matematika
TRANSCRIPT
M a t e m a t i k a
Text pre posluchá£ov
Medzinárodnej ²koly manaºmentu v Pre²ove
Lev Bukovský
Ústav matematických vied, Prírodovedecká fakulta UPJ�
Ko²ice, 2007
Obsah
1 �ísla a po£ítanie s nimi 2
2 Funkcia a jej graf 5
3 Sústava lineárnych rovníc 9
4 Lineárna Optimalizázia 17
5 Limita 23
6 Derivácia 26
Literatúra 27
PredslovMatematika je dnes ²iroko rozvinutá vedná disciplína, ktorá vychádza z po-
trieb iných oblastí ©udského poznania. Je charakteristická svojou metódou za-loºenou na abstrakcii a dedukcii. Mnohé pomerne jednoduché výsledky sa dajúvýhodne vyuºi´ napr. pri analýze ekonomickej situácie a pri rozhodovaní. Pouvedení základných potrebných poznatkov sa venujeme nieko©kým typickýmaplikáciam tohoto charakteru. Chceme uvies´ ²tudentov do najzákladnej²íchprostriedkov matematiky vyuºívaných v ekonomických vedách. Vzh©adom narozsah predmetu nie je moºné, aby ²tudent získal schopnosti aktívne vyuºíva´metódy matematiky, ale má sa zoznámi´ s ich moºnos´ami, aby v prípade po-treby mohol poºiada´ odborníka o pomoc. Získané schopnosti majú prispie´ klogickému mysleniu ²tudenta. Na cvi£ení má ²tudent získa´ ur£itú rutinu vovyuºívaní uvedených poznatkov, hlavne rutinu v elementárnom po£ítaní.
Predloºený text obsahuje informácie dvojakého druhu:1) v prípade, ºe poºadovaný materiál nie je obsiahnutý vôbec alebo je obsia-
hnutý len ve©mi stru£ne v texte [�H], je tento materiál podrobne prezentovaný,2) uvádza pasáºe z u£ebného textu [�H], ktoré by mal posluchᣠna²tudova´.Text bol pôvodne pripravený v decembri 2005 a na základe reakcií poslu-
chá£ov bol v roku 2006 a 2007 doplnený a upravený. Z technických a hlavne£asových dôvodov som nemohol niektoré obrázky vsunú´ do textu a tak ichdávam ako osobitnú prílohu.
Ko²ice, 11. novembra 2007Lev Bukovský
1
1 �ísla a po£ítanie s nimi
Prirodzené £ísla0, 1, 2, . . . , 1 000, 1 001, . . . , 1 000 002, . . .
vieme spo£íta´ a násobi´2 + 3 = 5, 137 + 843 = 980, 49 · 51 = 2499, 17 · 23 = 297
ale nie vºdy ich vieme odpo£íta´211− 123 = 88, 78− 78 = 0, 45− 54 =?
Preto uvaºujeme celé £ísla. . . ,−100,−99, . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . , 199, 200, . . . .
Tieto vieme spo£íta´, násobi´−4 + (−7) = −11, −8 + 18 = 10, 2 · (−5) = −10, (−3) · (−7) = 21
a aj odpo£íta´(−7)− 6 = −13, 6− (−5) = 11, 6− 16 = −10
ale nie vºdy ich vieme deli´100 : 25 = 4, 1 024 : 64 = 16, 100 : 3 =?
Preto uvaºujeme zlomky, t. j. racionálne £ísla
123
43,
−25
7,
200
8,
237
987.
Tieto uº vieme spo£íta´, násobi´, odpo£íta´ a aj deli´
13
7± 21
5=
65± 147
35,
13
7· 115
=141
35,
13
7:11
5=
13 · 57 · 11
.
Pytagoras okolo roku 600 pred. Kr. po£ítal d¨ºku u uhloprie£ky ²tvorca so stra-nou 1. Pod©a Pytagorovej vety platí 12+12 = u2, teda u2 = 2. Pytagorejci v²akzistili, ºe neexistuje racionálne £íslu u s touto vlastnos´ou. Preto matematicizaviedli £ísla iracionálne√
2,√3, 3
√2, 3 +
√3, π, 2 + π.
V²etky uvedené £ísla (teda racionálne a aj iracionálne) sa nazývajú reálne £ís-la. Matematika a ani mnohé iné vedné disciplíny dnes bez iracionálnych £ísielnevedia existova´, aj ke¤ pri praktických výpo£toch vºdy pracujeme s £íslamiracionálnymi.
Opakované násobenie sa nazýva umoc¬ovanie. Mocnina ax má základ aa exponent alebo mocnite© x. Mocninu de�nujeme najprv pre exponenty xprirodzené £ísla
30 = 1, 41 = 4, 52 = 5 · 5 = 25, 53 = 52+1 = 52 · 5, . . . , 5101 = 5100 · 5.
�ahko vidie´, ºe pre ©ubovo©ný základ a a pre ©ubovo©né prirodzené £ísla n, mplatí
a0 = 1, an+m = an · am, (an)m = an·m. (1.1)
Hne¤ de�nujeme aj odmocninu: n√
a je také nezáporné (!!) £íslo b, ºe bn = a.Ke¤ºe b2 je vºdy nezáporné £íslo, obmedzíme sa pri po£ítaní mocnín aodmocnín len na kladný základ (aj 0 môºe robi´ problémy). Napríklad,
2
2√9 je 3, lebo 32 = 9. Pozor, aj (−3)2 = 9, ale odmocnina je nezáporné £íslo.
Podobne 6√64 = 2 lebo 26 = 64, aj ke¤ aj (−2)6 = 64.
V snahe zachova´ platnos´ týchto vz´ahov aj pre iné exponenty, si uvedomímetoto. 4−3 by malo by´ také £íslo, ºe 4−3 ·43 = 4−3+3 = 40 = 1. Teda 4−3 = 1/43.Teda pre záporné celé £íslo z = −n poloºíme
az = a−n =1
an.
Podobne postupujeme pre racionálne £íslo. 84/3 by malo by´ také £íslo, prektoré platí (82/3)3 = 82/3·3 = 82 = 64. Teda 82/3 = 4 lebo 43 = 64, t.j.82/3 = ( 3
√8)2 =
3√82. Teda vo v²eobecnosti (a > 0,m > 0)
anm = m
√an = ( m
√a)n, a−
nm =
1m√
an=
1
( m√
a)n.
Ak chceme ur£i´ kladné reálne £íslo x tak oby£ajne dáme jeho desiatkovýzápis, napríklad 0.3145 alebo 418.27 alebo 236. Pripome¬me, ºe 100 = 1 jejedna, 101 = 10 je desa´, 102 = 100 je sto, 103 = 1000 je tisíc,10−1 = 1/10 jejedna desatina, 10−2 = 1/100 je jedna stotina, 10−3 = 1/1 000 je jedna tisícina,at¤. Zápis x = 5327.23 znamená, ºe x je 5 tisíc 3 sto 2 desa´ (dvadsa´) 7 celé,23 stotín. Vo v²eobecnosti
x = xkxk−1 . . . x0.x−1 . . . x−n
= xk · 10k + xk−1 · 10k−1 + . . . + x1 · 10 + x0 · 1
+x−1 ·1
10+ x−2 ·
1
100+ . . . x−n ·
1
10n,
pri£om sme pokladali za samozrejmé, ºe xk, xk−1, . . . , x0, x−1, . . . , x−n sú de-siatkové £íslice 0, 1, . . . , 9. Niektoré £ísla majú nekone£ný desiatkový zápis,napríklad
1
3= 0.333 . . . ,
1
7= 0.142857142857142857 . . . , π = 3.1415927 . . . .
�asto, najmä v informatike, pouºívame dvojkový zápis. Vtedy máme len dve£íslice 0, 1 a platí
x = xkxk−1 . . . x0.x−1 . . . x−n|2= xk · 2k + xk−1 · 2k−1 + . . . + x1 · 2 + x0 · 1
+x−1 ·1
2+ x−2 ·
1
22+ . . . x−n ·
1
2n.
Teda100101|2 = 1 · 25 + 0 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 32 + 4 + 1 = 37.
Podobne
101.1101|2 = 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 + 1 · 2−1 + 1 · 2−2 + 0 · 2−3 + 1 · 2−4
= 4 + 1 +1
2+
1
4+
1
16= 5 +
13
16= 5.8125|10.
3
Pripomenieme tri dobre známe �vzorce�:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a− b)2 = a2 − 2ab + b2, (a + b) · (a− b) = a2 − b2.
Posledný vzorec moºno výhodne vyuºi´ pri násobení niektorých £ísiel (dokoncamoºno po£íta´ spamäti a �ohúri´� posluchá£a):
21 · 19 = (20 + 1)(20− 1) = 202 − 12 = 399,
37 · 43 = (40− 3)(40 + 3) = 402 − 32 = 1600− 9 = 1 591,
68 · 72 = (70− 2)(70 + 2) = 702 − 22 = 4900− 4 = 4 896.
