bölüm 7 sinüsoidalkalıcı durumee.tek.firat.edu.tr/sites/ee.tek.firat.edu.tr/files/devre...
TRANSCRIPT
Bölüm 7
Sinüsoidal Kalıcı DurumDevre Analizi
7.1 Sinüsoidal kaynaklar7.2 Ortalama ve Etkin Değer7.3 Karmaşık Sayılar7.4 Sinüsoidallerin Fazör Gösterimi7.5 Devrelerin Sinüzoidal Kalıcı Durum Cevabı7.6 Devrelerin Frekans Bölgesi Karşılıkları7.7 Çevre Akımları ve Düğüm Gerilimleri Yöntemleri.7.8 Thevenin ve Norton Teoremleri.7.9. Manyetik Kuplaj Elemanı
1F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
7.1 Sinüsoidal Kaynaklar
)wt(CosX)t(xyada)wt(SinX)t(xmm
Xm ?
w ?
?
T ?
f ?
Zaman/Açı ekseni
2F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 7.1. verilen gerilim kaynağının açısal frekansını (Rad/s -
Derece/s), peryodunu ve faz açısını bulunuz.
)).t(
(Cos)t(v6
5010
Çözüm:
w=
f=
T=
30 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
t(s)
v(t)
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 7.2. Maximum genliği 20 A ve peryodu T=0.5 s olan sinüzoidal akımın t=0’nındaki değeri 10 A ise Cos fonksiyonu ile bu sinyali tanımlayınız?
Çözüm:
)t(Cos)t(i3
420
4F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 7.3. Verilen fonksiyonu Cos fonksiyonu cinsinden yazınız? )30(10)( wtSintv
)60wt(Cos10)t(v
Çözüm:
)2
x(Cos)x(Sinyada)2
x(Sin)x(Cos
NOT:
5F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
7.2 Ortalama ve Etkin Değerler
Peryodu T olan peryodik bir x(t) fonksiyonunun,
Ortalama değeri, Etkin değeri
dt)t(xT
1X
Tto
to
ort
dt)t(xT
1XX
Tto
to
2
rmseff
Örnek 7.4.a Verilen kare dalga gerilimin ortalama ve etkin değerlerini bulunuz.
6
t(s)
v(t)
T3T/4
0
A
Sonuç= Ortalama Alan:
4
A3
T
4
T3A
dt........T
1V
..
..
ort
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
7
Örnek 7.4.b Verilen testere dişi gerilimlerin ortalama ve etkin değerlerini bulunuz.
t(s)
v(t)
T3T/4
0
A
t(s)
v(t)
2TT
0
A
tT
A tT3
A4
Sonuç = Ortalama Alan:
2
A
T
2
TA
dt........T
1V
..
..
ort
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
)wt(Cos.Vmv Örnek 7.4.c Verilen sinüsoidal gerilimin ortalama ve etkin değerini bulunuz.
Çözüm:
Etkin değeri,
8
)wt(Sinw.
T
Vmdt)wtcos(Vm
TVort
TT
o 0
11
000020 )](Sin)(Sin[wT
Vm)](Sin)wT(Sin[
wT
VmVort
T
dt)]}wt([Cos{(T
Vmdt)wt(CosVm
TVrms
0
2
2221
2
1
0022
1
22
2
1
2
2
0
2
))wT((Sinw
T{T
Vm)}wt({Sin
wt{
T
VmVrms
T
Vm./Vm}T{T
VmVrms 707020
2
2
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
7.3 Karmaşık Sayılar
)2j2/()1j3)(1j1(c)4
)4j3/()2j2(c)3
)3j1)(1j1(c)2
jbac)1
Verilen karmaşık sayı işlemlerini yapınız/kutupsala çeviriniz. Karmaşık düzlemde gösteriniz.
9F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
7.4 Sinüsoidallerin Fazör GösterimiFazör, bir sinüzoidal fonksiyonun genlik ve faz bilgisini ihtiva eden karmaşık bir değerdir.
Euler bağıntısı:
x(jSin)x(Cose
)x(jSin)x(Cose
Jx
Jx
)( wtVmCosv
Euler’e göre Cos(x), in reel kısmıdır. Buna göre,Jxe
).Re(.)Re()( jjwtwtj
eeVmeVmV
jwte
j2
ee)x(Sin
2
ee)x(Cos
JxJx
JxJx
Yazılabilir. Burada, frekansın ( ) dışında kalan terimler yani,
ifadesi, verilen sinüsoidalin fazör gösterimidir.
j
meV
10F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Vmyadae.Vm
j
)( wtVmCosv
Sonuç olarak, verilen bir sinüsoidal fonksiyon (akımya da gerilim), Fazör adı verilen aşağıdaki gibi komplexbir değer ile gösterilebilir.
Buradan, denklemi ile Cosinüsfonksiyonu olarak tanımlanan geriliminin Fazörü V ile gösterilir fazörü, pozitif reel eksen referans alınmak üzere karmaşık düzlemde aşağıdaki gibi çizilir.
VmVyadae.VmV
j
11
)( wtVmCosv
V V
Örnek 7.5. Verilen sinüsoidal gerilim ya da akımların fazörünü
yazarak karmaşık düzlemde gösteriniz.
)60t100(Sin100i)d
)t20(VmSinv)c
)30wt(Cos20i)b
)t500(Cos10v)a
Çözüm:
12F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 7.6. Verilen sinüsoidallerin toplamını fazörleryardımıyla bulunuz. Karmaşık düzlemde gösteriniz.
bulunuzvvv
ise)wt(Cosv),wt(Sinv)b
bulunuziii
ise)wt(BSini),wt(ACosi)a
21
21
21
21
45
64
Çözüm
13F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
7.5. Devrelerin Sinüzoidal Kalıcı Durum Cevabı
7.5.1. Geçici durum, Kalıcı durum cevabı ve Tam cevap
)wt(CosVv ms
Devrelerin tam cevabı (geçici durum+ kalıcı durum), diğer kaynaklarda yapıldığı gibi sinüsoidal girişler için de devrenin diferansiyel denklemi yazılıp çözülerek elde edilir.
)wt(CosL.wR
Vme).(Cos.
L.wR
Vm)t(i
222
tL
R
222
Çözüm: Tam cevap
14F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 7.7 Şekildeki devrede verilen giriş akımı için kondansatör
gerilimini bularak geçici ve kalıcı cevabını belirleyiniz.
)t100(Sin10)t(i 0)0(v
)t100(CosK)t100(SinKeK)t(v32
t5.2
1
Çözüm: Tam cevap
15F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
7.6 Devrelerin Frekans Bölgesi Karşılıkları
• Önceki örneklerde incelendiği gibi sinüsoidal kaynak da dahil her hangi bir giriş kaynağı için devrenin geçicive kalıcı cevap bileşenleri ile birlikte tam cevabı belirlenebilir.
• Ancak, sinüsoidal kaynaklı devrelerin, geçici cevap bileşeni yerine daha çok kalıcı durum cevabı ile ilgilenilir. Buradan da sinüsoidal kaynağın frekansının, bir devre ya da devre elemanları üzerindeki etkisi incelenmeye çalışılır.
• Bu amaçla öncelikle bu bölümde, temel devre elemanları olan direnç, bobin ve kondansatörün sinüsoidalkaynaklardaki davranışları belirlenecek ve akım-gerilim fazörleri çizilerek R-L-C devre elemanlarının sinüsoidal kaynağın frekansı ile ilişkileri elde edilecektir.
• Böylece, bir devrenin frekans bölgesi tanımı (karşılığı) belirlenecektir. 16
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
17
Direnç (R) : Devrenin frekans bölgesi karşılığını bulunuz. Akım ve gerilimin fazörlerini yazarak karmaşık düzlemde gösteriniz.
)( wtCosIi m
Bobin (L) : Devrenin frekans bölgesi karşılığını bulunuz. Akım ve gerilimin fazörlerini yazarak karmaşık düzlemde gösteriniz.
)wt(CosImi
Kondansatör (C) : Devrenin frekans bölgesi karşılığını bulunuz. Akım ve gerilimin fazörlerini yazarak karmaşık düzlemde gösteriniz.
