birinci mertebeden diferansiyel denklemler edwards and...

Birinci Mertebeden Diferansiyel DenklemlerEdwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınırdeger problemleri (ceviri: Prof. Dr. Omer Akın)

AYRILABILIR DENKLEMLER

Birinci mertebedendy

dx= f(x, y) (1)

diferansiyel denkleminde f(x, y) fonksiyonu yalnız x in birfonksiyonu ile yalnız y nin bir fonksiyonunun carpımı olarakyazılabiliyorsa,yani

dy

dx= g(x)h(y) veya

dy

dx= g(x)/k(y)

isedenkleme degiskenlerine ayrılabilir denir.

Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 1/ 18




dx= f(x, y) (1)

diferansiyel denkleminde f(x, y) fonksiyonu yalnız x in birfonksiyonu ile yalnız y nin bir fonksiyonunun carpımı olarakyazılabiliyorsa,

yani

dy

dx= g(x)h(y) veya

dy

dx= g(x)/k(y)






dx= f(x, y) (1)


dy

dx= g(x)h(y)

veyady

dx= g(x)/k(y)






dx= f(x, y) (1)


dy

dx= g(x)h(y) veya

dy

dx= g(x)/k(y)

ise

denkleme degiskenlerine ayrılabilir denir.





dx= f(x, y) (1)


dy

dx= g(x)h(y) veya

dy

dx= g(x)/k(y)



Ayrılabilir Denklemler

Bu durumda denklem

k(y)dy = g(x)dx

seklinde yazmak suretiyle x ve y degiskenlerine ayrılabilir (birdenklemin zıt yanlarda tek degiskene ayrılması).

Bu ozel tipdiferansiyel denklemi cozmek kolaydır. Her iki yanın integralinialırsak ∫

k(y)dy =

∫g(x)dx+ C

elde edilir.



Bu durumda denklem

k(y)dy = g(x)dx

seklinde yazmak suretiyle x ve y degiskenlerine ayrılabilir (birdenklemin zıt yanlarda tek degiskene ayrılması).Bu ozel tipdiferansiyel denklemi cozmek kolaydır. Her iki yanın integralinialırsak ∫

k(y)dy =

∫g(x)dx+ C

elde edilir.



ORNEK 1dy

dx= −x

ydenklemini cozunuz.

COZUM

Yukarıdaki diferansiyel denklemi

ydy = −xdx

seklinde yazabiliriz.Her iki tarafında integralini alırsak,∫ydy =

∫−xdx+ C

Sonuc olarak

y2 = −x2 + 2C veya x2 + y2 = K

elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)



ORNEK 1dy

dx= −x


COZUM


ydy = −xdx

seklinde yazabiliriz.

Her iki tarafında integralini alırsak,∫ydy =

∫−xdx+ C

Sonuc olarak

y2 = −x2 + 2C veya x2 + y2 = K




ORNEK 1dy

dx= −x


COZUM


ydy = −xdx


∫−xdx+ C

Sonuc olarak

y2 = −x2 + 2C veya x2 + y2 = K




ORNEK 1dy

dx= −x


COZUM


ydy = −xdx


∫−xdx+ C

Sonuc olarak

y2 = −x2 + 2C

veya x2 + y2 = K




ORNEK 1dy

dx= −x


COZUM


ydy = −xdx


∫−xdx+ C

Sonuc olarak

y2 = −x2 + 2C veya x2 + y2 = K

elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 3/ 18


ORNEK 2

y′ = y2x3 denklemini cozunuz.

COZUM


dy

y2= x3dx

seklinde yazabiliriz.Her iki tarafında integralini alalım,∫dy

y2=

∫x3dx+ C ⇒ −1

y=x4

4+ C

Duzenlersek

y =−4

x4 + 4Cveya y =

−4

x4 +K




ORNEK 2


COZUM


dy

y2= x3dx


Her iki tarafında integralini alalım,∫dy

y2=

∫x3dx+ C ⇒ −1

y=x4

4+ C

Duzenlersek

y =−4

x4 + 4Cveya y =

−4

x4 +K




ORNEK 2


COZUM


dy

y2= x3dx


y2=

∫x3dx+ C

⇒ −1

y=x4

4+ C

Duzenlersek

y =−4

x4 + 4Cveya y =

−4

x4 +K




ORNEK 2


COZUM


dy

y2= x3dx


y2=

∫x3dx+ C ⇒ −1

y=x4

4+ C

Duzenlersek

y =−4

x4 + 4Cveya y =

−4

x4 +K




ORNEK 2


COZUM


dy

y2= x3dx


y2=

∫x3dx+ C ⇒ −1

y=x4

4+ C

Duzenlersek

y =−4

x4 + 4C

veya y =−4

x4 +K




ORNEK 2


COZUM


dy

y2= x3dx


y2=

∫x3dx+ C ⇒ −1

y=x4

4+ C

Duzenlersek

y =−4

x4 + 4Cveya y =

−4

x4 +K

elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 4/ 18


Ornek 2 deki diferansiyel denklemi degiskenlerine ayırırkenesitligin her iki tarafını 1/y2 ile carptık. Bu islemi y 6= 0 kabulederek yapabiliriz.