Rovnica tvaru (a 6= 0)
x2 + px + q = 0, ax2 + bx + c = 0
sa nazýva kvadratická rovnica. Korene prvej rovnice vypo£ítame pod©a vzor-ca
x12 = −p
2±
√(p
2
)2− q
a korene druhej pod©a vzorca
x1,2 =−b±
√b2 − 4ac
2a.
�íslo D = (p/2)2 − q v prípade prvého tvaru a £íslo D = b2 − 4ac v prípadedruhého tvaru kvadratickej rovnice sa nazýva diskriminant. Ak D = 0 takrovnica má jeden kore¬, ak D > 0 tak rovnica má dva korene a kone£ne, akD < 0 tak rovnica nemá kore¬ (reálne £íslo). Napríklad, diskriminant rovnicex2 + x − 6 = 0 je D = (1/2)2 + 6 = 25/4,
√D = 5/2 a korene sú x1 =
−1/2−√
D = −3 a x2 = 1/2 +√
D = 2. Rovnica x2 + 4x + 5 = 0 nemá reálnekorene, lebo jej diskriminant D = −4/2−5 je záporný. Rovnica 3x−8x+5 = 0má dva reálne korene, lebo diskriminant D = (−8)2 − 4 · 3 · 5 = 4 je kladný ateda x1 = 8+2
6 = 5/3 a x2 = 8−26 = 1.
Ak x1, x2 sú korene rovnice x2 + px + q = 0 tak platí x2 + px + q = (x −x1)(x − x2). Teda p = −x1 − x2 a q = x1 · x2. To moºno niekedy výhodnevyuºi´ na uhádnutie kore¬ov kvadratickej rovnice. Napríklad, ak máme rovnicux2 − 2x− 15 = 0, tak zrejme 3− 5 = 2 a (−3) · 5 = −15. Teda korene uvedenejrovnice sú −3 a 5.
Na záver tejto £asti si pripomenieme e²te niektoré ozna£enia. 〈a, b〉 ozna£ujemnoºinu v²etkých takých £ísiel x, pre ktoré platí a ≤ x a x ≤ b, (a, b) ozna£ujemnoºinu v²etkých takých £ísiel x, pre ktoré platí a < x a x < b. Podobne〈a,+∞) ozna£uje mnoºinu v²etkých takých £ísiel x, pre ktoré platí x ≥ a. Teda〈0, 1〉 ozna£uje mnoºinu v²etkých takých £ísiel, prektoré platí 0 ≤ x ≤ 1, 〈0,+∞)ozna£uje mnoºinu v²etkých takých £ísiel v䣲ích alebo rovných 0.
4
2 Funkcia a jej graf
V matematike a mnohých jej aplikáciách hrá dôleºitú úlohu pojem funkcie.Aby sme lep²ie rozumeli funkcii, tak oby£ajne nakreslíme jej graf. Najprv sipriponieme nie£o o zobrazovaní bodov v rovine pomocou súradnicového systému.
Príklad 2.1 Banky denne oznamujú kurz meny niektorých ²tátov ako cenujednotky tejto meny v Sk. napríklad, kurz 1USD je 35.25 Sk. Na burze dokoncasa tieto kurzy menia z minúty na minútu. Teda, kurz USD alebo EURa samení s £asom. Hovoríme, ºe závisí od £asu. �as je v matematickom po¬atínezávislá premenná (nemôºeme ovplyvni´ jeho tok), ale kurz USDa aleboEURa je závislá premenná, závisí od £asu. Matematici hovoria, ºe kurz jefunkcia £asu.
V dennej tla£i táto závislos´ býva vyjadrená grafom:
Obrázok £. 1
Príklad 2.2 Podnikate©, vyrábajúci ur£itý produkt, si musí uvedomi´, ºe ná-klady na jeden produkt závisia od po£tu vyrobených produktov. Totiº, naza£iatku musí pripravi´ projekt výroby, ktorý predstavuje ur£ité náklady, po-tom musí nakúpi´ zariadenie, ktoré potrebuje k výrobe tohoto produktu. Tietonáklady v prvom priblíºení nezávisia od po£tu výrobkov. Pri výrobe kaºdéhoproduktu musí v²ak zaplati´ ©udskú prácu, ktorá je úmerná po£tu vyrobenýchproduktov a zaplati´ spotrebovanú energiu, ktorá je tieº priamo úmerná po£tuvyrobených produktov.
Túto závislos´ nákladov N(p) od po£tu výrobkov p môºeme dokonca pribliº-ne vyjadri´ �vzorcom�. Ozna£íme náklady na projekt a zariadenie, ktoré musípodnikate© nakúpi´, znakom N0. V prvom priblíºení zanedbávame amortizáciunakúpeného zariadenia. Ozna£íme ¤alej cenu ©udskej práce a energie, potrebnejna jeden výrobok ako k. Potom náklady N(p) na p výrobkov sú
N(p) = N0 + p · k.
Túto závislos´ je výhodné znázorni´ grafom:
-
6
0 p
n
6
?n0
����������������������������
Obrázok £. 2
5
Ku znázorneniu grafu pouºívame súradnicový systém. Dlhá ²ípka z©avadoprava je os x, na obrázku £. 2 sme ju nazvali os p a ²ípka idúca zdola nahorje os y, na obrázku £. 2 sme ju nazvali os n. Zvolíme si jednotku d¨ºky. Tánemusí by´ rovnaká pre obidve osi. Bod o súradniciach [a, b] znázorníme bodomna obrázku, ktorý je vzdialený od osi y o a jednotiek a od osi x o b jednotiek.
-
6
xa
b d
y
Obrázok £. 3Závislosti v obidvoch príkladoch predstavujú príklad funkcie. Funkcia f je
pravidlo, ktoré kaºdému prvku x danej mnoºiny priradí prvok y = f(x) inejmnoºiny. Naj£astej²ie sa stretneme s funkciami, ktoré kaºdému £íslu z danéhointervalu priradia £íslo. Funckia môºe by´ daná �vzorcom�. Napríklad funkciaz príkladu 2.2 bola daná vzorcom N(p) = N0 + k · p. Funkcia z príkladu 2.1býva oby£ajne zadaná tabu©kou. Banka uvádza ceny USD a EUR v ur£itých£asových okamºikoch: v tla£i sa udávajú kaºdý de¬, ale na burze je údaj zve-rejnený podstatne £astej²ie. Funckiu môºeme znázorni´ grafom tak, ako smeto urobili v predchádzajúcich príkladoch. Graf funkcie nám umoºní urobi´ silep²iu predstavu o vlastnostiach funkcie. Ilustrujeme to na príklade.
Obrázok £. 4
Na obrázku £. 4 je znázornený graf funkcie. �o môºeme bezprostredne�vy£íta´� z tohoto grafu. Pred bodom a funkcia rastie, v bode a má lokálnemaximum, od bodu a k bodu b, t.j. v intervale 〈a, b〉 funkcia klesá, v bodeb má maximum a od bodu c zase rastie. Ale za pov²imnutie stojí aj bod c.V bodoch a, b, c sú nakreslené doty£nice ku grafu funckie. Okolo bodu a jegraf funkcie pod doty£nicou, okolo bodu b je graf funckie nad doty£nicou. Vbode c graf funckie prechádza spod doty£nice nad doty£nicu. Sklon doty£nicevyjadruje rýchlos´ rastu funkcie. V bodoch, kde mala funkcia minimum alebomaximum doty£nica bola rovnobeºná s osou x a teda mala nulový sklon. Toodpovedá intuitívnej predstave, ºe vbode maxima alebo minima je rýchlos´ rastufunkcie nulová, presnej²ie, pred bodom maxima bola kladná � funckia rástla apo bode maxima za£ína by´ záporná � funkcia klesá. Podobne je to aj okolo
6
bodu minima. V bode c za£ala rýchlos´ rastu funkcie klesa´. Skúste si narysova´doty£nice ku grafu v bodoch intervalu (b, c). Zistíte, ºe ich sklon sa zv䣲uje.Ke¤ ich nakreslíte ale v intervale (b, c) tak zistíte, ºe ich sklon sa zmen²uje. Vbode sa rýchlos´ rastu prestala zv䣲ova´ a za£ala zmen²ova´. Takýto bod sanazýva in�eksný.
Mnoho ¤al²ích príkladov a aj upresnenie terminológie moºno nájs´v u£ebnom texte [�H], str. 11�32.
Na£trneme teraz grafy niektorých najjednoduch²ích funkcií. Za£neme s naj-jednoduch²ou funkciou, ktorá sa nazýva lineárna funkcia. Je daná vzorcomy = f(x) = k · x + q, kde k, q sú reálne £ísla. Jej graf je priamka. Vieme zgeometrie, ºe priamka je ur£ená dvomi bodmi. Teda sta£í vypo£íta´ hodnotulineárnej funckie v dvoch £íslach, príslu²né body zakresli´ do súradnicovej sústava spoji´ ich priamkou. �íslo k sa nazýva smernica priamky. Ak je kladné,priamka �ide nahor�, stúpa. Ak je záporné, priamka klesá.