)( wtCosVv m
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 7.8 Şekildeki seri RL devresine sinüsoidal akım kaynağı bağlanmıştır. Devrenin frekans bölgesi karşılığını çizerek fazörlerle Devre gerilimi v(t) yibulunuz.
18
b-) R=4 L=0.5H ve için sayısal değerlerle inceleyiniz.
)4/t20(Sin10)t(i
)wt(SinIm)t(i
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 7.9 Şekildeki seri RL devresinin frekans bölgesi karşılığını çizerek devre akımı i(t) yi fazörlerle bulunuz. Akım ve gerilimlerin fazörlerini ve empedans-direnç-reaktansilişkilerini gösteriniz. R=8, L=0.02HSayısal değerler için tekrarlayınız.
7.6.1 Empedans, Direnç, Reaktans
Sinüsoidal kalıcı durum / frekans bölgesi karşılığı ile gösterilen bir devrede empedans Z ile gösterilir ve Z=V/I oranıdır. Birimi ohm olan karmaşık bir sayıdır. Empedansın reel bileşeni direnç (R ) ve sanal bileşeni ise Reaktans (X) olarak söylenir. Yani, Z=R+jX
)wt(SinV)t(vm
19
)3/t10(Sin100)t(v
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 7.10 Şekildeki paralel RC devresinin sinüsoidalkalıcı durum eşdeğerini çizerek devre gerilimi v(t) yifazörlerle bulunuz. Akım ve gerilimlerin fazörlerini ve empedans-direnç-reaktans ilişkilerini gösteriniz. R=10, C=0.1F
)wt(CosI)t(im
20
)t50(Sin5)t(i
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 7.11 Şekildeki seri RLC devresinin sinüsoidalkalıcı durum eşdeğerini çizerek devre akımı i(t) yifazörlerle bulunuz. Akım ve gerilimlerin fazörlerini ve empedans-direnç-reaktans ilişkilerini gösteriniz.
)()( wtCosVtv m
21
)6/t10(Cos20)t(v b-) R=2 L=0.5H C=1/30F sayısal değerleri için çözünüz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
7.6.2 Admitans, Kondüktans ve Suseptans
Özellikle paralel devrelerde empedans tanımı yerine empedansın tersi olan ve Y ile gösterilen admitans(Y=1/Z=I/V) tanımından yararlanarak özellikle paralel devrelerin analizinde kolaylık sağlanabilir. Admitansınreel kısmı kondüktans (G), sanal kısmı ise suseptans(B) bileşenleridir. Yani, Y=G+jB
Örnek 7.12 Şekildeki paralel RL devresinin sinüsoidalkalıcı durum eşdeğerini çizerek devre gerilimi v(t) yifazörlerle bulunuz. Akım ve gerilimlerin fazörlerini ve admitans, kondüktans , süseptans ilişkilerini gösteriniz.
)()( wtCosIti m
22F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
)()( wtCosIti m
Örnek 7.13 Şekildeki paralel RLC devresinin sinüsoidalkalıcı durum eşdeğerini çizerek devre gerilimi v(t) yifazörlerle bulunuz. Akım ve gerilimlerin fazörlerini ve admitans, kondüktans , süseptans ilişkilerini gösteriniz.
23
b-) R=0.5 L=0.2H C=4F sayısal değerleri için hesaplayınız
)30/t(Cos10)t(i
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 7.14. Örnek 8.11 de incelenen seri RLC devresinin admitansını bulunuz.
25.0j25.0Z
1Y
Çözüm
24F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
7.6.3 Karışık Devreler
Karışık devrelerin sinüsoidal kalıcı durum analizinde,yukarıda tanımlanan genel ilkeye uygun olarak serikollarda empedans, paralel kollarda ise admitanstanımını kullanmak kolaylık sağlayabilir. Ancak, sadeceempedans ya da sadece admitans tanımları kullanılarakda çözülebilir.
Örnek 7.12 Şekildeki devrenin empedansını, devre akımını ve
paralel kol gerilimini bulunuz.
25F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 7.12 Şekildeki karışık devrenin empedansını,
devre akımını ve paralel kol gerilimini bulunuz.
23.377.523.3333.17
30100
Z
VI
48.47967.40Z.IV31
26F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
7.7 Sinüsoidal Kalıcı Durum Devre AnalizindeÇevre Akımları ve Düğüm Gerilimleri Yöntemleri.
Örnek 7.14 Şekilde verilen devreyi,a-) çevre akımları yöntemi ileb-) düğüm gerilimleri yöntemi ile çözebilmek içingerekli denklemleri yazınız.
27F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 7.15 Şekilde verilen devreyi,a-) çevre akımları yöntemi ileb-) düğüm gerilimleri yöntemi ile çözebilmek içingerekli denklemleri yazınız.
28F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 7.16 Şekilde verilen devrenin Thevenin ve Norton eşdeğerini bulunuz.
7.8 Sinüsoidal Kalıcı Durum Devre AnalizindeThevenin ve Norton Teoremleri.
29
04012
120
60
040120
10
j
VabVxVxVx
j
VxVabVxVab
17.2022.835288784 jVVab TH
Çözüm:
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
04012
120
60
040120
10
j
VxVxVx
Ij
VxVxN
392.043.8 jI N
4.382.91 jI
VZ
N
THTH
30F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
7.9. Manyetik Kuplaj Elemanları
Manyetik kuplaj elemanının sinüsoidal kalıcı durumdakieşdeğeri, ikinci taraftaki bir yükle birlikte şekildeverilmiştir.
1222
2111
)(0
)(
jwMIIZjwLR
jwMIIjwLRV
L
S
31F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
)jwLR(Zve)jwLR(Z 222111
VsMwZZZ
ZZI
L
L
2221
21
)(
Bu denklemler düzenlenerek Kuplaj elemanın birtarafındaki empedansın diğer tarafa nasıldönüştürüleceği gösterilebilir.
LZZ
MwZ
I
VsZg
2
22
1
1
Yazılarak I2 yok edilirse,
1222
2111
)(0
)(
jwMIIZjwLR
jwMIIjwLRV
L
S
Buna göre, bir manyetik kuplaj elemanın bir tarafındaki empedans değeri, diğer tarafa ile dönüştürülür.
22Mw
11
22
21
22
22
12Z
MwZ
Z
MwZ
32F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 7.17 Şekildeki devrede I1 ve I2 akımlarını bulunuz.
45001500900900
)1200(3700700
2
2
22
1 jj
jZZ
MwZZg
L
Çözüm:
06.002.045001500
03001 j
jZg
VsI
43.63597.00534.00267.0)06.002.0(900900
12001
2
2
jjj
jI
ZZ
jwMI
L33
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 7.18 Örnek 7.17 deki devreyi Theveninteoremini kullanarak çözünüz.
34F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Çözüm:
Bu durumda I2=0 olacağına göre,
mAjZ
VsIIZVs 29.7967.79
3700700
0300
1
111
VjjwMIVVab TH 71.106.95)29.7967.79)(1200(1
35F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Çözüm: ab uçlarına göre Thevenin direncini bulmak için kaynaklar devre dışı bırakılırsa,
370070011 jZ
12741713700700
)1200(1600100
2
11
22
2 jj
jZ
MwZZZab TH
4.630596.02500800
2
jZ
VI
TH
TH
36F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
İdeal Transformatör
İdeal trafoda, kuplaj katsayısı k=1 ve öz endüktanslaralınır. Dolayısıyla bobinlerin sadece N1 ve
N2 sarım sayıları vardır.
21 LL
Şekildeki kuplaj elemanının ideal şartlarda gerilimler arasıilişkisi çıkarılırsa, sarım sayıları ile orantılı aşağıdaki ilişki eldeedilir.
2
1
2
1
N
N
V
V
12 jwMV1
11
jwL
V
İdeal şartlarda
37
Akımlar arası ilişkiyi bulmak için 2. sargı uçları kısa devre yapılırsa, İdeal şartlarda sarım sayıları ile orantılı aşağıdaki ilişki elde edilir.
1220 jwMjwL
1
2
2
1
N
N
İdeal şartlarda
1
2
2
1
2
1
I
I
N
N
V
VSonuç:
38F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Polarite tespiti: İdeal trafolarda da manyetik kuplajelemanında olduğu gibi akım ve gerilim dönüşümlerinde polariteye dikkat edilmelidir. Kural:
• Her iki tarafta da gerilimlerin polaritesi noktalı uçlarda pozitif ya da negatif ise o ideal trafonun gerilimdönüşümü pozitif işaretlidir aksi halde negatif işaretlidir.
