bölüm 1. algoritma analizi -...

O. T. Yıldız, C && Java ile Veri Yapılarına Giris, Bogaziçi Üniversitesi Yayınevi, 2013 1 / 32

Bölüm 1. Algoritma Analizi

Olcay Taner Yıldız

2014

Büyük-O Gösterimi


YinelemesizProgramların Analizi

ÖzyinelemeliProgramların Analizi

Temel Teorem


Bir dizinin en büyük elemanını bulanalgoritma




Temel Teorem


1 int diziEnBuyuk(int[] dizi)2 int i, enBuyuk;3 enBuyuk = dizi[0];4 for (i = 1; i < dizi . length; i++)5 if ( dizi [ i ] > enBuyuk)6 enBuyuk = dizi[ i ];7 8 return enBuyuk;9

Islem Sayısı (En Fazla)




Temel Teorem


1 defa enBuyuk = dizi[0] atama komutu 1 defa i = 1 atama komutu N defa i < N karsılastırma komutu N - 1 defa i++ atama komutu N - 1 defa if ( dizi [ i ] > enBuyuk) karsılastırma komutu N - 1 defa enBuyuk = dizi[ i ] atama komutu

O(n)




Temel Teorem


Tanım 1 f(n) ve g(n) pozitif tamsayılardan reel sayılara

tanımlı iki fonksiyon olsun. Eger her n > n0 tamsayısı için

f(n) < cg(n) olacak sekilde c ve n0 sabitleri varsa, f= O(g)’dir

ve f fonksiyonu için g fonksiyonu bir üst sınır belirler.

Islem Sayısı (En Az)




Temel Teorem


1 defa enBuyuk = dizi[0] atama komutu 1 defa i = 1 atama komutu N defa i < N karsılastırma komutu N - 1 defa i++ atama komutu N - 1 defa if ( dizi [ i ] > enBuyuk) karsılastırma komutu

Ω(n)




Temel Teorem




f(n) > cg(n) olacak sekilde c ve n0 sabitleri varsa, f= Ω(g)’dir

ve f fonksiyonu için g fonksiyonu bir alt sınır belirler.

Θ(n)




Temel Teorem




c1g(n) > f(n) > c2g(n) olacak sekilde c1, c2 ve n0 sabitleri

varsa, f= Θ(g)’dir ve f fonksiyonu için g fonksiyonu hem üst

hem de bir alt sınır belirler.

Algoritma analizinde sıklıkla kullanılan 8temel fonksiyonun büyüme oranları




Temel Teorem


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Yinelemesiz Programların Analizi




Temel Teorem


Püf Nokta (1)




Temel Teorem


Bir for döngüsünün çalısma süresi döngünün içindekisatırların çalısma süreleri ile döngünün tekrar sayısınınçarpımı kadardır.

1 int kare_toplami(int N)2 int i, toplam = 0;3 for (i = 1; i <= N; i++)4 toplam += i * i ;5 return toplam;6

T (N) =N∑

i=1

1

= N ∈ O(N)

Püf Nokta (2)




Temel Teorem


Birden fazla döngü iç içe oldugunda fonksiyonun çalısmasüresi bütün döngülerin çalısma sürelerinin çarpımı kadardır.

1 toplam = 0;2 for (i = 0; i < N; i++)3 for (j = 0; j < N; j++)4 toplam++;

Püf Nokta (2)




Temel Teorem


T (N) =

N−1∑

i=0

N−1∑

j=0

1

︸︷︷︸

N

=N−1∑

i=0

N

= NN−1∑

i=0

1

︸︷︷︸

N

= N2 ∈ O(N2)

Püf Nokta (3)




Temel Teorem


Ardısık program parçaları söz konusu oldugunda çalısmasüresi en fazla olan program parçasının çalısma süresi tümprogramın çalısma süresi olarak kabul edilir.

1 toplam = 0;2 for (i = 1; i <= N; i++)3 toplam += i * i ;4 for (i = 0; i < N; i++)5 for (j = 0; j < N; j++)6 toplam++;

T (N) = O(N) +O(N2) ∈ O(N2)

Püf Nokta (4)




Temel Teorem


If/Else kosul satırının çalısma süresi, kosulun dogru veyayanlıs oldugu durumların çalısma sürelerinin en fazlasıkadardır.

1 toplam = 0;2 if (N % 2 == 0)3 for (i = 1; i <= N; i++)4 toplam += i * i ;5 else

6 for (i = 0; i < N; i++)7 for (j = 0; j < N; j++)8 toplam++;

T (N) = O(N2)

Püf Nokta (5)




Temel Teorem


Döngü degiskeninin birer birer artmadıgı / azalmadıgıdurumlarda döngü degiskeninin döngü süresince aldıgıdegerleri belirlemek döngünün çalısma süresini belirlemedeyardımcı olacaktır.

1 int basamak_sayisi(int N)2 int i, sayi = 1;3 while (N > 1)4 sayi++;5 N = N / 2;6 7 return sayi;8

Püf Nokta (5)




Temel Teorem


Ilk döngü sonundaki degeriN

2, ikinci döngü sonundaki degeri

N

4=N

22, üçüncü döngü sonundaki degeri

N

8=N

23, . . ., k’nıncı

döngü sonundaki degeri iseN

2kolacaktır.

N

2k= 1

N = 2k

k = log2N

sonucunda toplam tekrar sayısı log2N , fonksiyonun çalısmasüresi de O(logN ) olur.

Özyinelemeli Programların Analizi




Temel Teorem


Özyinelemeli Programların Analizi




Temel Teorem


Özyinelemeli programların analizi, özyinelemeli olmayanprogramların analizi gibi yapılamaz.