Príklad 2.3 Nech y = f(x) = 1.2·x+5. V tomto prípade je výhodné vypo£íta´hodnoty f(0) = 5 a povedzme f(15) = 23. Do grafu teda zakreslíme body sosúradnicami [0, 5] a [15, 23] a spojíme ich priamkou.
-
6
c
c
5
23
15
%%
%%
%%
%%
%%
%%
%%
%%
%%
Obrázok £. 5
Príklad 2.4 Na obrázku £. 6 je zobrazený graf funkcie y = −1/4x + 10
7
-
6bb
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Obrázok £. 6
Graf kvadratickej funkcie y = x2 je parabola nakreslená na obrázku £. 7.Vo v²eobecnosti graf kvadratickej funkcie y = ax2+ bx+ c je parabola príslu²neposunutá a �stla£ená� alebo �roztiahnutá�.
Obrázok £. 7
Vrchol paraboly y = ax2 + bx + c je v bode o súradniciach [− b2a , b2
2a + c].Potrebujeme naviac pozna´ e²te aspo¬ dva body, aby parabola bola jednozna£neur£ená.
Na obrázku £. 8 je hyperbola, je to graf funkcie y = 1/x.
Obrázok £. 8
Príklad 2.5 Vrá´me sa k príkladu 2.2. Pre podnikate©a uºito£nej²iu informáciudá nie hodnota nákladov, ale priemerný náklad PN(p) na jeden výrobok. Tenzrejme závisí od po£tu výrobkov pod©a vz´ahu
PN(p) =N(p)
p=
N0 + p · kp
=N0
p+ k.
Graf takejto funckie je na obrázku £. 9 a je to £as´ posunutej hyperboly.
Obrázok £. 9
Graf funkcie y = ax, kde a > 1 nájdete v [�H] na str. . Ak 0 < a < 1 takgraf takejto funkcie získate ako zrkadlový obraz uvedeného grafu, kde zrkadlo jev osi y.
Uvaºujme dve funkcie f, g také, ºe platí f(g(b)) = b a g(f(a)) = a. Tedaak bod o súradniciach a, b leºí na grafe funkcie f , t.j. b = f(a), tak bod osúradniciach b, a leºí na grafe funkcie g , t.j. g(b) = a. Teda graf g dostanemeako zrkadlový obraz grafu f . Hovoríme, ºe funkcia g je inverzná k funkcii f .Napríklad funkcia g(x) =
√x je inverzná h funkcii g(x) = x2 pre x ≥ 0. Naozaj
platí f(g(x)) = x a g(f(x)) = x pre x ≥ 0. Vlastne, my sme√
x = y de�novalitak, aby platilo y2 = x (s predpokladom y ≥ 0).
Uºito£né je de�nova´ funkciu inverznú k exponenciálnej funkcii. Ke¤ºe hod-noty exponenciálnej funkcie sú kladné, inverzná funkcia bude de�nované len prekladné £ísla. Nazveme ju logaritmus so základom a:
loga x = y ak ay = x.
8
Napríklad log2 8 = 3, lebo 23 = 8, log10 100 = 2, lebo 102 = 100, log2√2 = 1/2,
lebo 21/2 =√2.
Umoc¬ovanie malo tri dôleºité vlastnosti (1.1) (a > 0):
a0 = 1, ax+y = ax · ay, (ax)y = ax·y.
Spo£ítanie exponentov sme nahradili vynásobením mocnín. To nie je najvhod-nej²ie, lebo násobenie je spravidla zloºitej²ia operácia ako spo£ítanie. Logarit-mus má v²ak opa£nú vlastnos´
loga 1 = 0, , loga(x · y) = loga x + loga y, loga(xy) = y · loga x.
Teda logaritmus sú£inu je sú£et logaritmov. To sa v praxi £asto vyuºíva. Oby-£ajne sa pouºíva logaritmus so základom 10. Má to tú výhodu, ºe log10 10
n = n.
Príklad 2.6 Známa historka hovorí, ºe vynálezca ²achu si od panovníka vy-pýtal jednoduchú odmenu: na prvé zrnko ²achovnice jedno zrnko p²enice, nadruhé polí£ko dvojnásobok a na kaºdé ¤al²ie polí£ko dvojnásobok predchádza-júce po£tu. Panovník samozrejme prikázal takejto skromnej ºiadosti vyhovie´.Dvorní radcovia v²ak vypo£ítali, ºe vynálezca si ºiada
1 + 2 + 22 + . . . + 264 = 265 − 1
zrniek a to je ve©mi ve©ké £íslo. Pomocou logaritmov ho odhadneme. V ta-bu©kách sme na²li (ke¤ neboli po£íta£e, kaºdý po£tár to vedel naspamä´), ºelog10 2 = 0.30103. Teda log10 2
65 = 65 · 0.30103 = 19.56695. Ke¤ºe log104 =log10 2
2 = 2 · 0.30103 = 0.60203, tak 0.56695 bude logaritmus £ísla x v䣲iehoako 2 a men²ieho ako 4. Potom log10 2
65 = 19 + log10 0.56695 = log10(1019 · x).
Teda h©adané £íslo x·1019 je men²ie ako 4·1019 a v䣲ie ako 2·1019. Samozrejmepre prvý odhad nám je jedno, £i x je 2, 3 alebo 4.
V predpo£íta£ovej dobe sa v technike intenzívne vyuºívalo logaritmické pra-vítko. Logaritmické pravítko je zaloºené na takomto jednoduchom princípe.Pravítko má pevnú a posuvnú £as´, na ktorej sú nanesené logaritmy £ísiel anamiesto násobenia sa mechanicky posunutím spo£ítajú logaritmy.
�asto potrebujeme nakresli´ funkciu, ktorá je exponenciála. Vieme v²ak ºeexponenciála rýchlo rastie a na papier sa nám zmestí len ve©mi malá £as´ grafufunkcie. Vtedy volíme iný postup. Namiesto funkcie f zobrazíme graf funkcielog10 f . Zmestí sa podstatne v䣲ia £as´.
3 Sústava lineárnych rovníc
V²etko niº²ieuvedené je v [�H], str. 125�134.Systém lineárnych rovníc o n neznámych. Rie²enie systému.Gaussova elimina£ná metóda má dve formy. Zniºujeme po£et neznámychtak, ºe pomocou jednej rovnice vyjadríme neznámu pomocou druhých a dosa-díme do ostatných rovníc. Pokra£ujeme kým nedostaneme len jedinú rovnicu ojednej neznámej. Tú vyrie²ime a rie²enie postupne dosadzujeme.
9
Príklad 3.1 máme rie²i´ systém líneárnych rovníc
3x− 7y + 6z = 1
4x + y − 10z = 4
12x + 8y − z = 51
Aby sme nemuseli deli´, tak z druhej rovnice vypo£ítame y
y = 4− 4x + 10z (3.2)
a dosadíme do prvej a tretej rovnice
3x− 7(4− 4x + 10z) + 6z = 1
12x + 8(4− 4x + 10z)− z = 51.
Po úprave dostaneme
31x− 64z = 29
−20x + 79z = 19
Teraz z prvej rovnice vypo£ítame x
x =29 + 64z
31(3.3)
a dosadíme do druhej:
−2029 + 64z
31+ 79z = 19.
Po úprave dostaneme1169z = 1169
a tedaz = 1.
Dosadíme do (3.3)
x =29 + 64
31=
93
31= 3.
Teraz dosadíme do (3.2) a dostaneme aj hodnotu y
y = 4− 4 · 3 + 10 · 1 = 2.
Druhá forma spo£íva v tom, ºe si uvedomíme základné vlastnosti sústavzrovníc a ich vyuºijeme. Ak máme sústavu lineárnych rovníc, tak po nasledov-ných zmenách, nazveme ich elementárne úpravy, sústava bude ma´ to istérie²enie ako pôvodná sústava:a) zmeníme poradie rovníc;c) vynásobíme (alebo vydelíme) jednu rovnicu sústavy;c) nenulový násobok niektorej rovnice pripo£ítame k inej rovnici.
10
Opakovaným pouºitím týchto úprav sa snaºíme dosta´ taký tvar sústavy, abyposledná rovnica obsahovala s nenulovým koe�cientom len poslednú neznámu,predposledná rovnica obsahovala (s nemulovými koe�cientami) len posledné dveneznáme at¤. Potom z poslednej rovnice bezprostredne dostávame hodnotuposlednej neznámej, dosadením do predposlednej rovnice dostaneme hodnotupredposlednej neznámej a tak pokra£ujeme nahor, pokia© nemáme celé rie²eniesústavy.