• Her iki tarafta da akımların yönü noktalı uçlardangiriyor ya da çıkıyorsa akım dönüşümü negatif işaretliaksi halde pozitif işaretlidir.
2
1
1
2
2
1
2
1
N
N
I
I
N
N
V
V
2
1
1
2
2
1
2
1
N
N
I
I
N
N
V
V
2
1
5
11
N
N
n
39
Örnek 7.19 Şekilde verilen ideal trafo devresindedeğerlerini bulunuz )(2500)( wtCostvs 2211 ,,, VV
.
11)225,0(02500 Vj
22 )05,02375,0( jV
21 10VV
12 10
26,161001
37,427,24V1
26,1610002
37,47,242V2
40F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Bölüm 8
Sinüsoidal Kaynaklı Devrelerde Güç
8.1 Sinüsoidal Devrelerde Ani Güç: Güç Katsayısı
Aktif, Reaktif ve Görünür Güç
8.2 Elektrik Devrelerinde Kalıcı Durum Güç Hesabı
8.3 Güç Katsayısını Düzeltme
8.4 Maksimum Güç Transferi
41F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
8.1 Sinüsoidal Devrelerde Güç
• Şekildeki gibi bir gerilim kaynağına bir empedansın bağlandığını
ve empedansın faz açısının ise olduğunu kabul edelim,
• Bir elektrik devresinde güç, p=v.i olduğuna göre sinüsoidal
kaynaklı devrelerde p=v.i gücü, zamanla sinüsoidal olarak
değişeceğinden bu güce ani güç denir.
• Sinüsoidal devrelerde ani güç yerine kalıcı durum güçleri
çok daha önemlidir ve bu güçler de empedansın faz açısı
ile yakından ilgilidir.
jXRZ
42F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
8.1.1 Güç Katsayısı
Devrenin faz açısı
)(Cos
mm IIVV
m
Vm
m
Vm
I
VZ
Güç katsayısı
Güç katsayısı 0–1 arasında değişir. Cos
ise)(Cos, 10
isearas ıve 0900
isearas ıve 0900
Cos
43
Omik yük
Endüktif yük ve geri güç katsayısı
Kapasitif yük ve ileri güç katsayısı
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 8.1: Şekildeki devrenin a-) XL=4 b-) XL=8 c) XL=2 ohm için faz açılarını ve güç katsayılarını hesaplayınız. Devrenin niteliğini (omik-endüktif-kapasitif) belirleyiniz.
44F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
8.1.2 Ani Güç: )(Im wtCosi
)wt(Cos).wt(Cos.Im.Vmi.vp
Trigonometrik işlemlerle,
)2(.2
.)2(.
22
Im.wtSinSin
mVmwtCosCos
mVmCos
Vmp
)(. wtCosVmv
)wt2(Sin.Sin.ef.Vef)wt2(Cos.Cos.ef.VefCos.ef.Vefp
İlk terim, güç katsayısına bağlı ortalama sabit bir güçtür. ikinci ve
üçüncü terimler ise sinüsoidal değişen ani güç bileşenleridir.
Etkin değerlerle,
Endüktif yük
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B)
cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B
45F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
)wt2(Sin.Sin.ef.Vef)wt2(Cos.Cos.ef.VefCos.ef.Vefp
Ortalama ya da aktif (gerçek) güç (Watt)
Ani güç ifadesi yorumlanırsa,• Ani gücün ortalaması yani ortalama güç,
• Devredeki yük omik ise güç katsayısı 1 dir Bu durumdaki ani gücün de (Q=0)ortalaması olur. Kısaca bu güç, sinüsoidal devrelerde harcanan enerjiye neden olan güçtür, Etkin ya da aktif güç olarak da söylenir ve P ile gösterilir.
Cos.ef.VefP
8.1.3 Aktif, Reaktif ve Görünür Güç
)2(.)2(. wtSinQwtCosPPp
)0Sin,1Cos(
Cos.ef.VefPort
Cos.ef.VefPort
46F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
)(.. SineffVeffQ
Reaktif (sanal) güçtür (VAR, Volt-Amper-Reaktif)
• Devre saf endüktif ya da saf kapasitif ise güç katsayısı sıfırdır ve dolayısıyla devrede ortalama (aktif) güç de sıfır olur. Bu durumda geriye kalan güç ifadesi,
olacağından bu güç, bobin/kondansatörün depo edilen ve geri verilen güç olur. Bu güç ise aktif bir güç bileşeni olmadığından Reaktif ya da sanal güç olarak ifade edilir.
)wt2(Sin.Sin.ef.Vef)wt2(Cos.Cos.ef.VefCos.ef.Vefp
)2(.)2(. wtSinQwtCosPPp
)1Sin,0Cos(
(Sin.Ief.VefQburada)wt2(Sin.Qp
47F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Karmaşık ya da Görünür güç ( VA, Volt-Amper)
Aktif ve reaktif güçlerin arasında 90 derecelik faz farkı olduğu da
görülür. Bu durumda, bu iki gücün toplamını gösteren güç ise karmaşık
güç olarak söylenir ve genellikle (S) ile gösterilir.
JQPS SS S
)wt2(Sin.Q)}wt2(Cos1{Pp
görünür güç
Güç üçgenleri
Endüktif yük Kapasitif yük
48F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
effeff
effeff
II
VV
Jeff
Jeff
Jeffeff
effeff
eIeVS
eIVS
IVS
...
..
.
)(
*. effeff IVS
Akım ve gerilim fazörleri cinsinden karmaşık güç
Bu ifadedeki akım ve gerilim fazördür ve
I*, Akım fazörünün eşleniğidir.
49
j
effeffeffeffeffeffeIV)(SinIjV)(CosIVJQPS
Etkin Akım ve gerilim değerleri cinsinden karmaşık güç
effeff IVS Bu ifadedeki akım ve gerilim fazör
değildir, sadece etkin değerleridir.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
8.2 Elektrik Devrelerinde Kalıcı Durum Güç Hesabı
CosVP )(SinVQ IVJQPS
a-) Saf omik devreler 0)(Sin,1)(Cos,0
S
Q
P
RZ
Özet: Etkin değerler Vef=V, Ief=I ile etkin fazörler ise V, I ile
gösterilmiş olsun. Aktif, reaktif ve karmaşık güçler:
Örnek: Verilen gerilim ve empedans için güçleri bulunuz.
0j10Z),3/t100(Sin200v
S=V I*
50F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
b-) Saf endüktif devreler 1)(0)(,90 SinCos
S
Q
P
jXLZ
c-) Saf kapasitif devreler 1)(0)(,90 SinCos
S
Q
P
jXcZ
Örnek: Verilen gerilim ve empedans için güçleri bulunuz.
4j0Z),4/t10(Cos50v
51F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 8.2 Şekildeki saf bobin devresinde, verilen sinüsoidal
akım için güç bağıntılarını çıkarınız. )90(Im)( wtCosti
S
Q
P
V
I
Z
52F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 9.2
JZ 1
JZ 1
)1//()1( JJZ
a-)
b-)
c-)
Örnek 8.3 Şekildeki devrede, verilen gerilim fazörü ve
empedanslar için güçleri hesaplayınız.
Çözüm:
53F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 8.4. Şekildeki devrede yükün aktif gücü P=8 kW ve
güç kaç sayısı 0,8 geri olduğuna göre karmaşık gücünü ve
yükün empedansını bulunuz
Çözüm:
54F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 8.5 Şekildeki devrede bir yük, iletim hattı üzerinden kaynağa
bağlanmıştır.
a-) yük akımını ve gerilimini bulunuz.
b-) yükün aktif, reaktif ve görünür güçlerini bulunuz.
c-) Hatlarda oluşan kayıp gücün aktif ve reaktif bileşenlerini bulunuz.
d-) Kaynağın devreye verdiği aktif, reaktif ve görünür güçleri bulunuz.
55F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
8.3 Güç Katsayısını Düzeltme
• Enerji sağlayan şebekeler, santrallerin ve hatların fazla
yüklenmemesi için bir işletmenin güç katsayısının 0.8 in
altına düşmesini önlemeye çalışır.
