2011-12 Güz

Temel Bilgiler 1 1-1

Haberleşme Sistemlerinde

Temel BilgilerGüz 2011-12

Tuncay ERTAŞ

1. Hafta

Tem

el B

ilgile

r

Bölüm I Sinyaller ve Sistemler

• Sinyaller ve Sınıflandırılması• Güç ve Enerji• Fourier Serileri• Fourier Transformu ve Özellikleri• Dirac Delta Fonksiyonu

2011-12 Güz

Temel Bilgiler 1 1-2

Tem

el B

ilgile

rSinyaller

Bir g(t) sinyali zamanın bir fonksiyonudurGerilim v(t) veya akım i(t) olabilir

Bir sinyalin fiziksel olarak gerçeklenebilmesi için, sinyal :

Zamanda sınırlı olmalıdır.Bant genişliği sonlu olmalıdır.Zamanda sürekli olmalıdır.Aldığı değerler sonlu olmalıdır.Gerçel değerli olmalıdır.

Tem

el B

ilgile

r

Periyodik ve Aperiyodik Sinyaller

Şeklinde ifade edilebilen sinyallere periyodik sinyaldenir.

Aksi takdirde g(t) aperiyodiktir.Yukarıdaki bağıntıyı sağlayan en küçük değerine sinyalin temel periyodu denir.

tTtgtg o ∀+= , )( )(

0T

2011-12 Güz

Temel Bilgiler 1 1-3

Tem

el B

ilgile

rGüç: Anlık ve Normalize

Bir devrede Anlık Güç :

Ohm kanunundan,

Anlık normalize güç R=1 Ohm alınarak bulunur:

g(t) bir gerilim veya bir akım olabileceğinden g(t)sinyalinin anlık normalize gücü:

olarak yazılır.

)()()( titvtp =

RtiR

tvtp )()()( 22

==

)()()( 22 titvtp ==

)()( 2 tgtp =

Tem

el B

ilgile

r

Ortalama Normalize GüçBir sinyalin ortalama normalize gücü anlık normalize gücünün zaman ortalaması alınarak bulunur:

burada zaman ortalaması operatörüdür.

∫−

∞→==

2/

2/

22 )(1lim)(T

TT

dttgT

tgP

⋅

2011-12 Güz

Temel Bilgiler 1 1-4

Tem

el B

ilgile

rGüç Sinyalleri

Ortalama normalize gücü sıfırdan farklı ve sonlu olan sinyale güç sinyali denir

Güç sinyalleri fiziksel olarak gerçeklenemez!Çünkü bu sinyaller ya sonsuza kadar devam eder ya da bir anda sonsuz bir değer alırlar. Dolayısı ile enerjileri sonsuzdur!

Güç sinyalleri periyodik veya aperiyodik olabilirler.

∞<< P0

Tem

el B

ilgile

r

Enerji SinyalleriBir sinyalin normalize enerjisi

olarak tanımlanır.

Enerjisi sıfırdan farklı ve sonlu olan sinyallereenerji sinyali denir. Öyle ki,

Dikkat: Enerji sinyallerinin ortalama gücü sıfırdır!

∫−

∞→=

2/

2/

2 )(limT

TT

dttgE

∞<< E0

2011-12 Güz

Temel Bilgiler 1 1-5

Tem

el B

ilgile

rSinyallerin Sınıflandırılması

Bir sinyal güç veya enerji sinyali olarak sınıflandırılır

Güç Sinyali:Enerji Sinyali:

Güç sinyalleri periyodik veya aperiyodik olabilir

Enerji sinyalleri daima aperiyodiktir.

∞<< E0∞<< P0

Sinyaller

EnerjiGüç

AperiyodikPeriyodik

Tem

el B

ilgile

r

Periyodik Sinyallerin GücüPeriyodik bir sinyalin ortalama normalize gücü, bir periyot boyunca anlık normalize gücünün ortalamasıdır.

Dikkat: Limit operatörüne gerek olmadığını fark ediniz!