Soru: y(x) = 0 bir cozum mudur?

Cevap: EVET.

Fakat y(x) = 0, K nın hic bir degeri icin y(x) =−4

x4 +Kgenel

cozumunden elde edilemez.

Bu kural dısı cozumlere genellikle aykırı (tekil) cozum denir.



ORNEK 3

dy

dx= −6xy, y(0) = 7

baslangıc deger problemini cozunuz.

COZUM


dy

y= −6xdx

seklinde yazabiliriz.Buradan∫dy

y=

∫(−6x)dx+ C ⇒ ln|y| = −3x2 + C

elde ederiz.



ORNEK 3

dy

dx= −6xy, y(0) = 7


COZUM


dy

y= −6xdx


Buradan∫dy

y=

∫(−6x)dx+ C ⇒ ln|y| = −3x2 + C

elde ederiz.



ORNEK 3

dy

dx= −6xy, y(0) = 7


COZUM


dy

y= −6xdx


y=

∫(−6x)dx+ C

⇒ ln|y| = −3x2 + C

elde ederiz.



ORNEK 3

dy

dx= −6xy, y(0) = 7


COZUM


dy

y= −6xdx


y=

∫(−6x)dx+ C ⇒ ln|y| = −3x2 + C

elde ederiz.Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 6/ 18


y(0) = 7 baslangıc kosulundan y(x) in x = 0 komsulugundapozitif oldugunu goruruz. Boylece mutlak deger isaretinikaldırabiliriz.

ln y = −3x2 + C

⇒ y(x) = e−3x2+C ⇒ y(x) = e−3x

2eC

C keyfi sabit oldugu icin eC yerine A keyfi sabitini yazabiliriz.

y(x) = Ae−3x2

y(0) = 7 kosulu A = 7 yi verir. Boylece istenen cozum

y(x) = 7e−3x2

dir.




ln y = −3x2 + C ⇒ y(x) = e−3x2+C

⇒ y(x) = e−3x2eC


y(x) = Ae−3x2


y(x) = 7e−3x2

dir.




ln y = −3x2 + C ⇒ y(x) = e−3x2+C ⇒ y(x) = e−3x

2eC


y(x) = Ae−3x2


y(x) = 7e−3x2

dir.




ln y = −3x2 + C ⇒ y(x) = e−3x2+C ⇒ y(x) = e−3x

2eC


y(x) = Ae−3x2

y(0) = 7 kosulu

A = 7 yi verir. Boylece istenen cozum

y(x) = 7e−3x2

dir.




ln y = −3x2 + C ⇒ y(x) = e−3x2+C ⇒ y(x) = e−3x

2eC


y(x) = Ae−3x2


y(x) = 7e−3x2

dir.



Uyarı

Bir onceki ornekte baslangıc kosulunun y(0) = −4 oldugunuvarsayalım. Bu takdirde y(x), x = 0 komsulugunda negatiftir.Dolayısıyla |y| yerine −y koyabilir ve

ln(−y) = −3x2 + C

elde ederiz. Baslangıc kosulu C = ln4 verir. Buradan

y(x) = −4e−3x2

elde edilir.



Figure : dydx = −6xy diferansiyel denleminin yonlu alanı ve y(0) = 7,

y(0) = −4 baslangıc kosulları icin cozumleri.



ORNEK 4

dy

dx=

4− 2x

3y2 − 5

diferansiyel denklemini cozunuz.

COZUM

Degiskenleri ayırır ve her iki yanın integralini alırsak∫(3y2 − 5)dy =

∫(4− 2x)dx+ C

y3 − 5y = 4x− x2 + C

elde ederiz. Bu cozum, x in acık bir fonksiyonu olarak y ye gorecozulemez.



Bir onceki ornekte oldugu gibi cozum y(x) = F (x) seklinegetirilemeyebilir.

G(x, y) = C (C keyfi sabit.)

Formunda elde edilen ve y(x) = F (x) halinde yazılamayancozume Kapalı Cozum adı verilir.


Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler

BIRINCI MERTEBEDEN DOGRUSAL(LINEER)DENKLEMLER

dy

dx+ P (x)y = Q(x) (2)

formunda olan diferansiyel denklemlere birinci mertebedendogrusal (lineer) diferansiyel denklem adı verilir.


Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler

YONTEM

1. Cozumeµ(x) = e

∫P (x)dx (3)

fonksiyonunu hesaplıyarak baslayınız.µ(x) fonksiyonuna integral carpanı adı verilir.

