlo 1/600), y así hasta 20. Notemos que si no devolviésemos al alumno, entonces, la probabilidad de escoger al 2º alumno sería 1/599, y ya no todos tendrían la misma probabilidad de ser elegidos. El problema es que entonces permitimos que se puedan repetir individuos.


b) Muestreo aleatorio sistemático

Consiste en seleccionar los n individuos de la muestra eligiendo al azar el primer

individuo entre los k primeros, siendo N

kn

el coeficiente de elevación, y los restantes de

k en k, hasta completar todos los elementos que componen la muestra.

Este procedimiento exige, para que se pueda aplicar correctamente, que la población

no presente ninguna ordenación por la variable objeto de estudio (sexo, estatura, peso, etc.) y,

si la hay, previamente habrá que desordenarla.

Ejemplo resuelto

2.- Escoger mediante m. a. sistemático una muestra de 20 alumnos de entre los

de un instituto de 600.

Calculamos el coeficiente de elevación, k=600/20=30, se sortea un número del 1 al 30, sale por ejemplo el alumno 27, y después a dicho número se le suma 30 hasta tener 20 alumnos .Elegiríamos por tanto a los alumnos:

27, 57, 87, 117, 147, 177, 207, 237, 267, 297, 327, 357, 387, 417, 447, 477, 507, 537, 567, 597

Ejemplo

3.- Disponemos del censo electoral de una población. Consta de 27800

electores. Deseamos extraer una muestra de 200 individuos:

a) Mediante muestreo aleatorio simple.

b) Mediante muestreo aleatorio sistemático.

Ejercicio

4.- En un centro escolar hay 1300 alumnos. Explicar cómo se elige una muestra

de tamaño 100:

a) Mediante muestreo aleatorio simple.

b) Mediante muestreo aleatorio sistemático.


c) Muestreo aleat. estratificado con afijación proporcional

Consiste en dividir la población en grupos homogéneos, llamados estratos; por

ejemplo, por grupos de edades, por sexo, por número de habitantes de las distintas

poblaciones. Hecho esto, la muestra se escoge aleatoriamente (mediante m. a. simple o m. a.

sistemático) en número proporcional al de los componentes de cada estrato.

31 2

1 2 3

nn n n

N N N N

Se procede a un m. a. estratificado con afijación proporcional cuando se supone que la

pertenencia a uno u otro estrato influye en la variable que estamos analizando. Por ejemplo:

- La edad influye en las opiniones sobre aspectos sociológicos.

- La pertenencia a una u otra comunidad autónoma puede influir en la “renta per

cápita”, o en el precio de la vivienda, …

Ejemplo resuelto

5.- Escoger mediante m. a. estratificado con afijación proporcional una muestra

de 20 alumnos de entre los de un instituto de 600.

Si queremos que la muestra sea representativa, lo mejor será conocer cuántos alumnos de cada curso hay, es decir, si hay 200 alumnos de 3º ESO, 150 de 4º ESO, 150 de 1º Bachillerato y 100 de 2º Bachillerato, procederíamos:

Como de 600 en total hemos de elegir a 20, de 200 de 3º de ESO hemos de elegir x:

11

20 40006,6 7

600 200 600

nn alumnos de 3º

De igual manera podemos calcular los alumnos correspondientes a los demás cursos, resultando: 5 alumnos de 4º, 5 alumnos de 1º 3 alumnos de 2º. Para la elección de cada alumno dentro de cada curso, utilizamos el muestreo aleatorio simple.

Ejemplo

6.- Los 1300 alumnos de un centro se reparten así: 426 de 1º, 359 de 2º, 267

de 3º, 133 de 4º, 115 de 5º. ¿Cómo se elegirá una muestra de 100 alumnos

mediante muestreo estratificado con afijación proporcional?

Ejercicio

7.- Una ganadería tiene 2000 vacas. Son de distintas razas: 853 de A, 512 de

B, 321 de C, 204 de D y 110 de E. Queremos extraer una muestra de 120:

a) ¿Cuántas hay que elegir de cada raza para que el muestreo sea

estratificado con afijación proporcional?

b) ¿Cómo ha de ser la elección dentro de cada estrato?

Estratos E1 E2 E3 Total Nº de indiv. en la población N1 N2 N3 N Nº de indiv. en la muestra n1 n2 n3 n


2.- Distribuciones muestrales

Una vez obtenida la muestra de la población, y realizado el estudio sobre ella, llega la

fase en que hay que obtener conclusiones sobre la población. Nosotros vamos a centrarnos en

el caso de que queramos estimar la media de la población (por ejemplo, el peso medio de

jóvenes de 20 años), o la proporción de individuos de esa población que tienen una

determinada característica (por ejemplo, la proporción de familias que usan Internet).

Es necesario el conocimiento de las relaciones existentes entre los estadísticos

muestrales y los parámetros de la población. Como estos últimos se infieren de los

estadísticos es necesario conocer la distribución muestral de estos estadísticos.

Distinguiremos, por tanto, entre:

1. Parámetros poblacionales: Que son los índices centrales y de dispersión que

definen a una población.