∫−

=2/

2/

2 )(1 o

o

T

To

dttgT

P

2011-12 Güz

Temel Bilgiler 1 1-6

Tem

el B

ilgile

rÖrnek

Aşağıdaki g(t) sinyalinin ortalama normalize gücünü bulunuz.

∫− ==1

11

21

1 WattdtP

02− 11− 2

1

sinyalinin ortalama normalize gücünü bulunuz.)2cos( 0tfA π

WattAdttfTA

dttfAT

P

T

T

22)4cos(1

)2(cos1

2

0

02

00

22

=+

=

=

∫

∫π

π 0/1 fT =

Tem

el B

ilgile

r

Bazı Önemli Sinyaller

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Λ

TtTt

Tt

Tt

if0 if1

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Π

2 if0

2 if1

Tt

Tt

Ttrect

Tt

( )x

xxππ )sin(sinc =

-5 0 5

1

4321-4 -3 -2 -1x

sinc(x)

t

1

-T 0 T

Λ(t/T)

t

1

T/2-T/2

Π(t/T)

2011-12 Güz

Temel Bilgiler 1 1-7

Tem

el B

ilgile

rFourier Serisi

∑∞

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

1

222n o

no

nop Tntb

Tntaatg ππ sincos)(

dttgT

aT

Tp∫−=

2/

2/00

0

0

)(1

L.,,,,cos)(/

/32121 2

2 00

0

0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫− ndt

Tnttg

Ta

T

Tpn

π

L.,,,,sin)(/

/32121 2

2 00

0

0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫− ndt

Tnttg

Tb

T

Tpn

π

Periyodu olan bir sinyali için, )(tg p0T

Tem

el B

ilgile

r

Kompleks Fourier Serisi( ) ( ) ( )∑

∞

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

1

22

n onn

onnop T

ntjjbaT

ntjjbaatg ππ expexp

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<+=>−

=0,0,0,

njbananjba

c

nn

o

nn

n

( ) ∑∞

∞−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n onp T

ntjctg π2exp

L,,,,exp)(/

/21021 2

2 00

0

0

±±=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫− ndt

Tntjtg

Tc

T

Tpn

π

Genel olarak, nc katsayıları komplekstir. Dolayısı ile, ( )[ ]c c j cn n n= exp arg

Gerçel Değerli Sinyaller için, *nn cc =− , dolayısı ile de

c cn n− = ve ( ) ( )arg argc cn n− = −

2011-12 Güz

Temel Bilgiler 1 1-8

Tem

el B

ilgile

rÖrnek

( )⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤−=

için kalanıperiyodun ,022

, TtTAtg p

A

t

2T

−2T

0T

)(tg p

0T−

dtT

ntjAT

cT

Tn ∫− ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

2 00

0

0

21 /

/exp π

,....,,,sin 210 ±±=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= n

TTn

nA

o

ππ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

oo TnT

TTA sinc

( )ncaçı

π

π−0/Tn

Faz spektrumu

DİKKAT!Spektrum ayrıkDarbe parametrelerinin etkisiFaz tek, genlik ise çift simetriye sahip

nc

T3

0/1 T

T1

T2

T3

−T1

−T2

−

2.00

=TT0/TAT

00/Tn

Genlik spektrumu

Tem

el B

ilgile

r

Sinyal ve Frekans Spektrumu

Zaman

Genlik

Frekans

Frekans Ortamı

Zaman Ortamı

Fourier Dönüşümü

2011-12 Güz

Temel Bilgiler 1 1-9

Tem

el B

ilgile

rFourier Transformu

Bir aperiyodik g(t) sinyali için

Fourier Transformu genellikle komplekstir:Gerçel değerli bir sinyal için: Dolayısı ile,

çift simetri

tek simetri

( ) ( ) ( )[ ]G f G f j f= exp θ( ) ( )G f G f= −*

( ) ( )G f G f− =

( ) ( )θ θ− = −f f

( ) ( )g t G f←→ ( )[ ] ( )F g t G f= ( )[ ] ( )F G f g t− =1

( )∫∞

∞−−= dtftjtgfG π2exp)()(

( )∫∞

∞−= dfftjfGtg π2exp)()(

Fourier Transformu

Ters Fourier Transformu

g(t) nin Fourier transformuna g(t) nin Spektrumu da denir.