• Endüktif ve kapasitif yüklerin çektikleri reaktif güçler 180
derece faz farklıdır.
• Genellikle endüktif özellikte olan işletmelerin reaktif güç
bileşeni, işletmenin enerji girişine paralel bağlanan bir
kapasitif yük grubu ile kompanze edilebilir.
56F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 8.6 Şekildeki devrenin güç katsayısını 0.9 geri yapmak için
bağlanması gereken reaktif gücü belirleyiniz.
Kompamzasyon yapılmadan önce ve yapıldıktan sonra devre akımı
nasıl değişmiştir, belirleyiniz. Z = 10- j 20
57F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 8.7 Şekildeki devrede
a-) Kondansatör bağlı değilken yükün hatta meydana getirdiği
güç kaybını bulunuz.
b-) Bu yükün güç katsayısını yapmak için
paralel bağlanması gereken kondansatör değerini bulunuz
c-) Kompanzasyon sonucunda hatta meydana gelen güç
kaybını bulunuz
8,0Cos
58F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
8.4 Maksimum Güç Transferi
Sinüsoidal kalıcı durumdaki herhangi bir devrenin, iki ucuna
bağlanan bir yüke maksimum güç verebilmesini sağlayan koşullar,
dirençli devrelerde yapıldığı gibi belirlenebilir. Sonuç olarak
devrenin Thevenin eşdeğeri belirlendiğinde, bu devrenin yüke
verebileceği maksimum aktif gücün ancak olduğunda
gerçekleşebileceği görülür.
*THL ZZ
Yani, kabul edilirse devrenin yüke maksimum
güç verebilmesi için bağlanacak yükün empedansı,
THTHT JXRZ
THTHL JXRZ Olmalıdır.59F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 8.8 Şekildeki devrede, yükten maksimum güç alınabilmesi
için bağlanması gereken yükü ve yükün gücünü bulunuz.
40003000010 JZVV THTH
THeş RZ 2
L
2
TH
L
2
TH
TH
L
2
LMAXR4
VR.)
R2
V(R.IP
Çözüm
60F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Bölüm 9
Üç Fazlı Sistemler
9.1 Üç fazlı Sinüsoidal Kaynaklar ve Fazörleri9.2 Yıldız ve Üçgen Bağlantılar
9.3 Yıldız –Yıldız Bağlantının Analizi
9.4 Üç Fazlı Sistemlerde Güç
61F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
9.1 Üç fazlı Sinüsoidal Kaynaklar
)3
2wt(VmSinVc
)3
2wt(VmSinVb
)wt(VmSinVa
)3
2wt(VmSinVc
)3
2wt(VmSinVb
)wt(VmSinVa
Pozitif faz sırası
Negatif faz sırası
62F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Fazörlerle 3 fazlı gerilim kaynağı ( pozitif ve negatif faz sırası)
120
120
0
VmVc
VmVb
VmVa
120
120
0
VmVc
VmVb
VmVa
0 VcVbVa
Kaynaklar dengeli ise (genlikler ve faz farkları eşit)
63
)3
2wt(VmSinVc
)3
2wt(VmSinVb
)wt(VmSinVa
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
9.2 Yıldız (Y) ve Üçgen ( ) Bağlantı
3 fazlı sistemlerde yıldız ve üçgen olmak üzere iki farklı bağlantı vardır.
Hat
ve
Faz
Akım-Gerilimlerinin
tanımı ?
64F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
30
Vbc
Vbn
Vca
Vcn
Vab
Van
030Vm.3................VbVaVab
Hat ve Faz Gerilimlerinin Genlik ve Faz İlişkisi
65
120
120
0
VmVc
VmVb
VmVa
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Üçgen bağlantı
Hat ve Faz akım-gerilimlerinin tanımı ?
66F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
30
hb
c
hc
a
ha
b
30.Im3...........................IcIaIha
Hat ve Faz Akımlarının Genlik ve Faz İlişkisi
67
120ImIc
120ImIb
0ImIa
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
9.3 Yıldız-Yıldız Üç Fazlı Sistemler
68F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Y-Y sistemin sadece bir fazı yani faz – nötr arası
incelenerek 3 fazlı sistemin analizine ulaşılabilir.
69F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 9.1 3 fazlı Y-Y bir sistemin bir fazının kaynak, hat ve
yük değerleri aşağıda verilmiştir.
a-) Hat akımlarını
b-) Yükün faz gerilimleri
c-) Yükün hat gerilimlerini
d-) Kaynağın çıkış terminallerindeki faz gerilimleri
e-) Kaynağın çıkış terminallerindeki hat gerilimleri
?,, CBA
III
?,, CNBNAN
VVV
?,, CABCAB
VVV
?,, VcnVbnVan
?,, VcaVbcVab
70F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Yıldız-Üçgen Üç Fazlı Sistemler
71F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
9.4. Üç Fazlı Sistemlerde Güç
3 fazlı sistem, 3 adet 1 fazlı sistemden ibaret olduğuna göre 3
fazlı sistemin toplam gücü, faz akım ve gerilimleri cinsinden
yazılan 3 adet bir faz gücünün 3 katıdır.
SinIfVfQCosIfVfP ...3...3
İster yıldız, ister üçgen bağlantı olsun 3 fazlı sistemlerin gücü
faz akım ya da gerilimleri yerine hat değerleri yazılırsa,
CosIVP HH ...3 SinIVQ HH ...3
Genellikle de 3 fazlı sistemlerde güç denildiğinde hat
değerleri yazılan bağıntı anlaşılır.
72F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Bölüm 10
Laplace Dönüşümü ile Devre Analizi
10.1 Laplace Dönüşümü
10.2 Laplace Dönüşümünün Özellikleri
10.3 Ters Laplace Dönüşümü
10.4 Devre Elemanlarının Laplace Bölgesi Eşdeğeri
10.5 Laplace Dönüşümü ile Devrelerin Analizi
10.6 Karşıt Endüktanslı Devreler
10.7 Transfer Fonksiyonu
73F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
10.1. Laplace Dönüşümü
Zamana bağlı bir f(t) fonksiyonunun t 0 için laplace dönüşümü
olan F(s),
Basamak-Birim Basamak Fonksiyonu
t (san.)
f(t)
A
ise0t0
ise0tA)t(f
F(s)=….
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 74
Rampa-Birim Rampa Fonksiyonu
t (san.)
f(t)
A
1
iset
isettAtf
00
0.)(
.....)s(F
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 75
Ani darbe (impulse) –Birim İmpuls fonksiyonu
t (san.)
f(t)(t)
t (san.)
f(t)
0 T
A
isett
isetttf
0)(
00)()(
İmpuls fonksiyonunun örnekleme özelliği
isetttt
isettttfdttttf
t
t 0201
21
0,0
0)0()().(
2
1
örnekleme özelliği kullanılarak
....)}t({L)s(F
AdttA
0
)(
76F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Sinüs Fonksiyonu
0
stdte)wtsin.A(sinwt£F(s)
....)s(F
77
Euler bağıntısından,
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Ötelenmiş Fonksiyonlar
t (san.)
f(t)
T1
T2
A1
A2
0
f(t-T1)
f(t-T2)
iseTt
iseTtATtf
1
11
10
)(
iseTt
iseTtATtf
2
22
20
)(
)()(£.
sFeTtfTs
78
Örnek 10.1: Ötelenmiş basamak fonksiyonunun laplace dönüşümünü
bulunuz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 10.2 Verilen ötelenmiş üstel fonksiyonunun Laplace
dönüşümünü bulunuz
79
)2t(e)2t(f
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Darbe fonksiyonu
t (san.)
f(t)
T1
T2
A
0
iseTtveTt
iseTtTAtf
210
21)(
)2()1(.)( TtuTtuAtf
... F(s)
80F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
81
Örnek 10.3 Şekilde verilen sinyalleri ötelenmiş temel test sinyallerinin
toplamı/farkı şeklinde yazarak sinyalin laplace dönüşümün bulunuz.
f(t)
t(sn)6321 40 5
10
-10
81
f(t)
t(sn)6321 40 5
10
-10
10u(t)
15(t-4)
5(t-6)10(t-2)
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Laplace Dönüşüm Tablosu
Fonksiyonun adı f(t) F(s)
1. Birim anidarbe (t) 1
2.Birim basamak u(t) 1/s
3. Birim rampa t 1 / s2
4. Üstel e-at 1 / (s+a)
5. sinüs sin wt w / (s 2 + w 2)
6. cosinüs cos wt s / (s 2 + w 2)
7. Polinom t n (n= 1,2,3,4,..) n ! / (s n+1)
8. Tekrarlı kök t n e–at (n= 1,2,3,4...) n ! / (s+a) n+1
9. Sönümlü sinüs e–at sin wt w / ((s+a)2 + w 2)
10. Sönümlü cosinüs e–at cos wt (s+a) / ((s+a)2 + w 2)
82F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
10.2 Laplace Dönüşümünün Özellikleri
Doğrusallık Özelliği
)(2.)(1.)()(2.)(1.)( sFbsFasFisetfbtfatf
Üstel ile Çarpma
)()()(.)(11
asFsFisetfetfat
Rampa ile çarpma
)(.)1()()(.)( 11 sFds
dsFisetfttf
n
n
nn
83
Örnek 10.4
Örnek 10.5
Örnek 10.6 F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 10.7 Verilen sinyalin laplace dönüşümünü alınız.