Representaremos la media poblacional por y la desviación típica por .

En el caso de proporciones, la proporción de población que tiene una determinada

característica la denotaremos por p y la que no la cumple por q =1 – p.

2. Estadísticos muestrales: Son los índices centrales y de dispersión que definen a una

muestra.

Representaremos la media muestral por x y la desviación típica por s.

En el caso de proporciones, la proporción de muestra que tiene una determinada

característica la denotaremos por p̂ y la proporción que no la cumple por 1q p ˆ ˆ .


3.- Distribuciones de las medias muestrales

Comenzamos con la situación de obtener conclusiones sobre la media de la población

a partir del estudio de las medias obtenidas de las muestras.

Imaginemos todas las posibles muestras de tamaño n de una cierta población cuya

variable sea cuantitativa (numérica). Cada muestra tiene una media. Los diferentes valores de

la media dan lugar a una variable aleatoria que se representa por X . La distribución de los

valores de X se llama distribución de las medias muestrales.

Sea una población de media y desviación típica , que sigue una distribución

normal N(, ), la distribución de las medias muestrales, X , de tamaño n, sigue también

una distribución normal (independientemente del tamaño de la muestra) y tiene:

Una media, X

, igual a (la misma que la población); es decir, la media de las

medias muestrales ( x ) es igual a la poblacional:

1 2

kX

x x x

k

X

Una desviación típica, X

, igual a n

:

Xn

, por consiguiente,

disminuye al aumentar n. (Este resultado sólo es válido para poblaciones infinitas

o para poblaciones finitas en las que el muestreo se ha hecho con

reemplazamiento)

Por tanto si ( , ) X N , entonces ,

X Nn

.

Teorema Central del Límite

Si la población de partida no sigue una distribución normal, la distribución de las

medias muestrales, X , es prácticamente normal cuando el tamaño de la muestra sea n 30.

Podemos considerar entonces que ,

X Nn

.

Este teorema fue enunciado por primera vez por Laplace (1749-1827). Más tarde

Lyapunov (1857-1918) realizó una demostración rigurosa de este teorema.

Vamos a comprobar la veracidad de las aproximaciones anteriores con el siguiente

ejemplo.


Ejemplo resuelto

8.- Consideremos la población formada por tres bolas contenidas en una urna y

numeradas del 2 al 4. Vamos a estudiar la distribución de las medias

muestrales cuando se realizan extracciones con reemplazamiento de tamaño

2. A continuación, comprobaremos la veracidad del Teorema Central del

Límite.

1.er paso. Obtenemos las muestras de tamaño 2, escogidas mediante m.a.s.:

(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4,4)

2.o paso. Calculamos la media de cada muestra:

2 2,5 3 2,5 3 3,5 3 3,5 4

3er paso. Ordenamos y agrupamos los resultados obtenidos formando la tabla de frecuencias:

ix 2 2,5 3 3,5 4

fi 1 2 3 2 1 9

4.o paso. Hallamos la media aritmética y la desviación típica de la distribución de medias muestrales:

Media de X : 2 1 2,5 2 3 3 3,5 2 4 1

39X

Desviación típica de X : 2 2 2

21 2 2 2,5 3 33 0,58

9

X

Por tanto, la distribución de las medias muestrales será: N(3; 0,58)

5.o paso. Para comprobar el Teorema Central del Límite calculamos la media y la desviación típica poblacional:

(2, 3, 4)

Media: 2 3 4

33

Desviación típica: 2 2 2

22 3 43 0,82

3

Por tanto, si la población sigue una ( , ) N , entonces la distribución de

medias muestrales sigue una ,

Nn

.

En nuestro caso:

La población sigue una (3; 0,82)N

La distribución de medias muestrales sigue una 0,82

3, (3; 0,58)2

N N

Luego queda comprobado el Teorema Central del Límite para esta población y estas muestras de tamaño 2 obtenidas mediante m.a.s.


Ejemplos

9.- Una población está formada por sólo cinco elementos, con valores 3, 5, 7, 9

y 11. Consideramos todas las muestras posibles de tamaño 2 con

reemplazamiento que puedan extraerse de esta población. Calcular:

a) Escribe las muestras de tamaño 2, escogidas mediante m.a.s.

b) La media de la población.

c) La desviación típica de la población.

d) La media de la distribución muestral de medias.

e) La desviación típica de la distribución de las medias muestrales, es

decir, el error típico de las medias.

f) Varianza de las medias muestrales.

10.- En el último año, el peso de los recién nacidos en una maternidad se ha

distribuido según una ley normal de media = 3100 g y desviación típica =

150 g.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido pese más de 3130 g?

b) ¿Qué distribución seguirán las muestras de tamaño 100 de recién

nacidos?

c) ¿Cuál será la probabilidad de que la media de una muestra de 100 recién

nacidos sea superior a 3130 g?

11.- En una población (3, 7, 9, k). ¿Cuánto debe valer k sabiendo que la media de

las medias muestrales de tamaño 3, obtenidas mediante m.a.s., es 8,5?