Príklad 3.2 Rie²ime sústavu
2x + 3y − z = 24x − 7y + 2z = 116x + 10y − 2z = 12
(3.4)
Dvojnásobok prvej rovnice odpo£ítame od druhej a trojnásobok prvej rovniceodpo£ítame od tretej rovnice:
2x + 3y − z = 20x − 13y + 4z = 70x + y + z = 6
Teraz vymeníme poradie posledných dvoch rovníc
2x + 3y − z = 20x + y + z = 60x − 13y + 4z = 7
a pripo£ítame 13 násobok druhej rovnice k tretej:
2x + 3y − z = 20x + y + z = 60x + 0y + 17z = 85
Z poslednej rovnice dostávame z = 5, dosadením do druhej má me y = 1 apotom z prvej x = 2.
Aby sme zjednodu²ili postup, nebudeme tieto úpravy robi´ s rovnicami, ale lens ich koe�cientami. Koe�cienty sústavy rovníc (3.4) usporiadma do tabu©ky,ktorú nazveme matica sústavy: 2 3 −1 2
4 7 2 116 10 −2 12
Teraz budeme robi´ elementárne úpravy len s koe�cientami rovníc, teda sprvkami matice, pokia© nedostaneme tzv. trojuholníkový tvar:a) vymenníme riadky matice;c) vynásobíme (alebo vydelíme) riadok matice;c) nenulový násobok niektorého riadku pripo£ítame k inému riadku.Dostaneme tak maticu, ktorá bude maticou sústavy rovníc, ktorá bude ma´ toisté rie²enie ako pôvodná sústava.
11
Príklad 3.3 Máme rie²i´ sústavu ²tyroch rovníc o ²tyroch neznámych:
x1 − 2x2 + 4x3 − 2x4 = 13x1 + x2 − 7x3 + 5x4 = 22x1 − 3x2 + 5x3 − 2x4 = 24x1 + x2 − 3x3 + 3x4 = 5
Matica sústavy bude 1 −2 4 −2 13 1 −7 5 22 −3 5 −2 24 1 −3 3 5
Túto maticu budeme postupne upravova´ takto:1) 1. riadok vynásobíme postupne £íslami 3, 2, 4 a odpo£ítame od 2., 3. a 4.riadku.2) 3. riadok vynásobíme postupne £íslami 7 a 9 a odpo£ítame od 2. a 4. riadku.3) Vymeníme 2. a 3. riadok.4) 3. riadok vynásobíme £íslom 4 a odpo£ítame od 4. riadku.
1 −2 4 −2 13 1 −7 5 22 −3 5 −2 24 1 −3 3 5
∼
1 −2 4 −2 10 7 −19 11 −10 1 −3 2 00 9 −19 11 1
∼
1 −2 4 −2 10 0 2 −3 −10 1 −3 2 00 0 8 −7 1
∼
1 −2 4 −2 10 1 −3 2 00 0 2 −3 −10 0 8 −7 1
∼
1 −2 4 −2 10 1 −3 2 00 0 2 −3 −10 0 0 5 5
Takto získaná matica
1 −2 4 −2 10 1 −3 2 00 0 2 −3 −10 0 0 5 5
(3.5)
odpovedá upravenej sústave rovníc
x1 − 2x2 + 4x3 − 2x4 = 1x2 − 3x3 + 2x4 = 0
2x3 − 3x4 = −15x4 = 5
Za£neme výpo£tom x4 z poslednej rovnice a postupujeme nahor. Dostávamepostupne x4 = 1, x3 = 1, x2 = 1 a x1 = 1.
Príklad 3.4 V predchádzajúcom príklade môºeme upravova´ maticu (3.5) ¤a-lej takto:1) posledný riadok delíme £íslom 5,
12
2) dvojnásobok 4.riadku pripo£ítame k 1. riadku a odpo£ítame od 2. riadku,3) 3.riadok delíme £íslom 3,4) 3.riadok vynásobený 4 odpo£ítame od 1. riadku a vynásobený 3 pripo£ítamek 2.riadku.5) Kone£ne 3. riadok násobíme £íslom 3 a pripo£ítame k 2. riadku.
1 −2 4 −2 10 1 −3 2 00 0 2 −3 −10 0 0 5 5
∼
1 −2 4 −2 10 1 −3 2 00 0 2 −3 −10 0 0 1 1
∼
1 −2 4 −0 30 1 −3 0 −20 0 2 −3 −10 0 0 1 1
∼
1 −2 4 −0 30 1 −3 0 −20 0 2 0 20 0 0 1 1
∼
1 −2 4 −0 30 1 −3 0 −20 0 1 0 10 0 0 1 1
∼
1 −2 0 −0 −10 1 −3 0 −20 0 1 0 10 0 0 1 1
∼
1 0 0 −0 10 1 0 0 10 0 1 0 10 0 0 1 1
Získaná matica je matica nasledujúcej sústavy rovníc, ktorá dáva bezprostrednerie²enie:
x1 = 1x2 = 1
x3 = 1x4 = 1
Uvaºujme sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych
a11x + a12y = b1 (3.6)
a21x + a22y = b2.
Kaºdá rovnica predstavuje rovnicu priamky v rovine. Rie²enie tejto sústavyx, y sú súradnice bodu spolo£ného obidvom priamkam. Ale dve primaky vrovine môºu by´ rôznobeºné, vtedy majú jeden spolo£ný bod a sústava má jednorie²enie. Ale môºu by´ aj rovnobeºné a vtedy nemajú spolo£ný bod a sústavanemá rie²enie. E²te sa môºe sta´, ºe obidve rovnice sústavy predstavujú tú istúpriamku. Vtedy má sústava nekone£ne mnoho rie²ení. Nasledujúce sústavy súpríkladom na uvedené tri prípady. Môºete sa o tom ©ahko presved£i´, jednaktým, ºe vyrie²ite dané sústavy rovníc a jednak tým, ºe nakreslíte priamky, ktoréjednotlivé rovnice predstavujú (spome¬te si, ºe k ur£eniu priamky sta£ia dvabody; najjednoduch²ie je voli´ x = 0 a vypo£íta´ y � dostaneme jeden bod,potom y = 0 a vypo£íta´ x � dostaneme druhý bod).
3x + 2y = 8 3x + 2y = 8 3x + 2y = 82x + 3y = 7 6x + 4y = 15 6x + 4y = 16
Je malá pravdepodobnos´, ºe tri priamky v rovine majú spolo£ný bod a zasejedna priamka neur£uje jeden bod. To je dôvod, pre£o spravidla rie²ime sústavu
13
dvoch rovníc o dvoch neznámych. Ak ide o tri neznáme, tak rovnica predsta-vuje rovnicu roviny v trojrozmernom priestor. Dve roviny sa bu¤ pretínajú vpriamke, alebo sú rovnobeºné (alebo splývajú). Uvedomte si v²etky moºnostivzájomnej polohy troch rovín. Zistíte, ºe tri rovnice o troch neznámych môºuma´ jedno rie²enie, celú �priamku� rie²ení, celú �rovinu� rie²ení, alebo ºiadnerie²enie.
Uvedieme e²te iný spôsob rie²enia sústavy rovníc, ktorý je uºito£ný aj ziných dôvodov.
Matica sústavy n rovníc o k neznámych mala n riadkov a k + 1 st¨pcov.Hovoríme, ºe je typu n× (k+1). Ak máme maticu typu n×n, tak jej priradíme£íslo D, ktoré sa nazýva determninant:
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1j . . . a1n
a21 . . . a2j . . . a2n
.... . .
...an1 . . . anj . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (3.7)
Ak matica bola typu n×n príslu²ný determinant je n�tého stup¬a. De�níciahodnoty D je pomerne zloºitá. My uvedieme návod na jej výpo£et, ktorý môºetepoklada´ za de�níciu.
Determinant matice typu 2× 2 vypo£ítame nasledovne:∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11 · a22 − a21 · a12.
Pre n > 3 kaºdému prvku aij determinantu (3.7), ktorý leºí v i-tom riadkua j-tom st¨pci, priradíme subdeterminant Sij typu (n − 1) × (n − 1), ktorývznikne z determinantu (3.7) tak, ºe vynecháme i-ty riadok a j-ty st¨pec. Navýpo£et £ísla D pouºijeme tzv. Laplace-ov rozvoj pod© i-teho riadku (pevnéi!) alebo j-teho st¨pca (pevné j!):
D =
n∑j=1
(−1)i+jaijSij =
n∑i=0
(−1)i+jaijSij . (3.8)
Sú£inite© (−1)i+j spôsobuje len zmenu znamienka príslu²ného s£ítanca.