)4()(2
tSintetft
Çözüm:
84F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Türevin laplace dönüşümü
)0(..........).........0(.)0(.)()(1/21
nnnn
n
n
ffsfssFstfdt
d
)0().......0(),0(1/ n
fff
85
İntegralin laplace dönüşümü
Örnek 10.8
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 10.9 Verilen integro-diferansiyel denklemin laplace
dönüşümünü alarak s- bölgesinde Y(s) çözümünü bulunuz.
1)0(yedt)t(y)t(y3dt
)t(dyt
0
)4t(2
Çözüm:
86F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
İlk değer teoremi
Son değer teoremi
87
Örnek 10.10
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 10.11 Verilen fonksiyonun ters laplace dönüşümünü bulunuz?
)3s)(2s)(1s(
4s)s(F
Çözüm:88
10.3 Ters Laplace DönüşümüF(s) £f(t)
-1
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Gerçek ve Katlı kök durumu
ps
Kn
ps
K
ps
K
ps
sNsF
nnn
..........
)(
2
)(
1
)(
)()(
1
ptpt
n
pt
n
eKnen
tKe
n
tKtf
........)!1(
.2.!
.1)(
21
)(!
1lim1 sFps
ds
d
iK
n
i
i
psi
i=0,1,2,........n-1
89
Örnek 10.12 Verilen fonksiyonun ters laplace dönüşümünü bulunuz.
)2()1(
3)(
3
ss
ssF
Çözüm:
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Karmaşık kök durumu
)jbas(
K
)jbas(
*K
)jbas)(jbas(
)s(N)s(F 11
t).jba(
1
t).jba(
1e.Ke.*K)t(f
90
1K)(..12)(
btCoseKtfat
Örnek 10.13 Verilen fonksiyonunun ters laplace dönüşümünü bulunuz.
)22)(2(
1)(
2
sss
ssF
Çözüm:
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Sanal ya da karmaşık kutuplara sahip olan fonksiyonların
ters laplace dönüşümünün sinüsoidal ya da sönümlü sinüsoidal
Olduğu dikkate alınarak da karmaşık kutba sahip olan
fonksiyonların ters laplace dönüşümü alınabilir. Bu amaçla
aşağıdaki laplace dönüşümleri hatırlanmalıdır.
22
22
22
22
)()()()(
)()()()(
)()()(
)()()(
was
assFisewtCosetf
was
wsFisewtSinetf
ws
ssFisewtCostf
ws
wsFisewtSintf
at
at
91F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Çözüm:
Örnek 10.14 Verilen fonksiyonun ters laplace dönüşümünü bulunuz.
42
2)(
2
ss
ssF
92F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
10.4 Devre Elemanlarının Laplace Bölgesi Eşdeğeri
Direnç:
)()( tRitv )()( sRIsV
93
LD
Bobin:
dt
tdiLtv
)()( LIossLIsV )()(
s
Io
sL
sVsI
)()(
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Kondansatör:
dt
tdvCti
)()( CVossCVsI )()(
s
Vo
sC
sIsV
)()(
94
Örnek 10.15: Verilen bobin ve kondansatörün Laplace eşdeğerini çiziniz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
10.5 Laplace Dönüşümü İle Devrelerin Analizi
Laplace Dönüşümü ile devrelerin analizinde temel
olarak iki yol izlenebilir.
1-) Önce devrenin zaman bölgesinde inteğro-
diferansiyel denklemleri yazılarak Laplace dönüşümü
uygulanır.
2-) Devrenin laplace eşdeğeri çizilerek devre
denklemleri doğrudan S-bölgesinde yazılır.
Sonuçta her iki yoldan yazılan denklemler aynı
olacaktır ve denklemlerin çözümleri yapılarak devrenin
analizi gerçekleştirilecektir. 95F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 10.16 Şekildeki devrede, a-) devrenin integro-diferansiyel
denklemini yazdıktan sonra LD alarak b-) Devrenin Laplace
eşdeğerini çizerek s-bölgesinde devre akımının ifadesini bulunuz.
Çözüm:
96
sCsLR
LIos
VosV
sI1
)(
)(
vVoidtC
1
dt
diLRi
LD
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
10.5.1. Birinci Dereceden Devrelerin Laplace Dönüşümü ile Analizi
Örnek 10. 17 Şekildeki devrede devre a-) akımını ve b-) kondansatör
gerilimini Laplace dönüşümünü kullanarak bulunuz. C=0.2F, R=10, Vo=4 v.
97
Çözüm: Devrenin Laplace Eşdeğerleri
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
98
Örnek 10. 18 Şekildeki devrede devre akımını ve direnç gerilimini Laplace
dönüşümünü kullanarak bulunuz. L=0.1H, R=6, iL(0)=5A.
Çözüm:
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
99
Örnek 10.19 Şekildeki devrede bobin akımını ve gerilimini Laplace
dönüşümünü kullanarak bulunuz. i(t)=10 A, L=0.5H, R=4 iL(0)=2A
Çözüm:
Örnek 10.20 Şekildeki devrede bobin akımını ve gerilimini Laplace
dönüşümünü kullanarak bulunuz. C=0.1F, R=2 Vo=5 v
Çözüm:
t2e10t(i
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 10.21 Şekildeki devrede anahtar 0.5 sn (a) konumunda
kaldıktan sonra t=0 anında b konumuna alınıyor, için
kondansatör gerilimini bulunuz.
0t
100
Çözüm:
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
101
Örnek 10.22 Şekildeki devrede anahtar 1 sn (a) konumunda
kaldıktan sonra t=0 anında b konumuna alınıyor, için 0t )t(i
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
10.5.2. İkinci Dereceden Devrelerin Laplace Dönüşümü ile Analizi
İkinci dereceden devrelerin, karakteristik denklemin köklerine bağlı
olarak aşırı sönümlü, kritik sönümlü ve düşük sönümlü bir
davranış göstereceği hatırlanmalıdır.
102
Örnek 10.23 Şekildeki devrede LD ile i(t) akımını bulunuz. R=4
L=0.2H C=0.1F, Io= -2A, Vo=4v. v(t)=10v
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Çözüm:
LC
1s.
RC
1s
s.VoC
10
V2
a-) 4,0R
HL 5,0
FC 5,0
VVo 2
103
Örnek 10.24 Şekildeki devrede farklı R değerleri için v(t)
gerilimini bulunuz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
b-) 5,0R
tteettv
22.2.16)(
104F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
)79t3(Cos.e.28.2)t(v
)1Kwt(Cose.1K.2)t(v
t
t.
c-) 1R
105F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
106
Örnek 10.25 Şekildeki devrelerin Laplace eşdeğerini çizerek a-)
bobin akımının b-) kondansatör geriliminin Laplace bölgesindeki
çözümünü bulunuz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
107
Örnek 10.26 Şekildeki devrelerin Laplace eşdeğerini çizerek a-)
bobin akımının b-) kondansatör geriliminin Laplace bölgesindeki
çözümünü bulunuz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 10.27 Şekildeki devrenin Laplace eşdeğerini çizerek,
a-) Çevre akımları yöntemini uyguylayınız.
b-) Düğüm gerilimleri yöntemini uygulayınız.
c-) Vo(s) gerilimini bulunuz.