Ejercicios

12.- En la población P = (1, 3, 5). Consideramos todas las muestras posibles de

tamaño 2 con reemplazamiento que puedan extraerse de esta población. Se

pide calcular:




d) La media de la distribución de las medias muestrales.




13.- Se sabe que el cociente intelectual de los alumnos de una universidad se

distribuye según una ley normal de media 100 y varianza 729.

a) Halla la probabilidad de que una muestra de 81 alumnos tenga un

cociente intelectual medio inferior a 109.

b) Halla la probabilidad de que una muestra de 36 alumnos tenga un

cociente intelectual medio superior a 109.


4.- Distribuciones de las proporciones

muestrales

Cuando en una población estudiamos una determinada característica o variable que

sólo puede tomar dos valores, éxito (E) o fracaso (F) (variables discretas), diremos que la

población, objeto del estudio, sigue una distribución binomial B(n, p), siendo p la

proporción de individuos con esa característica.

Vimos en el tema anterior que cuando la población es grande, la distribución

binomial B(n, p) se aproxima a una normal:

( , ) ( , )B n p N np npq

Consideremos todas las muestras de tamaño n que pueden extraerse de esa población,

en cada una de estas muestras habrá una proporción , p̂ , de individuos con una característica

dada. Todas las proporciones muestrales dan lugar a una variable aleatoria que se representa

por P̂ . La distribución de los valores de P̂ se llama distribución de las proporciones

muestrales, y tiene las siguientes características:

Una media, P̂

, igual a p (la misma que la proporción poblacional); es decir, la

media de las proporciones muestrales ( p̂ ) es igual a la proporción poblacional:

1 2ˆ

ˆ ˆ ˆ

k

P

p p pp

k

P̂p

Una desviación típica igual a:

P̂

p q

n

Si se toman muestras de tamaño n 30 de una población con una distribución

binomial de parámetros p y q, la distribución muestral de proporciones se aproxima a una

distribución normal:

ˆ ,

pqP N p

n

En la práctica:

- Si 3n p y 3n q la aproximación es buena.

- Si 5n p y 5n q la aproximación es exacta.


Ejemplo resuelto

14.- Una población está formada por los elementos (5, 6, 9). Estudiar la

distribución de las proporciones muestrales de múltiplos de 3 cuando se

realizan extracciones con reemplazamiento de tamaño 2.

1.er paso. Obtenemos las muestras de tamaño 2, escogidas mediante m.a.s.:

(5, 5), (5, 6), (5, 9), (6, 5), (6, 6), (6, 9), (9,5), (9, 6), (9, 9)

2.o paso. Calculamos la proporción de múltiplos de tres de cada muestra:

0 0,5 0,5 0,5 1 1 0,5 1 1

3er paso. Hallamos la media y la desviación típica de la distribución de proporciones muestrales:

Media de P̂ : ˆ

0 0,5 0,5 0,5 1 1 0,5 1 10,67

9

P

Desviación típica de P̂ : 2 2 2 2

2ˆ

0 0,5 0,5 10,67 0,33

9

P

Por tanto, la distribución de las proporciones muestrales será: N(0,67; 0,33)

4.o paso. Vamos a comprobar que se verifican las siguientes relaciones cuando la población es finita o las muestras se extraen con reemplazamiento en una población finita con proporciones p y q:

Media: ˆ P

p

Desviación típica: ˆ

P

p q

n

La proporción de múltiplos de 3 en la población es: p = 2/3 = 0,67= ˆP

Además se verifica que: ˆ

0,67 0,330,33

2

P

p q

n

A partir de ahora, para calcular la media y la desviación típica de la distribución de proporciones muestrales utilizaremos las relaciones anteriores.


Ejemplos

15.- Una población está formada por los elementos 1, 2, 4 y 6.

a) Escribe todas las muestras de tamaño 2, escogidas mediante m.a.s.

b) Calcular la proporción p de cifras impares.

c) Para cada una de las muestras con reemplazamiento de tamaño dos,

calcula la proporción de cifras impares.

d) Calcula la media y la desviación típica de la distribución muestral de

proporciones.

16.- Una máquina fabrica piezas de precisión. En su producción habitual fabrica

un 3% de piezas defectuosas. Un cliente recibe una caja de 500 piezas

procedentes de la fábrica.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que encuentre más del 5% de piezas

defectuosas en la caja?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que encuentre menos de un 1% de piezas

defectuosas?

Ejercicios

17.- Dada la población P = (1, 2, 3).

a) Escribe todas las muestras de tamaño 2, escogidas mediante m.a.s.

b) Calcular la proporción p de cifras pares.

c) Calcula la media y la varianza de la distribución muestral de

proporciones.

18.- En una población, la proporción de individuos que tienen una cierta

característica C es 0,32.

a) Cómo se distribuyen las posibles proporciones de individuos que tienen la

característica C en muestras de 200 individuos?

b) Calcula la probabilidad de que en una muestra la proporción sea menor

que 0,3.