Príklad 3.5 Rozviniem determinant 4-tého stup¬a pod©a 3-tieho riadku (+alebo - nad £íslom znamená hodnotu (−1)i+j):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+3 2 4 6−5 1 −4 8+−2
−4
+5
−−7
3 −7 2 6
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−2) ·
∣∣∣∣∣∣2 4 61 −4 8−7 2 6
∣∣∣∣∣∣− 4 ·
∣∣∣∣∣∣3 4 65 −4 83 2 6
∣∣∣∣∣∣+5 ·
∣∣∣∣∣∣3 2 65 1 83 −7 6
∣∣∣∣∣∣− (−7) ·
∣∣∣∣∣∣3 2 45 1 −43 −7 2
∣∣∣∣∣∣14
Teraz rozvinieme ten istý determinant pod©a 2. st¨pca:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+3
−2 4 6
5+1 −4 8
−2−4 5 −7
3+−7 2 6
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −(2) ·
∣∣∣∣∣∣5 −4 8−2 5 −73 2 6
∣∣∣∣∣∣ + 1 ·
∣∣∣∣∣∣3 4 6−2 5 −73 2 6
∣∣∣∣∣∣−4 ·
∣∣∣∣∣∣3 4 65 −4 83 2 6
∣∣∣∣∣∣ + (−7) ·
∣∣∣∣∣∣3 4 65 −4 8−2 5 −7
∣∣∣∣∣∣Takýto výpo£et je v²ak pracný. Pre po£ítanie determinantov platia podobné
(ale odli²né) pravidlá, ako pre prácu s maticami. Sformulujeme ich:1. ak v determinante vymeníme dva susedné riadky, determinant zmení zna-mienko,2. ak jeden riadok determinantu D vynásobíme £íslom a, tak hodnota determi-nantu bude a ·D,3. ak k riadku determinantu pripo£ítame násobok iného riadku, hodnota deter-miantu sa nezmení,4. tie isté pravidlá platia pre st¨pce determinantu.Podobne, ako sme vyuºili pravidlá na prácu s maticami na ich zjednodu²enie,vyuºijeme uvedené pravidlá na výpo£et determinantu. Základ stratégie výpo£tuje v získaní riadku alebo st¨pca, v ktorom je len jeden nenulový £len. Potom saLaplaceov rozvoj redukuje na jeden £len. Tak postupujem pokia© nedostanemedeterminant 2. stup¬a, ktorý potom jednoducho vypo£ítame.
Príklad 3.6 Vypo£ítame determinant
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣17 23 4 −123 −1 5 214 5 15 32 −3 5 16
∣∣∣∣∣∣∣∣Vyuºijeme −1 v druhom riadku a druhom st¨pci. Budeme pracova´ s druhýmriadkom, lebo ten obsahuje men²ie £ísla. Pripo£ítame 23, 5 a -3 násobok druhéhoriadku k 1., 3. a 4. riadku. V druhom st¨pci budeme ma´ jediný nemulový prvoka preto rozviniem determinant pod©a druhého st¨pca:
∣∣∣∣∣∣∣∣17 23 4 −123 −1 5 14 5 15 32 −3 5 16
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+86
−0 119 11
3+−1 5 1
19−0 40 8
−7+0 −10 13
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −0 · S12 + (−1) ·
∣∣∣∣∣∣86 119 1119 40 8−7 −10 13
∣∣∣∣∣∣− 0 · S32 + 0 · S42
15
Subdeterminanty S12, S32, S42 nemusíme po£íta´, lebo sú v rozvoji vynásobe-né £íslom 0. Podobne po£ítame subdeterminant S22. Najprv odpo£ítame 3-násobok druhého riadku od prvého. Potom pripo£ítame posledný riadok kprvému a potom dvojnásobok druhého st¨pca pripo£ítame k prvému st¨pcu.Urobíme Laplaceov rozvoj pod©a prvého riadku.
S22 =
∣∣∣∣∣∣86 119 1119 40 8−7 −10 13
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣29 −1 −1319 40 8−7 −10 13
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣22 −11 019 40 8−7 −10 13
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣0 −11 099 40 8−27 −10 13
∣∣∣∣∣∣ = −(−11) ·∣∣∣∣ 99 8−27 13
∣∣∣∣= 11 · (99 · 13− (−27) · 8) = 16533.
a tedaD = (−1) · S22 = −16533.
Pre rie²enie sústavy rovnícpomocou determinantov sa pouºítzv. Cramerovopravidlo. Ak máme sústavu n lineárnych rovníc o n neznámych x1, . . . , xn
a11x1 + . . . + a1n = b1...
......
an1x1 + . . . + annxn = bn
tak
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1j . . . a1n
a21 . . . a2j . . . a2n
.... . .
...an1 . . . anj . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣sa nazýva determinant sústavy rovníc. Determinant Di neznámej xi dosta-neme tak, ºe v determinante sústavy nahradíme i-ty st¨pec st¨pcom b1, . . . , bn.Potom platí:1. ak D 6= 0, tak sústava rovníc má jediné rie²enie dané vz´ahmi
x1 =D1
D, x2 =
D2
D, . . . , xn =
Dn
D.
2. Ak D = 0 a niektoré Di 6= 0, tak sústava nemá rie²enie.3. Ak D = D1 = . . . = Dn = 0, tak sústava má nekone£ne mnoho rie²ení.
Príklad 3.7 Rie²me sústavu
3x + 2y − 5z = 72x − 3y + 2z = −33x + y − 3z = 6
16
Determinant sústavy je
D =
∣∣∣∣∣∣3 2 −52 −3 23 1 −3
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣−3 0 111 0 −73 1 −3
∣∣∣∣∣∣ = −1 ·∣∣∣∣−3 111 −7
∣∣∣∣ = −(21− 11) = −10.
Determinanty neznámych x, y, z sú
Dx =
∣∣∣∣∣∣7 2 −5−3 −3 26 1 −3
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣−5 0 115 0 −76 1 −3
∣∣∣∣∣∣ = −1 ·∣∣∣∣−5 115 −7
∣∣∣∣ = −(35− 15) = −20.
Dy =
∣∣∣∣∣∣3 7 −52 −3 23 6 −3
∣∣∣∣∣∣ = −30, Dz =
∣∣∣∣∣∣3 2 72 −3 −33 1 6
∣∣∣∣∣∣ = −10
Tedax =
−20
−10= 2, y =
−30
−10= 3
−10
−10= 1.
4 Lineárna Optimalizázia
Mnoºina útvar v rovine, priestore, alebo viacrozmernom priestore sa nazývakonvexná alebo vypuklá, ak s kaºdými dvomi bodmi obsahuje aj úse£ku,ktorá ich spája. Na obrázku £. 10 je prvá mnoºina konvexná a druhá nie je:úse£ka spájajúca body A, B neleºí v tejto mnoºine. �ahko sa zistí, ºe spolo£ná£as´ dvoch konvexných mnoºín (útvarov) je zase konvexná mnoºina: ak mámedva body v polo£nej £asti, tak leºia v obidvoch a teda aj úse£ka, ktorá ich spája,leºí v obidvoch. Teda leºí aj v ich spolo£nej £asti.
Priamka rozdelí rovinu na dve polroviny. Konvexný mnohouholník s n vr-cholmi je spolo£ná £as´ n polrovín a teda je to konvexná mnoºina (pozri obrázok£. 12).
Iným príkladom konvexnej mnoºiny v rovine je kruh. Platí tvrdenie: kaº-dá konvexná mnoºina v rovine je spolo£ná £as´ polrovín. Ko©ko polrovín jepotrebné, aby sme dostali kruh ako ich spolo£nú £as´?
Podobne je to v priestore. Rovina rozdelí priestor na dva podpriestory. Kaº-dý z nich je vypuklá mnoºina. Konvexný mnohosten je spolo£ná £as´ nieko©kýchpodpriestorov. Skúste si to predstavi´!
Zatia© sme nechali bokom otázku �krajných� bodov. Priamka delí rovinu nadve polroviny, ale nehovorili sme o tom, kam padnú body priamky: do jednejpolroviny, do obidvoch alebo do ºiadnej. Odpove¤ môºe by´ pod©a situácie anemá vlpyv na urobené závery.
Bod konvexnej mnoºiny sa nazýva krajný bod ak neleºí vo vnútri ºiadnejúse£ky, spájajúcej dva (rôzne!) body tejto mnoºiny. Body A, B na obrázku £.12 sú krajné body, body C, D nie sú krajné.
17
����
������
�������
�����
HHHH
HHHHHH
HHHHHH
HHH
CCCCCCCCCCCCCCCC �
���������������
c c
cc
A
B
C
D
Obrázok £. 12V £asti 2 sme hovorili o lineárnej rovnici priamky. Tam uvedený tvar sa
nazýva aj explicitná rovnica priamky. Priamka môºe by´ daná aj implicitnenapríklad rovnicou
3x + 4y = 12.
Graf takejto priamky zostrojíme podobne ako v £asti 2. Nájdeme dva body atie priamku ur£ujú: ak y = 0 tak x = 4 a ak x = 0 tak y = 3. Teda priamkaprechádza bodmi o súradniciach [0, 3] a [4, 0].
-
6
e
eZZ
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
ZZObrázok £. 13
Body roviny o súradniciach [x, y], ktoré vyhovujú nerovnosti
3x + 4y ≥ 12,
18
leºia v polrovine ur£enou touto priamkou. Experimentálne môºeme zisti´, oktorú z dvoch polrovín ide. Vyskú²ame jeden bod, napríklad [0, 0]. Zistímeºe danej nerovnosti nevyhovuje, teda neleºí v ur£enej polrovine. Takºe tátonerovnica ur£uje polrovinu �nad priamkou�.