108F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 10.28 Şekildeki devrede anahtar t=0 anında kapatılmaktadır.
Devrenin laplace eşdeğerini çizerek a-) çevre akımları ve b-) düğüm
denklemlerini yazınız.
109F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 10.29 Şekildeki devrenin ab uçlarını ayırarak laplace
bölgesindeki Thevenin ve Norton Eşdeğerini bulunuz.
110F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
10.6 Karşıt Endüktanslı Devreler
dt
diM
dt
diLiRv
dt
diM
dt
diLiRv
1212222
211111
111
(0)]i - M[sI+(0)] i - [sIL + L R = V
(0)] i - M[sI+(0)] i - [sIL + I R = V
11222222
22111111
LD
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
112
(0)]i M(0) i [L- sMI+ I sL+ L R = V
(0)] Mi(0) i [L- sMI+ I sL+ I R = V
122122222
211211111
(0)]i - M[sI+(0)] i - [sIL + L R = V
(0)] i - M[sI+(0)] i - [sIL + I R = V
11222222
22111111
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 10.30 Şekildeki devrede anahtar uzun süre a konumunda
kaldıktan sonra b ye alınıyor. için i2 akımını bulunuz. 0t
113
Çözüm
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
10.7 Transfer Fonksiyonu
Transfer fonksiyonu, başlangıç koşulları sıfır alınmak üzere laplace
bölgesinde bir devrenin çıkışının girişine oranıdır ve genellikle G(s)
yada H(s) ile gösterilir.
T.F. s’ e bağlı polinomlar oranıdır.
0
1
1
0
1
1
...
...
)(
)()(
asasa
bsbsb
sX
sYsG
n
n
n
n
m
m
m
m
114
4s2s
2s
)s(X
)s(Y)s(G
2
Örnek
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek 10.31Şekildeki devrenin transfer fonksiyonunu bulunuz.
R=10 L=2H C=4F
115
Çözüm: Başlangıç koşulları SIFIR için Laplace eşdeğeri
1
1)(
2
RCsLCsV
VosG
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Bölüm 11
Durum Denklemleri
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G. 116
11.1 Durum Denklemlerinin Tanımı11.2. Devrelerde graf, dal ve kiriş kavramları11.3. Durum Denklemelerinin Çıkarılması11.4 Durum Denklemlerinin L.D. İle Çözümü
Devreler karmaşık hale geldikçe (örneğin kaynak sayısı birden fazla ise ve birden fazla değişkenin aynı anda incelenmesine ihtiyaç duyulursa) yani devreler çok girişli ve çok çıkışlı hale geldiğinde bu devrelerin diferansiyel denklemleri yerine durum denklemlerini çıkarmak daha kolay hale gelir. Şekilde çok girişli-çok çıkışlı bir devrenin blok gösterilişi verilmiştir.
11.1 Durum Denklemlerinin Tanımı
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G.117
)(
.
.
)(
)(
)(
2
1
tu
tu
tu
tu
r
)(
.
.
)(
)(
)(
2
1
ty
ty
ty
ty
m
)(
.
.
)(
)(
)(
2
1
tx
tx
tx
tx
n
Du(t) Cx(t) y(t)
Bu(t) Ax(t) (t)x.
• Giriş vektörü
• Çıkış vektörü
• Durum değişkenleri ?
• Durum vektörü
Durum Denklemi:
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G. 118
Çıkış Denklemi:
Örnek 11.1 Katsayı matrislerine rastgele değerler vermek üzere ikigirişli, iki çıkışlı ve üçüncü dereceden bir devrenin durum denkleminive çıkış denklemini matris düzeninde yazınız.
Çözüm
)(
)(
40
35
21
)(x
)(x
(t)x
065
430
321
)(
)(
)(
2
1
3
2
1
3
.
2
.
1
.
tu
tu
t
t
tx
tx
tx
)(
)(
71
12
)(x
)(x
(t)x
912
210
)(
)(
2
1
3
2
1
2
1
tu
tu
t
tty
ty
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G. 119
11.2. Devrelerde graf, dal ve kiriş kavramları
Karmaşık devrelerde, graf teorisinden yararlanarak sistematik biçimde durum denklemlerini çıkarmak daha uygundur.
Devre Grafı
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G. 120
Ağaç, Dal ve Kiriş
Devre grafından çeşitli alt graflar türetilebilir. Ağaç, bir alt graftır ancak bütün düğümlere uğrayan ama kapalı bir çevre oluşturmayan alt graflar ağaç olarak söylenir. Ağaç yapısında kalan elemanlar dal (düz çizgi) , ağaç dışında kalan elemanlar ise kiriş (kesikli çizgi) olarak söylenir.. Buna göre grafdan çıkarılabilecek bazı ağaçlar gösterilmektedir.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G.121
11.3. Durum Denklemelerinin ÇıkarılmasıKarmaşık devrelerin durum denklemlerinin çıkarılmasında, grafteorisinden yararlanılarak verilen bir devre için uygun bir ağaç yapısıseçilir. Bu ağaç, aşağıdaki koşulları sağlamalıdır.
1-) Gerilim kaynakları dal olarak ağaç içine alınmalıdır. Gerilim kaynaklarının yönü, kaynak içinde (+) dan (-) ye doğrudur.2-) Akım kaynakları kiriş olarak ağaç içine alınmalıdır. Akım kaynaklarının yönü kaynağın yönündedir3-) Kondansatörlerin hepsi, ağaç yapısı bozulmuyorsa dal olarak alınmalıdır. Kondansatörlerin hepsi dal olarak alınamıyorsa kiriş olarak alınmak durumunda olan kondansatörün değişkeni artık durum değişkeni olarak alınmamalıdır. 4-) Bobinlerin hepsi, ağaç yapısı bozulmuyorsa kiriş olarak alınmalıdır. Bobinlerin hepsi kiriş olarak alınamıyorsa dal olarak alınmak durumunda olan bobinin değişkeni artık durum değişkeni olarak alınmamalıdır. 5-) Dirençler, ağacı tamamlamak üzere dal yada kiriş olarak alınmalıdır.122
• Oluşturulan ağaçta, dal olan kondansatör gerilimleri (yada yükleri) ile kiriş olan endüktör akımları (ya da akıları)bağımsız durum değişkenleridir.
• Elemanların uç denklemleri ile aşağıda tanımlanan temelçevre ve temel kesit denklemlernden yararlanarak durumdenklemleri yazılabilir.
Temel çevre denklemleri: (Kirchoff’ un gerilimler kanunu):Bir devrenin uygun ağaç yapısında, bir elemanı kiriş olmak üzere diğerelemanları dal olan kapalı çevreler temel çevrelerdir ve bu çevredenklemleri bağımsız çevre denklemleridir.
Temel kesit denklemleri :(Kirchoff’un akımlar kanunu)Bir devrenin uygun ağaç yapısında, bir elemanı dal olmak üzere diğerelemanları kirişler olan kesitler temel kesitlerdir ve bu kesitlerindenklemleri bağımsız kesit ya da düğüm denklemleridir.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G.123
Örnek 11.2 Şekilde verilen elektrik devresinin durum denklemlerini çıkarınız.
R1
C1
C2
R2
i(t)v(t)
L
)()(,)(21
tivetvtvLccDurum değişkenleri:
i
v
L
CCR
C
i
v
v
LL
CCR
C
i
v
v
dt
d
L
c
c
L
c
c
01
2
1
21
11
10
011
2
1
21
10
1
100
2
1
2
1
124
Örnek 11.3 Şekilde verilen elektrik devresinin durum denklemlerini çıkarınız.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G. 125
Örnek 11.4 Şekilde verilen elektrik devresinin durum denklemlerini çıkarınız.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G. 126
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G.127
11.4 Durum Denklemlerinin L.D. İle Çözümü
)()()(
)()()(
tDutCxty
tButAxtx
)s(U}DB)AsI(C{)(x)AsI(C)s(Y 11
0
)s(DU)s(CX)s(Y
)s(BU)AsI()(x)AsI()s(X
11
0L.D. alınırsa
Çıkış cevabı ise
)t(u)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
2
0
20
01
2
1
2
1
)t(u
(t)x
(t)x)t(y 410
2
1
Örnek 11.5 Verilen durum denkleminin birim basamak cevabını bulunuz.
