bloque 7 tema 1 -...
TRANSCRIPT
Bloque 7 Tema 1Las cuentas de andar por casa
Resumen
1. Los distintos tipos de números1.1. NATURALES. N1.2. ENTEROS. Z1.3. RACIONALES. Q1.4. IRRACIONALES. I1.5.REALES. R
1.5.1. INTERVALOS2. Los porcentajes.
2.1.Cálculo de porcentajes2.2. Aumento y disminución de porcentajes2.3. Porcentajes en la economía
2.3.1. iva2.3.2.Interés simple2.3.3. IPC2.3.4. Hipoteca
Índice
1.1. NATURALES. NLos números naturales están formados por todos los números positivos.
N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
Los números naturales los representamos en una recta ordenados de menor a mayor:
▪ Conmutativa: el orden de los sumandos o de los factores no varía el resultado.
Ej: 4+2 = 2+4; 3·5 = 5·3
▪ Asociativa: el orden en que se realicen las sumas o multiplicaciones no varía elresultado.
Ej: (3+1)+2 = 3+(1+2); (2·7)·3 = 2·(7·3)
▪ Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: esta propiedad permite transformar productos en sumas y al revés.
Ej: 3·(2+6) = 3·2 + 3·6
▪ Factor común: cuando se aplica la propiedad distributiva para transformaruna suma o una resta en un producto, se dice que se ha sacado factorcomún.
Ej: 5·3 + 2·3 = 3·(5+2); 6·9 – 6·5 = 6·(9 - 5)
Para calcularlos:
1º descompongo cada número en producto de factores primos
2º es m.c.d. es igual al producto de los factores primos comunes elevados al
menor exponente.
3º el m.c.m. es igual al producto de los factores primos, comunes y no comunes,
elevados al mayor exponente
Un número es divisible por 2 si acaba en cero o en cifra par.
Un número es divisible por 3 si lo es la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Un número es divisible por 5 si acaba en O o en 5.
Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3 al mismo tiempo.
Un número es divisible por 10 si acaba en 0.
Un número es divisible por 11 si lo es la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar impar y la suma de las que ocupan lugar par
1.2. ENTEROS. Z
• Son los números naturales precedidos del signo + y – y el “0”
• Los representamos en la recta real de la siguiente manera:
• Regla de los signos:
Ej: (+3)·(-2)=(-6)
• El opuesto de un número entero es el mismo número pero cambiado de signo.
Ej: el opuesto de -5 es 5 y el de 3 es -3
• El valor absoluto de un número entero es el número natural que se obtiene al
quitarle el signo al número inicial, luego |-7| = 7.
Jerarquía de operaciones:
Cuando hay que realizar varias operaciones con números, se debe seguir el
siguiente orden:
1º Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves, del más
interno al más externo.
2º Calcular las potencias y raíces.
3º Efectuar los productos y cocientes de izquierda a derecha.
4º Realizar las sumas y restas.
Ej: 4· [ -9·(8-6-4) -8 ] +2·[ - (-9+3+9) -3 ] = 4·[-9·(-2)-8]+2·[-(+3)-3] =
= 4·[18 - 8]+2·[-6] = 4·10+2·(-6) = 40-12=28
1.3. RACIONALES. Q𝑁 ∈ 𝑍 ∈ 𝑄
Los racionales aparecen cuando al dividir números enteros no obtenemos un
número entero, es decir, no sale exacto sino con decimales.
NÚMEROS RACIONALES
DECIMAL EXACTO
¾=0,75 DECIMAL
PERIÓDICO PURO
1/3=0,333…
DECIMAL
PERIÓDICO MIXTO
13/6=2,166666…
El inverso de un número es aquel que al multiplicarlo por el número da
como resultado 1.
Para representar un número racional en la recta real, debemos dividir cada
parte entera en tantas como nos indique el denominador, y después contar
tantas partes subdivididas como nos indique el numerador:
Fíjate cómo está dividida la
parte entera
correspondiente al intervalo
del 0 al 1 en DOS mitades.
Fíjate cómo se han
contado 3 partes
subdivididas.