Ejercicios finales

Muestreo aleatorio. Tipos

19.- De un colectivo de 500 personas, elige una muestra de 20 mediante:

a) Un muestreo aleatorio simple.

b) Un muestreo aleatorio sistemático.

20.- En cierta población habitan 1500 niños y jóvenes, 7500 adultos y 1000

ancianos. Se desea realizar un estudio para conocer el tipo de actividades

de ocio que se desean incluir en el nuevo parque en construcción. Para ello,

van a ser encuestados 200 individuos elegidos al azar.

a) Explica qué procedimiento de selección sería más adecuado utilizar:

muestreo con o sin reemplazamiento.

b) Si se utiliza muestreo estratificado con afijación proporcional, ¿cuál

será el tamaño muestral correspondiente a cada estrato?

21.- En cierta provincia hay cuatro comarcas, C1, C2, C3 y C4, con un total de

1500000 personas censadas. De ellas, 300000 residen en C1, 450000 en C2

y 550000 en C3.

Se quiere realizar un estudio sobre las costumbres alimenticias en esa

provincia basado en una muestra de 3000 personas.

a) ¿Qué tipo de muestreo deberíamos realizar si queremos que en la

muestra resultante haya representación de todas las comarcas?

b) ¿Qué número de personas habría que seleccionar en cada comarca,

atendiendo a razones de proporcionalidad?

c) ¿Cómo seleccionarías las personas en cada comarca?

Justifica las respuestas.


Distribución de las medias muestrales

22.- Una población está formada por cuatro elementos: (2, 4, 6, 8). Consideramos

todas las muestras posibles de tamaño 2 con reemplazamiento que puedan

extraerse de esta población. Se pide calcular:




d) La media de la distribución de las medias muestrales.




23.- En una distribución N (20, 6), tomamos muestras de tamaño 64.

a) ¿Cuál es la distribución de las medias de las muestras?

b) Cuál es la probabilidad de extraer una muestra cuya media esté

comprendida entre 19 y 21?

24.- En una población (2, a, 11). ¿Cuánto debe valer a sabiendo que la media de las

medias muestrales de tamaño 2, obtenidas mediante m.a.s., es 7,4?

Distribución de las proporciones muestrales

25.- En un saco mezclamos judías blancas y judías pintas en la relación de 14

blancas por cada pinta. Extraemos un puñado de 100 judías.

a) ¿Cuál es la distribución de las proporciones muestrales?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de judías pintas esté entre

0,05 y 0,1?

26.- En la elección para formar parte del consejo escolar, un alumno ha recibido

un 55% de votos desfavorables, si se elige una muestra de 40 alumnos que

han votado.

a) ¿Cuál es la distribución que sigue la proporción de votantes que le han

votado?

b) Halla la probabilidad de que más del 40% de los votantes de la muestra

le votasen.


4.- INFERENCIA ESTADÍSTICA.

INTERVALOS DE CONFIANZA

1.- Estimación

En la Teoría de Muestras (tema anterior), comenzamos a ver como se distribuían las

medias de las muestras a partir de la media y la desviación típica de la población; es decir,

obteníamos información de la muestra a partir de la población. En la realidad no es fácil

conocer la media y la desviación típica de la población y sí en cambio la de las muestras.

Desde el punto de vista práctico es mucho más interesante inferir información sobre

una población a partir de las muestras extraídas de ella, este es el problema que plantea la

Estadística Inferencial y que trata de resolver de dos formas:

Buscando estadísticos muestrales que puedan considerarse buenos estimadores de

los parámetros poblacionales que es lo que hace la Estadística Inductiva, bien:

Mediante un único valor o estimación puntual.

Mediante un intervalo o estimación por intervalos.

Planteando hipótesis sobre la población y el uso de de los datos de una muestra

para saber si son aceptables o no, que es lo que hace la Estadística Deductiva a

través de los contrastes de hipótesis.

En este tema nos centraremos en la estimación de parámetros.

Es necesario el conocimiento de las relaciones existentes entre los estadísticos

muestrales y los parámetros de la población. Como estos últimos se infieren de los

estadísticos es necesario conocer la distribución muestral de estos estadísticos.

Distinguiremos, por tanto, entre:

1. Parámetros poblacionales: Que son los índices centrales y de dispersión que

definen a una población.

Representaremos la media poblacional por y la desviación típica por .

En el caso de proporciones, la proporción de población que tiene una determinada

característica la denotaremos por p y la que no la cumple por q =1 – p.

2. Estadísticos muestrales: Son los índices centrales y de dispersión que definen a una

muestra.

Representaremos la media muestral por x y la desviación típica por s.

En el caso de proporciones, la proporción de muestra que tiene una determinada

característica la denotaremos por p̂ y la proporción que no la cumple por 1q p ˆ ˆ .


3. Estimador de un parámetro poblacional desconocido, es un estadístico que nos da

un valor que pertenece al conjunto de valores que puede tomar el parámetro que se estima.

Para la mayoría de las muestras ese valor está próximo al parámetro poblacional desconocido.