Tem

el B

ilgile

r

Örnek

g(t)

t

A

T/2-T/2T2

T2

−T3

T1

−T3

−T10

f

|G(f)|AT

∏ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

TtA

TtrectAtg )( ( )∫− −=

2

22

/

/exp)(

T

TdtftjAfG π

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

fTfTAT

ππsin

( )fTATsinc =

( )fTATTtA sincrect ⇔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2011-12 Güz

Temel Bilgiler 1 1-10

Tem

el B

ilgile

rÖrnek

( ) ( ) ( )g t t u t= −exp

( )∫∞

∞−−−= dtftjtfG π2exp)exp()(

( )[ ]∫∞

+−=0

21 dttfj πexp

=+

11 2j fπ

( ) ( )exp − ⇔+

t u tj f1

1 2π

( ) ( ) ( )g t t u t= −exp

( )∫∞

∞−−= dtftjtfG π2exp)exp()(

( )[ ]∫ ∞−−=

021 dttfj πexp

=−

11 2j fπ

( ) ( )exp t u tj f

− ⇔−

11 2π

t

g(t)

1

0

g(t)

t

1

0

Tem

el B

ilgile

r

Doğrusallık Özelliği( ) ( ) ( ) ( )ag t bg t aG f bG f1 2 1 2+ ⇔ +

( )( )

exp − ⇔+

tf

2

1 22

π

fjtg

π211)(1 +

⇔

( )fj

tgπ21

12 −

⇔( )G fj f j f

=+

+−

11 2

11 2π π

( ) )()(exp)( 21 tgtgttg +=−=

g(t)=exp(-|t|)

t0

1

( ) ( ) ( )tuttg −= exp1( ) ( ) ( )tuttg −= exp2

2011-12 Güz

Temel Bilgiler 1 1-11

Tem

el B

ilgile

rGenleştirme Özelliği

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇔

afG

aatg 1

[ ] ( )∫∞

∞−−= dtftjatgatgF π2exp)()(

yazarakat=τ

[ ] ∫∞

∞− ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= dt

afjg

aatgF τπτ 21 exp)()(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

afG

a1

Örnek

( )

( )

g t

at t

tt

=

− >

=

<

⎧

⎨⎪

⎩⎪

exp ,

,,

012

00 0

( ) ( )G fa j f a

=+

11 2π /

Tem

el B

ilgile

r

Dualite Özelliği( ) ( )fgtG −⇔

( )∫∞

∞−−=− dfftjfGtg π2exp)()( ve t ile f birbirinin yerine yazılırsa,

( )∫∞

∞−−=− dtftjtGfg π2exp)()(

Örnek

g(t)

t

A

W1

−W2

−W3

−W1

W2

W3

f

A/W

W/2-W/2

)( fG

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇔=Wfrect

WAWtAtg sinc)(

2011-12 Güz

Temel Bilgiler 1 1-12

Tem

el B

ilgile

rZamanda Öteleme Özelliği

Örnek

( ) ( ) ( )g t t G f j fto o− ⇔ −exp 2π

yazılırsa,0tt −=τ

( )[ ] ( ) )()(exp)(exp)(exp fGftjdfjgftjttgF ooo πττπτπ 222 −=−−=− ∫∞

∞−

( ) ( ) ( )fTjfTATfGa π−= expsinc

( ) ( ) ( )fTjfTATfGb πexpsinc=

)(tgb

t

A

-T 0

t

A

T0

)(tga

Tem

el B

ilgile

r

Frekansta Öteleme Özelliği

Örnek

( ) ( ) ( )exp j f t g t G f fc c2π ⇔ −

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] )(2exp2exp ccc ffGdtfftjtgtgtfjF −=−−= ∫∞