2. Diferansiyel denklemin her iki tarafını µ(x) ile carpınız.Denklemin sol tarafı

e∫P (x)dx dy

dx+ P (x)e

∫P (x)dxy =

d

dx[µ(x)y(x)]

olacaktır.



YONTEM

1. Cozumeµ(x) = e

∫P (x)dx (3)

fonksiyonunu hesaplıyarak baslayınız.

µ(x) fonksiyonuna integral carpanı adı verilir.


e∫P (x)dx dy

dx+ P (x)e

∫P (x)dxy =

d

dx[µ(x)y(x)]

olacaktır.



YONTEM

1. Cozumeµ(x) = e

∫P (x)dx (3)



e∫P (x)dx dy

dx+ P (x)e

∫P (x)dxy =

d

dx[µ(x)y(x)]

olacaktır.



YONTEM

1. Cozumeµ(x) = e

∫P (x)dx (3)



e∫P (x)dx dy

dx+ P (x)e

∫P (x)dxy

=d

dx[µ(x)y(x)]

olacaktır.



YONTEM

1. Cozumeµ(x) = e

∫P (x)dx (3)



e∫P (x)dx dy

dx+ P (x)e

∫P (x)dxy =

d

dx[µ(x)y(x)]

olacaktır.



Denklememizd

dx[µ(x)y(x)] = µ(x)Q(x)

seklini alır.

3. Her iki tarafın integralini aldıgımızda

µ(x)y(x) =

∫µ(x)Q(x)dx+ C

buluruz ve genel cozumu elde etmek icin y(x) e gore cozeriz.



Denklememizd


seklini alır.


µ(x)y(x)

=

∫µ(x)Q(x)dx+ C




Denklememizd


seklini alır.


µ(x)y(x) =

∫µ(x)Q(x)dx+ C




ORNEK 5

y′ − 2y = 3e2x diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.

COZUM

Diferansiyel denklemimizde P (x) = −2 ve Q(x) = 3e2x dir.Integral carpanımız

µ(x) = e∫(−2)dx = e−2x

dir.



ORNEK 5


COZUM

Diferansiyel denklemimizde P (x) = −2 ve Q(x) = 3e2x dir.

Integral carpanımız

µ(x) = e∫(−2)dx = e−2x

dir.



ORNEK 5


COZUM


µ(x) = e∫(−2)dx

= e−2x

dir.



ORNEK 5


COZUM


µ(x) = e∫(−2)dx = e−2x

dir.



Denklemimizin her iki tarafını e−2x ile carparsak

e−2xy′ − 2e−2xy = 3e−2xe2x

Elde ettigimiz denklemin sol tarafı aslında e−2xy(x) carpımınınturevidir

d

dx[e−2xy(x)] = 3

Integral alalım ∫d

dx[e−2xy(x)]dx =

∫3dx

e−2xy(x) = 3x+ C

y(x) i yanlız bırakırsak

y(x) = 3xe2x + Ce2x

genel cozumunu elde ederiz.




e−2xy′ − 2e−2xy = 3e−2xe2x


d

dx[e−2xy(x)]

= 3


dx[e−2xy(x)]dx =

∫3dx

e−2xy(x) = 3x+ C


y(x) = 3xe2x + Ce2x





e−2xy′ − 2e−2xy = 3e−2xe2x


d

dx[e−2xy(x)] = 3


dx[e−2xy(x)]dx =

∫3dx

e−2xy(x) = 3x+ C


y(x) = 3xe2x + Ce2x





e−2xy′ − 2e−2xy = 3e−2xe2x


d

dx[e−2xy(x)] = 3


dx[e−2xy(x)]dx =

∫3dx

e−2xy(x) = 3x+ C


y(x) = 3xe2x + Ce2x

genel cozumunu elde ederiz.Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 16/ 18


ORNEK 6

(x2 + 1) dydx + 3xy = 6x diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.

COZUM

Integral carpanımızı hesaplayalım

µ(x) = e∫

3xx2+1

dx

µ(x) = e32ln(x2+1) = (x2 + 1)3/2



ORNEK 6


COZUM


µ(x) = e∫

3xx2+1

dx

µ(x) = e32ln(x2+1)

= (x2 + 1)3/2



ORNEK 6


COZUM


µ(x) = e∫

3xx2+1

dx

µ(x) = e32ln(x2+1) = (x2 + 1)3/2



Denklemin her iki yanını µ(x) ile carpalım

(x2 + 1)3/2dy

dx+ (x2 + 1)1/23xy = (x2 + 1)3/2

6x

(x2 + 1)

d

dx[(x2 + 1)3/2y(x)] = 6x(x2 + 1)1/2

Intagral alalım

(x2 + 1)3/2y(x) =

∫6x(x2 + 1)1/2dx+ C

(x2 + 1)3/2y(x) = 2(x2 + 1)3/2 + C


y(x) = 2 + C(x2 + 1)−3/2


birinci mertebeden diferansiyel denklemler edwards and...

Documents