2
1
0
00
2
1
)(x
)(x)(x
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G. 128
Örnek 11.6 Verilen devrenin durum denklemini çıkararak birim basamak cevabını bulunuz. Durum değişkenleri çıkış olarak alınabilir. R=10 ohm L=0.1H C=0.2F.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 129
Bölüm 12
Devrelerin Frekans Cevabı Analizi
ve
Filtreler
12.1 Frekans Cevabı Analizi
12.2 Frekans Seçici Devreler (Filtreler)
12.3 R L C Filtreler
12.4 Logaritmik Frekans Cevabı (Bode) Eğrileri
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 129
12.1 Frekans Cevabı Analizi
• Bir devrenin frekans cevabı analizi, devreye bağlanan sinüsoidal
bir kaynağın frekansı değiştirildiğinde devrenin kalıcı durum
çıkışının nasıl değişeceğinin incelenmesini ihtiva eder.
• Dolayısıyla geçici cevap bileşeni ve başlangıç koşulları ile
ilgilenilmez.
• Bölüm 8 de, fazörler yardımıyla sinüsoidal kalıcı durum analizi
yapılmıştı. Ancak, frekans cevabı, transfer fonksiyonu ile
yakından ilişkilidir. Bu ilişkiyi belirlemek açısından devrelerin
transfer fonksiyonları üzerinden frekans cevabını açıklamak daha
uygundur.
)wt(VmCos)t(vi
???)t(vo
ss
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 130
Bölüm 11’ den hatırlanırsa transfer fonksiyonu, bir devrede
başlangıç koşulları sıfır alınmak kaydıyla Laplace bölgesinde çıkışın
girişe oranı olarak tanımlanmıştır.
Dolayısıyla, bir devrenin/sistemin transfer fonksiyonu bilinirse
herhangi bir giriş için çıkışı kolayca bulunur.
12.1.1 Transfer Fonksiyonu Ve Kalıcı Durum Sinüsoidal Cevap
)(
)()(
sX
sYsG
)s(X).s(G)s(Y
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 131
Jws
K
Jws
K
ws
AssGsYss
*11
22)()(
Bu ifade, geçici+kalıcı durum olmak üzere tam cevabı verir. Sadece
kalıcı durum cevabı ile ilgilendiğimize göre kararlı bir devre için
transfer fonksiyonu ile ilgili terimlerin ters laplace dönüşümü ,
zaman sonsuza giderken sıfır olacaktır. O halde Yss- kalıcı durum
çıkışını göstermek üzere,
Girişin, x(t)= A.Cos(wt) gibi sinüsoidal bir sinyal olduğunu dikkate
alalım.
22ws
sA)s(X
terimlerililgiile
fonksiyonuTransfer
Jws
K
Jws
K
ws
As)s(G)s(Y
*
11
22
)s(X).s(G)s(Y
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 132
)jw(G)jw(GA)jw(AGjws
As)s(GK
jws
2
1
2
11
)jw(Gwt(Cos)jw(GA)t(yss
Buradan K1 bulunursa,
Denklemler düzenlenerek sinüsoidal kalıcı durum çıkışı bulunursa,
• Bu devrenin girişinin x(t)= A.Cos(wt) olduğu hatırlanırsa, bir
devrenin kalıcı durum çıkışının genliğinin, transfer fonksiyonunun
genliği ile,
• faz açısının ise transfer fonksiyonun faz açısı ile orantılı olarak
değiştiği sonucu çıkarılır.
• Ayrıca, giriş kaynağının frekansı (w) değiştirilirse bu değerler ve
dolayısıyla devrenin çıkışının genliği ve faz açısı da değişecektir.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 133
• Frekans bölgesi transfer fonksiyonu G(s), devrenin laplace
bölgesi eşdeğerinden elde edilebilir.
• Frekans bölgesi transfer fonksiyonu G(jw) ise devrenin frekans
bölgesi eşdeğerinden elde edilebilir ya da s-bölgesindeki transfer
fonksiyonunda s=jw dönüşümü ile bulunabilir.
jwssGjwG
)()( )(()()( jwGwtCosjwGAtyss
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 134
Örnek 12.1 Şekil (a) da zaman bölgesinde verilen devrenin
R=10, C=0.1F
a-) önce frekans bölgesi transfer fonksiyonunu bulunuz.
b-) vi(t)=10Cos(100t) girişi için kalıcı durum çıkışı voss bulunuz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 135
Örnek 12.2 Şekildeki devrede, kaynak akımı i(t)=10 Cos(4t) ise
kalıcı durumdaki çıkış yani Voss=?
Çözüm:
10s2s
)2s(10
I
Vo)s(G
2
44,6347,487,12610
43,6372,44
86
4020
10)4(2)4(
)24(10)(
24
j
j
jj
jjwG
w
...)t(voss
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 136
12.2 Frekans Seçici Devreler (Filtreler)
• Arzu edilen frekanstaki sinyalleri geçirecek istenmeyen frekanstaki
sinyalleri önleyecek (süzecek) şekilde tasarlanan devrelere Frekans
Seçici Devreler ya da Filtreler denir.
• Önceki örneklerden, bir RLC devresindeki elemanlar farklı şekillerde
bağlanmak suretiyle bir filtre elde edilebileceği görülmektedir.
Alçak Geçiren Filtreler (AGF):Köşe (kesim)frekansı ?
Bant genişliği ?
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 137
Yüksek Geçiren Filtreler (YGF):
Gerçek filtre cevaplarını şekil üzerinde çiziniz.
Köşe (kesim)frekansı ?
Bant genişliği ?
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 138
Bant Geçiren (BGF) ve Bant Durduran Filtreler (BDF)
Gerçek filtre cevaplarını şekil üzerinde çiziniz.
Köşe (kesim)frekansı ?
Bant genişliği ?
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 139
12.3 R L C Filtreler
12.3.1 Alçak Geçiren RL Filtreler
Çözüm: Önce devreyi w=0 ve w=sonsuz için yorumla sonra çöz.
RsL
R
Vi
Vo)s(G
L
Rwc
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 140
12.3.2 Alçak Geçiren RC Filtreler
1sRC
1)s(G
RC
1wc
Çözüm: Önce devreyi w=0 ve w=sonsuz için yorumla sonra çöz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 141
,
Sonuç olarak yukarıdaki RL ve RC AGF devrelerine dikkat edilirse
birinci dereceden bir AGF’nin transfer fonksiyonu;
c
c
ws
w)s(G
Örnek 12.3 Köşe frekansı 100 Hz olan bir alçak geçiren RL ve RC
filtre tasarlayınız. NOT: Önce L veya C değerini seçiniz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 142
12.3.3 Yüksek Geçiren RL Filtreler
L
Rs
s)s(G
L
Rwc
Çözüm: Önce devreyi w=0 ve w=sonsuz için yorumla sonra çöz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 143
12.3.3 Yüksek Geçiren RC Filtreler
RC
1s
s)s(G
RC
1wc
Çözüm: Önce devreyi w=0 ve w=sonsuz için yorumla sonra çöz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 144
cws
s)s(G
Sonuç olarak yukarıdaki RL ve RC YGF devrelerine dikkat edilirse
birinci dereceden bir YGF’nin transfer fonksiyonu;
Örnek 12.4 Köşe frekansı 1 kHz olan bir yüksek geçiren RL ve RC
filtre tasarlayınız. NOT: Önce L veya C değerini seçiniz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 145
LC
1s
L
Rs
sL
R
)s(G2
12.3.4 Bant Geçiren Filtreler
Çözüm: Önce devreyi w=0 ve w=sonsuz için yorumla sonra çöz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 146
01
jwC
jwL
Genliğin maksimum olduğu andaki frekans (yani devre saf omik davranış
gösterirken) merkez ya da rezonans frekansıdır ve bu duruma devrenin
rezonans hali denir. Yani,
01
wCwL
LCwo
1
Genliğin maksimum olduğu nokta wo frekansında elde edilir
1)jwo(GGmax
Genlik ifadesi, ye eşitlenip w frekansı için çözülürse köşe frekansları, 2
1
LCL
R
L
Rwc
1
22
2
1
LCL
R
L
Rwc
1
22
2
2
Merkez frekansı, köşe frekansları, bant genişliği ve kalite faktörü
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 147
Merkez frekansı (wo), köşe frekanslarının
geometrik ortalaması alınarak da bulunabilir.