Como la muestra es aleatoria, el estimador también será una variable aleatoria con una

cierta distribución de probabilidad, llamada distribución muestral del estadístico:

Para la media muestral: ,Nn

Y para la proporción muestral: ,pq

N pn

(Se considerarán las muestras de tamaño n 30 para poder aplicar el Teorema Central

del Límite y asegurar la distribución anterior)

¿En qué consiste, por tanto, el problema de la estimación de parámetros?

Como vamos a disponer de una muestra, lo que podemos calcular es x y s (o bien p̂

y q̂ ), y a partir de estos intentar estimar quienes tienen que ser y (o bien p y q), los reales

para la población.

Esta estimación puede hacerse de dos formas: estimación puntual y estimación por

intervalos.

a) Estimación puntual

Consiste en tomar como valor del parámetro poblacional desconocido (, p,…), el de

un estadístico ( x , p̂ ,…), obtenido de una muestra aleatoria elegida de la población objeto de

estudio, es decir, al valor ofrecido por el estimador sobre una muestra. Ahora bien, para que el

estimador funcione de forma correcta y proporcione estimaciones precisas del valor del

parámetro, deberá cumplir ciertos requisitos; estas propiedades de los estimadores son:

Centrado o insesgado: la media de la distribución muestral del estadístico

coincide con el valor del parámetro poblacional que se va a estimar; en caso

contrario, diremos que es sesgado.

La diferencia entre el verdadero valor del parámetro que se estima y la media del

estimador mide el error cometido al utilizar el estimador, y se denomina sesgo. Es

evidente que un estimador es centrado si y sólo si su sesgo es cero.

La media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional. La

proporción muestral es un estimador insesgado de la proporción poblacional.

Eficiente: de entre varios estimadores, el más eficiente será el que tenga menor

varianza.

Tanto la media muestral como la proporción muestral tendrán mayor eficiencia al

aumentar el tamaño de las muestras.


Consistente: al aumentar el tamaño de la muestra, el valor del estimador tiende al

valor del parámetro estimado.

Por ejemplo, cuando decimos que la altura media de los adolescentes es de 1,75 m

estamos haciendo una estimación puntual; en cambio, si decimos que la altura media de los

adolescentes está entre 1,73 y 1,77 m estamos haciendo una estimación por intervalos.

La estimación puntual (el valor de es aproximadamente x ) es poco útil, pues sólo

se obtiene un valor como aproximación al que se trata de estimar, sirve de poco mientras

desconozcamos cuál es el grado de aproximación de x a . Por ese motivo se procede a la

estimación mediante un intervalo.

b) Estimación por intervalos de confianza

A partir de una muestra aleatoria de tamaño n podemos estimar el valor de un

parámetro de la población del siguiente modo:

Dando un intervalo dentro del cual confiamos que esté el parámetro con una

probabilidad prefijada. Se llama intervalo de confianza.

Hallando la probabilidad de que el intervalo de confianza contenga el verdadero

valor del parámetro. A dicha probabilidad se le llama nivel de confianza.

Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, mayor eficacia tendremos en nuestra

estimación. Esta eficacia se manifiesta de dos formas:

En el tamaño del intervalo (cuanto más pequeño, más precisos estamos siendo).

En el nivel de confianza (más nivel de confianza significa más seguridad en la

estimación).


2.- Intervalo de confianza para la media de una

población

Sea una población de partida que sigue una distribución Normal, N(, ). Se

desconoce la media poblacional, , y queremos estimarla mediante un intervalo.

Para estimar se recurre a una muestra de tamaño n de la cual se obtiene una media

muestral, x .

Puede ocurrir:

1º Se conoce la desviación típica poblacional, .

Si la población de partida es normal, o si el tamaño de la

muestra es n 30, entonces el intervalo de confianza de con un

nivel de confianza de (1 ) 100% es:

2 2. . ,I C x z x zn n

A cada nivel de confianza le corresponde un valor crítico 2z correspondiente a la

distribución normal N(0, 1) y que cumple: 2 2( ) 1P z Z z . Los valores de 2z

se obtienen, como ya vimos, en la tabla normal.

2º No se conoce la desviación típica poblacional, .

En este caso, si el tamaño de la muestra es n 30, se puede estimar , utilizando la

desviación típica de la muestra, s, mediante la expresión:

2 2. . ,s s

I C x z x zn n

Ejemplos

1.- De una población normal conocemos su desviación típica, = 11,8 y

desconocemos su media, . Para estimarla, extraemos una muestra de 20

elementos cuya media ha sido 87. Estima mediante un intervalo, con un

nivel de confianza del 90%.

2.- El peso de los alumnos de Bachillerato de cierta ciudad tiene una media

desconocida y una desviación típica de 5,4 kg. Tomamos una muestra

aleatoria de 100 alumnos de Bachillerato de esa ciudad. Si la media de la

muestra es de 60 kg, calcula con un nivel de confianza del 99% el intervalo

de confianza para el peso medio de todos los alumnos de Bachillerato de la

ciudad.


3.- Para estimar la media de los resultados que obtendrían al resolver

un cierto test los alumnos de 4º de ESO de toda una comunidad

autónoma, se les pasa dicho test a 400 de ellos escogidos al azar.