Po príprave základnych pojmov pristúpime k rie²eniu typickej úlohy lineárnejoptimalizácie.
Príklad 4.1 Firma F vyrába dve omá£ky A a B. Omá£ka A obsahuje majo-nézu, jogurt a smotanu v pomere 1:2:2 a predáva sa v cene 100.� Sk za liter.Omá£ka B obsahuje iba majonézu a jogurt v pomere 2:1 a predáva sa v cene80.� Sk za liter. Firma má na sklade 10 litrov majonézy, 10 litrov jogurtu a 20litrov smotany. Ko©ko ktorej omá£ky má �rma F vyrobi´, aby mala maximálnypríjem, za predpokladu, ºe v²etky vyrobené omá£ky predá?
Zavediem vhodné ozna£enie. Nech x ozna£uje mnoºstvo vyrobenej (a tedasaj predanej) omá£ky A v litroch a y ozna£uje mnoºstvo vyrobenej omá£ky B vlitroch. Dvojicu [x, y] nazveme rie²enie úlohy. Príjem �rmy v Sk bude
Z(x, y) = 100x + 80y.
Na²ou úlohou je nájs´ také hodnoty x, y, aby príjem �rmy bol maximálny. Mu-síme v²ak najprv sformulova´ podmienky na hodnoty £ísiel x, y, ktoré vyplývajúzo zadania úlohy. Takúto dvojicu £ísiel [x, y] nazveme prípustné rie²enie.
Na výrobu jedného litra omá£ky A potrebuje �rma 1/5 litra majonézy, 2/5litra jogurtu a 2/5 litra smotany. Podobne na výrobu jedného litra omá£kyB potrebuje �rma 2/3 litra majonézy a 1/3 litra jogurtu. Teda na výrobu xlitrov omá£ky A a y litrov omá£ky B potrebuje 1/5x + 2/3y litrov majonézy,2/5x + 1/3y litrov jogurtu a 2/5x litrov smotany. Zrejme hodnoty x a y súnezáporné. Ak vezmeme do úvahy momentálne zásoby �rmy, tak dostávamepodmienky, ktorým musia vyhovova´ £ísla x a y:
x ≥ 0, (4.9)
y ≥ 0, (4.10)
1/5x + 2/3y ≤ 10, (4.11)
2/5x + 1/3y ≤ 10, (4.12)
2/5x ≤ 20. (4.13)
Teda prípustné rie²enie úlohy musí vyhovova´ uvedeným nerovnostiam. V²etky²tyri nerovnosti hovoria o tom, ºe prípustné rie²enie úlohy [x, y] musí leºa´ vur£itej polrovine a teda, ak budú plati´ v²etky nerovnosti sú£asne (musia), takprípustné rie²enie leºí v konvexnej mnoºine, ktorá je spolo£nou £as´ou týchtopolrovín. Nazýva sa mnoºina prípustných rie²ení a teraz ju ur£íme ju.
Nerovnos´ (4.10) ur£uje polrovinu �napravo� od osi y. Podobne nerovnos´(4.11) ur£uje polrovinu �nad� osou x. Opí²eme polrovinu ur£enú nerovnos´ou(4.12). Najprv nájdeme priamku 1/5x + 2/3y = 10. Sta£í nájs´ dva body natejto priamke. Ak poloºíme y = 0 tak dostaneme x = 50. Podobne ak poloºímex = 0 tak y = 15. Teda sú to body P1 = [50, 0] a P2[0, 15]. Bod [0, 0] vyhovujenerovnosti (4.12), teda nerovnos´ (4.12) ur£uje polrovinu �pod� priamkou P1P2.
19
Podobne opí²eme polrovinu ur£enú (4.13). Rovnica 2/5x+1/3y = 10 ur£ujepriamku, ktorá prechádza bodmi P3 = [25, 0] a P4 = [0, 30]. Bod [0, 0] vyhovujenerovnosti (4.13), teda táto nerovnos´ ur£uje polrovinu �pod� priamkou P3P4.Nerovnos´ (4.13) ur£uje polrovinu �na©avo� od priamky kolmej na os x a idú-cej bodom [50, 0]. Konvexná mnoºina tých rie²ení úlohy [x, y], ktoré vyhovujúdanným podmienkám (4.10)�(4.13) je znázornená na obrázku £. 13.
Máme teda nájs´ taký bod [x, y] tohto útvaru � prípustné rie²enie, v ktoromfunkcia Z(x, y) má najv䣲iu hodnotu. Funkcia Z sa nazýva ú£elová funkciaa na²ou úlohou je maximalizova´ ú£elovú funkciu.
Uvedieme nejaké teoretické poznatky. Dôleºitou skuto£nos´ou je to, ºe fun-kcia Z(x, y) je lineárna. Totiº matematika vie, ºe lineárna funkcia na konvexnej
mnoºine nadobúda najv䣲iu a najmen²iu hodnotu v krajných bodoch tejto mno-
ºiny. V ¤al²om sa pokúsime £itate©a o tom presved£i´. Teraz to vyuºijeme krie²eniu na²ej úlohy. Na základe uvedeného tvrdenia sta£í nájs´ krajné body,vypo£íta´ v nich hodnoty Z(x, y) a vybra´ z nich najv䣲iu. Najprv ur£ímebod P5, ktorý je priese£ík priamok P1P2 a P3P4. Jeho súradnice sú rie²enímsústavy rovníc
1/5x + 2/3y = 10,
2/5x + 1/3y = 10.
Teda x = 50/3 a y = 10. Teda krajnými bodmi sú body o súradniciach [0, 0],[25, 0], [0, 15] a 50/3, 10]. Jednoduchým výpo£tom zistíme hodnoty funkcie Z vkrajných bodoch:
Z(0, 0) = 0, Z(25, 0) = 2500, Z(0, 15) = 1200, Z(50/3, 10).= 2466.
Teda najvä£ia hodnota je v rie²ení [25, 0]. Takºe �rma má vyrobi´ 25 litrovomá£ky A a jej príjem bude 2500 Sk.
Samozrejme vedenie �rmy nie je spokojné s takýmto rie²ením, lebo jej zo-stane nevyuºité 5 litrov majonézy a 10 litrov smotany. Preto sa rozhodnú preiný postup. Okrem výroby omá£iek budú predáva´ aj suroviny a to majonézupo 60 Sk za liter, jogurt po 30 Sk za liter a smotanu po 105 Sk za liter. Ako má�rma postupova´, aby mala maximálny príjem?
Podmienky na prípustné rie²enia úlohy sa nemenia, zmení sa len funkciavyjadrujúca príjem. Ak �rma vyrobí x litrov omá£kyA a y litrov omá£ky B, takje zostane k priamemu predaju 10−1/5x−2/3y litrov majonézy, 10−2/5x−1/3ylitrov jogurtu a 20− 2/5x litrov smotany. Potom príjem v Sk bude
Z(x, y) = 100x + 80y + 60(10− 1/5x− 2/3y) + 30(10− 2/5x− 1/3y)
+105(20− 2/5x) = 3000 + 34x + 30y.
Maximálna hodnota bude zase v krajných bodoch a teda po£ítame
Z(0, 0) = 0, Z(25, 0) = 3850, Z(0, 15) = 3450, Z(50/3, 10) = 3886.
V tomto prípade je maximum príjmu pri výrobe 50/3 litrov omá£ky A a 10litrov omá£ky B.
20
Vrá´me sa k pôvodnej úlohe. Najprv ur£íme, ko©ko ktorej omá£ky musí �rmavyrába´ ak chce ma´ príjem 1 000,1 200 prípadne 1 600 Sk. Tieto rie²enia súvyjadrené rovnicami 100x+80y = 1000, 100x+80y = 1200 a 100x+80y = 1600.Grafom týchto rovníc sú priamky na obrázku £. 15 (skontrolujte!).
-
6
5 10 15 20
5
10
15
20
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
Obrázok £. 15Priamky sú rovnobeºné (pre£o?). Vy²²iemu príjmu odpovedá priamka, ktorá je�vy²²ie�.
Máme maximalizova´ ú£elovú funkciu, t.j. príjem v mnoºine prípustnýchrie²ení. Teda máme h©ada´ priamku rovnobeºnú s priamkami na obrázku £. 15,ktorá je £o �najvy²²ie�, ale e²te stále má spolo£ný bod s na²ou konvexnou mno-ºinou prípustných rie²ení. Teda musí prechádza´ cez krajný bod tejto mnoºiny.Pozri obrázok £. 16.
Pri modi�kovanej úlohe priamka príjmu má inú smernicu a teda jej �najvy²-²ia� poloha prechádza cez bod P5. Pozri obrázok £. 17.
Budeme rie²´ podobnú úlohu.