Bunun temel nedeni, programın çalısma süresinin sadeceyapılan islemlere degil aynı zamanda programın kendiçalısma süresinin bir fonksiyonuna da baglı olmasıdır.

Örnek (1)




Temel Teorem


1 int faktoryel(int N)2 if (N <= 1)3 return 1;4 else

5 return N * faktoryel(N - 1);6

N girdisi için çalısma süresi yine faktöryel fonksiyonununN − 1 girdisi için çalısma süresine baglıdır.

Örnek (1)




Temel Teorem


f(1) = 1

f(N) = f(N − 1) + 1

Birinci denklem N= 1 için fonksiyonun yaptıgı islemsayısını, yani return 1; satırındaki döndürme islemini

Ikinci denklemdeki +1 isereturn N * faktoryel(N - 1); satırındaki çarpma isleminigöstermektedir.

Örnek (1)




Temel Teorem


Ikinci denklemdeki N yerine sırayla N − 1, N − 2, . . ., 2koyarak

f(N) = f(N − 1) + 1

f(N − 1) = f(N − 2) + 1

f(N − 2) = f(N − 3) + 1

. . .

f(2) = f(1) + 1

elde ederiz. Esitlikleri taraf tarafa topladıgımızda, f(N − 1),f(N − 2), . . ., f(2) sadelesir ve geriye

f(N) = f(1) +N − 1

f(N) = N ∈ O(N)

Örnek (2)




Temel Teorem


1 int basamak_sayisi(int N)2 if (N == 1)3 return 1;4 else

5 return 1 + basamak_sayisi(N / 2);6

Bu fonksiyonun çalısma süresi (girdi N için) yine bufonksiyonun çalısma süresine (girdi N / 2 için) baglıdır.

Örnek (2)




Temel Teorem


b(1) = 1

b(N) = b(N/2) + 1

Birinci denklem N= 1 için fonksiyonun yaptıgı islemsayısını, yani return 1; satırındaki döndürme islemini

Ikinci denklemdeki +1 isereturn 1 + basamak_sayisi(N / 2); satırındaki toplama isleminigöstermektedir.

Örnek (2)




Temel Teorem


N = 2k varsayıp N yerine sırayla N/2 = 2k−1, N/22 = 2k−2,. . . , N/2k−1 = 2 koyarak

b(2k) = b(2k−1) + 1

b(2k−1) = b(2k−2) + 1

b(2k−2) = b(2k−3) + 1

. . .

b(21) = b(1) + 1

elde ederiz. Esitlikleri taraf tarafa topladıgımızda, b(2k−1),b(2k−2), . . ., b(2) sadelesir ve geriye

b(2k) = b(1) + k

b(2k) = k + 1

b(N) = log2N + 1 ∈ O(logN)

Örnek (3)




Temel Teorem


1 void hanoi(int N, int sutun1, int sutun2)2 sutun3 = 6 - sutun1 - sutun2;3 if (N = 1)4 hareketEttir (sutun1, sutun2);5 else6 hanoi(N - 1, sutun1, sutun3);7 hareketEttir (sutun1, sutun2);8 hanoi(N - 1, sutun3, sutun2);9

10

Hanoi fonksiyonunun çalısma süresi (girdi N için) yine bufonksiyonun çalısma süresine (girdi N − 1 için) baglıdır.

Örnek (3)




Temel Teorem


h(1) = 1

h(N) = 2h(N − 1) + 1

Birinci denklem N= 1 için fonksiyonun yaptıgı islemsayısını, yani hareketEttir (1, 3); satırındaki islemi

Ikinci denklemdeki 2h(N - 1), 2 kere özyinelemeli çagırılanhanoi(N - 1, ...) satırını; +1 ise hareketEttir (1, 3); satırındakiislemi göstermektedir

Örnek (3)




Temel Teorem


Ikinci denklemdeki N yerine sırayla N − 1, N − 2, . . ., 2koyarak

h(N) = 2h(N − 1) + 1

h(N − 1) = 2h(N − 2) + 1

h(N − 2) = 2h(N − 3) + 1

. . .

h(2) = 2h(1) + 1

elde ederiz.

Örnek (3)




Temel Teorem


Ikinci denklemi 2 ile, üçüncü denklemi 4= 22 ile, . . . çarparsak,

h(N) = 2h(N − 1) + 1

2h(N − 1) = 22h(N − 2) + 2

22h(N − 2) = 23h(N − 3) + 22

. . .

2N−1h(2) = 2Nh(1) + 2N−1

olur. Esitlikleri taraf tarafa topladıgımızda, h(N − 1), h(N − 2),. . ., h(2) sadelesir ve geriye

h(N) = 2Nf(1) + 2N−1 + 2N−2 + . . .+ 1

h(N) =N∑

i=0

2i

h(N) = 2N+1 − 1 ∈ O(2N )

Temel Teorem




Temel Teorem


Özyinelemeli Problem Bölümü




Temel Teorem


N büyüklügünde bir problemi özyinelemeli çözmek için

N / b büyüklügünde a tane alt problem çözüyor bu alt problemlerin çözümlerini de O(Nd) zamanda

birlestirip ana probleme çözüm buluyorsak

ana problemi çözmek için harcayacagımız zaman

T (N) = aT (N/b) +O(Nd)

Temel Teorem




Temel Teorem


Teorem 1 a, b ve d a > 0, b > 1, d ≥ 0 kosullarını saglayan

birer reel sayı olmak üzere,

T (N) = aT (N/b) +O(Nd)

denkleminin çözümü

T (N) =

O(Nd) eger d > logb aO(Nd logN) eger d = logb aO(N logb a) eger d < logb a

olarak verilir.

bölüm 1. algoritma analizi -...

Documents