A partir de los resultados de la tabla, estima con un nivel de

confianza del 95% el valor de la media de la población.

Ejercicios

4.- Sabemos que una variable estadística se comporta como una N(, 10). Para

estimar extraemos una muestra de tamaño 100, cuya media resulta ser igual

a 37. Estima mediante un intervalo de confianza del 90%.

5.- Una muestra aleatoria de 9 tarrinas de helado proporciona los siguientes

pesos en gramos: 88, 90, 90, 86, 87, 88, 91, 92, 89.

Halla un intervalo de confianza al 95% para la media poblacional sabiendo

que el peso de las tarrinas tiene una distribución normal con una desviación

típica de 1,8 g.

6.- La vida media de una muestra tomada al azar de 121 bombillas es de 3000

horas, y la desviación típica, de 220 horas. Calcula el intervalo de confianza

aproximado para la media poblacional para un nivel de confianza del 99%.

xi fi

1 24 2 80 3 132 4 101 5 63


3.- Error máximo admisible. Tamaño de las

muestras.

El intervalo de confianza para la media poblacional es un

entorno centrado en x y de radio 2zn

.

Por tanto, el error máximo admisible (cota de error) para la estimación de medias

viene dado por:

2E zn

De esta expresión deducimos que el error máximo admisible verifica las siguientes

propiedades:

Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, menor es el error cometido, E (más

estrecho es el intervalo, es decir, más afinaremos en la estimación), pero también

es mucho más caro el estudio.

Cuanto mayor sea el nivel de confianza, 1 (es decir, cuanto más seguros

queramos estar de nuestra estimación), mayor será 2z , por tanto, mayor es el

error que cometemos, E.

Vemos que depende de tres elementos: 2z , y n. De estos tres elementos, son

controlables dos de ellos: 2z y n. Variándolos pueden obtenerse intervalos más o menos

amplios.

El intervalo de confianza de es:

. . ,I C x E x E

El margen de error admisible es la amplitud del intervalo de confianza:

2·A E 22A zn

, o bien, 2A x E x E E = Extremo superior - Extremo inferior

De esta expresión podemos deducir la siguiente: . . . .

2

Ext Sup Ext InfE

Además, se verifica que: . . . .

2

Ext Sup Ext Infx

x Ext Inf E . . . .x Ext Sup E


Tamaño de las muestras

Hemos visto que el tamaño de las muestras es inversamente proporcional al error

admisible. Por lo tanto, el tamaño mínimo que ha de tener una muestra se obtiene despejando

n en la expresión de E:

2

2

zE z n

En

2

2zn

E

Nota: n debe ser un número entero. Tomaremos como valor de n el entero

inmediatamente superior al número obtenido.

Observamos que el tamaño de la muestra es:

Tanto mayor cuanto mayor sea 2z , o sea, cuanto menor sea y mayor sea

1 . Es decir, para aumentar el nivel de confianza debemos aumentar el

tamaño de la muestra.

Tanto mayor cuanto menor sea E. Es decir, para ser más precisos en la

estimación hemos de aumentar el tamaño de la muestra.

Ejemplos

7.- Un psicólogo quiere medir el tiempo de reacción de sus pacientes y para ello

toma una muestra de 175 pacientes y realiza la estimación con un nivel de

confianza del 99%. Sabiendo que la desviación típica es de 0,05 segundos.

¿Qué error máximo ha cometido?

8.- La desviación típica de los resultados de las distintas mediciones que se

realizan para calcular la duración un proceso es = 0,5 s. ¿Cuál es el número

de medidas que hay que realizar para que, con un 99% de confianza, el error

de la estimación no exceda de 0,1 s?

9.- La duración de bombillas de una determinada marca sigue una distribución

normal de media desconocida y desviación típica 50 horas. Para estimar la

duración media se toma una muestra de 385 bombillas. ¿Con qué nivel de

confianza realizaremos la estimación si el error cometido es inferior a 5

horas?


10.- Un fabricante de pilas alcalinas sabe que el tiempo de duración, en horas, de

las pilas que fabrica sigue una distribución normal de media desconocida y

varianza 3600.

Con una muestra de su producción elegida al azar y un nivel de confianza del

95% ha obtenido para la media el intervalo de confianza (372,6; 392,2)

a) Calcula el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño

muestral utilizado.

b) ¿Cuál sería el error de su estimación si hubiese utilizado una muestra de

tamaño 225 y un nivel de confianza del 96,9%?

Ejercicios

11.- Sabemos que la desviación típica de los pesos de los pollos adultos es 300 g.

Queremos estimar el peso medio de los pollos adultos de una granja con un

error menor que 100 g, y para ello, tomamos una muestra de 50 individuos.

¿Con qué nivel de confianza podremos realizar la estimación?

12.- Las calificaciones obtenidas por los estudiantes de Matemáticas siguen una

ley Normal de media desconocida y desviación típica 1,03. Para una muestra

de esa población se obtiene que (7,301; 7,385) es un intervalo de confianza,

al 94%, para la media poblacional.

a) Determina la media muestral.

b) Determina el tamaño de la muestra.