OPERACIONES CON RACIONALES:
▪ SUMA y RESTA:
Si tienen el mismo denominador, se suman o se restan los numeradores y se
mantiene el denominador:
▪ SUMA y RESTA:
Si tienen diferente denominador, se debe realizar el m.c.m de los denominadores
para convertirlos en fracciones equivalentes con el mismo denominador y proceder
sumando o restando los numeradores y manteniendo el denominador:
Fíjate: 1º calculo mcm (4,5) = 4·5=20
2º ¿de dónde sale el 15 y el 4?. Pues muy fácil,
en la primera fracción hago la siguiente
operación: 20:4 = 5 → 5·3=15
el mcm el denominador el numerador
Y lo mismo hacemos con la otra: 20:5=4 → 4·1= 4
▪ MULTIPLICACIÓN:
Se halla un nuevo número racional cuyo numerador es el producto de los
numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores:
RECUERDA
SIMPLIFICAR
SIEMPRE. SI SE
PUEDE
▪ DIVISIÓN:
Se halla un nuevo número racional cuyo numerador es el producto del numerador
de la primera por el denominador de la segunda y cuyo denominador es el
producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda:
▪ POTENCIACIÓN:
2 ·3
2−1
3+
5
12= 2 ·
9
6−2
6+
5
12= 2 ·
7
6+
5
12
=2
1·7
6+
5
12=14
6+
5
12=28
12+
5
12=33
12=11
4
EJEMPLO DE OPERACIONES COMBINADAS DE RACIONALES
La jerarquía de operaciones trabaja igual que con los enteros.
NOTACIÓN CIENTÍFICA
La notación científica se utiliza para expresar números muy grandes o muy
pequeños. Un número en notación científica se escribe como el producto de un
número (entero o decimal) y una potencia de 10. Este número siempre es 1 o más
y menos de 10, es decir la parte entera sólo tiene un dígito distinto de cero.
Por ejemplo: 0,0000075 mm en notación científica sería 7,5·10-6 mm.
6000000000 es 6x109
1.4. IRRACIONALES. I
Estos números son aquellos que tienen infinitas cifras decimales no periódicas,
algunos de estos números son: ∏, e, √2 ó √3
1.5. REALES. R
Es el conjunto de
números que contiene a
todos los anteriormente
estudiados.
1.5.1. INTERVALOSSe llama intervalo determinado por dos números reales a todos los
números que se pueden representar en la recta real entre ambos, es decir
a todos los números que puedo colocar en el segmento de recta real
determinado por dos número reales.
A los números que determinan el intervalo se les denomina extremos.
Éstos puede que nos interese incluirlos en el intervalo o no, por eso se
diferencia entre ABIERTO ( ) y CERRADO [ ]
Este intervalo se dibuja CERRADO,
lo que indica que el -2 y el 3, que
son sus extremos pertenecen a él, y
lo escribimos: [-2,3]
Este intervalo se dibuja ABIERTO, lo
que indica que el -2 y el 3, que son sus
extremos no pertenecen a él, y lo
escribimos: (-2,3)
También podemos mezclar abiertos y cerrados: (9,15] ó [-5, -2)
2. CÁLCULO DE PORCENTAJESPorcentaje quiere decir partes por 100. Cuando dices "por ciento" en realidad
dices "por cada 100". Así que, 50% quiere decir 50 por 100. Así, el 50% de
algo, sería multiplicar ese algo por 50/100 o por 0,5→ RAZÓN DE
PROPORCIONALIDAD.
APLICAR % A UNA CANTIDAD
MULTIPLICANDO POR EL DECIMAL O LA FRACCIÓN
QUE REPRESENTA AL
PORCENTAJE
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
45 alumnos · 0,2 = 9 alumnos
aprobaron el curso
También se nos puede dar el caso
de que nos pregunten otra
incógnita que no sea la cantidad
exacta que corresponde a un
porcentaje aplicado a un valor
total
2.2. AUMENTOS Y DISMINUCIONES DE PORCENTAJES
Cuando una cantidad (que es el 100%) aumenta o disminuye en un porcentaje, se
convierte en otra cantidad. En una situación real de este tipo pueden darse tres
situaciones:
1.- ¿Qué cantidad resulta al aumentar o disminuir ésta en un tanto por ciento?
2.- Si una cantidad se convierte en otra, ¿en qué porcentaje ha variado?
3.- Una cantidad aumentó o disminuyó en un tanto por ciento. Si ahora es
esta cantidad, ¿cuánto era antes ?
1.- ¿Qué cantidad resulta al aumentar o disminuir ésta en un tanto por ciento?
Ejemplo: Un libro costaba hace dos meses 18 €, si su precio ha aumentado
un 12 %, ¿cuánto cuesta ahora?
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
RAZÓN DE PROPORCIONALIDAD
el precio del libro a aumentado en 2,16 €, luego
ahora cuesta 18 + 2,16 = 20, 16 €.
18€ + 12% de 18€ = 18 + 0,12 · 18 =
= 18 · (1+0,12) = 18 ·1,12 = 20, 16€
lo que se hace es que el 1 representa el
100 por 100 del libro y el 0,12 el aumento
en el precio
2.2. AUMENTOS Y DISMINUCIONES DE PORCENTAJES
Si lo que tenemos es una DISMINUCIÓN del porcentaje se procede igual pero en
lugar de sumar la porción aumentada se resta:
18 - 2,16 = 15,84 € si se hace con regla de tres y 18·(1- 0,12) = 15,84€ con la
razón de proporcionalidad.