∞−ππ

( ) ( )g t A recttT

f tc=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ cos 2π

( ) ( ) ( )[ ]cos exp exp212

2 2π π πf t j f t j f tc c c= + −

[ ] [ ]{ }TffTffATfG cc )(sinc)(sinc)( ++−=2

[ ]

[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<+

>−≈

0,)(sinc2

0,)(sinc2)(

fTffAT

fTffAT

fG

c

c

T2cf

f

AT/2

cf−

|)(| fG

t

g(t)

A

T

cf1

1>>Tfc

2011-12 Güz

Temel Bilgiler 1 1-13

Tem

el B

ilgile

rg(t) ve G(f) Altında Kalan Alan

Örnek ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇔

Wfrect

WAWtA

222sinc

∫∞

∞−=

WAdtWtA

22 )(sinc

f=0 yazılırsa,

Ayrıca, özel olarak A=1 ve 2W=1 alınırsa, ∫∞

∞−=1dtt)(sinc

)()( 0Gdttg =∫∞

∞− ∫∞

∞−= dffGg )()0(

Tem

el B

ilgile

r

( ) ( )ffGjtgdtd π2⇔

Zamanda Türev Özelliği

( ) ( ) ( )ddt

g t j f G fn

nn

⇔ 2π

n. türev için ise,

2011-12 Güz

Temel Bilgiler 1 1-14

Tem

el B

ilgile

r

g(t) şeklinde ifade edilip, türev özelliği

kullanılırsa,

Zamanda İntegral Özelliği

G(0)=0 için)(21)( fG

fjdg

t

∫ ∞−⇔

πττ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∫ ∞−

tdg

dtdtg ττ )()(

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∫ ∞−

tdgFfjfG ττπ )()( 2

için ise,0)0( ≠G

)()()()( fGfGfj

dgt

δπ

ττ20

21

+⇔∫ ∞−

Tem

el B

ilgile

r

g(t) üçgen darbesinin Fourier transformunubulunuz.

Örnek

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )fTfTjAT

fTjfTjfTATfGπ

ππsinsinc

expexpsinc)(2

1

=

−−=

( ) ( )fGfj

fG 121π

=

( ) ( )

( )fTAT

fTffTAT

22 sinc

sincsin

=

=ππ

t

AT

-T 0 T

)(tg

g(t), g1(t) nin integrali olduğundan,

t

A

T0-T

-A

)(1 tg

2011-12 Güz

Temel Bilgiler 1 1-15

Tem

el B

ilgile

r

( ) ( )fGtg −⇔ **

Kompleks Eşlenik Özelliği

( ) ( ) ( )∫∞

∞−= dfftjfGtg π2exp ( ) ( ) ( )∫

∞

∞−−= dfftjfGtg π2exp**

( ) ( )∫∞−

∞−−= dfftjfG π2* exp

( ) ( )∫∞

∞−−= dfftjfG π2exp*

Tem

el B

ilgile

r

Örnek( ) ( )[ ] ( )[ ]g t g t j g t= +Re Im ( ) ( )[ ] ( )[ ]g t g t j g t* Re Im= −

( )[ ] ( ) ( )[ ]tgtgtg *

21Re += ( )[ ] ( ) ( )[ ]tgtg

jtg *

21Im −=

( )[ ] ( ) ( )[ ]fGfGtg −+⇔ *

21Re ( )[ ] ( ) ( )[ ]fGfG

jtg −−⇔ *

21Im

2011-12 Güz

Temel Bilgiler 1 1-16

Tem

el B

ilgile

rÇarpma ve Konvolüsyon Özelliği

∫∞

∞−−⇔ λλλ dfGGtgtg )()()()( 2121

( ) ( ) ( ) ( )fGfGtgtg 2121 ⊗⇔

)()()()( fGfGdtgg 2121 ⇔−∫∞

∞−τττ

( ) ( ) ( ) ( )g t g t G f G f1 2 1 2⊗ ⇔

Zamanda Çarpma

Zamanda Konvolüsyon

Tem

el B

ilgile

r

Dirac Delta FonksiyonuDirac delta fonksiyonunun tanımı:

İmpuls olarak da bilinir.