4.- Intervalo de confianza para una proporción

Sea una población de partida que sigue una distribución Binomial, B(n, p). Se desea

estimar la proporción, p, de individuos con una cierta característica que hay en la población.

Como no conocemos p, se recurre a una muestra de tamaño n, en la que se obtiene una

proporción muestral p̂ , que podemos tomar como valor estimado muy próximo a p.

Entonces, el intervalo de confianza de p con un nivel de confianza (1 ) 100% es:

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ. . ,

p q p qI C p z p z

n n

xp

nˆ , siendo x el número de éxitos que se presentan en las n pruebas.

Ejemplos

13.- Se hizo una encuesta a 325 personas mayores de 16 años y se encontró que

120 iban al teatro regularmente. Halla, con un nivel de confianza del 94%, un

intervalo para estudiar la proporción de los ciudadanos que van al teatro

regularmente.

14.- Tomada una muestra de 300 personas mayores de 15 años en una gran

ciudad, se encontró que 104 de ellas leían el periódico regularmente. Hallar,

con un nivel de confianza del 90%, un intervalo para estimar la proporción

de lectores de periódicos entre los mayores de 15 años.

Ejercicios

15.- Se ha lanzado un dado 400 veces y se ha obtenido 72 veces el valor 4.

Estimar el valor de la probabilidad P(4) con un nivel de confianza del 90%.

16.- Se ha estudiado una muestra formada por 40 niños de 6 años y se ha

observado que 15 de ellos dan positivo en una prueba de agresividad. Hallar

el intervalo de confianza al nivel del 95% para el parámetro proporción de

positivos ante el test de agresividad para la población formada por todos los

niños españoles de 6 años.


5.- Error máximo admisible. Tamaño de las

muestras.

El intervalo de confianza para la proporción es un entorno

centrado en p̂ y de radio 2

p qz

n

ˆ ˆ.

Por tanto, el error máximo admisible (cota de error) para la estimación de

proporciones viene dado por:

2

p qE z

n

ˆ ˆ

El intervalo de confianza de p es:

I C p E p E ˆ ˆ. . ,

El margen de error admisible es la amplitud del intervalo de confianza:

2A E 22p q

A zn

ˆ ˆ

, o bien, 2A p E p E E ˆ ˆ Extremo superior Extremo inferior

De esta expresión podemos deducir la siguiente: . . . .

2

Ext Sup Ext InfE

Además, se verifica que: 2

Ext Sup Ext Infp

. . . .ˆ

ˆ . .p Ext Inf E ˆ . .p Ext Sup E

Tamaño de las muestras

El tamaño mínimo de la muestra se obtiene despejando n en la expresión del error,

E:

2

2

z p qp qE z n

n E

ˆ ˆˆ ˆ2

2

2

z p qn

E

ˆ ˆ

Nota: n debe ser un número entero. Tomaremos como valor de n el entero

inmediatamente superior al número obtenido.


Ejemplos

17.- A la vista del resultado del problema 14, se pretende repetir la experiencia

para conseguir un error máximo de 0,01 con el mismo nivel de confianza del

90%. ¿Cuántos individuos debe tener la muestra?

18.- A partir de una muestra de 100 individuos se ha estimado una proporción

mediante el intervalo de confianza (0,17; 0,25). ¿Cuál es el nivel de

confianza con el que se ha hecho la estimación?

19.- Se desea estimar la proporción de individuos daltónicos de una población a

través del porcentaje observado en una muestra aleatoria de individuos, de

tamaño n.

a) Si el porcentaje de individuos daltónicos en la muestra es igual al 30%,

calcula el valor de n para que, con un nivel de confianza de 0,95, el error

cometido en la estimación sea inferior al 3,1%.

b) Si el tamaño de la muestra es de 64 individuos, y el porcentaje de

individuos daltónicos en la muestra es del 35%, determina, usando un

nivel de significación del 1%, el correspondiente intervalo de confianza

para la proporción de daltónicos de la población.

Ejercicios

20.- Una encuesta realizada en cierto país sobre una muestra de 800 personas

arroja el dato de 300 son analfabetas. Para estimar la proporción de

analfabetos del país, hemos obtenido el intervalo de confianza (0,3414;

0,4086). ¿Con qué nivel de confianza se ha hecho la estimación?

21.- ¿Cuántas veces hemos de lanzar un dado, que suponemos levemente

incorrecto, para estimar la probabilidad de “6” con un error menor que

0,002 y un nivel de confianza del 95%?


Ejercicios finales

Intervalo de confianza para la media

22.- Deseamos valorar el grado de conocimientos en historia de una población de

varios miles de alumnos. Sabemos que = 2,3. Nos proponemos estimar

pasando una prueba a 100 alumnos.

a) Calcular el intervalo característico para x correspondiente a una

probabilidad de 0,95.

Una vez realizada la prueba a 100 alumnos concretos, se ha obtenido una

media 6,32x .

b) Hallar el intervalo de confianza de con un nivel de confianza del 95%.