Príklad 4.2 Podnikate© má na sklade tri suroviny A,B,C a to 450kg surovinyA, 240kg suroviny B a 600kg suroviny C. Má pripravenú výrobu dvoch výrobkov.Na ich výrobu potrebuje suroviny pod©a symbolického vyjadrenia 9a+4B+5Ca na druhý výrobok 5A + 4B + 12C. Zistil, ºe prvý výrobok môºe predáva´ po120 Sk a druhý po 110 Sk. Ko©ko ktorého výrobku má vyrobi´, aby dosiaholmaximálny príjem? Ak ozna£ímex mnoºstvo prvého výrobku a y mnoºstvodruhého výrobku, tak dostaneme obmedzenia:
x ≥ 0, y ≥ 0, 9x + 5y ≤ 450, 4x + 4y ≤ 240, 5x + 12y ≤ 600.
21
Teda mnoºina prípustných rie²ení je konvexná mnoºina ur£ená piatimi priam-kami: osou x, osou y a priamkami p1, p2, p3 ur£enými rovnicamiu
9x + 5y = 450, 4x + 4y = 240, 5x + 12y = 600.
Priamka p1 je ur£ená bodmi o súradniciach [50, 0] a [0, 90], priamka p2 je ur£enábodmi [60, 0] a [0, 60] a kone£ne priamka p3 je ur£ená bodmi [60, 25] a [0, 50](zvolili sme x = 60, lebo bod [0, 120] je ve©mi ¤aleko). Pozri Obrázok £. 18.
Ur£íme krajné body konvexnej mnoºiny prípustných rie²ení. Je ich 5 a prvétri sú body o súradniciach [0, 0], G o súradniciach [0, 50] a bod H = [50, 0].Bod E je prise£ík priamok p1 a p2, teda jeho súradnice [75/2, 45/2] sú rie²enímsústavy rovníc
9x + 5y = 450, 4x + 4y = 240.
Podobne bod F je priese£ík priamok p2 a p3 a jeho súradnice [120/7, 300/7] súrie²ením sústavy rovníc
4x + 4y = 240, 5x + 12y = 600.
Príjem podnikate©a je vyjadrený ú£elovou funkciou P (x, y) = 120x+110y. Vie-me, ºe maximálna hodnota bude v krajnom bode konvexnej mnoºiny prípust-ných rie²ení. Teda sta£í vypo£íta´ hodnoty
P ([0, 0]) = 0,
P (G) = 120 · 0 + 110 · 50 = 5500,
P (H) = 120 · 50 + 110 · 0 = 6000,
P (E) = 120 · 752
+ 110 · 452
=120 · 75 + 110 · 45
2=
13950
2,
P (F ) = 120 · 1207
+ 110 · 3007
=120 · 120 + 110 · 300
7=
47400
7
Ke¤ºe 13950/2 = 6975 a 47400/7 < 6775 tak maximálna hodnota je P (E).
Najdôleºitej²ou £as´ou rie²enia bolo ur£enie mnoºiny prípustný rie²ení a jej kraj-ných bodov. Ke¤ to vieme, môºeme 'ml ahko rie²i´ aj modi�káciu problému.
Príklad 4.3 V záp�'atí si v vsak podnikate© uvedomil, ºe pre neho nie je pod-staný najv�'a£²í príjem, lebo má aj ur£iténáklady. Zaujíma ho najv�'a£²í zisk. Akvezme do úvahy ceny surovín a náklady na výrobu jednotlivých výrobkov, takzis´uje, ºe fakticky pri predaji prvého výrobku za 110 Sk jeho zisk je 55 Sk a pripredaji druhého výrobku za 120 Sk jeho zisk je 60 Sk. Teda chce maximalizova´ú£elovú funkciu zisk Z(x, y) = 55x + 60y.
Výsledok zí skame ©ahko, lebo máme v vsetko pripravené. Maximálna hod-nota zisku bude v niektorom z krajný ch bodov mnoºiny prípustný ch rie²ení apreto sta£í vypo£íta´:
Z([0, 0]) = 0,
Z(G) = 55 · 0 + 60 · 50 = 3000,
22
Z(H) = 55 · 50 + 60 · 0 = 2750,
P (E) = 55 · 752
+ 60 · 452
=55 · 75 + 60 · 45
2=
6825
2,
P (F ) = 55 · 1207
+ 60 · 3007
=55 · 120 + 60 · 300
7=
24600
7
Ke¤ºe 6825/2 < 3413 a 24600/7 > 3514, tak maximálny zisk dosiahne privýrobe 17 kusov prvého výrobku a 42 kusov druhého výrobku, t.j. 3 455 Sk.
5 Limita
Príklad 5.1 Pozrite si graf funkcie na orbrázku £. 9. Ke¤ zvä£ujeme hodnotup, tak hodnota NP (p) sa pribliºuje k £íslu N0 a to vºdy viac a viac. Hovoríme,ºe N0 je limita funckie NP (p) pre p idúce do nekone£na. Budeme písa´N0 = limp→∞NP (p).
Príklad 5.2 �itate© si môºe upresni´ terminológiu pouºitú v tomto príklade v[�H], str. 114.
Keby klient vloºil do banky 100 000 Sk s úrokovou mierou 2% ro£ne, takpostupne po jednom, dvoch, desiatich, dvadsiatich rokoch jeho vklad vzrastiena hodnotu Sk
100 000 · (1 + 0.02) = 102 000, 100 000 · (1 + 0.01)2 = 104 040,100 000 · (1 + 0.02)10 = 121 899, 100 000 · (1 + 0.02)20 = 148 595.
Iná banka ponúka tieº ro£ný úrok 2%, ale pripo£íta ho kaºdý mesiac, teda zajeden mesiac je úroková sadzba 0.02/12. Keby klient dal do tejto banky vklad100 000 Sk, tak jeho vklad po jednom, dvoch, desiatich, dvadsiatich rokochvzrastie na hodnotu Sk
100 000 · (1 + 0.02/12)12 = 102 018, 100 000 · (1 + 0.02/12)24 = 104 078,100 000 · (1 + 0.02/12)120 = 122 120, 100 000 · (1 + 0.02/12)240149 133.
Tretia banka je e²te výhodnej²ia, pri ro£nej úrokovej miere 2% pripisuje úrokkaºdý týºde¬. Rok má 52 týºd¬ov a týºdenná úroková sadzba je 0.02/52. Tedahodnota vkladu by po jednom, dvoch, desiatich, dvadsiatich rokoch jeho vkladvzrástol na hodnotu Sk
100 000 · (1 + 0.02/52)52 = 102 020, 100 000 · (1 + 0.02/52)104 = 104 080,100 000 · (1 + 0.02/52)520 = 122 136, 100 000 · (1 + 0.02/52)1040 = 149 171.
�tvrtá banka je dokonca e²te výhodnej²ia, pri ro£nej úrokovej miere 2% pripisujeúrok kaºdý de¬. Rok má 365 dní a denná úroková sadzba je 0.02/365. Tedahodnota vkladu by po jednom, dvoch, desiatich, dvadsiatich rokoch vzrástla nahodnotu Sk
100 000 · (1 + 0.02/365)365 = 102 020, 100 000 · (1 + 0.02/365)730 = 104 081,100 000 · (1 + 0.02/365)3650 = 122 140, 100 000 · (1 + 0.02/365)7300 = 149 181.
23
Vidíme, ºe £ím �£astej²ie� pripo£ítava banka úrok, tým je to výhodnej²ie preklienta. Teda máme snahu h©ada´ banku, ktorá to robí £o naj£astej²ie.
Keby banka rok rozdelila na n £astí, tak by vklad klienta po jednom, dvoch,desiatich, dvadsiatich rokoch vzrástol na hodnotu Sk
100 000 · (1 + 0.02/n)n, 100 000 · (1 + 0.02/n)2n,100 000 · (1 + 0.02/n)10n, 100 000 · (1 + 0.02/n)20n.
�ubovo©ný vklad v po jednom, dvoch, desiatich, dvadsiatich rokoch jeho vkladvzrastie na hodnotu
v · (1 + 0.02/n)n, v · (1 + 0.02/n)2n, v · (1 + 0.02/n)10n, v · (1 + 0.02/n)20n.
Preto nás budú zaujíma´ koe�cienty
(1 + 0.02/n)n, (1 + 0.02/n)2n, (1 + 0.02/n)10n, (1 + 0.02/52)20n.
Tie v²ak môºeme napísa´ v inom tvare1
(1 + 0.02/n)n =((1 + 0.02/n)n/0.02
)1·0.02,
(1 + 0.02/n)2n =((1 + 0.02/n)n/0.02
)2·0.02,
(1 + 0.02/n)10n =((1 + 0.02/n)n/0.02
)10·0.02,
(1 + 0.02/52)20n =((1 + 0.02/n)n/0.02
)20·0.02.
Vonkaj²í exponent (1, 2, 10, 20) nezávisí od po£tu £astí, na ktoré delí bankajeden rok pre aplikáciu úrokovania, ale od po£tu rokov a úrokovej sadzby. Zau-jímavý je výraz (1+0.02/n)n/0.02, ktorý sa mení s po£tom £astí. V príklade 5.2hodnoty tohoto výrazu boli
(1 + 0.02/1)1/0.02 = 2.3906104, (1 + 0.02/12)12/0.02 = 2.71601994,(1 + 0.02/52)52/0.02 = 2.71775867, (1 + 0.02/365)365/0.02 = 2.71820634.