Özellikleri:∫∞

∞−

= )0()()( gdtttg δ

∫∞

∞−

=≠= 1)(,0,0)( dttveiçintt δδ

)()( tt δδ =−

)(||

1)( ta

at δ=δ ∫∞

∞−

=− )()()( 00 tgdttttg δ

)()()()( 000 tttgtttg −=− δδ ∫∞

∞−

=− )()()( tgdtg ττδτ

( ) ( ) ( )g t t g t⊗ =δ

2011-12 Güz

Temel Bilgiler 1 1-17

Tem

el B

ilgile

rDirac Delta Fonksiyonu

Dirac delta fonksiyonunun Fourier transformu:

[ ] ( ) 12)()( =−= ∫∞

∞−dtftjttF πδδ exp ( )δ t ⇔ 1

0t

g(t)

0f

|G( f )|1

Tem

el B

ilgile

r

δ(t) UygulamalarıDC Sinyal

Sinüsoidal Sinyal

( )1⇔δ f

( )∫∞

∞−=− )(exp fdtftj δπ2

Kompleks Exponansiyel ( ) ( )exp j f t f fc c2π δ⇔ −

( ) ( ) ( )[ ]cos exp exp212

2 2π π πf t j f t j f tc c c= + −

( ) ( ) ( )[ ]cos 212

π δ δf t f f f fc c c⇔ − + +

|G( f )|

f0cf− cf

0f

G( f )

0t

g( t )1

t

g(t)

0

cf/1

2011-12 Güz

Temel Bilgiler 1 1-18

Tem

el B

ilgile

rδ(t) Uygulamaları

Sinüsoidal Sinyal

( ) ( ) ( )[ ]tfjtfjj

tf ccc πππ 2exp2exp212sin −−=

( ) ( ) ( )[ ]ccc ffffj

tf +−−⇔ δδπ212sin

t

g(t)

0

cf/1j G( f )

f0

cf−

cf

Tem

el B

ilgile

r

δ(t) UygulamalarıBirim Basamak Sinyali

221 )()( f

fjd

t δπ

ττδ +=∫ ∞−

|G(f )|

f0

t

g(t)

0

1

∫ ∞−=

tdtu ττδ )()( ( ) ( )u t

j ff⇔ +

12

12πδ

2011-12 Güz

Temel Bilgiler 1 1-19

Tem

el B

ilgile

rδ(t) Uygulamaları

İşaret Fonksiyonu

( )sgn tj f

⇔1π

( )sgn,,t

ttt

=>=

− <

⎧

⎨⎪

⎩⎪

1 00 01 0

j G(f)

f0

t

g(t)

0

1

-1

( ) ( )sgn t u t= −2 1

Tem

el B

ilgile

r

Periyodik Sinyallerin FourierTransformu

( ) ( )∑∞

−∞=

−=m

op mTtgtg

t

( )tg p

20T

− 20T

23 0T

−2

3 0Tt

g(t)

2/0T2/0T−

( ) ∑∞

−∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇔

n ooop T

nfTnG

Ttg δ1

2011-12 Güz

Temel Bilgiler 1 1-20

Tem

el B

ilgile

rÖrnek

1

t

4T

−4T T

)(tg p

T−

sinyalinin Fourier transformunu bulunuz.)(tg p

Tem

el B

ilgile

r

Çözüm

( ) ∑∞

−∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇔

n ooop T

nfTnG

Ttg δ1

g(t) sinyalinin Fourier transformu ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2sinc

2)( TfTfG

TT =0

( ) ∑∞

−∞=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

np T

nfnfG δ2

sinc21

1

t

2T

2T

−4T

−4T T

)(tg p

T−

)(tg

2011-12 Güz

Temel Bilgiler 1 1-21

Tem

el B

ilgile

rÖrnek

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Π=102

23)( tttx⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Π2

23 t

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π10t

)(tx

t0-5 51 3

4

( ) ( )feffX fj 10sinc102sinc6)( 4 += − π