23.- Se sabe que la dedicación media de los jóvenes al ocio sigue una distribución

normal de media 400 minutos y desviación típica 63 minutos. Halla el tamaño

mínimo de la muestra de jóvenes que garantiza con una probabilidad de 0,95

que el tiempo medio de ocio está entre 382 y 418 minutos.

24.- Una asociación de consumidores toma una muestra de 100 paquetes de arroz

de cierta marca para los que obtiene una media de 485 g y una desviación

típica de 10 g .Calcula el intervalo de confianza al nivel del 95% para el peso

medio de los paquetes de la marca en cuestión.

25.- La desviación típica de las estaturas de los soldados es de 5,3 cm. ¿Qué

tamaño ha de tener la muestra para estimar la estatura media, , de la

población con un error menor que 0,5 cm y con un nivel de confianza del

95%?

26.- Una variable aleatoria sigue una ley Normal con media desconocida y

desviación típica 2,6. Se quiere estimar la media poblacional, con un nivel de

confianza del 94%, para lo que se toman dos muestras de distintos tamaños.

a) Si una de las muestras tiene tamaño 14 y su media es 10,6, ¿cuál es el

intervalo de confianza correspondiente?

b) Si con la otra muestra el intervalo de confianza es (9,342; 12,158), ¿cuál

es la media muestral? ¿Cuál es el tamaño de la muestra?


Intervalo de confianza para la proporción

27.- En una muestra de 100 rótulos publicitarios, se observa que aparecen 6

defectuosos.

a) Estima la proporción real de rótulos defectuosos, con un nivel de

confianza del 99%.

b) ¿Cuál es el error máximo cometido al hacer la estimación anterior?

c) ¿De qué tamaño tendríamos que coger la muestra, con un nivel de

confianza del 99%, para obtener un error inferior a 0,05?

28.- Se realizó una encuesta a 350 familias preguntando si poseían ordenador en

casa, encontrándose que 75 de ellas lo poseían. Estima la proporción real de

las familias que disponen de ordenador con un nivel de confianza del 95%.

29.- En una muestra de 120 personas extraída de cierta población, 20 de ellas

eran portadoras de un virus. Estima el intervalo de confianza para el

porcentaje de personas de la población que son portadores de ese virus, con

un nivel de confianza del 90% y 99%.

30.- Se ha lanzado 90 veces una chincheta para estimar la probabilidad que caiga

con la punta hacia arriba. El resultado de la estimación ha sido el intervalo

(0,63; 0,71). ¿Con qué nivel de confianza se ha hecho la estimación?

A la vista del resultado anterior, si quisiéramos estimar el suceso “punta

hacia arriba” con un error menor que 0,01 y un nivel de confianza del 95%,

¿cuántas veces tendríamos que tirar la chincheta?

31.- Tomada al azar una muestra de 60 alumnos de la universidad, se encontró

que un tercio hablaban el idioma inglés.

a) Halla, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo para estimar la

proporción de alumnos que hablan el idioma inglés entre los alumnos de la

universidad.

b) A la vista del resultado anterior se pretende repetir la experiencia para

conseguir una cota de error del 0,01 con el mismo nivel de confianza del

90%. ¿Cuántos individuos ha de tener la muestra?


6.- Resumen

Distribuciones de las medias muestrales

Se desconoce la media , de una población, cuya desviación típica, , sí es conocida.

Para estimar se recurre a una muestra de tamaño n de la cual se obtiene una media muestral, x .

Si la población sigue una distribución normal N(, ), y extraemos de ella muestras de tamaño n, la distribución de las medias muestrales sigue también una distribución

normal (independ. del tamaño de la muestra): ,Nn

a) Intervalo de confianza para la media:

2 2x z x z x E x En n

, ,

2z : valor crítico.

1 : probabilidad : nivel de significación. (1 ) 100% : nivel de confianza.

2 2 22 1P Z z P z Z z ( ) ( )

b) Amplitud del intervalo de confianza para la media: 22

A z

n

c) Error máximo admisible: 2E zn

d) Tamaño de la muestra:

2

2zn

E

Distribuciones de las proporciones muestrales

Se desea estimar la proporción, p, de individuos con una cierta característica que hay en

la población. Para ello se recurre a una muestra de tamaño n, en la que se obtiene una

proporción muestral p̂ .

a) Intervalo de confianza para una proporción:

2 2

p q p qp z p z p E p E

n n

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, ,

p̂ : proporción de la muestra.

1q p ˆ ˆ

b) Amplitud del intervalo de confianza para la proporción: 22p q

zn

ˆ ˆ

c) Error máximo admisible (cota de error): 2

p qE z

n

ˆ ˆ

d) Tamaño de la muestra:

22

2

z p qn

E

ˆ ˆ


TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR, N(0, 1)

k 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706

1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857

2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890

2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916

2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936

2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964

2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974

2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981

2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993

3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995

3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997

3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998

3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998

3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

4,0 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

bloque temÁtico i: probabilidad y estadÍsticamatemáticas apl. cc. sociales ii: probabilidad y...

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