2.- Si una cantidad se convierte en otra, ¿en qué porcentaje ha variado?
Ejemplo: Si una bicicleta antes de las rebajas costaba 1400€ y luego 1275€, ¿Qué
porcentaje de descuento nos han hecho?
¿De dónde sale ese número?. Nos preguntan por el descuento = lo que NO
vamos a pagar. Por tanto, lo que dejamos de pagar es: 1400 – 1275 = 125 €.
Y por eso calculamos el porcentaje que representa esos 125€ respecto del
total.
3.- Una cantidad aumentó o disminuyó en un tanto por ciento. Si ahora es ”tanto”,
¿cuánto era antes ?
Ejemplo: Si la cantidad de lluvia en nuestra ciudad de la década pasada a ésta, ha
disminuido un 55% y ahora es de 35mm por metro cuadrado ¿Cuánto llovía antes?
2.2. AUMENTOS Y DISMINUCIONES DE PORCENTAJES
Cuando una cantidad cambia a otra en un determinado porcentaje, el 100% es
siempre la cantidad antigua. Si es un aumento, la cantidad nueva representará
un porcentaje mayor que 100% del antiguo. Si es una disminución, representará
un porcentaje menor que 100%.
¿De dónde sale? si antes llovía un 100% y ahora llueve un 55% MENOS,
entonces ahora llueve 100 - 55 = 45%.
2.3. PORCENTAJES en ECONOMÍA
2.3.1. IMPUESTO SOBRE EL VALOR AÑADIDO: IVA
Es un impuesto que cualquier proveedor debe añadir al importe de cualquier
producto. El valor de ese impuesto es un porcentaje del importe de la compra, y
varía entre diferentes % según el producto.
Ejemplo: Cuánto tendremos que pagar con IVA incluido del 21%, por un coche cuyo
precio sin IVA es de 20.500€.
Es un aumento porcentual: precio sin IVA · 1,21= 20500·1,21 = 24.805 €
Recuerda que también puedes resolverlo con regla de tres, aunque de esta forma es
más rápido.
2.3.2. EL INTERÉS SIMPLE
Las entidades financieras (bancos, cajas de ahorro) dan a sus clientes una
cantidad de dinero anual que es proporcional al dinero que tienen guardado o
depositado en ellas. Esta cantidad de dinero se llama interés.
Donde:
i es el interés; c el capital; r el tipo de interés y t los años.
Ejemplo: Isabel tiene ahorrados 3.000,00 € en la caja de ahorros del barrio,
que le da un 2,5% anual por este dinero. ¿Qué interés le produce su capital
al final de año?
𝑖 =𝑐 · 𝑟 · 𝑡
100=3000 · 2,5 · 1
100=7500
100= 𝟕𝟓€
2.3.3. EL INDICE DE PRECIOS AL CONSUMO: IPC
Es un índice que refleja cada mes la variación (aumento o, a veces, disminución)
que sufren los precios de los productos que consumimos en España. Este índice
se mide en tanto por ciento.
Esto no quiere decir que cualquier producto de consumo haya subido o bajado ese
porcentaje. El IPC se obtiene como una media de la variación de los precios en el
mes anterior.
El IPC es importante, pues suele utilizarse como base para los incrementos de los
sueldos de los trabajadores cada año, pensiones, becas, etc.
2.3.4. HIPOTECA
¿QUÉ MIRAR?
INTERÉS FIJO O VARIABLE
DURACIÓN EURIBOR
TAE
Precio que nos cobra el
banco por darnos un
préstamo, a la cantidad
prestada la llamamos
CAPITAL. El interés se
calcula aplicando un
porcentaje sobre el capital
pendiente de devolución.
INTERES FIJO: siempre
pago la misma cuota
porque el % no cambia.
INTERÉS VARIABLE: el
% varía en función de un
índice (suele ser el
Euribor) y también lo hace
la cuota; para bien o para
mal.
Los plazos
cortos tienen
mensualidades
más altas, pero
podremos negociar
mejores
condiciones.
Plazos más
largos tienen
peores
condiciones pero
permiten que la
mensualidad
media sea más
accesible.
Es el tipo de interés al
que se prestan entre sí
las entidades
financieras.
Este índice suele ser el
referente para decidir
qué tipo de interés
variable nos afecta
durante ese año,
semestre.. Según esté
negociado en las
condiciones
hipotecarias.
TASA ANUAL
EQUIVALENTE. Es un
dato fundamental, nos va
a permitir comparar unas
ofertas con otras. Es una
referencia orientativa del
coste o rendimiento
efectivo anual de un
producto financiero
independientemente de su
plazo. Aunque diferentes
bancos me ofrezcan el
mismo interés, la TAE en
cada caso será distinta si
varía otros aspectos.
A menor T.A.E. menor
coste del préstamo
Fin