Keby sme vypo£ítali hodnoty tohoto výrazu pre v䣲ie hodnoty n, tak dostane-me
(1 + 0.02/1 000)1 000/0.02 = 2.71825465,(1 + 0.02/10 000)10 000/0.02 = 2.71827911,(1 + 0.02/100 000)100 000/0.02 = 2.71828156,(1 + 0.02/1 000 000)1 000 000/0.02 = 2.7182818.
My sme síce pracovali s £íslom 0.02/n, ale to nebolo podstatné. Fakticky smepo£ítali hodnoty £ísla (1+ 1/x)x pre stále v䣲ie £ísla x. Zistili sme, ºe so zvä£-²ujúcim sa £íslom x hodnota výrazu (1+1/x)x sa blíºi k £íslu 2.71828 . . .. Mate-matici hovoria, ºe limita £ísla pre x idúce do nekone£na je £íslo e = 2.71828 . . .,ktoré sa nazýva Eulerovo £íslo a jeho hodnota je
e = 2.71828182845 . . . .
1Je v tom ur£itá matematická schopno´ napísa´ jednoduchú vec zloºite. Inými slovami,
²krabem si ©avé ucho pravou rukou poza chrbát. Ale uvidíme, pre£o to tak robím.
24
Pripome¬me, ºe n! = 1 ·2 · . . . ·n. Napríklad 3! = 1 ·2 ·3 = 6, 7! = 1 ·2 ·3 · . . . ·7 =5 040, 10! = 3 628 800 a pod. Matematika vie, ºe
e = 1 +1
1!+
1
2!+
1
3!+ . . . +
1
n!+ . . . .
O £ísle e hovoríme aspo¬ z troch prí£in. Jednak to bol dobrý príklad na pojemlimity: £íslo e sme získali ako limitu ur£itého výrazu. Druhý dôvod je pragmatic-kej²í. Najvýhodnej²ie úrokovanie pre klienta je spojité úrokovanie, t.j. také,ke¤ sa jeden rok rozdelí na �nekone£ne� mnoho £astí n. Vtedy hodnota vkladuv pri ro£nej úrokovej sadzbe u za x rokov (x nemusí by´ celé £íslo) je v · eux.A tretia prí£ina je najdôleºitej²ia: £íslo e hrá dôleºitú úlohu v matematike ajej aplikáciách. Vlastne druhý dôvod je ²peciálnym prípadom tohoto. Logarit-mus so základom e sa nazýva prirodzený logaritmus, latinsky logarithmusnaturalis a ozna£uje sa
lnx = loge x.
Nebudeme �de�nova´� vz´ah limx→∞ f(x) = a. Sta£í, ke¤ ho intuitívnepochopíme z dvoch uvedených príkladov. Uvediem ¤al²í príklad.
Skuto£nos´, ºe x �sa blíºi� k a môºeme vyjadri´ ekvivalentne inak: nechx = a + h. Potom x sa blíºi k a vtedy a len vtedy, ke¤ h sa blíºi k 0. Teda,budeme skúma´ limh→0 f(a+ h) = limx→a f(x). �asto bude uºito£né ohrani£i´sa na h > 0 (t.j. x > a) alebo h < 0 (t.j. x < a). Vtedy hovoríme o limitesprava limx→a+ f(x) alebo limite z©ava limx→a+ f(x).
Príklad 5.3 V súlade s obrázkom £. 8 je rozumné hovori´, ºe limx→0+ 1/x =+∞ a limx→0− 1/x = −∞.
Uvedieme nieko©ko príkladov na výpo£et limít typu limx→a f(x) alebo ²pe-ciálneho prípadu limh→0 f(h). Presná de�nícia tohoto pojmu je v [�H], strany33 � 34. My zostaneme na intuitívnom pojme �blíºi´ sa�.
Najprv si uvedomíme jeden fakt. Ak funkcia f je �spojitá�, to znamená, ºe jejgraf moºno nakresli´ �bez zdvihnutia pera z papiera�, tak pre kaºdé a, v ktoromje funkcia de�npovaná, platí limx→a f(x) = f(a). Napríklad, limx→5(x
2 + 3x−1) = 52 + 3 · 5− 1 = 39. Alebo limx→1(x
7 − 6x4 + 4) = 17 − 6 · 14 + 4 = 5.Zrejme pre limity by mali plati´ základné princípy aritmetiky (ak sa dajú
pouºi´). Teda
limx→a(f(x) + g(x)) = limx→a f(x) + limx→a g(x),limx→a(f(x) · g(x)) = limx→a f(x) · limx→a g(x)),
limx→a(f(x)− g(x)) = limx→a f(x)− limx→a g(x),limx→a f(x)/g(x)) = limx→a f(x)/ limx→a g(x).
Samozrejme, v poslednom prípade musí by´ limx→a g(x) 6= 0. Podobné pravidláplatia aj pre x →∞ alebo x → −∞.
Príklad 5.4 Nech f(h) = (a+h)2−a2
h . Uvedené pavidlo nemôºeme pouºi´, lebolimh→0((a + h)2 − a2) = 0 a tieº limh→0 h = 0. Budeme postupova´ inak:
(a + h)2 − a2
h=
a2 + 2ah + h2 − a2
h= 2a + h.
25
Zrejme limh→0(2a + h) = 2a. Teda
limh→0
(a + h)2 − a2
h= 2a.
Príklad 5.5 Skúmajme limitu limh→0
1x+h−
1x
h pre x 6= 0. Podobne ako v pred-chádzajúcom prípade nemôºeme pouºi´ uvedené aritmetické pravidlá. Ale viemesi pomôc´.
1x+h −
1x
h=
1x+h −
1x
h=
x− (x + h)
(x + h)xh=
−1
(x + h)x
a teda
limh→0
1x+h −
1x
h= − 1
x2.
6 Derivácia
Príklad 6.1 Ak y = kx + q je rovnica priamky p, tak £íslo k sa nazýva smer-nica priamky p. Ak chceme napísa´ rovnicu doty£nice ku grafu funkcie f vbode a, tak nám sta£í pozna´ smernicu k doty£nice. Potom rovnica doty£nice jey = kx + q a £íslo q ur£íme z podmienky, ºe doty£nica musí prechádza´ bodom[a, f(a)]. Teda musí plati´
f(a) = ka + q, t.j. q = f(a)− ka.
Ak zvolíme ¤al²í bod na grafe tejto funkcie o súradniciach [a+ h, f(a+ h), takvieme ©ahko vypo£íta´ smernice se£nice, ktorá ide cez tieto dva body: je to £íslof(a+h)−f(a)
h .
Obrázok £. 19
Ak budeme £íslo h zmen²ova´, tak sa se£nica a aj jej smernica bude blíºi´ kdoty£nici a jej smernici. Teda smernica doty£nice bude
k = limh→0
f(a + h)− f(a)
h.
V obidoch príkladoch sa objavila limita toho istého výrazu. De�nujeme:£íslo limh→0
f(a+h)−f(a)h (ak existuje) sa nazýva derivácia funkcie f v bode a a
ozna£íme ho f ′(a). Teda derivácia dráhy (pod©a £asu) je rýchlos´, vo v²eobec-nosti derivácia funkcie udáva smernicu jej doty£nice v danom bode. Výsledokpríkladu 5.4 hovorí, ºe (x2)′ = 2x. Podobne, výsledok príkladu 5.5 hovorí, ºe(1/x)′ = −1/x2.
Pre výpo£et derivácií jednoduchých funkcií sú uºito£né nasledujúce vz´ahy(c je pevné £íslo, f, g sú funkcie).
(c)′ = 0, (xa)′ = a · xa−1, (ex)′ = ex, (ax)′ = ln a · ax, (lnx)′ =1
x,
(c · f(x))′ = c · f ′(x), (f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x),
26
(f(g(x)))′ = f ′(g(x)) · g′(x), (f(x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x),(1
f(x)
)′=−f ′(x)
(f(x))2,
(f(x)
g(x)
)′=
f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)(g(x))2
.
Pod©a toho, £i je derivácia funkcie kladná alebo záporná, vieme, £i funkciarastie alebo klesá. Ak má funkcia v bode a minimum alebo maximum, takderivácia je tam rovná 0. Pozri o tom v [�H], str. 79�80 a príklady na str.82�84.
Referencie
[CS] Cechlárová K. a Semani²in G., Lineárna optimalizácia, Prírodove-decká fakulta Univerzity P. J. �afárika, Edi£né sttredisko UPJ�, Ko²ice1999.
[�H] �oltés V. a Hudec O., Matematika I, Základné pojmy a príklady,Ekonomická fakulta TU, Ko²ice, Olympia, a.s., Ko²ice 2000.
27