LCwww cc
1210
Bant genişliği köşe frekanslarının farkıdır,
L
RwwB cc 12
Kalite faktörü ise,
B
woQ
CR
LQ
2
Kalite faktörü, bant genişliğinin anlam olarak tersini ifade eden bir
tanımdır. Bant genişliği arttıkça kalite faktörü azalır.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 148
2
0
2wBss
Bs)s(G
Köşe frekansları,
20
2
22
0
2
12222
wBB
wwBB
w cc
Sonuç olarak yukarıdaki RLC BGF devrelerine dikkat edilirse
İkinci dereceden bir BGF’nin transfer fonksiyonu;
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 149
Örnek 12.5 Transfer fonksiyonu aşağıda verilen filtrenin
parametrelerini belirleyiniz.
6210s300s
s10)s(G
2
0
2wBss
Bs)s(G
Çözüm
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 150
Örnek 12.6 Şekildeki devrenin nasıl bir filtre devresi olduğunu ve
filtrenin önemli parametrelerini belirleyiniz. BGF transfer
fonksiyonunu referans alınız.
Çözüm: Önce devreyi w=0 ve w=sonsuz için yorumla sonra çöz.
LC
1s
RC
1s
sRC
1
)s(G2
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 151
Örnek 12.7 Örnek 12.6 daki devreye göre merkez frekansı 5 kHz ve
bant genişliği 200 Hz olan bir BGF tasarlayınız. C=5µF değerinde bir
kondansatör kullanılacaktır.
4002 fB 15,15911
BCR
RCB
100002 fwo
mHCw
LLC
wo 64,202105)10000(
111
322
2
Çözüm:
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 152
12.3.5 Bant Durduran Filtreler
Çözüm: Önce devreyi w=0 ve w=sonsuz için yorumla sonra çöz.
LC
1s
L
Rs
LC
1s
)s(G2
2
22
2
2
L
Rww
LC
1
wLC
1
)Jw(G
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 153
BDF lerde de BGF lerde olduğu gibi benzer tanımlar yapılabilir.
Merkez frekansı wo, BDF’nin genliğinin min.olduğu noktadaki frekans
değeridir.
0)Jw(H 01 2
wLC LC
wo1
Merkez frekansı, köşe frekansları, bant genişliği ve kalite faktörü
Genlik ifadesi ye eşitlenerek w için çözülürse köşe frekansları, 2
1
LCL
R
L
Rwc
1
221
2
LCL
R
L
Rwc
1
222
2
L
RwcwcB 12
CR
L
B
woQ
2
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 154
2
0
2
2
0
2
wBss
ws)s(G
Köşe frekansları,
20
2
221 w
BBwc
2
0
2
222 w
BBwc
Sonuç olarak yukarıdaki RLC BDF devrelerine dikkat edilirse
İkinci dereceden bir BDF’nin transfer fonksiyonu;
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 155
Örnek 12.6 Şekildeki devrenin nasıl bir filtre devresi olduğunu
belirleyerek filtrenin parametrelerini bulunuz. BDF transfer
fonksiyonunu referans alınız.
Çözüm: Önce devreyi w=0 ve w=sonsuz için yorumla sonra çöz.
LC
1s
RC
1s
LC
1s
V
V)s(G
2
2
i
0
2
0
2
2
0
2
wBss
ws)s(G
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 156
Örnek 12.7 Merkez frekansı 750 Hz ve kalite faktörü 3 olan bir
BDF tasarlayınız. 100 nF bir C kullanınız.
Çözüm:
15002 fwo
HzBQ
wB 250500
0
mHCw
L 4501
20
707104505003LBR
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 157
12.4 Logaritmik Frekans Cevabı (Bode) Eğrileri
Bode eğrileri, logaritmik frekans eksenine göre logaritmik genlik ve
faz cevabını veren eğrilerdir. Bode eğrilerinde genlik, decibel olarak
tanımlanır.
Frekans cevaplarında önemli bir yeri olan düşük frekans bölgesi,
logaritmik eksenlerde genişletilerek daha hassas bir cevap eğrisi elde
edilebilir ve yüksek frekans bölgesi ise sıkıştırılarak geniş bir frekans
alanında grafikler çizilebilir.
Çarpım ve bölüm durumunda olan transfer fonksiyonunun
bileşenleri, toplam yada fark durumuna getirilerek genlik ve faz
hesaplamaları kolaylaşabilir.
Genlik ve faz cevapları, analitik işlemler yerine gerekirse
grafiksel olarak da yapılabilir.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 158
12.4.1 Desibel, Oktav ve Decade Kavramları)( jwG
)(.log.20)( jwGjwGdB
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 159
12.4.2 Bode Eğrilerinin Çizimi
• Bir devrenin transfer fonksiyonunun 4 temel bileşenden meydana
geldiği görülür.
• Logaritma alındığında bu bileşenler toplam ya da fark haline
geleceğinden bu bileşenlerin pay ve / veya paydada olması veya
tek katlı ya da çok katlı olması incelemeyi fazla etkilemez.
Sabit bir kazanç çarpanı K
sanal çarpan
birinci dereceden çarpan
ikinci dereceden çarpan
rjw
])[(
rjwT
)1(
r
nn w
w
w
wj
)21(
2
2
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 160
Sabit Kazanç Çarpanı K
KjwG )( olsun )log(.20)( KjwGdB
0)( KjwG
19
19.5
20
20.5
21
10 -1 100 101 102-1
-0.5
0
0.5
1
G(jw)dB
w(rad./sn)
w(rad./sn)
K=10 için
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 161
Sanal Bileşenr
jw
])[(
jwjwG
1)(
)log(20)( wjwGdB
20
tan)(1
w
jwG
s
1)s(G
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 162
Sanal bileşenin r katlı olduğu kabul edilirse bode genlik cevabı,
)log(..20)( wrjwGdB
2
.0
tan.)(1
rw
rjwG
r=2 için
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 163
Sanal bileşenin payda yerine payda olduğu dikkate alınırsa,
jwjwG )(
)log(20)( wjwGdB
20
tan)(1
w
jwG
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 164
s2
20)s(G
Örnek 12.8 Aşağıda transfer fonksiyonu verilen devrenin frekans
cevabını çiziniz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 165
Birinci dereceden bileşen rjwT
)1(
1
1)(
jwTjwG
1log(20)(22 TwjwG
dB
1tan)(
1 wTjwG
-20
-15
-10
-5
0M
agnitu
de (
dB
)
10-2
10-1
100
101
-90
-45
0
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
r=1
ve
T=10 için
r=2 için ?
Asimptotlar ??
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 166
Birinci dereceden bileşenin pay olması durumunda
bode genlik ve fazı,
1log(20)(22 TwjwG
dB 1tan)(
1 wTjwG
0
5
10
15
20
Magnitu
de (
dB
)
10-2
10-1
100
101
0
45
90
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
1jwT)jw(G
Asimptotlar ??
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 167
İkinci dereceden bileşen r
nn w
w
w
wj
)21(
2
2
2
2
21
1)(
nn w
w
w
wj
jwG
22
2
2
)2()1(log(20)(nn
dB w
w
w
wjwG
-40
-30
-20
-10
0
10
Magnitu
de (
dB
)
10-2
10-1
100
101
-180
-135
-90
-45
0
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
için
8.0ve25.0
,10wn
Asimptotlar ??
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 168
Örnek 12.9 Aşağıda transfer fonksiyonu verilen devrenin frekans
cevabını çiziniz.
)10(
200)(
sssG
-40
-20
0
20
40
Magnitu
de (
dB
)
10-2
10-1
100
101
-90
-45
0
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Çözüm:
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 169
Örnek 12.10 Aşağıda transfer fonksiyonu verilen devrenin frekans
cevabını çiziniz.
)1s(s
)1.0s(100)s(G
Çözüm:
100s4s
)1s(200)s(G
2
Örnek 12.11 Aşağıda transfer fonksiyonu verilen devrenin frekans
cevabını çiziniz.
Çözüm:
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 170